I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

Transcript

1 I N Ž E N J E R S K A M A E M A I K A P r e d v j G L A V A 8 OURIEROVI REDOVI, OURIEROVI INEGRALI I OURIEROVA RANSORMACIJA 8.. U v o d m cresc eudo. [Gs rse šrejem.] Lsk posovc ourerov red je jed od jvžjh z rješvje očh prcjh derecjh jedč. U ovom pogvju gsk će žejerskm ekm drugm prkčm prmjem ourerovog red, e jegovoj prmje pr rješvju derecjh jedč. ko, pr., u spvju oso deermsčkh sg kors se hrmojsk z koj m z cj d prkže sg u domeu učesos, zsv se eorj ourerovh redov ourerove rsormcje. Z perodče sge se prmjejuje z pomoću ourerovh redov, z perodče ourerov rsormcj. eorj ourerovog red je revo kompcr, zo je jegov prmje dsve jedosv. Jed od predos ourerovog rzvoj u odosu druge rzvoje pr. popu yorovog, jese mogućos rzvoj dskourh ukcj. Lureov redov redov poecj e mogu ops dskouee koj se pojvjuju pr. kod kvdrog v koj se česo pojvjuje u eekročkm krugovm u kojm se pojvjuju ošr pusev sruje po, koj je /do perodčos/ der recjm: z,, h z, zupčsog v koj je /do perodčos/ der recjm :,, z, ]. z Je-Bpse Joseph ourer , rcusk zčr memčr, uveo je u zu ourerov red ourerov egr - prkz ukcje u ermm rgoomerjskh ukcj. okom vreme rzvje je hrmojsk z ko smos eorj psrkh ourerovh redov ourerovh egr, sprv vez z proučvje ukcj ksčm geomerjskm ojekm ko šo su ser eukdsk prosor. J. B. J. ourer je 87. gode u rcuskoj kdemj uk podo Memor, čj će ksje ojvje verzj u Przu 8., u Čkgu 95. gode ozč prekrecu u rzvoju memčke zke jee prmjee u mogm osm učm osm; u kom je, zmeđu osog, zo vrdju d se mje vše prozvoj ukcj kočom ervu može rzv ko sum ere ukcje red sus ok c s jeduž posmrog erv. vrdj je š oprvdu sumju kdemk. Nme, u smsu kovergecje po čkm j. u smsu oče kovergecje vrdj je č u ks eprekdh ukcj, jer je 876. gode Du Bos Reymod kosruso prmjer eprekde ukcje čj ourerov red dvergr u jeoj čk eprekdos. Iče, pomemo d je prrod zkh eome jž dej ukcje ko operor zv. dsrucje.

2 U om prvcu, ourer je vršo svoj prv spvj reoj ukcj y jede ree promjejve zdoj ormuom,, y 4 3,. 4 ukcj je perodč, se može produž do perodčke ukcje ko se posv zhjev: y + k y, k =,,... O je po djeovm eprekd, m prv zvod y' = 3 svugdje osm u čkm,,... ourerov red e ukcje je red kosus y = cos cos cos 5... koj koverg predsvj u ukcju u svkoj od čk jee 3 5 eprekdos, u čkm prekd je y, y. 4 4 Proemk u vez s ourerovm redovm jko je opšr mog odgovor pojed pj su još uvjek prođe. Je Bpse Joseph ourer /Auerre, Bourgoge/ /Prz/ Idej ourerovh redov je prozvoju perodču ukcju j. ukcju koj je zd ekom osovom ervu, je ok cjeom skupu reh rojev dojemo "jepjejem" kopj e ukcje jedu uz drugu u o smjer zps ko zr susod rzčh mpud rekvecj koje je kše zr jer su svojsv susod doro poz. Npr. ko je sk eekroske gusoće ekog mgrog jedodmezoog krs, možemo je pokuš do pomoću dućh susod redom rekvecj, 3 5 rzčh mpud:

3 Kd seremo e r susode dojemo crve grk sjedećoj sc koj je očgedo dos dor proksmcj poze ske. Ako žemo zrču mpude poree z susode pojede rekvecje, o možemo uč pomoću ormu z koecjee ourerovog red. Dojemo grk ovsos mpud o rekvecj zv. spekr Vse zd pojedh rojev rekvecj su mpude susode e rekvecje poree z dovje proksmcje poze ukcje. Npr. zd oj sc vdmo mpudu prve susode 3

4 z prmjer. Nž vrhov ozčvju mpude susode drugh rekvecj koje gore smo uze u ozr, koje reo prroj z dovje još čje ske. ourerov red je prem ome prkz perodče ukcje ko zv. ere komcje sus kosus: cos s. Koecje su mpude kosusod koje se uz jh ze, koje mju ugou rekvecju ω. O se zrčuvju pomoću sjedećh ormu je duž po perod ukcje, j. poove osovog erv cos d =,,,...; s d, =,,... Korseć Euerovu ormuu e cos s uz poešo rču možemo gorju ormuu zps u kompeksom oku s smo jedm zom koecje: ce, gdje kompekse rojeve c rčumo prem ormu: c e d,. Z U z prgušeh s kors se ourerov rsormcj. U, rd se o koecjem ourerovog red z koje zmšjmo d umjeso o prrodom roju ovse o ekoj eprekdoj vrj. Nešo preczje: ko žemo po uzoru zu perodče ukcje pomoću ourerovog red zr eperodču ukcju, zms ćemo d je je perod jko vek, j. d ež u +. o zč d zmsmo d su ugoe rekvecje pojedh susod ω = π/ rzmkue jko mo, j. z ω = π/ koj ež prem u. U om sučju gorj sum preć će u egr, j. do ćemo ω e e d d,. R Iegr uur zgrde desoj sr prehode recje zove se ourerov rsormcj ukcje, u ozc ω. Sog zrz desoj sr gorje recje možemo zps u oku : e d koj zovemo verz ourerov rsormcj jer m govor kko z poze ourerove rsormcje ω zrču pozu ukcju. Dosd smo or pžju kd je ourerov red gorj ourerov egr svro jedk ukcj. o će se dogod uvjek kd o zdovojv ekoko zv. Drcheovh usov ukrko pojedosvjeo: po djeovm re gk, j. derv je egr osovom ervu z rzvoj u red odoso je egr d cjem skupom R z ourerovu rsormcju re koč. U prks sve ukcje s zkom erprecjom perodč s z red; prguše s z egr zdovojvju e usove. 4

5 Ovso o prmje, mmo rze kose u gorjm egrm. ko se pr. u čsoj zc svj / spred o egr, u sgom procesrju em kos pred egrm, je u ekspoecjoj ukcj pod egrom kor πω umjeso ω d. Općeo, umjeso /π spred egr mogu doć o koje dvje kose kojm prozvod zos /π. ourerov rsormcj u djjem: m z dorh memčkh svojsv, od kojh mog mju zku, j. prkču erprecju. Iskmo ek: eros: zr ukcj je zr jhovh ; prozvod ukcje s kosom je e ukcje pomože kosom. pomk u prosoru vremeu: ko sg ks prosoro vremesk ovso o erprecj vrje z zos, kve "pomkue" ukcje jedk je poze ukcje pomožeoj s korom ep - ω. smerčos: ko shvmo ko pozu ukcju rčumo jeu dke od, dojemo pozu ukcju zrčuu u suprooj vrj vrj s mus predzkom pomožeu s odgovrjućom kosom z gorj ok ormu j kor je π. dervcje: ko zmo eke ukcje, jee dervcje je je pomože korom ω. prozvod kovoucj: prozvod ukcj je kovoucj jhovh oro - kovoucje ukcj je prozvod jhovh. Buduć u prks promrmo smo ree ukcje, j. ukcje čje vrjedos su re rojev, pogodo je z koj je usov očgedo kompeksu ukcju d je org e opš kompeks ego re ukcj. j se usov svod određeu smerčos - kžemo: mor hermsk odoso mor vrjed - ω = ω*, gdje je s * ozčeo kompekso kojugrje. Vzueu smerčos možemo uoč s doje ske pozcj vrj u kompeksoj rv: Im ω -ω ω* Re Žemo z svku čku reprezer mpudu zu, o možemo uč pr. pomoću ske u oj ko d mpud ude prkz preko zsćej svjee oje, z oom oje. Npr. jeo ozčv mpudu u, mksmo zsće oj ozčv mksmu mpudu. Crveo ozčv zu, j. ku od, zeeo, pvo 4. Sd pr. jed om jegov zgedju ovko u sred jedodmezo prkz, j. presjek kroz recproč prosor, deso dvodmezo prkz prem gore opsom prvu: 5

6 Dv om jhov zgedju ovko: Ako mmo jedosv mpus kose mpude određeog rjj, pr. rjj mpude, jegov grk je ok - Žemo odred jegov spekr, j. poree rekvecje mpude z proksmrje og mpus susodm, određujemo jegovu. Iegr z decje ko zrčuvj dje j. m ok = s /, 6

7 Ako smo m koč z od N = + mpus gorjeg ok, recmo sv duže, u jedokm rzmcm duže d, umjeso zrčuvj kompcrjeg egr, z pozvj gorje se može ko do og z mpus uzevš u ozr svojsvo eros svojsvo ozrom pomk u vremeu/prosoru poze vrje. Prvo m o svojsvo dje d pojed od h N mpus oj ervu < k d-, k d + > z ek k zmeđu - m : = e -kd s /. Leros povč d z dovje ukupe re sr pojedče z k = -,...,, j. = k e -kd s / = = s / e d e d ++ e -d + e -d e -d = = s / Re- e -+d / - e -d = = s / snd/ / sd/ ko pr. z mpus rup zsou šre s rzmkom dojemo ok Pr rčuju moguće je zjeć rču s kompeksm egrm jer se svk ukcj može rsv zr pre ukcje grk smerč s ozrom y-osu epre grk smerč s ozrom shodše: ko mmo ukcju zdu ormuom, možemo ju zps u oku gdje je = P + N, P = + -/, N = - /. Kosus je pr ukcj, sus je epr ukcj. Iegr epre ukcje po smerčom ervu je u, egr pre ukcje po smerčom ervu jedk je dvosrukom egru se ukcje po desoj poov erv. Produk pre epre ukcje epr ukcj, p uduć je e ω = cos ω + s ω uvršvje u ormuu z dje d je pre ukcje re ukcj, epre ukcje čso mgr ukcj. Ako uzmemo u ozr gorj rsv prozvoje ukcje u ok = P + N sjed d je od gdje je ω= ω ω, ω = P cosωd, ω = N sωd 7

8 eorem o kovoucj kovoucje je produk se pomoću gorjeg č prkz može kođer zoro prkz. Opso, kovoucj dvje ukcje doje se superpozjom jede svkoj pozcj druge može vrjedošću prve u oj čk e srjem svh h superpozcj. Memčk decj kovoucje dvje ukcje g je g u g udu. Kovoucj krug duž je krug pomku po duž duž pomku oko krug. * = Ako zmo duž krug, gorje kovoucje "vjk" doje se ko prozvod h svkoj pozcj: = 8.. Orogo ssem ukcj Oježmo s H skup djemčo eprekdh reh ukcj posmrh segmeu [, ]. Ovj skup če sve eprekde ukcje segmeu [, ] s skjučejem, možd, kočog roj prekd prve vrse kočog roj čk okojvog prekd. Skup H orzuje vekorsk prosor d pojem R, +,. Decj 8... Sredje kvdro odsupje zmeđu ukcj, H dero je ormuom d, = d. 8.. Lko se provjer d je ormuom 8.. der merčk ukcj H, j. d je uređe skup H, d merčk prosor, vodeć rču d je d, = kko je =, [, ] s skjučejem, možd, kočog roj čk. Pr dokzu se može skors ejedkos Bujkovskog: g d d g d, koj vž z ree ukcje jede ree promjejve koje prpdju ks egrh ukcj R[, ]. 8

9 Dke, merčk prosor H je zprvo ormr vekorsk prosor kod kojeg je orm der ormuom d, =, H. Decj 8... Skr prozvod ; ukcj, H dermo ormuom ; = d. Decj Z ukcje, H kžemo d su orogoe segmeu [, ] ko m je skr prozvod jedk u. Decj Z z, H, N 8.. kžemo d je orogo segmeu [, ] ko je, j,, j,,..., j d, j, j,,... Decj Z orogo z d s 8.. kžemo d je oroormr ko svk od jegovh čov m ormu jedku jed, j. =, N. vrdj 8... Svk orogo z može se rsormr u oroormr. 8.. ourerov redov Decj 8... ourerovm redom ukcje H po oroormrom zu H, N 8.. zvmo ukco red ok c c c c 8.. u kojem su koecje c, c,..., c,... der ormuom c = d, N. Ove koecjee zvmo ourerovm koecjem ukcje H po oroormrom zu 8... Iz vedee decje 8... pojm ourerovog red sjed d se ukcj H može prdruž ourerov red ok 8.. po oroormrom zu 8.., šo smočk pšemo c Nvedeo prdružvje e dje m prvo o zkjučvju kovergecje prdružeog ourerovog red ukcj k oj ukcj, ko d je poreo dodo zr pj kovergecje ourerovog red. Npomemo d ko preposvmo d segmeu [, ] vž: = c

10 d pr ome red d desoj sr jekos 8..4 zdovojv usove o egrcj ukcoog red č po č, od možejem jedkos 8..4 s ukcjom, N egrrjem dojee jedkos u grcm, č po č dojemo d c, jer je po preposvc z 8.. oroormr o predsvj ormo oprvdje z č derj ourerovh koecje u prehodoj decj 8... eorem 8... Od svh erh komcj dh s = k kr, N, =,,..., jmje sredje kvdro odsupje od ukcje H m prcj sum ourerovog red ukcje H po oroormrom zu 8... Dokz: Kko je kko je o je d, = d d d d k d kc d k d c d, = Ako sd s dese sre dodmo oduzmemo d c d k, k c +, mmo : k. d, = d + c k c, odvde sjed d d, m jmju vrjedos ko je k = c =,...,, j. kd je jedk oj prcjoj sum ourerovog red ukcje po orormrom zu 8... Posjedc 8... Vž jedkos: d, c c = d Iz jedkos 8..5 sjed d vž ejedkos: Odvde sjed d red c kovergr vž c Nejedkos 8..6 poz je ko Besseov ejedkos d, N. c d Iz kovergecje red c sjed d z c ourerovh koecje kovergr k u. Npomemo d je pore usov z kovergecju red d opš č ež u.

11 Decj 8... Z z ukcj H N 8..7 kžemo d kovergr u sredjem k ukcj H segmeu [, ] ko z > posoj prrod roj N = N kv d je šo je ekvveo s m d d <, z > N,. Deru kovergecju krko ozčvmo u oku:, [, ]. Npomemo d ov kovergecj predsvj specj sučj kovergecje u merčkom prosoru. vrdj 8... Ako z ukcj H N kovergr u sredjem k ukcjm segmeu [, ], od vž =, [, ] s skjučejem, možd, kočog roj čk. Dokz: Zs, čos vrdje 8... sjed z poze ejedkos d ; d ; + d ; decje pojm sredjeg kvdrog odsupj. sr. eorem 8... Ako z ukcj d s 8..7 rvomjero kovergr k ukcj segmeu [, ], od o kovergr u sredjem segmeu [, ]. eorem Pore dovoj usov d ourerov red ukcje H po oroormrom zu 8.. kovergro u sredjem k ukcj segmeu [, ] d je s jedkošću : d, c = gdje su c, c,..., c,... ourerov koecje ukcje po oroormrom ssemu 8... Posjedj jedkos zv se Prsevov jedkos. Dokz: Iz mmo: c d S, = d, N, pr čemu je S prcj sum ourerovog red po ssemu 8... čos eoreme sjed zog m d S, = kko je d = c Zvore oroormr ssem ukcj Decj Z oroormr ssem z H, N kžemo d je zvore u skupu djeomčo eprekdh ukcj H ko ourerov red prozvoje ukcje H po om oroormrom zu kovergr u sredjem k ukcj.

12 Iz de decje eoreme o poreom dovojom usovu z kovergecju u sredjem ourerovog red ukcje H po oroormrom ssemu 8.. sjed čos sjedeće vrdje: vrdj Prsevov jedkos predsvj pore dovoj usov d oroormr ssem d s 8.. o zvore u skupu H. Z zvore oroormr z 8.. vž sjedeć eorem: eorem Ako je ukcj H orogo ukcj u zvoreom ssemu H, N, od je = segmeu [, ] s skjučejem, eveuo, kočog roj čk. eorem Ako ukcje H mju s ourerov red zvoreom oroormrom ssemu, od je = segmeu [, ] s skjučejem, možd, kočo mogo čk. Dokz: Ako ukcje mju s ourerov red, od z S prcjh sum og red kovergr u sredjem k m ukcjm, p čos vrdje sjed z m d, S =, m d, S = ; d ; d ; S + d S ;, N. eorem Ako ourerov red ukcje H po zvoreom oroormrom ssemu 8.. uormo kovergr segmeu [, ] k ukcj, od je jegov sum jedk ukcj, j. c, [, ] s skjučejem, možd, kočog roj čk. Npomemom d eorem dje dovoj usov pr kojem se ukcj H može rzv u ourerov red po ukcjm H zvoreog oroormrog ssem. Vrjed sjedeć eorem : eorem rgoomerjsk ssem ukcj je zvore u skupu djeomčo eprekdh ukcj rgoomerjsk ourerov redov Ukoko su ukcje dere ormuom cos [ + ] + s [ + ],, R, od prpd ukco red zovemo rgoomerjskm redom ukcj zpsujemo g u oku: cos [ + ] + s [ + ]. * Buduć d je s [ + ] cos [ + ], prmjeom Weersrssovog usporedog krerj z redove sjed d rgoomerjsk red * kovergr psouo uormo R, pod usovom d su redov reh rojev psouo koverge. Poseo mjeso među ourerovm redovm zuzmju zv. rgoomerjsk ourerov redov. U mogm proemm zke, hemje, memke d. meće se pje d se perodč ukcj : R R osovog perod prkže u oku rgoomerjskog poom, opšje, rgoomerjskog red. Nek je ukcj perodč s osovm perodom. Svkoj djemčo eprekdoj ukcj posmrom rzmku, u R duže odgovr ourerov red cos s,

13 koj se česo zv rgoomerjsk ourerov red. Brojev, se zovu ourerov koecje u rgoomerjskom ssemu određuju se pomoću sjedećh ormu: cos d, =,,...; d s d, =,,..., Ako je rzmk, smerč oko shodš, odoso ko je, =,, od se u sjedeć dv sučj rčuje ourerovh koecje može zo pojedosv: ko je pr ukcj, j. ko je =, od je / / d / d, p ourerove koecjee možemo rču sjedeć č: / 4 cos d z =,,,... = z =,,...; ko je epr ukcj, j. ko je =, od vrjed d je / / d, p ourerove koecjee možemo rču sjedeć č: = z =,,,... / 4 s d z =,,.... Sčo ko kod yorovog red ukcje ovdje se posvjju dv pj:. D ourerov red ukcje kovergr?. Ako ourerov red kovergr u čk R k roju S, d je od S =, j. d koverge red predsvj ukcju? Proemk s kovergecjom opšh ourerovh redov je jko opšr mog pj još uvjek su d odgovor. Pj.. su rješe sjedećom Drcheovom eoremom. eorem Preposvke z ukcju : [, ] R su zv. Drcheov usov: posoj koč skup A [, ] ko d je eprekd ukcj u svkoj čk skup [, ] \ A. Ukoko je A, od u svkoj čk skup A ukcj m skok prve vrse ; posoj podje sudvzj = <... < < <... < = segme [, ] kočo mogo djeov kv d je ukcj mooo svkom segmeu [, ] =,...,. Zkjučk: ourerov red ukcje kovergr z svk re roj. Nek je S : R R ukcj koju j red der. Ako je eprekd u čk,, od je = S. Ako ukcj m prekd u čk,, od je S =. v N krjevm segme [, ] je S = S =. Ako ukcj je perodč, od se je resrkcj sm ukcj može perodčk produž do ukcje * dere skupu reh rojev. 3

14 Dokzuje se d vrjed sjedeć eorem o kovergecj ourerovog red ukcje o jegovoj povezos s ukcjom, e o vez rgoomerjskh redov s ourerovm redovm. eorem Nek je : R R perodč ukcj s osovm perodom - perodčko prošreje eke druge ukcje koj je der ekom rzmku I u R koče duže. Ako su ukcj je zvod ' djemčo eprekde ukcje odoso, ko je po djeovm gk ukcj rzmku I, od z svk R vrjed: = cos s. Pr ome prehod jedkos vrjed u smsu kovergecje po čkm. Ako je uz vedee usove eoreme ukcj još eprekd skupu R, od je ourerov red kovergr po čkm k R, jer u čkm eprekdos ukcje vrjed : =. Ko eorem eorem dje dovoje usove z rzvoj ukcje u ourerov red. U skdu s vedem u uvodom djeu ovog pogvj, kovergecj ourerovog red k zdoj ukcj odos se šru ksu ukcj, ego šo su ukcje s djemčo eprekdm zvodom. Moguće je kosrus eprekdu ukcju čj ourerov red e kovergr. Lko se dokzuje čjec d ko je perodč ukcj eprekd R ko m djemčo eprekd prv zvod, od je ourerov red rvomjero kovergr k R. Jso je d je rgoomerjsk ourerov red sovremeo red rgoomerjskh ukcj. No, d je svk rgoomerjsk red ujedo ourerov red? Odgovor ovo pje je egv, jer pr. red s kovergr uormo segmeu [, - ] < <, je ourerov red eke ree ukcje jede ree promjejve. Prmjer Nek je * zv. ps sw-ooh ukcj koj je - perodčko prošreje ukcje y = zde ormuom ko sc: =,,,,, y * 4

15 Zd ukcj je očo djemčo eprekd segmeu [, ], p joj om segmeu odgovr rgoomerjsk ourerov red.. Rčujem koecje ourerovog red zde ukcje, dojemo d je ourerov red pse ukcje * ukco red s s s3 s 4... s. * 3 4 Kko je prv zvod *' zde ukcje * djemčo eprekd segmeu [, ], o osovu prehode eoreme zmo d red * kovergr k * - + * + / z svk R. Poseo u čkm u kojm je zd ukcj * eprekd, j. u čkm R z koje je k +, k Z, ourerov red * kovergr k *, j. u svkoj od h čk vrjed: * s. Česo je od prkčog eres zps ourerov red ukcje u ekvveom kompeksom oku. Ako su, ourerov koecje djemčo eprekde ukcje segmeu [, ] u rgoomerjskom ssemu, od se ko pokže d vrjed: k cos s = ce k, k gdje kompekse rojeve c k so ko zovemo ourerovm koecjem ukcje u rgoomerjskom ssemu, rčumo h prem ormu: k ck e d, k. Z Prmjemo d z kompekse ourerove koecjee vrjed d je c k ck. kođe se ko pokže d je vez zmeđu reh ourerovh koecje, kompeksh ourerovh koecje c zd sjedećm ormum koverzje : k = c + c - Re c, c c - Im c, c =, c =. N sjedećem prmjeru ćemo pokz ekvveos zmeđu reog kompeksog ok z rgoomerjske ourerove redove. Prmjer Nek je * ukcj ko u prmjeru d se, osovu dojeog rezu u om prmjeru, ko zkjuč d z sve R z koje je k +, k Z, vrjed: * s e., No, s rezu možemo do č šo ćemo prvo zrču kompekse ourerove koecjee c, od prem ormum o koverzj zrču ree ourerove koecjee, : k k c =, ck e d, k k ; Z, k = Re c =, Im c, N. Nek je prozvoj ukcj, djemčo eprekd zjedo s svojm zvodom, zd segmeu [, ]. Derjmo ukcju segmeu [, ] ormuom: 5

16 ,,,,, perodčk je produžmo R s perodom. Doje ukcj * zv se prm produžejem ukcje u čkm segme [, ], u kojm je ukcj eprekd, je ourerov red kovergr k, j. vrjed: cos, u čkm prekd zde ukcje sum jeog ourerovog red je jedk. ourerov koecje zrčuvju se po ormu: cos d z =,,,... Aogo možemo posmr epro produžeje zde ukcje :, z o, ], = -, z,,, z. ourerov red perodčkog prošrej * ukcje predsvj rzvoj zde ukcje segmeu [, ] u rgoomezrjsk red po susm: s, ourerov koecje se zrčuvju prem ormu s d z =,,... Zdk 8.4.*. zv. pru psu pr sw-ooh ukcju * koj je - perodčko,, rzvje u ourerov red. Zm prošreje ukcje zde ormuom prmjeom dojeog rezu dokže d je. 8 Upu. Zd ukcj je pr, p je, z =,,... Koecjee, z =,,..., dojemo prcjom egrcjom: z pr, z epr, dok je : d. Kko je zd ukcj * po djeovm gk perodč ukcj eprekd R, o je ourerov red kovergr k * R, j. z svk R vrjed d je 4 cos, odke z = dojemo d vrjed

17 8. 5. ourerov egr Ko šo smo vdje, o koj dovojo gk ukcj koj je perodč zdovojv Drcheove usove segmeu [, ] može se prkz u oku: cke, 8.5. k gdje se koecje c rčuju pomoću ormue: c k k e k d Uvođejem krće ozke : = / = uvršvjem zrz z c k z 8.5. u 8.5. mmo: k k e k e e k d k d. k e k d k e k Ako posmrmo grču vrjedos posjedjeg zrz kd + posjedčo uvođejem smjee k = dojemo d je: k m e d k e k d e d, d e d d Posjedj recj se u sručoj erur česo zv dvoj ourerov egr u kompeksom oku. Usov kovergecje ourerovog egr mogu se ormur sjedeć č: ukcj : R R je psouo egr ukcj, j. d, ukcj zdovojv Drcheove usove svkom kočom rzmku u R. Ako su zdovoje usov, od vrjed:, eprekd u, e d e d, m prekd prve vrseu Recju možemo ps u oku: d e ourerov egr u reom oku d s d = d cos d d = d cos d d s d. Korseć osou pros kosuse ukcje mmo d je cos d m cos d m korseć osou pros suse ukcje mmo d je cos d s d m s d. cos d, 7

18 Sd ourerov egr možemo ps u krćem oku : d cos d d = cos d Posmrjmo recju Iegr promjejve d mmo: p ourerov egr možemo ps ko: 8.6. ourerov rsormcj e d možemo smr ukcjom ree S e d, 8.6. e S d Npomemo d se česo umjeso ozke S pše. Decj Nek je ukcj psouo egr ek zdovojv Drcheove usove o kom kočom ervu u R. d ukcju e d zovemo kompeksm ourerovm kom ukcje ourerovom rsormcjom, pr čemu ukcju zovemo orgom o krće pšemo u oku: [ ] =. Decj Ukoko posoj ourerov egr d recjom 8.5.4, od ukcju e d zvmo verzom ourerovom rsormcjom ukcje možemo krće ps: [] = Iverz ourerov rsormcj u reom oku Posmrjmo recju Prmjeom dcoe eoreme ovu recju dojemo: Uvodeć krće ozke: d cos d d s s d s d s d. d cos d cos cos d cos d 8

19 9, s, cos d d možemo ps. s cos d Osov svojsv ourerove rsormcje Nek su zde ukcje g ree promjejve, ko ourerove rsormcje ovh ukcj G respekvo. d vže sjedeć osov svojsv ourerove rsormcje : svojsvo eros [ + g ] = + G, pr čemu su prozvoje ree kose. svojsvo skrj, gdje je re kos. 3 svojsvo moducje e, gdje je prozvoj re kos. 4 svojsvo pomk e, gdje je τ prozvoj re kos. 5 svojsvo zvod org., ' 6 svojsvo zvod k., d d d d 7 svojsvo egr org. d 8 svojsvo kovoucje * G d g g. 9 svojsvo prozvod kovoucje sk * G d G g, gdje, ]. Prsevov jedkos d d d. Specj sučjev ourerove rsormcje su ourerov kosus rsormcje ourerov sus rsormcj.

20 ourerov kosus rsormcj Preposvmo d je ukcj org d je pr ome još pr. d, korseć recje de s 8.6.3, mmo: cos d cos d, Uvršvjuć posjedje zrze u recju dojemo: cos d. s d. Decj ourerov kosus k ourerovu kosusu rsormcju org dermo ormuom: S cos d ourerov sus rsormcj Preposvmo d je ukcj org, d je pr ome još epr. d, korseć recje de s mmo:, s d sd Uvršvjuć posjedje zrze u jedkos dojemo: s d. Decj ourerov sus k ourerovu susu rsormcju org dermo recjom: S s d. Prmjer Nć ourerov egr ourerovu rsormcju ukcje zde ormuom:,, e,,. Rješeje: Grk ukcje d je sjedećoj sc: ukcj očo zdovojv Drcheove usove. Ispjmo još d je zd ukcj psouo egr: e d e d e d m R, u j. ukcj je psouo egr. Korseć jedkos mmo: u

21 e d e e d e d. N osovu jedkos 8.6. ko dojmo zrz z ourerov egr de ukcje ko e d e d. Npomemo d ukcj g zd ormuom:,, g e,,. je psouo egr, e se z ju e mogu odred ourerov rsormcj ourerov egr. Prmjer Nć ourerov egr ourerovu rsormcju ukcje zde ormuom,,,,,,. Rješeje: N sjedećoj sc je d grk zde ukcje: Zd ukcj je očo psouo egr. Buduć d je još pr ukcj, možemo kors orsce vedee z kosusu ourerovu rsormcju, e mmo: sd, s S cos d cos d cos d, s S cosd cos d. Prmjer Nć ourerov egr ourerovu rsormcju ukcje zde ormuom :,,,,,,,,,. Rješeje: N sjedećoj sc je prkz grk zde ukcje:

22 Zd ukcj je psouo egr. Buduć d je ukcj još epr, možemo kors ormue vedee z susu ourerovu rsormcju, p mmo: cos d, S sd sd s d sd 4s cos, 4s 4 s S s d coss d cos s d Zdc z povjje, uvrđvje provjervje Zdk Re ukcj jede ree promjejve sg prkz je s Nps čk ok zde ukcje, zm usov d se ukcj može rzv u ourerov red. Izrču ourerove koecjee u rzvoju zde ukcje u ourerov red. c Grčk predsv sumu prvog drugog č u dojeog ourerovog red sp d se ourerov red egr može do egrrjuć u doje ourerov red od č po č. S ,, Zdk Zd je ukcj ormuom:,. Ncr grk zde ukcje, jeog prog produžej ervu -, 4 perodčkog prošrej * skupu reh rojev R ukcje, zm ps čk ok sp eprekdos ukcje *.

23 gdje je Rzv u ourerov red zdu ukcju po kosusm sp d doje red kovergr k * R. c Ncr grk eprog produžej segmeu [-, ] zde ukcje 4 perodčkog prošrej * skupu R ukcje. d Rzv u ourerov red zdu ukcju po susm sp d doje red kovergr k * R. Zdk Odred spekr pozv re kos. ourerove rsormcje ukcje j. odred ko je Gussov ukcj : = ep, [ I. =. II. =. III. =. IV. =. ] Zdk Odred uz preczo eoresko orzožeje posupk rješvj spekr ourerove rsormcje ukcje ko je re ukcj jede ree promjejve der ormuom :=. [ I. =. II. =. III. =. IV. =.]