α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.

Transcript

1 Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = = 6 7 = 6 / : ( 7) = 5 Vježb Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 44? Rezultt: = Zdtk (Duj, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut čiji jed vjski kut izosi 4? Rješeje ičic Mogokut kojemu su jedke sve strice i svi kutovi zove se prvili mogokut ili prvili poligo Uutrji kut prvilog mogokut izosi: ( ) 8 α = Uutrji kut i pripdi vjski kut su suplemeti, tj zjedo imju 8 U zdtku je vjski kut α' = 4 Budući d mor biti: pišemo: α + α' = 8, = = = 56 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 = 56 / ( ) 8 = = = 6 4 = 6 = 5 rvili mogokut im 5 stric ičic Zbroj uutrjeg i pripdog vjskog kut izosi 8 Ukup sum svih tih zbrojev kutov izosi 8 Budući d je zbroj svih uutrjih kutov ( ) 8, td je zbroj svih vjskih kutov 8 ( ) 8 = = 6 Sum svih vjskih kutov je 6 Ako je vjski kut jedk 4, zči d je riječ o petesterokutu jer je 6 : 4 = 5 Vježb Koliko stric im prvili mogokut čiji jed vjski kut izosi 45? Rezultt: = 8

2 Zdtk (Mrko, gimzij) Kostruirjte kvdrt s stricom duljie 4 cm te g rotirjte oko jegovog središt simetrije z 45 Kolik je površi osmerokut AA'BB'CC'? Rješeje ičic = 4 cm C' D C D' α S B' A M B A' Dulji dijgol kvdrt ABCD je AC = BD = Trokute AA'S, A'BS, BB'S, B'CS, CC'S, C'DS, DD'S, D'AS zivmo krkterističi trokuti prvilog osmerokut AA'BB'CC' To su jedkokrči trokuti s kutom 6 α = = 45 8 suprot osovice Uočimo jedkokrč trokut AA'S ozt m je kut α = 45 i dulji krkov: AS odsjetimo se formul z površiu trokut: ovrši trokut AA'S je zto jedk: AC = A' S = = = b si γ = c si β = b c siα AA' S = AS A' S si α = si 45 = = 4 8 Td je površi osmerokut: = AA' S = = 8 = 4 = 6 cm ičic ovršiu osmerokut AA'BB'CC' možemo ći ko zbroj površie kvdrt ABCD i površi četiri trokut: AA'B, BB'C, CC'D i DD'A Trokuti su sukldi! S slike se jso vidi AB =, SM =, SA' =, MA' = SA' SM = = Td je površi trokut AA'B jedk: ovrši osmerokut je sd: AB MA' AA ' B = = = 4

3 8 = ABCD + 4 AA'B = = + 4 = + = = 6 cm 4 Vježb Kostruirjte kvdrt s stricom duljie 5 cm te g rotirjte oko jegovog središt simetrije z 9 Kolik je površi stlog lik? Rezultt: 5 cm Zdtk 4 (Id, gimzij) U ekom koveksom poligou broj dijgol četiri put je veći od broj stric Koliko im stric tj poligo? Rješeje 4 Mogokut je dio rvie omeđe dužim Koveksim mogokutom zivmo mogokut u kojem vrijedi d je spojic bilo koje dvije točke tog mogokut sdrž u jemu B A Dijgol mogokut je duži koj spj dv vrh mogokut koji e pripdju istoj strici Ukup broj dijgol terokut (mogokut s stric) je: Zbog uvjet zdtk slijedi: ( ) ( ) D = = 4 /: = 4 / = 8 = Vježb 4 U ekom koveksom poligou broj dijgol tri put je veći od broj stric Koliko im stric tj poligo? Rezultt: = 9 Zdtk 5 (Mrko, gimzij) Kolik je dulji jdulje dijgole prvilog dvdeseterokut strice duljie 8? Rješeje 5 Svki prvili mogokut s stric sstvlje je od jedkokrčih sukldih trokut Kut pri vrhu svkog jedkokrčog trokut izosi: 6 α = i zove se središji kut mogokut Svki jedkokrči trokut iz kojih je prvili mogokut sstvlje zove se krkterističi trokut U mogokutu s prim brojem stric svkoj strici suprot leži stric, svkom vrhu suprot leži vrh Z prvili dvdeseterokut središji kut izosi: = 6 6 α = = 8 α =

4 r 8 r Dulji koj spj dv vrh koji isu susjedi zove se dijgol mogokut Svkom se prvilom mogokutu može kružic opisti Dulji jdulje dijgole jedk je duljii promjer opise kružice: S slike vidi se: d = r r r 9 si 9 = r = d = = = 54 r si 9 si 9 si 9 Vježb 5 Kolik je dulji jdulje dijgole prvilog dvdeseterokut strice duljie? Rezultt: 69 Zdtk 6 (Seve, hotelijersk škol) Odredite broj dijgol prvilog mogokut kojemu je sum uutrjih kutov jedk 9 Rješeje 6 rvili mogokuti (poligoi, -terokuti) imju međusobo jedke strice i međusobo jedke sve kutove Sum uutrjih kutov mogokut jedk je: ( ) K = 8 Broj dijgol svkog mogokut izosi: ( ) D = Sd pišemo: 8 = 9 /:8 = 5 = 7 To je sedmerokut, broj dijgol je: 7 ( 7 ) 7 4 D(7) = = = 4 Vježb 6 Odredite broj dijgol prvilog mogokut kojemu je sum uutrjih kutov jedk 7 Rezultt: 9 4

5 Zdtk 7 (Seve, hotelijersk škol) Odredite broj dijgol prvilog mogokut kojemu je uutrji kut jedk 5 Rješeje 7 rvili mogokuti (poligoi, -terokuti) imju međusobo jedke strice i međusobo jedke sve kutove Veliči uutrjeg kut prvilog mogokut rču se formulom: ( ) 8 α = = Broj dijgol svkog mogokut izosi: ( ) D = Budući d je uutrji kut jedk 5º, vrijedi: = 5 /:45 4 = 4 = = 4 = = 8 To je osmerokut, broj dijgol izosi: 8 ( 8 ) 8 5 D(8) = = = Vježb 7 Odredite broj dijgol prvilog mogokut kojemu je uutrji kut jedk 6 Rezultt: 7 Zdtk 8 (Seve, hotelijersk škol) Odredite broj dijgol prvilog mogokut kojemu je vjski kut jedk 6 Rješeje 8 rvili mogokuti (poligoi, -terokuti) imju međusobo jedke strice i međusobo jedke sve kutove Veliči vjskog kut prvilog mogokut d je izrzom: 6 α ' = 8 8 = [ Uutrji kut i pripdi vjski kut su suplemeti, tj zjedo imju 8 ] Broj dijgol svkog mogokut izosi: ( ) D = Zto je: 6 = 6 = 6 To je šesterokut, broj dijgol izosi: D(6) = = = 9 Vježb 8 Odredite broj dijgol prvilog mogokut kojemu je vjski kut jedk 7 Rezultt: 5 5

6 Zdtk 9 (Seve, hotelijersk škol) Ako se dv put poveć broj vrhov prvilog -terokut, mjer jegovog uutrjeg kut poveć se z 5 Koliko dijgol im tj mogokut? Rješeje 9 rvili mogokuti (poligoi, -terokuti) imju međusobo jedke strice i međusobo jedke sve kutove Veliči uutrjeg kut prvilog mogokut d je izrzom: ( ) 8 α = = 8 Ako se dv put poveć broj vrhov prvilog -terokut, mjer jegovog uutrjeg kut izosi: α = 8 8 = Budući d se mjer uutrjeg kut povećl z 5º u odosu prethodi uutrji kut, pišemo: = = = / = 8 5 = = 8 /: 5 = To je dvesterokut p je broj dijgol jedk: 9 D() = = = 54 Vježb 9 Ako se tri put poveć broj vrhov prvilog -terokut, mjer jegovog uutrjeg kut poveć se z 48 Koliko dijgol im tj mogokut? Rezultt: 5 Zdtk (Seve, hotelijersk škol) Kutovi peterokut odose se ko : : 4 : 5 : 6 Odredite ih Rješeje Zbroj kutov u peterokutu je: K = 8 K(5) = 5 8 = 8 = 54 Budući d se kutovi u peterokutu odose ko : : 4 : 5 : 6, zpist ćemo: α : β : γ : δ : ε = : : 4 : 5 : 6 α = k β = k γ = k α+ β + γ + δ + ε = k+ k + k + k + k = k= k= δ = 5 k ε = 6 k /: 7 Kutovi su: α = k α = 7 α = 54 β = k β = 7 β = 8 γ = γ = γ = 4 k δ = 5 k δ = 5 7 δ = 5 ε = 6 k ε = 6 7 ε = 6 6

7 Vježb Kutovi peterokut odose se ko : : 5 : 4 : 7 Odredite ih Rezultt: α = k α = 7 α = 54 β = k β = 7 β = 54 γ = γ = γ = 5 k δ = 4 k δ = 4 7 δ = 8 ε = 7 k ε = 7 7 ε = 89 Zdtk (Seve, hotelijersk škol) Kutovi -terokut odose se ko : : 4 : 5 : : : ( + ) Odredite ih (u ovisosti o ) Rješeje Sum svih uutrjih kutov mogokut izosi: K = π Budući d se kutovi u -terokutu odose ko : : 4 : 5 : : : ( + ), zpist ćemo: Kutovi su: 4 α : α : α : α : : α : α = : : 4 : 5 : : : + 4 } α = k, α = k, α = 4 k, α = 5 k,, α = k, α = + k 4 α + α + α + α + + α + α = π k + k + 4 k + 5 k + + k + + k = π k = π ( ) + vrijedi formul: = ( ) + k ( ) + = ( ) π k + = ( ) π π ( + ) k π = k = π / k = + ( ) ( ) ( ) ( ) π 4π α = k = = + + α = k π 6π α = k α = k = = + + α = ( + ) k ( ) π ( ) ( + ) π α = + k = + = ( + ) ( + ) Vježb Kutovi četverokut odose se ko : : : 4 Odredite ih Rezultt: α = β = γ = δ = 6, 7, 8, 44 7

8 Zdtk (Seve, hotelijersk škol) ostoji li peterokut kojem se uutrji kutovi odose ko : : : 4 : 5? Rješeje Zbroj kutov u peterokutu je: K = 8 K(5) = 5 8 = 8 = 54 Budući d se kutovi u peterokutu, po pretpostvci, odose ko : : : 4 : 5, zpist ćemo: α : β : γ : δ : ε = : : : 4 : 5 α = k β = k γ = k α+ β + γ + δ + ε = k+ k + k + k + k = k= k= δ = 4 k ε = 5 k /:5 6 Kutovi su: α = k α = 6 α = 6 β = k β = 6 β = 7 γ = k γ = γ = 6 8 δ = 4 k δ = 4 6 δ = 44 ε = 5 k ε = 5 6 ε = 8 Uutrji kut ε = 8º, to zči d dvije susjede strice leže istom prvcu p čie, uprvo, jedu stricu ε < 8 ε = 8 ε ε Dkle, tkv peterokut e postoji A Vježb ostoji li četverokut kojem se uutrji kutovi odose ko : : : 4? Rezultt: Ne Zdtk (Seve, hotelijersk škol) Zd je mogokut s 5 vrhov,,, 4,, 47, 48, 49, 5 Iz vrh povučee su dijgole do vrhov i 49 Ako se iz zdog pedeseterokut izbce trokuti i 5 49, koliko dijgol im dobivei mogokut? Ako je početi mogokut bio prvil, koliki su kutovi ovog mogokut? Rješeje Ako iz zdog mogokut s 5 vrhov,,, 4,, 47, 48, 49, 5 (pedeseterokut) izbcimo trokute i 5 49 dobije se mogokut koji im dvije strice mje, tj mogokut s 48 vrhov,, 4,, 47, 48, 49 Broj jegovih dijgol je: ( ) 48 ( 48 ) D = D(48) = = = 8 8 A

9 Svi uutrji kutovi ovog mogokut (osim jedog) bit će isti ko i u strom mogokutu: α = = = 5 Izuzetk je uutrji kut s vrhom Z jeg vrijedi: = = = = trokuti i 5 49 su jedkokrči = 8 78 = 78 = = Vježb Zd je mogokut s vrhov,,,, 8, 9, Iz vrh povučee su dijgole do vrhov i 9 Ako se iz zdog deseterokut izbce trokuti i 9, koliko dijgol im dobivei mogokut? Rezultt: Zdtk 4 (Medo, hotelijersk škol) Rješeje 4 Kolik je površi prvilog osmerokut strice =? α Vježb 4 Budući d z prvili mogokut ili terokut vrijedi: 6 α α =, = ctg, možemo pisti: 4 = 8 ( ) ctg ( ) ctg 5 α 45 = = = = = 4 8 Kolik je površi prvilog šesterokut strice 4 =? Rezultt: 45 Zdtk 5 (4A, hotelijersk škol) Kolik je sum uutrjih kutov prvilog mogokut kojemu je broj dijgol pet put veći od broj stric? Rješeje 5 Budući d je broj dijgol pet put veći od broj stric, pišemo: 9

10 ( ) = 5 / = = = = =, = rvili mogokut je triesterokut, sum uutrjih kutov izosi: K = ( ) 8 K = ( ) 8 = 8 = 98 = Vježb 5 Kolik je sum uutrjih kutov prvilog mogokut kojemu je broj dijgol sedm put veći od broj stric? Rezultt: 7 º Zdtk 6 (Iv, hotelijersk škol) Zbroj kutov ( + ) terokut jedk je polovici zbroj kutov terokut Dokži Rješeje 6 oovimo! Zbroj kutov terokut rču se po formuli: K = ( ) 8º Zto je: K = ( + ) 8 K = ( ) K = K K = K + + ( ) 8 ( ) 8 K = K = Vježb 6 Zbroj kutov terokut dvostruko je veći od zbroj kutov ( + ) terokut Dokži Rezultt: Dokz log Zdtk 7 (Iv, hotelijersk škol) Iz jedog vrh mogokut može se povući 7 dijgol Koliki je broj svih dijgol tog mogokut? Rješeje 7 Budući d se iz jedog vrh mogokut ( terokut) mogu povući dijgole, vrijedi: ( ) deseterokut D ( ) 7 7 = = = D 5 = = = = = Vježb 7 Iz jedog vrh mogokut može se povući 5 dijgol Koliki je broj svih dijgol tog mogokut? Rezultt: Zdtk 8 (Iv, hotelijersk škol) Ako se podvostruči broj stric prvilog mogokut, podvostruči se i jegov kut Koji je to mogokut? Rješeje 8 Veliči kut prvilog mogokut d je izrzom: ( ) 8 α = odvostručimo li broj stric veliči kut izosit će: ( ) 8 α ' =

11 Iz uvjet zdtk slijedi: ( ) 8 ( ) 8 4 α = α ' = / 4 ( ) = 4 8 = 8 4 = + 8 = 6 /: = To je trokut Vježb 8 Ako se podvostruči broj stric prvilog mogokut, broj dijgol poveć se deset put Koji je to mogokut? Rezultt: = 4, kvdrt Zdtk 9 (Iv, hotelijersk škol) ostoji li prvil mogokut z koji jed kut izosi 6º? Rješeje 9 oovimo! Veliči kut prvilog mogokut d je izrzom: Zto je: ( ) α = ( ) 8 8 = 6 / ( ) 8 = = = 6 To je prvil 8 terokut = 6 /: = 8 Vježb 9 ostoji li prvil mogokut z koji jed kut izosi 5 π? 8 ( ) π 5 π 8 6 Rezultt: = / 8 ( ) = 5 = Ne postoji 8 π Zdtk (Iv, hotelijersk škol) ovrši krug upisog u prvili šesterokut izosi π Kolik je površi šesterokut? Rješeje Iz površie krug dobije se polumjer: r π = π /: π r = / r = = ovrši prvilog mogokut kome je zd polumjer upise kružice r rču se po formuli: r α = r tg Zto je: = 6 α 6 α = 6 6 = 6 tg = 6 tg = 6 = r = Vježb ovrši krug upisog u prvili šesterokut izosi 9 π Kolik je površi šesterokut? Rezultt: 8