Dinamica punctuui mateia supus a egatui Am studiat miscaea punctuui mateia ibe, adica miscaea punctuui mateia numai sub actiunea foteo exteioae diect apicate. Exista situatii in cae punctu mateia este obigat sa amana pe o anumita aietate (cuba sau supafata). z z M M O y O y x x I. Pe supafata. Coodonatee punctuui tebuie sa satisfaca ecuatia supafetei: (1) h ( t, ) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 1
Dinamica punctuui mateia supus a egatui II. Pe cuba. Coodonatee punctuui tebuie sa satisfaca ecuatia cubei cae este data de intesectia a doua supafete: h h 1 ( t, ) ( t, ) () In ambee cazui spunem ca punctu mateia este supus uno egatui geometice. Definitie: Numim egatua oice estictie de natua geometica (impusa pozitiei punctuui) sau cinematica (impusa itezei punctuui) impusa punctuui mateia afat in miscae. O egatua geometica este o estictie asupa pozitiei punctuui, o eatie inte coodonatee depozitie ae punctuui si eentua timpu t. O egatua cinematica este o estictie asupa itezei punctuui, o eatie inte coodonatee depozitie si de iteza ae punctuui mateia si eentua timpu t. Miscaea punctuui mateia M(m) pe o aietate tidimensionaa Σ (cuba sau supafata) epezinta un sistem mateia in inteactiune, aietatea actionand asupa punctuui cae ae tendinta sa o paaseasca. Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Postuatu ui Cauchy: Exista o fota R a caei actiune asupa punctuui mateia este pefect echiaenta cu actiunea aietatii Σ in sensu ca, daca pe anga fotee diect apicate punctuui mateia adaugam si fota R, atunci punctu se poate considea eibeat de egatui (adica s-a misca ca si cand a fi ibe). Postuatu ui Cauchy se mai numeste si pincipiu eibeaii punctuui mateia de egatui. Confom acestui pincipiu ecuatia difeentiaa a miscaii punctuui mateia este: F R ma F + R (3) - este fota sau ezutanta foteo diect apicate punctuui mateia (fota data) - este fota necunoscuta cae tebuie deteminata odata cu miscaea si cae se numeste fota de egatua sau eactiunea egatuii. Ea depinde de natua aietatii consideate. Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 3
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Spunem ca o aietate (cuba sau supafata) este pefect neteda (pefect ucioasa) daca ea nu se opune aunecaii punctuui mateia pe ea si deci fota R ae doa o componenta nomaa a aietate, nu si una tangentiaa. Asada in cazu unei aietati pefect netede (numita si egatua ideaa) eactiunea R este paaea cu nomaa n a aietate, adica R II n. R n In cazu in cae aietatea este o supafata data de ecuatia (1) atunci: R λ gad h (4) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 4
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Daca punctu mateia se misca pe o cuba data de ecuatiie () atunci eactiunea nomaa R este data de: R N N 1 R N 1 + N λ 1 gad h1 + λ gad h (5) Miscaea punctuui mateia pe o aietate pefect neteda se numeste miscae faa fecae Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 5
Dinamica punctuui mateia supus a egatui In eaitate, pentu o aietate eaa eactiunea R ae atat o componenta nomaa cat si o componenta tangentiaa, componenta tangentiaa opunandu-se aunecaii punctuui pe aietate. F f n N Pe o aietate eaa (in cazu miscaii eae) aem: R N + F f (6) Unde N este eactiunea nomaa coiniaa cu nomaa a aietate (cu n), ia F f este eactiunea tangentiaa cae se opune aunecaii punctuui pe aietate si se numeste fota de fecae. Asada ecuatia de miscae a punctuui mateia pe o aietate este: ma F + N (miscae faa fecae) ma F + N + (miscae cu fecae) F f Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 6
Dinamica punctuui mateia supus a egatui N Miscaea punctuui mateia pe o cuba fixa de casa C 1 Fie M(m) un punct mateia obigat sa se miste pe cuba: Ecuatia difeentiaa a miscaii este: d m F + N + Ff F + N1 + N + F f unde F N F dt h ( C ) : h este fota diect apicata 1 ( x, y, z) ( x, y, z) 1 + N λ 1 gad h1 + λ gad h f este fota de fecae (7) este eactiunea nomaa a cuba ia λ 1, λ sunt constante eae necunoscute (8) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 7
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Fota de fecae este coiniaa cu tangenta a cuba in punctu M, insa de sens conta itzei punctuui M (se opune miscaii): F f F f (9) N Maimea fotei de fecae este data de egea ui Couomb: F M F f k N (1) O F f unde k > este coeficientu de fecae specific cubei (sau supafetei), ia N este moduu eactiunii nomae N. Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 8
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Pentu a ezoa ecuatia (8) aem neoie de conditiie initiae: ) ( ) ( t t si de ecuatiie egatuio, ecuatiie (7). Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 9
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Penduu matematic Definitie: Numim pendu matematic un punct mateia geu afat in miscae pe un cec de aza dint-un pan etica. Admitem ca aceasta miscae se face faa fecae. Ecuatia miscaii: A O θ n N τ A M(m) mg y θ θ ( t), t [, T ] (11) adica miscaea depinde doa de un singu paametu, de unghiu θ. Ecuatia difeentiaa a miscaii este: ma F + N (1) x Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 1
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Adaugam conditiie initiae. Pesupunem ca miscaea incepe de pe axa Ox cu iteza pependicuaa pe aza cecuui. Asada: θ () () ( o Ox) (13) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 11
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Poiectam ecuatia (1) pe tangenta si pe nomaa pincipaa: d a a + ττ n + τ nn a dt n : m d τ : m dt N mg mg sinθ cosθ (14) (15) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 1
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Din ecuatia (14) aem: N m + mg cosθ θ & Tinem cont de faptu ca in miscaea cicuaa: si (15) deine: adica a cae adaugam conditiie initiae: d( & θ ) mg sinθ dt && g θ + sin θ θ () & θ () Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui (16) (17) (18) 13
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Cazu I. Daca osciatiie sunt mici atunci putem face apoximaea: ia ecuatia (17) deine: && g θ + θ g θ ( t) C1 cos t + C sin g t sinθ θ Ecuatia (19) este o ecuatie difeentiaa de odinu II, omogena si ae o soutie geneaa de foma: unde constantee C 1 si C se obtin din conditiie initiae. Se obsea ca miscaea este peiodica de peioada: (19) () T π (1) g Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 14
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Cazu II. Daca osciatiie sunt mai tinem cont de faptu ca mg este conseatia, adica exista V astfe incat: δ L mg gadv mg d + Expimam ucu mecanic eementa: 1N 3 d mg dv dx mg ( mg,) (pentu ca N d ) d ( dx, dy) V mgdx mgx dv Asada dt δ L dv d( T + V ) T + V h Obtinem: 1 m mgx h Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 15
Dinamica punctuui mateia supus a egatui unde h este constanta de integae. Fie A punctu de inatime maxima ( A ): La momentu t aem: () { ) ( 1 1 A A A x x g mgx m mgx m A g x x g A A ) ( Punem conditia ca miscaea sa fie osciatoie: g 4 < < < < < < < < g g g x A Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 16
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Fie α unghiu pe cae- face punctu mateia in pozitia x A. Atunci: da si din () si (3) aem: & θ θ & x A cosα x cosθ dθ g(cosθ cosα ) ± g(cosθ dt (3) cosα ) (4) unde semnu + coespunde cazuui in cae punctu uca, ia semnu - coespunde cazuui in cae punctu coboaa. Integand (4) obtinem: t t g θ θ dθ ± (cosθ cosα ) (5) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 17
Dinamica punctuui mateia supus a egatui t Consideam t si θ si ca miscaea ae oc din punctu de minim inspe punctu de maxim (punctu A). Atunci (5) deine: t g θ cosθ 1 sin (cosθ cosα ) θ dθ Tinem cont ca si (6) deine: g θ sin dθ α sin θ 1 g θ sin θ d α sin (6) θ (7) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 18
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Facem in (7) tansfomaea sinϕ si (6) deine: sin ( θ ) sin ( α ) t g ϕ notatie 1 k 1 sin ( θ ) k dϕ sin ϕ notatie cosϕ dϕ g F( k, ϕ) 13 integaa eiptica de speta I 1 θ θ cos d k (8) Pentu un sfet de peioada θ aiaza de a a α, deci ϕ aiaza de a a π/. Atunci: T π / dϕ π 4 4 F k, g (1 k sin ϕ) g (9) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 19
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Pentu cacuu peioadei T putem dezota in seie: 1 k sin ( 1 k sin ϕ) 1 1/ n n ϕ 1+ k sin 1 3... (n 1) ϕ +... + k 4... n In seia de mai sus pastam doa pimii doi temeni si atunci peioada deine: sin ϕ +... T π / π k 4 (1 + k sin ϕ) dϕ 4 + g g 4 π / π / 1 cos ϕ π π / sin ϕ dϕ dϕ sin ϕ 4 π π sin α α Daca foosim apoximatia: se obtine: T 4 α π 1 + g 16 Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 4 (3) (31)
Dinamica punctuui mateia supus a egatui y O N ϕ α mg x Exempu: Un punct mateia de masa m se misca pe supafata inteioaa a unui ciindu cicua de aza. Consideand supafata ciinduui absout neteda, axa ciinduui eticaa Oz si uand in consideae fota de geutate, sa se detemine miscaea punctuui si pesiunea pe cae acesta o execita asupa ciinduui. La momentu initia iteza punctuui cae se afa pe axa Ox este si face unghiu α cu oizontaa. z Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 1
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Ecuatia ciinduui: f ( x, y, z) x + y (3) Ecuatiie de miscae: ma mg + N f f f N λ gad f λ,, λ (x,y,) x y z In poiectie pe axe aem ecuatiie si conditiie initiae: (33) Ox : Oy : Oz : mx && λx, my && λy, mz && mg, x() ; y() ; z() ; x& () y& () z& () cosα sinα (35) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Din ecuatia (35c) se obtine: gt z t) z() ; + C t z& () + C ( 1 gt z ( t) + ( sinα) t (36) Eiminam λ din ecuatiie (35a) si (35b): mx && my && λx λy y x m( && xy xy &&) d dt ( xy & xy& ) La t aem: x & y xy& C 3 C3 x& ( ) y() x() y& () sinα (35) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 3
Dinamica punctuui mateia supus a egatui x& y xy& sinα Asada: (37) Pentu a afa pe x si y tecem a coodonate ciindice (foosim ecuatia de egatua (3) ). x cosϕ; y sinϕ; z z (38) Inocuind (38) in (37) aem: & ϕ sinϕ sinϕ cosϕ & ϕ cosϕ sinα ϕ t C cosα + & 4 ϕ sinα ϕ cosα t t : ϕ (39) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 4
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Din (38) si (39) putem afa ecuatiie de miscae in pentu coodonatee x si y, acestea adaugandu-i-se ecuatia(36): x t t cos cosα ; y sin cosα (4) Pentu a afa nomaa N tebuie sa cacuam aoaea paametuui λ. Din (4a) si (35a) aem: m cos α t t cos cosα λ cos cosα m cos α λ (41) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 5
Dinamica punctuui mateia supus a egatui Asada N m y cos α (x, ia aoaea absouta a eactiunii nomae este:,) (4) N m cos α m cos x + y N 1443 α (43) Cus 11. Miscaea punctuui mateia supus a egatui 6