MATEMATI^KA ANALIZA II

UNIVERZITET SV. KIRIL I METODIJ SKOPJE ELEKTROTEHNI^KI FAKULTET Boro M. Piperevski MATEMATI^KA ANALIZA II Skopje 4

G L A V A P R V A INTEGRALNO SMETAWE NA REALNA FUNKCIJA OD EDNA REALNA PROMENLIVA. NEOPREDELEN INTEGRAL Vo mnogu prolemi od rzni olsti n nukt, kko i vo priment, se sre}vme so neprekinti procesi ~ie opi{uvwe vsu{nost dovelo i do definirwe n mtemti~ki opercii. Tk, n primer, ko e poznt rvenkt n dvi`ewe n edno telo, t.e. zkonot n proment n ptot vo zvisnost od proment n vremeto s = s(t), tog{ so opercijt diferencirwe se no zkonot n rzint n dvi`eweto n to telo vo zvisnost od ds proment n vremeto v(t) =. Ako pk se postvi ortniot dt prolem, t.e. ko e poznt rzint v(t), se r ptot s(t), se do do poimot z nov opercij vo mtemtikt, sprotivn n opercijt diferencirwe... Poimite primitivn funkcij i neopredelen integrl.. Definicij.. Nek e dden funkcij f, definirn n [, ]. Diferencijilnt funkcij F velime dek e primitivn funkcij n funkcijt f n [, ] ko n toj segment funkcijt f e nejzin izvodn funkcij ili, {to e isto, ko n toj segment izrzot f()d e nejzin diferencijl pri {to F' + () = f(), F' () = f(). Zn~i, F'() = f(), odnosno df() = f()d, [,]. O~igledno e dek rweto primitivn funkcij z dden funkcij kko opercij e sprotivno n opercijt rwe iz-

Glv prv vodn funkcij, odnosno n opercijt diferencirwe. Ov nov opercij se vik integrirwe. d Bidej}i [F() + C] = F'() (C e konstnt, CR), zeleùvme dek ko F e primitivn funkcij n funkcijt f n segmen- d tot [, ], tog{ i F() + C isto tk e primitivn funkcij n f n istiot segment. Nek F e edn primitivn funkcij n funkcijt f n segmentot [, ]. ]e pokème dek so mnoèstvoto {F() + C CR} se ddeni site primitivni funkcii. Definirme nov funkcij G() = F() F(), [, ], kde {to F e koj ilo drug primitivn funkcij n funkcijt f n segmentot [, ]. Bidej}i G'() = F'() F'() = f() f() =, [, ], kko posledic n teoremt n Lgrn` se doiv G() = C, kde {to C e konstnt, CR, C = F() F(), od kde F() = F() + C, [, ]. Spored to, od proizvolnost n izorot n primitivnt funkcij F moème d zklu~ime dek e dovolno z dden funkcij f d se njde smo edn primitivn funkcij. Geometriski gledno, to e fmilij integrlni krivi pomesteni z konstnt vo nsok n oskt. Definicij.. Nek e dden funkcij f definirn n segmentot [, ]. Pod neopredelen integrl n funkcijt f n segmentot [, ] se podrzir mnoèstvoto od site nejzini primitivni funkcii i se ozn~uv so f()d, kde {to f e podintegrln funkcij, f()d podintegrlen izrz, podintegrln promenliv, [, ] segment n intergcij. Primer.. Ako f() = 3, R, tog{ 3 d = 3 + C, C e konstnt, pri {to rvenstvoto se podrzir kko rvenstvo n mnoèstv. Poimite primitivn funkcij i neopredelen integrl mo- `t d se definirt n (, ), (, ], [, ), kko i n drugi mno- èstv so soodvetni modifikcii. Doseg ne go postvivme pr{weto z klst n funkciite f, z koi postoi primitivn funkcij. Bez dokz }e nvedeme dek z site neprekinti funkcii n nekoe mnoèstvo postojt primitivni funkcii, t.e. site neprekinti funkcii se

. Neopredelen integrl integrilni n to mnoèstvo. Klst integrilni funkcii sepk e pogolem, idej}i postojt funkcii koi imt prekin vo nekoi to~ki od rzgleduvnoto mnoèstvo, sepk se isto tk integrilni. Drugo e pr{weto dli moè d se njde nliti~ki izrz (formul) z mnoèstvo primitivni funkcii. Imeno, postojt duri i elementrni funkcii z koi ne moè d se njde nliti~ki izrz (formul) z soodvetno mnoèstvo primitivni funkcii, n primer z funkciite e sin,,, sin i drugi. Vo ln literturt se poznti i slednite integrli: d Li = ln, >,, Si = sin d,, nre~eni integrlen logritm i integrlen sinus. Ovie primitivni funkcii, koi sigurno postojt idej}i soodvetnite podintegrlni funkcii se neprekinti funkcii, se novi funkcii definirni so opercijt integrirwe (integrln prezentcij), nre~eni trnscedentni funkcii. Vo ov kls sp t i neelementrnite funkcii definirni so e d, sin d, kko i nere{livi integrli od ircionlni funkcii d ( )( k ), d ( )( k ), < k <, poznti kko elipti~ki integrli od prv i vtor red. Vo tie slu~i primitivnite funkcii se specijlni funkcii definirni vo integrln form i spored to moè d se zklu~i dek so procesot integrirwe se definir i nov kls funkcii. D zeleìme dek e mnogu vèn i intervlot kde {to postojt ili ne postojt primitivni funkcii. No weto neopredelen integrl e svrzno so pogolemi te{kotii vo spored so no weto n izvodn funkcij. Re{vweto n neopredelen integrl, odnosno integrirweto, se vr{i vrz osnov n telt n integrli doien od telt n izvodi od elementrni funkcii, osoinite n neopredelenite integrli i dvt metod metodot n zmen i metodot n prcijln integrcij, so soodvetni komincii. 3

Glv prv Tel n elementrni integrli. d = C, d = + C,. d = + C, (, R), d 3. d = ln + C, ( ), 4. e d = e + C, 5. d = + C, ( >, ), ln 6. sin d = cos + C, 7. cos d = sin + C, 8. d cos = tg + C, ( + k, kz), 9. d = ctg + C, ( k, kz), sin. d = ln + C, ( > ), d. = rctg + C,. d = rcsin + C, ( < ), 3. shd = ch + C, 4. chd = sh + C, d 5. ch = th + C, d 6. = cth + C, ( ), sh 7. d = ln + C, d 8. = ln C, ( ), 4

. Neopredelen integrl Od smt definicij n neopredelen integrl neposredno sleduvt slednite osoini: Osoin.. Nek f i F' se integrilni funkcii n segmentot [, ]. Tog{ v`t rvenstvt: d [ f()d] = f(). d d[ f()d] = f()d. 3 F'()d = F() + C. 4 df() = F'()d = F() + C. Osoin.. Nek se ddeni funkcii f i g. Ako funkciite f i g se integrilni n isto mnoèstvo, tog{ i funkciite K f (K e konstnt), f + g, f g se integrilni n istoto mnoèstvo i v`t rvenstvt: Kf()d = K f()d, [f() g()]d = f()d g()d. Z konkretno presmetuvwe n neopredelenite integrli ovie rvenstv lesno se dokùvt i oop{tuvt. Primer.. d = d = + C. Primer.3. 4e d = 4 e d = 4 e + C. Primer.4. ( 3 e )d = 3 d e d = 4 4 e + C. 5

Glv prv.. Metod n zmen i metod n prcijln integrcij Re{vweto n integrlot f()d moè d se uprosti zmenuvj}i j podintegrlnt promenliv so nov promenliv t. Nek e dden integrlot f()d, kde funkcijt f e integriln n [, ] i nek e dden funkcij definirn n [, ]. Ako funkcijt f e neprekint n segmentot [, ] i ko = (t), kde {to funkcijt i nejzint izvodn funkcij se neprekinti n (, ), pri {to < (t) < i '(t) z t(, ), tog{ vì rvenstvoto: f()d = f((t))'(t)dt t ( ). Nvistin, nek so F e ozn~en podintegrlnt funkcij n novo doieniot integrl, t.e. F(t) = f((t))'(t), i nek po negovoto re{vwe se doie primitivnt funkcij G(t), pri {to G'(t) = F(t), t(, ). Tog{: d (Go d d )() = [ G(t)] [ ()] = G'(t) = F(t) d dt d ( t) ( t) f((t))'(t) = f((t)) = f(), ( t) = so {to se pok` dek sloènt funkcij Go e edn primitivn funkcij n f. So zment = (t), d = '(t)dt se doiv rnoto rvenstvo. Izorot n funkcijt e iten, idej}i moè d se doie i pote{ko re{liv ili nere{liv integrl. Po re{vweto n noviot integrl od desnt strn, odnosno no we n mnoèstvo primitivni funkcii, itno e d se vrtime n promenlivt so t ( ) vo tk doienite primitivni funkcii. Ovoj n~in n re{vwe neopredelen integrl se vik metod n zmen. Primer.5. Z integrlot ( + 4) 6 d so zmen + 4 = t, d = dt, se doiv t 6 7 t dt = + C i ( + 4) 6 7 ( 4) d = + C. 7 7 6

. Neopredelen integrl Primer.6. Z integrlot (4 + 5) 3 d zment e defini- dt rn so 4 + 5 = t, d = i (4 + 5) 3 d = 4 (4 5) 6 4 + C. Primer.7. Pok`i dek f( + )d = F( + ) + C, kde {to F'() = f() (zmen + = t). Primer.8. Re{i go integrlot d,. So zment = sint, d = costdt (z t, t = rcsin), se doiv d = sin t costdt = cos tdt = t + sint + C = 4 [rcsin + ] + C. Kj neopredelenite integrli mnogu e iten fktot dek sekoj primitivn funkcij e diferencijiln, so to i neprekint n intervlot n koj se rzgleduv. Ve}e kj nekoi primeri zele`vme dek e iten i intervlot n integrcij. Primer.9. Re{i go integrlot I = e d. Re{enie: Z, I = e + C, z <, I = e + C. Bidej}i site primitivni funkcii tre d se neprekinti n R, od neprekintost vo to~kt = doivme e + C = e + C, odnosno C = + C. Spored to, z, I = e + + C, z <, I = e + C, kde {to C = C. Ncrtj grfik n primitivn funkcij z C =. Primer.. d =? So zmen + = t (t > ) se dt doiv I = [ln( )] C. ln t ln e d Primer.. =? So zmen e + = t, e d = tdt se e doiv I = ( t ) dt = ( e ) e + C. 3 7

Glv prv t e d Primer.. =? So zmen = sht se doiv I = dt = t + C. Od formult = t e se doiv t = ln( + ) ln (iskoristeno e t > ) i spored to I = ln( + ) + C. Primer.3. sin cos 5 d =? So zmen sin = t se doiv I = (t t 4 + t 6 )dt = sin 3 sin 5 + sin 7 + C. 3 5 7 cos d Primer.4. =? 4 sin So zmen sin = t se doiv I = dt 4 t sin = rctg( ) + C. n Primer.5. Njdi sin d = ( cos ) n sin d. So zmen u = cost, du = sintdt se doiv I = ( u ) du n k = ) n k n k ( u du = k n k k n ( ) k cos + C. k k 4 cos Primer.6. sin d = d = 4 4 sin + + sin4 + C. 8 3 5 Primer.7. tg d =? So zmen cos = t, dt = sind se doiv: ( t ) ( dt) 4 I = = ln(cos) + C, 5 4 < <. t 4cos cos 8

. Neopredelen integrl Vo re{vweto n neopredeleni integrli od trigonometriski funkcii nj~esto se upotreuvt slednite trigonomeriski formuli: cos sin cos, cos, sin cos = [sin( + ) + sin( )], cos cos = [cos( + ) + cos( )], sin sin = [cos( ) cos( + )], Nek se ddeni dve funkcii f i g definirni n nekoj segment [, ]. Ako f i g se diferencijilni funkcii n (, ) i f()g'() e integriln funkcij n [, ], tog{ f'()g() e integriln funkcij n [, ] i vì rvenstvoto f()g'()d = f()g() g()f'()d. Z d se dokè to rvenstvo, se trgnuv od rvenstvoto od koe se doiv d[f()g()] = g()df() + f()dg(), f()dg() = d[f()g()] g()df(). Z izrzot d[f()g()] edn primitivn funkcij e f()g(), od koj so integrirwe n poslednoto rvenstvo i koristewe n osoint. i osoint. se doiv rnt relcij. Ovoj n~in n re{vwe neopredelen integrl se vik metod n prcijln integrcij, koj se upotreuv vo slu~j kog pri soodveten izor n funkcii f i g integrlot od desnt strn n rvenstvoto polesno se re{v od integrlot od levt strn. Ako z dvete funkcii f i g gi upotreime oznkite u() i v(), odnosno u i v, tog{ rvenstvoto e u()v'()d = u()v() v()u'()d, ili poednostvno npi{no udv = uv vdu. D zeleìme dek mnogu e iten izorot n funkciite u i v n koi se rzloùv smt podintegrln funkcij n integrlot koj tre d se re{i. 9

Glv prv Primer.8. lnd = ln + C, pri {to u = ln, dv = d. Primer.9. Njdi j rekurentnt formul z integrlot I n = d. n ( ) Re{enie: So prcijln integrcij u =, dv = d, n ( ) n du = d, v =, se doiv: n ( ) I n = ( ) n + n ( ) n d = n ( ) + n d = + n(i n n ( ) ( n I n+ ). ) Zn~i, I n = + n(i n ( n I n+ ), od kde se doiv ) n rekurentn formul I n+ = + In. n n ( ) n Konkretno, I = d = + 3 ( ) rctg + C. Primer.. ( 3)cosd =? So izorot u = 3, dv = cosd, se doiv: I = ( 3)sin + 3 sind = ( 3)sin 3cos + C. + Primer.. d =? So u = nekoi trnsformcii se doiv, dv = d, i so I = + + d d = d = od kde I = [ + rcsin ] + C. + ( ) d = + rcsin I, Primer.. d =? So dve posledovtelni prcijlni integrcii u =, dv = d i u =, dv = d, se doiv:

. Neopredelen integrl I = d ln ln ( ) + C. ln ln ln ln Primer.3. cos(ln)d =? So dve posledovtelni prcijlni integrcii u = cos(ln), dv = d i u = sin(ln), dv = d, se doiv: I = cos(ln) + sin(ln) I, od kde I = [cos(ln) + sin(ln)] + C. e cos d =? So dve posledovtelni prci- Primer.4. jlni integrcii u = iv I = e sin + e, dv = cos d i u = e cos I. Zn~i: e I = [ cos + sin ] + C. Anlogno moè d se pokè dek e sin d = e, dv = sin d, se do- e ( sin cos ) + C..3. Integrirwe n rcionlni funkcii Edn od klsite n funkcii koi mo`t sekog{ d se integrirt e klst rcionlni funkcii. Ovde }e iskème ez dokz nekolku fundmentlni teoremi od lgert. Teorem.. Sekoj polinom P n () moè n edinstven n~in d se pretstvi kko proizvod od mnoìteli od vid ( ) k i ( + p + q) s, kde {to p 4q <,, p, q R, k, s N. Pn ( ) Definicij.3. Z rcionlnt funkcij R() =, Qm ( ) kde {to P n (), Q m () se polinomi od stepeni n i m soodvetno, velime dek e prviln ko n < m. Pn ( ) Teorem.. Ako R() = e proizvoln rcionln Qm ( ) funkcij koj ne e prviln (n m), tog{ n edinstven n~in

Glv prv mo`e d se zpi{e kko zir od polinom i prviln rcionln Pn ( ) Pk ( ) funkcij, t.e. R() = = T nm () +, k < m. Q ( ) Q ( ) m Polinomot T nm () se doiv so postpkt delewe n polinomot P n () so polinomot Q m (). Primer.5. Z rcionlnt funkcij so postpkt delewe se doiv = 3 9 5 + 3 5 +. Definicij.4. Elementrni rcionlni funkcii se prvilnite rcionlni funkcii od slednite dv vid: (I) A ( ) k, sn; A,, M, NR. k M N, (II), p 4q <, s ( p q) Elementrnite rcionlni funkcii od vidot (I) se integrirt so zmen n sledniot n~in: A Z k = se doiv: d = Aln + C. ( ) A A Nek k >. Tog{ d = + C. k k ( ) k ( ) Z integrirwe n elementrnite rcionlni funkcii od vidot (II) se primenuv zment + p = t. Prito se doiv d = dt, + p + q = t +, kde {to p = q ( > spored uslovot). 4 Z s = se doiv: pm Mt N M N d = M t dt = dt + p q t t pm dt M ( N ) = ln(t + pm t ) + ( N ) rctg + C = t m 5

. Neopredelen integrl M ln( + p + q ) + Nek s >. Tog{ ( N pm Mt N M N d = s dt = ( s p q) ( t ) pm dt + ( N ) ( t ) pm p ) rctg + C,. s M ( t t ) Prviot integrl se re{v so nov zmen t + = z, dodek z vtoriot integrl se primenuv rekurentnt formul od primer.9. Povtorno d zeleìme dek po re{vweto n neopredelenite integrli zdolìtelno preku zmenite se vr}me n promenlivt. Teorem.3. Sekoj prviln rcionln funkcij n edinstven n~in moè d se pretstvi kko sum od kone~en roj elementrni rcionlni funkcii. Prito n sekoj mnoìtel od vidot ( ) k, R, k N, od polinomot vo imenitelot n rcionlnt funkcij mu odgovr zirot od k elementrni rcionlni funkcii od vidot (I): A A Ak + +... +, k ( ) ( ) ( ) n sekoj mnoìtel od vidot ( + p + q) s, kde {to p, q R, s N, p 4q <, od polinomot vo imenitelot n rcionlnt funkcij mu odgovr zirot od s elementrni rcionlni funkcii od vidot (II): M N M N M s N s + +... +, ( s p q) ( p q) ( p q) kde {to A, A,..., A k, M, M,..., M s, N, N,..., N s se relni koeficienti koi se no t so metodot n neopredeleni koeficienti. Metodot n neopredeleni koeficienti se sostoi od izedn~uvwe n polinomot vo roitelot n prvilnt rcionln funkcij so polinomot doien vo roitelot od rcionlnt funkcij po sveduvweto n zedni~ki imenitel n zirot od elementrnite rcionlni funkcii. Poto so izedn~uvwe n koeficientite pred soodvetnite stepeni od dvt polinom i so s dt + 3

Glv prv re{vwe n tk doieniot lineren sistem rvenki se doivt rnite koeficienti. Spored to, integrirweto rcionlni funkcii se sveduv n integrirwe elementrni rcionlni funkcii. ( ) d Primer.6. Re{i go integrlot. 3 Re{enie: A B A( 3) B( ) = = + = = 3 ( )( 3) 3 ( )( 3) ( A B) 3A B, ( )( 3) od kde se doiv 5 + = (A + B) 3A + B = A + B, = 3A + B A =, B =. 4 4 Zn~i: ( ) d 3 A = d B + 3 d = 5 ln + + ln 3 + C. 4 4.4. Integrirwe n nekoi ircionlni funkcii Integrcijt n ircionlni funkcii ne e sekog{ mo`n z rzlik od integrcij n klst rcionlni funkcii. Ovde }e se zdr`ime n nekolku potklsi ircionlni funkcii kj koi so pogodno izrn zmen n promenlivt integrirweto se sveduv n integrirwe rcionlni funkcii. I. Integrlite od vidot R(, c d m n m n r s,..., )d, kde {to c d R e rcionlen izrz od,,..., i d c, so c d c d zment = t p, kde {to p e njml zedni~ki sodr`tel n c d m r imenitelite n dropkite,...,, se sveduvt n integrli od n s rcionlni funkcii. r s 4

. Neopredelen integrl Primer.7. 4 d =? So zmen = t se doiv: ) 4 ( 3 t dt 3 I = = ( t ) dt = 4 rctg + C, t t z >. Primer.8. d =? 3 So zmen + = t 6 se doiv: I = 6 t 3 (t 6 + t 3 3 6 3 6 4 6 6 7 )dt = ( ) ( ) + ( ) + C. 5 7 So zmen Primer.9. 3 d =? ( ) t 3 3 se doiv I = 3 4 + C. II. Integrli od vidot R(, c )d, kde {to R e rcionlen izrz od, i c se sveduvt n integrli od rcionlni funkcii so Ojlerovi zmeni: ) c = t, ko >, ) c = t c, ko c >, v) c = ( ) t, ko e relen koren n kvdrtnt rvenk + + c =. Znkot + ili se izir proizvolno vo zvisnost od to dli integrlot {to se doiv e poednostven z re{vwe. d Primer.3. =? Bidej}i = >, so zmen = t se doiv: t t I = dt = ln + + + ( t)( t 4t 4) + C. 5

Glv prv Primer.3. d k =? Bidej}i = >, so zmen k = t se doiv: I = ln + Primer.3. k + C z > k. d ( 7 Bidej}i = <, c = <, so zment 7 = ( )t se doiv: 4 7 I = 9 7 9 + C. ) 3 III. Integrlite od vidot R( m ( + n ) p )d, kde {to R e rcionlen izrz od m ( + n ) p i m, n, p Q, se integrli od inomen diferencijl i so zmeni se sveduvt n integrli od rcionlni funkcii edinstveno vo slednite slu~i: ) ko p Z, tog{ = t k, kde {to k e njmliot zedni~ki sodr`tel n m i n, m ) ko Z, tog{ + n = t, kde {to e imeniten lot n p, m v) ko + p Z, tog{ + n = t n, kde {to e imen nitelot n p. Primer.33. 4 =? ( ) d =? Bidej}i m =, n = 4, p=, + 4 = 4 t se doiv: I = [ 4 3 4 4 ( ) 8 ] m n + p = 3 Z, so zmen 4 + C. 6

. Neopredelen integrl Primer.34. 3 3 d =? Bidej}i m = 3, n = 3, p =, 3 = t se doiv: 3 m n I = 6 t dt = ( ) + C. 3 = Z, so zmen D zele`ime dek postojt i drugi vidovi integrli od ircionlni funkcii koi ne se od ovoj vid i koi mo`t d se integrirt so soodvetno pogodno izrni zmeni i soodvetn trnsformcij. 3 d Primer.35. =? 3 4 So zmen 4 + = (t ) 3 se doiv: 3 t t I = dt = 4 t 3 3 4 3 4 3 4 ( ) ( ) ln( ) 4 + C. d Primer.36. =? So zmen = sht se doiv: dt I = = sh t + C..5. Integrirwe n nekoi poednostvni trigonometriski funkcii Integrlite od vidot R(sin, cos) d, kde {to R e rcionlen izrz od sin i cos, se sveduvt n integrli od rcionlni funkcii so zmen t = tg so ogrni~uvwe < <. Prito, vo soglsnost so trigonometriskite vrski, se doiv sin = t t, cos 7

Glv prv t dt = i d =. Sekko i kj ovie integrli se mo`ni i drugi t t formi n zmeni vo zvisnost od konkretn podintegrln funkcij, pri {to mo`e d se doie poednostven integrl. d Primer.37. =? sin So zment t = tg se doiv: I = t dt = ln tg + C. Primer.38. (5sin sin 3 ) cos d =? So zmen sin = u se doiv: 3 I = (5u u ) du = 5 sin sin 4 sin C. d Primer.39. =? tg dt So zmen t = tg, z < <, d =, se doiv: t dt I = = ( ) dt = + C. t ( t ) t t tg 8

. OPREDELEN INTEGRAL Neprekintite procesi se predmet n izu~uvwe vo mtemti~kt nliz. Golem roj prolemi vo tehnikt i vo drugi olsti, vo koi mo`t d se definirt funkcionlni vrski me u rzni veli~ini, mo`t d se izu~uvt so pomo{ n neprekinti procesi. Prito od golem v`nost se roj~enite i drugi krkteristiki so pomo{ n koi se rzre{uvt soodvetnite prolemi. Tkvi roj~eni krkteristiki se, n primer, izvodot, opredelen integrl, dvoen integrl, krivoliniski integrl, povr{inski integrl i drugi, koi imt svoe zn~ewe vo soodvetnt olst, n primer, rzin, plo{tin, volumen, koordinti n te`i{te, fluks, j~in n struj, rot, moment n inercij, rdius n krivin, efekt, mo}nost i drugo... Poimite integrln sum, sumi n Dru i opredelen integrl so soodvetni osoini Definicij.. Nek e dden segment [, ]R. Sekoe kone~no mno`estvo to~ki,,..., n [, ], pri {to = < <...< n =, definir edn podel n n segmentot [, ]. Brojot d n = m, i n kde {to i = i+ i, i =, n, se vik dijmetr n soodvetnt podel. Nizt n podeli { n } n segmentot [, ] se vik osnovn ko nizt od soodvetnite dijmetri {d n } e nult niz. Jsno e dek dve rzli~ni podeli mo`t d imt eden dijmetr. Definicij.. Nek e dden funkcij f definirn n segmentot [, ] i nek e n edn podel n segmentot [, ]. Sumt n od vidot ( n ) = f ( i ) Δ i, kde {to i [ i, i+ ], i =, n, se vik i integrln sum n funkcijt f vo odnos n podelt n. Od smt definicij e jsno dek integrlnt sum n edn funkcij zvisi kko od podelt n tk i od izorot n to~kite i. Imeno, z ist podel se mo`ni rzli~ni integrlni sumi z rzli~en izor n to~kite i. Definicij.3. Nek e dden funkcij f definirn n segmentot [, ]. Ako nizt integrlni sumi ( n ) n funkcijt f, i

Glv prv koi odgovrt n koj ilo osnovn niz { n } od podeli n segmentot [, ], imt kone~n grnic I kog d n, nezvisno od izorot n to~kite i, tog{ rojot I se vik opredelen integrl od funkcijt f n segmentot [, ] i se ozn~uv so f ( ) d. Definicij.3 *. (Rimn) Nek e dden funkcij f definirn n [, ]. Kone~niot roj I e grnic n integrlnite sumi ( n ) ko, >, tk {to z site podeli n n [, ] so dijmetri n, z koi n <, vì nervenstvoto ( n ) I < nezvisno od izorot n to~kite i. Brojot I se vik opredelen integrl od funkcijt f n segmentot [, ] i se ozn~uv so f ( ) d. Vo toj slu~j velime dek podintegrlnt funkcij f e integriln n segmentot [, ] spored Rimn, se vik doln, gorn grnic. Pontmu z funkcij koj e integriln spored Rimn }e velime krtko dek e integriln. O~evidno e dek potreen uslov f d ide integriln e uslovot t d ide ogrni~en n segmentot [, ]. Moè d se pokè dek definiciite.3 i.3 * se ekvivlentni. Primer.. Funkcijt n Dirihle f() =, ko e ircionlen roj i f() =, ko e rcionlen roj, e definirn i ogrni~en n segmentot [, ], no ne e integriln. Z d go pokème to, izirme osnovn niz podeli { n } so soodvetn niz od dijmetri {d n }. Formirme dve nizi, { * ( n )}, { ** ( n )} integrlni sumi koi odgovrt n isti podeli, no rzli~en izor n to~kite i, tk {to kj nizt { * ( n )} soodvetnite to~ki * i se ircionlni roevi, kj nizt { ** ( n )} soodvetnite to~ki ** i se rcionlni roevi. Tog{ n * ( n ) = i f ( * i ) Δ i n =, ** ( n ) = i * * ) n f ( i i = i =. i So to doivme dve nizi integrlni sumi {} i {}, koi se o~evidno konvergentni (konstntni nizi) kog dijmetrite se stremt kon, so grnici i, soodvetno. Zn~i, pri ist osnovn niz podeli { n }, no pri rzli~en izor n to~kite i, kj sood-

. Opredelen integrl vetnite integrlni sumi doivme rzli~ni grnici n soodvetnite nizi integrlni sumi, {to zn~i f ne e integriln funkcij. Definicij.4. Nek n e edn podel n [, ], funkcijt f definirn i ogrni~en n [, ]. Sumite od vidot: n s( n ) = n m i i, S( n ) = M i i, i i kde {to: m i = inf f ( ), M i = sup f ( ), i =, n, [ i, i ] [ i, i ] se vikt doln i gorn sum n Dru z funkcijt f n segmentot [, ] vo odnos n podelt n. Od definicijt e jsno dek ovie sumi n Dru zvist smo od podelt n. Pordi nervenstvt m i f( i ) M i, i =, n, z edn ist podel n i proizvolen izor n to~kite i }e vì nervenstvoto s( n ) ( n ) S( n ), kde {to s( n ), ( n ), S( n ) se, soodvetno, doln sum n Dru, integrln sum i gorn sum n Dru. U{te pove}e, pri fiksn podel n sumite n Dru s( n ), S( n ) se vsu{nost supremum odnosno infimum n mnoèstvoto integrlni sumi (pri fiksn podel integrlnite sumi zvist smo od izorot n to~kite i ). Sumite n Dru gi imt i slednite osoini: Osoin.. Nek n e edn podel i m drug podel n segmentot [, ], pri {to kj m osven delenite to~ki n podelt n im i drugi deleni to~ki (pofin podel). Tog{ s( n ) s( m ); S( m ) S( n ). Osoin.. Z koi ilo podeli n i m n [, ] vì nervenstvoto s( n ) S( m ). Nek {s( n )} e mnoèstvo od site dolni sumi n Dru z funkcijt f vo odnos n site podeli n n segmentot [, ]. Spored osoint. to mnoèstvo e ogrni~eno odgore, n primer so roj ednkov n gorn sum n Dru vo odnos n konkretn podel n [, ], i spored ksiomt 6 z neprekintost kj relnite roevi }e postoi supremum koj }e go ozn~ime so I *. Nek {S( n )} e mnoèstvo od site gorni sumi n Dru z funkcijt f vo odnos n site podeli n n segmentot [, ]. Pordi

Glv prv istt osoin. to mnoèstvo e ogrni~eno oddolu, n primer so roj ednkov n doln sum n Dru vo odnos n konkretn podel n [, ], i spored posledict n ksiomt 6 z neprekintost }e postoi infimum koj }e go ozn~ime so I *. ]e pokème dek z koj ilo podel n n [, ] vì s( n ) I * I * S( n ). Nervenstvt s( n ) I * i I * S( n ) se to~ni, idej}i I * i I * se supremum odnosno infimum n mnoèstvt od site dolni odnosno gorni sumi n Dru z funkcijt f vo odnos n site mo`ni podeli n n segmentot [, ]. D pretpostvime dek vì ortnoto nervenstvo, odnosno dek I * < I *. Bidej}i I * e konkreten relen roj, spored definicijt z supremum z I * }e postoi konkretn doln sum n Dru s( * n ), tk {to I * s( * n ) I *. Bidej}i pk s( * n ) e konkreten roj, spored definicijt z infimum z I * }e postoi konkretn gorn sum n Dru S( * m ), tk {to I * S( * m ) s( * n ), {to e kontrdiktornost n osoint.. Spored to vì nervenstvoto I * I *. Teorem.. Nek e dden funkcij f, definirn i ogrni~en n [, ]. Funkcijt f e integriln n [, ] ko i smo ko lim[ S( n ) s( n )], kde {to d n e dijmetr n podelt n. dn Dokz: D pretpostvime dek I postoi spored Rimn. Tog{, >, tk {to z site podeli n n [, ] so dijmetri d n, z koi d n <, vì nervenstvoto ( n ) I <, odnosno nervenstvoto I < ( n ) < I +, nezvisno od izorot n to~kite i kj integrlnite sumi ( n ) formirni vo odnos n soodvetnite podeli so dijmetri d n. Nek n e podel n segmentot [, ] so dijmetr d n <. Tog{ v`t nervenstvt I < s( n ) ( n ) S( n ) < I +, kde {to s( n ) i S( n ) se dolnt i gornt sum n Dru vo odnos n podelt n. Od nervenstvt I < s( n ) < I + sleduv nervenstvoto I s( n ) <. Od proizvolnost n izorot n podelt n so dijmetr d n < sleduv dek z site podeli n so dijmetri d n < }e vì I s( n ) <, {to povlekuv lim s( n ) = I. dn N ist n~in, trgnuvj}i od nervenstvt I < S( n ) < I +, se doiv lim S( n ) = I. Spored to, lim S( n ) lim s( n ), od {to dn dn dn sleduv lim[ S( n ) s( n )]. d n

. Opredelen integrl Nek seg vì lim[ S( n ) s( n )] i nek I * i I * se supremum odnosno infimum n mnoèstvt od site dolni odnosno gorni dn sumi n Dru z funkcijt f vo odnos n site mo`ni podeli n n segmentot [, ]. Od lim[ S( n ) s( n )] sleduv dek, >, dn tk {to z site podeli n n [, ] so dijmetri d n z koi d n < vì nervenstvoto S( n ) s( n ) <, odnosno S( n ) < s( n ) +. Nek n e podel so dijmetr d n <. Tog{ z soodvetnite doln i gorn sum n Dru v`t slednite nervenstv: s( n ) < s( n ) I * I * S( n ) < s( n ) +. Od ovie nervenstv sleduv s( n ) < I * < s( n ) +, odnosno I * s( n ) <. Od proizvolnost n izorot n podelt n so dijmetr d n < sleduv dek z site podeli n so dijmetri d n < }e vì I * s( n ) <, {to povlekuv lim s( n ) = I *. dn N ist n~in, trgnuvj}i od nervenstvt s( n ) < I * < s( n ) +, odnosno I * s( n ) <, se doiv lim s( ) = I *. Pordi d ednozn~nost n grnict n konverentn niz od poslednite grnici se doiv I * = I *, t.e. egzistencijt i edinstvenost n rojot I = I * = I *. Nek seg ( n ) e integrln sum z funkcijt f vo odnos n podelt n so dijmetr d n <. Tog{ z dolnt i gornt sum n Dru vo odnos n istt podel n }e v`t nervenstvt s( n ) ( n ) S( n ) z koj ilo izor n to~kite i. Z t podel }e v`t nervenstvt S( n ) < s( n ) + i s( n ) I, od kde {to se doivt nervenstvt ( n ) S( n ) < s( n ) + I +. Od drug strn, z istt podel n }e vì nervenstvoto ( n ) > s( n ) z koj ilo izor n to~kite i, kko i nervenstvt s( n ) > S( n ) i S( n ) > I, od koi se doivt nervenstvt ( n ) > s( n ) > S( n ) > I. Zn- ~i, ( n ) < I + i ( n ) > I, t.e. ( n ) I < z koj ilo izor n to~kite i. Od proizvolnost n izorot n podelt n sleduv dek, >, tk {to z site podeli n n segmentot [, ] so dijmetri d n, z koi d n <, vì nervenstvoto ( n ) I <, nezvisno od izorot n to~kite i, {to zn~i dek funkcijt f e integriln i I = f ( ) d. n n 3

Glv prv Nek S( n ) i s( n ) se sumi n Dru z funkcijt f vo odnos n edn ist podel π n n segmentot [, ] so dijmetr d n i nek n ω i = M i m i, i =, n. Tog{ S( n ) s( n ) = i i. Zn~i, spored i poslednt teorem. funkcijt f e integriln n segmentot n [, ] ko i smo ko vì lim ii. dn i Teorem.. Ako f e funkcij neprekint n [, ], tog{ e integriln n istiot segment. Dokz: Od teoremt n Vjer{trs z neprekinti funkcii n segment sleduv dek f e i rmnomerno neprekint, t.e. go im svojstvoto z proizvolen relen roj > d postoi relen roj >, tk {to z koi ilo, od [, ] z koi < vì nervenstvoto f( ) f( ) <. Nek n e podel n segmentot [, ] so dijmetr d n <. Od vtort teorem n Vjer{trs z neprekinti funkcii n segment sleduv dek postojt ξ * ** i, ξ i [ i, i+ ] z koi ξ * i ξ ** i < ( ξ * i ξ ** i < d n <, idej}i d n = m ), tk {to [ i, i ] in i M i = sup f ( ) = f(ξ * i ), m i = inf f ( ) = f(ξ ** i ), i =, n. [ i, i ] Vo soglsnost so prethodnt osoin (ξ i *, ξ i ** [, ]) }e vì nervenstvoto f(ξ i ** ) f(ξ i * ) <, odnosno nervenstvt ω i = M i m i = f(ξ i ** ) f(ξ i * ) <, i =, n. Zn~i, >, >, tk {to z sekoj od podelite π n, z ~ii dijmetri vì d n <, }e vì n < S( n ) s( n ) = n i i < i = ( ). i i n Spored to, lim ii i vo soglsnost so soodvetnt teorem. funkcijt f e integriln dn i funkcij. 4

. Opredelen integrl Doseg <, idej}i e{e dden segment [, ]. Ako >, tog{ spored definicij se zem f ( ) d = f ( ) d, ko = tog{ spored definicij se zem f ( ) d =. Primer.. Pokì dek d =. Re{enie: Bidej}i podintegrlnt funkcij f() = e neprekint n segmentot [, ], {to zn~i dek e i integriln, moème d izereme pogodn specijln osnovn niz od podeli, tk {to lesno moè d se njde grnict od nizt soodvetni sumi (ilo integrlni pri konkreten izor n to~kite ξ i ilo sumi n Dru), so to i opredeleniot integrl kko roj. D izereme specijln osnovn niz od podeli n ddeni so n + deleni to~ki n ednkvo rstojnie i = =. Zn~i, n i = + i, d n = i, izirj}i ξ i = i, i =, n, doivme ( n ) = n n n i = =. Spored to lim (π n ) = i i d n d =. Primer.3. Kj d, f() = e funkcij neprekint n segmentot [, ], {to zn~i dek e i integriln. Nek podelt n e dden so n + deleni to~ki i n ednkvo rstojnie i = =, tk {to i = + i, i =, n. n Bidej}i funkcijt f() = e strogo monotono rste~k neprekint funkcij, m i = inf f ( ) = f( i ) = i, soodvetnt doln [ i, i ] sum n Dru z podelt n }e ide dden so formult: n s( n ) = i n i i = ( i) = [n + ( + +... + (n ))] = i n ( )( + ). n 5

Glv prv Bidej}i d n = = lim s( n ) d n Spored to, d =, ko dn, tog{ n, p zn~i dek n lim ( )( + n. n ) = n Presmetuvweto n opredelen integrl oi~no ne se vr{i neposredno spored definicijt, idej}i e povrzno so te{kotii, ponekog{ e i neizvodlivo. D zele`ime u{te dek opredeleniot integrl ponekog{ se koristi i z no we grnic n nekoj poslo`en roj~en niz. Primer.4. D se njde ( n ) lim sin sin... sin. n n n n n Re{enie: Z funkcijt f() = sin i z podelt n n seg- i mentot [, ] definirn so delenite to~ki i =, = = dn, n n formirme soodvetn integrln sum n ( n ) = i f ( ) i i n = i i (sin ), n n. kde {to i = i, i =, n. Bidej}i funkcijt f() = sin e neprekint n segmentot [, ], }e postoi lim ( ) n n π = sin d =. Pri π to kko poznt rezultt e koristeno dek sin d =. Zn~i, ( n ) lim sin sin... sin =. n n n n n 6

. Opredelen integrl ]e nvedeme nekolku osoini n opredeleniot integrl. Osoin.3. Ako funkciite f i g se integrilni n segmentot [, ], tog{ i funkciite Kf (K e konstnt) i f + g se integrilni n [, ], pri {to vì Kf ( ) d K f ( ) d, [ f ( ) g( )] d = f ( ) d + g ( ) d. Ov osoin moè d se pro{iri i n kone~en roj funkcii. Osoin.4. Ako funkcijt f e integriln n segmentot [, ] i c(, ), tog{ f e integriln n segmentite [, c] i [c, ], pri {to vì c f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d. Vì i ortnoto tvrdewe: ko funkcijt f e integriln n segmentite [, c] i [c, ], tog{ f e integriln n segmentot [, ], pri {to vì istoto rvenstvo. Osoin.5. Ako f e integriln funkcij n [, ], pri {to [, ], f() (f() ), tog{ vì f ( ) d ( f ( ) d ). Posledic.. Ako f i g se integrilni funkcii n segmentot [, ] i ko [, ], f() g(), tog{ vì f ( ) d g ( ) d. Pri dokzot, osoint.5 se primenuv n nov funkcij F() = g() f() i prito se koristi osoin.3. Dokzite n osoinite.3,.4 i.5 proizleguvt neposredno od definicijt n opredelen integrl i osoinite n roj~eni nizi. Osoin.6. Ako funkcijt f e integriln n [, ], tog{ i funkcijt f e integriln n [, ], pri {to f ( ) d f ( ) d. c 7

Glv prv Dokz: Nek S( n ) i s( n ) se sumi n Dru z funkcijt f i S * ( n ), s * ( n ) sumi n Dru z funkcijt f n [, ] vo odnos n edn ist podel n. Spored nervenstvoto }e v`t nervenstvt M i * m i * M i m i, i =, n, kde {to 8 m i = inf f ( ), M i = sup f ( ), m * i = inf f ( ), [ i, i ] [ i, i ] M * i = sup f ( ), i =, n, [ i, i ] [ i, i ] odnosno nervenstvoto S * ( n ) s * ( n ) S( n ) s( n ). Spored to, ko lim [S( n ) s( n )] =, tog{ i d n lim [(S * ( n ) d n s * ( n )] =, {to zn~i f e integriln funkcij. Od drug strn, z soodvetnite integrlni sumi ( n ), * ( n ) vo odnos n edn ist podel n doivme n ( n ) = i f ( ) i i n i f ( ) = * ( n ) i i i pri fiksno izrni i, i =, n (ve}e e dok`no dek f e integriln funkcij), so grni~en proces d n se doiv rnoto nervenstvo (osoin kj konvergentni roj~eni nizi). Osoin.7. Ako f e integriln funkcij n [, ] i ko m = inf f ( ), M = sup f ( ), tog{ v`i ocent [, ] [, ] m( ) f ( ) d M( ). Dokz: Z novo definirnt funkcij F () = M f() v`i F (), [, ], i od osoint.5 sleduv [ M f() ] d, od kde {to so koristewe n osoint.3 i d = (primer.) se doiv M( ) f ( ) d. N ist n~in z nov funkcij F () = m f(), [, ], se doiv i vtoroto nervenstvo m( ) f ( ) d.

. Opredelen integrl Osoin.8. (Teorem z sredn vrednost.) Ako funkcijt f e integriln n [, ] i ko m = inf f ( ), M = sup f ( ), tog{ [, ] [, ] postoi roj R, m M, tk {to vì rvenstvoto i tog{ = f ( ) d = ( ). Dokz: Spored osoint.7 }e vì nervenstvoto m f ( ) d M f ( ) d e to~no rniot roj. Posledic.. Ako f e i neprekint funkcij n [, ], tog{ postoi [, ], tk {to vì rvenstvoto f ( ) d = ( )f(). Vsu{nost = f(), {to proizleguv od osoint n neprekinti funkcii z rojot, pri {to m i M se njmlt i njgolemt vrednost n funkcijt f n [, ] i m M. Osoin.9. (Oop{ten teorem z sredn vrednost.) Ako g i fg se integrilni funkcii n segmentot [, ], ko [, ] vì m f() M (f e ogrni~en funkcij n [, ]) i ko g ne go menuv znkot n [, ] (sekog{ e ili nenegtivn ili nepozitivn), tog{ postoi roj R, m M, z koj vì: f ( ) g( ) d = g ( ) d. Dokz: Nek [, ] g(). Tog{ z [, ] v`t nervenstvt mg() f()g() Mg(), od kde {to spored svojstvt }e v`t i nervenstvt m g ( ) d f ( ) g( ) d M g ( ) d. 9

Glv prv Ako g ( ) d =, tog{ koj ilo roj me u m i M. doiv Ako pk m rniot roj. f ( ) g( ) d = i moè d ide g ( ) d >, tog{ od poslednite nervenstv se f ( ) g( ) d M, od kde {to = g( ) d Slu~jot f ( ) g( ) d g( ) d e to~no g ( ) d < ne e moèn, idej}i g(), [, ]. N ist n~in se doiv rnoto rvenstvo i vo slu~jot g(), [, ]... Wutn-Ljnicov formul ]e pokème dek postoi tesn vrsk me u opredelen i neopredelen integrl, so {to vo golem mer }e se olesni presmetuvweto n opredeleniot integrl koristej}i go prtot z presmetuvwe n neopredelen integrl. Pred d premineme n nrednite osoini so koi }e ide dden vrskt me u opredelen i neopredelen integrl preku tknre~ent Wutn-Ljnicovt formul, }e rzgledme nekoi spekti z opredeleniot integrl. Imeno, kj opredeleniot integrl, koj e kone~en roj, oznkt z podintegrlnt promenliv ne e itn. To zn~i dek f ( ) d = f ( t) dt = f ( dz, t.e. opredeleniot integrl zvisi smo od smt funkcij f i od segmentot n integrcij [, ], odnosno od negovite krjni to~ki. Nek f e integriln funkcij n [, ] i nek [, ]. Tog{ f e integriln i n segmentot [, ] i postoi rojot 3

. Opredelen integrl f ( t) dt. Zn~i, od proizvolnost n mo`eme d zklu~ime dek z sekoe [, ] postoi ednozn~no definirn roj f ( t) dt. Zto mo`e d se definir nov funkcij F: f ( t) dt n segmentot [, ], koj se nrekuv opredelen integrl so promenliv gorn grnic. Osoin.. Ako f e integriln funkcij n [, ], tog{ funkcijt F definirn so F() = f ( t) dt e neprekint funkcij n [, ]. Dokz: Nek h e nrsnuvwe n promenlivt vo to~kt (, ) tk {to + h(, ). Tog{ so koristewe n osoint.4 se doiv h F( + h) = f ( t) dt = f ( t) dt + f ( t) dt, t.e. F( + h) F( ) = f ( t) dt. h h Od osoint.8 z sekoe h postoi roj R, m M, kde {to m = inf f ( t), t[, h] M = sup f ( t), t[, h] z h >, i m = inf f ( t), t h, ] [ M = sup f ( t), t h, ] [ z h <, tk {to F( + h) F( ) = ( + h ) = h. Bidej}i zvisi od h i e ogrni~en, pri grni~niot proces h doivme lim μh = (teorem z proizvod n ogrni~en i h eskone~no ml funkcij), odnosno lim[ F ( h) F( )], {to h 3

Glv prv zn~i dek F e neprekint funkcij vo to~kt. Od proizvolnost n izorot n to~kt zklu~uvme dek F e neprekint n (, ). N soodveten n~in se pokùv i neprekintost odlevo vo to~kt i neprekintost oddesno vo to~kt. Osoin.. Ako f e integriln n [, ] i neprekint funkcij vo to~kt (, ), tog{ funkcijt F definirn vo osoint. im izvod vo to~kt, pri {to F' ( ) = f( ). Dokz: Nek f e neprekint funkcij vo (, ). Spored osoint. z sekoe nrsnuvwe h z koe vì + h(, ) postoi roj R (zn~i, zvisi od h ) so svojstvo m M, tk {to F( + h) F( ) = h. Od neprekintost n funkcijt f vo to~kt sleduv dek > }e postoi >, tk {to z t z koi t < vì nervenstvoto f(t) f( ) <, t.e. t V(, ), f(t) V(f( ), ), odnosno f( ), f( ) + se minornt i mjornt z mnoèstvoto {f(t) t < }. Zemj}i nrsnuvwe h tk {to t = + h, doivme dek h z koe h < }e vì nervenstvoto f( ) < f( + h) < f( ) +, odnosno nervenstvoto f( ) m M f( ) + (m i M se infimum i supremum definirni vo osoin., f( ) i f( ) + se minornt i mjornt). Pordi m M sleduv f( ) f( ) +, odnosno f( ) <. Zn~i, z > njdovme (egzistencijt e preku neprekintost), tk {to z h, z koe h <, vì f( ) <, {to zn~i dek postoi lim μ = f( ) odnosno h Spored to F' ( ) = f( ). F( h) F( ) lim f ( ). h h Od proizvolnost n izorot n (, ) sleduv dek z (, ) }e vì F' () = f(), p moème d zklu~ime dek F e edn primitivn funkcij z funkcijt f n (, ). Nek se zdovoleni uslovite od osoin. i F e koj ilo drug primitivn funkcij n f. Tog{ }e postoi konstnt C, tk {to F() = F() + C. Z opredeluvwe n konstntt C se koristi 3

. Opredelen integrl dek F() = f ( t) dt = i se doiv C = F() F() = F(), {to zn~i dek F() = F() F() [, ]. Z = se doiv kone~nt Wutn-Ljnicov formul f ( ) d = F() F() = F(), kde {to F e konkretn primitivn funkcij n podintegrlnt funkcij f. D zklu~ime dek z presmetuvwe n opredelen integrl e dovolno d se njde edn primitivn funkcij n podintegrlnt funkcij, t.e. d se re{i neopredeleniot integrl i d se primeni Wutn-Ljnicovt formul. integrlot Primer.5. So Wutn-Ljnicovt formul d se re{i 5 d. 6 Bidej}i e edn primitivn funkcij n funkcijt 5, 6 6 }e doieme I = = =. 6 6 6 Primer. So Wutn-Ljnicovt formul d se re{i integrlot sin d. Bidej}i cos e edn primitivn funkcij n funkcijt sin, }e doieme I = (cos) = ( ) =..3. Metod n zmen i metod n prcijln integrcij kj opredeleniot integrl Teorem.3. Nek e dden f ( ) d, kde {to f e neprekint funkcij n [, ]. Nek e funkcij n zmen n podintegrlnt promenliv so nov podintegrln promenliv t, tk {to = (t), i nek gi zdovoluv slednite uslovi: ) e neprekint n segmentot [, ], tk {to t[, ], 33

Glv prv (t)[, ], ) () =, () = ili () =, () =, v) postoi neprekint izvod ' (t), t(, ). Tog{ vì rvenstvoto β f ( ) d = f ( ( t)) ( t) dt ili r- α venstvoto f ( ) d = f ( ( t)) ( t) dt. β Dokz: Ako F e edn primitivn funkcij n funkcijt f n segmentot [, ], tog{ F(t) = F( (t)) e edn primitivn funkcij n funkcijt f((t))' (t) n segmentot [, ] (pok`no kj neopredeleniot integrl). Spored to, so primen n Wutn-Ljnicovt formul se doiv f ( ) d = F() F() i β α f ( (t)) ( t) dt = F() F() = F( ()) F( ()) = F() F() z () =, () =, ' (t) >, so {to e dok`no rvenstvoto. Osoin.. Nek e dden funkcij f integriln n segmentot [, ]. Ako f e prn funkcij n [, ], tog{ vì f ( ) d = f vì f ( ) d =. ( ) d, ko f e neprn funkcij n [, ], tog{ Dokz: Nek f e prn funkcij n [, ]. Spored osoin.4 α f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d. So zment = t vo prviot integrl se doiv f ( ) d = f ( t) dt + f ( ) d = f ( ) d. 34

. Opredelen integrl Prito e koristen relcijt f(t) = f(t) (f e prn funkcij) i definicijt f ( ) d = f ( ) d. Nek f e neprn funkcij n [, ]. Spored osoint.4 f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d. So zment = t vo prviot integrl se doiv f ( ) d = f ( t) dt + f ( ) d =. Prito e koristen relcijt f(t) = f(t) (f e neprn funkcij) i definicijt f ( ) d = f ( ) d. Nek se ddeni dve funkcii u() i v() definirni n segmentot [, ]. Ako u() i v() zedno so svoite izvodni funkcii se neprekinti n [, ], tog{ v`i rvenstvoto: u ( ) dv( ) = [u()v()] v ( ) du( ). Nvistin od rvenstvoto u()dv() = d[u()v()] v()du() so integrirwe i koristewe n osoinite n opredeleniot integrl i Wutn-Ljnicovt formul se doiv rnoto rvenstvo. Ovoj n~in n re{vwe n opredelen integrl se nrekuv metod n prcijln integrcij kj opredeleniot integrl i skrteno se sveduv n formult udv = (uv) vdu, so zele{- k dek to e vsu{nost rvenstvo n roevi, ne n funkcii. Primer.6. So metod n prcijln integrcij d se re{i e d. e Prito u =, dv = e d. d e e d e e. 35

Glv prv n ( ) k n Primer.7. D se presmet sumt. k k k Re{enie: So prcijln integrcij se doiv rekurentnt formul n ( ) ( ) d n ( ) n d. n n So koristewe n ov formul se doiv 36 n n ( ) d = ( n i so mtemti~k indukcij se doiv Zn~i, n ( ) d = Od drug strn, n ) ( d Spored to, ( ) n d = (n)!!. (n )!! n k n k = k n ) n (n)!! n. (n )!! d, n ( ) k n ( ) d = k. k k k n ( ) k n = k k k (n)!!. (n )!!.4. Polren koordinten sistem Vo doseg{nite izlgw z opredeluvwe n polo`t n dden to~k vo rmnin, kko i z prik`uvwe grfik n nekoi funkcii, se koriste{e Dekrtoviot prvogolen koordinten sistem vo rmnin. No mnogu prolemi od geometrijt, mehnikt i drugi olsti polesno se re{vt ko se koristi eden drug sistem nre~en polren koordinten sistem vo rmnin. Polo`t n edn to~k M vo rmnint vo Dekrtov prvogolen koordinten sistem e{e celosno opredelen so podreden pr od dve koordinti, pscis i ordint, koi vsu{nost e proekcii n

. Opredelen integrl rdius-vektorot n t to~k vrz dve normlni me useno orientirni prvi nre~eni koordintni oski. Polo`t n edn to~k M vo rmnint e celosno opredelen i vo polrniot koordinten sistem isto tk so dve koordinti, od koi ednt e rstojnieto n t to~k od edn fiksn to~k, nre~en pol, vtort e golot me u edn fiksn orientirn poluprv so po~etok vo to~kt, nre~en polrn osk, i so vektorot so po~etok vo to~kt i krj vo to~kt M. Koordintt se vik polrno rstojnie, koordintt e polren gol koj se meri vo pozitivn nsok (sprotivno od dvièweto n strelkite n ~sovnikot). Z d se doijt vrskite me u Dekrtovite koordinti, i polrnite koordinti, n edn ist to~k M vo rmnint, }e pretpostvime dek koordintniot po~etok se poklopuv so polot, pscist so polrnt osk (crte` ). M N Crte` Tog{ od prvogolniot trigolnik MN se doivt vrskite = cos, = sin. Nek f e funkcij dden so rvenkt = f(), ~ij grfik moè geometriski d se interpretir kko mnoèstvo to~ki od rmnint (kriv) vo polren koordinten sistem. Istt funkcij geometriski moè d se rzgleduv i vo Dekrtov prvogolen koordinten sistem. D zeleìme dek n grfici n isti funkcii mo`t d odgovrt sosem rzli~ni krivi vo prvogolen i vo polren koordinten sistem. Isto tk i isti krivi mo`t d idt geometrisk interpretcij n grfici n rzli~ni funkcii. N 37

Glv prv primer, vo polren koordinten sistem grfikot n funkcijt f() = = R (R e konstnt) e kru`nic so rdius R i centr vo polot O, grfikot n funkcijt g() = = ( e konstnt) e poluprv so po~etok vo polot O, dodek vo Dekrtov prvogolen koordinten sistem grficite n istite funkcii f() = =, odnosno g( = = (, se konstnti), se horizontln odnosno vertikln prv (crte` ). = = = =R R Crte` Od drug strn, horizontlnt prv, koj e grfik n funkcijt f zdden so rvenkt f() = = ( e konstnt) vo Dekrtov prvogolen koordinten sistem, e grfik i n drug funkcij h zdden so rvenkt sin =, ili =, vo polren koordinten sistem, pri {to z doivwe n funkcionlnt sin vrsk h se koristeni vrskite me u polrnite i Dekrtovite koordinti. O~evidno e dek vo vtoriot slu~j funkcijt h e dost poslo`en. Ako pk se rzgled polukru`nict koj e grfik n funkcijt zdden implicitno so rvenkt + = R,, tog{ so koristewe n vrskite me u polrnite i Dekrtovite koordinti se doiv dek t e grfik n funkcijt zdden so rvenkt = R,, vo polren koordinten sistem, koj im dost poednostven nliti~ki izrz. 38

. Opredelen integrl Nek e dden funkcijt = f() definirn n mnoèstvo D i nek i se polrni koordinti. So koristewe n vrskite me u polrnite i Dekrtovite koordinti se doiv funkcij koj moè d se zpi{e vo prmetrski vid zemj}i j koordintt z prmetr: = f()cos, = f()sin, kde {to i se Dekrtovi koordinti. Prito tre d se im predvid dek vo op{t slu~j definiciont olst n funkcijt f ne mor d ide ist so definiciont olst n doient funkcij dden vo prmetrski vid. D zeleìme dek sekog{ tre d se im predvid dek funkcijt e nliti~ki poim zedno so nejziniot grfik definirn kko mnoèstvo od podredeni provi, dodek krivt e geometrisko mesto od to~ki vo opredelen koordinten sistem, ~ii koordinti imt nekoe zedni~ko svojstvo (vrsk), n primer funkcionln vrsk kj grfikot n funkcij i sl. Prito grfikot moè d sodrì i podreden pr so negtivni roevi (, ), <, <, {to ne pretstvuv prolem z geometrisko interpretirwe kko to~k A(, ) vo prvogolen Dekrtov koordinten sistem. Vo polrniot koordinten sistem se jvuv prolem, idej}i spored definicijt vtort koordint n nekoj to~k M(, ) sekog{ e pozitiven roj (rstojnie). Z d se rzre{i ovoj prolem vo polren koordinten sistem, podredeniot pr (, ), kde {to <, se indentifikuv so to~kt M( +, )..5. Primen n opredelen integrl z presmetuvwe plo{tin n rmninsk figur, dolìn n rmninsk kriv i volumen i plo{tin n prostorno telo, kko i primen vo fizikt i elektrotehnikt Nek e dden funkcij f neprekint i nenegtivn n segmentot [, ]. Nejziniot grfik d go rzgledme kko kriv vo Dekrtov prvogolen koordinten sistem i d go postvime prolemot z no we plo{tin n krivoliniski trpez kko geometrisk slik ogrni~en so prvite =, =, = i krivt koj go pretstvuv grfikot n funkcijt f kko mnoèstvo to~ki od rmnint. D izereme edn podel n n [, ] so deleni to~ki = < < <... < n =, n ednkvi rstojnij =. Nek mi n 39

Glv prv i M i se njmlt i njgolemt vrednost n funkcijt f n potsegmentite [ i, i+ ], i =, n (crte` 3). M i G f m i i i+ C Crte` 3 Spored formult z plo{tin n prvogolnik, plo{tinite n prvogolnicite so osnov i visini m i, odnosno M i se ddeni so formulite m i odnosno M i, i =, n. Orzuvme n sumi od plo{tinite n site tkvi prvogolnici m i n i M, koi vsu{nost se sumi n Dru s( n ) i S( n ) z funkcijt f i z podelt n n segmentot [, ]. Spored uslovot funkcijt f e neprekint, {to zn~i integriln, i z ne postoi opredeleniot integrl f ( ) d z koj vì s( n ) < f ( ) d < S( n ). Od drug strn, s( n ) i S( n ) se sumi n plo{tini od prvogolnici i plo{tint n krivoliniskiot trpez se no me u niv z sekoj podel n segmentot [, ]. Spored to, zemj}i go predvid grni~niot proces kj definicijt z opredelen integrl, moème d kème dek plo{tint n krivoliniskiot trpez e rojot koj se doiv kko opredelen integrl f ( ) d, i i 4

. Opredelen integrl {to e vo soglsnost so geometriskt pretstv z plo{tin (n primer plo{tin n prvogolnik). Definicij.5. Nek e dden funkcij f definirn i neprekint n [, ] i z [, ] nek f(). Brojot f ( ) d se vik plo{tin n krivoliniski trpez orzuvn so grfikot n t funkcij. N sli~en n~in se do i do formult z presmetuvwe plo{tin n krivoliniski trpez i vo slu~j kog funkcijt e nepozitivn n [, ], pri {to z plo{tin se zem psolutnt vrednost n doieniot roj. Vo soglsnost so ov konsttcij se pok`uv slednoto tvrdewe: Teorem.4. Nek f e neprekint funkcij n [, ]. Plo{- tint n geometriskt slik ogrni~en so prvite =, = i krivt koj odgovr n grfikot n funkcijt f n [, ] se presmetuv so koristewe n osoint z ditivnost n opredelen integrl otkko prethodno segmentot [, ] }e se podeli n potsegmenti vo koi funkcijt f e ili smo nenegtivn ili smo nepozitivn. Sumirweto se vr{i kko sum n psolutni vrednosti. Primer.8. D se njde plo{tin n geometrisk slik ogrni~en so oskt i grfikot n funkcijt f() = sin definirn n segmentot [, ]. Ako go presmetme integrlot π sind, }e doieme kko rezultt. No ko skme d j presmetme plo{tint, tog{ π P = π sin d + sin d = () + = 4. π Teorem.5. Nek f, g se dve neprekinti funkcii n segmentot [, ] i z [, ] nek f() g(). Plo{tint n geometriskt slik ogrni~en so prvite =, = i krivite koi odgovrt n grficite n funkciite f i g n [, ] (crte` 4) se presmetuv so formult P = [g() f()]d. 4

Glv prv G g G f Crte` 4 Dokz: D pretpostvime dek z [, ], f(). Vo soglsnost so definicijt, plo{tint n krivoliniskiot trpez MNCD e dden so rojot g ( ) d, plo{tint n krivoliniskiot trpez MNBA so rojot f ( ) d (crte` 5). D C G g A B G f M Crte` 5 N Geometriski e jsno dek plo{tint n geometriskt slik ABCD }e ide dden so rojot g ( ) d f ( ) d, od kde vo 4

. Opredelen integrl soglsnost so osoint z ditivnost kj opredeleni integrli se doiv rnt formul. Ako pk ne e zdovolen uslovot [, ], f(), tog{ sekog{ postoi konstnt K, tk {to [, ], f() + K, i dokzot e ist so to {to z f() se zem f() + K, z g() se zem g() + K i n krjot se doiv istt formul. Primer.9. D se njde plo{tin n geometrisk slik ogrni~en so krivite koi se grfici n funkciite f() =, p g() = p, p > (crte` 6). p G f G g p Crte` 6 Re{enie: Vo soglsnost so formult se doiv p P = ( p ) d = p 3 4 p. Nek e dden polren koordinten sistem i nek e dden funkcij = f(), neprekint nenegtivn n segmentot [, ], ~ij grfik mo`e geometriski d se interpretir kko kriv vo polrniot koordinten sistem. Bidej}i spored uslovot f e funkcij, krivt j im osoint, [, ], z koi v`i, d sleduv M (, f( )) M (, f( )). Nek n e edn podel n segmentot [, ] so deleni 43

Glv prv to~ki = < < <...< n = n ednkvi rstojnij = = n d n. Nek m i i M i se njmlt i njgolemt vrednost n funkcijt f n potsegmentite [ i, i ], i =, n. Od geometriski spekt }e go rzgledme krivoliniskiot sektor AB, ogrni~en so otse~kite A, B i krivt AB koj odgovr n del od grfikot n funkcijt = f(), pri {to A(, f()), B(, f()) (crte` 7). B G i i i i A Crte` 7 Spored formult z plo{tin n kru`en ise~ok, plo{tinite n kru`nite ise~oci ogrni~eni so poluprvite = i, = i i del od kru`nict = m i, odnosno kru`nict = M i, se ddeni so formulite p i = i M m, odnosno P i = i, i =,n. Orzuvme sumi n m i i Dru s( n ) i S( n ) z funkcijt f ( n i M i i n podelt n. Spored uslovot funkcijt koi se sumi n ) n segmentot [, ] vo odnos ) f ( e neprekint, 44

. Opredelen integrl {to zn~i i integriln, n segmentot [, ] i z ne postoi opredeleniot integrl β α f () d. Od drug strn, plo{tint n krivoliniskiot sektor AB se no sekog{ me u sumite n Dru vo odnos n koj ilo podel n segmentot [, ]. Spored to, zemj}i go predvid grni~niot proces d n, mo`eme d k`eme dek i vo ovoj slu~j plo{tint n krivoliniskiot sektor AB e ednkv n opredeleniot integrl β α f () d. So ov formul se definir plo{tin n krivoliniski sektor. Primer.. D se njde plo{tin n krivoliniski sektor definirn so funkcijt =, [, ], > (Arhimedov spirl, crte` 8). Crte` 8 Spored formult se doiv P = β α f () d π = d = 3 4 3. 45

Glv prv Primer.. D se njde plo{tin n geometrisk slik vo polren koordinten sistem ogrni~en so kriv kko grfik n funkcijt = ( + cos), >, [, ] (krdioid, crte` 9). Crte` 9 Re{enie: P = β α 3 ρ () d = ( cos) d =. β Nek funkcijt f, definirn n segmentot [, ], e dden vo prmetrski vid so rvenkite = (t), = (t), t[, ], pri {to < (t) <, (t), t[, ]. Nek, ' i se neprekinti funkcii n (, ). Plo{tint n krivoliniski trpez ogrni~en so prvite =, = i krivt koj odgovr n grfikot n funkcijt f vo Dekrtov prvogolen koordinten sistem se presmetuv so opredeleniot integrl ψ ( t) ( t) dt. (Tuk d = '(t)dt, = α f() = (t) i se koristi soodvetnt formul z plo{tin n krivoliniski trpez.) Primer.. D se njde plo{tin n krivoliniski trpez definirn so funkcijt = (t sint), = ( cost), t[, ], > (cikloid, crte` ). β P = ψ ( t) ( t) dt = α π ( cost) dt = = cos t sin t dt = 3. 46

. Opredelen integrl Crte` Primer.3. D se njde plo{tin n geometrisk slik vo Dekrtov prvogolen koordinten sistem, ogrni~en so krivi kko grfici n funkciite f: = cost, = sint, t[, ] i g: = cost, = sint, t[, ] (elips). Pordi simetrij i soodvetni uslovi njprvin se presmetuv opredeleniot integrl n segmentot [, ]: β π cos t P = ψ ( t) ( t) dt = sin t ( sin t) dt = dt =. α Zn~i, P = P =. π Dokolku formult z presmetuvwe n plo{tin ne mo`e d se primeni pordi nezdovoluvwe n nekoi uslovi (neprekintost, nenegtivnost i sl.), tog{ vo tie slu~i se koristi osoint z ditivnost kj opredeleni integrli. D rzgledme telo vo prostor vo koj e dden prostoren Dekrtov prvogolen koordinten sistem, koe se no me u rmnini ddeni so rvenkite = i =. D rzgledme proizvolen presek n to telo so rmnin prleln so tie rmnini i dden so rvenkt = t, t. Presekot }e im plo{tin P koj o~evidno }e zvisi edinstveno od t. Nek t funkcionln vrsk n plo{tint P od promenlivt t e neprekint funkcij n segmentot [, ] so oznk P(t) (crte` ). Nek n e edn podel n segmentot [, ] so deleni to~ki = < < <...< n = n ednkvi rstojnij = = d n i nek n n potsegmentite [ i-, i ] funkcijt P(t) im njgolemi vrednosti M i i njmli vrednosti m i, i =, n. 47