Dru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike
|
|
- Ναβουχοδονόσορ Ἀρτεμίσιος Οικονόμου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Dru{tvo mtemti~r Srije Repuli~ki seminr 0, Novi Sd, Srij Pripremwe u~enik osnovnih {kol z tkmi~ew iz mtemtike \or e Brli}, Mtemti~ki institut SANU, Beogrd, Srij Zdrvko Cvetkovski, Evropski univerzitet, Skopqe, Mkedonij Izrni sdr`ji iz nejednkosti Elementrne nejednkosti Elementrne nejednkosti su osnov z izu~vwe drugih slo`enijih nejednkosti Zto je izu~vwe nejednkosti njoqe zpo~eti s elementrnim nejednkostim i ~injeniom d je kvdrt relnog roj nenegtivn reln roj Dokzti d z svki pozitivn reln roj x v`i nejednkost x + x Re{ewe Po imo od o~igledne nejednkosti (x ) 0 i doijmo x x + 0 x + x Deqewem ove nejednkosti s x > 0 doijmo tr`enu nejednkost Znk jednkosti v`i ko i smo ko je x = Smenom x =, > 0 doijmo ekvivlentnu nejednkost + Dokzti d z svk pozitivn reln roj, i v`i nejednkost Re{ewe Po imo od o~igledne nejednkosti ( ) +( ) +( ) 0 i doijmo ( + + ) ( + + ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = Dokzti d z svk pozitivn reln roj, i v`e nejednkosti Re{ewe Immo ( + + ) ( + + ) ( + + ) (++) +++(++) + + +(++) = (++) = = ( + + ) ( + + ) = ( + + ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = 4 Nek su,, i d pozitivni relni rojevi tkvi d je d = 4 Dokzti nejednkost d +
2 Re{ewe Immo + = + = Anlogno doijmo nejednkosti +, Sirwem ovih nejednkosti se doij + i d + d d d = 4 4 = Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = d = 5 Dokzti d z pozitivne relne rojeve, i v`i nejednkost ( + + ) Re{ewe Iz zdtk immo nejednkost z sve pozitivne x, y i z nejednkost x + y + z xy + yz + zx Primenom ove nejednkosti njpre z x =, y = i z =, ztim z x =, y = i z = doijmo: = () + () + () ()() + ()() + ()() = ( + + ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = Nejednkosti izme u sredin Nejednkosti izme u sredin se nezoilzne n mtemti~kim tkmi~ewim visokog rng u osnovnoj, ko i sredwoj {koli Zto je z uspe{no u~estovwe u~enik n tkmi~ewim potreno upoznvwe s ovim nejednkostim kroz dodtni rd, jer grdivo redovne nstve ne pokriv ovu temu Iko u~eniim osnovne{kole nije mogu}e dokzti ove nejednkosti u njopstijem oliku (ez ul`ew u neku oziqniju temu ko regresivn indukij ili Jensenov nejednkost), potreno im je rzvijti ose}j z primenu i uo~vwe ovih nejednkosti, ko i situije kd se one ne mogu upotreiti Slede} teorem koju djemo ez dokz opisuje nejednkosti izme u pozntih sredin Teorem Nek su,,, n pozitivni relni rojevi Brojevi K = n n G = n n, H =, A = n, n n se redom nzivju kvdrtn, ritmeti~k, geometrijsk i hrmonijsk sredin rojev,,, n Td v`i nejednkost n K A G H Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = n Nek su x, y i z pozitivni relni rojevi, tkvi d je x + y + z nejednkost (x )(y )(z ) 8 = Dokzti
3 Re{ewe Dt nejednkost je ekvivlentn nejednkosti Primenom nejednkosti A G doijmo ( ) ( ) ( ) x y z 8 x y z xyz, tj ( ) ( ) ( ) 8 x y z xyz x = y + z yz Anlogno doijmo nejednkosti y zx i z zx Mno`ewem ove tri nejednkosti doijmo tr`enu nejednkost Znk jednkosti v`i ko i smo ko je x = y = z = Nek su,, i d pozitivni relni rojevi Dokzti nejednkost d 6 d( + + d + d) Re{ewe Primenom A G nejednkosti doijmo d 6 6 Anlogno doijmo nejednkosti = d d 6 = d d d d 6 6 d, d, d Sirwem ovih nejednkosti doijmo 6( d 6 ) 6 = d 6 d+ d+ d + d = d(++d+d) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = d Nek su x, y i z pozitivni relni rojevi Dokzti nejednkost x yz + y zx + z xy x + y + z Re{ewe Primenom A G nejednkosti doijmo Anlogno doijmo nejednkosti Sirwem ovih nejednkosti doijmo x yz + y + z x yz y z = x y z + z + x y i zx xy + x + y z x yz + y zx + z + x + y + z x + y + z, xy
4 odkle sledi tr`en nejednkosti Znk jednkosti v`i ko i smo ko je x = y = z 4 Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Dokzti nejednkost Re{ewe Immo + + = = + + = ( + + ) ( = ( + + ) ( + + ) + ( + + ) = = ) + 4( + + ) = ( + + ) ( + + ) + 4 Primenom K A nejednkosti doijmo + + Primenom A H nejednkosti doijmo ( + + ) = = 9 Kori{}ewem ovih nejednkosti doijmo + + = ( + + ) ( + + ) = + 4 = 7 Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = 5 Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je ( + )( + )( + ) = 8 Dokzti nejednkost Re{ewe Immo (++) = + + +(+)(+)(+) = = } + + {{ + } 8 put 9 9 ( + + ) 8 Iskoristili smo A G nejednkost Dqim sre ivwem doijmo ( + + ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = Prolemi ekstremnih vrednosti = 4
5 Prolemi ekstremnih vrednosti se nlze u progrmim z tkmi~ew u osnovnoj i sredwoj {koli Blisko su povezni s nejednkostim, jer se tr`i d se odredi minimln, odnosno mksimln vrednost nekog izrz ili funkije, ~esto uz dodtni uslov n promenqivim Ovi prolemi vrirju od jednostvnih do jko te{kih Nj{}e je potreno primeniti n prvi n~in neku od pozntih nejednkosti, iskoristiti dti uslov n promenqivim i potom iskoristiti neku pozntu ~iweniu, k kvdrt relnog roj je jednk 0 smo ko je tj roj 0, znk jednkosti u nejednkosti izme u sredin se dosti`e smo ko su rojevi jednki itd Nek je x reln roj Odrediti minimlnu vrednost izrz x + x Prvo re{ewe Nek su x, y [, + ) i x > y Primetimo d je x + x y ( y = (x y) ) xy Zog x, y immo d je xy 9, p su o izrz u zgrdm nenegtivni Odvde sledi dje f(x) = x+ x rstu} funkij n [, + ) p je minimln vrednost funkije z x = jednk f( ) = 0 Drugo re{ewe Primetimo d je n osnovu A G nejednkosti i x x + x = x 9 + x + 8x 9 x 9 x = + 8 = 0 Jsno je d se minimln vrednost dosti`e ko i smo ko je x = Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + Odrediti minimlnu vrednost izrz Re{ewe Iskoristi}emo A G i A H nejednkost, potom uslov zdtk n slede}i n~in > = ( + + ) = 5 Dkle, minimln vrednost izrz je 5 i dosti`e se ko i smo ko je = = = Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Odrediti minimlnu vrednost izrz Re{ewe Iskoristi}emo njpe A G nejednkost n slede}i n~in = Iskoristi}emo sd K G nejednkost =
6 Dkle, i v`i = 4 Minimln vrednost izrz je 4 i dosti`e se ko i smo ko je = = = Ko{i-[vrov nejednkost Ko{i-[vrov nejednkost je jedn od njv`nijih nejednkosti u mtemtii Wene rojne primene ~ine je veom populrnom n tkmi~ewim, p je doro u~enike {to pre upoznti s wom Ovldti ovom nejednko{}u, s svkog tkmi~r predstvq vi{estruku i dugoro~nu doit Teorem Nek su,,, n i,,, n relni rojevi Td v`i nejednkost ( n)( n) ( n n ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko = = = n n Posledi Nek su,,, n i,,, n > 0 relni rojevi Td v`i nejednkost n n ( n ) ( n ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko = = = n n Nek su, i pozitivni relni rojevi Dokzti nejednkost Re{ewe Stvimo d je = +, = +, = + i = +, = + i n wih primenimo nejednkost Ko{i-[vr: = (( + ) + ( + ) + ( + )) ( ) ( ( + ) + + ( + ) + + ( + ) +) = ( + + ) = 9 ( ( + + ) ) 9 + ( ) , Ovim je nejednkost dokzn Znk jednkosti v`i ko i smo ko je + = + = +, tj = = Nek su,, > 0 relni rojevi Dokzti nejednkost
7 Re{ewe Primeni}emo nejednkost Ko{i-[vr-Buwkovskog n trojke ( + ), ( + ), ( + ) i +, +, +: ( (( + ) + ( + ) + ( + )) ( + ) + + ( + ) koj posle kvdrirw postje (( + + )) ) ( + ) ( , ) ( + + ) + Iskoristimo sd pozntu nejednkost ( + + ) ( + + ) i doijmo direktno tr`enu nejednkost Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Dokzti nejednkost Re{ewe Primenimo Ko{i-[vrovu nejednkost n slede}i n~in = (++) Iskoristimosdpozntiidentitet + + = (++)( + + ) i izrz u imeniou postje ( + + )( ) = ( + + )( ) = ( + + )( ( + + )) = ( + + ) Zmenom ovog identitet u imenil doijmo tr`enu nejednkost Izrni sdr`ji iz teorije rojev Teorij rojev je svkko jedn od njstrijih i njpopulrnijih mtemti~kih disiplin Nezoilzn je n mtemti~kim tkmi~ewim jo{ od njrnijih uzrst Reltivn privl~nost formulije ovkvih zdtk ~ini ove zdtke izzovnim tkmi~rim N ove zdtke tre ortiti posenu p`wu jer je to jedn od prvih susret s dokzom u mtemtii Deqivost i prosti rojevi U rdu s tlentim tre ortiti p`wu kko elementrn znw kominovn n rzli~ite n~ine dovode do re{ew Mnogi zdi vezni z deqivost i proste rojeve su veom te{ki, li teorijsko znwe koje je potreno z wihovo re{vwe se njlk{e usvj kod ve}ine u~enik Odrediti sve prirodne rojeve i tkve d su + i + eli rojevi Re{ewe Ne gue}i n op{tosti, mo`emo pretpostviti d je Iz uslov + sledi d je + = ( + )( ) tj + Dkle, +, p immo dv slu~j Ako je = td + i, osdnosno + Kko je + = ( )+ sledi d je tj {,,, } Zto {, 0,, } Proverom doijmo d su (, ) i (, ) re{ew zdtk Ako je = + zmenom u drugi izrz doijmo + + Dqe ( + + ) ( ) = 4 +, p je 4 +, kko je neprn roj to + Zto je + i 0 Ako je 4 td je 4 =, p {,, } Proverom nlzimo d z = i = immo re{ew, odnosno (, ) i (, ) su re{ew zdtk 7
8 Sv re{ew su (kd iskqu~imo pretpostvku ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) i (, ) Nek su i prirodni rojevi tkvi d je 00 + = 00 + Dokzti d je roj potpun kvdrt Re{ewe Dtu jednkost }emo zpisti u oliku ( )( + 00( + )) = Dovoqno je dokzti d je NZD(, +00(+)) =, odnosno d nijedn delil (osim ) roj ne deli + 00( + ) Zist, nek je p prost delil roj Kko sledi d p, odvde p jer je p prost roj (Pokzti z ve`u p p ko je p prost roj Iz p i p sledi d p Lko sd sledi d p + tj + = pk z neki prirodn roj k i + 00( + ) = + pk Odvde sledi d p + 00( + ) i NZD(, + 00( + )) = Ovim je dokz zvr{en Odrediti sve proste rojeve p i q tkve d su rojevi p+q i p+7q potpuni kvdrti Re{ewe Nek je p + q = i p + 7q =, td je = ( )( + ) = 6q Brojevi i + su iste prnosti, jer je ( + ) + ( ) = prn roj Kko je n desnoj strni prn roj sledi, d je r jedn od wih prn tj o su prn jer su iste prnosti Odvde 4 ( )( + ) = 6q i mor iti q =, jer je q prost roj i 4 6 Dkle, v`i ( )( + ) = Kko je < + i o su prni, sledi d je = i + = 6 Odvde je = i = 4 Lko nlzimo d mor iti p = i p = q = je jedino re{ewe 4 Odrediti sve proste rojeve p tkve d roj p + im t~no {est delil Re{ewe Ako je p = td je p + = 5, p nm to o~igledno ne ispuwv uslove zdtk Ako je p = td je p + = 0, p nm je ovo jedno re{ewe zdtk Nek je p >, td je p = 6k ± z neki prirodn roj k Primetimo d je Ako je p = 6k + td je p + = p + = (p )(p + ) + p + = (k(k + ) + ) Kko je k(k+)+ 5 to sigurno,,, 4, 6,, 6(k(k+)+), p + predstvqju 7 rzli~itih delil roj p +, p prosti rojevi ovog olik nisu re{ewe zdtk Anlogno z p = 6k pokzujemo d nisu re{ew zdtk Dkle, p = je jedinstveno re{ewe zdtk 5 Odrediti sve prirodne rojeve n koje imju t~no {est delil ~iji je zir 500 Re{ewe Ako n im t~no {est delil, ond je on olik p 5 ili p q z neke proste rojeve p i q Ako je n = p 5 td je + p + p + p + p 4 + p 5 = 500, odvde p( + p + p + p + p 4 ) = 499 8
9 Kko,, 5, 7 i ne dele 499 to je p, li je td sum n levoj strni ve} od 499 i u ovom slu~ju nem re{ew Ako je n = p q td je + p + p + q + pq + p q = 500, odvde ( + p + p )( + q) = 500 = 5 7 Broj + p + p = + p(p + ) je o~igledno neprn Direktno provervmo rzmtrju}i p = 5k, p = 5k ± i p = 5k ± d je + p + p roj koji nije deqiv s 5, tj + p + p = 7 Dkle, p = {to povl~i q = 499 Ovo je i jedino re{ewe, {to utvr ujemo proverom Kongruenije i Ojlerov teorem Kongruenije i rd s kongruenijm su deo stndrdnih progrm z tkmi~ew Svkko d u rdu s tlentim ovoj temi tre posvetiti punu p`wu Ojlerov teorem tj Ml Fermov teorem su od pre nekoliko godin stlno me u predlozim z juniorske olimpijde, p svkko d u pripremm z ov tkmi~ew tre ortiti ovu teoremu Dokzti d roj S = nije potpun kvdrt Re{ewe Immo: Ako je n = 6k + td je n n (mod ) Ako je n = 6k + td je n n (mod ) Ako je n = 6k + td je n n 0 (mod ) Ako je n = 6k + 4 td je n n (mod ) Ako je n = 6k + 5 td je n n (mod ) Ako je n = 6k + 6 td je n n 0 (mod ) Zto je (6k + ) 6k+ + (6k + ) 6k+ + (6k + ) 6k+ + (6k + 4) 6k+4 + (6k + 5) 6k+5 + (6k + 6) 6k (mod ) Odvde sledi S (mod ) Kko kvdrt prirodnog roj ne mo`e d dje osttk pri deqewu s, tvr ewe je dokzno Odrediti posledwe dve ifre roj 9 99 Re{ewe Potreno je odrediti osttk pri deqewu s 00 roj 9 99 Immo d je ϕ(00) = 00 ( ) ( 5) = 40, kko je NZD(9, 00) =, primenom Ojlerove teoreme doijmo 9 40 = 9 ϕ(00) (mod 00) Dqe je 9 9 = (mod 40) i 9 9 = 40k + 9 Odvde je 9 99 = 9 40k+9 = 9 40k (mod 00) Nek je p > 5 prost roj Dokzti d je p 8 (mod 40) Re{ewe Immo d je 40 = 4 5 Kko je p > 5 to je p uzjmno prosto s, 5 i 6 p primenom Ojlerove teoreme doijmo p (mod ), p 4 (mod 5)ip 8 (mod 6) Odvde je p 8 (mod ) i p 8 (mod 5) Dkle, 5 6 p 8 Sd tvr ewe zdtk direktno sledi 9
10 4 Re{iti u skupu elih rojev jedn~inu x + y + z = 00 Re{ewe Lko se proverv d eo roj mo`e dvti osttke 0, ili 8 pri deqewu s 9 Ȯdvde sledi d su mogu}i osti pri deqewu s 9 roj x + y + z ; 0,,,, 6, 7, i 8 Kko je 00 5 (mod 9) dt jedn~in nem re{ew u skupu elih rojev 5 Odrediti sve trojke prirodnih rojev x, y i z tkve d je x + 4 y = 5 z Re{ewe Posmtrju}i dtu jedn~inu (mod 4) doijmo, x 5 z (mod 4), odkle sledi d je x = x z neki prirodn vroj x Posmtrju}i dtu jedn~inu (mod ) doijmo, 5 z 4 y (mod ), odkle sledi d je z = z z neki prirodn roj z Uvrstimo to i zpi{imo jedn~inu u oliku 4 y = (5 z + x )(5 z x ) Primetimo d su 5 z + x i 5 z x prni rojevi, i ko je d = NZD(5 z + x, 5 z x ) to d (5 z + x ) (5 z x ) = x i d =, jer 5 z x i 5 z + x Odvde je 5 z x = i 5 z + x = y Dqe je x = y = ( y )( y + )> Lko dokzujemo d je NZD( y, y + ) = i odvde je y = Sd jednostvno nlzimo d je y =, x = i z = Ovo je jedinstveno re{ewe Izrni sdr`ji iz geometrije Geometrij je po mnogim njlep{i deo mtemtike Rzvij mnoge ve{tine kod u~enik, li ~esto mnogi imju prolem s dokzim u geometriji Rznovr-snost i nestndrdnost idej ~ine zdtke iz geometrije stlno ktuelnim n tkmi~ewim iz mtemtike Uz dekvtn rd s ovim zdim mo`emo rzviti ose}j z geometriju Lepot geometrijskih tvr ew i wihovo otkrivwe su izzovi i inspirij i z njoqe mtemti~re (Teorem o simetrli ugl) Nek je M t~k n strnii BC trougl ABC Dokzti d je AM simetrl unutr{weg ugl A ko i smo ko je BM : CM = AB : CA Re{ewe Nek je M t~k u kojoj simetrl ugl A se~e BC Nek je h visin ABC iz temen A Immo d je BM CM h BM = CM h = P BMA P CMA 0
11 Nek su D, D podno`j norml iz M n AB i BC Immo d je BM CM = P MD BMA AB = P CMA CA MD = AB CA, jer je AMD = AMD (ugostrni-ugo) i MD = MD Ostje d pok`emo ornuti deo tvr ew Nek su D, D podno`j norml iz M n AB i BC Immo d je n osnovu prethodnog del BM CM = P BMA P CMA = AB MD CA MD = AB CA, odkle je MD = MD, ovo povl~i AMD = AMD i BAM = CAM = α (^evijev teorem) Nek su P, Q i R t~ke prvih odre enih ivim BC, CA, AB trougl ABC Prve AP, BQ i CR seku se u jednoj t~ki ko i smo ko je: BP P C CQ QA AR RB = Re{ewe Nek su h i h du`ine norml iz A i M n BC Immo d je P CAM = P CAP P CMP = CP (h h ) P ABM = P BCP P BMP = BP (h h ) Lko se nlzi d je Anlogno, CQ = P BCM QA P ABM P CAM = P ABM, AR = P CAM BR BP P C CQ QA BP (h h ) BR (h h ) = BP CP = BP P C P BCM Mno`e}i ove tri jednkosti doijmo AR RB = P ABM P BCM P CAM = P CAM P ABM P BCM Ostje d pok`emo deo smo ko Nek su t~ke P, Q i R n strnim BC, CA i AB tkve d je BP CQ AR = Nek se prve BQ i CR seku u jednoj t~ki M i nek prv P C QA RB AM se~e strniu BC u t~ki P
12 Td su t~ke P, Q i R n strnim BC, CA i AB tkve d se prve AP, BQ i CR seku u jednoj t~ki M, p je prem gore dokznom delu BP P C CQ QA AR RB = Iz ove dve jednkosti doijmo BP BP, odkle je P P (ne postoje dve t~ke koje dele P C du` u istom odnosu) Nek su P, Q i R t~ke n strnim BC, CA i AB trougl ABC, respektivno Prve AP, BQ i CR seku se u M Dokzti d je P C = MP AP + MQ BQ + MR CR = Re{ewe Nek su h, h du`ine norml iz A i M n BC Immo d je AA P MM P (svi uglovi jednki) i otud MP AP Sd immo d je MP AP = h h = = h h BC h BC h = P BMC P ABC Anlogno, MQ BQ = P CMA P ABC i MR CR = P ARB P ABC Sirju}i ove tri jednkosti doijmo MP AP + MQ BQ + MR CR = P BMC + P CMA + P AMB P ABC = P ABC P ABC = 4 Nek su P, Q i R t~ke n strnim BC, CA i AB trougl ABC, respektivno Prve AP, BQ i CR seku se u M Nek je AP njmw od du`i AP, BQ i CR Dokzti d je AP MP + MQ + MR Re{ewe Immo d je po uslovu zdtk AP BQ i AP CR Kominuju}i to s prethodnim zdtkom doijmo Odvde je = MP AP + MQ BQ + MR CR MP AP + MQ AP + MR AP MP + MQ + MR AP
13 Ovim je tvr ewe zdtk dokzno 5(Meneljev teorem) Nek su P, Q i R t~ke prvih odre enih ivim BC, CA i AB trougl ABC T~ke P, Q i R su kolinerne ko i smo ko je: BP P C CQ QA AR RB = Re{ewe Nek t~ke P, Q i R le`e n prvoj p Nek su A, B, C podno`j norml iz A, B i C n p Immo d je BRB ARA i Anlogno je CC AA = CQ i BB QA CC AR RB = AR BR = AA BB = BP P C Mno`e}i ove tri jednkosti doijmo BP P C CQ QA AR RB = ( BB CC ) CC AA AA BB = Deo smo ko se dokzuje tko {to uo~imo t~ku P u kojoj prv QR se~e BC i postupimo nlogno dokzu z zdtk 6(Pposov teorem) Nek su A, B, C i A, B, C trojke kolinernih t~k u rvni koje nisu sve n istoj prvoj Prve AB i BA seku se u P, BC i CB u Q, CA i AC u R Dokzti d su t~ke P, Q, i R kolinerne Re{ewe Nek je M prese~n t~k prvih AC i BA, N prese~n t~k prvih AC i CB i L prese~n t~k prvih CB i BA Primeni}emo Meneljevu teoremu n trougo LMN Z t~ke C, R i A doijmo MR RN NC CL LA A M = () Z t~ke P, A i B koje tko e le`e n jednoj prvoj doijmo LP P M MA AN NB B L Z prvu koj sdr`i t~ke Q, B i C doijmo NQ QL LB BM MC C N Z prvu koj sdr`i t~ke A, B i C doijmo = () = () NC CL LB BM MA = (4) AN Z prvu koj sdr`i t~ke A, B i C doijmo LA A M MC C N NB B L = (5)
14 Pomno`imo sd relije (), () i () i doijmo odnosno MR RN NC CL LA A M LP P M MA AN NB B L NQ QL LB BM MC C N =, LP P M MR RN NQ QL NC CL LB BM MA AN LA A M MC C N NB B L = Sd iskoristimo relije (4) i (5) i doijmo LP P M MR RN NQ QL = Odvde n osnovu Meneljeve teoreme primewene n trougo LMN i t~ke P, Q i R sledi d su t~ke P, Q i R kolinerne Izrni sdr`ji iz komintorike Komintorik je jedn od njizzovnijih i stlno ktuelnih olsti mtemtike Rzvijju}i komintorni n~in rzmi{qw kod u~enik rzvijmo ne smo wihovu kretivnost, ve} i sposonost d pstrktno misle i r`e usvjju nove sdr`je Iko poso pripremw z ove zdtke predstvq njdu`i i njte`i deo ovog posl, potreno je stlno izlgti u~enike ovim zdim Odredi roj re{ew u skupu nenegtivnih elih rojev jedn~ine x + x + + x k = n Re{ewe Nek immo n + k kvdrti} u vrsti, wih k ojimo u rveno Prerojimo od leve n desno ele kvdrti}e koje se nlze izme u rvenog i slede}eg rvenog kvdrti} Zir ovih k rojev je n+k (k ) = n i svko ojewe is~itv jedno re{ewe jedn~ine k- n+k+ Ornuto, jedno re{ewe jedn~ine zdje lgoritm z ojewe Prvih x kvdrti} ostvimo ele, p slede}i oojimo, p nrednih x ne ojimo, p slede}i oojimo itd Ovim smo uspostvili ijekiju izme u roj re{ew jedn~ine i roj ojew koji je ( n + k k ) 4
15 Odredi roj re{ew u skupu prirodnih rojev jedn~ine x + x + + x k = n Re{ewe Primetimo d ko svkom re{ewu jedvine oduzmemo, doijmo re{ewe jedn~ine y + y + + y k = n k Ornuto je o~igledno t~no, p je tr`eni roj re{ew po prethodnoj formuli ( ) (n k) + k = k ( n k Iz kutije koj sdr`i 0 rzli~itih kugli vr{i se izor 4 kuglie Odrediti roj rzli~itih izor: ) ko je redosled izvu~enih kugli itn i izor se vr{i s vr}wem; ) ko je redosled izvu~enih kugli neitn i izor se vr{i s vr}wem; v) ko je redosled izvu~enih kugli itn i izor se vr{i ez vr}w; g) ko je redosled izvu~enih kugli neitn i izor se vr{i ez vr}w Re{ewe ) 0 4 ) x + x + x + + x 9 + x 0 = 4 ( ) = 0 ( ) 9 v) g) ( ) Tl dimenzij 9 7 poplo~n je figurm dv tip ko n slii Nek je n roj figuri tip kvdrt koji u~estvuju u polo~vwu Odrediti mogu}e vrednosti roj n Re{ewe Ozn~imo s m roj figuri tip ugo Jsno je d je ukupn roj poq n tli 4n + m = 6 Odvde je jsno d je n deqivo s Oojimo 0 poq tle ko n slii Primetimo d figur tip ugo pokriv njvi{e jedno oojeno poqe, figur tip kvdrt t~no jedno oojeno poqe Zto je n + m 0, odnosno n + m 60 Odvde je zog n + 4m = 6, n ) Dkle, n = ili n = 0 su jedine mogu}nosti {to i dokzuju primeri poplo~vw n slikm 5
16 Zdi z smostlni rd Nejednkosti Nek su, i relni rojevi tkvi d je + + Dokzti nejednkost + + Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Dokzti nejednkost Nek su x i y pozitivni relni rojevi ~iji je zir x+y = Dokzti nejednkost x y (x + y ) 4 Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Odrediti mksimlnu vrednost izrz A = Nek su, i pozitivni relni rojevi koji zdovoqvju Dokzti d je Nek su, i pozitivni relni rojevi Odrediti njmwu mogu}u vrednost izrz Teorij rojev Odrediti sve prirodne rojeve k z koje postoji prirodn roj n, tkv d su n + i (n + ) + deqivi s k Odrediti sve proste rojeve i tkve d je roj tko e prost roj Dokzti d jedn~in x + y = 4(x y + xy + ) nem re{ew u skupu elih rojev 4 Odrediti sve proste rojeve p tkve d p p + 5 Nek je p = 4k + prost roj Dokzti d ko p + ond p i p 6 Odrediti sve prirodne rojeve n, tkve d je n + n + 7 potpun ku Geometrij Dokzti d se simetrle unutr{wih uglov trougl seku u jednoj t~ki ( Iskoristiti teoremu o simetrli ugl ) Dokzti d se simetrl jednog spoq{weg ugl i simetrle preostl dv unutr{w ugl seku u jednoj tvki ( Iskoristiti teoremu o simetrli ugl ) 6
17 Nek su A,B i C podno`j visin redom iz temen trouglov A,B, C trougl ABC Dokzti d se prve AA, BB, CC seku u jednoj t~ki, ortoentru trougl ( Dokzti d je ABC AC B ) 4 Nek su k, k, k spoq upisni krugovi trougl koji odgovrju temenim A, B, C redom trougl ABC Krugovi k, k, k dodiruju strnie BC, CA, AB redom u t~km P, Q, R Dokzti d se prve AP, BQ, CR seku u jednoj t~ki, Ngelovoj t~ki trougl ( Iskoristiti jednkost tngentnih du`i iz iste t~ke ) 5 Tngent n opisni krug trougl ABC u temenu A se~e prvu BC u t~ki A T~ke B i C defini{u se nlogno Dokzti d su t~ke A, B, C kolinerne 6 Tngent n opisni krug trougl ABC u temenu A se~e prvu BC u t~ki A, t~k A je sredi{te du`i A A T~ke B i C defini{u se nlogno Dokzti d su t~ke A, B, C kolinerne i d je prv koj ih sdr`i normln n Ojlerovu prvu trougl ( Iskoristiti poteniju n opisni i n Ojlerov krug trougl ) Komintorik Dokzti d postoji roj koji se zpisuje smo pomo}u jedini, koji je deqiv s 0 Dokzti d se u krug polupre~nik r = 9 ne mo`e smestiti 400 t~k tko d svke dve od wih udu n rstojwu ve}em od Iz skup {,,, n} izrno je n + rojev Dokzti d me u wim mogu n}i tkv d: ) jedn deli drugog; ) su uzjmno prosti; v) wihov zir je n ili je izrn roj n 4 Koliko im permutij rojev 0,,,, 9 kod kojih: ) rojevi 0 i susedni; ) rojevi 0 i susedni i 0 je ispred ; v) roj 0 se nlzi ispred (ne ovezno ispred); g) rojevi 0 i nisu susedni? 5 Tl dimenzij 0 0 poplo~n je s dominm U svku vertiklnu dominu upisn je roj vrste u kojoj se nlzi, u svku horizontlnu roj kolone u kojoj se nlzi (Vrste i kolone su numerisne rojevim od do 0) Dokzti d je zir svih npisnih rojev deqiv s 6 D li se tl dimenzij 0 0 poplo~ti plo~in dimenzij 4? 7
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότεραМногоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла. Obele`i svaki mnogougao, a zatim napi{i kojoj vrsti po broju stranica pripada.
Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла 1 Obele`i svki mnogougo, ztim npi{i kojoj vrsti po broju strnic pripd. Petougo Ncrtj osmougo FGH. Obele`i wegov temen. ) Npi{i temen
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραRazliqiti metodi rexavanja geometrijskog problema
Rzliqiti metodi rexvnj geometrijskog problem Vldimir lti bltic@gleb.etf.bg.c.yu Lepot mtemtike se ogled u rzliqitim putevim z rexvnje problem. Nstvnici i profesori bi treblo veliki broj zdtk d rexvju n nekoliko
Διαβάστε περισσότεραDIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00
Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri
Διαβάστε περισσότεραMetode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Διαβάστε περισσότεραLINEARNE JEDNAČINE. za koji važi: a x b
LINERNE JEDNČINE Pod linernom jednčinom po x podrzumevmo svku jednčinu s nepozntom x koj se ekvivlentnim trnsformijm svodi n jednčinu olik: gde su i dti relni rojevi. x Rešenje ove jednčine je svki reln
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE. za prijemni ispit na Vojnoj akademiji
\URI[I] DU[AN BRKI] NADA ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE z prijemni ispit n Vojnoj kdemiji MINISTARSTVO ODBRANE SEKTOR ZA QUDSKE RESURSE UPRAVA ZA [KOLSTVO VOJNA AKADEMIJA AUTORI Du{n \uri{i}, profesor Nd
Διαβάστε περισσότεραNEJEDNAKOSTI I PRIMENE
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske
Διαβάστε περισσότεραDodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραγ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραPoučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMarija Stani} Neboj{a Ikodinovi} TEORIJA BROJEVA Zbirka zadataka
Marija Stani} Neboj{a Ikodinovi} TEORIJA BROJEVA Zbirka zadataka 2004 Sadr`aj Predgovor 5 1. Funkcija ceo deo 7 1.1. Zadaci........................... 10 2. Deqivost celih brojeva 22 2.1. Zadaci...........................
Διαβάστε περισσότεραIstosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
Διαβάστε περισσότεραSheet H d-2 3D Pythagoras - Answers
1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότεραPriprema za ispit - RJEŠENJA
Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo
Διαβάστε περισσότεραIntegralni raqun. F (x) = f(x)
Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek
Διαβάστε περισσότεραZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραB I O M A T E M A T I K A
Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA
PRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA Skupovi Brojevi Osnovni zkoni Opercije Rcionlizcij Proporcije Polinoi Množenje, deljenje, rstvljnje n činioce, njnji zjednički sdržilc, njveći zjednički delilc Ekvivlentne trnsforcije
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραhttp://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K A 1
Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F
ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
Διαβάστε περισσότεραHONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραKONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.
KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραIntegracija funkcija više promenljivih
Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραJ! "#$ %"& ( ) ) ) " *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) &
J! "#$ %"& J ' ( ) ) ) " *+, -./0-, L *- /! /!+12,3-4 % +15,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/01 ',913-51:--
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραSavijanje elastične linije
//00 Svijnje estične inije Anitičk metod odreďivnj estične inije Irčunvnje ugi i ngi u pomoć tic Prv jednčin svijnj Normni npon u nekoj tčki poprečnog presek s M moment spreg s M I x I x ksijni moment
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE
SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότερα! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα