Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức

Σχετικά έγγραφα
Năm Chứng minh. Cách 1. Y H b. H c. BH c BM = P M. CM = Y H b

Năm Chứng minh Y N

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a

O 2 I = 1 suy ra II 2 O 1 B.

Năm 2014 B 1 A 1 C C 1. Ta có A 1, B 1, C 1 thẳng hàng khi và chỉ khi BA 1 C 1 = B 1 A 1 C.

1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Q B Y A P O 4 O 6 Z O 5 O 1 O 2 O 3

ĐỀ 56

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 LẦN 1

Vectơ và các phép toán

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 04) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

M c. E M b F I. M a. Chứng minh. M b M c. trong thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ).

Suy ra EA. EN = ED hay EI EJ = EN ED. Mặt khác, EID = BCD = ENM = ENJ. Suy ra EID ENJ. Ta thu được EI. EJ Suy ra EA EB = EN ED hay EA

I 2 Z I 1 Y O 2 I A O 1 T Q Z N

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC NGÀY THI : 19/06/2009 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Năm 2017 Q 1 Q 2 P 2 P P 1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Tính: AB = 5 ( AOB tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 π a 2 + πa 2 = 23 π a 2. b) V = 3 π = 1.OA. (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)

O C I O. I a. I b P P. 2 Chứng minh

5. Phương trình vi phân

Tuyển chọn Đề và đáp án : Luyện thi thử Đại Học của các trường trong nước năm 2012.

Môn: Toán Năm học Thời gian làm bài: 90 phút; 50 câu trắc nghiệm khách quan Mã đề thi 116. (Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

L P I J C B D. Do GI 2 = GJ.GH nên GIH = IJG = IKJ = 90 GJB = 90 GLH. Mà GIH + GIQ = 90 nên QIG = ILG = IQG, suy ra GI = GQ hay Q (BIC).

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

Năm Pascal xem tại [2]. A B C A B C. 2 Chứng minh. chứng minh sau. Cách 1 (Jan van Yzeren).

Chứng minh. Cách 1. EO EB = EA. hay OC = AE

HÀM NHIỀU BIẾN Lân cận tại một điểm. 1. Định nghĩa Hàm 2 biến. Miền xác định của hàm f(x,y) là miền VD:

Tứ giác BLHN là nội tiếp. Từ đó suy ra AL.AH = AB. AN = AW.AZ. Như thế LHZW nội tiếp. Suy ra HZW = HLM = 1v. Vì vậy điểm H cũng nằm trên

- Toán học Việt Nam

ĐỀ 83.

tâm O. CMR OA1 5 HD. Tính qua các véc tơ chung điểm đầu A Bài 19. Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G.

x y y

A E. A c I O. A b. O a. M a. Chứng minh. Do XA b giao CI tại F nằm trên (O) nên BXA b = F CB = 1 2 ACB = BIA 90 = A b IB.

Lecture-11. Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biếnđổi Laplace

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA

ShaMO 30. f(n)f(n + 1)f(n + 2) = m(m + 1)(m + 2)(m + 3) = n(n + 1) 2 (n + 2) 3 (n + 3) 4.

Kinh tế học vĩ mô Bài đọc

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2017 Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian giao đề (50 câu trắc nghiệm)

TỨ DIỆN VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHÓP TAM GIÁC

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: 1

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG TRONG BÀI TOÁN YẾU TỐ CỐ ĐỊNH

* Môn thi: VẬT LÝ (Bảng A) * Ngày thi: 27/01/2013 * Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ:

có nghiệm là:. Mệnh đề nào sau đây đúng?

TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG

( ) 01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Thầy Đặng Việt Hùng. Tài liệu tham khảo: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Thầy Hùng. Chuyên đề Hình học không gian

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Tối ưu tuyến tính. f(z) < inf. Khi đó tồn tại y X sao cho (i) d(z, y) 1. (ii) f(y) + εd(z, y) f(z). (iii) f(x) + εd(x, y) f(y), x X.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên

H ng d n gi i m t s bài t p t a trong không gian nâng cao. là góc nhọn. Chọn. Câu 1: Tìm m để góc giữa hai vectơ: u phương án đúng và đầy đủ nhất.

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG IV

7. Phương trình bậc hi. Xét phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) Công thức nghiệm b - 4c Nếu > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: b+ b x ; x Nế

A 2 B 1 C 1 C 2 B B 2 A 1

Bài 5. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình

Nội dung. 1. Một số khái niệm. 2. Dung dịch chất điện ly. 3. Cân bằng trong dung dịch chất điện ly khó tan

A. ĐẶT VẤN ĐỀ B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

x = Cho U là một hệ gồm 2n vec-tơ trong không gian R n : (1.2)

Bài Tập Môn: NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH

Bài giảng PHƯƠNG PHÁP TRẢI HÌNH TRÊN MẶT PHẲNG Người soạn :Trần Thị Hiền Tổ toán trường THPT Chuyên Hạ Long

Chương 12: Chu trình máy lạnh và bơm nhiệt

MATHSCOPE.ORG. Seeking the Unification of Math. Phan Đức Minh Trương Tấn Sang Nguyễn Thị Nguyên Khoa Lê Tuấn Linh Phạm Huy Hoàng Nguyễn Hiền Trang

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG II

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH NIÊN KHÓA: * * CHUYÊN ĐỀ

Chương 2: Đại cương về transistor

Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải tích vectơ HUỲNH QUANG VŨ. Hồ Chí Minh.

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

c) y = c) y = arctan(sin x) d) y = arctan(e x ).

x i x k = e = x j x k x i = x j (luật giản ước).

Ngày 26 tháng 12 năm 2015

1.6 Công thức tính theo t = tan x 2

Phụ thuộc hàm. và Chuẩn hóa cơ sở dữ liệu. Nội dung trình bày. Chương 7. Nguyên tắc thiết kế. Ngữ nghĩa của các thuộc tính (1) Phụ thuộc hàm

+ = k+l thuộc H 2= ( ) = (7 2) (7 5) (7 1) 2) 2 = ( ) ( ) = (1 2) (5 7)

Câu 2. Tính lim. A B. 0. C D Câu 3. Số chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử bằng A. C 3 10

2.1 Tam giác. R 2 2Rr = d 2 (2.1.1) 1 R + d + 1. R d = 1 r (2.1.2) R d r + R + d r = ( R + d r. R d r

Sử dụngụ Minitab trong thống kê môi trường

BÀI TẬP LỚN MÔN THIẾT KẾ HỆ THỐNG CƠ KHÍ THEO ĐỘ TIN CẬY

TS. Nguyễn Văn Lợi (chủ biên)-ths. Hoàng Văn Tựu 108 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LỚP 7 Draft

x + 1? A. x = 1. B. y = 1. C. y = 2. D. x = 1. x = 1.

Biên soạn và giảng dạy : Giáo viên Nguyễn Minh Tuấn Tổ Hóa Trường THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ

Chuyên đề7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

DANH SÁCH NHÓM 8. Hình học sơ cấp : Phép quay

MALE = 1 nếu là nam, MALE = 0 nếu là nữ. 1) Nêu ý nghĩa của các hệ số hồi quy trong hàm hồi quy mẫu trên?

Ví dụ 2 Giải phương trình 3 " + = 0. Lời giải. Giải phương trình đặc trưng chúng ta nhận được

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: 1 sin x sin cos x π x x = + +.

BÀI TẬP. 1-5: Dòng phân cực thuận trong chuyển tiếp PN là 1.5mA ở 27oC. Nếu Is = 2.4x10-14A và m = 1, tìm điện áp phân cực thuận.

TRANSISTOR MỐI NỐI LƯỠNG CỰC

Bài Giảng Môn học: OTOMAT VÀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC

1.3.3 Ma trận tự tương quan Các bài toán Khái niệm Ý nghĩa So sánh hai mô hình...

có thể biểu diễn được như là một kiểu đạo hàm của một phiếm hàm năng lượng I[]

ĐỀ BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ SONG SONG HỆ PHÂN BỐ (501047)

BÀI TẬP ÔN THI HOC KỲ 1

ĐỀ 1 Bài 1: Giải các phương trình sau:

Y i = β 1 + β 2 X 2i + + β k X ki + U i

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 4

(CH4 - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI, SO SÁNH VÀ KIỂM ĐỊNH) Ch4 - Phân tích phương sai, so sánh và kiểm định 1

Transcript:

SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa ñộ.khi ñó khoảng cách giữa hai ñiểm M và M ñược tính theo công thức MM Đặt d(, ) ñược xác ñịnh như sau: a, d(, ) 0 d(, ) 0, C b, d(, ) d(, ), c, d(, ) d(, ) + d(, C ),,.Chia ñoạn thẳng theo tỉ lệ k ( k R ) a. Cho ñiểm phân biệt A và B trên mặt phẳng tọa ñộ ñược biểu diễn bởi số phức a và b. Gọi M là ñiểm tùy ý ñược biểu diễn bởi số phức. Điểm M chia ñoạn AB theo tỉ số k như sau: uuur uuur MA K MB C Đưa về số phức ta có a - k(b - ) hay ( - k) a - kb. Từ ñó a kb k Chú ý : Với k thì M là trung ñiểm AB. b.. Cho ñiểm không thẳng hàng A, B và C trên mặt phẳng tọa ñộ ñược biểu diễn bởi số phức a, b và c. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi ñó ñiểm G ñược biểu diễn theo số phức là G a + b + c.

.Điều kiện ñể ñiểm thẳng hàng, hai ñường thẳng vuông góc. Gọi,,, 4 là các số phức lần lượt biểu diễn cho các ñiểm M, M 4 trên mặt phẳng phức. Mệnh ñề. : Ba ñiểm M thẳng hàng khi và chỉ khi: R : Thật vậy, ba ñiểm M thẳng hàng khi và chỉ khi M M M { π} hay acgument { 0; π} 0;, tức là R Mệnh ñề. Hai ñường thẳng MM M 4 vuông góc với nhau khi và chỉ khi 4 ir π π : Thật vậy, ta có MM M M 4 ( MM M 4 ) ; π π acgument ;. Từ ñó ta có ir. 4 4 Chú ý : Nếu M M 4 thì MM M M khi và chỉ khi 4. Tam giác ñồng dạng ir Gọi a, a, a, b, b, b là các số phức lần lượt biểu diễn cho các ñiểm A, A, A, B, B, B trên mặt phẳng phức. Mệnh ñề Hai tam giác A A A và B BB ñồng dạng với nhau khi và chỉ khi a a b b a a b b A A B B A A A B BB và A A A B BB, Từ ñó A A B B a a b b a a b b a a b b a a b b. Suy ra. a a b b a a b b và acgument acgument

Ví dụ : Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, vẽ các tam giác ADB, BEC, CFA ñồng dạng với nhau. rằng ABC và DEF có cùng trọng tâm. Theo giả thiết các tam giác ADB, BEC, CFA ñồng dạng với nhau nên ta có : d a e b f c b a c b a c Từ ñó ta có d a + (b - a), e b + (c - b), f c + (a - c). Nên tính ñược d + e + f a + b + c Vậy hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm. 5.Phần thực của tích hai số phức Cho a và b là hai số phức Định nghĩa Phần thực tích của hai số phức a và b là một số cho bởi Ta dễ thấy a. b ( ab + ab) a. b ( ab + ab) a. b. Vậy a.b là số thực Mệnh ñề 5. Cho a, b, c, là các số phức, khi ñó:, a. a a, a.bb.a, a(b+c)a.b+a.c 4, ( αa) b α( ab) a( αb), α R 5, a.b 0 OA OB, trong ñó a và b là biểu diễn của ñiểm A và ñiểm B trên mặt phẳng phức. 6, (a.).(b.) ( a. b )

Mệnh ñề 5. Cho 4 ñiểm phân biệt A, B, C, D phân biệt ñược biểu diễn bởi 4 số phức a, b, c, d tương ứng.khi ñó các khẳng ñịnh sau là tương ñương:, AB CD, (b-a).(d-c) 0, b a ir d c b a (hoặc Re( ) 0) d c () ()Lấy ñiểm M(b-a) và N(d-c).Khi ñó OABM và OCDN là các hình bình hành. Ta có AB ñề 5.) CD khi và chỉ khi OM ON, nghĩa là m.n(b-a).(d-c)0 (theo mệnh () () ñược suy ra theo ñịnh nghĩa của tích số thực II.ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN Ví dụ Cho tứ giác ABCD. rằng AC BD. AB + CD AD + BC khi và chỉ khi Gọi a, b, c, d là các số phức biểu diễn cho các ñỉnh A,B, C, D của tứ giác ABCD. Theo giả thiết ta có AB + CD AD + BC (b-a)(b-a)+(d-c)(d-c)(d-a)(d-a)+(c-b)(c-b) a.b + c.d b.c + d.a (c - a). (d - b) 0 AC BD Nhận xét Rõ ràng ứng dụng số phức ñể chứng minh thì bài toán ñơn giản và ngắn gọn hơn nhiều so với làm hình học thông thường. Ví dụ Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. rằng AB CD khi và chỉ khi BC + AD ( EG + FH ).

Gọi a,b,c,d,e,f,g,h là các số phức biểu diễn cho các ñiểm A, B, C, D, E, F, G, H. Khi ñó ta có : a + b e, Từ giả thiết ta có b + c c + d f, g, d + a h. BC + AD ( EG + FH ) Trở thành (c-b)(c-b)+(d-a)(d-a) (g-e)(g-e)+(h-f)(h-f) (c-b)(c-b)+(d-a)(d-a) ( c + d a b)( c + d a b) + ( a + d b c)( a + d b c) c.c + b.b + d.d + a.a - b.c - a.d a.a + b.b + c.c + d.d - a.c - b.d a.d + b.c a.c + b.d. (a - b).(d - c) 0 AB Ví dụ CD.(ñiều phải chứng minh). Cho tam giác ABC có trọng tâm G. và AA, BB, CC lần lượt là các ñường trung tuyến xuất phát từ ñỉnh A, B, C. rằng với mọi ñiểm M bất kì ta luôn có: MA + MB + MC + 9MG 4( MA + MB + MC ) () Gọi a, b, c, g, a, b, c lần lượt là các số phức biểu diễn các ñiểm A, B, C,G, A, B, C trên mặt phẳng phức.khi ñó ta có : a + b + c b + c c + a a + b g ; a ; b ; c Vế trái () MA + MB + MC + 9MG (m - a).(m - a) + (m - b).(m - b) + (m - c).(m - c) + 9( m g)( m g) (m-a).(m-a) + (m-b).(m-b) + (m-c).(m-c) + 9( a + b + c )( a + b + m m c ) m 8( a + b + c). m + ( a + b + c ) + a. b + b. c + c. a ()

Vế phải () 4( MA + MB + MC ) 4[(m- a ).(m- a )+(m- b ).(m- b )+(m- c ).(m- c )] b + c b + c c + a c + a a + b a + b 4 ( m ).( m ) + ( m ).( m ) + ( m ).( m ) m 8( a + b + c). m + ( a + b + c ) + a. b + b. c + c. a () So sánh () và (), ta có vế trái () vế phải ().Bài toán ñược chứng minh. Ví dụ 4 Cho 4 ñiểm A, B, C, D bất kì. rằng: uuuruuur uuuruuur uuuruuur DA. BC + DB. CA + DC. AB 0 Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa vị của các ñiểm A, B, C, D trên mặt phẳng phức ta có: uuuruuur uuuruuur uuuruuur Vế trái DA. BC + DB. CA + DC. AB ( a d).( c b) + ( b d).( a c) + ( c d).( b a) Ví dụ 5 ac ab dc + db + ba bc da + dc + cb ca db + ad 0 vế phải ( ĐFCM) rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể tam giác ABC vuông tại A là: uuur uuur BA. BC AB Gọi a, b, c lần lượt là tọa vị của các ñiểm A, B, C trên mặt phẳng phức ta có: uuur uuur BA. BC AB ( a b ).( c b ) ( b a ).( b a) ac ab bc + b b ab + a + 0 ac a ab bc + 0 ac a ab bc

vuông ở A. (ĐFCM). Ví dụ 6 uuur uuur ( a b).( c a) 0 BA. AC 0 hay AB AC, tức là tam giác ABC Cho tam giác ABC với ba ñường trung tuyến AD, BE, CF. rằng uuuruuur uuuruuur uuuruuur BC. AD + CA. BE + AB. CF 0 () Gọi a, b, c, d, e, f lần lượt là tọa vị của các ñiểm A, B, C, E, F trên mặt phẳng phức ta có: b + c d, a + c e, a + b f. (vì AD, BE, CF là các ñường trung tuyến ) uuuruuur uuuruuur uuuruuur VT () BC. AD + CA. BE + AB. CF ( c b).( d a) + ( a c).( e b) + ( b a).( f c) b + c a + c a + b ( c b).( a) + ( a c).( b) + ( b a).( c) cb + c b bc a + ac ca c ba + b a ab ca + ab + ab + cb + bc + ac c b + a c + b a ca + ab ab + cb bc + ac 0 VP() (ĐFCM) Ví dụ 7 Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AC và BD. rằng : AB + BC + CD + DA AC + BD + 4MN () Gọi a, b, c, d, m, n lần lượt là tọa vị của các ñiểm A, B, C, N trên mặt phẳng phức. Ta có a + c m ; b + d n (M, N lần lượt là trung ñiểm của AC và BD) Vế trái () AB + BC + CD + DA ( a b)( a b) + ( b c)( b c) + ( c d)( c d) + ( d a)( d a) ( a + b + c + d ab bc cd da) () Vế phải () AC + BD + 4MN

( a c)( a c) + ( b d)( b d) + 4( m n)( m n) a + c b + d a + c b + d ( a c)( a c) + ( b d)( b d) + 4( )( ) ( a c)( a c) + ( b d)( b d) + ( a + c b d)( a + c b d) a + b + c + d ab bc cd da () ( ) Từ () và () ta có minh) Ví dụ 8 AB + BC + CD + DA AC + BD + 4MN (ñiều phải chứng ñịnh lí COSIN (SGK Hình học 0). Cho tam giác ABC, rằng BC AB + AC AB. ACcosA. Không mất tổng quát, ta chọn A là gốc tọa ñộ,b là ñiểm nằm trên trục hoành có hoành ñộ phức là., C là ñiểm biểu diễn số phức bất kì. Khi ñó ta có. AB, BC, AC.

Ta có AB AC AB. AC. cos + A + cos arg +. +. Re( ) +. + ( )( ) BC (ĐPCM