SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa ñộ.khi ñó khoảng cách giữa hai ñiểm M và M ñược tính theo công thức MM Đặt d(, ) ñược xác ñịnh như sau: a, d(, ) 0 d(, ) 0, C b, d(, ) d(, ), c, d(, ) d(, ) + d(, C ),,.Chia ñoạn thẳng theo tỉ lệ k ( k R ) a. Cho ñiểm phân biệt A và B trên mặt phẳng tọa ñộ ñược biểu diễn bởi số phức a và b. Gọi M là ñiểm tùy ý ñược biểu diễn bởi số phức. Điểm M chia ñoạn AB theo tỉ số k như sau: uuur uuur MA K MB C Đưa về số phức ta có a - k(b - ) hay ( - k) a - kb. Từ ñó a kb k Chú ý : Với k thì M là trung ñiểm AB. b.. Cho ñiểm không thẳng hàng A, B và C trên mặt phẳng tọa ñộ ñược biểu diễn bởi số phức a, b và c. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi ñó ñiểm G ñược biểu diễn theo số phức là G a + b + c.
.Điều kiện ñể ñiểm thẳng hàng, hai ñường thẳng vuông góc. Gọi,,, 4 là các số phức lần lượt biểu diễn cho các ñiểm M, M 4 trên mặt phẳng phức. Mệnh ñề. : Ba ñiểm M thẳng hàng khi và chỉ khi: R : Thật vậy, ba ñiểm M thẳng hàng khi và chỉ khi M M M { π} hay acgument { 0; π} 0;, tức là R Mệnh ñề. Hai ñường thẳng MM M 4 vuông góc với nhau khi và chỉ khi 4 ir π π : Thật vậy, ta có MM M M 4 ( MM M 4 ) ; π π acgument ;. Từ ñó ta có ir. 4 4 Chú ý : Nếu M M 4 thì MM M M khi và chỉ khi 4. Tam giác ñồng dạng ir Gọi a, a, a, b, b, b là các số phức lần lượt biểu diễn cho các ñiểm A, A, A, B, B, B trên mặt phẳng phức. Mệnh ñề Hai tam giác A A A và B BB ñồng dạng với nhau khi và chỉ khi a a b b a a b b A A B B A A A B BB và A A A B BB, Từ ñó A A B B a a b b a a b b a a b b a a b b. Suy ra. a a b b a a b b và acgument acgument
Ví dụ : Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, vẽ các tam giác ADB, BEC, CFA ñồng dạng với nhau. rằng ABC và DEF có cùng trọng tâm. Theo giả thiết các tam giác ADB, BEC, CFA ñồng dạng với nhau nên ta có : d a e b f c b a c b a c Từ ñó ta có d a + (b - a), e b + (c - b), f c + (a - c). Nên tính ñược d + e + f a + b + c Vậy hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm. 5.Phần thực của tích hai số phức Cho a và b là hai số phức Định nghĩa Phần thực tích của hai số phức a và b là một số cho bởi Ta dễ thấy a. b ( ab + ab) a. b ( ab + ab) a. b. Vậy a.b là số thực Mệnh ñề 5. Cho a, b, c, là các số phức, khi ñó:, a. a a, a.bb.a, a(b+c)a.b+a.c 4, ( αa) b α( ab) a( αb), α R 5, a.b 0 OA OB, trong ñó a và b là biểu diễn của ñiểm A và ñiểm B trên mặt phẳng phức. 6, (a.).(b.) ( a. b )
Mệnh ñề 5. Cho 4 ñiểm phân biệt A, B, C, D phân biệt ñược biểu diễn bởi 4 số phức a, b, c, d tương ứng.khi ñó các khẳng ñịnh sau là tương ñương:, AB CD, (b-a).(d-c) 0, b a ir d c b a (hoặc Re( ) 0) d c () ()Lấy ñiểm M(b-a) và N(d-c).Khi ñó OABM và OCDN là các hình bình hành. Ta có AB ñề 5.) CD khi và chỉ khi OM ON, nghĩa là m.n(b-a).(d-c)0 (theo mệnh () () ñược suy ra theo ñịnh nghĩa của tích số thực II.ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN Ví dụ Cho tứ giác ABCD. rằng AC BD. AB + CD AD + BC khi và chỉ khi Gọi a, b, c, d là các số phức biểu diễn cho các ñỉnh A,B, C, D của tứ giác ABCD. Theo giả thiết ta có AB + CD AD + BC (b-a)(b-a)+(d-c)(d-c)(d-a)(d-a)+(c-b)(c-b) a.b + c.d b.c + d.a (c - a). (d - b) 0 AC BD Nhận xét Rõ ràng ứng dụng số phức ñể chứng minh thì bài toán ñơn giản và ngắn gọn hơn nhiều so với làm hình học thông thường. Ví dụ Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. rằng AB CD khi và chỉ khi BC + AD ( EG + FH ).
Gọi a,b,c,d,e,f,g,h là các số phức biểu diễn cho các ñiểm A, B, C, D, E, F, G, H. Khi ñó ta có : a + b e, Từ giả thiết ta có b + c c + d f, g, d + a h. BC + AD ( EG + FH ) Trở thành (c-b)(c-b)+(d-a)(d-a) (g-e)(g-e)+(h-f)(h-f) (c-b)(c-b)+(d-a)(d-a) ( c + d a b)( c + d a b) + ( a + d b c)( a + d b c) c.c + b.b + d.d + a.a - b.c - a.d a.a + b.b + c.c + d.d - a.c - b.d a.d + b.c a.c + b.d. (a - b).(d - c) 0 AB Ví dụ CD.(ñiều phải chứng minh). Cho tam giác ABC có trọng tâm G. và AA, BB, CC lần lượt là các ñường trung tuyến xuất phát từ ñỉnh A, B, C. rằng với mọi ñiểm M bất kì ta luôn có: MA + MB + MC + 9MG 4( MA + MB + MC ) () Gọi a, b, c, g, a, b, c lần lượt là các số phức biểu diễn các ñiểm A, B, C,G, A, B, C trên mặt phẳng phức.khi ñó ta có : a + b + c b + c c + a a + b g ; a ; b ; c Vế trái () MA + MB + MC + 9MG (m - a).(m - a) + (m - b).(m - b) + (m - c).(m - c) + 9( m g)( m g) (m-a).(m-a) + (m-b).(m-b) + (m-c).(m-c) + 9( a + b + c )( a + b + m m c ) m 8( a + b + c). m + ( a + b + c ) + a. b + b. c + c. a ()
Vế phải () 4( MA + MB + MC ) 4[(m- a ).(m- a )+(m- b ).(m- b )+(m- c ).(m- c )] b + c b + c c + a c + a a + b a + b 4 ( m ).( m ) + ( m ).( m ) + ( m ).( m ) m 8( a + b + c). m + ( a + b + c ) + a. b + b. c + c. a () So sánh () và (), ta có vế trái () vế phải ().Bài toán ñược chứng minh. Ví dụ 4 Cho 4 ñiểm A, B, C, D bất kì. rằng: uuuruuur uuuruuur uuuruuur DA. BC + DB. CA + DC. AB 0 Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa vị của các ñiểm A, B, C, D trên mặt phẳng phức ta có: uuuruuur uuuruuur uuuruuur Vế trái DA. BC + DB. CA + DC. AB ( a d).( c b) + ( b d).( a c) + ( c d).( b a) Ví dụ 5 ac ab dc + db + ba bc da + dc + cb ca db + ad 0 vế phải ( ĐFCM) rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể tam giác ABC vuông tại A là: uuur uuur BA. BC AB Gọi a, b, c lần lượt là tọa vị của các ñiểm A, B, C trên mặt phẳng phức ta có: uuur uuur BA. BC AB ( a b ).( c b ) ( b a ).( b a) ac ab bc + b b ab + a + 0 ac a ab bc + 0 ac a ab bc
vuông ở A. (ĐFCM). Ví dụ 6 uuur uuur ( a b).( c a) 0 BA. AC 0 hay AB AC, tức là tam giác ABC Cho tam giác ABC với ba ñường trung tuyến AD, BE, CF. rằng uuuruuur uuuruuur uuuruuur BC. AD + CA. BE + AB. CF 0 () Gọi a, b, c, d, e, f lần lượt là tọa vị của các ñiểm A, B, C, E, F trên mặt phẳng phức ta có: b + c d, a + c e, a + b f. (vì AD, BE, CF là các ñường trung tuyến ) uuuruuur uuuruuur uuuruuur VT () BC. AD + CA. BE + AB. CF ( c b).( d a) + ( a c).( e b) + ( b a).( f c) b + c a + c a + b ( c b).( a) + ( a c).( b) + ( b a).( c) cb + c b bc a + ac ca c ba + b a ab ca + ab + ab + cb + bc + ac c b + a c + b a ca + ab ab + cb bc + ac 0 VP() (ĐFCM) Ví dụ 7 Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AC và BD. rằng : AB + BC + CD + DA AC + BD + 4MN () Gọi a, b, c, d, m, n lần lượt là tọa vị của các ñiểm A, B, C, N trên mặt phẳng phức. Ta có a + c m ; b + d n (M, N lần lượt là trung ñiểm của AC và BD) Vế trái () AB + BC + CD + DA ( a b)( a b) + ( b c)( b c) + ( c d)( c d) + ( d a)( d a) ( a + b + c + d ab bc cd da) () Vế phải () AC + BD + 4MN
( a c)( a c) + ( b d)( b d) + 4( m n)( m n) a + c b + d a + c b + d ( a c)( a c) + ( b d)( b d) + 4( )( ) ( a c)( a c) + ( b d)( b d) + ( a + c b d)( a + c b d) a + b + c + d ab bc cd da () ( ) Từ () và () ta có minh) Ví dụ 8 AB + BC + CD + DA AC + BD + 4MN (ñiều phải chứng ñịnh lí COSIN (SGK Hình học 0). Cho tam giác ABC, rằng BC AB + AC AB. ACcosA. Không mất tổng quát, ta chọn A là gốc tọa ñộ,b là ñiểm nằm trên trục hoành có hoành ñộ phức là., C là ñiểm biểu diễn số phức bất kì. Khi ñó ta có. AB, BC, AC.
Ta có AB AC AB. AC. cos + A + cos arg +. +. Re( ) +. + ( )( ) BC (ĐPCM