Periodični signali, osnovni poji 7. Osnovni poji pri obravnavi periodičnih signalov Vsebina: Opis periodičnih signalov z periodo, frekvenco, krožno frekvenco. Razlaga pojov aplituda, faza, haronični signal. Določanje srednje, efektivne in userjene vrednosti periodičnih signalov. Poji faktor oblike, teenski faktor. ) Perioda signala. Času, v katere se začne funkcija ponavljati pravio perioda in jo označio z veliko črko. Za tako funkcijo velja f ( t) = f ( t + ). SLKA: Prier periodičnega signala s periodo. ) Frekvenca periodičnega signala je f =, njena enota je s -, pogosteje uporabio ekvivalentno enoto Hz (po Heinrichu Hertzu, ki je s svojii eksperienti prvi dokazal pravilnost Maxwellovih enačb). Pogosto uporabio za opis signala tudi krožna frekvenco (kotna frekvenca, v prieru π vrtenja zanke kotna hitrost) ω, ki je enaka ω = π f =. 3. Haronični, sinusni signal lahko zapišeo v obliki i( t) = sin( ωt ϕ), kjer je aplituda, ω krožna frekvenca in φ fazni kot. Prier: Prikažio na grafu signal i t =. Perioda signala je - ( ) / A sin(s t π/6) π = = π s 3,4 s. ω /6
Periodični signali, osnovni poji 7. Pogosto naesto prikaza časa na abscisi uporabio kot spreenljivko produkt krožne frekvence in časa, kar predstavlja fazni kot. V te prieru je perioda signala določena pri vrednosti π. Prednost tega prikaza je tudi v direktne odčitavanju faznega kota. V konkretne prieru je ϕ = π/6,5 rd. Haroničen signal je lahko sestavljen iz več sinusnih signalov različnih aplitud in frekvenc. Prikažio to na prieru haroničnega signala sestavljenega iz vsote signalov 5 5 i i i i t A = t in ( ) / sin(s - ) i t A = t : ( ) / sin(s - ) - - i( t) / A = sin(s t) + sin(s t). Zaniivo je, da je ogoče poljuben signal zapisati v obliki vsote sinusnih signalov, kar ienujeo Fourierova ok /A vrsta in se pogosto v praksi uporablja za analizo različnih oblik signalov (Fourierova analiza). -5 - -5.5.5.5 3 3.5 4 Cas / s 4. Fazni kot ed dvea signaloa, običajno ed napetostjo in toko. Vzeio prier signala toka i( t) = sin( ωt + ϕ ) in napetosti u( t) = U sin( ωt + ϕ ). Fazni kot ed napetostjo in toko je ϕ = ϕu ϕi. Če je fazni kot pozitiven, rečeo, da napetost prehiteva tok, če pa je negativen, pa, da tok prehiteva napetost. o seveda ne gre jeati dobesedno, saj iata oba signala ob poljubne času neko vrednost. Morda je najlažje določiti signal, ki prehiteva drugega tako, da pogledao na grafu, kateri signal doseže aksialno vrednost pred drugi. Pri te orao opazovati najkrajšo časovno razliko. i u /6
Periodični signali, osnovni poji 7. SLKA: Prier, ko napetostni signal prehiteva tokovnega. Fazni kot je pozitiven. 5) Srednja ali povprečna vrednost signala je določena s površino pod krivuljo signala v eni periodi deljena s periodo ali ateatično (za npr. tokovni signal) sr = i( t)dt (7.) a zapis pogosto za haronične signale preuredio tako, da naesto integracije po času zapišeo integracijo po kotu ω t. V te prieru je π sr = i( t)d( ωt) π (7.) Slika: Periodični signal in njegova povprečna vrednost, ki je enaka površini signala deljeni s periodo ntegral signala v eni periodi je torej enak. 3/6
Periodični signali, osnovni poji 7. 6) Efektivna vrednost (ang. RMS root ean square) je določena kot koren iz srednje vrednosti kvadrata signala: ef = i ( t) dt (7.3) Efektivna vrednost signala je posebno poebna tedaj, ko nas zania povprečna oč ali energija signala, kar pa je v elektrotehniki pogosto. Prier: Določio srednjo in efektivno vrednost tokovnega signala oblike i = sin( ωt). π π zračun: sr ωt ωt ( ωt ) = sin( )d( ) cos( ) π = π =. Srednja vrednost je očitno enaka nič, saj je sorazerna površini pod krivuljo, ki pa je enaka v pozitivni in negativni Y osi. Drugače pa je z efektivno vrednostjo, saj s kvadriranje postane signal izključno pozitiven. Pri izračunu upoštevao zvezo sin ( ωt) ( cos( ωt) ) π ef ω ω π = : π = sin ( t)d( t) = = π. Dobio večini znan rezultat, da je efektivna vrednost haroničnega signala enaka aksialni vrednosti signala deljeni z. SLKA: Sinusni signal (polna črta) in kvadrat signala (črtkana črta). zris in izračun s prograo Matlab: =5e-3; o=*pi/; dt=/; t=:dt:3*; plot(t,sin(o.*t),t,(sin(o.*t)).^,'--') 4/6
Periodični signali, osnovni poji 7. 7) Userjena vrednost (ang. rectified) je določena kot povprečje userjenega signala, torej kot povprečna vrednost absolutne vrednosti signala. r = i( t) dt 8) Faktor oblike (ang. for factor) pogosto uporabio za karakterizacijo oblike signala. Določen je kot kvocient efektivne in userjene vrednosti ef faktor oblike = FF =. (7.4) r Merjenje efektivne vrednosti signala v praksi Cenejši erilni inštruenti ne erijo prave efektivne vrednosti, pač pa jo določajo iz userjene vrednosti ali pa iz aksialne vrednosti. V prieru signala sinusne oblike je ef =, userjena vrednost pa je (integrirao le do π, ker se pote signal ponovi): π π π = r sin( ωt) d( ωt) sin( ωt)d( ωt) ( cos( ωt) ),64 π = π = π = π =. Faktor ef / oblike je torej FF = =, 7. Merilni inštruent za izračun efektivne vrednosti r / π torej ponoži izerjeno userjeno vrednost signala s faktorje,7, pri čeer predvideva, da je signal sinusne oblike. Či je erjeni signal drugačne oblike, je prikazani rezultat efektivne vrednosti napačen. Boljši inštruenti erijo t.i. pravo efektivno vrednost (ang. true RMS). VEČ: http://cp.literature.agilent.co/litweb/pdf/5988-696en.pdf http://cp.literature.agilent.co/litweb/pdf/5988-553en.pdf http://us.fluke.co/usen/support/appnotes/default?category=a P_DMM(FlukeProducts)&parent=APP_NOES(FlukeProduct s)# SLKA: RUE RMS eter Fluke 4. Za erjenje prave efektivne vrednosti je ogoče uporabiti več etod. En od principov teelji na uporabi teristorja, ki eri spreebo teperature na eleentu, ta pa je neposredno povezana z efektivno vrednostjo toka. Na tržišču obstajajo tudi čipi, ki opravljajo noženje (kvadriranje) signala in s te očno olajšajo delo. Prier takega eleenta je čip AD836 podjetja Analog Devices, www.analog.co. Vse več inštruentov pa že zajea signale s poočjo analogno/digitalne pretvorbe, kjer je izračun efektivne vrednosti ogoč z enostavno nuerično integracijo kvadriranega signala. Vir: http://en.wikipedia.org/wiki/rue_rms_converter. 5/6
Periodični signali, osnovni poji 7. 7) Podobno kot faktor oblike je definiran teenski faktor (ang. crest factor). Določen je kot kvocient aksialne in efektivne vrednosti teenski faktor = (7.5) ef Za sinusni signal je teenski faktor enak =, 44. / Prier: Določio periodo, frekvenco, srednjo vrednost in efektivno vrednost časovne oblike tokovnega signala na sliki. Signal je naraščajoč v 8% časa periode in v preostale času padajoč. zračun: Perioda signala je = 5 s, frekvenca je f 5 s = = = s = Hz. Za izračun srednje vrednosti orao signal zapisati v ateatični obliki in ga integrirati v času ene periode ter deliti s periodo. Ker je sestavljen iz preic (odsekoa zvezen), ora biti oblike y = k t + n. z zapisa v dveh skrajnih točkah od t = do t =, 8 5 s = 4 s velja = k + n in 3 = k 4 s -, od koder dobio enačbo i( t ) = A / s t - A. Podobno dobio za drugi del periode enačbo i( t ) = 4 A / s + 9 A. Sedaj uporabio enačbo za izračun srednje vrednosti in dobio 4 s 5 s sr = i( t)d t = ( A / s t - A)d t + ( 4 A / s t + 9 A)dt 5 s 4 s. Rešitev enačbe je: sr = ( 8 4 - (5-6) + 9(5-4) ) A s = A. Srednja vrednost tokovnega signala je A. Z 5 s izračuno efektivne vrednosti je nekaj več dela, saj je potrebno rešiti sledeči integral: 6/6
Periodični signali, osnovni poji 7. 4 s 5 s ef = i( t)d t = (A / s t -A) d t + ( 4A / s + 9A) dt 5 s 4 s. Rešitev za vajo poskusite najti sai. Mi jo boo poiskali kar s prograo Matlab, ki da vrednost,575. 4 s 5 s Userjena vrednost je r = i( t) dt A / s t -A dt 4A / s 9A dt, 5 = + + = 5s 4 s ef faktor oblike = =,, r 3 teenski faktor = = =,964.,575 ef SLKA: Absolutna vrednost signala: iz te izračunao userjeno vrednost. zračun s prograo Matlab (signal izrišeo v treh periodah, zato tudi povprečje računao v treh periodah): =5e-3; o=*pi/; dt=/; t=:dt:3*; i=*sawtooth(o.*t,.8)+; plot(t,i); sr=trapz(i)*dt/(3*); hold on; plot([ 3*], [ ],'b--');ef=sqrt(trapz(i.^)*dt/(3*)); r=trapz(abs(i)*dt/(3*)); FF=ef/r Dodatno: Kolikšna oč se troši na breenu (uporu 3 kω), če gre skozi upor tok oblike na sliki (v aperih). zračun: renutna oč na uporu je p = P = p t = i R t = R i t = R d R d Rd R,ef. p = u i = i R. Povprečna oč pa bo Povprečno oč običajno označio z veliko črko P. Očitno je povprečna oč na uporu sorazerna kvadratu efektivne vrednosti toka. u se že kaže poebnost definiranja efektivne vrednosti: ed drugi določa povprečno oč na uporu pri izeničnih signalih. V konkretne prieru je povprečna oč na uporu enaka P R R,ef R R = = 3 kω,575 A = 7 kw. R 7/6
Periodični signali, osnovni poji 7. Če bi želeli preračunati oč, ki se na ohske breenu troši z erilniko, ki določa efektivno vrednost iz userjene vrednosti, bi dobili vrednost,5,7 =,3884 naesto pravilne vrednosti,575. Napaka prikaza bi bila 9, %. Zveze ed toko in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorju UPOR Velja zveza u( t) = Ri( t). Če je tok sinusne oblike i = sin( ωt), je napetost tudi sinusne oblike u = R sin( ωt) = U sin( ωt), kjer je U = R. Moč na uporu dobio kot znožek toka in napetosti na uporu p = u i = i R = Rsin ( ωt) (7.6).8 tok napetost oc SLKA: ok in napetost na uporu sta v fazi. Moč niha z dvojno frekvenco in ia enoserno koponento, ki je povprečna oč. tok, napetost, oc.6.4. -. -.4 Moč. Moč na uporu lahko z uporabo zveze α = ( ( α )) sin ( ) cos zapišeo kot -.6 -.8-3 4 5 6 7 cas R p = ( cos( ωt )) (7.7) Ugotovio, da ia (trenutna) oč na uporu tudi sinusno obliko, vendar niha z dvojno frekvenco R osnovnega signala, povprečna vrednost pa je P = = ef R. Povprečno vrednost oči določa efektivna vrednost (tokovnega ali napetostnega) signala. 8/6
Periodični signali, osnovni poji 7. Energija. Določio še energijo v eni periodi (toplotna energija ali joulske izgube), ki bo d ef (7.8) W = p t = P = R Skupne ugotovitve za upor: ) Če je tok skozi tuljavo i = sin( ωt), bo napetost na uporu u = U sin( ωt). Napetost na uporu je v fazi s toko, kar lahko prikažeo tudi grafično na kazalčne diagrau. ) Aplituda napetosti je U = R. 3) Upornost (R) je neodvisna od frekvence tokovnega (in napetostnega) signala. 4) Moč na uporu niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala okoli enoserne koponente, ki predstavlja povprečno oč in je enaka R P = = ef R. 9/6
Periodični signali, osnovni poji 7. ULJAVA Zveza ed toko skozi tuljavo in napetostjo na tuljavi je dψ di u = = L. dt dt Če je tokovni signal oblike i = sin( ωt), bo napetost na tuljavi d π u = L ( sin( ωt) ) = L ω cos( ωt) = U cos( ωt) ali tudi u = Usin ωt + dt. Napetosttni signal je časovno zaaknjen glede na tokovni signal. Rečeo, da napetost prehiteva tok za kot π. o lahko prikažeo tako v časovne poteku, kot s kazalčni diagrao ali kasneje s kopleksorji v kopleksni ravnini. SLKA: Časovni potek in kazalčni diagra faznega prehitevanja napetosti na tuljavi pred toko. Aplituda napetosti bo torej U = ωl, kjer ω L = X L ienujeo reaktanca oz. upornost tuljave pri izeničnih signalih. Upornost tuljave (reaktanca) pri izeničnih signalih se veča linearno s frekvenco in je enaka U = X = ωl. L Moč. renutna oč je znožek trenutne napetosti in toka na tuljavi, torej U p = iu = sin( ωt) U cos( ωt) = sin( ωt) (7.9) renutna oč niha z dvojno frekvenco vendar je brez enoserne koponente. Povprečna (izgubna) oč je W. /6
Periodični signali, osnovni poji 7..8 tok napetost oc.6.4 tok, napetost, oc. -. -.4 -.6 -.8-3 4 5 6 7 cas SLKA: okovni in napetostni signal na tuljavi sta zaaknjena za četrtino periode. Napetost prehiteva tok, oč na tuljavi niha z dvojno frekvenco in nia enoserne koponente. Povprečna oč na tuljavi je nič. Energija. Energijo v tuljavi dobio z integracijo oči t t U U W ( t) = pdt = sin( ωt)dt = cos( t).ω ( ω ). Energija, ki je akuuliraa v agnetne polju tuljave, niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, je v vsake trenutku pozitivna in v povprečju velika W sr U L = =. (7.) 4ω 4 Sponio se še druge oblike zapisa trenutne energije. V poglavju (3) so obravnavali energijo v agnetne polju tuljave in ugotovili, da jo lahko zapišeo kot t i( t) di W ( t) = p( t)dt = L idt = Lidi dt t od koder so zapisali enačbo za trenutno energijo v t t i( t ) Li agnetne polju tuljave z induktivnostjo L v obliki W =. Maksialna energija v tuljavi nastopi tedaj, ko je aksialen tok. edaj je L W ax = (7.) /6
Periodični signali, osnovni poji 7..5 tok, napetost, oc.5 -.5-3 4 5 6 cas Slika:Moč (polna črna črta) in energija (polna odra črta) pri vzbujanju tuljave s sinusni tokovni signalo (odra črtkana črta). Skupne ugotovitve za tuljavo: π ) Če je tok skozi tuljavo i = sin( ωt), bo napetost na tuljavi u = U sin( ωt + ). Napetost na tuljavi prehiteva tok za četrtino periode signala, kar lahko prikažeo tudi grafično na kazalčne diagrau. ) Aplitudo napetosti lahko zapišeo tudi kot U = ωl, kjer je ωl upornost tuljave pri izeničnih signalih, kar ienujeo tudi reaktanca frekvenco. X L = ωl. Reaktanca se linearno veča s 3) Za lažjo predstavo lahko tuljavo pri zelo nizkih frekvencah (enoserne razere) nadoestio s kratki stiko (zelo ajhna upornost), pri zelo visokih pa z odprtii sponkai (zelo velika upornost). 4) Moč na tuljavi niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala, povprečna oč je enaka nič. 5) Energija v agnetne polju tuljave niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, je vedno pozitivna in v povprečju velika L W = W sr =. renutna vrednost je sorazerna kvadratu 4 toka Li W =, aksialna energija v tuljavi nastopi vsako četrtino periode signala, ko je L velika W ax =. 6) Za vezja, v katerih napetost prehiteva tok rečeo, da iajo induktivni karakter. /6
Periodični signali, osnovni poji 7. Prier: Na toroidno jedro okroglega preseka površine c, s srednji polero c in µ r =, navijeo 5 ovojev. Kolikšna je napetost na tuljavi, če jo vzbujao s toko i - =,4cos(s t) A? Določio še povprečno in aksialno oč na tuljavi. zračun: nduktivnost toroida je N A µ rµ L = = 5 H, torej je induktivna upornost π r s X L = ωl =,5Ω, aksialna napetost je U = X =, 4 A,5Ω = V. Če bi želeli zapisati L napetost na tuljavi v obliki časovnega signala, bi orali upoštevati, da napetost na tuljavi tok π prehiteva za fazni kot, torej bo - π u( t) = cos(s t + ) V. Povprečna oč je enaka nič vatov, aksialna oč je U L = W, povprečna energija je W sr = = J, aksialna pa J. 4 3/6
Periodični signali, osnovni poji 7. KONDENZAOR Zopet vzeio sinusno obliko toka i = sin( ωt). ok izrazio s časovno spreebo naboja na ploščah kondenzatorja Q( t) = Cu( t) in dobio dq i = in upoštevao zvezo ed naboje na ploščah in napetostjo dt i du = C. Ker tok poznao, zania pa nas napetost, izrazio napetost na d t t kondenzatorju kot u = id t u() C +. Za sinusno obliko toka bo napetost enaka t π u = sin( ωt) dt u() cos( ωt) sin ωt C + = = ωc ωc oziroa π u = U sin ωt. Napetost na kondenzatorju zaostaja za toko za četrtino periode. SLKA: Časovni potek in kazalčni diagra faznega zaostajanja napetosti na kondenzatorju pred toko. Aplituda napetosti je torej U Člen ωc ωc =. ia enoto upornosti in tudi predstavlja upornost kondenzatorja pri izeničnih signalih. Moč. renutna oč je znožek trenutne napetosti in toka na kondenzatorju, torej U p = iu = sin( ωt) U cos( ωt) = sin( ωt) (7.) renutna oč niha z dvojno frekvenco vendar brez enoserne koponente, enako kot pri tuljavi. Povprečna (izgubna) oč je torej tako kot na tuljavi enaka nič vatov. Zakaj dodao u()? Pri veličinah, ki so določene z integralo, je potrebno upoštevati zgodovino integranta. orej bi bilo vedno potrebno slediti integrirano veličino od inf., torej t u = idt = id t + u() C C t. 4/6
Periodični signali, osnovni poji 7..8 tok napetost oc.6.4 tok, napetost, oc. -. -.4 -.6 -.8-3 4 5 6 7 cas SLKA: okovni in napetostni signal na kondenzatorju. Napetost na kondenzatorju zaostaja za toko za četrtino periode signala. Energija. Podobno kot pri tuljavi energija v kondenzatorju niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, je vedno pozitivna, v povprečju enaka CU W sr =, aksialna energija shranjena v polju 4 CU kondenzatorja pa je W ax =. 4 35 SLKA: Kapacitivna upornost X C = ωc se zanjšuje s višanje frekvence vzbujalnega signala s funkcijsko odvisnostjo. Na sliki je reaktanca za f C = µf. reaktanca / Oh 3 5 5 5 4 6 8 4 6 8 frekvenca / Hz Skupne ugotovitve za kondenzator: π ) Če je tok skozi tuljavo i = sin( ωt), bo napetost na kondenzatorju u = U sin( ωt ). ok na kondenzatorju prehiteva napetost za četrtino periode signala, kar lahko prikažeo tudi grafično na kazalčne diagrau. 5/6
Periodični signali, osnovni poji 7. ) Aplitudo napetosti lahko zapišeo tudi kot U =, kjer je upornost kondenzatorja ωc ωc pri izeničnih signalih. Upornost kondenzatorja se anjša s frekvenco. 3) Za lažjo predstavo lahko kondenzator pri zelo nizkih frekvencah (enoserne razere) nadoestio z odprtii sponkai (zelo velika upornost), pri zelo visokih pa s kratki stiko (zelo ajhna upornost). 4) Moč na kondenzatorju niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala, povprečna oč je enaka nič. 5) Energija niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, v povprečju je enaka CU W sr =, 4 aksialna energija v kondenzatorju nastopi vsako četrtino periode signala, ko je velika CU W ax =. Energija je akuulirana v električne polju kondenzatorja. 6) Za vezja, v katerih napetost zaostaja za toko rečeo, da iajo kapacitivni karakter. Prier: Na kondenzator kapacitivnosti 8 µf priključio vir napetosti sinusne oblike aplitude V. Kolikšna ora biti frekvenca napetostnega signala, da bo iel tok kondenzatorja aplitudo,5 A? V zračun: z U = dobio ω C = = 4Ω, od koder je ωc,5 A ω = = 3,5 s 4Ω 8µF - oziroa f = 3,5 Hz 5 Hz π. Vprašanja za obnovo: ) Osnovni poji: perioda, frekvenca, kotna frekvenca. ) Srednja vrednost, efektivna vrednost, userjena vrednost, faktor oblike, teenski faktor. 3) Zveze ed toko in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorju: a. Časovni signali, kazalčni prikaz b. Prehitevanje ali zaostajanje toka za napetostjo, karakter vezja c. Moč, povprečna oč d. Energija, trenutna energija, povprečna, aksialna e. Upornosti pri izeničnih signalih Kolokvijske in izpitne naloge: Efektivna vrednost:. kolokvij, 3. 6. izpit,. junij 3 zpit 6. 6. izpit, 8. aprila Pogosto se uporablja zapis reaktance kondenzatorja kot X C =. Kasneje boo ugotovili, da je reaktanca ωc definirana kot iaginarni del ipedance in je v prieru kondenzatorja negativna, torej X C =. ωc 6/6