«Πρόβλεψη» «Forecasting»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Πρόβλεψη» «Forecasting»"

Transcript

1 «Πρόβλεψη» «Forecasting» Σηµειώσεις για το µάθηµα του 6 ου εξαµήνου «Αρχές ιοίκησης και Οργάνωση Παραγωγής» 2005 Μιχάλης Βαϊδάνης 1

2 I. Πρόβλεψη (Forecasting) Η πρόβλεψη είναι µια από τις σηµαντικότερες λειτουργίες µέσα σε µια επιχείρηση και εν γένει σε έναν οργανισµό, για τη λήψη κάθε κρίσιµης απόφασης: ο έλεγχος του κόστους, ο σχεδιασµός νέων προϊόντων, η πρόσληψη προσωπικού, ο όγκος της παραγωγής, το ύψος των αποθεµάτων, όλα καθορίζονται από την πρόβλεψη. Χωρίς αυτήν, κάθε απόφαση θα λαµβανόταν στην τύχη. Η πρόβλεψη µπορεί να είναι βραχυπρόθεσµη, µεσοπρόθεσµη ή µακροπρόθεσµη ανάλογα µε τον χρονικό ορίζοντα στον οποίο αναφέρεται. Π.χ. η πρόβλεψη των πωλήσεων Βωξίτη για το επόµενο τρίµηνο µπορεί να θεωρηθεί βραχυπρόθεσµη ενώ η πρόβλεψη της τιµής του νικελίου, στη διεθνή αγορά, σε µια τριετία από τώρα µπορεί να θεωρηθεί ως µακροπρόθεσµη. Αρχές της Πρόβλεψης 1. Καµία πρόβλεψη δεν είναι τέλεια: καθώς περιλαµβάνει το στοιχείο της αβεβαιότητας, η πρόβλεψη θα περιέχει κάποιο σφάλµα (δηλ, τη διαφορά µεταξύ της πρόβλεψης και της πραγµατικότητας). Με βάση αυτό, στόχος της διαδικασίας πρόβλεψης είναι η ελαχιστοποίηση του σφάλµατος για την όσο το δυνατόν ακριβέστερη προσέγγιση της πραγµατικότητας. 2. Μια πρόβλεψη είναι περισσότερο ακριβής για οµάδες στοιχείων παρά για µεµονωµένα στοιχεία: π.χ. η πρόβλεψη της συνολικής ζήτησης για βιοµηχανικά ορυκτά (καολίνης, µπεντονίτης, περλίτης κτλ) για το επόµενο έτος θα είναι ακριβέστερη από την ζήτηση για ένα συγκεκριµένο ορυκτό (π.χ. του περλίτη) και η τελευταία θα είναι µε τη σειρά της ακριβέστερη από την πρόβλεψη της ζήτησης για ένα ορυκτό µε ορισµένη ποιότητα (π.χ. περλίτης συγκεκριµένης κοκκοµετρίας). Αυτό συµβαίνει γιατί οι µέγιστες και ελάχιστες τιµές των διαφόρων στοιχείων (π.χ. ορυκτών) αλληλοεξουδετερώνονται µε αποτέλεσµα η οµάδα το στοιχείων να έχει σταθερή συµπεριφορά ακόµα και αν τα µεµονωµένα στοιχεία συµπεριφέρονται µε ασταθή τρόπο. 3. Η πρόβλεψη είναι περισσότερο ακριβής όταν είναι βραχυπρόθεσµη παρά όταν είναι µακροπρόθεσµη: όσο κοντινότερος είναι ο χρονικός ορίζοντας της πρόγνωσης τόσο µικρότερος είναι ο βαθµός αβεβαιότητας και άρα τόσο µικρότερο το σφάλµα που θα περιέχει. Ένα κλασσικό παράδειγµα αφορά στην πρόβλεψη του καιρού: ένα µετεωρολογικό δελτίο για τις επόµενες δύο ή τρεις µέρες είναι πάρα πολύ πιθανό να είναι βγει αληθινό. Αντίθετα, η πρόγνωση για τον καιρό του επόµενου µήνα έχει µεγάλες πιθανότητες να αποδειχτεί λανθασµένη. 2

3 II. Τύποι Μεθόδων Πρόβλεψης Υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες µεθόδων πρόβλεψης: Ποιοτική πρόβλεψη (qualitative ή judgmental forecasting): Στην κατηγορία αυτή περιλαµβάνονται µέθοδοι στις οποίες η πρόβλεψη γίνεται από έναν ή περισσότερους ειδικούς µε βάση την γνώση, την εµπειρία και το ένστικτο τους. Αυτού του είδους η πρόβλεψη είναι υποκειµενική και περιλαµβάνει το στοιχείο της προκατάληψης (bias). Ποσοτική πρόβλεψη (quantitative forecasting): Οι µέθοδοι αυτές βασίζονται στη µαθηµατική µοντελοποίηση και άρα είναι αντικειµενικές και επαναλήψιµες (δηλ, παράγουν το ίδιο αποτέλεσµα κάθε φορά που εισάγουµε τα ίδια δεδοµένα). Οι ποσοτικές µέθοδοι απαιτούν µια σειρά από αριθµητικά δεδοµένα που όµως δεν είναι πάντα διαθέσιµα ή αξιόπιστα. Οι ποσοτικές µέθοδοι µπορούν να διακριθούν σε αυτές που βασίζονται σε µοντέλα χρονοσειρών (time series models) και σε αυτές που βασίζονται σε αιτιακά µοντέλα (causal models). Τα πρώτα προϋποθέτουν ότι η απαραίτητη πληροφορία για την πρόβλεψη περιέχεται στη χρονοσειρά των στοιχείων. Χρονοσειρά είναι µια σειρά παρατηρήσεων που λαµβάνονται σε κανονικά διαστήµατα µέσα σε ένα καθορισµένο χρονικό διάστηµα. Για παράδειγµα, αν καταγράφουµε τις µηνιαίες τιµές του χρυσού στο χρηµατιστήριο µετάλλων του Λονδίνου για χρονικό διάστηµα 5 ετών, τότε έχουµε στη διάθεσή µας µια χρονοσειρά των µηνιαίων τιµών του χρυσού. Η ανάλυση χρονοσειράς κάνει την υπόθεση ότι µπορεί να γίνει πρόβλεψη µε βάση τα µοτίβα (patterns) των διαθέσιµων δεδοµένων. Έτσι, η ανάλυση αυτή αναζητάει τάσεις, κυκλικότητα, περιοδικότητα κτλ στα δεδοµένα προκειµένου να δηµιουργήσει ένα µοντέλο πρόβλεψης. Τα αιτιακά µοντέλα χρησιµοποιούν µια αρκετά διαφορετική προσέγγιση για την δηµιουργία πρόβλεψης: θεωρούν ότι η µεταβλητή για την οποία θέλουµε να κάνουµε πρόβλεψη είναι εξαρτηµένη µε κάποιο τρόπο από µία ή περισσότερες παραµέτρους. Η δυσκολία έγκειται στην εύρεση της µαθηµατικής σχέσης µε την οποία επηρεάζεται η ζητούµενη µεταβλητή από τις παραµέτρους αυτές. Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε ότι η ζήτηση για σίδηρο οπλισµού εξαρτάται: α) από τη χρηµατική αξία των συµβάσεων για δηµόσια έργα που υπογράφονται µεταξύ του ΥΠΕΧΩ Ε και των κατασκευαστικών εταιρειών και β) από τον αριθµό των οικοδοµικών αδειών που εκδίδονται από τις πολεοδοµίες της χώρας, τότε αν βρούµε τη µαθηµατική τους σχέση µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα µαθηµατικό µοντέλο πρόβλεψης για την ζήτηση σε σίδηρο οπλισµού. Είναι προφανές ότι τα αιτιακά µοντέλα µπορεί να είναι πολύ περίπλοκα, ειδικά στην περίπτωση που λαµβάνονται υπ όψιν πολλές παράµετροι. 3

4 III. Ποιοτικές Μέθοδοι Πάνελ Η µέθοδος αυτή βασίζεται στο γεγονός ότι µια πολυπληθής οµάδα ανθρώπων από διαφορετικές θέσεις µπορεί να κάνει µια πιο αξιόπιστη πρόβλεψη απ ότι ένας µεµονωµένος ή λίγοι άνθρωποι. Έτσι, διοργανώνονται ανοιχτές συναντήσεις µε ελεύθερη ανταλλαγή απόψεων µεταξύ ανθρώπων από όλο το φάσµα των θέσεων ενός οργανισµού. Ένα µειονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι ότι η άποψη των υφιστάµενων «σκεδάζεται» ή υποβαθµίζεται από την άποψη των ανώτερων στην ιεραρχία. Αυτό το µειονέκτηµα προσπαθεί να διορθώσει η µέθοδος Delphi. Μέθοδος Delphi Η µέθοδος αυτή είναι µια τεχνική πρόβλεψης, στόχος της οποίας είναι η προσέγγιση µιας συµφωνίας µεταξύ µιας οµάδας ειδικών, διατηρώντας την ανωνυµία τους. Η ιδέα πίσω από αυτήν είναι ότι ενώ οι ειδικοί δεν θα συµφωνήσουν σε όλα τα ζητήµατα, εντούτοις σε ότι συµφωνήσουν αυτά κατά πάσα πιθανότητα θα συµβούν. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή: 1. γίνεται επιλογή των συµµετεχόντων, συνήθως ειδικών από διαφορετικές θέσεις ή επιστηµονικά υπόβαθρα, 2. µέσω ενός ερωτηµατολογίου συλλέγονται οι απόψεις όλων (χωρίς ο ένας να δει ή να γνωρίζει τους υπόλοιπους συµµετέχοντες), 3. οι απαντήσεις όλων ταξινοµούνται και επανατροφοδοτούνται (feedback) στους συµµετέχοντες µαζί µε ένα καινούργιο ερωτηµατολόγιο, 4. το βήµα 3 επαναλαµβάνεται όσες φορές κρίνεται απαραίτητο προκειµένου να επιτευχθεί µια συµφωνία µεταξύ των συµµετεχόντων. Συνήθως 3 ή 4 «γύροι» είναι αρκετοί. Λόγω της ανωνυµίας του καθενός και της ίδιας βαρύτητας όλων των απόψεων, µε τη µέθοδο Delphi αποφεύγεται το µειονέκτηµα της πρώτης µεθόδου (πάνελ). Από την άλλη, η µέθοδος είναι σχετικά χρονοβόρα. Έρευνα αγοράς Αποτελεί µια προσέγγιση που χρησιµοποιεί ερωτηµατολόγια και συνεντεύξεις για τον καθορισµό των αναγκών, των προτιµήσεων, των επιλογών κτλ, µιας οµάδας στόχου (π.χ. των καταναλωτών). Η µέθοδος χρησιµοποιείται ευρέως για την βελτίωση και την δηµιουργία καινούργιων προϊόντων. Σηµαντικό στοιχείο για την επιτυχία της µεθόδου είναι ο σχεδιασµός των ερωτηµατολογίων (ή των συνεντεύξεων). 4

5 IV. Ποσοτικές Μέθοδοι Ανάλυση Χρονοσειράς Για την ανάλυση χρονοσειράς εντοπίζουµε τα µοτίβα των διαθέσιµων δεδοµένων (δηλ, της χρονοσειράς) προκειµένου να καταλάβουµε τον τρόπο µε τον οποίο συµπεριφέρονται. Ακριβώς σε αυτή τη συµπεριφορά βασίζεται η πρόβλεψη. Αυτά τα µοτίβα µπορεί να είναι: 1. επίπεδο (level): ένα τέτοιο µοτίβο υπάρχει όταν τα δεδοµένα κυµαίνονται γύρω από µία µέση τιµή. 2. τάση (trend): είναι η σταδιακή ανοδική ή πτωτική κίνηση των δεδοµένων στο χρόνο. Η κίνηση αυτή µπορεί να είναι γραµµική, εκθετική κτλ. 5

6 3. εποχικότητα (seasonality): είναι η κανονικά επαναλαµβανόµενη κίνηση των δεδοµένων µέσα σε σχετικά µικρό χρονικό διάστηµα (συνήθως µέσα σε ένα χρόνο). Τέτοιο µοτίβο µπορεί να παρουσιάζουν οι µεταβλητές που επηρεάζονται από εποχικούς παράγοντες: π.χ. οι πωλήσεις παγωτών αυξάνουν κατά τους ζεστούς µήνες και µειώνονται κατά τους κρύους. 4. κυκλικότητα (cycle): είναι (όπως και η εποχικότητα) η επαναλαµβανόµενη αυξοµείωση των δεδοµένων, µε µεγαλύτερο όµως χρονικό ορίζοντα (5-10 χρόνια), και είναι συνήθως συνδεδεµένη µε τις διακυµάνσεις στο επίπεδο της συνολικής οικονοµίας (γνωστές ως περίοδοι οικονοµικής ύφεσης και οικονοµικής ανάπτυξης). 5. τυχαιότητα (randomness): είναι η κίνηση των δεδοµένων που δεν παρουσιάζει καµία κανονικότητα. 6

7 Αν εξετάσουµε µια οποιαδήποτε χρονοσειρά, διαπιστώνουµε ότι αποτελεί συνδυασµό ενός ή περισσότερων από τα παραπάνω στοιχεία. Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται µια χρονοσειρά µε εµφανή την ύπαρξη αυξητικής τάσης και, ταυτόχρονα, εποχικότητας. γραµµική αυξητική τάση εποχικότητα Στην ανάλυση χρονοσειράς χρησιµοποιούνται, κατά περίπτωση, διάφορες τεχνικές. Ορισµένες από τις πιο απλές είναι οι ακόλουθες. Απλός Μέσος Όρος (simple mean) Όταν υποπτευόµαστε ότι η µεταβλητή που θέλουµε να προβλέψουµε παρουσιάζει επίπεδο µοτίβο, τότε η µέθοδος αυτή µπορεί να µας δώσει µια καλή εκτίµηση της µεταβλητής. Η πρόβλεψη γίνεται µε τον υπολογισµό της µέσης τιµής των δεδοµένων: Ati F t + 1= n (σχέση 1) Όπου F t+1 η πρόβλεψη για το επόµενο χρονικό διάστηµα, A ti οι διαθέσιµες τιµές της µεταβλητής και n το πλήθος των διαθέσιµων τιµών της µεταβλητής. Παράδειγµα 1 Ένα λατοµείο θέλει να προβλέψει τις πωλήσεις του για το επόµενο δίµηνο έχοντας στη διάθεσή του τις πραγµατοποιηθείσες (δηλ, τις πραγµατικές) πωλήσεις για τα προηγούµενα πέντε δίµηνα. ίµηνο Πραγµατικές πωλήσεις (σε χιλιάδες τόνους) Πρόβλεψη για επόµενο δίµηνο (σε χιλιάδες τόνους) 1 o Γενάρης-Φλεβάρης o Μάρτης-Απρίλης o Μάης-Ιούνιος o Ιούλιος-Αύγουστος o Σεπτέµβρης-Οκτώβρης o Νοέµβρης- εκέµβρης 2004 ; 50,8 7

8 Η λύση, µε βάση τη σχέση 1, έχει ως εξής: F 6 ου = (Α 1 ου +Α 2 ου +Α 3 ου +Α 4 ου +Α 5 ου )/5 = ( )/5 = 254/5 F 6 ου = 50,8 χιλιάδες τόνοι Όταν παρέλθει το 6 ο δίµηνο και µάθουµε τις πραγµατικές πωλήσεις γι αυτό (έστω ότι ήταν 49 χιλ. τόνοι), επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία για την πρόβλεψη του 7 ου δίµηνου αυτή τη φορά µε n=6: F 7 ου = (Α 1 ου +Α 2 ου +Α 3 ου +Α 4 ου +Α 5 ου +Α 6 ου )/6 = ( )/6 = 303/6 F 7 ου = 50,5 χιλιάδες τόνοι Απλός Κινούµενος Μέσος Όρος (simple moving average) Είναι όµοια µέθοδος µε την προηγούµενη µε τη διαφορά ότι δεν βρίσκουµε το µέσο όρο όλων των διαθέσιµων στοιχείων, αλλά λαµβάνουµε υπ όψιν µόνο τα στοιχεία των n πιο πρόσφατων περιόδων. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι για την πρόβλεψη δίνουµε βαρύτητα µόνο στα n πιο πρόσφατα δεδοµένα και συνεπώς είναι κρίσιµη η επιλογή του n. Όπως και στον απλό µέσο όρο, έτσι και εδώ, η πρόβλεψη είναι καλή µόνο όταν έχουµε επίπεδο µοτίβο στα δεδοµένα. F t + 1= A + At 1 + At At n + n t + 1 (σχέση 2) Όπου στην περίπτωση αυτή: A t, A t-1,, A t-n+1 είναι τα πιο πρόσφατα στοιχεία και n το πλήθος των πιο πρόσφατων περιόδων. Παράδειγµα 2 Αν θέλουµε να υπολογίσουµε τον απλό κινούµενο µέσο όρο τριών περιόδων (δηλ, επιλέγουµε n=3) για τα δεδοµένα του παραδείγµατος 1, θα λάβουµε υπ όψιν µόνο τις πωλήσεις των τριών τελευταίων διµήνων (δηλ, του 3 ου, 4 ου και 5 ου ). Άρα: F 6 ου = (Α 3 ου +Α 4 ου +Α 5 ου )/3 = ( )/3 = 150/3 F 6 ου = 50 χιλιάδες τόνοι, για n=3 (βλέπε σηµείωση) Κάθε φορά που παίρνουµε καινούργια δεδοµένα (π.χ. αν οι πωλήσεις για το 6 ο δίµηνο ήταν 49 χιλ. τόνοι) λαµβάνουµε πλέον αυτά υπ όψιν και δεν συνυπολογίζουµε την Είναι προφανές ότι αν επιθυµούµε την πρόβλεψη για τέσσερις περιόδους (άρα n=4) θα έχουµε: F ου 6 = (Α ου 2 +Α ου 3 +Α ου 4 +Α ου 5 )/4 = ( )/4 = 203/4 F ου 6 = 50,75 χιλιάδες τόνοι, για n=4 8

9 παλαιότερη περίοδο. Έτσι, όταν γίνουν διαθέσιµα τα πραγµατικά στοιχεία για το 6 ο δίµηνο, τότε (πάντα για n=3) θα χρησιµοποιήσουµε τα στοιχεία του 4 ου, 5 ου και 6 ου διµήνου, µη λαµβάνοντας πλέον υπ όψιν το 3 ο κ.ο.κ. Για το λόγο αυτό άλλωστε λέµε ότι ο µέσος όρος είναι «κινούµενος». F 7 ου = (Α 4 ου +Α 5 ου +Α 6 ου )/3 = ( )/3 = 151/3 = 50,3 χιλ. τόνοι. Οµοίως αν η πραγµατικές πωλήσεις για το 7 ο δίµηνο ήταν 51 χιλ. τόνοι, τότε αντίστοιχα για το 8 ο η πρόβλεψη θα είναι: F 8 ου = (Α 5 ου +Α 6 ου +Α 7 ου )/3 = ( )/3 = 150/3 = 50 χιλ. τόνοι. Το 2 ο παράδειγµα συνοψίζεται στον παρακάτω πίνακα και το διάγραµµα: ίµηνο Πραγµατικές πωλήσεις (σε χιλιάδες τόνους) Πρόβλεψη (σε χιλιάδες τόνους) 1 o Γενάρης-Φλεβάρης o Μάρτης-Απρίλης o Μάης-Ιούνιος o Ιούλιος-Αύγουστος o Σεπτέµβρης-Οκτώβρης o Νοέµβρης- εκέµβρης ο Γενάρης-Φλεβάρης ,3 8 ο Μάρτης-Απρίλης πωλήσεις δίµηνο πρόβλεψη µε κιν. µ.ο. τριών περιόδων 9

10 Εκθετική Εξοµάλυνση Μια άλλη τεχνική για δεδοµένα µε επίπεδο µοτίβο είναι η εκθετική εξοµάλυνση. Το πλεονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι ότι απαιτεί ελάχιστα στοιχεία για τον υπολογισµό της πρόβλεψης. Χρειαζόµαστε: 1. την πρόβλεψη της προηγούµενης περιόδου, 2. την πραγµατική τιµή της προηγούµενης περιόδου και 3. την τιµή της σταθεράς εξοµάλυνσης α (0 α 1). Η εξίσωση υπολογισµού είναι: Πρόβλεψη επόµενης περιόδου = α(πραγµατική τιµή προηγούµενης) + + (1-α)(πρόβλεψη προηγούµενης) Ή µε µαθηµατικούς όρους: F t+1 = αa t + (1-α)F t (σχέση 3) Από την σχέση 3 φαίνεται ότι η σταθερά α είναι ένα µέτρο της βαρύτητας της πιο πρόσφατης πραγµατικής τιµής σε σχέση µε την πιο πρόσφατη πρόβλεψη. Όσο πιο µεγάλο το α, τόσο µεγαλύτερη βαρύτητα θα έχει η πραγµατική τιµή (A t ) και τόσο µικρότερη η προηγούµενη πρόβλεψη (F t ). Η τιµή του α καθορίζεται τόσο από την εµπειρία αυτού που κάνει την πρόβλεψη όσο και από τα χαρακτηριστικά του µεγέθους που θέλουµε να προβλέψουµε: αν εκτιµούµε ότι το µέγεθος έχει σχετική σταθερότητα στο χρόνο τότε θα δώσουµε στο α µικρή τιµή ( ), αν αντίθετα περιµένουµε έντονες µεταβολές τότε τα α θα πάρει µεγαλύτερες τιµές. Όλη η δυσκολία της µεθόδου, λοιπόν, έγκειται στην επιλογή της καταλληλότερης, κάθε φορά, τιµής του α προκειµένου να έχουµε µια ακριβή πρόβλεψη. Τα κυριότερα πλεονεκτήµατα της µεθόδου που την κάνουν ευρέως χρησιµοποιούµενη είναι: 1. η µεγάλη ακρίβεια πρόβλεψης, 2. η ευκολία υπολογισµού, 3. η απαίτηση ελάχιστων δεδοµένων για τον υπολογισµό. Παράδειγµα 3 Ένα λατοµείο χρησιµοποιεί την µέθοδο του κινητού µέσου όρου µε τέσσερις περιόδους για να προβλέψει το κόστος µεταφοράς του επόµενου µήνα. Όµως, λόγω της µεγάλης αύξησης τον τελευταίο καιρό, διαπιστώνει ότι η εκτιµήσεις του δεν έχουν µεγάλη ακρίβεια, όπως φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα. Έτσι, αποφασίζει να δώσει µεγαλύτερη βαρύτητα στα δεδοµένα του τελευταίου µήνα και προτιµά τη µέθοδο της εκθετικής εξοµάλυνσης. Με βάση την εµπειρία του, ο υπεύθυνος του λατοµείου αποφασίζει να επιλέξει α = 0,85. 10

11 Μήνας Κόστος µεταφοράς ( /τονοχιλιόµετρο) Πρόβλεψη κόστους µεταφοράς ( /τονοχιλιόµετρο) Γενάρης 0,18 Φλεβάρης 0,19 Μάρτης 0,18 Απρίλης 0,19 Μάης 0,21 0,185 Ιούνιος 0,23 0,193 * Ιούλιος 0,24 0,203 * Αύγουστος ; Για να βρούµε την πρόβλεψη για τον Αύγουστο µε χρήση εκθετικής εξοµάλυνσης θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση 3, µε α = 0,85: F Αύγουστος = 0,85Α Ιουλίου + (1-0,85)F Ιουλίου F Αύγουστος = 0,85(0,24) + (1-0,85)0,203 [κάνουµε χρήση της πρόβλεψης του κινούµενου µ.ο.] F Αύγουστος = 0,235 /τονοχιλίοµετρο Κατά την πρώτη εφαρµογή της εκθετικής εξοµάλυνσης και επειδή µπορεί να µην έχουµε ακόµα στη διάθεσή µας καµία πρόβλεψη για την προηγούµενη περίοδο, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µια πρόβλεψη από άλλες απλούστερες µεθόδους όπως του απλού µ.ο. ή του κινούµενου µ.ο. Ακριβώς αυτό κάναµε και στο παραπάνω παράδειγµα χρησιµοποιώντας ως F Ιουλίου την πρόβλεψη που είχαµε κάνει µε τη µέθοδο του κινούµενου µ.ο. Με την πάροδο του Αυγούστου, το πραγµατικό κόστος για το µήνα αυτό αποδείχτηκε ότι ήταν 0,25. Αν το λατοµείο εξακολουθούσε να χρησιµοποιεί τη µέθοδο του κινητού µέσου όρου τεσσάρων περιόδων, η πρόβλεψη για τον Αύγουστο θα ήταν 0,218. Είναι φανερό ότι η εκτίµηση µε την µέθοδο της εκθετικής εξοµάλυνσης ήταν στη συγκεκριµένη περίπτωση πολύ πιο κοντά στην πραγµατικότητα από τη µέθοδο του κινούµενο µέσου όρου. Τι θα γινόταν όµως αν είχε επιλεγεί α = 0,1; Τότε, θα είχαµε: F Αύγουστος = 0,1Α Ιουλίου + (1-0,1)F Ιουλίου F Αύγουστος = 0,1(0,24) + (1-0,1). 0,203 F Αύγουστος = 0,207 /τονοχιλίοµετρο ηλαδή, για α = 0,1 η εκτίµηση µε εκθετική εξοµάλυνση ( 0,207) θα ήταν χειρότερη από αυτή µε κινούµενο µ.ο. τεσσάρων περιόδων ( 0,218). Αυτό το παράδειγµα κάνει σαφές ότι η επιλογή του α είναι µια κρίσιµη υποκειµενική διαδικασία που απαιτεί µεγάλη εµπειρία. πρόβλεψη µε χρήση κινητού µέσου όρου τεσσάρων περιόδων 11

12 Τα συγκριτικά αποτελέσµατα για το παραπάνω παράδειγµα φαίνονται στον πίνακα: Μήνας Κόστος µεταφοράς ( /τονοχιλιόµετρο) Πρόβλεψη µε εκθετική εξοµάλυνση ( /τονοχιλιόµετρο) Πρόβλεψη µε κινούµενο µ.ο. 4 περιόδων ( /τονοχιλιόµετρο) α = 0,85 α = 0,1 Γενάρης 0,18 Φλεβάρης 0,19 Μάρτης 0,18 Απρίλης 0,19 Μάης 0,21 0,185 Ιούνιος 0,23 0,193 Ιούλιος 0,24 0,203 Αύγουστος 0,25 0,235 0,207 0,218 Παρατηρούµε ότι στο παραπάνω παράδειγµα τόσο οι προβλέψεις µε εκθετική εξοµάλυνση όσο, ακόµα περισσότερο, µε κινούµενο µ.ο. «υστερούν» των πραγµατικών τιµών. Αυτό συµβαίνει γιατί οι µέθοδοι αυτές είναι κατάλληλες για χρονοσειρές µε επίπεδο µοτίβο. Στην περίπτωση, όπως εδώ, που υπάρχει τάση (στην περίπτωσή µας αυξητική) τότε πρέπει να κάνουµε χρήση άλλων µεθόδων. Μια τέτοια µέθοδος, για γραµµική τάση, περιγράφεται στην παράγραφο: «χρήση γραµµικής παλινδρόµησης για ανάλυση χρονοσειράς». Στην περίπτωση ύπαρξης άλλων µοτίβων (εποχικότητα, κυκλικότητα, µη γραµµική τάση κτλ) χρησιµοποιούνται µέθοδοι που όµως δεν θα εξετάσουµε στα πλαίσια αυτών των σηµειώσεων. 12

13 V. Αιτιακά Μοντέλα Όπως ειπώθηκε, τα µοντέλα αυτά θεωρούν ότι η µεταβλητή που µας ενδιαφέρει να προβλέψουµε (εξαρτηµένη µεταβλητή) είναι συνάρτηση µίας ή περισσότερων άλλων µεταβλητών (ανεξάρτητες µεταβλητές). Η απλούστερη µορφή τέτοιου µοντέλου είναι η απλή γραµµική παλινδρόµηση (linear regression). Γραµµική Παλινδρόµηση Σε αυτήν η σχέση µεταξύ εξαρτηµένης και ανεξάρτητης µεταβλητής είναι γραµµική και µπορεί να παραστεί από τη σχέση: y = a + bx (σχέση 4) Όπου: y η εξαρτηµένη µεταβλητή (το µέγεθος που θέλουµε να προβλέψουµε), x η ανεξάρτητη µεταβλητή (της οποίας τα δεδοµένα γνωρίζουµε), a και b σταθερές της εξίσωσης που πρέπει να υπολογιστούν. Ο υπολογισµός των a και b γίνεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Τα τέσσερα βήµατα για τον υπολογισµό της πρόβλεψης είναι τα εξής: Βήµα 1 ο : υπολογίζουµε το b από τη σχέση: b = ( xy) nx y ( x 2 ) nx 2 (σχέση 5) Βήµα 2 ο : υπολογίζουµε το a από τη σχέση: a = y bx (σχέση 6) Βήµα 3 ο : υποκαθιστούµε τα a και b που υπολογίσαµε, στη σχέση 4 Βήµα 4 ο : κάνουµε χρήση της εξίσωσης που κατασκευάσαµε για να βρούµε την πρόβλεψη για το y. Στις παραπάνω σχέσεις είναι: x η µέση τιµή των x, y η µέση τιµή των y. Παράδειγµα 4 Μια ιαπωνική χαλυβουργία καταγράφει τη σχέση µεταξύ των εγχώριων πωλήσεών της σε πλατέα προϊόντα (ρόλλους και ελάσµατα χάλυβα) και της ολικής 13

14 χωρητικότητας των πλοίων που βρίσκονται στο στάδιο του σχεδιασµού στα ιαπωνικά ναυπηγεία. Τα στοιχεία για τα προηγούµενα τέσσερα χρόνια φαίνονται στον πίνακα: Πωλήσεις (σε χιλιάδες τόνους) Ολική χωρητικότητα (σε εκατ. κ.ο.χ. ) Η χαλυβουργία θέλει να χρησιµοποιήσει γραµµική παλινδρόµηση για να κάνει εκτίµηση των πωλήσεών της αν το επίπεδο της ναυπήγησης νέων πλοίων πέσει στους 53 εκατοµµύρια κ.ο.χ. Στην περίπτωση αυτή υποθέτουµε ότι υπάρχει γραµµική σχέση µε εξαρτηµένη µεταβλητή (y) τις πωλήσεις και ανεξάρτητη (x) τη χωρητικότητα. Για τον υπολογισµό της εξίσωσης της γραµµικής παλινδρόµησης κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα: x y xy x Σύνολα Υπολογίζουµε και τις µέσες τιµές x και y : x = xi = 205/4 = 51,25 και y = n yi = 589/4 = 147,25 n Τώρα ακολουθούµε τα τέσσερα βήµατα: ( 1. b = ( xy) nx y x 2 ) nx 2 = [ (51,25)(147,25)]/[ (51,25) 2 ] = =(95,75)/(26,75) = 3,6 2. a = y bx = 147,25 (3,6)(51,25) = -37,25 3. y = a + bx y = -37,25 + 3,6x 4. Για να βρούµε την πρόβλεψη πωλήσεων για χωρητικότητα 53 εκατοµµύρια κ.ο.χ. αντικαθιστούµε στην εξίσωση που υπολογίσαµε, όπου x = 53: y = -37,25 + 3,6 (53) = 153,55 χιλιάδες τόνοι ή τόνοι κ.ο.χ. = κόροι ολικής χωρητικότητας 14

15 Χρήση της γραµµικής παλινδρόµησης στην ανάλυση χρονοσειράς Όταν σε µια χρονοσειρά υπάρχει µια γραµµική τάση (ανοδική ή καθοδική), τότε µπορούµε να κάνουµε χρήση της γραµµικής παλινδρόµησης για να ποσοτικοποιήσουµε την τάση αυτή και να τη χρησιµοποιήσουµε για την πρόβλεψη. Αυτό µπορεί να γίνει θεωρώντας ως ανεξάρτητη µεταβλητή (x) τον χρόνο. Παράδειγµα 5 Η ετήσια ζήτηση για παλαιοσίδηρο (scrap) τα τελευταία τέσσερα χρόνια φαίνεται στον πίνακα: Έτος Ζήτηση scrap (χιλιάδες τόνοι) Θα χρησιµοποιήσουµε γραµµική παλινδρόµηση για να προβλέψουµε τη ζήτηση για το Όπως και πρoηγούµενα, φτιάχνουµε τον ακόλουθο πίνακα: Έτος Ζήτηση x y xy x Σύνολα x = 2.5 και y = ( 1. b = ( xy) nx y x 2 ) nx 2 = [ (2,5)(2.375)]/[30 4(2,5) 2 ] = 250/5 = a = y bx = (50)(2,5) = y = a + bx = x 4. Για τον πέµπτο χρόνο (x = 5) η ζήτηση θα είναι: y = (5) = χιλιάδες τόνοι. 15

16 VI. Ακρίβεια Πρόβλεψης Σφάλµα Πρόβλεψης Είναι η διαφορά µεταξύ πρόβλεψης και πραγµατικής τιµής για µια δεδοµένη περίοδο: Όπου: E t το σφάλµα για την περίοδο t, A t η πραγµατική τιµή για την περίοδο t, F t η πρόβλεψη για την περίοδο t. MAD και MSE E t = A t - F t (σχέση 7) Για να έχουµε µια πληρέστερη εικόνα του σφάλµατος σε βάθος χρόνου χρησιµοποιούµε τα µεγέθη της Μέσης Απόλυτης Απόκλισης (mean absolute deviation, MAD) ή/και του Μέσου Τετραγωνισµένου Σφάλµατος (mean squared error, MSE). Όσο µικρότερη είναι η τιµή των µεγεθών αυτόν, τόσο µεγαλύτερη η ακρίβεια. Με τα µεγέθη αυτά µπορούµε να ελέγξουµε την ακρίβεια των µεθόδων πρόβλεψης και να επιλέξουµε τη βελτιστότερη. MAD = MSE = E t (σχέση 8) n 2 E t (σχέση 9) n 1 Όπου: E t το σφάλµα για την περίοδο t, n το πλήθος των περιόδων που χρησιµοποιούµε για τον υπολογισµό. Παράδειγµα 6 Ο µηχανικός ασφαλείας ενός εργοστάσιου θέλει να συγκρίνει την ακρίβεια δύο µεθόδων (Α και Β) που χρησιµοποίησε για την πρόβλεψη του αριθµού ελαφρών τραυµατισµών του προσωπικού κατά τα πέντε προηγούµενα δίµηνα (άρα n = 5). Τα στοιχεία φαίνονται στον πίνακα: 16

17 ίµηνο Τραυµατισµοί Μέθοδος Α Μέθοδος Β (πλήθος) Πρόβλεψη Σφάλµα Et 2 E t Πρόβλεψη Σφάλµα Et 2 E t A t F t E t (A t -F t ) F t E t (A t -F t ) 1 ο ο ο ο ο Σύνολα Ακρίβεια για τη µέθοδο Α: MAD = MSE = E t = 5/5 = 1 n 2 E t = 7/4 = 1,75 n 1 Ακρίβεια για τη µέθοδο Β: MAD = MSE = E t = 10/5 = 2 n 2 E t = 30/4 = 7,5 n 1 Είναι προφανές ότι η ακρίβεια της µεθόδου Α είναι καλύτερη τόσο µε τη µορφή του MAD όσο και του MSE αφού έχουν και τα δύο µικρότερη τιµή από τα αντίστοιχα της µεθόδου Β. 17

18 VII. Βιβλιογραφία Chase, R., Aquilano, N., Jacobs, R. (1998). Production and Operations Management: Manufacturing and Services, 8 th edition, Irwin McGraw-Hill. Heizer, J., Render, B. (1991). Production and Operations Management, 2 nd edition, Allyn & Bacon publishers. Reid, D, Sanders, N. (2002). Operations Management, 1 st edition, John Wiley & Sons.! Τα δύο πρώτα βιβλία, καθώς και πολλά άλλα βιβλία σχετικά µε την επιστήµη της πρόβλεψης και εν γένει το operations management είναι διαθέσιµα από την Κεντρική Βιβλιοθήκη του Ε.Μ.Π. 18

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Forecasting Εισαγωγή στην Πρόγνωση

Forecasting Εισαγωγή στην Πρόγνωση Forecasting Εισαγωγή στην Πρόγνωση Πρόγνωση Ορισμός Αντί προλόγου Εφαρμογές Εφοδιαστική Ορισμός: [

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ανάλυση χρονοσειρών Εισαγωγή Η ανάλυση χρονοσειρών αποσκοπεί στην ανεύρεση των χαρακτηριστικών εκείνων που συµβάλουν στην κατανόηση της ιστορικής συµπεριφοράς µιας µεταβλητής και επιτρέπουν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών

Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών Διπλωματική εργασία της Γεωργίας Μαργιά

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 8

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 8 Λορέντζος Χαζάπης Γιάννης Ζάραγκας Διοίκηση Λειτουργιών τα τετράδια μιας Οδύσσειας τετράδιο 8 Η πρόβλεψη της ζήτησης Αθήνα 2012 τετράδιο 8 Η πρόβλεψη της ζήτησης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο Γιάννης έχει πρόβλημα καθορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ. Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1

Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ. Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1 Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1 4. Πρόβλεψη Ζήτησης στην ΕΑ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Στρατηγική Παραγωγικής Διαδικασίας

Κεφάλαιο 1: Στρατηγική Παραγωγικής Διαδικασίας Κ1.1: Αναμενόμενες Χρηματικές Αξίες (ΑΧΑ) Οι ΑΧΑ ορίζονται ως η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου επί το καθαρό ή μεικτό κέρδος (ή κόστος) του ενδεχόμενου συν η πιθανότητα του άλλου ενδεχόμενου επί το καθαρό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΤΩΝ Ι.Χ. ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΩΝ ΣΕ ΔΕΚΑΠΕΝΤΕ ΧΩΡΕΣ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος καθώς πέφτει ελεύθερα υπό την επίδραση του βάρους του. Πιο συγκεκριµένα θα επαληθεύσουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Ι - ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ....................................17 1.1 Προβλέψεις - Τεχνικές προβλέψεων και διοίκηση................................17 1.2 Τεχνικές προβλέψεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν (Α.Ε.Π.) - Καθαρό Εθνικό Προϊόν

1.1 Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν (Α.Ε.Π.) - Καθαρό Εθνικό Προϊόν ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ : ΑΡΓΥΡΏ ΜΟΥΔΑΤΣΟΥ 1. ΕΘΝΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΙ 1.0 Γενικά Αντικείµενο της Μακροοικονοµικής είναι ο καθορισµός (υπολογισµός) των συνολικών µεγεθών της οικονοµίας, πχ. της συνολικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. Δημ. Εμίρης. Πειραιάς, 2012. Αναπλ. Καθηγητής

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. Δημ. Εμίρης. Πειραιάς, 2012. Αναπλ. Καθηγητής ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ Δημ. Εμίρης Αναπλ. Καθηγητής Πειραιάς, 2012 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι προβλέψεις(forecasing) είναι απαραίτητες για ένα μεγάλο αριθμό αποφάσεων σχεδιασμού και προγραμματισμού Μακροπρόθεσμες αποφάσεις: Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η)

Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η) Στατιστική ΙΙΙ-(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η) Γεώργιος Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

«Επιχειρηματικό Σχέδιο: Τεχνικές Ανάλυσης & Έρευνας της Αγοράς» Μέρος Δ

«Επιχειρηματικό Σχέδιο: Τεχνικές Ανάλυσης & Έρευνας της Αγοράς» Μέρος Δ «Επιχειρηματικό Σχέδιο: Τεχνικές Ανάλυσης & Έρευνας της Αγοράς» Μέρος Δ Γιάννης Καλογήρου, Καθηγητής Τεχνολογικής Οικονομικής και Βιομηχανικής Στρατηγικής στο ΕΜΠ, Επιστημονικός υπεύθυνος Μονάδας Καινοτομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) Δρ Ιωάννης Δημόπουλος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας Τι είναι η χρονολογική σειρά Χρονολογική σειρά ή Χρονοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 4: Η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΠΩΛΗΣΕΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

γένεση των µετακινήσεων

γένεση των µετακινήσεων 3 γένεση των µετακινήσεων εισαγωγή το υπό διερεύνηση θέµα: πόσες µετακινήσεις ξεκινούν από κάθε ζώνη? πόσες µετακινήσεις κάνει ένας µετακινούµενος κατά την διάρκεια µιας µέσης εβδοµάδας? Ανάλυση κατά ζώνη

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο 2015.

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο 2015. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 4 Ιουνίου 20 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Μάρτιος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 6. Χρονοσειρές

Κεϕάλαιο 6. Χρονοσειρές Κεϕάλαιο 6 Χρονοσειρές Στο προηγούµενο κεϕάλαιο µελετήσαµε τη σχέση ενός µεγέθους µε άλλα µεγέθη καθώς και την εξάρτηση του µεγέθους (της εξαρτηµένης τυχαίας µεταβλητής) από άλλα µεγέθη (τις ανεξάρτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 11 εκεµβρίου 2013 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 11 εκεµβρίου 2013 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 11 εκεµβρίου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Σεπτέµβριος 20 29 27 25 23 21 19 17 15 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 10 Απριλίου 2014

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 10 Απριλίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 10 Απριλίου 2014 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2014 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Οι συντελεστές παραγωγής (κεφαλαιουχικά αγαθά, εργασία, γη, επιχειρηµατικότητα, κλπ), µετά από µια διαδικασία, µετασχηµατίζονται σε αγαθά και υπηρεσίες. Η συνολική

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ιπλωµατική Εργασία. Μέθοδοι προβλέψεων και διαχείριση αποθεµάτων στην KLEEMANN

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ιπλωµατική Εργασία. Μέθοδοι προβλέψεων και διαχείριση αποθεµάτων στην KLEEMANN ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ιπλωµατική Εργασία Μέθοδοι προβλέψεων και διαχείριση αποθεµάτων στην KLEEMANN HELLAS S.A του ΕΛΛΗ Π. ΝΙΚΟΛΑΟΥ (mbaex869) Επιβλέπων καθηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 2015

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 20 Πειραιάς, 12 Νοεµβρίου 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ 2004

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ 2004 ΑΡΧΕΣ ΟΙΟΝΟΜΙΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΛΥΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΗΣ ΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ 2004 ΕΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α ια τις προτάσεις από Α1 µέχρι και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Πολύ συχνά οι κατασκευαστές υαλοστασίων έχουν βρεθεί µπροστά στο δίληµµα για το ποιό πάχος γυαλιού θα έπρεπε να επιλέξουν για κάποια κατασκευή από τζάµι. Οι προβληµατισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Λύσεις µε κατάλληλο σχολιασµό και παρατηρήσεις σε θέµατα από παλαιότερες πανελλαδικές εξετάσεις. Γενικές οδηγίες και παρατηρήσεις κατά την αντιµετώπιση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Τµ. Διοίκησης Επιχειρήσεων/Μεσολόγγι ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Διαχείριση Έργων Πληροφορικής Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Β. Βασιλειάδης Τµ. Διοικ. Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Μελέτη Σκοπιµότητας Ø Τι είναι: Ø Τεκµηρίωση

Διαβάστε περισσότερα