«Πρόβλεψη» «Forecasting»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Πρόβλεψη» «Forecasting»"

Transcript

1 «Πρόβλεψη» «Forecasting» Σηµειώσεις για το µάθηµα του 6 ου εξαµήνου «Αρχές ιοίκησης και Οργάνωση Παραγωγής» 2005 Μιχάλης Βαϊδάνης 1

2 I. Πρόβλεψη (Forecasting) Η πρόβλεψη είναι µια από τις σηµαντικότερες λειτουργίες µέσα σε µια επιχείρηση και εν γένει σε έναν οργανισµό, για τη λήψη κάθε κρίσιµης απόφασης: ο έλεγχος του κόστους, ο σχεδιασµός νέων προϊόντων, η πρόσληψη προσωπικού, ο όγκος της παραγωγής, το ύψος των αποθεµάτων, όλα καθορίζονται από την πρόβλεψη. Χωρίς αυτήν, κάθε απόφαση θα λαµβανόταν στην τύχη. Η πρόβλεψη µπορεί να είναι βραχυπρόθεσµη, µεσοπρόθεσµη ή µακροπρόθεσµη ανάλογα µε τον χρονικό ορίζοντα στον οποίο αναφέρεται. Π.χ. η πρόβλεψη των πωλήσεων Βωξίτη για το επόµενο τρίµηνο µπορεί να θεωρηθεί βραχυπρόθεσµη ενώ η πρόβλεψη της τιµής του νικελίου, στη διεθνή αγορά, σε µια τριετία από τώρα µπορεί να θεωρηθεί ως µακροπρόθεσµη. Αρχές της Πρόβλεψης 1. Καµία πρόβλεψη δεν είναι τέλεια: καθώς περιλαµβάνει το στοιχείο της αβεβαιότητας, η πρόβλεψη θα περιέχει κάποιο σφάλµα (δηλ, τη διαφορά µεταξύ της πρόβλεψης και της πραγµατικότητας). Με βάση αυτό, στόχος της διαδικασίας πρόβλεψης είναι η ελαχιστοποίηση του σφάλµατος για την όσο το δυνατόν ακριβέστερη προσέγγιση της πραγµατικότητας. 2. Μια πρόβλεψη είναι περισσότερο ακριβής για οµάδες στοιχείων παρά για µεµονωµένα στοιχεία: π.χ. η πρόβλεψη της συνολικής ζήτησης για βιοµηχανικά ορυκτά (καολίνης, µπεντονίτης, περλίτης κτλ) για το επόµενο έτος θα είναι ακριβέστερη από την ζήτηση για ένα συγκεκριµένο ορυκτό (π.χ. του περλίτη) και η τελευταία θα είναι µε τη σειρά της ακριβέστερη από την πρόβλεψη της ζήτησης για ένα ορυκτό µε ορισµένη ποιότητα (π.χ. περλίτης συγκεκριµένης κοκκοµετρίας). Αυτό συµβαίνει γιατί οι µέγιστες και ελάχιστες τιµές των διαφόρων στοιχείων (π.χ. ορυκτών) αλληλοεξουδετερώνονται µε αποτέλεσµα η οµάδα το στοιχείων να έχει σταθερή συµπεριφορά ακόµα και αν τα µεµονωµένα στοιχεία συµπεριφέρονται µε ασταθή τρόπο. 3. Η πρόβλεψη είναι περισσότερο ακριβής όταν είναι βραχυπρόθεσµη παρά όταν είναι µακροπρόθεσµη: όσο κοντινότερος είναι ο χρονικός ορίζοντας της πρόγνωσης τόσο µικρότερος είναι ο βαθµός αβεβαιότητας και άρα τόσο µικρότερο το σφάλµα που θα περιέχει. Ένα κλασσικό παράδειγµα αφορά στην πρόβλεψη του καιρού: ένα µετεωρολογικό δελτίο για τις επόµενες δύο ή τρεις µέρες είναι πάρα πολύ πιθανό να είναι βγει αληθινό. Αντίθετα, η πρόγνωση για τον καιρό του επόµενου µήνα έχει µεγάλες πιθανότητες να αποδειχτεί λανθασµένη. 2

3 II. Τύποι Μεθόδων Πρόβλεψης Υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες µεθόδων πρόβλεψης: Ποιοτική πρόβλεψη (qualitative ή judgmental forecasting): Στην κατηγορία αυτή περιλαµβάνονται µέθοδοι στις οποίες η πρόβλεψη γίνεται από έναν ή περισσότερους ειδικούς µε βάση την γνώση, την εµπειρία και το ένστικτο τους. Αυτού του είδους η πρόβλεψη είναι υποκειµενική και περιλαµβάνει το στοιχείο της προκατάληψης (bias). Ποσοτική πρόβλεψη (quantitative forecasting): Οι µέθοδοι αυτές βασίζονται στη µαθηµατική µοντελοποίηση και άρα είναι αντικειµενικές και επαναλήψιµες (δηλ, παράγουν το ίδιο αποτέλεσµα κάθε φορά που εισάγουµε τα ίδια δεδοµένα). Οι ποσοτικές µέθοδοι απαιτούν µια σειρά από αριθµητικά δεδοµένα που όµως δεν είναι πάντα διαθέσιµα ή αξιόπιστα. Οι ποσοτικές µέθοδοι µπορούν να διακριθούν σε αυτές που βασίζονται σε µοντέλα χρονοσειρών (time series models) και σε αυτές που βασίζονται σε αιτιακά µοντέλα (causal models). Τα πρώτα προϋποθέτουν ότι η απαραίτητη πληροφορία για την πρόβλεψη περιέχεται στη χρονοσειρά των στοιχείων. Χρονοσειρά είναι µια σειρά παρατηρήσεων που λαµβάνονται σε κανονικά διαστήµατα µέσα σε ένα καθορισµένο χρονικό διάστηµα. Για παράδειγµα, αν καταγράφουµε τις µηνιαίες τιµές του χρυσού στο χρηµατιστήριο µετάλλων του Λονδίνου για χρονικό διάστηµα 5 ετών, τότε έχουµε στη διάθεσή µας µια χρονοσειρά των µηνιαίων τιµών του χρυσού. Η ανάλυση χρονοσειράς κάνει την υπόθεση ότι µπορεί να γίνει πρόβλεψη µε βάση τα µοτίβα (patterns) των διαθέσιµων δεδοµένων. Έτσι, η ανάλυση αυτή αναζητάει τάσεις, κυκλικότητα, περιοδικότητα κτλ στα δεδοµένα προκειµένου να δηµιουργήσει ένα µοντέλο πρόβλεψης. Τα αιτιακά µοντέλα χρησιµοποιούν µια αρκετά διαφορετική προσέγγιση για την δηµιουργία πρόβλεψης: θεωρούν ότι η µεταβλητή για την οποία θέλουµε να κάνουµε πρόβλεψη είναι εξαρτηµένη µε κάποιο τρόπο από µία ή περισσότερες παραµέτρους. Η δυσκολία έγκειται στην εύρεση της µαθηµατικής σχέσης µε την οποία επηρεάζεται η ζητούµενη µεταβλητή από τις παραµέτρους αυτές. Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε ότι η ζήτηση για σίδηρο οπλισµού εξαρτάται: α) από τη χρηµατική αξία των συµβάσεων για δηµόσια έργα που υπογράφονται µεταξύ του ΥΠΕΧΩ Ε και των κατασκευαστικών εταιρειών και β) από τον αριθµό των οικοδοµικών αδειών που εκδίδονται από τις πολεοδοµίες της χώρας, τότε αν βρούµε τη µαθηµατική τους σχέση µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα µαθηµατικό µοντέλο πρόβλεψης για την ζήτηση σε σίδηρο οπλισµού. Είναι προφανές ότι τα αιτιακά µοντέλα µπορεί να είναι πολύ περίπλοκα, ειδικά στην περίπτωση που λαµβάνονται υπ όψιν πολλές παράµετροι. 3

4 III. Ποιοτικές Μέθοδοι Πάνελ Η µέθοδος αυτή βασίζεται στο γεγονός ότι µια πολυπληθής οµάδα ανθρώπων από διαφορετικές θέσεις µπορεί να κάνει µια πιο αξιόπιστη πρόβλεψη απ ότι ένας µεµονωµένος ή λίγοι άνθρωποι. Έτσι, διοργανώνονται ανοιχτές συναντήσεις µε ελεύθερη ανταλλαγή απόψεων µεταξύ ανθρώπων από όλο το φάσµα των θέσεων ενός οργανισµού. Ένα µειονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι ότι η άποψη των υφιστάµενων «σκεδάζεται» ή υποβαθµίζεται από την άποψη των ανώτερων στην ιεραρχία. Αυτό το µειονέκτηµα προσπαθεί να διορθώσει η µέθοδος Delphi. Μέθοδος Delphi Η µέθοδος αυτή είναι µια τεχνική πρόβλεψης, στόχος της οποίας είναι η προσέγγιση µιας συµφωνίας µεταξύ µιας οµάδας ειδικών, διατηρώντας την ανωνυµία τους. Η ιδέα πίσω από αυτήν είναι ότι ενώ οι ειδικοί δεν θα συµφωνήσουν σε όλα τα ζητήµατα, εντούτοις σε ότι συµφωνήσουν αυτά κατά πάσα πιθανότητα θα συµβούν. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή: 1. γίνεται επιλογή των συµµετεχόντων, συνήθως ειδικών από διαφορετικές θέσεις ή επιστηµονικά υπόβαθρα, 2. µέσω ενός ερωτηµατολογίου συλλέγονται οι απόψεις όλων (χωρίς ο ένας να δει ή να γνωρίζει τους υπόλοιπους συµµετέχοντες), 3. οι απαντήσεις όλων ταξινοµούνται και επανατροφοδοτούνται (feedback) στους συµµετέχοντες µαζί µε ένα καινούργιο ερωτηµατολόγιο, 4. το βήµα 3 επαναλαµβάνεται όσες φορές κρίνεται απαραίτητο προκειµένου να επιτευχθεί µια συµφωνία µεταξύ των συµµετεχόντων. Συνήθως 3 ή 4 «γύροι» είναι αρκετοί. Λόγω της ανωνυµίας του καθενός και της ίδιας βαρύτητας όλων των απόψεων, µε τη µέθοδο Delphi αποφεύγεται το µειονέκτηµα της πρώτης µεθόδου (πάνελ). Από την άλλη, η µέθοδος είναι σχετικά χρονοβόρα. Έρευνα αγοράς Αποτελεί µια προσέγγιση που χρησιµοποιεί ερωτηµατολόγια και συνεντεύξεις για τον καθορισµό των αναγκών, των προτιµήσεων, των επιλογών κτλ, µιας οµάδας στόχου (π.χ. των καταναλωτών). Η µέθοδος χρησιµοποιείται ευρέως για την βελτίωση και την δηµιουργία καινούργιων προϊόντων. Σηµαντικό στοιχείο για την επιτυχία της µεθόδου είναι ο σχεδιασµός των ερωτηµατολογίων (ή των συνεντεύξεων). 4

5 IV. Ποσοτικές Μέθοδοι Ανάλυση Χρονοσειράς Για την ανάλυση χρονοσειράς εντοπίζουµε τα µοτίβα των διαθέσιµων δεδοµένων (δηλ, της χρονοσειράς) προκειµένου να καταλάβουµε τον τρόπο µε τον οποίο συµπεριφέρονται. Ακριβώς σε αυτή τη συµπεριφορά βασίζεται η πρόβλεψη. Αυτά τα µοτίβα µπορεί να είναι: 1. επίπεδο (level): ένα τέτοιο µοτίβο υπάρχει όταν τα δεδοµένα κυµαίνονται γύρω από µία µέση τιµή. 2. τάση (trend): είναι η σταδιακή ανοδική ή πτωτική κίνηση των δεδοµένων στο χρόνο. Η κίνηση αυτή µπορεί να είναι γραµµική, εκθετική κτλ. 5

6 3. εποχικότητα (seasonality): είναι η κανονικά επαναλαµβανόµενη κίνηση των δεδοµένων µέσα σε σχετικά µικρό χρονικό διάστηµα (συνήθως µέσα σε ένα χρόνο). Τέτοιο µοτίβο µπορεί να παρουσιάζουν οι µεταβλητές που επηρεάζονται από εποχικούς παράγοντες: π.χ. οι πωλήσεις παγωτών αυξάνουν κατά τους ζεστούς µήνες και µειώνονται κατά τους κρύους. 4. κυκλικότητα (cycle): είναι (όπως και η εποχικότητα) η επαναλαµβανόµενη αυξοµείωση των δεδοµένων, µε µεγαλύτερο όµως χρονικό ορίζοντα (5-10 χρόνια), και είναι συνήθως συνδεδεµένη µε τις διακυµάνσεις στο επίπεδο της συνολικής οικονοµίας (γνωστές ως περίοδοι οικονοµικής ύφεσης και οικονοµικής ανάπτυξης). 5. τυχαιότητα (randomness): είναι η κίνηση των δεδοµένων που δεν παρουσιάζει καµία κανονικότητα. 6

7 Αν εξετάσουµε µια οποιαδήποτε χρονοσειρά, διαπιστώνουµε ότι αποτελεί συνδυασµό ενός ή περισσότερων από τα παραπάνω στοιχεία. Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται µια χρονοσειρά µε εµφανή την ύπαρξη αυξητικής τάσης και, ταυτόχρονα, εποχικότητας. γραµµική αυξητική τάση εποχικότητα Στην ανάλυση χρονοσειράς χρησιµοποιούνται, κατά περίπτωση, διάφορες τεχνικές. Ορισµένες από τις πιο απλές είναι οι ακόλουθες. Απλός Μέσος Όρος (simple mean) Όταν υποπτευόµαστε ότι η µεταβλητή που θέλουµε να προβλέψουµε παρουσιάζει επίπεδο µοτίβο, τότε η µέθοδος αυτή µπορεί να µας δώσει µια καλή εκτίµηση της µεταβλητής. Η πρόβλεψη γίνεται µε τον υπολογισµό της µέσης τιµής των δεδοµένων: Ati F t + 1= n (σχέση 1) Όπου F t+1 η πρόβλεψη για το επόµενο χρονικό διάστηµα, A ti οι διαθέσιµες τιµές της µεταβλητής και n το πλήθος των διαθέσιµων τιµών της µεταβλητής. Παράδειγµα 1 Ένα λατοµείο θέλει να προβλέψει τις πωλήσεις του για το επόµενο δίµηνο έχοντας στη διάθεσή του τις πραγµατοποιηθείσες (δηλ, τις πραγµατικές) πωλήσεις για τα προηγούµενα πέντε δίµηνα. ίµηνο Πραγµατικές πωλήσεις (σε χιλιάδες τόνους) Πρόβλεψη για επόµενο δίµηνο (σε χιλιάδες τόνους) 1 o Γενάρης-Φλεβάρης o Μάρτης-Απρίλης o Μάης-Ιούνιος o Ιούλιος-Αύγουστος o Σεπτέµβρης-Οκτώβρης o Νοέµβρης- εκέµβρης 2004 ; 50,8 7

8 Η λύση, µε βάση τη σχέση 1, έχει ως εξής: F 6 ου = (Α 1 ου +Α 2 ου +Α 3 ου +Α 4 ου +Α 5 ου )/5 = ( )/5 = 254/5 F 6 ου = 50,8 χιλιάδες τόνοι Όταν παρέλθει το 6 ο δίµηνο και µάθουµε τις πραγµατικές πωλήσεις γι αυτό (έστω ότι ήταν 49 χιλ. τόνοι), επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία για την πρόβλεψη του 7 ου δίµηνου αυτή τη φορά µε n=6: F 7 ου = (Α 1 ου +Α 2 ου +Α 3 ου +Α 4 ου +Α 5 ου +Α 6 ου )/6 = ( )/6 = 303/6 F 7 ου = 50,5 χιλιάδες τόνοι Απλός Κινούµενος Μέσος Όρος (simple moving average) Είναι όµοια µέθοδος µε την προηγούµενη µε τη διαφορά ότι δεν βρίσκουµε το µέσο όρο όλων των διαθέσιµων στοιχείων, αλλά λαµβάνουµε υπ όψιν µόνο τα στοιχεία των n πιο πρόσφατων περιόδων. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι για την πρόβλεψη δίνουµε βαρύτητα µόνο στα n πιο πρόσφατα δεδοµένα και συνεπώς είναι κρίσιµη η επιλογή του n. Όπως και στον απλό µέσο όρο, έτσι και εδώ, η πρόβλεψη είναι καλή µόνο όταν έχουµε επίπεδο µοτίβο στα δεδοµένα. F t + 1= A + At 1 + At At n + n t + 1 (σχέση 2) Όπου στην περίπτωση αυτή: A t, A t-1,, A t-n+1 είναι τα πιο πρόσφατα στοιχεία και n το πλήθος των πιο πρόσφατων περιόδων. Παράδειγµα 2 Αν θέλουµε να υπολογίσουµε τον απλό κινούµενο µέσο όρο τριών περιόδων (δηλ, επιλέγουµε n=3) για τα δεδοµένα του παραδείγµατος 1, θα λάβουµε υπ όψιν µόνο τις πωλήσεις των τριών τελευταίων διµήνων (δηλ, του 3 ου, 4 ου και 5 ου ). Άρα: F 6 ου = (Α 3 ου +Α 4 ου +Α 5 ου )/3 = ( )/3 = 150/3 F 6 ου = 50 χιλιάδες τόνοι, για n=3 (βλέπε σηµείωση) Κάθε φορά που παίρνουµε καινούργια δεδοµένα (π.χ. αν οι πωλήσεις για το 6 ο δίµηνο ήταν 49 χιλ. τόνοι) λαµβάνουµε πλέον αυτά υπ όψιν και δεν συνυπολογίζουµε την Είναι προφανές ότι αν επιθυµούµε την πρόβλεψη για τέσσερις περιόδους (άρα n=4) θα έχουµε: F ου 6 = (Α ου 2 +Α ου 3 +Α ου 4 +Α ου 5 )/4 = ( )/4 = 203/4 F ου 6 = 50,75 χιλιάδες τόνοι, για n=4 8

9 παλαιότερη περίοδο. Έτσι, όταν γίνουν διαθέσιµα τα πραγµατικά στοιχεία για το 6 ο δίµηνο, τότε (πάντα για n=3) θα χρησιµοποιήσουµε τα στοιχεία του 4 ου, 5 ου και 6 ου διµήνου, µη λαµβάνοντας πλέον υπ όψιν το 3 ο κ.ο.κ. Για το λόγο αυτό άλλωστε λέµε ότι ο µέσος όρος είναι «κινούµενος». F 7 ου = (Α 4 ου +Α 5 ου +Α 6 ου )/3 = ( )/3 = 151/3 = 50,3 χιλ. τόνοι. Οµοίως αν η πραγµατικές πωλήσεις για το 7 ο δίµηνο ήταν 51 χιλ. τόνοι, τότε αντίστοιχα για το 8 ο η πρόβλεψη θα είναι: F 8 ου = (Α 5 ου +Α 6 ου +Α 7 ου )/3 = ( )/3 = 150/3 = 50 χιλ. τόνοι. Το 2 ο παράδειγµα συνοψίζεται στον παρακάτω πίνακα και το διάγραµµα: ίµηνο Πραγµατικές πωλήσεις (σε χιλιάδες τόνους) Πρόβλεψη (σε χιλιάδες τόνους) 1 o Γενάρης-Φλεβάρης o Μάρτης-Απρίλης o Μάης-Ιούνιος o Ιούλιος-Αύγουστος o Σεπτέµβρης-Οκτώβρης o Νοέµβρης- εκέµβρης ο Γενάρης-Φλεβάρης ,3 8 ο Μάρτης-Απρίλης πωλήσεις δίµηνο πρόβλεψη µε κιν. µ.ο. τριών περιόδων 9

10 Εκθετική Εξοµάλυνση Μια άλλη τεχνική για δεδοµένα µε επίπεδο µοτίβο είναι η εκθετική εξοµάλυνση. Το πλεονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι ότι απαιτεί ελάχιστα στοιχεία για τον υπολογισµό της πρόβλεψης. Χρειαζόµαστε: 1. την πρόβλεψη της προηγούµενης περιόδου, 2. την πραγµατική τιµή της προηγούµενης περιόδου και 3. την τιµή της σταθεράς εξοµάλυνσης α (0 α 1). Η εξίσωση υπολογισµού είναι: Πρόβλεψη επόµενης περιόδου = α(πραγµατική τιµή προηγούµενης) + + (1-α)(πρόβλεψη προηγούµενης) Ή µε µαθηµατικούς όρους: F t+1 = αa t + (1-α)F t (σχέση 3) Από την σχέση 3 φαίνεται ότι η σταθερά α είναι ένα µέτρο της βαρύτητας της πιο πρόσφατης πραγµατικής τιµής σε σχέση µε την πιο πρόσφατη πρόβλεψη. Όσο πιο µεγάλο το α, τόσο µεγαλύτερη βαρύτητα θα έχει η πραγµατική τιµή (A t ) και τόσο µικρότερη η προηγούµενη πρόβλεψη (F t ). Η τιµή του α καθορίζεται τόσο από την εµπειρία αυτού που κάνει την πρόβλεψη όσο και από τα χαρακτηριστικά του µεγέθους που θέλουµε να προβλέψουµε: αν εκτιµούµε ότι το µέγεθος έχει σχετική σταθερότητα στο χρόνο τότε θα δώσουµε στο α µικρή τιµή ( ), αν αντίθετα περιµένουµε έντονες µεταβολές τότε τα α θα πάρει µεγαλύτερες τιµές. Όλη η δυσκολία της µεθόδου, λοιπόν, έγκειται στην επιλογή της καταλληλότερης, κάθε φορά, τιµής του α προκειµένου να έχουµε µια ακριβή πρόβλεψη. Τα κυριότερα πλεονεκτήµατα της µεθόδου που την κάνουν ευρέως χρησιµοποιούµενη είναι: 1. η µεγάλη ακρίβεια πρόβλεψης, 2. η ευκολία υπολογισµού, 3. η απαίτηση ελάχιστων δεδοµένων για τον υπολογισµό. Παράδειγµα 3 Ένα λατοµείο χρησιµοποιεί την µέθοδο του κινητού µέσου όρου µε τέσσερις περιόδους για να προβλέψει το κόστος µεταφοράς του επόµενου µήνα. Όµως, λόγω της µεγάλης αύξησης τον τελευταίο καιρό, διαπιστώνει ότι η εκτιµήσεις του δεν έχουν µεγάλη ακρίβεια, όπως φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα. Έτσι, αποφασίζει να δώσει µεγαλύτερη βαρύτητα στα δεδοµένα του τελευταίου µήνα και προτιµά τη µέθοδο της εκθετικής εξοµάλυνσης. Με βάση την εµπειρία του, ο υπεύθυνος του λατοµείου αποφασίζει να επιλέξει α = 0,85. 10

11 Μήνας Κόστος µεταφοράς ( /τονοχιλιόµετρο) Πρόβλεψη κόστους µεταφοράς ( /τονοχιλιόµετρο) Γενάρης 0,18 Φλεβάρης 0,19 Μάρτης 0,18 Απρίλης 0,19 Μάης 0,21 0,185 Ιούνιος 0,23 0,193 * Ιούλιος 0,24 0,203 * Αύγουστος ; Για να βρούµε την πρόβλεψη για τον Αύγουστο µε χρήση εκθετικής εξοµάλυνσης θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση 3, µε α = 0,85: F Αύγουστος = 0,85Α Ιουλίου + (1-0,85)F Ιουλίου F Αύγουστος = 0,85(0,24) + (1-0,85)0,203 [κάνουµε χρήση της πρόβλεψης του κινούµενου µ.ο.] F Αύγουστος = 0,235 /τονοχιλίοµετρο Κατά την πρώτη εφαρµογή της εκθετικής εξοµάλυνσης και επειδή µπορεί να µην έχουµε ακόµα στη διάθεσή µας καµία πρόβλεψη για την προηγούµενη περίοδο, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µια πρόβλεψη από άλλες απλούστερες µεθόδους όπως του απλού µ.ο. ή του κινούµενου µ.ο. Ακριβώς αυτό κάναµε και στο παραπάνω παράδειγµα χρησιµοποιώντας ως F Ιουλίου την πρόβλεψη που είχαµε κάνει µε τη µέθοδο του κινούµενου µ.ο. Με την πάροδο του Αυγούστου, το πραγµατικό κόστος για το µήνα αυτό αποδείχτηκε ότι ήταν 0,25. Αν το λατοµείο εξακολουθούσε να χρησιµοποιεί τη µέθοδο του κινητού µέσου όρου τεσσάρων περιόδων, η πρόβλεψη για τον Αύγουστο θα ήταν 0,218. Είναι φανερό ότι η εκτίµηση µε την µέθοδο της εκθετικής εξοµάλυνσης ήταν στη συγκεκριµένη περίπτωση πολύ πιο κοντά στην πραγµατικότητα από τη µέθοδο του κινούµενο µέσου όρου. Τι θα γινόταν όµως αν είχε επιλεγεί α = 0,1; Τότε, θα είχαµε: F Αύγουστος = 0,1Α Ιουλίου + (1-0,1)F Ιουλίου F Αύγουστος = 0,1(0,24) + (1-0,1). 0,203 F Αύγουστος = 0,207 /τονοχιλίοµετρο ηλαδή, για α = 0,1 η εκτίµηση µε εκθετική εξοµάλυνση ( 0,207) θα ήταν χειρότερη από αυτή µε κινούµενο µ.ο. τεσσάρων περιόδων ( 0,218). Αυτό το παράδειγµα κάνει σαφές ότι η επιλογή του α είναι µια κρίσιµη υποκειµενική διαδικασία που απαιτεί µεγάλη εµπειρία. πρόβλεψη µε χρήση κινητού µέσου όρου τεσσάρων περιόδων 11

12 Τα συγκριτικά αποτελέσµατα για το παραπάνω παράδειγµα φαίνονται στον πίνακα: Μήνας Κόστος µεταφοράς ( /τονοχιλιόµετρο) Πρόβλεψη µε εκθετική εξοµάλυνση ( /τονοχιλιόµετρο) Πρόβλεψη µε κινούµενο µ.ο. 4 περιόδων ( /τονοχιλιόµετρο) α = 0,85 α = 0,1 Γενάρης 0,18 Φλεβάρης 0,19 Μάρτης 0,18 Απρίλης 0,19 Μάης 0,21 0,185 Ιούνιος 0,23 0,193 Ιούλιος 0,24 0,203 Αύγουστος 0,25 0,235 0,207 0,218 Παρατηρούµε ότι στο παραπάνω παράδειγµα τόσο οι προβλέψεις µε εκθετική εξοµάλυνση όσο, ακόµα περισσότερο, µε κινούµενο µ.ο. «υστερούν» των πραγµατικών τιµών. Αυτό συµβαίνει γιατί οι µέθοδοι αυτές είναι κατάλληλες για χρονοσειρές µε επίπεδο µοτίβο. Στην περίπτωση, όπως εδώ, που υπάρχει τάση (στην περίπτωσή µας αυξητική) τότε πρέπει να κάνουµε χρήση άλλων µεθόδων. Μια τέτοια µέθοδος, για γραµµική τάση, περιγράφεται στην παράγραφο: «χρήση γραµµικής παλινδρόµησης για ανάλυση χρονοσειράς». Στην περίπτωση ύπαρξης άλλων µοτίβων (εποχικότητα, κυκλικότητα, µη γραµµική τάση κτλ) χρησιµοποιούνται µέθοδοι που όµως δεν θα εξετάσουµε στα πλαίσια αυτών των σηµειώσεων. 12

13 V. Αιτιακά Μοντέλα Όπως ειπώθηκε, τα µοντέλα αυτά θεωρούν ότι η µεταβλητή που µας ενδιαφέρει να προβλέψουµε (εξαρτηµένη µεταβλητή) είναι συνάρτηση µίας ή περισσότερων άλλων µεταβλητών (ανεξάρτητες µεταβλητές). Η απλούστερη µορφή τέτοιου µοντέλου είναι η απλή γραµµική παλινδρόµηση (linear regression). Γραµµική Παλινδρόµηση Σε αυτήν η σχέση µεταξύ εξαρτηµένης και ανεξάρτητης µεταβλητής είναι γραµµική και µπορεί να παραστεί από τη σχέση: y = a + bx (σχέση 4) Όπου: y η εξαρτηµένη µεταβλητή (το µέγεθος που θέλουµε να προβλέψουµε), x η ανεξάρτητη µεταβλητή (της οποίας τα δεδοµένα γνωρίζουµε), a και b σταθερές της εξίσωσης που πρέπει να υπολογιστούν. Ο υπολογισµός των a και b γίνεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Τα τέσσερα βήµατα για τον υπολογισµό της πρόβλεψης είναι τα εξής: Βήµα 1 ο : υπολογίζουµε το b από τη σχέση: b = ( xy) nx y ( x 2 ) nx 2 (σχέση 5) Βήµα 2 ο : υπολογίζουµε το a από τη σχέση: a = y bx (σχέση 6) Βήµα 3 ο : υποκαθιστούµε τα a και b που υπολογίσαµε, στη σχέση 4 Βήµα 4 ο : κάνουµε χρήση της εξίσωσης που κατασκευάσαµε για να βρούµε την πρόβλεψη για το y. Στις παραπάνω σχέσεις είναι: x η µέση τιµή των x, y η µέση τιµή των y. Παράδειγµα 4 Μια ιαπωνική χαλυβουργία καταγράφει τη σχέση µεταξύ των εγχώριων πωλήσεών της σε πλατέα προϊόντα (ρόλλους και ελάσµατα χάλυβα) και της ολικής 13

14 χωρητικότητας των πλοίων που βρίσκονται στο στάδιο του σχεδιασµού στα ιαπωνικά ναυπηγεία. Τα στοιχεία για τα προηγούµενα τέσσερα χρόνια φαίνονται στον πίνακα: Πωλήσεις (σε χιλιάδες τόνους) Ολική χωρητικότητα (σε εκατ. κ.ο.χ. ) Η χαλυβουργία θέλει να χρησιµοποιήσει γραµµική παλινδρόµηση για να κάνει εκτίµηση των πωλήσεών της αν το επίπεδο της ναυπήγησης νέων πλοίων πέσει στους 53 εκατοµµύρια κ.ο.χ. Στην περίπτωση αυτή υποθέτουµε ότι υπάρχει γραµµική σχέση µε εξαρτηµένη µεταβλητή (y) τις πωλήσεις και ανεξάρτητη (x) τη χωρητικότητα. Για τον υπολογισµό της εξίσωσης της γραµµικής παλινδρόµησης κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα: x y xy x Σύνολα Υπολογίζουµε και τις µέσες τιµές x και y : x = xi = 205/4 = 51,25 και y = n yi = 589/4 = 147,25 n Τώρα ακολουθούµε τα τέσσερα βήµατα: ( 1. b = ( xy) nx y x 2 ) nx 2 = [ (51,25)(147,25)]/[ (51,25) 2 ] = =(95,75)/(26,75) = 3,6 2. a = y bx = 147,25 (3,6)(51,25) = -37,25 3. y = a + bx y = -37,25 + 3,6x 4. Για να βρούµε την πρόβλεψη πωλήσεων για χωρητικότητα 53 εκατοµµύρια κ.ο.χ. αντικαθιστούµε στην εξίσωση που υπολογίσαµε, όπου x = 53: y = -37,25 + 3,6 (53) = 153,55 χιλιάδες τόνοι ή τόνοι κ.ο.χ. = κόροι ολικής χωρητικότητας 14

15 Χρήση της γραµµικής παλινδρόµησης στην ανάλυση χρονοσειράς Όταν σε µια χρονοσειρά υπάρχει µια γραµµική τάση (ανοδική ή καθοδική), τότε µπορούµε να κάνουµε χρήση της γραµµικής παλινδρόµησης για να ποσοτικοποιήσουµε την τάση αυτή και να τη χρησιµοποιήσουµε για την πρόβλεψη. Αυτό µπορεί να γίνει θεωρώντας ως ανεξάρτητη µεταβλητή (x) τον χρόνο. Παράδειγµα 5 Η ετήσια ζήτηση για παλαιοσίδηρο (scrap) τα τελευταία τέσσερα χρόνια φαίνεται στον πίνακα: Έτος Ζήτηση scrap (χιλιάδες τόνοι) Θα χρησιµοποιήσουµε γραµµική παλινδρόµηση για να προβλέψουµε τη ζήτηση για το Όπως και πρoηγούµενα, φτιάχνουµε τον ακόλουθο πίνακα: Έτος Ζήτηση x y xy x Σύνολα x = 2.5 και y = ( 1. b = ( xy) nx y x 2 ) nx 2 = [ (2,5)(2.375)]/[30 4(2,5) 2 ] = 250/5 = a = y bx = (50)(2,5) = y = a + bx = x 4. Για τον πέµπτο χρόνο (x = 5) η ζήτηση θα είναι: y = (5) = χιλιάδες τόνοι. 15

16 VI. Ακρίβεια Πρόβλεψης Σφάλµα Πρόβλεψης Είναι η διαφορά µεταξύ πρόβλεψης και πραγµατικής τιµής για µια δεδοµένη περίοδο: Όπου: E t το σφάλµα για την περίοδο t, A t η πραγµατική τιµή για την περίοδο t, F t η πρόβλεψη για την περίοδο t. MAD και MSE E t = A t - F t (σχέση 7) Για να έχουµε µια πληρέστερη εικόνα του σφάλµατος σε βάθος χρόνου χρησιµοποιούµε τα µεγέθη της Μέσης Απόλυτης Απόκλισης (mean absolute deviation, MAD) ή/και του Μέσου Τετραγωνισµένου Σφάλµατος (mean squared error, MSE). Όσο µικρότερη είναι η τιµή των µεγεθών αυτόν, τόσο µεγαλύτερη η ακρίβεια. Με τα µεγέθη αυτά µπορούµε να ελέγξουµε την ακρίβεια των µεθόδων πρόβλεψης και να επιλέξουµε τη βελτιστότερη. MAD = MSE = E t (σχέση 8) n 2 E t (σχέση 9) n 1 Όπου: E t το σφάλµα για την περίοδο t, n το πλήθος των περιόδων που χρησιµοποιούµε για τον υπολογισµό. Παράδειγµα 6 Ο µηχανικός ασφαλείας ενός εργοστάσιου θέλει να συγκρίνει την ακρίβεια δύο µεθόδων (Α και Β) που χρησιµοποίησε για την πρόβλεψη του αριθµού ελαφρών τραυµατισµών του προσωπικού κατά τα πέντε προηγούµενα δίµηνα (άρα n = 5). Τα στοιχεία φαίνονται στον πίνακα: 16

17 ίµηνο Τραυµατισµοί Μέθοδος Α Μέθοδος Β (πλήθος) Πρόβλεψη Σφάλµα Et 2 E t Πρόβλεψη Σφάλµα Et 2 E t A t F t E t (A t -F t ) F t E t (A t -F t ) 1 ο ο ο ο ο Σύνολα Ακρίβεια για τη µέθοδο Α: MAD = MSE = E t = 5/5 = 1 n 2 E t = 7/4 = 1,75 n 1 Ακρίβεια για τη µέθοδο Β: MAD = MSE = E t = 10/5 = 2 n 2 E t = 30/4 = 7,5 n 1 Είναι προφανές ότι η ακρίβεια της µεθόδου Α είναι καλύτερη τόσο µε τη µορφή του MAD όσο και του MSE αφού έχουν και τα δύο µικρότερη τιµή από τα αντίστοιχα της µεθόδου Β. 17

18 VII. Βιβλιογραφία Chase, R., Aquilano, N., Jacobs, R. (1998). Production and Operations Management: Manufacturing and Services, 8 th edition, Irwin McGraw-Hill. Heizer, J., Render, B. (1991). Production and Operations Management, 2 nd edition, Allyn & Bacon publishers. Reid, D, Sanders, N. (2002). Operations Management, 1 st edition, John Wiley & Sons.! Τα δύο πρώτα βιβλία, καθώς και πολλά άλλα βιβλία σχετικά µε την επιστήµη της πρόβλεψης και εν γένει το operations management είναι διαθέσιµα από την Κεντρική Βιβλιοθήκη του Ε.Μ.Π. 18

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων. Προβλέψεις

Τεχνικές Προβλέψεων. Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Προβλέψεις http://www.fsu.gr - lesson@fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Forecasting Εισαγωγή στην Πρόγνωση

Forecasting Εισαγωγή στην Πρόγνωση Forecasting Εισαγωγή στην Πρόγνωση Πρόγνωση Ορισμός Αντί προλόγου Εφαρμογές Εφοδιαστική Ορισμός: [

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ανάλυση χρονοσειρών Εισαγωγή Η ανάλυση χρονοσειρών αποσκοπεί στην ανεύρεση των χαρακτηριστικών εκείνων που συµβάλουν στην κατανόηση της ιστορικής συµπεριφοράς µιας µεταβλητής και επιτρέπουν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων. Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς

Τεχνικές Προβλέψεων. Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων. 2η Ενότητα Αποσύνθεση Χρονοσειράς

Τεχνικές Προβλέψεων. 2η Ενότητα Αποσύνθεση Χρονοσειράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 2η Ενότητα Αποσύνθεση Χρονοσειράς http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Συστημάτων Προβλέψεων & Προοπτικής Forecasting System Unit

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Συστημάτων Προβλέψεων & Προοπτικής Forecasting System Unit ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Συστημάτων Προβλέψεων & Προοπτικής Forecasting System Unit Τεχνικές Προβλέψεων 2 η Ενότητα http://www.fsu.gr -

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών

Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών Διπλωματική εργασία της Γεωργίας Μαργιά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Άσκηση 1. Λύση

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Άσκηση 1. Λύση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Άσκηση 1 Η εταιρεία Ζ εξετάζει την πιθανότητα κατασκευής ενός νέου, πρόσθετου εργοστασίου για την παραγωγή ενός νέου προϊόντος. Έτσι έχει δυο επιλογές: Η πρώτη αφορά στην

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Αποσύνθεση Χρονοσειράς Διάλεξη 2

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Αποσύνθεση Χρονοσειράς Διάλεξη 2 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Αποσύνθεση Χρονοσειράς Διάλεξη 2 Αποσύνθεση (Decomposition)

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 8

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 8 Λορέντζος Χαζάπης Γιάννης Ζάραγκας Διοίκηση Λειτουργιών τα τετράδια μιας Οδύσσειας τετράδιο 8 Η πρόβλεψη της ζήτησης Αθήνα 2012 τετράδιο 8 Η πρόβλεψη της ζήτησης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο Γιάννης έχει πρόβλημα καθορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ. Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1

Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ. Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1 Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1 4. Πρόβλεψη Ζήτησης στην ΕΑ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

T (K) m 2 /m

T (K) m 2 /m Ορθοί και λανθασµένοι τρόποι απεικονίσεως δεδοµένων σε διάγραµµα Από µετρήσεις σηµείου ζέσεως σειράς διαλυµάτων προκύπτουν τα εξής δεδοµένα: m /m.5..5..5.55.. Σύµφωνα µε την θεωρία τα δεδοµένα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΤΩΝ Ι.Χ. ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΩΝ ΣΕ ΔΕΚΑΠΕΝΤΕ ΧΩΡΕΣ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στη Βιομηχανική Διοίκηση & Τεχνολογία

Πανεπιστήμιο Πειραιά Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στη Βιομηχανική Διοίκηση & Τεχνολογία Πανεπιστήμιο Πειραιά Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στη Βιομηχανική Διοίκηση & Τεχνολογία Κατεύθυνση Logistics ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μέθοδοι πρόβλεψης της ζήτησης Εφαρμογή σε δεδομένα ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Ασκήσεις Αθήνα, Ιανουάριος 2010 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Στρατηγική Παραγωγικής Διαδικασίας

Κεφάλαιο 1: Στρατηγική Παραγωγικής Διαδικασίας Κ1.1: Αναμενόμενες Χρηματικές Αξίες (ΑΧΑ) Οι ΑΧΑ ορίζονται ως η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου επί το καθαρό ή μεικτό κέρδος (ή κόστος) του ενδεχόμενου συν η πιθανότητα του άλλου ενδεχόμενου επί το καθαρό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος καθώς πέφτει ελεύθερα υπό την επίδραση του βάρους του. Πιο συγκεκριµένα θα επαληθεύσουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα (Risky Business 1)

Παράδειγµα (Risky Business 1) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 3 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Συµπεράσµατα για την αβεβαιότητα Θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Ι - ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ....................................17 1.1 Προβλέψεις - Τεχνικές προβλέψεων και διοίκηση................................17 1.2 Τεχνικές προβλέψεων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων. Προβλέψεις

Τεχνικές Προβλέψεων. Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Προβλέψεις http://www.fsu.gr - lesson@fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν (Α.Ε.Π.) - Καθαρό Εθνικό Προϊόν

1.1 Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν (Α.Ε.Π.) - Καθαρό Εθνικό Προϊόν ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ : ΑΡΓΥΡΏ ΜΟΥΔΑΤΣΟΥ 1. ΕΘΝΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΙ 1.0 Γενικά Αντικείµενο της Μακροοικονοµικής είναι ο καθορισµός (υπολογισµός) των συνολικών µεγεθών της οικονοµίας, πχ. της συνολικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Οι αποφάσεις σχετικά µε την διαχείριση ή «πολιτική» των αποθεµάτων που πρέπει να πάρει κάποιος, ασχολείται µε το «πόσο» πρέπει να παραγγείλει (ή να παράγει) και «πότε» να παραγγείλει

Διαβάστε περισσότερα

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή 1 Πολυωνυµική Παρεµβολή εδοµένων n + 1 ανά δύο διαφορετικών σηµείων x o, x 1, x,..., x n και των αντίστοιχων συναρτησιακών τιµών y o = f(x o ), y 1 = f(x 1 ), y = f(x ),...,y n (x n ) επιθυµούµε να προσεγγίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2004 Μάθηµα Βραχείας ιάρκειας: Η Στατιστική στον 2 ο αιώνα ιδάσκων: Ιωάννης Πανάρετος Καθηγητής Οικονοµικού Πανεπιστηµίου Αθηνών K- Nearest

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. Δημ. Εμίρης. Πειραιάς, 2012. Αναπλ. Καθηγητής

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. Δημ. Εμίρης. Πειραιάς, 2012. Αναπλ. Καθηγητής ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ Δημ. Εμίρης Αναπλ. Καθηγητής Πειραιάς, 2012 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι προβλέψεις(forecasing) είναι απαραίτητες για ένα μεγάλο αριθμό αποφάσεων σχεδιασμού και προγραμματισμού Μακροπρόθεσμες αποφάσεις: Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) Δρ Ιωάννης Δημόπουλος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας Τι είναι η χρονολογική σειρά Χρονολογική σειρά ή Χρονοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Η εταιρεία Ζ εξετάζει την πιθανότητα κατασκευής ενός νέου, πρόσθετου εργοστασίου για την παραγωγή ενός νέου προϊόντος. Έτσι έχει δυο επιλογές: Η πρώτη αφορά στην κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011 Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Διατμηματικό πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Δρ Βασίλειος Κιτσικούδης και Δρ Σπηλιώτης Μιχάλης ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΞΑΝΘΗ, 2015 Παραδείγματα από Τριβέλλα Θ.

Διαβάστε περισσότερα

1 η Ενότητα Εισαγωγικά στοιχεία προβλέψεων. -

1 η Ενότητα Εισαγωγικά στοιχεία προβλέψεων.  - ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 1 η Ενότητα Εισαγωγικά στοιχεία προβλέψεων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος της σταθερότητας των συντελεστών της παλινδρόµησης (πρώτος έλεγχος του Chow) (Testing for stability of the regression coefficients ) (Chow s

Έλεγχος της σταθερότητας των συντελεστών της παλινδρόµησης (πρώτος έλεγχος του Chow) (Testing for stability of the regression coefficients ) (Chow s Έλεγχος της σταθερότητας των συντελεστών της παλινδρόµησης (πρώτος έλεγχος του Chow) (Testing for stability of the regression coefficients ) (Chow s first test) Σε πολλές περιπτώσεις µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

γένεση των µετακινήσεων

γένεση των µετακινήσεων 3 γένεση των µετακινήσεων εισαγωγή το υπό διερεύνηση θέµα: πόσες µετακινήσεις ξεκινούν από κάθε ζώνη? πόσες µετακινήσεις κάνει ένας µετακινούµενος κατά την διάρκεια µιας µέσης εβδοµάδας? Ανάλυση κατά ζώνη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 4: Η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΠΩΛΗΣΕΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Management Information Systems Εργαστήριο 2 Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η)

Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η) Στατιστική ΙΙΙ-(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η) Γεώργιος Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας Β. Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Β

Παράγοντας Β. Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Β Παραγοντικά Πειράµατα Fctoril Design Τα παραγοντικά πειράµατα αναλύουν την επίδραση δύο ή περισσοτέρων παραγόντων στην εξαρτηµένη µεταβλητή. Τα πλεονεκτήµατα που παρουσιάζουν έναντι των άλλων µεθόδών που

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 6. Χρονοσειρές

Κεϕάλαιο 6. Χρονοσειρές Κεϕάλαιο 6 Χρονοσειρές Στο προηγούµενο κεϕάλαιο µελετήσαµε τη σχέση ενός µεγέθους µε άλλα µεγέθη καθώς και την εξάρτηση του µεγέθους (της εξαρτηµένης τυχαίας µεταβλητής) από άλλα µεγέθη (τις ανεξάρτητες

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

«Επιχειρηματικό Σχέδιο: Τεχνικές Ανάλυσης & Έρευνας της Αγοράς» Μέρος Δ

«Επιχειρηματικό Σχέδιο: Τεχνικές Ανάλυσης & Έρευνας της Αγοράς» Μέρος Δ «Επιχειρηματικό Σχέδιο: Τεχνικές Ανάλυσης & Έρευνας της Αγοράς» Μέρος Δ Γιάννης Καλογήρου, Καθηγητής Τεχνολογικής Οικονομικής και Βιομηχανικής Στρατηγικής στο ΕΜΠ, Επιστημονικός υπεύθυνος Μονάδας Καινοτομίας

Διαβάστε περισσότερα