ADE. 1 Introduction. (Ryo Fujita) Lie. U q (Lg) U(Lg) Dynkin. Dynkin. Dynkin. 4 A n (n Z 1 ), B n (n Z 2 ), C n (n Z 2 ), D n (n Z 4 )
|
|
|
- Κόρη Ἡρὼ Ταμτάκος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ADE (Ryo Fujita) 1 Introduction Lie g U(g) q 2 q q Hopf Drinfeld- U q (g) C S 1 g U(g) q U q (g) U(Lg) q U q (Lg) Lg := g C[t ±1 ] Lie U q (Lg) 2 R ADE Lie g U q (Lg) ADE Dynkin Dynkin Q Dynkin Q Hernandez-Leclerc [6] U q (Lg) C Q Q Dynkin Lie An (n Z 1 ) Lie Dynkin Dynkin D n (n Z 4 ) E n (n = 6, 7, 8) n 1 n n 3 n 2 4 A n (n Z 1 ), B n (n Z 2 ), C n (n Z 2 ), D n (n Z 4 ) E n (n = 6, 7, 8), F 4, G 2 ADE Dynkin Dynkin n 1 n n rfujita@math.kyoto-u.ac.jp
2 Dynkin Lie g X = A, D, E X n Dynkin I = {1, 2,..., n} 2 i, j I i j Cartan A = (a ij ) i,j I 2 i = j ; a ij = 1 i j ; 0 X n Lie g {e i, f i, h i } i I [h i, h j ] = 0, [h i, e j ] = a ij e j, [h i, f j ] = a ij f j, [e i, f j ] = δ ij h i, ad(e i ) 1 a ij (e j ) = ad(f i ) 1 a ij (f j ) = 0 (i j), ad(x)(y) := [x, y] Lie g U(g) Lie [x, y] xy yx C Lie g C U(g) Cartan h := i I Ch i g {h i } i I {ϖ i } i I h P := i I Zϖ i h U(g) M M = M λ, M λ := {v M h v = λ(h)v (h h)}. λ P i I α i := j I a ijϖ j P P Q := i I Zα i Q + := i I Z 0α g = α Q g α R := {α Q \ {0} g α 0} R + := R Q + R = R + ( R + ) n + (resp. n ) {e i } i I (resp. {f i } i I ) g Lie n ± = α ±R + g α, h = g 0 g = n h n + α R dim g α dim n ± = R +. = 1 U(g) U(g)-mod fd Weyl Irr U(g)-mod fd P + := i I Z 0α i P 1 : 1 λ P + V (λ) v e i v = 0, h i v = λ(h i )v, f λ(h i)+1 i v = 0 ( i I) U(g) X g (X) = X X : U(g) U(g) U(g) 2 U(g) V, W C V W U(g) U(g)-mod fd v w w v U(g) V W = W V 2.2 C Lie g Laurent C[t ±1 ] Lg := g C[t ±1 ] Lie [X f(t), Y g(t)] = [X, Y ] f(t)g(t), (X, Y g, f(t), g(t) C[t ±1 ])
3 Lg C Lie C U(Lg) ADE U q (Lg) ADE Lie g Lg U(Lg) q 1 q C 2.1. X = A, D, E X n U q (Lg) {e i,r, f i,r i I, r Z} {K ±1 i i I} {h i,m i I, m Z 0 } C : K i K 1 i = K 1 i K i = 1, [K i, K j ] = [K i, h j,l ] = [h i,m, h j,l ] = 0, K i e j,r K 1 i = q aij e j,r, K i f j,r K 1 i = q aij f j,r, (w q ±a ij z)ψi ε (z)x ± j (w) = (q±a ij w z)x ± j (w)ψε i (z), [x + i (z), x i (w)] = δ ( ( ij z ) ( w ) ) q q 1 δ ψ + i w (w) δ ψ i z (z), (w q ±aij z)x ± i (z)x± j (w) = (q±aij w z)x ± j (w)x± i (z), { x ± i (z 1)x ± j (z 2)x ± j (w) (q + q 1 )x ± i (z 1)x ± j (w)x± i (z 2) + x ± j (w)x± i (z 1)x ± i (z 2) } + {z 1 z 2 } = 0 (i j ). ε {+, } δ(z), ψ ± i (z), x± i (z) ( U q(lg)[[z, z 1 ]]) : δ(z) := r= x + i z r, ψ ± i (z) := (z) := K±1 i exp r= ( ±(q q 1 ) e i,r z r, x i (z) := r= ) h i,±m z ±m, m=1 f i,r z r. 2 {z 1 z 2 } 1 z 1 z 2 e i,r, f i,r, h i,m Lg e i t r, f i t r, h i t m K i q hi 1 U q (Lg) U q (Lg)-mod fd U q (Lg) M M = M λ, M λ = {v M K i v = q λ(hi) v (i I)} λ P 1 1 U q (Lg) C C Lie g C : U q (Lg) U q (Lg) U q (Lg) *1. i I (K i ) = K i K i, (e i,0 ) = e i,0 K 1 i + 1 e i,0, (f i,0 ) = f i,0 1 + K i f i,0, *1 U q(lg) U q(ĝ) Lie Hopf 0 U q (Lg) U q (ĝ) 0
4 1 C U q (Lg)-mod fd 2 3 V, W C V W W V V W W V U q (Lg) Grothendiek K(C) 2.3 C 2.2 (Chari-Pressley [1]). L C 1 Cv L 1 I π = (π i (u)) i I (1 + uc[u]) I 3 *2 (1) e i,r v = 0 (i I, r Z); (2) K i v = q λ(hi) v (i I); [ (3) L[[z ±1 ]] ψ ± i (z) v = πi (q qλ(h i) 2 ] z) π i (z) v z ±1 =0 (i I). λ := i I (deg π i)ϖ i P + [ ] z ±1 =0 z ±1 = 0 L = L(π) Irr C L(π) π (1 + uc[u]) I 1 : 1 I π (1 + uc[u]) I Drinfeld (1), (2), (3) v U q (Lg) l v l l 2.2 C l U(g)-mod fd 2.4 / Weyl Chari-Pressley [2] l Weyl U q (Lg) M(π) = U q(lg)v (1),(2),(3) /(3) /r π M(λ) = U q(lg)v (1),(2) L(π) W (π) W(λ) K v 2.2 (1), (2), (3) l M(π) L(π) C M(π) C Weyl (local Weyl module) M(π) W (π) C Weyl W (π) v (1), (2), (3) f λ(hi)+1 i,r v = 0 (i I, r Z) (2.1) v 2.2 (1), (2) M(λ) *3 *2 (2) (3) *3 M(λ) Weyl W(λ) Drinfeld λ P +
5 M(λ) *4 W(λ) Weyl (global Weyl module) Weyl W(λ) (1), (2) (2.1) Chari-Pressley [2] [9] R λ := End Uq (Lg)(W(λ)) = i I C[z ±1 i,1,..., z±1 i,λ(h i ) ]S λ(h i ) W(λ) R λ R λ Specm(R λ ) = (C ) λ := i I (C ) λ(hi) /S λ(hi ) ( (C ) λ [(c i,1,..., c i,λ(hi ))] i I λ(hi ) ) j=1 (1 c i,ju) (1 + uc[u]) I λ Drinfeld λ i I Drinfeld π R λ r π Weyl W (π) Weyl W(λ) r π Weyl W(λ) (C ) λ Weyl W (π) π R π := lim k R λ /r k π Weyl W(λ) π Ŵ (π) := W(λ) R λ Rπ Weyl 2.5 L(λ) M(λ) [9] π {0} M 0 (λ) λ P + (quiver variety) 2 C M(λ) M 0 (λ) M(λ) ν Q + M(ν, λ) M 0 (λ) ν Q + M 0 (ν, λ) M(λ) M 0 (λ) G(λ) := i I GL λ(h i )(C) C G(λ) π : M(λ) M 0 (λ) M 0 (λ) 0 π L(λ) (central fiber) A 1 I = {1} ϖ = ϖ 1, α = α 1 λ = lϖ P +, ν = kα Q + M(ν, λ) Grassmann T Gr(k, l) M 0 (λ) = {x End(C l ) x 2 = 0} Gr(k, l) T Gr(k, l) 0 k l 0 k l π {0} {x End(C l ) x 2 = 0} T Gr(k, l) = {(x, V ) End(C l ) Gr(k, l) x(c l ) V, x(v ) = 0} π 1 L(λ) Grassmann Gr(k, l) G(λ) = GL(C l ) C T Gr(k, l) GL(C l ) g (x, V ) = (gxg 1, gv ) C G X K X G Coh G (X) Grothendiek K(Coh G (X)) K G (X) X 1 pt Coh G (pt) G Rep(G) K G (pt) G R(G) V Rep(G) G X G [V ] R(G) [F] K G (X) *4 e i,r, f i,r U q (ĝ) 0
6 [V ] [F] := [V OX F] K K G (X) R(G) M(λ) M 0 (λ) G G(λ) A := R(C ) = Z[v ±1 ], R(GL k (C)) = Z[z 1 ±1,..., z±1 k ]S k R(G(λ)) = i I A[z±1 i,1,..., z±1 i,λ(h i) ]S λ(h i) A v A U q (Lg) q C C A R λ R λ = R(G(λ)) A C G(λ) X K G(λ) (X) := K G(λ) (X) A C R λ M(λ) M 0 (λ) Steinberg Z(λ) := M(λ) M0(λ) M(λ) K K G(λ) (Z(λ)) (convolution) K K G(λ) (Z(λ)) R λ K K G(λ) (L(λ)) K G(λ) (Z(λ)) 2.3 ( [9]). λ P + C Φ λ : U q (Lg) K G(λ) (Z(λ)) U q (Lg) Φ λ (KG(λ) (L(λ))) Weyl W(λ) R λ 2.4. Φ λ Dynkin Hernandez-Leclerc C Q Dynkin C Q C 3.1 Gabriel (quiver) I Ω Q = (I, Ω) a Ω a I a I I Ω Q C i I C V i a Ω f a Hom(V a, V a ) ((V i ) i I, (f a ) a Ω ) Q = (I, Ω) p = (a 1, a 2,..., a l ) a k = a k+1 (1 k < l) a 1 a l (path) l p a Ω 1 0 i i 0 ϵ i Q C CQ = p Cp 2 0 *5 C CQ V V i := ϵ i V a f a : V a V a Q ((V i ), (f a )) Q CQ CQ V CQ-mod fd dimv := (dim V i ) i I (Z 0 ) I d = (d i ) i I (Z 0 ) I E d := a Ω Hom(C d a, C d a ) G d := i I GL(C di ) *5 (a 1,..., a l ) (a l+1,..., a l+m ) = δ al,a l+1 (a 1,..., a l+m ), ϵ i ϵ j = δ ij ϵ i, ϵ i (a 1,..., a l ) = δ i,a1 (a 1,... a l ), (a 1,..., a l ) ϵ i = δ al,i(a 1,... a l ).
7 G d (g i ) i I : (f a ) a Ω (g a f a g 1 a ) a Ω E d dimv = d V CQ-mod fd G d E d G d E d /G d d 1 : (Gabriel ). (1) Q d Z I 0 E d/g d < Q Dynkin Q ADE Dynkin (2) Q Dynkin (Z 0 ) I d i I d iα i Q + (Z 0 ) I Q + CQ-mod fd R + Q + 1 : 1 Dynkin Q 3.1 (2) α R + dimm α = α M α CQ-mod fd M CQ-mod fd Krull-Schmidt dim [ ] 3.2. M m α α R+ α (m α ) Dynkin Q β β Kostant KP(β) := {(m α ) (Z 0 ) R + α m αα = β} 1 : 1 β = i I d iα i E d G d KP(β) 3.2 Auslander-Reiten Krull-Schmidt C A *6 Auslander-Reiten(AR) Γ(A) Γ(A) A Γ(A) X Y X Y *7 Dynkin Q D b (CQ-mod fd ) AR D b (CQ-mod fd ) {M α [k] α R +, k Z} M α [k] stalk H i (M α [k]) := { M α i = k ; 0 Dynkin Q = (I, Ω) ξ : I Z ξ a = ξ a + 1 a Ω ADE Dynkin ξ Q (repetition quiver) Q = (Î, Ω) Î := {(i, p) I Z p ξ i 2Z}, Ω := {(i, p) (j, p + 1) (i, p) Î, i j} *8. *6 2 C *7 section retraction 2 *8 Q Q Ω
8 A 3 (3, 2) (3, 0) (3, 2) (3, 4) (2, 3) (2, 1) (2, 1) (2, 3) (1, 2) (1, 0) (1, 2) (1, 4) 3.3 (cf. [4]). ξ ϕ : Q = Γ(D b (CQ-mod fd )) i I ϕ(i i [0]) = (i, ξ i ) I i CQ-mod fd M αi (injective hull) t CQ-mod fd D b (CQ-mod fd ) R + α ϕ(α) := ϕ(m α [0]) Î 3.4. A 3 R + = {α 1, α 2, α 3, (α 1 + α 2 ), (α 2 + α 3 ), (α 1 + α 2 + α 3 )} (1) Q = (1 2 3) (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) = (2, 1, 0) ϕ α 1 + α 2 + α 3 α 2 + α 3 α 1 + α 2 α 3 α 2 α 1 ϕ (3, 0) (2, 1) (2, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 2) (2) Q = (1 2 3) (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) = (2, 1, 2) ϕ α 1 + α 2 α 3 α 2 α 1 + α 2 + α 3 α 2 + α 3 α 1 ϕ (3, 0) (3, 2) (2, 1) (2, 1) (1, 0) (1, 2) 3.3 Hernandez-Leclerc C Q C C Q Î P + := Z 0 Î ϕ(r + ) Î P0 + P + ( ) P + (1 + uc[u]) I ; l i,p (i, p) (1 q p u) li,p (i,p) Î p i I Drinfeld (1 + uc[u]) I 2.2 Irr C = (1 + uc[u]) I C Serre C Z (resp. C Q ) Irr C Z = P + (resp. Irr C Q = P+) 0 C Z C D b (CQ-mod fd ) C Q C Z CQ-mod fd D b (CQ-mod fd )
9 C Z C 3.5 (cf. [5]). C Z C K(C) = a C /q 2Z K(τ a C Z ) τ a U q (Lg) τ a L(π(u)) = L(π(au)) Lie n + g Lie N + C Q N + C[N + ] (categorification) 3.6 (Hernandez-Leclerc [6]). C Q C Z K(C Q ) Z C = C[N + ] C Q C[N + ] (dual canonical basis) *9 1 : 1 C Q C[N + ] C[N + ] (cluster algebra) C Q KP(β) (m α ) α m αϕ(α) P 0 + KP(β) P0 + P 0 + = β Q + KP(β) KP(β) + KP(β ) KP(β + β ) C Q,β Irr C Q,β = KP(β) C Q Serre C Q = β Q + C Q,β C β C β C β+β * 10 β Q + C Q,β β = i I d iα i Q + ϕ π := i I d iϕ(α i ) P 0 + (1 + uc[u]) I π Drinfeld (π i (u)) i I λ := i I (deg π i)ϖ i P Φ λ : U q (Lg) K G(λ) (Z(λ)) R β := lim R λ /r k k π Φ λ Φ β : U q (Lg) K G(λ) (Z(λ)) K G(λ) (Z(λ)) Rλ Rβ =: K β R λ = R(G(λ)) A C G(λ) 1 T ( = C ) G(λ) r π r π M 0 (λ) T M 0 (λ) T T G(λ) G d T 4.1 (Hernandez-Leclerc [6]). G d M 0 (λ) T = E d E d G d Gabriel 3.2 Φ β *9 U q (g) Lusztig, *10 Grothendiek C[N + ] = β Q + C[N + ] β
10 4.2 (F. [3]). (1) Φ β : U q (Lg) K β K β -mod fd = CQ,β C Q,β ĈQ,β := K β -mod fg (2) ĈQ,β M(λ) T E d * 11 ĈQ,β Weyl 4.2 Dynkin Schur-Weyl A Schur-Weyl U q (Lsl n ) GL Hecke Schur-Weyl ADE Kang- -Kim [7] Dynkin Q Hecke * 12 U q (Lg) C Q 1 : Kang- -Kim ([3]) [1] V. Chari and A. Pressley. Quantum affine algebras and their representations. Representations of groups (Banff, AB, 1994), 59 78, CMS Conf. Proc., 16, Amer. Math. Soc., Providence, RI, [2] V. Chari and A. Pressley. Weyl modules for classical and quantum affine algebras. Represent. Theory, 5: , [3] R. Fujita. Affine highest weight categories and quantum affine Schur-Weyl duality of Dynkin quiver types. preprint. arxiv: [4] D. Happel. Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras. London Mathematical Society Lecture Note Series, 119. Cambridge University Press, [5] H. Hernandez and B. Leclerc. Cluster algebras and quantum affine algebras. Duke Math. J., 154(2): , [6] H. Hernandez and B. Leclerc. Quantum Grothendieck rings and derived Hall algebras. J. Reine Angew. Math., 701:77 126, [7] S.-J. Kang, M. Kashiwara, and M. Kim. Symmetric quiver Hecke algebras and R-matrices of quantum affine algebras, II. Duke Math. J., 164(8): , [8] A. Kleshchev. Affine highest weight categories and affine quasi-hereditary algebras. Proc. Lond. Math. Soc. (3), 110(4): , [9] H. Nakajima. Quiver varieties and finite-dimensional representations of quantum affine algebras. J. Amer. Math. Soc., 14(1): , *11 [8] *12 GL Hecke Khovanov-Lauda-Rouquier
The q-commutators of braided groups
206 ( ) Journal of East China Normal University (Natural Science) No. Jan. 206 : 000-564(206)0-0009-0 q- (, 20024) : R-, [] ABCD U q(g).,, q-. : R- ; ; q- ; ; FRT- : O52.2 : A DOI: 0.3969/j.issn.000-564.206.0.002
11 Drinfeld. k( ) = A/( ) A K. [Hat1, Hat2] k M > 0. Γ 1 (M) = γ SL 2 (Z) f : H C. ( ) az + b = (cz + d) k f(z) ( z H, γ = cz + d Γ 1 (M))
![11 Drinfeld. k( ) = A/( ) A K. [Hat1, Hat2] k M > 0. Γ 1 (M) = γ SL 2 (Z) f : H C. ( ) az + b = (cz + d) k f(z) ( z H, γ = cz + d Γ 1 (M))](/thumbs/91/105488540.jpg "11 Drinfeld. k( ) = A/( ) A K. [Hat1, Hat2] k M > 0. Γ 1 (M) = γ SL 2 (Z) f : H C. ( ) az + b = (cz + d) k f(z) ( z H, γ = cz + d Γ 1 (M))")
Drinfeld Drinfeld 29 8 8 11 Drinfeld [Hat3] 1 p q > 1 p A = F q [t] A \ F q d > 0 K A ( ) k( ) = A/( ) A K Laurent F q ((1/t)) 1/t C Drinfeld Drinfeld p p p [Hat1, Hat2] 1.1 p 1.1.1 k M > 0 { Γ 1 (M) =
( ) 1.1. (2 ),,.,.,.,,,,,.,,,,.,,., K, K.
( ),.,,, 1, [17]. 1. 1.1. (2 ),,.,.,.,,,,,.,,,,.,,., K, K. 1.2. Σ g g. M g, Σ g. g 1 Σ g,, Σ g Σ g. Σ g, M g,, Σ g.. g = 1, M 1 M 1, SL(2, Z). Q. g = 2, 2000 M 2 (Korkmaz [20], Bigelow Budney [5])., Bigelow
( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]
![( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]](/thumbs/49/25424945.jpg "( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]")
1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter
1 Fuchs. Fuchs. Gauss (1.1) (α) n := α(α + 1) (α + n 1) Bessel Riemann. [MUI], [WW] Gauss. (1.2) x(1 x) d2 u dx 2 + ( γ (α + β + 1)x ) du
![1 Fuchs. Fuchs. Gauss (1.1) (α) n := α(α + 1) (α + n 1) Bessel Riemann. [MUI], [WW] Gauss. (1.2) x(1 x) d2 u dx 2 + ( γ (α + β + 1)x ) du](/thumbs/95/122729383.jpg "1 Fuchs. Fuchs. Gauss (1.1) (α) n := α(α + 1) (α + n 1) Bessel Riemann. [MUI], [WW] Gauss. (1.2) x(1 x) d2 u dx 2 + ( γ (α + β + 1)x ) du")
Fuchs Kac-Moody root 1 Gauss 1. Fuchs (1.1) F (α, β, γ; x) = n=0 (α) n (β n ) x n (γ) n n!, (α) n := α(α + 1) (α + n 1) Bessel Riemann [MUI], [WW] Gauss (1.2) x(1 x) d2 u dx 2 + ( γ (α + β + 1)x ) du dx
Table 1. morphism U P 1 dominant (MMP) 2. dim = 3 (MMP) 3. (cf. [Ii77], [Miy01]) (Table 1) 3.
![Table 1. morphism U P 1 dominant (MMP) 2. dim = 3 (MMP) 3. (cf. [Ii77], [Miy01]) (Table 1) 3.](/thumbs/92/108955011.jpg "Table 1. morphism U P 1 dominant (MMP) 2. dim = 3 (MMP) 3. (cf. [Ii77], [Miy01]) (Table 1) 3.")
338-8570 255 e-mail: tkishimo@rimath.saitama-u.ac.jp 1 C T κ(t ) 1 [Projective] κ = κ =0 κ =1 κ =2 κ =3 dim = 1 P 1 elliptic others dim = 2 P 2 or ruled elliptic surface general type dim = 3 uniruled bir.
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Discriminantal arrangement
Discriminantal arrangement YAMAGATA So C k n arrangement C n discriminantal arrangement 1989 Manin-Schectman Braid arrangement Discriminantal arrangement Gr(3, n) S.Sawada S.Settepanella 1 A arrangement
Jean Pierre Serre. Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique (GAGA) Annales de l institut Fourier, Tome 6 (1956), p
Jean Pierre Serre Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique (GAGA) Annales de l institut Fourier, Tome 6 (1956), p. 1-42. 2 0 X X X X X Kähler 1 X X X Chow X n 12 1 H. Cartan [3] H. Cartan W-L. Chow
Affine Weyl Groups. Gabriele Nebe. Summerschool GRK 1632, September Lehrstuhl D für Mathematik
Affine Weyl Groups Gabriele Nebe Lehrstuhl D für Mathematik Summerschool GRK 1632, September 2015 Crystallographic root systems. Definition A crystallographic root system Φ is a finite set of non zero
Single-value extension property for anti-diagonal operator matrices and their square
1 215 1 Journal of East China Normal University Natural Science No. 1 Jan. 215 : 1-56412151-95-8,, 71119 :, Hilbert. : ; ; : O177.2 : A DOI: 1.3969/j.issn.1-5641.215.1.11 Single-value extension property
Lecture 10 - Representation Theory III: Theory of Weights
Lecture 10 - Representation Theory III: Theory of Weights February 18, 2012 1 Terminology One assumes a base = {α i } i has been chosen. Then a weight Λ with non-negative integral Dynkin coefficients Λ
Lecture 16 - Weyl s Character Formula I: The Weyl Function and the Kostant Partition Function
Lecture 16 - Weyl s Character Formula I: The Weyl Function and the Kostant Partition Function March 22, 2013 References: A. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction. Ch V Fulton-Harris, Representation
: 1. 10:20 12:40. 12:50 13:50 14:00 14:50 15:00 16:30 Selberg ( ) 18:45 20:00 20:15 21:45 Selberg ( ) 7:00 9:00
: 2010 9 6 ( ) 9 10 : 1. 9/6( ) 10:20 12:40 GL(2) Hecke ( ) 12:50 13:50 14:00 14:50 15:00 16:30 Selberg ( ) 16:45 18:15 GL(2) I ( ) 18:45 20:00 20:15 21:45 Selberg ( ) 9/7( ) 7:00 9:00 9:15 10:30 GL(2)
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
ΧΛΟΥΒΕΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΕΜΠΕΙΡΙΑ
ΧΛΟΥΒΕΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ Επαγγελµατική διεύθυνση Προσωπική διεύθυνση Τηλέφωνο γραφείου Τηλέφωνο οικίας Ηλεκτρονικό ταχυδροµείο Προσωπική ιστοσελίδα Ηµεροµηνία γέννησης Υπηκοότητα Οικογενειακή κατάσταση School
( ) Kähler X ( ),. Floer -Oh- - [6]. X Fano *, X ( = (C ) N ) W : X C ( ) (X,W). X = P, W (y) =y + Q/y. Q P. Φ:X R N, Δ=Φ(X). u Int Δ, Lagrange L(u) =
![( ) Kähler X ( ),. Floer -Oh- - [6]. X Fano *, X ( = (C ) N ) W : X C ( ) (X,W). X = P, W (y) =y + Q/y. Q P. Φ:X R N, Δ=Φ(X). u Int Δ, Lagrange L(u) =](/thumbs/87/96954144.jpg "( ) Kähler X ( ),. Floer -Oh- - [6]. X Fano *, X ( = (C ) N ) W : X C ( ) (X,W). X = P, W (y) =y + Q/y. Q P. Φ:X R N, Δ=Φ(X). u Int Δ, Lagrange L(u) =")
Floer Cohomologes of Non-torus Fbers of the Gelfand-Cetln System (X, ω) 2N. X N Φ=(ϕ,...,ϕ N ):X R N, Posson, Φ. Φ, Arnold-Louvlle Largange. Φ (u) = T N, ω Φ (u) =0.. Gelfand-Cetln, Gullemn-Sternberg [9]
1 What is CFT? 1. 3 Strange duality conjecture (G) Geometric strange duality conjecture... 5
1 1994 9 6 1 What is CFT? 1 2 Wess-Zumino-Witten model 2 2.1 (R Representation theoretic formulation of WZW model.......... 2 2.2 (G Geometric formulation of WZW model.................. 4 2.3 (R=(G.....................................
N. P. Mozhey Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics NORMAL CONNECTIONS ON SYMMETRIC MANIFOLDS
Òðóäû ÁÃÒÓ 07 ñåðèÿ ñ. 9 54.765.... -. -. -. -. -. : -. N. P. Mozhey Belarusian State University of Inforatics and Radioelectronics NORMAL CONNECTIONS ON SYMMETRIC MANIFOLDS In this article we present
g-selberg integrals MV Conjecture An A 2 Selberg integral Summary Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics Long Live the King
Ole Warnaar Department of Mathematics g-selberg integrals The Selberg integral corresponds to the following k-dimensional generalisation of the beta integral: D Here and k t α 1 i (1 t i ) β 1 1 i
arxiv: v1 [math.qa] 4 Jan 2014
![arxiv: v1 [math.qa] 4 Jan 2014](/thumbs/72/66974510.jpg "arxiv: v1 [math.qa] 4 Jan 2014")
arxiv:1401.0811v1 [math.qa] 4 Jan 2014 On the Center of Two-parameter Quantum Groups U r,s (so 2n+1 ) Naihong Hu and Yuxing Shi ABSTRACT. The paper mainly considers the center of two-parameter quantum
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Wishart α-determinant, α-hafnian
Wishart α-determinant, α-hafnian (, JST CREST) (, JST CREST), Wishart,. ( )Wishart,. determinant Hafnian analogue., ( )Wishart,. 1 Introduction, Wishart. p ν M = (µ 1,..., µ ν ) = (µ ij ) i=1,...,p p p
Θεοδώρα Θεοχάρη Αποστολίδη
Θεοδώρα Θεοχάρη Αποστολίδη Καθηγήτρια Τμήμα Μαθηματικών Σχολής Θετικών Επιστημών ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΟ Β Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Κ Ο Σ Η Μ Ε Ι Ω Μ Α Θεσσαλονίκη 2014 ΓΕΝΙΚΑ Ετος γέννησης : 1947, Τόπος: Πύργος Ηλείας Οικογενειακή
2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
Lecture 13 - Root Space Decomposition II
Lecture 13 - Root Space Decomposition II October 18, 2012 1 Review First let us recall the situation. Let g be a simple algebra, with maximal toral subalgebra h (which we are calling a CSA, or Cartan Subalgebra).
Lecture Notes Introduction to Cluster Algebra
Lecture Notes Introduction to Cluster Algebra Ivan C.H. Ip Update: May 29, 2017 7.2 Properties of Exchangeable roots The notion of exchangeable is explained as follows Proposition 7.20. If C and C = C
ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ι. ΠΑΠΙΣΤΑΣ
ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ι. ΠΑΠΙΣΤΑΣ Καθηγητής του Τμήματος Μαθηματικών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης ΣΥΝΤΟΜΟ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2014 Προσωπικά Στοιχεία Ονοματεπώνυμο: Αθανάσιος
a A, b B,m M,n N} n + n m + m b + b, + ψ(n m ) an + nb ma + bm bb + ϕ(m n, a + a
/46Φ/42 c ψ E Vol 46 No 4 217-7> ADVANCES IN MATHEMATICS CHINA July 217 doi: 111845/sjz215154b χ 'ffiμ Φnrff fi"# UH 1 [BK 2 Q]G 1 1 ff^s&k_χcfi ff^ _ 239; 2 3#χbχΞ vf 2196 $ψ: 6FPJDE/A:5^W9@ -RSOV>CTL?
Αναπαραστάσεις οµάδων: παραδείγµατα
Φεβρουάριος-Μάρτιος 2016 1 τοπολογικές οµάδες 2 3 τοπολογικές οµάδες Ορισµός Μια οµάδα G λέγεται τοπολογική οµάδα αν είναι εφοδιασµένη µε µια τοπολογία τ.ω. οι (x, y) xy και x x 1 να είναι συνεχείς. Παραδείγµατα
Diderot (Paris VII) les caractères des groupes de Lie résolubles
Βιογραφικο Σημειωμα Μ. Ανουσης Προσωπικά στοιχεία Εκπαίδευση Μιχάλης Ανούσης Πανεπιστήμιο Αιγαίου 83200 Καρλόβασι Σάμος Τηλ.: (3022730) 82127 Email: mano@aegean.gr 1980 Πτυχίο από το Τμήμα Μαθηματικών
Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).
Vol. 37 ( 2017 ) No. 3 J. of Math. (PRC) R N - R N - 1, 2 (1., 100029) (2., 430072) : R N., R N, R N -. : ; ; R N ; MR(2010) : 58K40 : O192 : A : 0255-7797(2017)03-0467-07 1. [6], Mather f : (R n, 0) R
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
1 The problem of the representation of an integer n as the sum of a given number k of integral squares is one of the most celebrated in the theory of numbers... Almost every arithmetician of note since
Coupled Fluid Flow and Elastoplastic Damage Analysis of Acid. Stimulated Chalk Reservoirs
Nazanin Jahani Coupled Fluid Flow and Elastoplastic Damage Analysis of Acid Stimulated Chalk Reservoirs Thesis for the degree of Philosophiae Doctor Trondheim, October 2015 Norwegian University of Science
1. 3. ([12], Matsumura[13], Kikuchi[10] ) [12], [13], [10] ( [12], [13], [10]
![1. 3. ([12], Matsumura[13], Kikuchi[10] ) [12], [13], [10] ( [12], [13], [10]](/thumbs/103/159380891.jpg "1. 3. ([12], Matsumura[13], Kikuchi[10] ) [12], [13], [10] ( [12], [13], [10]")
3. 3 2 2) [2] ) ) Newton[4] Colton-Kress[2] ) ) OK) [5] [] ) [2] Matsumura[3] Kikuchi[] ) [2] [3] [] 2 ) 3 2 P P )+ P + ) V + + P H + ) [2] [3] [] P V P ) ) V H ) P V ) ) ) 2 C) 25473) 2 3 Dermenian-Guillot[3]
u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0
u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ
Séminaire Grothendieck
Séminaire Grothendieck in memoriam 28 March 928 3 November 204 Αριστείδης Κοντογεώργης 7 Φεβρουαρίου 205 Συνιστώμενη βιβλιογραφία. J.S Milne, Étale Cohomology 2. P. Deligne, SGA 4 2 Cohomologie étale Εισαγωγή
Βιογραφικό Σημείωμα. Γεωργίου Κ. Ελευθεράκη ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ EKΠΑΙΔΕΥΣΗ
Βιογραφικό Σημείωμα Γεωργίου Κ. Ελευθεράκη ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Ημερομηνία Γέννησης: 23 Δεκεμβρίου 1962. Οικογενειακή Κατάσταση: Έγγαμος με δύο παιδιά. EKΠΑΙΔΕΥΣΗ 1991: Πτυχίο Οικονομικού Τμήματος Πανεπιστημίου
Higher spin gauge theories and their CFT duals
Higher spin gauge theories and their CFT duals E-mail: hikida@phys-h.keio.ac.jp 2 AdS Vasiliev AdS/CFT 4 Vasiliev 3 O(N) 3 Vasiliev 2 W N 1 AdS/CFT g µν Vasiliev AdS [1] AdS/CFT anti-de Sitter (AdS) (CFT)
galois-module δοµή χώρων διαϕορικών και παραµορϕώσεις Αριστείδης Κοντογεώργης, Πανεπιστήμιο Αθηνών Ιωάννινα 18 Μαϊου 2016
galois-module δοµή χώρων διαϕορικών και παραµορϕώσεις Αριστείδης Κοντογεώργης, Πανεπιστήμιο Αθηνών Ιωάννινα 18 Μαϊου 2016 1 2 οµάδες αυτοµορϕισµών αλγεβρικών καµπύλων k είναι ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα
Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2
International Journal of Algebra, Vol. 8, 24, no. 5, 239-246 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com http://dx.doi.org/.2988/ija.24.422 Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2 Ligong An and
L p approach to free boundary problems of the Navier-Stokes equation
L p approach to free boundary problems of the Navier-Stokes equation e-mail address: yshibata@waseda.jp 28 4 1 e-mail address: ssshimi@ipc.shizuoka.ac.jp Ω R n (n 2) v Ω. Ω,,,, perturbed infinite layer,
Galois module structure χώρων ολόµορφων διαφορικών
Galois module structure χώρων ολόµορφων διαφορικών Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 11 εκεµβρίου 2014, 1/17 Αλγεβρικές Καµπύλες X αλγεβρική καµπύλη, προβολική πάνω από ένα
arxiv:math/ v1 [math.ag] 15 Feb 1999
![arxiv:math/ v1 [math.ag] 15 Feb 1999](/thumbs/70/62973771.jpg "arxiv:math/ v1 [math.ag] 15 Feb 1999")
ON THE K-THEORY OF THE CYCLIC QUIVER VARIETY arxiv:math/99291v1 [math.ag] 15 Feb 1999 M. VARAGNOLO and E. VASSEROT 1 1. Introduction and notations. In [N1] Nakajima has defined a new class of varieties,
New York Journal of Mathematics. On a symmetry of the category of integrable modules
New York Journal of Mathematics New York J. Math. 15 (2009) 133 160. On a symmetry of the category of integrable modules William J. Cook and Christopher M. Sadowski Abstract. Haisheng Li showed that given
Computable error bounds for asymptotic expansions formulas of distributions related to gamma functions
Computable error bounds for asymptotic expansions formulas of distributions related to gamma functions Hirofumi Wakaki (Math. of Department, Hiroshima Univ.) 20.7. Hiroshima Statistical Group Meeting at
?=!! #! % &! & % (! )!! + &! %.! / ( + 0. 1 3 4 5 % 5 = : = ;Γ / Η 6 78 9 / : 7 ; < 5 = >97 :? : ΑΒ = Χ : ΔΕ Φ8Α 8 / Ι/ Α 5/ ; /?4 ϑκ : = # : 8/ 7 Φ 8Λ Γ = : 8Φ / Η = 7 Α 85 Φ = :
a11 a A V = v 1 = a 11 w 1 + a 12 w 2 + a 13 w 3 + a 14 w 4 v 2 = a 21 w 1 + a 22 w 2 + a 23 w 3 + a 24 w 4 (A 12, A 13, A 14, A 23, A 24, A 34 ) A 6.
Το σχήμα του Hilbert ΚΩΣΤΑΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ 12 Νοεμβρίου 2014 Σημείωση Οι σημειώσεις αυτές συντάχθηκαν για να συνοδεύσουν τη δεύτερη διάλεξη του γράφοντος στο Σεμινάριο Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής
Volume 1. presenting their list of errata and corrections.
Errata and corrections to the book Representation of Lie groups and special functions, Vols. 1,, 3, by N. Ja. Vilenkin and A. U. Klimyk (Kluwer, 1991, 1993, 199) 1 (The corresponding items are given by
arxiv: v1 [math.ra] 19 Dec 2017
![arxiv: v1 [math.ra] 19 Dec 2017](/thumbs/73/68347977.jpg "arxiv: v1 [math.ra] 19 Dec 2017")
TWO-DIMENSIONAL LEFT RIGHT UNITAL ALGEBRAS OVER ALGEBRAICALLY CLOSED FIELDS AND R HAHMED UBEKBAEV IRAKHIMOV 3 arxiv:7673v [mathra] 9 Dec 7 Department of Math Faculty of Science UPM Selangor Malaysia &
ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΛΩΝ (REGURAL) ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΛΩΝ (REGURAL) ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ ΧΑΡΙΣ Α. ΓΕΩΡΓΟΥΝΤΖΟΥ Επιβλέπων:
6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.
6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2
ΜΗ ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ
ΜΗ ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΛΙΑΚΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ 1999 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν μια εισαγωγή στη Μη Μεταθετική Άλγεβρα και απευθύνονται στους πρωτοετείς μεταπτυχιακούς
arxiv: v1 [math.oa] 4 Aug 2016
![arxiv: v1 [math.oa] 4 Aug 2016](/thumbs/66/54649631.jpg "arxiv: v1 [math.oa] 4 Aug 2016")
A RADON NIKODYM TYPE THEOREM FOR n-tuples OF COMPLETELY POSITIVE MAPS MOHAMMAD SAL MOSLEHIAN, ANATOLY KUSRAEV, AND MARAT PLIEV arxiv:1608.01672v1 [math.oa] 4 Aug 2016 Abstract. We prove an analogue of
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie Ενότητα 1: Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις
MINIMAL POLYNOMIALS AND ANNIHILATORS OF GENERALIZED VERMA MODULES OF THE SCALAR TYPE
MINIMAL POLYNOMIALS AND ANNIHILATORS OF GENERALIZED VERMA MODULES OF THE SCALAR TYPE HIROSHI ODA AND TOSHIO OSHIMA Abstract. We construct a generator system of the annihilator of a generalized Verma module
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D
Ó³ Ÿ , º 3(180).. 313Ä320
Ó³ Ÿ. 213.. 1, º 3(18).. 313Ä32 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ˆŸ ƒ ƒ Ÿ ˆ Š ˆ Šˆ Š ŒŒ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆŠ.. μ a, Œ.. Œ Í ± μ,. ƒ. ²Ò ± a ˆ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ μ ±μ ± ³ ʱ, Œμ ± ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²ÓÍÒ
Geodesic paths for quantum many-body systems
Geodesic paths for quantum many-body systems Michael Tomka, Tiago Souza, Steve Rosenberg, and Anatoli Polkovnikov Department of Physics Boston University Group: Condensed Matter Theory June 6, 2016 Workshop:
On the Galois Group of Linear Difference-Differential Equations
On the Galois Group of Linear Difference-Differential Equations Ruyong Feng KLMM, Chinese Academy of Sciences, China Ruyong Feng (KLMM, CAS) Galois Group 1 / 19 Contents 1 Basic Notations and Concepts
Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3.
Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3. 1. Αν ο X είναι χώρος Bnch, αποδείξτε ότι ο X είναι αυτοπαθής
University of Ioannina Department of Mathematics. Representation Dimension, Cohen-Macaulay Modules and Triangulated Categories
University of Ioannina Department of Mathematics PhD Dissertation Chrysostomos Psaroudakis Representation Dimension, Cohen-Macaulay Modules and Triangulated Categories Ioannina, 2013 The present dissertation
Vol. 40 No Journal of Jiangxi Normal University Natural Science Jul p q -φ. p q
40 4 Vol 40 No 4 206 7 Journal of Jiangxi Normal UniversityNatural Science Jul 206 000-586220604-033-07 p q -φ 2 * 330022 Nevanlinna p q-φ 2 p q-φ p q-φ O 74 52 A DOI0 6357 /j cnki issn000-5862 206 04
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη
Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). Growth theorems for holomorphic functions
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΞΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΤΟΥ ΛΗΜΜΑΤΟΣ SCHWARZ ΓΙΑ ΟΛΟΜΟΡΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γαλάτεια Κλεάνθους Υποστήριξη διδακτορικής διατριβής 25/02/2014 Monotonicity theorems for analytic functions
ΑΧΙΛΛΕΑΣ ΔΡΑΜΑΛΙΔΗΣ CV
ΑΧΙΛΛΕΑΣ ΔΡΑΜΑΛΙΔΗΣ CV ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ, ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ, adramali@psed.duth.gr Διεύθυνση κατοικίας: Εθνική οδός
Lie Algebras Representations- Bibliography
Lie Algebras Representations- Bibliography J. E. Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer 1980 Alex. Kirillov An Introduction to Lie Groups
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ. BOLZANO - Θ. ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ. , ώστε η συνάρτηση. æ η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Mç
Να βρεθούν τα α και β Î R, ώστε η συνάρτηση ì 4 ημ - + = í - î α + β < ³ να είναι συνεχής και æ η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Mç è,- ö ø Να βρείτε τα α, β, γ Î R, ώστε να είναι συνεχής
! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"
! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;
www.smarterglass.com 978 65 6190 sales@smarterglass.com &&$'()!"#$%$# !!"# "#$%&'! &"# $() &() (, -. #)/ 0-.#! 0(, 0-. #)/ 1!2#! 13#25 631% -. #)/ 013#7-8(,83%&)( 2 %! 1%!#!#2!9&8!,:!##!%%3#9&8!,:!#,#!%63
Kostka functions associated to complex reflection groups
Kostka functions associated to complex reflection groups Toshiaki Shoji Tongji University March 25, 2017 Tokyo Kostka functions associated to complex reflection groups March 25, 2017 Tokyo 1 / 30 Kostka
ϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r
ACHILLES DRAMALIDIS CV
ACHILLES DRAMALIDIS CV ASSOCIATE PROFESSOR OF MATHEMATICS & DATA ANALYSIS SCHOOL OF EDUCATION, DEMOCRITUS UNIVERSITY OF THRACE ALEXANDROUPOLIS, adramali@psed.duth.gr Home Address: National road Makri-Dikella,
([28] Bao-Feng Feng (UTP-TX), ( ), [20], [16], [24]. 1 ([3], [17]) p t = 1 2 κ2 T + κ s N -259-
![([28] Bao-Feng Feng (UTP-TX), ( ), [20], [16], [24]. 1 ([3], [17]) p t = 1 2 κ2 T + κ s N -259-](/thumbs/89/98133812.jpg "([28] Bao-Feng Feng (UTP-TX), ( ), [20], [16], [24]. 1 ([3], [17]) p t = 1 2 κ2 T + κ s N -259-")
5,..,. [8]..,,.,.., Bao-Feng Feng UTP-TX,, UTP-TX,,. [0], [6], [4].. ps ps, t. t ps, 0 = ps. s 970 [0] []. [3], [7] p t = κ T + κ s N -59- , κs, t κ t + 3 κ κ s + κ sss = 0. T s, t, Ns, t., - mkdv. mkdv.
κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω...
{ ( a -r ν ρ ι -Μ Π ώτ 1 Γ '- fj T O O J CL κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω < US η ixj* ί -CL* λ ^ t A u t\ * < τ : ; Γ ν c\ ) *) «*! «>» Μ I Λ 1,ν t f «****! ( y \ \, 0 0 # Περικλή_ Χαντζόπουλο κ α ι θ έ λ
8 7!"$#!%') ""! -/.$ -324654 )! 98/:/; < E < T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ
Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α g r i l l b a r t a s o s Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 1 : 0 π μ Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ T ortiyas Σ ο υ
f O(U) (f n ) O(Ω) f f n ; L (K) 0(n )
30 11 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2.html Ω C OΩ M Ω f M Ω Polf C PC RC 1 Ω C K C K Ω 1 K U Ω U f OU f n OΩ f f n ; L K 0n 2 K U Ω U f OU f n OΩ f f n ; L K 0n 3 z Ω \ K f OΩ f; L K < fz 4 K
Jean Bourgain Institute for Advanced Study Princeton, NJ 08540
Jean Bourgain Institute for Advanced Study Princeton, NJ 08540 1 PRIMES IN LINEAR GROUPS Joint work with A Gamburd, A Kontorovich, P Sarnak 2 Primes and pseudo-primes in orbits of groups acting on Z n
Contraction of a Lie Algebra with respect to one of its Subalgebras and its application to Group Representations
Contraction of a Lie Algebra with respect to one of its Subalgebras and its application to Group Representations Maury LeBlanc Department of Mathematics The University of Georgia 1 December 2011 Motivation
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')
x xn w(x) = 0 ( n N)
( ). Wierstrass Bernstein ([]) lim x xn w(x) = 0 ( n N) R w fw C 0 (R) lim (f P n)w L n (R) = 0 {P n } w Bernstein 950 ([5], [8] ) 970 Freud Freud weights w α (x) = exp( x α ) ([3] ) α Bernstein w α Christoffel
Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας Ενότητα # (3): Ομάδες Σημείου Σιγάλας Μιχάλης Τμήμα Χημείας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω
From root systems to Dynkin diagrams
From root systems to Dynkin diagrams Heiko Dietrich Abstract. We describe root systems and their associated Dynkin diagrams; these notes follow closely the book of Erdman & Wildon ( Introduction to Lie
Gapso t e q u t e n t a g ebra P open parenthesis N closing parenthesis fin i s a.. pheno mno nd iscovere \ centerline
G q v v G q v H 4 q 4 q v v ˆ ˆ H 4 ] 4 ˆ ] W q K j q G q K v v W v v H 4 z ] q 4 K ˆ 8 q ˆ j ˆ O C W K j ˆ [ K v ˆ [ [; 8 ] q ˆ K O C v ˆ ˆ z q [ R ; ˆ 8 ] R [ q v O C ˆ ˆ v - - ˆ - ˆ - v - q - - v -
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä Œμ Ìμ. ±É- É Ê ± μ Ê É Ò Ê É É, ±É- É Ê, μ Ö
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2017.. 48.. 5.. 740Ä744 ˆ Œˆ ƒ Š Œ ˆ Œˆ ˆŸ ˆ ˆ ˆŸ ˆˆ ƒ ˆ Šˆ ˆ.. Œμ Ìμ ±É- É Ê ± μ Ê É Ò Ê É É, ±É- É Ê, μ Ö ±μ³ ² ± ÒÌ ³μ ʲÖÌ Ð É Ò³ ² ³ Š² ËËμ Î É μ - ³ μ É Ò Ë ³ μ Ò ³ Ò Å ²μ ÉÉ. Ì
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
( 1 ) ( 2) ΘΕΜΑ 1 ο Α. 1 Θεώρημα σχ. βιβλίου σελ. 98 Α. 2 Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 141 Α. 3 Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 280
ΘΕΜΑ 1 ο Α. 1 Θεώρημα σχ. βιβλίου σελ. 98 Α. Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 11 Α. 3 Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 8 Β. α Λάθος β Λάθος γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό ΘΕΜΑ ο + αi α) z =, α R α + i + αi + αi + α z = = = =
Sho Matsumoto Graduate School of Mathematics, Nagoya University. Tomoyuki Shirai Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University
Sho Matsumoto Graduate School of Mathematics, Nagoya University Tomoyuki Shirai Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University. Kac f n (t) = n k=0 a kt k ({a k } n k=0 i.i.d. ) N n E[N n ] =
apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
IUTeich. [Pano] (2) IUTeich
![IUTeich. [Pano] (2) IUTeich](/thumbs/76/73790805.jpg "IUTeich. [Pano] (2) IUTeich")
2014 12 2012 8 IUTeich 2013 12 1 (1) 2014 IUTeich 2 2014 02 20 2 2 2014 05 24 2 2 IUTeich [Pano] 2 10 20 5 40 50 2005 7 2011 3 2 3 1 3 4 2 IUTeich IUTeich (2) 2012 10 IUTeich 2014 3 1 4 5 IUTeich IUTeich
SELFINJECTIVE ALGEBRAS: FINITE AND TAME TYPE
SELFINJECTIVE ALGEBRAS: FINITE AND TAME TYPE Andrzej Skowroński (Querétaro, August 2004) (http://www.mat.uni.torun.pl/ skowron/selfinjective2004.pdf) 1. PRELIMINARIES 2. SELFINJECTIVE ALGEBRAS OF POLYNOMIAL
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Ó³ Ÿ , º 7(156).. 62Ä69. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. .. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ 2. μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ±
Ó³ Ÿ. 009.. 6, º 7(156.. 6Ä69 Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ ˆŒ ˆ - ˆ ƒ ˆ ˆ ˆŸ Š -Œ ˆ Šˆ ˆ.. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ± É ÉÓ μ Ò ÕÉ Ö ²μ Í Ò - μ Ò ² É Ö ³ ÖÉÓ Ì ÒÎ ² ÖÌ, μ²ó ÊÕÐ Ì ±μ ± 4- μ Ò. This paper
! # !! # % % & ( ) + & # % #&,. /001 2 & 3 4
! #!! # % % & ( ) + & # % #&,. /001 2 & 3 4 ! # % & (! ) & (! (! + & (!, % (! +.! / 0 1 0 2 3 4 1 0 5 6 % 7 8!, %! + 0! # % 0 1 9. 2! 1. 2 8 2 5 : ; 0 % &! & ( ) ; < =2 8 0 ; 0/ =2 8 0 8 2 8 & 8 2 0 8
Lie Algebras Representations- Bibliography
Lie Algebras Representations- Bibliography J. E. Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer 1980 Hans Samelson, Notes on Lie Algebras B. C.
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,