u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)
|
|
|
- Σάββας Βουρδουμπάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3
4
5 u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h
6 ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω fψ i fv v V h i =1,...,N N N u = N i=1 α iψ i k h u h = f h α(ψ 1,ψ 2 ) α(ψ 1,ψ 2 )... K h = α(ψ n,ψ 1 )... α(ψ n,ψ n ) ˆ a(ψ i,ψ j )= ψ i ψ j Ω
7 α(ψ i,ψ j ) K h = 1 B 2 AC < 0 Au xx +2Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + F =0 K h und D 1 L T 1 L 1 D 2 L T 2 L n 1 L T n 1 D n K h
8 K h K h = (1, 2) O(N 3 ) {k i,j : k i,j 0} = O(N)
9 Ku = b K n n u = K 1 b u = u K 1 (Ku b) K 1 M 1 M 1 u u M 1 (Ku b) u (i+1) = u (i) K 1 (Ku (i) b) M 1 M O(n) M 1 K 1 u M 1 = K 1 u (i+1) =(Id M 1 K)u (i) M 1 b Id M 1 K M = diag(m ii ) m ii = K ii M = L + D L K D = diag(k)
10 M =(L + D)D 1 (R + D) 0 0 k 1,1 k 2,1 0 L =,D= 0 k n,1... k n,n k 1,2... k 1,n,R= kn 1,n 0 0 k n,n, O(n) (R + D)u = V }{{} O(n) Mu =(L + D)d 1 (R + D)u (L + D)D 1 V = u }{{} O(n) K = 4 0 M = D = 0 4 u (i+1) = u (i) D 1 (Ku (i) b) u (i+1) j = u (i) j 1 4 (4u(i) j u (i) j 1 u(i) j+1 u(i) j+n u(i) j n b j) = 1 4 (u(i) j 1 + u(i) j+1 + u(i) j n + u(i) j+n + b j)
11 M = L + D = 1 u (i+1) = u (i) (L + D) 1 (Ku (i) b) u (i+1) j = u (i) j = u (i) j (L + D) 1 ((L + D + R)u (i) j b j ) u (i) j (L + D) 1 (Ru (i) j b j ) = (L + D) 1 (Ru (i) j b j ) u k+1 = u k M 1 (Ku k b) Ku = b M 1 u k+1 u = u k M 1 Ku k u M 1 b }{{} =Ku u k+1 u = Id M 1 K (u }{{} k u) G ρ(g) < 1 ρ(g) < 1 G := Id M 1 K K M v, Kv < 2 v, Mv,v R N ρ(g) = λ max (G) < 1
12 A M ρ(a) A G M (MG) T =(M(Id M 1 K)) T =(Id M 1 K) T M T ρ(g) { v 0 =(Id K T (M 1 ) T )M T =(Id KM 1 )M = M(Id M 1 K)=MG v, MGv v, Mv } = v 0 v, Kv = { 1 v 0 v, Mv } v,kv v,mv < 2 0 < v,kv v,mv K M v, Kv 0 < 1 v 0 v, Mv < 2 ρ(g) < 1 { v, M(Id M 1 K)v } v, Mv v, Kv < 2 v, Mv K = L + D + L T K Ku = b K K = L + D + L T D 1 (L + L T ) < 1 D 1 K < 2 D 1 L < 1
13 M J = D K D 1 K 2 D 1 K < 2 v, Kv D 1 K 2 v, Dv < 2 v, Dv ρ(id D 1 A) < 1 K M = D + L u k+1 = u k + M 1 (b Ku k ) Mu k+1 = Mu k +(b Ku k ) (D + L)u k+1 =(D + L)u k (D + L)u k+1 = L T u k + b Ku }{{} k +b (L+D+L T )u k G V GS = Id (D + L) 1 K = (D + L) 1 L T M = D + L T (D + L T )uk +1= Lu k + b G R GS = Id (D + L) T K = Id (D + L) T (L + D + L T ) }{{}}{{} D=D T =D T +L T =(D+L) T = Id (D + L) T ((D + L) T + L) = (D + L) T L
14 G SGS = G R GSG V GS =(D + L) T L(D + L) 1 L T = Id M 1 SGS K G SGS = Id M 1 SGS K =(D + L) T L(D + L) 1 L T M SGS = K + LD 1 L T (ausrechnen) ρ(g SGS )= G SGS K = G GS 2 K ρ(g SGS )= G SGS K }{{} G SGS K = v 0 = AGV GS, AGV GS v = G GSv 2 K Kv,v v 2 K v, AGR GS GV GS v v, Kv = G GS 2 K G R GS GV GS GR GS = G GS AG GS =(AGV GS )T M SGS v, Kv < 2 v, Mv
15 M SGS = K + LD 1 L T v, M SGS v = v, K + LD 1 L T v = v, Kv + v, LD 1 L T v = v, Kv + L T v, D 1 L T v > v, Kv v, M SGS v > v, Kv v, Kv < 2 v, M SGS v G SGS K = ρ(g SGS ) < 1 Du k+1 = ω(l + L T )u k +(1 ω)du k + b G J (ω) =Id ωd 1 K 0 <ω<1 K 0 <ω<1 M J(ω) = 1 ω D ωd 1 K 2 ωd 1 K 2ω <2 ρ <1
16 Du k+1 = (L + L T )u k + b G J = Id D 1 K a i,i u i,k+1 = j i k i,j u j,k + b i i u k+1 (D + L)u k+1 = L T u k + b k i,i u i,k+1 + j<i k i,j u j,k+1 = j>i k i,j u j,k + b i i u k+1 u i,k+1 u j,k+1
17 Au = b A u { } 1 u = y R N 2 yt Ay b T y N N N N A R N N R N A :=,A. e k r k u k e k := u u k, r k := b Au k. r k = b Au k = Au Au k = Ae k r u
18 u 0 u k = u k 1 + α k d k A R N d 1,d 2,...,d N R N = {d 1,...,d N } (d k, Ad j )=δ k,j j, k {1,...,N}. e 0 := u u 0 = N λ i d i. i=1 k k {u k 1 + αd k,α R} f (y) = 1 2 yt Ay b T y 0! = d dα (f (u k 1 + αd k )) 0=(d k,a(u k 1 + αd k ) b) α = (d k,b Au k 1 ) (d k, Ad k ) u k = u k 1 + α k d k α k = (d k,r k 1 ) (d k, Ad k ). = (d k,r k 1 ) (d k, Ad k ). k α k λ k d T k A (d k, Ae 0 )= N λ i (d k, Ad i )=λ k (d k, Ad k ) i=1 λ k = (d k, Ae 0 ) (d k, Ad k ) = = (d k, Ae k 1 ) (d k, Ad k ) ( ( d k,a e 0 )) k 1 i=1 α id i = (d k,r k 1 ) (d k, Ad k ). (d k, Ad k )
19 N A d i k d k A r k 1 k 1 d k := r k 1 i=1 (r k 1, Ad i ) (d i, Ad i ) d i. (d k, Ad j )=0 j<k A r k 1 d j j<k d 1,...,d k 1 d k 0 e k A d 1,...,d k r k = Ae k (d j,r k )=(d j, Ae k )= =0 j k. ( d j,a N i=k+1 λ i d i ) r k 1 A d j j<k d k r i = b Au i = b A (u i 1 + α i d i )=r i 1 α i Ad i. Ad i d 0 = r 0
20 D i D i = { r 0, Ar 0,A 2 r 0,...,A i 1} r 0,...,r i 1 d 1,...,d i r k 1 D k 1 D k 2 A r k 1 (r k 1,r i )=(r k 1,r i 1 α i Ad i ) (r k 1, Ad i )= (r k 1,r i 1 ) (r k 1,r i ) α i. (r k 1,r j )=0 j k 2 r j {,..., + } d j+1 r k 1 d 1,...,d k 1 d k (r k 1,r k 1 ) α (r k 1, Ad i )= k 1, i = k 1. 0,, (r k 1,r k 1 ) d k = r k 1 + α k 1 (d k 1, Ad k 1 ) d k 1 = r k 1 + (r k 1,r k 1 ) (d k 1,r k 2 ) d k 1. (d k,r k 1 )= ( r k 1 + (r ) k 1,r k 1 ) (d k 1,r k 2 ) d k 1,r k 1 =(r k 1,r k 1 )
21 κ 2 κ 2 := λ max (A) λ min (A). u u k A 2 ( κ2 1 κ2 +1) k u u 0 A ε u u k A ε u u 0 A, k = ( ) κ ε
22 λ min 1 Āū = b Ā = AP 1 ū = Pu P Ā N P P = A 1 P P 1 P Ā P P = KK T K 1 K } 1 AK {{ T } K }{{ T u } = K }{{ 1 } b. =:à =:ũ =: b à à P d r ũ ˆd = K d ˆr = K r û = K T ũ s K T ũ 0 = K T K T u 0 = u 0
23 Ãũ = b Au = b r = b ) ( b Ãũ ˆr = b Aû = K Ãũ = K r d = r ˆd = P 1ˆr = K T d s = P 1ˆr = K T r ( r, r) ε 2 ( r 0, r 0 ) (ˆr, s) ε 2 (ˆr 0,s 0 ) ( r, r) ε 2 ( r 0, r 0 ) ( r, r) ( d,ã d) (ˆr,s) (K T r,k r) = α T d) α = ˆα = = ( ˆd,A ˆd) (K T d,kãkt K ũ =ũ + α d û =û +ˆα ˆd = K (ũ T + α d ) r = r αã d ˆr =ˆr ˆαA ˆd = K r αkãkt K T d = K ( r αã d ) s = P 1ˆr = K T r β = ( r, r) ( r, r ) ˆβ = (ˆr,s) (ˆr,s ) = (K r,k T r) (K r,k T r = β d = r + β d ( ) ˆd = s + ˆβ ˆd = K T r + β d
24
25 u =0 Ω=[0, 1] [0, 1], u = g Ω. Ω h h = 1/N K ψ ν,µ (K)(x, y) = (νπx) (µπy), (x, y) Ω h, λ ν,µ (K) = 4 ( ( ) ( )) νπh µπh h , 1 υ, µ N 1. G J = Id ωd 1 K G J K λ ν,µ (G J )=1 ω h2 4 λ υ,µ (K) =1 ω h2 4 =1 ω 4 h 2 =1 2ω + ω ( ( νπh 2 2 ) ( ( νπh ( 2 ( νπh 2 ) ( )) µπh ( )) µπh 2 2 ) ( )) µπh + 2 2
26 ω = 1 2 λ ν,µ (G J( 1 2) ) = 1 ( ( νπh ( ) = ρ G J( 1 < 1. 2) ) ( )) µπh h h u u h u 0 u = k N 1 ν,µ=1 u k u = G k J(ω) (u 0 u) = α ν,µ ψ ν,µ. N 1 ν,µ=1 α ν,µ λ k ν,µψ ν,µ. e k := u k u ν µ e k ω =1 ω = 1 2 ω =1 ω =0.5
27 S 0 S 1 S j H 1 0 (Ω) A k u k = f k, k =0,...,j. A k S k = N k j +1 S 0,...,S j
28 G h u u h S k ū k v k 1 u k ū k S k 1 v k 1 Av k 1,ϕ = A(u k ū k ),ϕ = f k Aū }{{ k,ϕ } Residuum A(u k ū k )=f k Aū k r k = f k Aū k }{{} Residuum, d k = Aū k f k }{{} Defekt ū k r p Ω 1 Ω 1 Ω 2 Ω 1 r p
29 u (0) u (i+1) u (i) ( ) A 2 u 2 = f 2 A 1 u 1 = f 1 ū 2 = G ν 1 2 u(i) 2 ν 1 d 2 = A 2 ū 2 f 2 d 1 = rd 2 Ω 2 d 2 Ω 1 û 1 = A 1 1 d 1 û 1 = A 1 1 r(a 2ū 2 f 2 ) û 2 =ū 2 pû 1 ū i+1 2 = G ν 2 2 û2 ν 2 u (i+1) = G ν 2 2 (Gν 1 1 u(i) pa 1 1 r(a 2G ν 1 1 u(i) f 2 )) = G ν 2 2 (Id pa 1 1 ra 2)G ν 1 1 u (i) + pa 1 1 }{{} rf 2 Zweigitteriterationsmatrix A k u k = f k k =0,...,j Ω 0 Ω 1 Ω j u (i+1) = u (i) ωd 1 (Au (i) f) ω<1
30 K = 1
31 K = = ( D L L T D ) 0 ν 1 ν 2 ν 1 + ν 2 4
32 ##BH/mM; 9Xj, γ = 2 ##BH/mM; 9X9, o@wvfhmb, γ = 2 qb` b2?2m,.2` m7r M/ b+?2bmi KBi xmm2?k2m/2m γ xm bi2b;2mx m7r M/b M Hvb2, "2i` +?i2 Ω0 Ω1 Ωj `2;2HK ĽB; p2`72bm2`i- /X?X nk = 2dk n0 - KBi nk ;H2B+? /2` Mx?H /2` EMQi2M pqm Ωk mm/ _ mk/bk2mbbqm dx.2` m7r M/ m7 D2/2K :Bii2` Bbi HBM2 `- /X?X m7r M/ = G(ν1, ν2, G, p) = Cnk jk
33 Level Auf wand Ω 0 Cn 0 Ω 1 Cn 1 + γcn 0 Ω 2 Cn 2 + γ(cn 1 + γcn 0 ) k 1 Ω k Cn k + Cγ k l n l l=0 n k =2 dk n 0 k 1 k Cn k + Cγ k l n l = C( γ k l n l ) l=0 l=0 n k 1 = 1 2 d n k n k 2 = 1 (2 d ) 2 n k n l = 1 2 d(k l) n k k k C( Cγ k l n l )=C γ k l 1 2 d(k l) n k l=0 l=0 k ( γ ) k l = Cn k 2 d l=0 γ 2 d < 1 k l=0 ( γ 2 d ) k l C k ( γ ) k l 1 = 2 d l=0 k ( γ ) k l 2 d l=0 }{{} A(γ,d) 1 γ 2 d = C 1 γ 2 d
34 γ =1: A =2C γ =2: A = kc γ =1: A = 4 3 C γ =2: A =2C γ =3: A =4C p
35 u O = 1 2 (u L O + u RO ), u L = 1 2 (u L O + u LU ) u R = 1 2 (u R O + u RU ), u U = 1 2 (u L U + u RU ) u Z = 1 4 (u L O + u RO + u LU + u RU ) [ ] p = = = Ω k 1 Ω k r =
36 p = u i+1 = G ν 2 2 (Id pa 1 1 ra 2)G ν 1 2 u(i) + pa 1 1 rf 2 T 2,l (ν 1,ν 2 )=G ν 2 2 (Id pa 1 l 1 ra l)g ν 1 2 e i+1 T 2,l (ν 1,ν 2 ) e (i) T 2,l (ν 1,ν 2 ) ζ<1 ν 1 + ν 2 =: ν T 2,l (ν, 0) = (Id pa 1 l 1 ra l)g ν 2 T 2,l (ν, 0) = (Id pa 1 l 1 ra l)g ν 2 = (A 1 l = A 1 l pa 1 l 1 r)a lg ν 2 pa 1 l 1 r A lg ν 2
37 A 1 l pa 1 l 1 r C Ah 2m A l G ν l C Sη(ν)h 2m η(ν) 0 ν 2m h T 2,l (ν, 0) < 1 ν ν 0 T 2,l (ν, 0) A 1 l pa 1 l 1 r A lg ν l C A h 2m C S η(ν)h 2m C A C S η(ν) T 2,l (ν, 0) G = Id M 1 A A = M N G = M 1 N A l G ν 2 C S η(ν)h 2m
38 AG ν =(M N)(M 1 N) ν AG ν X (M 1 N) ν (M 1 N) ν = M 1 N M 1 N M 1 N M 1 N }{{} ν mal = M 1 2 M 1 2 NM 1 2 M 1 2 N M 1 2 M 1 2 }{{ N } M M 2 ν mal = M 1 2 X ν M 1 2 X := M 1 2 NM 1 2 X G X = M 1 2 GM 1 2 X = M 1 2 NM = M 2 M 1 }{{ N } G M 1 2 AG ν =(M N)(M 1 N) ν =(M N)(M 1 2 X ν M 1 2 ) =(M 1 2 NM 1 2 )(X ν M 1 2 ) = M 1 2 (Id M 1 2 NM 1 2 }{{} )X ν M 1 2 X = M 1 2 (Id X)X ν M 1 2 AG ν 2 M (Id X)X ν 2 M M (1 ξ)ξ ν ξ
39 g(ξ) :=(1 ξ)ξ ν ν g (ξ) = ξ ν + ν(1 ξ)ξ ν 1 = ξ ν + νξ ν 1 νξ ν = νξ ν 1 (ν + 1)ξ ν! =0 ξ 0 ν (ν + 1)ξ =0 ξ = ν ν +1 ν g( ν +1 )=(1 ν ν +1 )( ν ν +1 )ν = ν ν (ν + 1) ν+1 ν ν ν (ν + 1) ν+1 ν ν (ν) ν+1 = 1 ν 0 ν g(ξ) =(1 ξ)ξ ν η(ν) := (1 ξ)ξ ν ξ AG ν 2 M 2 η(ν) M 2 C S h 2m A 2 {}}{ 8 h 2 }{{} A h 2m C S A 2 C S h 2m A l G ν 2 C S η(ν)h 2m
40 A 1 l pa 1 l 1 r C Ah 2m A 1 l pa 1 l 1 r = A 1 l pra 1 l + pra 1 l } {{ } =(Id pr)a 1 l =(Id pr)a 1 l =(Id pr)a 1 l =(Id pr)a 1 l + p(ra 1 l pa 1 l 1 r A 1 l 1 r) + pa 1 l 1 (A l 1r ra l )A 1 l + pa 1 l 1 (A l 1r ra l pr + ra l pr }{{} neu ra l )A 1 l + pa 1 l 1 ((A l 1 ra l p)r + r(a l pr A l ))A 1 l A 1 l C 1 ( A 1 l 1 C 3) A l C 5 r C 4 p C 2 A l 1 ra l p C K h 2m A 1 l Id pr C I h 2m pa 1 l 1r Id pr A 1 l + p A 1 l 1 ( A l 1 ra l p r + r Id pr A l ) A 1 l C I h 2m C 1 + C 2 C 3 (C K h 2m C 4 + C 4 C I h 2m C 5 )C 1 =(C I C 1 + C 1 C 2 C 3 C 4 C K + C 1 C 4 C 5 )h 2m = C 2m A
41 ϕ u E p ϕ + (ϕu) =0 t (ϕu) + (u (ϕu)) + p =0 t E + (u(e + p)) = 0 t u = v = u v = n α i e i i=1 n β i d i i=1 n α i β j (e i d j ) i,j=1 f(u),f: D X R f X f (u) =0 F (u) :=f (u)
42 F (u) =0 F (u) =0 Ω Ω h Fh (u h )=0 F h (u h ) F h (u)+δu h F h (u h) F h (u h)δu h = F h (u h ) F (u) =0 F (u)δu = F (u) Ω Ω h F h (u h)δu h = F h (u h ) f(u) = f : D R N R f F (u) :=f (u) T =0 F : D R N
43 F (u) F (u) F F (u) =f (u) F G = C F C g(ũ) =f(cũ) =min G(ũ) =C T F (Cũ) =0 G (ũ) =C T F (u)c u = Cũ F (u) w, z F (u) = w T F (u)z u,w,z D w, z G (ũ) = w T C T F (u)c z = w, z F (u) u = Cũ, w = C w, z = C z w F (u) = ( ) 1 w, w F 2 (u) = ( w T F (u)w ) 1 2 F (u) =0 F (u) =f (u) T =0 F (u)δu = F (u)
![F (u k )δu k = F (u) u k+1 = u k + λ k δu k,λ k ]0, 1] δu k = (F (u k )) 1 F (u k ) u k+1 = u k λ k (F (u k )) 1 F (u k ) u k u λ k =1](/docs-images/66/54818021/images/44-0.jpg "λ<1 δu k δu k δu k δu k = (F (u k )) 1 F (u k )+ F (u k ) δu k = F (u k )+r k F (u k )( δu k δu k )=r k u k+1 = u k + δu k Residuum {}}{")
44 F (u k )δu k = F (u) u k+1 = u k + λ k δu k,λ k ]0, 1] δu k = (F (u k )) 1 F (u k ) u k+1 = u k λ k (F (u k )) 1 F (u k ) u k u λ k =1 λ<1 δu k δu k δu k δu k = (F (u k )) 1 F (u k )+ F (u k ) δu k = F (u k )+r k F (u k )( δu k δu k )=r k u k+1 = u k + δu k Residuum {}}{ r k
45 r k i i =1,...,n δu k i δu k i δuk i F (u k ) δu k i, δu k i δu k i F (u k ) = δu k i,r k i =0 e k i = δu k i δuk i F (u k ) δu k i F (u k )
46 c i,j i j u i,j c i,j F ( ) := i,j (u i,j ( ) c i,j ) 2 F D u i,j (D)
47 u(x, t) = div(d u(x, t)) + t u(x, t 0 )=u 0 (x) u(x, t) =f(t) δω {}}{ S(t) Ω ˆ Ω ˆ u t = = Ω ˆ div(d u) = m ˆ i=1 b i D u n Ω u t u(t k+1,x) u(t k,x) t D u n ˆ ˆ ˆ u(t k+1,x i )dx b i u(t k,x)dx = t b i δb i j u(t k+1,x j )D ξ j (γ) n i dγ b i (u(t k+1,x i ) u(t k,x i )) = t j,l b i b l u(t k+1,x j )D ξ(x i,l ) n i,l b i : b i b j : b i b j F (D) = (u i,j (D) c i,j ) 2 D i,j
48 F (D) = i,j ( u i,j (D) c i,j + u ) 2 i,j D D D ( u i,j (D (q) ) c i,j + u i,j D(q) D (q) D (q) i,j D F (q) (D (q) )=0 2 ( i,j i,j i,j ( D (q) = u i,j (D (q) ) c i,j + u i,j D(q) D (q) ) u i,j (D (q) ) c i,j + u i,j D(q) D (q) ( ) c i,j u i,j (D (q) ) u i,j(d (q) ) i,j D (q) ) 2 ) ( ) u i,j (D (q) ) D (q) + u i,j(d (q) ) D (q) =0 u i,j(d (q) ) D (q) =0 = i,j ( ui,j D (q) ) D (q) ( (ci,j u i,j (D (q) ) ) u i,j(d (q) ) ( ) ui,j 2 i,j D (q) ) 2 D (q) D (q) u i,j D (q) b i D (q) (u(t k+1,x i ) u(t k,x i )) = t ( ) b i b j D (q) u(t k+1,x j )D (q) + u(t k+1,x j ) ξ j (x i,l ) n i j,l ( b i D (q) u(t k+1,x i ) ) D (q) u(t k,x i ) = t ( ) b i b j D (q) u(t k+1,x j )D (q) + u(t k+1,x j ) ξ j (x i,l ) n i j,l g(t k,x j,d (q) ):= D (q) u(t k,x i )
49 b i (g(t k+1,x i ) g(t k,x i )) = t ( ) b i b j g(t k+1,x j )D (q) + u(t k+1,x j ) ξ j (x i,l ) n i j,l ( ) ( ) = t j,l ( b i b j g(t k+1,x j )D (q)) ξ j (x i,l ) n i ( ) + t j,l b i b j (u(t k+1,x j )) ξ j (x i,l ) n i ( ) div(d (q) g(x, t)) div( u(x, t)) u i,j D (q) D (q) F (D (q) ) u i,j D (q) t g i,j(d (q) )=div(d (q) g(x, t)) + div( u(x, t)) u(x, t) t g(x, t) t = div(d u(x, t)) Ω = div(d g(x, t)) + div( u(x, t)) Ω D (q) D (q+1) = D (q) D (q) D (q+1) D (q) <TOL
50
51 ( ) 2 ϵ u = x 2 ϵ 2 y 2 ϵ =1 ϵ 0 u = f ϵ 0 h h G ν 2 (Id pa 1 l 1 ra l)g ν 1 2 ξ<1 ϵ ϵ ϵ ϵ u = f Ω=(0, 1) 2, ϵ = 2 x 2 + ϵ 2 y 2 u = g Γ= Ω ϵ = 1 ϵ h ϵ 1 = 1 ] [ 1 h ϵ + ϵ h
52 ϵ ϵ=0 = 1 0 h = h ϵ 0 K(ϵ) K 0 < 1 κ(ϵ) 1 ϵ 0 1 h 2 ϵ ϵ 1 1 h 2 ϵ y K 1 l (ϵ) pk 1 l 1 (ϵ)r C h 2 A ϵ K l (ϵ) ϵ
![ϵ ϵ = 1 ] [ 1 h 2 2 1](/docs-images/66/54818021/images/53-0.jpg "+ 1 h 2 ϵ 2ϵ h ϵ 0 ϵ ϵ")
53 ϵ ϵ = 1 ] [ 1 h h 2 ϵ 2ϵ h ϵ 0 ϵ ϵ = 1 h 2 x h y << h x [ ] h 2 y ϵ 2ϵ ϵ
54 ϵ K 1 l (ϵ) pk 1 l 1 (ϵ)r C h 2 A ϵ K l G ν l C S η(ν) ϵ h 2 ϵ h K K l (ϵ) M(ϵ) N(ϵ) K l (ϵ)+αn(ϵ) 0 α G = M 1 N N(ϵ) ϵ h 2 C N K l (ϵ)g ν l C S η(ν) ϵ h 2 N N(ϵ) C N ϵ h 2
55 2(1 + ϵ) 1 ( ) ϵ 0 ( ) 1 2(1 + ϵ) 1 ϵ 0 K h (ϵ) = 1 h 2 ϵ ϵ 1 ϵ 1 2(1 + ϵ) K h (ϵ) N ( ) I. 2(1 + ϵ) 1 : 2(1 + ϵ) II. +1 2(1 + ϵ) I. 2(1 + ϵ) 1 II. 0 4(1+ϵ) 2 1 2(1+ϵ) ( ) I. ϵ 0 : 2(1 + ϵ) II. 0 ϵ I. ϵ 0 II. 0 ϵ 2(1+ϵ) N N N = 1 h 2 ϵ d ij ϵ d ij 2(1 + ϵ) i =1,j =1 2(1 + ϵ) 1 d d ij = i,j 1 i =1,j >1 2(1 + ϵ) ϵ2 d i 1,j i>1,j =1 2(1 + ϵ) 1 d i,j 1 ϵ2 d i 1,j i>1,j >1
56 d ij δ = 2(1 + ϵ) 1 ϵ2 δ δ 2 (2 + 2ϵ)δ +(1+ϵ 2 )=0 = 2(1 + ϵ)δ (1 + ϵ2 ) δ δ 1,2 = 2+2ϵ ± (2 + 2ϵ) 2 4(1 + ϵ 2 ) 2 δ 1,2 = 2+2ϵ ± 4+8ϵ +4ϵ 2 4 4ϵ 2 2 =1+ϵ ± 2ϵ N 1 h 2 ( ϵ δ + ϵ δ )=2ϵ δ C N =2 1 h 2 < 2ϵ 1 δ<1 h 2 u t = ϵ u }{{} + v }{{} u Konv. ϵ v Dif.
57 ϵ u [ ϵ u] h = ϵ h v u [ v u] h = v [ ] v h 2h 1 [ ϵ u + v u] h = ϵ h v 1 2h 1 = 1 ϵ + hv 2 2 h 2 ϵ hv 1 2 4ϵ ϵ + hv 1 2 ϵ hv 2 2 [ ] v 2 2h 1 0 i j K i,j = ϵ + hv ϵ + hv ϵ hv ϵ hv 2 2 K i,j i j K i,j v 1,v 2 > 0 1 ϵ hv 1 2 ϵ hv 2 2 4ϵ! ϵ hv ϵ hv ϵ + hv ϵ + hv K ϵ hv 1 2 ϵ hv 2 2 4ϵ ϵ! + hv 2 2 ϵ + hv ϵ + hv ϵ + hv 2 2 4ϵ hv 1 + hv 2 h( 2ϵ h )+h(2ϵ h )=4ϵ K
58 ϵ< hv 1 2 ϵ hv 2 2 4ϵ! ϵ hv 2 2 ϵ + hv ϵ + hv ϵ + hv 2 2 =2ϵ + hv 1 2ϵ hv 1! 0 2ϵ! hv 1 ϵ! hv 1 2 K ϵ h 2 v 1 ϵ h 2 v 2 M h M v u 1 [ ] 1 1 v v 2 0 2h 2h 1 v 1,v 2 > 0 v 1,v 2 < 0 [ v u] h 1 [ ] 0 1 = v v 2 1 2h 2h 1 [ v u] v h < 0 = v 1 1 2h [ ] v 2 2h 1 1 0
59 v > 0 [ ϵ u + v u] h = ϵ 1 h v 1 h 1 = 1 ϵ h 2 ϵ hv 1 4ϵ + hv 1 + hv 2 ϵ ϵ hv 2 [ ] v 2 h v + p = f v =0 v p ( )( ) ( ) v f T = 0 p 0 ( ) ( ) ( ) v K = T,u=, f f = 0 p 0 K 1,1 K 1,m K = K m,1 u 1 u m K m,m f 1 f m u =,f = K i,j n n ( ) A B B T 0
60 2 2 L = ( ( 0 ) Id 1 0 B T A 1 Id 2 ) ( ) ( ) ( Id 1 0 A B A L K = B T A 1 Id 2 B T = 0 B T A 1 A + B T ( ) A B = 0 B T A 1 B B B T A 1 B ) L ( )( ) ( ) v f 0 T 1 = p 0 A B T A 1 B ( ) A B 0 B T A 1 B a(u, v) b(v, p) = f,v v U b(u, q) = g, q q V a : U U R b : V V R a b
61 a U 0 a(x, x C E x 2 V ) U 0 := {v U : b(v, q) =0 q V } q V {0} v U {0} b(v, q) v U q V ζ>0 dim(u h )=n dim(v )=m (dim) (n ) (m ) R h = (n ) A h B h (m ) Bh T 0 m n R h (n+m) (n+m) K h Rang(K h ) Rang(A h )+Rang(B h ) = n + Rang(B h ) B h n m m>n Rang(B h ) n<m Rang(K h ) n + n<n+ m Rang(K h ) <n+ m K h m n
62 U V V x v g p x y dim(u h )=2 dim(v h )=9 1=8 Ω p m>n U h V h dim(u h )=2 dim(v h )=9 1 1=7 Ω p = c m>n dim(u h ) dim(v h ) 2h U h := {v C 2 ( Ω) : v Γ =0,v T P 2 } V h := {p C( Ω) : p T P 1 }
63 b k R 2 dim(u h )=8 2 = 16 dim(v h )=8
9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK
RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21
m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m
Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o
G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O
l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)
Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f
η η η η GAR = 1 F RR η F RR F AR F AR F RR η F RR F AR µ µ µ µ µ µ Γ R N=mxn W T X x mean X W T x g W P x = W T (x g x mean ) X = X x mean P x = W T X d P x P i, i = 1, 2..., G M s t t
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
W τ R W j N H = 2 F obj b q N F aug F obj b q Ψ F aug Ψ ( ) ϱ t + + p = 0 = 0 Ω f = Γ Γ b ϱ = (, t) = (, t) Ω f Γ b ( ) ϱ t + + p = V max 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 x 4 x 1 V mn V max
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )
V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1
6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 6.1.1 Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών
Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 )
Περιεχόμενα A(x 1, x 2 7 Ολοκληρώματα της Μαγνητοϋδροδυναμικής και Μαγνητοϋδροδυναμικά Κύματα Σχήμα 7.1: Οι τριδιάστατες ελικοειδείς μαγνητικές γραμμές στις οποίες εφάπτεται το διάνυσμα του μαγνητικού
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW / MINI (Ισχύει από 15/01/2018) ΚΙΒΩΤΙΟ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΚΥΒΙΣΜΟΣ ΙΣΧΥΣ (HP)
Υ F21 LCI - Σειρά 1 3θυρη 1W11 120i ΧΚ 1.998 184 131 21.941,48 33.000 1W31 125i ΑΚ 1.998 224 130 26.407,03 42.040 1W91 M140i ΧΚ 2.998 340 179 31.878,02 52.790 1P91 M140i xdrive ΑΚ 2.998 340 169 35.428,74
ITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
Α Ρ Η Θ Μ Ο : ΠΡΑΞΗ ΣΡΟΠΟΠΟΙΗΗ ΠΡΑΞΗ ΚΑΣΑΘΕΗ ΟΡΩΝ
Α Ρ Η Θ Μ Ο : 6.984 ΠΡΑΞΗ ΣΡΟΠΟΠΟΙΗΗ ΠΡΑΞΗ ΚΑΣΑΘΕΗ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟΤ η ε λ Π ά η ξ α ζ ή κ ε ξ α ζ η η ο ε ί θ ν ζ η κ ί α ( 2 1 ) η ν π κ ή λ α Μ α ξ η ί ν π, ε κ έ ξ α Γ ε π η έ ξ α, η ν π έ η ν π ο δ
(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n
Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,
ϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r
.1. 8,5. µ, (=,, ) . Ρ( )... Ρ( ).
ΡΧΗ 1Η Ε ε Γ Α Ο ΗΡ Ε Ε Ε Ε Η Ε Ο Ε Ο Ε Η 14 Ο Ο 2001 Ε Ε Ο Ε Ο Η Ε Η εε : Η Ο ΧΕ Η Ο Ο Ε εά : Ε (6) Ε Α 1ο Α.1. π µ µ ά : Ρ ( ) = Ρ ( ) Ρ ( ). 8,5 Α.2. µ π µπ µ π µ µ, (=,, ) : Ρ ( )... 1 Ρ( ) 2 Ρ( )...
Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία
0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i
). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0
3761 5226 9585 ). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 y = mgh mgy, 3761 5226 ) ) =mg 2 F=ma F-B=ma Fmg=m.2g F=3mg F=3B B = F/3 3763 5208 ) ) W 1 = -mgh W 2 =mgh W = W 1 + W 2 = -mgh + mgh=0 3763
AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( (((
? / / / o/ / / / o/ / / / 1 1 1., D 1 1 1 D 1, E F 1 D 1. = a, D = b, 1 = c. a, b, c : #$ #$ #$ 1) 1 ; : 1)!" ) D 1 ; ) F ; = D, )!" D 1 = D + DD 1, % ) F = D + DD 1 + D 1 F, % 4) EF. 1 = 1, 1 = a + b
f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.
Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
! " #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $
[ ] # $ %&$'( %&#) *+,-) %$./.$ $ .$0)(0 1 $( $0 $2 3. 45 6# 27 ) $ # * (.8 %$35 %$'( 9)$- %0)-$) %& ( ),)-)) $)# *) ) ) * $ $ $ %$&) 9 ) )-) %&:: *;$ $$)-) $( $ 0,$# #)$.$0#$ $8 $8 $8 $8,:,:,:,: :: ::
! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"
! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;
Mesh Parameterization: Theory and Practice
Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is
ITU-R P (2012/02)
ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 09, 9 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι 2. Θεωρία γενικών επαναληπτικών μεθόδων 3. Σύγκλιση
10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø
Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789
TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2
... )*RM G ^ S NA 08MG =.1 )*RM G ^ S NA.
35... 3 2 * $#% 0 ) *+, -./ 0 $#% &"#!" (203).2 3 4../ ) ; < / "= > 8.:& / 8/ / 8.89 E " 392 # 382 8. C :& / 238 @*=A 8"* 0? 3 9= N=MO*. 8"H=& IJ$ E. + KH= L*=M 4>G F +"* 9% S. @$ ",R 8 IJ$ 3./ P=Q ) +
X x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t
X 3 x 3 C Q y C(t) Q t QP t t C configuration initiale description lagrangienne x Φ ( X, t) X Y x X P x P t X x C(t) configuration actuelle description eulérienne (, ) d x v x t dt X 3 x 3 C(t) F( X, t)
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
Wb/ Μ. /Α Ua-, / / Βζ * / 3.3. Ηλεκτρομαγνητισμός Ι Μ. 1. Β = k. 3. α) Β = Κ μ Π 2. B-r, 2 10~ ~ 2 α => I = ~ } Α k M I = 20Α
ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 3.3 39 3.3. Ηλεκτρομαγνητισμός 1. Β = k 21 9 1Π 2 β = 10 " ίιτκ τ^β = 2 10 " τ 3. α) Β = Κ μ 21 B-r, 2 10~ 5 20 10~ 2 α => I = ~ } Α k M -2 2-10 I = 20Α ϊ)β 2 2Ι = Κ ψ- _ 10' 10^40 7 2
Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ
Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 27/3/13 Μέθοδος ελαχίστου υπολοίπου (Minimum residual) Θέµα:
ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1
f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)
! " #$% & '()()*+.,/0.
! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων
HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 5 Εκτίμηση φάσματος ισχύος Συνάφεια Παραδείγματα Στοχαστικά Διανύσματα Autoregressive model with exogenous inputs (ARX y( t + a y( t +... + a y( t n = bu( t +...
MÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
μ μ μ s t j2 fct T () = a() t e π s t ka t e e j2π fct j2π fcτ0 R() = ( τ0) xt () = α 0 dl () pt ( lt) + wt () l wt () N 2 (0, σ ) Time-Delay Estimation Bias / T c 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3 In-phase
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1
6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ
Microscopie photothermique et endommagement laser
Microscopie photothermique et endommagement laser Annelise During To cite this version: Annelise During. Microscopie photothermique et endommagement laser. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
X t m X t Y t Z t Y t l Z t k X t h x Z t h z Z t Y t h y z X t Y t Z t E. G γ. F θ. z Θ Γ. γ F θ
R X t m X t Y t Z t Y t l Z t k X t hxz t hzz t Y t hy z X t Y t Z t E F { f( y z; θ); θ Θ R p } θ G { g( y z; γ); γ Γ R q } γ ΘΓ z ΘΓ F θ θ γ F θ G γ G γ E [] = () h( y, z) dydz h( z) () h( y z) dydz
2η Εργαστηριακή Άσκηση.
η Εργαστηριακή Άσκηση. Παράδοση: Θα γράψετε μια αναφορά σε στην οποία θα υπάρχουν οι απαντήσεις στα ερωτήματα και σχολιασμός των αποτελεσμάτων. Η παράδοση της ασκησης θα γίνει μέχρι την Δευτέρα 4/5 ώρα
T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ
Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α g r i l l b a r t a s o s Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 1 : 0 π μ Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ T ortiyas Σ ο υ
C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ
»»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ A u B Μέτρο Διεύθυνση Κατεύθυνση (φορά) Σημείο Εφαρμογής Διανυσματικά Μεγέθη : μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη Μονόμετρα Μεγέθη : χρόνος, μάζα, όγκος, θερμοκρασία,
ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ x x x y y x y?? Ευριπίδης Μάρκου Ευάγγελος Κρανάκης Άρης Παγουρτζής Ντάννυ Κριζάνκ ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΜΑΡΚΟΥ Τµήµα Πληροφορικής µε Εφαρµογές στη Βιοϊατρική Πανεπιστήµιο
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα
3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)
Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε
Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method
Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method Laurent Monasse To cite this version: Laurent Monasse. Analysis of a discrete element method and coupling with a
#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!
-!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3
!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!
# $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;
Übung 7 - Verfahren zur Lösung linearer Systeme, Gittereigenschaften
Übung 7 - Verfahren zur Lösung linearer Systeme, Gittereigenschaften Musterlösung C. Baur, M. Schäfer Fachgebiet für Numerische Berechnungsverfahren im Maschinenbau 22.01.2009 TU Darmstadt FNB 22.01.2009
!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14
1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής
2013/2012. m' Z (C) : V= (E): (C) :3,24 m/s. (A) : T= (1-z).g. (D) :4,54 m/s
( ) 03/0 - o l P z o M l =.P S. ( ) m' Z l=m m=kg m =,5Kg g=0/kg : : : : Q. (A) : V= (B) : V= () : V= (D) : V= (): : V :Q. (A) :4m/s (B) :0,4 m/s () :5m/s (D) :0,5m/s (): : M T : Q.3 (A) : T=(-z).g (B)
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
Answers to practice exercises
Answers to practice exercises Chapter Exercise (Page 5). 9 kg 2. 479 mm. 66 4. 565 5. 225 6. 26 7. 07,70 8. 4 9. 487 0. 70872. $5, Exercise 2 (Page 6). (a) 468 (b) 868 2. (a) 827 (b) 458. (a) 86 kg (b)
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς
... * +, . >1 " W1 X &=:C.1 3.% 2 *! > 8. $( >1 $.: " G YJ ZC1 G! 1.
1... #) %# "#$%& '%(! 3 2 1 ()*+, &! # $% &!" 5 6!7 8 9 4 2 3 /$01 &,. 2 =! > 8 3.%
Κεραίες & Ασύρματες Ζεύξεις
Κεραίες & Ασύρματες Ζεύξεις ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΕΙΣΟΔΟΥ ΚΕΡΑΙΑΣ Το μάθημα αυτό πραγματεύεται το αντικείμενο των κεραιών και των Ασύρματων Ζεύξεων. Περιέχει τη θεμελίωση και τις βασικές έννοιες /αρχές που διέπουν
Jeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ = 1 + t t. θ = t ε t. Continuum Mechanics. Chapter 1. Description of Motion dt t. Chapter 2. Deformation and Strain
Continm Mechanics. Official Fom Chapte. Desciption of Motion χ (,) t χ (,) t (,) t χ (,) t t Chapte. Defomation an Stain s S X E X e i ij j i ij j F X X U F J T T T U U i j Uk U k E ( F F ) ( J J J J)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
3/5/016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Παραδείγματα Κεραιών Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δίπολο Hetz L d