Óïðàæíåíèÿ ê Ëåêöèè 6. Ïîëå Äèðàêà Ðåøåíèÿ
|
|
- Τιτάνος Βασιλόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Óïðàæíåíèÿ ê Ëåêöèè 6. Ïîëå Äèðàêà Ðåøåíèÿ Óïðàæíåíèÿ èäóò ïî õîäó ãëàâû 3 Ïåñêèíà Øðåäåðà, êàæäîå óïðàæíåíèå îöåíèâàåòñÿ â.5 áàëëà. 3. Ëîðåíö èíâàðèàíòíîñòü âîëíîâûõ óðàâíåíèé.. Èñõîäÿ èç ôîðìóëû äëÿ ãåíåðàòîðîâ âðàùåíèÿ J µν ix µ ν x ν µ, ïîêàçàòü, òî äëÿ íèõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ àëãåáðû Ëîðåíöà [J µν, J ρσ ] ig νρ J µσ g µρ J νσ g νσ J µρ + g µσ J νρ. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóåì, òî µ x ν δ ν µ, îòêóäà µ x ν g µν, èìååì [J µν, J ρσ ] [x µ ν x ν µ, x ρ σ x σ ρ ] [x µ ν, x ρ σ ] +... òî è òåðáîâàëîñü ïîêàçàòü. 3. Óðàâíåíèå Äèðàêà. g νρ x µ σ + g µσ x ρ ν +... ig νρ ix µ ρ ig µσ... ix ρ ν +... ig νρ J µσ g µρ J νσ g νσ J µρ + g µσ J νρ, 0.. Ïîêàçàòü, òî ãåíåðàòîðû àëãåáðû Ëîðåíöà â ïðåäñòàâëåíèè ãàììà-ìàòðèö: S µν i 4 [γµ, γ ν ], óäîâëåòâîðÿåò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì àëãåáðû Ëîðåíöà: [S µν, S ρσ ] ig νρ S µσ g µρ S νσ g νσ S µρ + g µσ S νρ. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóåì, òî {γ µ, γ ν } g µν, èìååì [S µν, S ρσ ] 6 [γµ γ ν, γ ρ γ σ ] γµ γ ν γ ρ γ σ γ ρ γ σ γ µ γ ν γµ γ ν γ ρ γ σ + γ ρ γ µ γ σ γ ν g µσ γ ρ γ ν γµ γ ν γ ρ γ σ γ µ γ ρ γ σ γ ν + g µρ γ σ γ ν g µσ γ ρ γ ν γµ γ ν γ ρ γ σ + γ µ γ ρ γ ν γ σ g νσ γ µ γ ρ + g µρ γ σ γ ν g µσ γ ρ γ ν gνρ γ µ γ σ g νσ γ µ γ ρ + g µρ γ σ γ ν g µσ γ ρ γ ν +... ig νρ S µσ g µρ S νσ g νσ S µρ + g µσ S νρ Ïîêàæèòå, òî â êèðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ãàììà-ìàòðèö: γ 0 ãåíåðàòîðû àëãåáðû Ëîðåíöà S µν, äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè σ i 0 0 σ i S 0i i 4 [γ0, γ i ] i 0 0, S ij i 4 [γi, γ j ] εijk σ k 0 0 σ k 0 σ, γ i i σ i 0 εijk Σ k.,
2 S 0i i 4 [γ0, γ i ] i 0 0 σ i 0 σ i σ i 0 σ i 0 0 i σ i 0 σ i 0 i σ i σ i 0 σ i 0 σ i È òàêæå íàõîäèì S ij i 4 [γi, γ j ] i 0 σ i 0 σ j 0 σ j 0 σ i 4 σ i 0 σ j 0 σ j 0 σ i 0 i σ i σ j 0 σ 4 0 σ i σ j j σ i 0 i [σ i, σ j ] 0 0 σ j σ i 4 0 [σ i, σ j ] σ k 0 εijk 0 σ k εijk Σ k, 0.4 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè òî, òî [σ i, σ j ] iε ijk σ k è ε Ïîêàæèòå, òî [γ µ, S ρσ ] J ρσ µ νγ ν, ãäå J ρσ αβ iδ ρ αδ σ β δρ β δσ α. [γ µ, S ρσ ] i 4 [γµ, [γ ρ, γ σ ]] i 4 [γµ, γ ρ γ σ γ σ γ ρ ] i 4 [γµ, γ ρ γ σ ] [γ µ, γ σ γ ρ ] 5. Ïîêàæèòå, òî âåðíî ðàâåíñòâî i 4 γµ γ ρ γ σ γ ρ γ σ γ µ γ µ γ σ γ ρ + γ σ γ ρ γ µ i 4 γρ γ µ γ σ + g µρ γ σ γ ρ γ σ γ µ + γ σ γ µ γ ρ g µσ γ ρ + γ σ γ ρ γ µ i 4 gµσ γ ρ + g µρ γ σ + g µρ γ σ g µσ γ ρ ig µρ γ σ g µσ γ ρ 0.3 ig ρµ δ σ ν g σµ δ ρ νγ ν J ρσ µ νγ ν i ω ρσs ρσ γ µ i ω ρσs ρσ i ω ρσj ρσ µ νγ ν. + i ω ρσs ρσ γ µ i ω ρσs ρσ γ µ + i ω ρσ[s ρσ, γ µ ] + Oω i ω ρσj ρσ µ νγ ν + Oω, 0.6 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ. 6. Ïðîâåðüòå, òî S ij S ij, S 0i S 0i, S ij γ 0 γ 0 S ij, S 0i γ 0 γ 0 S 0i. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò óïðàæíåíèÿ 3, à òàêæå σ i σ i, î åâèäíî, òî S ij S ij, S 0i S 0i. Äàëåå, èñïîëüçóÿ, òî γ 0 γ 0, ìîæíî ïîëó èòü îñòàëüíûå ðàâåíñòâà. Òàêæå âñå ìîæíî áûëî ïîëó èòü íåïîñòðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ S µν è èç òîãî, òî γ 0 γ 0 è γ i γ i. 7. Ïîêàæèòå, òî ψψ åñòü ëîðåíöåâñêèé ñêàëÿð, à ψγ µ ψ ëîðåíöåâñêèé âåêòîð, ãäå ψ ψ γ 0.
3 Ðåøåíèå: Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà x µ Λ µ νx ν, ñïèíîð ïðåîáðàçóåòñÿ êàê òîãäà èìååì äëÿ ψ ψx Λ ψx, ãäå Λ exp i ω µνs µν, 0.7 ψ ψ γ 0 ψ exp i ω µνs µν γ 0 ψ γ 0 exp i ω µνs µν ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ðåçóëüòàòû óïðàæíåíèÿ 6. Äàëåå èìååì ψλ, 0.8 è òàêæå ψψ ψλ Λ ψ ψψ 0.9 ψγ µ ψ ψλ γ µ Λ ψ Λ µ ψγ ν ν ψ, 0.0 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ðåçóëüòàò óïðàæíåíèÿ Ïîêàæèòå, òî óðàâíåíèÿ Ýéëåðà-Ëàãðàíæà äëÿ ψ èëè ψ äëÿ ëàãðàíæèàíà L Dic ψiγ µ µ mψ ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ Äèðàêà iγ µ µ mψx 0. Ðåøåíèå: Ïîëó àåì èç L ψ 0: iγ µ µ mψx Âåéëåâñêèå ñïèíîðû. 9. Ïðîâåðüòå, òî äëÿ ëåâîãî ψ L è ïðàâîãî ψ R âåéëåâñêèõ ñïèíîðîâ, ïðè áåñêîíå íî ìûëûõ âðàùåíèÿõ θ θ i εijk ω jk è áóñòàõ β β i ω 0i, ïðåîáðàçîâàíèÿ èìåþò âèä ψl ψ R ψ L iθ σ β σ ψ L, ψ R iθ σ + β σ ψ R. ψ i ω µνs µν ψ iω 0i S 0i i ω ijs ij ψl ψ R ω0i σ i 0 0 ω 0i σ i i σ 4 ω ijε ijk k 0 0 σ k σ i βi + iθ i σi 0 ψl σ 0 β i i + iθ i σi ψ R ψl ψ R. 0. Â èòîãå ïîëó èì ïðåîáðàçîâàíèå ψ L iθ σ β σ ψ L, è ψ R iθ σ + β σ ψ R. 0. Äîêàæèòå òîæäåñòâî σ σ σσ, è ïîêàæèòå, òî âåëè èíà σ ψ L ïðåîáðàçóåòñÿ ïîäîáíî ïðàâîìó ñïèíîðó. 3
4 Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ, òî σ σ, σ σ, σ 3 σ 3, à òàêæå {σ i, σ j } δ ij, ëåãêî ïðîâåðèòü, òî σ σ σσ. Äàëåå ïîëó àåì  èòîãå âèäèì, òî σ ψ L σ ψ L σ + iθ σ β σ ψ L iθ σ + β σ σ ψ L. 0.3 iθ σ + β σ σ ψ L, êàê è ψ R iθ σ + β σ ψ R. 3.3 Ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà äëÿ ñâîáîäíûõ àñòèö. [ ] 0 η chη hη. Ïîêàæèòå, òî exp, è η 0 hη chη [ ] ησ exp 3 / 0 chη/ σ3 hη/ 0 0 ησ 3 / 0 chη/ + σ 3 hη/ 0 η η 0 n η n 0 0 η n  èòîãå ïîëó èì [ ] 0 η k 0 η exp η 0 k! η 0 k0 chη hη. hη chη Òàêæå èìååì ησ 3 / 0 0 ησ 3 / n η n 0 0 η n È àíàëîãè íî ïîëó àåì [ ] ησ exp 3 / 0 0 ησ 3 / n0,, 0 η η 0 η n 0 n! 0 η n n+ 0 η n+ η n+ 0 + ησ 3 / 0 0 ησ 3 / n η n+ n +! η n n+ η n+ σ η n+ σ 3 chη/ σ3 hη/ 0 0 chη/ + σ 3 hη/. Äîêàæèòå, òî p σp σ p m, ãäå σ, σ è σ, σ. 0.6., 0.7 p σp σ p µ p ν σ µ σ ν p µ p ν σµ σ ν + σ ν σ µ p µ p ν g µν p m, 0.8 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî σ µ σ ν + σ ν σ µ g µν, òî ëåãêî ïðîâåðèòü ïðÿìûì âû èñëåíèåì è ó èòûâàÿ, òî {σ i, σ j } δ ij. 3*. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå èñëà è îáùèé âèä ìàòðèöû p σ. p p σ g µν p µ σ ν p 0 σ 0 pσ 0 p 3 p + ip p ip p 0 + p
5 Íàõîäÿ ñîáñòâåííûå çíà åíèÿ λ, p 0 ± p, ëåãêî ïåðåïèñàòü äàííóþ ìàòðèöó â âèäå p p σ SΛS 3 p p 3 + p p 0 p 0 p 3 p p ip p ip 0 p 0 p p p +ip p Òîãäà äëÿ p σ ïîëó èì p3 + p p p p +ip p p σ S ΛS 3 p p 3 + p p0 p 0 p 3 p p ip p ip p p p +ip 0 p0 + p p3 + p p p p +ip p p 3 p p p ip p p + ip p +p g 3 µν p µ σ µ p σ, p, p, 0. p p ãäå p 0 + p + p 0 p, p 0 + p p 0 p. p σξ 4. Ïðîâåðèòü, òî ψx e ipx åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà. p σξ Ðåøåíèå: Ìû äîëæíû ïðîâåðèòü, òî γ µ p µ mup g µν γ µ p ν mup γ 0 p 0 γ i p i mup 0, 0. p σξ ãäå ñïèíîð up, γ-ìàòðèöû âçÿòû â êèðàëüíîì Âåéëåâñêîì ïðåäñòàâëåíèè: p σξ 0 0 σ γ 0, γ 0 i i. Èìååì σ i 0 γ µ m p p µ mup 0 σ 0 p i σ i m p σ p σξ p 0 σ 0 + p i σ i up m p σ m p σξ m p σ + p σ p σξ m p σ + p σ p σ p σξ m p σ + p σ p σξ m p σ + p σ p σ p σξ m p σ + p σmξ m p σ + 0, 0.3 p σmξ 5. Ïîêàæèòå, òî ūu mξ ξ, ãäå up ūp u pγ 0 ξ p σ ξ p σ 0 0 p σξ p σξ, à ūp u pγ 0. ξ p σ ξ p σ, 0.4 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî p σ p σ è p σ p σ. Äàëåå ïîëó àåì ūpup ξ p σ ξ p σ p σξ p σξ ξ p σ p σξ mξ ξ, 0.5 5
6 6. Ïîêàæèòå, òî v pv p mδ, v pv p E p δ, ãäå v p p ση p ση è η η δ,,,. v pv p η p σ η p σ p ση p ση mη η mδ. 0.6 Äàëåå v pv p η p σ η p σ p ση p ση p 0 η η E p δ, η p σ + p ση η p 0 σ 0 η Ïðîâåðüòå, òî ū pv p v pu p 0 è u pv p v pu p 0. ū pv p ξ p σ ξ p σ p ση p ση ξ p σ p σ p σ p ση ξ m mη 0, v pu p η p σ η p σ p σξ p σξ η p σ p σ + p σ p σξ Äàëåå èìååì η m + mξ 0. u pv p ξ p σ ξ p σ p ση p ση 0.8 0, 0.9 äëÿ v pu p 0 ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè íî. 8. Äîêàæèòå ôîðìóëó 0 ξ ξ, ãäå ξ, 0 ξ δ è ïîêàæèòå, òî u pū p γ p + m, v p v p γ p m Ðåøåíèå: Òàê êàê ξ,, îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ: ξ ξ δ, òî âçÿâ ïðîèçâîëüíûé âåêòîð e e ξ + e ξ, èìååì ξ ξ e e ξ ξ ξ + e ξ ξ ξ e ξ δ + e ξ δ e ξ + e ξ e, 0.30,, îòêóäà ñëåäóåò, òî u pū p v p v p,, ξ ξ. Äàëåå ïîëó àåì,, p σξ p σξ ξ p σ ξ p σ m p σ γ p + m, p σ m p ση η p ση p σ η p σ m p σ γ p m, 0.3 p σ m 6
7 3.4 Ìàòðèöû Äèðàêà è áèëèíåéíûå ôîðìû Äèðàêà. 9. Ïðîâåðüòå, òî γ 5 iγ 0 γ γ γ 3 i 4! εµνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ, è ε 03 ε 03. Ðåøåíèå: Òàê êàê γ µ γ ν g µν γ ν γ ν, è g µν ñèììåòðè íûé òåíçîð, è ïðè ñâåðòêå ñ ε µνρσ îí ðàâåí íóëþ, òî ïðè ñâåðòêå ñ ε µνρσ ìîæíî ñ èòàòü, òî γ µ γ ν γ ν γ µ. Òîãäà γ µ γ ν γ ρ γ σ ε µνρσ γ 0 γ γ γ 3. Òàêèì îáðàçîì ïîëó àåì i 4! εµνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ i 4! εµνρσ ε µνρσ γ 0 γ γ γ 3 iγ 0 γ γ γ 3, 0.3 ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, òî ε µνρσ ε µνρσ 4!. 0. Ïðîâåðüòå, òî γ µνρ iε µνρσ γ σ γ 5, ãäå γ µνρ γ [µ γ ν γ ρ] 3! γµ γ ν γ ρ γ ν γ µ γ ρ γ µ γ ρ γ ν +γ ν γ ρ γ µ + γ ρ γ µ γ ν γ ρ γ ν γ µ. Ðåøåíèå: Î åâèäíî, òî åñëè äâà êàêèõ-ëèáî èíäåêñà ñîâïàäàþò, òî γ µνρ 0. Ðàññìîòðèì ñëó àé, êîãäà âñå èíäåêñû µ, ν, ρ ðàçíûå. Òîãäà ãàììà-ìàòðèöû àíòèêîììóòèðóþò ìåæäó ñîáîé, îòêóäà γ µνρ γ µ γ ν γ ρ. Äàëåå ïóñòü σ åñòü èíäåêñ, êîòîðûé íå ðàâåí èíäåêñàì µ, ν, ρ íàïðèìåð µ, ν 3, ρ 0, òîãäà σ, òîãäà ìû ìîæåì çàïèñàòü, èñïîëüçóÿ, òî γ σ γ σ çäåñü íåò ñóììèðîâàíèÿ ïî èíäåêñó σ γ µνρ γ µ γ ν γ ρ γ σ γ σ γ σ γ µ γ ν γ ρ γ σ iε µνρσ γ σ iγ 0 γ γ 3 γ 4 iε µνρσ γ σ γ 5, 0.33 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî γ µ γ ν γ ρ γ σ ε µνρσ γ 0 γ γ 3 γ 4, òàê êàê âñå èíäåêñû ðàçíûå.. Ïðîâåðüòå, òî γ 5 γ 5, γ 5, {γ 5, γ µ } 0. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ, òî γ 0 γ 0, γ i γ i, i,, 3, èìååì: Òàêæå È â èòîãå γ 5 iγ 0 γ γ γ 3 iγ 3 γ γ γ 0 iγ 3 γ γ γ 0 iγ 0 γ γ γ 3 γ γ 5 iγ 0 γ γ γ 3 iγ 0 γ γ γ 3 γ γ γ 3 γ γ γ 3 γ γ 3 γ γ 3 γ 3 γ {γ 5, γ µ } iγ 0 γ γ γ 3 γ µ + iγ µ γ 0 γ γ γ 3 iγ µ γ 0 γ γ γ 3 + iγ µ γ 0 γ γ γ 3 0, 0.36 òàê êàê ïðè ïåðåíîñå γ µ åðåç ïðîèçâåäåíèå γ 0 γ γ γ 3, îíà àíòèêîììóòèðóåò ñ òðåìÿ ãàììà-ìàòðèöàìè è êîììóòèðóåò ñ ñîáîé, îòêóäà è ïîÿâëÿåòñÿ çíàê ìèíóñ.. Ïîêàæèòå, òî µ j µ 0, µ j µ5 im ψγ 5 ψ, ãäå j µ x ψxγ µ ψx, ó èòûâàÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Ðåøåíèå: Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ åñòü j µ5 x ψxγ µ γ 5 ψx, iγ µ µ mψ 0, i µ ψγ µ + m ψ 0, 0.37 äàëåå ïîëó àåì µ j µ µ ψxγ µ ψx µ ψxγ µ ψx + ψxγ µ µ ψx im ψxψx m ψxψx 0,
8 àíàëîãè íî èìååì µ j µ5 µ ψγ µ γ 5 ψ µ ψγ µ γ 5 ψ + ψγ µ γ 5 µ ψ im ψγ 5 ψ + im ψγ 5 ψ im ψγ 5 ψ, Ïîêàæèòå, òî j µ x è j µ5 x ÿâëÿþòñÿ íåòåðîâñêèìè òîêàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðåîáðàçîâàíèÿì ψx e iα ψx è ψx e iαγ5 ψx. L ψiγ µ µ mψ è ψ + iαψ, îòêóäà δψ iψ, è ïîëó èì äàëåå ψ + iαγ 5 ψ, îòêóäà δψ iγ 5 ψ è ïîëó èì j µ L µ ψ δψ ψγ µ ψ, 0.40 j µ5 L µ ψ δψ ψγ µ γ 5 ψ, Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî Ôèðöà σ µ αβ σ µ γδ ε αγ ε βδ, ïîêàæèòå, òî ū R σ µ u R ū 3R σ µ u 4R ū R σ µ u 4R ū 3R σ µ u R. ū L σ µ σ ν σ λ u L ū 3L σ µ σ ν σ λ u 4L 6ū L σ µ u L ū 3L σ µ u 4L. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóåì, òî σ µ αβ σ µ γδ ε αγ ε βδ ε αγ ε δβ σ µ αδ σ µ γβ, îòêóäà ū R σ µ u R ū 3R σ µ u 4R ū Rα u Rβ ū 3Rγ u 4Rδ σ µ αβ σ µ γδ ū Rα u Rβ ū 3Rγ u 4Rδ σ µ αδ σ µ γβ ū R σ µ u 4R ū 3R σ µ u R. 0.4 Äàëåå èìååì ū L σ µ σ ν σ λ u L ū 3L σ µ σ ν σ λ u 4L ɛ αγ ū Lα ū 3Lγ ɛ βδ σ ν σ λ u L β σ ν σ λ u 4L δ Òåïåðü ðàññìîòðèì îòäåëüíî ɛ βδ σ ν σ λ u L β σ ν σ λ u 4L δ ɛ βδ σ ν βρ σ λ ρσ u Lσ σ ν σ λ u 4L δ ɛ δβ σ ν βρ σ λ ρσ u Lσ σ ν σ λ u 4L δ σ ν βδ ɛ βρ σ λ ρσ u Lσ σ ν σ λ u 4L δ σ ν βδ σ λ ρβ ɛ ρσ u Lσ σ ν σ λ u 4L δ ɛ ρσ u Lσ σ λ ρβ σ ν βδ σ ν σ λ u 4L δ ɛ σρ u Lσ σ λ σ ν σ ν σ λ u 4L ρ 4 ɛ σρ u Lσ u 4Lρ, 0.44 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî ɛ αβ σ µ βγ σ µ βα ɛ βγ è σ µ σ µ σ µ σ µ 4. Òåïåðü ïîëó àåì ū L σ µ σ ν σ λ u L ū 3L σ µ σ ν σ λ u 4L ɛ αγ ū Lα ū 3Lγ ɛ βδ σ ν σ λ u L β σ ν σ λ u 4L δ 4 ɛ αγ ū Lα ū 3Lγ ɛ σρ u Lσ u 4Lρ 6ū Lα ū 3Lγ u Lσ u 4Lρ σ µ ασ σ µ γρ 6ū L σ µ u L ū 3L σ µ u 4L,
9 3.5 Êâàíòîâàíèå Äèðàêîâñêîãî ïîëÿ. 5. Ïîêàæèòå, òî ïëîòíîñòü Äèðàêîâñêîãî ãàìèëüòîíèàíà äàåòñÿ âûðàæåíèåì H ψ iγ + mψ. Ðåøåíèå: Äëÿ êàíîíè åñêîãî ìîìåíòà p èìååì Äàëåå äëÿ Ãàìèëüòîíîâîé ïëîòíîñòè ïîëó àåì p L 0 ψ ψiγ 0 iψ γ 0 γ 0 iψ H p 0 ψ L i ψγ 0 0 ψ ψiγ iγ i i mψ ψ iγ + mψ, Ïîêàæèòå, òî äëÿ äàííîãî "íåïðàâèëüíîãî"äèðàêîâñêîãî ïîëÿ ψx e ipx π pu p + b pv p 3 Ep, âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ [ψx, ψ y] δ 3 x y 4 4. Èñïîëüçóéòå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ [ p, q ] [b p, b q ] π 3 δ 3 p qδ. d [ψx, ψ 3 pd 3 q y] e ip x q y [ π 6 p, q ]u pū q + [b p, b q]v p v q γ 0 Ep E q, e ip x y[ γ 0 E π 3 p γ p + m + γ 0 E p + γ p m ] γ 0 E p δ 3 x y 4 4, 7. Ïîêàæèòå, òî äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè èç ïóíêòà 6, ãàìèëüòîíèàí äàåòñÿ âûðàæåíèåì H π 3 Ep E p p p b b p p. H 0.48 d 3 x ψ iγ + mψ, 0.49 ãäå ψx ψy ψ yγ 0 e ipx π 3 Ep d 3 q e iqy π 3 Eq,, pu p + b pv p, ū q + b q q v q
10 Äàëåå ïîëó àåì H d 3 x ψ iγ + mψ d 3 q π 6 Ep E q π 3 δp q π 3 E p,, ū q + b q q v q γ p + m pu p + b pv p ū p + b p p v p γ p + m pu p + b pv p, 0.5 äàëåå èñïîëüçóåì èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, òî γ p + mu p γ 0 E p u p è γ p + mv p γ 0 E p v p ïîëó èì H π 3, u p + b p pv p pu p b pv p, 0.5 òåïåðü èñïîëüçóåì, òî u pv p v pu p 0 è ïîëó èì H π 3, p pu pu p b pb pv pv p, 0.53 äàëåå èñïîëüçóÿ, òî u pu p v pv p E p δ, â èòîãå íàõîäèì H π 3 Ep E p p p b b p p, Ïîêàæèòå, òî [ψ x, ψ b y] i x +m b [φx, φy], ãäå φx, φy ïîëÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà, à ψ è ψ b ïîëÿ èç ïóíêòà 6 â Ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè. ψx ψx òîãäà ïîëó èì [ψ x, ψ b y] π 3 Ep, π 3 Ep π 3 E p,, p u pe ip x + b pv pe ip x, p ū pe ip x + b p v pe ip x, 0.55 u pū bpe ip x y + v p v bpe ip x y π 3 E p p + mb e ip x y + p m b e ip x y i x + m b e ip x y e ip x y π 3 E p i x + m b [φx, φy],
11 9. Ïîêàæèòå, òî äëÿ "ïðàâèëüíî"êâàíòîâàííîãî Äèðàêîâñêîãî ïîëÿ ψx π pu pe ip x + b v pe ip x ; 3 p Ep ψx π 3 ãàìèëüòîíèàí äàåòñÿ âûðàæåíèåì H Ep π 3 b p v pe ip x + p ū pe ip x, Ep p p + E p b p b p, ãäå îïåðàòîðû àíòèêîììóòèðóþò êàê { p, q } {b p, b q } π 3 δ 3 p qδ. H d 3 x ψ iγ + mψ, 0.57 äàëåå ïîëó àåì H d 3 x ψ iγ + mψ d 3 q π 6 Ep E q π 3 δp q π 3 E p,, ū q + b q q v q γ p + m pu p + b pv p ū p + b p p v p γ p + m pu p + b pv p, 0.58 äàëåå èñïîëüçóåì èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, òî γ p + mu p γ 0 E p u p è γ p + mv p γ 0 E p v p ïîëó èì H π 3, u p + b p pv p pu p b pv p, 0.59 òåïåðü èñïîëüçóåì, òî u pv p v pu p 0 è ïîëó èì H π 3, p pu pu p b pb pv pv p, 0.60 äàëåå èñïîëüçóÿ, òî u pu p v pv p E p δ, â èòîãå íàõîäèì H π 3 Ep E p p p b pb p π 3 Ep p p + E p b p b p + áåñêîíå íàÿ êîíñòàíòà, 0.6
12 30. Ïîêàæèòå, òî óíèòàðíûé îïåðàòîð UΛ, ïðåîáðàçóåò p ïî ïðàâèëó UΛ pu Λ EΛp E p Λp. äëÿ îäíî àñòè íîãî ñîñòîÿíèÿ p, E p p 0 : îòêóäà ïîëó àåì UΛ p, Λp, E Λp Λp 0, 0.6 UΛ p, E p UΛ p 0 E p UΛ p U ΛUΛ 0 E Λp Λp 0, 0.63 ó èòûâàÿ, òî UΛ 0 0, ïîëó àåì, òî Ep UΛ p U Λ E Λp Λp, 0.64 îòêóäà íàõîäèì UΛ p U EΛp Λ E p Λp. 3. Ðàññìàòðèâàÿ ìàëåíüêèé ïîâîðîò âîêðóã îñè z, ïîêàæèòå, òî Λ i ω µνs µν i θσ3. Ðåøåíèå: Ïðè ïîâîðîòå âîêðóã îñè z, ω ω θ, îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ω µν ðàâíû íóëþ. Òàêæå S ij εijk Σ k, ñëåäîâàòåëüíî Λ i ω µνs µν i ω S + ω S i θ Σ3 θ Σ3 i θσ3, *. Îïåðàòîð óãëîâîãî ìîìåíòà äëÿ ïîëÿ Äèðàêà ðàâåí J d 3 xψ ix + Σψ. Óïðîñòèòå îòäåëüíî âûðàæåíèå äëÿ ñïèíîâîé i êîìïîíåíòû J i pin d 3 xψ Σi ψ îïåðàòîðà óãëîâîãî ìîìåíòà è çàòåì äëÿ îðáèòàëüíîé J i obit d 3 xψ ix i ψ. Ïîêàæèòå, òî îïåðàòîð J J obit + J pin óíè òîæàåò âàêóóì, òî åñòü J 0 0. Ïîêàæèòå, òî J 0 0 ξ σ ξ 0 0. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóåì, òî ψx π 3 e ipx Ep, p u p + b pv p, ψ e ipx x π 3 p u p + b pv p, 0.66 Ep, p σξ à òàêæå, òî u p ση p p σξ è v p, è p ση u pv p v pu p 0, è p p 3 p σ p σ m, è p σ p p p ip p p + ip p +p g 3 µν p µ σ µ p σ, p, p, p p ãäå p 0 + p + p 0 p, p 0 + p p 0 p îòìåòèì, òî, ñêàëÿðû, à íå âåêòîðû!. Ñïèíîâàÿ àñòü: Äëÿ ñïèíîâîé àñòè èìååì J i pin d 3 x d3 pd 3 q e ixq p π 6 Ep E q,, d 3 x d3 pd 3 q e ixq p π 6 Ep E q,, q u q + b qv q Σ i pu p + b pv p u q Σi u p q p + u q Σi v p q b p+ + v q Σi u pb q p + v q Σi v pb qb p. 0.67
13 Äàëåå èñïîëüçóÿ, òî d 3 xe ixq p π 3 δq p, ïîëó èì J i pin d 3 q π 3 δ 3 p q π 3 E p Ep E q,,,, u q Σi u p q p + u q Σi v p q b p+ + v q Σi u pb q p + v q Σi v pb qb u p Σi u p p p + u p Σi v p p b p+ p + v p Σi u pb p p + v p Σi v pb pb p Òåïåðü âû èñëÿåì èñïîëüçóåì, òî σ i σ j δ ij + iε ijk σ k è [σ i, σ j ] iε ijk σ k è p, ε 3 : u p Σi v p ξ p σ ξ p σ σ i 0 p ση 0 σ i p ση v p Σi u p Äàëåå èìååì ξ p σσ i p σ p σσ i p ση ξ σ0 σ p p σi σ0 + σ p p σ0 + σ p p σi σ0 σ p p η ξ 4 p [σi, σp]η ξ iɛ ijk σ k p j η iξ p σ i η, η p σ ξ p σ σ i 0 0 σ i p σξ p σξ η p σσ i p σ p σσ i p σξ iη p σ i ξ u p Σi u p ξ p σ ξ p σ σ i 0 0 σ i v p Σi v p ξ p σσ i p σ + p σσ i p σξ p σξ p σξ ξ σ0 σ p p σi σ0 σ p p + σ0 + σ p p σi σ0 + σ p p ξ ξ σi + p σpσi σpξ ξ mσ i + E p m σp p pi ξ, η p σ η p σ σ i 0 0 σ i p ση p ση η p σσ i p σ + p σσ i p ση η mσ i + E p m σp p pi η, 0.70 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî E p + m è E p m, à òàêæå σpσ i σp σ j σ i σ k p j p k δ ji + iε jil σ l σ k p j p k p i σp + iε jil σ l σ k p j p k p i σp + iε jil δ lk + iε lkm σ m p j p k p i σp + iε jil p j p l ε jil ε lkm σ m p j p k p i σp δ jk δ im δ jm δ ik σ m p j p k p i σp p σ i
14 Â èòîãå ïîëó àåì J i pin π 3 E p,, ξ mσ i + E p m σp p pi ξ p p + iξ p σ i η p b p iη p σ i ξ b p p + η mσ i + E p m σp p pi η b pb p. 0.7 Îðáèòàëüíàÿ àñòü: Äëÿ îðáèòàëüíîé êîìïîíåíòû èìååì J i obit d 3 xψ x ix i ψx d 3 x d3 q e ixq π 6 q u q + b qv q iε ijk x j Ep E q x eipx pu p + b pv p k,, d 3 q π 6 d3 x εijk x j e ixp q q u q + b qv q p k pu p + b pv p Ep E q d 3 q π 6 i,, iπ 3 ijk δ3p q ε p j Ep E q d 3 q π 3 Eq,,,, q u q + b qv q p k pu p + b pv p q u q + b qv q ε ijk q k q j q u q + b qv q, Eq 0.73 äàëåå ìû èñïîëüçóåì, òî ε ijk q k ε ijk δ jk 0 è òàêæå ε ijk q k f q ε ijk q k qj f q 0, q j q j q ãäå f ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Îòñþäà â àñòíîñòè ñëåäóåò, òî ε ijk q k 0, òàê êàê q j E q m + q. Â èòîãå ìû ïîëó àåì çàìåíÿÿ q íà p J i obit i π 3 p u p + b E pv p ε ijk p j p p k p u p + b pv p, 0.74,, äàëåå èñïîëüçóÿ, òî u pu p v pv p E p δ, è u pv p v pu p 0, ïîëó àåì J i obit i ε ijk π 3 p p j p p + k b pp j b p p k, i ε ijk u pp j u p π 3 E p p k p p + u pp j v p p k p b p+,, Èñïîëüçóÿ, òî ε ijk p j ε ijk p j p k p0 p, ïîëó èì Eq + v pp j u p b p p k p + v pp j v p b p pb p k p k p 0, ãäå p 0 + p + p 0 p, p 0 + p ε ijk p j p σ ε ijk p j p k p k σ0 p pl σ l p εijk p j σ k p p σi, ε ijk p j p σ p k p εijk p j σ k p p σi,
15 îòêóäà íàõîäèì u pε ijk p j v p ξ p σε ijk p j p σ p σε ijk p j p ση p k p k p k ξ p εijk p j σ k η ξ ε ijk p j σ k η ξ p σ i η, v pε ijk p j u p η p σε ijk p j p σ p σε ijk p j p σξ p k p k p k η p εijk p j σ k ξ η ε ijk p j σ k ξ η p σ i ξ Äàëåå íàõîäèì u pε ijk p j u p ξ p σε ijk p j p σ + p σε ijk p j p k p k p σξ p k ξ p σpp σi ξ iξ E p mσ i E p m σp p pi ξ, v pε ijk p j v p η p σε ijk p j p σ + p σε ijk p j p k p k p ση p k η p σpp σi η iη E p mσ i E p m σp p pi η, 0.78 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî E p m, à òàêæå Â èòîãå ïîëó àåì J i obit i + σpp σ i ε ijk σ l σ k p l p j ε ijk δ lk + iε lkm σ m p l p j iε ijk ε mlk σ m p l p j π 3, π 3 E p iδ im δ jl δ il δ jm σ m p l p j i p σ i p i σp ε ijk p p j p,, Â èòîãå íàõîäè äëÿ J i : J i J i pin + J i obit i p + k b pp j b p p + k ξ E p mσ i E p m σp p pi ξ p p iξ p σ i η p b p+ + iη p σ i ξ b p p + η E p mσ i E p m σp p pi η b pb p. + π 3 π 3,,, ε ijk p p j p p + k b pp j b p p + k 0.80 ξ σi ξ p σi p + η η b pb p. 0.8 Àíòèêîììóòèðóÿ b pb p è âûêèäûâàÿ áåñêîíå íûå êîíñòàíòû, à òàêæå çàìåíÿÿ â äàííûõ ëåíàõ p p, ïîëó àåì J i i π 3, ε ijk p p j p p + k b p p j b p p + k 5 π 3,, ξ σi ξ p σi p η η b p bp. 0.8
16 Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê J π 3 p ξ σ iδ p p ξ p b p η σ + iδ p p η b p. 0.83,, Äàëåå, î åâèäíî, òî J 0 0. Òåïåðü, òàê êàê J 0 0, èìååì J 0 0 [J, êîììóòàòîð [ p p, 0 ] π 3 δ 3 p íàõîäèì, òî J 0 0 ξ σ ξ 0 ] 0. Âû èñëÿÿ 0 δ, ìû âèäèì, òî äîëæíû âçÿòü âñå â òî êå p 0, îòêóäà Ïîêàæèòå, òî çàïàçäûâàþùàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà äëÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà åñòü SR b x y i x +m b D R x y, ãäå D R x y çàïàçäûâàþùàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà. Ðåøåíèå: Ñ îäíîé ñòîðîíû ìû èìååì S b R x y θx 0 y 0 0 {ψ x, ψ b y} 0, 0.84 c äðóãîé ñòîðîíû ìîæíî âû èñëèòü 0 ψ x ψ b y 0 u π 3 E pū bpe ip x y i x + m b p, 0 ψ b yψ x 0 v π 3 E p v bpe ip y x i x + m b p îòêóäà 0 {ψ x, ψ b y} 0 i x + m b  èòîãå ïîëó àåì, π 3 E p e ip x y, π 3 E p e ip y x, 0.85 e ip x y e ip y x i π 3 x + m b 0 [φx, φy] 0. E p 0.86 S b R x y θx 0 y 0 0 {ψ x, ψ b y} 0 i x + m b θx 0 y 0 0 [φx, φy] 0 i x + m b D R x y, Ïîêàæèòå, òî. γ µ µ γ ν ν γ µ γ ν µ ν γµ γ ν + γ ν γ µ µ ν g µν µ ν, Äèñêðåòíûå ñèììåòðèè â òåîðèè Äèðàêà. 35. Ïðîâåðüòå, òî âñå âåëè èíû: ψψ, ψγ µ ψ, i ψ[γ µ, γ ν ]ψ, ψγ µ γ 5 ψ, i ψγ 5 ψ ÿâëÿþòñÿ ýðìèòîâûìè. 6
17 Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ òî, òî γ 0 γ 0, γ 5 γ 5, γ i γ i, i,, 3, à òàêæå, òî {γ 5, γ µ } 0, {γ µ, γ ν } g µν èìååì: ψψ ψ γ 0 ψ ψ γ 0 ψ ψ γ 0 ψ ψψ, ψγ µ ψ ψ γ 0 γ µ ψ ψ γ µ γ 0 ψ ψ γ 0 γ µ ψ ψγ µ ψ, i ψ[γ µ, γ ν ]ψ iψ γ 0 [γ µ, γ ν ]ψ iψ γ ν γ µ γ µ γ ν γ 0 ψ i ψ[γ µ, γ ν ]ψ, ψγ µ γ 5 ψ ψ γ 5 γ µ γ 0 ψ ψ γ 5 γ 0 γ µ ψ ψγ µ γ 5 ψ, i ψγ 5 ψ iψ γ 5 γ 0 ψ iψ γ 5 γ 0 ψ i ψγ 5 ψ, 0.89 òî è òðåáîâàëîñü ïðîâåðèòü. 36. Ïîêàæèòå, òî γ 0 γ µ γ 0 { +γ µ, µ 0, γ µ, µ,, 3. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ òî, òî γ 0, à òàêæå {γ 0, γ i } 0, i,, 3, ïîëó àåì γ 0 γ 0 γ 0 γ 0, γ 0 γ i γ 0 γ i γ 0 γ 0 γ i, Ïðîâåðüòå, òî T ψγ µ ψt { + ψγ µ ψ t, x, µ 0 ψγ µ ψ t, x, µ,, 3. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ, òî T c èñëî c èñëî T, è òàêæå T ψt, xt γ γ 3 ψ t, x, ïîëó èì T ψγ µ ψt T ψt γ µ T ψt ψ t, x[γ γ 3 ] γ 0 γ µ γ γ 3 ψ t, x ψ t, x γ γ 3 γ µ γ γ 3 ψ t, x. 0.9 Òåïåðü èñïîëüçóÿ, òî γ 0 γ 0, γ γ, γ 3 γ 3 è γ γ, {γ µ, γ ν } g µν, ïîëó èì òî è òðåáîâàëîñü ïðîâåðèòü. T ψγ 0 ψt ψ t, x γ γ 3 γ 0 γ γ 3 ψ t, x ψγ 0 ψ t, x, T ψγ ψt ψ t, x γ γ 3 γ γ γ 3 ψ t, x ψγ ψ t, x, T ψγ ψt ψ t, x γ γ 3 γ γ γ 3 ψ t, x ψγ ψ t, x, T ψγ 3 ψt ψ t, x γ γ 3 γ 3 γ γ 3 ψ t, x ψγ 3 ψ t, x, Íàéäèòå åìó ðàâíî ïðåîáðàçîâàíèå çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ äëÿ áèëëèíåéíûõ ôîðì: C ψψc, C ψγ µ ψc, Ci ψ[γ µ, γ ν ]ψc, C ψγ µ γ 5 ψc, Ci ψγ 5 ψc. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ, òî CψxC i ψγ 0 γ T, è òàêæå C ψc iγ 0 γ ψ T èìååì: C ψψc iγ 0 γ ψ T i ψγ 0 γ T γ 0 bγ bcψ c ψd γ 0 deγ e ψ d γ 0 deγ eγ 0 bγ bcψ c ψγ γ 0 γ 0 γ ψ ψψ, Ci ψγ 5 ψc i iγ 0 γ ψ T γ 5 i ψγ 0 γ T i ψγ 5 ψ, 0.93 àíàëîãè íî ìîæíî ïðîâåðèòü äëÿ îñòàëüíûõ âûðàæåíèé. 7
Η Ομάδα SL(2,C) και οι αναπαραστάσεις της
SL(2, C) SO(3, 1) D : Λ D(Λ) SO(3, 1) 2 1 D : ±A D(π(±A)) SL(2, C) SL(2, C) SO(3, 1) SL(2, C) SO(3, 1) ξ i (, ) K i x µ p µ J µν T µν A µ ψ α J i = J i, () K i = K i, ( ) K i M 0i = (iξ i K i ) A i = 1
Διαβάστε περισσότεραHomework 4 Solutions Weyl or Chiral representation for γ-matrices. Phys624 Dirac Equation Homework 4
Homework 4 Solutions 4.1 - Weyl or Chiral representation for γ-matrices 4.1.1: Anti-commutation relations We can write out the γ µ matrices as where ( ) 0 σ γ µ µ = σ µ 0 σ µ = (1, σ), σ µ = (1 2, σ) The
Διαβάστε περισσότεραP621 - HW 4. Scott Dietrick November 17, b = i 4 (σµ σ ν σ ν σ µ ) a b. L ) b. 1 2 ǫijk σ k and (S k0. = i 4 (σ ki + Iσ k ) = i 2 σ k
P6 - HW 4 Scott Dietrick November 7, 9-35. - Show tht S ν implies S i L S i L b i 4 σi σ σ σ i b b L ǫik σ k nd S k b i 4 σ σ ν σ ν σ b L b iσ k. SL k b i 4 σk σ σ σ k b i 4 σi ċ σċb σ ċ σiċb i 4 σ iσ
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2003.. 34.. 3 Š 539.12.01 ˆŸ Š Š ˆ ŒˆŠˆ ˆ.. µ²ê µ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ²µ ÊÎ µ µ ±Éµ 738 ˆ 740 ˆŸ Œ Š Ÿ Š - ˆ Š Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ 742 Š Ÿ Š ˆ ŒˆŠ Š ˆ Š ˆ - ˆŸ ( Œ ˆ Š ˆ Š ) 748 Š ˆ ŒˆŠ Ÿ Š Ÿ
Διαβάστε περισσότεραE + m. m + E 2m (σ p)/(2m) v. i( p) x = v(p, 97/389
97/389 Χρησιμοποιώντας τον ίδιο νορμαλισμό N = E + m έχουμε vp, s = σ p E + m E +m χs χ s, s =, 2 και ψ = vp, se i p x = vp, se ip x με p = E, p. Η επιλογή είναι χ = και χ 2 = γιατί η απουσία ενός άνω
Διαβάστε περισσότεραDéformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότεραu = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0
u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ
Διαβάστε περισσότεραŠ ˆ Š ˆ ˆ ˆ ƒ ˆ Œ.. μ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 017.. 48.... 145Ä193 Š ˆ Š ˆ ˆ ˆ ƒ ˆ Œ.. μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μë ± Ê É É, μë Ö ˆ 145 ˆ Ÿ Œ œ Œ ˆ - ˆ ˆ 148 Œ ˆŸ 154 Œ Œ Ÿ ( Š ˆ œ -) Š Œ 160 ˆ Œˆ Šˆ Œ ˆ ˆ ƒ ˆ 184 Š ˆ 189 ˆ Š ˆ 190
Διαβάστε περισσότεραPhysics 513, Quantum Field Theory Examination 1
Physics 513, Quantum Field Theory Examination 1 Due Tuesday, 28 th October 2003 Jacob Lewis Bourjaily University of Michigan, Department of Physics, Ann Arbor, MI 48109-1120 1 2 JACOB LEWIS BOURJAILY 1.
Διαβάστε περισσότεραV fn V ni 2πδ(E f E i )
Ο διαδότης Εχουμε δεί ήδη ότι στα διαγράμματα Feynman η γραμμή του εικονικού φωτονίου αντιστοιχεί στο όρο 1/q 2 με q η ορμή του εικονικού φωτονίου (q 2 0). Αν το εικονικό σωματίδιο έχει μάζα ο διαδότης
Διαβάστε περισσότεραT fi = 2πiδ(E f E i ) [< f V i > + 1 E i E n. < f V n > E i H 0 164/389
164/389 Ο διαδότης του ηλεκτρονίου Από την μη σχετικιστική θεωρία είχαμε δει T fi = 2πiδ(E f E i ) < f V i > + < f V n > n i 1 < n V i > +... E i E n όπου H 0 n >= E n n >. Φορμαλιστικά μπορούμε να γράψουμε
Διαβάστε περισσότεραΠ Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Διαβάστε περισσότεραÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÍÝØÀ È ØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ  ÇÀÄÀ ÀÕ ÖÅÍÎÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÕÀÁÎÂ
À.Â. Ïëÿñóíîâ Ðàâíîâåñèÿ Íýøà è Øòàêåëüáåðãà Ñâåòëîãîðñê 2015 1 / 12 ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÍÝØÀ È ØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ Â ÇÀÄÀ ÀÕ ÖÅÍÎÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÕÀÁÎÂ Þ.À. Êî åòîâ, À.Â. Ïëÿñóíîâ, Ä.Ä. âîêè Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè
Διαβάστε περισσότεραCLASSES OF FINITE ORDER FORMAL SOLUTIONS OF AN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION
64 È. Â. ÃÎÐÞ ÊÈÍÀ ÅÁÛØÅÂÑÊÈÉ ÑÁÎÐÍÈÊ Òîì 17 Âûïóñê 2 ÓÄÊ 517.9 ÊËÀÑÑÛ ÔÎÐÌÀËÜÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÊÎÍÅ ÍÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÎÃÎ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß È. Â. Ãîðþ êèíà (ã. Ìîñêâà) Àííîòàöèÿ  ýòîé ðàáîòå
Διαβάστε περισσότερα! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä ƒ ² ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ô É Î ± Ì Ö ÒÌ ² μ Å μ Ò Í μ ²Ó μ ± ³ ʱ ²μ Ê, Œ ±
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 017.. 48.. 6.. 934Ä940 ˆ Š Ÿ Š ˆ ˆ ˆ ˆ ƒ Ÿ.. ƒ ² ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ô É Î ± Ì Ö ÒÌ ² μ Å μ Ò Í μ ²Ó μ ± ³ ʱ ²μ Ê, Œ ± μ μ Ò ÕÉ Ö μ ³μ μ ÉÓ ±ÉÊ ²Ó μ ÉÓ É μ É ²Ó É É μ μ É ±- Éμ Ö μ³ ²μ Ê ±μ.
Διαβάστε περισσότεραf H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)
Διαβάστε περισσότεραTrace evaluation of matrix determinants and inversion of 4 4 matrices in terms of Dirac covariants
Trace evaluation of matrix determinants and inversion of 4 4 matrices in terms of Dirac covariants F. Kleefeld and M. Dillig Institute for Theoretical Physics III, University of Erlangen Nürnberg, Staudtstr.
Διαβάστε περισσότεραdx dt = f(t,x), t [0,T], (1) g ( x(0),x(t) ) = T, (2)
ISSN 16820525 Ì À Ò Å Ì À Ò È Ê À Ë Û Æ Ó Ð Í À Ë Ì À Ò Å Ì À Ò È Å Ñ Ê È É Æ Ó Ð Í À Ë M A T H E M A T I C A L J O U R N A L 2010 òîì 10 1 35 Èçäàåòñÿ ñ 2001 ãîäà Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÌÎ è Í ÐÊ Àëìàòû
Διαβάστε περισσότεραSection 9: Quantum Electrodynamics
Physics 8.33 Section 9: Quantum Electrodynamics May c W. Taylor 8.33 Section 9: QED / 6 9. Feynman rules for QED Field content: A µ(x) gauge field, ψ(x) Dirac spinor Action Z» S = d x ψ(iγ µ D µ m)ψ Z
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ. BOLZANO - Θ. ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ. , ώστε η συνάρτηση. æ η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Mç
Να βρεθούν τα α και β Î R, ώστε η συνάρτηση ì 4 ημ - + = í - î α + β < ³ να είναι συνεχής και æ η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Mç è,- ö ø Να βρείτε τα α, β, γ Î R, ώστε να είναι συνεχής
Διαβάστε περισσότεραLectures on Quantum sine-gordon Models
Lectures on Quantum sine-gordon Models Juan Mateos Guilarte 1,2 1 Departamento de Física Fundamental (Universidad de Salamanca) 2 IUFFyM (Universidad de Salamanca) Universidade Federal de Matto Grosso
Διαβάστε περισσότεραφ(t) TE 0 φ(z) φ(z) φ(z) φ(z) η(λ) G(z,λ) λ φ(z) η(λ) η(λ) = t CIGS 0 G(z,λ)φ(z)dz t CIGS η(λ) φ(z) 0 z
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê
Ó³ Ÿ. 006.. 3, º 1(130).. 7Ä16 Š 530.145 ˆ ƒ ˆ ˆŒ ˆŸ Š ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É μ ² Ö Ó μ μ Ö μ μ²õ μ É μ ÌÉ ±ÊÎ É ² ³ É μ - Î ±μ μ ÊÌ ±μ Ëμ ³ μ- ±² μ ÒÌ ³μ ²ÖÌ Ê ±. ³ É ÔÉμ μ μ μ Ö, Ö ²ÖÖ Ó ±μ³
Διαβάστε περισσότεραNow, suppose the electron field Ψ(x) satisfies the covariant Dirac equation (i D m)ψ = 0.
PHY 396 K. Solutions for homework set #7. Problem 1a: γ α γ α 1 {γα, γ β }g αβ g αβ g αβ 4; S.1 γ α γ ν γ α γ α γ ν g να γ ν γ α γ α γ ν γ ν γ α γ α 4 γ ν ; S. γ α γ µ γ ν γ α γ α γ µ g µα γ µ γ α γ ν
Διαβάστε περισσότεραˆ CP-ˆ ˆ ˆ Œ. Œ Œ.. ̳ É Ö μ, Œ.. μ² μ μ²μ ³ ± μ Ê É Ò Ê É É, ³, μ Ö
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 006.. 37.. 5 Š 530. ˆ CP-ˆ ˆ ˆ Œ ˆƒƒ Š Œ Š Œ Œ.. ̳ É Ö μ, Œ.. μ² μ μ²μ ³ ± μ Ê É Ò Ê É É, ³, μ Ö Œ.. Ê ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± Œƒ ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± ˆ 85 ˆ CP-ˆ ˆ ˆ ˆŒ ˆ Š Š
Διαβάστε περισσότεραGapso t e q u t e n t a g ebra P open parenthesis N closing parenthesis fin i s a.. pheno mno nd iscovere \ centerline
G q v v G q v H 4 q 4 q v v ˆ ˆ H 4 ] 4 ˆ ] W q K j q G q K v v W v v H 4 z ] q 4 K ˆ 8 q ˆ j ˆ O C W K j ˆ [ K v ˆ [ [; 8 ] q ˆ K O C v ˆ ˆ z q [ R ; ˆ 8 ] R [ q v O C ˆ ˆ v - - ˆ - ˆ - v - q - - v -
Διαβάστε περισσότερα( ˆ Š ƒ ˆ ).. Ì Ó,. Œ. µ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2002.. 33.. 2 Š 530.145.61 Š Š ˆŸ, ˆ œ œ, ( ˆ Š ƒ ˆ ).. Ì Ó,. Œ. µ Ñ e Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ 348 Š ˆ ˆ ˆŸ ƒˆˆ 350 Š ˆ Œ ˆ 355 Œ Ì ³ µ µ µ Î µ É 356 ³ Ò ÊÌ, É Ì, Î ÉÒ Ì δ- Ó µ Ö³ ² µ Ò³
Διαβάστε περισσότεραβ α β α β α α α β α β α β α α γ α β α) β β β αβ α β β β α β α β μ μ μ μ μ μ μ α β α μ α β αβ α β α α β α α α α αβ α β α β α β α α β α α α α α α α α α α α α α α α α α β β γδ β αβ α α β β β β β β
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 7(170) Ä1091 ˆŒ ˆ. Œ. ˆ. Ò μí± 1. ˆ É ÉÊÉ É μ É Î ±μ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, Œμ ±
Ó³ Ÿ. 011.. 8, º 7(170.. 1038Ä1091 Š ˆˆ ˆˆ Š ˆŒ ˆ Œ. ˆ. Ò μí± 1 ˆ É ÉÊÉ É μ É Î ±μ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, Œμ ± Î ÉÒ Ì ² ±Í ÖÌ ² É Ö É μ Ö Ô² ±É μ ² ÒÌ ³μ É. Theory of electroweak interactions is given in 4 lectures.
Διαβάστε περισσότεραΑ Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 7(156).. 62Ä69. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. .. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ 2. μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ±
Ó³ Ÿ. 009.. 6, º 7(156.. 6Ä69 Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ ˆŒ ˆ - ˆ ƒ ˆ ˆ ˆŸ Š -Œ ˆ Šˆ ˆ.. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ± É ÉÓ μ Ò ÕÉ Ö ²μ Í Ò - μ Ò ² É Ö ³ ÖÉÓ Ì ÒÎ ² ÖÌ, μ²ó ÊÕÐ Ì ±μ ± 4- μ Ò. This paper
Διαβάστε περισσότεραˆŸ ˆ Œ ƒˆÿ Šˆ œ ˆ ˆ Œ ˆ ˆ Œ.. μ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2011.. 42.. 1 ˆŸ ˆ Œ ƒˆÿ Šˆ œ ˆ ˆ Œ ˆ ˆ Œ.. μ μë ± Ê É É, μë Ö Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 171 Š ˆ ˆŠ ˆŸ Œ ˆ ˆ ˆ ˆŒ ˆŸ ƒ 180 Š² Ë ± Í Ö Ô² ³ É ÒÌ Î É Í μ ³Ò É ² Ö Ê Ò μ Í 181 μ μ³ Í 183 Œ
Διαβάστε περισσότεραZ L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H
Διαβάστε περισσότεραo-r sub ff i-d m e s o o t h-e i-l mtsetisequa tob t-h-colon sub t e b x c u t-n n g dmenson.. ndp a
M M - - - - q -- x - K - W q - - x x - M q j x j x K W D M K q 6 W x x A j ˆ K ė j x ˆ D M [ 6 C ˆ j ˆ ˆ ˆ ˆ j M ˆ x ˆ A - D ˆ ˆ D M ˆ ˆ K x [ 6 ˆ C + M D ˆ ˆ + + D ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + x 9 M S C : 4 R 9
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Πρόλογος... 7 Περιεχόµενα... 9 Κεφάλαιο ο (του σχολικού βιβλίου) Μάθηµα 1 ο : Βασικά γεωµετρικά σχήµατα... 11 Μάθηµα ο : Γωνίες - κύκλος... 3 Κεφάλαιο 3 ο Μάθηµα 3
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ ˆ ˆ Š Œ Œ. ..Ko Ö±µ. µ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É ˆˆ, µ. ƒˆ Šˆ ˆ ˆˆ 919. Ÿ Œ œ Š 924. ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆˆ 930
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2001.. 32.. 4 Š 539.12.01 ˆ ˆ Š Œ Œ Œˆ Œ ˆ..Ko Ö±µ µ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É ˆˆ, µ ˆ 909 ƒˆ Šˆ ˆ ˆˆ 919 ˆ 922 Ÿ Œ œ Š 924 Š Œˆ Œ ˆ 928 ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆˆ 930 Šµ ˵ ³ Ö µ³ ² Ö 933 µ É ³µ ÉÓ 935
Διαβάστε περισσότερα108/389 Διγραμμικές αναλλοίωτες ποσότητες Είναι χρήσιμο να βρούμε όρους της μορφής ψγψ, όπου Γ γινόμενο γ πινάκων, με καθορισμένους κανόνες μετασχηματ
8/389 Διγραμμικές αναλλοίωτες ποσότητες Είναι χρήσιμο να βρούμε όρους της μορφής ψγψ, όπου Γ γινόμενο γ πινάκων, με καθορισμένους κανόνες μετασχηματισμού κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz ώστε να φτιάξουμε
Διαβάστε περισσότεραJ J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
Διαβάστε περισσότερα2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
Διαβάστε περισσότερα< = ) Τ 1 <Ο 6? <? Ν Α <? 6 ϑ<? ϑ = = Χ? 7 Π Ν Α = Ε = = = ;Χ? Ν !!! ) Τ 1. Ο = 6 Μ 6 < 6 Κ = Δ Χ ; ϑ = 6 = Σ Ν < Α <;< Δ Π 6 Χ6 Ο = ;= Χ Α
# & ( ) ) +,. /, 1 /. 23 / 4 (& 5 6 7 8 8 9, :;< = 6 > < 6? ;< Β Γ Η. Ι 8 &ϑ Ε ; < 1 Χ6 Β 3 / Κ ;Χ 6 = ; Λ 4 ϑ < 6 Χ ; < = = Χ = Μ < = Φ ; ϑ =
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ ˆ ˆ. Ô² ±É µ µ É µ, µ²ó ÊÖ µ ÊÕ µí Ê Ê ± ɵ Ö. ³Ò ² Ê ±
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 003.. 34.. 1 Š 539.165 ˆŒŒ ˆ Ÿ ˆŸ Š ˆ ˆ. Œ µ µ± µ ³µ µ ÉÓ µ É µ² ÊÕ Ëµ ³ ²Ó ÊÕ ³³ É Í Õ ± ɵ µ É µ Ô² ±É µ µ É µ, µ²ó ÊÖ µ ÊÕ µí Ê Ê ± ɵ Ö. ³Ò ² Ê ± ³ Ö É Ö, µ² É µ ̵ ³µ É µ µ ÉÓ µ µ
Διαβάστε περισσότεραŒ ˆ Œ Ÿ Œˆ Ÿ ˆŸŒˆ Œˆ Ÿ ˆ œ, Ä ÞŒ Å Š ˆ ˆ Œ Œ ˆˆ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 018.. 49.. 4.. 907Ä917 Œ ˆ Œ Ÿ Œˆ Ÿ ˆŸŒˆ Œˆ Ÿ ˆ œ, Ä ÞŒ Å Š ˆ ˆ Œ Œ ˆˆ.. ³μ, ˆ. ˆ. Ë μ μ,.. ³ ʲ μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å μ ± ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö μ ² Ìμ μé Ê Ö ±
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 19 ο, 25 Νοεµβρίου 2008 (9:00-11:00) & Συµπλήρωµα 7 εκεµβρίου 2010 (9:00-11:00).
Μάθηµα 9 ο, 5 Νοεµβρίου 008 (9:00-:00) & Συµπλήρωµα 7 εκεµβρίου 00 (9:00-:00). ΑΣΚΗΣΗ 9- Θεωρούµε φυσικά µεγέθη που περιγραφονται από τους τελεστές A, B, C και H (Χαµιλτονιανή). Γνωρίζουµε για τους τελεστές
Διαβάστε περισσότεραΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΑΡΑΚΑΤΣΑΝΗΣ
ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΑΡΑΚΑΤΣΑΝΗΣ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Τομέας Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων Θ 2017 ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Υποβλήθηκε στο Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä408 . Ì. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê. μ μ μ μ²ö ² μ ÉÓ 277 Šμ É Ö μ μ Ö μ μ μ μ²ö 278 μ Ô - ³ Ê²Ó μ μ μ μ²ö 283 ˆ ˆ ˆŸ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2018.. 49.. 2.. 270Ä408 ˆ œ ˆ ƒ Ÿ ˆ ƒ Œ ˆŸ - Œ ˆ. Ì Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 272 ˆ 277 μ μ μ μ²ö ² μ ÉÓ 277 Šμ É Ö μ μ Ö μ μ μ μ²ö 278 μ Ô - ³ Ê²Ó μ μ μ μ²ö 283 ˆ ˆ ˆŸ - Œ ˆ 289 μ μ μ²
Διαβάστε περισσότερα) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,
Διαβάστε περισσότεραThe form factor program - a review and new results - the nested SU(N)-off-shell Bethe ansatz - 1/N expansion
The form factor program - a review and new results - the nested SU(N-off-shell Bethe ansatz - 1/N expansion H. Babujian, A. Foerster, and M. Karowski Yerevan-Tbilisi, October 2007 Babujian, Foerster, Karowski
Διαβάστε περισσότεραΟΡΘΟΔΙΑΓΩΝΙΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Πτυχιακή Εργασία Μαρίας Γιαννακάκη ΟΡΘΟΔΙΑΓΩΝΙΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ J P S U V Q M N K R L ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2005 2006 Πτυχιακή Εργασία
Διαβάστε περισσότεραDirac Matrices and Lorentz Spinors
Dirac Matrices and Lorentz Spinors Background: In 3D, the spinor j = 1 representation of the Spin3) rotation group is constructed from the Pauli matrices σ x, σ y, and σ k, which obey both commutation
Διαβάστε περισσότερα(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n
Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 4(181).. 501Ä510
Ó³ Ÿ. 213.. 1, º 4(181.. 51Ä51 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ Š ˆ ƒ ˆ ˆŸ Ÿ ƒ Ÿ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ Š.. Œμ Éμ 1,.. Ê 2 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± ƒ ÒÎ ² É μ Ô - ³ Ê²Ó ²Ö ³ É ± Š. Ò Ï É Í μ Ò Ô Ö ³μ³
Διαβάστε περισσότεραNeutrino emissivities in quark matter
Neutrino emissivities in quark matter Jens Berdermann (University Rostock) David Blaschke (University Wrocław) WORKSHOP III OF THE VI,,DENSE HADRONIC MATTER & QCD PHASE TRANSITION 16.10.2006 Rathen Neutrino
Διαβάστε περισσότεραCompton The Quantum Electrodynamics (QED) Prediction for Compton Scattering γ + e γ + e
Η Κβαντοηλεκτροδυναμική Πρόβλεψη για την Σκέδαση Compton The Quantum Electrodynamics (QED) Prediction for Compton Scattering γ + e γ + e Διπλωματική Εργασία Ευάγγελος Νάστας Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος
Διαβάστε περισσότεραMath-Net.Ru Общероссийский математический портал
Math-NetRu Общероссийский математический портал А Л Багно, А М Тарасьев, Свойства функции цены в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом, Вестн Удмуртск ун-та Матем Мех Компьют науки,
Διαβάστε περισσότεραf O(U) (f n ) O(Ω) f f n ; L (K) 0(n )
30 11 http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2.html Ω C OΩ M Ω f M Ω Polf C PC RC 1 Ω C K C K Ω 1 K U Ω U f OU f n OΩ f f n ; L K 0n 2 K U Ω U f OU f n OΩ f f n ; L K 0n 3 z Ω \ K f OΩ f; L K < fz 4 K
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΠΗΓΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ
ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΖΩΡΤΖΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Επιβλέπων καθηγητής:αναγνωστοπουλοσ Κ. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ-ΣΕΜΦΕ 26 Σεπτεμβρίου 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ
Διαβάστε περισσότεραMath-Net.Ru Общероссийский математический портал
Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. И. Данилов, О спектре периодического магнитного оператора Дирака, Изв. ИМИ УдГУ, 06, выпуск 48, Использование Общероссийского математического портала
Διαβάστε περισσότεραη η η η GAR = 1 F RR η F RR F AR F AR F RR η F RR F AR µ µ µ µ µ µ Γ R N=mxn W T X x mean X W T x g W P x = W T (x g x mean ) X = X x mean P x = W T X d P x P i, i = 1, 2..., G M s t t
Διαβάστε περισσότερα8 ) / 9! # % & ( ) + )! # 2. / / # % 0 &. # 1& / %. 3 % +45 # % ) 6 + : 9 ;< = > +? = < + Α ; Γ Δ ΓΧ Η ; < Β Χ Δ Ε Φ 9 < Ε & : Γ Ι Ι & Χ : < Η Χ ϑ. Γ = Φ = ; Γ Ν Ι Μ Κ Λ Γ< Γ Χ Λ =
Διαβάστε περισσότεραm i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραŒˆŠ Š ˆ Š ˆ ˆ ˆ œ ƒ ƒˆƒ Š ƒ.. ˆÏÌ μ,.. ²
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2007.. 38.. 2 ŒˆŠ Š ˆ Š ˆ ˆ ˆ œ ƒ ƒˆƒ Š ƒ.. ˆÏÌ μ,.. ² ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²ÓÍÒ, Œƒ, Œμ ± μ ³Ê² Ê É Ö μ É Ö μ²ê³ ± μ ±μ Î ± Ö ³μ ²Ó, μ μ²öõð Ö ÊÎ ÉÓ ² Ö Ëμ - ³ Í μ ÒÌ,
Διαβάστε περισσότεραˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2009.. 40.. 6 ˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ ˆ Œ.. Ê μ, ƒ. ƒ. ³Ö,.. Éμ ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 1603 ˆ ˆ ˆŸ ˆ ˆ œ Š Œ ˆ Ÿ 1614 Î μ μ Ö É ²Ó μ μ μ É É±. 1614 μöé μ ÉÓ μ μ Ö
Διαβάστε περισσότερακ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω...
{ ( a -r ν ρ ι -Μ Π ώτ 1 Γ '- fj T O O J CL κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω < US η ixj* ί -CL* λ ^ t A u t\ * < τ : ; Γ ν c\ ) *) «*! «>» Μ I Λ 1,ν t f «****! ( y \ \, 0 0 # Περικλή_ Χαντζόπουλο κ α ι θ έ λ
Διαβάστε περισσότεραΒ Χ! Χ ( # %! Δ % ) %
! # % & ( ) #! % +,. /!, 0. 1 2 (( / 4 5 / 6 5 78 8 / #. 9. : ;. ( 1.< < =. 9 > :? 9 : Α Β Χ! Χ ( # %! Δ % ) % )! & %! Χ! Δ! Ε Χ % Ε &! Β & =! ) Χ Δ!! Δ ) % # # ( ) Δ Β Φ Α :? ) 9:? Γ Η Φ Α :? Ι 9: ϑ,.
Διαβάστε περισσότεραapj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 25ΜΑΙΟΥ 2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. α Σωστό (Σελ. 24 σχολικού βιβλίου) β Λάθος (Σελ. 33 σχολικού
Διαβάστε περισσότερα'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï , ,96 ÓÔÏÔ , ,96 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,99
TOYPI TIKAI E IXEIPH EI «PO.KA.Kø A.E.» AP.M.A.E. 12152/80/B/86/115 - AP..E.MH 123448420000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΙΙ
University of Athens Pedagogical Department P.Ε. Science, Technology and Environment Section / Laboratory 13a Navarinou str, Athens, GR-10680 Πανεπιστήμιο Αθηνών Παιδαγωγικό Τμήμα Δ.Ε. Τομέας / Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Š ˆ Š ˆˆ. µ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ, C µ, µ Ö
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2003.. 34.. 6 Š 530.1 ˆ ˆ Š ˆ Š ˆˆ.. Šµ Ö±µ µ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ, C µ, µ Ö ˆ 1563 ƒ ˆ Š Ÿ ˆ 1567 ˆ ƒˆ Š 1574 Œ œ ƒ Œ Œˆ Œ Œˆ 1581 E Š Ÿ ˆ 1582 Œ E Šˆ ˆ? 1587 ˆ 1592 Š ˆ œ Œ ˆŸ 1600
Διαβάστε περισσότεραÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ
Διαβάστε περισσότεραˆˆ ŸŒ ƒ ˆŸ CP- ˆŒŒ ˆˆ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2007.. 38.. 5 ˆˆ ŸŒ ƒ ˆŸ CP- ˆŒŒ ˆˆ œ Š.. Š ± ²,.. Œ μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 1163 ˆ ˆ ˆ Œ œ Š 1166 Š ˆŒ œ Re (ɛ /ɛ) Š Š - ˆŒ NA48 ˆ KTeV 1172 Š ˆŒ NA48 1178 ˆ Œ ˆ Re(ɛ /ɛ) Š ˆŒ KTeV
Διαβάστε περισσότεραŒ ƒ ˆ ˆˆ. Î ± É ÉÊÉ ³..., Œµ ± ˆ ˆˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ 1051 Ð ³ Î Ö 1051 Î ± Ö É Í Ö 1059
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2002.. 33.. 5 Š 530.145 Œ ˆ Œ ˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ.. Œ µ µ Î ± É ÉÊÉ ³..., Œµ ± ˆ ˆˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ 1051 Ð ³ Î Ö 1051 Î ± Ö É Í Ö 1059 µ ³µÉ Í Ö µéò 1070 ˆ Š Œ ˆ Œ ˆ 1077 ³ ɵ µ µ³ É Î Ö ³µ ²Ó 1078 ³
Διαβάστε περισσότεραŠ Œ Š, ƒˆ ƒ ˆ ˆ Œ.. Œμ μ μ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 016.. 47.. 5 Š Œ Š, ƒˆ ƒ ˆ ˆ Œ.. Œμ μ μ ˆ É ÉÊÉ μ ² ³ Î Ëμ ³ Í, Œμ ± Í μ ²Ó Ò ² μ É ²Ó ± Ö Ò Ê É É Œˆ ˆ, Œμ ± ˆ 149 Š Œ Ÿ ˆŸ Ÿ 1440 ƒ - ˆ 1484 ˆŸ ˆ ˆ ƒ œ ƒ 1505 ˆŸ Ä Œ 1518 Š ˆ 1538 ˆ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Για την ασφάλειά σας... Σελίδα 17 Προδιαγραφόμενη χρήση... Σελίδα 17 Παραδοτέο / παρεχόμενα εξαρτήματα... Σελίδα 18
Πίνακας περιεχομένων Πριν ξεκινήσετε την ανάγνωση, ανοίξτε τη σελίδα με τις εικόνες και εξοικειωθείτε με όλες τις λειτουργίες της συσκευής. Στις παρούσες οδηγίες χρήσης χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα εικονογράμματα/
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2006.. 37.. 1 Š 530.12 T Œ ˆ Œ ˆ ˆ Œ ˆˆ ˆ œ ˆ.. Ì μ,.. Îʱ,.. ÊÏ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ μ ÖÐ μ μ ³ μ ² Ö É ³ μé Î É μ Ð É μ μé μ É ²Ó μ É ( ) É É μ³ Ëμ ³ ² ³. É Ò Ö ²ÖÕÉ Ö ±μôëë Í É ³
Διαβάστε περισσότεραProblem 1(a): Starting with eq. (3) proved in class and applying the Leibniz rule, we obtain
PHY 396 K. Solutions for homework set #5. Problem 1a: Starting with eq. 3 proved in class and applying the Leibniz rule, we obtain [ γ κ γ λ, S µν] γ κ [ γ λ, S µν] + [ γ κ, S µν] γ λ γ κ ig λµ γ ν ig
Διαβάστε περισσότεραδ β β γ δ ββ γ α β α α α α α α α α δ δ γ γ δ δ δ δ β β α α α α α α α α β γδ α β γ δ α βγδ αβγδ δγ βα α β γ δ O α β γ δ αγ α γ α γ δ αγδ α αγ γ γ δ γ α γ β β β β β β β α γ β β β β β μ μ β β
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ = 1 + t t. θ = t ε t. Continuum Mechanics. Chapter 1. Description of Motion dt t. Chapter 2. Deformation and Strain
Continm Mechanics. Official Fom Chapte. Desciption of Motion χ (,) t χ (,) t (,) t χ (,) t t Chapte. Defomation an Stain s S X E X e i ij j i ij j F X X U F J T T T U U i j Uk U k E ( F F ) ( J J J J)
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2004.. 35.. 5 Š 539.12.01 ˆ ˆ Š œ Ÿ Š Ÿ ˆŸ Ÿ ƒ.. Ë ³µ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ 1116 Š ˆ ˆ ŒŸ Œ ˆŠ 1119 Š Ÿ ˆŸ Ÿ ˆ Œ Š œ ˆ 1121 Š Ÿ ˆŸ Ÿ Š œ Œ ˆŒ ˆ Œ 1130 Š ˆ Œ ˆ Š Ÿ Š Ÿ ˆŸ Ÿ 1134 ˆ ˆ œ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
Διαβάστε περισσότεραDirac Matrices and Lorentz Spinors
Dirac Matrices and Lorentz Spinors Background: In 3D, the spinor j = 2 1 representation of the Spin3) rotation group is constructed from the Pauli matrices σ x, σ y, and σ z, which obey both commutation
Διαβάστε περισσότεραΑ θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ
Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ 2 0 1 6 Τ ε ύ χ ο ς Δ ι α κ ή ρ υ ξ η ς Α ν ο ι κ τ ο ύ Δ ι ε θ ν ο ύ ς Δ ι α γ ω ν ι σ μ ο ύ 0 1 / 2 0 1 6 μ ε κ ρ ι τ ή ρ ι ο κ α τ α κ ύ ρ ω σ η ς τ η ν π λ έ ο ν σ υ μ
Διαβάστε περισσότεραAspekte der speziellen Relativitätstheorie
Aspekte der speziellen Relativitätstheorie Koordinaten x = (x µ ) = x 0 x 1 x 2 x 3 = ( t x ) Aspekte der speziellen Relativitätstheorie Koordinaten x = (x µ ) = x 0 x 1 x 2 x 3 Natürliche Einheiten c
Διαβάστε περισσότεραƒˆˆ-ˆœ œ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ
Ó³ Ÿ. 2018.. 15, º 6218).. 467Ä475 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ƒˆˆ-ˆœ œ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. Ê 1 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± μ± μ, ÎÉμ ³μ Ë ± Í Ö ³³ É Î ±μ, μ ² μ μ ƒ ²Ó ÉÊ μ² μ ²μÉ μ É É μ Ô -
Διαβάστε περισσότεραu(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω
Διαβάστε περισσότεραŠ Ÿ ˆ ˆŸ ˆ Ÿ Ÿ ˆŠ.ˆ. Ì,.. µ,.. ² ±µ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2, Œ 31,. 2 Š Ÿ ˆ ˆŸ ˆ Ÿ Ÿ ˆŠ.ˆ. Ì,.. µ,.. ² ±µ 539.17 Ó±µ ± µ Ê É Ò Ê É É, Ó±µ, ± ÊÎ µ-é Ì Î ± Í É Ô² ±É µë Î ±µ µ µé± ± Ò, Ó±µ ˆ 458 Š ˆ ˆ Š ˆ 46 Œ ˆ ˆŠ ˆˆ Š ˆ ˆ Š ˆ 466 ˆ Š ˆ Ÿ ˆ 471
Διαβάστε περισσότεραŸ ˆ ˆ Š Ÿ ˆŸ Œ ƒ Ÿ : Š ˆ Œ. ˆ Šˆ.
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2015.. 46.. 6 Ÿ ˆ ˆ Š Ÿ ˆŸ Œ ƒ Ÿ : Š ˆ Œ. ˆ Šˆ. Œ Ÿ ˆ. ˆˆ.. Êϱ ƒμ Ê É Ò Ê É É É ² ±μ³³ê ± Í, ±É- É Ê, μ Ö ˆC Š ˆˆ 1584 ˆ Ÿ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ Œ ƒ Ÿ 1589 -μ É ²Ó Ò μé Í ² Ö 1591 μ Ò ²Ò ± ±
Διαβάστε περισσότεραFormulario Básico ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) λ = 1 + t t. θ = t ε t. Mecánica de Medios Continuos. Grado en Ingeniería Civil.
Mecánica e Meios Continos. Gao en Ingenieía Ciil. Fomlaio Básico Tema. Descipción el moimiento χ (,) t χ (,) t (,) t χ (,) t t t Tema. Defomación s S X E X e i ij j i ij j F X X U F J T T T U U i j Uk
Διαβάστε περισσότεραL. F avart. CLAS12 Workshop Genova th of Feb CLAS12 workshop Feb L.Favart p.1/28
L. F avart I.I.H.E. Université Libre de Bruxelles H Collaboration HERA at DESY CLAS Workshop Genova - 4-8 th of Feb. 9 CLAS workshop Feb. 9 - L.Favart p./8 e p Integrated luminosity 96- + 3-7 (high energy)
Διαβάστε περισσότερα[Note] Geodesic equation for scalar, vector and tensor perturbations
[Note] Geodesic equation for scalar, vector and tensor perturbations Toshiya Namikawa 212 1 Curl mode induced by vector and tensor perturbation 1.1 Metric Perturbation and Affine Connection The line element
Διαβάστε περισσότεραΝ Κ Π 6Μ Θ 5 ϑ Μ % # =8 Α Α Φ ; ; 7 9 ; ; Ρ5 > ; Σ 1Τ Ιϑ. Υ Ι ς Ω Ι ϑτ 5 ϑ :Β > 0 1Φ ς1 : : Ξ Ρ ; 5 1 ΤΙ ϑ ΒΦΓ 0 1Φ ς1 : ΒΓ Υ Ι : Δ Φ Θ 5 ϑ Μ & Δ 6 6
# % & ( ) +, %. / % 0 1 / 1 4 5 6 7 8 # 9 # : ; < # = >? 1 :; < 8 > Α Β Χ 1 ; Δ 7 = 8 1 ( 9 Ε 1 # 1 ; > Ε. # ( Ε 8 8 > ; Ε 1 ; # 8 Φ? : ;? 8 # 1? 1? Α Β Γ > Η Ι Φ 1 ϑ Β#Γ Κ Λ Μ Μ Η Ι 5 ϑ Φ ΒΦΓ Ν Ε Ο Ν
Διαβάστε περισσότεραk k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Διαβάστε περισσότεραThe Feynman-Vernon Influence Functional Approach in QED
The Feynman-Vernon Influence Functional Approach in QED Mark Shleenkov, Alexander Biryukov Samara State University General and Theoretical Physics Department The XXII International Workshop High Energy
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακό Μάθημα Ποιότητα Ισχύος. 1η ενότητα : Εισαγωγή 1
Μεταπτυχιακό Μάθημα Ποιότητα Ισχύος 1η ενότητα : Εισαγωγή 1 Προβλήματα Ποιότητας Ισχύος Ταχέα ηλεκτρομαγνητικά μεταβατικά φαινόμενα (fast electromagnetic transients) Διακοπτικοί χειρισμοί (ζεύξεις, αποζεύξεις)
Διαβάστε περισσότεραΓια να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 3(180).. 313Ä320
Ó³ Ÿ. 213.. 1, º 3(18).. 313Ä32 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ˆŸ ƒ ƒ Ÿ ˆ Š ˆ Šˆ Š ŒŒ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆŠ.. μ a, Œ.. Œ Í ± μ,. ƒ. ²Ò ± a ˆ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ μ ±μ ± ³ ʱ, Œμ ± ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²ÓÍÒ
Διαβάστε περισσότεραÏ åäèñëîâèå  êîíöå 5-õ, íà àëå 6-õ ãîäîâ ï î ëîãî âåêà â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß ( àùå íàçûâàâ åéñß òîãäà òåî èåé òâå äîãî òåëà è êâàíòîâû
ÄÈÀÃÐÀÌÌÀÒÈÊÀ Ëåêöèè ïî èçá àííûì çàäà àì òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß Èçäàíèå âòî îå, ïå å àáîòàííîå è äîïîëíåííîå Ì. Â. Ñàäîâñêèé Èíñòèòóò ëåêò îôèçèêè Ó Î ÐÀÍ, Åêàòå èíáó ã, 66, Ðîññèß, E-mail:
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αναγνώριση συστημάτων με δεδομένη συνεχή και κρουστική συμπεριφορά
Διαβάστε περισσότερα