Μάθηµα 19 ο, 25 Νοεµβρίου 2008 (9:00-11:00) & Συµπλήρωµα 7 εκεµβρίου 2010 (9:00-11:00).

Transcript

1 Μάθηµα 9 ο, 5 Νοεµβρίου 008 (9:00-:00) & Συµπλήρωµα 7 εκεµβρίου 00 (9:00-:00). ΑΣΚΗΣΗ 9- Θεωρούµε φυσικά µεγέθη που περιγραφονται από τους τελεστές A, B, C και H (Χαµιλτονιανή). Γνωρίζουµε για τους τελεστές αυτούς ότι Α α Α α B + β + B β C γ γ C H ˆ ε + ε + δ + δ, όπου + ( + )/ και ( ) /. Την χρονική στιγµή t0, µετράµε την ενέργεια του συστήµατος και την βρίσκουµε ε + δ. (α) Να γραφεί η κυµατοσυνάρτηση για t0. Αν την ίδια χρονική στιγµή µετρήσω τα φυσικά µεγέθη που περιγράφονται από τους τελεστές A, B και C ποιες τιµές θα πάρω και µε ποιες πιθανότητες; (β) Να γραφεί η κυµατοσυνάρτηση για τυχαίο t. (γ) Αν την χρονική στιγµή t µετρήσω τα φυσικά µεγέθη που περιγράφονται από τους τελεστές A, B, C και H ποιες τιµές θα πάρω και µε ποιες πιθανότητες; ΛΥΣΗ (α)από το πρόβληµα του προηγούµενου µαθήµατος γνωρίζουµε ότι η Χαµιλτονιανή έχει ιδιοτιµές και ιδιοκαταστάσεις της µορφής H ε δ H ε δ. + ( + ) + και ( ) Καθώς µετράµε για την ενέργεια ε + δ η κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ (,t 0) +. Οπότε προφανώς και στην µέτρηση του B βρίσκουµε ιδιοτιµή β (καθώς B + β + ).. Ενώ για τα φυσικά µεγέθη που περιγράφονται από τους τελεστές Α και C, έχουµε ίσες πιθανότητες (50%) για µέτρηση των ιδιοτιµών α, γ και α, γ αντίστοιχα. Καθώς ( ) ( ) είναι / ). Ψ,t / (συντελεστές ιδοκαταστάσεων, (β) Καθώς η αρχική κατάσταση, Ψ (,t 0) +, είναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας έχουµε στάσιµη κατάσταση. ηλαδή η κυµατοσυνάρτηση για τυχαίο t είναι i( ε+ δ) t/ i( ε+ δ) t/ Ψ (,t) e Ψ (,t 0) e + που είναι φυσικά ισοδύναµη µε την αρχική κατάσταση.

2 (γ) Βασιζόµενοι στην απάντηση του ερωτήµατος (β) καταλαβαίνουµε ότι τη χρονική στιγµή t αν µετρήσω τα φυσικά µεγέθη που περιγράφονται από τους τελεστές A, B, C και H οι τιµές και οι πιθανότητες που θα πάρω θα είναι ίδιες µε του ερωτήµατος (α), δηλαδή της αρχικής κατάστασης. ΑΣΚΗΣΗ 9- Θεωρούµε φυσικά µεγέθη που περιγραφονται από τους τελεστές A, B, C και H (Χαµιλτονιανή). Γνωρίζουµε για τους τελεστές αυτούς ότι Α α Α α B + β + B β C C γ γ H + ( ε + δ) + και H ( ε δ). όπου + ( + )/ και ( ) /. Την χρονική στιγµή t0, µετράµε την φυσική ποσότητα του συστήµατος που σχετίζεται µε τον τελεστή Α και την βρίσκουµε α. (α) Να γραφεί η κυµατοσυνάρτηση για t0. Αν την ίδια χρονική στιγµή µετρήσω τα φυσικά µεγέθη που περιγράφονται από τους τελεστές Η, B και C ποιες τιµές θα πάρω και µε ποιες πιθανότητες; (β) Να γραφεί η κυµατοσυνάρτηση για τυχαίο t. (γ) Αν την χρονική στιγµή t µετρήσω τα φυσικά µεγέθη που περιγράφονται από τους τελεστές A, B, C και H ποιες τιµές θα πάρω και µε ποιες πιθανότητες; ΛΥΣΗ (α) Καθώς µετράµε για τελεστή Α την τιµή α η κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ (,t 0). Οπότε προφανώς και στην µέτρηση του C βρίσκουµε ιδιοτιµή γ (καθώς B + β + ).. Ενώ για τα φυσικά µεγέθη που περιγράφονται από τους τελεστές Η και Β, έχουµε ίσες πιθανότητες (50%) για µέτρηση των ιδιοτιµών β, ε + δ και β, ε δ αντίστοιχα. Καθώς ( ) ( ) +, είναι / ). Ψ,t / (συντελεστές ιδοκαταστάσεων (β) Καθώς η αρχική κατάσταση είναι ( ) ( ) κυµατοσυνάρτηση για τυχαίο t γίνεται iδ t / που είναι ισοδύναµη µε την Ψ ( + + ) Ψ,t /, η i( ε+ δ) t/ i( ε δ) t/ ( ) Ψ (,t) e + + e /, (,t) e /. Ισοδύναµη γραφή έχουµε µε τις ιδοσυναρτήσεις,,

3 i( ε+ δ) t/ i( ε δ) t/ ( ) Ψ (,t) e + + e / iδt/ iδt/ ( (( + ) ) + (( ) )) e / e / / iδt/ iδt/ iδt/ iδt/ e + e e e + cos t / i sin t / ( δ ) ( δ ) (γ) Βασιζόµενοι στην απάντηση του ερωτήµατος (β) καταλαβαίνουµε ότι τη χρονική στιγµή t αν µετρήσω τα φυσικά µεγέθη που περιγράφονται από τους τελεστές A, B, C και H οι τιµές και οι πιθανότητες που θα πάρω θα είναι για τα µεγέθη Η και Β, όπως και στην αρχική κατάσταση και για τα φυσικά µεγέθη που περιγράφονται από τους τελεστές Α και C, θα έχουµε πιθανότητες ( cos ( t / )) µέτρηση των ιδιοτιµών α, γ και α, γ αντίστοιχα. ( ( )) δ και sin δt / για Συµβιβαστά φυσικά µεγέθη. Τελεστής Α:περιγράφει ένα φυσικό µέγεθος. α n ψ n Έστω ψ c ψ + c ψ + c ψ ΚΑΤΑΡΕΥΣΗ της ψ αποτέλεσµα ή ψ ή ψ ή ψ Αν βρω δηλαδ;h την ιδιοτιµή α,η κυµατοσυνάρτηση που θα περιγράφει το σύστηµα θα είναι η ψ.οµοίως για την α η ψ και για την α η ψ. Αν έχω µόνο µια ιδιοκατάσταση Α<Α >-<Α> 0 Απόδειξη: <Α > Ψ n d ( Ψ n da n Ψ n d a n Ψ n d a n Για ψψ n : <A> * Ψ n Ψ n d a n ψ n d α n Ψ n dα n <A> α n Μόνο όταν έχω µία µόνο ιδιοκατάσταση προκύπτει ( Α)0. Έστω ένας άλλος τελεστής : Για να έχω ταυτόχρονα την αβεβαιότητα του τελεστή και του τελεστή ίσες µε 0 θα πρέπει οι ιδιοκαταστάσεις (ψ n ) να είναι ίδιες για τους και ηλαδή: ψ n α n ψ n και ψ n β n ψ n Θα έχω όµως διαφορετικές ιδιοτιµές. Εξασκώ το στην ψ n ψ n ( ψ n ) (β n ψ n ) β n ( ψ n )α n β n ψ n () ψ n ( ψ n ) (α n ψ n ) α n ( ψ n ) α n β n ψ n () Από (), () ψ n ψ n - 0 H διαφορά - ορίζεται σαν ΜΕΤΑΘΕΤΗΣ ή ΕΝΑΛΛΑΚΤΗΣ. [ ] - [ ]0 Συµβιβαστά. Αν [ ] 0 δεν µπορώ να τα µετρήσω ταυτόχρονα. χ και p: [, ] ψ( )ψ ψ - ψ ( -i, )

4 (-i ) - (χψ) -i + i (ψ) -i + iψ + i iψ Άρα [, ] ψ iψ Άρα [, ]i ( )( ) < [ ]> ΙΣΧΥΕΙ Την εφαρµόζω για τα,p: ( )( ), > <i> ( i ) «ΣΚΙΑΓΡΑΦΗΣΗ» ( Α) <Α >-<Α> ( Α) <Α > > Ψ d ( Ψ)d ( : ερµιτιανός) Ανάλογα ( Ανισότητα Schwart ( )( ) (ΑΨ,ΒΨ)(Ψ, ΑΒΨ) ΑΒ Με ΑΒ + i Σχέσεις αβεβαιότητας υπάρχουν για τις ποσότητες που δεν είναι συµβιβαστές. «Συµβιβαστά φυσικά µεγέθη.» ψ n α n ψ n ψ n β n ψ n ταυτόχρονα ( Α)( Β)0 Μεταθέτης : [Α,Β]ΑΒ-ΒΑ 0 Εναλλάκτης [χ,p ] i 0 µη συµβιβαστά.άρα µπορώ να προσδιορίσω µια σχέση Heisenberg. Ενώ αν [, Ρ] i 0 όχι συµβιβαστά! π.χ. [,]? [,]Ψ(-)ΨΨ-Ψ0 συµβιβαστά φυσικά µεγέθη. π.χ. [,P]? Ψ [,P]Ψ (,,) (P-P)Ψ i i ( Ψ) Ψ Ψ i + i 0 συµβιβαστά φυσικά µεγέθη. Ιδιότητες µεταθέτη. [Â, ˆB +C][A,B]+[A,C] () A B + C ( B + C) A AB + AC BA CA AB BA + AC CA A, B + A, C ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ A + B, C] [ A, C] + [ B, C] Γενίκευση A + B, C + D A, C + A, D + B, C + B, C [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

5 . [ A, B C] [ A, B] C + B[ A, C] [ A B, C] A[ B, C] + [ A, C] B [ A, B C] ABC BCA () ± BAC ABC BCA + BAC BAC ( AB BA) C + B( AC CA) [ A, B] C + B[ A, C] Παραδείγµατα Ρ ' [, P] i () i Ρ π.χ. [,P ] ( ) [,P P]P[,P]+[,P]P () i P + ip ip i 0 όχι συµβιβαστά! π.χ. [,P ][,P P]P [,P]+[,P ]P () i P + ip ip i 0 όχι συµβιβαστά! π.χ. [,P 4 ] 4iP Παρατηρούµε ότι: [, P] i i [, P ] i [, P ] i ηλαδή: A ( P) C + C P + C P + C P ) 0 A( P ) C0 CP CP [ ] ( [ ] [ ] [ ],, +, +, i C + ic + ic +... i ( C0 + CP + CP +...) i A( P). Έστω Α(p)c 0 +c p +c p +c p + [,p ] i i [,p ][,pp][,p]p+p[,p]( i)p+p( i) ip i [,p ][,p p][, p ]p+ p [,p] i p + p i i p

6 i Οµοίως [,p 4 ] i Άρα [,Α(p)][,c 0 +c p +c p +c p + ] [,c 0 ]+[,c p ]+[,c p ]+ ([,c 0 ]c 0 - c 0 0) [,c 0 ]+ c [,p]+ c [, p ]+ c i + c i + i ( c p+ c p + ) i [,A(,p)][,A(p)] i 4.[p,B(,p)]-i Άσκηση, ; Έχω τον τελεστή της στροφορµής. Μπορώ να υπολογίσω ταυτόχρονα το [ ] iˆ ˆj kˆ P P P ( P P)ˆ i ( P P ) ˆ j ( P P ) i ˆ + ( P P ) ˆ j + ( P P ) k ˆ Άρα [, ] [( P P ), ( P P )] ιδιότητα P, P ] [ P, P ] [ P, P ] + [ P, P ] () [ [ P, P ] ιδιότητα [ P, P ] + [ P, ] P [ P, P ] + [, P ] P + [ P, ] P + [, ] P P ip Άρα () ip [ P, P ] ip άρα () i P + ip i( P P ) i [, P ] i [, P ] i [, P ] i, l i άρα [ ] [ ] i, γιατί κυκλικά

7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ( Α)( Β) ˆ, ˆ Α Β π.χ. Ρ ˆ, Ρˆ για [ ˆ, P ˆ ]i έχουµε Ρ i i γιατί i. Σχέση Αβεβαιότητας: ( Α )( Β) [ Α, Β] Άσκηση Ρ π.χ. Α Β Σχέση αβεβαιότητας;, ( )( )? ( )( ) [ ] i i Ρ Ρ () ( )( ) [, ] [ Ρ ] [ Ρ, Ρ Ρ ] [ Ρ, Ρ ] [ Ρ, Ρ ] [ Ρ, Ρ ] + [ Ρ, ] Ρ iρ, (Ρ και P είναι συµβιβαστά) Άρα () Ρ 5 π.χ. ( Ρ )( )? π.χ. Ρ ( + )?

8