{ } M =: T a. a M ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ 3. )} i I. ,φ i. A(M) = {(U i = M. U i i I

Transcript

1 4. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ Ο Διαφορικός Λογισμός σε ομαλές επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου αποτελεί προπομπό ει- σαγωγής στη θεωρία των Διαφορικών Πολλαπλοτήτων, οι οποίες προσφέρονται ως γεωμετρικό πρότυπο των θεσεογραφικών χώρων και των χώρων καταστάσεων των φυσικών συστημάτων. Π.χ. η επιφάνεια μιας σφαί- ρας αποτελεί το θεσεογραφικό χώρο του απλού χωρικού εκκρεμούς και η επιφάνεια ενός τόρου αποτελεί το θεσεογραφικό χώρο του διπλού επίπεδου εκκρεμούς. Κάθε σημείο μιας τέτοιας επιφάνειας M αποτελεί μια ενδεχόμενη θέση ενός σωματιδίου που πρόκειται να κινηθεί διαγράφοντας μια τροχιά επάνω της. Η ομαλότη- τα της επιφάνειας διασφαλίζει σε κάθε σημείο a M την ύπαρξη εφαπτόμενου επιπέδου T a M και εκεί ενυ- πάρχουν τα διανύσματα που εκφράζουν τις υποψήφιες ταχύτητες με τις οποίες το σωματίδιο θα μπορούσε να διέλθει από αυτή τη θέση. Ο χώρος των θέσεων και ταχυτήτων του σωματιδίου εκφράζεται γεωμετρικά με το εφαπτόμενο ινώδες της επιφάνεια M το οποίο ορίζεται ως διακριτή ένωση των εφαπτόμενων επιπέδων στα σημεία του θεσεογραφικού χώρου: TM : {a} T a M =: T a M. a M a M ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ 3. Οι τοπολογικές επιφάνειες του ευκλείδειου χώρου 3 είναι τα υποσύνολά του που, εφοδιασμένα με την επαγόμενη τοπολογία από τον περιβάλλοντα χώρο, είναι τοπικά ομοιόμορφα με το ευκλείδειο επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο μιας τοπολογικής επιφάνειας διαθέτει περιοχή που απεικονίζεται ομοιομορφικά σε κάποιο ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου. Γενικότερα, ο όρος τοπολογική επιφάνεια δηλώνει οποιον- δήποτε τοπολογικό χώρο τοπικά ομοιόμορφο με το ευκλείδειο επίπεδο. Ο όρος τοπικός χάρτης μιας τοπολογικής επιφάνειας M δηλώνει ένα ζεύγος (U,φ όπου U είναι ανοιχτό υποσύνολό της και φ είναι ομοιομορφισμός που απεικονίζει αυτό το ανοιχτό υποσύνολο σε ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου. Ένας τοπολογικός άτλας της M ορίζεται από μια οικογένεια τοπικών χαρτών: τέτοια ώστε: A(M = {(U i,φ i } i I = M. U i i I Τοπικός χάρτης μιας τοπολογικής επιφάνειας του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Ο Carl Friedrich Gauss ( , με το περίφημο θεώρημα Egregium, έδειξε ότι οι επιφάνειες διαθέτουν τη δική τους ενδογενή γεωμετρία που είναι ανεξάρτητη εκείνης του περιβάλλοντος τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Ο ορισμός της τοπολογικής επιφάνειας απαιτεί τοπική και όχι αναγκαστικά ολική ομοιομορφία με το ευκλείδειο επίπεδο! Π.χ. Η επιφά- νεια μιας σφαίρας είναι τοπικά αλλά όχι ολικά ομοιόμορφη με το ευκλείδειο επίπεδο και το ίδιο ισχύει για την επιφάνεια ενός τόρου, ενός κύβου, ενός κώνου. Η επιφάνεια ενός διπλού κώνου δεν είναι ούτε ολικά ούτε τοπικά ομοιόμορφη με το ευκλείδειο επίπεδο άρα δεν είναι τοπολογική επιφάνεια! Οι επιφάνειες μιας σφαίρας ή ενός τόρου είναι ομαλές τοπολογικές επιφάνειες γεγονός που σημαίνει ότι σε κάθε σημείο τους δέχονται εφαπτόμενο επίπεδο σε αντίθεση με τις επιφάνειες ενός κώνου ή ενός κύβου οι οποίες δεν είναι ομαλές τοπολογικές επιφάνειες. Βλ. Θεμελιώδεις Έννοιες της Γενικής Τοπολογίας, Σ. Πνευματικού, Αθήνα 00. 4

2 Η επιλογή ενός τοπολογικού άτλαντα σε μια τοπολογική επιφάνεια ορίζει μια τοπολογική χαρτογράφησή της και πάντα είναι εφικτή η κατασκευή του αφού εξ ορισμού οποιοδήποτε σημείο της διαθέτει περιοχή ομοιό- μορφη με ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου. Όμως, ζητούμενο είναι ο τοπολογικός αυτός άτλας να προσδίδει στην τοπολογική επιφάνεια διαφορική δομή που θα επιτρέπει την ανάπτυξη Διαφορικού Λογισμού. Συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε έναν τοπολογικό άτλαντα μιας τοπολογικής επιφάνειας: A(M = {(U i,φ i } i I τότε η τοπολογική μετάβαση από ένα χάρτη σε άλλο χάρτη αυτού του άτλαντα: (U i,φ i, (U j,φ j, U i U j, πραγματοποιείται στο ευκλείδειο επίπεδο με τον ομοιομορφισμό: όπου φ i (U i U j Φ i j φ j (U i U j Φ j i Φ i j (x = φ j φ i (x, x φ i (U i U j, Φ j i (x = φ i φ j (x, x φ j (U j U i. Αλλαγή τοπικών χαρτών μιας τοπολογικής επιφάνειας του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Οι ομοιομορφισμοί αλλαγής χαρτών ενός τοπολογικού άτλαντα, ως αμφιμονοσήμαντες απεικονίσεις ανοιχτών χωρίων του ευκλείδειου επιπέδου, ελέγχονται για τη διαφορισιμότητά τους με την ύπαρξη και συνέχεια των μερικών παραγώγων τους. Επίσης, η αμφιδιαφορισιμότητά τους ελέγχεται διαμέσου των ιακωβιανών τους που υποδεικνύουν την ισομορφική συμπεριφορά των διαφορικών τους σε κάθε σημείο της τομής των χωρίων ορισμού τους. Όταν οι ομοιομορφισμοί αλλαγής χαρτών ενός τοπολογικού άτλαντα είναι όλοι αμφιδιαφορί- σιμοι τότε πρόκειται για διαφορικό άτλαντα που ορίζει μια διαφορική χαρτογράφηση της τοπολογικής επι- φάνειας στο ευκλείδειο επίπεδο. Από την ένωση δυο διαφορικών ατλάντων μιας τοπολογικής επιφάνειας προκύπτει ένας νέος τοπολογικός άτλας που όμως δεν είναι πάντα διαφορικός αφού οι επιπλέον εμφανιζόμενοι ομοιομορφισμοί αλλαγής χαρτών δεν είναι οπωσδήποτε αμφιδιαφορικοί. Στην καταφατική περίπτωση λέμε ότι οι δυο τοπολογικοί άτλαντες είναι διαφορικά συμβατοί. Αν σε μια τοπολογική επιφάνεια θεωρήσουμε όλους τους διαφορικά συμβατούς τοπολογικούς άτλαντές της, εφόσον διαθέτει τέτοιους, από την ένωσή τους προκύπτει μέγιστος διαφορικός άτλας και τότε λέμε ότι στην επιφάνεια αυτή ορίζεται μια διαφορική δομή. Ένας διαφορικός άτλας μιας τοπολογικής επιφάνειας λέγεται προσανατολισμένος αν οι ιακωβιανές όλων των αμφιδιαφορομορφισμών συμβατότητας των τοπικών χαρτών του έχουν θετική ορίζουσα. Οι τοπολογικές επι- φάνειες που αποδέχονται προσανατολισμένο διαφορικό άτλαντα καλούνται προσανατολίσιμες. 3 3 Κάθε τοπολογική επιφάνεια που μπορεί χαρτογραφηθεί με ένα χάρτη είναι προσανατολίσιμη. Π.χ. Το ευκλείδειο επίπεδο εφοδιασμένο με τον μονομελή άτλαντα που αποτελείται από τον ταυτοτικό χάρτη είναι προσανατολίσιμη επιφάνεια. Το ίδιο ισχύει για κάθε ανοιχτό υποσύνολο του ευκλείδειου επιπέδου. Κάθε συνεκτική τοπολογική επιφάνεια που δέχεται διαφορικό άτλαντα αποτελούμενο από δυο χάρτες είναι προσανατολίσιμη. 4

3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΊΔΕΙΟ ΧΩΡΟ 3.. Χαρτογράφηση επίπεδων επιφανειών. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο θεωρούμε το επίπεδο: Π = {(x 3 / ax + bx + cx 3 + k = 0}. Η χαρτογράφηση μπορεί να πραγματοποιηθεί με μονομελή άτλαντα, δηλαδή με ένα μόνο χάρτη που ορίζεται διαμέσου της κανονικής προβολής σε ένα από τα τρία συντεταγμένα καρτεσιανά επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου, λαμβάνοντας υπόψη ότι τουλάχιστο ένας από τους συντελεστές a,b,c δεν είναι μηδενικός: π : 3 Π π(x = (x ή π(x = (x ή π(x = (x. Το επίπεδο Π, όντας εφοδιασμένο με την τοπολογία που επάγεται από τον περιβάλλοντα ευκλείδειο χώρο, ταυτίζεται ομοιομορφικά με το ευκλείδειο επίπεδο διαμέσου του ομοιομορφισμού χαρτογράφησης που προ- κύπτει από τον περιορισμό της προβολής στο επίπεδο Π: φ :Π φ(π, φ(x = π(x, x Π.. Χαρτογράφηση γραφημάτων συναρτήσεων. Το γράφημα κάθε πραγματικής διαφορίσιμης συνάρτησης ορισμένης σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου αποτελεί ομαλή επιφάνεια του ευκλείδειου χώρου 3 : G f = {(x, y,f(x, y 3 / (x, y V }. Η χαρτογράφηση του μπορεί να πραγματοποιηθεί με ένα μονομελή άτλαντα, δηλαδή ένα μόνο χάρτη που ορίζεται διαμέσου της κανονικής προβολής στο ευκλείδειο επίπεδο: π : 3 G f, π(x, y,f(x, y = (x, y. Το γράφημα κάθε διαφορίσιμης συνάρτησης είναι ομαλή επιφάνεια και η χαρτογράφησή της πραγματοποιείται με προβολή στο ευκλείδειο επίπεδο. 3. Χαρτογραφήσεις της σφαιρικής επιφάνειας S. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο θεωρούμε τη σφαιρική επιφάνεια: S = {(x 3 / x + x + x 3 = }. Στην επιφάνεια αυτή δεν μπορεί να οριστεί άτλαντας αποτελούμενος από ένα μόνο χάρτη. Ο στερεογραφικός άτλας της, στον οποίο θα αναφερθούμε, αποτελείται από δυο χάρτες οι οποίοι κατασκευάζονται διαμέσου των στερεογραφικών προβολών στο ευκλείδειο επίπεδο:. A(S = (U,φ,( U, φ 43

4 Στερεογραφικές προβολές της σφαίρας από το βόρειο και νότιο πόλο της στο ισημερινό επίπεδο. Συμβολίζοντας Α και Α τα σημεία της σφαίρας που αντιστοιχούν στο βόρειο και στο νότιο πόλο της, θεωρού- με τα εξής δυο ανοιχτά υποσύνολα της επαγόμενης τοπολογίας στην επιφάνεια της σφαίρας από την τοπολο- γία του περιβάλλοντος ευκλείδειου χώρου, των οποίων η ένωση επικαλύπτει ολόκληρη την επιφάνεια της: U = S {A} 3 και U = S { A } 3. Τα ανοιχτά αυτά υποσύνολα της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται στο επίπεδο x 3 = 0 του τρισδιάστα- του ευκλείδειου χώρου διαμέσου των αντίστοιχων στερεογραφικών προβολών: 4 π : U S 3 π : U S x π(x = x, x 3 x 3 π (x,x,x = x x, 3 + x 3 + x 3 Από τον περιορισμό αυτών των προβολών στα ανοιχτά αυτά υποσύνολα της επιφάνειας της σφαίρας προ- κύπτει η ομοιομορφική χαρτογράφησή τους το ευκλείδειο επίπεδο: φ : U S φ(u =, φ(x = π(x, x U, φ : U S φ ( U =, φ (x = π (x, x U. Ο στερεογραφικός άτλας με τον οποίο εφοδιάστηκε η επιφάνεια της σφαίρας είναι διαφορικός, αφού η ομοι- ομορφική μετάβαση από τον ένα στον άλλο χάρτη είναι επιπλέον αμφιδιαφορική: 5 φ( U U = {0} Φ {0}= φ U U Φ x Φ(x = x + x, x x + x ( Θα κατασκευάσουμε τώρα έναν άλλο διαφορικό άτλαντα στην επιφάνεια της σφαίρας επικαλύπτοντάς την με έξι ανοικτά υποσύνολα που ορίζονται από την επαγόμενη τοπολογία του περιβάλλοντος ευκλείδειου χώρου: U = (x S / x > 0 U = (x S / x > 0 U 3 = (x S / x 3 > 0 U = (x S / x < 0 U = (x S / x < 0 U = (x S / x 3 < 0 4 Ο ομοιομορφισμός μετάβασης από τον ένα στερεογραφικό χάρτη στον άλλο είναι μετασχηματισμός αντιστροφής κέντρου Ο και λόγου ίσου προς την ακτίνα της σφαίρας ρ=. Αν M U U, τα τρία σημεία O, φ(m = M = (x,y, φ (M = M = ( x, y είναι συνευθειακά και σχηματίζονται τα όμοια τρίγωνα (M,A, Α, (O,M,A, (O,A,M, από τα οποία προκύπτει: OM MA OA = = OM OM =ρ. OA MA OM 5 Ο στερεογραφικός άτλας της σφαίρας δεν είναι προσανατολισμένος, αλλά θεωρώντας μια συμμετρία ως προς οποιονδήποτε άξονα του ευκλείδειου επιπέδου προκύπτει ένας προσανατολισμένος άτλας, άρα η σφαίρα είναι προσανατολίσιμη επιφάνεια. 44

5 Τα ανοικτά αυτά σύνολα της επιφάνειας της σφαίρας προβάλλονται ανά δύο στα τρία επίπεδα συντεταγμένων του ευκλείδειου χώρου και δίνουν αντίστοιχα τον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο του ευκλείδειου επιπέδου: Δ = {(x / x + x 3 < } Δ = (x {,x 3 / x + x 3 < } Δ = (x 3 {,x / x + x < } Από τον περιορισμό των κανονικών προβολών στα ανοιχτά αυτά υποσύνολα της επιφάνειας της σφαίρας προ- κύπτει η ομοιομορφική χαρτογράφησή τους στο ευκλείδειο επίπεδο και ελέγχοντας την ομοιομορφική αλλαγή των χαρτών διαπιστώνεται ότι στην επιφάνεια της σφαίρας ορίζεται ένας διαφορικός άτλας: A(S = {(U,φ,( U, φ,(u,φ,( U, φ,(u 3,φ 3,( U 3, φ 3 }. 6 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ 3. Μια τοπολογική επιφάνεια M του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου δέχεται τοπική παραμετροποίηση, εφό- σον είναι εφικτό, διαμέσου μιας διαφορίσιμης απεικόνισης ορισμένης σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου η οποία ταυτίζει ομοιομορφικά αυτό το χωρίο με ανοιχτό υποσύνολο της τοπολογικής επιφάνειας: ψ : V M 3 και ο πυρήνας του διαφορικού της στα σημεία του χωρίου ορισμού της είναι μηδενοδιάστατος: dimkerd u ψ = 0, u V, D u ψ : 3. Αν μια τοπολογική επιφάνεια δέχεται τοπική παραμετροποίηση, αν δηλαδή υπάρχει απεικόνιση που πληροί αυτές τις συνθήκες, η δισδιάστατη εικόνα του διαφορικού της στο δεδομένο σημείο, με ομοπαραλληλική με- ταφορά, αποδίδει στο αντίστοιχο σημείο της επιφάνειας εφαπτόμενο επίπεδο. Έτσι, στην περιοχή αυτού του σημείου προκύπτει ένα τοπικό σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων της επιφάνειας προερχόμενο από το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του ευκλείδειου επιπέδου. Η τοπολογική επιφάνεια λέγεται ομαλή όταν είναι εφικτή η επικάλυψή της με τέτοιες τοπικές παραμετροποιήσεις: P(M = {( V i,ψ i } : M = ψ i I i (V i. i I Η τοπική παραμετροποίηση της επιφάνειας αποδίδει σε αυτήν ένα εφαπτόμενο επίπεδο στο αντίστοιχο σημείο της και στην περιοχή του ένα τοπικό σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων. Η διαφορισιμότητα της τοπικής παραμετροποίησης μιας τοπολογικής επιφάνειας: ψ : V M 3 ( M 3, (u,v V, ψ(u,v = x(u,v, y(u,v, z(u,v 6 Από την ένωση του διαφορικού αυτού άτλαντα των έξι χαρτών με τον στερεογραφικό άτλαντα προκύπτει ένας νέος άτλας που είναι και αυτός διαφορικός, δηλαδή οι αλλαγές όλων των χαρτών του είναι αμφιδιαφορικές. 45

6 διασφαλίζει την ύπαρξη και συνέχεια των μερικών παραγώγων της, άρα τη δυνατότητα ορισμού του ιακω- βιανού πίνακα σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού της: u x(u v x(u Jψ(u = u y(u v y(u u z(u v z(u Σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού της, η δισδιάστατη εικόνα του διαφορικού της υποδεικνύει ότι ο ιακωβι- ανός πίνακας είναι ης τάξης, που σημαίνει ότι ισχύει : ( u x(u, u y(u, u z(u ( v x(u, v y(u, v z(u 0. Τα δυο αυτά διανύσματα είναι λοιπόν γραμμικά ανεξάρτητα και με ομοπαραλληλική μεταφορά ορίζουν το εφαπτόμενο επίπεδο στο αντίστοιχο σημείο της επιφάνειας: ( u x(u, u y(u, u z(u και ( v x(u, v y(u, v z(u. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΊΔΕΙΟ ΧΩΡΟ 3.. Παραμετροποίηση επίπεδων επιφανειών. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, το επίπεδο: παραμετροποιείται από τη γραμμική απεικόνιση: Π = {(x, y,z 3 / ax + by + cz + k = 0}, c 0, ψ : Π 3, ψ(x, y = x, y,. Παραμετροποίηση γραφημάτων συναρτήσεων. ax + by + k c Θεωρούμε μια διαφορίσιμη συνάρτηση σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου f : Το γράφημά της είναι ομαλή επιφάνεια του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου: και δέχεται μια ολική παραμετροποίηση: G f = {(x, y,f(x, y 3 / (x, y V } ψ : V G f 3, ψ(x, y = ( x, y,f(x, y που ο ιακωβιανός της πίνακας σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της είναι ης τάξης: Jψ(x = 0 x f(x 0 y f(x. Στα σημεία του γραφήματος το εφαπτόμενο επίπεδο προκύπτει με παράλληλη μεταφορά της εικόνας του δια- φορικού της παραμετροποίησης, δηλαδή πρόκειται για το επίπεδο που ορίζεται από τα δυο διανύσματα του ιακωβιανού πίνακα στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο και εκφράζεται με την εξίσωση: z = f(x + (x x x f(x + ( y y y f(x. 46

7 ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Παραμετροποιείστε τα γραφήματα των συναρτήσεων Mrse δύο μεταβλητών f(x, y = x + y f(x, y = x y f(x, y = x y 3. Παραμετροποιήσεις της σφαιρικής επιφάνειας S. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο θεωρούμε τη σφαιρική επιφάνεια: S = {(x, y,z 3 / x + y + z = }. Η επιφάνεια της σφαίρας δεν μπορεί να καλυφθεί με μια μόνο παραμετροποίηση. Οι στερεογραφικές παρα- μετρήσεις της, κάθε μια από τις οποίες καλύπτει την επιφάνειά της εκτός από τον αντίστοιχο βόρειο ή νότιο πόλο της, ορίζονται ως εξής: u ψ : S {A} 3, ψ(u,v = + u + v, v + u + v, u v + u + v ψ : S { A } 3, ψ (u,v = u + u + v, v + u + v, u v + u + v Πρόκειται για διαφορίσιμες απεικονίσεις που απεικονίζουν ομοιομορφικά το ευκλείδειο επίπεδο αντίστοιχα σε δυο ανοιχτά υποσύνολα της επιφάνειας της σφαίρας και σε κάθε σημείο το διαφορικό τους έχει δισδιά- στατη εικόνα που ομοπαραλληλικά ορίζει το εφαπτόμενό της επίπεδο σε αυτό το σημείο. Προφανώς, οι αντίστοιχοι ιακωβιανοί πίνακες είναι σε κάθε σημείο ης τάξης: u + v u v u + v u v Jψ(u = u + u ( + v v + u v J ψ (u = u + u u v ( + v v + u v u v Θα κατασκευάσουμε τώρα μια άλλη παραμετροποίηση της επιφάνειας της σφαίρας που ορίζεται στον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο του ευκλείδειου επιπέδου: Δ = (u,v / u + v < και επικαλύπτει τοπικά την επιφάνεια της σφαίρας με έξι ανοικτά υποσύνολά της αναφορικά προς την τοπολογία που της κληροδοτεί ο περιβάλλον τρισδιάστατος ευκλείδειος χώρος: ( ψ (Δ = (x, y,z S / z > 0 ( ψ (Δ = (x, y,z S / z < 0 ( u v,u,v ψ (Δ = (x, y,z 3 S / x > 0 ( ψ (Δ = (x, y,z 4 S / x < 0 ( ψ (Δ = (x, y,z 5 S / y > 0 ( ψ (Δ = (x, y,z 6 S / y < 0 ψ (u,v = u,v, u v ψ (u,v = u,v, u v ψ 3 (u,v = ψ 4 (u,v = u v,u,v ψ 5 (u,v = u, u v,v ψ 6 (u,v = u, u v,v 47

8 Πρόκειται για διαφορίσιμες απεικονίσεις που απεικονίζουν ομοιομορφικά τον μοναδιαίο ανοιχτό δίσκο του ευκλείδειου επιπέδου σε αντίστοιχα ανοιχτά υποσύνολα της επιφάνειας της σφαίρας και τα διαφορικά τους σε κάθε σημείο έχουν δισδιάστατη εικόνα αφού ο ιακωβιανός πίνακάς τους είναι παντού ης τάξης, Π.χ.: Jψ (u = 0 0 u / u v v / u v. ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Σε μια ομαλή τοπολογική επιφάνεια M, από τις τοπικές παραμετροποιήσεις απορρέουν αντίστοιχοι τοπικοί χάρτες που συγκροτούν ένα διαφορικό άτλαντα: A(M = {(U i,φ i } i I. Πράγματι, αν θεωρήσουμε μια οικογένεια τοπικών παραμετροποιήσεων: τότε για κάθε μια από αυτές: ορίζεται η διαφορίσιμη απεικόνιση: P(M = {( V i,ψ i } : M = ψ i I i (V i ψ i : V i M 3, ψ i (u,v = ( x i (u,v, y i (u,v,z i (u,v, i I, i I f i : V i 3, f i (u,v,w = ( x i (u,v, y i (u,v,z i (u,v + w, i I. Η αντίστοιχη i στη τοπική παραμετροποίηση προκύπτει από τον περιορισμό αυτής της απεικόνισης στο σύνολο V i {0} και, προφανώς, στα σημεία (u,v,0 V i {0}, ο ιακωβιανός πίνακας είναι αντιστρέψιμος: 7 u x i (u,v v x i (u,v 0 Jf i (u,v,0 = u y i (u,v v y i (u,v 0 u z i (u,v v z i (u,v Το θεώρημα τοπικής αντιστροφής διασφαλίζει την τοπική αντιστρεψιμότητα και αμφιδιαφορισιμότητα αυτής της απεικόνισης στα σημεία μη μηδενισμού της ορίζουσας του ιακωβιανού της πίνακα. Έτσι, τα σημεία (u,0 V i {0} και f i (u,0 M διαθέτουν αντίστοιχες ανοιχτές περιοχές W i V i και W i 3 όπου, εφόσον περιοριστούμε σε αυτές, διασφαλίζεται η τοπική αμφιδιαφορισιμότητα της τοπικής απεικόνισης: f i :W i W i f : W i i W i, i I. Θέτοντας U i = W i M, i I, απορρέουν οι τοπικοί χάρτες της ομαλής επιφάνειας: φ i f U i i : U i, i I. Οι τοπικοί αυτοί χάρτες συγκροτούν διαφορικό άτλαντα με αμφιδιαφορικές αλλαγές χαρτών:. φ i (U i U j Φ i j φ j (U j U i Φ j i όπου Φ ij = φ j φ i, Φ ji = φ i φ j, i, j I. 7 Σε διαφορετική περίπτωση θα χρησιμοποιήσουμε μία από τις απεικονίσεις: = ( + ή f( u, u, w ( x ( u, u w, y ( u, u, z ( u, u f( u, u, w x ( u, u, y ( u, u w, z ( u, u i i i = +. i i i 48

9 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ MONGE ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΊΔΕΙΟ ΧΩΡΟ 3. Τα ισοσταθμικά σύνολα των διαφορίσιμων συναρτήσεων: f : 3 είναι ομαλές επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου: Σ c ( f = {(x, y,z 3 / f (x, y,z = c}, c, με την προϋπόθεση ότι στα σημεία τους δεν μηδενίζεται το διαφορικό: D a f : 3, a Σ ( f. Η συνθήκη αυτή σημαίνει το μη μηδενισμό του πεδίου κλίσης στα σημεία της ισοσταθμικής επιφάνειας της θεωρούμενης συνάρτησης, δηλαδή το μη μηδενισμό τουλάχιστο μιας από τις μερικές παραγώγους της, οπότε στα σημεία αυτά υφίσταται το εφαπτόμενο επίπεδο που ορίζεται με την εξίσωση: (x x x f(x,z + ( y y y f(x,z + (z z z f(x,z = 0. c Σε κάθε ομαλή ισοσταθμική επιφάνεια ορίζεται ένας διαφορικός άτλας, ο άτλας Mnge, του οποίου οι τοπικοί χάρτες συγκροτούνται, στην περιοχή κάθε σημείου της, από τον περιορισμό των συντεταγμένων προβολών του περιβάλλοντος ευκλείδειου χώρου: x : 3, y : 3, αν z f (a 0, y : 3, z : 3, αν x f (a 0, z : 3, x : 3, αν y f (a 0. Η αντίστοιχη τοπική παραμετροποίηση μιας ομαλής ισοσταθμικής επιφάνειας κατασκευάζεται ως εξής: Π.χ, αν a = (x,z Σ c ( f και z f (a 0, το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων δηλώνει την ύπαρξη τοπικής διαφορίσιμης συνάρτησης σε ανοιχτή περιοχή του σημείου (x με τιμές σε ανοιχτή περιοχή του z : τέτοιας ώστε να ισχύει η ισοδυναμία: g : V ( x,y V z, g(x = z, (x, y V ( x,y και z = g(x, y (x, y,z (V ( x,y V z Σ c ( f. Έτσι, είναι εφικτή η κατασκευή της τοπικής παραμετροποίησης: ψ : V ( x,y Σ c ( f 3, ψ(u,v = ( u,v,g(u,v. Πρόκειται για διαφορίσιμη απεικόνιση της οποίας το διαφορικό έχει μηδενοδιάστατο πυρήνα και η εικόνα της ταυτίζεται με το ανοιχτό υποσύνολο της ισοσταθμικής επιφάνειας: (V ( x,y V z Σ c ( f 3. Η προβολή αυτού του ανοιχτού υποσυνόλου της ισοσταθμικής επιφάνειας ορίζει την τοπική χαρτογράφηση: φ : U = (V ( x,y V z Σ c ( f. Ανάλογη διαδικασία οδηγεί στην κατασκευή τοπικών παραμετροποιήσεων στις περιπτώσεις: x f (a 0 και y f (a 0. Οι τοπικές αυτές παραμετροποιήσεις αντιστοιχούν στη χαρτογράφηση Mnge. 49

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ MONGE ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ. Η επιφάνεια της σφαίρας. Η επιφάνεια της σφαίρας ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο: της διαφορίσιμης συνάρτησης: Σ( f = {(x, y,z 3 / f (x, y,z = 0} f (x, y,z = x + y + z ρ, ρ> 0. Το πεδίο κλίσης δεν μηδενίζεται στα σημεία αυτής της επιφάνειας, άρα πρόκειται για ομαλή επιφάνεια που επιδέχεται τοπικές χαρτογραφήσεις οι οποίες ορίζονται από τον περιορισμό των προβολών στα συντεταγμένα επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και συγκροτούν άτλαντα Mnge. Γενικότερα, το ίδιο ισχύει για τις σφαιροειδείς και ελλειψοειδείς επιφάνειες που ορίζονται ως ισοσταθμικά σύνολα της συνάρτησης: f (x, y,z = x a + y b + z, a,b,c > 0. c ΣΦΑΙΡΑ ΣΦΑΙΡΟΕΙΔΕΣ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΕΣ. Η επιφάνεια του τόρου. Η επιφάνεια του τόρου ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο: της διαφορίσιμης συνάρτησης: Σ( f = (x, y,z 3 / f (x, y,z = 0 ( f( x, y, z x y R z r rr>. = + +,, 0 Το πεδίο κλίσης δεν μηδενίζεται στα σημεία αυτής της επιφάνειας, άρα πρόκειται για ομαλή επιφάνεια που επιδέχεται τοπικές χαρτογραφήσεις οι οποίες ορίζονται από τον περιορισμό των προβολών στα συντεταγμένα επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και συγκροτούν άτλαντα Mnge. Σε κάθε σημείο της επιφά- νειας του τόρου υφίσταται το εφαπτόμενο επίπεδο το οποίο ορίζεται με την εξίσωση: (x x x f(x,z + ( y y y f(x,z + (z z z f(x,z = 0. Η επιφάνεια του τόρου και μια τοπική χαρτογράφησή της στο ευκλείδειο επίπεδο. 50

11 Η επιφάνεια του τόρου προκύπτει ως τοπολογικό γινόμενο δυο κύκλων ακτίνων R και r και γεωμετρικά σχηματίζεται από την περιστροφή στο χώρο ενός κύκλου γύρω από μια ευθεία. Η επιφάνεια αυτή ανήκει στην κατηγορία των επιφανειών που σχηματίζονται γενικότερα από περιστροφή μιας απλής ομαλής επίπεδης καμπύλης γύρω από μια ευθεία στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο: C = γ(s, γ : I 3, γ(s = ( x(s, y(s,z(s Π 3. Για παράδειγμα, αν μία καμπύλη ανήκει στο ημιεπίπεδο y = 0, x > 0 και περιστραφεί γύρω από την ευθεία που ορίζεται από τις εξισώσεις x = y = 0, κάθε σημείο γ(s = x(s, y(s,z(s σε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο z = 0 σε ύψος z(s στον τρισδιάστατο χώρο: S = {( x(s csθ, x(s sinθ, z(s 3 / θ [0,π[ } και έτσι σχηματίζεται στον τρισδιάστατο χώρο η ομαλή επιφάνεια: M = {( x(scsθ, x(ssinθ, z(s 3 / (s,θ I [0,π[ }. Η επιφάνεια του τόρου σχηματίζεται όταν ο κύκλος κέντρου (R,0,0 3 ( διαγράφει κύκλο ακτίνας x(s και ακτίνας r < R, που ανήκει στο επίπεδο των συντεταγμένων x και z, περιστραφεί γύρω από τον κατακόρυφο άξονα του ευκλείδειου συστή- ματος αναφοράς. Ο κύκλος αυτός ορίζεται παραμετρικά στον τρισδιάστατο χώρο ως εξής: γ(v = ( R + r csv, 0, r sinv, v [0,π[, και προκύπτει η παραμετρική έκφραση: T = {((R + r csvcsu, ( R + r csvsinu, r sinu / (u,v [0,π[ [0,π[ }. 3. Η επιφάνεια του κυλίνδρου και η επιφάνεια του υπερβολοειδούς. Η επιφάνεια του κυλίνδρου ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο: της συνάρτησης: Σ( f = {(x, y,z 3 / f (x, y,z = 0} f (x, y,z = x + y ρ, ρ> 0. Η επιφάνεια του υπερβολοειδούς ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο της συνάρτησης: f (x, y,z = x a + y b z c, abc>,, 0. Στις δύο αυτές περιπτώσεις, το πεδίο κλίσης δεν μηδενίζεται στα σημεία του αντίστοιχου ισοσταθμικού συνό- λου, άρα πρόκειται για ομαλές επιφάνειες που επιδέχονται τοπικές χαρτογραφήσεις οι οποίες ορίζονται από τον περιορισμό των προβολών στα τρία συντεταγμένα επίπεδα συγκροτώντας άτλαντα Mnge. Επιφάνειες κυλίνδρου και υπερβολοειδούς. 5

12 4. Οι επιφάνειες του ελλειπτικού και του υπερβολικού παραβολοειδούς. Η επιφάνεια του ελλειπτικού παραβολοειδούς ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο: της συνάρτησης: Σ( f = {(x, y,z 3 / f (x, y,z = 0} f (x, y,z = x a + y b z c, abc>,, 0 και εκείνη του υπερβολικού παραβολοειδούς ορίζεται από τη συνάρτηση: f (x, y,z = x a y b z c, abc>,, 0. Σε κάθε μια από αυτές τις δυο περιπτώσεις, το πεδίο κατευθυντήριας κλίσης της αντίστοιχης συνάρτησης δεν μηδενίζεται πουθενά στα σημεία του ισοσταθμικού της συνόλου, άρα πρόκειται για ομαλές επιφάνειες που επιδέχονται τοπικές χαρτογραφήσεις οι οποίες ορίζονται από τον περιορισμό των προβολών στα συντεταγμένα επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και συγκροτούν άτλαντα Mnge. Επιφάνειες ελλειπτικού και υπερβολικού παραβολοειδούς. 5. Η επιφάνεια του κώνου και του διπλού κώνου. Η επιφάνεια του κώνου ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο: της διαφορίσιμης συνάρτησης: Σ( f = (x, y,z 3 / f (x, y,z = 0 f (x, y,z = z x y, z > 0. Το πεδίο κλίσης μηδενίζεται στην κορυφή του κώνου και αυτό σημαίνει ότι η κωνική επιφάνεια δεν επιδέχεται διαφορική χαρτογράφηση στην περιοχή της κορυφής της. Στα άλλα σημεία της επιδέχεται τοπικές χαρτογρα- φήσεις οι οποίες ορίζονται από τον περιορισμό των προβολών στα συντεταγμένα επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και συγκροτούν άτλαντα Mnge. Η διπλή κωνική επιφάνεια ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως ισοσταθμικό σύνολο της συνάρτησης: f (x, y,z = z x y και δεν είναι καν τοπολογική επιφάνεια, εκτός αν εξαιρεθεί η κορυφή της οπότε μπορεί να χαρτογραφηθεί. Επιφάνεια διπλού κώνου. 5

13 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο θεωρούμε το υποσύνολο: E = 3 {0}. Στο σύνολο αυτό εισάγουμε τη σχέση ισοδυναμίας σύμφωνα με την οποία δυο σημεία είναι ισοδύναμα αν και μόνο αν ανήκουν στην ίδια ευθεία που διέρχεται από την αρχή του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου: x x λ 0 : x = λ x. Έτσι, τα σημεία του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου, εξαιρώντας την αρχή του, διαμερίζονται σε κλάσεις ισοδυναμίας που αντιστοιχούν στις διανυσματικές του ευθείες, δηλαδή τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή του. Το σχηματιζόμενο πηλικοσύνολο, δηλαδή το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας, εφοδιασμένο με τη φυσική του πηλικοτοπολογία καλείται πραγματικό προβολικό επίπεδο P [ ]. Η κανονική προβολή προσαρ- τά κάθε σημείο του Ε στην αντίστοιχη κλάση του μέσα στο προβολικό επίπεδο: π : E P [ ]. Γεωμετρική αναπαράσταση του πραγματικού προβολικού επιπέδου. 8 Τα ανοιχτά σύνολα της πηλικοτοπολογίας του προβολικού επιπέδου είναι τα υποσύνολά του των οποίων η προεικόνα διαμέσου της κανονικής προβολής είναι ανοιχτά σύνολα της τοπολογίας του Ε. Πρόκειται για την ισχυρότερη τοπολογία που μπορεί να οριστεί στο προβολικό επίπεδο η οποία καθιστά συνεχή την κανονική προβολή. Κάθε ανοιχτό υποσύνολο του προβολικού επιπέδου αντιστοιχεί στο σύνολο των διανυσματικών ευθειών του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου που περιέχονται στο κωνικό σύνολο: (x 3 {0}/ x + x { < x 3 } Από την κανονική προβολή προκύπτει η επικάλυψή του προβολικού επιπέδου με τα ανοιχτά υποσύνολά του: όπου U i = π( 3 Π i P [ ] Π i = {(x 3 / x i = 0}, i =,,3. Το προβολικό επίπεδο χαρτογραφείται στο ευκλείδειο επίπεδο με τρεις χάρτες που συγκροτούν διαφορικό άτλαντα. Άρα, το προβολικό επίπεδο είναι ομαλή τοπολογική επιφάνεια και συγκεκριμένα, εφοδιασμένο με την πηλικοτοπολογία του, είναι συμπαγής τοπολογική επιφάνεια ομοιόμορφη με τη σφαίρα S 3. Η χαρτογράφηση αυτή κατασκευάζεται με τη θεώρηση των συνεχών απεικονίσεων: όπου f (x = x / x, x 3 / x f i : 3 Π i (, ( x, x, x3 = ( x/ x, x3 / x f, f ( x, x, x = ( x / x, x / x Βλ. Θεμελιώδεις Έννοιες της Γενικής Τοπολογίας, Σ. Πνευματικού, Αθήνα 00 53

14 Διαπιστώνοντας ότι: f i (x = f i ( x π(x = π( x Ορίζονται τρεις τοπολογικοί χάρτες: και συγκροτείται ο άτλας: φ i : U i, φ i (π(x = f i (x, i =,,3, {(,,(,,(, } A = U φ U φ U φ. 3 3 Αλλαγές χαρτών του άτλαντα του πραγματικού προβολικού επιπέδου. Οι ομοιομορφισμοί αλλαγής των τοπικών χαρτών αυτού του άτλαντα είναι αμφιδιαφορικοί: Φ = φ φ :φ (U U φ (U U Φ 3 = φ 3 φ :φ (U U 3 φ 3 (U U 3 όπου Φ 3 = φ φ 3 :φ 3 (U 3 U φ (U 3 U φ ( y, y = π(, y, y, φ ( y, y = π( y,, y, φ 3 ( y, y = π( y, y,. Πράγματι, π.χ., ο ομοιομορφισμός αλλαγής χαρτών: φ (U U Φ Φ φ (U U V φ (U U = φ ( π( 3 Π π( 3 Π = {( y, y / y = x / x, y = x 3 / x,x 0} ( = {( y, y / y = x / x, y = x 3 / x 0} V φ (U U = φ π( 3 Π π( 3 Π εκφράζεται με τον αμφιδιαφορικό μετασχηματισμό που ορίζεται ως εξής: y = / y, y = y / y και y = / y, y = y / y. 54