b) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζν ησλ κεηξήζεσλ πνπ αθνξνχλ ην απηνθίλεην Β. Αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα Ν i

Transcript

1 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 1 από Γηα ηε κειέηε ηνπ αξηζκνχ ησλ ηξνραίσλ αηπρεκάησλ, πνπ γίλνληαη ζε κηα θεληξηθή δηαζηαχξσζε θάπνηαο επαξρηαθήο πφιεο, πήξακε δείγκα πέληε παξαηεξήζεσλ πνπ αθνξνχλ ηνλ αξηζκφ ησλ αηπρεκάησλ ζε θάζε έλαλ απφ ηνπο πέληε ηειεπηαίνπο κήλεο. Οη παξαηεξήζεηο είλαη αληίζηνηρα 1,, 3, 3, 1. A) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηαζπνξά ηνπ δείγκαηνο. Μνλάδεο 10 B) Να βξείηε ηε δηάκεζν ηνπ δείγκαηνο. Μνλάδεο 5 C) Πνηα είλαη ε (απφιπηε) θαη ζρεηηθή ηεο ηηκήο 3; Μνλάδεο 5 D) Πνην είλαη ην εχξνο ηνπ δείγκαηνο; Μνλάδεο 5. Ζ εμέηαζε 10 καζεηψλ ζην κάζεκα ηεο ζηαηηζηηθήο έδσζε ηνπο εμήο βαζκνχο: 11, 3, 7, 5, 16, 14, 11, 10, 11, 1. Να βξείηε: A) Σε δηάκεζν. Μνλάδεο 5 B) Σε κέζε ηηκή. Μνλάδεο 5 C) Σελ επηθξαηνχζα ηηκή. Μνλάδεο 5 D) Σν εχξνο. Μνλάδεο 5 E) Σε δηαθχκαλζε ηεο παξαπάλσ βαζκνινγίαο. Μνλάδεο 5 3. Οη βαζκνί ησλ 11 καζεηψλ κηαο ηάμεο ελφο ΓΔΛ ζε έλα κάζεκα είλαη 1, 1, 9, 15, 1, 16, 17, 7, 19, 18, 17. Γηα ηα δεδνκέλα απηά: A) Να θαηαζθεπάζεηε ηνλ πίλαθα ζπρλνηήησλ. Μνλάδεο 5 B) Να βξείηε ηε κέζε ηηκή. Μνλάδεο 5 C) Να βξείηε ηελ επηθξαηνχζα ηηκή. Μνλάδεο 5 D) Να βξείηε ηε δηάκεζν. Μνλάδεο 5 E) Να βξείηε ηε δηαθχκαλζε. Μνλάδεο 5 4. Οη βαζκνί ελφο καζεηή ζε πέληε καζήκαηα είλαη 8, 14, 0, 1 θαη 16. I) Να ππνινγίζεηε ηελ κέζε βαζκνινγία ηνπ καζεηή. Μνλάδεο 4 II) Να πξνζδηνξηζηεί ε δηάκεζνο. Μνλάδεο 3 III) Να ππνινγίζεηε ηελ ηππηθή απφθιηζε. Μνλάδεο 6 IV) Να ππνινγίζεηε ην εχξνο. Μνλάδεο 3 V) Να ππνινγίζεηε ηνλ ζπληειεζηή κεηαβιεηφηεηαο θαη ζηελ ζπλέρεηα λα εμεηαζηεί εάλ ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο. Μνλάδεο 9 5. Γηα ηνλ έιεγρν ηεο θαηαλάισζεο θαπζίκνπ (ίδηνπ ηχπνπ) δχν απηνθηλήησλ Α θαη Β κεηξήζεθε ε θαηαλάισζή ηνπο ζε έμη δηαδξνκέο γηα ην Α θαη ζε πέληε δηαδξνκέο γηα ην Β. Ζ θαηαλάισζε ζηηο έμη δηαδξνκέο (ζε ιίηξα αλά 100 ρηιηφκεηξα) γηα ην Α ήηαλ 9, 6, 7, 9, 9, 8 ελψ ε θαηαλάισζε ζηηο πέληε δηαδξνκέο γηα ην Β ήηαλ 8, 10, 7, 8, 1. a) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζν ησλ κεηξήζεσλ πνπ αθνξνχλ ην απηνθίλεην Α. Μνλάδεο 10 b) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζν ησλ κεηξήζεσλ πνπ αθνξνχλ ην απηνθίλεην Β. Μνλάδεο 10 c) Αλ έλαο πσιεηήο ήζειε λα ρξεζηκνπνηήζεη ηα πην πάλσ δεδνκέλα γηα λα πείζεη έλαλ ππνςήθην αγνξαζηή λα αγνξάζεη ην απηνθίλεην Α θαη φρη ην Β, πνην κέηξν ζέζεο (δηάκεζν ή κέζε ηηκή) ζα ρξεζηκνπνηνχζε; Αλ αληίζηξνθα ήζειε λα πείζεη ηνλ ππνςήθην αγνξαζηή λα αγνξάζεη ην απηνθίλεην Β θαη φρη ην Α, πνην κέηξν ζέζεο (δηάκεζν ή κέζε ηηκή) ζα ρξεζηκνπνηνχζε; Μνλάδεο 5 6. Δμεηάζακε έλα δείγκα 50 θαηνίθσλ κηαο πφιεο, σο πξνο ηνλ αξηζκφ ησλ πηζησηηθψλ ηνπο θαξηψλ. Σα απνηειέζκαηα θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Αξ. πηζηση. πρλφηεηα θαξηψλ λ λ 1 Αζξνηζηηθή Ν ρεηηθή f απνηειέζκαηα 50 I) Να κεηαθέξεηε ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ζην ηεηξάδηφ ζαο θαη λα ηνλ ζπκπιεξψζεηε. Μνλάδεο 10

2 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 14 II) Να βξείηε ηε κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο ησλ 50 θαηνίθσλ. Μνλάδεο 5 III) Πφζνη θάηνηθνη έρνπλ πεξηζζφηεξεο απφ θάξηεο; Μνλάδεο 5 IV) Να ζρεδηάζεηε ην θαηαθφξπθν ξαβδφγξακκα ζπρλνηήησλ. Μνλάδεο 5 7. Δξσηήζεθαλ 50 καζεηέο ελφο ζρνιείνπ γηα ηνλ αξηζκφ ησλ βηβιίσλ πνπ δηάβαζαλ ζηηο δηαθνπέο. Σα απνηειέζκαηα ηεο έξεπλαο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Αξ. βηβιίσλ Αξ. καζεηψλ Αζξνηζηηθή λ λ χλνιν I) Να κεηαθέξεηε ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ζην ηεηξάδηφ ζαο θαη λα ηνλ ζπκπιεξψζεηε. Μνλάδεο 8 II) Να βξείηε ηε κέζε ηηκή ησλ παξαηεξήζεσλ. Μνλάδεο 8 III) Να βξείηε ηε δηάκεζν ησλ παξαηεξήζεσλ. Μνλάδεο 5 IV) Να βξείηε ην εχξνο ησλ ηηκψλ. Μνλάδεο 4 8. Μηα κεηαβιεηή παίξλεη ηηο ηηκέο 5,3,3σ,3,σ,3,3σ,σ κε σ>0. I) Αλ ε κέζε ηηκή ηνπο είλαη 4, λα απνδείμεηε φηη σ=. Μνλάδεο 7 II) Γηα σ=, λα βξείηε : α) Σν εχξνο ησλ ηηκψλ. Μνλάδεο 5 β) Σελ επηθξαηνχζα ηηκή. Μνλάδεο 5 γ) Σελ ηππηθή απφθιηζε. Μνλάδεο 8 9. Οη βαζκνί ησλ 10 καζεηψλ ηεο Γ Λπθείνπ ζηα καζεκαηηθά θαηεχζπλζεο ζε έλα πξφρεηξν δηαγψληζκα, είλαη 1,, 13, 15, 11,14, 17, 10, 9 θαη 19. Να βξείηε ηνπο βαζκνχο πνπ ιείπνπλ, αλ γλσξίδνπκε φηη ν κέζνο φξνο ηνπ ηκήκαηνο είλαη 13 θαη ε δηαθχκαλζε 9,6. (Απ: 10, 1. ) 10. Μηα κεηαβιεηή Υ παίξλεη ηηκέο 1 =α, =α+5, 3 =α+10, 4 =α+35, φπνπ α πξαγκαηηθφο 7 3 αξηζκφο. Οη αζξνηζηηθέο ζπρλφηεηεο ησλ ηηκψλ δίλνληαη απφ ηνλ ηχπν F, γηα =1,, 3, 4, φπνπ ι ζεηηθφο αθέξαηνο. I) Να απνδείμεηε φηη ι=5. Μνλάδεο 7 II) Να βξείηε ηηο ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο f 1, f, f 3 θαη f 4. Μνλάδεο 8 III) Αλ ε κέζε ηηκή ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη 19, λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ α. Μνλάδεο Απφ κηα έξεπλα ηεο θηεληαηξηθήο ππεξεζίαο κηαο λνκαξρίαο, γηα ηνλ αξηζκφ ησλ αηγνπξνβάησλ πνπ θαηέρνπλ νη 40 θηελνηξφθνη ελφο Γήκνπ, έγηλε δεηγκαηνιεςία κεγέζνπο 1 θαη ηα απνηειέζκαηα ζε εθαηνληάδεο αηγνπξφβαηα είλαη ηα εμήο: 6,7,8,4,8,6,5,6,3,6,6,7. I) Βξείηε ηελ κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζν II) Βξείηε ηελ δηαθχκαλζε θαη ηελ ηππηθή απφθιηζε. III) Να θάλεηε ην ζεκεηφγξακκα ζπρλνηήησλ. IV) Πφζνη απφ ηνπο θηελνηξφθνπο ηνπ δήκνπ έρνπλ ηνπιάρηζηνλ 700 αηγνπξφβαηα; 1. ηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλεηαη ε θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ησλ σξψλ κειέηεο ησλ καζεηψλ ηεο Γ ηάμεο ελφο Γεληθνχ Λπθείνπ θαζεκεξηλά. Ώξεο Ν Αξ. καζεηψλ λ 10 3 α I. Αλ ε δηάκεζνο ηνπ δείγκαηνο είλαη δ=3,5 λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ α. Μνλάδεο 8 II. Γηα α=30, λα βξείηε ηε κέζε ηηκή ησλ σξψλ κειέηεο ησλ καζεηψλ. Μνλάδεο 7 III. Γηα α=30, λα βξείηε ηε δηαθχκαλζε s ησλ σξψλ κειέηεο ησλ καζεηψλ. Μνλάδεο 10

3 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 3 από Γίλεηαη ην δηπιαλφ ηζηφγξακκα, πνπ αθνξά ηηο εο 40 εξγαδνκέλσλ ζε κηα επηρείξεζε. Σα απνηειέζκαηα είλαη νκαδνπνηεκέλα ζε θιάζεηο ίζνπ πιάηνπο. ν I) Να κεηαθέξεηε ηνλ παξαθάησ πίλαθα ζην ηεηξάδηφ ζαο θαη λα ηνλ ζπκπιεξψζεηε κε βάζε ην δηπιαλφ ηζηφγξακκα. Μνλάδεο II) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή ησλ ειηθηψλ ησλ εξγαδφκελσλ. Μνλάδεο 5 III) Πφζνη εξγαδφκελνη έρνπλ ειηθία ηνπιάρηζηνλ 45 7 εηψλ; Μνλάδεο 5 6 IV) Ση πνζνζηφ ησλ εξγαδνκέλσλ έρνπλ ειηθία θάησ ησλ 35 εηψλ; Μνλάδεο Ζιηθίεο [ - ) Μέζν δηαζηήκαηνο πρλφηεηα λ Αζξνηζηηθή Ν ρεηηθή f % λ χλνιν 14. ηνλ παξαθάησ πίλαθα παξνπζηάδνληαη νη ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο ησλ ηηκψλ ζε Δπξψ ε- λφο ζπγθεθξηκέλνπ πξντφληνο ζε 50 θαηαζηήκαηα κηαο πφιεο. Σηκή πξντφληνο ζε Δπξψ ρεηηθή f [8,10) 0, [10,1) f [1,14) 0,3 [14,16) f 4 I) Αλ ε κέζε ηηκή ησλ ηηκψλ ηνπ πξντφληνο ζηα θαηαζηήκαηα απηά είλαη 11, 60 Δπξψ, λα βξείηε ηηο ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο f θαη f 4. Μνλάδεο 10 II) Αλ f =0,4 θαη f 4 =0,1, ηφηε: α) Να βξείηε ζε πφζα θαηαζηήκαηα ε ηηκή ηνπ πξντφληνο είλαη κεγαιχηεξε ή ίζε ησλ 10 Δπξψ. Μνλάδεο 8 β) Να θαηαζθεπάζεηε ην πνιχγσλν αζξνηζηηθψλ ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ. Μνλάδεο Οη βαζκνί ελφο καζεηή ζηα 5 καζήκαηα ησλ παλειιελίσλ εμεηάζεσλ θαη νη αληίζηνηρνη ζπληειεζηέο βαξχηεηαο δίλνληαη ζηνλ πίλαθα: ΜΑΘΖΜΑ Μαζεκαηηθά Φπζηθή ΑΔζΠΠ Γιψζζα ηαηηζηηθή ΒΑΘΜΟ πλη. Βαξχη. 1,3 0, Να βξείηε ηνπο βαζκνχο 3 θαη 4 αλ γλσξίδνπκε φηη ν κέζνο φξνο ηνπ καζεηή είλαη 13 θαη ν ζηαζκηθφο κέζνο είλαη 13,1. (Απ: 11, 15.) 16. Ζ κέζε ηηκή 40 παξαηεξήζεσλ είλαη 0. Αλ απφ απηέο νη 7 κεηψλνληαη θαηά θαη νη 9 απμάλνληαη θαηά 6 ε θαζεκηά, λα βξεζεί ε λέα κέζε ηηκή. (Απ: 19) 17. Γίλνληαη 5 παξαηεξήζεηο κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο Υ: 16, 14,, 18, 0+α, φπνπ αr. Αλ ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο (CV) ησλ παξαηεξήζεσλ απηψλ είλαη 5 θαη ε ηππηθή ηνπο απφθιηζε είλαη s=4, ηφηε: α) Να δείμεηε φηη ε κέζε ηηκή ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη 0. Μνλάδεο 7 3

4 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 4 από 14 β) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνχ αξηζκνχ α. Μνλάδεο 10 γ) Γηα ηελ ηηκή ηνπ α πνπ ππνινγίζαηε ζην εξψηεκα β, λα βξείηε ηε δηάκεζν ηνπ δείγκαηνο. Μνλάδεο 5 δ) Δίλαη ην δείγκα νκνηνγελέο ή φρη θαη γηαηί; Μνλάδεο Ο ρξφλνο αλακνλήο ησλ πνιηηψλ κέρξη λα εμππεξεηεζνχλ ζε κηα δεκφζηα ππεξεζία αθνινπζεί κανονική θαηαλνκή κε κέζε ηηκή 5 ιεπηά θαη ηππηθή απφθιηζε 1 ιεπηφ. ) Να βξείηε πφζν είλαη πεξίπνπ ην πνζνζηφ ησλ πνιηηψλ πνπ εμππεξεηνχληαη ζε ρξφλν 1) Απφ 4 έσο 6 ιεπηά. ) Απφ 3 έσο 6 ιεπηά. Μνλάδεο 10 ) Να βξείηε ηε δηάκεζν θαη ην εχξνο ηεο θαηαλνκήο ηνπ ρξφλνπ αλακνλήο ησλ πνιηηψλ. Μνλάδεο 10 ) Να ππνινγίζεηε ηνλ ζπληειεζηή κεηαβιεηφηεηαο ηεο θαηαλνκήο ηνπ ρξφλνπ αλακνλήο ησλ πνιηηψλ. Μνλάδεο Ζ βαζκνινγία ησλ καζεηψλ κηαο ηάμεο ζην κάζεκα ησλ Μαζεκαηηθψλ αθνινπζεί πεξίπνπ ηελ κανονική θαηαλνκή κε 1 θαη s. Να βξείηε θαηά πξνζέγγηζε ην πνζνζηφ ησλ καζεηψλ πνπ έγξαςαλ: α) θάησ απφ 8 β) πάλσ απφ 18 γ) απφ 10 έσο 16 δ) ην πνιχ 1 0. Ρσηήζεθαλ 50 νηθνγέλεηεο κηαο ζπλνηθίαο απφ έλα ζχλνιν 350 νηθνγελεηψλ ελφο δεκνηηθνχ δηακεξίζκαηνο ελφο Γήκνπ ηεο Αηηηθήο σο πξνο ηνλ αξηζκφ ησλ απηνθηλήησλ πνπ δηαηεξεί θάζε νηθνγέλεηα θαη πξνέθπςε ν παξαθάησ πίλαθαο: Απ. αςη. Απ. οικ. f f % N F F % α ν ν ν , 0 4 0,88 5 ΤΝΟΛΟ 50 I) Να ζπκπιεξσζεί ν πίλαθαο. II) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζν δ ηεο θαηαλνκήο. III) Να ππνινγίζεηε ηελ ηππηθή απφθιηζε θαη λα εμεηάζεηε αλ ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο. IV) Δάλ ην δείγκα ζεσξεζεί αμηφπηζην, πφζεο νηθνγέλεηεο ηνπ δεκνηηθνχ δηακεξίζκαηνο έρνπλ ηνπιάρηζηνλ 3 απηνθίλεηα; 1. ε έλα δείγκα λ παξαηεξήζεσλ 1,,, λ κηαο κεηαβιεηήο Υ είλαη 8 θαη s 4. I) Αλ y 1, y,,y λ εηλαη ην δείγκα ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηηο 1,,, λ φηαλ θάζε κηα απμεζεί θαηά 10% ηφηε: 1) Να εμεηάζεηε εάλ ην δείγκα 1,,, λ είλαη νκνηνγελέο. Μνλάδεο 5 ) Να ζπγθξηζνχλ ηα δχν δείγκαηα σο πξνο ηελ νκνηνγέλεηα. Μνλάδεο 5 II) Αλ z γηα θάζε =1,,,λ s 1) λα βξείηε ηε κέζε ηηκή z θαη ηελ ηππηθή απφθιηζε s z ησλ z 1, z,,z λ. Μνλάδεο 10 ) λα εμεηάζεηε εάλ νξίδεηαη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο (CV) ησλ z 1, z,,z λ. Μνλάδεο 5 ΘΔΜΑΤΑ ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΩΝ 1. Αποδείξειρ: I) ΘΔΜΑ Α Α1 010: Έζησ t 1, t,, t λ νη παξαηεξήζεηο κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο X ελφο δείγκαηνο κεγέζνπο λ, πνπ έρνπλ κέζε ηηκή. ρεκαηίδνπκε ηηο δηαθνξέο t 1 -, t -,, t λ -. Να απνδείμεηε φηη ν αξηζκεηηθφο κέζνο ησλ δηαθνξψλ απηψλ είλαη ίζνο κε κεδέλ. Μνλάδεο 7 4

5 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 5 από 14 II) ΘΔΜΑ 1 ον 00:Αο ππνζέζνπκε φηη 1,,, θ είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο Υ, πνπ αθνξά ηα άηνκα ελφο δείγκαηνο κεγέζνπο λ, φπνπ θ,λ κε κεδεληθνί θπζηθνί αξηζκνί κε Κλ. a) Ση νλνκάδεηαη απφιπηε λ, πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή, =1,,,θ; Μνλάδεο 3 b) Ση νλνκάδεηαη ζρεηηθή f ηεο ηηκήο, =1,,,θ; Μνλάδεο 3 c) Να απνδείμεηε φηη: 1) 0 f 1 γηα =1,,,θ. ) f 1 + f + + f θ =1. Μνλάδεο 4. Οπιζμοί: I) ΘΔΜΑ Α Α3 01: Πσο νξίδεηαη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ή ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο κηαο κεηαβιεηήο Υ, αλ 0 θαη πσο, αλ 0?. Μνλάδεο 4 II) ΘΔΜΑ Α3 011: Ση εθθξάδεη ε ζρεηηθή f κηαο παξαηήξεζεο ελφο δείγκαηνο. Μνλάδεο 4 III) ΘΔΜΑ Α 010: Έζησ 1,,, λ νη παξαηεξήζεηο κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο X ελφο δείγκαηνο κεγέζνπο λ θαη w 1, w,, w λ είλαη νη αληίζηνηρνη ζπληειεζηέο ζηάζκηζεο (βαξχηεηαο. Να νξίζεηε ην ζηαζκηθφ κέζν ηεο κεηαβιεηήο Υ. Μνλάδεο 4 IV) ΘΔΜΑ 1 ον Β 009: Αλ 1,,, θ είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο X πνπ αθνξά ηα άηνκα ελφο δείγκαηνο κεγέζνπο λ (θλ), λα νξίζεηε ηε ζρεηηθή f ηεο ηηκήο, =1,,,θ. Μνλάδεο 5 V) ΘΔΜΑ Β 008: Πσο νξίδεηαη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ή ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο κηαο κεηαβιεηήο Υ, αλ 0 θαη πσο, αλ 0?. Μνλάδεο 7 VI) Να δψζεηε ηνλ νξηζκφ ηεο δηακέζνπ δ ελφο δείγκαηνο λ παξαηεξήζεσλ, φηαλ ν λ είλαη άξηηνο αξηζκφο. Μνλάδεο 3 VII) α) Πνηεο κεηαβιεηέο ιέγνληαη πνζνηηθέο; Μνλάδεο 3 β) Πφηε κηα πνζνηηθή κεηαβιεηή νλνκάδεηαη δηαθξηηή θαη πφηε ζπλερήο; Μνλάδεο 4 3. Σωζηό (Σ) Λάθορ (Λ): (Μνλάδεο θαζεκηά ). I) Σν θπθιηθφ δηάγξακκα ρξεζηκνπνηείηαη κφλν γηα ηε γξαθηθή παξάζηαζε πνζνηηθψλ κεηαβιεηψλ. II) Σν εχξνο, ε δηαθχκαλζε θαη ε ηππηθή απφθιηζε ησλ ηηκψλ κηαο κεηαβιεηήο, είλαη κέηξα δηαζπνξάο. III) Ζ δηαθχκαλζε εθθξάδεηαη ζηηο ίδηεο κνλάδεο κε ηηο νπνίεο εθθξάδνληαη νη παξαηεξήζεηο. IV) ε κηα θαλνληθή θαηαλνκή ην εχξνο ηζνχηαη πεξίπνπ κε 6 θνξέο ηε κέζε ηηκή, δειαδή R 6. V) Πάληνηε έλα κεγαιχηεξν δείγκα δίλεη πην αμηφπηζηα απνηειέζκαηα απφ έλα κηθξφηεξν δείγκα. VI) Έλα δείγκα ηηκψλ κηαο κεηαβιεηήο είλαη νκνηνγελέο, αλ ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο δελ μεπεξλά ην 10%. VII) Ζ δηάκεζνο είλαη έλα κέηξν ζέζεο, ην νπνίν επεξεάδεηαη απφ ηηο αθξαίεο παξαηεξήζεηο. 5

6 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 6 από 14 VIII) Σν ξαβδφγξακκα ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ησλ ηηκψλ κηαο πνηνηηθήο κεηαβιεηήο. IX) Ζ κέζε ηηκή ελφο ζπλφινπ λ παξαηεξήζεσλ t 1, t,, t λ είλαη πάληνηε κηα απφ ηηο παξαηεξήζεηο απηέο. X) ην ηζηφγξακκα ζπρλνηήησλ νκαδνπνηεκέλσλ δεδνκέλσλ, ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ην πνιχγσλν ζπρλνηήησλ θαη ηνλ νξηδφληην άμνλα είλαη ίζν κε ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο. XI) ηελ πεξίπησζε ησλ πνζνηηθψλ κεηαβιεηψλ, νη αζξνηζηηθέο ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο F % εθθξάδνπλ ην πνζνζηφ ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ είλαη κεγαιχηεξεο ηεο ηηκήο. XII) ηελ πεξίπησζε ησλ πνζνηηθψλ κεηαβιεηψλ, νη αζξνηζηηθέο ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο F % εθθξάδνπλ ην πνζνζηφ ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ είλαη κηθξφηεξεο ή ίζεο ηεο ηηκήο. XIII) Ζ δηαθχκαλζε είλαη κέηξν ζέζεο. XIV) Ζ ηεο ηηκήο κηαο κεηαβιεηήο Υ είλαη αξλεηηθφο αξηζκφο. XV) ηελ θαλνληθή θαηαλνκή ην 95% ησλ παξαηεξήζεσλ βξίζθεηαη ζην s, s F % F 3 % 50% F 1 % X 6 δηάζηεκα ( ), φπνπ ε κέζε ηηκή ησλ παξαηεξήζεσλ θαη s ε ηππηθή ηνπο απφθιηζε. XVI) Αλ δηαηξέζνπκε ηε v κηαο κεηαβιεηήο Υ κε ην κέγεζνο λ ηνπ δείγκαηνο, πξνθχπηεη ε ζρεηηθή f ηεο ηηκήο. XVII) Σν εχξνο είλαη κέηξν ζέζεο. XVIII) Ζ δηαθχκαλζε εθθξάδεηαη κε ηηο ίδηεο κνλάδεο κε ηηο νπνίεο εθθξάδνληαη νη παξαηεξήζεηο. XIX) Σν εχξνο R ελφο δείγκαηνο λ παξαηεξήζεσλ δελ επεξεάδεηαη απφ ηηο δχν αθξαίεο παξαηεξήζεηο. XX) ε έλα ηζηφγξακκα ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ην πνιχγσλν ζπρλνηήησλ θαη ηνλ νξηδφληην άμνλα είλαη ίζν κε 1. XXI) Σν άζξνηζκα φισλ ησλ ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ ησλ ηηκψλ κηαο κεηαβιεηήο Υ είλαη ίζν κε ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο. XXII) Πιάηνο κηάο θιάζεο, νλνκάδεηαη ε δηαθνξά ηνπ θαηψηεξνπ απφ ην α- λψηεξν φξην ηεο θιάζεο. 4. ΘΔΜΑ Β 01: Οη ρξφλνη (ζε ιεπηά) πνπ ρξεηάζηεθαλ νη καζεηέο κηαο ηάμεο λα ιχζνπλ έλα καζεκαηηθφ πξφβιεκα αλήθνπλ ζην δηάζηεκα [5,45) θαη έρνπλ νκαδνπνηεζεί ζε 4 θιάζεηο ίζνπ πιάηνπο. Σα δεδνκέλα ησλ ρξφλσλ εκθαλίδνληαη ζην παξαθάησ ηζηφγξακκα αζξνηζηηθψλ ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ επί ηνηο εθαηφ: I) Με βάζε ην ηζηφγξακκα αζξνηζηηθψλ ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ επί ηνηο εθαηφ, λα ππνινγίζεηε ηελ δηάκεζν ησλ ρξφλσλ πνπ ρξεηάζηεθαλ νη καζεηέο. Μνλάδεο 4 II) ηνλ επφκελν πίλαθα ζπρλνηήησλ ηεο θαηαλνκήο ησλ ρξφλσλ, λα απνδείμεηε φηη α=8 (κνλάδεο 3) θαη λα κεηαθέξεηε ηνλ πίλαθα θαηάιιεια ζπκπιεξσκέλν ζην ηεηξάδηφ ζαο (κνλάδεο 5).

7 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 7 από 14 Υξφλνη λ f% N F% (ιεπηά) [5, ) α+4 [, ) 3α-6 [, ) α+8 [, 45) α- χλνιν Μνλάδεο 8 III) Να βξεζεί ε κέζε ηηκή θαη ε ηππηθή απφθιηζε s ησλ ρξφλσλ πνπ ρξεηάζηεθαλ νη καζεηέο. Γίλεηαη 84 9, 17. Μνλάδεο 8 IV)Να βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ καζεηψλ πνπ ρξεηάζηεθαλ ηνπιάρηζηνλ 37 ιεπηά λα ιχζνπλ ην καζεκαηηθφ πξφβιεκα. Μνλάδεο 5 5. ΘΔΜΑ Γ 011: Οη πσιήζεηο, ζε ρηιηάδεο επξψ, πνπ έγηλαλ απφ ηνπο πσιεηέο κηαο εηαηξείαο θαηά ηελ δηάξθεηα ελφο έηνπο νκαδνπνηήζεθαλ ζε πίλαθα ζπρλνηήησλ κε θιάζεηο ίζνπ πιάηνπο. Σν αληίζηνηρν πνιχγσλν ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ f % έρεη δηαδνρηθέο θνξπθέο ηηο: Α(8,0) Β(10,10) Γ(1,0) Γ(14,y Γ ) Δ(16,y Δ ) Ε(18,10) Ζ(0,0) Όπνπ y Γ θαη y Δ νη ηεηαγκέλεο ησλ θνξπθψλ Γ θαη Δ αληίζηνηρα ηνπ πνιπγψλνπ ΑΒΓΓΔΕΖ. I) Να ππνινγηζηνχλ νη ηεηαγκέλεο ησλ θνξπθψλ Γ θαη Δ αληίζηνηρα ηνπ πνιπγψλνπ ΑΒΓΓΔΕΖ, αλ επηπιένλ γλσξίδνπκε φηη ε κέζε ηηκή ησλ πσιήζεσλ ζηελ δηάξθεηα ηνπ έηνπο είλαη 1400 επξψ θαη ην επζχγξακκν ηκήκα ΓΔ είλαη παξάιιειν πξνο ηνλ νξηδφληην άμνλα. Μνλάδεο 7 II) Να ζρεδηαζηεί ην πνιχγσλν ησλ ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ f %. Μνλάδεο 3 III) Να θαηαζθεπαζηεί ν πίλαθαο ησλ ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ f % ηεο θαηαλνκήο ησλ πσιήζεσλ πνπ έγηλαλ απφ ηνπο πσιεηέο ηεο εηαηξείαο θαηά ηελ δηάξθεηα ηνπ έηνπο. Μνλάδεο 7 IV)Ζ δηεχζπλζε ηεο εηαηξείαο απνθάζηζε ηε ρνξήγεζε ελφο επηπιένλ εθάπαμ πνζνχ ζε φζνπο πσιεηέο έρνπλ θάλεη εηήζηεο πσιήζεηο ηνπιάρηζηνλ επξψ. Να ππνινγηζηεί ην πνζνζηφ ησλ πσιεηψλ πνπ ζα ιάβνπλ απηφ ην πνζφ. Μνλάδεο 4 V) Σν εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ην πνιχγσλν ζπρλνηήησλ ηεο θαηαλνκήο ησλ πσιήζεσλ νη νπνίεο έγηλαλ απφ ηνπο πσιεηέο ηεο εηαηξείαο θαηά ηελ δηάξθεηα ηνπ έηνπο θαη ηνπ νξηδφληηνπ άμνλα είλαη 80. Να βξείηε ηνλ αξηζκφ ησλ πσιεηψλ πνπ δηθαηνχληαη ην παξαπάλσ πνζφ πνπ αλαθέξεηαη ζην IV εξψηεκα. Μνλάδεο 4 6. ΘΔΜΑ Γ 010: Οη ηηκέο ηεο απψιεηαο βάξνπο, ζε θηιά, 160 αηφκσλ, ηα ν- πνία αθνινχζεζαλ έλα πξφγξακκα αδπλαηίζκαηνο, έρνπλ νκαδνπνηεζεί ζε 5 θιάζεηο ίζνπ πιάηνπο, φπσο εκθαλίδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Απψιεηα βάξνπο Κέληξν θιάζεο πρλφηεηα ε θηιά λ [0, ) 0 [, ) 6 40 [, ) 45 [, ) 30 [, ) 5 χλνιν 160 7

8 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 8 από 14 I) Να απνδείμεηε φηη ην πιάηνο c θάζε θιάζεο είλαη ίζν κε 4. Μνλάδεο 6 II) Αθνχ κεηαθέξεηε ζην ηεηξάδηφ ζαο ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ζσζηά ζπκπιεξσκέλν, λα ππνινγίζεηε ηελ κέζε ηηκή θαη ηελ ηππηθή απφθιηζε s. Μνλάδεο 8 III) Να εμεηάζεηε εάλ ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο. Μνλάδεο 5 IV)Να ππνινγίζεηε ην πνζνζηφ ησλ αηφκσλ πνπ ε απψιεηα βάξνπο ηνπο είλαη κεηαμχ 7 θαη 14 σλ θηιψλ. Μνλάδεο 6 Γίλεηαη ν ηχπνο s 1 v k 1 v 8 k 1 v v 7. ηνλ επφκελν πίλαθα δίλνληαη νη ηηκέο, =1,,3,4 κηαο κεηαβιεηήο Υ κε α- ληίζηνηρεο ζπρλφηεηεο λ, =1,,3,4. Ζ λ πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή =3 είλαη άγλσζηε. Γίλεηαη φηη ε κέζε ηηκή ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη ίζε κε ; I) Να απνδείμεηε φηη λ =7 Μνλάδεο 9 II) Να απνδείμεηε φηη ε δηαθχκαλζε ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη 4,9 Μνλάδεο 9 III) Να εμεηάζεηε αλ ην δείγκα ησλ ηηκψλ ηεο κεηαβιεηήο Υ είλαη νκνηνγελέο. Γίλεηαη φηη 4,9,. Μνλάδεο 7 8. ΘΔΜΑ 4 ον 009: Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ( ) ln 6, >0 φπνπ ι έλαο πξαγκαηηθφο αξηζκφο. I) α) Να πξνζδηνξίζεηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα θαη ην δηάζηεκα ζην νπνίν ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα. Μνλάδεο 6 β) Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε f σο πξνο ηα αθξφηαηα. Μνλάδεο 6 II) Θεσξνχκε φηη νη ηηκέο ηεο ζπλάξηεζεο f(), f(4), f(8), f(3) θαη f(5) είλαη παξαηεξήζεηο κηαο κεηαβιεηήο Υ. α) Αλ R είλαη ην εχξνο θαη δ ε δηάκεζνο ησλ παξαηεξήζεσλ, λα δείμεηε 1 φηη R 3 ln θαη δ=ln4+ι -6ι. Μνλάδεο 7 Α Β λ 4 β) Έζησ ν δεηγκαηηθφο ρψξνο Ω={1,,3,,100} πνπ απνηειείηαη απφ απιά ηζνπίζαλα ελδερφκελα. Αλ ην ι παίξλεη ηηκέο ζηνλ δεηγκαηηθφ ρψξν Ω, λα π- πνινγίζεηε ηελ πηζαλφηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ Α={ιΩ/R+δ<-}. Μνλάδεο 6 9. ΘΔΜΑ 3 ον 008:Γηα δχν ηχπνπο κπαηαξηψλ Α θαη Β επηιέρζεθαλ δχν δείγκαηα κεγέζνπο 5 ην θαζέλα. Οη ρξφλνη δσήο ησλ κπαηαξηψλ γηα ην θάζε δείγκα (ζε ρηιηάδεο ψξεο) δίλνληαη ζηνλ δηπιαλφ πίλαθα: I) Να βξείηε ηε κέζε δηάξθεηα δσήο κηαο κπαηαξίαο ηχπνπ Α θαη κηαο κπαηαξίαο ηχπνπ Β. Μνλάδεο 5

9 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 9 από 14 II) Αλ κηα κπαηαξία ηχπνπ Α ζηνηρίδεη 38 επξψ θαη κηα κπαηαξία ηχπνπ Β ζηνηρίδεη 40 επξψ, πνηνλ ηχπν κπαηαξίαο ζπκθέξεη λα αγνξάζνπκε; (αηηηνιφγεζε) Μνλάδεο 5 III) Να βξείηε ηηο ηππηθέο απνθιίζεηο s Α θαη s Β ηεο δηάξθεηαο δσήο ησλ δχν κπαηαξηψλ. Μνλάδεο 7 IV)Να βξείηε πνηνο απφ ηνπο δχν ηχπνπο κπαηαξηψλ Α θαη Β παξνπζηάδεη ηελ κεγαιχηεξε νκνηνγέλεηα σο πξνο ηε δηάξθεηα δσήο ηνπ. Γίλεηαη 11 3, 3. Μνλάδεο ΘΔΜΑ 4 ον 007: Θεσξνχκε δχν δείγκαηα Α θαη Β κε παξαηεξήζεηο: Γείγκα Α: 1, 18, t 3, t 4,, t 5. Γείγκα Β: 16, 14, t 3, t 4,, t 5. Γίλεηαη φηη t 3 +t 4 + +t 5 =345. I) Να απνδείμεηε φηη νη κέζεο ηηκέο A θαη B ησλ δχν δεηγκάησλ Α θαη Β αληίζηνηρα είλαη 15. Μνλάδεο 7 II) Αλ A A B s είλαη ε δηαθχκαλζε ηνπ δείγκαηνο Α θαη s B είλαη ε δηαθχκαλζε ηνπ δείγκαηνο Β, λα απνδείμεηε φηη s A s B. Μνλάδεο 8 1 III) Αλ ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο ηνπ δείγκαηνο Α είλαη CV A =, λα π- 15 πνινγίζεηε ηνλ ζπληειεζηή κεηαβιεηφηεηαο CV B ηνπ δείγκαηνο Β. 11. ΘΔΜΑ ον 006: Καηά ηελ αξρή ηεο ζρνιηθήο ρξνληάο νη 50 καζεηέο ηεο ηξίηεο ηάμεο ελφο Λπθείνπ ξσηήζεθαλ ζρεηηθά κε ηνλ αξηζκφ ησλ βηβιίσλ πνπ δηάβαζαλ θαηά ηελ πεξίνδν ησλ ζεξηλψλ δηαθνπψλ. χκθσλα κε ηηο απαληήζεηο πνπ δφζεθαλ, ζπληάρζεθε ν παξαθάησ πίλαθαο: Αξηζκφο βηβιίσλ 16 5 Αξηζκφο καζεηψλ λ 0 α+4 1 5α+8 4α 3 α-1 4 α χλνιν 50 I) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ α. Μνλάδεο 3 ηε ζπλέρεηα λα βξείηε: II) Σε κέζε ηηκή ηνπ αξηζκνχ ησλ βηβιίσλ πνπ δηάβαζαλ νη καζεηέο. Μνλάδεο 7 III) Σε δηάκεζν ηνπ αξηζκνχ ησλ βηβιίσλ πνπ δηάβαζαλ νη καζεηέο. Μνλάδεο 7 IV)Σν πνζνζηφ ησλ καζεηψλ πνπ δηάβαζαλ ηνπιάρηζηνλ 3 βηβιία. Μνλάδεο 8 1. ΘΔΜΑ 4 ον 006: Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) k 4 10, 0. I) Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν Α(1,f(1)) είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα, λα απνδείμεηε φηη k= θαη λα βξείηε ηελ εμίζσζή ηεο. Μνλάδεο 5 9

10 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 10 από 14 II) Μηα ηπραία κεηαβιεηή Υ αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζε ηηκή f (4) f (1) θαη ηππηθή απφθιηζε s. Σξείο παξαηεξήζεηο, αληηπξνζσπεπηηθνχ δείγκαηνο κεγέζνπο λ, είλαη κηθξφηεξεο ή ίζεο ηνπ a) Να βξείηε ηνλ αξηζκφ ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ βξίζθνληαη ζην δηάζηεκα (10,16). Μνλάδεο 10 b) Να απνδείμεηε φηη ην δείγκα ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ έρεη ιεθζεί, δελ είλαη νκνηνγελέο. Να βξείηε ηελ κηθηφηεξε ηηκή ηεο παξακέηξνπ α>0, πνπ πξέπεη λα πξνζηεζεί ζε θαζεκηά απφ ηηο πξνεγνχκελεο παξαηεξήζεηο, ψζηε ην δείγκα ησλ λέσλ παξαηεξήζεσλ λα είλαη νκνηνγελέο. Μνλάδεο ΘΔΜΑ ον 005: ε έλα δηαγψληζκα Βηνινγίαο ε βαζκνινγία Υ ησλ λ 5 καζεηψλ δίλεηαη απφ ην παξαθάησ η- ζηφγξακκα ζπρλνηήησλ λ: 0 I) Να κεηαθέξεηε ζην ηεηξάδηφ ζαο θαη λα ζπκπιεξψζεηε ηνλ παξαθάησ πίλαθα. Μνλάδεο II) Να βξείηε ηελ κέζε ηηκή ησλ βαζκψλ. Μνλάδεο 8 5 III) Πφζνη καζεηέο έρνπλ βαζκφ κέρξη θαη 10; Μνλάδεο X Κιάζεηο βαζκνινγίαο [4,8) [8,1) [1,16) [16,0) χλνιν Κέληξν θιάζεο πρλφηεηα λ ρεηηθή f Αζξ. πρλ. N Αζξ. ρεη. πρλ. F ΘΔΜΑ 4 ον 005: Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηχπν f ( ), (0,+). I) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο f ζην ζεκείν Λ(1,1). Μνλάδεο 7 II) Απφ ηπραίν ζεκείν Μ(,y) ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f θέξλνπκε παξάιιειεο επζείεο πξνο ηνπο άμνλεο θαη yy, νη νπνίεο ζρεκαηίδνπλ κε ηνπο εκηάμνλεο O θαη Oy νξζνγψλην παξαιιειφγξακκν. Να βξεζνχλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Μ, ψζηε ε πεξίκεηξνο ηνπ νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ λα είλαη ε- ιάρηζηε. Μνλάδεο 10 III) Οη ηεηκεκέλεο πέληε δηαθνξεηηθψλ ζεκείσλ ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ α εξσηήκαηνο έρνπλ κέζε ηηκή 5 θαη ηππηθή απφθιηζε s =. Να βξεζεί ε κέζε ηηκή y θαη ε ηππηθή απφθιηζε s y ησλ ηεηαγκέλσλ ησλ ζεκείσλ απηψλ. Μνλάδεο ΘΔΜΑ 3 ον 004: ηελ «Αηηηθή νδφ» εμππεξεηνχληαη θαζεκεξηλά 00 ρηιηάδεο νρήκαηα, ηα νπνία δηαλχνπλ απφ 5 σο 45 ρηιηφκεηξα. Ζ δηαλπφκελε απφζηαζε ζε ρηιηφκεηξα απφ ηα νρήκαηα απηά, παξνπζηάδεηαη ζηελ πξψηε ζηήιε ηνπ πίλαθα: 10

11 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 11 από 14 Κιάζεηο Κέληξν θιάζεο πρλφηεηα ζε ρικ. ζε νρήκαηα λ ρεηηθή f % Αζξνηζηηθή Ν Αζξ. ρεη. F % [5,15) 60 [15,5) 68 [5,35) 180 [35,45) χλνιν 00 I) Να κεηαθέξεηε ζην ηεηξάδηφ ζαο ηνλ παξαπάλσ πίλαθα θαη λα ζπκπιεξψζεηε ηηο ηηκέο ησλ αληίζηνηρσλ κεγεζψλ. Μνλάδεο 10 II) Να ζρεδηάζεηε ην ηζηφγξακκα (, f %) θαη ην πνιχγσλν ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ. Μνλάδεο 5 III) Να βξείηε ηελ κέζε ηηκή. Μνλάδεο 5 IV)Να βξείηε ην πιήζνο ησλ νρεκάησλ πνπ δηαλχνπλ απφζηαζε ηνπιάρηζηνλ 5 ρηιηνκέηξσλ. Μνλάδεο ΘΔΜΑ 4 ον 003: ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί, παξνπζηάδεηαη ε ρξεκαηηθή παξνρή απφ ηνπο γνλείο, ζε Δπξψ, δείγκαηνο έμη καζεηψλ ηεο πξψηεο ηάμεο (νκάδα Α) θαη δείγκαηνο έμη καζεηψλ ηεο δεχηεξεο ηάμεο (νκάδα Β) ελφο Γπκλαζίνπ. Οκάδα Α Οκάδα Β I) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζν ησλ παξαηεξήζεσλ θάζε νκάδαο. Μνλάδεο 6 II) Να ζπγθξίλεηε κεηαμχ ηνπο σο πξνο ηελ νκνηνγέλεηα ηηο δχν νκάδεο. Μνλάδεο 5 III) Αλ ζε θάζε παξαηήξεζε ηεο νκάδαο Α γίλεη αχμεζε 0% θαη νη παξαηεξήζεηο ηεο Β νκάδαο απμεζνχλ θαηά 5 Δπξψ, ε θαζεκηά, πσο δηακνξθψλνληαη νη λέεο κέζεο ηηκέο ησλ δχν νκάδσλ; Μνλάδεο 8 IV)Να ζπγθξίλεηε κεηαμχ ηνπο σο πξνο ηελ νκνηνγέλεηα ηηο δχν νκάδεο κε ηα λέα δεδνκέλα. Μνλάδεο ΘΔΜΑ 3 ον 00: Έλα Πξντφλ πσιείηαη ζε 10 δηαθνξεηηθά θαηαζηήκαηα ζηηο παξαθάησ ηηκέο, ζε Δπξψ: 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9. I) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή, ηε δηάκεζν θαη ηελ επηθξαηνχζα ηηκή. Μνλάδεο 6 II) Να ππνινγίζεηε ην εχξνο, ηελ ηππηθή απφθιηζε θαη ηνλ ζπληειεζηή κεηαβνιήο. Μνλάδεο 6 III) Αλ νη ηηκέο ηνπ πξντφληνο ζε φια ηα θαηαζηήκαηα ππνζηνχλ έθπησζε 10%, λα εμεηάζεηε αλ ζα κεηαβιεζεί ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο. Μνλάδεο ΘΔΜΑ 3 ον 001: ηνλ Παξαθάησ πίλαθα δίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ αζξνηζηηθψλ ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ ηνπ βάξνπο 80 καζεηψλ ηεο Γ ηάμεο ελφο Λπθείνπ. Σα δεδνκέλα έρνπλ νκαδνπνηεζεί ζε 4 θιάζεηο. 11

12 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 1 από 14 Βάξνο ζε Αζξ. ρεη. θηια. F [45,55) 0, [55,65) 0,5 [65,75) [75,85) I) Αλ γλσξίδεηε φηη ε ζρεηηθή ηεο ηξίηεο θιάζεο είλαη δηπιάζηα ηεο ζρεηηθήο ο ηεο πξψηεο θιάζεο, λα βξείηε ηηο ηηκέο ηεο αζξνηζηηθήο ζρεηηθήο ο πνπ αληηζηνηρνχλ ζηελ ηξίηε θαη ηέηαξηε θιάζε. Μνλάδεο 8 II) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή ησλ παξαπάλσ δεδνκέλσλ. Μνλάδεο 9 III) α) Να βξείηε ην πνζνζηφ ησλ καζεηψλ πνπ έρεη βάξνο κηθξφηεξν απφ 65 θηιά. Μνλάδεο 4 β) Να βξείηε ην πνζνζηφ ησλ καζεηψλ πνπ έρεη βάξνο κηθξφηεξν απφ 75 θηιά, αιιά θαη κεγαιχηεξν ή ίζν ησλ 55 θηιψλ. Μνλάδεο ΘΔΜΑ 4 ον 001: ε έξεπλα πνπ έγηλε ζηνπο καζεηέο κηαο πφιεο, γηα ηνλ ρξφλν πνπ θάλνπλ λα πφλε απφ ην ζπίηη ζην ζρνιείν, δηαπηζηψζεθε φηη ην 50% πεξίπνπ ησλ καζεηψλ ρξεηάδεηαη πεξηζζφηεξν απφ 1 ιεπηά, ελψ ην 16% πεξίπνπ ρξεηάδεηαη ιηγφηεξν απφ 10 ιεπηά. Τπνζέηνπκε φηη ε θαηαλνκή ηνπ ρξφλνπ ηεο δηαδξνκήο είλαη θαηά πξνζέγγηζε θαλνληθή. I) Να βξείηε ην κέζν ρξφλν δηαδξνκήο ησλ καζεηψλ θαη ηελ ηππηθή απφθιηζε ηνπ ρξφλνπ δηαδξνκήο ηνπο. Μνλάδεο 6 II) Να εμεηάζεηε αλ ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο. Μνλάδεο 6 III) Αλ νη καζεηέο ηεο πφιεο είλαη 4.000, πφζνη καζεηέο ζα θάλνπλ ρξφλν δηαδξνκήο απφ 14 έσο 16 ιεπηά; Μνλάδεο 6 IV)Μηα κέξα, ιφγσ έξγσλ ζηνλ θεληξηθφ δξφκν ηεο πφιεο, θάζε καζεηήο θαζπζηέξεζε 5 ιεπηά. Να βξείηε πφζν κεηαβάιιεηαη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο (CV). Μνλάδεο 7 0. ΘΔΜΑ ον 000: I) Να γξάςεηε ζην ηεηξάδηφ ζαο, ηνλ πίλαθα ηηκψλ ηεο κεηαβιεηήο Υ ζσζηά ζπκπιεξσκέλν. Σηκέο κεηαβιεηήο πρλφηεηα ρεηηθή ρεηηθή Αζξνηζηηθή λ λ λ f f % Ν χλνιν λ= Μνλάδεο 16 II) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζν. Μνλάδεο 4 III) Να απνδείμεηε φηη ε δηαθχκαλζε είλαη s =0,49. Γίλεηαη ν ηχπνο s 1 v k 1 v 1 k 1 v v. Μνλάδεο 5 1. ΘΔΜΑ 4 ον 000: ηα ζρνιεία ελφο δήκνπ ππεξεηνχλ 100 εθπαηδεπηηθνί. Ο ζπλνιηθφο ρξφλνο ππεξεζίαο ησλ εθπαηδεπηηθψλ δίλεηαη απφ ηνλ παξαθάησ πίλαθα:

13 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 13 από 14 Υξφληα ππεξεζίαο ρεηηθή [ - ) f % I) Πφζνη εθπαηδεπηηθνί έρνπλ ηνπιάρηζηνλ 15 ρξφληα ππεξεζίαο; Μνλάδεο 5 II) Με ηελ πξνυπφζεζε φηη θάζε εθπαηδεπηηθφο ζα ζπληαμηνδνηεζεί φηαλ ζπκπιεξψζεη 35 ρξφληα: α) Πφζνη εθπαηδεπηηθνί ζα ζπληαμηνδνηεζνχλ κέζα ζην επφκελα 1,5 ρξφληα; Να δηθαηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο. Μνλάδεο 10 β) Πφζνη ζπλνιηθά εθπαηδεπηηθνί πξέπεη λα πξνζιεθζνχλ κέζα ζηα επφκελα πέληε ρξφληα, ψζηε ν αξηζκφο ησλ εθπαηδεπηηθψλ πνπ ππεξεηνχλ ζηα ζρνιεία ηνπ δήκνπ λα παξακέλεη ν ίδηνο.; Να δηθαηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο. Μνλάδεο 10. ΘΔΜΑ B 01 ΔΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΔΣ: Οη εκέξεο αδείαο ησλ ππαιιήισλ κηαο εηαηξείαο νκαδνπνηνχληαη ζε πέληε θιάζεηο ίζνπ πιάηνπο, ζχκθσλα κε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Αξηζκφο εκεξψλ αδείαο. Κέληξν θιάζεο πρλφηεηα λ 13 ρεηηθή f % Αζξνηζηηθή Ν Αζξ. ρεη. F % [6..) 16 [.) [.) [.) [,6) χλνιν Αλ ηζρχεη φηη: ζην θπθιηθφ δηάγξακκα ζπρλνηήησλ ησλ εκεξψλ αδείαο ην ηφμν α 1 ηνπ θπθιηθνχ ηνκέα, πνπ αληηζηνηρεί ζηελ πξψηε θιάζε, είλαη 7 0, θαη 3f =3f 5 =f 3 =f 4, ηφηε: I) Να κεηαθέξεηε ζην ηεηξάδηφ ζαο ηνλ παξαπάλσ πίλαθα θαη λα ηνλ ζπκπιεξψζεηε θαηάιιεια. Μνλάδεο 8 II) Να ζρεδηάζεηε ζην ηεηξάδηφ ζαο (φρη ζε κηιηκεηξέ) ην ηζηφγξακκα θαη ην πνιχγσλν ζπρλνηήησλ. Μνλάδεο 4 III) Να βξείηε ην κέζν αξηζκφ εκεξψλ αδείαο θαη ηελ ηππηθή απφθιηζε ηνπ δείγκαηνο. (Γίλεηαη φηη 5,6 5, 06) Μνλάδεο 8 IV)Να βξείηε ην πνζνζηφ ησλ ππαιιήισλ πνπ πήξαλ άδεηα απφ 1 κέρξη 5 εκέξεο. Μνλάδεο 5 3. ΘΔΜΑ Γ 01 ΔΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΔΣ: Απφ έλα θχιιν ιακαξίλαο ζρήκαηνο ηεηξαγψλνπ πιεπξάο 6 κέηξσλ θαηαζθεπάδεηαη κηα δεμακελή ζρήκαηνο νξζνγσλίνπ παξαιιειεπηπέδνπ, αλνηθηή απφ πάλσ. Απφ ηηο γσλίεο ηνπ θχιινπ ιακαξίλαο θφ-

14 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 14 από 14 βνληαη ηέζζεξα ίζα ηεηξάγσλα πιεπξάο κέηξσλ, 0<<3 θαη ζηε ζπλέρεηα νη πιεπξέο ηεο δηπιψλνληαη πξνο ηα επάλσ, φπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. 6 m 6 m m m I) Να απνδείμεηε φηη ν φγθνο ηεο δεμακελήο σο ζπλάξηεζε ηνπ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν f()=4(3-), 0<ρ<3. (Γίλεηαη φηη ν φγθνο νξζνγσλίνπ παξαιιειεπηπέδνπ δηαζηάζεσλ α, β, γ είλαη V=αβγ). Μνλάδεο 4 II) Να βξείηε γηα πνηα ηηκή ηνπ ε δεμακελή έρεη κέγηζην φγθν. Μνλάδεο 6 III) Να ππνινγίζεηε ην φξην f ( ) 8 lm 0. Μνλάδεο 4 IV)Θεσξνχκε ηηο ηηκέο y =f( ), =1,, 3, 4, 5 κε 1= 1 < < 3 < 4 < 5 =, νη νπνίεο έρνπλ κέζε ηηκή y 1, ηππηθή απφθιηζε s y = θαη ζπληειεζηή κεηαβιεηφηεηαο CV y. Να βξείηε ην εχξνο R ησλ ηηκψλ y, =1,, 3, 4, 5. ηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηνλ αξηζκφ αr, κε -1<α<0 ν νπνίνο, αλ πξνζηεζεί ζε θαζεκηά απφ ηηο ηηκέο y, πξνθχπηεη δείγκα κε ζπληειεζηή κεηαβνιήο CV ηέηνηνλ, ψζηε 4. kkhk R CV CV y. Μνλάδεο