1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ"

Transcript

1 Συµµετρία ΑΠΟ ΤΟΝ ΤΙΜΑΙΟ ΩΣ ΤΟΝ FELIX KLEIN ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ ERLANGEN 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ Το πρώτο και ίσως σηµαντικότερο πρόβληµα που αντιµετωπίζει κανείς όταν γράφει σχετικά µε τη συµµετρία και τις εφαρµογές της στη τέχνη και τη φύση είναι ο τρόπος που θα ξεκινήσει, δηλαδή πως θα εισάγει το θέµα σε αυτόν που θα διαβάσει το γραπτό, χωρίς να τον κουράσει µε πρόωρους τεχνικούς ορισµούς αλλά και χωρίς να χάσει την ουσία της έννοιας, την ιδέα που κρύβεται πίσω της: τα µαθηµατικά. Από όσα συγγράµµατα, σχετικά µε τη συµµετρία, έχουµε υπόψη είτε αυτά που ακολουθούν την "καλλιτεχνική" προσέγγιση είτε την αυστηρά µαθηµατική προσέγγιση, την καλύτερη ίσως εισαγωγή κάνει ο Herman Weyl στο κλασσικό πλέον βιβλίο του "Συµµετρία" [Β-1, σελ 17], το οποίο µνηµονεύεται ως η αρτιότερη εκλαίκευση του θέµατος από το σύνολο όσων ασχολήθηκαν κατά καιρούς µε τη συµµετρία. Γράφει ο Weyl: "Αν δεν κάνω λάθος, η λέξη συµµετρία χρησιµοποιείται στο καθηµερινό µας λεξιλόγιο µε δύο σηµασίες. Με τη µία από αυτές, συµµετρικό σηµαίνει κάτι που έχει καλές αναλογίες, που είναι καλά ισορροπηµένο, και η συµµετρία υποδηλώνει την ιδιαίτερη αυτή συµφωνία πολλών µερών µε ην οποία συγκροτούν ένα σύνολο. Η οµορφιά είναι συνδεδεµένη µε τη συµµετρία." Στις πρώτες αυτές γραµµές, ο Weyl ξεκαθαρίζει ότι τη συµµετρία µπορεί να τη δει κανείς από δύο διαφορετικές σκοπιές και ταυτόχρονα δίνει ένα ορισµό για τη µία από αυτές. Σύµφωνα µε αυτόν, η συµµετρία έχει να κάνει µε την οµορφιά ή µάλλον το αντίθετο: η οµορφιά βρίσκεται στη συµµετρία. Αρκεί να κοιταχτούµε στον καθρέφτη, για να δούµε ένα κλασσικό παράδειγµα συµµετρίας (και ίσως οµορφιάς): Αν φανταστεί κανείς µια κατακόρυφη ευθεία γραµµή να περνά από τη άκρη της µύτης µας, τότε τα εξωτερικά χαρακτηριστικά του σώµατος µας και στα δύο µέρη που η ευθεία µας έχει χωρίσει ταυτίζονται. Όχι µόνο έχουµε δύο µάτια, δύο χέρια κτλ αλλά επιπλέον αυτά είναι όµοια, σαν να είναι το ένα είδωλο του άλλου, δηλαδή να έχει προκύψει το ένα από το άλλο µε τη διαδικασία που τεχνικά λέγεται κατοπτρισµός.

2 Κάθε σχεδόν χαρακτηριστικό που υπάρχει στο ένα "µισό" του σώµατος µας, βρίσκεται και στο άλλο. Αυτή η συµµετρία του αριστερού και του δεξιού λέγεται αµφίπλευρη συµµετρία. Το ίδιο συµβαίνει, όχι µόνο στο ανώτερο θηλαστικό, αλλά σε όλα τα θηλαστικά και γενικά σε πολλά από τα έµβια όντα. Φαίνεται, λοιπόν, ότι η αµφίπλευρη συµµετρία είναι µια αρχή στη φύση, τουλάχιστον όσον αφορά τη ζωή, την κίνηση. Την ίδια παρατήρηση πρέπει να έκαναν οι άνθρωποι χιλιάδες χρόνια πριν, γι' αυτό παρατηρείται σε πολλούς διαφορετικούς πολιτισµούς η χρήση της αρχής αυτής στην τέχνη: ζωγραφική, ψηφιδωτά, γλυπτική, αρχιτεκτονική, ναυπηγική. Επιπλέον, όταν κάποιοι αναπτύχθηκαν περισσότερο, όπως ο κλασσικός ελληνικός πολιτισµός, η συµµετρία έπαιξε σηµαντικό ρόλο στην επιστήµη: στην κοσµολογία, στα µαθηµατικά, στην φυσική. Αυτή η εργασία θα κινηθεί σε δύο κυρίως κατευθύνσεις. Η πρώτη θα περιγράφει, όσο είναι δυνατόν, την εµπλοκή της συµµετρίας στην ανθρώπινη τέχνη και στο επίπεδο, ενώ η δεύτερη κατεύθυνση θα σκιαγραφεί την εµφάνιση των διάφορων ειδών συµµετρίας στη τέχνη της φύσης και στο χώρο. Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ - ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ ΡΟΜΗ Ως προς τη χρήση της συµµετρίας στην τέχνη, τα παραδείγµατα είναι πάρα πολλά. Ξεκινάµε από την αρχαιότητα και τις προσπάθειες των καλλιτεχνών να αναπαραστήσουν τον άνθρωπο, που προϋπέθετε την κατανόηση των αναλογιών του κορµιού. Στη παράπλευρη φωτογραφία παρατηρούµε ένα θαυµάσιο δείγµα από αυτά. Πρόκειται για τον " ορυφόρο", ένα άγαλµα του 5ου αιώνα π.χ. στο οποίο παρίσταται αθλητής να φέρει δόρυ. Είναι ρωµαϊκό αντίγραφο έργου του φηµισµένου γλύπτη Πολύκλειτου (5ος

3 αιώνας π.χ.) από το Άργος και είναι επίσης γνωστό ως "Κανών", γιατί είχε τέλειες αναλογίες και χρησιµοποιούνταν ως παράδειγµα από άλλους γλύπτες, αλλά και στο οµώνυµο βιβλίο του Πολύκλειτου, στο οποίο πραγµατεύεται τις ιδεώδεις µαθηµατικές αναλογίες για τα µέρη ενός ανθρώπινου σώµατος και προτείνει για τη γλυπτική ανθρώπινων µορφών µια δυναµική αντιστάθµιση µεταξύ των χαλαρωµένων και τεταµένων µελών και µεταξύ των διευθύνσεων στις οποίες κινούνται τα µέλη αυτά. [B- B] Αυτή η γενική αρχή λεγόταν συµµετρία στην αρχαία Ελλάδα, και τα αγάλµατα νέων αθλητών του Πολύκλειτου, ισορροπηµένα, εν ρυθµό και εξόχως λεπτοµερή ήταν άριστα υποδείγµατα των ιδεών του. Ο Πολύκλειτος είναι ο πρώτος που γνωρίζουµε να αναφέρει τη συµµετρία ως έννοια η οποία έχει µαθηµατικό υπόστρωµα. Συγκεκριµένα, του αποδίδεται η φράση: "η χρήση πάρα πολλών αριθµών σχεδόν πάντα θα προκαλούσε ακρίβεια στην γλυπτική" [Β-1, σελ 18]. Στον ορυφόρο του, παρατηρούµε στην πράξη εφαρµοσµένες τις απόψεις του Πολύκλειτου περί συµµετρίας του σώµατος. Ακόµη, εάν θέλαµε να εµβαθύνουµε λίγο στην τέχνη του, θα µπορούσαµε να παρατηρήσουµε την κίνηση του σώµατος ως προς τον κατακόρυφο άξονα Είναι η ελεύθερη χρήση του contrapposto, που είναι η καλλιτεχνική αναπαράσταση του σώµατος σαν να ελίσσεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα, και η οποία βοήθησε την ελληνική γλυπτική να ελευθερωθεί από την παράδοση των αυστηρά µετωπικών και ευθυτενών αγαλµάτων. [B- Β] Ένας σύγχρονος του Πολύκλειτου και του Φειδία, ήταν ο Μύρωνας ( π.χ.)που θεωρούταν από τους αρχαίους σαν ο πλέον πολύπλευρος και πρωτοποριακός από όλους του Αττικούς γλύπτες.. Ο ιστορικός του 1ου µ.χ. αιώνα Πλίνιος αναφέρει τον Μύρωνα

4 σαν τον πρώτο που κατάφερε ζωντανές αναπαραστάσεις στην τέχνη, αν και είναι πιο ακριβές να πούµε πως ήταν ο πρώτος Έλληνας γλύπτης που συνδύασε την αριστοτεχνία της κίνησης µε το χάρισµα της αρµονικής σύνθεσης.[β-β] ούλεψε κυρίως µε µπρούτζο και ήταν γνωστός για τις πολλές µελέτες αθλητών εν κινήσει. Από τα πάµπολλα έργα του, δύο µόνο αναπαραστάσεις σίγουρα επέζησαν, από τις οποίες φηµισµένη είναι ο ισκοβόλος, που χρονολογείται από το 450 π.χ., σε µαρµάρινα αντίγραφα της ρωµαϊκής εποχής. Το καλύτερο αντίγραφο του ισκοβόλου βρίσκεται στο Εθνικό Ρωµαϊκό Μουσείο. Και στα δύο σωζόµενα έργα του, ο Μύρων έχει συλλάβει την στιγµή ακινησίας στην οποία µια κίνηση µόλις έχει τελειώσει και µια άλλη πρόκειται να ξεκινήσει. Ο ισκοβόλος για παράδειγµα έχει µόλις ολοκληρώσει την κίνηση από πίσω προς τα εµπρός πριν ακριβώς πετάξει το δίσκο. Μαθητής, κατά κάποιο τρόπο του Πολύκλειτου ήταν ένας ακόµη µεγάλος γλύπτης της αρχαιότητας, ο Λύσιππος του 4ου αιώνα π.χ., αρχηγός της σχολής του Άργους και της Σικυών, στα χρόνια του Φιλίππου του Μακεδόνα και ιδιαίτερα παραγωγικός κατά τη βασιλεία του Αλεξάνδρου του Μεγάλου (4ος αιώνας) Ο Λύσιππος φηµιζόταν για τις νέες και λεπτεπίλεπτες αναλογίες των γλυπτών του και τον ζωντανό νατουραλισµό τους. [Β- Β] Αρχικά εργάτης του µετάλλου, ο Λύσιππος αυτοδιδάχθηκε την τέχνη της γλυπτικής µελετώντας τη Φύση και τον ορυφόρο του Πολύκλειτου, του οποίου τον κανόνα των ιδεατών αναλογιών τροποποίησε δηµιουργώντας µορφές µε µικρότερο κεφάλι και λεπτότερο κορµό που αύξησε το φαινοµενικό ύψος τους. Ο Πλίνιος ο Γηραιός (1ος αιώνας µ.χ. ) του αποδίδει πάνω από 1500 έργα, όλα µπρούτζινα. Κανένα από αυτά δεν διασώθηκε ούτε υπάρχει κάποιο απολύτως αξιόπιστο αντίγραφο. Υπάρχουν, πάντως κάποια αντίγραφα που είναι δυνατόν να του αποδοθούν µε κάποια σχετική σιγουριά.. Το

5 καλύτερο και το πλέον αξιόπιστο από αυτά είναι ο Αποξυόµενος, ένας νέος αθλητής που τρίβει (ξύνει) και καθαρίζει το δέρµα του από το λάδι. Το αντίγραφο αυτό που βρίσκεται στο µουσείο του Βατικανού είναι ψηλό, λεπτό και κοµψό στη διάπλαση µε το κεφάλι µικρό σε σχέση µε το σώµα. Έµφαση έχει δοθεί στη λεπτοµέρεια στα µάτια και στα µαλλιά. [Β-Β] Οι Πυθαγόρειοι, δηλαδή οι οπαδοί της φιλοσοφικής σχολής (και µυστηριακής λατρείας του Απόλλωνα και των Μουσών) που πρωτοιδρύθηκε στον Κρότωνα της Ιταλίας το 525 π.χ. από τον Πυθαγόρα τον Σάµιο [Β-Β], θεωρούσαν ότι ο κύκλος στο επίπεδο και η σφαίρα στο χώρο είναι τα τελειότερα γεωµετρικά σχήµατα, ακριβώς λόγω των συµµετριών τους. Ο Φιλόσοφος, προσωνύµιο του Αριστοτέλη [ π.χ.] για τον ίδιο λόγο έδωσε σφαιρικό σχήµα στα ουράνια σώµατα γιατί οτιδήποτε άλλο θα µείωνε την τελειότητά τους. λλες αναφορές στη έννοια συµµετρία συναντάµε έµµεσα στα "Ηθικά Νικοµάχεια" του Αριστοτέλη ως το "µέσο µέτρον", το σκοπό για τον οποίο θα πρέπει ο ενάρετος να αγωνίζεται µε τις πράξεις του. Για το ίδιο θέµα, ο Γαληνός της Περγάµου ( µ.χ. ), έλληνας φυσιολόγος, συγγραφέας και φιλόσοφος που άσκησε µεγάλη επιρροή στη ιατρική θεωρία και πρακτική στην Ευρώπη από το Μεσαίωνα µέχρι τα µέσα του 17ου αιώνα, στο βιβλίο του Περί Κράσεων γράφει: "σύµµετρον όπερ εκατέρου των άκρων απέχει", δηλαδή την κατάσταση του νου που ισαπέχει από τα άκρα. [Β-1, σελ 18] Ο Πάππος της Αλεξάνδρειας (3ος αιώνας µ.χ.), ο τελευταίος µεγάλος Έλληνας µαθηµατικός της αρχαιότητας. στη Συναγωγή του, ένα συστηµατικό µαθηµατικό έργο

6 του 340 µ.χ. χωρισµένο σε 8 βιβλία, εξαίρει τις γεωµετρικές γνώσεις των µελισσών, για τη σοφία τους να χτίζουν τις κερήθρες τους εξαγωνικές, περικλείοντας έτσι το µέγιστο δυνατό όγκο µε την ελάχιστη δυνατή περίµετρο µεταξύ των πλακοστρώσεων του επιπέδου µε κανονικά πολύγωνα.. [B-B & Β-1, σελ 117]. Αργότερα, θα ασχοληθούµε µε τα κανονικά πολύγωνα και θα σκιαγραφήσουµε τις δυνατές συµµετρίες τους. Πάντως, προς το παρόν αρκεί να διαισθάνεται κανείς τη συµµετρικότητα του κανονικού εξαγώνου και φυσικά, να πιστέψει ότι όντως οι µέλισσες εξασφαλίζουν µέγιστη χωρητικότητα των κελιών τους. Στο παράδειγµα αυτό έχουµε ένα συµµετρικό σχέδιο, το εξάγωνο-κυψέλη, και µια εφαρµογή του ή ένα πλεονέκτηµα από αυτήν, τη µέγιστη χωρητικότητα. Οπότε εισάγεται εύλογα η έννοια της µαθηµατικής συµµετρίας εφαρµοσµένης πέρα από την καθαρά αισθητική της σηµασία. ιάφοροι πολιτισµοί και λαοί, όπως οι Σουµέριοι, οι Βαβυλώνιοι, οι Πέρσες, οι Ισραηλίτες, οι Αιγύπτιοι, οι Ρωµαίοι έχουν αφήσει έργα τέχνης ή αποµεινάρια τους που µας δείχνουν ότι κατείχαν καλά τα µυστικά της συµµετρίας, και ειδικότερα της αυστηρής αµφίπλευρης (εραλδικής) συµµετρίας. Σουµερικά αγγεία, εικόνες µε δικέφαλους αετούς και βαβυλωνιακές πέτρινες σφραγίδες, περσικά ψηφιδωτά µε σφίγγες από την εποχή της µάχης του Μαραθώνα αποδεικνύουν του λόγου το αληθές. Στις φωτογραφίες, φαίνονται λεπτοµέρειες από αραβικά ψηφιδωτά και ανάγλυφα, που εµφανίζουν πολλών ειδών συµµετρίες, όπως αµφίπλευρη, περιστροφική και µεταφορική. Στην παρακάτω φωτογραφία [Bi-1] βλέπουµε ένα τεχνούργηµα µε µορφή δίσκου από την Ποµπηία, το οποίο διακρίνεται για την πολλαπλή αµφίπλευρη συµµετρία του. Μπορούµε να φέρουµε 12 διαµετρικούς άξονες ως προς τους οποίους το αντικείµενο

7 παρουσιάζει αµφίπλευρη συµµετρία. Επίσης, ας σηµειώσουµε ότι εάν το περιστρέψουµε κατά πολλαπλάσια της γωνίας των 60 µοιρών το αντικείµενο φαίνεται να µένει αναλλοίωτο. Αυτό είναι ένα ακόµη είδος συµµετρίας, η περιστροφική. Τέλος, παρατηρούµε ότι αποτελείται από ισόπλευρα τρίγωνα, τετράγωνα, ρόµβους καθώς και ένα κεντρικό εξάγωνο ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΣΤΗ ΜΑΓΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σε αυτό το σηµείο, πριν προχωρήσουµε, είναι απαραίτητο να αναφέρουµε µερικά εισαγωγικά στοιχεία σχετικά µε τα πολύγωνα και τους αριθµούς στην αρχαιότητα.. Ένα πολύγωνο είναι ένα σύνολο τριών και άνω σηµείων που ενώνονται µεταξύ τους µε διαδοχικά ευθύγραµµα τµήµατα, καλούµενα πλευρές, που σχηµατίζουν µια κλειστή τεθλασµένη γραµµή. Τα σηµεία στα οποία ενώνονται οι πλευρές λέγονται κορυφές και οι γωνίες που σχηµατίζουν δυο συνεχόµενες πλευρές λέγονται εσωτερικές γωνίες. Για παράδειγµα, το τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο. Η κατηγορία των πολυγώνων που θα ασχοληθούµε εµείς είναι τα κανονικά πολύγωνα, δηλαδή εκείνα στα οποία όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες µεταξύ τους. υο παραδείγµατα κανονικών πολυγώνων είναι το ισόπλευρο τρίγωνο και το τετράγωνο. Τα κανονικά πολύγωνα είναι προφανώς άπειρα και έχουν όλα αµφίπλευρη συµµετρία. Για παράδειγµα, το ισόπλευρο τρίγωνο είναι αµφίπλευρα συµµετρικό ως προς τα τρία ύψη του. Ακόµη έχει περιστροφική συµµετρία ως προς τα πολλαπλάσια των 120 µοιρών. Γενικά, τα πολύγωνα µας είναι γνωστά από την αρχαιότητα. [Στην πραγµατικότητα, αυτό που θα

8 επιχειρήσουµε να δείξουµε εν µέρει είναι πως τα περισσότερα ήταν γνωστά και εφαρµόσιµα από πολύ παλιά.] Είναι γνωστό ότι στην αρχαιότητα ορισµένοι αριθµοί είχαν ιδιαίτερο συµβολικό νόηµα πέρα από την καθαρά πρακτική τους χρήση. Επιπλέον κάθε αριθµός µπορούσε να αντιστοιχηθεί µε ένα επίπεδο σχήµα, ένα πολύγωνο, φέρ' ειπείν το τρία στο τρίγωνο, το τέσσερα στο τετράγωνο κοκ. Για την ακρίβεια, η ιδέα της αντιστοίχησης αριθµών σε επίπεδα σχήµατα προέρχεται από τους πρώιµους Πυθαγόρειους που συνήθιζαν να αναπαριστούν τους αριθµούς µε σχέδια από τελείες γεγονός που µε τη σειρά του ίσως να προέκυψε από τα χαλίκια που χρησιµοποιούνταν για την µέτρηση αλλά και την αναπαράσταση σχηµάτων παλαιότερα. Για παράδειγµα, δεκάξι χαλίκια µπορούν να διευθετηθούν σε τέσσερις γραµµές από τέσσερα στην καθεµία, σχηµατίζοντας ένα τετράγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήµα, οπότε ο αριθµός, αναπαρίσταται από ένα τετράγωνο. Με παρόµοιο τρόπο, δέκα χαλίκια τίθενται σε τέσσερις γραµµές, µε την 1η γραµµή να περιέχει µόνο ένα χαλίκι, την 2η δύο, την 3η τρία και την 4η τέσσερα, σχηµατίζοντας το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος. Οι αριθµοί οι οποίοι αναπαρίστανται µε αυτόν τον τρόπο από τρίγωνα λέγονταν τριγωνικοί, ενώ εκείνοι που παριστάνονταν από τετράγωνα λεγόντουσαν τετραγωνικοί. Ένας τριγωνικός αριθµός µε βαρύνουσα σηµασία στους Πυθαγόρειους ήταν η δεκάδα, το 10 (= ), του οποίου η σχηµατική αναπαράσταση είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, όπως στο σχήµα: Ο αριθµός αυτός ήταν η Τετρακτύς των Πυθαγόρειων (η λέξη αποδίδεται στο Θέωνα, µαθηµατικό και αστρονόµο του 1ου αιώνα π.χ.), που σήµαινε ένα σύνολο τεσσάρων πραγµάτων και είχε ρόλο "πασπαρτού" στη φιλοσοφία τους από την µουσική των σφαιρών µέχρι την φιλοσοφία Η τετρακτύς δηλαδή η δεκάδα έλκει την σήµανσή της την καταγωγή της πιθανότατα από το γεγονός ότι έχουµε 10 δάκτυλα Επιπλέον οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν 10 τέτοια σύνολα. [Bi-1] Από τα προαναφερθέντα προκύπτουν σχέσεις µεταξύ των αριθµών και των αντιστοιχούντων σε αυτούς σχηµάτων. Για παράδειγµα ένα τετράγωνο µπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα και ισοσκελή τρίγωνα από µια

9 διαγώνιο του. ρα, το συµπέρασµα θα ισχύει και για τους αντίστοιχους αριθµούς: Κάθε τετραγωνικός αριθµός είναι το άθροισµα δύο τριγωνικών. Για παράδειγµα, ο τετραγωνικός αριθµός 25 είναι άθροισµα του 10 και του 15. Γενικότερα, κάθε ένα από αυτά τα πολύγωνα είχε συµβολική σηµασία και ορισµένα από αυτά εµφανίζονται σε καλλιτεχνικά µοτίβα ή ως αρχιτεκτονικές λεπτοµέρειες. Για παράδειγµα, το "Αστέρι του αυίδ", Ισραηλιτικό εθνικό σύµβολο, είναι φορέας πολλών ειδών συµµετρίας, συµπεριλαµβανοµένης της εραλδικής - αµφίπλευρης, όπως φαίνεται στην φωτογραφία [Bi-1]. Αν προσέξει κανείς το Αστέρι το αυίδ (ή εξάλφα), θα παρατηρήσει ότι πρόκειται για τη σύνθεση δύο ίσων και ισόπλευρων τριγώνων. Στο 3ο κεφάλαιο συζητάµε την εµφάνιση της συµµετρίας στην τέχνη από την αρχαιότητα ως σήµερα και παραθέτουµε αρκετές φωτογραφίες και εικόνες. Η ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Η χρήση της συµµετρίας κυρίως για αισθητικούς λόγους έφτασε στο απόγειο της κατά την περίοδο της Αναγέννησης. Φηµισµένοι καλλιτέχνες, µαθηµατικοί και αστρονόµοι, µελέτησαν τα αρχαιοελληνικά κυρίως µαθηµατικά κείµενα, αλλά και οποιοδήποτε αποµεινάρι αρχαίας σοφίας και αναζήτησαν την οµορφιά στη γνώση των αρχαίου πνεύµατος. Συχνά αναφέρονται ως καλλιτέχνες-γεωµέτρες, λόγω της εκτεταµένης χρήσης γεωµετρίας στη δηµιουργία των έργων τους. Στα τέλη του Μεσαίωνα, ο Γερµανός Albrecht Durer (1471, Nurnberg , Nurnberg), ακολουθώντας τα βήµατα του Πολύκλειτου θα δώσει ένα κανόνα για τις αρµονικές ανθρώπινες αναλογίες µε την πραγµατεία του Vier Bucher von menschlicher Proportion [Τα τέσσερα βιβλία των ανθρώπινων αναλογιών] του Βέβαια ο ίδιος δεν χρησιµοποιεί το όρο συµµετρία αλλά η λατινική µετάφραση De Symmetria partium του 1532 από τον φίλο του

10 ουµανιστή και θεολόγο Joachim Camerarius, [Β-1, σελ. 18] Ο Durer ζωγράφος και χαράκτης που γενικά θεωρείται ο µεγαλύτερος Γερµανός καλλιτέχνης της Αναγέννησης, κατά τη περίοδο της ωρίµανσης της τέχνης του, επηρεάστηκε από την Ιταλική Αναγεννησιακή σχολή. Ειδικότερα, από ένα άσηµο Βενετό ζωγράφο τον Jacopo de' Barbari, που ενδιαφερόταν να βρει τη γεωµετρική οδό για την αντιγραφή των ανθρώπινων αναλογιών. Πιθανότατα χάρη στη επιρροή του de' Barbari, ο Durer γύρω στα 1500 ενασχολήθηκε µε το πρόβληµα αυτό των ανθρώπινων αναλογιών και της συµµετρίας του κορµιού µε πιο εκφραστική από όλες τις προσπάθειές του το χαρακτικό "Αδάµ και Εύα" του Όπως λέγεται, στο έργο αυτό κατάφερε να δαµάσει το µυστήριο της ανθρώπινης οµορφιάς σε µια πνευµατικά υπολογισµένη ιδεατή µορφή. [Β- Β]. Σε µια κριτική για το συγκεκριµένο έργο διαβάζουµε: " εν είναι εύκολο για εµάς να καταλάβουµε αµέσως το επίτευγµα που υπάρχει σε αυτό το χαρακτικό. ιότι ο καλλιτέχνης µιλάει µια γλώσσα που του είναι λιγότερο οικεία από την καθοµιλουµένη καλλιτεχνική του γλώσσα.. Οι αρµονικές µορφές στις οποίες έφτασε µετρώντας σταθερά για να βρει την ισορροπία µε κανόνα και διαβήτη δεν είναι τόσο πειστικές και όµορφες όσο τα ιταλικά και αναγεννησιακά µοντέλα. Υποβόσκει µια κάποια ελαφρά γεύση τεχνητού όχι µόνο ση µορφή και στη θέση αλλά και στη συµµετρική τους σύνθεση".

11 Durer "Αδάµ και Εύα", χαρακτικό (1504)

12 Μιλώντας πριν για τον Durer και την ενασχόλησή του µε τη συµµετρία του ανθρώπινου σώµατος, αναφέραµε ως κύρια επιρροή του, τον ζωγράφο Jacopo de' Barbari. Σε ένα πίνακα του de' Barbari, έργο του 1495 (1499) του οποίου µια φωτογραφία υπάρχει παραπάνω, εικονίζεται ένας µαθηµατικός του 15ου αιώνα, o Luca Paccioli ( , ή "Paciolo"), φραγκισκανός µοναχός, µαζί µε ένα πλήθος από όργανα και εργαλεία της γεωµετρίας (πίνακα, κιµωλία, διαβήτη, τα Στοιχεία του Ευκλείδη κ.α.) να υποδεικνύει στον πίνακα ένα θεώρηµα της γεωµετρίας. Παρατηρεί κανείς στα κάτω δεξιά του πίνακα ένα µικρό µοντέλο ενός κανονικού πολύεδρου που λέγεται δωδεκάεδρο, καθώς επίσης και το γυάλινο µοντέλο ενός πολύ µεγαλύτερου πολύεδρου, επάνω αριστερά, µισογεµισµένου νερό. Βάσει αυτών των στοιχείων που περιλαµβάνει, θεωρείται ότι το έργο αυτό αποτελεί επιτοµή της στενής σχέσης των µαθηµατικών µε την τέχνη της Αναγέννησης. Η νεανική φιγούρα δίπλα στον Paccioli ίσως να είναι ο µαθητής του Guidobaldo, ούκας του Urbino, [Bi-1] ή κατά τον N. MacKinnon να είναι ο ίδιος ο Durer. [Bi-2]. Ο Paccioli µελέτησε τις ιδανικές αναλογίες που πρέπει να έχει ένα σχήµα για να είναι αισθητικά επαρκές, όµορφο. Τα αποτελέσµατα τα έκδωσε στην πραγµατεία του Da Divina Proportione [Θεία Αναλογία] το 1509, η οποία επηρέασε τον Leonardo DaVinci, που έκανε και τα σχέδια για το βιβλίο, αλλά και τον Durer. Αυτή η ιδανική αναλογία είναι γνωστή από την αρχαιότητα και καλείται χρυσή τοµή. Η ιδέα των γεωµετρικών αναλογιών είναι πιθανότατα πυθαγόρειας προέλευσης, αν και δεν είναι απόλυτα σίγουρο για τη χρυσή τοµή συγκεκριµένα αν έχει τις ρίζες στους πρώτους Πυθαγόρειους. (6ος - 5ος αιώνας π.χ.) [Β-Β]. Γενικά, η χρυσή τοµή εκφράζει την ιδέα ότι κάτι χωρίζεται σε δύο τµήµατα τέτοια ώστε ο λόγος του µικρότερου προς το µεγαλύτερο να είναι ίσος µε το λόγο του µεγαλύτερου προς το ολόκληρο. Από που προκύπτει αυτό; Θα πρέπει να καταφύγουµε στην αρχαιότητα, στις µελέτες για τις ιδανικές αναλογίες του ανθρώπινου σώµατος. Είδαµε στην αρχή της ιστορικής

13 αναδροµής ότι αρκετοί γλύπτες, και κυρίως ο Πολύκλειτος που δηµιούργησε τον Κανόνα του, ασχολήθηκαν µε το ίδιο αντικείµενο µε σκοπό να αποδώσουν την ζωντάνια και την κίνηση στα έργα τους. Όµως, ελάχιστα έχουν σωθεί από αυτούς. Οι πρώτες γραπτές πληροφορίες για τη συµµετρία του ανθρώπου και τη χρυσή τοµή µας έρχονται από έναν αρχιτέκτονα της Ρώµης. Ο Βιτρούβιος, [MARCUS VITRUVIUS POLLIO] (1ος αιώνας π.χ.), Ρωµαίος αρχιτέκτονας και µηχανικός, έγραψε την πραγµατεία De architectura (Περί Αρχιτεκτονικής), όπου βασιζόµενος στην εµπειρία του αλλά και σε θεωρητικά έργα Ελλήνων αρχιτεκτόνων όπως ο Ερµογένης, καλύπτει σχεδόν κάθε όψη της µέχρι τότε αρχιτεκτονικής, της πολεοδοµίας, της κατασκευής ναών και δηµόσιων κτιρίων, και τη χρήση των σχετικών ελληνικών κλασσικών αξιών σε 10 βιβλία. Ανάµεσα στα άλλα ο Βιτρούβιος πραγµατεύεται και τις αναλογίες του ανθρώπινου κορµιού: "οι διαστάσεις του ανθρώπινου κορµιού κατανέµονται από την Φύση ως εξής: 4 δάχτυλα δίνουν µια παλάµη, και 4 παλάµες 1 πόδι. 6 παλάµες δίνουν ένα πήχη (18 ίντσες ) και 4 πήχεις δίνουν το ύψος ενός ανθρώπου (72 x 2,54 =182,88 εκ.). Και 4 πήχεις κάνουν ένα βήµα, και 24 παλάµες δίνουν πάλι το ύψος του ανθρώπου και αυτές τις µετρήσεις χρησιµοποίησε στα κτίριά του. Εάν ανοίξεις τα πόδια σου τόσο ώστε να περιορίσεις το ύψος σου κατά 1/14 και απλώσεις και υψώσεις τα χέρια σου µέχρι οι µέσοι (δάκτυλα) αγγίξουν το επίπεδο της κορυφής του κεφαλιού σου, πρέπει να γνωρίζεις ότι το κέντρο των απλωµένων µελών σου θα είναι στον αφαλό σου και το κενό ανάµεσα στα πόδια σου θα είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Το µήκος των απλωµένων χεριών ενός ανθρώπου ισούται µε το ύψος του. Από τις ρίζες των µαλλιών µέχρι τη βάση του πηγουνιού είναι το ένα δέκατο του ύψους. Από τη βάση του πηγουνιού ως την κορυφή του κεφαλιού είναι το ένα όγδοο του ανθρώπινου ύψους, ενώ από την κορυφή του στήθους ως την κορυφή του κεφαλιού θα είναι το ένα έκτο του ανθρώπου. Από την κορυφή του στήθους ως τις ρίζες των µαλλιών είναι το έβδοµο µέρος του ολόκληρου ανθρώπου. Από τις θηλές του στήθους ως την κορυφή του κεφαλιού είναι το τέταρτο µέρος ενός ανθρώπου. Το µεγαλύτερο πλάτος των ώµων περιέχει το ένα τέταρτο µέρος του ανθρώπου. Από τον αγκώνα έως την άκρη του χεριού είναι το ένα πέµπτο του ύψους, και από τον αγκώνα έως τη γωνία της µασχάλης είναι το ένα όγδοο του. Ολόκληρο το χέρι είναι το ένα δέκατο µέρος του ανθρώπου, ενώ η αρχή των γεννητικών οργάνων είναι το µέσο του κορµού. Το πόδι είναι το ένα έβδοµο µέρος του ανθρώπου. Από το πέλµα του ποδιού ως κάτω από το γόνατο είναι το ένα τέταρτο µέρος του ανθρώπου. Από κάτω από το γόνατο έως την αρχή των γεννητικών οργάνων είναι το τέταρτο του ανθρώπου. Η απόσταση από τη βάση του πηγουνιού ως τη µύτη και από τις ρίζες των µαλλιών ως τα φρύδια είναι η ίδια και όπως το αυτί είναι το ένα τρίτο του προσώπου." [Β-8, σελ 182-3] Τα προηγούµενα ήταν η πλήρης µετάφραση του κειµένου που συνοδεύει το έργο του Leonardo DaVinci "Vitruvian Man", της φωτογραφίας.

14 Στην πραγµατικότητα όµως είναι µετάφραση του Βιτρούβιου, αφού το σχέδιο του Leonardo ήταν αρχικά εικόνα για βιβλίο σχετικά µε το έργο του Βιτρούβιου. Αυτό που αξίζει να προσέξουµε στα γραπτά του Βιτρούβιου ήταν η παρατήρηση σχετικά µε τα ανθρώπινα χέρια. Γράφει πως το µήκος από τον αγκώνα ως την γωνία της µασχάλης είναι 1/8 του ύψους ενώ από τον αγκώνα ως την άκρη των δακτύλων είναι το 1/5. Αν τα προσθέσουµε έχουµε ότι το συνολικό µήκος του από τη µασχάλη ως την άκρη του χεριού είναι 14/40 του ύψους. Αν πάρουµε το λόγο του µικρότερου µέρους προς µεγαλύτερο, 5/8 και στη συνέχεια αν διαιρέσουµε το µεγαλύτερο (1/5) µε το συνολικό µήκος του χεριού θα έχουµε (1/5)/(13/40)=40/65==5/8.ρα η χρυσή τοµή των αρχαίων είναι όχι µια επινόηση αλλά µια παρατήρηση των αναλογιών του (ιδανικού) ανθρώπινου σώµατος. Στο ίδιο συµπέρασµα κατέληγε και ο Paccioli στην Θεία Αναλογία του: τη διαίρεση ενός τµήµατος σε δύο µέρη a, b έτσι ώστε η αναλογία του µικρότερου µέρους, έστω a, προς το µεγαλύτερο, το b, να είναι ίση µε την αναλογία του b προς όλο το τµήµα, a + b, δηλαδή: a/b=b/a+b Η εξίσωση αυτή πέραν της χρυσής τοµής έχει και µια άλλη εξίσου ενδιαφέρουσα "ανάγνωση". Αν θέσουµε, και αντικαταστήσουµε στην "Θεία Αναλογία", τότε θα πάρουµε: x^2+x-1=0. Η εξίσωση αυτή έχει διακρίνουσα 5 και λύσεις (1+ROOT(5))/2=1.618= Φ που λέγεται και χρυσός αριθµός (χρυσός λόγος) και (1- ROOT(5))/2=1-Φ που είναι ο συµµετρικός του. Συµβολίζουµε το χρυσό λόγο-χρυσό αριθµό µε Φ, από το αρχικό του Φειδία ( π.χ.), του φηµισµένου γλύπτη που διεύθυνε την κατασκευή του Παρθενώνα..Ο χρυσός λόγος χρησιµοποιήθηκε ευρύτατα στην αρχιτεκτονική. Μια άλλη µαθηµατική του χρήση είναι στην γεννήτρια των αριθµών Fibonacci: Χν=(1/ROOT(5))*(Φ^ν-(1-Φ)^ν) (Eduard Lucas)

15 Γενικά, κάθε όρος στην ακολουθία Fibonacci προκύπτει από το άθροισµα των δύο τελευταίων όρων ξεκινώντας από δύο άσσους, δηλαδή έχει γενικό τύπο Χν=Χν-1+Χν-2, οπότε οι πρώτοι δώδεκα όροι της είναι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144. Παρατηρούµε ότι ο λόγος των δύο τελευταίων όρων της ακολουθίας τείνει προς το Φ, αφού 3/5=0.6, 8/13=0.615 και 89/144= Επιστρέφοντας στο χρυσό αριθµό, ένα παραλληλόγραµµο που η µικρή προς τη µεγάλη του πλευρά είναι σε λόγο Φ κατά προσέγγιση δηλαδή 3/5 ή 5/8 κοκ, λέγεται χρυσό παραλληλόγραµµο και θεωρείται να έχει τις αισθητικά καλύτερες αναλογίες. Σε ένα τέτοιο παραλληλόγραµµο, όπως στο σχήµα, είναι δυνατόν µε χρήση της χρυσής τοµής µε κανόνα και διαβήτη να σχεδιάσουµε τη λογαριθµική σπείρα που όπως θα δούµε αργότερα είναι το αποτέλεσµα δύο συµµετριών. Πράγµατι, αν πάρουµε τη χρυσή τοµή Ζ επί του τµήµατος ΒΓ και σχηµατίσουµε το ισόπλευρο τετράγωνο ΑΒΕΖ, τότε το κοµµάτι που αποµένει, δηλαδή το Ε ΖΓ είναι πάλι ένα χρυσό παραλληλόγραµµο. Συνεχίζοντας, αν πάρουµε τη χρυσή τοµή Θ επί της ΕΖ και σχηµατίσουµε το αντίστοιχο τετράπλευρο Ε ΗΘ, τότε πάλι το παραλληλόγραµµο ΖΓΗΘ θα είναι χρυσό. Συνεχίζουµε µε την ίδια τακτική όσο γίνεται και κατόπιν σχεδιάζουµε τα κυκλικά τόξα που αντιστοιχούν σε κύκλους που έχουν κέντρα τις χρυσές τοµές Ζ,Θ κτλ. Τα τόξα αυτά είναι συνεχόµενα και δίνουν την λογαριθµική σπείρα. Γίνεται ίσως κατανοητό, ότι η χρυσή τοµή, άρα και η συµµετρία που αυτή συνεπάγεται, εµφανίζεται [σαν συνδετικός κρίκος] σε πολλά συσχετιζόµενα θέµατα τόσο µαθηµατικού περιεχοµένου όπως µε τους αριθµούς Fibonacci και την λογαριθµική σπείρα όσο και αισθητικής όπως η οµορφιά όσο και βιολογικού-φυσικού, όπως η φυλλοταξία, που είναι ένα φαινόµενο που παρατηρείται στη βοτανολογία., όπου για παράδειγµα η διάταξη των σπειρών σε κουκουνάρια ή των ανθυλλίων σε ηλίανθους ακολουθούν την ακολουθία Fibonacci ή την ακολουθία κλασµάτων: 1/1, ½, 2/3, 3/5, 5/8 κοκ Στην παρακάτω φωτογραφία βλέπουµε ένα παράδειγµα φυλλοταξίας. Είναι ένας από τους τρεις τρόπους

16 διάταξης των φύλλων στα κλαδιά ενός δέντρου. Σε αυτόν το συγκεκριµένο τρόπο, τα φύλλα φύονται ένα προς ένα στο κλαδί και διατάσσονται έτσι ώστε να σχηµατίζουν µια ανιούσα σπείρα. ΑΠΟ ΤΙΣ ΥΟ ΣΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΠΟΛΥΕ ΡΑ Παρατηρώντας τον πίνακα του de' Barbari που εικονίζει τον Paccioli επισηµάναµε την ύπαρξη δυο στερεών σωµάτων που ονοµάσαµε πολύεδρα. Το ένα ήταν ένα κανονικό πολύεδρο, το δωδεκάεδρο. Τα πολύεδρα, και ιδιαίτερα τα κανονικά τα αναφέρουµε σε αυτήν την εισαγωγή και εξετάζουµε εκτενώς αργότερα στο 4ο κεφάλαιο για τον απλούστατο λόγο ότι εµφανίζουν τροµερό ενδιαφέρον τόσο σε σχέση µε τη συµµετρία και τα διάφορα είδη της όσο και για τη συσχέτιση τους µε πολλά θέµατα φυσικής αλλά και παραφυσικής. Στους πρώτους Πυθαγόρειους αποδίδεται από πολλούς η γνώση των κανονικών πολύεδρων αλλά και εµπειρικοί τρόποι κατασκευής τους. Ένα κανονικό πολύεδρο, όπως θα δούµε στο 4ο κεφάλαιο και µετά, είναι ένα κυρτό συνεχές στερεό που περικλείεται από ίσα κανονικά πολύγωνα, τις έδρες. ηλαδή ένα πολύεδρο συντίθεται από κανονικά πολύγωνα, και θα µπορούσε κανείς να παρατηρήσει ότι τα πολύεδρα ή κάποια από αυτά είναι τα γεωµετρικά αντίστοιχα µορφώµατα στο χώρο των κανονικών πολυγώνων του επίπεδου. Υπάρχουν µόνο πέντε κανονικά στερεά, το τετράεδρο, το εξάεδρο ή κύβος, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο και µια απόδειξη αυτού του γεγονότος δίνεται στο 4ο κεφάλαιο. Ο πρώτος που κάνει σαφή αναφορά στην ύπαρξη και στον τρόπο κατασκευής των κανονικών αυτών στερεών είναι ο Πλάτωνας ( π.χ.) γι' αυτό και συνήθως αποκαλούνται πλατωνικά στερεά.

17 Στη φωτογραφία βλέπουµε και τα πέντε πλατωνικά στερεά σε µια αναπαράσταση του 1549 του Γερµανού γραφίστα Augustin Herschvogel ( ). Στον διάλογό "Τίµαιος", ένα από τα τελευταία του έργα που συνήθως αναφέρεται µαζί µε το µικρότερο "Κριτίας", ο Πλάτων αναπτύσσει την κοσµολογία του, σύµφωνα µε την οποία η ύλη αποτελείται από τέσσερα βασικά στοιχεία: τη φωτιά, τη γη, τον αέρα και το νερό. Στον "Τίµαιο", τα πρωταρχικά µόρια καθενός εξ αυτών των στοιχείων έχουν το σχήµα ενός εκ των κανονικών πολυέδρων. Συγκεκριµένα, ο Πλάτων γράφει: Πρέπει να διαµοιράσουµε τα σχήµατα (στερεά) που µόλις περιγράψαµε ανάµεσα στη φωτιά, τη γη, το νερό και τον αέραας θέσουµε τον κύβο στη γη, γιατί είναι το πιο αδρανές από τα τέσσερα στερεά και το πιο συγκρατητικό στο σχήµα Το λιγότερο κινητό από τα εναποµείναντα σώµατα (εικοσάεδρο) στο νερό Το περισσότερο ευκίνητο (τετράεδρο) στη φωτιά Και το ενδιάµεσο (οκτάεδρο) στον αέρα. Σίγουρο είναι πως οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν το τετράεδρο, το οποίο αντιστοιχούσαν στο 4ο στοιχείο, δηλαδή τον αριθµό 4, του µυστικιστικού τους συµβόλου, τετρακτύς, που όπως είπαµε συµβόλιζε τη µαγική δεκάδα. Ίσως ο Πλάτωνας να επηρεάστηκε από αυτούς σχετικά. Παρόλα αυτά έχουν βρεθεί στη Σκοτία και χρονολογούνται περί το 2000 π.χ. εκατοντάδες µικρές σφαιρικά λαξευµένες πέτρες, µε διάµετρο το πολύ 10 εκατοστά. Μερικές από αυτές, όπως φαίνεται στη φωτογραφία, φέρουν τεχνητές αυλακώσεις που αντιστοιχούν σε ακµές πολύεδρων. Ειδικότερα, η µεσαία πέτρα έχει ξεκάθαρα το σχήµα κανονικού δωδεκάεδρου µε πενταγωνικές έδρες.

18 Η χρήση των σφαιρών αυτών δεν έχει αποσαφηνισθεί, αν και πολλοί κλίνουν προς τη µυστικιστική, λόγω των διάφορων σχετικών διακοσµήσεων που έχουν οι περισσότερες [Mi-2]. Πάντως, το κανονικό δωδεκάεδρο εµφανίζεται εδώ πολύ νωρίτερα πριν το αναφέρουν οι αρχαίοι Έλληνες. Τέλος, σώζονται µπρούτζινα κανονικά πολύεδρα της Ρωµαϊκής Εποχής. Σε αυτά (φωτογραφία) υπάρχουν σφαιροειδή σε κάθε κορυφή και κυκλικές τρύπες διαφόρων διαµέτρων σε κάθε έδρα. Η χρήση των πολύεδρων αυτών δεν έχει ακόµη ξεκαθαριστεί ούτε η ακριβής χρονολογία που κατασκευάσθηκαν. Η παραπάνω φωτογραφία (ελαφρά χρωµατισµένη) είναι παρµένη από άρθρο του Malkevitch [Bi-2]. Αντιλαµβάνεται κανείς ότι τα πολύεδρα, ιδιαίτερα αυτά που ονοµάζονται πλατωνικά, ενδιέφεραν τον άνθρωπο χιλιάδες χρόνια πριν. Αυτό το ενδιαφέρον ίσως συνοδευόταν από µια αποκρυφιστική φιλολογία γύρω από αυτά. Ο Πλάτων είναι ο πρώτος που τα χρησιµοποιεί, και τα πέντε, µε συγκεκριµένο τρόπο κατασκευής προκειµένου να "οικοδοµήσει" πάνω τους τη κοσµολογία του. Στην φωτογραφία, φαίνεται το σχέδιο ενός κανονικού δωδεκάεδρου, του Leonardo Da Vinci, από το βιβλίο του Paccioli για την Θεία Αναλογία.

19 Εκτός από τα Πλατωνικά Σώµατα, θα δούµε πως υπάρχουν και δεκατρία στερεά που λέγονται Αρχιµήδεια. Αυτά είναι ηµικανονικά, είναι όλα εγγράψιµα σε σφαίρα και οι έδρες τους είναι δυο ή τριών ειδών κανονικά πολύγωνα. Στον πίνακα του de' Barbari, το δεύτερο και µεγαλύτερο στερεό που αναφέραµε είναι ένα από τα Αρχιµήδεια πολύεδρα και ονοµάζεται ροµβο-κυβοκτάεδρο. Τα Αρχιµήδεια στερεά απασχόλησαν όπως θα δούµε στο 4ο κεφάλαιο εξίσου µε τα Πλατωνικά στερεά πολλούς µαθηµατικούς αλλά και καλλιτέχνες-γεωµέτρες της Αναγέννησης. Στην διπλανή φωτογραφία, φαίνεται ακόµη ένα σχέδιο του Leonardo από την "Divina Proportione", αυτή τη φορά για ένα από τα δεκατρία Αρχιµήδεια στερεά, το εικοσιδωδεκάεδρο, του οποίου είναι η πρώτη τυπωµένη παρουσίαση. Η σηµασία των πολύεδρων γενικά είναι πολύ µεγάλη τόσο για τις ιδιότητες τους όσο και για τη χρήση τους παλαιότερα αλλά και σήµερα στην αρχιτεκτονική, στην κρυσταλλογραφία κ.α. Με ότι αναφέραµε σε αυτό το κεφάλαιο, προσπαθήσαµε να εισάγουµε την συµµετρία σαν θέµα προς περαιτέρω διερεύνηση. Ούτε εισήλθαµε σε

20 πολλές τεχνικές λεπτοµέρειες, ούτε δείξαµε την ουσιαστική της συµβολή στην τέχνη και την αισθητική ούτε πόσο συνδέονται τα πολύεδρα και δη τα πλατωνικά µε τη συµµετρία και τι σχέση µπορεί να έχουν αυτά µε τους κρυστάλλους και την επιστήµη της αναγνώρισης τους, τις Πυραµίδες, τον Kepler και τους νόµους για την κίνηση των πλανητών ή πως η συµµετρία αποδεικνύεται πως ισχύει σαν αρχή σε πολύ γενικότερη βάση. εν δείξαµε τίποτε από αυτά, αλλά θέσαµε τις βάσεις, "σπείραµε" τα θέµατα για τα οποία θα µιλήσουµε στα επόµενα κεφάλαια.

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε

Διαβάστε περισσότερα

συµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου.

συµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου. συµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου. Σε κάθε άξονα αντιστοιχούν 3 κατοπτρισµοί, οπότε έχουµε 4 * 3 = 12 κατοπτρισµούς συνολικά. Συνολικά, η οµάδα των συµµετριών

Διαβάστε περισσότερα

Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι

Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου είναι ένα διάσημο σχέδιο με συνοδευτικές σημειώσεις του Λεονάρντο Ντα Βίντσι, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγιά

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Η Χρυσή τοµή στην καθηµερινότητά µας Η χρυσή τοµή δεν είναι µόνο ένας µαθηµατικός όρος, αλλά και µια

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά περί Συμμετρίας

1. Γενικά περί Συμμετρίας 1. Γενικά περί Συμμετρίας ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o αναφέρετε τη διττή σημασία της έννοιας της συμμετρίας από την αρχαία Ελλάδα μέχρι και

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια Στερεά

Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια Στερεά Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια τερεά (Κανονικά και Ηµικανονικά Πολύεδρα) Λίγα Ιστορικά στοιχεία ηµ. Μπουνάκης χ. ύµβουλος Μαθηµατικών dimitrmp@sch.gr Ιούνιος 2011 Κανονικό Πολύεδρο είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΤΙΜΑΙΟ ΩΣ ΤΟΝ FELIX KLEIN KAI ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ ERLANGEN

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΤΙΜΑΙΟ ΩΣ ΤΟΝ FELIX KLEIN KAI ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ ERLANGEN ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΤΙΜΑΙΟ ΩΣ ΤΟΝ FELIX KLEIN KAI ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ ERLANGEN 4. Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΠΟΛΥΕ ΡΑ Στις τρεις διαστάσεις, η συµµετρία έχει την πιο ενδιαφέρουσα εφαρµογή της στα πολύεδρα και δη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωμετρία της ζωής. Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ

Η γεωμετρία της ζωής. Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ Η γεωμετρία της ζωής Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ Τι μελετά η γεωμετρία ; Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα

Διαβάστε περισσότερα

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή Χρυσή τομή 3.1 Εισαγωγή Ίσως όλοι έχουμε την εντύπωση πως αυτό που λέγεται λόγος χρυσής τομής, είναι μία έμπνευση των αρχαίων Ελλήνων την οποία εκμεταλλεύτηκαν για να κατασκευάσουν κτίσματα ή να δημιουργήσουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières αγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό έντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα αγκουρό 007 Επίπεδο: 4 (για

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + 3 β) α = + ( 1) ν ν γ) α ν = 1 1 1 1 + + + L + 1 3 34 ν ν + 1 δ) α1 = 0, αν+ 1 = 3α + 1 ν ( ). ** Να

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Πως η φύση παίρνει μορφή με χρυσές αναλογίες.

Πως η φύση παίρνει μορφή με χρυσές αναλογίες. 3 ο ΓΕΛ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ Πως η φύση παίρνει μορφή με χρυσές αναλογίες. Ομαδα1 Νικολόπουλος Βασίλης Παχής Θοδωρής Τσιάμης Θάνος Φλέγκας Κωνσταντίνος Ομαδα2 Μαγουλά Ολίνα Μακρή Άννα Πάλλη Ευσταρτία Ντίας Στέφανος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ Από τις καταστάσεις της ύλης τα αέρια και τα υγρά δεν παρουσιάζουν κάποια τυπική διάταξη ατόμων, ενώ από τα στερεά ορισμένα παρουσιάζουν συγκεκριμένη διάταξη ατόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όσοι διαβάσατε «ΤΟ ΙΔΙΟΝ» www.omas-e.gr, θα διαπιστώσατε ότι στο κέντρο των συμπάντων υπάρχει η φυσαλίδα που στέλνει

Διαβάστε περισσότερα

Από κάθε κορυφή ενός τετραγώνου «κόβουµε» τριγωνική πυραµίδα όπως φαίνεται στο σχήµα, όπου ΚΛΜ µέσα των ακµών του κύβου. Τούτο κάνουµε µε όλες τις κορυφές του κύβου. Να βρείτε πόσες είναι οι κορυφές του

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. Διαπραγμάτευση του προβλήματος: (Απευθύνεται σε αναγνώστη με ελάχιστες πρότερες γνώσεις) Το παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΓΩΝΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΠΙΠΕ Α ΣΧΗΜΑΤΑ

1.2 ΓΩΝΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΠΙΠΕ Α ΣΧΗΜΑΤΑ 1 2 ΩΝΙ ΣΙΚ ΠΙΠ ΣΧΗΜΤ ΘΩΡΙ ωνία : ίναι κάθε µία από τις χρωµατισµένες περιοχές του διπλνού σχήµατος µαζί µε τις ηµιευθείες Οx και Οy Τεθλασµένη γραµµή : ίναι µία πολυγωνική γραµµή που αποτελείται από διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Από τα αρχαιότατα χρόνια, έχουν καταβληθεί σηµαντικές προσπάθειες οι απειράριθµες ουσίες που υπάρχουν στη φύση να αναχθούν σε ενώσεις λίγων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Çëßáò Ã. ÊáñêáíéÜò - Έφη Ι. Σουλιώτου Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Α Τεύχος 1 Απαγορεύεται η αναπαραγωγή µέρους ή του συνόλου του παρόντος έργου µε οποιοδήποτε τρόπο ή µορφή, στο πρωτότυπο ή σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ Το κεφάλαιο αυτό γράφτηκε από το Βαγγέλη Δρίβα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την συμμετρία στο επίπεδο. Αυτή έχει την έννοια της μεταφοράς όλων των σημείων ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα