Εργαστήριο 6: Προσηµασµένοι Ακέραιοι, Προσθαφαιρέτες, Flip-Flops

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εργαστήριο 6: Προσηµασµένοι Ακέραιοι, Προσθαφαιρέτες, Flip-Flops"

Transcript

1 1 of 6 18/11/2003 5:11 µµ ΗΥ-120: Ψηφιακή Σχεδίαση Φθινόπωρο 2003 Τµ. Επ. Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Εργαστήριο 6: Προσηµασµένοι Ακέραιοι, Προσθαφαιρέτες, Flip-Flops Νοεµβρίου 2003 ιαγωνισµός Προόδου: Σάββατο 29 Νοεµβρίου, ώρα 10:10-12:00 π.µ. [Βιβλίο: προαιρετικά µπορείτε να διαβάσετε τις παραγράφους (σελίδες 13-22), και τις σελίδες (µέρος της παραγράφου 5.2)]. 6.1 Πολλαπλασιασµός, ιαίρεση, και Υπόλοιπο µε δυνάµεις του 2: Όπως στο δεκαδικό σύστηµα ο πολλαπλασιασµός επί 10, 100, κλπ. είναι πολύ απλός, έτσι και στο δυαδικό ο πολλαπλασιασµός επί δύναµη του 2 αντιστοιχεί σε απλή αριστερή ολίσθηση µε γέµισµα µηδενικών από δεξιά. Όντως, αν B είναι ο δυαδικός αριθµός b n-1 b n-2...b 2 b 1 b 0 µε n bits ( 5.1), τότε το γινόµενό του επί 2 k είναι: B 2 k = b n-1 2 (n-1)+k + b n-2 2 (n-2)+k b k + b k + b k = = b n-1 2 n+k-1 + b n-2 2 n+k b 1 2 k+1 + b 0 2 k k k Βάσει της τελευταίας αυτής ισότητας, ο αριθµός B 2 k άναπαρίσταται στο δυαδικό µε n+k bits τα οποία είναι: τα n bits του αριθµού B "ολισθηµένα" αριστερά κατά k θέσεις (δηλαδή µε τη σηµαντικότητα καθενός αυξηµένη κατά k θέσεις), ακολουθούµενα από k µηδενικά. Γιά παράδειγµα, ο αριθµός 45 (δεκαδικό) = (δυαδικό), πολλαπλασιαζόµενος επί 16 = 2 4 δίνει 45x16 = 720 (δεκαδικό), που στο δυαδικό είναι: Στο δεκαεξαδικό, ο πρώτος αριθµός (45) είναι ο 2D, και το γινόµενό του επί 16 (επί "10" στο δεκαεξαδικό) είναι: 2D0. Κατ' αντίστοιχο τρόπο, η διαίρεση διά δύναµη του 2 αντιστοιχεί σε δεξιά ολίσθηση τα λιγότερο σηµαντικά bits του αριθµού, που "εκδιώκονται" από τη δεξιά άκρη του, αποτελούν το υπόλοιπο της διαίρεσης. Γιά τον παραπάνω αριθµό B, η διαίρεσή του διά 2 k δίνει: B / 2 k = (b n-1 2 (n-1)-k + b n-2 2 (n-2)-k b k b k 2 0 ) + (b k-1 2 k b b ) / 2 k Ο πρώτος όρος του παραπάνω αθροίσµατος είναι ακέραιος αριθµός, ενώ ο δεύτερος είναι κλασµατικός, µικρότερος της µονάδας ή µηδεν, δεδοµένου ότι ο αριθµητής (b k-1 2 k b b ) είναι ένας δυαδικός αριθµός µε k bits, άρα πάντα µικρότερος του 2 k. Κατά συνέπεια, ο πρώτος όρος (τα αριστερά n-k bits του αρχικού αριθµού) είναι το ακέραιο πηλίκο της διαίρεσης, ενώ ο αριθµητής του δευτέρου όρου (τα δεξιά k bits του αρχικού αριθµού) είναι το υπόλοιπο της (ακέραιας) διαίρεσης. Γιά παράδειγµα, ο αριθµός 205 (δεκαδικό) = (δυαδικό), διαρούµενος διά 8 = 2 3 δίνει πηλίκο 25 (δεκαδικό) = (δυαδικό), και υπόλοιπο 5 (δεκαδικό) = 101 (δυαδικό). Στο οκταδικό, ο διαιρετέος είναι 315, ο διαιρέτης είναι 10, το πηλίκο είναι 31 (=3x8+1=25 στο δεκαδικό), και το υπόλοιπο είναι 5. Μιά συνηθισµένη εφαρµογή στους υπολογιστές είναι όταν µιά µεγάλη µνήµη, π.χ. 256 Mbytes, κατασκευάζεται από κάµποσες --π.χ. δεκαέξι (16)-- µικρότερες, µεγέθους δύναµης του 2 η καθεµία --εδώ µεγέθους 16 MBytes = 16,777,216 Bytes καθεµία. Εάν µας ζητηθεί να προσπελάσουµε το Byte µε διεύθυνση 167,772,560, σε ποιάν από τις 16 µικρότερες µνήµες βρίσκεται αυτό και τι διεύθυνση µέσα σε αυτήν έχει; Γιά να βρούµε σε ποιά µνήµη θα το αναζητήσουµε, πρέπει να διαιρέσουµε τη διεύθυνση 167,772,560 διά το µέγεθος 16,777,216 των επιµέρους µνηµών, που σ' αυτήν την περίπτωση µας δίνει 10 (δεκαδικό) (πρόκειται γιά την 11η µνήµη, αφού οι επιµέρους µνήµες αριθµούνται 0, 1, 2,..., 15) το υπόλοιπο της διαίρεσης, 400 (δεκαδικό), µας δίνει την επιθυµητή διεύθυνση µέσα στην επιµέρους µνήµη. Η διεύθυνση του επιθυµητού Byte είναι 167,772,560 (δεκαδικό) = A,00,01,90 (δεκαεξαδικό) = 1010, , , (δυαδικό - 28 bits). Το µέγεθος της κάθε επιµέρους µνήµης (διαιρέτης) είναι 16 M = 2 24, άρα το ζητούµενο Byte βρίσκεται στη θέση (υπόλοιπο διαίρεσης, δηλαδή δεξιά 24 bits της διεύθυνσης) της µνήµης υπ' αριθµόν 1010 (πηλίκο διαίρεσης, δηλαδή αριστερά = 4 bits της διεύθυνσης) µετατρέποντας στο δεκαδικό, βλέπουµε ότι όντως πρόκειται γιά τη θέση = 400 της µνήµης υπ' αριθµόν 8+2 = Συστροφή (wrap-around) Αναπαράστασης Αριθµών µε n bits: Μία άλλη εφαρµογή της παραπάνω παρατήρησης σχετικά µε το υπόλοιπο της διαίρεσης διά δύναµη του 2 είναι η ερµηνεία των αριθµητικών πράξεων µε πεπερασµένο πλήθος bits. Ας φανταστούµε ότι οι ακέραιοι αριθµοί των µαθηµατικών έχουν πάρα πολλά bits --όσα χρειάζονται γιά το µέγεθός τους-- αλλά εµείς κάνουµε πράξεις µ' έναν υπολογιστή που έχει πεπερασµένο πλήθος bits, έστω n bits, και γι' αυτό κρατάµε µόνο τα n λιγότερο σηµαντικά (δεξιά) bits του "µαθηµατικού" αριθµού. Έτσι, όταν προσθέτουµε αριθµούς ( 5.4) µ' έναν αθροιστή µεγέθους n bits, αγνοούµε (πετάµε) το κρατούµενο που βγαίνει από την αριστερή άκρη (MSB), διότι δεν έχουµε πού να το αποθηκεύσουµε. Εποµένως, αν A είναι το πραγµατικό (µαθηµατικό) αποτέλεσµα της πράξης µας, ο υπολογιστής µας τελικά θα κρατήσει µόνο το υπόλοιπο της διαίρεσης του A διά 2 n (που συνήθως συµβολίζεται: Amod 2 n ).

2 2 of 6 18/11/2003 5:11 µµ Εάν σε αυτό τον υπολογιστή, µε το πεπερασµένο πλήθος των n bits, αρχίσω να µετρώ από το 0 προς τα πάνω, όταν φτάσω στον αριθµό 2 n -1, ο επόµενος αριθµός θα φανεί σαν να είναι πάλι ο 0, και µετά θα συνεχίσω να µετράω πάλι από την αρχή, 1, 10, 11, 100, κλπ. Το φαινόµενο αυτό είναι σαν να έχω ένα τροχό µε περίµετρο 2 n και µε χαραγµένους επάνω του τους 2 n υπάρχοντες συνδυασµούς των n bits, δεξιόστροφα από το µέχρι το , και να τυλίγω επάνω σε αυτόν τον τροχό τον άξονα των αριθµών, όπως φαίνεται στο σχήµα δίπλα γιά n=4 bits. Έστω ότι ξεκινάµε το τύλιγµα έτσι ώστε ο ακέραιος αριθµός 0 να συµπέσει µε τον δυαδικό κώδικα Τότε, οι 2 n κώδικες του τροχού θα συµπέσουν µε τους ακεραίους αριθµούς από 0 έως 2 n -1, όπως ακριβώς καθορίζει ο γνωστός µας από την 5.1 κώδικας δυαδικής αναπαράστασης των µη προσηµασµένων ακεραίων. Όταν όµως εξαντλούνται οι υπάρχοντες συνδυασµοί των n bits, οι περαιτέρω αριθµοί (π.χ. 16, 17,... στο σχήµα) έχουν "τυλιχτεί" πάνω στους ίδιους κώδικες, 000, 001, κλπ, ξανά από την αρχή. Αν λοιπόν µιά πρόσθεση δώσει αποτέλεσµα από 2 n και πάνω, το αποτέλεσµα αυτό, στον υπολογιστή µε τα n bits, θα µοιάζει σαν ένας µικρότερος αριθµός --αυτός που προκύπτει από το "τύλιγµα". Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται " wrap around " --περιτύλιγµα, περιέλιξη, ή συστροφή -- των ακεραίων αριθµών γύρω από τον "τροχό" των πεπερασµένων συνδυασµών που έχει τη δυνατότητα να παραστήσει ο υπολογιστής. Εάν τώρα θεωρήσουµε και τους αρνητικούς αριθµούς, στον ίδιο άξονα των αριθµών τον συνεστραµµένο γύρω από τον τροχό, όπως φαίνεται στο σχήµα, τότε αποκτάµε µιά µέθοδο --έναν κώδικα-- αναπαράστασης και αρνητικών αριθµών. Ο κώδικας αυτός, που ονοµάζεται "συµπλήρωµα ως προς 2", χρησιµοποιείται σήµερα σε όλους τους υπολογιστές γιά την αναπαράσταση "προσηµασµένων ακεραίων" (signed integers), και έχει πολύ σηµαντικά πλεονεκτήµατα απλότητας έναντι άλλων, εναλλακτικών κωδίκων. Στην καθηµερινή µας ζωή παριστάνουµε τους προσηµασµένους ακεραίους χρησιµοποιόντας έναν διαφορετικό κώδικα, τον κώδικα προσήµου - απόλυτης τιµής (sign-magnitude representation). Η κατεύθυνση αύξησης της απόλυτης τιµής, όµως, είναι άλλοτε δεξιόστροφα (θετικοί αριθµοί) και άλλοτε αριστερόστροφα (αρνητικοί αριθµοί), πάνω στον συνεστραµµένο άξονα των αριθµών. Αυτή η αλλαγή φοράς αύξησης έχει σαν συνέπεια, όταν προσθέτουµε προσηµασµένους ακεραίους στην καθηµερινή µας ζωή, άλλοτε να πρέπει να κάνουµε πρόσθεση κι άλλοτε αφαίρεση των απολύτων τιµών τους, και µάλιστα πριν από την αφαίρεση να πρέπει να συγκρίνουµε τις δύο απόλυτες τιµές γιά να βρούµε ποιά είναι η µικρότερη και να αφαιρέσουµε αυτήν από την άλλη. Αντ' αυτού, οι υπολογιστές ακολουθούν τον πολύ απλούστερο τρόπο που πηγάζει από την παραπάνω µέθοδο της "συστροφής": επειδή η (αλγεβρική) αύξηση µιάς τιµής --είτε θετικής είτε αρνητικής-- αντιστοιχεί πάντα σε δεξιόστροφη κίνηση πάνω στον τροχό, προκύπτει ότι αρκεί πάντα να κάνουµε πρόσθεση και µόνο, ανεξαρτήτως του αν προσθέτουµε θετικούς ή αρνητικούς αριθµούς! Η άλλη βασική παρατήρηση είναι ότι η (αλγεβρική) ελάττωση µιάς τιµής, δηλαδή η πρόσθεση ενός αρνητικού αριθµού --π.χ. του (-1)-- που αντιστοιχεί σε αριστερόστροφη κίνηση πάνω στον τροχό --π.χ. κατά 22.5 µοίρες εδώ-- µπορεί να προκύψει ισοδύναµα και σαν πρόσθεση ενός "µεγάλου" θετικού αριθµού --του 15 στο εδώ παράδειγµα, που αντιστοιχεί σε δεξιόστροφη κίνηση κατά = µοίρες. Αν λοιπόν κωδικοποιήσουµε το -1 µε τον ίδιο κώδικα όπως και το 15, τότε η πρόσθεση αυτού του κώδικα µε έναν τετράµπιτο αθροιστή θα φέρνει το ίδιο αποτέλεσµα όπως η πρόσθεση του Κώδικας Συµπληρώµατος-2 Προσηµασµένων Ακεραίων: Σ' έναν υπολογιστή που λειτουργεί µε λέξεις των n bits καθεµία, η συστροφή των ακεραίων αριθµών προκαλεί την επανεµφάνιση της ίδιας αναπαράστασης κάθε φορά που προχωρούµε κατά 2 n προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Στο σχήµα δεξιά φαίνεται ένα παράδειγµα γιά έναν οκτάµπιτο υπολογιστή. Ο κώδικας , ερµηνευόµενος σαν µη προσηµασµένος ακέραιος (unsigned integer), παριστά τον αριθµό 255 (δεκαδικό) όµως, ο ίδιος κώδικας επανεµφανίζεται 256 θέσεις πιό πάνω, στο = 511, όπως και 256 θέσεις πιό κάτω, στο = -1. Η παρατήρηση αυτή είναι η βάση της δηµιουργίας του κώδικα αναπαράστασης των προσηµασµένων ακεραίων. Ο κώδικας " συµπληρώµατος ως προς 2" (2's Complement) που χρησιµοποιείται σήµερα στους υπολογιστές γιά την αναπαράσταση προσηµασµένων ακεραίων (signed integers), κωδικοποιεί τον αρνητικό αριθµό (-A), όπου A µεταξύ 1 και 2 n-1, µε τον κώδικα µη προσηµασµένου του ακεραίου (-A)+2 n = 2 n -A. Έτσι, στο σχήµα δεξιά, ο αριθµός -2 κωδικοποιείται όπως ο 2 n - 2 = = 254, δηλαδή Οµοίως, ο -3 κωδικοποιείται όπως ο 253, ο -4 όπως ο 252, ο -5 κωδικοποιείται , σαν τον 251, κ.ο.κ. Βλέπουµε ότι οι κώδικες των αρνητικών αριθµών αυξάνουν προς την ίδια κατεύθυνση προς την οποία αυξάνουν και οι κώδικες των θετικών αριθµών. Τους θετικούς αριθµούς από 0 έως 2 n-1-1, ο κώδικας συµπληρώµατος ως προς 2 τους παριστά πανοποιότυπα όπως και ο κώδικας των µη προσηµασµένων ακεραίων.

3 3 of 6 18/11/2003 5:11 µµ Σ' έναν οκτάµπιτο υπολογιστή όπως του παραπάνω παραδείγµατος, έχουµε τη δυνατότητα να κωδικοποιήσουµε µονοσήµαντα µέχρι 256 διαφορετικούς ακεραίους αριθµούς οι υπόλοιποι αριθµοί, που "δεν χωράνε" σε 8 bits, θα απεικονίζονται µέσω συστροφής σε κάποιον από τους "βασικούς" αριθµούς. Από τους άπειρους ακεραίους που υπάρχουν, ποιούς 256 θα διαλέξουµε σαν τους "βασικούς" ακεραίους, που θα χρησιµοποιούµε και θα κωδικοποιούµε µονοσήµαντα; Η απάντηση εξαρτάται από τον κώδικα που επιλέγουµε. Είδαµε στην 5.1 ότι ο οκτάµπιτος κώδικας µη προσηµασµένων ακεραίων παριστάνει τους αριθµούς από το 0 ώς το 255 γενικότερα, µε n bits, ο κώδικας αυτός παριστάνει τους ακεραίους από το 0 έως και το 2 n -1. Αντ' αυτού, ο κώδικας συµπληρώµατος ως προς 2, µε 8 bits, επιλέγουµε να παριστά µονοσήµαντα τους ακεραίους από -128 έως και +127 γενικότερα, µε n bits, ο κώδικας αυτός παριστάνει τους ακεραίους από τον -2 n-1 έως και τον +2 n-1-1. Τις περιοχές αυτές τις βλέπουµε σηµειωµένες στο σχήµα µε αγκύλες. Όπως βλέπουµε, η περιοχή αναπαράστασης του κώδικα των προσηµασµένων ακεραίων είναι σχεδόν συµµετρική γύρω από το µηδέν, και έχει επιλεγεί ούτως ώστε το αριστερό (MS) bit του κώδικα να είναι 1 γιά όλους τους αρνητικούς αριθµούς και µόνο, και να είναι 0 γιά όλους τους µη αρνητικούς αριθµούς και µόνο, δηλαδή γιά τον αριθµό µηδέν και όλους τους θετικούς αριθµούς. 6.4 Πρόσθεση Προσηµασµένων Ακεραίων σε Συµπλήρωµα-2: Θεωρήστε έναν υπολογιστή µε λέξεις των n bits, και έναν αθροιστή µη προσηµασµένων ακεραίων όπως αυτός της 5.4, του οποίου όµως αγνοούµε το κρατούµενο εξόδου, κρατάµε δηλαδή µόνο το άθροισµα mod 2 n, δηλαδή µόνο τα n LS bits. Θα αποδείξουµε ότι εάν στις δύο εισόδους αυτού του αθροιστή τροφοδοτήσουµε τους κώδικες συµπληρώµατος-2 δύο προσηµασµένων ακεραίων, A s και B s, µεταξύ -2 n-1 και +2 n-1-1 ο καθένας, και εάν το (προσηµασµένο) άθροισµα των δύο ακεραίων βρίσκεται επίσης στην περιοχή από -2 n-1 έως και +2 n-1-1, τότε στην έξοδο του παραπάνω αθροιστή θα εµφανιστεί ο κώδικας συµπληρώµατος-2 του (προσηµασµένου) αυτού αθροίσµατος. Με άλλα λόγια, ο αθροιστής µη προσηµασµένων ακεραίων, όπως τον ξέρουµε, είναι επίσης και αθροιστής προσηµασµένων αριθµών, όταν αυτοί παρίστανται µε κώδικα συµπληρώµατος-2, και όταν το άθροισµά τους χωρά να παρασταθεί και αυτό µε τον ίδιο κώδικα και το ίδιο πλήθος bits. Γιά την απόδειξη θα χρησιµοποιήσουµε, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα, τους ακεραίους A u και B u, που αποτελούν την ερµηνεία των A s και B s ως µη προσηµασµένων αριθµών δηλαδή, όπως ξέρουµε, A u = A s + 2 n όταν A s <0, αλλοιώς A u = A s --και οµοίως γιά τον B u. Ο αθροιστής µη προσηµασµένων υπολογίζει το S u = (A u +B u ) mod 2 n, το οποίο στη συνέχεια ερµηνεύουµε σαν τον προσηµασµένο αριθµό S s, δηλ. S s = S u όταν S u <2 n-1, αλλοιώς S s = S u - 2 n. Η βασική ιδέα της απόδειξης είναι η εξής: αφού ο A u είναι είτε A s είτε A s + 2 n, και ο B u είναι είτε B s είτε B s + 2 n, τότε το άθροισµα (A u +B u ) θα είναι: A s +B s +P, όπου P = είτε 0, είτε 2 n, είτε 2 n+1. Εποµένως, αφού το άθροισµα S u υπολογίζεται mod 2 n, ο όρος P θα φεύγει, και θα µας µένει το άθροισµα A s +B s. Γιά µιά πλήρη απόδειξη, πρέπει να εξετάσουµε προσεκτικά τις περιοχές τιµών των προσθετέων και του αθροίσµατος, όπως θα κάνουµε τώρα, χωριστά γιά τις τέσσερεις περιπτώσεις: (α) Θετικός συν Θετικό: Όταν οι δύο προσθετέοι, A s και B s, είναι θετικοί ή µηδέν και δεν ξεπερνούν τον αριθµό +2 n-1-1, τότε A u = A s και B u = B s, άρα και A u +B u = A s +B s. Η υπόθεση του θεωρήµατός µας είναι ότι το άθροισµα A s +B s µπορεί να παρασταθεί µε n bits σε µορφή συµπληρώµατος 2, άρα το A s +B s δεν ξεπερνά το +2 n-1-1. Κατά συνέπεια, και το S = A u +B u δεν ξεπερνά το 2 n-1-1, εποµένως S u = S <2 n-1. Σε αυτήν την περιοχή, όµως, S s = S u, άρα S s = S = A u +B u = A s +B s [ΟΕ ]. (β) Θετικός συν Αρνητκό, µε Άθροισµα Θετικό ή Μηδέν: Έστω ότι A s = +A και B s = -B, όπου A και B είναι θετικοί που δεν ξεπερνούν το +2 n-1-1, και ο A είναι µεγαλύτερος ή ίσος του B, όπως φαίνεται στο σχήµα (πρώτοι δύο άξονες). Επειδή A s >0, έχουµε A u =A s =A απ' την άλλη µεριά, B s <0, άρα B u = B s +2 n = 2 n -B. Ο µη προσηµασµένος αθροιστής υπολογίζει το άθροισµα S = A + (2 n - B) = 2 n + (A-B), το οποίο όµως είναι µεγαλύτερο ή ίσο του 2 n, επειδή ο A είναι µεγαλύτερος ή ίσος του B. Άρα, S u = S mod 2 n = (2 n + (A-B)) mod 2 n = A - B. Επειδή S u =A-B δεν ξεπερνά το +2 n-1-1, θα είναι S s = S u εποµένως, S s = A-B = A s +B s [ΟΕ ].

4 4 of 6 18/11/2003 5:11 µµ (γ) Θετικός συν Αρνητκό, µε Άθροισµα Αρνητικό: Έστω ότι A s = -A και B s = +B, όπου A θετικός, B θετικός ή µηδέν, A>B, ο A δεν ξεπερνά το 2 n-1, και ο B δεν ξεπερνά το 2 n-1-1. Σε αυτή την περίπτωση, έχουµε: A u = A s +2 n = 2 n -A, και B u =B s =B, όπως φαίνεται στο σχήµα, στη µετάβαση από τον πρώτο στον τρίτο άξονα των αριθµών. Ο µη προσηµασµένος αθροιστής υπολογίζει το άθροισµα S = (2 n - A) + B = 2 n - (A-B) επειδή A>B, το άθροισµα αυτό είναι µικρότερο του 2 n, άρα ο αθροιστής το βγάζει αυτούσιο: S u = S = 2 n - (A-B). Επειδή ο A δεν ξεπερνά το 2 n-1, το ίδιο ισχύει και γιά τον (A-B) εποµένως, ο S u είναι µεγαλύτερος ή ίσος του 2 n-1. Ένας τέτοιος µη προσηµασµένος αριθµός, ερµηνευόµενος σε κωδικοποίηση συµπληρώµατος-2, θα ερµηνευτεί σαν ο αρνητικός αριθµός S s = S u - 2 n = (2 n -(A-B)) - 2 n = -A + B = A s + B s [ΟΕ ]. (δ) Αρνητκός συν Αρνητκό: Έστω ότι A s = -A και B s = -B, όπου A και B είναι θετικοί που δεν ξεπερνούν, ούτε αυτοί ούτε το άθροισµά τους, τον αριθµό 2 n-1. Τότε: A u = A s +2 n = 2 n -A, και B u = B s +2 n = 2 n -B, όπως φαίνεται στο δεξιό άξονα του σχήµατος. Ο µη προσηµασµένος αθροιστής υπολογίζει το άθροισµα S = (2 n -A) + (2 n -B) = 2 n+1 - (A+B), το οποίο όµως είναι µεταξύ 2 n+1-2 n-1 = 2 n +2 n-1 και 2 n+1-1. Άρα, επειδή ο αθροιστής βγάζει µόνο n bits, θα βγάλει τελικά: S u = S mod 2 n = (2 n+1 - (A+B)) mod 2 n = 2 n - (A+B), το οποίο είναι µεταξύ 2 n-1 και 2 n -1. Σε αυτήν την περιοχή τιµών, S s = S u - 2 n = (2 n - (A+B)) - 2 n = -A-B = A s + B s [ΟΕ ]. 6.5 Εύρεση του Αντιθέτου ενός Αριθµού: ιαπιστώσαµε ότι µπορούµε να προσθέτουµε προσηµασµένους ακεραίους σε µορφή συµπληρώµατος ως προς 2 χρησιµοποιώντας τον ίδιο αθροιστή µη προσηµασµένων ακεραίων που ήδη είχαµε. Προκειµένου, τώρα, να κάνουµε και αφαιρέσεις, το µόνο που χρειαζόµαστε είναι µιά µέθοδος να βρίσκουµε τον αντίθετο αριθµό, -B, ενός δοθέντα αριθµού B. Όταν αποκτήσουµε µιά τέτοια µέθοδο, θα µπορούµε να κάνουµε την αφαίρεση A-B µέσω της πρόσθεσης A+(-B). Τη ζητούµενη µέθοδο µας τη δίνει η παρατήρηση του σχήµατος: Έστω B ένας προσηµασµένος ακέραιος σε µορφή συµπληρώµατος-2 µε n bits, και έστω B' ο επίσης προσηµασµένος ακέραιος συµπληρώµατος-2 µε n bits που προκύπτει από τον B αντιστρέφοντας το κάθε bit του. Τον αριθµό B' τον λέµε και "συµπλήρωµα του B ως προς 1" (1's complement), επειδή κάθε νέο bit είναι 1 µείον το παλαιό bit. Εύκολα βλέπει κανείς ότι το προσηµασµένο άθροισµα των B + B' ισούται πάντα µε -1, αφού έχει την αναπαράσταση µε όλο άσσους: η πρόσθεση ενός bit 0 µε ένα bit 1, χωρίς κρατούµενο εισόδου, δίνει πάντα άθροισµα 1 και κρατούµενο 0 (χρησιµοποιήσαµε την ιδιότητα ότι οι προσηµασµένοι αριθµοί B και B' προστίθενται µε τον ίδιο τρόπο όπως προσθέτουµε και τους µη προσηµασµένους αριθµούς, όπως αποδείξαµε στην προηγούµενη παράγραφο, 6.4). Αφού B+B' = -1, προκύπτει ότι B+B'+1 = B + (B'+1) = 0, άρα οι αριθµοί B και (B'+1) είναι αλγεβρικά αντίθετοι: (B'+1) = -B --υπό την προϋπόθεση ότι το άθροισµα (B'+1) µπορεί να παρασταθεί σε συµπλήρωµα-2 µε n bits, δηλαδή ότι το (B'+1) βρίσκεται µεταξύ -2 n-1 και +2 n-1-1, πράγµα που ισχύει πάντα εκτός της περίπτωσης B' = +2 n-1-1 = , δηλαδή εκτός B = = -2 n-1, αφού τότε ο -B = +2 n-1 δεν µπορεί να παρασταθεί µε n bits σε µορφή συµπληρώµατος-2. Εποµένως, συνολικά, όταν B είναι ακέραιος στο διάστηµα [-(2 n-1-1), +(2 n-1-1)], τότε ο αλγεβρικός αντίθετός του, -B (που επίσης ανήκει στο ίδιο διάστηµα), σε παράσταση συµπληρώµατος-2, είναι ο Β'+1, δηλαδή ο αριθµός που προκύπτει από την παράσταση συµπληρώµατος-2 του B αν αντιστρέψουµε το κάθε bit της και στη συνέχεια προσθέσουµε τον αριθµό 1 (µέσω προσηµασµένης πρόσθεσης, που, όπως έχουµε δείξει, είναι η ίδια µε την µη προσηµασµένη όπου αγνοούµε το κρατούµενο εξόδου). Άσκηση 6.6: Αρνητικοί Αριθµοί και Αφαιρέσεις [Κάντε την πριν το εργαστήριο και παραδώστε την µε την αναφορά σας.] (α) Χρησιµοποιήστε τις παραστάσεις συµπληρώµατος-2 του σχήµατος της 6.3 γιά να κάνετε τις παρακάτω προσθέσεις µέσω του γνωστού αλγόριθµου µη προσηµασµένης πρόσθεσης, µε 8 bits και αγνοώντας το κρατούµενο εξόδου, και επιβεβαιώστε στο δεκαδικό ότι το αποτέλεσµα είναι σωστό: 32+(-1), 15+(-5), 2+(-3), (-1)+(-1), (-4)+(-2), (-126)+125, (-127)+127. (β) Χρησιµοποιήστε τις παραστάσεις συµπληρώµατος-2 του σχήµατος της 6.3 και την παραπάνω µέθοδο εύρεσης του αντίθετου ενός αριθµού, γιά να βρείτε τα εξής αντίθετα, και επιβεβαιώστε την ορθότητα του αποτελέσµατος: -(127), -(126), -(4), -(3), -(1), -(0) -(-1), -(-2), -(-4), -(-5), -(-126), και -(-127).

5 5 of 6 18/11/2003 5:11 µµ 6.7 Προσθαφαιρέτες: Στους υπολογιστές συνήθως βρίσκει κανείς "προσθαφαιρέτες" (adder/subtracter) ακεραίων, κυκλώµατα δηλαδή που µπορούν να κάνουν είτε προσθεση είτε αφαίρεση. Το κύκλωµα αυτό κατασκευάζεται πολύ εύκολα και µε χαµηλό κόστος, µε βάση έναν αθροιστή µη προσηµασµένων ακεραίων ( 5.4 ), όπως δείχνει το σχήµα. Ο αθροιστής φαίνεται στο κάτω µέρος του σχήµατος: το σύµβολό του είναι ένα τραπέζιο µε µιά εσοχή, έτσι που να θυµίζει ότι παίρνει δύο λέξεις δεδοµένων, τις συνδυάζει, και βγάζει µία λέξη-απάντηση µέσα στο τραπέζιο γράφεται το σύµβολο "+" γιά να ξεχωρίζουµε αυτόν τον αθροιστή από άλλα κυκλώµατα που κάνουν (και) άλλες πράξεις πάνω στις δύο εισόδους τους. Το κύκλωµα έχει δύο εισόδους δεδοµένων, A και B, µία είσοδο ελέγχου, add'/sub, και µία έξοδο δεδοµένων, S. Συνήθως τα δεδοµένα είναι προσηµασµένοι αριθµοί, αλλά µπορεί να χρησιµοποιηθεί και µε µη προσηµασµένους. Η είσοδος A δίδεται στον αθροιστή ως έχει η είσοδος B, όµως, φτάνει στον αθροιστή µε µία από δύο διαφορετικές µορφές, σύµφωνα µε το τι επιλέγει ένας πολυπλέκτης 2-σε-1: είτε αυτούσια η λέξη B, είτε το συµπλήρωµά της ως προς 1, B'. Ο βασικός αθροιστής πρέπει να δέχεται κρατούµενο εισόδου, C in. Όταν κάναµε πρόσθεση το κρατούµενο αυτό εισόδου ήταν πάντα 0, και γι' αυτό µπορούσαµε να το αγνοήσουµε χρησιµοποιώντας έναν ηµιαθροιστή γιά τα δεξιά (LS) bits, όµως εδώ θα το χρειαστούµε αυτό το κρατούµενο εισόδου, (άρα χρειαζόµαστε πλήρεις αθροιστές στις θέσεις όλων των bits --και του LS). Γιά να κάνει το κύκλωµα πρόσθεση, S = A+B, θέτουµε την είσοδο ελέγχου add'/sub = 0 αυτό κάνει τη δεύτερη είσοδο του αθροιστή να ισούται µε B, και το κρατούµενο εισόδου να είναι 0, όπως ακριβώς δηλαδή πρέπει γιά να γίνει η πρόσθεση A+B. Γιά να κάνει το κύκλωµα αφαίρεση, S = A-B, θέτουµε την είσοδο ελέγχου add'/sub = 1 αυτό κάνει τη δεύτερη είσοδο του αθροιστή να είναι το συµπλήρωµα B', και το κρατούµενο εισόδου να είναι 1. εδοµένου ότι το κρατούµενο εισόδου έχει την ίδια σηµαντικότητα, 2 0, µε τα δεξιά (LS) bits των αριθµών εισόδου, A 0 και B 0, στα οποία και προστίθεται, το να ισούται το κρατούµενο εισόδου αυτό µε 1 ισοδυναµεί µε το να προστίθεται ο αριθµός 1 µαζί µε τους δύο προσθετέους, A και B'. Εποµένως, η έξοδος S = A + B' + 1 ξέρουµε όµως, από την 6.5, ότι B'+1 = -B, άρα η έξοδος S = A + (B'+1) = A + (-B) = A - B. Το όνοµα του σήµατος ελέγχου, add'/sub, είναι κατάλληλα γραµµένο ώστε να µας θυµίζει ότι όταν αυτό είναι αληθές (1) το κύκλωµα κάνει "sub" (αφαίρεση), ενώ όταν αυτό είναι ψευδές (0), δηλαδή add' ψευδές άρα add αληθές, τότε το κύκλωµα κάνει "add" (πρόσθεση). Πείραµα 6.8: Τετράµπιτος Αθροιστής ΠΡΟΣΟΧΗ!: το chip αυτού του πειράµατος έχει τα pins τροφοδοσίας σε παράξενη, µη συµβατική θέση. Συνδέστε τα πολύ προσεκτικά, αλλοιώς θα κάψετε το chip, προκαλώντας έξοδα και αδυναµία εκτέλεσης του πειράµατος από συναδέλφους σας! Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσετε το chip "7483" (της οικογένειας TTL) το οποίο είναι ένας τετράµπιτος δυαδικός αθροιστής: περιέχει 4 πλήρεις αθροιστές (του ενός bit καθένας), µε τα κρατούµενά τους συνδεδεµένα σε µιάν αλυσίδα. Τα chips που θα βρείτε στο εργαστήριο γράφουν επάνω "T74LS83AB1", και λεπτοµερείς πληροφορίες γιά έναν ισοδύναµο τύπο chip µπορείτε να βρείτε π.χ. στο: Συνδέστε έναν µεταγωγό διακόπτη στην είσοδο κρατουµένου του αθροιστή, και 5 LED's στις εξόδους του, όπως στο σχήµα. Γιά να τροφοδοτήσετε τις εισόδους δεδοµένων, επειδή αυτές είναι πολλές και η σύνδεσή τους σε διακόπτες είναι προβληµατική, σας προτείνεται να πάρετε ένα σύρµα από την καθεµία τους και να το φέρετε στις οριζόντιες γραµµές τροφοδοσίας του breadboard. Τα bits Ai και Bi πάνω στο chip βρίσκονται σε ηµιτυχαίες, ανακατωµένες θέσεις όταν τα φέρετε στις γραµµές τροφοδοσίας του breadboard, φροντίστε να τα φέρετε τακτικά, µε τη σειρά από MS προς LS, χωριστά τα Α και χωριστά τα B, όπως στο σχήµα. Γιά να αλλάξετε τους αριθµούς εισόδου και να πειραµατιστείτε µε διάφορες τιµές, µετακινείτε τα επιθυµητά σύρµατα πάνω ή κάτω, προσέχοντας να µην τα στραβώνετε και να τα εισάγετε ίσια στις τρύπες. Πριν φτάσετε στο εργαστήριο, συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: Ain Bin Cin Au+Bu+Cin S(5b) As+Bs+Cin S(4) Bin' =Bs' As-Bs'=S(4) = = = -4 2-(-4) = = = = +4 2-(+4) = {{επόµενες γραµµές}}: όπου οι {{επόµενες γραµµές}} είναι: , , , , και όλες µε Cin=1. Στον πίνακα αυτόν, Ain, Bin, και Cin είναι οι δυαδικές είσοδοι του αθροιστή Au+Bu+Cin είναι η ερµηνία των εισόδων και της αναµενόµενης εξόδου σύµφωνα µε τον κώδικα µη προσηµασµένων αριθµών S(5b) είναι η αναµενόµενη πεντάµπιτη έξοδος του αθροιστή (άθροισµα µη προσηµασµένων εισόδων), και πρέπει να συµφωνεί µε την προηγούµενη στήλη As+Bs+Cin είναι η ερµηνεία των εισόδων και της αναµενόµενης εξόδου σύµφωνα µε τον κώδικα συµπληρώµατος-2 προσηµασµένων αριθµών S(4) είναι η αναµενόµενη τετράµπιτη έξοδος του αθροιστή (άθροισµα προσηµασµένων εισόδων), και πρέπει να συµφωνεί µε την προηγούµενη στήλη Bin' είναι το συµπλήρωµα ως προς 1 της εισόδου Bin --ας

6 6 of 6 18/11/2003 5:11 µµ θεωρήσουµε από δω και πέρα ότι αυτό ήταν η αρχική είσοδος ενός αφαιρέτη, πριν ένας αντιστροφέας δώσει το Bin στον αθροιστή, και Bs' είναι η ερµηνεία αυτού του Bin' σαν προσηµασµένου αριθµού As-Bs'=S(4) είναι η ερµηνεία της πράξης του (φανταστικού) αφαιρέτη, και πρέπει να συµφωνεί µε τη στήλη S(4). Στο εργαστήριο, επαληθεύστε πειραµατικά τις εξόδους S(5b) και S(4) του πίνακα. Μην χαλάστε το κύκλωµά σας όταν τελειώσετε: θα το χρειαστείτε στο πείραµα 6.3. Πείραµα 6.9: Προσθαφαιρέτης µε XOR Ο προσθαφαιρέτης της 6.7 µπορεί εναλλακτικά να υλοποιηθεί µε πύλες αποκλειστικού-ή (XOR), όπως φαίνεται στο σχήµα δίπλα, αντί αντιστροφέων και πολυπλέκτη. Ο λόγος είναι ότι οι πύλες XOR δίνουν στην έξοδό τους την πρώτη είσοδο όταν η δεύτερη είσοδος είναι 0, ενώ δίνουν στην έξοδό τους το συµπλήρωµα της πρώτης εισόδου τους όταν η δεύτερη είσοδος είναι 1. Φτιάξτε έναν τετράµπιτο προσθαφαιρέτη, χρησιµοποιώντας τον αθροιστή του προηγουµένου πειράµατος 6.8 και ένα chip πυλών XOR (7486) όπως αυτό του πειράµατος 5.7 γιά διευκόλυνσή σας, η διάταξη ακροδεκτών του επαναλαµβάνεται στο σχήµα εδώ. Πριν φτάσετε στο εργαστήριο, κάντε το σχεδιάγραµµα συνδεσµολογίας που δείχνει ποιά συγκεκριµένα pins ποιού chip πρέπει να συνδέσετε πού. Στο εργαστήριο, κατασκευάστε τον προσθαφαιρέτη, και δώστε του τις εισόδους Bin' του πίνακα του παραπάνω πειράµατος 6.2, µε το σήµα add'/sub = 1, ούτως ώστε να διαπιστώσετε πως αυτές οι αφαιρέσεις γίνονται σωστά. Μετά, γυρίστε το σήµα add'/sub στο 0 (πρόσθεση), και κάντε κάµποσες προσθέσεις γιά να διαπιστώσετε τη σωστή λειτουργία --π.χ. κάντε τις προσθέσεις των δύο πρώτων στηλών του παραπάνω πίνακα, χωρίς κρατούµενο εισόδου αυτή τη φορά. Πείραµα 6.10: Η στοιχειώδης Ιδέα του Flip-Flop Στο πείραµα 2.5 είχαµε δεί ότι τα κυκλώµατα µε θετική ανάδραση έχουν συνήθως δύο σταθερές καταστάσεις, κι έτσι χρησιµοποιούνται σαν µνήµες. Το απλούστερο κύκλωµα λογικών πυλών που έχει θετική ανάδραση είναι δύο αντιστροφείς (πύλες NOT) συνδεδεµένοι κυκλικά ώστε να τροφοδοτούν ο ένας τον άλλον, όπως στο σχήµα. Η ανάδραση είναι θετική επειδή δύο αρνήσεις κάνουν µία κατάφαση. Προφανώς, το κύκλωµα αυτό έχει δύο σταθερές καταστάσεις: (i) ο αριστερός κόµβος µπορεί να είναι 0 και ο δεξιός 1, ή (ii) ο αριστερός κόµβος µπορεί να είναι 1 και ο δεξιός 0. Το κύκλωµα αυτό αποτελεί τη βασική ιδέα του flip-flop, δηλαδή του στοιχειώδους κυττάρου ψηφιακής µνήµης. Κατασκευάστε το κύκλωµα αυτό στο εργαστήριο, και συνδέστε δύο LED's στις εξόδους του. Χρησιµοποιήστε δύο από τις πύλες ενός chip 7404 (βλ. 3.11). Το κύκλωµα αυτό δεν έχει εξωτερικές εισόδους, αφού κάθε είσοδος πύλης του οδηγείται από µιάν άλλη πύλη του! Εποµένως, δεν µπορείτε να του αλλάξετε την κατάστασή του. Σβήστε και ανάψτε την τροφοδοσία πολλές φορές, και παρατηρήστε αν το κύκλωµα "σηκώνεται" πάντα στην ίδια κατάσταση, ή πότε στη µιά και πότε στην άλλη. (Αν το κύκλωµα είναι εντελώς "συµµετρικό", από ηλεκτρική άποψη, θα "πέφτει" µε πιθανότητα 50% στη µία κατάσταση και 50% στην άλλη, σαν µιά µπίλια που την τοποθετείτε ακριβώς ισορροπηµένη στην κόψη ενός ξυραφιού, κι αυτή πέφτει πότε από τη µιά και πότε από την άλλη αν όµως το κύκλωµα έχει έστω και µία ανεπαίσθητη (ηλεκτρική) ασυµµετρία, τότε θα πέφτει συνήθως από την ίδια "πλευρά"). Ένας --ηµιπαράνοµος...-- τρόπος να επηρρεάσουµε την κατάσταση του flip-flop (µε την τροφοδοσία αναµένη) είναι να ακουµπήσουµε "στιγµιαία" τον έναν από τους δύο κόµβους του µε ένα σύρµα γειωµένο, όπως δείχνει το σχήµα µε τα κατακόρυφα βέλη. (Εναλλακτικά, το σύρµα θα µπορούσε να συνδέονταν και στην θετική τροφοδοσία). (Γενικά, σ' ένα τυχόν κύκλωµα, είναι πολύ κακό να ακουµπάς την έξοδο µιάς πύλης στη γή ή στην τροφοδοσία, διότι όταν η έξοδος προσπαθεί να δώσει την αντίθετη τιµή από αυτήν που της ακουµπάµε, κατ' ουσίαν προκαλούµε βραχυκύκλωµα και υπερθέρµανση, µε πιθανό κάψιµο αν συνεχιστεί γιά πολλήν ώρα εδώ, ευτυχώς, τα πράγµατα δεν είναι τόσο κακά: το βραχυκύκλωµα διαρκεί ελάχιστα ns µόνο, µέχρις ότου η νέα τιµή που αυτό επιβάλει εξωτερικά κάνει την "βόλτα" του κυκλώµατος και αλλάξει κατά την ίδια φορά την τιµή που η πύλη προσπαθεί να δώσει στην έξοδό της έτσι, η υπερθέρµανση είναι πολύ µικρή). Ακουµπήστε τον έναν κόµβο, και δείτε ότι αµέσως η αντίστοιχη LED σβήνει και η άλλη ανάβει. Αποµακρύνετε το σύρµα και παρατηρήστε ότι το κύκλωµα µένει εκεί που το αφήσατε, δηλαδή έχει µνήµη. Επαναλάβετε από την άλλη πλευρά. Όταν το ακούµπηµα είναι από την ίδια πλευρά που είναι ήδη σβηστή, αυτό δεν έχει επίδραση όταν είναι από την άλλη, τότε έχει. Αυτή είναι η βασική (χειροκίνητη) ιδέα του flip-flop τύπου RS, την αυτοµατοποίηση της οποίας (µε πύλες αντί ακουµπήµατος συρµάτων) θα δούµε στο επόµενο εργαστήριο. Up to the Home Page of CS-120 copyright University of Crete, Greece. Last updated: 18 Nov. 2003, by M. Katevenis.

Εργαστήριο 6: Προσηµασµένοι Ακέραιοι, Προσθαφαιρέτες, Flip-Flops

Εργαστήριο 6: Προσηµασµένοι Ακέραιοι, Προσθαφαιρέτες, Flip-Flops ΗΥ-120: Ψηφιακή Σχεδίαση Φθινόπωρο 2003 Τµ. Επ. Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Εργαστήριο 6: Προσηµασµένοι Ακέραιοι, Προσθαφαιρέτες, Flip-Flops 24-27 Νοεµβρίου 2003 ιαγωνισµός Προόδου: Σάββατο 29 Νοεµβρίου,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Θεωρητική εισαγωγή

4.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΥΑ ΙΚΟΣ ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ Σκοπός: Να µελετηθούν αριθµητικά κυκλώµατα δυαδικής πρόσθεσης και αφαίρεσης. Να σχεδιαστούν τα κυκλώµατα από τους πίνακες αληθείας

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα 1η Θεµατική Θ ή Ενότητα Ε ό : υαδικά δ ά Συστήµατα Σ ή Μονάδα Ελέγχου Ψηφιακοί Υπολογιστές Αριθµητική Μονάδα Κρυφή Μνήµη Μονάδα Μνήµης ιαχείριση Μονάδων Ι/Ο ίσκοι Οθόνες ικτυακές Μονάδες Πληκτρολόγιο,

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης.

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Κεφάλαιο 5 -ii: Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αφαίρεση δυαδικών Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Πράξεις με δυαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης

Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης 8 Εργαστηριακές Ασκήσεις Χρ. Καβουσιανός Επίκουρος Καθηγητής 2014 Εργαστηριακές Ασκήσεις Ψηφιακής Σχεδίασης 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες 1.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Ένα αριθμητικό σύστημα ορίζει ένα σύνολο τιμών που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μίας ποσότητας. Ποσοτικοποιώντας τιμές και αντικείμενα και

Διαβάστε περισσότερα

a -j a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0, a -1 a -2 a -3

a -j a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0, a -1 a -2 a -3 ΑΣΚΗΣΗ 5 ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ - ΑΦΑΙΡΕΤΕΣ 5.1. ΣΚΟΠΟΣ Η πραγματοποίηση της αριθμητικής πρόσθεσης και αφαίρεσης με λογικά κυκλώματα. 5.2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ: Κάθε σύστημα αρίθμησης χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 7: Μανταλωτές (Latches), Καταχωρητές, και ιφασικά Ρολόγια

Εργαστήριο 7: Μανταλωτές (Latches), Καταχωρητές, και ιφασικά Ρολόγια 1 of 5 ΗΥ-120: Ψηφιακή Σχεδίαση Φθινόπωρο 2006 Τµ. Επ. Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Εργαστήριο 7: Μανταλωτές (Latches), Καταχωρητές, και ιφασικά Ρολόγια 27-30 Νοεµβρίου 2006 ιαγωνισµός Προόδου: Σάββατο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Οργάνωση Δεδομένων (1/2) Bits: Η μικρότερη αριθμητική μονάδα ενός υπολογιστικού συστήματος, η οποία δείχνει δύο καταστάσεις, 0 ή 1 (αληθές η ψευδές). Nibbles: Μονάδα 4 bit που παριστά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΧΑΣΑΝΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 1 Άλγεβρα Βοοle η θεωρητική βάση των λογικών κυκλωμάτων Η άλγεβρα Βοοle ορίζεται επάνω στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 5: υαδική Αρίθµηση, Αθροιστές

Εργαστήριο 5: υαδική Αρίθµηση, Αθροιστές 1 of 7 13/11/2003 12:02 µµ ΗΥ-120: Ψηφιακή Σχεδίαση Φθινόπωρο 2003 Τµ. Επ. Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Εργαστήριο 5: υαδική Αρίθµηση, Αθροιστές 18-22 Νοεµβρίου 2003 [Τα τµήµατα της ευτέρας 17/11 µεταφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τρία: Ψηφιακά Ηλεκτρονικά

Κεφάλαιο Τρία: Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Κεφάλαιο Τρία: 3.1 Τι είναι αναλογικό και τι ψηφιακό µέγεθος Αναλογικό ονοµάζεται το µέγεθος που µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή σε µια συγκεκριµένη περιοχή τιµών π.χ. η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου. Ψηφιακό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ και ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σκοπός: Η κατανόηση της σχέσης µιας λογικής συνάρτησης µε το αντίστοιχο κύκλωµα. Η απλοποίηση λογικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Αριθµητικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

1 η Θεµατική Ενότητα : Αριθµητικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός η Θεµατική Ενότητα : Αριθµητικά Κυκλώµατα Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Άθροιση + + + + a +b 2c+s + Κρατούµενο προηγούµενης βαθµίδας κρατούµενο άθροισµα Μεταφέρεται στην επόµενη βαθµίδα σηµαντικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits Δρ. Γκόγκος Χρήστος Κατηγορίες πράξεων με bits Πράξεις με δυαδικά ψηφία Αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο 5: Δυαδική Αρίθμηση, Αθροιστές Μανόλης Γ.Η. Κατεβαίνης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Πρώτο Κεφάλαιο Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα 1.1 Αναλογικά και Ψηφιακά Σήματα και Συστήματα... 1 1.2 Βασικά Ψηφιακά Κυκλώματα... 3 1.3 Ολοκληρωμένα κυκλώματα... 4 1.4 Τυπωμένα κυκλώματα... 7 1.5 Εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Αθροιστές. Ημιαθροιστής

Αθροιστές. Ημιαθροιστής Αθροιστές Η πιο βασική αριθμητική πράξη είναι η πρόσθεση. Για την πρόσθεση δύο δυαδικών ψηφίων υπάρχουν τέσσερις δυνατές περιπτώσεις: +=, +=, +=, +=. Οι τρεις πρώτες πράξεις δημιουργούν ένα άθροισμα που

Διαβάστε περισσότερα

Η συχνότητα f των παλµών 0 και 1 στην έξοδο Q n είναι. f Qn = 1/(T cl x 2 n+1 )

Η συχνότητα f των παλµών 0 και 1 στην έξοδο Q n είναι. f Qn = 1/(T cl x 2 n+1 ) ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 9 ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΕΣ Σκοπός: Η µελέτη της λειτουργίας των απαριθµητών. Υλοποίηση ασύγχρονου απαριθµητή 4-bit µε χρήση JK Flip-Flop. Κατανόηση της αλλαγής του υπολοίπου

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 9: Σχεδιασµός Συνδυαστικών Κυκλωµάτων ΙΙ (Κεφάλαιο 5) ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy) Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 2006 2007 Γραπτή Εργασία #2 Ηµεροµηνία Παράδοσης 28-0 - 2007 ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση : [5 µονάδες] Έχετε στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΨΗΦΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΜΑ Α Α Αριθµητική Λογική Μονάδα των 8-bit 1. Εισαγωγή Γενικά µια αριθµητική λογική µονάδα (ALU, Arithmetic Logic Unit)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Υπολογιστών (Κεφάλαιο 3)

Αριθμητική Υπολογιστών (Κεφάλαιο 3) ΗΥ 134 Εισαγωγή στην Οργάνωση και στον Σχεδιασμό Υπολογιστών Ι Διάλεξη 9 Αριθμητική Υπολογιστών (Κεφάλαιο 3) Νίκος Μπέλλας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων 1 Αριθμητική για υπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές http://courseware.mech.ntua.gr/ml23021/ 3 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ E-mail: leo@mail.ntua.gr URL: http://users.ntua.gr/leo 1 Κωδικοποίηση & Αποκωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Υπολογιστών

Οργάνωση Υπολογιστών Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch t / / h 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ : ΒΟΥΛΓΑΡΙ ΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΑΕΜ: 2109 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΚΑΛΟΜΟΙΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ : ΒΟΥΛΓΑΡΙ ΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΑΕΜ: 2109 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΚΑΛΟΜΟΙΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Τίτλος: «Σχεδίαση και προσοµοίωση παράλληλης αριθµητικής λογικής µονάδας (ALU) για την επεξεργασία δυαδικών αριθµών εύρους 4-bit, µε το πρόγραµµα Multisim» ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ : ΒΟΥΛΓΑΡΙ ΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΑΕΜ: 2109 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ Τετάρτη 5-12/11/2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ: ΤΡΟΧΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1. Παράσταση και οργάνωση δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ενότητα 3 Λειτουργίες σε Bits, Αριθμητικά Συστήματα Χρήστος Γκουμόπουλος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Φύση υπολογιστών Η

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (2/2) 1.1 Τα bits και ο τρόπος που αποθηκεύονται 1.2 Κύρια µνήµη 1.3 Αποθηκευτικά µέσα 1.4 Αναπαράσταση πληροφοριών ως σχηµάτων bits

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κεφάλαιο 3 Δυαδική λογική Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Περιεχόμενα Μαθήματος Συστήματα αρίθμησης Πύλες Διάγραμμα ροής-ψευδοκώδικας Python Συστήματα Αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν το περίφημο «θεσιακό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (λογικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Εκτέλεση πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ (σελ. 30-34 στο ΜΥ1011Χ.pdf)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ (σελ. 30-34 στο ΜΥ1011Χ.pdf) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ (σελ. 30-34 στο ΜΥ1011Χ.pdf) Για να λύνετε εύκολα ασκήσεις στα συστήματα αρίθμησης θα πρέπει να απομνημονεύσετε τα πρώτα 17 βάρη του δυαδικού συστήματος από 2 0 μέχρι 2

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Λογικές πράξεις, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλικρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα που αφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 2

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 2 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Ο κύκλος της πληροφορίας Η σηµασία της πληροφορίας Ο υπολογιστής (επεξεργασία-αποθήκευση) 2 Παράσταση δεδοµένων Αριθµητικά συστήµατα εκαδικό σύστηµα 3 υαδικό

Διαβάστε περισσότερα

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Ø Η πολυπλοκότητα του κυκλώµατος που υλοποιεί µια συνάρτηση oole σχετίζεται άµεσα µε

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών BOOLEAN ALGEBRA

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών BOOLEAN ALGEBRA ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών OOLEN LGER ιδάσκων: ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης clam@unp.gr Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης Άλγεβρα OOLE Οι µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

7.1 Θεωρητική εισαγωγή

7.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 7 ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΑΝ ΑΛΩΤΕΣ FLIP FLOP Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των βασικών ακολουθιακών κυκλωµάτων. Θα µελετηθούν συγκεκριµένα: ο µανδαλωτής (latch)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 24 25 Ηµεροµηνία Εξέτασης 29.6.25 Χρόνος Εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Θεωρητική εισαγωγή

6.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των κυκλωµάτων ψηφιακής πολυπλεξίας και αποκωδικοποίησης και η εξοικείωση µε τους ολοκληρωµένους

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Κεφάλαιο 3 Αριθµητική για υπολογιστές Ασκήσεις Η αρίθµηση των ασκήσεων είναι από την 4 η έκδοση του «Οργάνωση και Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός 4. Πρόσθεση στο πρότυπο ΙΕΕΕ Πολλαπλασιασμός στο πρότυπο ΙΕΕΕ

3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός 4. Πρόσθεση στο πρότυπο ΙΕΕΕ Πολλαπλασιασμός στο πρότυπο ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΙΠΕ Ο ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ - ΙΙ Γ. Τσιατούχας 3 ο Κεφάλαιο 1. Γενική δομή CPU ιάρθρωση 2. Αριθμητική και λογική μονάδα 3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα µε MSI. υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης

Κυκλώµατα µε MSI. υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης 5 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστικά Κυκλώµατα µε MSI υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης A i B i FA S i C i C i+1 D Σειριακός Αθροιστής Σειριακός Αθροιστής: απαιτεί 1 πλήρη αθροιστή, 1 στοιχείο µνήµης και παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 2013 Διάρκεια εξέτασης : 160 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών:

Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 2013 Διάρκεια εξέτασης : 160 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών: Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 23 Διάρκεια εξέτασης : 6 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών: Θέμα (,5 μονάδες) Στις εισόδους του ακόλουθου κυκλώματος c b a εφαρμόζονται οι κάτωθι κυματομορφές.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ TEI ΧΑΛΚΙ ΑΣ

Εισαγωγή στην Πληροφορική ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ TEI ΧΑΛΚΙ ΑΣ Εισαγωγή στην Πληροφορική 1 Περιεχόµενα - Κωδικοποιήσεις - Αριθµητικά Συστήµατα 2 Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Είπαµε ότι είναι, µία Ηλεκτρονική Μηχανή, που δουλεύει κάτω από τον έλεγχο εντολών αποθηκευµένων

Διαβάστε περισσότερα

9. OIΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ

9. OIΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61 9. OIΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ I. Βασική Θεωρία Οι πύλες NAND και NOR ονομάζονται οικουμενικές πύλες (universal gates) γιατί κάθε συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. οµή Η/Υ: Αναπαράσταση εδοµένων. υαδικό σύστηµα. Συστήµατα Αρίθµησης υαδικό Οκταδικό εκαεξαδικό Παραδείγµατα

Περιεχόµενα. οµή Η/Υ: Αναπαράσταση εδοµένων. υαδικό σύστηµα. Συστήµατα Αρίθµησης υαδικό Οκταδικό εκαεξαδικό Παραδείγµατα οµή Η/Υ: Αναπαράσταση εδοµένων Συστήµατα Αρίθµησης υαδικό Οκταδικό εκαεξαδικό Παραδείγµατα Περιεχόµενα Κωδικοποίηση δεδοµένων Κώδικας ASCII Άλλοι κώδικες Παραδείγµατα Συστήµατα Αρίθµησης Τα συνηθέστερα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων

ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων ΗΜΥ-2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 28 Αριθμητικές Συναρτήσεις και Κυκλώματα Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Υπορουτίνες Μαθηµατικών Πράξεων 1.1. Προσηµασµένοι και απροσήµαστοι αριθµοί 1.2. Μετατροπές προσηµασµένων και απροσήµαστων αριθµών

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Υπορουτίνες Μαθηµατικών Πράξεων 1.1. Προσηµασµένοι και απροσήµαστοι αριθµοί 1.2. Μετατροπές προσηµασµένων και απροσήµαστων αριθµών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Υπορουτίνες Μαθηµατικών Πράξεων 1.1. Προσηµασµένοι και απροσήµαστοι αριθµοί 1.2. Μετατροπές προσηµασµένων και απροσήµαστων αριθµών Cr0 Μετατροπή αριθµού 8 Bits από µορφή προσηµασµένου µε

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα