τα βιβλία των επιτυχιών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "τα βιβλία των επιτυχιών"

Transcript

1 Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

2 Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γε ν ι κ ό Λύκειο Β Λυκείου: Μαθήματα Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου Γενικής Παιδείας, Α Τόμος (η έκδοση) Νίκος Τάσος Επιστημονική επιμέλεια: Δημήτρης Παπαδημητριάδης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση: Aλεξάνδρα Βαλσαμάκη, Μαλβίνα Κότο Σχεδιασμός εξωφύλλου: Γεωργία Λαμπροπούλου Υπεύθυνος έκδοσης: Αποστόλης Αντωνόπουλος Στοιχεία επικοινωνίας συγγραφέα: Copyright 01 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο ISBN: SET: Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 1, Τ.Κ Πειραιάς Τηλ.: Fax:

3 ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς η Εκ δ ο σ η

4

5 Στη μνήμη της μητέρας μου Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη της Άλγεβρας, αφετέρου δε να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συναδέλφους. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες, καθεμία από τις οποίες περιέχει: Ι. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Πλήρης θεωρία, η οποία συνοδεύεται από σχόλια και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της. ΙΙ. Μεθοδολογίες Εφαρμογές Έγινε προσπάθεια, ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις, αλλά μόνο ασκήσεις που μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε (για πρώτη φορά στα ελληνικά βιβλιογραφικά δεδομένα) κατηγορίες, οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας. ΙΙΙ. Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. Ερωτήσεις κατανόησης Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος, πολλαπλής επιλογής και αντιστοίχισης, οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V. Φύλλα αξιολόγησης Στο τέλος κάθε παραγράφου υπάρχει φύλλο αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. VI. Τράπεζα Θεμάτων Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων, όπως δόθηκαν από το Υπουργείο Παιδείας. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν: οι απαντήσεις υποδείξεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των διαγωνισμάτων του παρόντος βιβλίου, αναλυτικές απαντήσεις όλων των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων, αναλυτικές απαντήσεις όλων των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου. Ευελπιστώντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει το στόχο της, παραδίδουμε το πόνημα αυτόστην αυστηρή κρίση των μαθητών και συναδέλφων καθηγητών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc.

6

7 Περιεχόμενα ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Γραμμικά Συστήματα Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...9. Ερωτήσεις κατανόησης...4. Φύλλο αξιολόγησης Λύση & Διερεύνηση Συστήματος Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων με Τρεις Αγνώστους. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...9. Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...6. Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Μη Γραμμικά Συστήματα. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...84 Φύλλο αξιολόγησης στα Συστήματα...87 Τράπεζα Θεμάτων...89 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4.. Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Κατακόρυφη Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές...1. Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...19 Φύλλο αξιολόγησης στις Ιδιότητες Συναρτήσεων...14 Τράπεζα Θεμάτων ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6.. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης...177

8 7.. Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Αναγωγή στο 1 ο Τεταρτημόριο. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...1. Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων.... Μεθοδολογίες Εφαρμογές...7. Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές...6. Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...0. Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές...1. Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...4. Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Τριγωνομετρικοί Αριθμοί της Γωνίας α. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης...99 Τράπεζα Θεμάτων Απαντήσεις ασκήσεων Απαντήσεις Τράπεζας Θεμάτων Απαντήσεις σχολικού βιβλίου...477

9 Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

10

11 1 Γραμμικά συστήματα 1 Θεωρια Σε Μορφη ερωτησεων απαντησεων i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; ii. Τι παριστάνει μία γραμμική εξίσωση; Να συνοδεύσετε την απάντηση σας με κατάλληλα σχήματα. Απάντηση i. Κάθε εξίσωση που έχει τη μορφή: αx + βy = γ, με α, β, γ και x, y ονομάζεται γραμμική εξίσωση. ii. Μία γραμμική εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή όταν α 0 ή β 0. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Περίπτωση 1η Αν β 0, τότε η εξίσωση γράφεται: αx + βy = γ βy = αx + γ y = α β x + γ β (1) Η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = α β και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0, Ειδικότερα Αν α 0, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. γ β ) και τον άξονα x x στο σημείο Β( γ α, 0). γ α γ β αx + βy = γ β 0 Αν α = 0, τότε η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή y = γ β και επομένως παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x x και τέμνει τον άξονα y' y στο σημείο Α(0, γ β ) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. γ β αx + βy = γ, α = 0 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 11

12 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Περίπτωση η Αν β = 0 (οπότε α 0) τότε η εξίσωση αx + βy = γ γράφεται: αx = γ x = γ α Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y y και τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Β( γ α, 0 ) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. αx + βy = γ, β = 0 γ α i. Στη γραμμική εξίσωση αx + βy = γ: τα x, y λέγονται άγνωστοι, τα α, β λέγονται συντελεστές των αγνώστων, το γ λέγεται σταθερός όρος. ii. Σε μια ευθεία με εξίσωση: (ε) : y = αx + β ο αριθμός α ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας και ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x x, δηλαδή: α = εφω iii. Αν μια ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x έχει εξίσωση (ε) : y = y 0 και συντελεστή διεύθυνσης α = 0. iv. Αν μια ευθεία (ε) είναι κάθετη στον άξονα x x έχει εξίσωση (ε) : x = x 0 και δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. v. Μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, δηλαδή από το σημείο Ο(0, 0), και έχει συντελεστή διεύθυνσης, έχει εξίσωση: (ε) : y = αx vi. Δύο ευθείες με εξισώσεις: (ε 1 ) : y = α 1 x + β 1 και (ε ) : y = α x + β είναι παράλληλες ή ταυτίζονται αν και μόνο αν ισχύει: α 1 = α Ειδικότερα: αν α 1 = α και β 1 = β οι ευθείες (ε 1 ), (ε ) ταυτίζονται, αν α 1 = α και β 1 β οι ευθείες (ε 1 ), (ε ) είναι παράλληλες. Τι ονομάζουμε λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; Απάντηση Κάθε ζεύγος αριθμών (x 0, y 0 ) που επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση ονομάζεται λύση της γραμμικής εξίσωσης. 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

13 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i. Μία γραμμική εξίσωση αx + βy = γ έχει: άπειρο πλήθος λύσεων αν α 0 ή β 0 (ή α = β = γ = 0, οπότε είναι ταυτότητα) και είναι αδύνατη αν α = β = 0 και γ 0. ii. Κάθε ζεύγος της μορφής: ( γ αx x, αποτελεί λύση της γραμμικής εξίσωσης. β ) (, β 0 ή γ βy α, y), α 0 i. Τι ονομάζουμε γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους; ii. Τι ονομάζουμε λύση ενός συστήματος; iii. Πως ερμηνεύεται γεωμετρικά μία λύση ενός συστήματος; Απάντηση i. Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις: αx + βy = γ και α x + β y = γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και γράφουμε: ii. αx + βy = γ α x + β y = γ Λύση ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ονομάζουμε κάθε διατεταγμένο ζεύγος (x 0, y 0 ) που επαληθεύει τις εξισώσεις του. iii. Όπως είδαμε και στην πρώτη ερώτηση της θεωρίας κάθε εξίσωση ενός συστήματος είναι εξίσωση ευθείας. Γεωμετρικά λοιπόν, μία λύση ενός συστήματος παριστάνεται από το κοινό σημείο των ευθειών του συστήματος. i. Το γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους πιο σύντομα το λέμε γραμμικό σύστημα. ii. Το σύστημα: αx + βy = 0 α x + β y = 0 ονομάζεται ομογενές και δεν είναι ποτέ αδύνατο αφού έχει πάντα λύση την (x 0, y 0 ) = (0, 0). Ενδέχεται βέβαια να έχει και άπειρες λύσεις. 4 Ποια συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα; Απάντηση Δύο συστήματα που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμα. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 1

14 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Για να προκύψει από ένα σύστημα το ισοδύναμό του, στηριζόμαστε στις εξής ιδιότητες των πραγματικών αριθμών: Αν γ 0, τότε ισχύει ότι α = β αγ = βγ. Αν α = β και γ = δ, τότε α + γ = β + δ. 5 Με ποιος τρόπους μπορούμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα ; Απάντηση Ένα γραμμικό σύστημα μπορούμε να το λύσουμε: με τη μέθοδο της αντικατάστασης, με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών ή μέθοδο της απαλοιφής, γραφικά. i. Περισσότερες λεπτομέρειες για τις μεθόδους επίλυσης ενός συστήματος θα αναπτύξουμε στις μεθοδολογίες της παραγράφου. ii. Έναν ακόμη τρόπο επίλυσης γραμμικού συστήματος θα μελετήσουμε στην επόμενη παράγραφο. Επομένως, θα γνωρίζουμε συνολικά τέσσερεις τρόπους επίλυσης συστήματος Αν (ε) και (ε ) είναι δύο γραμμικές εξισώσεις τι ονομάζουμε γραμμικό συνδυασμό των (ε), (ε ); Απάντηση Κάθε εξίσωση της μορφής: λ(ε) + μ(ε ) = 0, λ, μ ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε ). 7 i. Πότε ένα σύστημα είναι αδύνατο και πως ερμηνεύεται γεωμετρικά; ii. Πότε ένα σύστημα έχει άπειρες λύσεις και πως ερμηνεύεται γεωμετρικά; Απάντηση i. Ένα σύστημα λέγεται αδύνατο αν και μόνο αν δεν έχει λύση. Γεωμετρικά ερμηνεύεται ως εξής: Οι ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήματος είναι παράλληλες. ii. Ένα σύστημα έχει άπειρες λύσεις αν και μόνο αν υπάρχουν άπειρα ζεύγη (x 0, y 0 ) που επαληθεύουν τις εξισώσεις του. Γεωμετρικά ερμηνεύεται ως εξής: Οι ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήματος ταυτίζονται (συμπίπτουν). ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

15 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οι δύο εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος παριστάνουν δύο ευθείες οι οποίες μπορεί να τέμνονται ή να είναι παράλληλες ή ακόμα και να συμπίπτουν. Αυτό σημαίνει ότι ένα σύστημα μπορεί: να έχει μοναδική λύση, να είναι αδύνατο, να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Τα παραπάνω συμπεράσματα αποδίδονται με τα παρακάτω γραφήματα. Οι ευθείες ε 1, ε τέμνονται στο σημείο Α και το ζεύγος (x 0, y 0 ) αποτελεί τη λύση του συστήματος Οι ευθείες ε 1, ε είναι παράλληλες οπότε το σύστημα είναι αδύνατο Οι ευθείες ε 1, ε ταυτίζονται οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ΜεΘοδολογιεΣ εφαρμογεσ ΚΑΤηγορίΑ 1 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να ελέγξουμε αν ένα ζεύγος αριθμών αποτελεί λύση μιας γραμμικής εξίσωσης και να προσδιορίσουμε τη μορφή των λύσεων της γραμμικής εξίσωσης. ΜΕθοδος Έστω (x 0, y 0 ) ένα τέτοιο ζεύγος αριθμών. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση όπου x = x 0 και όπου y = y 0. Αν ικανοποιείται η ισότητα: αx 0 + βy 0 = γ τότε το ζεύγος των αριθμών (x 0, y 0 ) αποτελεί λύση της εξίσωσης. Διαφορετικά δεν αποτελεί λύση της γραμμικής εξίσωσης. Για να βρούμε τη μορφή των λύσεων μιας γραμμικής εξίσωσης αx + βy = γ, με α 0 και β 0 ακολουθούμε την εξής πορεία: Λύνουμε την εξίσωση (συνήθως) ως προς y. Έχουμε δηλαδή: αx + βy = γ βy = γ αx y = γ αx β ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 15

16 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θέτουμε στη θέση του x μια τυχαία τιμή, έστω κ. Δηλαδή, για x = κ έχουμε: y = γ ακ β Τα ζεύγη της μορφής: ( γ ακ κ, β ), κ είναι λύσεις της γραμμικής εξίσωσης. 1.1 Εφαρμογή Δίνεται η γραμμική εξίσωση: 4x y = 17 i. Να εξετάσετε αν τα ζεύγη (, ) και (4, ) αποτελούν λύση της παραπάνω εξίσωσης. ii. Να γράψετε τη γενική μορφή των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης. Λύση i. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση 4x y = 17 το x = και y = βρίσκουμε: 4 ( ) = = = 17, ισχύει Άρα το ζεύγος (, ) είναι λύση της εξίσωσης. Ομοίως για x = 4 και y = έχουμε: 4 4 = = = 17, άτοπο Επομένως το ζεύγος (4, ) δεν αποτελεί λύση της εξίσωσης. ii. Λύνουμε την εξίσωση 4x y = 17 ως προς έναν άγνωστο, έστω τον y. Τότε: 4x 17 4x y = 17 y = 4x 17 y = Θέτουμε x = κ, όπου κ τυχαίος πραγματικός αριθμός, οπότε έχουμε: y = Επομένως, κάθε ζεύγος της μορφής: αποτελεί λύση της εξίσωσης. 4κ 17 ( κ, 4κ 17 ), κ 16 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

17 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κατηγορία Ασκήσεις στις οποίες ζητείται η επίλυση ενός συστήματος. Μέθοδος Αρχικά ενεργούμε ως εξής: Απλοποιούμε τα κλάσματα, αν υπάρχουν. Κάνουμε πράξεις αν εμφανίζονται παρενθέσεις, ταυτότητες κ.λ.π και χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους ώστε στο αριστερό μέλος της ισότητας να έχουμε τις μεταβλητές και στο δεξί μέλος της ισότητας τους σταθερούς όρους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Φροντίζουμε τέλος να έχουμε τα x κάτω από τα x και τα y κάτω από τα y. Γράφουμε δηλαδή τις εξισώσεις στη μορφή αx + βy = γ. Στη συνέχεια ακολουθούμε έναν από τους τρεις παρακάτω τρόπους ώστε να λύσουμε το σύστημα. Α Τρόπος (Μέθοδος αντικατάστασης) Λύνουμε μία από τις δύο εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο. Συνήθως επιλέγουμε τον άγνωστο που έχει συντελεστή τη μονάδα κι αν δεν υπάρχει τέτοια περίπτωση επιλέγουμε εκείνον τον άγνωστο με το μικρότερο συντελεστή. Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση τον άγνωστο αυτό με την παράσταση που είναι ίσος. Η εξίσωση που προέκυψε μετά την αντικατάσταση έχει μόνο έναν άγνωστο και τη λύνουμε κατά τα γνωστά ώστε να προσδιορίσουμε την τιμή του ενός αγνώστου. Αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουμε έτσι και την τιμή του δεύτερου αγνώστου. Β Τρόπος (Μέθοδος αντίθετων συντελεστών) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου (που θα έχουμε επιλέξει) στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι. Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που προέκυψαν. Δημιουργείται έτσι μια εξίσωση με έναν άγνωστο τον οποίο και προσδιορίζουμε. Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που υπολογίσαμε σε μία από τις εξισώσεις (σε όποια εμείς επιθυμούμε) και βρίσκουμε την τιμή και του άλλου αγνώστου. Γ Τρόπος (Γραφικά) Σχεδιάζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Χαράσσουμε τις γραφικές παραστάσεις των δύο ευθειών. Αν οι ευθείες τέμνονται, τότε το σημείο τομής τους αποτελεί τη λύση του συστήματος. Αν οι ευθείες που έχουμε χαράξει είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Αν τέλος οι ευθείες ταυτίζονται, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 17

18 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Εφαρμογή Να λύσετε το σύστημα: x y = 5x + y = 17 Λύση Α Τρόπος (Μέθοδος της αντικατάστασης) Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς x: x y = } x = + y } x = + y } 5x + y = 17 5x + y = 17 5x + y = 17 Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το x με + y : x = + y } 5 + y + y = 17 Λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση και βρίσκουμε το y: x = + y } x = + y } y y + y = 17 + y = 17 x = + y } x = + y } x = + y } y + 4y = 4 19y = 19 y = 1 Αντικαθιστούμε το y = 1 στην πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε το x: x = + 1 } x = 6 } x = y = 1} y = 1 y = 1 Το ζεύγος (x, y) = (, 1) αποτελεί λύση του συστήματος. Β Τρόπος (Αντίθετοι συντελεστές) Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 5 και τη δεύτερη με, ώστε οι συντελεστές του x να γίνουν αντίθετοι. x y = ( 5) 10x + 15y = 15 } 5x + y = 17 10x + 4y = 4 18 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

19 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις που προέκυψαν και ξαναγράφουμε μία από τις δύο εξισώσεις (όποια εμείς επιλέξουμε) όπως είναι. Έτσι, προκύπτει μία εξίσωση με έναν άγνωστο την οποία και λύνουμε. 10x 10x + 15y + 4y = y = 19 y = 1 x y = } x y = } x y = } Αντικαθιστούμε το y = 1 στην πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε το x. } x 1 = } x = + } x = 6 } x = y = 1 y = 1 y = 1 y = 1 Το ζεύγος (x, y) = (, 1) αποτελεί λύση του συστήματος. γ τρόπος (γραφικά) Κάθε μία από τις εξισώσεις του συστήματος παριστάνει ευθεία. Θα σχεδιάσουμε λοιπόν τις ευθείες αυτές σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Βρίσκουμε δύο σημεία της ευθείας x y = Για x = 0 είναι: y = y = 1, άρα έχουμε το σημείο Α(0, 1) Για y = 0 είναι: x = x =, άρα έχουμε το σημείο Β (, 0 ) Βρίσκουμε δύο σημεία της ευθείας 5x + y = Για y = 0 είναι 5x = 17 x = 5 ( οπότε έχουμε το σημείο Γ 17 5 ), 0 17 Για x = 0 είναι: y = 17 y = ( άρα έχουμε το σημείο Δ 17 0, ) Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα οι ευθείες τέμνονται στο σημείο (, 1) οι συντεταγμένες του οποίου αποτελούν και τη λύση του συστήματος x y = 5 5x + y = 17 Την παραπάνω εφαρμογή τη λύσαμε και με τους τρεις τρόπους που αναπτύξαμε στη μεθοδολογία. Είναι σαφές ότι ο γραφικός τρόπος επίλυσης ενός συστήματος δεν είναι ο αποτελεσματικότερος διότι σε κάποιες περιπτώσεις ενδέχεται να μην μπορούμε να προσδιορίσουμε μα ακρίβεια τη λύση του. Στις επόμενες εφαρμογές θα επιλέγουμε μία από όλες τις μεθόδους. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 19

20 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Εφαρμογή Να λύσετε το σύστημα: Λύση 4(x y + 1) = x y x + y 1 Αρχικά πραγματοποιούμε όλες τις επιτρεπτές πράξεις ώστε να φέρουμε το σύστημα στη μορφή: αx + βy = γ α x + β y = γ Είναι: 4x } 4y + 4 = x y x + 6 y 1 = 6 16 = 16 4x x 4y + y = 5 4 5x + (y 1) = } x y = 1 } x y = 1 15x + 4y = 15x + 4y = 4 } Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών επιλέγοντας να απαλείψουμε το y: x y = 1 4 8x 1y = 4 } x y = 1 } y = x + 4y = 4 45x + 1y = 10 5x = 106 x = } y = } y = 1 x = x = } Το ζεύγος (x, y) = (, 1) αποτελεί λύση του συστήματος. 1.4 Εφαρμογή i. Να λύσετε το σύστημα: 4(x + y + 1) = ( x + y) 6 x 4 ii. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του; Λύση + = 1 y 4 i. Το αρχικό σύστημα, μετά από τις σχετικές πράξεις, γράφεται: 0 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

21 4x 1 + 8y + 4 = 4x + y 6 x = 1 1 y } 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4x + 4x + 8y y = 4 6 4(x 4) + 4 = (1 y) } 4 8x + 6y = 10 } 4x + y = 5 4x = y 4x + y = 5 } Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις βρίσκουμε: 4x 4x + y y = 5 ( 5) 0x + 0y = 0 Η τελευταία εξίσωση είναι αόριστη. Στην περίπτωση αυτή το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Θα βρούμε τη μορφή που έχουν οι λύσεις του συστήματος. Ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Λύνουμε την εξίσωση ως προς έναν άγνωστο, έστω τον y. 4x + y = 5 y = 5 4x y = 5 + 4x Θέτουμε x = κ, όπου κ τυχαίος πραγματικός αριθμός οπότε: Κάθε ζεύγος της μορφής y = 5 + 4κ ( 5 + 4κ κ, ), κ είναι λύση του συστήματος. ii. Σχεδιάζουμε τις δύο (στην ουσία μία) ευθείες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Διαπιστώνουμε ότι οι δύο ευθείες ταυτίζονται, οπότε έχουν άπειρα κοινά σημεία, επομένως το σύστημα έχει άπειρες λύσεις Εφαρμογή i. Να λύσετε το σύστημα: 4(x y + 1) = x y + 5 4(y x) + 1 = 7 (6x y) ii. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του; ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 1

22 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Λύση i. Το αρχικό σύστημα ισοδύναμα γράφεται: 4x 4y 8x + 1 = 7 6x + y 8x + 6x + 4y y = 7 1 } x y = 1 } x y = 1 } x + y = 6 x y = 6 4y + 4 = x y + 5 } 4x x 4y + y = 5 4 } Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις βρίσκουμε: x x y + y = x + 0y = 7, άτοπο. Επομένως δεν υπάρχουν τιμές των x, y που να επαληθεύουν το σύστημα, οπότε είναι αδύνατο. ii. Σχεδιάζουμε τις ευθείες x y = 1 και x y = 6 στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Διαπιστώνουμε ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, άρα δεν έχουν κοινά σημεία, οπότε το σύστημα είναι αδύνατο x y = 6 x y = Εφαρμογή Να λύσετε το σύστημα: (x + 1) (x y)(x + y) = y(6 + y) 1 Λύση Το σύστημα ισοδύναμα γράφεται: x y( x) = 5 x(y + 1) + x + 1 (x y ) = 6y + y 1 x + x + 1 x + y = 6y + y 1 } y xy = 5 xy x } x + y xy + xy = 5 x 6y + y y = 1 1 } x 6y = x y = 1 x + y = 5 x + y = 5 } x + y = 5 } x = y 1 y 1 + y = 5 } } 5y = 6 x = y 1 x = y = 6 5 } ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

23 Το ζεύγος (x, y) = ( 1 5, 6 5 ) x = } 5 y = 6 5 x = 1 } 5 y = 6 5 είναι η λύση του συστήματος. 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κατηγορία Ασκήσεις στις οποίες εμφανίζονται προβλήματα. Μέθοδος Κάθε πρόβλημα έχει ένα «σενάριο» από το οποίο εμείς πρέπει να απομονώσουμε αυτά που μας χρειάζονται. Αναλύουμε λοιπόν προσεκτικά τα δεδομένα του προβλήματος ώστε να μπορέσουμε να τα μετατρέψουμε σε μαθηματικές σχέσεις. Για την επίλυσή τους λοιπόν πρέπει σε γενικές γραμμές να έχουμε υπόψη μας τα παρακάτω: α. Αν το πρόβλημα έχει γεωμετρικό χαρακτήρα καταφεύγουμε στην χάραξη ενός πρόχειρου σχήματος και παριστάνουμε πάνω στο σχήμα όποια πληροφορία μας δίνει η άσκηση (σταθερά και μεταβλητά μεγέθη). β. Καθορίζουμε σωστά τις μεταβλητές του προβλήματος θέτοντας τους δύο αγνώστους που θα εμφανίζονται με x, y. γ. Βρίσκουμε τη σχέση εξίσωση που συνδέει τους αγνώστους. δ. Αξίζει να προσέξουμε ότι οι περιορισμοί των εξισώσεων που κατασκευάζουμε σε ένα πρόβλημα εξαρτώνται από τα δεδομένα του προβλήματος. Αν για παράδειγμα οι μεταβλητές αναφέρονται σε μήκος ή χρόνο τότε πρέπει οπωσδήποτε να είναι μεγαλύτερες ή ίσες από το μηδέν. ε. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτει και ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς που λάβαμε στο προηγούμενο βήμα. 1.7 Εφαρμογή Το άθροισμα των ηλικιών δύο αδερφών είναι χρόνια και η διαφορά τους είναι χρόνια. Να βρείτε τις ηλικίες των δύο αδερφών. Λύση Έστω x η ηλικία του ενός αδερφού και y η ηλικία του άλλου με x > y. Αφού το άθροισμα των ηλικιών τους είναι χρόνια ισχύει ότι: x + y = (1) Επίσης, επειδή οι ηλικίες τους διαφέρουν χρόνια προκύπτει ότι: x y = () ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

24 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), () με τη μέθοδο της αντικατάστασης. x Άρα ο ένας είναι 18 χρονών και ο άλλος 15 χρονών. + y = } x = y } x = y } x = 15 } x = 18 } x y = y y = y = 0 y = 15 y = Εφαρμογή Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 16. Αν εναλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του, παίρνουμε έναν αριθμό μικρότερου του αρχικού κατά 18. Να προσδιορίσετε τον αρχικό αριθμό. Λύση Έστω xy ο αριθμός που ψάχνουμε για τον οποίο ισχύει ότι 0 < x 9 και 0 y 9. Ο αριθμός xy γράφεται στη μορφή: xy = 10x + y (1) αφού έχουμε συμβολίσει με x το ψηφίο των δεκάδων και y το ψηφίο των μονάδων. Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού xy είναι 16, οπότε ισχύει: x + y = 16 () Aν εναλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του αριθμού xy προκύπτει ο αριθμός yx ο οποίος γράφεται στη μορφή: yx = 10y + x () Επειδή ο αριθμός yx είναι μικρότερος του αριθμού xy κατά 18, ισχύει ότι: yx = xy 18 (1) 10y + x = 10x + y 18 10x x 10y + y =18 () 9x 9y = 18 x y = (4) Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (), (4) με τη μέθοδο της αντικατάστασης x Τελικά ο ζητούμενος αριθμός xy είναι ο y = 16 } y = 16 x } y = 16 x } y = 16 x } y = 7 } x y = x (16 x) = x 16 + x = x = 18 x = Εφαρμογή Ο Νίκος, η Στέλλα και η Σοφία αγόρασαν παγωτά και αναψυκτικά. Ο Νίκος πλήρωσε 19 για την αγορά παγωτών και αναψυκτικών. Η Στέλλα πλήρωσε 18 για να αγοράσει παγωτά και 4 αναψυκτικά. Η Σοφία πλήρωσε 8 και αγόρασε 6 παγωτά και 4 αναψυκτικά. i. Με τα δεδομένα που έχουμε από τις αγορές του Νίκου και της Σοφίας μπορούμε να βρούμε την τιμή του ενός παγωτού και του ενός αναψυκτικού; ii. Να βρείτε την τιμή του παγωτού και του αναψυκτικού. 4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

25 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Λύση i. Έστω ότι το ένα παγωτό στοιχίζει x και το ένα αναψυκτικό y. Αφού ο Νίκος πλήρωσε 19 για παγωτά και αναψυκτικά ισχύει ότι: x + y = 19 (1) Η Σοφία για 6 παγωτά και 4 αναψυκτικά πλήρωσε 8 οπότε ισχύει ότι: 6x + 4y = 8 () Επειδή το σύστημα των εξισώσεων (1), (): x + y = 19 x + y = 19 } 6x + 4y = 8 x + y = 19 } έχει άπειρες λύσεις, δεν μπορούμε να βρούμε την τιμή του παγωτού και του αναψυκτικού. ii. Η Στέλλα πλήρωσε 18 για να αγοράσει παγωτά και 4 αναψυκτικά οπότε ισχύει: x + 4y = 18 () Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών για να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), (). x + y = 19 ( ) 6x 4y = 8 } 4x = 0 x + 4y = 18 1 x + 4y = 18 x + 4y = 18 } x = 5 } x = 5 } x = y = 18 4y = 8 y = } Επομένως το ένα παγωτό κοστίζει 5 και το ένα αναψυκτικό. Κατηγορία 4 Ασκήσεις στις οποίες εμφανίζονται συνδυαστικά θεωρητικά θέματα. Μέθοδος Γενικά, στην κατηγορία αυτή θα πρέπει να συνδυάσουμε τις προηγούμενες μεθοδολογίες καθώς επίσης και τις γνώσεις που έχουμε αποκτήσει από προηγούμενες τάξεις. Κυρίως όμως θα πρέπει να έχουμε κατανοήσει σε βάθος τη θεωρία καθώς αυτή μας παρέχει τη δυνατότητα να επιλύσουμε οποιασδήποτε μορφής άσκηση. Ειδικότερα: Για να βρούμε το σημείο στο οποίο μια ευθεία τέμνει τον άξονα x x θέτουμε στην εξίσωσή της y = 0 και βρίσκουμε το x. Το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες (x, 0). Για να βρούμε το σημείο στο οποίο μια ευθεία τέμνει τον άξονα y y θέτουμε στην εξίσωσή της x = 0 και βρίσκουμε το y. Το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες (0, y). Αν μια ευθεία (ε) : y = αx + β διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0, y 0 ) τότε αντικαθιστούμε στην εξίσωση της ευθείας όπου x = x 0 και όπου y = y 0, ισχύει δηλαδή η ισοδυναμία: Α(x 0, y 0 ) (ε) y 0 = αx 0 + β ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 5

26 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αν δύο ευθείες (ε 1 ) : y = α 1 x + β 1 και (ε ) : y = α x + β είναι παράλληλες, ισχύει η ισοδυναμία: ε 1 // ε α 1 = α Αν έχουμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού αx + βx + γ = 0, α 0 με ρίζες x 1, x τότε ισχύουν οι τύποι Vieta: S = x 1 + x = β α και P = x 1x = γ α 1.10 Εφαρμογή Η ευθεία: (ε) : (β α + 1)x (α 5β + 4)y 6 = 0 τέμνει τον άξονα x x σε σημείο Α με τετμημένη x = και τον άξονα y y σε σημείο Β με τεταγμένη y =. i. Να δείξετε ότι α = και β = 1. ii. Για τις παραπάνω τιμές των α, β να βρείτε: α. το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, β. την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ (, ) και είναι παράλληλη στην ευθεία (ε). Λύση i. Το σημείο Α(, 0) ανήκει στην ευθεία οπότε την επαληθεύει, δηλαδή: A (ε) (β α + 1) (α 5β + 4) 0 6 = 0 (β α + 1) = 6 β α + 1 = β α = 1 (1) Ομοίως το σημείο Β(0, ) επαληθεύει την ευθεία οπότε ισχύει η ισοδυναμία: Β (ε) (β α + 1) 0 (α 5β + 4) ( ) 6 = 0 (α 5β + 4) = 6 α 5β + 4 = α 5β = 1 () Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), (): β α = 1 } α = β 1 } α = β 1 α 5β = 1 (β 1) 5β = 1 6β 5β = 1 } α = 1 1 } α = β = 1 β = 1} ii. α. Ισχύει ότι: E OAB = 1 ΟΑ ΟΒ = 1 = τ.μ β. Η εξίσωση της ευθείας (ε) για α = και β = 1 γράφεται: (ε) : ( 1 + 1)x ( )y 6 = 0 x y 6 = 0 6 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

27 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ y = x 6 y = x Άρα η (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε = Έστω (η) : y = κx + λ η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Ισχύει ότι: η // ε λ η = λ ε κ = Άρα η εξίσωση της ευθείας (η) γράφεται: (η) : y = x + λ Επειδή η ευθεία (η) διέρχεται απο το σημείο Μ ισχύει η ισοδυναμία: Μ (η) = + λ λ = 4 λ = 1 Τελικά, η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας (η) είναι η: Ο Β A y = x Εφαρμογή Αν η εξίσωση: (α β + 4)x + (α β 9)y + 1 = 0 δεν παριστάνει ευθεία να βρείτε τα α, β. Λύση Η δοθείσα εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία όταν και μόνο όταν: α β + 4 = 0 και α β 9 = 0 Τότε: α α β = 9 } β β = 4 } α = β 4 α = β 4 α = β 4 } ( 4) β = 9 } 9β 1 β = 9 } 7β = 1 α = 4 α = 5 β = } β = } Συνεπώς, η δοθείσα εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία αν: α = 5, β = 1.1 Εφαρμογή η εξίσωση: x (λ μ)x + (μ 4λ) 9 = 0 έχει δύο ρίζες x 1, x για τις οποίες ισχύει ότι το άθροισμά τους είναι 4 και το γινόμενο τους είναι 19. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 7

28 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i. Να δείξετε ότι λ = και μ = 8. Λύση ii. Για τις παραπάνω τιμές των λ, μ να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α (x 1 x, x 1 + x ) και Β ( 19 x x, x 1 + x ). i. Εφαρμόζοντας τους τύπους Vieta βρίσκουμε: (λ μ) x 1 + x = 4 = 4 λ μ = 1 (1) και (μ 4λ) 9 x 1 x = 19 = 19 μ 4λ = 19 μ 4λ = 16 () Λύνουμε με τη μέθοδο της αντικατάστασης το σύστημα των εξισώσεων (1), () λ μ = 1 } μ = λ 1 } μ = λ 1 μ 4λ = 16 λ 1 4λ = 16 λ = 4 } μ = 1 } μ = 8 λ = λ = } ii. Γνωρίζουμε από τα δεδομένα ότι: Θα προσδιορίσουμε τις παραστάσεις: x 1 x = 19 και x 1 + x = 4 x + 1 x και 1 x1 + x 1 Ισχύει ότι: (x 1 + x ) = x + x x x 4 = x + ( 19) + 1 x 16 = x x x + x = x x = 19x + 19x 1 = 19 x + x 1 4 =19 x 1 x x 1 x 19 = 4 Άρα τα σημεία Α, Β έχουν συντεταγμένες: A ( 19, 54) και B ( 4, 4) Έστω (ε) : y = αx + β η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Επειδή η (ε) διέρχεται από τα σημεία Α και Β αυτά την επαληθεύουν. Τότε: Α (ε) 54 = 19α + β (1) και Β (ε) 4 = 4α + β () Θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), () με τη μέθοδο της αντικατάστασης: 19α + β = 54 β = α } } β = α 4α + β = 4 4α α = 4 15α = 50 } β = } β = } β = 8 } α = 10 α = 10 α = 10 8 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

29 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επομένως η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας ειναι η: (ε) : y = 10 x 8 εφαρμογεσ εμπεδωσησ & εμβαθυνσησ γραμμίκες ΕΞίςΩςΕίς 1.1 Να βρείτε ποια από τις παρακάτω εξισώσεις είναι γραμμική. 1 i. x y = ii. x y = 4 iii. 5x + 4y = 1 iv. (4x ) 1 1 = _ y + x v. = y + 1 y vi. x 0 = 1 y 1.14 Δίνεται η γραμμική εξίσωση: 5x 6 = y i. Να εξετάσετε αν τα ζεύγη (4, ) και (1, 1 ) αποτελούν λύση της παραπάνω εξίσωσης. ii. Ποια είναι η γενική μορφή των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης; 1.15 i. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η εξίσωση: 5x αy = 4 να έχει ως λύση την (x, y) = (, 1). ii. Υπάρχει τιμή του α ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει ως λύση την ( 4 5, 0 ) ; ΕΠίΛΥςη ςυςτηματων 1.16 Να λύσετε τα συστήματα: i. x y = 4 ii. x + 5y = 18 iii. x y = 0 x + 4y = 14 x y = 7 x y = 1.17 Να λύσετε τα συστήματα: i. κ λ = ii. 4ω 6φ = 5 iii. κ λ = 1 6ω 9φ = 1.18 Να λύσετε τα συστήματα: i. 4x + 15y = ii. 5x + 6y = 19 iii. α 4β = 8 α β = 4 x + 5y = 1 x + 6y = 5 6x y = 10 6x 15y = ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 9

30 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.19 Να λύσετε τα συστήματα: i. x + 6y = 1 ii. 5x + 5y = Να λύσετε τα συστήματα: x 4y = iii. x + 6y = 1 x + 6y = 5x + 5y = 5 i. x 6y = 5 ii. x + y = iii. 6x 7y = 10 5x 15y = x + y = 7 x + y = Να λύσετε τα συστήματα: i. x 5y = 16 ii. 6x + y = iii. 4x 14y = 6 7x y = 18 8x y =10 6x 1y = 9 1. Να λύσετε τα συστήματα: i. 4x + 5y = 7 ii. x + 7y = 8 iii. 7x + y = 17 x + y = 5 6x + 19y = 11 x + y = 7 1. Να λύσετε τα συστήματα: i. x + 6y = ii. 4x 8y = 5 iii. x + y = 1 5x y = x + 4y = 1 x 4y = 1.4 Να λύσετε τα συστήματα: i. x = y ii. 8y = 4x + 10 iii. 7y + 0 = x y = x 9 x = y 5 x = y 1.5 Να λύσετε τα συστήματα: i. x + 4 = y ii. x + y = iii. x = y 4y = x 8 6y = 7 x x = 5y Να λύσετε τα συστήματα: i. (x 1) + 8y = 4 ii. 6y + (x y) = 9 (x + 4y ) + x = 6x + 4(y x) = 10 iii. (x 1) + (y ) = 7 iv. x = (y + 1) + 5 4(x + 1) + 6(y ) = 0 (y + 1) + x = x Να λύσετε τα συστήματα: 6(x y) 6 = 5(x y + 1) i. 7 (x 4y) = (x 6) x + (y x) = 1 ii. y 4(x y) = 9 6(x 1) + 7(y x) = 5x + 4 iii. (1 x) + y 6 = 6 (1 y) + x iv. 4(1 y) + 5(x + 1) = 0 (y + ) + 1 = 10(x 1) 0 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου B Τομος

Aλγεβρα A λυκείου B Τομος Aλγ ε β ρ α A υ κ ε ί ο υ B Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ειρά: Γενικό ύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α υκείου, Β Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Εξώφυλλο: Γεωργία αμπροπούλου

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Παράγραφος 1.1 (ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Πότε μια εξίσωση λέγεται γραμμική; Η εξίσωση α + βy = γ Κάθε εξίσωση της μοεφής α + βy = γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία 06-11-16 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; (4 μον.) ii. Πότε μία συνάρτηση f ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση αx+βy = γ Λύση της εξίσωσης α x + β y = γ ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (//04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα