τα βιβλία των επιτυχιών

Transcript

1 Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

2 Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γε ν ι κ ό Λύκειο Β Λυκείου: Μαθήματα Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου Γενικής Παιδείας, Α Τόμος (η έκδοση) Νίκος Τάσος Επιστημονική επιμέλεια: Δημήτρης Παπαδημητριάδης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση: Aλεξάνδρα Βαλσαμάκη, Μαλβίνα Κότο Σχεδιασμός εξωφύλλου: Γεωργία Λαμπροπούλου Υπεύθυνος έκδοσης: Αποστόλης Αντωνόπουλος Στοιχεία επικοινωνίας συγγραφέα: nikotaso@yahoo.gr Copyright 01 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο ISBN: SET: Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 1, Τ.Κ Πειραιάς Τηλ.: Fax: publications@poukamisas.gr

3 ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς η Εκ δ ο σ η

4

5 Στη μνήμη της μητέρας μου Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη της Άλγεβρας, αφετέρου δε να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συναδέλφους. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες, καθεμία από τις οποίες περιέχει: Ι. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Πλήρης θεωρία, η οποία συνοδεύεται από σχόλια και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της. ΙΙ. Μεθοδολογίες Εφαρμογές Έγινε προσπάθεια, ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις, αλλά μόνο ασκήσεις που μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε (για πρώτη φορά στα ελληνικά βιβλιογραφικά δεδομένα) κατηγορίες, οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας. ΙΙΙ. Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. Ερωτήσεις κατανόησης Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος, πολλαπλής επιλογής και αντιστοίχισης, οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V. Φύλλα αξιολόγησης Στο τέλος κάθε παραγράφου υπάρχει φύλλο αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. VI. Τράπεζα Θεμάτων Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων, όπως δόθηκαν από το Υπουργείο Παιδείας. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν: οι απαντήσεις υποδείξεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των διαγωνισμάτων του παρόντος βιβλίου, αναλυτικές απαντήσεις όλων των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων, αναλυτικές απαντήσεις όλων των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου. Ευελπιστώντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει το στόχο της, παραδίδουμε το πόνημα αυτόστην αυστηρή κρίση των μαθητών και συναδέλφων καθηγητών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc.

6

7 Περιεχόμενα ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Γραμμικά Συστήματα Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...9. Ερωτήσεις κατανόησης...4. Φύλλο αξιολόγησης Λύση & Διερεύνηση Συστήματος Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων με Τρεις Αγνώστους. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...9. Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...6. Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Μη Γραμμικά Συστήματα. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...84 Φύλλο αξιολόγησης στα Συστήματα...87 Τράπεζα Θεμάτων...89 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4.. Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Κατακόρυφη Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές...1. Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...19 Φύλλο αξιολόγησης στις Ιδιότητες Συναρτήσεων...14 Τράπεζα Θεμάτων ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6.. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης...177

8 7.. Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Αναγωγή στο 1 ο Τεταρτημόριο. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...1. Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων.... Μεθοδολογίες Εφαρμογές...7. Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές...6. Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...0. Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές...1. Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...4. Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Τριγωνομετρικοί Αριθμοί της Γωνίας α. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης...99 Τράπεζα Θεμάτων Απαντήσεις ασκήσεων Απαντήσεις Τράπεζας Θεμάτων Απαντήσεις σχολικού βιβλίου...477

9 Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

10

11 1 Γραμμικά συστήματα 1 Θεωρια Σε Μορφη ερωτησεων απαντησεων i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; ii. Τι παριστάνει μία γραμμική εξίσωση; Να συνοδεύσετε την απάντηση σας με κατάλληλα σχήματα. Απάντηση i. Κάθε εξίσωση που έχει τη μορφή: αx + βy = γ, με α, β, γ και x, y ονομάζεται γραμμική εξίσωση. ii. Μία γραμμική εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή όταν α 0 ή β 0. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Περίπτωση 1η Αν β 0, τότε η εξίσωση γράφεται: αx + βy = γ βy = αx + γ y = α β x + γ β (1) Η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = α β και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0, Ειδικότερα Αν α 0, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. γ β ) και τον άξονα x x στο σημείο Β( γ α, 0). γ α γ β αx + βy = γ β 0 Αν α = 0, τότε η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή y = γ β και επομένως παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x x και τέμνει τον άξονα y' y στο σημείο Α(0, γ β ) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. γ β αx + βy = γ, α = 0 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 11

12 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Περίπτωση η Αν β = 0 (οπότε α 0) τότε η εξίσωση αx + βy = γ γράφεται: αx = γ x = γ α Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y y και τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Β( γ α, 0 ) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. αx + βy = γ, β = 0 γ α i. Στη γραμμική εξίσωση αx + βy = γ: τα x, y λέγονται άγνωστοι, τα α, β λέγονται συντελεστές των αγνώστων, το γ λέγεται σταθερός όρος. ii. Σε μια ευθεία με εξίσωση: (ε) : y = αx + β ο αριθμός α ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας και ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x x, δηλαδή: α = εφω iii. Αν μια ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x έχει εξίσωση (ε) : y = y 0 και συντελεστή διεύθυνσης α = 0. iv. Αν μια ευθεία (ε) είναι κάθετη στον άξονα x x έχει εξίσωση (ε) : x = x 0 και δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. v. Μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, δηλαδή από το σημείο Ο(0, 0), και έχει συντελεστή διεύθυνσης, έχει εξίσωση: (ε) : y = αx vi. Δύο ευθείες με εξισώσεις: (ε 1 ) : y = α 1 x + β 1 και (ε ) : y = α x + β είναι παράλληλες ή ταυτίζονται αν και μόνο αν ισχύει: α 1 = α Ειδικότερα: αν α 1 = α και β 1 = β οι ευθείες (ε 1 ), (ε ) ταυτίζονται, αν α 1 = α και β 1 β οι ευθείες (ε 1 ), (ε ) είναι παράλληλες. Τι ονομάζουμε λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; Απάντηση Κάθε ζεύγος αριθμών (x 0, y 0 ) που επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση ονομάζεται λύση της γραμμικής εξίσωσης. 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

13 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i. Μία γραμμική εξίσωση αx + βy = γ έχει: άπειρο πλήθος λύσεων αν α 0 ή β 0 (ή α = β = γ = 0, οπότε είναι ταυτότητα) και είναι αδύνατη αν α = β = 0 και γ 0. ii. Κάθε ζεύγος της μορφής: ( γ αx x, αποτελεί λύση της γραμμικής εξίσωσης. β ) (, β 0 ή γ βy α, y), α 0 i. Τι ονομάζουμε γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους; ii. Τι ονομάζουμε λύση ενός συστήματος; iii. Πως ερμηνεύεται γεωμετρικά μία λύση ενός συστήματος; Απάντηση i. Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις: αx + βy = γ και α x + β y = γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και γράφουμε: ii. αx + βy = γ α x + β y = γ Λύση ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ονομάζουμε κάθε διατεταγμένο ζεύγος (x 0, y 0 ) που επαληθεύει τις εξισώσεις του. iii. Όπως είδαμε και στην πρώτη ερώτηση της θεωρίας κάθε εξίσωση ενός συστήματος είναι εξίσωση ευθείας. Γεωμετρικά λοιπόν, μία λύση ενός συστήματος παριστάνεται από το κοινό σημείο των ευθειών του συστήματος. i. Το γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους πιο σύντομα το λέμε γραμμικό σύστημα. ii. Το σύστημα: αx + βy = 0 α x + β y = 0 ονομάζεται ομογενές και δεν είναι ποτέ αδύνατο αφού έχει πάντα λύση την (x 0, y 0 ) = (0, 0). Ενδέχεται βέβαια να έχει και άπειρες λύσεις. 4 Ποια συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα; Απάντηση Δύο συστήματα που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμα. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 1

14 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Για να προκύψει από ένα σύστημα το ισοδύναμό του, στηριζόμαστε στις εξής ιδιότητες των πραγματικών αριθμών: Αν γ 0, τότε ισχύει ότι α = β αγ = βγ. Αν α = β και γ = δ, τότε α + γ = β + δ. 5 Με ποιος τρόπους μπορούμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα ; Απάντηση Ένα γραμμικό σύστημα μπορούμε να το λύσουμε: με τη μέθοδο της αντικατάστασης, με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών ή μέθοδο της απαλοιφής, γραφικά. i. Περισσότερες λεπτομέρειες για τις μεθόδους επίλυσης ενός συστήματος θα αναπτύξουμε στις μεθοδολογίες της παραγράφου. ii. Έναν ακόμη τρόπο επίλυσης γραμμικού συστήματος θα μελετήσουμε στην επόμενη παράγραφο. Επομένως, θα γνωρίζουμε συνολικά τέσσερεις τρόπους επίλυσης συστήματος Αν (ε) και (ε ) είναι δύο γραμμικές εξισώσεις τι ονομάζουμε γραμμικό συνδυασμό των (ε), (ε ); Απάντηση Κάθε εξίσωση της μορφής: λ(ε) + μ(ε ) = 0, λ, μ ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε ). 7 i. Πότε ένα σύστημα είναι αδύνατο και πως ερμηνεύεται γεωμετρικά; ii. Πότε ένα σύστημα έχει άπειρες λύσεις και πως ερμηνεύεται γεωμετρικά; Απάντηση i. Ένα σύστημα λέγεται αδύνατο αν και μόνο αν δεν έχει λύση. Γεωμετρικά ερμηνεύεται ως εξής: Οι ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήματος είναι παράλληλες. ii. Ένα σύστημα έχει άπειρες λύσεις αν και μόνο αν υπάρχουν άπειρα ζεύγη (x 0, y 0 ) που επαληθεύουν τις εξισώσεις του. Γεωμετρικά ερμηνεύεται ως εξής: Οι ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήματος ταυτίζονται (συμπίπτουν). ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

15 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οι δύο εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος παριστάνουν δύο ευθείες οι οποίες μπορεί να τέμνονται ή να είναι παράλληλες ή ακόμα και να συμπίπτουν. Αυτό σημαίνει ότι ένα σύστημα μπορεί: να έχει μοναδική λύση, να είναι αδύνατο, να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Τα παραπάνω συμπεράσματα αποδίδονται με τα παρακάτω γραφήματα. Οι ευθείες ε 1, ε τέμνονται στο σημείο Α και το ζεύγος (x 0, y 0 ) αποτελεί τη λύση του συστήματος Οι ευθείες ε 1, ε είναι παράλληλες οπότε το σύστημα είναι αδύνατο Οι ευθείες ε 1, ε ταυτίζονται οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ΜεΘοδολογιεΣ εφαρμογεσ ΚΑΤηγορίΑ 1 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να ελέγξουμε αν ένα ζεύγος αριθμών αποτελεί λύση μιας γραμμικής εξίσωσης και να προσδιορίσουμε τη μορφή των λύσεων της γραμμικής εξίσωσης. ΜΕθοδος Έστω (x 0, y 0 ) ένα τέτοιο ζεύγος αριθμών. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση όπου x = x 0 και όπου y = y 0. Αν ικανοποιείται η ισότητα: αx 0 + βy 0 = γ τότε το ζεύγος των αριθμών (x 0, y 0 ) αποτελεί λύση της εξίσωσης. Διαφορετικά δεν αποτελεί λύση της γραμμικής εξίσωσης. Για να βρούμε τη μορφή των λύσεων μιας γραμμικής εξίσωσης αx + βy = γ, με α 0 και β 0 ακολουθούμε την εξής πορεία: Λύνουμε την εξίσωση (συνήθως) ως προς y. Έχουμε δηλαδή: αx + βy = γ βy = γ αx y = γ αx β ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 15

16 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θέτουμε στη θέση του x μια τυχαία τιμή, έστω κ. Δηλαδή, για x = κ έχουμε: y = γ ακ β Τα ζεύγη της μορφής: ( γ ακ κ, β ), κ είναι λύσεις της γραμμικής εξίσωσης. 1.1 Εφαρμογή Δίνεται η γραμμική εξίσωση: 4x y = 17 i. Να εξετάσετε αν τα ζεύγη (, ) και (4, ) αποτελούν λύση της παραπάνω εξίσωσης. ii. Να γράψετε τη γενική μορφή των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης. Λύση i. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση 4x y = 17 το x = και y = βρίσκουμε: 4 ( ) = = = 17, ισχύει Άρα το ζεύγος (, ) είναι λύση της εξίσωσης. Ομοίως για x = 4 και y = έχουμε: 4 4 = = = 17, άτοπο Επομένως το ζεύγος (4, ) δεν αποτελεί λύση της εξίσωσης. ii. Λύνουμε την εξίσωση 4x y = 17 ως προς έναν άγνωστο, έστω τον y. Τότε: 4x 17 4x y = 17 y = 4x 17 y = Θέτουμε x = κ, όπου κ τυχαίος πραγματικός αριθμός, οπότε έχουμε: y = Επομένως, κάθε ζεύγος της μορφής: αποτελεί λύση της εξίσωσης. 4κ 17 ( κ, 4κ 17 ), κ 16 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

17 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κατηγορία Ασκήσεις στις οποίες ζητείται η επίλυση ενός συστήματος. Μέθοδος Αρχικά ενεργούμε ως εξής: Απλοποιούμε τα κλάσματα, αν υπάρχουν. Κάνουμε πράξεις αν εμφανίζονται παρενθέσεις, ταυτότητες κ.λ.π και χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους ώστε στο αριστερό μέλος της ισότητας να έχουμε τις μεταβλητές και στο δεξί μέλος της ισότητας τους σταθερούς όρους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Φροντίζουμε τέλος να έχουμε τα x κάτω από τα x και τα y κάτω από τα y. Γράφουμε δηλαδή τις εξισώσεις στη μορφή αx + βy = γ. Στη συνέχεια ακολουθούμε έναν από τους τρεις παρακάτω τρόπους ώστε να λύσουμε το σύστημα. Α Τρόπος (Μέθοδος αντικατάστασης) Λύνουμε μία από τις δύο εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο. Συνήθως επιλέγουμε τον άγνωστο που έχει συντελεστή τη μονάδα κι αν δεν υπάρχει τέτοια περίπτωση επιλέγουμε εκείνον τον άγνωστο με το μικρότερο συντελεστή. Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση τον άγνωστο αυτό με την παράσταση που είναι ίσος. Η εξίσωση που προέκυψε μετά την αντικατάσταση έχει μόνο έναν άγνωστο και τη λύνουμε κατά τα γνωστά ώστε να προσδιορίσουμε την τιμή του ενός αγνώστου. Αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουμε έτσι και την τιμή του δεύτερου αγνώστου. Β Τρόπος (Μέθοδος αντίθετων συντελεστών) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου (που θα έχουμε επιλέξει) στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι. Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που προέκυψαν. Δημιουργείται έτσι μια εξίσωση με έναν άγνωστο τον οποίο και προσδιορίζουμε. Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που υπολογίσαμε σε μία από τις εξισώσεις (σε όποια εμείς επιθυμούμε) και βρίσκουμε την τιμή και του άλλου αγνώστου. Γ Τρόπος (Γραφικά) Σχεδιάζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Χαράσσουμε τις γραφικές παραστάσεις των δύο ευθειών. Αν οι ευθείες τέμνονται, τότε το σημείο τομής τους αποτελεί τη λύση του συστήματος. Αν οι ευθείες που έχουμε χαράξει είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Αν τέλος οι ευθείες ταυτίζονται, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 17

18 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Εφαρμογή Να λύσετε το σύστημα: x y = 5x + y = 17 Λύση Α Τρόπος (Μέθοδος της αντικατάστασης) Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς x: x y = } x = + y } x = + y } 5x + y = 17 5x + y = 17 5x + y = 17 Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το x με + y : x = + y } 5 + y + y = 17 Λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση και βρίσκουμε το y: x = + y } x = + y } y y + y = 17 + y = 17 x = + y } x = + y } x = + y } y + 4y = 4 19y = 19 y = 1 Αντικαθιστούμε το y = 1 στην πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε το x: x = + 1 } x = 6 } x = y = 1} y = 1 y = 1 Το ζεύγος (x, y) = (, 1) αποτελεί λύση του συστήματος. Β Τρόπος (Αντίθετοι συντελεστές) Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 5 και τη δεύτερη με, ώστε οι συντελεστές του x να γίνουν αντίθετοι. x y = ( 5) 10x + 15y = 15 } 5x + y = 17 10x + 4y = 4 18 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

19 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις που προέκυψαν και ξαναγράφουμε μία από τις δύο εξισώσεις (όποια εμείς επιλέξουμε) όπως είναι. Έτσι, προκύπτει μία εξίσωση με έναν άγνωστο την οποία και λύνουμε. 10x 10x + 15y + 4y = y = 19 y = 1 x y = } x y = } x y = } Αντικαθιστούμε το y = 1 στην πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε το x. } x 1 = } x = + } x = 6 } x = y = 1 y = 1 y = 1 y = 1 Το ζεύγος (x, y) = (, 1) αποτελεί λύση του συστήματος. γ τρόπος (γραφικά) Κάθε μία από τις εξισώσεις του συστήματος παριστάνει ευθεία. Θα σχεδιάσουμε λοιπόν τις ευθείες αυτές σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Βρίσκουμε δύο σημεία της ευθείας x y = Για x = 0 είναι: y = y = 1, άρα έχουμε το σημείο Α(0, 1) Για y = 0 είναι: x = x =, άρα έχουμε το σημείο Β (, 0 ) Βρίσκουμε δύο σημεία της ευθείας 5x + y = Για y = 0 είναι 5x = 17 x = 5 ( οπότε έχουμε το σημείο Γ 17 5 ), 0 17 Για x = 0 είναι: y = 17 y = ( άρα έχουμε το σημείο Δ 17 0, ) Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα οι ευθείες τέμνονται στο σημείο (, 1) οι συντεταγμένες του οποίου αποτελούν και τη λύση του συστήματος x y = 5 5x + y = 17 Την παραπάνω εφαρμογή τη λύσαμε και με τους τρεις τρόπους που αναπτύξαμε στη μεθοδολογία. Είναι σαφές ότι ο γραφικός τρόπος επίλυσης ενός συστήματος δεν είναι ο αποτελεσματικότερος διότι σε κάποιες περιπτώσεις ενδέχεται να μην μπορούμε να προσδιορίσουμε μα ακρίβεια τη λύση του. Στις επόμενες εφαρμογές θα επιλέγουμε μία από όλες τις μεθόδους. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 19

20 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Εφαρμογή Να λύσετε το σύστημα: Λύση 4(x y + 1) = x y x + y 1 Αρχικά πραγματοποιούμε όλες τις επιτρεπτές πράξεις ώστε να φέρουμε το σύστημα στη μορφή: αx + βy = γ α x + β y = γ Είναι: 4x } 4y + 4 = x y x + 6 y 1 = 6 16 = 16 4x x 4y + y = 5 4 5x + (y 1) = } x y = 1 } x y = 1 15x + 4y = 15x + 4y = 4 } Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών επιλέγοντας να απαλείψουμε το y: x y = 1 4 8x 1y = 4 } x y = 1 } y = x + 4y = 4 45x + 1y = 10 5x = 106 x = } y = } y = 1 x = x = } Το ζεύγος (x, y) = (, 1) αποτελεί λύση του συστήματος. 1.4 Εφαρμογή i. Να λύσετε το σύστημα: 4(x + y + 1) = ( x + y) 6 x 4 ii. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του; Λύση + = 1 y 4 i. Το αρχικό σύστημα, μετά από τις σχετικές πράξεις, γράφεται: 0 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

21 4x 1 + 8y + 4 = 4x + y 6 x = 1 1 y } 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4x + 4x + 8y y = 4 6 4(x 4) + 4 = (1 y) } 4 8x + 6y = 10 } 4x + y = 5 4x = y 4x + y = 5 } Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις βρίσκουμε: 4x 4x + y y = 5 ( 5) 0x + 0y = 0 Η τελευταία εξίσωση είναι αόριστη. Στην περίπτωση αυτή το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Θα βρούμε τη μορφή που έχουν οι λύσεις του συστήματος. Ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Λύνουμε την εξίσωση ως προς έναν άγνωστο, έστω τον y. 4x + y = 5 y = 5 4x y = 5 + 4x Θέτουμε x = κ, όπου κ τυχαίος πραγματικός αριθμός οπότε: Κάθε ζεύγος της μορφής y = 5 + 4κ ( 5 + 4κ κ, ), κ είναι λύση του συστήματος. ii. Σχεδιάζουμε τις δύο (στην ουσία μία) ευθείες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Διαπιστώνουμε ότι οι δύο ευθείες ταυτίζονται, οπότε έχουν άπειρα κοινά σημεία, επομένως το σύστημα έχει άπειρες λύσεις Εφαρμογή i. Να λύσετε το σύστημα: 4(x y + 1) = x y + 5 4(y x) + 1 = 7 (6x y) ii. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του; ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 1

22 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Λύση i. Το αρχικό σύστημα ισοδύναμα γράφεται: 4x 4y 8x + 1 = 7 6x + y 8x + 6x + 4y y = 7 1 } x y = 1 } x y = 1 } x + y = 6 x y = 6 4y + 4 = x y + 5 } 4x x 4y + y = 5 4 } Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις βρίσκουμε: x x y + y = x + 0y = 7, άτοπο. Επομένως δεν υπάρχουν τιμές των x, y που να επαληθεύουν το σύστημα, οπότε είναι αδύνατο. ii. Σχεδιάζουμε τις ευθείες x y = 1 και x y = 6 στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Διαπιστώνουμε ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, άρα δεν έχουν κοινά σημεία, οπότε το σύστημα είναι αδύνατο x y = 6 x y = Εφαρμογή Να λύσετε το σύστημα: (x + 1) (x y)(x + y) = y(6 + y) 1 Λύση Το σύστημα ισοδύναμα γράφεται: x y( x) = 5 x(y + 1) + x + 1 (x y ) = 6y + y 1 x + x + 1 x + y = 6y + y 1 } y xy = 5 xy x } x + y xy + xy = 5 x 6y + y y = 1 1 } x 6y = x y = 1 x + y = 5 x + y = 5 } x + y = 5 } x = y 1 y 1 + y = 5 } } 5y = 6 x = y 1 x = y = 6 5 } ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

23 Το ζεύγος (x, y) = ( 1 5, 6 5 ) x = } 5 y = 6 5 x = 1 } 5 y = 6 5 είναι η λύση του συστήματος. 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κατηγορία Ασκήσεις στις οποίες εμφανίζονται προβλήματα. Μέθοδος Κάθε πρόβλημα έχει ένα «σενάριο» από το οποίο εμείς πρέπει να απομονώσουμε αυτά που μας χρειάζονται. Αναλύουμε λοιπόν προσεκτικά τα δεδομένα του προβλήματος ώστε να μπορέσουμε να τα μετατρέψουμε σε μαθηματικές σχέσεις. Για την επίλυσή τους λοιπόν πρέπει σε γενικές γραμμές να έχουμε υπόψη μας τα παρακάτω: α. Αν το πρόβλημα έχει γεωμετρικό χαρακτήρα καταφεύγουμε στην χάραξη ενός πρόχειρου σχήματος και παριστάνουμε πάνω στο σχήμα όποια πληροφορία μας δίνει η άσκηση (σταθερά και μεταβλητά μεγέθη). β. Καθορίζουμε σωστά τις μεταβλητές του προβλήματος θέτοντας τους δύο αγνώστους που θα εμφανίζονται με x, y. γ. Βρίσκουμε τη σχέση εξίσωση που συνδέει τους αγνώστους. δ. Αξίζει να προσέξουμε ότι οι περιορισμοί των εξισώσεων που κατασκευάζουμε σε ένα πρόβλημα εξαρτώνται από τα δεδομένα του προβλήματος. Αν για παράδειγμα οι μεταβλητές αναφέρονται σε μήκος ή χρόνο τότε πρέπει οπωσδήποτε να είναι μεγαλύτερες ή ίσες από το μηδέν. ε. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτει και ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς που λάβαμε στο προηγούμενο βήμα. 1.7 Εφαρμογή Το άθροισμα των ηλικιών δύο αδερφών είναι χρόνια και η διαφορά τους είναι χρόνια. Να βρείτε τις ηλικίες των δύο αδερφών. Λύση Έστω x η ηλικία του ενός αδερφού και y η ηλικία του άλλου με x > y. Αφού το άθροισμα των ηλικιών τους είναι χρόνια ισχύει ότι: x + y = (1) Επίσης, επειδή οι ηλικίες τους διαφέρουν χρόνια προκύπτει ότι: x y = () ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

24 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), () με τη μέθοδο της αντικατάστασης. x Άρα ο ένας είναι 18 χρονών και ο άλλος 15 χρονών. + y = } x = y } x = y } x = 15 } x = 18 } x y = y y = y = 0 y = 15 y = Εφαρμογή Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 16. Αν εναλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του, παίρνουμε έναν αριθμό μικρότερου του αρχικού κατά 18. Να προσδιορίσετε τον αρχικό αριθμό. Λύση Έστω xy ο αριθμός που ψάχνουμε για τον οποίο ισχύει ότι 0 < x 9 και 0 y 9. Ο αριθμός xy γράφεται στη μορφή: xy = 10x + y (1) αφού έχουμε συμβολίσει με x το ψηφίο των δεκάδων και y το ψηφίο των μονάδων. Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού xy είναι 16, οπότε ισχύει: x + y = 16 () Aν εναλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του αριθμού xy προκύπτει ο αριθμός yx ο οποίος γράφεται στη μορφή: yx = 10y + x () Επειδή ο αριθμός yx είναι μικρότερος του αριθμού xy κατά 18, ισχύει ότι: yx = xy 18 (1) 10y + x = 10x + y 18 10x x 10y + y =18 () 9x 9y = 18 x y = (4) Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (), (4) με τη μέθοδο της αντικατάστασης x Τελικά ο ζητούμενος αριθμός xy είναι ο y = 16 } y = 16 x } y = 16 x } y = 16 x } y = 7 } x y = x (16 x) = x 16 + x = x = 18 x = Εφαρμογή Ο Νίκος, η Στέλλα και η Σοφία αγόρασαν παγωτά και αναψυκτικά. Ο Νίκος πλήρωσε 19 για την αγορά παγωτών και αναψυκτικών. Η Στέλλα πλήρωσε 18 για να αγοράσει παγωτά και 4 αναψυκτικά. Η Σοφία πλήρωσε 8 και αγόρασε 6 παγωτά και 4 αναψυκτικά. i. Με τα δεδομένα που έχουμε από τις αγορές του Νίκου και της Σοφίας μπορούμε να βρούμε την τιμή του ενός παγωτού και του ενός αναψυκτικού; ii. Να βρείτε την τιμή του παγωτού και του αναψυκτικού. 4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

25 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Λύση i. Έστω ότι το ένα παγωτό στοιχίζει x και το ένα αναψυκτικό y. Αφού ο Νίκος πλήρωσε 19 για παγωτά και αναψυκτικά ισχύει ότι: x + y = 19 (1) Η Σοφία για 6 παγωτά και 4 αναψυκτικά πλήρωσε 8 οπότε ισχύει ότι: 6x + 4y = 8 () Επειδή το σύστημα των εξισώσεων (1), (): x + y = 19 x + y = 19 } 6x + 4y = 8 x + y = 19 } έχει άπειρες λύσεις, δεν μπορούμε να βρούμε την τιμή του παγωτού και του αναψυκτικού. ii. Η Στέλλα πλήρωσε 18 για να αγοράσει παγωτά και 4 αναψυκτικά οπότε ισχύει: x + 4y = 18 () Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών για να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), (). x + y = 19 ( ) 6x 4y = 8 } 4x = 0 x + 4y = 18 1 x + 4y = 18 x + 4y = 18 } x = 5 } x = 5 } x = y = 18 4y = 8 y = } Επομένως το ένα παγωτό κοστίζει 5 και το ένα αναψυκτικό. Κατηγορία 4 Ασκήσεις στις οποίες εμφανίζονται συνδυαστικά θεωρητικά θέματα. Μέθοδος Γενικά, στην κατηγορία αυτή θα πρέπει να συνδυάσουμε τις προηγούμενες μεθοδολογίες καθώς επίσης και τις γνώσεις που έχουμε αποκτήσει από προηγούμενες τάξεις. Κυρίως όμως θα πρέπει να έχουμε κατανοήσει σε βάθος τη θεωρία καθώς αυτή μας παρέχει τη δυνατότητα να επιλύσουμε οποιασδήποτε μορφής άσκηση. Ειδικότερα: Για να βρούμε το σημείο στο οποίο μια ευθεία τέμνει τον άξονα x x θέτουμε στην εξίσωσή της y = 0 και βρίσκουμε το x. Το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες (x, 0). Για να βρούμε το σημείο στο οποίο μια ευθεία τέμνει τον άξονα y y θέτουμε στην εξίσωσή της x = 0 και βρίσκουμε το y. Το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες (0, y). Αν μια ευθεία (ε) : y = αx + β διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0, y 0 ) τότε αντικαθιστούμε στην εξίσωση της ευθείας όπου x = x 0 και όπου y = y 0, ισχύει δηλαδή η ισοδυναμία: Α(x 0, y 0 ) (ε) y 0 = αx 0 + β ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 5

26 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αν δύο ευθείες (ε 1 ) : y = α 1 x + β 1 και (ε ) : y = α x + β είναι παράλληλες, ισχύει η ισοδυναμία: ε 1 // ε α 1 = α Αν έχουμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού αx + βx + γ = 0, α 0 με ρίζες x 1, x τότε ισχύουν οι τύποι Vieta: S = x 1 + x = β α και P = x 1x = γ α 1.10 Εφαρμογή Η ευθεία: (ε) : (β α + 1)x (α 5β + 4)y 6 = 0 τέμνει τον άξονα x x σε σημείο Α με τετμημένη x = και τον άξονα y y σε σημείο Β με τεταγμένη y =. i. Να δείξετε ότι α = και β = 1. ii. Για τις παραπάνω τιμές των α, β να βρείτε: α. το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, β. την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ (, ) και είναι παράλληλη στην ευθεία (ε). Λύση i. Το σημείο Α(, 0) ανήκει στην ευθεία οπότε την επαληθεύει, δηλαδή: A (ε) (β α + 1) (α 5β + 4) 0 6 = 0 (β α + 1) = 6 β α + 1 = β α = 1 (1) Ομοίως το σημείο Β(0, ) επαληθεύει την ευθεία οπότε ισχύει η ισοδυναμία: Β (ε) (β α + 1) 0 (α 5β + 4) ( ) 6 = 0 (α 5β + 4) = 6 α 5β + 4 = α 5β = 1 () Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), (): β α = 1 } α = β 1 } α = β 1 α 5β = 1 (β 1) 5β = 1 6β 5β = 1 } α = 1 1 } α = β = 1 β = 1} ii. α. Ισχύει ότι: E OAB = 1 ΟΑ ΟΒ = 1 = τ.μ β. Η εξίσωση της ευθείας (ε) για α = και β = 1 γράφεται: (ε) : ( 1 + 1)x ( )y 6 = 0 x y 6 = 0 6 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

27 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ y = x 6 y = x Άρα η (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε = Έστω (η) : y = κx + λ η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Ισχύει ότι: η // ε λ η = λ ε κ = Άρα η εξίσωση της ευθείας (η) γράφεται: (η) : y = x + λ Επειδή η ευθεία (η) διέρχεται απο το σημείο Μ ισχύει η ισοδυναμία: Μ (η) = + λ λ = 4 λ = 1 Τελικά, η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας (η) είναι η: Ο Β A y = x Εφαρμογή Αν η εξίσωση: (α β + 4)x + (α β 9)y + 1 = 0 δεν παριστάνει ευθεία να βρείτε τα α, β. Λύση Η δοθείσα εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία όταν και μόνο όταν: α β + 4 = 0 και α β 9 = 0 Τότε: α α β = 9 } β β = 4 } α = β 4 α = β 4 α = β 4 } ( 4) β = 9 } 9β 1 β = 9 } 7β = 1 α = 4 α = 5 β = } β = } Συνεπώς, η δοθείσα εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία αν: α = 5, β = 1.1 Εφαρμογή η εξίσωση: x (λ μ)x + (μ 4λ) 9 = 0 έχει δύο ρίζες x 1, x για τις οποίες ισχύει ότι το άθροισμά τους είναι 4 και το γινόμενο τους είναι 19. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 7

28 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i. Να δείξετε ότι λ = και μ = 8. Λύση ii. Για τις παραπάνω τιμές των λ, μ να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α (x 1 x, x 1 + x ) και Β ( 19 x x, x 1 + x ). i. Εφαρμόζοντας τους τύπους Vieta βρίσκουμε: (λ μ) x 1 + x = 4 = 4 λ μ = 1 (1) και (μ 4λ) 9 x 1 x = 19 = 19 μ 4λ = 19 μ 4λ = 16 () Λύνουμε με τη μέθοδο της αντικατάστασης το σύστημα των εξισώσεων (1), () λ μ = 1 } μ = λ 1 } μ = λ 1 μ 4λ = 16 λ 1 4λ = 16 λ = 4 } μ = 1 } μ = 8 λ = λ = } ii. Γνωρίζουμε από τα δεδομένα ότι: Θα προσδιορίσουμε τις παραστάσεις: x 1 x = 19 και x 1 + x = 4 x + 1 x και 1 x1 + x 1 Ισχύει ότι: (x 1 + x ) = x + x x x 4 = x + ( 19) + 1 x 16 = x x x + x = x x = 19x + 19x 1 = 19 x + x 1 4 =19 x 1 x x 1 x 19 = 4 Άρα τα σημεία Α, Β έχουν συντεταγμένες: A ( 19, 54) και B ( 4, 4) Έστω (ε) : y = αx + β η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Επειδή η (ε) διέρχεται από τα σημεία Α και Β αυτά την επαληθεύουν. Τότε: Α (ε) 54 = 19α + β (1) και Β (ε) 4 = 4α + β () Θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), () με τη μέθοδο της αντικατάστασης: 19α + β = 54 β = α } } β = α 4α + β = 4 4α α = 4 15α = 50 } β = } β = } β = 8 } α = 10 α = 10 α = 10 8 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

29 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επομένως η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας ειναι η: (ε) : y = 10 x 8 εφαρμογεσ εμπεδωσησ & εμβαθυνσησ γραμμίκες ΕΞίςΩςΕίς 1.1 Να βρείτε ποια από τις παρακάτω εξισώσεις είναι γραμμική. 1 i. x y = ii. x y = 4 iii. 5x + 4y = 1 iv. (4x ) 1 1 = _ y + x v. = y + 1 y vi. x 0 = 1 y 1.14 Δίνεται η γραμμική εξίσωση: 5x 6 = y i. Να εξετάσετε αν τα ζεύγη (4, ) και (1, 1 ) αποτελούν λύση της παραπάνω εξίσωσης. ii. Ποια είναι η γενική μορφή των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης; 1.15 i. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η εξίσωση: 5x αy = 4 να έχει ως λύση την (x, y) = (, 1). ii. Υπάρχει τιμή του α ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει ως λύση την ( 4 5, 0 ) ; ΕΠίΛΥςη ςυςτηματων 1.16 Να λύσετε τα συστήματα: i. x y = 4 ii. x + 5y = 18 iii. x y = 0 x + 4y = 14 x y = 7 x y = 1.17 Να λύσετε τα συστήματα: i. κ λ = ii. 4ω 6φ = 5 iii. κ λ = 1 6ω 9φ = 1.18 Να λύσετε τα συστήματα: i. 4x + 15y = ii. 5x + 6y = 19 iii. α 4β = 8 α β = 4 x + 5y = 1 x + 6y = 5 6x y = 10 6x 15y = ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 9

30 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.19 Να λύσετε τα συστήματα: i. x + 6y = 1 ii. 5x + 5y = Να λύσετε τα συστήματα: x 4y = iii. x + 6y = 1 x + 6y = 5x + 5y = 5 i. x 6y = 5 ii. x + y = iii. 6x 7y = 10 5x 15y = x + y = 7 x + y = Να λύσετε τα συστήματα: i. x 5y = 16 ii. 6x + y = iii. 4x 14y = 6 7x y = 18 8x y =10 6x 1y = 9 1. Να λύσετε τα συστήματα: i. 4x + 5y = 7 ii. x + 7y = 8 iii. 7x + y = 17 x + y = 5 6x + 19y = 11 x + y = 7 1. Να λύσετε τα συστήματα: i. x + 6y = ii. 4x 8y = 5 iii. x + y = 1 5x y = x + 4y = 1 x 4y = 1.4 Να λύσετε τα συστήματα: i. x = y ii. 8y = 4x + 10 iii. 7y + 0 = x y = x 9 x = y 5 x = y 1.5 Να λύσετε τα συστήματα: i. x + 4 = y ii. x + y = iii. x = y 4y = x 8 6y = 7 x x = 5y Να λύσετε τα συστήματα: i. (x 1) + 8y = 4 ii. 6y + (x y) = 9 (x + 4y ) + x = 6x + 4(y x) = 10 iii. (x 1) + (y ) = 7 iv. x = (y + 1) + 5 4(x + 1) + 6(y ) = 0 (y + 1) + x = x Να λύσετε τα συστήματα: 6(x y) 6 = 5(x y + 1) i. 7 (x 4y) = (x 6) x + (y x) = 1 ii. y 4(x y) = 9 6(x 1) + 7(y x) = 5x + 4 iii. (1 x) + y 6 = 6 (1 y) + x iv. 4(1 y) + 5(x + 1) = 0 (y + ) + 1 = 10(x 1) 0 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ