2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

Transcript

1 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου

2 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α. Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με Α= 9. Για μια οξεία γωνία του ω έχουμε ορίσει : αεναντι ɺ καθετη ɺ ηµω= υοτεινουσα ɺ συνω= ροσκειµενηκαθετη ɺ ɺ υοτεινουσα ɺ αεναντι ɺ καθετη ɺ εφω= ροσκειµενηκαθετη ɺ ɺ σφω= ροσκειµενηκαθετη ɺ ɺ αεναντι ɺ καθετη ɺ ημβ =, συνβ =, εφβ =, σββ = ημγ =, συνγ =, εφγ =, σβγ = ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ( Συμληρωματικές γωνίες) Συμληρωματικές λέγονται οι γωνίες με άθροισμα. Αν η μια είναι η ω τότε η άλλη είναι η.. Ισχύουν: ημ= συν= εφ= σφ= Β. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας θ 36 Έστω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων xoy. Θεωρούμε γωνία ω με θ 36 η οοία αράγεται όταν ο θετικός ημιάξονας των Χ στραφεί κατά την θετική φορά ως την θέση Οz, δηλαδή xoz = θ. Η Οx λέγεται αρχική λευρά της ω ενώ η Οz τελική λευρά της θ. Έστω M(x,y ) τυχαίο σημείο της Οz με Μ Ο. Ισχύει : (OM) = ρ = x + y >. y Ορίζουμε : ημθ= ρ, συνθ= x ρ, y εφθ= x x, σφθ= y με y. x ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

3 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΑΚΤΙΝΙΟ (rad) ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΚΤΙΝΙΟΥ Ένα τόξο ΑΒ ενός κύκλου ( Κ, ρ ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου ( rad ) αν το τόξο αυτό έχει μήκος όσο μια ακτίνα ρ του κύκλου. Ακτίνιο ( rad) είναι η γωνία η οοία όταν γίνει είκεντρησε έναν κύκλο βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου. ΠΟΣΑ ΑΚΤΙΝΙΑ ΕΧΕΙ ΕΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ; ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΓΩΝΙΑΣ ΑΠΟ ΜΟΙΡΕΣ ΣΕ rad ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ Εειδή 36 αντιστοιχούν σε rad, άρα 8 αντιστοιχούν σε rad. Έστω γωνία ω η οοία είναι μ ο και α rad. Ισχύει ότι: 8 Ισχύει ότι rad= 57,3 α µ = 8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

4 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΡΟΣΗΜΟ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Σελίδα 3

5 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Για κάθε τόξο x ισχύει ότι ηµx και συν x Δεν ορίζεται η εφατομένη μιας γωνίας ου καταλήγει στις Λ ή Ν. Δεν ορίζεται η συνεφατομένη μιας γωνίας ου καταλήγει στις Κ ή Μ. Στο σημείο Κ καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 36 k ή k Στο σημείο Λ καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 36 k + 9 ή k+ Στο σημείο Μ καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 36 k + 8 ή k+ Στο σημείο Ν καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 36 k + 7 ή k- Στα σημεία Κ ή Μ καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 8 k ή k Στα σημεία Λ ή Ν καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 8k + 9 ή k+ Στα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 9 k ή όου σε κάθε ερίτωση k Z. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 4 k

6 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ακτίνια μοίρες /6 3 ημ / συν 3 εφ 3 3 σφ - 3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ /4 45 / 9 8 3/ / /3 6 3 Σελίδα 5

7 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. ηµ -ω =-ηµω συν -ω =συνω εφ -ω =-εφω σφ -ω =-σφω Οι αραληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. ηµ -ω =ηµω συν -ω =-συνω εφ -ω =-εφω σφ -ω =-σφω Οι γωνίες ου διαφέρουν κατά 8 o έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη. ηµ +ω =-ηµω συν +ω =-συνω εφ +ω =εφω σφ +ω =σφω Αν δύο γωνίες είναι συμληρωματικές,τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφατομένη της μιας ισούται με τη συνεφατομένη της άλλης. ηµ -ω =συνω συν -ω =ηµω εφ /-ω =σφω σφ -ω =εφω ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 6

8 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Τόξα με διαφορά / (θ, /+θ) Τόξα με άθροισμα 3/ (θ, 3/- θ) ηµ + θ = συνθ συν + θ = ηµθ εφ + θ = σφθ σφ + θ = εφθ ( ) ( ) ηµ 3 θ = συνθ συν 3 θ = ηµθ εφ 3 θ = σφθ σφ 3 θ = εφθ Τόξα με διαφορά 3/ (θ, 3/+θ) Τόξα με διαφορά k (θ, k- θ) ηµ 3 + θ = συνθ συν 3 + θ = ηµθ εφ 3 + θ = σφθ σφ 3 + θ = εφθ ( k+ ) = ( k ) ( k+ ) = ( k+ ) = ηµ θ ηµθ συν + θ = συνθ εϕ θ εϕθ σϕ θ σϕθ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για ασκήσεις σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν: Α+Β+Γ= Α Β Γ + + = ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ηµ ω + συν ω = ηµ ω = συν ω ηµω = ± συν ω συν ω = ηµ ω συνω = ± ηµ ω ηµω εϕω= συνω 3. εϕω σϕω = εϕω= σϕω συνω σϕω= ηµω 4. σϕω= εϕω συν ω = εϕ ω ηµ ω = + εϕ ω +εϕ ω ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 7

9 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση f(x)=συνx υάρχει μια μόνο τιμή του συνx, με - συνx. Για κάθε γωνία x rad Ορίζουμε έτσι τη συνάρτηση : f :R [-,] y= f(x) = συνx Το εδίο ορισμού της είναι A= R, Το σύνολο τιμών της είναι το [ ] Είναι εριοδική συνάρτηση με ερίοδο Τ=, διότι: συν( x ) = συνx = συν(x + ) αφού : συν(k+x)=συνx, για κάθε k Z. Θα τη μελετήσουμε εομένως σ ένα διάστημα με μήκος ίσο με την ερίοδό της, δηλαδή το [, ]. Είναι άρτια διότι : συν( x) = συνx, για κάθε x R. Εομένως η γραφική της αράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον y y άξονα. Πίνακας τιμών x / 3/ ηµx Η μονοτονία και τα ακρότατα συνοψίζονται στον αρακάτω ίνακα : x / 3/ f(x) Η γραφική της αράσταση είναι : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 8

10 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Η συνάρτηση g( x) = ηµx Για κάθε γωνία x (rad) υάρχει μια μόνο τιμή του ηµ x, με ηµx. Ορίζουμε έτσι τη συνάρτηση : g : R [,] y=g(x)=ημx Το εδίο ορισμού της είναι A= R, Το σύνολο τιμών της είναι το [ ] Είναι εριοδική συνάρτηση με ερίοδο Τ=, διότι : ηµ(x ) = ηµx = ηµ(x + ) Αφού ισχύει ηµ(k + x) = ηµx, με k Z. Θα τη μελετήσουμε εομένως σ ένα διάστημα με μήκος ίσο με την ερίοδό της, δηλαδή το [, ]. Είναι εριττή διότι : ηµ( x) = ηµx για κάθε x R. Εομένως η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(,) των αξόνων. Πίνακας τιμών x / 3/ συνx Η μονοτονία και τα ακρότατα συνοψίζονται στον αρακάτω ίνακα : x f(x) Η γραφική της αράσταση είναι : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 9

11 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Η συνάρτηση f(x)=εφx Για κάθε γωνία x( rad), με x k+,k Z, υάρχει μια μόνο τιμή της εφx. Ορίζουμε έτσι στο A = x R / x k +,k Ζ τη συνάρτηση : ηµx f : A R με y= f(x) = εφx= συνx Το εδίο ορισμού της είναι A = x R / x k +,k Ζ Το σύνολο τιμών της είναι το R. Είναι εριοδική συνάρτηση με ερίοδο Τ=, διότι εφ(x ) = εφx = εφ(x + ) αφού ισχύει εφ(k + x) = εφx, όου k Z. Αρκεί να μελετηθεί σ ένα διάστημα με μήκος ίσο με την ερίοδό της, όως το,. Είναι εριττή διότι : εφ( x) = εφx για κάθε x A. Εομένως η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(,) των αξόνων. Η συνάρτηση εφx είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα αό τα ειμέρους διαστήματα στα οοία χωρίζεται το εδίο ορισμού της αλλά όχι στο εδίο ορισμού της συνολικά, ενώ δεν έχει ακρότατα Η γραφική της αράσταση είναι : Οι ευθείες x=- και x= είναι κατακόρυφες ασύμτωτες της γραφικής της αράστασης όως και κάθε κατακόρυφη ευθεία της μορφής x = k +, k Z ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

12 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ). Να βρεθούν οι τύοι των συναρτήσεων:. Να βρεθούν οι τύοι των αρακάτω συναρτήσεων: 3. Να βρεθούν οι τύοι των αρακάτω συναρτήσεων: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

13 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 4. Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης: σε διάστημα μιας εριόδου. f(x)=+3ηµ x 6 Τ = minf = maxf = x x 6 ηµ x 6 3ηµ x 6 y=+3ηµ x 6 Τ/4 Τ/ 3Τ/4 Τ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ x f(x) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

14 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 5. Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης: σε διάστημα μιας εριόδου. f(x)=3-ηµ x 4 Τ = minf = maxf = x x 4 ηµ x 4 -ηµ x 4 y=3-ηµ x 4 Τ/4 Τ/ 3Τ/4 Τ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ x f(x) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 3

15 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 6. Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης: σε διάστημα μιας εριόδου. x f(x)=+συν 8 Τ = minf = maxf = x x 8 x συν 8 x συν 8 x y=+συν 8 Τ/4 Τ/ 3Τ/4 Τ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ x f(x) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 4

16 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 7. Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης: σε διάστημα μιας εριόδου. x f(x)=-3συν 6 Τ = minf = maxf = x x 6 x συν 6 x -3συν 6 x y=-3συν 6 Τ/4 Τ/ 3Τ/4 Τ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ x f(x) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 5

17 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 8. Να βρεθεί ο τύος της συνάρτησης της οοίας η γραφική αράσταση δίνεται αρακάτω. ΛΥΣΗ 9. Να βρεθεί ο τύος της συνάρτησης της οοίας η γραφική αράσταση δίνεται αρακάτω. ΛΥΣΗ. Να βρεθούν οι δυνατοί τύοι της συνάρτησης f με τύο f(x)=k + ρ ηµ(ω x) Αν είναι γνωστό ότι έχει ερίοδο Τ = 6, minf = -5, maxf = 3. ΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 6

18 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ). Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής αράστασης της f(x) = ηµx με την οριζόντια ευθεία y = /. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής αράστασης της f(x) = συνx με την οριζόντια ευθεία y = ½ Οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις και οι μορφές των λύσεων τους είναι : ημx=ημθ x = k + θ ή x = k + θ (k Ζ) συνx=συνθ x = k + θ ή x = k θ (k Ζ) εφx=εφθ x = k + θ (k Ζ) σφx=σφθ x k θ = + (k Ζ) Δεν ξεχνώ τους εριορισμούς για την εφατομένη και τη συνεφατομένη. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 7

19 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 3. Να λυθούν οι εξισώσεις:. ηµx =. ηµx = 3 3. συνx= 3 4. συν4x = 5. εφx = 6. εφ3x = 3 7. εφ x + = 3 8. συν 3x = 4 9. ηµ x + = ηµx 4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 8

20 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Τριγωνομετρικές εξισώσεις με ροφανή λύση.. ηµx = x = k +, k Z ηµx = x = k, k Z 3. ηµx = x = k, k Z 4. συνx = x = k, k Z 5. συνx = x = k +, k Z 6. συνx = x = k +, k Z 7. εφx = x = k, k Z 8. σφx = x = k +, k Z 4. Να λυθούν οι εξισώσεις:. ηµx=. ηµ x = 6 3. συν x = 4 4. συν3x = 5. εφx= ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 9

21 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Λυμένα αραδείγματα: Να λυθεί η εξίσωση: ( ηµx )( + εφx)( + συνx ) =. ΛΥΣΗ : Αρχικά θα ρέει x k +, k Z ώστε να ορίζεται η εφx ηµx = ( ηµx )( + εφx)( + συνx ) = + εφx = + συνx = ηµx = x = k +, k Z ου αορρίτεται λόγω του εριορισμού. εφx = εφx = εφ x = k, k Z 4 4 συνx = συνx = συν συνx = συν x = k ±, k Z ΣΧΟΛΙΟ : Όταν το ημίτονο, η εφατομένη ή η συνεφατομένη είναι αρνητικός αριθμός τότε συνήθως χρησιμοοιούμε την αντίθετη γωνία αυτής ου αντιστοιχεί στο θετικό αριθμό. Όταν το συνημίτονο είναι αρνητικός αριθμός τότε συνήθως χρησιμοοιούμε την αραληρωματική γωνία αυτής. ΣΧΟΛΙΟ : Οι λύσεις x = k +, k Z ( τόξα ου καταλήγουν στο / του τριγωνομετρικού κύκλου ) εμεριέχονται στα τόξα του εριορισμού x k +, k Z ( τόξα ου καταλήγουν στο / ή στο / του τριγωνομετρικού κύκλου ) ΛΥΣΗ: Να λυθεί η εξίσωση: συν( x) + ηµ(x + ) = 3 6 συν( x) + ηµ(x + ) = συν( x) = ηµ(x + ) συν( x) = ηµ (x ) συν( x) ηµ( x ) 3 + = συν( x) συν = ( x ) συν( x) συν(x ) 3 = ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

22 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ x = k+ x+ 3x = k+ 3x = k x = k (x + ) x = k x = k x = k 3 9 άρα, k Z 4 x = k+ 3 3 ΛΥΣΗ: Να λυθεί η εξίσωση: συν(x + ) + 3ηµ(x + ) =. 5 5 συν(x + ) + 3ηµ(x + ) = συν(x + ) = 3ηµ(x + ) συν(x + 5 ) 3 σφ(x ) 3 σφ(x ) σφ( = + = + = ) ηµ(x + ) 5 κ x + = κ x = κ x =, κ Z ΣΧΟΛΙΟ: Εξισώσεις της μορφή α ηµ(ωx) + β συν(ωx) = μετασχηματίζονται στη μορφή εφ(ωx) = γ ηɺ σφ(ωx) = δ, διαιρώντας τα μέλη της με ηµ(ωx) ή συν(ωx) αντίστοιχα. Σε εξισώσεις με ολλούς όρους μεταφέρουμε τα άντα στο ο μέλος της εξίσωσης και ροσαθούμε να κάνουμε αραγοντοοιήσεις ενώ στο ο μέλος έχουμε μηδέν. Κατόιν μηδενίζουμε κάθε αράγοντα του ου μέλους και λύνουμε αλούστερες εξισώσεις. 4 Να λυθεί η εξίσωση : ηµxσυνx + ηµx = συνx +. ΛΥΣΗ: ηµxσυν x+ ηµx = συν x+ ηµxσυν x+ ηµx συν x = ηµx(συν x+ ) (συν x+ ) = ηµx συνx + = ηµx = ηɺ συνx + = ηµx = ηɺ συνx = α) ηµx = ηµx = ηµ β) συν x = συν x = συν 3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

23 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ x = k+ x = k +, k Z x = k+ συν x = συν ( ) 3 x = k+ 3 συν x = συν, k Z 3 x = k 3 5 Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ: συν 5x συν x = (). Η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται: ( συν5x συνx)( συν5x + συνx) = συν5x συνx = συν5x = συνx () συν5x + συνx = συν5x = συνx = συν( x) (3) 5x = κ + x x = κ κ Z Για την εξίσωση () έχουμε τις λύσεις: κ 5x = κ x x = κ Z 5 κ + 5x = κ + x x = κ Z 7 Για την εξίσωση (3) έχουμε τις λύσεις: κ 5x = κ + x x = κ Z 3 Προφανώς η εξίσωση () έχει ως λύσεις το σύνολο των λύσεων των εξισώσεων () και (3). 6 Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ: 4συν x 3 = (). 3 3 Η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται: συν x = συνx = ± 4 x κ x κ 3 = + = + 6 συνx = συνx = συν κ Z 6 x = κ x = κ x κ x κ 3 5 = + = + 6 συνx = συνx = συν( ) = συν κ Z x = κ x = κ 6 Σε τριγωνομετρικές εξισώσεις της μορφής f(συνx) (ή αντίστοιχα f(ηµx) ) θέτουμε y=συνx (ή αντίστοιχα y=ημx) και καταλήγουμε σε εξίσωση αλούστερης μορφής με άγνωστο το y, όου y. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

24 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 7 Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ: ηµ x+ ηµx =. ηµ x+ ηµx = ηµ x+ ηµx = Θέτουμε y=ημx, όου y. Οότε έχουμε την εξίσωση : y + y = Άρα Δ= 4 ( ) = 9 y = ± 3 και y, = = 4 y = α) y = ηµx = ηµ x = ηµ ηµ x = ηµ ( ) x = k + ( ) x = k, k Z x = k+ ( ) x = k + 6 β) y = ηµx = ηµx = ηµ, k Z 6 5 x = k + = k Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ: Θέτουμε όου 4 4ηµ x 5ηµ x + = (). ηµ x = y, y οότε η εξίσωση () γίνεται 4y 5y + = () Οι λύσεις της () είναι y= και y = ου είναι δεκτές και οι δύο. 4 ηµx = x = κ + Για y= έχουμε ηµ x = ηµx = ± κ Z ηµx = x = κ Για y = έχουμε ηµ x = ηµx = ± 4 4 x = κ + 6 κ Z ηµx = ηµx = ηµ 5 x = κ ηµx = ηµx = ηµ x κ 6 = 6 κ Z 7 x = κ + 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 3

25 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 9 Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ: Εειδή ισχύει συνx συν x + 3 συνx = (). = συν x η εξίσωση () γράφεται: συνx + 3 συνx =, αορ Θέτουμε συνx = y, y και έχουμε: y + 3y =, δεκτή Άρα συνx = συνx = ή συνx = x = κ + x = κ Άρα ή, κ Z ή, κ Z x = κ x = κ 3 3 ΣΧΟΛΙΟ : Είλυση εξισώσεων της μορφής: αηµ x + βηµxσυνx + γσυν x = Παρατηρούμε αρχικά ότι δεν εαληθεύεται όταν συνx=. Διαιρώντας όλους τους όρους της με συν x έχουμε: αεφ x + βεφx + γ = Η τελευταία εξίσωση είναι ου βαθμού ως ρος την εφx και λύνεται κατά τα γνωστά.. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) ( )( + ) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ηµx 3 συνx β) εφx σφ x = γ) συνx ημx=συνx δ) σφ xσυν x+ = σφ x+ συν x ε) 4ηµx συνx + = ηµxσυνx στ). Να λυθούν οι εξισώσεις : α) ηµ x ηµ 3x = β) εφx + συνx = συνx συν x+ ηµ x = γ) ηµx = συν(x + ) δ) 3ηµ x + 7συν x = 5 4 ε) εφ x 3 εφx 3 = στ) 3. Να λυθεί η εξίσωση : 4 4συν x 7συν x+ 3= ηµ x + 5συνx 4 = ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 4

26 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 4. Να λυθεί η εξίσωση : συνx = x + 5. Να λυθεί η εξίσωση : 3 = 3 εφx εφ x 6. Να λυθεί η εξίσωση : ηµ x 3ηµx+ = 7. Να λυθεί η εξίσωση : εφ3xσφ x= στο [, ]. 8. Να λυθεί η εξίσωση : ηµx + 3 συνx = 9. Να λυθεί η εξίσωση : σφ3x= σφx. Να λυθεί η εξίσωση : συν ( ηµx ) =. Να λυθεί η εξίσωση : εφx σφ5x =. Να λυθεί η εξίσωση : εφ3x+σφx= 3. Να λυθεί η εξίσωση 5ηµ x + 3ηµxσυνx + 6συν x = 5 4. Να λυθεί η εξίσωση: ηµ (3 x ) + συν (3 x ) = Να λυθεί η εξίσωση: ηµ x 3 ηµx + = σφx 6. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = εφx α) να βρεθεί το εδίο ορισμού της. β) να λυθεί η εξίσωση f(x) = 3 γ) να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής της αράστασης με τον άξονα x x συνx ηµx 7. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ηµx συνx α) να βρεθεί το εδίο ορισμού της. β) να λυθεί η εξίσωση f(x) = 8. Να βρείτε τους ραγματικούς αριθμούς k, ρ< και ω> για τους f (x) = k + ρ ηµ ωx έχει ερίοδο Τ=6, μέγιστη οοίους η συνάρτηση τιμή fmax= 5 και ελάχιστη τιμή fmin = 3. Έειτα να βρεθούν οι τιμές του x για τις οοίες η f(x) αίρνει την ελάχιστη τιμή της και για οιες αίρνει τη μέγιστη τιμή της. Τέλος να λυθεί η εξίσωση f(x) =. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 5