2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ
|
|
- ἐλπίς Καραμήτσος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου
2 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α. Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με Α= 9. Για μια οξεία γωνία του ω έχουμε ορίσει : αεναντι ɺ καθετη ɺ ηµω= υοτεινουσα ɺ συνω= ροσκειµενηκαθετη ɺ ɺ υοτεινουσα ɺ αεναντι ɺ καθετη ɺ εφω= ροσκειµενηκαθετη ɺ ɺ σφω= ροσκειµενηκαθετη ɺ ɺ αεναντι ɺ καθετη ɺ ημβ =, συνβ =, εφβ =, σββ = ημγ =, συνγ =, εφγ =, σβγ = ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ( Συμληρωματικές γωνίες) Συμληρωματικές λέγονται οι γωνίες με άθροισμα. Αν η μια είναι η ω τότε η άλλη είναι η.. Ισχύουν: ημ= συν= εφ= σφ= Β. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας θ 36 Έστω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων xoy. Θεωρούμε γωνία ω με θ 36 η οοία αράγεται όταν ο θετικός ημιάξονας των Χ στραφεί κατά την θετική φορά ως την θέση Οz, δηλαδή xoz = θ. Η Οx λέγεται αρχική λευρά της ω ενώ η Οz τελική λευρά της θ. Έστω M(x,y ) τυχαίο σημείο της Οz με Μ Ο. Ισχύει : (OM) = ρ = x + y >. y Ορίζουμε : ημθ= ρ, συνθ= x ρ, y εφθ= x x, σφθ= y με y. x ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα
3 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΑΚΤΙΝΙΟ (rad) ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΚΤΙΝΙΟΥ Ένα τόξο ΑΒ ενός κύκλου ( Κ, ρ ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου ( rad ) αν το τόξο αυτό έχει μήκος όσο μια ακτίνα ρ του κύκλου. Ακτίνιο ( rad) είναι η γωνία η οοία όταν γίνει είκεντρησε έναν κύκλο βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου. ΠΟΣΑ ΑΚΤΙΝΙΑ ΕΧΕΙ ΕΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ; ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΓΩΝΙΑΣ ΑΠΟ ΜΟΙΡΕΣ ΣΕ rad ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ Εειδή 36 αντιστοιχούν σε rad, άρα 8 αντιστοιχούν σε rad. Έστω γωνία ω η οοία είναι μ ο και α rad. Ισχύει ότι: 8 Ισχύει ότι rad= 57,3 α µ = 8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα
4 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΡΟΣΗΜΟ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Σελίδα 3
5 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Για κάθε τόξο x ισχύει ότι ηµx και συν x Δεν ορίζεται η εφατομένη μιας γωνίας ου καταλήγει στις Λ ή Ν. Δεν ορίζεται η συνεφατομένη μιας γωνίας ου καταλήγει στις Κ ή Μ. Στο σημείο Κ καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 36 k ή k Στο σημείο Λ καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 36 k + 9 ή k+ Στο σημείο Μ καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 36 k + 8 ή k+ Στο σημείο Ν καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 36 k + 7 ή k- Στα σημεία Κ ή Μ καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 8 k ή k Στα σημεία Λ ή Ν καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 8k + 9 ή k+ Στα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν καταλήγουν όλες οι γωνίες της μορφής : 9 k ή όου σε κάθε ερίτωση k Z. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 4 k
6 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ακτίνια μοίρες /6 3 ημ / συν 3 εφ 3 3 σφ - 3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ /4 45 / 9 8 3/ / /3 6 3 Σελίδα 5
7 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. ηµ -ω =-ηµω συν -ω =συνω εφ -ω =-εφω σφ -ω =-σφω Οι αραληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. ηµ -ω =ηµω συν -ω =-συνω εφ -ω =-εφω σφ -ω =-σφω Οι γωνίες ου διαφέρουν κατά 8 o έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη. ηµ +ω =-ηµω συν +ω =-συνω εφ +ω =εφω σφ +ω =σφω Αν δύο γωνίες είναι συμληρωματικές,τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφατομένη της μιας ισούται με τη συνεφατομένη της άλλης. ηµ -ω =συνω συν -ω =ηµω εφ /-ω =σφω σφ -ω =εφω ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 6
8 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Τόξα με διαφορά / (θ, /+θ) Τόξα με άθροισμα 3/ (θ, 3/- θ) ηµ + θ = συνθ συν + θ = ηµθ εφ + θ = σφθ σφ + θ = εφθ ( ) ( ) ηµ 3 θ = συνθ συν 3 θ = ηµθ εφ 3 θ = σφθ σφ 3 θ = εφθ Τόξα με διαφορά 3/ (θ, 3/+θ) Τόξα με διαφορά k (θ, k- θ) ηµ 3 + θ = συνθ συν 3 + θ = ηµθ εφ 3 + θ = σφθ σφ 3 + θ = εφθ ( k+ ) = ( k ) ( k+ ) = ( k+ ) = ηµ θ ηµθ συν + θ = συνθ εϕ θ εϕθ σϕ θ σϕθ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για ασκήσεις σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν: Α+Β+Γ= Α Β Γ + + = ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ηµ ω + συν ω = ηµ ω = συν ω ηµω = ± συν ω συν ω = ηµ ω συνω = ± ηµ ω ηµω εϕω= συνω 3. εϕω σϕω = εϕω= σϕω συνω σϕω= ηµω 4. σϕω= εϕω συν ω = εϕ ω ηµ ω = + εϕ ω +εϕ ω ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 7
9 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση f(x)=συνx υάρχει μια μόνο τιμή του συνx, με - συνx. Για κάθε γωνία x rad Ορίζουμε έτσι τη συνάρτηση : f :R [-,] y= f(x) = συνx Το εδίο ορισμού της είναι A= R, Το σύνολο τιμών της είναι το [ ] Είναι εριοδική συνάρτηση με ερίοδο Τ=, διότι: συν( x ) = συνx = συν(x + ) αφού : συν(k+x)=συνx, για κάθε k Z. Θα τη μελετήσουμε εομένως σ ένα διάστημα με μήκος ίσο με την ερίοδό της, δηλαδή το [, ]. Είναι άρτια διότι : συν( x) = συνx, για κάθε x R. Εομένως η γραφική της αράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον y y άξονα. Πίνακας τιμών x / 3/ ηµx Η μονοτονία και τα ακρότατα συνοψίζονται στον αρακάτω ίνακα : x / 3/ f(x) Η γραφική της αράσταση είναι : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 8
10 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Η συνάρτηση g( x) = ηµx Για κάθε γωνία x (rad) υάρχει μια μόνο τιμή του ηµ x, με ηµx. Ορίζουμε έτσι τη συνάρτηση : g : R [,] y=g(x)=ημx Το εδίο ορισμού της είναι A= R, Το σύνολο τιμών της είναι το [ ] Είναι εριοδική συνάρτηση με ερίοδο Τ=, διότι : ηµ(x ) = ηµx = ηµ(x + ) Αφού ισχύει ηµ(k + x) = ηµx, με k Z. Θα τη μελετήσουμε εομένως σ ένα διάστημα με μήκος ίσο με την ερίοδό της, δηλαδή το [, ]. Είναι εριττή διότι : ηµ( x) = ηµx για κάθε x R. Εομένως η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(,) των αξόνων. Πίνακας τιμών x / 3/ συνx Η μονοτονία και τα ακρότατα συνοψίζονται στον αρακάτω ίνακα : x f(x) Η γραφική της αράσταση είναι : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 9
11 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Η συνάρτηση f(x)=εφx Για κάθε γωνία x( rad), με x k+,k Z, υάρχει μια μόνο τιμή της εφx. Ορίζουμε έτσι στο A = x R / x k +,k Ζ τη συνάρτηση : ηµx f : A R με y= f(x) = εφx= συνx Το εδίο ορισμού της είναι A = x R / x k +,k Ζ Το σύνολο τιμών της είναι το R. Είναι εριοδική συνάρτηση με ερίοδο Τ=, διότι εφ(x ) = εφx = εφ(x + ) αφού ισχύει εφ(k + x) = εφx, όου k Z. Αρκεί να μελετηθεί σ ένα διάστημα με μήκος ίσο με την ερίοδό της, όως το,. Είναι εριττή διότι : εφ( x) = εφx για κάθε x A. Εομένως η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(,) των αξόνων. Η συνάρτηση εφx είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα αό τα ειμέρους διαστήματα στα οοία χωρίζεται το εδίο ορισμού της αλλά όχι στο εδίο ορισμού της συνολικά, ενώ δεν έχει ακρότατα Η γραφική της αράσταση είναι : Οι ευθείες x=- και x= είναι κατακόρυφες ασύμτωτες της γραφικής της αράστασης όως και κάθε κατακόρυφη ευθεία της μορφής x = k +, k Z ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα
12 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ). Να βρεθούν οι τύοι των συναρτήσεων:. Να βρεθούν οι τύοι των αρακάτω συναρτήσεων: 3. Να βρεθούν οι τύοι των αρακάτω συναρτήσεων: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα
13 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 4. Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης: σε διάστημα μιας εριόδου. f(x)=+3ηµ x 6 Τ = minf = maxf = x x 6 ηµ x 6 3ηµ x 6 y=+3ηµ x 6 Τ/4 Τ/ 3Τ/4 Τ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ x f(x) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα
14 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 5. Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης: σε διάστημα μιας εριόδου. f(x)=3-ηµ x 4 Τ = minf = maxf = x x 4 ηµ x 4 -ηµ x 4 y=3-ηµ x 4 Τ/4 Τ/ 3Τ/4 Τ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ x f(x) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 3
15 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 6. Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης: σε διάστημα μιας εριόδου. x f(x)=+συν 8 Τ = minf = maxf = x x 8 x συν 8 x συν 8 x y=+συν 8 Τ/4 Τ/ 3Τ/4 Τ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ x f(x) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 4
16 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 7. Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης: σε διάστημα μιας εριόδου. x f(x)=-3συν 6 Τ = minf = maxf = x x 6 x συν 6 x -3συν 6 x y=-3συν 6 Τ/4 Τ/ 3Τ/4 Τ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ x f(x) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 5
17 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 8. Να βρεθεί ο τύος της συνάρτησης της οοίας η γραφική αράσταση δίνεται αρακάτω. ΛΥΣΗ 9. Να βρεθεί ο τύος της συνάρτησης της οοίας η γραφική αράσταση δίνεται αρακάτω. ΛΥΣΗ. Να βρεθούν οι δυνατοί τύοι της συνάρτησης f με τύο f(x)=k + ρ ηµ(ω x) Αν είναι γνωστό ότι έχει ερίοδο Τ = 6, minf = -5, maxf = 3. ΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 6
18 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ). Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής αράστασης της f(x) = ηµx με την οριζόντια ευθεία y = /. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής αράστασης της f(x) = συνx με την οριζόντια ευθεία y = ½ Οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις και οι μορφές των λύσεων τους είναι : ημx=ημθ x = k + θ ή x = k + θ (k Ζ) συνx=συνθ x = k + θ ή x = k θ (k Ζ) εφx=εφθ x = k + θ (k Ζ) σφx=σφθ x k θ = + (k Ζ) Δεν ξεχνώ τους εριορισμούς για την εφατομένη και τη συνεφατομένη. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 7
19 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 3. Να λυθούν οι εξισώσεις:. ηµx =. ηµx = 3 3. συνx= 3 4. συν4x = 5. εφx = 6. εφ3x = 3 7. εφ x + = 3 8. συν 3x = 4 9. ηµ x + = ηµx 4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 8
20 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Τριγωνομετρικές εξισώσεις με ροφανή λύση.. ηµx = x = k +, k Z ηµx = x = k, k Z 3. ηµx = x = k, k Z 4. συνx = x = k, k Z 5. συνx = x = k +, k Z 6. συνx = x = k +, k Z 7. εφx = x = k, k Z 8. σφx = x = k +, k Z 4. Να λυθούν οι εξισώσεις:. ηµx=. ηµ x = 6 3. συν x = 4 4. συν3x = 5. εφx= ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 9
21 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Λυμένα αραδείγματα: Να λυθεί η εξίσωση: ( ηµx )( + εφx)( + συνx ) =. ΛΥΣΗ : Αρχικά θα ρέει x k +, k Z ώστε να ορίζεται η εφx ηµx = ( ηµx )( + εφx)( + συνx ) = + εφx = + συνx = ηµx = x = k +, k Z ου αορρίτεται λόγω του εριορισμού. εφx = εφx = εφ x = k, k Z 4 4 συνx = συνx = συν συνx = συν x = k ±, k Z ΣΧΟΛΙΟ : Όταν το ημίτονο, η εφατομένη ή η συνεφατομένη είναι αρνητικός αριθμός τότε συνήθως χρησιμοοιούμε την αντίθετη γωνία αυτής ου αντιστοιχεί στο θετικό αριθμό. Όταν το συνημίτονο είναι αρνητικός αριθμός τότε συνήθως χρησιμοοιούμε την αραληρωματική γωνία αυτής. ΣΧΟΛΙΟ : Οι λύσεις x = k +, k Z ( τόξα ου καταλήγουν στο / του τριγωνομετρικού κύκλου ) εμεριέχονται στα τόξα του εριορισμού x k +, k Z ( τόξα ου καταλήγουν στο / ή στο / του τριγωνομετρικού κύκλου ) ΛΥΣΗ: Να λυθεί η εξίσωση: συν( x) + ηµ(x + ) = 3 6 συν( x) + ηµ(x + ) = συν( x) = ηµ(x + ) συν( x) = ηµ (x ) συν( x) ηµ( x ) 3 + = συν( x) συν = ( x ) συν( x) συν(x ) 3 = ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα
22 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ x = k+ x+ 3x = k+ 3x = k x = k (x + ) x = k x = k x = k 3 9 άρα, k Z 4 x = k+ 3 3 ΛΥΣΗ: Να λυθεί η εξίσωση: συν(x + ) + 3ηµ(x + ) =. 5 5 συν(x + ) + 3ηµ(x + ) = συν(x + ) = 3ηµ(x + ) συν(x + 5 ) 3 σφ(x ) 3 σφ(x ) σφ( = + = + = ) ηµ(x + ) 5 κ x + = κ x = κ x =, κ Z ΣΧΟΛΙΟ: Εξισώσεις της μορφή α ηµ(ωx) + β συν(ωx) = μετασχηματίζονται στη μορφή εφ(ωx) = γ ηɺ σφ(ωx) = δ, διαιρώντας τα μέλη της με ηµ(ωx) ή συν(ωx) αντίστοιχα. Σε εξισώσεις με ολλούς όρους μεταφέρουμε τα άντα στο ο μέλος της εξίσωσης και ροσαθούμε να κάνουμε αραγοντοοιήσεις ενώ στο ο μέλος έχουμε μηδέν. Κατόιν μηδενίζουμε κάθε αράγοντα του ου μέλους και λύνουμε αλούστερες εξισώσεις. 4 Να λυθεί η εξίσωση : ηµxσυνx + ηµx = συνx +. ΛΥΣΗ: ηµxσυν x+ ηµx = συν x+ ηµxσυν x+ ηµx συν x = ηµx(συν x+ ) (συν x+ ) = ηµx συνx + = ηµx = ηɺ συνx + = ηµx = ηɺ συνx = α) ηµx = ηµx = ηµ β) συν x = συν x = συν 3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα
23 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ x = k+ x = k +, k Z x = k+ συν x = συν ( ) 3 x = k+ 3 συν x = συν, k Z 3 x = k 3 5 Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ: συν 5x συν x = (). Η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται: ( συν5x συνx)( συν5x + συνx) = συν5x συνx = συν5x = συνx () συν5x + συνx = συν5x = συνx = συν( x) (3) 5x = κ + x x = κ κ Z Για την εξίσωση () έχουμε τις λύσεις: κ 5x = κ x x = κ Z 5 κ + 5x = κ + x x = κ Z 7 Για την εξίσωση (3) έχουμε τις λύσεις: κ 5x = κ + x x = κ Z 3 Προφανώς η εξίσωση () έχει ως λύσεις το σύνολο των λύσεων των εξισώσεων () και (3). 6 Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ: 4συν x 3 = (). 3 3 Η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται: συν x = συνx = ± 4 x κ x κ 3 = + = + 6 συνx = συνx = συν κ Z 6 x = κ x = κ x κ x κ 3 5 = + = + 6 συνx = συνx = συν( ) = συν κ Z x = κ x = κ 6 Σε τριγωνομετρικές εξισώσεις της μορφής f(συνx) (ή αντίστοιχα f(ηµx) ) θέτουμε y=συνx (ή αντίστοιχα y=ημx) και καταλήγουμε σε εξίσωση αλούστερης μορφής με άγνωστο το y, όου y. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα
24 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 7 Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ: ηµ x+ ηµx =. ηµ x+ ηµx = ηµ x+ ηµx = Θέτουμε y=ημx, όου y. Οότε έχουμε την εξίσωση : y + y = Άρα Δ= 4 ( ) = 9 y = ± 3 και y, = = 4 y = α) y = ηµx = ηµ x = ηµ ηµ x = ηµ ( ) x = k + ( ) x = k, k Z x = k+ ( ) x = k + 6 β) y = ηµx = ηµx = ηµ, k Z 6 5 x = k + = k Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ: Θέτουμε όου 4 4ηµ x 5ηµ x + = (). ηµ x = y, y οότε η εξίσωση () γίνεται 4y 5y + = () Οι λύσεις της () είναι y= και y = ου είναι δεκτές και οι δύο. 4 ηµx = x = κ + Για y= έχουμε ηµ x = ηµx = ± κ Z ηµx = x = κ Για y = έχουμε ηµ x = ηµx = ± 4 4 x = κ + 6 κ Z ηµx = ηµx = ηµ 5 x = κ ηµx = ηµx = ηµ x κ 6 = 6 κ Z 7 x = κ + 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 3
25 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 9 Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ: Εειδή ισχύει συνx συν x + 3 συνx = (). = συν x η εξίσωση () γράφεται: συνx + 3 συνx =, αορ Θέτουμε συνx = y, y και έχουμε: y + 3y =, δεκτή Άρα συνx = συνx = ή συνx = x = κ + x = κ Άρα ή, κ Z ή, κ Z x = κ x = κ 3 3 ΣΧΟΛΙΟ : Είλυση εξισώσεων της μορφής: αηµ x + βηµxσυνx + γσυν x = Παρατηρούμε αρχικά ότι δεν εαληθεύεται όταν συνx=. Διαιρώντας όλους τους όρους της με συν x έχουμε: αεφ x + βεφx + γ = Η τελευταία εξίσωση είναι ου βαθμού ως ρος την εφx και λύνεται κατά τα γνωστά.. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) ( )( + ) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ηµx 3 συνx β) εφx σφ x = γ) συνx ημx=συνx δ) σφ xσυν x+ = σφ x+ συν x ε) 4ηµx συνx + = ηµxσυνx στ). Να λυθούν οι εξισώσεις : α) ηµ x ηµ 3x = β) εφx + συνx = συνx συν x+ ηµ x = γ) ηµx = συν(x + ) δ) 3ηµ x + 7συν x = 5 4 ε) εφ x 3 εφx 3 = στ) 3. Να λυθεί η εξίσωση : 4 4συν x 7συν x+ 3= ηµ x + 5συνx 4 = ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 4
26 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 4. Να λυθεί η εξίσωση : συνx = x + 5. Να λυθεί η εξίσωση : 3 = 3 εφx εφ x 6. Να λυθεί η εξίσωση : ηµ x 3ηµx+ = 7. Να λυθεί η εξίσωση : εφ3xσφ x= στο [, ]. 8. Να λυθεί η εξίσωση : ηµx + 3 συνx = 9. Να λυθεί η εξίσωση : σφ3x= σφx. Να λυθεί η εξίσωση : συν ( ηµx ) =. Να λυθεί η εξίσωση : εφx σφ5x =. Να λυθεί η εξίσωση : εφ3x+σφx= 3. Να λυθεί η εξίσωση 5ηµ x + 3ηµxσυνx + 6συν x = 5 4. Να λυθεί η εξίσωση: ηµ (3 x ) + συν (3 x ) = Να λυθεί η εξίσωση: ηµ x 3 ηµx + = σφx 6. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = εφx α) να βρεθεί το εδίο ορισμού της. β) να λυθεί η εξίσωση f(x) = 3 γ) να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής της αράστασης με τον άξονα x x συνx ηµx 7. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ηµx συνx α) να βρεθεί το εδίο ορισμού της. β) να λυθεί η εξίσωση f(x) = 8. Να βρείτε τους ραγματικούς αριθμούς k, ρ< και ω> για τους f (x) = k + ρ ηµ ωx έχει ερίοδο Τ=6, μέγιστη οοίους η συνάρτηση τιμή fmax= 5 και ελάχιστη τιμή fmin = 3. Έειτα να βρεθούν οι τιμές του x για τις οοίες η f(x) αίρνει την ελάχιστη τιμή της και για οιες αίρνει τη μέγιστη τιμή της. Τέλος να λυθεί η εξίσωση f(x) =. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 5
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις
6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να
1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις
11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους
ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί
Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί
Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς
3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας
. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας αέναντι κάθετη λευρά ημβ υοτείνουσα ημγ ΑB ροσκε ίμενη κάθετη λευρά συνβ υοτείνουσα συνγ αέναντι κάθετη λευρά εφβ ροσκε ίμενη κάθετη
Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,
Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ
Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια
1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να
Ημερομηνία: Πέμπτη 29 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 8//06 ΕΩΣ 0/0/06 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ημερομηνία: Πέμτη 9 Δεκεμβρίου 06 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A. Να αοδείξετε ότι ημ ω συν ω Α. Να δώσετε τον ορισμό της εριοδικής
3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
1.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Λύσεις των βασικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων ηµx = ηµθ x = κ + θ x = κ + ( θ), κ Z συνx = συνθ x = κ + θ x = κ θ, κ Z εφx = εφθ x = κ + θ, κ Z σφx = σφθ x =
Tριγωνομετρικές εξισώσεις
Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται
3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις
3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Ορισμός Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος ώστε για κάθε Α να ισχύει: ( T)A και
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90 ο, κάθετες πλευρές β, γ και οξεία γωνία ω. απέναντι κάθετη Ορίζουμε, ημω = υποτείνουσα συνω = προσκείμενη
Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.
Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά
Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ
Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο
1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία
Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις
Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα
1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 78 Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1ο ΣΧΕ ΙΟ Η γενικευµένη γωνία Το ηµίτονο και το συνηµίτονό της ιάρκεια: Ολιγόλεπτο Θέµατα: ΘΕΜΑ 1ο 8 µονάδες 1. Με βάση το
4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του
α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την
(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)
ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 2 η (2/12/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/1/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του Λυκείου
Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο
ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0
1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος
1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.
Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.
ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται
Β Γενική Τριγωνομετρία
Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε
1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις
1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.
Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου
Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9
Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 1 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος του Α είναι ίσο µε το µισό της λευράς ΒΓ. να αοδείξετε ότι ισχύει εφβ + εφγ εφβ εφγ και σφβ +
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο
Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν άνω στη μία αό τις δύο λευρές της γωνίας άρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις
ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017
Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων
Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {
ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=
Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο
Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60
1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x
1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγνοµετρίας (Εαναλήψεις) α. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε ορθογώνιο τρίγνο αέναντι Γ Α β υοτείνουσα α γ ροσκείµενη ρίζ: β. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε σύστηµα συντεταγµένν ηµβ=
1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ
3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954
Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων
1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135.
Άλγεβρα Β Λσκείοσ. Τριγωμομετρία. Στέλιος Μιταήλογλοσ. Εσάγγελος Τόλης
Άλγεβρα Β Λσκείοσ Τριγωμομετρία Στέλιος Μιταήλογλοσ Εσάγγελος Τόλης www.askisopolis.gr 1. ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ 1.1. ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ Οι αρακάτω έννοιες ου θα αναφέρουµε συµεριλαµβάνονται στη διδακτέα
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής
Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"
Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)
Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β
3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 88-89 A Oµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx = 0 ηµx = 0 ηµx = ηµ0 x = k + 0 x = k + 0, k Z Σηµείωση: Οι λύσεις αυτές διαφορετικά
Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3
Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &
Physics by Chris Simopoulos
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε
1ο Κεφάλαιο. Συστήµατα. 1. Να λύσετε γραφικά τα παρακάτω συστήµατα: 2. Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο της αντικατάστασης:
Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0.. Γραµµικά συστήµατα ο Κεφάλαιο Συστήµατα Α. Γραµµικό σύστηµα Χ. Να λύσετε γραφικά τα αρακάτω συστήµατα: α) ψ= + β) ψ= γ) -ψ= ψ= -ψ= + ψ=. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο
3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ
TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παασταυρίδης Γ. Πολύζος Α. Σβέρκος Η συγγραφή και η ειμέλεια του βιβλίου ραγματοοιήθηκε υό την αιγίδα του
Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών
Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σουδών Ημερομηνία: 9 Ιουνίου 217 Ααντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α1. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹
Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.
Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου
Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);
8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος
ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.
α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις
με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).
Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε
Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις
Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε
2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Γενικής Παιδείας. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Β' Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Α1. Στο επόμενο σχήμα βλέπετε τον τριγωνομετρικό κύκλο, τους άξονες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων,
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ
3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του
3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx
1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε
Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος
8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος
Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)
Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80
Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών
Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σουδών Ημερομηνία: 18 Μαΐου 216 Ααντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α1. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε
Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ. Α1. Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα 98. Μέτρο Μιγαδικού αριθμού- ιδιότητα)
ΘΕΜΑ 1 ο ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΕΩΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ Α1 Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα
Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.
Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να
ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ
ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό
ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ Νικ. Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, ΒΕΡΟΙΑ e-mail: iossifid@yahoo.gr Η εργασία αυτή γράφτηκε για τους µαθητές της Β Λυκείου όταν (δεκαετία 98-990) η ριγωνοµετρία δεν
3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ
1.1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Για γωνία ω µε ο < ω < 9 ο ηµω = γ α = απέ ναντι κάθετη υποτείνουσα Β συνω = β α = προσκείµενη κάθετη υποτείνουσα εφω = γ β = απέ ναντι κάθετη προσκείµενη κάθετη
Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ
Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r
( f ) ( T) ( g) ( H)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη (iii), σελ.44 σχολικού βιβλίου Α. Ορισµός,
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων