Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ"

Transcript

1 Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2 Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ ) = (λ ) + λ = λ = λ λ Αν D 0 λ 0 και λ ( λ ) λ (λ ) = λ ( λ + ) = λ (λ ), για τις διάφορες τιµές του λ R D D D D λ Αν D = 0 λ (λ ) = 0 λ = 0 ή λ =, το σύστηµα θα είναι αδύνατο το σύστηµα θα δέχεται µοναδική λύση, την ( ) y, y =, =, λ Πιο συγκεκριµένα Αν λ = 0, τότε το σύστηµα γίνεται 0 y = 0 y = 0 ή y = y = 0 ή αόριστο. Αδύνατο. y = y = Αν λ =, τότε το σύστηµα γίνεται ή Αόριστο. y = y = Εειδή y = y =, η αειρία λύσεων, είναι η ( κ,κ ), κ R Θέµα λ + y = Αν το σύστηµα ( Σ) : είναι αδύνατο, θα δείξουµε ότι λ = + y = λ λ Για να είναι αδύνατο ρέει D = 0 = 0 λ = 0 λ = Με µία δοκιµή έχουµε + y = ( Σ) : + y = 0 + y = + y = 0 Αδύνατο. Οότε λ =

3 Παρουσίαση Θέµα λ y = 0 Αφού λύσουµε το σύστηµα ( Σ) :, λ R + λy = λ + θα εξετάσουµε αν υάρχει λ, ώστε το (, y) να είναι λύση του, µε + y = λ 0 Είναι D = = λ + 0 και ροφανώς D = = λ + λ λ + λ Αφού D 0, για κάθε λ R λ 0 Dy = = λ + λ λ + λ + λ + λ το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση την (, y) =, λ + λ + Θέλουµε + y = λ + λ + λ λ + λ + ή + = = λ + λ + = λ + λ + λ + λ + λ = Θέµα λ + y = 0 Αφού λύσουµε το σύστηµα (Σ) :, λ R + λ y = 0 θα εξετάσουµε αν υάρχει λ, ώστε το (, y) να είναι λύση του, µε y = λ 0 λ 0 Είναι D = = λ και ροφανώς D = = 0, D y = = 0 λ 0 λ 0 Αν D 0 λ το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση την ροφανή, τη µηδενική, την (,y) = ( 0,0) Τότε είναι y = 0 Αν D = 0 λ =, το σύστηµα θα είναι αόριστο και µε αντικατατάσταση στο αρχικό σύστηµα, ροκύτει το οοίο είναι ισοδύναµο µε το ( Σ) : + y = 0 y = Έτσι, η αειρία λύσεων είναι η (, y) ( r, r) = r R Τώρα θέλουµε y = r ( r) = r = Οότε λ = ( Σ) : r = + y = 0 + y = 0

4 Παρουσίαση Ας δούµε και τα ιο κάτω θέµατα. Θέµα 5 Έστω ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων ( Σ), µε αγνώστους και y y y Αν D + D + D = DD + DD + D θα αοδείξουµε ότι το σύστηµα ( Σ), δέχεται µοναδική λύση, την (, y) = (, ) y y Αό D + D + D = DD + DD + D y είναι D + D + D + D + D DD DD D + = 0 y = ( D D ) + ( D D ) + ( D ) 0 Οότε, ρέει D = D και D = D y και D = 0 Οότε, το Σ) Θέµα 6 y ( δέχεται µοναδική λύση, το ζευγάρι (, y) =, = (, ) y D D Έστω ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων, µε αγνώστους και y Ξέρουµε ότι: D + D + D, D D + D 0 και D + D D y = y = D D y = θα αοδείξουµε ότι το σύστηµα ( Σ) δέχεται µοναδική λύση την (, y) = (, ) Λύνοντας το σύστηµα: D + D + D, D D + D 0 και D + D D y = ροκύτει ολύ αλά ότι D = D = D Οότε, το Σ) Θέµα 7 y = y = D D y ( δέχεται µοναδική λύση το ζευγάρι (, y) =, = (, ) Έστω τo οµογενές γραµµικό σύστηµα D D y = α + y = 0 ( Σ) :, ώστε αβ > + βy = 0 Θα αοδείξουµε ότι αυτό δέχεται µοναδική λύση την ροφανή, την (, y) = ( 0,0) α 0 α 0 Εειδή D = = αβ 0 και D = = 0 και D y = = 0 β 0 β 0 το σύστηµα θα δέχεται µοναδική λύση την µηδενική, την (, y) = ( 0,0)

5 Παρουσίαση 5 Θέµα 8 Θα βρούµε τις τιµές της αραµέτρου α, ώστε το σύστηµα να είναι αόριστο. Είναι D = = = 0 ( Σ) : Οότε, είναι βέβαιο ότι το σύστηµα θα είναι ή αδύνατο ή αόριστο. + y = α Εειδή ( Σ) :, για να είναι αόριστο, ρέει + y = Αν τώρα είναι Θέµα 9 α, το σύστηµα είναι αδύνατο. α = + y = α + y = Θα βρούµε την ευθεία ( ε), ου διέρχεται αό τα σηµεία Α(, ) και Β (,) Η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη µορφή y = α + β y Αφού η ευθεία διέρχεται αό το σηµείο Α(, ) Α(,) το ζεύγος (, ) είναι η λύση της εξίσωσης y = α + β Άρα = α ( ) + β ή α β = ( ) Β (,) Οµοίως και για το σηµείο Β (,) 0 έχουµε = α + β ή α + β = ( ) Οι ( ) και ( ) αοτελούν ένα σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους τους α, β α β = και είναι το ( Σ) : α + β = Αό τη λύση του συστήµατος αυτού, βρίσκουµε ότι α = και και εοµένως η ζητούµενη ευθεία είναι η 5 β = 5 y = + ή τελικά ( ε) : + y = 5

6 Παρουσίαση 6 Θέµα 0 Θα λύσουµε γραφικά το σύστηµα ( Σ) : y = + y = y y = Το σύστηµα ( Σ) : γίνεται + y = και αντιροσωεύει δύο ευθείες ( Σ) : y = y = Α (, ) ( ε ) - την ( ε ) : y = και την ( ε ) : y = + ( ε ) Για την ( ε ) για = 0, έχουµε y = και για y = 0, έχουµε = Εοµένως η ( ε ) τέµνει τον ' στο και τον y ' y στο Για την ( ε ) για = 0, έχουµε y = και για y = 0, έχουµε = Εοµένως η ( ε ) τέµνει τον ' στο και τον y ' y στο Σχεδιάζουµε τώρα τις ευθείες και αρατηρούµε ότι τέµνονται στο σηµείο A(, ) Άρα, η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (, ) Θέµα Θα βρούµε το σύστηµα ( Σ) ου αριστάνει το σύστηµα των ιο κάτω ευθειών. y Β( 0,6) Σ(,) ( ε ) Έστω ότι ( ε ) : y = α + β Εειδή (ε ) είναι 0 = α + β A και (ε ) είναι = α + β Σ Πολύ αλά, ροκύτει α =, β = και συνεώς ( ε ) : y = Έστω ότι ( ε ) : y = α + β Εειδή (ε ) είναι 6 = β και (ε ) είναι = α + β Β Σ Πολύ αλά, ροκύτει α =, β = 6 και συνεώς ( ε ) : y = + 6 Οότε, ρόκειται για το σύστηµα y = ( Σ) : + y = 6 Α(,0) ( ε )

7 Παρουσίαση 7 Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα (Σ) : + y = 7 + y = 5 Μετά, θα δώσουµε τη γεωµετρική διάσταση του θέµατος. Είναι (Σ) : + y = 7 + y = 5 y = 7 + y = 5 y = = 0 Πολύ αλά, βρίσκουµε ότι = και y = ή = και y = ηλαδή, το σύστηµα έχει λύσεις τις (,) και (,) Να αναφέρουµε ότι τα σηµεία Μ (, y) ώστε + y = 5, είναι σηµεία κύκλου. Πραγµατικά Εειδή OM = ( 0) + ( y 0) = + y = 5 = 5 Μ(,y) O( 0,0) y Α(,) Β(,) (ε) διαιστώνουµε ότι η αόσταση κάθε σηµείου αό το O είναι σταθερή και ίση µε 5 Οότε, τα σηµεία M είναι σηµεία του κύκλου κέντρου O και ακτίνας ρ = 5 Αό την είλυση του ( Σ) βρήκαµε ότι η ευθεία ( ε) : y = + 7 τέµνει τον κύκλο ( κ) : y = 5 +, στα σηµεία (,) A και B (,) Να τονίσουµε ότι είναι άντα ωφέλιµο να κάνουµε δοκιµή, ώστε να διαιστώνουµε την ορθότητα της λύσης. Πραγµατικά Αντικαθιστώντας τις τιµές ου βρήκαµε, οι εξισώσεις του ( Σ) ικανοοιούνται. Για = και y =, είναι Για = και y =, είναι (Σ) : (Σ) : + = 7 + = 5 + = 7 + = 5

8 Παρουσίαση 8 Ασκήσεις δ.0 Έστω το γραµµικό σύστηµα Γνωρίζουµε ότι ad cb = 0 Να αοδείξετε ότι το σύστηµα Σ) ( Σ) : a + by = a + b c + dy = c + d ( δέχεται µοναδική λύση την (, y) = (, ) α + y = α β δ. Έστω το σύστηµα ( Σ) :, α,β, γ R + y = β γ Είναι D + D + D = D y α) Να λύσετε το σύστηµα ( Σ) β) Να αοδείξετε ότι α = β = γ =, 5 a + by = c δ. Έστω το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : a + by = c Γνωρίζουµε ότι τα ζεύγη (, ) και (,) είναι λύσεις του. α) Να δείξετε ότι a b = a b β) Να δείξετε ότι το Σ), y) = ( ρ, + ρ, ρ R ( δέχεται αειρία λύσεων, την ( ) a + by = c δ. Έστω το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : a + by = c ώστε a + b = c, a + b = c και a + b = c, a + b = c α) Να αοδείξετε ότι το ( Σ) δέχεται αειρία λύσεων. β) Να αοδείξετε ότι το ζεύγος (, y) (, ) a + b δ. Έστω το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : a + b ώστε a + b = c και a + b = c και c b > c b = είναι µία λύση του συστήµατος. y = c y = c Να αοδείξετε ότι το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση, την (, y) = (, ) δ.5 Έστω το γραµµικό σύστηµα (Σ) : (λ + ) + λ y = 0 + (λ + )y = λ, α) Να αοδείξετε ότι το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση ( ) β) Αν είναι και y =, να αοδείξετε ότι δ.6 Έστω το σύστηµα o o (Σ) : α + βy = α + β β + αy = αβ o y o, λ > 0 = λ = και (, y ), o, 0 < α < β Να αοδείξετε ότι το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση ( ο, yo ) την ( α,β) o

9 Παρουσίαση 9 δ.7 Έστω το γραµµικό σύστηµα + y = ( Σ) : y =, λ R + λy = Γνωρίζουµε ότι αυτό δέχεται µοναδική λύση ( o, y o ) Να αοδείξετε ότι αυτή είναι η (, y ) (, ) o o = και είσης αοδείξτε ότι λ = β + y = α + β δ.8 Να εξετάσετε αν το σύστηµα ( Σ) :, α,β R α + (β + )y = β + α µορεί να δεχτεί σαν µία λύση µόνο το ζευγάρι (, ) α + βy = α + β δ.9 Έστω το σύστηµα ( Σ) :, α,β R, β > 0 (β + ) αy = β α + α) Να αοδείξετε ότι αυτό δέχεται λύση το ζευγάρι (, ) β) Να εξετάσετε αν αυτή είναι µοναδική. γ) Να αοδείξετε ότι δεν υάρχουν αριθµοί α,β > 0, ώστε α + β = α + β και α β = α β β + γy = α + β + δ δ.50 Έστω το σύστηµα ( Σ) :, α,β, γ,δ R α + (β + )y = β + γ Γνωρίζουµε, ότι αυτό δέχεται λύση την (, ) και την (, ) α) Να αοδείξετε ότι β + β = αγ β) Να αοδείξετε ότι και το ζεύγος (, ) είναι λύση του ( Σ) + y = α + β y = δ.5 Έστω τα συστήµατα ( Σ ) :, (Σ ) :, α,β Q 5 y = α + βy = α + β Αν αυτά είναι ισοδύναµα, να αοδείξετε ότι α = και β = α + y = α β δ.5 Έστω το σύστηµα ( Σ) :, α,β, γ άρρητοι αριθµοί. + y = β γ Να αοδείξετε ότι D + D + D D y δ.5 Να βρείτε την αραβολή f() = a + b + c, a,b,c R αν αυτή διέρχεται αό τα σηµεία A (,0 ), B (0,) και Γ,

10 Παρουσίαση 0 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

11 Παρουσίαση ε Θεωρητικά θέµατα y y Στην ερίτωση ου µία συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα δεν µορεί να δεχτεί δύο διαφορετικές ρίζες. ηλαδή, ή δεν θα δέχεται καµία ρίζα, ή θα δέχεται σαν ρίζα µοναδικό αριθµό. Παράδειγµα Έστω η γνήσια αύξουσα στο R συνάρτηση f, µε f (0) = Θα λύσουµε την εξίσωση f( ) = Πραγµατικά f( ) = f( ) = f(0) = 0 = = ηλαδή, η εξίσωση f( ) = έχει µοναδική ρίζα τον αριθµό = Συνηθίζεται να λέµε και ότι η f δέχεται το ολύ µία ρίζα. Η ιο άνω έκφραση είναι λάθος, γιατί µορεί να µην έχουµε αλή ρίζα. Για αράδειγµα, η f()=, ενώ είναι γνήσια αύξουσα έχει τρεις ρίζες ίσες µε 0 Ο ρ Ο ρ Για το λήθος λύσεων των εξισώσεων, ου δεν ειλύονται αλγεβρικά µε τις γνωστές µεθόδους αραγοντοοίησης, τα φέρνουµε όλα σε ένα µέλος θεωρούµε συνάρτηση και κινούµαστε µε τη βοήθεια της µονοτονίας. Παράδειγµα Θα αοδείξουµε ότι η εξίσωση 5 + = έχει µοναδική λύση την = Πραγµατικά 5 Θεωρούµε την f() = + και θα αοδείξουµε ότι αυτή έχει µοναδική ρίζα. Έστω, R µε <, τότε είναι και < Οότε + < + ή + < + δηλαδή f( ) < f( ) Εειδή η f είναι γνήσια αύξουσα, αό f () = 0 f () = f() = Ας ροσέξουµε και το ιο κάτω σχόλιο. Αν η συνάρτηση f αρουσιάζει µέγιστο το, µόνο στο 0 σηµαίνει ότι f () f(0) = για κάθε Μόνο ου ειδικότερα σηµαίνει ότι f () = = 0 και f () < 0 Παράδειγµα Η ορισµένη στο R συνάρτηση f αρουσιάζει µέγιστο το, µόνο στη θέση 0 Θα λύσουµε και την εξίσωση f( e ) = Πραγµατικά Αό f( e ) = f( e ) = f(0) 5 e = 0 e = = 0 5 Ο

12 Παρουσίαση Ας ροσέξουµε το ιο κάτω θέµα. Θέµα Έστω η ορισµένη και άρτια στο D = [, ] συνάρτηση f Θα αοδείξουµε ότι η συνάρτηση g() = f( ) είναι εριττή στο D Εειδή η f είναι άρτια, είναι f ( ) = f(), για κάθε D = [, ] Τώρα, αν D, τότε και D αφού αν, είναι και Είναι g( ) = f() = f( ) = g(), για κάθε D = [, ] Συνεώς, η συνάρτηση g είναι εριττή στο D Θέµα Έστω η γνήσια µονότονη στο R συνάρτηση f, µε το ίδιο είδος µονοτονίας. Γνωρίζουµε ότι η γραφική της αράσταση διέρχεται αό τα σηµεία (, ) Θα αοδείξουµε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα. Μετά θα λύσουµε την ανίσωση f ( f() ) < Εειδή (, ) C f A, είναι f () = και εειδή B(,) Cf, είναι f () = A, B (,) Αφού η f είναι γνήσια µονότονη µε το ίδιο είδος µονοτονίας ή θα είναι γνήσια αύξουσα ή θα είναι γνήσια φθίνουσα. Αν ήταν γνήσια φθίνουσα, αό <, θα ήταν και f () > f() >, Άτοο. Άρα είναι γνήσια αύξουσα. Έτσι f ( f() ) < f ( f() ) < f() < Θέµα f () < f () < f () < f() Έστω η ορισµένη γνήσια φθίνουσα στο R + = [0, + ) συνάρτηση f, µε f (0) = Θα αοδείξουµε ότι η F() = f () + f() στο σηµείο 0 έχει µέγιστο το Αφού η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R +, αό 0 είναι f () f(0) = όως είσης και f () Είναι και () + f() () + f() F() F() F(0) f f ιαιστώνουµε λοιόν, ότι η F στο 0 αρουσιάζει µέγιστο το

13 Παρουσίαση Θέµα Έστω η συνάρτηση g () = +, µε R + α) Θα διαιστώσουµε ότι έχει ελάχιστο, αλλά δεν έχει µέγιστο. Έστω η ορισµένη και γνήσια φθίνουσα στο R + συνάρτηση f, µε f (0) = β ) Θα αοδείξουµε ότι η συνάρτηση f στο σηµείο 0 έχει µέγιστο το β ) Θα λύσουµε και την εξίσωση g () = f() γ) Έστω και η ορισµένη στο + Αν R συνάρτηση h, ώστε h() ( f() ) =, R + f =, θα αοδείξουµε ότι η h αρουσιάζει µέγιστο και θα το βρούµε. α) Αό g () = y, ισοδύναµα είναι + = y y Πρέει 0 ( y ) 0 Οότε, είναι g (R ) = [, + ) +, Προφανές = ( y ) Είναι ροφανές, ότι έχει ελάχιστο το, αλλά δεν έχει µέγιστο. = y Να αρατηρήσουµε ότι, τα ακρότατα της g θα µορούσαµε να τα διαιστώσουµε και µε τη γραφική αράσταση της g και µε τη µονοτονία και µε φράγµατα. β ) Εειδή η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R +, αό 0 είναι f () f(0) = Να τονίσουµε ότι το " = " ισχύει ταυτόχρονα. Οότε, στο σηµείο 0 η συνάρτηση f έχει µέγιστο το β ) Έστω η εξίσωση g () = f() Εειδή g() και f() Πρέει να είναι g () = + = = 0 = 0 Άρα = 0 και f () = f () = f (0) = Προφανές γ) Είναι ( f() ) 0 και ( f() ) Εειδή h = f = = ή h(), R Οότε, η συνάρτηση h αρουσιάζει µέγιστο το, είναι h ( ) h =

14 Παρουσίαση Ασκήσεις ε. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη και γνησίως αύξουσα στο A = [0, + ) να αοδείξετε ότι αυτή έχει ελάχιστο. ε. Αν η f είναι γνήσια µονότονη µε το ίδιο είδος µονοτονίας και f(0) < f( ) να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα. ε. Αν η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R, να λύσετε την ανίσωση f( + ) < f() ε. Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f() = είναι γνησίως αύξουσα. 7 + Μετά να λύσετε την εξίσωση ( + ) + = 9 ε.5 Έστω ότι η f έχει ελάχιστο στο Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση h() = f() έχει στο µέγιστο. 7 ε.6 Έστω η ορισµένη και εριττή στο = [ 0,0] συνάρτηση f Αυτή είναι γνήσια φθίνουσα στο [ 0,5] και γνησίως αύξουσα στο [ 5,0] Να δείξετε ότι f() f(5) για κάθε [0,0], f() f( 5) για κάθε [ 0,0] ε.7 Η συνάρτηση f είναι ορισµένη R, ώστε f () = Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f () f() +, αρουσιάζει ελάχιστο. ε.8 Έστω η συνάρτηση κ f() =, ορισµένη στο R, κ > 0 + α) Να αοδείξετε ότι κ f() κ, για κάθε R β) Αν η f έχει µέγιστο το, να αοδείξετε ότι έχει ελάχιστο το ε.9 Αν η f έχει ελάχιστο το 0, δείξτε ότι η g() = f() έχει µέγιστο το ε.0 Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη, γνησίως αύξουσα και εριττή στο R να λύσετε την ανίσωση f () + f( ) < 0 ε. Αν η f είναι ορισµένη στο R, αοδείξτε ότι η h() = f() + f( ) είναι άρτια. ε. Έστω η ορισµένη και εριττή στο D = [, ] συνάρτηση f Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f( ) είναι άρτια στο D

15 Παρουσίαση 5 ε. Έστω η συνάρτηση g () = +, R + α) Να αοδείξετε ότι αυτή έχει ελάχιστο, αλλά δεν έχει µέγιστο. β) Έστω η ορισµένη και γνήσια φθίνουσα στο R + συνάρτηση f, µε f (0) = β ) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f στο σηµείο 0 έχει µέγιστο το β ) Μετά να λύσετε την εξίσωση g () = f() ε. Έστω η συνάρτηση h() = φ () φ(), ορισµένη στο [ 0, + ) Να αοδείξετε ότι η h αρουσιάζει µέγιστο στην ερίτωση ου φ() = ή η Cφ τέµνει την ( ε) : y = ε.5 Έστω οι ορισµένες στο R συναρτήσεις f, g, ώστε f () + g () =, R και γνωρίζουµε ότι οι γραφικές αραστάσεις τους τέµνονται στην ευθεία = Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση h () = f()g() αρουσιάζει µέγιστο. =, R Αν η ευθεία ( ε) : y = 0,5 τέµνει τη γραφική αράσταση της g σε ένα τουλάχιστον σηµείο, να αοδείξετε ότι η f αρουσιάζει ελάχιστο, το οοίο και να βρείτε. ε.6 Έστω οι ορισµένες στο R συναρτήσεις f, g, ώστε f() g() ( g() ) ε.7 Έστω η ορισµένη και άρτια στο R συνάρτηση f Αν είναι γνήσια φθίνουσα στο (,0], να αοδείξετε ότι είναι γνήσια αύξουσα στο [ 0, + ) ε.8 Αν η ορισµένη στο R συνάρτηση f αρουσιάζει µέγιστο µόνο στο 0 το και για τους αριθµούς A και B είναι f(b) = f(a), να αοδείξετε ότι Α = Β ε.9 Έστω οι συναρτήσεις f και g, ώστε f() + = g(), για κάθε R Να βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη αόσταση των C f και C g ε.0 Έστω η ορισµένη και γνήσια αύξουσα στο R + συνάρτηση f Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f () + f() = f() + f() έχει µοναδική ρίζα το 0 ε. Να αοδείξετε ότι το γινόµενο µία άρτιας µε µίας εριττής στο R συνάρτησης δίνει εριττή συνάρτηση. B +, R ε. Έστω τα σηµεία Α(, ) και (, ) Να αοδείξετε ότι το ΑΒ έχει το µικρότερο µήκος, όταν αυτό γίνει ίσο µε ε. Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε f ( + y) = f() + f(y),, y R α) Να αοδείξετε ότι 0 (0) f = β) Να αοδείξετε ότι αυτή είναι εριττή.

16 Παρουσίαση 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

17 Παρουσίαση 7 α Τριγωνοµετρικές εξισώσεις Ας δούµε τις ιο κάτω βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις. Βασικός στόχος µας σε µια αλή τριγωνοµετρική εξίσωση της µορφής ηµ,συν,εφ,σφ = α είναι η µετατροή του αριθµού α, σε αντίστοιχο τριγωνοµετρικό αριθµό αν αυτό είναι δυνατό. Παράδειγµα ηµ = 0 ηµ = ηµ 0 = κ ή = κ +, κ Ζ Πρόκειται για τόξα ου καταλήγουν τελικά στο Α ή στο Α ηλαδή, για τόξα της µορφής = λ, µε λ Ζ Α Α Παράδειγµα συν = 0 συν = συν = κ + ή = κ, κ Ζ ρόκειται για τόξα ου καταλήγουν τελικά στο Β ή στο Β ηλαδή για τόξα της µορφής = λ +, λ Ζ Β Β Ας δούµε και µία λίγο ιο σύνθετη µορφή. Παράδειγµα Θα λύσουµε την εξίσωση ηµ + = Είναι ηµ + = ηµ + = ηµ + = κ = κ ή ή + = κ + + = κ + ή = κ = κ +, κ Ζ 6

18 Παρουσίαση 8 Ας δούµε ως κινούµαστε όταν εµφανίζεται «-» µροστά αό έναν τριγωνοµετρικό αριθµό. Παράδειγµα ηµ = ηµ = ηµ ηµ = ηµ Παράδειγµα 5 συν = συν = συν συν = συν = κ 5 = κ+ µε κ Ζ = κ ± κ κ Ζ Παράδειγµα 6 εφ = εφ = εφ εφ = εφ 6 6 = κ 6 κ Ζ Παράδειγµα 7 σφ = σφ = σφ σφ = σφ 6 6 = κ 6 κ Ζ Ας δούµε την ερίτωση εξίσωσης της µορφής Παράδειγµα 8 ηµ = συνy Θα λύσουµε την εξίσωση συν () = ηµ Ισοδύναµα είναι συν() = συν = κ + = κ + κ = + 8 = κ, κ Ζ

19 Παρουσίαση 9 Ας δούµε ως κινούµαστε, όταν οι γωνίες εκφράζονται σε µοίρες. Παράδειγµα 9 ο = Θα λύσουµε την εξίσωση συν( ω 5 ) Πραγµατικά ( 5 ) ο = συν( ω 5 ) ο ο = συν( ω 5 ) ο = συν(60 ) συν ω Οότε ο ο ω 5 = κ ή ο ω 5 = κ ο ω = κ ω = κ 80 5 ο ο ω = 0 κ + ο 5 ω = 0 κ 5, κ Ζ ο Εδώ, θα µορούσαµε να µετατρέψουµε ρώτα τις µοίρες σε ακτίνια. Πιο συγκεκριµένα. ο = Η εξίσωση συν( ω 5 ) ισοδύναµα γίνεται συν ω = συν ω = συν 7 7 ω = κ + ω = κ + ω = κ + 6 ή ω = κ ω = κ ω = κ, κ Ζ 6 Ας δούµε και το αράδειγµα. Παράδειγµα 0 Θα λύσουµε την εξίσωση συν ( ) = συν( + ) Πραγµατικά κ= = = κ + Είναι συν ( ) συν( + ) 0 = κ + 0 = κ + κ = Αδύνατη, αφού ο κ είναι ακέραιος ή = κ + = κ + κ = +, κ Ζ

20 Παρουσίαση 0 Να τονίσουµε όµως τώρα, κάτι ολύ σηµαντικό. Στην ερίτωση των εφατοµένων και συνεφατοµένων, να ροσέχουµε τους εριορισµούς. Παράδειγµα Θα λύσουµε την εξίσωση εφ = Πραγµατικά Είναι εφ = εφ Ισοδύναµα = κ + = κ + = κ +, κ Ζ 5 7 Είναι ροφανές, ότι για τις διάφορες τιµές της ακέραιος αραµέτρου κ 5 7 τα τόξα καταλήγουν στο ή στο ή στο ή στο Πρέει συν 0 συν κ+ 0 συν κ+ 0 Προφανές. αφού αν ο κ είναι άρτιος, δηλαδή κ = ρ είναι συν κ + = συν ρ + = συν = 0 και αν ο κ είναι εριττός, δηλαδή κ = ρ + 5 είναι συν κ + = συν ρ + + = συν = 0 Να τονίσουµε ότι η τεκµηρίωση µορεί να γίνει και όως αρακάτω. Πρέει συν 0 ηλαδή, ρέει ρ + κ + ρ + κ + ρ + κ ρ κ ρ Το οοίο είναι ροφανές, αφού η διαφορά ακεραίων είναι διάφορη του

21 Παρουσίαση Παράδειγµα Θα λύσουµε την εξίσωση εφ = εφ( + ) Πραγµατικά Ισοδύναµα είναι = κ = κ + 5 = κ, κ Ζ Αν θέλουµε, για ρακτικούς λόγους, αντικαθιστούµε το κ µε τον ακέραιο λ και έτσι γράφουµε Αν όµως κάναµε αλλαγή µελών εφ έχουµε ( + ) = εφ 5 = λ, λ Ζ + = κ + ιαιστώνουµε ότι έτσι αοφύγαµε τα ολλά «-» 5 = κ, κ Ζ Ας ροσέξουµε τους εριορισµούς. Προηγούµενα ριν ακόµη λύσουµε την εξίσωση, έρεε να αναφέρουµε τους εριορισµούς. ηλαδή έρεε να «ούµε» 5 ότι συν 0 συν κ 0 συν κ 0 Προφανές. και συν( ) συν κ + 0 συν 0 Άτοο. Να θυµηθούµε ότι το συνηµίτονο µηδενίζεται, µόνο όταν τα τόξα καταλήγουν στο ή στο, ή όως λέµε στο Συνεώς η εξίσωση είναι αδύνατη.

22 Παρουσίαση Ας δούµε και το εόµενο αράδειγµα. Παράδειγµα Θα αοδείξουµε ότι η εξίσωση εφ σφ() = είναι αδύνατη. Πραγµατικά Πρέει συν 0 και ηµ () 0 αφού ηµ εφ = και συν εφ () = συν() ηµ() Εειδή εφσφ() = 0, είναι και σφ() 0 η εξίσωση εφ σφ() = ισοδύναµα γίνεται εφ = σφ() ή εφ = εφ() ή εφ () = εφ ή = κ + ή = κ, κ Ζ Όµως, τότε είναι ηµ () = ηµ(κ) = ηµ(0) = 0 και συνεώς οι λύσεις = κ, µε κ Ζ, αορρίτονται. Υάρχει ερίτωση, να δούµε τη λύση αρουσιασµένη διαφορετικά. Παράδειγµα Θα λύσουµε την εξίσωση εφ ( ) = εφ( + ) Πραγµατικά Είναι εφ ( ) = εφ( + ) Ισοδύναµα = κ + + = κ + = κ +, κ Ζ Οι λύσεις ροφανώς, είναι όλες δεκτές. Ας δούµε τώρα τι γίνεται, αν κάναµε αλλαγή µελών. Είναι και εφ( + ) = εφ( ) Ισοδύναµα + = κ + = κ = κ = λ, λ Ζ Να τονίσουµε ότι και στις δύο εριτώσεις βρήκαµε τις ίδια λύσεις!

23 Παρουσίαση Ας δούµε και ιο σύνθετες τριγωνοµετρικές εξισώσεις. Βασικός στόχος, είναι να αναχθούµε στις ροηγούµενες βασικές εξισώσεις. Παράδειγµα 5 Θα λύσουµε την εξίσωση ηµ ω + ηµω = 0 Πραγµατικά Αν θέσουµε ηµω = t, η εξίσωση ηµ ω + ηµω = 0 γίνεται t ± + t = 0 t = t = ή t = Εοµένως για t = έχουµε ηµω = ηµω = ηµ ω = κ, κ Ζ ή ω = κ + για t = έχουµε ηµω = ηµω = ηµ 6 Παράδειγµα 6 Θα λύσουµε την εξίσωση ηµ + συν = 0 Πραγµατικά ή ω = κ +, κ Ζ 6 5 ω = κ + 6 ηµ + συν = 0 ηµ = συν ηµ = συν ηµ = συν + ηµ = ηµ + ηµ = ηµ Οότε = κ + = κ = κ = κ, κ Ζ ή = κ + 0 = κ + 0 = κ + Αδύνατη. Συνεώς = κ, κ Ζ 8

24 Παρουσίαση Ασκήσεις α.0 Να λύσετε την εξίσωση ( ηµ)ηµ( ηµ) = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ = ηµ α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ = ( συν) α. Να λύσετε την εξίσωση συν = συν α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ + 5συν = α.5 Να λύσετε την εξίσωση εφ = εφ α.6 Να λύσετε την εξίσωση ηµ + = ηµ α.7 Να λύσετε την εξίσωση συν = ηµ συν + συν + συν α.8 Να λύσετε την εξίσωση ηµ 5 ηµ + = ηµ + ηµ ηµ α.9 Να λύσετε την εξίσωση ηµ + ηµ = 0 α.0 Να λύσετε την εξίσωση εφ ( ) + εφ = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση συν ηµ + = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση εφ + σφ = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ + + συν = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ + συν = 6

25 Παρουσίαση 5 α.5 Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει R, ώστε ηµ + + συν = 6 α.6 Να λύσετε την εξίσωση ηµ α.7 Να λύσετε την εξίσωση 5 = 0ηµ o ηµ = ηµ5 α.8 Αν ηµθ = 0,, να ροσδιορίσετε τους µε την ιδιότητα ηµ ( θ) = 0, ως συνάρτηση του θ α.9 Να λύσετε την εξίσωση ηµ = 0 α.0 Να λύσετε την εξίσωση ηµ + συν = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση εφ = ηµ α. Να λύσετε την εξίσωση εφ σφ() = 8 α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ + ηµ = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση ( συν) συν = 0 α.5 Να λύσετε την εξίσωση ηµ = ηµ α.6 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων ηµ = και + συν α.7 Να λύσετε την εξίσωση = 0 ηµ α.8 Να λύσετε την εξίσωση α.9 Να λύσετε την εξίσωση α.0 Να λύσετε την εξίσωση ηµ + συν = ηµ εφ () = εφ + συν = ηµσυν α. Να λύσετε την ανίσωση ηµ + ηµ α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ (ηµ) = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση + = συν( ) συν =

26 Παρουσίαση 6 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ δ Παράγοντες ολυωνύµου Ας δούµε τα ιο κάτω θέµατα. Θέµα Θα βρούµε τους α, β, ώστε το ολυώνυµο P() = α + β να έχει αράγοντες τα διώνυµα και Στη συνέχεια, θα βρούµε και τις ρίζες του ολυωνύµου. Αφού το είναι αράγοντας, ρέει P () = 0 α + β = 0 β = α Αφού το είναι αράγοντας, ρέει P () = 0 8 α + β = 0 Λύνοντας το ιο άνω σύστηµα, έχουµε β = α α = α α = και β = 5 Οότε είναι P() = + 5 Εειδή το είναι ρίζα του ολυωνύµου έχουµε P() = ( )( + + ) Εειδή το είναι ρίζα του ολυωνύµου έχουµε P() = ( )( )( ) Συνεώς, οι ρίζες του ολυωνύµου P () είναι οι αριθµοί, και Θέµα Θα αοδείξουµε ότι το d() = είναι αράγοντας του D() = Η διαίρεση του D () δια του d() δίνει D () d()() + υ( ) Για 5 + = = ( ) () c =, έχουµε c 0 = και συνεώς D() = ( ) ()

27 Παρουσίαση 7 Θέµα Θα εξετάσουµε αν το ολυώνυµο Ρ() = + 7 έχει αράγοντα το διώνυµο Είναι Ρ ( + ) = ( + ) + ( + ) 7 = = 0 Οότε, ο αριθµός + είναι µία ρίζα του ολυωνύµου P () και συνεώς το διώνυµο ( + ) = είναι αράγοντας του P () Θέµα Έστω το ολυώνυµο P (), ώστε P( + ) = P( ), R Αν αυτό διαιρείται µε, θα αοδείξουµε ότι αυτό διαιρείται και µε Αφού το ολυώνυµο P (), διαιρείται δια του, θα είναι P () = 0 Αό P( + ) = P( ), για =, έχουµε P () = P() = 0 Οότε, αφού το είναι ρίζα του P (), αυτό θα διαιρείται και µε Θέµα 5 Αν το διώνυµο ( )( ) είναι αράγοντας του ολυωνύµου P () θα αοδείξουµε ότι το P () διαιρείται µε τα διώνυµα και Αφού το ( )( ) είναι αράγοντας του ολυωνύµου P () είναι P() = ( )( )() όου () το υόλοιο της διαίρεσης του P () µε το ( )( ) Εειδή P () = ( )( )() = 0, το P () διαιρείται µε το διώνυµο P () = ( )( )() = 0, το P () διαιρείται µε το διώνυµο

28 Παρουσίαση 8 Θέµα 6 Θα αοδείξουµε ότι το διώνυµο είναι αράγοντας του () = + Ας δούµε τα ιο κάτω: Έστω η διαίρεση του ολυωνύµου () µε το η οοία δίνει ηλίκο το () και υόλοιο γενικής µορφής υ () = a + b Τότε είναι () = ( )() + a + b Είναι () = ( )() + a + b 0 = a + b a = b b = 0, a = 0 Είναι ( ) = ( )(-) a + b 0 = a + b a = b Συνεώς υ () = 0 ηλαδή, διαιστώσαµε ότι το διώνυµο είναι αράγοντας του () Θα µορούσαµε να κινηθούµε και ως εξής: Με βάση το σχήµα Horner () = + είναι () = ( )( ) Με βάση το σχήµα Horner είναι = ( + )( + ) Συνεώς είναι () = ( )( + )( + ) = ( )( + ) Έτσι διαιστώσαµε, ότι το διώνυµο είναι αράγοντας του () Θα µορούσαµε να κινηθούµε και ως εξής: Εκτελούµε την Ευκλείδεια διαίρεση του () µε το και βρίσκουµε υόλοιο 0 Συνεώς () = ( )( + ) Θα µορούσαµε να κινηθούµε και ως εξής: Για να διαιρείται το () = + ακριβώς µε το αρκεί να υάρχουν a,b,c R, ώστε () = ( )(a + b + c) + = ( )(a + b + c) Μετά αό ράξεις, καταλήγουµε ότι a =, b = 0 και c = ηλαδή, () = ( )( + ) και έτσι διαιστώνουµε ότι διαιρείται µε το

29 Παρουσίαση 9 Ασκήσεις δ. Να αοδείξετε ότι τα διώνυµα, +, και είναι αράγοντες του ολυωνύµου Π() = δ. Να αοδείξετε ότι το ολυώνυµο P() = ( + ), v N, n > ν ν έχει ως αράγοντες όλους τους αράγοντες του Q() = + + δ. Έστω το ολυώνυµο P (), ώστε P( + ) = P( ) α) Αν αυτό διαιρείται µε, τότε αυτό διαιρείται και µε + β) Αν ο σταθερός όρος του ολυωνύµου είναι 0, τότε δεν διαιρείται µε 0 δ.5 Αν για κάοιο ολυώνυµο P () τετάρτου βαθµού είναι P ( ) = P() και P (0) = 0, να αοδείξετε ότι το είναι αράγοντας του P () δ.6 Έστω το ολυώνυµο P (), ώστε P( + ) = +, R Να αοδείξετε ότι το είναι αράγοντάς του. δ.7 Να αοδείξετε ότι το δ.8 Αν το να αοδείξετε ότι α = δ.9 Αν το διαιρεί το ολυώνυµο Ρ() ( ) 5 = 8, διαιρεί το ολυώνυµο Ρ() = ( ( 8) + α ), διαιρεί το ολυώνυµο Ρ() ( + ) ( 7α ) α + =, α > να αοδείξετε ότι α 9α + α 6 = 0 και µετά ότι α 8α + 6 = 0 δ.0 Έστω το ολυώνυµο Ρ() = ( + ) + ( + ) κ κ µε κ R Να αοδείξετε ότι το διώνυµο κ + είναι αράγοντας του P () δ. Να βρείτε τους α, β, ώστε το ολυώνυµο P() = α + β να διαιρείται µε το ( ) δ. Έστω το ολυώνυµο P () ώστε P( ) + P( ) = + Να αοδείξετε ότι το µονώνυµο διαιρεί το ολυώνυµο P ()

30 Παρουσίαση 0 δ. Έστω το ολυώνυµο P() = α 8α α µη µηδενικός ακέραιος Να αοδείξετε ότι το α είναι αράγοντας του P () Μετά να βρείτε και τον άλλον αράγοντα του ολυωνύµου P () δ. Να βρείτε τους α, β, ώστε το ολυώνυµο P() = α + β 6 να έχει αράγοντες τα διώνυµα + και και στη συνέχεια να βρείτε τις ρίζες του ολυωνύµου. δ.5 Να βρείτε την τιµή της θετικής αραµέτρου λ ώστε το διώνυµο +, να διαιρεί το Ρ() = λ + (λ λ + ) + δ.6 Να βρείτε τον λ R, ώστε το + λ να διαιρεί το Ρ() = + 0 δ.7 Να αοδείξετε ότι το ολυώνυµο P() = + a + a a, a R δεν µορεί να έχει αράγοντα το διώνυµο δ.8 Έστω το ολυώνυµο P() = + a + b Να βρείτε τους ραγµατικούς αριθµούς a, b ώστε το τριώνυµο t() = + να είναι αράγοντας του ολυωνύµου P () δ.9 Αν το + α είναι αράγοντας του P() = + α, να αοδείξετε ότι ν = κ +, κ Ν 6 ν ν * ν N, α 0 ν ν ν- ν ν ν Μετά, να αοδείξετε ότι ( + α ) = ( + α) ( α + α... + α ) ν+ δ.0 Έστω τα ολυώνυµο P() = α + β +, ν Ν και α,β R Γνωρίζουµε ότι έχει αράγοντα το () = + Να αοδείξετε ότι α = ν και β = ν Αν το P() έχει ένα µόνο ακόµη αράγοντα, τον δ. Αν το Ρ() = (n + ) n n n+ + a ν α, α >, δείξτε ότι α =, n N και a Z, διαιρείται µε θα διαιρείται και µε ( ) δ. Αν το P() = α + (α + γ) + β γ + έχει αράγοντες όλους τους ρωτοβάθµιους αράγοντες του Q() =, να βρείτε τα α, β, γ

31 Παρουσίαση ΕΚΘΕΤΙΚΗ- ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ θ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε τα ιο κάτω θέµατα. Θέµα Θα αοδείξουµε ότι η συνάρτηση f() = + είναι γνήσια αύξουσα στο R Μετά, θα λύσουµε την εξίσωση ln 5 + ln = 0 Έστω, R, µε < 5 Είναι 5 5 < 5 5 Με ρόσθεση είναι + < + ή τελικά + < + ηλαδή f( ) < f( ) και συνεώς η f είναι γνήσια αύξουσα στο R Οότε, η εξίσωση ln 5 + ln = 0, > 0 γίνεται f (ln ) = 0 f (ln ) = f() ln = = e 5 5 Θέµα Θα αοδείξουµε ότι η συνάρτηση f() = e + είναι γνήσια αύξουσα στο R ln Μετά, θα λύσουµε την ανίσωση e + ln < 0 Έστω οι τυχόντες, R, µε < Είναι < και συνεώς e < e και µε ρόσθεση είναι e + < e + και e + e < + ηλαδή f( ) < f( ) και συνεώς η f είναι γνήσια αύξουσα. ln Οότε, η ανίσωση e + ln < 0, µε > 0 γίνεται f (ln ) < 0 f (ln ) < f() ln < 0 < < e

32 Παρουσίαση Θέµα e αν 0 Έστω η συνάρτηση f() = e αν > 0 Θα αραστήσουµε στο είεδο, τη συνάρτηση f Μετά θα βρούµε το λήθος των ριζών της εξίσωσης Η γραφική της αράσταση φαίνεται στο διλανό σχήµα. Να αρατηρήσουµε ότι e = e f () = α, για τις τιµές του α R Να αρατηρήσουµε ότι το λήθος λύσεων της εξίσωσης f () = α είναι και το λήθος των σηµείων τοµής των γραφικών αραστάσεων των f, g Είναι ροφανές ότι αν α >, η ευθεία y = α δεν τέµνει την C f και συνεώς η εξίσωση είναι αδύνατη. Θέµα αν α =, η ευθεία y = α τέµνει την C f σε ένα σηµείο και συνεώς η εξίσωση έχει µοναδική λύση. αν 0 < α <, η ευθεία y = α τέµνει την C f σε δύο σηµεία και συνεώς η εξίσωση έχει δύο λύσεις. αν α 0, η ευθεία y = α δεν τέµνει την C f και συνεώς η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν οι θετικοί αριθµοί α,α,α,... είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής ροόδου θα αοδείξουµε ότι οι lnα, lnα, lnα,... είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου. Αφού οι αριθµοί ω,ω,ω,... είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής ροόδου θα είναι α : α λ ν + ν = Οότε ln( α : α ) ln λ ν + ν = ή lnα ν + lnα ν = ln λ ου σηµαίνει ότι οι lnα, lnα, lnα,... είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου. y O M y = α

33 Παρουσίαση Θέµα 5 Έστω οι συναρτήσεις f() = ln, > 0 και g () = +, R Θα αοδείξουµε ότι τα διαγράµµατα αυτών τέµνονται µόνο στο σηµείο M (,0 ) Θα τις αραστήσουµε στο ίδιο σύστηµα αξόνων. y c f Έστω η συνάρτηση h() = f() g() = ln +, > 0 Η h είναι ροφανώς γνήσια αύξουσα. O M Οότε, h() = 0 h() = h() = c g ηλαδή τότε είναι f () = g() Συνεώς, τα διαγράµµατα αυτών τέµνονται µόνο στο σηµείο M µε τετµηµένη Θέµα 6 Θα αοδείξουµε ότι log + log + log log = 00 Είναι log + log + log log 00 = log + log + log log = log = log 00 = log log00 =

34 Παρουσίαση Θέµα 7 Έστω η συνάρτηση f() = log( + ) log(a), a < 0 Θα ροσδιορίσουµε το ευρύτερο υοσύνολο του R στο οοίο ορίζεται η f για τις διάφορες τιµές της αρνητικής αραµέτρου a Θα αοδείξουµε ότι η f έχει µοναδική ρίζα. Πρέει + > 0 > a > 0 και < 0.αφού a < 0 ηλαδή το εδίο ορισµού της f είναι το = (,0) A f 0 Θα λύσουµε την εξίσωση f() = 0, (,0) Είναι f() = 0 log( + ) log(a) = 0 log( + ) log(a) Είναι = α α = α(α ) > 0, αφού α < 0 ( + ) Συνεώς, η εξίσωση ( * ) έχει δύο άνισες ρίζες, έστω τις r < r Εειδή r = 9 0 Ρίζες οµόσηµες r > = = a + (6 α) + 9 = 0 ) και r + r = a 6 < 0, οι ρίζες r, r θα είναι ροφανώς αρνητικές. Να τονίσουµε τώρα, ότι αοκλείεται να είναι δεκτές και οι δύο Πραγµατικά Αν ήταν δεκτές και οι δύο, θα έρεε να είναι < r < 0 και < r < 0 ροσθέτοντας κατά µέλη έχουµε < r + r 0 6 < a 6 < 0 0 < a < 6 Άτοο 6 < ( * Να τονίσουµε είσης ότι για τη µεγαλύτερη των ριζών α 6 + α α την r, είναι < r = < 0 αφού ισοδύναµα έχουµε 6 < α 6 + α α < 0 α < α α < 6 α α < α α < α α + 6 α < 0 < 6 Προφανές r Καταλήξαµε λοιόν, ότι η f έχει µοναδική ρίζα, την r

35 Παρουσίαση 5 Θέµα 8 Αν log 6 8 = α, θα υολογίσουµε ρώτα τον αριθµό log, ως συνάρτηση του α και µετά θα υολογίσουµε τον αριθµό log 6 Αό log 6 8 = α είναι log6 = α log6 = α log 6 = α Αό τον τύο αλλαγής βάσης, είναι και log log 6 α = log 6 = α log + log + log = = α α = α + αlog α = log α Είναι ροφανές ότι α 0, αφού α = log6 8 > 0 Τώρα log 6 = log6 + log6 log = log log + 6 log 6 log = log log = log log + log log + log = log log + log log log = + Συνεώς log 6 + log =

36 Παρουσίαση 6 Θέµα 9 Αν a,b,c > 0 και loga b = 0, logb c = 0, θα δείξουµε ότι a = 0 logc loga Αφού b = 0 είναι και loga log b = log 0 logb = log0 loga logb = loga ( loga) logb = log b logblog a = Αφού logb c = 0, εντελώς όµοια καταλήγουµε ότι log c logclogb = και log a log alogc = Τώρα, αό log b logbloga = και log c logclogb = αφαιρώντας έχουµε logb logbloga logc + logclogb = 0 logb ( loga + logc) = logc logc logb = loga + logc logc Έτσι, η σχέση log c logclogb =, γίνεται log c logc = loga + logc logc logcloga + log c log c = loga + logc logc logcloga = loga + logc logcloga = loga l oga logalogc =

37 Παρουσίαση 7 Ας δούµε και τα εόµενα θέµατα. Θέµα 0 Έστω η συνάρτηση f () = + ln, > 0 α) Θα αοδείξουµε ρώτα, ότι αυτή είναι γνήσια αύξουσα. β) Θα λύσουµε την εξίσωση = ln( ) ln α) Αν, > 0 µε <, τότε είναι και < όως και ln < ln Με ρόσθεση κατά µέλη, είναι ln + < ln + ή f( ) < f( ) ηλαδή η f είναι γνήσια αύξουσα στο ( 0, + ) β) Η εξίσωση = ln( ) ln ισοδύναµα γράφεται και σαν + ln = + ln( ) ή f() = f( ) Πρέει ροφανώς, όχι µόνο να είναι > 0, αλλά και > 0 ή > Εειδή η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα η ισότητα f() = f( ) γράφεται ισοδύναµα και = = εκτή. Θέµα Θα λύσουµε την εξίσωση = Πρέει ροφανώς να είναι 0 αφού το Αν (0, + ) 0 0 είναι αροσδιοριστία. η εξίσωση γίνεται = ln( ) = ln ln = 0 = 0 Αορρίτεται ln = 0 ή = Αν (,0) για να ορίζεται η δύναµη = ρέει ο να είναι αρνητικός ακέραιος και θέτοντας = ν, ν Ν η εξίσωση = γίνεται ( ν) ν = ν ν = ν ν = ν ln = ln(ν ) νln ν = 0 ν = 0 ή ν = και συνεώς = ή = 0 Αορρίτεται.

38 Παρουσίαση 8 Θέµα Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις f, g α) Θα αοδείξουµε ότι η συνάρτηση h = f + g είναι γνησίως αύξουσα. β) Έστω τώρα και η συνάρτηση F() = + ln Θα αοδείξουµε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. γ) Αφού διαιστώσουµε ότι το είναι µία ρίζα της F µετά θα διαιστώσουµε ότι υάρχει µοναδικός A >, ώστε ln ( A + ) + A = 0 δ) Θα βρούµε τα διαστήµατα, όου η C F είναι «άνω» ή «κάτω» αό τον α) Εειδή η f είναι γνήσια αύξουσα, αό <, είναι f( ) < f( ) Εειδή η g είναι γνήσια αύξουσα, αό <, είναι g( ) < g( ) είναι και ( ) + g( ) < f( ) g( ) ή f + g)( ) < (f g)( ) ή ( ) h( ) f + Οότε, η h είναι γνήσια αύξουσα. ( + h < β) Η συνάρτηση f () = ln είναι γνήσια αύξουσα στο * R + όως και η συνάρτηση g() = είναι γνήσια αύξουσα στο R Συνεώς και το άθροισµά τους η συνάρτηση F() = e +, είναι γνήσια αύξουσα στο γ) Είναι F () = + ln = 0 Τώρα είναι ln ( A + ) + A = 0 ln ( A + ) + ( A ) + = 0 F (A + ) = 0 * R + F (A + ) = F() αφού η f είναι γνήσια αύξουσα. A + = A = 0 δ) Ισχύει F () > 0 F () > F() > Οότε, η γραφική αράσταση Όµοια, διαιστώνουµε ότι η C F, είναι «άνω» αό τον C F, είναι «κάτω» αό τον στο (, + ) στο ( 0,)

39 Παρουσίαση 9 Ασκήσεις θ.8 Αν a + ln b alnb + ln (ab) ln(ab) + = 0 αφού διαιστώσετε ότι a = lnb και ln( ab) =, µετά να αοδείξετε ότι a =, b = e θ.9 Αν a b = lnc, a,b,c >, για κάθε > 0, να αοδείξετε ότι ab =, c = e θ.0 Αν + β α = ln, α > 0, < β <, να αοδείξετε ότι β = β e e α α + θ. Αν b ln a = alnb και ln a = ln + lnb, a,b > 0, να δείξετε ότι a =, b = θ. Έστω ότι ln0 + 0ln = ln0 και ln5 + 5ln = ln5, > 0 Να αοδείξετε ότι = θ. Αν γνωρίζουµε ότι ln (lnk) + lnk = 0, k >, να αοδείξετε ότι k k = e θ. Έστω οι αριθµοί a, b, ώστε a > b > 0, µε a lnb = bln a α) Να αοδείξετε ότι b = a a a β) Αν τώρα είναι και a = b, να αοδείξετε ότι a = b b b θ.5 Έστω οι αριθµοί a, b, µε a > b > 0, ώστε να είναι lnb a = b lna Να αοδείξετε ότι a = ή b = θ.6 Έστω οι αριθµοί a, b, µε a > b > 0, ώστε a b = b a α) Να αοδείξετε ότι b ln a + alnb = 0 β) Αν τώρα είναι και a ln a + blnb = 0, να αοδείξετε ότι a = b = θ.7 Έστω η εξίσωση ( + ln λ) + ln λ = 0, λ > 0 Να βρείτε την τιµή του λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ίσες ραγµατικές ρίζες. θ.8 Να αοδείξετε ότι η εξίσωση ln ln() + ln() ln() = ln έχει σαν λύσεις, µόνο τους αριθµούς και

40 Παρουσίαση 0 θ.9 Να αοδείξετε ότι η εξίσωση = έχει µοναδική λύση την = θ.50 Να αοδείξετε ότι η εξίσωση = είναι αδύνατη. θ.5 Να αοδείξετε ότι ( ) = = 0 + θ.5 Να αοδείξετε ότι ( 5 + 5) = {,,, } θ.5 Να αοδείξετε ότι στο σύνολο Ζ, η εξίσωση 7 = έχει µία λύση, το θ.5 Αν για τους * n m m,n N είναι n = m, να αοδείξετε ότι n = m θ.55 Αφού αοδείξετε ότι ln ln()ln() = ln + ln6ln + lnlnln, > 0 µετά να λύσετε την εξίσωση ln + ln6ln + lnlnln = 0 θ.56 Να συγκρίνετε τους A ln( a ) + =, B = ln + lna, Γ = ln a +, a > 0 θ.57 Να αοδείξετε την ισοδυναµία ln0 + ln( ) = 0 ln5 = ln, = ln5 θ.58 Να αοδείξετε ότι η εξίσωση n * = n, n N είναι αδύνατη. n n * Έστω τώρα, το µη σταθερό ολυώνυµο P() = n + n, n N Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει n, ώστε το P () να δέχεται ως ρίζα το θ.59 Έστω η ορισµένη στο D = (0,) συνάρτηση f, ώστε f () f() + ln = 0 και f () > 0, για κάθε D Να αοδείξετε ότι f() = + ln

41 Παρουσίαση θ.60 Έστω η συνάρτηση f() = log a + log a, a > 0 Γνωρίζουµε ότι η γραφική αράσταση α) Να αοδείξετε ότι a (0,] [0, + ) C f τέµνει τον άξονα β) Αν η f αρουσιάζει ελάχιστο στο, να αοδείξετε ότι f() 0 * θ.6 Έστω η συνάρτηση f() = + logn, n N α) Να αοδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα. β) Αν η f δέχεται ακέραια ρίζα, να αοδείξετε ότι αυτή είναι το και µάλιστα είναι και µοναδική. θ.6 Έστω η συνάρτηση f () = ln( συν) α) Να βρείτε το ευρύτερο υοσύνολο D του R, στο οοίο ορίζεται. β) Να αοδείξετε ότι αυτή είναι άρτια. γ) Να αοδείξετε ότι f() + f 0, για κάθε D θ.6 Έστω η συνάρτηση f() + ( loga) + loga log a =, 8 0 < a < 0 α) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει µοναδική ρίζα το log a Έστω και η συνάρτηση g() = log a log β) Να αοδείξετε ότι τα διαγράµµατα C f, C τέµνονται µόνο «άνω» στον θ.6 Έστω οι συναρτήσεις f και φ, µε τύους φ () =, f () = ln( φ() ) ln α) Να αοδείξετε ότι το ευρύτερο υοσύνολο του R στο οοίο ορίζεται η f είναι το διάστηµα = (, + ) β) Να αοδείξετε ότι f() > 0 γ) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f() = φ() είναι αδύνατη. g a y y θ.65 Έστω η συνάρτηση f () = + ln, ορισµένη στο ( 0, + ) α) Να αοδείξετε ότι αυτή είναι γνήσια αύξουσα. β) Να αοδείξετε την ισοδυναµία e = ln = e

42 Παρουσίαση

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: Mαΐου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (09/06/2017)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (09/06/2017) ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (9/6/7) Α. σελ. 35 Α. α. ΨΕΥΔΗΣ, β. σελ. 99 Α3. σελ. 73 Α. α) Λ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

( e ) 2. 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31.

( e ) 2. 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. ίνονται οι συναρτήσεις f() = ln(e e + 3) και g() = ln3 + ln(e 1) i. Να βρείτε το πεδίο ορισµού τους. ii. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των f, g

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135.

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Λύσεις των βασικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων ηµx = ηµθ x = κ + θ x = κ + ( θ), κ Z συνx = συνθ x = κ + θ x = κ θ, κ Z εφx = εφθ x = κ + θ, κ Z σφx = σφθ x =

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 9/6/7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

1.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. 1. i) f(x) = 5 ii) f(x) = x 4 iii) f(x) = x 9

1.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. 1. i) f(x) = 5 ii) f(x) = x 4 iii) f(x) = x 9 . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 5 8 A ΟΜΑ ΑΣ (Να βρείτε τις αραγώγους των συναρτήσεων στις ασκήσεις 8). f() 5 f() 4 i f() 9 f () ( 5) 0 f () ( 4 ) 4 i f () ( 9 ) 9 8.. f() f() i f() 5 f () f () ( ) 4 i

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας . Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας αέναντι κάθετη λευρά ημβ υοτείνουσα ημγ ΑB ροσκε ίμενη κάθετη λευρά συνβ υοτείνουσα συνγ αέναντι κάθετη λευρά εφβ ροσκε ίμενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 41. α + 1 Έστω η συνάρτηση f() = ( 3 ), α 1 Αν το σηµείο Μ( 1, 3) βρίσκεται στην γραφική παράσταση της f να βρείτε το α ii ) Αν α = 0 να λύσετε την ανίσωση f() + f(2) > 2

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α.1 Απόδειξη θεωρήματος σελίδα 135 στο σχολικό

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α.1 Απόδειξη θεωρήματος σελίδα 135 στο σχολικό ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Αόδειξη θεωρήματος σελίδα 5 στο σχολικό Α. α) ΨΕΥ ΗΣ β) Η συνάρτηση f()= είναι συνεχής στο o = αφού ισχύει lim f() lim f() Και δεν είναι αραγωγίσιμη στο o = αφού: f() f() lim lim lim

Διαβάστε περισσότερα

x 1 δίνει υπόλοιπο 24

x 1 δίνει υπόλοιπο 24 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3. Δίνεται το πολυώνυμο P() 6 α β το οποίο έχει παράγοντα το και όταν διαιρείται με το δίνει υπόλοιπο i. Να δείξετε ότι: α και β 6 ii. Να λύσετε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ /ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 07 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη (Σχολικό βιβλίο, σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x Προτεινόμενες λύσεις Πανελλήνιες 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 8/5/6 Θέμα A A. Εειδή f () > για κάθε Î (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.

Πώς ; ΣΤ)Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας. ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Για το αόριστο ολοκλήρωµα βρήκαµε ότι: Αν η συνάρτηση F ( είναι µια αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ράβδος σε σκαλοπάτι. = Fημθ και Fy

Ράβδος σε σκαλοπάτι. = Fημθ και Fy Ράβδος σε σκαλοάτι Ράβδος μήκους ύψους ακουμά σε σκαλοάτι όως φαίνεται στο σχήμα. Το κάτω άκρο της είναι σε εαφή με λείο κατακόρυφο εμόδιο το οοίο μορεί να κρατείται σταερό σε οοιαδήοτε έση. Μεταξύ ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: M Τετάρτη 6 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα Ε_ΜλΓΑ(α)

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις . Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ = ημ = i = iv) =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ = εφ = i σφ = iv) σφ =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = = i εφ = iv) σφ = 4. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 9 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Εξετάσεις 9 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Εξετάσεις 9 Ιουνίου 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου (Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας-Πληροφορικής) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 777 59 ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΛΓΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Βασικά σύνολα Σύνολο φυσικών: Í {,,,L} Σύνολο ακεραίων: Æ { L,,,,,, L} Σύνολο ρητών: Q / Æ, ë Æ * ë Άρρητος λέγεται ένας αριθµός που δεν µπορεί να γραφτεί µε τη µορφή κλάσµατος ακεραίων.

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι

θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι 1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ 9 /05/ 01 Προαγωγικές Εξετάσεις Β τάξης Εξεταζόμενο μάθημα : Άλγεβρα Σελίδες : (ΔΥΟ) ΘΕΜΑ 1 ο Α. Αν 0, 1 και, 1 θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι log a 1 log 1 log (15 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ) ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - 1/2017 ΣΧΕΔΙΟ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ

Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - 1/2017 ΣΧΕΔΙΟ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 ΣΧΕΔΙΟ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα