Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Transcript

1 Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2 Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ ) = (λ ) + λ = λ = λ λ Αν D 0 λ 0 και λ ( λ ) λ (λ ) = λ ( λ + ) = λ (λ ), για τις διάφορες τιµές του λ R D D D D λ Αν D = 0 λ (λ ) = 0 λ = 0 ή λ =, το σύστηµα θα είναι αδύνατο το σύστηµα θα δέχεται µοναδική λύση, την ( ) y, y =, =, λ Πιο συγκεκριµένα Αν λ = 0, τότε το σύστηµα γίνεται 0 y = 0 y = 0 ή y = y = 0 ή αόριστο. Αδύνατο. y = y = Αν λ =, τότε το σύστηµα γίνεται ή Αόριστο. y = y = Εειδή y = y =, η αειρία λύσεων, είναι η ( κ,κ ), κ R Θέµα λ + y = Αν το σύστηµα ( Σ) : είναι αδύνατο, θα δείξουµε ότι λ = + y = λ λ Για να είναι αδύνατο ρέει D = 0 = 0 λ = 0 λ = Με µία δοκιµή έχουµε + y = ( Σ) : + y = 0 + y = + y = 0 Αδύνατο. Οότε λ =

3 Παρουσίαση Θέµα λ y = 0 Αφού λύσουµε το σύστηµα ( Σ) :, λ R + λy = λ + θα εξετάσουµε αν υάρχει λ, ώστε το (, y) να είναι λύση του, µε + y = λ 0 Είναι D = = λ + 0 και ροφανώς D = = λ + λ λ + λ Αφού D 0, για κάθε λ R λ 0 Dy = = λ + λ λ + λ + λ + λ το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση την (, y) =, λ + λ + Θέλουµε + y = λ + λ + λ λ + λ + ή + = = λ + λ + = λ + λ + λ + λ + λ = Θέµα λ + y = 0 Αφού λύσουµε το σύστηµα (Σ) :, λ R + λ y = 0 θα εξετάσουµε αν υάρχει λ, ώστε το (, y) να είναι λύση του, µε y = λ 0 λ 0 Είναι D = = λ και ροφανώς D = = 0, D y = = 0 λ 0 λ 0 Αν D 0 λ το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση την ροφανή, τη µηδενική, την (,y) = ( 0,0) Τότε είναι y = 0 Αν D = 0 λ =, το σύστηµα θα είναι αόριστο και µε αντικατατάσταση στο αρχικό σύστηµα, ροκύτει το οοίο είναι ισοδύναµο µε το ( Σ) : + y = 0 y = Έτσι, η αειρία λύσεων είναι η (, y) ( r, r) = r R Τώρα θέλουµε y = r ( r) = r = Οότε λ = ( Σ) : r = + y = 0 + y = 0

4 Παρουσίαση Ας δούµε και τα ιο κάτω θέµατα. Θέµα 5 Έστω ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων ( Σ), µε αγνώστους και y y y Αν D + D + D = DD + DD + D θα αοδείξουµε ότι το σύστηµα ( Σ), δέχεται µοναδική λύση, την (, y) = (, ) y y Αό D + D + D = DD + DD + D y είναι D + D + D + D + D DD DD D + = 0 y = ( D D ) + ( D D ) + ( D ) 0 Οότε, ρέει D = D και D = D y και D = 0 Οότε, το Σ) Θέµα 6 y ( δέχεται µοναδική λύση, το ζευγάρι (, y) =, = (, ) y D D Έστω ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων, µε αγνώστους και y Ξέρουµε ότι: D + D + D, D D + D 0 και D + D D y = y = D D y = θα αοδείξουµε ότι το σύστηµα ( Σ) δέχεται µοναδική λύση την (, y) = (, ) Λύνοντας το σύστηµα: D + D + D, D D + D 0 και D + D D y = ροκύτει ολύ αλά ότι D = D = D Οότε, το Σ) Θέµα 7 y = y = D D y ( δέχεται µοναδική λύση το ζευγάρι (, y) =, = (, ) Έστω τo οµογενές γραµµικό σύστηµα D D y = α + y = 0 ( Σ) :, ώστε αβ > + βy = 0 Θα αοδείξουµε ότι αυτό δέχεται µοναδική λύση την ροφανή, την (, y) = ( 0,0) α 0 α 0 Εειδή D = = αβ 0 και D = = 0 και D y = = 0 β 0 β 0 το σύστηµα θα δέχεται µοναδική λύση την µηδενική, την (, y) = ( 0,0)

5 Παρουσίαση 5 Θέµα 8 Θα βρούµε τις τιµές της αραµέτρου α, ώστε το σύστηµα να είναι αόριστο. Είναι D = = = 0 ( Σ) : Οότε, είναι βέβαιο ότι το σύστηµα θα είναι ή αδύνατο ή αόριστο. + y = α Εειδή ( Σ) :, για να είναι αόριστο, ρέει + y = Αν τώρα είναι Θέµα 9 α, το σύστηµα είναι αδύνατο. α = + y = α + y = Θα βρούµε την ευθεία ( ε), ου διέρχεται αό τα σηµεία Α(, ) και Β (,) Η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη µορφή y = α + β y Αφού η ευθεία διέρχεται αό το σηµείο Α(, ) Α(,) το ζεύγος (, ) είναι η λύση της εξίσωσης y = α + β Άρα = α ( ) + β ή α β = ( ) Β (,) Οµοίως και για το σηµείο Β (,) 0 έχουµε = α + β ή α + β = ( ) Οι ( ) και ( ) αοτελούν ένα σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους τους α, β α β = και είναι το ( Σ) : α + β = Αό τη λύση του συστήµατος αυτού, βρίσκουµε ότι α = και και εοµένως η ζητούµενη ευθεία είναι η 5 β = 5 y = + ή τελικά ( ε) : + y = 5

6 Παρουσίαση 6 Θέµα 0 Θα λύσουµε γραφικά το σύστηµα ( Σ) : y = + y = y y = Το σύστηµα ( Σ) : γίνεται + y = και αντιροσωεύει δύο ευθείες ( Σ) : y = y = Α (, ) ( ε ) - την ( ε ) : y = και την ( ε ) : y = + ( ε ) Για την ( ε ) για = 0, έχουµε y = και για y = 0, έχουµε = Εοµένως η ( ε ) τέµνει τον ' στο και τον y ' y στο Για την ( ε ) για = 0, έχουµε y = και για y = 0, έχουµε = Εοµένως η ( ε ) τέµνει τον ' στο και τον y ' y στο Σχεδιάζουµε τώρα τις ευθείες και αρατηρούµε ότι τέµνονται στο σηµείο A(, ) Άρα, η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (, ) Θέµα Θα βρούµε το σύστηµα ( Σ) ου αριστάνει το σύστηµα των ιο κάτω ευθειών. y Β( 0,6) Σ(,) ( ε ) Έστω ότι ( ε ) : y = α + β Εειδή (ε ) είναι 0 = α + β A και (ε ) είναι = α + β Σ Πολύ αλά, ροκύτει α =, β = και συνεώς ( ε ) : y = Έστω ότι ( ε ) : y = α + β Εειδή (ε ) είναι 6 = β και (ε ) είναι = α + β Β Σ Πολύ αλά, ροκύτει α =, β = 6 και συνεώς ( ε ) : y = + 6 Οότε, ρόκειται για το σύστηµα y = ( Σ) : + y = 6 Α(,0) ( ε )

7 Παρουσίαση 7 Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα (Σ) : + y = 7 + y = 5 Μετά, θα δώσουµε τη γεωµετρική διάσταση του θέµατος. Είναι (Σ) : + y = 7 + y = 5 y = 7 + y = 5 y = = 0 Πολύ αλά, βρίσκουµε ότι = και y = ή = και y = ηλαδή, το σύστηµα έχει λύσεις τις (,) και (,) Να αναφέρουµε ότι τα σηµεία Μ (, y) ώστε + y = 5, είναι σηµεία κύκλου. Πραγµατικά Εειδή OM = ( 0) + ( y 0) = + y = 5 = 5 Μ(,y) O( 0,0) y Α(,) Β(,) (ε) διαιστώνουµε ότι η αόσταση κάθε σηµείου αό το O είναι σταθερή και ίση µε 5 Οότε, τα σηµεία M είναι σηµεία του κύκλου κέντρου O και ακτίνας ρ = 5 Αό την είλυση του ( Σ) βρήκαµε ότι η ευθεία ( ε) : y = + 7 τέµνει τον κύκλο ( κ) : y = 5 +, στα σηµεία (,) A και B (,) Να τονίσουµε ότι είναι άντα ωφέλιµο να κάνουµε δοκιµή, ώστε να διαιστώνουµε την ορθότητα της λύσης. Πραγµατικά Αντικαθιστώντας τις τιµές ου βρήκαµε, οι εξισώσεις του ( Σ) ικανοοιούνται. Για = και y =, είναι Για = και y =, είναι (Σ) : (Σ) : + = 7 + = 5 + = 7 + = 5

8 Παρουσίαση 8 Ασκήσεις δ.0 Έστω το γραµµικό σύστηµα Γνωρίζουµε ότι ad cb = 0 Να αοδείξετε ότι το σύστηµα Σ) ( Σ) : a + by = a + b c + dy = c + d ( δέχεται µοναδική λύση την (, y) = (, ) α + y = α β δ. Έστω το σύστηµα ( Σ) :, α,β, γ R + y = β γ Είναι D + D + D = D y α) Να λύσετε το σύστηµα ( Σ) β) Να αοδείξετε ότι α = β = γ =, 5 a + by = c δ. Έστω το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : a + by = c Γνωρίζουµε ότι τα ζεύγη (, ) και (,) είναι λύσεις του. α) Να δείξετε ότι a b = a b β) Να δείξετε ότι το Σ), y) = ( ρ, + ρ, ρ R ( δέχεται αειρία λύσεων, την ( ) a + by = c δ. Έστω το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : a + by = c ώστε a + b = c, a + b = c και a + b = c, a + b = c α) Να αοδείξετε ότι το ( Σ) δέχεται αειρία λύσεων. β) Να αοδείξετε ότι το ζεύγος (, y) (, ) a + b δ. Έστω το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : a + b ώστε a + b = c και a + b = c και c b > c b = είναι µία λύση του συστήµατος. y = c y = c Να αοδείξετε ότι το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση, την (, y) = (, ) δ.5 Έστω το γραµµικό σύστηµα (Σ) : (λ + ) + λ y = 0 + (λ + )y = λ, α) Να αοδείξετε ότι το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση ( ) β) Αν είναι και y =, να αοδείξετε ότι δ.6 Έστω το σύστηµα o o (Σ) : α + βy = α + β β + αy = αβ o y o, λ > 0 = λ = και (, y ), o, 0 < α < β Να αοδείξετε ότι το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση ( ο, yo ) την ( α,β) o

9 Παρουσίαση 9 δ.7 Έστω το γραµµικό σύστηµα + y = ( Σ) : y =, λ R + λy = Γνωρίζουµε ότι αυτό δέχεται µοναδική λύση ( o, y o ) Να αοδείξετε ότι αυτή είναι η (, y ) (, ) o o = και είσης αοδείξτε ότι λ = β + y = α + β δ.8 Να εξετάσετε αν το σύστηµα ( Σ) :, α,β R α + (β + )y = β + α µορεί να δεχτεί σαν µία λύση µόνο το ζευγάρι (, ) α + βy = α + β δ.9 Έστω το σύστηµα ( Σ) :, α,β R, β > 0 (β + ) αy = β α + α) Να αοδείξετε ότι αυτό δέχεται λύση το ζευγάρι (, ) β) Να εξετάσετε αν αυτή είναι µοναδική. γ) Να αοδείξετε ότι δεν υάρχουν αριθµοί α,β > 0, ώστε α + β = α + β και α β = α β β + γy = α + β + δ δ.50 Έστω το σύστηµα ( Σ) :, α,β, γ,δ R α + (β + )y = β + γ Γνωρίζουµε, ότι αυτό δέχεται λύση την (, ) και την (, ) α) Να αοδείξετε ότι β + β = αγ β) Να αοδείξετε ότι και το ζεύγος (, ) είναι λύση του ( Σ) + y = α + β y = δ.5 Έστω τα συστήµατα ( Σ ) :, (Σ ) :, α,β Q 5 y = α + βy = α + β Αν αυτά είναι ισοδύναµα, να αοδείξετε ότι α = και β = α + y = α β δ.5 Έστω το σύστηµα ( Σ) :, α,β, γ άρρητοι αριθµοί. + y = β γ Να αοδείξετε ότι D + D + D D y δ.5 Να βρείτε την αραβολή f() = a + b + c, a,b,c R αν αυτή διέρχεται αό τα σηµεία A (,0 ), B (0,) και Γ,

10 Παρουσίαση 0 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

11 Παρουσίαση ε Θεωρητικά θέµατα y y Στην ερίτωση ου µία συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα δεν µορεί να δεχτεί δύο διαφορετικές ρίζες. ηλαδή, ή δεν θα δέχεται καµία ρίζα, ή θα δέχεται σαν ρίζα µοναδικό αριθµό. Παράδειγµα Έστω η γνήσια αύξουσα στο R συνάρτηση f, µε f (0) = Θα λύσουµε την εξίσωση f( ) = Πραγµατικά f( ) = f( ) = f(0) = 0 = = ηλαδή, η εξίσωση f( ) = έχει µοναδική ρίζα τον αριθµό = Συνηθίζεται να λέµε και ότι η f δέχεται το ολύ µία ρίζα. Η ιο άνω έκφραση είναι λάθος, γιατί µορεί να µην έχουµε αλή ρίζα. Για αράδειγµα, η f()=, ενώ είναι γνήσια αύξουσα έχει τρεις ρίζες ίσες µε 0 Ο ρ Ο ρ Για το λήθος λύσεων των εξισώσεων, ου δεν ειλύονται αλγεβρικά µε τις γνωστές µεθόδους αραγοντοοίησης, τα φέρνουµε όλα σε ένα µέλος θεωρούµε συνάρτηση και κινούµαστε µε τη βοήθεια της µονοτονίας. Παράδειγµα Θα αοδείξουµε ότι η εξίσωση 5 + = έχει µοναδική λύση την = Πραγµατικά 5 Θεωρούµε την f() = + και θα αοδείξουµε ότι αυτή έχει µοναδική ρίζα. Έστω, R µε <, τότε είναι και < Οότε + < + ή + < + δηλαδή f( ) < f( ) Εειδή η f είναι γνήσια αύξουσα, αό f () = 0 f () = f() = Ας ροσέξουµε και το ιο κάτω σχόλιο. Αν η συνάρτηση f αρουσιάζει µέγιστο το, µόνο στο 0 σηµαίνει ότι f () f(0) = για κάθε Μόνο ου ειδικότερα σηµαίνει ότι f () = = 0 και f () < 0 Παράδειγµα Η ορισµένη στο R συνάρτηση f αρουσιάζει µέγιστο το, µόνο στη θέση 0 Θα λύσουµε και την εξίσωση f( e ) = Πραγµατικά Αό f( e ) = f( e ) = f(0) 5 e = 0 e = = 0 5 Ο

12 Παρουσίαση Ας ροσέξουµε το ιο κάτω θέµα. Θέµα Έστω η ορισµένη και άρτια στο D = [, ] συνάρτηση f Θα αοδείξουµε ότι η συνάρτηση g() = f( ) είναι εριττή στο D Εειδή η f είναι άρτια, είναι f ( ) = f(), για κάθε D = [, ] Τώρα, αν D, τότε και D αφού αν, είναι και Είναι g( ) = f() = f( ) = g(), για κάθε D = [, ] Συνεώς, η συνάρτηση g είναι εριττή στο D Θέµα Έστω η γνήσια µονότονη στο R συνάρτηση f, µε το ίδιο είδος µονοτονίας. Γνωρίζουµε ότι η γραφική της αράσταση διέρχεται αό τα σηµεία (, ) Θα αοδείξουµε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα. Μετά θα λύσουµε την ανίσωση f ( f() ) < Εειδή (, ) C f A, είναι f () = και εειδή B(,) Cf, είναι f () = A, B (,) Αφού η f είναι γνήσια µονότονη µε το ίδιο είδος µονοτονίας ή θα είναι γνήσια αύξουσα ή θα είναι γνήσια φθίνουσα. Αν ήταν γνήσια φθίνουσα, αό <, θα ήταν και f () > f() >, Άτοο. Άρα είναι γνήσια αύξουσα. Έτσι f ( f() ) < f ( f() ) < f() < Θέµα f () < f () < f () < f() Έστω η ορισµένη γνήσια φθίνουσα στο R + = [0, + ) συνάρτηση f, µε f (0) = Θα αοδείξουµε ότι η F() = f () + f() στο σηµείο 0 έχει µέγιστο το Αφού η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R +, αό 0 είναι f () f(0) = όως είσης και f () Είναι και () + f() () + f() F() F() F(0) f f ιαιστώνουµε λοιόν, ότι η F στο 0 αρουσιάζει µέγιστο το

13 Παρουσίαση Θέµα Έστω η συνάρτηση g () = +, µε R + α) Θα διαιστώσουµε ότι έχει ελάχιστο, αλλά δεν έχει µέγιστο. Έστω η ορισµένη και γνήσια φθίνουσα στο R + συνάρτηση f, µε f (0) = β ) Θα αοδείξουµε ότι η συνάρτηση f στο σηµείο 0 έχει µέγιστο το β ) Θα λύσουµε και την εξίσωση g () = f() γ) Έστω και η ορισµένη στο + Αν R συνάρτηση h, ώστε h() ( f() ) =, R + f =, θα αοδείξουµε ότι η h αρουσιάζει µέγιστο και θα το βρούµε. α) Αό g () = y, ισοδύναµα είναι + = y y Πρέει 0 ( y ) 0 Οότε, είναι g (R ) = [, + ) +, Προφανές = ( y ) Είναι ροφανές, ότι έχει ελάχιστο το, αλλά δεν έχει µέγιστο. = y Να αρατηρήσουµε ότι, τα ακρότατα της g θα µορούσαµε να τα διαιστώσουµε και µε τη γραφική αράσταση της g και µε τη µονοτονία και µε φράγµατα. β ) Εειδή η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R +, αό 0 είναι f () f(0) = Να τονίσουµε ότι το " = " ισχύει ταυτόχρονα. Οότε, στο σηµείο 0 η συνάρτηση f έχει µέγιστο το β ) Έστω η εξίσωση g () = f() Εειδή g() και f() Πρέει να είναι g () = + = = 0 = 0 Άρα = 0 και f () = f () = f (0) = Προφανές γ) Είναι ( f() ) 0 και ( f() ) Εειδή h = f = = ή h(), R Οότε, η συνάρτηση h αρουσιάζει µέγιστο το, είναι h ( ) h =

14 Παρουσίαση Ασκήσεις ε. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη και γνησίως αύξουσα στο A = [0, + ) να αοδείξετε ότι αυτή έχει ελάχιστο. ε. Αν η f είναι γνήσια µονότονη µε το ίδιο είδος µονοτονίας και f(0) < f( ) να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα. ε. Αν η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R, να λύσετε την ανίσωση f( + ) < f() ε. Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f() = είναι γνησίως αύξουσα. 7 + Μετά να λύσετε την εξίσωση ( + ) + = 9 ε.5 Έστω ότι η f έχει ελάχιστο στο Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση h() = f() έχει στο µέγιστο. 7 ε.6 Έστω η ορισµένη και εριττή στο = [ 0,0] συνάρτηση f Αυτή είναι γνήσια φθίνουσα στο [ 0,5] και γνησίως αύξουσα στο [ 5,0] Να δείξετε ότι f() f(5) για κάθε [0,0], f() f( 5) για κάθε [ 0,0] ε.7 Η συνάρτηση f είναι ορισµένη R, ώστε f () = Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f () f() +, αρουσιάζει ελάχιστο. ε.8 Έστω η συνάρτηση κ f() =, ορισµένη στο R, κ > 0 + α) Να αοδείξετε ότι κ f() κ, για κάθε R β) Αν η f έχει µέγιστο το, να αοδείξετε ότι έχει ελάχιστο το ε.9 Αν η f έχει ελάχιστο το 0, δείξτε ότι η g() = f() έχει µέγιστο το ε.0 Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη, γνησίως αύξουσα και εριττή στο R να λύσετε την ανίσωση f () + f( ) < 0 ε. Αν η f είναι ορισµένη στο R, αοδείξτε ότι η h() = f() + f( ) είναι άρτια. ε. Έστω η ορισµένη και εριττή στο D = [, ] συνάρτηση f Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f( ) είναι άρτια στο D

15 Παρουσίαση 5 ε. Έστω η συνάρτηση g () = +, R + α) Να αοδείξετε ότι αυτή έχει ελάχιστο, αλλά δεν έχει µέγιστο. β) Έστω η ορισµένη και γνήσια φθίνουσα στο R + συνάρτηση f, µε f (0) = β ) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f στο σηµείο 0 έχει µέγιστο το β ) Μετά να λύσετε την εξίσωση g () = f() ε. Έστω η συνάρτηση h() = φ () φ(), ορισµένη στο [ 0, + ) Να αοδείξετε ότι η h αρουσιάζει µέγιστο στην ερίτωση ου φ() = ή η Cφ τέµνει την ( ε) : y = ε.5 Έστω οι ορισµένες στο R συναρτήσεις f, g, ώστε f () + g () =, R και γνωρίζουµε ότι οι γραφικές αραστάσεις τους τέµνονται στην ευθεία = Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση h () = f()g() αρουσιάζει µέγιστο. =, R Αν η ευθεία ( ε) : y = 0,5 τέµνει τη γραφική αράσταση της g σε ένα τουλάχιστον σηµείο, να αοδείξετε ότι η f αρουσιάζει ελάχιστο, το οοίο και να βρείτε. ε.6 Έστω οι ορισµένες στο R συναρτήσεις f, g, ώστε f() g() ( g() ) ε.7 Έστω η ορισµένη και άρτια στο R συνάρτηση f Αν είναι γνήσια φθίνουσα στο (,0], να αοδείξετε ότι είναι γνήσια αύξουσα στο [ 0, + ) ε.8 Αν η ορισµένη στο R συνάρτηση f αρουσιάζει µέγιστο µόνο στο 0 το και για τους αριθµούς A και B είναι f(b) = f(a), να αοδείξετε ότι Α = Β ε.9 Έστω οι συναρτήσεις f και g, ώστε f() + = g(), για κάθε R Να βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη αόσταση των C f και C g ε.0 Έστω η ορισµένη και γνήσια αύξουσα στο R + συνάρτηση f Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f () + f() = f() + f() έχει µοναδική ρίζα το 0 ε. Να αοδείξετε ότι το γινόµενο µία άρτιας µε µίας εριττής στο R συνάρτησης δίνει εριττή συνάρτηση. B +, R ε. Έστω τα σηµεία Α(, ) και (, ) Να αοδείξετε ότι το ΑΒ έχει το µικρότερο µήκος, όταν αυτό γίνει ίσο µε ε. Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε f ( + y) = f() + f(y),, y R α) Να αοδείξετε ότι 0 (0) f = β) Να αοδείξετε ότι αυτή είναι εριττή.

16 Παρουσίαση 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

17 Παρουσίαση 7 α Τριγωνοµετρικές εξισώσεις Ας δούµε τις ιο κάτω βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις. Βασικός στόχος µας σε µια αλή τριγωνοµετρική εξίσωση της µορφής ηµ,συν,εφ,σφ = α είναι η µετατροή του αριθµού α, σε αντίστοιχο τριγωνοµετρικό αριθµό αν αυτό είναι δυνατό. Παράδειγµα ηµ = 0 ηµ = ηµ 0 = κ ή = κ +, κ Ζ Πρόκειται για τόξα ου καταλήγουν τελικά στο Α ή στο Α ηλαδή, για τόξα της µορφής = λ, µε λ Ζ Α Α Παράδειγµα συν = 0 συν = συν = κ + ή = κ, κ Ζ ρόκειται για τόξα ου καταλήγουν τελικά στο Β ή στο Β ηλαδή για τόξα της µορφής = λ +, λ Ζ Β Β Ας δούµε και µία λίγο ιο σύνθετη µορφή. Παράδειγµα Θα λύσουµε την εξίσωση ηµ + = Είναι ηµ + = ηµ + = ηµ + = κ = κ ή ή + = κ + + = κ + ή = κ = κ +, κ Ζ 6

18 Παρουσίαση 8 Ας δούµε ως κινούµαστε όταν εµφανίζεται «-» µροστά αό έναν τριγωνοµετρικό αριθµό. Παράδειγµα ηµ = ηµ = ηµ ηµ = ηµ Παράδειγµα 5 συν = συν = συν συν = συν = κ 5 = κ+ µε κ Ζ = κ ± κ κ Ζ Παράδειγµα 6 εφ = εφ = εφ εφ = εφ 6 6 = κ 6 κ Ζ Παράδειγµα 7 σφ = σφ = σφ σφ = σφ 6 6 = κ 6 κ Ζ Ας δούµε την ερίτωση εξίσωσης της µορφής Παράδειγµα 8 ηµ = συνy Θα λύσουµε την εξίσωση συν () = ηµ Ισοδύναµα είναι συν() = συν = κ + = κ + κ = + 8 = κ, κ Ζ

19 Παρουσίαση 9 Ας δούµε ως κινούµαστε, όταν οι γωνίες εκφράζονται σε µοίρες. Παράδειγµα 9 ο = Θα λύσουµε την εξίσωση συν( ω 5 ) Πραγµατικά ( 5 ) ο = συν( ω 5 ) ο ο = συν( ω 5 ) ο = συν(60 ) συν ω Οότε ο ο ω 5 = κ ή ο ω 5 = κ ο ω = κ ω = κ 80 5 ο ο ω = 0 κ + ο 5 ω = 0 κ 5, κ Ζ ο Εδώ, θα µορούσαµε να µετατρέψουµε ρώτα τις µοίρες σε ακτίνια. Πιο συγκεκριµένα. ο = Η εξίσωση συν( ω 5 ) ισοδύναµα γίνεται συν ω = συν ω = συν 7 7 ω = κ + ω = κ + ω = κ + 6 ή ω = κ ω = κ ω = κ, κ Ζ 6 Ας δούµε και το αράδειγµα. Παράδειγµα 0 Θα λύσουµε την εξίσωση συν ( ) = συν( + ) Πραγµατικά κ= = = κ + Είναι συν ( ) συν( + ) 0 = κ + 0 = κ + κ = Αδύνατη, αφού ο κ είναι ακέραιος ή = κ + = κ + κ = +, κ Ζ

20 Παρουσίαση 0 Να τονίσουµε όµως τώρα, κάτι ολύ σηµαντικό. Στην ερίτωση των εφατοµένων και συνεφατοµένων, να ροσέχουµε τους εριορισµούς. Παράδειγµα Θα λύσουµε την εξίσωση εφ = Πραγµατικά Είναι εφ = εφ Ισοδύναµα = κ + = κ + = κ +, κ Ζ 5 7 Είναι ροφανές, ότι για τις διάφορες τιµές της ακέραιος αραµέτρου κ 5 7 τα τόξα καταλήγουν στο ή στο ή στο ή στο Πρέει συν 0 συν κ+ 0 συν κ+ 0 Προφανές. αφού αν ο κ είναι άρτιος, δηλαδή κ = ρ είναι συν κ + = συν ρ + = συν = 0 και αν ο κ είναι εριττός, δηλαδή κ = ρ + 5 είναι συν κ + = συν ρ + + = συν = 0 Να τονίσουµε ότι η τεκµηρίωση µορεί να γίνει και όως αρακάτω. Πρέει συν 0 ηλαδή, ρέει ρ + κ + ρ + κ + ρ + κ ρ κ ρ Το οοίο είναι ροφανές, αφού η διαφορά ακεραίων είναι διάφορη του

21 Παρουσίαση Παράδειγµα Θα λύσουµε την εξίσωση εφ = εφ( + ) Πραγµατικά Ισοδύναµα είναι = κ = κ + 5 = κ, κ Ζ Αν θέλουµε, για ρακτικούς λόγους, αντικαθιστούµε το κ µε τον ακέραιο λ και έτσι γράφουµε Αν όµως κάναµε αλλαγή µελών εφ έχουµε ( + ) = εφ 5 = λ, λ Ζ + = κ + ιαιστώνουµε ότι έτσι αοφύγαµε τα ολλά «-» 5 = κ, κ Ζ Ας ροσέξουµε τους εριορισµούς. Προηγούµενα ριν ακόµη λύσουµε την εξίσωση, έρεε να αναφέρουµε τους εριορισµούς. ηλαδή έρεε να «ούµε» 5 ότι συν 0 συν κ 0 συν κ 0 Προφανές. και συν( ) συν κ + 0 συν 0 Άτοο. Να θυµηθούµε ότι το συνηµίτονο µηδενίζεται, µόνο όταν τα τόξα καταλήγουν στο ή στο, ή όως λέµε στο Συνεώς η εξίσωση είναι αδύνατη.

22 Παρουσίαση Ας δούµε και το εόµενο αράδειγµα. Παράδειγµα Θα αοδείξουµε ότι η εξίσωση εφ σφ() = είναι αδύνατη. Πραγµατικά Πρέει συν 0 και ηµ () 0 αφού ηµ εφ = και συν εφ () = συν() ηµ() Εειδή εφσφ() = 0, είναι και σφ() 0 η εξίσωση εφ σφ() = ισοδύναµα γίνεται εφ = σφ() ή εφ = εφ() ή εφ () = εφ ή = κ + ή = κ, κ Ζ Όµως, τότε είναι ηµ () = ηµ(κ) = ηµ(0) = 0 και συνεώς οι λύσεις = κ, µε κ Ζ, αορρίτονται. Υάρχει ερίτωση, να δούµε τη λύση αρουσιασµένη διαφορετικά. Παράδειγµα Θα λύσουµε την εξίσωση εφ ( ) = εφ( + ) Πραγµατικά Είναι εφ ( ) = εφ( + ) Ισοδύναµα = κ + + = κ + = κ +, κ Ζ Οι λύσεις ροφανώς, είναι όλες δεκτές. Ας δούµε τώρα τι γίνεται, αν κάναµε αλλαγή µελών. Είναι και εφ( + ) = εφ( ) Ισοδύναµα + = κ + = κ = κ = λ, λ Ζ Να τονίσουµε ότι και στις δύο εριτώσεις βρήκαµε τις ίδια λύσεις!

23 Παρουσίαση Ας δούµε και ιο σύνθετες τριγωνοµετρικές εξισώσεις. Βασικός στόχος, είναι να αναχθούµε στις ροηγούµενες βασικές εξισώσεις. Παράδειγµα 5 Θα λύσουµε την εξίσωση ηµ ω + ηµω = 0 Πραγµατικά Αν θέσουµε ηµω = t, η εξίσωση ηµ ω + ηµω = 0 γίνεται t ± + t = 0 t = t = ή t = Εοµένως για t = έχουµε ηµω = ηµω = ηµ ω = κ, κ Ζ ή ω = κ + για t = έχουµε ηµω = ηµω = ηµ 6 Παράδειγµα 6 Θα λύσουµε την εξίσωση ηµ + συν = 0 Πραγµατικά ή ω = κ +, κ Ζ 6 5 ω = κ + 6 ηµ + συν = 0 ηµ = συν ηµ = συν ηµ = συν + ηµ = ηµ + ηµ = ηµ Οότε = κ + = κ = κ = κ, κ Ζ ή = κ + 0 = κ + 0 = κ + Αδύνατη. Συνεώς = κ, κ Ζ 8

24 Παρουσίαση Ασκήσεις α.0 Να λύσετε την εξίσωση ( ηµ)ηµ( ηµ) = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ = ηµ α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ = ( συν) α. Να λύσετε την εξίσωση συν = συν α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ + 5συν = α.5 Να λύσετε την εξίσωση εφ = εφ α.6 Να λύσετε την εξίσωση ηµ + = ηµ α.7 Να λύσετε την εξίσωση συν = ηµ συν + συν + συν α.8 Να λύσετε την εξίσωση ηµ 5 ηµ + = ηµ + ηµ ηµ α.9 Να λύσετε την εξίσωση ηµ + ηµ = 0 α.0 Να λύσετε την εξίσωση εφ ( ) + εφ = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση συν ηµ + = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση εφ + σφ = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ + + συν = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ + συν = 6

25 Παρουσίαση 5 α.5 Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει R, ώστε ηµ + + συν = 6 α.6 Να λύσετε την εξίσωση ηµ α.7 Να λύσετε την εξίσωση 5 = 0ηµ o ηµ = ηµ5 α.8 Αν ηµθ = 0,, να ροσδιορίσετε τους µε την ιδιότητα ηµ ( θ) = 0, ως συνάρτηση του θ α.9 Να λύσετε την εξίσωση ηµ = 0 α.0 Να λύσετε την εξίσωση ηµ + συν = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση εφ = ηµ α. Να λύσετε την εξίσωση εφ σφ() = 8 α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ + ηµ = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση ( συν) συν = 0 α.5 Να λύσετε την εξίσωση ηµ = ηµ α.6 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων ηµ = και + συν α.7 Να λύσετε την εξίσωση = 0 ηµ α.8 Να λύσετε την εξίσωση α.9 Να λύσετε την εξίσωση α.0 Να λύσετε την εξίσωση ηµ + συν = ηµ εφ () = εφ + συν = ηµσυν α. Να λύσετε την ανίσωση ηµ + ηµ α. Να λύσετε την εξίσωση ηµ (ηµ) = 0 α. Να λύσετε την εξίσωση + = συν( ) συν =

26 Παρουσίαση 6 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ δ Παράγοντες ολυωνύµου Ας δούµε τα ιο κάτω θέµατα. Θέµα Θα βρούµε τους α, β, ώστε το ολυώνυµο P() = α + β να έχει αράγοντες τα διώνυµα και Στη συνέχεια, θα βρούµε και τις ρίζες του ολυωνύµου. Αφού το είναι αράγοντας, ρέει P () = 0 α + β = 0 β = α Αφού το είναι αράγοντας, ρέει P () = 0 8 α + β = 0 Λύνοντας το ιο άνω σύστηµα, έχουµε β = α α = α α = και β = 5 Οότε είναι P() = + 5 Εειδή το είναι ρίζα του ολυωνύµου έχουµε P() = ( )( + + ) Εειδή το είναι ρίζα του ολυωνύµου έχουµε P() = ( )( )( ) Συνεώς, οι ρίζες του ολυωνύµου P () είναι οι αριθµοί, και Θέµα Θα αοδείξουµε ότι το d() = είναι αράγοντας του D() = Η διαίρεση του D () δια του d() δίνει D () d()() + υ( ) Για 5 + = = ( ) () c =, έχουµε c 0 = και συνεώς D() = ( ) ()

27 Παρουσίαση 7 Θέµα Θα εξετάσουµε αν το ολυώνυµο Ρ() = + 7 έχει αράγοντα το διώνυµο Είναι Ρ ( + ) = ( + ) + ( + ) 7 = = 0 Οότε, ο αριθµός + είναι µία ρίζα του ολυωνύµου P () και συνεώς το διώνυµο ( + ) = είναι αράγοντας του P () Θέµα Έστω το ολυώνυµο P (), ώστε P( + ) = P( ), R Αν αυτό διαιρείται µε, θα αοδείξουµε ότι αυτό διαιρείται και µε Αφού το ολυώνυµο P (), διαιρείται δια του, θα είναι P () = 0 Αό P( + ) = P( ), για =, έχουµε P () = P() = 0 Οότε, αφού το είναι ρίζα του P (), αυτό θα διαιρείται και µε Θέµα 5 Αν το διώνυµο ( )( ) είναι αράγοντας του ολυωνύµου P () θα αοδείξουµε ότι το P () διαιρείται µε τα διώνυµα και Αφού το ( )( ) είναι αράγοντας του ολυωνύµου P () είναι P() = ( )( )() όου () το υόλοιο της διαίρεσης του P () µε το ( )( ) Εειδή P () = ( )( )() = 0, το P () διαιρείται µε το διώνυµο P () = ( )( )() = 0, το P () διαιρείται µε το διώνυµο

28 Παρουσίαση 8 Θέµα 6 Θα αοδείξουµε ότι το διώνυµο είναι αράγοντας του () = + Ας δούµε τα ιο κάτω: Έστω η διαίρεση του ολυωνύµου () µε το η οοία δίνει ηλίκο το () και υόλοιο γενικής µορφής υ () = a + b Τότε είναι () = ( )() + a + b Είναι () = ( )() + a + b 0 = a + b a = b b = 0, a = 0 Είναι ( ) = ( )(-) a + b 0 = a + b a = b Συνεώς υ () = 0 ηλαδή, διαιστώσαµε ότι το διώνυµο είναι αράγοντας του () Θα µορούσαµε να κινηθούµε και ως εξής: Με βάση το σχήµα Horner () = + είναι () = ( )( ) Με βάση το σχήµα Horner είναι = ( + )( + ) Συνεώς είναι () = ( )( + )( + ) = ( )( + ) Έτσι διαιστώσαµε, ότι το διώνυµο είναι αράγοντας του () Θα µορούσαµε να κινηθούµε και ως εξής: Εκτελούµε την Ευκλείδεια διαίρεση του () µε το και βρίσκουµε υόλοιο 0 Συνεώς () = ( )( + ) Θα µορούσαµε να κινηθούµε και ως εξής: Για να διαιρείται το () = + ακριβώς µε το αρκεί να υάρχουν a,b,c R, ώστε () = ( )(a + b + c) + = ( )(a + b + c) Μετά αό ράξεις, καταλήγουµε ότι a =, b = 0 και c = ηλαδή, () = ( )( + ) και έτσι διαιστώνουµε ότι διαιρείται µε το

29 Παρουσίαση 9 Ασκήσεις δ. Να αοδείξετε ότι τα διώνυµα, +, και είναι αράγοντες του ολυωνύµου Π() = δ. Να αοδείξετε ότι το ολυώνυµο P() = ( + ), v N, n > ν ν έχει ως αράγοντες όλους τους αράγοντες του Q() = + + δ. Έστω το ολυώνυµο P (), ώστε P( + ) = P( ) α) Αν αυτό διαιρείται µε, τότε αυτό διαιρείται και µε + β) Αν ο σταθερός όρος του ολυωνύµου είναι 0, τότε δεν διαιρείται µε 0 δ.5 Αν για κάοιο ολυώνυµο P () τετάρτου βαθµού είναι P ( ) = P() και P (0) = 0, να αοδείξετε ότι το είναι αράγοντας του P () δ.6 Έστω το ολυώνυµο P (), ώστε P( + ) = +, R Να αοδείξετε ότι το είναι αράγοντάς του. δ.7 Να αοδείξετε ότι το δ.8 Αν το να αοδείξετε ότι α = δ.9 Αν το διαιρεί το ολυώνυµο Ρ() ( ) 5 = 8, διαιρεί το ολυώνυµο Ρ() = ( ( 8) + α ), διαιρεί το ολυώνυµο Ρ() ( + ) ( 7α ) α + =, α > να αοδείξετε ότι α 9α + α 6 = 0 και µετά ότι α 8α + 6 = 0 δ.0 Έστω το ολυώνυµο Ρ() = ( + ) + ( + ) κ κ µε κ R Να αοδείξετε ότι το διώνυµο κ + είναι αράγοντας του P () δ. Να βρείτε τους α, β, ώστε το ολυώνυµο P() = α + β να διαιρείται µε το ( ) δ. Έστω το ολυώνυµο P () ώστε P( ) + P( ) = + Να αοδείξετε ότι το µονώνυµο διαιρεί το ολυώνυµο P ()

30 Παρουσίαση 0 δ. Έστω το ολυώνυµο P() = α 8α α µη µηδενικός ακέραιος Να αοδείξετε ότι το α είναι αράγοντας του P () Μετά να βρείτε και τον άλλον αράγοντα του ολυωνύµου P () δ. Να βρείτε τους α, β, ώστε το ολυώνυµο P() = α + β 6 να έχει αράγοντες τα διώνυµα + και και στη συνέχεια να βρείτε τις ρίζες του ολυωνύµου. δ.5 Να βρείτε την τιµή της θετικής αραµέτρου λ ώστε το διώνυµο +, να διαιρεί το Ρ() = λ + (λ λ + ) + δ.6 Να βρείτε τον λ R, ώστε το + λ να διαιρεί το Ρ() = + 0 δ.7 Να αοδείξετε ότι το ολυώνυµο P() = + a + a a, a R δεν µορεί να έχει αράγοντα το διώνυµο δ.8 Έστω το ολυώνυµο P() = + a + b Να βρείτε τους ραγµατικούς αριθµούς a, b ώστε το τριώνυµο t() = + να είναι αράγοντας του ολυωνύµου P () δ.9 Αν το + α είναι αράγοντας του P() = + α, να αοδείξετε ότι ν = κ +, κ Ν 6 ν ν * ν N, α 0 ν ν ν- ν ν ν Μετά, να αοδείξετε ότι ( + α ) = ( + α) ( α + α... + α ) ν+ δ.0 Έστω τα ολυώνυµο P() = α + β +, ν Ν και α,β R Γνωρίζουµε ότι έχει αράγοντα το () = + Να αοδείξετε ότι α = ν και β = ν Αν το P() έχει ένα µόνο ακόµη αράγοντα, τον δ. Αν το Ρ() = (n + ) n n n+ + a ν α, α >, δείξτε ότι α =, n N και a Z, διαιρείται µε θα διαιρείται και µε ( ) δ. Αν το P() = α + (α + γ) + β γ + έχει αράγοντες όλους τους ρωτοβάθµιους αράγοντες του Q() =, να βρείτε τα α, β, γ

31 Παρουσίαση ΕΚΘΕΤΙΚΗ- ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ θ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε τα ιο κάτω θέµατα. Θέµα Θα αοδείξουµε ότι η συνάρτηση f() = + είναι γνήσια αύξουσα στο R Μετά, θα λύσουµε την εξίσωση ln 5 + ln = 0 Έστω, R, µε < 5 Είναι 5 5 < 5 5 Με ρόσθεση είναι + < + ή τελικά + < + ηλαδή f( ) < f( ) και συνεώς η f είναι γνήσια αύξουσα στο R Οότε, η εξίσωση ln 5 + ln = 0, > 0 γίνεται f (ln ) = 0 f (ln ) = f() ln = = e 5 5 Θέµα Θα αοδείξουµε ότι η συνάρτηση f() = e + είναι γνήσια αύξουσα στο R ln Μετά, θα λύσουµε την ανίσωση e + ln < 0 Έστω οι τυχόντες, R, µε < Είναι < και συνεώς e < e και µε ρόσθεση είναι e + < e + και e + e < + ηλαδή f( ) < f( ) και συνεώς η f είναι γνήσια αύξουσα. ln Οότε, η ανίσωση e + ln < 0, µε > 0 γίνεται f (ln ) < 0 f (ln ) < f() ln < 0 < < e

32 Παρουσίαση Θέµα e αν 0 Έστω η συνάρτηση f() = e αν > 0 Θα αραστήσουµε στο είεδο, τη συνάρτηση f Μετά θα βρούµε το λήθος των ριζών της εξίσωσης Η γραφική της αράσταση φαίνεται στο διλανό σχήµα. Να αρατηρήσουµε ότι e = e f () = α, για τις τιµές του α R Να αρατηρήσουµε ότι το λήθος λύσεων της εξίσωσης f () = α είναι και το λήθος των σηµείων τοµής των γραφικών αραστάσεων των f, g Είναι ροφανές ότι αν α >, η ευθεία y = α δεν τέµνει την C f και συνεώς η εξίσωση είναι αδύνατη. Θέµα αν α =, η ευθεία y = α τέµνει την C f σε ένα σηµείο και συνεώς η εξίσωση έχει µοναδική λύση. αν 0 < α <, η ευθεία y = α τέµνει την C f σε δύο σηµεία και συνεώς η εξίσωση έχει δύο λύσεις. αν α 0, η ευθεία y = α δεν τέµνει την C f και συνεώς η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν οι θετικοί αριθµοί α,α,α,... είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής ροόδου θα αοδείξουµε ότι οι lnα, lnα, lnα,... είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου. Αφού οι αριθµοί ω,ω,ω,... είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής ροόδου θα είναι α : α λ ν + ν = Οότε ln( α : α ) ln λ ν + ν = ή lnα ν + lnα ν = ln λ ου σηµαίνει ότι οι lnα, lnα, lnα,... είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου. y O M y = α

33 Παρουσίαση Θέµα 5 Έστω οι συναρτήσεις f() = ln, > 0 και g () = +, R Θα αοδείξουµε ότι τα διαγράµµατα αυτών τέµνονται µόνο στο σηµείο M (,0 ) Θα τις αραστήσουµε στο ίδιο σύστηµα αξόνων. y c f Έστω η συνάρτηση h() = f() g() = ln +, > 0 Η h είναι ροφανώς γνήσια αύξουσα. O M Οότε, h() = 0 h() = h() = c g ηλαδή τότε είναι f () = g() Συνεώς, τα διαγράµµατα αυτών τέµνονται µόνο στο σηµείο M µε τετµηµένη Θέµα 6 Θα αοδείξουµε ότι log + log + log log = 00 Είναι log + log + log log 00 = log + log + log log = log = log 00 = log log00 =

34 Παρουσίαση Θέµα 7 Έστω η συνάρτηση f() = log( + ) log(a), a < 0 Θα ροσδιορίσουµε το ευρύτερο υοσύνολο του R στο οοίο ορίζεται η f για τις διάφορες τιµές της αρνητικής αραµέτρου a Θα αοδείξουµε ότι η f έχει µοναδική ρίζα. Πρέει + > 0 > a > 0 και < 0.αφού a < 0 ηλαδή το εδίο ορισµού της f είναι το = (,0) A f 0 Θα λύσουµε την εξίσωση f() = 0, (,0) Είναι f() = 0 log( + ) log(a) = 0 log( + ) log(a) Είναι = α α = α(α ) > 0, αφού α < 0 ( + ) Συνεώς, η εξίσωση ( * ) έχει δύο άνισες ρίζες, έστω τις r < r Εειδή r = 9 0 Ρίζες οµόσηµες r > = = a + (6 α) + 9 = 0 ) και r + r = a 6 < 0, οι ρίζες r, r θα είναι ροφανώς αρνητικές. Να τονίσουµε τώρα, ότι αοκλείεται να είναι δεκτές και οι δύο Πραγµατικά Αν ήταν δεκτές και οι δύο, θα έρεε να είναι < r < 0 και < r < 0 ροσθέτοντας κατά µέλη έχουµε < r + r 0 6 < a 6 < 0 0 < a < 6 Άτοο 6 < ( * Να τονίσουµε είσης ότι για τη µεγαλύτερη των ριζών α 6 + α α την r, είναι < r = < 0 αφού ισοδύναµα έχουµε 6 < α 6 + α α < 0 α < α α < 6 α α < α α < α α + 6 α < 0 < 6 Προφανές r Καταλήξαµε λοιόν, ότι η f έχει µοναδική ρίζα, την r

35 Παρουσίαση 5 Θέµα 8 Αν log 6 8 = α, θα υολογίσουµε ρώτα τον αριθµό log, ως συνάρτηση του α και µετά θα υολογίσουµε τον αριθµό log 6 Αό log 6 8 = α είναι log6 = α log6 = α log 6 = α Αό τον τύο αλλαγής βάσης, είναι και log log 6 α = log 6 = α log + log + log = = α α = α + αlog α = log α Είναι ροφανές ότι α 0, αφού α = log6 8 > 0 Τώρα log 6 = log6 + log6 log = log log + 6 log 6 log = log log = log log + log log + log = log log + log log log = + Συνεώς log 6 + log =

36 Παρουσίαση 6 Θέµα 9 Αν a,b,c > 0 και loga b = 0, logb c = 0, θα δείξουµε ότι a = 0 logc loga Αφού b = 0 είναι και loga log b = log 0 logb = log0 loga logb = loga ( loga) logb = log b logblog a = Αφού logb c = 0, εντελώς όµοια καταλήγουµε ότι log c logclogb = και log a log alogc = Τώρα, αό log b logbloga = και log c logclogb = αφαιρώντας έχουµε logb logbloga logc + logclogb = 0 logb ( loga + logc) = logc logc logb = loga + logc logc Έτσι, η σχέση log c logclogb =, γίνεται log c logc = loga + logc logc logcloga + log c log c = loga + logc logc logcloga = loga + logc logcloga = loga l oga logalogc =

37 Παρουσίαση 7 Ας δούµε και τα εόµενα θέµατα. Θέµα 0 Έστω η συνάρτηση f () = + ln, > 0 α) Θα αοδείξουµε ρώτα, ότι αυτή είναι γνήσια αύξουσα. β) Θα λύσουµε την εξίσωση = ln( ) ln α) Αν, > 0 µε <, τότε είναι και < όως και ln < ln Με ρόσθεση κατά µέλη, είναι ln + < ln + ή f( ) < f( ) ηλαδή η f είναι γνήσια αύξουσα στο ( 0, + ) β) Η εξίσωση = ln( ) ln ισοδύναµα γράφεται και σαν + ln = + ln( ) ή f() = f( ) Πρέει ροφανώς, όχι µόνο να είναι > 0, αλλά και > 0 ή > Εειδή η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα η ισότητα f() = f( ) γράφεται ισοδύναµα και = = εκτή. Θέµα Θα λύσουµε την εξίσωση = Πρέει ροφανώς να είναι 0 αφού το Αν (0, + ) 0 0 είναι αροσδιοριστία. η εξίσωση γίνεται = ln( ) = ln ln = 0 = 0 Αορρίτεται ln = 0 ή = Αν (,0) για να ορίζεται η δύναµη = ρέει ο να είναι αρνητικός ακέραιος και θέτοντας = ν, ν Ν η εξίσωση = γίνεται ( ν) ν = ν ν = ν ν = ν ln = ln(ν ) νln ν = 0 ν = 0 ή ν = και συνεώς = ή = 0 Αορρίτεται.

38 Παρουσίαση 8 Θέµα Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις f, g α) Θα αοδείξουµε ότι η συνάρτηση h = f + g είναι γνησίως αύξουσα. β) Έστω τώρα και η συνάρτηση F() = + ln Θα αοδείξουµε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. γ) Αφού διαιστώσουµε ότι το είναι µία ρίζα της F µετά θα διαιστώσουµε ότι υάρχει µοναδικός A >, ώστε ln ( A + ) + A = 0 δ) Θα βρούµε τα διαστήµατα, όου η C F είναι «άνω» ή «κάτω» αό τον α) Εειδή η f είναι γνήσια αύξουσα, αό <, είναι f( ) < f( ) Εειδή η g είναι γνήσια αύξουσα, αό <, είναι g( ) < g( ) είναι και ( ) + g( ) < f( ) g( ) ή f + g)( ) < (f g)( ) ή ( ) h( ) f + Οότε, η h είναι γνήσια αύξουσα. ( + h < β) Η συνάρτηση f () = ln είναι γνήσια αύξουσα στο * R + όως και η συνάρτηση g() = είναι γνήσια αύξουσα στο R Συνεώς και το άθροισµά τους η συνάρτηση F() = e +, είναι γνήσια αύξουσα στο γ) Είναι F () = + ln = 0 Τώρα είναι ln ( A + ) + A = 0 ln ( A + ) + ( A ) + = 0 F (A + ) = 0 * R + F (A + ) = F() αφού η f είναι γνήσια αύξουσα. A + = A = 0 δ) Ισχύει F () > 0 F () > F() > Οότε, η γραφική αράσταση Όµοια, διαιστώνουµε ότι η C F, είναι «άνω» αό τον C F, είναι «κάτω» αό τον στο (, + ) στο ( 0,)

39 Παρουσίαση 9 Ασκήσεις θ.8 Αν a + ln b alnb + ln (ab) ln(ab) + = 0 αφού διαιστώσετε ότι a = lnb και ln( ab) =, µετά να αοδείξετε ότι a =, b = e θ.9 Αν a b = lnc, a,b,c >, για κάθε > 0, να αοδείξετε ότι ab =, c = e θ.0 Αν + β α = ln, α > 0, < β <, να αοδείξετε ότι β = β e e α α + θ. Αν b ln a = alnb και ln a = ln + lnb, a,b > 0, να δείξετε ότι a =, b = θ. Έστω ότι ln0 + 0ln = ln0 και ln5 + 5ln = ln5, > 0 Να αοδείξετε ότι = θ. Αν γνωρίζουµε ότι ln (lnk) + lnk = 0, k >, να αοδείξετε ότι k k = e θ. Έστω οι αριθµοί a, b, ώστε a > b > 0, µε a lnb = bln a α) Να αοδείξετε ότι b = a a a β) Αν τώρα είναι και a = b, να αοδείξετε ότι a = b b b θ.5 Έστω οι αριθµοί a, b, µε a > b > 0, ώστε να είναι lnb a = b lna Να αοδείξετε ότι a = ή b = θ.6 Έστω οι αριθµοί a, b, µε a > b > 0, ώστε a b = b a α) Να αοδείξετε ότι b ln a + alnb = 0 β) Αν τώρα είναι και a ln a + blnb = 0, να αοδείξετε ότι a = b = θ.7 Έστω η εξίσωση ( + ln λ) + ln λ = 0, λ > 0 Να βρείτε την τιµή του λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ίσες ραγµατικές ρίζες. θ.8 Να αοδείξετε ότι η εξίσωση ln ln() + ln() ln() = ln έχει σαν λύσεις, µόνο τους αριθµούς και

40 Παρουσίαση 0 θ.9 Να αοδείξετε ότι η εξίσωση = έχει µοναδική λύση την = θ.50 Να αοδείξετε ότι η εξίσωση = είναι αδύνατη. θ.5 Να αοδείξετε ότι ( ) = = 0 + θ.5 Να αοδείξετε ότι ( 5 + 5) = {,,, } θ.5 Να αοδείξετε ότι στο σύνολο Ζ, η εξίσωση 7 = έχει µία λύση, το θ.5 Αν για τους * n m m,n N είναι n = m, να αοδείξετε ότι n = m θ.55 Αφού αοδείξετε ότι ln ln()ln() = ln + ln6ln + lnlnln, > 0 µετά να λύσετε την εξίσωση ln + ln6ln + lnlnln = 0 θ.56 Να συγκρίνετε τους A ln( a ) + =, B = ln + lna, Γ = ln a +, a > 0 θ.57 Να αοδείξετε την ισοδυναµία ln0 + ln( ) = 0 ln5 = ln, = ln5 θ.58 Να αοδείξετε ότι η εξίσωση n * = n, n N είναι αδύνατη. n n * Έστω τώρα, το µη σταθερό ολυώνυµο P() = n + n, n N Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει n, ώστε το P () να δέχεται ως ρίζα το θ.59 Έστω η ορισµένη στο D = (0,) συνάρτηση f, ώστε f () f() + ln = 0 και f () > 0, για κάθε D Να αοδείξετε ότι f() = + ln

41 Παρουσίαση θ.60 Έστω η συνάρτηση f() = log a + log a, a > 0 Γνωρίζουµε ότι η γραφική αράσταση α) Να αοδείξετε ότι a (0,] [0, + ) C f τέµνει τον άξονα β) Αν η f αρουσιάζει ελάχιστο στο, να αοδείξετε ότι f() 0 * θ.6 Έστω η συνάρτηση f() = + logn, n N α) Να αοδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα. β) Αν η f δέχεται ακέραια ρίζα, να αοδείξετε ότι αυτή είναι το και µάλιστα είναι και µοναδική. θ.6 Έστω η συνάρτηση f () = ln( συν) α) Να βρείτε το ευρύτερο υοσύνολο D του R, στο οοίο ορίζεται. β) Να αοδείξετε ότι αυτή είναι άρτια. γ) Να αοδείξετε ότι f() + f 0, για κάθε D θ.6 Έστω η συνάρτηση f() + ( loga) + loga log a =, 8 0 < a < 0 α) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει µοναδική ρίζα το log a Έστω και η συνάρτηση g() = log a log β) Να αοδείξετε ότι τα διαγράµµατα C f, C τέµνονται µόνο «άνω» στον θ.6 Έστω οι συναρτήσεις f και φ, µε τύους φ () =, f () = ln( φ() ) ln α) Να αοδείξετε ότι το ευρύτερο υοσύνολο του R στο οοίο ορίζεται η f είναι το διάστηµα = (, + ) β) Να αοδείξετε ότι f() > 0 γ) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f() = φ() είναι αδύνατη. g a y y θ.65 Έστω η συνάρτηση f () = + ln, ορισµένη στο ( 0, + ) α) Να αοδείξετε ότι αυτή είναι γνήσια αύξουσα. β) Να αοδείξετε την ισοδυναµία e = ln = e

42 Παρουσίαση