Ŝ y, για σπιν ½, όπου. και. 1/2 x 1/2,

Transcript

1 ΣΕΤ 10 6/1/18 (1) (α) Βρείτε τα ιδιοδυανύσματα των Ŝ z, 1 Ŝ z 0 Ŝx και i, Ŝ x, και Ŝ y i 0 (β) Συνεπώς, εκφράστε τις καταστάσεις καταστάσεων 1/ z και 1/ z 1/ x, Ŝ y, για σπιν ½, όπου 1/ x, 1/, (γ) Βρείτε την πιθανότητα σύζευξεις, σωματιδίου 1 στην κατάσταση κατάσταση 1/ x, να δώσει συνολική στροφορμή S=0 y 1/ y, ως συνάρτηση των 1/ z και σωματιδίου στην () (α) Βρείτε όλους τους συντελεστές Clebsch-Gordan που προκύπτουν από την σύζευξη S 1=1 και S =1/ (β) Για την αντίδραση πυρηνικής σύντηξης δευτερίου (D, S=1) και Τριτίου (Τ, S=1/), είναι γωστό ότι δίνει την μετασταθή κατάσταση 5 He(S=3/) (δηλαδή η ενδιάμεση κατάσταση S=1/ απαγορεύεται): D + T 5 He(S=3/) 4 He + n Βρείτε τον λόγο της πιθανότητα αντίδρασης για ( ), όπου Π είναι η πιθανότητα ( ) αντίδρασης για D στην κατάσταση 1 z και το Τ στην κατάσταση 1/ z (δηλαδή με μέγιστη πόλωση), ενώ το Μ είναι η πιθανότητα αντίδρασης για D και Τ μη πολωμένα (δηλαδή το D να έχει ίσο πληθησμό στις καταστάσεις 1 z, 0 z, 1 z, και το Τ να έχει ίσο πληθησμό στις καταστάσεις 1/ z, 1/ z ) (3) (α) Για στροφορμή S=1 και Χαμιλτονιανή H 0 = AŜ z, βρείτε τις ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις (β) Για διαταραχή Η = ΒŜ z, βρείτε την πρώτη διόρθωση στις ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις (Β<<Α) (γ) Για επιπλέον διαταραχή Η = C( Ŝ x -Ŝ y ), βρείτε την πρώτη διόρθωση στις ενέργειες (C<<B) h n (4) Σε απειρόβαθο πηγάδι (με πάχος L), με E, βρείτε την πρώτη διόρθωση στην Ενέργεια (ως 8mL συνάρτηση του n) για την διαταραχή V' ( x) V0 sin( x / L)

2 1 (5) (α) Για δυναμικό V( x, y, z) m ( x 4y 9 z ), βρείτε τις ενέργειες των ιδιοκαταστάσεων k (β) Για διαταραχή V '( x, y, z) k( xyz) ( x y z ), βρείτε την πρώτη διόρθωση στις ενέργειες e (6) Σωματίδιο (χωρίς σπιν) με μάζα m και φορτίο e υπάρχει σε μονοδιάστατο δυναμικό V ( x), 4x για x 0 (a) Βρείτε ψ (x) για x (b) Βρείτε ψ(x=0) (c) Για x>0, δοκιμάστε ψ(x) = f(x)ψ (x), και βρείτε εξίσωση για f(x) (d) Βρείτε τις πρώτες 3 καταστάσεις ψ n(x), n=1,,3 V ( x), x 0 (7) Για ασυμμετρικό απειρόβαθο πηγάδι (με πάχος L), V ( x) 0, 0 x L V ( x) V0, x L Βρείτε την ελλάχιστη μάζα m που θα έχει τουλάχιστον 1 ιδιοκατάσταση (8) Σε απειρόβαθο πηγάδι (με πάχος L και μάζα m), η κυματοσυνάρτηση για t=0 είναι: 8 ( x,0) 1 cos( x / L) sin( x / L) 5L α) Βρείτε την κυματοσυνάρτηση ( x, t) β) Βρείτε την πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στο διάστημα 0 < x < L/, στο χρόνο t (9) Στο χρόνο t=0, γίνεται σύζευξη των στροφορμών j 1 m1 = 1/,1/ και j m = 1/, 1/ Οι ενέργειες των συζευγμένων καταστάσεων J=0 και J=1, είναι Ε 0 και Ε 1, αντίστοιχα Βρείτε την χρονική εξάρτηση της αρχικής κατάστασης: χρονική εξάρτηση των άλλων καταστάσεων 1/ 1/,1/ 1/ 1/ 1/,1/ 1/ 0, αλλά και την t 1/ 1/,1/ 1/ 1/ 1/,1/ 1/ 0 t Δείτξτε ότι οι πιθανότητες αθροίζονται στο 1 (10) Σε Άτομο Τριτίου ( 3 Η), με ηλεκτρόνιο αρχικά στην κατάσαση 1s, διασπάται ο πυρήνας δίνοντας He + :

3 3 Η He + + e Θεωρήστε ότι η αλλαγή Ζ=1 Ζ= είναι ακαριάια Βρείτε την πιθανότητα να βρεθέι το τροχιακό ηλεκτρόνιο στην κατάσαση: (α) 1s του He +, (β) p του He +, (γ) s του He Z Zr / a [Βοήθεια: 0 n x 1s e, x e n! a ] 0 0 (11) Έστω σωματίδιο υπο την επίδραση αρμονικού ταλαντωτή V = 1 mω x το οποίο βρίσκεται στην κατάσταση επαλληλίας Ψ(x, t) = Ν αρμονικού ταλαντωτή και z C z n n=0 n! ψ n (x, t), με ψ n (x, t)οι χρονοεξελεγμένες ιδιοσυναρτήσεις του (α) Δείξτε ότι η παραπάνω κατάσταση είναι λύση της χρονοεξάρτημένης εξίσωσης Schrodinger αλλά όχι ιδιοκατάσταση δηλαδή η Ψ δεν ικανοποιεί την εξίσωση ιδιοτιμών H Ψ = ΕΨ (β) Για t=0 Βρείτε το Ν, το Δx Δp το ΔΕ και την πιθανότητα P(n) να βρεθεί το σωματίδιο στην κατάσταση n> Τι παρατηρείτε για το γινόμενο Δx Δp; (γ) Δείξτε ότι α Ψ(t=0)>=z Ψ(t=0)>, α ο τελεστής καταστροφής Συμβολίστε την Ψ(t=0)>= z> και δείξτε ότι η Ψ(t)>= e iωt ze iωt > Με βάση τα παραπάνω υπολογίστε την συνάρτηση συσχέτισης <Ψ(t) α Ψ(t)> Το μη μηδενικό αποτέλεσμα της <Ψ(t) α Ψ(t)> έχει ιδιαίτερη σημασία σε πολλά φαινόμενα της φυσικής όπως η υπεραγωγιμότητα και το συμπύκνωμα Bose-Einstein και υποδηλώνει μια αλλάγη φάσης του συστήματος (δ) Υπολογίστε τo Δx(t)Δp(t) και παρατηρείστε ότι παραμένει ίδιο (ε) Δείξτε ότι δυο διαφορετικές καταστάσεις της παραπάνω μορφής, έστω z> και w> δεν είναι ορθογώνιες (<z w> διάφορο του μηδενός) του μηδενός) (ζ) * Δείξτε ότι 1 π d z z><z =1 ( μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ότι z = x + iy = ρe iφ και να ολοκληρώσετε στο επίπεδο) (1) Στο Θέμα 5ο της προόδου μελετήσατε την περίπτωση της στιγμιαίας μεταβολής μιας παραμετρού του συστήματος για το απειρόβαδο πηγάδι και είδατε ότι η κυματοσυνάρτηση παραμένει ίδια με πριν την μεταβολή, με την διαφορά ότι δεν είναι πλέον ιδιοκατάσταση του συστήματος Το συγκεκριμένο πρόβλημα μελετάει την αντίθετη περίπτωση, μιας σταδιακής μεταβολής του αρχικού μήκους του πηγαδιού L 0, μεταβάλλοντας με σταθερή ταχύτητα u το δεξί άκρο του (α)* Δείξτε με απλή αντικατάσταση ότι η κυματοσυνάρτηση Φ n (x, t) = mux E n (t=0)l 0 t ħl(t) ικανοποιεί την χρονοεξαρτημένη εξίσωση Schrodinger L(t) sin( nπ L(t) x)eiφ, με φ = (οι συνοριακές συνθήκες θα είναι Φ n (x, 0) = Φ n (x, L(t)) = 0), όπου L(t) = L 0 + utκαι Ε n (t = 0) = ħ π ml 0 n (β) Έχοντας ως δεδομένο ότι οι κυματασυναρτήσεις Φ n (x, t)αποτελούν μια πλήρη ορθοκανονικη βάση, και υποθέτοντας ότι την χρονική στιγμή t=0 το σωματιδίο βρίσκεται στην θεμελίωδη κατάσταση

4 ψ 0 (x, 0)αναπτύξτε την κατάσταση του σωματιδίου στην βάση τωνφ n (x, t)(βρείτε τους συντελεστές αλλά δεν χρειάζεται να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα) (γ) Θεωρείστε τους χρόνους Τ 1 = L 0 και Τ u = π ħ E 1 (0) Τι αντιπροσωπεύουν αυτά τα μεγέθη; Με βάση το (β) τι συμβαίνει όταντ 1 Τ ; Βρείτε την κατάσταση του σωματιδίου σε κάθε χρονική στιγμή t (δ) Το προηγούμενο ερώτημα είναι μια εφαρμογή του αδιαβατικού θεωρήματος: Εαν την t=0 το σύστημα είναι στην ιδιοκατάσταση n> της χαμιλτονιανής H i και μεταβάλλουμε πολύ αργά στο χρόνο την χαμιλτονιανή σε Η f, τότε το σύστημα θα είναι στην ιδιοκατάσταση n> της Η f, αποκτώντας μια φάση (Βλέπε Griffiths για την απόδειξη) Εφαρμόστε το θεώρημα για να εξάγετε τα συμπεράσματα του (γ) (13) Έστω την t=0 ένα ελεύθερο σωματίδιο με μάζα m που η κατάσταση του περιγράφεται από ένα γκαουσιανό κυματοπακέτο ψ(x, 0) = Αe x σ (α) Βρείτε το γινόμενο ΔxΔp, τι παρατηρείτε; (β) Δείξτε ότι η ψ(x,0) αποτελείται από μια επαλληλία από επίπεδα κύματα και υπολογίστε το πλάτος πιθανότητας να βρούμε ότι το σωματίδιο έχει ορμή p (γ) Βρείτε την Ψ(x,t) και τα Δx(t) και Δp(t), τι παρατηρείτε τώρα για το γινόμενο Δx(t)Δp(t) και τι μας λέει για τον τρόπο με τον οποίο διασπείρεται το κυματοπακέτο; (δ) Γράψτε την ψ(x,t) στην μορφήψ(x, t) = K(x, x, t)ψ 0(x, 0)dx όπου Κ(x,x',t)=<x U(t) x'> (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ότι dx x><x =1, dp p><p = 1, <x p>= 1 πħ e ipx ħ και ότι e ax +bx = π a eb 4aμε a, b C ) Υπολογίστε το K(x,x',t) Τι εκφράζει φυσικά αυτό το μέγεθος ; (ε) Υπολογίζοντας την πυκνότητα ρεύματος J(x,t), βρείτε την πιθανότητα ανά μονάδα χρόνου να φτάσει το σωματίδιο κάποια χρονική στιγμή t>0 σε έναν παρατηρητή που βρίσκεται σε απόσταση x=l (14) Ένα σωματίδιο μάζας m, περιγράφεται από την χαμιλτονιανήη = p + 1 m kx + gv 0 cos(x L) με g<<1 (α) Βρείτε την πρώτη διόρθωση στην ενέργεια και την κυματοσυνάρτηση για την θεμελιώδη κατάσταση Χρησιμοποιείστε ότι cos(x) = R[e ix ]και ότι για δύο τελεστές A, B ισχύει ότι e A+B = e A e B e [A,B] (β) Βρείτε την πρώτη διόρθωση στην ενέργεια και στην κυματοσυνάρτηση για την πρώτη διεγερμένη κατάσταση (γ) Αν τώρα L ħ mω αναπτύσσοντας το συνημίτονο και κρατώντας μέχρι O(x4 )υπολογίστε την ολική διόρθωση της ενέργειας (σε όλες τις τάξεις της θεωρίας διαταραχών) για τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγματος και μέχρι την πρώτη τάξη για τον όρο x 4

5 (δ) Αν αντικαταστήσουμε το διαταρακτικό δυναμικό με το gv 0 x 3, βρείτε μέχρι την πρώτη μη μηδενική διόρθωση στην ενέργεια (15) (α)* Βρείτε την πρώτη διόρθωση στην ενέργεια για τις καταστάσεις n= του ατόμου του υδρογόνου υπο την επίδραση σταθερού ηλεκτρικού πεδίου στον άξονα z Ποιοι είναι οι γραμμικοί συνδυασμοί καταστάσεων που αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση Παρατηρήστε ότι δεν σπάει πλήρως ο εκφυλισμός (Για να γλυτώσετε πράξεις σκεφτείτε με βάση τους κανόνες επιλογής ποια στοιχεία θα είναι μη-μηδενικά, μόνο δύο επιβιώνουν) (β)* Το ίδιο για τις καταστάσεις με ενέργεια Ε = 3 ħωσε τριδιάστατο ισοτροπικό αρμονικό ταλαντωτή συχνότητας ω υπό την επίδραση διαταρακτικού δυναμικού V(x, y) = gxyz (16) Διατομικό μόριο με ροπή αδράνειας Ι και διπολική ροπή d περιστρέφεται χωρίς να κινείται το κέντρο μάζας του στο επίπεδο xy (α) Γράψτε την χαμιλτονιανή που περιγράφει την περιστροφική κίνηση και βρείτε τις ιδιοτιμές και τις ιδιοσυναρτήσεις (β) Έστω ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο στην κατεύθυνση x Βρείτε τη διόρθωση στην ενέργεια μέχρι την δεύτερη τάξη στην θεωρία διαταραχών (V = d E ) (17) Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την κβαντική ασυμετρική σβούρα που περιγράφεται από την χαμιλτονιανή H = 1 I (l x + l y ) + 1 I z l z (α) Βρείτε τις ιδιοσυναρτήσεις και τις ιδιοτιμές τις ενέργειας Προσδιορίστε τον εκφυλισμό κάθε στάθμης (β) Αν προσθέσουμε στην χαμιλτονιανή μια επιπλέον μικρή ασυμμετρία της μορφής H = g 4I (l y l x ) Βρείτε την πρώτη διόρθωση στην ενέργεια για όλες τις καταστάσεις με l = 0και l = 1 (18) Σωματίδιο μάζας m, φορτίου q και σπιν 0 βρίσκεται υπό την επίδραση δυναμικού V(x, y, z) = 1 k(x + y + z ) Τοποθετούμε το σύστημα υπό την επίδραση ασθενούς μαγνητικού πεδίου Β = B 0 i όπου έχεις ως αποτέλεσμα την ύπαρξη ενός διαταρακτικού όρου (α) Γράψτε την χαμιλτονιανή του ελεύθερου συστήματος με τη χρήση τελεστών δημιουργίας και καταστροφής Ποιες είναι οι μεταθετικές σχέσεις που ικανοποιούν αυτοί οι τελεστές (θυμηθείτε ότι οι τρεις κατευθύνσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους); (β) Γράψτε τον διαταρακτικό όρο που προκύπτει με την χρήση τελεστών δημιουργίας και καταστροφής (γ) Βρείτε την πρώτη διόρθωση για την ενέργεια και την κυματοσυνάρτηση στην θεμελιώδη κατάσταση

6 (δ)* Βρείτε την πρώτη διόρθωση στην ενέργεια για την πρώτη διεγερμένη κατάσταση (19) Έστω σωματίδιο υπό την επίδραση της χαμιλτονιανής H=Ε 1 1><1 +V 1>< +V ><1 +Ε >< Όπου 1>=(10) Τ και 0>=(01) Τ και V πραγματικη σταθερά (α) Βρείτε τις ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις του συστήματος (β) Για Ε 1 =Ε =0 λύνοντας την χρονεξαρτημένη εξίσωση Schrodinger βρείτε την πιθανοτητα να βρεθεί το σωματίδιο στην κατάσταση 1> μετά από χρόνο t αν ψ(0)>= 0> (γ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται υπό την επίδραση ομογενούς μαγνητικού πεδίου στον άξονα x Αγνοώντας την χωρική εξέλιξη του συστήματος βρείτε την χρονική εξέλιξη της κατάστασης του σπιν με αρχικές συνθήκες Χ(0)>=α 0>+b 1> (μπορείτε να χρησιμοποιείστε τον τελεστή της χρονικής εξέλιξης και τις ιδιότητες των μητρών του Pauli) Βρείτε επίσης την εξίσωση κίνησης που ικανοποιεί η μέση τιμή του σπιν (0) Η άσκηση αυτή κατασκευάζει σε πρώτη τάξη την χρονοεξαρτημένη θεώρια διαταραχών χρησιμοποιώντας γνωστά εργαλεία του μαθήματος (α)* Ξεκινώντας από την εξίσωση H(t) = H 0 + V(t)κάντε τον μετασχηματισμό ψ>ι=e ih 0t ħ ψ> A = I e ih 0t ħa e ih 0t ħ (Interaction Picture) Βρείτε την εξίσωση Schrodinger που προκύπτει Από τον ορισμό του τελεστή χρονικής εξέλιξης ψ(t)>=u(t, t 0 ) ψ(t 0 )>, βρείτε την αντίστοιχη εξίσωση που ικανοποιεί ο τελεστής στην interaction picture Επιπλέον δείξτε ότι στην interaction picture οι τελεστές A ικανοποιούν μια αντίστοιχη εξίσωση Heisenberg iħ da I = [A dt I, H 0 ] (β)* Ολοκληρώστε την διαφορική εξίσωση που προκύπτει με αρχική συνθήκη U I (t 0, t 0 ) = 1και βρείτε αναδρομικά τους δύο πρώτους όρους που προκύπτουν Έπειτα χρησιμοποιώντας ότι η χρονική εξέλιξη μιας αρχικής κατάστασης α>=σn cn n> (όπου { n>} η βάση των ιδιοκαταστάσεων τουη 0 ) προετοιμασμένης την χρονική στιγμή t 0 είναι στην interaction picture α(t)>=u I (t, t 0 ) α>, Δείξτε ότι η μετάβαση από μια κατάσταση α> σε μια κατάσταση n> σε πρώτη τάξη της θεωρίας διαταραχών δίνεται από τον τύπο P a n = 1 ħ t V t 0 na e iωnat dt όπου V na =<n V α>,ω na = E n E i ħ γ) Σωματίδιο εγκλωβισμένο σε μια αρμονική παγίδα V(x) = 1 mω x βρίσκεται την t 0 = στην θεμελιώδη κατάσταση βρίσκεται διαταρράσεται από ένα μικρό δυναμικό αλληλεπίδρασης V(t) = ee 0 xe t τ Βρείτε την πιθανότητα μετάβασης από την θεμελιώδη κατάσταση σε οποιαδήποτε κατάσταση n, λόγω της αλληλεπίδρασης με το ηλεκτρικό πεδίο για πολύ μεγάλους χρόνους δ) Για το ηλεκτρικό πεδίο E = E 0 e t τ k βρείτε την πιθανότητα μετάβασης από την 1s στις p για το άτομο του υδρογόνου για πολύ μεγάλους χρόνους (ε) Το ίδιο με το (δ) για ομογενές ηλεκτρικό πεδίο σε πυκνωτή που εκφορτίζεται με εκθετικό ρυθμό τ

7 Αν δεν μπορείτε να κάνετε τα βήματα (α), (β) κάντε κατευθείαν τους υπολογισμούς στα ερωτήματα (γ),(δ),(ε) με δεδομένο τον τύπο που προκύπτει ως μια απλή υπολογιστική άσκηση