ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 24 / 5 / 08 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 0) και ακτίνα ρ = 2

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 / 5 / 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρί σχολ. βιβλίο σελ. 35 Α. Θεωρί σχολ. βιβλίο σελ 9 Β. Σ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Σ ΘΕΜΑ ο (i )z 6 i z 6 z 6 3 z 6 z. Έχουμε Άρ ο γεωμετρικός τόπος του z είνι κύκλος με κέντρο Κ(, ) κι κτίν ρ β. Έστω w yi. Έχουμε w ( i) w (3i) yi 3 i yi 3 3i ( ) (y )i ( 3) (y 3)i y 3 y 3 y 3 y 3 :4 4 4y 6 y 4 y 4 y Άρ ο γεωμετρικός τόπος του w είνι η ευθεί y 4 y 6 9 y 6y 9 γ. Η ελάχιστη πόστση του w είνι η πόστση της (ε) πό Ο (, 4) (4, ) Μ ε: y 4 την ρχή των ξόνων δηλδή : 4 4 w ( OM) d min ( Ο,ε)

2 δ. Ο (, ) (ε) Έχουμε κι τους δύο γεωμετρικούς τόπους των z κι w δηλδή τον κύκλο κι την ευθεί κι επειδή ισχύει d > ρ ( O,ε) (-, ) Α (-4, ) Μ (4, ) ο κύκλος κι η ευθεί δεν έχουν κνέν κοινό σημείο. Οπότε z w (AM) (OM) (OA) d( O,ε) ρ min ( ) ΘΕΜΑ 3 ο. Γι ν είνι η συνάρτηση f συνεχής στο πρέπει : lim f () f () Είνι f() ln κι lim f () lim ln lim lim lim D'LH lim Άρ η f συνεχής στο β. Γι > έχουμε f() ln οπότε f() ln ln f () ln ln ln ln f() f() ln Γι έχουμε f() lim lim lim ln Άρ η f δεν είνι πργωγίσιμη στο. Οπότε f() f() Άρ η f γνησίως φθίνουσ στο Γι το σύνολο τιμών έχουμε : [ ] ln > ln > ln > >, κι γνησίως ύξουσ στο, A A A,,, f γν.φθίν. f γν.ύξ.

3 Οπότε είνι f(a) f(a ) f(a ) f γν.φθίν. f(a ) f, f, f(), Είνι f ln ln κι f() f γν.ύξ. f(a ) f, f, lim f(), Είνι lim f () lim ( ln ) Άρ f(a), γ. Έχουμε ln ln ln ln ln ln Α, Έστω g () ln f() με Είνι g () f () ln Έχουμε g () ln ln ln ln g g() Είνι Ag (, ) (,, ) A g γν.φθίν. A g γν.ύξ. g() ) g γν.φθίν. Είνι ( g(a ) g, g, lim g(), g ln Δικρίνουμε τις περιπτώσεις : κι lim g() lim f () Γι το g( A ), δεν περιέχει το άρ η g δεν έχει ρίζ Γι > < κι < το g( A ), δεν περιέχει το άρ η g δεν έχει ρίζ

4 Γι < > κι η g δεν έχει ρίζ > > το g A, δεν περιέχει το άρ < > Γι < < το g( A ), < < περιέχει το άρ η g έχει τουλάχιστον μι ρίζ κι επειδή η g γν. φθίνουσ η ρίζ μονδική Γι το g( A ), περιέχει το άρ η g έχει τουλάχιστον μι ρίζ κι επειδή η g γν. φθίνουσ η ρίζ μονδική ) g γν.ύξ. Όμοι είνι g(a ) ) g, g, lim g(), lim g() lim f () Δικρίνουμε τις περιπτώσεις : Γι το g( A ), περιέχει το άρ η g έχει τουλάχιστον μι ρίζ κι επειδή η g γν. ύξουσ η ρίζ μονδική Γι > < κι < το g( A ), περιέχει το άρ η g έχει τουλάχιστον μι ρίζ κι επειδή η g γν. ύξουσ η ρίζ μονδική Γι < > το g A, δεν περιέχει το άρ η g δεν έχει ρίζ Γι < < < το g A, περιέχει το άρ η g έχει τουλάχιστον μι ρίζ κι επειδή η g γν. ύξουσ η ρίζ μονδική Γι το g( A ) [, ) περιέχει το άρ η g έχει τουλάχιστον μι ρίζ κι επειδή η g γν. ύξουσ η ρίζ μονδική

5 Οπότε συνολικά έχουμε : Γι η g() έχει μονδική ρίζ την Γι > η g() έχει μονδική ρίζ στο, Γι < η g() δεν έχει ρίζ Γι < < η g() έχει κριβώς δύο ρίζες, μι στο, κι μι στο, Γι η g() έχει μονδική ρίζ ( το κρόττο της g() ) δ. Γι > έχουμε f() ln κι f() ln Από το Θ. Μ. Τ. γι την f στο [, ] έχουμε ότι υπάρχει ξ (, ) f( ) f() f(ξ) f(ξ) f( ) f() () Είνι f (ξ) lnξ κι f( ) ln( ) Όμως ώστε ν ισχύει < ξ < ln < ln ξ < ln( ) ln < ln ξ < ln( ) () f(ξ) < f ( ) f( ) f() < f ( ) β τρόπος f() f() > fκυρτή f γνησίως ύξουσ > f(ξ) f ( ) Άρ γι > είνι f γν.ύξ. () > f( ) > f() f( ) > f( ) f() ΘΕΜΑ 4 ο. Ονομάζουμε c f(t)dt οπότε έχουμε : f () 3 c 45 f () 45 3 c f ()d 45d 3 c d c 45[ ] c 3 c 45 c 3 c 9 46c 45c 9 c 4 4

6 Οπότε 3 3 f () 3 45 f () 6 45 ( θέτω h t ) g() g( h) g() g ( h) g() g( t) β. Έχουμε lim lim lim h h h h h, t t t ( ) g( t) g() g( t) g() lim lim g () t t t t γ. g( h) g() g( h) g ( h)( h) g ( h)( h) i) lim lim h h D'LH h h g ( h) g ( h) g () g () g ( h) g () g () g ( h) lim lim lim h h h h h h (πό β. ερώτημ) ( g() g() ) g () g() Άρ 4 45 g() g () f() 45 g () g() 5 3 c Γι είνι g() 4 g() 5 3 c c. Άρ 4 g() 5 3 Είνι g() g() c Γι είνι g() 5 3 g() c c. Άρ 5 3 g() 4 ii) Έχουμε g() 5 3 > γι κάθε R, δηλδή η g γνησίως ύξουσ, οπότε η g