ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη θεωρήμτος σελίδ 99 στο σχολικό Α. ) Ψ β) Η συνάρτηση, f(), y είνι - φού κάθε οριζόντι ευθεί τέμνει τη C f σε έν κριβώς σημείο, ενώ η f δεν είνι γνήσι μονότονη σε όλο το R με το ίδιο είδος μονοτονίς, φού f στο, κι f στο, Α. σελίδ 6 στο σχολικό Α. Λ β Λ γ Σ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ Β Συνάρτηση f(),,, Β. Η συνάρτηση f είνι ορισμένη κι πργωγίσιμη (άρ κι συνεχής) στο R*,, Με ( ) 8 f() 8 ( 8) 8 f() f () f() T.M f(-)= -

2 Η συνάρτηση f είνι γνήσι ύξουσ στο διάστημ (, ], γνήσι φθίνουσ στο, κι γνήσι ύξουσ στο,. Η f προυσιάζει στη θέση τοπικό μέγιστο το f( ). Β. f Η f είνι κοίλη σε κθέν πό τ διστήμτ,, κι δεν προυσιάζει σημεί κμπής. f f Β. Κτκόρυφες σύμπτωτες lim f lim lim f lim Άρ η ευθεί = είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της C f (πό δεξιά - κάτω κι πό ριστερά - κάτω). εν υπάρχουν άλλες κτκόρυφες σύμπτωτες της C f επειδή η f είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. Οριζόντι ή πλάγι σύμπτωτη της C f στο f lim lim lim lim f lim Άρ η ευθεί y= είνι πλάγι σύμπτωτη της C f στο Οριζόντι ή πλάγι σύμπτωτη της C f στο f lim lim lim lim f lim Άρ η ευθεί y= είνι πλάγι σύμπτωτη της C f κι στο.

3 Β. Ορικές τιμές της f lim f lim lim f lim y y= - f + f f f T.M f(-)= ΘΕΜΑ Γ Γ. Έν σύρμ μήκους 8 m κόβετι σε δύο τμήμτ μήκους m κι (8-) m ντίστοιχ, όπου <<8. Με το τμήμ μήκους m κτσκευάζουμε τετράγωνο, το οποίο έχει πλευρά Άρ έχει εμβδόν m 6 Με το άλλο τμήμ κτσκευάζουμε κύκλο κτίνς ρ. Ισχύει: (μήκος κύκλου) 8 πρ 8 8 ρ π π Εμβδόν κύκλου π ρ π π Το άθροισμ των εμβδών των δύο σχημάτων είνι 66 π 56 6 E() 6 π 6π (π ) 6 56, (,8) 6π

4 Γ. Η συνάρτηση Ε() είνι ορισμένη κι πργωγίσιμη (άρ κι συνεχής) στο διάστημ (,8) με Ε() (π ) 6 π, 8 6π 8π E() (π ) π E() (π ) π Η συνάρτηση f είνι γνήσι φθίνουσ στο διάστημ 8, π κι γνήσι ύξουσ στο,8 π. E + Άρ η συνάρτηση Ε() ελχιστοποιείτι ότν E κι τότε η πλευρά του τετργώνου είνι π ΟΛ.ΕΛ. 8 6 κι η διάμετρος του κύκλου είνι Ε π π π 8 8 8π ρ π 8 π 8 π π π(π ) π (π ), άρ το άθροισμ π των εμβδών ελχιστοποιείτι ότν η πλευρά του τετργώνου ισούτι με τη διάμετρο του κύκλου. Γ. Συνάρτηση Ε() π 6 56, R 6π 56 6 E() 6π π Ε π π π π π π π π π π π π π 8π 6 π 6 π π π (π ) π π (π ) π 56 Ε(8) π 6π 6π 6π Θέλω ν δείξω ότι υπάρχει μονδικό o (,8) ώστε Ε( o )=5.

5 Στο διάστημ A, π η Ε() είνι συνεχής κι, άρ έχει ντίστοιχο σύνολο τιμών το 6 6 Ε(Α ) Ε, lim Ε(), π π π 6 Αφού, κι 6 5,9 π π, ισχύει ότι 5 Ε(Α ) κι φού Ε() στο Α, υπάρχει μονδικό o, π ώστε Ε( o)=5. Στο διάστημ Α,8 π η Ε() είνι συνεχής κι, άρ έχει 6 ντίστοιχο σύνολο τιμών το Ε(Α ) Ε, limε(), π 8 π το οποίο δεν περιέχει το 5, άρ η εξίσωση Ε()=5 είνι δύντη στο διάστημ Α,8 π Επομένως ισχύει το ζητούμενο. Η συνάρτηση Ε() είνι συνεχής σε όλο το R ως πολυωνυμική, άρ 6 limε() Ε() κι limε() Ε(8) π 8 ΘΕΜΑ. f πργωγίσιμη κι συνεχής στο R με f() e e f πργωγίσιμη κι συνεχής στο R με f () (e ) e, f() e f() e Η f είνι κοίλη στο διάστημ, κι κυρτή στο,. Το σημείο Α(, - ) είνι το μονδικό σημείο κμπής της C f επειδή μόνο σ υτό λλάζει η κυρτότητ της f κι υπάρχει η ντίστοιχη εφπτομένη της C f, φού η f είνι πργωγίσιμη στο R. f () f () f () + f () + Σ.Κ. f()=- Ο.Ε. f ()=- 5

6 . Στο διάστημ A, η f είνι κι συνεχής οπότε: f(a ) f(), lim f (), f() () lim f () lim (e ) lim (e ) Στο διάστημ A, f(a ) f(), lim f (), η f είνι κι συνεχής οπότε: e lim f () lim e lim Αφού lim κι e e lim lim lim e DLH Οπότε fa κι fa άρ υπάρχει, μονδικός φού f, ώστε f κι υπάρχει, μονδικός φού f, ώστε f Γι f, f f f f,. Γι f, f f f f, Άρ στο η f προυσιάζει τοπικό μέγιστο. Γι Γι f, f () f f f, f, f f f f, Άρ στο η f προυσιάζει τοπικό ελάχιστο. f() T.M T.E 6

7 . Η f συνεχής κι στο διάστημ, άρ f f,f Είνι > κι μάλιστ φού ν. f, f f e e Άτοπο. Άρ f, f f f, άρ f f f,f Επομένως η εξίσωση f f είνι δύντη στο διάστημ.,.. Γι f e, R είνι Βρίσκω την εφπτομένη της f, f Cf στο. Η εξίσωσή της είνι: yf f y yy. f κυρτή στο,οπότε ισχύει: ff Το = ισχύει μόνο γι κι φού οι συνρτήσεις f,, είνι συνεχείς στο διάστημ [,] (ως πργωγίσιμες), ισχύει : f d d () * d u uu du u u du 5 u u * u u u d udu u u () f d 5 Επιμέλει πντήσεων ΜΑΡΚΑΤΟΣ ΙΟΝΥΣΗΣ ΜΑΣΤΟΡΑΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΝΝΙΝΟΣ ΗΜΗΤΡΗΣ 7