ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f() ) γι κάθε R, τότε i Ν ποδείξετε ότι f (), R iν) Ν µελετήσετε ως προς τη µονοτονί την συνάρτηση h() f (t)dt, κι ν λύσετε στο R την νίσωση Προτεινόµενη λύση i) 4 f (t)dt f (t)dt< 6 Αφού η f είνι κυρτή στο R, η f θ είνι γνησίως ύξουσ, οπότε : γι > f () > f () f () > γι < f () < f () f γνησίως ύξουσ στο [, ) (φού είνι κι συνεχής) f () < f γνησίως φθίνουσ στο (, ] (φού είνι κι συνεχής) Εποµένως η f προυσιάζει ελάχιστο στο, οπότε f() f() γι κάθε R Γι το ολοκλήρωµ I Άρ Ι f (u)du Επειδή η f είνι συνεχής, η συνάρτηση f() f (t)dt f (t)dt, θέτουµε t u du dt γι t u γι t u f (u)du είνι πργωγίσιµη, οπότε f (t)dt ηµ f (u)du ηµ

2 ( f (u)du ) ( ηµ ) f () ηµ συν f () συν ηµ ηµ () Όµως : συν, ηµ ηµ Ακόµ, επειδή η f είνι συνεχής στο, έχουµε Aλλά κι () f () f() ηµ µε f () ηµ > κοντά στο. Άρ ηµ f (t)dt ηµ ( ) i f() f() > Η υπόθεση f () (f() f () ) f () Γι έχουµε ln c c Άρ ln(f() ) f () iν) h() f (t)dt h () ( f (t)dt f (t)dt f (t)dt ) ( Είνι > f (), R f (t)dt ( ) ln(f () ( ) ln(f() ) c, R f (t)dt, όπου > στθερός. f (t)dt ) f( ) f(), f γν. ύξουσ f( ) > f() f() f( ) f() > h () > h γνησίως ύξουσ στο [, ) Η νίσωση 4 f (t)dt f (t)dt< 6 4 f (t)dt< f (t)dt 6 6 f (t)dt< f (t)dt 4

3 h( ) < h(4) h(( ) ) < h(4) ( ) < 4 < < < < <

4 4 7. ίνετι η συνάρτηση f() ln[(λ ) ] ln( ), >, όπου λ πργµτικός ριθµός µε λ. i) Ν προσδιορίσετε την τιµή του λ, ώστε ν υπάρχει το όριο f () κι ν είνι πργµτικός ριθµός. Έστω ότι λ. Ν µελετήσετε την f ως προς την µονοτονί κι ν βρείτε το σύνολο τιµών της. i Ν βρείτε τις σύµπτωτες της γρφικής πράστσης της f. iν) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f(),, έχει µονδική λύση. Προτεινόµενη λύση i) f() ln[(λ ) ] ln( ) ( λ ) ln ( λ ) Θέτουµε u Ότν λ >, οπότε λ > ( λ ) u (λ ) (λ ) ( ) ( λ ) Οπότε f () ln ln u άτοπο u Ότν λ, οπότε λ u Οπότε f () ln u u Εποµένως το όριο f () υπάρχει κι είνι πργµτικός ριθµός ότν λ f() ln, > f () ( ) >, > ( ) ( )( ) Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ. Γι το f () ln Θέτουµε w >, τότε w, άρ w Οπότε f () ln ln w w Στο (i) ποδείχθηκε ότι f (). Άρ το σύνολο τιµών της f είνι το (, )

5 5 i Αφού κι φού f (), η ευθεί είνι κτκόρυφη σύµπτωτη f () η ευθεί y είνι οριζόντι σύµπτωτη iν) Έστω g() f(), (, ) g() g() g () f () > οπότε κι η g είνι γνησίως ύξουσ (f () ) (f () ) > φού Άρ το σύνολο τιµών της g είνι το (, ), στο οποίο υπάρχει το, άρ η εξίσωση g() έχει µί τουλάχιστον ρίζ, η οποί είνι µονδική φού η g είνι γνησίως ύξουσ.

6 6 7. Συνάρτηση f : [, ] R είνι δύο φορές πργωγίσιµη κι ικνοποιεί τις συνθήκες f () 4f () 4f() κ, κι κ R f () f(), f () f() 4, f() i) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g() f () f (), ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµτος Roll στο διάστηµ [, ] Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε ν ισχύει f (ξ) 4f(ξ) 6ξ ξ 4f (ξ) i Ν ποδείξετε ότι κ 6 κι ότι g() γι κάθε [, ] iν) Ν ποδείξετε ότι f(), ν) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ Προτεινόµενη λύση f () d i) Επειδή η f είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο [, ], η f είνι συνεχής στο [, ] κι εποµένως η g είνι συνεχής στο [, ] (πράξεις συνεχών) Επίσης η g είνι πργωγίσιµη στο (, ) (πράξεις πργωγίσιµων) f () f () f () f () g() 4 f () f () f () f () g() g() 4 4 Οπότε η g ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµτος Roll στο [, ] ii ) Λόγω του (i), υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) ώστε g (ξ) f () f () (f() f ()) Όµως g () 6 ( ) ( ) f () 4f () 4f ()) 6 f ( ξ) 4f ( ξ ) 4f ( ξ)) Η g (ξ) 6ξ ξ f (ξ) 4f(ξ) 6ξ ξ 4f (ξ) () i Η υπόθεση f () 4f () 4f() κ () γι ξ γίνετι f (ξ) 4f (ξ) 4f(ξ) κ ξ ξ κι λόγω της () 6ξ ξ κ ξ ξ κ 6 Η () γίνετι f () 4f () 4f() 6

7 7 Τότε όµως η g () γίνετι f () 4f () 4f ()) g () γι κάθε [, ]. Άρ g() c γι κάθε [, ] κι επειδή g() g() iν) g() f () f () f () f() f () f() - f () - f() - [ - f ()] ( ) στο [, ] - f () c Γι έχουµε - f () c - c c Άρ - f () f() ν) f () d d d d d 4.

8 8 74. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο διάστηµ [, ], ώστε Ορίζουµε τις συνρτήσεις H() tf (t)dt, [, ] (t )f (t)dt H() f (t)dt, (, ] G() t 6, t t i) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι πργωγίσιµη στο (, ) κι ότι H() G (), < < i Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ριθµός (, ) τέτοιος ώστε Η() iν) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ριθµός ξ (, ) τέτοιος ώστε ν ισχύει Προτεινόµενη λύση ξ tf (t)dt ξ f (t)dt i) H f είνι συνεχής στο [, ], άρ κι η tf(t) είνι συνεχής στο [, ], οπότε η Η() είνι πργωγίσιµη στο [, ], άρ κι συνεχής. Η f είνι συνεχής στο [, ], άρ η εποµένως κι συνεχής. Η G είνι συνεχής στο (, ] σν πράξεις συνεχών. Εξετάζουµε τη συνέχει στο o H() G() f (t)dt () f (t)dt είνι πργωγίσιµη στο [, ], Όµως H() tf (t)dt ( tf (t)dt ) f () f() κι () f (t)dt f (t)dt G() f (t)dt

9 9 t Ακόµ G() 6 t t Οπότε 6 ( t )( t ) t ( t ) t 6 t t t ( ) t G() G() 6 ( t ) t Άρ η G είνι συνεχής κι στο o, εποµένως η G είνι συνεχής στο [, ] H H() είνι πργωγίσιµη στο (, ), οπότε είνι πργωγίσιµη κι η H() σν πηλίκο πργωγίσιµων. Η f (t)dt είνι πργωγίσιµη στο (, ) φού f συνεχής σε υτό. Άρ η G() H() f (t)dt είνι πργωγίσιµη στο (, ) σν διφορά H() πργωγίσιµων µε G () ( f (t)dt ) H () H() f() i f () H() f() H() f() H() f() είξµε ότι η G είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο (, ) µε G(). Ακόµ G() H() f (t)dt () Όµως (t )f (t)dt tf (t)dt f (t)dt tf (t)dt Η() f (t)dt f (t)dt

10 () G() ηλδή G() G() f (t)dt f (t)dt Ισχύει εποµένως γι την G το θεώρηµ του Roll στο [, ], οπότε θ υπάρχει (, ) ώστε G () H() Όµως G () iν) H( ) οπότε G () Η() Η G είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο (, ) άρ ισχύει το θεώρηµ µέσης τιµής. Εποµένως υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) ώστε G (ξ) G( ) G() H( ξ) ξ H( ξ) ξ Η(ξ) ξ Η( ) f (t)dt f (t)dt f (t)dt ξ tf (t)dt ξ f (t)dt κι επειδή Η()

11 75. ίνετι η συνάρτηση f() ln( ), >, όπου > κι i) Αν ισχύει f() γι κάθε >, ν ποδείξετε ότι Γι Ν ποδείξετε ότι η f είνι κυρτή i Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ] κι γνησίως ύξουσ στο [, ) iν) Αν β, γ (, ) (, ), ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f ( β) f ( γ) έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο (, ). Προτεινόµενη λύση i) f() ln( ) f() f() f() f() γι κάθε > Άρ η f προυσιάζει ελάχιστο στο εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της κι επειδή είνι πργωγίσιµη σε υτό, µε βάση το θεώρηµ Frmat θ ισχύει f () Αλλά f () ln f () ln ln ln Γι έχουµε f() ln( ), f () f () ( ) Άρ η f είνι κυρτή i Προφνής ρίζ της εξίσωσης f () είνι το. >, > Κι επειδή η f είνι κυρτή, η f είνι γνησίως ύξουσ. Οπότε η ρίζ µονδική f Γι > f () > f () f () > f γν. ύξουσ στο [, ) f Γι < < f () < f () f () < f γν. φθίνουσ στο [, ) iν) Ανζητώ ρίζ της εξίσωσης f ( β) f ( γ)» ( )(f(β) ) ( )(f(γ) )

12 Θεωρούµε τη συνάρτηση g() ( )(f(β) ) ( )(f(γ) ), [, ] Οπότε νζητώ ρίζ της εξίσωσης g() στο διάστηµ (, ) Είνι g() (f(β) ) κι g() f(γ) Γνωρίζουµε πό το (i) ότι η f προυσιάζει ελάχιστο γι, το f(). Άρ f(β) > κι f(γ) > g() < κι g() > g() g() < Εποµένως, µε βάση το θεώρηµ Bolzano, η εξίσωση g() έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο (, ).

13 76. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµ [, ), τέτοι ώστε f() > γι κάθε. Ορίζουµε τις συνρτήσεις F() f (t)dt, [, ) i) Ν ποδείξετε ότι t h() F() [f (t) F(t)]dt F() t f (t)dt, (, ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση h είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ) Αν επιπλέον ισχύει h() i Ν ποδείξετε ότι iν) Ν ποδείξετε ότι Προτεινόµενη λύση i) F() f (t)dt< t f (t)dt F(t)dt F() f (t)dt F () f() () t [f (t) F(t)]dt Η F() () t t [ f (t) F(t)]dt t t [ F (t) F(t)]dt t ( ) F(t) dt t F(t) F() - F() () f (t)dt γι F() t [f (t) F(t)]dt F() F () t f (t)dt t f (t)dt F() ( ) h () ( t f (t)dt ) f (t)dt f () t f (t)dt f ()F() ( t f (t)dt ) f () t f (t)dt F() ( t f (t)dt ) f () t f (t)dt f (t)dt ( t f (t)dt )

14 4 Είνι f() >, f(t) > f () t f (t)dt f (t)dt ( t f (t)dt ) f () (t ) f (t)dt ( t f (t)dt ) < t < t < f(t)(t ) < () f (t)(t )dt < () h () < γι κάθε > h γνησίως φθίνουσ στο (, ) i F() f (t)dt F() f (t)dt F() F() h() h() t f (t)dt t f (t)dt Αρκεί ν ποδείξουµε iv) F(t)dt f (t)dt < t f (t)dt F() < F() h() < h() h() < t F(t)dt [ tf(t) ] t f (t)dt F() h() h() < h() που ισχύει, φού h γν.φθίνουσ. [ tf(t) ] t F (t)dt t f (t)dt (4) F() t f (t)dt F() Αλλά h() tf (t)dt Οπότε η (4) γίνετι F() tf (t)dt F() tf (t)dt F(t)dt F() F() F().

15 5 77. Έστω η συνάρτηση f() ln, > i) Ν ποδείξετε ότι ισχύει f() γι κάθε > Ν βρείτε τις σύµπτωτες της γρφικής πράστσης της f ln, > i Έστω η συνάρτηση g() f () κ, Ν βρείτε την τιµή του κ ώστε η g ν είνι συνεχής. iν) Αν κ, ν ποδείξετε ότι η g έχει µί τουλάχιστον ρίζ στο (, ) Προτεινόµενη λύση i) f () f () ή το πρόσηµο της f κι η µονοτονί της f φίνοντι στον πίνκ f f Από τον πίνκ βλέπουµε ότι η f προυσιάζει ελάχιστο γι, το f() οπότε γι κάθε (, ) είνι f() f() f () ( ln ) ( ) Άρ η ευθεί είνι κτκόρυφη σύµπτωτη f () Αλλά Οπότε i ln ln ln (ln ) f (), εποµένως δεν υπάρχουν πλάγιες σύµπτωτες Η g είνι συνεχής γι κάθε >, ως πηλίκο συνεχών συνρτήσεων. Γι ν είνι συνεχής στο π.ορισµού της, θ πρέπει ν είνι συνεχής κι στο. ηλδή πρέπει g() g().

16 6 Είνι g() ln ln (ln ) ( ln ) Κι g() κ. Άρ πρέπει κ iν) Γι κ, η g είνι συνεχής στο [, ], µε g() < κι g() >. Άρ g()g() <, οπότε πό το θεώρηµ Bolzano, θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) έτσι ώστε g().

17 7 78. ίνετι η συνάρτηση f(), R i) Ν µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονί. Ν βρείτε τις σύµπτωτες της γρφικής πράστσης της f. i N υπολογίσετε το ολοκλήρωµ d f () iν) Γι κάθε < ν ποδείξετε ότι f(5 ) < f(6 ) Προτεινόµενη λύση i) f () ( ) ( ) < γι κάθε R, άρ η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R Επειδή η f είνι συνεχής στο R, δεν έχει κτκόρυφες σύµπτωτες. f () λ ( ) ( ) ( f ( ) λ ) f () β Εποµένως η ευθεί y είνι οριζόντι σύµπτωτη στο f () ( ) ( ) [( )] ( ) ( ) ( ) ( ) λ ( ( ) ) f λ f () ( ) ( ) β Εποµένως η ευθεί y είνι οριζόντι σύµπτωτη στο

18 8 i d f () d ( ) d d d ( ) ln( ).. iν) Επειδή η f είνι γνησίως φθίνουσ, ρκεί ν ποδείξουµε ότι 5 > 6 5 Θεωρούµε τη συνάρτηση φ() 6, < Επειδή < 5 6 <, η φ είνι γνησίως φθίνουσ. 5 6 > 5 6 > 5 6 Οπότε : < φ() > φ() 5 6 > 5 6

19 9 79. ίνετι η συνάρτηση f() ln( ) ( )ln, > i) Ν ποδείξετε ότι ln( ) ln <, > Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ) i Ν υπολογίσετε το όριο ln iν) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει µονδικός ριθµός (, ) τέτοιος ώστε ( ). Προτεινόµενη λύση i) Η συνάρτηση g() ln στο διάστηµ [, ] µε > είνι συνεχής κι πργωγίσιµη. Οπότε, πό το θεώρηµ της µέσης τιµής, θ υπάρχει ξ (, ) g( ) g() έτσι ώστε g (ξ) g( ) g() g (ξ) ln( ) ln Όµως g () κι g () <, άρ η g είνι γνησίως φθίνουσ. Εποµένως : < ξ g () > g (ξ) > ln( ) ln f () ln( ) ln( ) ln Προσρµογή στο i ln( ) ln ln( ) ln Όµως πό το (i) ln( ) ln <, κι φού >, είνι >. Άρ f () <, εποµένως η f είνι γνησίως φθίνουσ. i ln ( ) ln ln

20 iν) Ανζητώ ρίζ της εξίσωσης ( ) ln( ) ln ln( ) ( )ln ln( ) ( )ln f() Είνι f() ln( ) ( )ln ln( ) ln ln [ln( ) ln] ln ln ln Άρ f () ln ln ln ln ( ) Επίσης f () [ ln( ) ( )ln] ( ) Πάµε γι Θεώρηµ ενδιάµεσων τιµών Προσρµογή στο iii Εποµένως, το σύνολο τιµών της f είνι το (, ), στο οποίο νήκει το, οπότε θ υπάρχει > ώστε f() κι φού η f είνι γνησίως φθίνουσ, το θ είνι µονδικό.

21 8. Συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R. Γι τους µιγδικούς z if (), w if(), όπου R, δίνετι ότι ο z w w i. Ν ποδείξετε ότι : i) f () f( ) γι κάθε R είνι φντστικός κι f ( ) f() γι κάθε R i f( ) f() γι κάθε R iv) z w γι κάθε R Προτεινόµενη λύση i) z w φντστικός z w z w z w z w [ if ()][ if(-)] [ if ()][ if( )] if( ) if () f () f( ) if( ) if () f () f( ) f () f( ) f () f( ) () Προκύπτει πό την () θέτοντς όπου το : f ( ) f() () i (), () f () f( ) f() f ( ) f () f( ) f() f ( ) f () f( ) f() (f( )) (f().f( )) f().f( ) c στο R () w i if() i f() Γι, η () f().f() c. c c H () γίνετι f().f( ) στο R (4) iv) Αρκεί ν ποδείξουµε ότι f () f() Μετξύ των (), (4) κάνουµε πλοιφή της f( ) :

22 () f( ) Η (4) γίνετι f() f () f () f() f ()