ΘΕΜΑ 1 ο A.1. σελ. 235 A.2 σελ Β. α. Σ, β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ. ΘΕΜΑ 2 ο

Transcript

1 ΘΕΜΑ ο A. σελ. 5 A. σελ. 9 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Β.. Σ, β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ ο. ( ) ( ) i z 6 i z 6 z 6 8 z 6 z 6 z. Άρ ο Γ.Τ. των εικόνων του z είνι κύκλος κέντρου (, ) κι ρ. Δηλδή y 4. β. w ( i) w ( i), ο Γ.Τ. των εικόνων του w είνι η μεσοκάθετος των σημείων A ( ) κι B, ( ). λ ΑΒ Άρ λ μεσοκάθ. Το μέσο Μ των Α, Β είνι Μ, (, ) y y 4 Άρ εξίσωση μεσοκθέτου: ( ) ος τρόπος Θέτουμε: w yi Άρ yi i yi i ( ) ( y ) i ( ) ( y ) i ( ) ( y ) ( ) ( y ) ( ) ( y ) ( ) ( y ) y y 4y 4 6 y y 6y 9 y 6y 6 6 γ. Το w είνι η πόστση της εικόνς του w πό την ρχή των ξόνων. Άρ το ελάχιστο μέτρο w είνι η πόστση της ρχής των ξόνων πό την ( ε ). ( ε): y 4 Ιτροπούλου & σιδ. Στθμού - Κλμάτ τηλ.: & 969

2 y - 4 w (ε) d( o, ε ). δ. Το z w είνι η πόστση της εικόνς του z πό την εικόν του w. Αυτό γίνετι ελάχιστο ότν οι εικόνες των z, w είνι τ σημεί τομής της κθέτου πό την ρχή ε. των ξόνων προς την ( ε ), με τον κύκλο κι την ( ) Ο A B (ε) Δηλδή το ελάχιστο z w (AB) d(o, ε) - ρ -. ΘΕΜΑ ο. ( ) ( ) ( ) A προσ. A προσ ln f ln ( ) D'L'H κι f ( ). Άρ f ( ) f ( ). Άρ η f συνεχής στο. β. Γι >, f '( ) ( ln )' ln Ιτροπούλου & σιδ. Στθμού - Κλμάτ τηλ.: & 969

3 ( ) ( ) > > > > ( ) < < < < < f' ln ln f' ln ln f' ln ln f () - f () - Ο.Ε γι το f ln. Άρ f ( ). f f, f,f( ), κι συνεχής f f, f ( ), f( ), κι συνεχής Το ( ) ( ) ( ) f ln. f A,,,. Άρ ( ) γ. Η εξίσωση φου > ln ln ln ln f ( ). Δικρίνω περιπτώσεις. i) Αν < τότε επειδή το σύνολο τιμών της f είνι το ii) Η εξίσωση f ( ) είνι δύντη.,. Αν τότε επειδή f,, κι f στο, η εξίσωση f ( ) έχει μονδική ρίζ στο, κι μάλιστ είνι η. Κι φού f,, κι άρ το, η εξίσωση Ιτροπούλου & σιδ. Στθμού - Κλμάτ τηλ.: & 969

4 f( ) είνι δύντη. Άρ ότν έχει μονδική ρίζ την η εξίσωση f( ) iii) Αν < τότε επειδή f,, κι, f, κι f θ υπάρχει κριβώς έν, :f( ) κι επειδή f,, κι, f, κι f άρ θ υπάρχει κριβώς έν, :f( ). Άρ η f ( ) έχει κριβώς ρίζες. iv) Αν > τότε φού f,, κι f, η εξίσωση f ( ) είνι δύντη στο,. Ενώ φού f,, κι f, f έχει κριβώς κι f άρ η f ( ) έχει κριβώς μί ρίζ. Άρ η ( ) μί ρίζ ότν >. δ. Θ.Μ.Τ γι την f στο [, ] με >. f συνεχής στο [, ] f πργωγίσιμη στο (, ). Άρ θ υπάρχει ( ) ( ) Αλλά f' ( ) ln ( ) ( ) f f ξ, :f ' ξ f ( ) f ( ). f'' ( ) > Άρ γνησίως ύξουσ.. Άρ < ξ< ΘΕΜΑ 4 ο f' ( ) < f' ( ξ ) < f' ( ) f ( ) f ( ) < f '( ).. ( ) ( ) () f f t dt 45 () () f t dt C Ιτροπούλου & σιδ. Στθμού - Κλμάτ τηλ.: & 969

5 f c 45. Άρ ( ) ( ) 4 : c 45 d c c 45 c 4 Άρ η () ( ) ( ) 4 6 c 9 c 46c 9 c 45c 9 c f 45 f 6 45 Άρ ( ) ( ) ( ) β. Έχω ( ) ( ) g' ( ) g' ( ( h) ) u h ( ) ( ) g' g' h g' g' u h h h h u u u u) ) u u g ( ) g( h) g( ) g( h) γ. i. ( gσυνεχής ) h h, D. L. H h) h) h) h) h h h h h) ) ) h) h h h) ) ) h) g ( ) g ( ) h h h g( h) g( ) g( h) Άρ φού f ( ) 45 h h g ( ) f ( ) 45 g ( ) ) C Αλλά ), άρ C οπότε ( ) 5 4 g 5 Άρ g ( ) C Αφού g() C 5 Συνεπώς g() [ ] g ( ) 4 ii. g ( ) 5 > κι g συνεχής, άρ g γνησίως ύξουσ κι Επιμέλει πντήσεων: Δργώνς Μπάμπης Μθημτικός Γκιούλος Θεόδωρος Μθημτικός Φροντιστήριο Μ.Ε «ΕΠΙΛΟΓΗ» - Κλμάτ Ιτροπούλου & σιδ. Στθμού - Κλμάτ τηλ.: & 969