ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

Transcript

1 1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση ορισµένη στο { }, τέτοι ώστε f() ( ) Α ( ) + Β + γι κάθε { }, ν ποδειχθεί ότι υπάρχει το lim Επειδή Α f() g() έχουµε Β f() f () g () g() g() g() f () f() g () (g()) Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f(), η οποί είνι πργωγίσιµη στο (πηλίκο πργωγίσιµων συνρτήσεων) Οπότε h() Α κι h () Β Γι κάθε {} έχουµε: f() ( ) Α ( ) Β + + h() ( ) h() ( ) + h () + h() h() () h () ( ) Η h είνι συνεχής στο, (φού είνι πργωγίσιµη στο ), άρ lim h() h() lim h() h() () h () lim ( ) DLH h () h () lim 1 h () h () lim 1 ( )( ) h () (η h είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο, φού f () f() g () h () () γι κάθε κι η h είνι πργωγίσιµη (πηλίκο πργωγίσιµων συνρτήσεων)) Εποµένως lim lim ( ) lim lim 1 (η g είνι κι συνεχής (φού είνι πργωγίσιµη)) h () g()

2 Υποθέτουµε ότι υπάρχει πργµτική συνάρτηση f, ορισµένη στο, δύο φορές πργωγίσιµη, τέτοι ώστε ( ) f () + (ηµ )f () e - 1 γι κάθε, όπου, πργµτικοί ριθµοί Έστω ότι υπάρχει πργµτικός ριθµός ρ σχέση f (ρ) >, ώστε f (ρ) Ν εξετάσετε ν ισχύει η Αφού γι κάθε ισχύει η ισότητ ( ) f () + (ηµ ) f () e - 1, θ ισχύει κι γι ρ, εποµένως (ρ ) f (ρ) + (ηµρ ρ ) f (ρ) e ρ - 1 (ρ ) f (ρ) + e ρ - 1 f (ρ) Επειδή ρ, έχουµε τις περιπτώσεις: Αν ρ > τότε ρ > e ρ > e ρ e 1, ρ ρ e ρ 1 > ρ e 1 > ρ Αν ρ < τότε ρ < e ρ < e e ρ 1 < ρ e 1 > ρ Άρ ισχύει η σχέση f (ρ) > 3 ίνετι πργµτική συνάρτηση g, δύο φορές πργωγίσιµη στο, τέτοι ώστε > κι g () Ν ποδείξετε ότι: ) η συνάρτηση g g [g ()] > γι κάθε είνι γνησίως ύξουσ κι ) g( 1 ) g( ) γι κάθε 1, ) Έστω f() g (), τότε f () g () (g ()) () > γι κάθε (πηλίκο θετικών ριθµών) Άρ η f g g είνι γνησίως ύξουσ στο ) Θεωρούµε τη συνάρτηση h() ln(),, τότε h () g () f(), άρ η h είνι γνησίως ύξουσ στο, (πό ))

3 Αν 1 τότε: g( ) g( + ) g( κι g( ) g( [g( ] 1 g( ) g( 1 ), φού Αν 1 >, γι κάθε Άρ g( ) g( ), χωρίς λάη της γενικότητς υποθέτουµε ότι 1 < Η h είνι συνεχής στ διστήµτ [ 1, πργωγίσιµη στ ( 1, πργωγίσιµη στο ], [, ] κι ), (, ), φού είνι Εποµένως, εφρµόζετι το θεώρηµ µέσης τιµής γι την h στ διστήµτ [ 1, ], [ ξ 1 ( 1, h (ξ 1 ) ξ ( h (ξ ), ], άρ υπάρχει έν τουλάχιστον ) τέτοιο ώστε h (ξ 1 ) 1 h( ) h( κι, ) τέτοιο ώστε h (ξ ) 1 h( ) h( ) 1 h( ) h( 1 1 h( ) h( ) 1 Επειδή η h είνι γνησίως ύξουσ κι ξ 1 < ξ θ έχουµε h (ξ 1 ) < h (ξ ) 1 h( ) h( ln(g( < 1 h( ) h( ) 1 > h( )) < ln(g( 1 )) + ln(g( )) ln(g( (g( )) < g( 1 ) g( ) g( 1 ) < g( ) ) < h( 1 ) + h( ) )) < ln(g( 1 ) )

4 Άρ η σχέση g( 1 ) g( ), ισχύει γι κάθε 1, 4 Υποθέτουµε ότι υπάρχει πργµτική συνάρτηση g, πργωγίσιµη στο, τέτοι ώστε g( + y) e y + e g(y) y + γι κάθε, y, όπου πργµτικός ριθµός Ν ποδείξετε ότι: ) g() - ) g () + g ()e, γι κάθε ) Θέτουµε στη δοθείσ ισότητ y κι έχουµε g( + ) e g() + e g() + + g() g() + g() + g() - ) Πργωγίζουµε κι τ δύο µέλη της δοθείσς ισότητς ως προς y κι έχουµε: g ( + y) ( + y) (e y ) + e g (y) + ( y) + () g ( + y) e y + e g (y) Θέτουµε στην τελευτί ισότητ y κι πίρνουµε g ( + ) e + e g () g () + g ()e, γι κάθε 5 Οι συνρτήσεις f, g είνι δύο φορές πργωγίσιµες στο ικνοποιούν τις σχέσεις f () g () 4 γι κάθε, f ( g ( κι f() g() ) Ν ρείτε τη συνάρτηση t() f(), ) Ν ρείτε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι g ) Γι κάθε έχουµε f () g () 4 κι (f () g ()) (4) f () g () 4 + c 1, όπου c 1 Από την τελευτί ισότητ, επειδή f ( g (, γι 1 πίρνουµε f ( g ( c 1 c 1-4 Άρ γι κάθε είνι f () g () 4 4 (f() ) ( 4) f() 4 + c, όπου c Από την τελευτί ισότητ, επειδή f() g(), γι πίρνουµε f() g() c c Άρ γι κάθε είνι f() 4 ή t() 4

5 ) Έχουµε f() f() 4 ( ) ή f() 4 γι κάθε [, ] (πρόσηµο τριωνύµου) Η συνάρτηση f() είνι συνεχής στο [, ] (διφορά συνεχών συνρτήσεων), εποµένως το εµδόν είνι: Ε f() d (f() ) d (4 ) d 3 (8 16 ) ( ) τµ 6 Έστω f πργµτική συνάρτηση ορισµένη στο πργωγίσιµη κι ισχύει f () > γι κάθε Έστω, κι < Ν ποδειχθεί ότι: ) f() f() f () ( ), γι κάθε [, ], που είνι δύο φορές ) f() d f () ( ) + f() ( ) ) Θεωρούµε τη συνάρτηση f() f() f () ( ) η οποί είνι πργωγίσιµη στο [, ] (άθροισµ πργωγίσιµων συνρτήσεων) µε g () f () f () Επειδή f () > γι κάθε, η f είνι γνησίως ύξουσ άρ γι κάθε (, ) έχουµε < f () < f () f () f () < g () <, άρ είνι γνησίως φθίνουσ στο [, ] (φού η g είνι κι συνεχής στο [, ]) Εποµένως γι κάθε [, ] έχουµε f() f() ) Από το ) έχουµε g() f() f() f () ( ) f() f() f () f ()( ) f () ( ) f() + f() (f () ( ) f() + f()) d f () ( ) d + f() d f() d f() d f () + f() ( ) d ( ) f() d f () ( ) + f() ( )

6 f() d f () ( ) + f() ( ) f() d f () ( ) + f() ( ) 7 Έστω f πργµτική συνάρτηση συνεχής στο κάθε Θεωρούµε τη συνάρτηση, τέτοι ώστε f() γι ) Ν ποδείξετε ότι g(- 3) g() < f(t) dt, ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει µί µόνο ρίζ στο διάστηµ (- 3, ) ) Έχουµε g() f(t) dt 1 > κι g(- 3) (- 3) 5(- 3) f(t) dt g(- 3) 5 ( f(t) dt Όµως γι κάθε f() f() (f() ) d 4 4 f() d 4 4 d (4 ) f( ) d 4 f() d 48 - g(- 3) - 3 < g(- 3) < Άρ g(- 3) g() < 4 f() d f() d 5 48 ) Η g είνι συνεχής στο [-3, ] ως άθροισµ συνεχών συνρτήσεων κι ισχύει g(- 3) g() < Άρ σύµφων µε το θεώρηµ Bolzano, η εξίσωση έχει µί τουλάχιστον ρίζ στο (- 3, ) Η είνι πργωγίσιµη στο 5 f( 5) ( 5) ( 5) (1 f( 5)) Γι κάθε (- 3, ) έχουµε 5 < κι 4 µε g () 5 f( 5) ( 5) f( 5) > 1 1 f( 5) <, άρ g () > Οπότε η g είνι γνησίως ύξουσ στο (- 3, ) κι συνεπώς η εξίσωση έχει το πολύ µί ρίζ στο (- 3, ) Τελικά η εξίσωση έχει µί µόνο ρίζ στο διάστηµ (- 3, )