ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ"

Παναγιώτα Λούλης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

~σελίδα αό ~ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 45 A.

1 ~σελίδα αό ~ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 45 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 A3. Η Τ είναι αράγωγος τς και Η είναι αράγωγος τς g. A4. α. Ψ β. Αν () = και g () =, (, + ), τότε im () = +, im g () = και im () + g () =. Α5. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος. ΘΕΜΑ Β Β. H είναι συνεχής στο (, ] ως ολυωνυμική και στο (, + ) ως ρτή. Για να είναι συνεχής στο IR, θα ρέει να είναι συνεχής και στο =, δλαδή θα ρέει () = im + im () = (). im () = im ( + α) = α + + im () = im = α + = + + α = () = + α = α + Για α = είναι () = +, +, > ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

2 ~σελίδα αό ~ Β. Εξετάζουμε αν είναι αραγωγίσιμ στο = () () + ( ) ( + ) im = im = im = + + () () ( ) = = = im im im im ( ) () () () () Eίναι im im, + άρα δεν είναι αραγωγίσιμ στο =, δλαδή δεν ικανοοιούνται οι υοθέσεις του Θ. Roll στο, 4. Β3. Αναζτούμε τέτοιο ώστε ( ) =. 4 Για < έχουμε : () = ( + ) = ( ) = = = δεκτή αφού < = 65 + = + = 65 Α, (ε ) : y = + y = y = y = Για > έχουμε : () = + = ( ) = = = 4 = > () = = 3 B, 3 (ε ) : y () = () ( ) y = ( ) 4 = y = + 4 ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

3 ~σελίδα 3 αό ~ Β4. D = IR H είναι συνεχής στο IR, άρα C δεν έχει κατακόρυφες ασύμτωτες Στο (, ] είναι ολυωνυμική δευτέρου βαθμού, άρα C δεν έχει ασύμτωτ στο. + im () = im = im =, άρα C έχει οριζόντια ασύμτωτ στο τν ευθεία y =. Γραφική αράστασ τς ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

4 ~σελίδα 4 αό ~ ΘΕΜΑ Γ Γ. () = (μ ) = συν, [, ]. () = συν = συν = συν = συν 3 και εειδή [, ] θα είναι =. 3 () = συν = > () = συν = < 3 () + () () = μ = τ.ελ. τ.μ. τ.ελ. 3 = μ = = () = μ = Η αρουσιάζει τοικό μέγιστο για = τν τιμή () =, Η αρουσιάζει τοικό και ολικό ελάχιστο για = 3 τν τιμή = Η αρουσιάζει τοικό και ολικό ελάχιστο για = τν τιμή () =. Γ. () = (συν ) = μ, για κάθε [, ] και το "=" ισχύει μόνο για = ή =. Εομένως είναι κοίλ στο [, ] και οοιαδήοτε εφατομέν τς στο τυχαίο σμείο Α (, ( )) βρίσκεται άνω αό τ C με εξαίρεσ το σμείο εαφής Α, δλαδή έχει ένα μόνο κοινό σμείο με τ C. ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

5 Γ3. () συν d = (μ ) συν d = (μ συν συν) d = μ συν d συν d = μ d συν = (μ) d μ = μ d = συν = συν + συν = ~σελίδα 5 αό ~ + () μ d Eναλλακτικά για το ή μ συν d μ συν d μορούμε να κάνουμε = μ (μ) d = (μ ) d = μ = μ μ = = μ σ υν d = συν (συν) d = (συν ) d = συν = συν + συν = + = () μ μ μ Γ4. α) im = im = im = im = = = ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

6 β) λύσ ~σελίδα 6 αό ~ () () im( () ()) n = im = n διότι () () im = = = () αφού im = αό Γ4.α) και Θέτω = u () () (u) im = im = im = = όταν, u u τότε u n κ αι im n = im = im = im () = DL'H λύσ ( () ()) = (μ μ + ) im n im n = im (μ μ + ) n μ μ = im + = n μ μ μ μ διότι im + = im im + = + = 4 + = n και im n = im = im = im() = DL'H ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

7 ~σελίδα 7 αό ~ ΘΕΜΑ Δ Δ. λύσ Θεωρώ τ συνάρτσ g, με g () = ( + ) n( + ), g () = ( + ) n( + ) = ( + ) n( + ) + ( + ) n( + ) () = n( + ) + ( + ) = n( + ) + = n( + ) + Για > είναι + > n( + ) > n g () > και εειδή g είναι συνεχής στο [, + ), g είναι γνσίως αύξουσα στο [, + ). g Είναι > g () > g () ( + ) n( + ) > ( + ) n( + ) > + > n( + ) > + λύ σ Θεωρώ τ συνάρτσ h, με h () = n +, h () = + n = =, Για > είναι h () >, και εειδή h είναι συνεχής στο [, + ) ως άθροισμα συνεχών h θα είναι γνσίως αύξουσα στο [, + ). h στο [, + ) Αν >, τότε + > h ( + ) > h () n( + ) + > n( + ) > n ( + ) > + + n( + ) > + ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

8 3 λύσ Αό εφαρμογή σχολικού βιβλίου ισχύει : ~σελίδα 8 αό ~ n (), για κάθε > και το "=" ισχύει μόνο για Για > είναι < <, άρα + αντικαθιστώντας στ σχέσ () όου το έχουμε: + + n < n( + ) < n( + ) < + n( + ) > + =. ( + ) ( () = n n + ) n( + ) () Δ. = n( + ) n( + ) = + = + Είναι () <, για κάθε >, διότι < n( + ) αό Δ. + Εομένως είναι γνσίως φθίνουσα στο (, + ) δλαδή είναι, άρα αντιστρέφεται. n( + ) + im () = im = im = im = n( + ) im () = im = im + = im = DL'H + + DL'H άρα (A) = D = (, ) ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

9 ~σελίδα 9 αό ~ () > n( () + ) Δ3. () < ( ()) > () > n () () n () n( () + ) > () n n( () + ) > n () + > () () >, για κάθε (, + ). Δ4. Θεωρούμε τ συνάρτσ h, με h () = ( ) (α) + ( ) (α) + ( ) ( ) μ(α), IR. Η h είναι συνεχής στα [, ] και [, ] ως ολυωνυμική h () = μ(α) >, διότι <α< <α< και μ(α) > h () = ( α) <, διότι (α) > αό Δ h () = (α) >, διότι D = (,+ ) είναι το σύνολο τιμών τς Ισχύουν οι υοθέσεις του Θ. Bolzano για τ συνάρτσ h στα διαστήματα [, ] και [, ], δλαδή εξίσωσ h () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστμα (, ) και μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστμα (, ). ου Η h είναι ολυωνυμική βαθμού άρα έχει δύο το ολύ ρίζες. Εομένως εξίσωσ h () = έχει ακριβώς δύο ρίζες, μια στο διάστμα (, ) και μια στο διάστμα (, ). Εειδή τα, και δεν είναι ρίζες τς εξίσωσς h () =, (α) (α) μ(α) οι εξισώσεις + + = και h () = είναι ισοδύναμες στο (, ) (, ) (, + ), (α) (α) μ(α) δλαδή εξίσωσ + + = έχει δύο ακριβώς ρίζες, μια στο (, ) και μια στο (, ). ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

10 Δ5. Θα δείξουμε αρχικά F () > n λύσ ~σελίδα αό ~ Η συνάρτσ F είναι αραγωγίσιμ στο [, ], με F () = () Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. για τν F στο διάστμα [, ] άρα υάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( F () F () n F () F (ξ) = (ξ) =, ), τέτοιο ώστε < ξ () > (ξ) n F () n > > n n > n F () n > F () F () > n ( ) λύσ () () () n () Eίναι () n, για κάθε [, ] και το "=" ισχύει μόνο για =, άρα () d < n d F () < n d F () F () < n n F () < n ( ) n F () > n n F () > n () n( + ) ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

11 Έειτα θα δείξουμε ότι + F () < n + ~σελίδα αό ~ λύσ : Θεωρούμε τ συνάρτσ φ, με φ () = F () (), > φ () = F () () = F () () = () () + () = () () φ () = (), > Είναι φ () >, για κάθε >, διότι () < στο (, + ) άρα φ είναι γνσίως αύξουσα στο (, + ). < φ () < φ () F () () < F () () n(+) F () n < n F () n < n n(+) F () < n + n n(+) F () < ( + ) n n(+) + n n F () < n () + λύσ : Αό το Θ.Μ.Τ. με τν F στο [, ] : + F () < ( + ) n F () υάρχει ξ (, ) ώστε (ξ) = n F () n( + ) ξ < (ξ) > () > ( ) n( + ) F () < n + ( ) n( + ) Aρκεί να δείξουμε ότι n < n + n( + ) n( + ) n < ( + ) n n( + ) n n( + ) + ( + ) < n n + ( + ) διότι + < 4 = <. Eομένως n ( + ) < ( + ) < n + < ου ισχύει n n n + F () < n () + ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

12 3 λύσ : n( + ) Eίναι (), για κάθε [, ] και το "=" ισχύει μόνο για =, άρα ~σελίδα αό ~ n( + ) () d > d n( + ) F () > d n( + ) F () F () > n( + ) n F () > ( ) ( ) n( + ) F () < n + ( ) n( + ) Aρκεί να δείξουμε ότι n < n + n( + ) n( + ) n < ( + ) n n ( + ) n n( + ) + ( + ) < n n + ( + ) n n ( + ) < n n( + ) < n + < ου ισχύει διότι + < 4 = <. Eομένως + F () < n () + Αό () και () έχουμε + n < F () < n + ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ ΤΗΛ. 577

Σχετικά έγγραφα

x (x ) (x + 1) - x (x + 1)

x (x ) (x + 1) - x (x + 1) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ