Ανάλυση εδοµένων - Χρήση του στατιστικού πακέτου SPSS. 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩ ΓΗ ΣΤΟ SPSS ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανάλυση εδοµένων - Χρήση του στατιστικού πακέτου SPSS. 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩ ΓΗ ΣΤΟ SPSS ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ"

Transcript

1 Ανάλυση εδοµένων - Χρήση του στατιστικού πακέτου SPSS η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩ ΓΗ ΣΤΟ SPSS ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ (Α) Καταγραφή δεδοµένων και επιλογή κατάλληλων ρυθµίσεων των µεταβλητών Η βασική οθόνη του στατιστικού πακέτου SPSS έχει την ακόλουθη µορφή: Στον παραπάνω πίνακα, γίνεται η καταγραφή των δεδοµένων που επιθυµούµε να αναλυθούν. Κάθε στήλη του πίνακα αποτελεί και ένα διαφορετικό χαρακτηριστικό (δηλαδή µία διαφορετική µεταβλητή (variable)), ενώ κάθε οριζόντια γραµµή αντιπροσωπεύει ένα διαφορετικό άτοµο (ή παρατήρηση) του δείγµατος που έχουµε στη διάθεση µας. Προκειµένου να διαµορφώσουµε κατάλληλα τις ρυθµίσεις που αφορούν την κάθε µεταβλητή (δηλαδή το κάθε διαφορετικό χαρακτηριστικό), επιλέγουµε το Variable View (βρίσκεται στην κάτω αριστερή γωνία της οθόνης) και εµφανίζεται µία άλλη οθόνη, όπως φαίνεται παρακάτω: Ακαδηµαϊκό Έτος -

2 Οι ρυθµίσεις που πρέπει να διαµορφωθούν για κάθε µία µεταβλητή χωριστά, είναι οι εξής: Name: εδώ δίνεται η ονοµασία της κάθε µεταβλητής Type: εδώ δηλώνεται το είδος της πληροφορίας που θα εισαχθεί σε κάθε µεταβλητή (δηλαδή σε κάθε στήλη του πίνακα δεδοµένων). Για παράδειγµα, αν η πληροφορία είναι ποσοτική, τότε ο κατάλληλος τύπος µεταβλητής που πρέπει να επιλεγεί είναι το Numeric, ενώ αν πρόκειται να εισάγουµε στη συγκεκριµένη στήλη λέξεις (γράµµατα), τότε θα επιλέξουµε τον τύπο String. Width: εδώ προσδιορίζεται το µέγιστο πλήθος ψηφίων (αν πρόκειται για αριθµό) ή γραµµάτων (αν πρόκειται για λέξη) που θα επιτρέπεται να εισαχθεί στη συγκεκριµένη στήλη Decimals: εδώ δηλώνεται ο αριθµός δεκαδικών ψηφίων που θέλουµε να εµφανίζονται στα αριθµητικά δεδοµένα της κάθε στήλης (προφανώς αν πρόκειται για πληροφορία τύπου String, τότε η συγκεκριµένη επιλογή γίνεται αυτόµατα. Measure: εδώ δηλώνεται το αν το χαρακτηριστικό που µελετάµε είναι ποσοτική µεταβλητή (Scale), ονοµαστική ποιοτική µεταβλητή (Nominal) ή διατάξιµη ποιοτική µεταβλητή (Ordinal). Ακαδηµαϊκό Έτος -

3 Αφού γίνουν οι κατάλληλες ρυθµίσεις στο Variable View, επιστρέφουµε στην αρχική οθόνη (επιλέγοντας το Data View), ώστε να εισάγουµε τα δεδοµένα. Για καλύτερη κατανόηση, ας θεωρήσουµε ένα παράδειγµα στο οποίο το αντικείµενο µελέτης είναι η ταχύτητα επεξεργασίας µίας σειράς ηλεκτρονικών υπολογιστών (εκ των οποίων οι πρώτοι 7 χρησιµοποιούν τον επεξεργαστή Α, ενώ οι υπόλοιποι τον επεξεργαστή Β). Η ποσοτική µεταβλητή (Scale) που θα χρησιµοποιηθεί για την καταγραφή των ταχυτήτων επεξεργασίας ονοµάζεται SPEED και µετριέται σε µονάδες GHz µε ένα δεκαδικό ψηφίο, ενώ η ποιοτική µεταβλητή (Nominal) που θα χρησιµοποιηθεί για την καταγραφή του επεξεργαστή που χρησιµοποιεί ο κάθε υπολογιστής ονοµάζεται PROCESSOR και είναι τύπου String. Ρυθµίζοντας κατάλληλα τις επιλογές στο Variable View, στη συνέχεια καταγράφουµε τις παρατηρειθείσες ταχύτητες των υπολογιστών καθώς και το είδος επεξεργαστή που χρησιµοποιούν στον πίνακα Data View, όπως φαίνεται ακολούθως: (Β) ιαχωρισµός αρχείου βάση ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού Σε περίπτωση που ενδιαφερόµαστε να αναλύσουµε ξεχωριστά τα δεδοµένα που αφορούν τους υπολογιστές που χρησιµοποιούν τον επεξεργαστή Α και τον επεξεργαστή Β, τότε ακολουθώντας τη διαδικασία Data / Split File, επιλέγουµε τη µεταβλητή PROCESSOR ως µεταβλητή οµαδοποίησης (grouping variable), όπως φαίνεται και παρακάτω: 3 Ακαδηµαϊκό Έτος -

4 (Γ) ιαγραφή περιπτώσεων από το σύνολο των δεδοµένων Σε περίπτωση που επιθυµούµε να διαγράψουµε προσωρινά µία ή περισσότερες περιπτώσεις (παρατηρήσεις) από τον πίνακα των δεδοµένων, τότε ακολουθώντας τη διαδικασία Data / Select Cases, προσδιορίζουµε τη συνθήκη που θέλουµε να ισχύει ότι µία παρατήρηση να παραµένει ενεργή στο δείγµα. Σε διαφορετική περίπτωση, δηλαδή σε περίπτωση που µία ή περισσότερες παρατηρήσεις δεν ικανοποιούν τη συνθήκη που εµείς θα δηλώσουµε, τότε εκείνη (ή εκείνες) η παρατήρηση διαγράφεται προσωρινά από το δείγµα και δεν λαµβάνεται υπόψιν στη συνέχεια της ανάλυσης. Για παράδειγµα αν επιθυµούµε να αναλύσουµε µόνο εκείνα τα δεδοµένα που αφορούν ηλεκτρονικούς υπολογιστές οι οποίοι παρουσιάζουν ταχύτητες που υπερβαίνουν τα GHz, τότε ακολουθώντας τη διαδικασία Data / Select Cases, επιλέγουµε το πλήκτρο If Condition is satisfied και διατυπώνουµε τη συνθήκη: SPEED >, όπως φαίνεται στην ακόλουθη οθόνη: Ακαδηµαϊκό Έτος -

5 ( ) Ταξινόµηση δεδοµένων βάση κάποιου ποσοτικού χαρακτηριστικού Σε περίπτωση που επιθυµούµε να τοποθετήσουµε σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά τα δεδοµένα βάση κάποιας συγκεκριµένης µέτρησης (ποσοτικής µεταβλητής), τότε ακολουθούµε τη διαδικασία Data / Sort Cases. Για παράδειγµα, αν θέλουµε να τοποθετήσουµε σε αύξουσα σειρά τους υπολογιστές βάση της ταχύτητας επεξεργασίας που παρουσιάζουν, τότε ακολουθώντας τη διαδικασία Data / Sort Cases, επιλέγουµε τη µεταβλητή SPEED να πάρει τη θέση κάτω από την έκφραση Sort By, ενώ ταυτόχρονα επιλέγουµε ως Sort Order (Τρόπος ταξινόµησης) το Ascending, δεδοµένου ότι επιθυµούµε να ταξινοµήσουµε τα δεδοµένα σε αύξουσα σειρά. Η παρακάτω οθόνη δείχνει τις προαναφερθείσες επιλογές: 5 Ακαδηµαϊκό Έτος -

6 (Ε) Υπολογισµός µίας νέας µεταβλητής µε τη βοήθεια κάποιας ήδη υπάρχουσας Σε περίπτωση που επιθυµούµε να δηµιουργήσουµε µία νέα µεταβλητή, χρησιµοποιώντας κάποια ήδη υπάρχουσα, τότε ακολουθούµε τη διαδικασία Transform / Compute Variable. Για παράδειγµα, αν θέλουµε να µετατρέψουµε τις ταχύτητες επεξεργασίας σε διαφορετικές µονάδες µέτρησης (από GHz σε MHz), τότε ακολουθώντας τη διαδικασία Transform / Compute Variable, αρχικά δηλώνουµε το όνοµα της νέας µεταβλητής κάτω από την έκφραση Target Variable, στη συνέχεια κάτω από την έκφραση Numeric Expression διατυπώνουµε τη σχέση βάση της οποίας θα υπολογιστεί η νέα µεταβλητή, όπως φαίνεται ακολούθως: Αξίζει να σηµειωθεί ότι, κατά τη διαδικασία υπολογισµού µίας νέας µεταβλητής (Transform / Compute Variable), υπάρχει δυνατότητα χρήσης πληθώρας µαθηµατικών και στατιστικών συναρτήσεων για τον κατάλληλο µετασχηµατισµό των δεδοµένων. 6 Ακαδηµαϊκό Έτος -

7 Ανάλυση εδοµένων - Χρήση του στατιστικού πακέτου SPSS η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στις εξετάσεις του µαθήµατος της Στατιστικής του τµήµατος Πληροφορικής του Πανεπιστηµίου Πειραιώς (κατά τη χειµερινή εξεταστική περίοδο) προσήλθαν συνολικά φοιτητές και φοιτήτριες. Ο εξεταστής βαθµολόγησε τα γραπτά χρησιµοποιώντας την κλίµακα -3 (: λευκή κόλλα, 3: άριστα) και τα αποτελέσµατα δίνονται στους ακόλουθους πίνακες. ΦΟΙΤΗΤΕΣ ο έτος ο έτος ο έτος ο έτος ο έτος 9 ο έτος 3 ο έτος ΦΟΙΤΗΤΡΙΕΣ ο έτος ο έτος ο έτος ο έτος ο έτος ο έτος 9 9 ο έτος α) Να εισάγετε µε κατάλληλο τρόπο τα παραπάνω δεδοµένα στο SPSS. 7 Ακαδηµαϊκό Έτος -

8 β) Να υπολογισθεί η µέση τιµή, η τυπική απόκλιση, η µεγαλύτερη και η µικρότερη τιµή των παραπάνω βαθµολογιών. Απάντηση. Ακολουθώντας τη διαδικασία: προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας Analyze/Descriptive Statistics/Descriptives: grade Descriptive Statistics N Minimum Maximum Mean Std. Deviation grade 9,37 7,8 Valid N (listwise) όπου παρατηρούµε ότι η µέση τιµή είναι ίση µε.37. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι η κεντρική τάση των φοιτητών και των φοιτητριών που συµµετείχαν στις εξετάσεις είναι λάβουν βαθµό γύρω στο.37. Πρόσθετα, η ελάχιστη και µέγιστη βαθµολογία είναι και 9 αντίστοιχα, ενώ η τυπική απόκλιση του δείγµατος των γραπτών ισούται µε 7.8. Η τυπική απόκλιση εκφράζει το βαθµό διασποράς των βαθµολογιών, δηλαδή περιγράφει το αν το δείγµα των βαθµολογιών αποτελείται από παρατηρήσεις που έχουν κοντινές ή µακρινές αποστάσεις µεταξύ τους. Ωστόσο, δεν υπάρχει κάποιο απόλυτο κριτήριο που να διαχωρίζει πότε ένα δείγµα θεωρείται ότι παρουσιάζει οµοιογένεια ή όχι. Για το λόγο αυτό, χρειάζεται να ορίσουµε µία ποσότητα που να έχει τη δυνατότητα να χαρακτηρίζει το εκάστοτε δείγµα ως οµοιογενές ή ετερογενές. Η ποσότητα αυτή ονοµάζεται συντελεστής µεταβλητότητας και υπολογίζεται ως ακολούθως: s CV =, x όπου s είναι η τυπική απόκλιση και x η µέση τιµή του δείγµατος. Για το συγκεκριµένο παράδειγµα, έχουµε τα εξής: 7.8 CV = = εδοµένου ότι CV =.7>., το δείγµα των βαθµολογιών κρίνεται ετερογενές, δηλαδή οι βαθµολογίες δεν είναι κοντινές (παρουσιάζουν µεγάλο βαθµό µεταβλητότητας). γ) Να δοθεί ο πίνακας συχνοτήτων και το αντίστοιχο ραβδόγραµµα (bar-chart). Τι ποσοστό των φοιτητών-φοιτητριών έχει βαθµολογηθεί πάνω από τη βάση; Απάντηση. Ακολουθώντας τη διαδικασία: Analyze/Descriptive Statistics/Frequencies: grade 8 Ακαδηµαϊκό Έτος -

9 προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας συχνοτήτων grade Valid Frequenc y Percent Valid Percent Cumulative Percent 6 6, 6, 6,,,,,,, 3,,, 3 3, 3, 7, 5,, 8, 6 3 3, 3, 3, 7,, 3, 8 8 8, 8,, 9,,,,, 5, 7 7, 7, 5, 6 6, 6, 58, 3 8 8, 8, 66, 6 6, 6, 7, 5 3 3, 3, 75, 6 9 9, 9, 8, 7,, 85, 8 3 3, 3, 88, 9,, 89,,, 9,,, 9,,, 93, 3,, 97,,, 98, 5,, 99, 9,,, Total,, όπου παρατηρούµε ότι το ποσοστό των φοιτητών/φοιτητριών που έχουν βαθµολογηθεί πάνω από τη βάση είναι ίσο µε (-7)%=8%. Το ζητούµενο ραβδόγραµµα δίνεται ακολούθως 5 C o u n t grade 9 Ακαδηµαϊκό Έτος -

10 δ) Να υπολογισθεί η διάµεσος, τα τεταρτηµόρια, το 3% ποσοστηµόριο και η κορυφή των βαθµολογιών. Απάντηση. Ακολουθώντας τη διαδικασία: Analyze/Descriptive Statistics/Frequencies: grade και επιλέγοντας στο Statistics τα ακόλουθα: Median, Mode, Quartiles, Percentile 3% προκύπτει ο επόµενος πίνακας Statistics grade N Median Mode Percentiles Valid Missing ,, 6,, 5,75 όπου παρατηρούµε ότι η διάµεσος (median) είναι ίση µε (αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι 5 άτοµα έχουν βαθµολογηθεί µέχρι και 5 άτοµα πάνω από ), η κορυφή (mode) των παρατηρήσεων είναι ίση µε (αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι η «δηµοφιλέστερη» βαθµολογία είναι το ), το πρώτο τεταρτηµόριο (Percentile 5%) είναι ίσο µε (αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι 5 άτοµα έχουν βαθµολογηθεί µέχρι και τα υπόλοιπα άτοµα πάνω από ), το τρίτο τεταρτηµόριο (Percentile 75%) είναι ίσο µε 5.75, ενώ το ποσοστηµόριο 3% (Percentile 3%) ισούται µε 6. ε) Να κατασκευαστεί το ιστόγραµµα (histogram) συχνοτήτων των βαθµολογιών. Απάντηση. Ακολουθώντας τη διαδικασία: Graphs/Legacy Dialogs/Histogram: grade προκύπτει το ακόλουθο ιστόγραµµα: Ακαδηµαϊκό Έτος -

11 grade Mean =,37 Std. Dev. = 7,8 N = Παρατηρούµε ότι η βαθµολογία µηδέν παρουσιάζει τη µεγαλύτερη συχνότητα, ενώ βαθµολογίες από 8 έως 8, παρουσιάζουν σχετικά υψηλές συχνότητες, σε αντίθεση µε τις βαθµολογίες άνω του. στ) Να κατασκευαστεί το θηκόγραµµα (box-plot) των βαθµολογιών και να εξεταστεί αν υπάρχουν έκτροπες παρατηρήσεις. Απάντηση. Ακολουθώντας τη διαδικασία: Graphs/Legacy Dialogs/Boxplot: grade (µε επιλογή στο category axis τη µεταβλητή gender) προκύπτει το ακόλουθο θηκόγραµµα για τα δύο φύλα χωριστά Ακαδηµαϊκό Έτος -

12 gender Παρατηρούµε ότι για τους φοιτητές (gender=) οι βαθµολογίες έχουν µεγαλύτερη διασπορά σε σχέση µε τις βαθµολογίες των φοιτητριών (gender=), καθώς όπως φαίνεται και παραπάνω το 5% των γραπτών των φοιτητριών έχει συγκεντρωθεί σε µια µικρή σχετικά περιοχή σε αντίθεση µε το τι συµβαίνει µε τα γραπτά των φοιτητών. ζ) Να ορισθεί κατάλληλα µια νέα µεταβλητή, η οποία να εκφράζει τον τελικό βαθµό κάθε φοιτητή / φοιτήτριας στην κλίµακα έως. Στη συνέχεια, να δοθεί ο πίνακας συχνοτήτων της νέας αυτής µεταβλητής. Πόσα γραπτά έχουν περάσει τη βάση µε βαθµό πέντε (5); Να υπολογισθεί η µέση τιµή της νέας µεταβλητής, εξαιρώντας τα γραπτά που έχουν βαθµολογηθεί µε µηδέν (). Απάντηση. Ακολουθώντας τη διαδικασία: Transform/Compute Variable µετασχηµατίζουµε τη µεταβλητή grade σε µια νέα µεταβλητή fgrade χρησιµοποιώντας την ακόλουθη αριθµητική έκφραση (numeric expression) Trunc[grade/3+.5]. Για τη νέα µεταβλητή fgrade, που εκφράζει τις βαθµολογίες σε κλίµακα έως, ο πίνακας συχνοτήτων είναι ο ακόλουθος Ακαδηµαϊκό Έτος -

13 Valid,,, 3,, 5, 6, 7, 8,, Total fgrade Cumulative Frequency Percent Valid Percent Percent,,, 7 7, 7, 7, 5 5, 5, 3, 3 3, 3, 5,,, 66, 8 8, 8, 8, 5 5, 5, 89,,, 93, 6 6, 6, 99,,,,,, Όπως φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα, υπάρχουν 8 γραπτά που έχουν περάσει τη βάση µε βαθµό 5. Για να εξαιρέσουµε τις βαθµολογίες που είναι µηδενικές, ακολουθούµε τη διαδικασία Data/Select Cases και στην επιλογή If condition is satisfied συµπληρώνουµε την έκφραση fgrade>. Στη συνέχεια, ακολουθώντας τη διαδικασία Analyze/Descriptive Statistics/Descriptives: fgrade υπολογίζουµε ότι η µέση βαθµολογία για τα µη µηδενικά γραπτά είναι ίση µε 3.6. η) Ποια είναι τα ποσοστά των φοιτητών και φοιτητριών στους εξεταζόµενους; Να κατασκευαστεί το αντίστοιχο κυκλικό διάγραµµα (pie-chart). Απάντηση. Ακολουθώντας τη διαδικασία: Graphs/Legacy Dialogs/Pie επιλέγουµε τη µεταβλητή gender προκειµένου να διαχωριστούν τα κοµµάτια του κυκλικού διαγράµµατος (define slices by) και προκύπτει το ακόλουθο διάγραµµα 3 Ακαδηµαϊκό Έτος -

14 gender 53,% 7,% θ) Να εξετασθεί το δείγµα των βαθµολογιών ως προς το βαθµό κύρτωσης και ασυµµετρίας που παρουσιάζει. Απάντηση. Ακολουθώντας τη διαδικασία: Analyze/Descriptive Statistics/Frequencies «κλικάρουµε» τις επιλογές Skewness και Kurtosis και τα αποτελέσµατα δίνονται ως ακολούθως: grade Statistics N Valid Missing Skewness,5 Std. Error of Skewness, Kurtosis -,69 Std. Error of Kurtosis,78 Όπως φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα, η ασυµµετρία (skewness) είναι ίση µε,5. Προκειµένου να αξιολογήσουµε το δείγµα ως έντονα ασύµµετρο, θα πρέπει να υπολογίσουµε το ακόλουθο πηλίκο: Skewness,5 = =,6 std. error of Skewness, και να εξετάσουµε αν η τιµή που προέκυψε (δηλαδή ο αριθµός,6) είναι µεγαλύτερος από το ή όχι (οπότε αντίστοιχα θα χαρακτηρίσουµε το δείγµα ως Ακαδηµαϊκό Έτος -

15 έντονα θετικά ασύµµετρο ή όχι). Στο παράδειγµα µας, δεδοµένου ότι,6 <, συµπεραίνουµε ότι το δείγµα των βαθµολογιών, αν και παρουσίασε µία θετική τιµή του δείκτη ασυµµετρίας, ωστόσο ο βαθµός θετικής ασυµµετρίας του δεν αξιολογείται ως έντονος. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η ασυµµετρία εξετάζει σε ποια µεριά ως προς τη µέση του δείγµατος, είναι κατανεµηµένες οι περισσότερες παρατηρήσεις του. Πιο συγκεκριµένα, αν σε ένα δείγµα οι περισσότερες παρατηρήσεις είναι µικρότερες από τη δειγµατική µέση τιµή, τότε λέµε ότι το δείγµα παρουσιάζει θετική ασυµµετρία, ενώ σε αντίθετη περίπτωση αρνητική ασυµµετρία. Σχετικά µε το βαθµό κύρτωσης που παρουσιάζει το δείγµα, φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα ότι ο συντελεστής κύρτωσης είναι ίσος µε -,69. Γενικά, αν σε ένα δείγµα ο βαθµός συγκέντρωσης των παρατηρήσεων γύρω από την κορυφή του είναι µεγάλος, τότε λέµε ότι το δείγµα είναι λεπτόκυρτο (ή ισοδύναµα ο συντελεστής κύρτωσης είναι αρνητικός), ενώ σε αντίθετη περίπτωση πλατύκυρτο (ή ισοδύναµα ο συντελεστής κύρτωσης είναι θετικός). Στο παράδειγµα µας, ο συντελεστής κύρτωσης είναι αρνητικός και ίσος µε -,69. Ωστόσο για να δούµε αν ο βαθµός κύρτωσης είναι αµελητέος ή όχι, θα πρέπει να εξετάσουµε αν το διάστηµα που κατασκευάζεται µέσω του ακόλουθου τύπου: ( kurtosis Std. error of Kurtosis, kurtosis+ Std. error of Kurtosis) περιλαµβάνει το µηδέν ή όχι. Σύµφωνα µε τον παραπάνω πίνακα, έχουµε: (.69.78, ) = (.65,.7). εδοµένου ότι το παραπάνω διάστηµα περιλαµβάνει το µηδέν, αυτό σηµαίνει ότι ο βαθµός κύρτωσης είναι αµελητέος (για να αξιολογούσαµε το βαθµό κύρτωσης ως σηµαντικό (έντονο), θα έπρεπε το παραπάνω διάστηµα να µην περιελάµβανε το µηδέν). ι) Χρησιµοποιώντας τη µεταβλητή που εκφράζει το έτος φοίτησης (µε τιµές,3,...,) να ορισθεί κατάλληλα µια νέα µεταβλητή, η οποία θα δείχνει αν ο φοιτητής / φοιτήτρια βρίσκεται στο ο έτος, 3 ο έτος, ο έτος ή επί πτυχίω (5 ο έτος και άνω). Ποιο είναι το ποσοστό των εξεταζόµενων φοιτητών που βρίσκονται στο ο έτος, 3 ο έτος, ο έτος ή επί πτυχίω; Να κατασκευαστεί το αντίστοιχο κυκλικό διάγραµµα. Απάντηση. Με βάση τη µεταβλητή year δηµιουργούµε µια νέα µεταβλητή fyear ακολουθώντας τη διαδικασία: Transform/Recode Into Different Variables. Για τις τιµές,3, της µεταβλητής year η νέα µεταβλητή fyear θα λαµβάνει αντίστοιχα τις τιµές,3,. Αντίθετα, για όλες τις τιµές 5 και άνω της µεταβλητής year 5 Ακαδηµαϊκό Έτος -

16 η νέα µεταβλητή fyear θα λαµβάνει την τιµή 5. χρησιµοποιεί τη νέα µεταβλητή fyear δίνεται ακολούθως Το κυκλικό διάγραµµα που fyear, 3,, 5,,% 33,%,% 9,% κ) Να υπολογισθεί η µέση τιµή και να κατασκευαστεί το ιστόγραµµα και το θηκόγραµµα των βαθµών - ανά φύλο. Απάντηση. Προκειµένου να υπολογίσουµε περιγραφικά µέτρα στατιστικής ή διαγράµµατα για κάθε φύλο χωριστά (και όχι για όλα τα γραπτά µαζί, όπως πράξαµε σε προηγούµενα ερωτήµατα) ακολουθούµε την ακόλουθη διαδικασία Analyze/Descriptive Statistics/Explore. Στη συνέχεια, επιλέγουµε ως εξαρτηµένη µεταβλητή (στο πεδίο Dependent List) τη µεταβλητή fgrade και ως παράγοντα διαχωρισµού των γραπτών (στο πεδίο Factor List) τη µεταβλητή gender. Τελικά το ιστόγραµµα προκύπτει επιλέγοντας στα Plots το Histogram Histogram Histogram 5 for gender= for gender= y c n e u q 6 r e F 3, 5,, fgrade Mean =,957 Std. Dev. =,6868 N = 7, 5, fgrade Mean = 3,957 Std. Dev. =,75 N = 53 ενώ το θηκόγραµµα δίνεται ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, όπως φαίνεται παρακάτω: 6 Ακαδηµαϊκό Έτος -

17 , 8, 6,,,, gender Αξίζει να σηµειωθεί ότι η έντονη µαύρη γραµµή που φαίνεται στα δύο θηκογράµµατα, εκφράζει τη διάµεσο του κάθε φύλου, ενώ το κάτω και άνω φράγµα (εκτός του κεντρικού παραλληλογράµµου) συµβολίζονται ως c,c αντιστοίχως και υπολογίζονται ως εξής: c = P,5 ( P P ) = Q,5 ( Q ), Q c = +,5 ( P P ) = Q +,5 ( Q ) P Q 75 7 Ακαδηµαϊκό Έτος -

18 Ανάλυση εδοµένων - Χρήση του στατιστικού πακέτου SPSS 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Άσκηση. Το ποσοστό των εισερχοµένων µηνυµάτων ηλεκτρονικής αλληλογραφίας ( s) στο δίκτυο του Πανεπιστηµίου Πειραιώς που χαρακτηρίζονται ως ύποπτα (Possible Spam) και διαγράφονται αυτόµατα, είναι ίσο µε %. Αν υποθέσουµε ότι κατά τη διάρκεια µίας ηµέρας αφιχθούν στο δίκτυο του Πανεπιστηµίου Πειραιώς 5 µηνύµατα, να προσδιοριστούν τα ακόλουθα: (i) (ii) (iii) (iv) η πιθανότητα ο αριθµός των µηνυµάτων που θα χαρακτηριστούν ως ύποπτα να µην υπερβαίνει τα 8. η πιθανότητα ο αριθµός των µηνυµάτων που θα χαρακτηριστούν ως ύποπτα να είναι τουλάχιστον. η πιθανότητα το πρώτο µήνυµα που θα χαρακτηριστεί ως ύποπτο να είναι το 5 ο µήνυµα που αφικνείται συνολικά στο δίκτυο του Πανεπιστηµίου κατά τη διάρκεια της συγκεκριµένης ηµέρας. η πιθανότητα το δέκατο µήνυµα που θα χαρακτηριστεί ως ύποπτο να είναι το 7 ο µήνυµα που αφικνείται συνολικά στο δίκτυο του Πανεπιστηµίου κατά τη διάρκεια της συγκεκριµένης ηµέρας. Απαντήσεις. Στο συγκεκριµένο Παράδειγµα, ο έλεγχος για το αν ένα ηλεκτρονικό µήνυµα που αφικνείται στο δίκτυο του Πανεπιστηµίου Πειραιώς είναι ύποπτο ή όχι, αποτελεί µία δοκιµή Bernoulli. Ας ορίσουµε ως επιτυχία της δοκιµής Bernoulli το ενδεχόµενο όπως ένα µήνυµα να κριθεί ύποπτο (το ενδεχόµενο αυτό συµβαίνει µε πιθανότητα p =. ) και ως αποτυχία της δοκιµής Bernoulli το ενδεχόµενο όπως ένα µήνυµα να µην κριθεί ύποπτο (το ενδεχόµενο αυτό συµβαίνει µε πιθανότητα q = p=.9 ). (i) Είναι σαφές ότι ο αριθµός Χ των µηνυµάτων που κρίνονται ύποπτα σε σύνολο 5 µηνυµάτων που αφικνούνται είναι µία τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί ιωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους ν = 5 και p =., όπου p είναι η πιθανότητα να κριθεί ένα ηλεκτρονικό µήνυµα ως ύποπτο, δηλαδή είναι η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε 8 Ακαδηµαϊκό Έτος -

19 µία από τις 5 δοκιµές Bernoulli που πραγµατοποιούνται. Στο συγκεκριµένο ερώτηµα ζητείται η πιθανότητα όπως η τυχαία µεταβλητή Χ να µην υπερβεί την τιµή 8, δηλαδή η πιθανότητα P ( 8). Προκειµένου να υπολογίσουµε την παραπάνω ποσότητα, θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Χ στο σηµείο 8. Πιο συγκεκριµένα, εφαρµόζουµε τα εξής: Transform / Compute Variable και χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση CDF.BINOM(quant, n, p) επιλέγουµε quant = 8, n= 5, p=. και προκύπτει ότι P ( 8) = , δηλαδή η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε Αξίζει να σηµειωθεί ότι, χωρίς τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή, ο υπολογισµός της παραπάνω τιµής της συνάρτησης κατανοµής θα ήταν πρακτικά πολύ δύσκολος, µιας και η συγκεκριµένη πιθανότητα απαιτεί για τον υπολογισµό της την άθροιση 8 πιθανοτήτων απλών ενδεχοµένων, όπως φαίνεται ακολούθως: P ( 8) = P( = ) + P( = ) P( = 8). (ii) Στο συγκεκριµένο ερώτηµα ζητείται η πιθανότητα όπως η τυχαία µεταβλητή Χ να είναι τουλάχιστον ίση µε, δηλαδή η πιθανότητα P ( ) = P( < ). Προκειµένου να υπολογίσουµε την παραπάνω ποσότητα, θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Χ στο σηµείο. Πιο συγκεκριµένα, εφαρµόζουµε τα εξής: Transform / Compute Variable και χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση CDF.BINOM(quant, n, p) επιλέγουµε quant =, n= 5, p=. και προκύπτει ότι P ( < ) = P( 39) =, 555, δηλαδή η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε.555 = (iii) Στο συγκεκριµένο ερώτηµα πρέπει να ορίσουµε µία νέα τυχαία µεταβλητή Υ που εκφράζει το πλήθος των µηνυµάτων που αφικνούνται στο δίκτυο του Πανεπιστηµίου Πειραιώς και δεν χαρακτηρίζονται ως ύποπτα έως ότου εµφανισθεί το πρώτο µήνυµα που χαρακτηρίζεται ως ύποπτο. Συνεπώς, η τυχαία µεταβλητή Υ ακολουθεί τη Γεωµετρική κατανοµή µε παράµετρο p =.. Προκειµένου να υπολογίσουµε την πιθανότητα το πρώτο µήνυµα που θα χαρακτηριστεί ως ύποπτο να είναι το 5 ο µήνυµα που αφικνείται συνολικά στο δίκτυο του Πανεπιστηµίου κατά τη διάρκεια της συγκεκριµένης ηµέρας (δηλαδή πριν από αυτό θα πρέπει να έχουν προηγηθεί 9 µηνύµατα που δεν χαρακτηρίστηκαν ως ύποπτα), εφαρµόζουµε τα εξής: 9 Ακαδηµαϊκό Έτος -

20 Transform / Compute Variable και χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση PDF.GEOM(quant,p) επιλέγουµε quant = 9, p=. και προκύπτει ότι P(Y = 9) =.636. (iv) Στο συγκεκριµένο ερώτηµα πρέπει να ορίσουµε µία νέα τυχαία µεταβλητή Q που εκφράζει το πλήθος των µηνυµάτων που αφικνούνται στο δίκτυο του Πανεπιστηµίου Πειραιώς και δεν χαρακτηρίζονται ως ύποπτα έως ότου εµφανισθεί το r οστό µήνυµα που χαρακτηρίζεται ως ύποπτο, όπου r =,..., 5. Συνεπώς, η τυχαία µεταβλητή Q ακολουθεί τη Αρνητική ιωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους r = και p =.. Προκειµένου να υπολογίσουµε την πιθανότητα το δέκατο µήνυµα που θα χαρακτηριστεί ως ύποπτο να είναι το 7 ο µήνυµα που αφικνείται συνολικά στο δίκτυο του Πανεπιστηµίου κατά τη διάρκεια της συγκεκριµένης ηµέρας (δηλαδή πριν από αυτό θα πρέπει να έχουν προηγηθεί µόνο 9 µηνύµατα που χαρακτηρίστηκαν ως ύποπτα), εφαρµόζουµε τα εξής: Transform / Compute Variable και χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση PDF.NEGΒΙΝ(quant, r, p) επιλέγουµε quant = 7, r =, p=. και προκύπτει ότι P ( = 7) =, 8. Άσκηση. Αν ο αριθµός των ασθενών που εισέρχονται σε µία κλινική κατά τη διάρκεια µίας ηµέρας ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε παράµετρο λ = 3, να υπολογισθούν οι ακόλουθες πιθανότητες: (i) (ii) (iii) τουλάχιστον ασθενείς να εισαχθούν κατά τη διάρκεια µίας ηµέρας το πολύ 5 ασθενείς να εισαχθούν κατά τη διάρκεια µίας ηµέρας το πολύ 3 ασθενείς να εισαχθούν κατά τη διάρκεια µίας ηµέρας, δεδοµένου ότι γνωρίζουµε ότι έχουν εισαχθεί τουλάχιστον ασθενείς κατά τη διάρκεια της µέρας αυτής. Άσκηση 3. Έστω ότι οι βαθµοί των φοιτητών στο µάθηµα «Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ» ακολουθεί την Κανονική κατανοµή µε παραµέτρους µ = 7, σ =. Αν επιλέξουµε τυχαία ένα δείγµα είκοσι φοιτητών που συµµετείχαν στις εξετάσεις του προαναφερθέντος µαθήµατος, να υπολογιστούν οι πιθανότητες: (i) ο βαθµός ενός τυχαία επιλεγόµενου φοιτητή του δείγµατος να είναι µεγαλύτερος από 8 Ακαδηµαϊκό Έτος -

21 (ii) (iii) ακριβώς φοιτητές εκ των φοιτητών του δείγµατος να έχουν βαθµολογηθεί πάνω από 8 ο βαθµός ενός τυχαία επιλεγόµενου φοιτητή του δείγµατος να µην ξεπερνά το 9. Ακαδηµαϊκό Έτος -

22 Ανάλυση εδοµένων - Χρήση του στατιστικού πακέτου SPSS η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Εταιρεία στατιστικών µελετών διεξήγαγε έρευνα για τη χρήση του κινητού τηλεφώνου σε πληθυσµό 5 ατόµων. Συγκεκριµένα κατέγραψε το µηνιαίο χρόνο οµιλίας του κάθε ατόµου στο κινητό τηλέφωνο (εξαρτηµένη µεταβλητή Υ ), την ηλικία του (ανεξάρτητη µεταβλητή Χ ), το ετήσιο οικογενειακό εισόδηµα του (ανεξάρτητη µεταβλητή Χ ) και τον αριθµό κλήσεων από το σταθερό του τηλέφωνο (ανεξάρτητη µεταβλητή Χ 3 ). Τα αποτελέσµατα της έρευνας δίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Χρόνος Υ Ηλικία Χ Εισόδηµα (σε Ευρώ) Χ Κλήσεις Χ ίνονται : Y =.39, = 587, = 87.35, =. i i i i= i= i= i= 5 5 i3 Ακαδηµαϊκό Έτος -

23 (α) Να γίνει το διάγραµµα διασποράς (scatterplot) µεταξύ των (Χ, Υ), (Χ, Υ) και (Χ 3, Υ). Για κάθε ένα από τα διαγράµµατα, να προσαρµοσθεί η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων. Σχολιάστε τα αποτελέσµατα. Ξεκινώντας τη µελέτη των δεδοµένων µιας έρευνας, η γραφική απεικόνιση της εξαρτηµένης µεταβλητής Υ συναρτήσει των ερµηνευτικών, µας παρέχει µια πρώτη ένδειξη για την καταλληλότητα τους. Ακολουθώντας τη διαδικασία Graphs/ Scatter/Dot / Simple και τοποθετώντας τη µεταβλητή Υ στον κατακόρυφο άξονα (Y axis) και κάθε µία από τις µεταβλητές Χ, Χ, Χ 3 διαδοχικά στον οριζόντιο άξονα ( axis), κατασκευάζουµε τα ζητούµενα γραφήµατα. (β) Να βρεθεί το καλύτερο γραµµικό µοντέλο (µε βάση την αρχή ελαχίστων τετραγώνων) για την πρόβλεψη του χρόνου οµιλίας στο κινητό τηλέφωνο, χρησιµοποιώντας κάθε µία από τις ερµηνευτικές µεταβλητές Χ, Χ και Χ 3 χωριστά. Ποια από τις τρεις µεταβλητές (Χ, Χ ή Χ 3 ) είναι καλύτερη; Μετονοµάστε την σε Χ. Ως καλύτερο γραµµικό µοντέλο κρίνεται εκείνο, στο οποίο ερµηνεύεται µεγαλύτερο ποσοστό της συνολικής µεταβλητότητας. Ακολουθώντας τη διαδικασία Analyze/ Regression / Linear και επιλέγοντας τη µεταβλητή Υ ως εξαρτηµένη (Dependent) και κάθε µία από τις µεταβλητές Χ, Χ, Χ 3 διαδοχικά ως ανεξάρτητη µεταβλητή του µοντέλου (Independent), λαµβάνουµε τους συντελεστές προσδιορισµού των τριών µοντέλων, µε βάση τους οποίους καταλήγουµε στο καλύτερο µοντέλο. (γ) Να κατασκευάσετε κατάλληλα διαγράµµατα, ώστε να διαπιστώσετε γραφικά αν παραβιάζεται (i) η κανονικότητα των σφαλµάτων και (ii) η ανεξαρτησία των σφαλµάτων. (i) Είναι γνωστό ότι µία από τις βασικές προϋποθέσεις του γραµµικού µοντέλου παλινδρόµησης είναι τα σφάλµατα να ακολουθούν την κανονική κατανοµή. Για να ελέγξουµε γραφικά τη συγκεκριµένη υπόθεση, υπολογίζουµε τα τυποποιηµένα σφάλµατα (studentized residuals), ακολουθώντας τη διαδικασία Analyze/ Regression / Linear και στην επιλογή Save διαλέγουµε τα studentized residuals. Στη συνέχεια ακολουθώντας τη διαδικασία Analyze/ Descriptive Statistics / P-P Plot (Q-Q Plot) κατασκευάζουµε το P-P Plot(Q-Q Plot) επιλέγοντας ως µεταβλητή τη στήλη µε τα studentized residuals και ως test distribution την κανονική κατανοµή (Normal). Επιπροσθέτως, ο έλεγχος κανονικότητας των 3 Ακαδηµαϊκό Έτος -

24 σφαλµάτων µπορεί να γίνει και µε το στατιστικό τεστ Kolmogorov-Smirnov, ακολουθώντας τη διαδικασία Analyze/ Nonparametric Tests/ -Sample K-S χρησιµοποιώντας ως µεταβλητή (test variable) τη στήλη µε τα studentized residuals. (ii) Για να εξετάσουµε αν παραβιάζεται η ανεξαρτησία των σφαλµάτων κατασκευάζουµε διαγράµµατα διασποράς, ακολουθώντας τη διαδικασία Graphs/ Scatter/Dot / Simple και τοποθετώντας τη στήλη µε τα studentized residuals στον κατακόρυφο άξονα (Y axis) και κάθε µία από τις µεταβλητές Χ, Yˆ, i διαδοχικά στον οριζόντιο άξονα ( axis), όπου Yˆ είναι η στήλη µε τις προβλεπόµενες τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής Υ και i ο αύξοντας αριθµός των παρατηρήσεων. (δ) Να ελεγχθεί η ύπαρξη γραµµικής σχέσης ανάµεσα στην εξαρτηµένη µεταβλητή Υ και την ανεξάρτητη µεταβλητή Χ σε επίπεδο σηµαντικότητας α=5%. Ο έλεγχος για ύπαρξη γραµµικής σχέσης ανάµεσα στις µεταβλητές Χ, Υ ισοδυναµεί µε τον ακόλουθο στατιστικό έλεγχο Η : β =, Η : β. Η απόρριψη ή αποδοχή της µηδενικής υπόθεσης θα βασιστεί στο p-value του ελέγχου ή ισοδύναµα στην τιµή της στατιστικής συνάρτησης ˆ β T ( x) = ή s( ˆ β ) ισοδύναµα στο διάστηµα εµπιστοσύνης για την παράµετρο β. Όλα τα παραπάνω υπολογίζονται ακολουθώντας τη διαδικασία Analyze/Regression/Linear στον πίνακα Coefficients. (ε) Πόσος µηνιαίος χρόνος οµιλίας Υ αναµένεται για ένα άτοµο ηλικίας 5 ετών; (να γίνει σηµειακή εκτίµηση και να δοθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης µε συντελεστή 99%). Στο ερώτηµα πρέπει να υπολογίσουµε τις προβλεπόµενες τιµές και το διάστηµα εµπιστοσύνης 99% µέσης πρόβλεψης για την εξαρτηµένη µεταβλητή Υ που δίνει το γραµµικό µοντέλο, ακολουθώντας τη διαδικασία Analyze/ Regression/Linear και στην επιλογή Save διαλέγοντας τα unstandardized predicted values και Mean prediction Intervals αντίστοιχα. Ακαδηµαϊκό Έτος -

25 (στ) Ποια είναι περίπου η ηλικία ενός ατόµου, το οποίο χρησιµοποιεί 5 λεπτά µηνιαίως το κινητό του τηλέφωνο; Για να δώσουµε τη συγκεκριµένη απάντηση, θα εφαρµόσουµε αντίστροφη παλινδρόµηση. Το µοντέλο που έχουµε επιλέξει είναι το ακόλουθο Y = ˆ β + βˆ και θέτοντας Y = 5, λύνουµε ως προς τη µεταβλητή Χ. (ζ) Να γίνουν οι παρακάτω έλεγχοι σε επίπεδο σηµαντικότητας α=% Η : β =, Η : β >, Η : β =., Η : β.. Για τον έλεγχο Η : β =, Η : β >, στηριζόµενοι στον πίνακα Coefficients (ο οποίος λαµβάνεται ακολουθώντας τη διαδικασία Analyze/Regression/ Linear), αποφασίζουµε για την απόρριψη ή την αποδοχή της µηδενική υπόθεσης Η µε βάση το p-value του µονόπλευρου ελέγχου ή τη στατιστική ˆ β συνάρτηση T ( x) =. s( ˆ β ) Για τον έλεγχο Η : β =., Η : β., θέτω β = β., συνεπώς ο ζητούµενος έλεγχος ισοδυναµεί µε τον ακόλουθο Η : β, Η : β. = Εφαρµόζουµε το γραµµικό µοντέλο Y. = β + ˆ β (έχοντας προηγουµένως δηµιουργήσει τη µεταβλητή παραπάνω ελέγχου. Y. ) και παίρνουµε το p-value του (η) Σε ποιο σηµείο Χ (µεταξύ των 5 δοθέντων) βρίσκουµε το χειρότερο διάστηµα εµπιστοσύνης για την απλή πρόβλεψη και σε ποιο σηµείο Χ (µεταξύ των 5 δοθέντων) βρίσκουµε το καλύτερο διάστηµα εµπιστοσύνης για τη µέση πρόβλεψη; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας και να δώσετε τα συγκεκριµένα διαστήµατα. Μελετώντας τους τύπους που δίνουν τα διαστήµατα εµπιστοσύνης για απλή και µέση πρόβλεψη, παρατηρούµε ότι, όσο περισσότερο απέχει η τιµή της µεταβλητής Χ από το µέσο όρο, τόσο αυξάνεται το εύρος του διαστήµατος, που µεταφράζεται σε 5 Ακαδηµαϊκό Έτος -

26 µείωση της ποιότητας (ακρίβειας) του. Συνεπώς το χειρότερο διάστηµα για απλή πρόβλεψη παρατηρείται στην τιµή Χ=7 (πιο µακρινή από ), ενώ το καλύτερο για µέση πρόβλεψη στο Χ= (πιο κοντινό στο ) και τα λαµβάνουµε ακολουθώντας τη διαδικασία Analyze/ Regression / Linear, όπου στην επιλογή Save διαλέγουµε τα Mean (για τη µέση πρόβλεψη) και Individual (για την ατοµική πρόβλεψη) Prediction Intervals διαµορφώνοντας τον κατάλληλο συντελεστή εµπιστοσύνης. (θ) Για τις µεταβλητές Χ, Υ που χρησιµοποιήθηκαν παραπάνω, εξετάστε ποιο από τα επόµενα µη γραµµικά µοντέλα είναι το καλύτερο. (i) Y = γ + γ ln + ε, (ii) Y = γ γ ε, (iii) Y = γ + γ + ε Με βάση το µοντέλο που επιλέξατε, να δοθεί διάστηµα εµπιστοσύνης 9% για το µηνιαίο χρόνο οµιλίας για ένα άτοµο ηλικίας ετών. Σε κάθε ένα από τα τρία µη γραµµικά µοντέλα, πραγµατοποιούµε τους κατάλληλους µετασχηµατισµούς ώστε να καταλήξουµε σε γραµµικό µοντέλο (Ακολουθούµε τη διαδικασία Transform/Compute και επιλέγοντας το όνοµα της νέας µεταβλητής (target variable) δηλώνουµε τον τρόπο υπολογισµού της (Numeric Expression)). (i) Y, ln Y (ii) Y ln Y,, β lnγ, β lnγ (iii) Εκτελώντας γραµµική παλινδρόµηση για κάθε ένα από τα τρία νέα γραµµικά µοντέλα ( ιαδικασία Analyze/Regression/Linear) συγκρίνουµε τις τιµές των συντελεστών προσδιορισµού τους. Για το µοντέλο που κρίνεται ως καλύτερο για πρόβλεψη της εξαρτηµένης µεταβλητής Υ, υπολογίζουµε το διάστηµα εµπιστοσύνης 9% για το µηνιαίο χρόνο οµιλίας για ένα άτοµο ηλικίας ετών Analyze/Regression/Linear/Save/Individual Prediction Interval 9%). 6 Ακαδηµαϊκό Έτος -

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΔΡ. ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΔΡ. ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΔΡ. ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ -3 Ακαδημαϊκό Έτος -3 . ΕΙΣΑΓΩ ΓΗ ΣΤΟ SPSS ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ..... Καταγραφή δεδομένων και

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Σύνολα Δεδομένων - Είδη Ποσοτικής Έρευνας: Παράλογες Ιδέες Γονέων (Δειγματοληπτική)

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i )

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i ) Άσκηση Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς φοιτητών (Χ i ) στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός κολεγίου και τους αντίστοιχους βαθμούς τους (Υ i ) στο τέλος της πρώτης χρονιάς φοίτησης στο συγκεκριμένο κολέγιο.

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Περιεχόμενα 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2 (Εργαστήρια µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα», τµ. Στατ. & Ασφ. Επιστ., 04-05) (Επιµέλεια: Ελευθεράκη Αναστασία)

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2 (Εργαστήρια µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα», τµ. Στατ. & Ασφ. Επιστ., 04-05) (Επιµέλεια: Ελευθεράκη Αναστασία) ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗΣ (Εργαστήρια µαθήµατος «Στατιστικά Προγράµµατα», τµ. Στατ. & Ασφ. Επιστ., -) (Επιµέλεια: Ελευθεράκη Αναστασία) Άσκηση (Εργαστήριο #) Στις εξετάσεις Φεβρουαρίου του µαθήµατος

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S.

Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S. Σημειώσεις για το μάθημα Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S. Παπάνα Αγγελική E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ Τμήμα Τυποποίησης και

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Εξερευνώντας τα δεδομένα μας-περιγραφική Στατιστική

Εξερευνώντας τα δεδομένα μας-περιγραφική Στατιστική ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ Εξερευνώντας τα δεδομένα μας-περιγραφική Στατιστική Το πρώτο βήμα στην ανάλυση ενός συνόλου δεδομένων, που αποτελούν μετρήσεις ενός δείγματος είναι η παρουσίαση και σύνοψη των πληροφοριών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ο 10.1 Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση 10.2 Η εφαρµογή της Πολλαπλής Γραµµικής Παλινδρόµησης 10.3 Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τµήµα Τυποποίησης και ιακίνησης Προϊόντων (Logistics) Εισαγωγή στο SPSS Βασικές έννοιες.

Τµήµα Τυποποίησης και ιακίνησης Προϊόντων (Logistics) Εισαγωγή στο SPSS Βασικές έννοιες. Τµήµα Τυποποίησης και ιακίνησης Προϊόντων (Logistics) Εισαγωγή στο SPSS Βασικές έννοιες. To SPSS είναι το πιο ολοκληρωµένο πρόγραµµα διαχείρισης πληροφοριών που κυκλοφορεί αυτή την στιγµή. Για τις ανάγκες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος... v

Περιεχόμενα. Πρόλογος... v Περιεχόμενα Πρόλογος... v 1 Χρήση της έκδοσης 10 του SPSS για Windows και καταχώριση δεδομένων... 1 2 Περιγραφή μεταβλητών: πίνακες και γραφήματα... 19 3 Περιγραφή μεταβλητών αριθμητικά: μέσοι όροι, διακύμανση,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικό κριτήριο χ 2

Στατιστικό κριτήριο χ 2 18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ PSPP

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ PSPP Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής (ΤΕ) Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ PSPP

Διαβάστε περισσότερα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ SPSS 14.0

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ SPSS 14.0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ SPSS 14.0 Περιεχόµενα Εισαγωγή στο Στατιστικό πακέτο SPSS 14.0...1 Αρχικά...1 Παράθυρα του SPSS...2 Παράθυρο δεδοµένων του SPSS...4 Status bar και Toolbar...4

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F Άσκηση 0, σελ. 9 από το βιβλίο «Μοντέλα Αξιοπιστίας και Επιβίωσης» της Χ. Καρώνη (i) Αρχικά, εισάγουμε τα δεδομένα στο minitab δημιουργώντας δύο μεταβλητές: τη x για τον άτυπο όγκο και την y για τον τυπικό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑ 12 Συµπερασµατολογία για την επίδραση πολλών µεταβλητών σε µια ποσοτική (Πολλαπλή Παλινδρόµηση) [µέρος 2ο]

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑ 12 Συµπερασµατολογία για την επίδραση πολλών µεταβλητών σε µια ποσοτική (Πολλαπλή Παλινδρόµηση) [µέρος 2ο] Ενότητα 2 ιαφάνειες Μαθήµατος: 2- Ενότητα 2 ιαφάνειες Μαθήµατος: 2-2 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο.6. είκτες µερικής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ SPSS Το SPSS είναι ένα στατιστικό πρόγραμμα γενικής στατιστικής ανάλυσης αρκετά εύκολο στη λειτουργία του. Για να πραγματοποιηθεί ανάλυση χρονοσειρών με τη βοήθεια του SPSS θα πρέπει απαραίτητα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΜΙ ΗΣ ΙΙΙ. Ενίσχυση Ερευνητικών Οµάδων στο ΤΕΙ Πάτρας ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΛΑΧΟΠΟΥΛΟΣ 28/05/2015

ΑΡΧΙΜΙ ΗΣ ΙΙΙ. Ενίσχυση Ερευνητικών Οµάδων στο ΤΕΙ Πάτρας ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΛΑΧΟΠΟΥΛΟΣ 28/05/2015 ΑΡΧΙΜΙ ΗΣ ΙΙΙ Ενίσχυση Ερευνητικών Οµάδων στο ΤΕΙ Πάτρας ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΛΑΧΟΠΟΥΛΟΣ 8/05/05. Εισαγωγή Τοµείς Στατιστικής. Περιγραφική Στατιστική. Επαγωγική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Ασχολείται µε την

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS12 ΓΙΑ WINDOWS. Κριτσωτάκης Ευάγγελος. Παπαδοπούλου Ελένη. Μαθηµατικός, MSc Στατιστική. Στατιστικός MSc Περιβαλλοντική ιαχείριση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS12 ΓΙΑ WINDOWS. Κριτσωτάκης Ευάγγελος. Παπαδοπούλου Ελένη. Μαθηµατικός, MSc Στατιστική. Στατιστικός MSc Περιβαλλοντική ιαχείριση T.E.I. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Σ.Ε.Υ.Π ΤΜΗΜΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS12 ΓΙΑ WINDOWS Κριτσωτάκης Ευάγγελος Μαθηµατικός, MSc Στατιστική Παπαδοπούλου Ελένη Στατιστικός MSc Περιβαλλοντική ιαχείριση Ηράκλειο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

SPSS Statistical Package for the Social Sciences

SPSS Statistical Package for the Social Sciences SPSS Statistical Package for the Social Sciences Ξεκινώντας την εφαρμογή Εισαγωγή εδομένων Ορισμός Μεταβλητών Εισαγωγή περίπτωσης και μεταβλητής ιαγραφή περιπτώσεων ή και μεταβλητών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ SPSS

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ SPSS ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ SPSS ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ Κωνσταντίνος Ζαφειρόπουλος Τμήμα Διεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i =

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i = Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πρώτα τρόπους να παρουσιάσουµε τα δεδοµένα µε στατιστικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να συνοψίσουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4 υπολογίζονται τα κυριότερα στατιστικά µέτρα θέσης και µεταβλητότητας, κατασκευάζονται ιστογράµµατα συχνοτήτων και θηκογράµµατα για

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

6.4. LOGLINEAR 90 8.5 (MANOVA) 121

6.4. LOGLINEAR 90 8.5 (MANOVA) 121 Φ Γ SPSS Dr. υ υ α α Θ α 2012 2 1. Γ SPSS 19.0 1.1 Φ Γ SPSS 4 1.2 Φ Γ 7 1.3 9 1.4 Φ 10 1.5 Pτ ΘHKH IAΓPAΦH 16 1.6 16 1.7 17 1.8 20 1.9 22 1.10 Γ 23 1.11 Γ Φ 25 1.12 Γ 27 1.13 Θ 28 2. Γ Φ 2.1 Θ, Γ, Γ 29

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων με το S.P.S.S.

Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων με το S.P.S.S. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων με το S.P.S.S. Διδακτικές Σημειώσεις Απόστολος Δ. Μπατσίδης ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2014 Στην

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα