ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Α ΜΕΡΟΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Α ΜΕΡΟΣ"

Transcript

1 ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Α ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΘ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 6

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πίνακες Είδη πινάκων Άλγεβρα των πινάκων Ορίζουσες Ανάπτυγμα ορίζουσας Ιδιότητες των οριζουσών Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο των οριζουσών 9 Αντίστροφος ενός πίνακα Υπολογισμός του αντιστρόφου πίνακα 5 Λύση γραμμικών συστημάτων με τον αντίστροφο πίνακα 6 6 Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο GAUSS-JORDAN 7 Γενικές ασκήσεις Α Μέρους 7

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γραμμική Άλγεβρα, είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τα γραμμικά μαθηματικά μοντέλα Τα πιο απλά από αυτά είναι τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων Η Γραμμική Άλγεβρα έχει αναπτύξει επιστημονικές μεθόδους μετασχηματισμών και επίλυσης αυτών των συστημάτων, τα οποία με τη σειρά τους επιλύουν σημαντικά προβλήματα των εφαρμοσμένων επιστημών Η γραμμική μέθοδος είναι απλή και προσαρμόζεται εύκολα στην ανθρώπινη σκέψη Όταν δεν μπορούμε να περιγράψουμε πλήρως ένα φαινόμενο της φύσης ή της κοινωνίας, το προσεγγίζουμε με γραμμικές μεθόδους Έτσι η Γραµµική Άλγεβρα αποτελεί το υπόβαθρο της Γραµµικής Ανάλυσης, των ιακριτών Μαθηµατικών, έχει ουσιαστικές εφαρµογές στη Γεωµετρία, στη Στατιστική, στη Στοχαστική Μοντελοποίηση και το κυριότερο είναι ιδιαίτερα εύχρηστη στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές Τα πιο βασικά και χρήσιμα εργαλεία της γραμμικής Άλγεβρας είναι ο πίνακας και η ορίζουσα Το βασικό πρόβλημα της γραμμικής Άλγεβρας που θα μας απασχολήσει στο μάθημα αυτό είναι η λύση της εξίσωσης πινάκων Α Χ Β όπου Α είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, Χ είναι ο πίνακας στήλη με τους αγνώστους και Β είναι ο πίνακας στήλη με τους σταθερούς όρους Η εύρεση του πίνακα Χ, αποτελεί και την επίλυση του συστήματος από το οποίο και προέκυψε η παραπάνω εξίσωση Ο πίνακας Χ των αγνώστων, μπορεί να βρεθεί είτε με εύρεση του αντιστρόφου Α - του πίνακα Α, είτε με τη χρήση της ορίζουσας του πίνακα Α, είτε ακόμα και με τη χρήση του επαυξημένου πίνακα ( Μέθοδος Gauss Jordan)

4 Πίνακες Είδη πινάκων - Άλγεβρα πινάκων Πίνακες Έστω το σώμα των Πραγματικών αριθμών R ή ένα οποιοδήποτε σώμα αριθμών Κ Πίνακας ή Μήτρα (Matrix) τύπου ν μ λέγεται μια ορθογώνια διάταξη στοιχείων (αριθμών ή άλλων μαθηματικών ποσοτήτων) σε ν γραμμές και μ στήλες Η γενική μορφή ενός πίνακα δίνεται με τη χρήση δύο δεικτών i και j, οι οποίοι παίρνουν τιμές από το σύνολο Ν των Φυσικών αριθμών Ο δείκτης i συμβολίζει τη γραμμή ενός στοιχείου και ο δείκτης j συμβολίζει τη στήλη του στοιχείου αυτού Έτσι το γενικό στοιχείο ενός πίνακα με ν γραμμές και μ στήλες συμβολίζεται αij, όπου i,,,ν και j,,, μ Ο πίνακας συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα του αλφαβήτου πχ: Π(αij)νxμ ή Π(αij) Aναλυτικά ο πίνακας A(αij) γράφεται: Παράδειγμα: Ο παρακάτω πίνακας είναι ένας πίνακας x Α 5 6, δηλαδή αποτελείται από γραμμές και στήλες

5 Είδη πινάκων Πίνακας γραμμή: Ένας πίνακας μ λέγεται πίνακας γραμμή Πίνακας στήλη: Ενας πίνακας ν λέγεται πίνακας στήλη Τετραγωνικός ν-τάξης: Αν ο αριθμός των γραμμών ενός πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών του, τότε ο πίνακας λέγεται τετραγωνικός πίνακας ν- τάξης ή νxν-πίνακας Κύρια διαγώνιος ενός τετραγωνικού πίνακα: Τα στοιχεία α, α,, ανν ενός ν ν τετραγωνικού πίνακα αποτελούν την κύρια διαγώνιο του πίνακα Διαγώνιος πίνακας: Είναι ένας τετραγωνικός πίνακας που έχει όλα τα μη μηδενικά στοιχεία του στην κύρια διαγώνιό του Άνω τριγωνικός: Είναι ένας (τετραγωνικός) πίνακας του οποίου τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο του είναι μηδέν Κάτω τριγωνικός: Είναι ένας (τετραγωνικός) πίνακας που έχει μηδέν τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιό του Μοναδιαίος: Είναι ένας διαγώνιος πίνακας Πνxν (τετραγωνικός) που έχει όλα τα στοιχεία της διαγωνίου του ίσα με τη μονάδα Ο μοναδιαίος νxν πίνακας συμβολίζεται ως Ιν Μηδενικός: Είναι ένας πίνακας που έχει όλα του τα στοιχεία μηδενικά Ο μηδενικός πίνακας συμβολίζεται ως Κλιμακωτός: Είναι ένας πίνακας αν: i) οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πριν από τις μηδενικές γραμμές ii) σε κάθε μη μηδενική γραμμή το πρώτο από τα αριστερά μη μηδενικό στοιχείο λέγεται ηγετικό στοιχείο iii) σε κάθε μη μηδενική γραμμή μετά την πρώτη, το ηγετικό στοιχείο βρίσκεται στα δεξιά του ηγετικού στοιχείου της προηγούμενης γραμμής Ένας κλιμακωτός πίνακας λέγεται ανηγμένος ( απλοποιημένος) κλιμακωτός αν το ηγετικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι και σε μια στήλη που περιέχει το ηγετικό στοιχείο κάποιας γραμμής, όλα τα άλλα στοιχεία της είναι 5

6 Παράδειγμα: Ο πίνακας () είναι ένας κλιμακωτός πίνακας ενώ ο πίνακας () είναι ένας απλοποιημένος ( ή ανηγμένος) κλιμακωτός πίνακας () () Ανάστροφος πίνακας Αν σε έναν πίνακα μετατρέψουμε τις γραμμές σε στήλες, οι στήλες θα γίνουν γραμμές Ο πίνακας που θα προκύψει λέγεται ανάστροφος πίνακας Πιο συγκεκριμένα, ανάστροφος ενός ν μ πίνακα Α(αij) είναι ο μ ν πίνακας που προκύπτει με την μετατροπή των γραμμών σε στήλες Ο ανάστροφος πίνακας ενός πίνακα Α, συμβολίζεται ως A T (αji) Άλγεβρα πινάκων-πράξεις πινάκων Ισότητα πινάκων Δύο πίνακες θα είναι ίσοι αν έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών και επί πλέον αν κάθε στοιχείο του ενός είναι ίσο με το στοιχείο του άλλου που βρίσκεται στην αντίστοιχη ακριβώς θέση Συμβολικά θα λέμε ότι: Ένας ν μ πίνακας Α(αij) είναι ίσος με έναν ν μ πίνακα Β(βij) δηλαδή Α Β αν και μόνο αν ισχύει: αij βij για κάθε i,, ν και j,, μ Αν συμβολίσουμε Μνxμ το σύνολο όλων των πινάκων νxμ, τότε στο σύνολο αυτό ορίζουμε τις παρακάτω πράξεις: Πρόσθεση Πινάκων Αν Α(αij) και Β(βij), είναι δύο πίνακες του ίδιου τύπου νxμ, τότε ορίζεται το άθροισμα Α+Β των δύο πινάκων και είναι ο πίνακας (αij+βij), δηλαδή ο πίνακας με στοιχείο της i-γραμμής και της j-στήλης το άθροισμα των αντιστοίχων στοιχείων του Α Πχ

7 Ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης πινάκων τύπου νxμ είναι ο Μηδενικός Πίνακας (αij ), δηλαδή ένας πίνακας νxμ, όπου αij, για κάθε i,, ν και j,, μ Πολλαπλασιασμός αριθμού επί πίνακα Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε έναν πίνακα με έναν αριθμό, αν πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία του πίνακα επί τον αριθμό αυτό Η πράξη αυτή λέγεται Εξωτερικός πολλαπλασιασμός ή Βαθμωτός πολλαπλασιασμός Το γινόμενο λ A (λ αij ), όπου λr και (αij) είναι ένας πίνακας τύπου νxμ Πχ Αν πολλαπλασιάσουμε έναν πίνακα Α επί τον αριθμό -, τότε θα πάρουμε τον αντίθετο πίνακα του πίνακα Α, δηλαδή τον πίνακα -Α, που έχει ως στοιχεία τα αντίθετα των στοιχείων του Α Στο χώρο των πινάκων τύπου νxμ, κάθε πίνακας έχει τον αντίθετο του Πολλαπλασιασμός Πινάκων Αν Α(αij) είναι ένας πίνακας τύπου ν μ και Β (βij), είναι ένας πίνακας τύπου λ κ, τότε η πράξη του πολλαπλασιασμού των δύο πινάκων ορίζεται μόνον αν ο αριθμός των στηλών του Α είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του Β, δηλαδή μόνον αν μ λ Το γινόμενο των δύο πινάκων θα είναι ένας πίνακας τύπου ν κ, δηλαδή θα έχει όσες γραμμές έχει ο πίνακας Α και στήλες όσες έχει ο πίνακας Β 7

8 Το κάθε στοιχείο του γινομένου Α Β θα είναι το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων μιας γραμμής και μιας στήλης Δηλαδή το στοιχείο (i,j) του γινομένου Α Β, προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία της i-γραμμής του Α με τα αντίστοιχα στοιχεία της j-στήλης του Β και αθροίσουμε τα γινόμενα Πιο συγκεκριμένα: Ο πολλαπλασιασμός του ν μ πίνακα A(αij) με τον μ κ πίνακα B(βjk) έχει ως αποτέλεσμα τον ν κ πίνακα AB(cik) με στοιχεία Για παράδειγμα, το δεύτερο στοιχείο της πρώτης γραμμής υπολογίζεται από την πρώτη γραμμή του Α και τη δεύτερη στήλη του Β Σχηματική περιγραφή του γινομένου AB των πινάκων A και B Για να κατανοήσουμε την αιτία, που η πράξη αυτή ορίζεται έτσι, ας θεωρήσουμε δύο γραμμικά συστήματα: y α x + α x + αx y α x + α x + α x x β z + β z x β z + β z x β z + β z 8

9 Αν αντικαταστήσουμε από το δεύτερο σύστημα τα x,x,x στο πρώτο σύστημα, θα έχουμε: y α (β z+ β z)+α (β z+ β z ) + α (β z+β z ) (α β+ α β+ α β) z +(α β+ α β+ α β) z y α(β z+ β z) +α (β z+ β z )+ α (β z + β z ) (α β+ α β+ α β) z +(α β+ α β+ α β) z ή αν πάρουμε τους πίνακες των συντελεστών των παραπάνω συστημάτων, Α και Β τότε ο πίνακας του γινομένου Α Β, είναι ο πίνακας των συντελεστών του συστήματος, που προκύπτει από την παραπάνω αντικατάσταση των x, x, x, δηλαδή είναι ο πίνακας: Παράδειγμα: Αν δοθούν οι πίνακες: A και B τότε ο πίνακας του γινομένου Α Β είναι ο πίνακας τύπου 9

10 Α Β Παρατηρήσεις: Στην πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή Α Β Β Α Πράγματι, αν ορίζεται ο πολλαπλασιασμός Α Β, δεν είναι σίγουρο ότι θα ορίζεται και ο Β Α Αλλά και αν ακόμη ορίζεται, δίνει διαφορετικό αποτέλεσμα Στο παραπάνω παράδειγμα ο πολλαπλασιασμός Β Α ορίζεται, διότι ο Β είναι τύπου και ο Α είναι τύπου, αλλά το γινόμενο Β Α είναι ένας πίνακας, εντελώς διαφορετικός από τον Α Β Β Α Η πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων έχει μηδενοδιαιρέτες, δηλαδή υπάρχει περίπτωση το γινόμενο δύο πινάκων να είναι ίσο με τον μηδενικό πίνακα και οι πίνακες αυτοί να είναι και οι δύο διάφοροι του μηδενικού πίνακα Πχ

11 Το ουδέτερο στοιχείο στην πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων, δηλαδή ο πίνακας-μονάδα είναι ένας πίνακας που αν πολλαπλασιαστεί με κάθε άλλον πίνακα τον αφήνει αμετάβλητο Ο πίνακας αυτός υπάρχει μόνον για τους τετραγωνικούς πίνακες Μνxν, συμβολίζεται με Ιν και λέγεται μοναδιαίος πίνακας ν-τάξης Ο Ιν είναι ένας διαγώνιος πίνακας τύπου ν ν, που έχει όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου ίσα με Δηλαδή, οι μοναδιαίοι πίνακες των πινάκων τύπου και είναι: Ι Ι Το αντίστροφο στοιχείο ενός πίνακα Α ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων, είναι ένας πίνακας Α -, που αν πολλαπλασιαστεί είτε από αριστερά είτε από δεξιά με τον πίνακα Α, το γινόμενο να είναι ο μοναδιαίος πίνακας Είναι φανερό ότι αυτό μπορεί να συμβεί μόνο στους τετραγωνικούς πίνακες Στο σύνολο Μνxν των τετραγωνικών πινάκων ν-τάξης δεν υπάρχει πάντα το αντίστροφο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό, δηλαδή δεν υπάρχει για κάθε τετραγωνικό πίνακα Α, ο αντίστροφός του, ο Α -, έτσι ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Δίνεται ο πίνακας Α Να βρείτε τον πίνακα Α Α β) Έστω λr και Χ ένας πίνακας x Να βρείτε τον πίνακα Χ, για τον οποίο ισχύει: Χ ( )

12 Βρείτε τα παρακάτω γινόμενα πινάκων: α) (-,,, ) β) (α α α α α5 ) 5 α α α α α Στους παρακάτω πίνακες: Α 6, Β 5 6 7, Γ 5, Δ [5 7 ] Ε 6 5, α)να γίνουν οι πολλαπλασιασμοί: ) ΑΒ, ) Β Α, ) Γ Α, ) Δ Α, 5) Γ Δ, 6) Β Γ, 7) Α Ε, 8) Ε Α β) Να βρεθούν τα γινόμενα: (ΑΒ)Γ και Α(ΒΓ) και να εξεταστεί αν είναι ίσα Να βρεθούν όλοι οι x πίνακες Α, για τους οποίους ισχύει: Α Α 5 Έστω λr και ένας πίνακας Χ τύπου x Να βρεθεί ο Χ, αν ισχύει: Χ+

13 6 Δίνεται ο πίνακας 7 Αφού βρείτε τους πίνακες Α και Α, αποδείξτε ότι: Α Α Α 99 7 Να βρείτε τους πίνακες Α και Β τύπου x, ώστε να ισχύουν οι παρακάτω ισότητες: Α +Β Α - 5Β 8 8 Αν Α και Β 5 7, να λυθεί η εξίσωση: Α + Χ Β, όπου Χ ένας πίνακας x 9 Δίνεται ο πίνακας Β Αποδείξτε ότι: α) Β Β β) Β -Β Δίνεται ο πίνακας: Α Βρείτε τους πίνακες Α Ι και Α Α Τι παρατηρείτε; Δίνονται οι πίνακες: Α Β Γ Αποδείξτε ότι: Α Β Γ ΑΒΓ

14 Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, που λέγεται Ορίζουσα (Determinant) του Α, και παριστάνεται με τα σύμβολα: D(A), ή Α ή απλώς D Ορίζουσα πρώτης τάξης, λέγεται η ορίζουσα ενός πίνακα x,που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο και είναι αυτό το ίδιο το στοιχείο Αν Α [α], τότε Α α Ορίζουσα δεύτερης τάξης, λέγεται η ορίζουσα ενός πίνακα x, και είναι ο πραγματικός αριθμός, που προκύπτει αν πάρουμε το γινόμενο των δυο στοιχείων της κύριας διαγωνίου και από αυτό αφαιρέσουμε το γινόμενο των δύο στοιχείων της άλλης διαγωνίου Αν Α του Α θα είναι:, τότε η ορίζουσα Α α α α α Αλγεβρικό Συμπλήρωμα ενός στοιχείου αij, ενός πίνακα Α, λέγεται ο πραγματικός αριθμός (-) i+j Mij, όπου Mij είναι η ορίζουσα δεύτερης τάξης που προκύπτει αν στην ορίζουσα τρίτης τάξης παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου αij, (όπου i,, και j,,) Η ορίζουσα Mij λέγεται Ελάσσων Ορίζουσα του στοιχείου αij Ορίζουσας τρίτης τάξης, λέγεται η ορίζουσα ενός πίνακα x και είναι ο πραγματικός αριθμός, που προκύπτει αν σχηματίσουμε το

15 ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης(μέθοδος Laplace) Για να αναπτύξουμε μια ορίζουσα με τη Μέθοδο Laplace, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο μιας μόνο συγκεκριμένης γραμμής ή στήλης επί το αλγεβρικό του συμπλήρωμα και προσθέτουμε τα τρία γινόμενα Η πρόσθεση εδώ εννοείται με την αλγεβρική της έννοια, δηλαδή ανάλογα με τη θέση του στοιχείου και ανεξάρτητα από το πρόσημο του στοιχείου, τα πρόσημα του αλγεβρικού συμπληρώματος εναλλάσσονται(πρόσημα εναλλάξ) Το ανάπτυγμα της ορίζουσας τρίτης τάξης κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμμής είναι: Α α (-) + M + α (-) + M + α (-) + M α (-) + + α (-) + + α (-) + + α - α + α +α (α α - α α) - α (α α - α α) +α (αα - α α) Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να πάρουμε τα αναπτύγματα κατά τα στοιχεία μιας άλλης γραμμής ή στήλης, οπότε θα προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα, που θα είναι η τιμή της ορίζουσας τρίτης τάξης Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εφαρμοσθεί και σε ορίζουσες τέταρτης και γενικότερα ν-οστής τάξης, όπου νν, δηλαδή το ν είναι φυσικός αριθμός 5 Κανόνας του Sarrus Ειδικά για τον υπολογισμό της τιμής μιας ορίζουσας τρίτης τάξης, ισχύει και ο παρακάτω πρακτικός κανόνας (Κανόνας του Sarrus ): 5

16 + + + Α ααα + α α α + ααα - ααα- ααα α α α 6Παρατηρήσεις: Αποδεικνύεται ότι: Α Β Α Β και κ Ακ ν Α, όπου ηα είναι ορίζουσα ν-οστής τάξης Αν ένας πίνακας Α είναι κανονικός, δηλαδή αν υπάρχει ο αντίστροφός του, ο Α -, τότε θα ισχύει Α Α - Ιν Άρα θα είναι και: Α Α - Ιν ή Α Α - Ιν ή Α Α - ή Α - Αν Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας νxν και σχηματίσουμε τον πίνακα Α x Ι ν, τότε η ορίζουσα Α x Ι ν μας δίνει ως ανάπτυγμα ένα πολυώνυμο ν-βαθμού ως προς x, f(x) Α x Ι ν () το οποίο λέγεται Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο του πίνακα Α Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λέγονται χαρακτηριστικές τιμές του πίνακα Α Πχ ο πίνακας Α 5 έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο: f(x) A - x Ι ν x x 5 x +x-7 6

17 Προφανώς ισχύει ότι: Κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι ρίζα του χαρακτηριστικού του πολυωνύμου (Θεώρημα των Caylay Hamilton) Πράγματι αν στη σχέση () αντικαταστήσουμε το x με τον πίνακα Α, θα έχουμε: f(α) A - Α Ι ν A - Α Άρα ο Α είναι ρίζα του χαρακτηριστικού του πολυωνύμου 7 Ιδιότητες των οριζουσών Η τιμή μιας ορίζουσας δεν αλλάζει αν οι γραμμές της γίνουν στήλες και οι στήλες γραμμές Αν σε μια ορίζουσα γίνει εναλλαγή της θέσης δύο γραμμών (ή δύο στηλών) η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο Η τιμή μιας ορίζουσας είναι μηδέν αν τα αντίστοιχα στοιχεία δύο γραμμών (ή δύο στηλών) είναι ίσα ή ανάλογα Η τιμή μιας ορίζουσας είναι μηδέν αν όλα τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) είναι μηδέν 5 Η τιμή μιας ορίζουσας πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθμό λr, αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης επί λ Άρα, αν υπάρχει κοινός παράγοντας στα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης, αυτός μπορεί να βγει εκτός της ορίζουσας Επίσης αν πολλαπλασιάσουμε επί λ τα στοιχεία δύο γραμμών(ή στηλών), η τιμή της ορίζουσας θα πολλαπλασιαστεί επί λ κλπ 6 Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν στα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης), προσθέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής (ή στήλης), πολλαπλασιασμένα με έναν αριθμό λr 7 Αν σε μια ορίζουσα κάθε στοιχείο μιας γραμμής (ή στήλης), μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα δύο προσθετέων, τότε και η ορίζουσα μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα δυο οριζουσών Και αντιστρόφως, μπορούμε να προσθέσουμε δυο ορίζουσες, αν προσθέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) 7

18 8 8 Η ορίζουσα ενός τριγωνικού άνω ή κάτω πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου 9 Η ορίζουσα ενός διαγώνιου πίνακα, είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε τις παρακάτω ορίζουσες: Α, Β, Γ Επίσης τις ορίζουσες: Α, Β, Γ Να αποδειχθεί ότι: αβ Να λύσετε τις εξισώσεις: i), ii) iii), iv) 9, v) 9

19 Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο των οριζουσών Γενική μορφή γραμμικού συστήματος Γραμμική Εξίσωση με μ αγνώστους, x, x, xμ μορφής: λέγεται μια εξίσωση της αx + α x + + αn xμ β, όπου τόσο οι συντελεστές αi όσο και οι άγνωστοι xi παίρνουν τιμές πραγματικούς αριθμούς Αν θεωρήσουμε ν γραμμικές εξισώσεις με μ αγνώστους, x, x,, xμ, θα έχουμε ένα Γραμμικό Σύστημα ν εξισώσεων με μ αγνώστους, ή πιο σύντομα ένα σύστημα ν x μ Λύση ενός γραμμικού συστήματος λέγεται η εύρεση μιας μ-αδας αριθμών, οι οποίοι αν τεθούν στη θέση των αγνώστων επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις του συστήματος Ένα σύστημα ν γραμμικών εξισώσεων με μ αγνώστους έχει την παρακάτω γενική μορφή: Κανόνας του Crammer Το παραπάνω σύστημα θα έχει μοναδική λύση αν η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι διάφορη του μηδενός ( D ) Τότε η λύση αυτή θα είναι: χ D X, χ D D D D,, χν D όπου Dχ, (αντίστοιχαdχ, Dχν,) είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν αντικαταστήσουμε την στήλη των συντελεστών του χ ( αντίστοιχα των χ, χν ) με τη στήλη των σταθερών όρων 9

20 Αν D, τότε θα πρέπει να υπολογίσουμε και τις άλλες ορίζουσες Dχ, Dχ, Dχν Αν μια οποιαδήποτε από αυτές είναι διάφορη του μηδενός, τότε το σύστημα θα είναι αδύνατο, διότι θα προκύψει κλάσμα στο οποίο ο παρανομαστής θα είναι μηδέν και ο αριθμητής διάφορος του μηδενός, πράγμα αδύνατο Αν όλες οι ορίζουσες του συστήματος είναι ίσες με μηδέν, τότε σύστημα θα έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή θα είναι αόριστο Ομογενές γραμμικό σύστημα Ένα γραμμικό σύστημα λέγεται ομογενές, αν όλοι οι σταθεροί του όροι είναι μηδέν Η γενική μορφή ενός ομογενούς συστήματος ν εξισώσεων με μ αγνώστους θα είναι η παρακάτω: α x+ α x + + αμ xμ α x+ α x + + αμ xμ αν x+ αν x + +ανμ xμ Παρατήρηση: Ένα ομογενές σύστημα δεν είναι ποτέ αδύνατο, διότι έχει πάντα τη μηδενική λύση: (x,x,,xμ ) (,,,) Αν το ομογενές σύστημα έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός (D ), τότε έχει μόνον τη μηδενική λύση Αν έχει ορίζουσα ίση με το μηδέν, (D ), τότε έχει και άλλες λύσεις εκτός από τη μηδενική, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις

21 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα με τον κανόνα του Crammer: i) x y - z ii) x +y w iii) x + y + z x + y - z 7 x + y + w 9 x + y z x -8y - z x +6y -5w x - y + z Για ποια τιμή του λ το παρακάτω σύστημα: x + y + λ z x +y + z x - y + λ z α) είναι αδύνατο β) είναι αόριστο γ) έχει μοναδική λύση Να λυθούν και να διερευνηθούν για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ τα παρακάτω συστήματα: i) x + y - z ii) λx + y + w iii) λx + y + λw x +y + λz - x +λ y + w λ x +λ y + w λ x +λy - z x + y +λw λ λx + y +λw -λ iv) x - z y v) x - y z λx + y -z y - λx -z y + λz x - x + y -λz Να λυθεί και να διερευνηθεί για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ, το παρακάτω σύστημα: i) x + λy + λz ii) λx + y + z x - y + z x + λy + z λx + y - z x + y + λz 5 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες το σύστημα (-λ) x + y - x - λ y + z x + y +(-λ)z, έχει και μη μηδενικές λύσεις

22 Αντίστροφος πίνακας -Υπολογισμός του αντιστρόφου ενός πίνακα Αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα Α, λέγεται ο πίνακας Α -, που είναι το αντίστροφο στοιχείο του Α, ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων, δηλαδή για τον οποίο ισχύει: Α Α - Ι, όπου Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας Για να υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα Α, θα πρέπει ο Α να είναι τετραγωνικός και η ορίζουσα του να είναι μη μηδενική Θα το αποδείξουμε αυτό στο παρακάτω παράδειγμα για την περίπτωση των τετραγωνικών πινάκων Παράδειγμα: Έστω ο πίνακας Α και έστω ότι υπάρχει ο αντίστροφος του Α και είναι ο πίνακας Α - Τότε σύμφωνα με τον ορισμό, θα πρέπει να ισχύει: Α Α - ή ή Για να ισχύει αυτή η ισότητα θα πρέπει: α + α και α + α α + α α + α

23 Για να υπάρχει μοναδική λύση και στα δυο αυτά συστήματα, θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων να είναι διάφορη του μηδενός Παρατηρούμε ότι η ορίζουσα αυτή είναι η ίδια και στα δυο συστήματα: D ή a a a a α α- α α Και τότε θα έχουμε, σύμφωνα με τον κανόνα του Crammer: D a a, D a a, D a a, D a a και D X a D, Y D D D a D, Z D D a D, w a D D D Άρα ο αντίστροφος πίνακας του Α θα υπάρχει μόνον αν D Α και θα δίνεται από τον τύπο: Α - a D a D a D a D a a D a a () Παρατηρήσεις: Ι Η παραπάνω απόδειξη μπορεί να γίνει και για τετραγωνικούς πίνακες και να γενικευθεί για ν ν πίνακες

24 ΙΙ Παρατηρούμε ότι στη σχέση () ο πίνακας που υπάρχει στο δεύτερο μέλος αποτελείται από τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του ανάστροφου του αρχικού πίνακα ΙΙΙ Αν ο πίνακας Α είναι, τότε ο πίνακας του δεύτερου μέλους της σχέσης () θα αποτελείται επίσης από τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του αναστρόφου του αρχικού πίνακα Α (ιδέ σελίδα ) Σ αυτή την περίπτωση ο πίνακας του δεύτερου μέλους της σχέσης () θα αποτελείται από τα στοιχεία (-) i+j Mij,, για i,, j,,, όπου Mij, είναι η ελάσσων ορίζουσα του στοιχείου αij, δηλαδή η ορίζουσα δεύτερης τάξης, που προκύπτει αν στην ορίζουσα τρίτης τάξης του ανάστροφου του Α, παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου αij Ο πίνακας αυτός λέγεται προσαρτημένος πίνακας του Α(ΑdjointA) και συμβολίζεται: ΑdjΑ 5 Συμπέρασμα: Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα Α υπάρχει μόνον όταν η ορίζουσα του Α είναι διαφορετική από το μηδέν ( Α ) Για να τον βρούμε: Α) Θα πάρουμε τον ανάστροφο του Α(συμβολίζεται Α Τ ) Β) Θα σχηματίσουμε τον προσαρτημένο (Αdjoint A Τ ) και Γ) Θα διαιρέσουμε όλα τα στοιχεία αυτού του πίνακα με την ορίζουσα Α Δηλαδή θα εφαρμόσουμε τον τύπο: Α - (Αdj A Τ ) () 6 Παράδειγμα: Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α υπάρχει, αν

25 5 Λύση: Βρίσκουμε πρώτα την ορίζουσα του πίνακα Α, με ανάπτυξη κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμμής: Α - + ( -) - ( -) + ( -) Άρα υπάρχει ο αντίστροφος και θα τον βρούμε από τη σχέση () Σχηματίζουμε τον πίνακα A Τ : A Τ Άρα Α - (Αdj A Τ ) ή Α - Πράγματι ισχύει: Α Α - και

26 6 5 Λύση γραμμικών συστημάτων με τον αντίστροφο πίνακα Έστω ένα σύστημα ν γραμμικών εξισώσεων με ν αγνώστους: Το σύστημα αυτό μπορεί να γραφεί υπό μορφή πινάκων ως εξής: a a a a a a a ή πιο σύντομα: Α Χ Β () όπου Α είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, Χ είναι ο πίνακας στήλη με τους αγνώστους και Β είναι ο πίνακας στήλη με τους σταθερούς όρους Αν υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα Α, δηλαδή ο πίνακας Α -, τότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη της (), επί τον πίνακα Α - Θα έχουμε: Α - (Α Χ) Α - Β ή (Α - Α) Χ Α - Β ή (Α - Α) Χ Α - Β ή Ιν Χ Α - Β ή Χ Α - Β ()

27 Οπότε μπορούμε να βρούμε τον πίνακα Χ των αγνώστων, δηλαδή να λύσουμε το παραπάνω σύστημα ως εξής: Βήμα ο : Βρίσκουμε τον αντίστροφο Α - του πίνακα Α, δηλαδή του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος, αν υπάρχει, δηλαδή αν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι διάφορη του μηδενός Βήμα ο : Πολλαπλασιάζουμε τον Α - επί τον πίνακα Β, δηλαδή τον πίνακα στήλη των σταθερών όρων Ο πίνακας στήλη Α - Β που προκύπτει, είναι ο πίνακας των λύσεων του συστήματος, όπως φαίνεται από τη σχέση () 5 Παράδειγμα: Να λυθεί με τον αντίστροφο πίνακα το σύστημα: χ + y + z - χ + y + z - χ + y + z - Λύση: Το παραπάνω σύστημα γράφεται σε μορφή πινάκων ως εξής: x y z Α Χ Β Αν η ορίζουσα του πίνακα Α, είναι διάφορη του μηδενός, τότε θα υπάρχει ο αντίστροφος Α - του πίνακα Α Άρα για να λύσουμε το σύστημα θα βρούμε τον αντίστροφο του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων και θα τον πολλαπλασιάσουμε επί τον πίνακα στήλη Β των γνωστών όρων, σύμφωνα με τη σχέση () 7

28 8 Στο παράδειγμα μας ο πίνακας Α είναι ο ίδιος με τον πίνακα του παραδείγματος της σελίδας Άρα, όπως αποδεικνύεται εκεί, υπάρχει ο αντίστροφός του και είναι ο πίνακας Α - Οπότε η λύση του παραπάνω συστήματος είναι: Χ Α - Β ή z y x ή z y x Άρα χ, y -, z - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί αν υπάρχει, ο αντίστροφος των πινάκων: Α, Β, Γ Δίνεται ο πίνακας: Α α) Για ποιες τιμές του λ υπάρχει ο αντίστροφός του; β) Να βρεθεί ο αντίστροφός του για λ και να λυθεί με τη βοήθεια του αντιστρόφου το σύστημα: χ - y + z χ + y + λz χ + λ y + z λ

29 Να λυθεί με τον αντίστροφο πίνακα το παρακάτω σύστημα: χ + y + z χ + y + 8z - χ + y + z 9 6 Δίνεται ο πίνακας Α Να βρείτε τον αντίστροφό του και να 9 αποδείξετε ότι Α + Α - 6 Ι όπου Ι 5 Δίνεται ο πίνακας Α 9 και το σύστημα κ χ + y + ω y + ω -χ + y + ω Αν το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, να αποδείξετε ότι ο πίνακας Α αντιστρέφεται και να βρείτε τον αντίστροφό του 6 Αν για τον πίνακα Α ισχύει oτι ο αντίστροφός του είναι ίσος με τον Α, ποιο από τα παρακάτω είναι το a; Α) 5 6 Β) 7 6 Γ) Δ) Ε) 9

30 6 Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο GAUSS-JORDAN 6 Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών (γραμμοπράξεις), Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών είναι πράξεις μεταξύ των γραμμών, δηλαδή των γραμμικών εξισώσεων ενός γραμμικού συστήματος και βασίζονται στις παρακάτω γνωστές ιδιότητες: α) Mπορούμε να εναλλάξουμε τη θέση δυο εξισώσεων σε ένα σύστημα, με σκοπό να έχουμε ως πρώτη εξίσωση εκείνη που θα έχει μη μηδενικό συντελεστή του χ ως πρώτον όρο β) Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε και τα δυο μέλη μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό γ) Αν σε ένα σύστημα προσθέσουμε μια εξίσωση σε μια δεύτερη και αντικαταστήσουμε τη δεύτερη με το άθροισμα των δύο αυτών γραμμών, τότε προκύπτει ισοδύναμο σύστημα 6 Παρατήρηση: Οι δυο προηγούμενες πράξεις β) και γ) μπορούν να γίνουν συγχρόνως, δηλαδή μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό και να προσθέσουμε το γινόμενο σε μια άλλη Θα προκύψει ισοδύναμο σύστημα 6 Ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους Ένας από αυτούς είναι η Μέθοδος των διαδοχικών απαλοιφών του Gauss (Αλγόριθμος Gauss-Jordan), η οποία βασίζεται στις παραπάνω πράξεις μεταξύ γραμμών (γραμμοπράξεις) Με αυτές τις πράξεις μετατρέπουμε σιγά-σιγά το σύστημα σε άλλο ισοδύναμο, στο οποίο στην κάθε εξίσωση θα υπάρχει μόνον ένας άγνωστος, οπότε και θα προκύψει άμεσα η λύση του συστήματος

31 6 Παράδειγμα: Να λυθεί το παρακάτω σύστημα με τη μέθοδο των διαδοχικών απαλοιφών: x - y + 6z x - y + z - -x - y + z 6 Λύση: ) Διαιρούμε και τα δυο μέλη της πρώτης εξίσωσης δια του συντελεστή του x Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x - y + z x - y + z - -x - y + z 6 ) Προσθέτουμε την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί - στη δεύτερη και επίσης την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί στην τρίτη Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x - y + z y - z - -5y + 8z 6 ) Προσθέτουμε τη δεύτερη πολλαπλασιασμένη επί 5 στην τρίτη: x - y + z y - z - - z - ) Διαιρούμε την τρίτη εξίσωση δια -: x - y + z y - z - z

32 5) Προσθέτουμε την τρίτη πολλαπλασιασμένη επί στη δεύτερη εξίσωση Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x - y + z y z 6) Προσθέτουμε την τρίτη πολλαπλασιασμένη επί - στην πρώτη Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x -y -6 y z 7) Προσθέτουμε τη δεύτερη πολλαπλασιασμένη επί στην πρώτη Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x - y z Η τελευταία αυτή μορφή είναι και η τελική, αφού μας δίνει τη λύση του συστήματος, που είναι: x -, y, z ή (x, y, z ) (-,, ) Επειδή οι παραπάνω πράξεις γίνονται μεταξύ των συντελεστών, μπορούμε να παραλείψουμε τους αγνώστους Ο πίνακας που θα προκύψει, θα είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, επαυξημένος κατά μια ακόμα στήλη, τη στήλη των σταθερών όρων Ο πίνακας αυτός λέγεται επαυξημένος πίνακας ή πίνακας Gauss- Jordan Στο παράδειγμά μας θα είναι ο παρακάτω:

33 Με τις ίδιες ακριβώς γραμμοπράξεις μεταξύ των γραμμών του παραπάνω πίνακα, θα καταλήξουμε στην ισοδύναμη μορφή του επαυξημένου πίνακα, όπου στο πρώτο μέρος υπάρχει το στη θέση του κάθε αγνώστου και τα άλλα στοιχεία είναι μηδέν Τότε η στήλη του δεύτερου μέλους μας δίνει τη λύση του συστήματος: 65 Παρατηρήσεις: 65 Αν κατά τη διαδικασία αυτή προκύψει μια γραμμή με όλα τα στοιχεία μηδέν, δηλαδή αν μια γραμμή γίνει τελικά :, τότε η γραμμή αυτή μπορεί να παραλειφθεί, και το σύστημα θα είναι αόριστο, με ελεύθερο κάποιον από τους αγνώστους 65 Αν κατά τη διαδικασία αυτή προκύψει μια γραμμή με όλα τα στοιχεία του πρώτου μέλους μηδέν και το δεύτερο μέλος είναι διάφορο του μηδενός, δηλαδή αν μια γραμμή γίνει τελικά : βi, με βi τότε το σύστημα είναι αδύνατο 66 Εφαρμογή: Να λυθεί το παρακάτω σύστημα με τη μέθοδο GAUSS- JORDAN: x + y - z x + y + z - x + y - z 5

34 Λύση: Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος θα είναι: Α) Προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί - στη δεύτερη και επίσης την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί - στην τρίτη Θα έχουμε τον πίνακα: Β) Στον παραπάνω πίνακα προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί - στην Τρίτη Θα έχουμε τον πίνακα: Γ) Διαιρούμε την τρίτη εξίσωση δια - Θα έχουμε τον πίνακα: Δ) Στον προηγούμενο πίνακα προσθέτουμε την τρίτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη επί -, στη δεύτερη(για να μηδενισθεί το στη δεύτερη γραμμή) Θα έχουμε: Ε) Προσθέτουμε επίσης την τρίτη γραμμή στην πρώτη(για να μηδενιστεί το - της πρώτης γραμμής) Θα έχουμε:

35 Ζ) Τέλος στον προηγούμενο πίνακα προσθέτουμε την δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιασμένη επί - στην πρώτη Θα έχουμε την τελική μορφή, που απεικονίζει τη μοναδική λύση του συστήματος: που είναι: x -, y, z - ή (x, y, z ) (-,, - ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθoύν τα παρακάτω συστήματα με τη μέθοδο των Διαδοχικών Απαλοιφών (Gauss-Jordan): i) x + y w ii) x y + z x + y + w 9 x + y + z 5 x + 6y - 5w -x +y - z iii) x - y + z iv) x - y + z 5 -x + y - z - -x + 7y - 6z -9 x - y + 8z 6 x - y - z 6 To ίδιο για τα συστήματα: i) x y + z ii) x + y +z 8 x + y - z 5 x - y + z -x +y - z -x + 5y z 5

36 iii) x + y + z - iv) x - y + z x + y + z -x + y - z -6 x + y + z -7 -x + y + z 6 Σ ένα εργοστάσιο αλλαντικών, παρασκευάζονται τρία είδη ζαμπόν, από τρία διαφορετικά κρέατα, χοιρινό,μοσχαρίσιο και κοτόπουλο Αν για την παρασκευή ενός πακέτου από το πρώτο είδος ζαμπόν, χρειάζονται κιλό χοιρινό, κιλό μοσχάρι και 5 κιλά κοτόπουλο, από το δεύτερο είδος χρειάζονται, και κιλά αντίστοιχα και από το τρίτο είδος χρειάζονται μόνο κιλά χοιρινό και κιλά μοσχάρι, να βρείτε πόσα πακέτα από το κάθε είδος παρασκευάζονται σε μια βάρδια, αν χρησιμοποιούνται για το σκοπό αυτό 8 κιλά χοιρινό, κιλά μοσχάρι και 5 κιλά κοτόπουλο Σ ένα εργαστήριο επιστημονικών πειραμάτων, ένας ερευνητής, θέλει να δίνει σ ένα κουνέλι ακριβώς μονάδες βιταμίνης Α, 6 μονάδες βιταμίνης C και μονάδες βιταμίνης Ε Το κουνέλι τρέφεται κάθε μέρα με ένα μίγμα από τρία είδη τροφής Κάθε γραμμάριο από το ο είδος τροφής περιέχει μονάδες βιταμίνης Α, μονάδες βιταμίνης C και 5 μονάδες βιταμίνης Ε Κάθε γραμμάριο από το ο είδος τροφής περιέχει μονάδες βιταμίνης Α, 7 μονάδες βιταμίνης C και 9 μονάδες βιταμίνης Ε Κάθε γραμμάριο από το ο είδος τροφής περιέχει 6 μονάδες βιταμίνης Α, μονάδες βιταμίνης C και μονάδες βιταμίνης Ε Πόσα γραμμάρια από κάθε είδος τροφής θα πρέπει να τρώει το κουνέλι κάθε μέρα; 6

37 7 7 Γενικές ασκήσεις πρώτου μέρους Να λυθεί το σύστημα: λ y x + y y x Να βρείτε τους πίνακες Α, Β, τύπου x, για τους οποίους ισχύουν: Α+ Β, Α 5Β 8 Αν Α, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό χ, για τον οποίο ισχύει: Α xα + Ι, όπου Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας x Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες το σύστημα w y x έχει και μη μηδενικές λύσεις 5 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού k, για τις οποίες το σύστημα k k k w y x έχει και μη μηδενικές λύσεις 6 Να λυθούν τα συστήματα:

38 x + y + w α+ α(x + y) + w α x + y +(α ) w α α(x + w) + y x + αy + w α(y + w) + x 7 Δίνεται το σύστημα: x + y + λw x + λy + w λ x - y + w Βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση (x,y,w), η οποία να ικανοποιεί τη σχέση y x + w 8 Δίνονται τα γραμμικά συστήματα: Α) λx (λ -k ) y B) x + y λ x + y (λ- k) x ( k + ) y k Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς k και λ, ώστε τα δυο αυτά συστήματα να είναι συγχρόνως αδύνατα 8

39 9

2. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας. Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός,

2. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας. Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, . Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, που λέγεται Ορίζουσα (Determinant) του Α, και παριστάνεται με τα σύμβολα: D(A), ή

Διαβάστε περισσότερα

5. Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο GAUSS-JORDAN

5. Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο GAUSS-JORDAN 5. Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο GAUSS-JORDAN 5.1. Ορισμός: Γραμμική Εξίσωση με n αγνώστους, x 1, x 2,.. x n λέγεται μια εξίσωση της μορφής: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β 1, όπου τόσο οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

AX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B X=A B X X

AX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B X=A B X X . Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ορίζουσες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορίζουσα H Ορίζουσα είναι ένας αριθμός και ορίζεται μόνον για τετραγωνικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ A' ΜΕΡΟΣ 1 ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Γενικά Τέσσερα εργοστάσια παραγωγής αυτοκινήτων Α, Β, Γ και Δ δίνουν για το τελευταίο μοντέλο τους ως προς πέντε τεχνικά χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με

Εάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με Κεφάλαιο Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί a b Εάν A τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό a b ad bc Συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα και ως A Εάν A τότε ( ) 8 Εάν a a a A a a a a a a τότε η

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα: 5x 8y = 5x= + y

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας. Πίνακες, Ορίζουσες και Γραμμικά Συστήματα

Κεφάλαιο 1. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας. Πίνακες, Ορίζουσες και Γραμμικά Συστήματα Κεφάλαιο. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας. Πίνακες, Ορίζουσες και Γραμμικά Συστήματα Σύνοψη: Στο μάθημα των Μαθηματικών Ι είναι συχνό το φαινόμενο που περιγράφεται με τον τίτλο «σχήμα πρωθύστερο». Αναγκαζόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πίνακες και Γραμμικά Συστήματα: Ο Αλγόριθμος Guss Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

εξίσωση πρώτου βαθμού

εξίσωση πρώτου βαθμού κεφάλαιο 2 Α1 εξίσωση πρώτου βαθμού επίλυση της εξίσωσης πρώτου βαθμού Εξίσωση, είναι κάθε ισότητα που περιέχει κάποιον άγνωστο, την τιμή του οποίου καλούμαστε να προσδιορίσουμε. Ο βαθμός μιας εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα