Μεικτός ακέραιος διεπίπεδος προγραμματισμός για βέλτιστη υποβολή προσφορών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής αδιαιρετότητες

Transcript

1 Μεικτός ακέραιος διεπίπεδος προγραμματισμός για βέλτιστη υποβολή προσφορών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής αδιαιρετότητες Γιώργος Κοζανίδης Εργαστήριο Βελτιστοποίησης Συστημάτων Τμήμα Μηχ/γων Μηχ/κών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Λεωφ. Αθηνών, Πεδίον Άρεως, Βόλος Ευτυχία Κωσταρέλου Εργαστήριο Βελτιστοποίησης Συστημάτων Τμήμα Μηχ/γων Μηχ/κών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Λεωφ. Αθηνών, Πεδίον Άρεως, Βόλος Παναγιώτης Ανδριανέσης Εργαστήριο Οργάνωσης Παραγωγής Τμήμα Μηχ/γων Μηχ/κών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Λεωφ. Αθηνών, Πεδίον Άρεως, Βόλος Γιώργος Λυμπερόπουλος Εργαστήριο Οργάνωσης Παραγωγής Τμήμα Μηχ/γων Μηχ/κών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Λεωφ. Αθηνών, Πεδίον Άρεως, Βόλος Περίληψη Εξετάζουμε το πρόβλημα της ανάπτυξης βέλτιστων προσφορών προς υποβολή για έναν παραγωγό ενέργειας που συμμετέχει σε μια αγορά ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρισμού. Ο παραγωγός θεωρείται ότι έχει πλήρη γνώση των παραμέτρων της αγοράς, της ζήτησης δηλαδή για ενέργεια και των προσφορών/στοιχείων-κόστους όλων των άλλων παραγωγών. Το πρόβλημα μορφοποιείται ως ένα μεικτό ακέραιο μοντέλο διεπίπεδου (bilevel) προγραμματισμού, με το μεμονωμένο παραγωγό να μεγιστοποιεί τo κέρδος του στην αντικειμενική συνάρτηση του άνω επίπεδου. Στο κάτω επίπεδο, ένας ανεξάρτητος διαχειριστής του συστήματος εκκαθαρίζει την αγορά και καθορίζει την ποσότητα ενέργειας που θα προσφέρει ο κάθε συμμετέχων παραγωγός, έτσι ώστε να ικανοποιείται η ζήτηση για ενέργεια στο ελάχιστο συνολικό κόστος βάσει των υποβληθεισών προσφορών. Διακριτές μεταβλητές που χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση της εκκίνησης των μονάδων παραγωγής εμποδίζουν την εφαρμογή παραδοσιακών μεθοδολογιών για την επίλυση του προβλήματος, όπως είναι η αντικατάσταση του κάτω προβλήματος με τις πρώτης τάξης συνθήκες βελτιστότητάς του. Παρουσιάζουμε έναν ακριβή αλγόριθμο επίλυσης που βασίζεται στο μεικτό ακέραιο παραμετρικό προγραμματισμό για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του προβλήματος, και επιδεικνύουμε την εφαρμογή του σε μια μικρή μελέτη περίπτωσης. Λέξεις Κλειδιά: Αγορές Ηλεκτρικής ενέργειας, Βέλτιστη Στρατηγική Υποβολής Προσφορών, Διεπίπεδη Βελτιστοποίηση, Μεικτός Ακέραιος Παραμετρικός Προγραμματισμός.

2 1. Εισαγωγή Η απελευθέρωση των αγορών ηλεκτρικής ενέργειας είναι μια σημαντική οικονομική εξέλιξη που έχει συντελεστεί σε πολλές χώρες ανά τον κόσμο τα τελευταία χρόνια. Αν και ο συγκεκριμένος σχεδιασμός της αγοράς που έχει υιοθετηθεί διαφέρει από χώρα σε χώρα, πολλές από τις βασικές αρχές παραμένουν λίγο πολύ οι ίδιες. Οι περισσότεροι σχεδιασμοί έχουν θεσπίσει μία χονδρική και μία λιανική αγορά ηλεκτρικής ενέργειας που λειτουργούν σε μακροπρόθεσμους και βραχυπρόθεσμους χρονικούς ορίζοντες. Στο επίπεδο του ημερήσιου προγραμματισμού της χονδρικής αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας, οι παραγωγοί υποβάλλουν ελεύθερα προσφορές (οι οποίες συνήθως υπόκεινται σε κάποιο ανώτατο όριο) για την παραγωγή ενέργειας. Ένας ανεξάρτητος διαχειριστής του συστήματος (ΑΔΣ), εκκαθαρίζει την αγορά, κατανέμοντας ποσότητες ενέργειας στους συμμετέχοντες παραγωγούς, έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος που απαιτείται για την ικανοποίηση της ζήτησης για ενέργεια, βάσει των υποβληθεισών προσφορών. Στην παρούσα εργασία, υιοθετούμε την πλευρά ενός μοναδικού (μεμονωμένου, για το υπόλοιπο της εργασίας) παραγωγού που συμμετέχει σε μια αγορά ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας. Υποθέτοντας ότι έχει πλήρη γνώση της ζήτησης για ενέργεια και των προσφορών/στοιχείων-κόστους όλων των άλλων παραγωγών, εξετάζουμε το πρόβλημα της επιλογής της βέλτιστης τιμής προσφοράς για κάθε μονάδα ενέργειας που θα παράσχει στο σύστημα. Εδώ, η λέξη βέλτιστη αναφέρεται στο ότι μετά την εκκαθάριση της αγοράς από τον ΑΔΣ, το κέρδος του συγκεκριμένου παραγωγού θα πρέπει να είναι το μέγιστο δυνατό. Το συγκεκριμένο πρόβλημα εγείρεται με φυσικό τρόπο σε ανοιχτές διαφανείς δημοπρασίες σε αγορές με δοκιμαστικές προσφορές, στις οποίες οι συμμετέχοντες υποβάλλουν προσφορές επαναλαμβανόμενα μέχρι το κλείσιμο της αγοράς. Επίσης, είναι ένα σημαντικό υποπρόβλημα σε επαναληπτικές αριθμητικές μεθόδους σταθερού σημείου (fixed point) που στοχεύουν στην εύρεση των κοινών βέλτιστων στρατηγικών υποβολής προσφορών όλων των παραγωγών σε κλειστές δημοπρασίες, στις οποίες οι παραγωγοί υποβάλλουν σφραγισμένες προσφορές (Andrianesis et al. 2010). Μορφοποιούμε το πρόβλημα αυτό ως ένα μεικτό ακέραιο διεπίπεδο μοντέλο βελτιστοποίησης, και χρησιμοποιούμε σημαντικά θεωρητικά αποτελέσματα για την ανάπτυξη ενός ακριβούς αλγορίθμου που βρίσκει τη βέλτιστη λύση του. Η συνεισφορά της παρούσας εργασίας είναι αμφίπλευρη. Από τη μια πλευρά, μπορεί να υποβοηθήσει μεμονωμένους παραγωγούς ηλεκτρικής ενέργειας στην ανάπτυξη προσφορών προς υποβολή που θα μεγιστοποιήσουν το ατομικό τους κέρδος, ενώ από την άλλη, βοηθάει τους διαχειριστές τέτοιων συστημάτων να εντοπίσουν αθέμιτες προσπάθειες χειραγώγησης της τιμής εκκαθάρισης της αγοράς από τους μεμονωμένους παραγωγούς, και να καταρτίσουν κανόνες για την αποτροπή τους. 2. Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Ένα σημαντικό κομμάτι της σχετικής έρευνας έχει αντιμετωπίσει το πρόβλημα της ανάπτυξης βέλτιστων στρατηγικών υποβολής προσφορών για παραγωγούς ενέργειας οι οποίοι συμμετέχουν σε μια αγορά ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας. Πολλές από τις δημοσιευμένες εργασίες (π.χ., Garcia-Martos et al., 2007) προτείνουν μεθόδους πρόβλεψης για την πρόγνωση της τιμής εκκαθάρισης της αγοράς, δεδομένου ότι το κέρδος του κάθε παραγωγού εξαρτάται σε σημαντικό βαθμό από την τιμή αυτή. Άλλοι συγγραφείς (π.χ., Ragupathi and Das, 2004) έχουν αναπτύξει στοχαστικά μοντέλα προγραμματισμού, προκειμένου να αντιμετωπίσουν τις αβεβαιότητες που παρουσιάζουν ορισμένες από τις παραμέτρους του προβλήματος. Στη σύντομη επισκόπηση της βιβλιογραφίας που ακολουθεί, εστιάζουμε την προσοχή μας σε διεπίπεδα μοντέλα προγραμματισμού που έχουν αναπτυχθεί για βέλτιστη στρατηγική υποβολής προσφορών

3 σε αγορές ηλεκτρικής ενέργειας, καθώς οι συγκεκριμένες εργασίες συνδέονται πιο στενά με την παρούσα. Οι περισσότεροι συγγραφείς που έχουν αναπτύξει διεπίπεδα μοντέλα προγραμματισμού για βέλτιστη στρατηγική υποβολής προσφορών σε αγορές ηλεκτρικής ενέργειας χρησιμοποιούν είτε μια κατάλληλη αναδιατύπωση του προβλήματος, είτε μια ευρετική διαδικασία, για την επίλυσή του. Οι Weber and Overbye (2002) ανέπτυξαν ένα διεπίπεδο μοντέλο βελτιστοποίησης που μεγιστοποιεί την ευημερία και πρότειναν έναν επαναληπτικό αλγόριθμο αναζήτησης για την επίλυσή του. Χρησιμοποίησαν επίσης τον αλγόριθμο αυτόν για τον προσδιορισμό σημείων ισορροπίας Nash. Οι Gountis and Bakirtzis (2004) και Fampa et al. (2008) ανέπτυξαν διεπίπεδα στοχαστικά μοντέλα βελτιστοποίησης για το ίδιο πρόβλημα. Στην πρώτη εργασία, οι συγγραφείς χρησιμοποίησαν προσομοίωση Monte-Carlo και γενετικούς αλγόριθμους για την εύρεση της βέλτιστης λύσης, ενώ στη δεύτερη, οι συγγραφείς χρησιμοποίησαν μια ευρετική διαδικασία και μια μεικτή ακέραια αναδιατύπωση του προβλήματος. Μεταξύ άλλων, οι Pereira et al. (2005), Barroso et al. (2006), Bakirtzis et al. (2007) και Ruiz and Conejo (2009) ανέπτυξαν διεπίπεδα μοντέλα βελτιστοποίησης και χρησιμοποίησαν τις συνθήκες βελτιστότητας πρώτης τάξης του κάτω προβλήματος προκειμένου να μετατρέψουν αυτά τα μοντέλα σε μαθηματικά προβλήματα με περιορισμούς ισορροπίας (mathematical problems with equilibrium constraints). Τα προκύπτοντα μη γραμμικά προβλήματα μετατράπηκαν στη συνέχεια σε μεικτά ακέραια γραμμικά προβλήματα μέσω κατάλληλων μορφοποιήσεων και επιλύθηκαν μέσω γενικών λογισμικών βελτιστοποίησης. Οι Li et al. (2004) ανέπτυξαν επίσης ένα διεπίπεδο μοντέλο βελτιστοποίησης και το χρησιμοποίησαν για την αναζήτηση σημείων ισορροπίας Nash. Οι Hu and Ralph (2007) εξέτασαν ένα διεπίπεδο μοντέλο βελτιστοποίησης, το οποίο μετέτρεψαν σε ένα μαθηματικό πρόγραμμα με περιορισμούς ισορροπίας. Στη συνέχεια, απέδειξαν ικανές συνθήκες για αμιγούς-στρατηγικής (pure-strategy) σημεία ισορροπίας Nash. Οι Hobbs et al. (2000) ανέπτυξαν ένα διεπίπεδο μοντέλο βελτιστοποίησης και χρησιμοποίησαν έναν αλγόριθμο ποινής εσωτερικών σημείων (penalty interior point algorithm) για την επίλυσή του. Οι Li and Shahidehpour (2005) ανέπτυξαν ένα διεπίπεδο μοντέλο βελτιστοποίησης και χρησιμοποίησαν συναρτήσεις ευαισθησίας και μια πρωτεύουσα-δυϊκή μεθοδολογία εσωτερικών σημείων (primal-dual interior point method) προκειμένου να το επιλύσουν. Οι Ma et al. (2006) και Zhang et al. (2009) ανέπτυξαν επίσης διεπίπεδα μοντέλα προγραμματισμού, και πρότειναν τεχνικές τύπου βελτιστοποίησης σμήνους σωματιδίων (particle swarm optimization) για την επίλυσή τους. Οι Badri et al. (2008) ανέπτυξαν ένα ακόμη διεπίπεδο μοντέλο βελτιστοποίησης, το οποίο λαμβάνει υπόψη του διμερείς συμβάσεις και περιορισμούς μεταφοράς, και το έλυσαν μέσω μιας πρωτεύουσας-δυϊκής μεθοδολογίας εσωτερικών σημείων. Οι Vahidinasab και Jadid (2009) ανέπτυξαν ένα μοντέλο βελτιστοποίησης που εξετάζει πολλαπλούς αντικειμενικούς στόχους. Μετά τη χρησιμοποίηση της μεθόδου μειωμένης εφικτής περιοχής ε-constraint (ε-constraint reduced feasible region) για την αντιμετώπιση των πολλαπλών στόχων, αντικατέστησαν το πρόβλημα του κάτω επιπέδου με τις πρώτης τάξης συνθήκες βελτιστότητάς του και έλυσαν το πρόβλημα που προέκυψε με γενικό λογισμικό βελτιστοποίησης. Οι Gabriel and Leuthold (2010) παρουσίασαν μια διεπίπεδη μαθηματική μορφοποίηση και χρησιμοποιώντας διαζευκτικούς (disjunctive) περιορισμούς και γραμμικοποίηση την αναδιατύπωσαν ως ένα μεικτό ακέραιο γραμμικό πρόβλημα, το οποίο στη συνέχεια έλυσαν με γενικό λογισμικό βελτιστοποίησης. Στην παρούσα εργασία, υιοθετούμε μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση. Πρώτα απ όλα, χρησιμοποιούμε δυαδικές μεταβλητές για τη μοντελοποίηση της εκκίνησης των

4 μονάδων παραγωγής ενέργειας. Αυτή η επιλογή, σε συνδυασμό με το γεγονός ότι επιβάλλουμε αυστηρώς θετικά κάτω όρια για τις ποσότητες ενέργειας που οι μονάδες αυτές θα προσφέρουν αν συμμετάσχουν στην αγορά, προσδίδει ισχυρά συνδυαστικές ιδιότητες στο μοντέλο μας, οι οποίες απαγορεύουν τη χρήση συνθηκών βελτιστότητας πρώτης τάξης για την απλοποίηση της μορφοποίησής του. Αντ' αυτού, αναπτύσσουμε μια αλγοριθμική μεθοδολογία, η οποία χρησιμοποιεί σημαντικά αποτελέσματα από τη θεωρία του μεικτού ακέραιου παραμετρικού προγραμματισμού, και είναι σε θέση να βρει την ολικά βέλτιστη λύση του προβλήματος. 3. Μορφοποίηση του Προβλήματος Θεωρούμε ένα σύνολο μονάδων παραγωγής που συμμετέχουν σε μια αγορά ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας. Οι παραγωγοί υποβάλλουν προσφορές ενέργειας σε έναν ΑΔΣ, ο οποίος εκκαθαρίζει την αγορά και καθορίζει την εκκίνηση και την ποσότητα ενέργειας κάθε μονάδας παραγωγής, εξασφαλίζοντας ότι η συνολική ζήτηση ενέργειας ικανοποιείται στο ελάχιστο συνολικό κόστος για το σύστημα, βάσει των υποβληθεισών προσφορών. Τα τεχνικά χαρακτηριστικά κάθε μονάδας παραγωγής (τεχνικό ελάχιστο και μέγιστο) καθώς και το σταθερό κόστος εκκίνησης είναι σταθερά και γνωστά στον ΑΔΣ. Μετά τον καθορισμό της ποσότητας ενέργειας κάθε παραγωγού, υιοθετείται ένα σχήμα εκκαθάρισης-πληρωμών, το οποίο αποζημιώνει κάθε συμμετέχουσα μονάδα καταβάλλοντάς της το πλήρες κόστος εκκίνησης και μια ενιαία τιμή εκκαθάρισης της αγοράς (οριακή τιμή του συστήματος) για κάθε MWh που θα παραγάγει. Κάθε παραγωγός αντιμετωπίζει το πρόβλημα της επιλογής της βέλτιστης τιμής προσφοράς, της προσφοράς δηλαδή που θα πρέπει να υποβάλλει έτσι ώστε μετά την εκκαθάριση της αγοράς και τον προσδιορισμό των ποσοτήτων ενέργειας όλων των συμμετεχουσών μονάδων, το κέρδος του να μεγιστοποιηθεί. Στην εργασία αυτή, υιοθετούμε την πλευρά ενός μοναδικού παραγωγού χρησιμοποιώντας ένα καθοριστικό μοντέλο για αυτό το πρόβλημα. Υποθέτοντας ότι έχει πλήρη γνώση των παραμέτρων της αγοράς (των τεχνικών χαρακτηριστικών και των προσφορών/στοιχείων-κόστους των άλλων μονάδων παραγωγής, καθώς και της ζήτησης για ενέργεια), θέλουμε να βρούμε την τιμή προσφοράς για ενέργεια που θα πρέπει να υποβάλλει, έτσι ώστε, μετά την εκκαθάριση της αγοράς, να μεγιστοποιήσει το μεμονωμένο του κέρδος. Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε το μαθηματικό μοντέλο που αναπτύξαμε για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Για τη μαθηματική μορφοποίηση, χρησιμοποιούμε τους παρακάτω μαθηματικούς συμβολισμούς: Σύνολα: U Μονάδες παραγωγής, με δείκτη u Μεταβλητές απόφασης: P 1 Τιμή προσφοράς ενέργειας του μεμονωμένου παραγωγού (μονάδα 1) Q u Ποσότητα ενέργειας του παραγωγού u ST u Δυαδική μεταβλητή που παίρνει την τιμή 1 αν η μονάδα u παράγει θετική ποσότητα ενέργειας, και 0 διαφορετικά p Σκιώδης τιμή του περιορισμού εκκαθάρισης της αγοράς που εξασφαλίζει την ικανοποίηση της ζήτησης (οριακή τιμή συστήματος) Παράμετροι: Τιμή προσφοράς ενέργειας του παραγωγού u P u Q u Τεχνικό μέγιστο του παραγωγού u Q Τεχνικό ελάχιστο του παραγωγού u min u

5 P Άνω όριο για την τιμή προσφοράς ενέργειας του παραγωγού 1 c 1 Μοναδιαίο κόστος παραγωγής του μεμονωμένου παραγωγού (μονάδα 1) SUC u Κόστος εκκίνησης του παραγωγού u D Ζήτηση ενέργειας Το πρόβλημα που εξετάζουμε μορφοποιείται ως εξής: Max F ( p c ) Q P1 = 1 1 (1) s.t. c1 P1 P (2) Min f = ( PQ u u + SUCuSTu) STu, Qu uu (3) s.t. Qu = D (4) u U min ST Q Q ST Q, u U (5) u u u u u ST u δυαδική, u U (6) Q u > 0, u U (7) Η αντικειμενική συνάρτηση (1) μεγιστοποιεί το κέρδος του μεμονωμένου παραγωγού. Το κέρδος αυτό εξαρτάται από την τιμή εκκαθάρισης της αγοράς, p, που είναι η σκιώδης τιμή του περιορισμού εκκαθάρισης της αγοράς (4), ο οποίος εξασφαλίζει την ικανοποίηση της ζήτησης. Παρόλο που το πρόβλημα του κάτω επιπέδου (3)-(7) είναι ένα μεικτό ακέραιο πρόγραμμα και δεν έχει σκιώδεις τιμές σύμφωνα με τον παραδοσιακό ορισμό, η τιμή του p μπορεί να υπολογιστεί με τη διαδικασία που έχει προταθεί από τους O Neill et al. (2005). Η διαδικασία αυτή περιλαμβάνει πρώτα τη λήψη της βέλτιστης λύσης του αρχικού μεικτού ακέραιου μοντέλου, και στη συνέχεια, την επίλυση του συνεχούς μοντέλου που προκύπτει αφού οι αρχικές ακέραιες μεταβλητές τεθούν ίσες με τις βέλτιστες τιμές τους σε αυτήν τη λύση. Με βάση τη θεωρία της οριακής τιμολόγησης, οι μονάδες ενέργειας αποζημιώνονται με τη σκιώδη τιμή του περιορισμού εκκαθάρισης της αγοράς που υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο. Το κόστος εκκίνησης του πρώτου παραγωγού ενέργειας δεν περιλαμβάνεται στην αντικειμενική συνάρτηση (1), δεδομένου ότι οι κανόνες της αγοράς καθορίζουν ότι κάθε παραγωγός αποζημιώνεται πλήρως για το συγκεκριμένο κόστος. Ο περιορισμός (2) επιβάλλει ένα κάτω κι ένα άνω όριο στην τιμή προσφοράς του μεμονωμένου παραγωγού. Και αυτά τα όρια επιβάλλονται από κανόνες της αγοράς, σύμφωνα με τους οποίους η τιμή προσφοράς ενός παραγωγού δεν μπορεί να είναι χαμηλότερη από το μοναδιαίο κόστος παραγωγής του και υψηλότερη από μία δεδομένη τιμή που είναι γνωστή και ως price-cap. Το πρόβλημα του κάτω επίπεδου ορίζεται από τη μορφοποίηση (3)-(7). Η αντικειμενική συνάρτηση (3) ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος της παρεχόμενης ενέργειας. Ο περιορισμός (4) εκκαθαρίζει την αγορά, εξασφαλίζοντας ότι η ζήτηση για ενέργεια θα ικανοποιηθεί. Ο περιορισμός (5) εγγυάται ότι δεν θα παραβιαστεί το τεχνικό ελάχιστο και το τεχνικό μέγιστο κάθε μονάδας παραγωγής. Τέλος, οι περιορισμοί (6) και (7) επιβάλλουν ακεραιότητα και μη-αρνητικότητα, αντίστοιχα, στις μεταβλητές απόφασης του κάτω επιπέδου. Το πρόβλημα (1)-(7) είναι ένα μεικτό ακέραιο διεπίπεδο μοντέλο βελτιστοποίησης. Η ύπαρξη των αδιαιρετοτήτων που προκύπτουν από τη μοντελοποίηση της εκκίνησης των μονάδων παραγωγής με δυαδικές μεταβλητές και οι περιορισμοί για το τεχνικό ελάχιστό τους διαφοροποιούν τη μορφοποίηση αυτή από άλλες παρόμοιες που έχουν αναπτυχθεί στο παρελθόν. Στη συνέχεια, αναπτύσσουμε μια μεθοδολογία επίλυσης που βασίζεται σε

6 παραμετρικό μεικτό ακέραιο προγραμματισμό για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του προβλήματος. Μια βασική ιδιότητα του προβλήματος (1)-(7) είναι ότι μπορεί να μην έχει βέλτιστη λύση, ακόμη κι όταν υπάρχει βέλτιστη λύση για το πρόβλημα του κάτω επιπέδου. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου δεν είναι μοναδική. Ας εξετάσουμε, για παράδειγμα, την περίπτωση κατά την οποία το κέρδος του μεμονωμένου παραγωγού μεγιστοποιείται για μια συγκεκριμένη τιμή του P 1. Ας υποθέσουμε τώρα ότι, γι αυτή τη συγκεκριμένη τιμή, η βέλτιστη λύση του κάτω προβλήματος δεν είναι μοναδική, αλλά αντ ' αυτού, υπάρχουν δύο βέλτιστες λύσεις τέτοιες ώστε ο μεμονωμένος παραγωγός συμμετέχει την αγορά (ST 1 = 1) και μάλιστα μεγιστοποιεί το κέρδος του στην πρώτη, ενώ ο ίδιος δεν συμμετέχει στην αγορά (ST 1 = 0) και αντιλαμβάνεται μηδενικό κέρδος στη δεύτερη. Η βασική θεωρία της διεπίπεδης βελτιστοποίησης (Dempe, 2002) δεν επιτρέπει τη συνεργασία οποιασδήποτε μορφής μεταξύ του άνω και του κάτω επιπέδου λήψης απόφασης. Ο παίκτης του άνω επιπέδου πάντοτε επιλέγει πρώτος τις τιμές των μεταβλητών απόφασης που θεωρεί πιο συμφέρουσες. Στη συνέχεια, με τις τιμές αυτές δεδομένες, ο παίκτης του κάτω επιπέδου έπεται και βρίσκει τις βέλτιστες τιμές των μεταβλητών απόφασης που βρίσκονται υπό τον έλεγχό του. Γίνεται φανερό από τη συζήτηση αυτή, ότι ο πρώτος παίκτης δεν έχει κανέναν τρόπο να εξαναγκάσει το δεύτερο στην επιλογή μιας συγκεκριμένης βέλτιστης λύσης για το κάτω επίπεδο, όταν υπάρχουν εναλλακτικές τέτοιες λύσεις. Ως εκ τούτου, στο σύντομο υποθετικό σενάριο που περιγράφεται παραπάνω, δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι ο μεμονωμένος παραγωγός θα επιτύχει όντως το μέγιστο κέρδος του. Αρκετές προσεγγίσεις έχουν προταθεί για την αντιμετώπιση αυτού του ζητήματος, οι πιο δημοφιλείς από τις οποίες καταφεύγουν σε μια μικρή τροποποίηση του ορισμού του προβλήματος και της αντίστοιχης μορφοποίησής του. Στο πλαίσιο των αγορών ηλεκτρικής ενέργειας έχουν προταθεί αρκετοί ειδικοί κανόνες, ωστόσο κανένας από αυτούς δεν έχει υιοθετηθεί καθολικά. Ένας από τους κανόνες αυτούς προτείνει να ευνοείται πάντα η μονάδα με το χαμηλότερο μεταβλητό κόστος παραγωγής. Στην παρούσα εργασία, υιοθετούμε τη λεγόμενη αισιόδοξη προσέγγιση (Dempe, 2002), σύμφωνα με την οποία κάθε φορά που υφίστανται πολλαπλές βέλτιστες λύσεις για το πρόβλημα του κάτω επιπέδου, επιλέγεται αυτή που είναι πιο συμφέρουσα για το άνω επίπεδο. Η προσέγγιση αυτή προϋποθέτει ότι ο άνω παίκτης έχει πάντα κάποιο τρόπο να αναγκάσει τον κάτω παίκτη να επιλέξει μια συγκεκριμένη βέλτιστη λύση για το κάτω πρόβλημα. Έτσι, η θεωρία που αναπτύσσουμε στο υπόλοιπο της παρούσας εργασίας αναφέρεται στην αισιόδοξη προσέγγιση του προβλήματος, και δεν ισχύει απαραίτητα σε διαφορετικές προσεγγίσεις. 4. Μεθοδολογία Επίλυσης Έστω f * (P 1 ) η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του κάτω επιπέδου ως συνάρτηση της τιμής προσφοράς του μεμονωμένου παραγωγού. Ο αλγόριθμος που αναπτύσσουμε για την επίλυση του υπό εξέταση προβλήματος βασίζεται στο ακόλουθο σημαντικό αποτέλεσμα: Πρόταση 1: Η συνάρτηση f * (P 1 ) είναι μη φθίνουσα, κατά τμήματα γραμμική και κοίλη. Απόδειξη: Το γεγονός ότι η f * (P 1 ) είναι μη φθίνουσα είναι προφανές, δεδομένου ότι η αύξηση της τιμής του P 1 δεν αλλάζει την εφικτή περιοχή του προβλήματος, παρά μόνο αυξάνει το κόστος των λύσεων στις οποίες συμμετέχει η μονάδα 1. Το γεγονός ότι η f * (P 1 ) είναι κατά τμήματα γραμμική και κοίλη οφείλεται στους Hillier and Lieberman (2001).

7 Η Πρόταση 1 υπονοεί ότι το πρόβλημα που ορίζεται από τις (1)-(7) μπορεί να λυθεί παραμετρικά με έναν αλγόριθμο επίλυσης που χρησιμοποιεί την ακόλουθη διαδικασία αναζήτησης που έχει προταθεί από τους Geoffrion and Nauss (1977). Ας υποθέσουμε ότι λύνουμε το πρόβλημα του κάτω επιπέδου για P 1 = c 1 και P 1 = P και ότι οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών απόφασης στις δύο λύσεις που παίρνουμε είναι x * (c 1 ) και x * ( P ), αντίστοιχα. Εάν x * (c 1 ) = x * ( P ), τότε η αναζήτηση τερματίζεται, και η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου είναι η ίδια για κάθε εφικτή τιμή του P 1. Σε αντίθετη περίπτωση, θεωρούμε τη γραμμή που αντιπροσωπεύει την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος του κάτω επιπέδου όταν η λύση δεσμεύεται να είναι η x * (c 1 ) και το P 1 αυξάνεται πάνω από c 1 και τη γραμμή που αντιπροσωπεύει την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος του κάτω επιπέδου, όταν η λύση δεσμεύεται να είναι η x * ( P ) και το P 1 μειώνεται κάτω από P. Έστω ότι P 1 = θ είναι το σημείο στο οποίο οι δύο αυτές γραμμές τέμνονται, και ας υποθέσουμε ότι η τιμή των δύο αντικειμενικών συναρτήσεων είναι ίση με k σε αυτό το σημείο. Στη συνέχεια, λύνουμε το πρόβλημα του κάτω επιπέδου για P 1 = θ. Αν f * (θ) = k, τότε η αναζήτηση τερματίζεται, συμπεραίνοντας ότι η x * (c 1 ) είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου για c 1 < P 1 < θ και η x * ( P ) είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου για θ < P 1 < P. Αν όχι, επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία, θεωρώντας τα ακόλουθα δύο ζεύγη γραμμών. Το πρώτο ζεύγος αποτελείται από τη γραμμή που αντιπροσωπεύει την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος του κάτω επιπέδου όταν η λύση δεσμεύεται να είναι η x * (c 1 ) και το P 1 αυξάνεται πάνω από c 1, και τη γραμμή που αντιπροσωπεύει την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος του κάτω επιπέδου όταν η λύση δεσμεύεται να είναι η x * (θ) και το P 1 μειώνεται κάτω από θ. Το δεύτερο ζεύγος αποτελείται από τη γραμμή που αντιπροσωπεύει την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος του κάτω επιπέδου, όταν η λύση δεσμεύεται να είναι η x * ( P ) και το P 1 μειώνεται κάτω από P και τη γραμμή που αντιπροσωπεύει την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος του κάτω επιπέδου, όταν η λύση δεσμεύεται να είναι η x * (θ) και το P 1 αυξάνεται πάνω από θ. Η διαδικασία συνεχίζεται με τον ίδιο τρόπο, μέχρι να εντοπιστεί το σύνολο των διαφορετικών (όσον αφορά τις τιμές των μεταβλητών απόφασης) βέλτιστων λύσεων του προβλήματος του κάτω επιπέδου για όλες τις πιθανές περιοχές τιμών του P 1. Σε εκείνο το σημείο, είναι εύκολο να υπολογιστεί η ολικά βέλτιστη λύση του αρχικού διεπίπεδου μοντέλου βελτιστοποίησης, λόγω της ακόλουθης ανάλυσης. Για οποιαδήποτε περιοχή τιμών του P 1 στην οποία η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου παραμένει η ίδια, υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις. Η πρώτη περίπτωση είναι όταν ο μεμονωμένος παραγωγός καθορίζει την οριακή τιμή του συστήματος, δηλαδή, όταν η τιμή προσφοράς του είναι ίση με τη σκιώδη τιμή του περιορισμού της ζήτησης. Για τη συγκεκριμένη περιοχή τιμών του P 1, ο μεμονωμένος παραγωγός επιτυγχάνει το μέγιστο κέρδος του όταν η τιμή προσφοράς είναι ίση με το δεξί άκρο του αντίστοιχου διαστήματος τιμών του P 1. Για να γίνει κατανοητό γιατί ισχύει αυτό, τονίζεται ότι αφού η οριακή τιμή του συστήματος καθορίζεται από το μεμονωμένο παραγωγό σε αυτό το διάστημα, αυτή είναι η μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να λάβει για κάθε MWh ενέργειας που θα παράσχει. Υποβάλλοντας μεγαλύτερη τιμή προσφοράς θα οδηγήσει σε διαφορετική βέλτιστη λύση για το πρόβλημα του κάτω επιπέδου, οδηγώντας σε διαφορετικό διάστημα τιμών για το P 1. Η δεύτερη περίπτωση είναι όταν η οριακή τιμή του συστήματος δεν καθορίζεται από το μεμονωμένο, αλλά από κάποιον άλλο παραγωγό. Για μια τέτοια περιοχή τιμών, ο μεμονωμένος παραγωγός είναι αδιάφορος για τη συγκεκριμένη τιμή του P 1, δεδομένου ότι θα αποζημιωθεί σύμφωνα με τη σταθερή οριακή τιμή του συστήματος. Παράλληλα, το

8 κέρδος του παραμένει σταθερό στη συγκεκριμένη περιοχή και μπορεί να υπολογιστεί εύκολα, δεδομένου ότι η ποσότητα που θα παραγάγει παραμένει επίσης σταθερή. Η κύρια διαφορά μεταξύ των δύο παραπάνω περιπτώσεων είναι ότι στην πρώτη, το κέρδος του μεμονωμένου παραγωγού αυξάνεται γραμμικά με την τιμή προσφοράς του εντός της συγκεκριμένης περιοχής τιμών του P 1, ενώ στη δεύτερη, παραμένει σταθερό. Συγκρίνοντας το μέγιστο κέρδος που ο μεμονωμένος παραγωγός μπορεί να επιτύχει σε οποιαδήποτε περιοχή τιμών του P 1 (καθεμία από τις οποίες συνδέεται με μια συγκεκριμένη βέλτιστη λύση για το πρόβλημα του κάτω επιπέδου), μπορούμε εύκολα να εντοπίσουμε τη βέλτιστη τιμή του P 1 που οδηγεί στο μέγιστο κέρδος του. Έστω ST * 1 (P 1 ) και Q * 1 (P 1 ) οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών απόφασης ST 1 και Q 1, αντίστοιχα, στη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου, ως συνάρτηση της τιμής προσφοράς του μεμονωμένου παραγωγού. Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να επιταχυνθεί αισθητά, όταν χρησιμοποιηθεί το ακόλουθο σημαντικό θεωρητικό αποτέλεσμα: Πρόταση 2: Η συνάρτηση Q * 1 (P 1 ) είναι μη-αύξουσα. Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι Q * 1 (k 1 ) < Q * 2 (k 2 ) για κάποια c 1 < k 1 < k 2 < P. Για P 1 = k 1, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του κάτω επιπέδου για τη λύση x * (k 1 ) θα είναι μικρότερη ή ίση από την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του κάτω επιπέδου για τη λύση x * (k 2 ). Κάθε μία από αυτές τις τιμές των δύο αντικειμενικών συναρτήσεων απαρτίζεται από το κόστος που οφείλεται στην πρώτη μονάδα και από το κόστος που οφείλεται στις υπόλοιπες μονάδες. Όταν το P 1 αυξάνει από k 1 σε k 2, το κόστος που οφείλεται στις υπόλοιπες μονάδες παραμένει σταθερό και για τις δύο αυτές λύσεις. Από την άλλη πλευρά, το κόστος που οφείλεται στην πρώτη μονάδα αυξάνει κατά (k 2 - k 1 )Q * 1 (k 1 ) στη λύση x * (k 1 ) και κατά (k 2 - k 1 )Q * 1 (k 2 ) στη λύση x * (k 2 ). Το γεγονός ότι Q * 1 (k 1 ) < Q * 1 (k 2 ) υποδηλώνει ότι (k 2 - k 1 )Q * 1 (k 1 ) < (k 2 - k 1 )Q * 1 (k 2 ). Επομένως, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του κάτω επιπέδου για τη λύση x * (k 1 ) αυξάνει αυστηρά λιγότερο από ό,τι για τη λύση x * (k 2 ) όταν το P 1 αυξάνει από k 1 σε k 2. Αυτό, ωστόσο, είναι άτοπο, καθώς η λύση x * (k 2 ) είναι βέλτιστη για P 1 = k 2. Η σπουδαιότητα της Πρότασης 2 έγκειται στο ότι κάθε φορά που γνωρίζουμε τη βέλτιστη τιμή του Q 1 για κάποιο P 1 = k, τότε αυτή η τιμή μπορεί να επιβληθεί ως ένα άνω όριο επί της βέλτιστης τιμής του Q 1 για οποιοδήποτε πρόβλημα στο οποίο το P 1 είναι μεγαλύτερο από k. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε σημαντική εξοικονόμηση υπολογιστικού χρόνου, ιδίως για προβλήματα μεγάλης κλίμακας. Επιπλέον, κάθε φορά που έχουμε προσδιορίσει μια τιμή k του Ρ 1 για την οποία ST * 1 (k) = 0, τότε δε χρειάζεται να εφαρμοστεί η παραμετρική διαδικασία αναζήτησης στην περιοχή τιμών (k, P ], καθώς η Πρόταση 2 εξασφαλίζει ότι η πρώτη μονάδα δεν θα συμμετέχει στην αγορά στη συγκεκριμένη περιοχή και το αντίστοιχο κέρδος της θα είναι ίσο με Εφαρμογή του Αλγόριθμου Στην ενότητα αυτή, επιδεικνύουμε την εφαρμογή του προτεινόμενου αλγορίθμου σε μια μελέτη περίπτωσης με 5 μονάδες παραγωγής. Τα τεχνικά χαρακτηριστικά, οι τιμέςπροσφοράς και τα κόστη εκκίνησης των μονάδων παραγωγής παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Τα τεχνικά ελάχιστα και μέγιστα δίνονται σε MW, τα κόστη εκκίνησης σε και οι τιμές-προσφοράς για την ενέργεια σε /MWh. Το μεταβλητό κόστος του μεμονωμένου παραγωγού (της μονάδας 1) είναι 50 /MWh, το άνω όριο στην τιμή προσφοράς του είναι 150 /MWh και η ζήτηση για ενέργεια είναι ίση με 1,000 MWh. Τα δεδομένα των μονάδων παραγωγής δεν είναι πλασματικά, αλλά αντιστοιχούν σε πραγματικές μονάδες που συμμετέχουν στην ελληνική αγορά ηλεκτρικής ενέργειας, όπως περιγράφεται από τους Andrianesis et al. (2009).

9 Πίνακας 1. Τεχνικά χαρακτηριστικά, τιμές προσφοράς και κόστη εκκίνησης των μονάδων παραγωγής min Μονάδα (u) Q u Q P u u SUC u , , , , ,000 Ο Πίνακας 2 παρουσιάζει τα αποτελέσματα της εφαρμογής του προτεινόμενου αλγορίθμου. Για κάθε πιθανή περιοχή τιμών του P 1, ο πίνακας αυτός δείχνει τη βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου στη μορφή (Q 1, Q 2, Q 3, Q 4, Q 5 ), την οριακή τιμή του συστήματος, καθώς και την οριακή μονάδα (τη μονάδα δηλαδή που καθορίζει την οριακή τιμή), τη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του κάτω επιπέδου (f*), και την αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του άνω επιπέδου (F). Περιοχήτιμών του P 1 Πίνακας 2. Αποτελέσματα της εφαρμογής του αλγόριθμου επίλυσης Βέλτιστη λύση του κάτω προβλήματος Οριακή τιμή συστήματος Οριακή μονάδα παραγωγής [50, 52] (377, 383, 240, 0, 0) , P (52, 57] (284, 476, 240, 0, 0) P , P 1 (P 1-50)284 (57, ] (240, 476, 284, 0, 0) , P 1 1,680 (111.58, 150] (0, 476, 384, 0, 140) ,720 0 Τα αποτελέσματα του Πίνακα 2 δείχνουν ότι το μέγιστο κέρδος που ο μεμονωμένος παραγωγός μπορεί να αποκομίσει για οποιαδήποτε τιμή του Ρ 1 που ανήκει στο διάστημα [50, 150] ισούται με 1,988 και επιτυγχάνεται όταν το P 1 είναι ίσο με 57. Η αντίστοιχη βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου είναι (284, 476, 240, 0, 0), που οδηγεί σε συνολικό κόστος για το σύστημα ίσο με 92,620. Σημειώνεται ότι η λύση (240, 476, 284, 0, 0) είναι επίσης βέλτιστη για P 1 = 57, αλλά δεν προτιμάται, επειδή είναι λιγότερο ευνοϊκή για το μεμονωμένο παραγωγό. Όταν το P 1 ανήκει στο διάστημα [50, 52], η καλύτερη τιμή προσφοράς του μεμονωμένου παραγωγού δεν είναι μοναδική, λόγω του ότι η τιμή του συστήματος καθορίζεται από τη μονάδα 2. Ως αποτέλεσμα, ο μεμονωμένος παραγωγός είναι αδιάφορος για οποιαδήποτε τιμή του P 1 σε αυτό το διάστημα, επειδή η ποσότητα ενέργειας που παράγει (377) και η τιμή εκκαθάρισης της αγοράς (52) παραμένουν σταθερές. Η κατάσταση είναι παρόμοια όταν το P 1 ανήκει στο διάστημα (57, ], με την οριακή τιμή του συστήματος να παραμένει σταθερή και ίση με 57, και την ποσότητα της παραγόμενης ενέργειας του μεμονωμένου παραγωγού να είναι ίση με 240. Τέλος, στο διάστημα τιμών (111,58, 150] ο μεμονωμένος παραγωγός δεν συμμετέχει στην αγορά και ως εκ τούτου, αποκομίζει μηδενικό κέρδος. Τα σχήματα 1 και 2 παρουσιάζουν τη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του κάτω επιπέδου (f*) και την αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του άνω επιπέδου (F), αντίστοιχα, ως συνάρτηση του P 1. Σε απόλυτη συμφωνία με την Πρόταση 1, η συνάρτηση f* (Ρ 1 ) είναι μη φθίνουσα, κατά τμήματα γραμμική και κοίλη. f * F

10 Σχήμα 1. Βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του κάτω επιπέδου (f*) ως συνάρτηση του P 1 Σχήμα 2. Τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του άνω επιπέδου (F) ως συνάρτηση του P 1 6. Μελλοντική Έρευνα Το μοντέλο που μελετάμε στην παρούσα εργασία μπορεί να επεκταθεί ώστε να συμπεριλάβει πρόσθετες πτυχές του υπό εξέταση προβλήματος. Μια πιο ρεαλιστική επέκταση του προβλήματος προκύπτει όταν εξετάζουμε ένα χρονικό ορίζοντα H περιόδων (συνήθως H = 24 και ο αντίστοιχος δείκτης h συμβολίζει ώρες) και ο μεμονωμένος παραγωγός υποβάλλει H τιμές-προσφοράς, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό αθροιστικό του κέρδος μετά την εκκαθάριση της αγοράς για το σύνολο του χρονικού ορίζοντα. Μια σημαντική διαφοροποίηση σε αυτήν την περίπτωση είναι ότι εκκίνηση μιας μονάδας θεωρείται ότι λαμβάνει χώρα μόνο όταν αυτή η μονάδα παράγει θετική ποσότητα ενέργειας μετά από μία ή περισσότερες περιόδους κατά τις οποίες βρισκόταν εκτός λειτουργίας. Έτσι, το κόστος εκκίνησης της μονάδας συμπεριλαμβάνεται στην αντικειμενική συνάρτηση μόνο μια φορά για κάθε ομάδα διαδοχικών χρονικών περιόδων κατά τις οποίες αυτή η μονάδα συμμετέχει στην αγορά. Επαυξάνοντας το συμβολισμό της Ενότητας 3 με έναν επιπλέον δείκτη που αντιπροσωπεύει τη χρονική περίοδο, το πρόβλημα μορφοποιείται ως ακολούθως σε αυτήν την περίπτωση: P1, h h 1 1, h (8) h H Max F = ( p c ) Q

11 STuh,, Yuh,, Quh, s.t. c1 P1, P, h H (9) h uh, uh, u uh, (10) h H u U Quh, = Dh h H (11) u U Min f = ( P Q + SUC Y ) s.t., min ST, Q Q, ST, Q, u U, h H (12) uh u uh uh u Y,, uh, STuh, STuh, 1 u U h H (13) ST u,h, Y u,h binary, u U, h H (14) Q u,h > 0, u U, h H (15) Σημειώνεται ότι στη μορφοποίηση αυτή, το συνολικό κόστος του συστήματος περιλαμβάνει τις δυαδικές μεταβλητές απόφασης Y u,h αντί των μεταβλητών ST u,h. Από τους περιορισμούς (13), η μεταβλητή Y u,h λαμβάνει την τιμή 1 εάν ST u,h-1 = 0 και ST u,h = 1. Σε κάθε άλλη περίπτωση, η τιμή αυτής της μεταβλητής ορίζεται ίση με 0, επειδή εμφανίζεται στην αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος του κάτω επιπέδου με θετικό συντελεστή. Έτσι, η μεταβλητή Y u,h χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει μια αλλαγή στην κατάσταση της μονάδας u από εκτός λειτουργίας στην περίοδο h-1 σε εντός λειτουργίας στην περίοδο h. Σαν αποτέλεσμα, η παραπάνω μορφοποίηση απαιτεί γνώση της κατάστασης κάθε μονάδας παραγωγής κατά την τελευταία περίοδο του προηγούμενου χρονικού ορίζοντα (ST u,0 ). Τα υπόλοιπα μέρη της παραπάνω μορφοποίησης αποτελούν μια απλή επέκταση της μορφοποίησης της Ενότητας 3 σε ένα χρονικό ορίζοντα πολλών περιόδων. Επιπλέον, η μορφοποίηση αυτή μπορεί να επεκταθεί περαιτέρω για να συμπεριλάβει επιπρόσθετες πτυχές του πραγματικού προβλήματος, όπως οι ελάχιστοι χρόνοι μη λειτουργίας (minimum downtimes) και οι ελάχιστοι χρόνοι λειτουργίας (minimum uptimes) των μονάδων παραγωγής. Ανάλογα με το συγκεκριμένο τύπο της (καύσης λιγνίτη, φυσικού αερίου, πετρελαίου, κ.τ.λ.), μια μονάδα μπορεί να μην είναι σε θέση να αλλάξει την κατάστασή της κατά βούληση σε δύο διαδοχικές χρονικές περιόδους. Σε γενικές γραμμές, μετά την εκκίνηση (σβήσιμο) μιας μονάδας που βρισκόταν προηγουμένως εκτός (εντός) λειτουργίας, η μονάδα πρέπει να παραμείνει εντός (εκτός) λειτουργίας για έναν ελάχιστο χρόνο (μη) λειτουργίας πριν τεθεί εκτός (εντός) λειτουργίας ξανά. Μεταξύ άλλων, οι Andrianesis et al. (2011) παρουσιάζουν μια κατάλληλη μορφοποίηση, η οποία ενσωματώνει αυτούς τους περιορισμούς. Αναφορές Andrianesis, P., Liberopoulos, G. and Kozanidis, G. (2009), Energy-reserve markets with nonconvexities: An empirical analysis, 2009 IEEE Power Tech Conference, Bucharest, Romania, 8 pages. Andrianesis, P., Liberopoulos, G., Kozanidis, G. and Papalexopoulos, A. (2010), Recovery mechanisms in a joint energy/reserves day-ahead electricity market with non-convexities, 7 th International Conference on the European Energy Market (EEM 10), Madrid, Spain. Andrianesis, P., Biskas, P. and Liberopoulos, G. (2011), An overview of Greece's wholesale electricity market with emphasis on ancillary services, Electric Power Systems Research, to appear. Badri, A., Jadid, S., Rashidinejad, M. and Moghaddamc, M.P. (2008), Optimal bidding strategies in oligopoly markets considering bilateral contracts and transmission constraints, Electric Power Systems Research, 78,

12 Bakirtzis, A.G., Ziogos, N.P., Tellidou, A.C. and Bakirtzis, G.A. (2007), Electricity producer offering strategies in day-ahead energy market with step-wise offers, IEEE Transactions on Power Systems, 22(4), Barroso, L.A., Carneiro, R.D., Granville, S., Pereira, M.V. and Fampa, M.H.C. (2006), Nash equilibrium in strategic bidding: A binary expansion approach, IEEE Transactions on Power Systems, 21(2), Dempe, S. (2002). Foundations of Bilevel Programming, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands. Fampa, M., Barroso, L.A., Candal, D. and Simonetti, L. (2008), Bilevel optimization applied to strategic pricing in competitive electricity markets, Computational Optimization & Applications, 39, Gabriel, S.A. and Leuthold, F.U. (2010), Solving discretely-constrained MPEC problems with applications in electric power markets, Energy Economics, 32, Garcia-Martos, C, Rodriguez, J. and Sanchez, M.J. (2007), Mixed models for short-run forecasting of electricity prices: Application for the Spanish market, IEEE Transactions on Power Systems, 22(2), Geoffrion, A.M. and Nauss, R. (1977), Parametric and postoptimality analysis in integer linear programming, Management Science, 23(5), Gountis, V.P. and Bakirtzis, A.G. (2004), Bidding strategies for electricity producers in a competitive electricity marketplace, IEEE Transactions on Power Systems, 19(1), Hillier, F.S. and Lieberman, G.J. (2001). Introduction to Operations Research (7 th edition), McGraw-Hill, New York, USA, page 313. Hobbs, B.F., Metzler, C.B. and Pang, J.-S. (2000), Strategic gaming analysis for electric power systems: An MPEC approach, IEEE Transactions on Power Systems, 15(2), Hu, X. and Ralph, D. (2007), Using EPECs to model bilevel games in restructured electricity markets with locational prices, Operations Research, 55(5), Li, T., Shahidehpour, M. and Keyhani, A. (2004), Market power analysis in electricity markets using supply function equilibrium model, IMA Journal of Management Mathematics, 15, Li, T. and Shahidehpour, M. (2005), Strategic bidding of transmission-constrained GENCOs with incomplete information, IEEE Transactions on Power Systems, 20(1), Ma, Y., Jiang, C., Hou, Z. and Wang, C. (2006), The formulation of the optimal strategies for the electricity producers based on the particle swarm optimization algorithm, IEEE Transactions on Power Systems, 21(4), O Neill, R.P., Sotkiewicz, P.M., Hobbs, B.F., Rothkopf, M.H. and Stewart, Jr. W.R. (2005), Efficient market-clearing prices in markets with nonconvexities, European Journal of Operational Research, 164, Pereira, M.V., Granville, S., Fampa, M.H.C., Dix, R. and Barroso, L.A. (2005), Strategic bidding under uncertainty: A binary expansion approach, IEEE Transactions on Power Systems, 20(1), Ragupathi, R. and Das, T.K. (2004), A stochastic game approach for modeling wholesale energy bidding in deregulated power markets, IEEE Transactions on Power Systems, 19(2), Ruiz, C. and Conejo, A.J. (2009), Pool strategy of a producer with endogenous formation of locational marginal prices, IEEE Transactions on Power Systems, 24(4), Vahidinasab, V. and Jadid, S. (2009), Multiobjective environmental/techno-economic approach for strategic bidding in energy markets, Applied Energy, 86, Weber, J.D. and Overbye, T.J. (2002), An individual welfare imization algorithm for electricity markets, IEEE Transactions on Power Systems, 17(3), Zhang, G., Zhang, G., Gao, Y. and Lu, J. (2009), A bilevel optimization model and a PSO-based algorithm in day-ahead electricity markets, IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics, San Antonio, TX, USA,