Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης"

Λήδα Τομαραίοι
4 χρόνια πριν
Προβολές:

17 η -18 η Διάλεξη Τεχνικές Ολοκλήρωσης Ι 14-15

1 17 η -18 η Διάλεξη Τεχνικές Ολοκλήρωσης Ι Νοεµβρίου 016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

2 Κύριοι Τύποι Ολοκλήρωσης 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης

3 Πίνακας 7.1 Κύριοι Τύποι Ολοκλήρωσης 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 3

4 Αλγεβρικές Διαδικασίες Αντιστοίχησης με γνωστά Ολοκληρώματα ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Απλοποίηση με Αντικατάσταση Συμπλήρωση τετραγώνου Ανάπτυξη και χρήση τριγωνομετρικής ταυτότητας Απαλοιφή ρίζας Αναγωγή καταχρηστικού κλάσματος Χωρισμός κλάσματος Πολλαπλασιασμός με έκφραση που ισούται με μονάδα

5 Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 5

6 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 6 f (x)g(x)dx =? f (x)g(x)dx =? b a f (x)g(x) = f (x)g(x) f (x) g (x) f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x) g (x) dx f (x)g(x) = f (x)g(x) dx f (x) g (x)dx f (x) g (x)dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx

7 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 7 f ( x) g ( x) dx = f ( x) g( x) f ( x) g( x) dx b a f ( x) g ( x) dx = f ( x) g( x) f ( x) g( x) dx b a b a u = f (x) du = f (x)dx dv = g (x)dx v = g(x) udv = uv vdu b a b udv = uv vdu a b a

8 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 8 xe x dx u = x du = dx dv = e x dx v = e x xe x dx = xe x e x dx = e x (x 1) C

9 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 9 ex cos x dx u = e x du = e x dx dv = cos xdx v = sin x e x cos x dx = e x sin x e x sin x dx u = e x dv = sin xdx du = e x dx v = cos x e x cos x dx = e x sin x e x cos x e x cos x dx ( ) e x cos x dx = 1 ex ( sin x cos x)

10 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 10 sec x dy dx = ex y sec x dy dx = ex e y e y dy = 1 sec x ex dx e y dy = e x cos xdx e y dy = e x cos x dx e y = 1 ex y = ln 1 ex ( cos x sin x) C ( cos x sin x) C

11 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 11 y x 4 xe x dx 0 u = x du = dx dv = e x dx v = e x 4 xe x dx = xe x e x dx 0 = e x 4 (x 1) 0 = 5e 4 1 0

14/11/015 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 1 f()() x g x dx

να ολοκληρωθεί επανειληµµένα µε ευκολία x sin x dx = x ( cos x) x( sin x)

12 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 1 f()() x g x dx Πινακοειδής Ολοκλήρωση Μπορεί να παραγωγιστεί µέχρι να µηδενιστεί Μπορεί να ολοκληρωθεί επανειληµµένα µε ευκολία x sin x dx = x ( cos x) x( sin x) xcos x C Παράγωγοι Αντι-παράγωγοι x x () (-) sin x cos x sin x () 0 cos x

13 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων: Μερικά Κλάσματα 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 13

14 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 14 5x 3 x x 3 = x 1 3 x 3 5x 3 x x 3 dx = x 1 dx 3 x 3 dx = ln x 1 3ln x 3 C 5x 3 x x 3 = A x 1 5x 3 x x 3 = A x 3 x 1 B x 3 ( ) B( x 1) ( )( x 3) 5x 3 = ( A B)x 3A B A B = 5 3A B = 3 A = B = 3

15 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 15 P N (x) Q M (x) = πολυώνυµο N βαθµού πολυώνυµο M βαθµού Προϋποθέσεις 1. N<M (γνήσιο ή μη-καταχρηστικό κλάσμα). Q M (x)=εύκολη παραγοντοποίηση σε 1 ου και ου βαθμού πολυώνυμα Q M (x) = κ (x r κ ) m κ λ (x q λ x p λ ) n λ

16 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 16 P (x) N Q (x) dx = M P N (x) (x r) m (x qx p) n dx P N (x) (x r) m (x qx p) n = A 1 (x r) A (x r)! A m (x r) m B 1 x C 1 (x qx p)! B n x C n (x qx p) n

17 x(x 1) x x I (x 1) I by x(x=4bxc Multiplying 1), we have DxE x(x 1) x x I (x 1) plying by x(x 1), we have I = A(x 1) (Bx C)x(x I) (Dx E)x x 1), A(xhave 1) (Bx C)x(x E)x I = we 3 x) Dx Ex = A(x4 Zl; I) B(x4 I) x )(Dx C(x 4 x ) C(x 3 x) Dx Ex = A(x4 Zl; I) I) B(x 3 A(x 1) (Bx C)x(x = (A B)x4 Cx (Dx (AE)x B D)x (C E)x A 3 = (A (AC(x 3B x)d)x E)x A A(x4 Zl; I) B)x4 B(x4 Cx x ) Dx (C Ex If we equate coefficients, we get the system 3 (A B D)x (C E)x A A B)x4 Cx equate coefficients, we get the system of Integration AB=O, C = 0, CE=O, A=l. A B D = 0, AB=O, = 0, CE=O, A=l. A B D = 0, ficients, we get thecsystem es A =A I,B = -I, C system = CO,D = -I, == O. gives =Solving I,B =this -I, = O,D =A -I, ande =Thus, O. gives =ande I,B -I, C Thus, = O,D = -I, ande = O. Thus,, C = 0, CE=O, A=l. A B D = 0, x Iix - x I)' J[1J[1----=-' =-'---J [1 ----=-'---J J J J J J J x x x JJ J - - I)' = = x Iix -x -x ] Iix ] Iix xx x I x(x I(x (xi)'i)' - I)' x x I Iix Iix xlixxlix xlix xlix (x I)' Iix I)' x x I - I - (x = (x -x xlix x I - u = Xl Xl I, u = du = I)' ] Iix xlix (x I)' I, u = du = xdx xdx du Xl = I, xdx I I I I I I K K =Inlxl-zlnlul =Inlxl-zlnlul u =Inlxl-zlnlul u u K tt t (x I)I)(X,' In -Ixl -ln (xln =(X,' = In= Ixl In I) Ixl -I)K lnk(x 14/11/015 I) (X,' I) 016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης K 17

18 I = ( x ) tan 1 (x) 1x 3 3x dx = tan 1 (x) dx x 4x 1 ( ) ( ) 4x 1 ( ) 1x 3 3x dx ( x ) 4x 1 ( ) u=tan 1 (x) du= dx 1. I 1 = tan 1 (x) 4x 1 1 dx = 4x 1 u du = 1 4 u C 1 = 1 ( 4 tan 1 (x)) C 1. I = 1x 3 3x = x ( ) dx ( ) 4x 1 3x ( x ) dx 3x ( x ) = A x A = 3 B = 6 I = 3 x dx ( ) B ( ) B ( x ) = A x x 6 = 3ln x 6 x x C ( ) dx 3. I = I 1 I = 1 4 tan 1 (x) ( ) 3ln x 6 x C 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 18

19 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 19 P N (x) Q M (x) dx = P N (x) (x r 1 )(x r )!(x r m ) dx P N (x) (x r 1 )(x r )!(x r m ) = A 1 (x r 1 )! A k (x r k )! A m (x r m ) (x r k ) P N (x) (x r 1 )! (x r k )!(x r m ) = A (x r ) 1 k (x r 1 )! A k! A m (x r k ) (x r m ) A k = P N (r k ) (r k r 1 )!(r k r k 1 )(r k r k1 )!(r k r m ), k = 1,,m

20 14/11/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 0 x I (x - I)(x - )(x - 3) x - I x - x - 3 x I B(x - 1) C(x - I) -;---"-::-co---'----;:-c = A (x - )(x - 3) x - x - 3 x=1 (I)' I (1 - )(1-3) = A 0 0,

Σχετικά έγγραφα

Ρυθµοί µεταβολής Παράγωγος σε σηµείο Όρια. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης

3 η Διάλεξη Ρυθµοί µεταβολής Παράγωγος σε σηµείο Όρια 26 Σεπτεµβρίου 2016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές