Κατά τη διάρκεια τωv εξετάσεωv: 2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

Transcript

1 Κτά τη διάρκει τωv εξετάσεωv: ιβάζουµε µι φορά όλ τ θέµτ, ώστε ν σχηµτίσουµε µι γενική εικόν. Ξεκινάµε τις πντήσεις µς πό τ θέµτ εκείν γι τ οποί είµστε σίγουροι γι τον τρόπο ντιµετώπισής του. Συνήθως ξεκινάµε πό τη θεωρί. Αντιµετώπιση ενός θέµτος: ιβάζουµε προσεκτικά τ δεδοµέν του θέµτος. Εντοπίζουµε τη διδκτική ενότητ όπου βρίσκοντι. Τ ερµηνεύουµε µε βάση τη θεωρί της ντίστοιχης διδκτικής ενότητς. Προχωράµε στη λύση του θέµτος νφέροντς τ θεωρήµτ που θ χρησιµοποιήσουµε κι προσέχοντς εάν πληρούντι οι προϋποθέσεις τους.εάν δεν δίνοντι στην εκφώνηση, τις ποδεικνύουµε. Επιπλέον θ πρέπει ν έχουµε υπόψη µς ότι τ υποερωτήµτ ενός ερωτήµτος συνδέοντι µετξύ τους. Ακόµη κι εάν γνοούµε τη λύση του 1 ου υποερωτήµτος, µπορούµε ν το θεωρήσουµε ως δεδοµένο γι την επίλυση του ου κ.ο.κ. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

2 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Γι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου Γ γ συνφ = β β ηµφ = β εφφ = φ γ γ A γ Β σφφ = β Γι οποιδήποτε γωνί µε ρχική πλευρά τελική πλευρά ΟΜ ισχύει: συνφ = ρ y Μ (, y) y ηµφ = ρ Ο φ y εφφ = σφφ = y όπου ρ = + y Ο κι ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 3

3 ηµ φ+ συν φ = 1 εφφ σφφ = 1 ηµφ εφφ =, συνφ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ συνφ σφφ = ηµφ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ π φ 0 ο /0 30 ο π π / 45 ο / 60 ο π / 90 ο / ηµφ 0 συνφ 1 εφφ σφφ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

4 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ( ) ( ) ( ) ( ) ηµ = ηµ συν = συν εφ = εφ σφ = σφ ( ) ηµ π + = ηµ ( ) συν π + = συν ( ) εφ π + = εφ ( ) σφ π + = σφ ( ) = ( ) ( ) ( ) ηµ π ηµ συν π = συν εφ π = εφ σφ π = σφ π ηµ = συν π συν = ηµ π εφ = σφ π σφ = εφ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 5

5 ΤΥΠΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ συν( + β) = συν συνβ ηµ ηµβ συν( β) = συν συνβ + ηµ ηµβ ηµ ( + β) = ηµ συνβ + ηµβ συν ηµ ( β) = ηµ συνβ ηµβ συν εφ( β) εφ( β) σφ( β) σφ( β) εφ + εφβ + = 1 εφ εφβ εφ εφβ = 1 + εφ εφβ σφ σφβ 1 + = σφβ + σφ σφ σφβ + 1 = σφβ σφ ΤΥΠΟΙ ΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ ηµ = ηµ συν συν = συν ηµ = συν 1= 1 ηµ εφ εφ = 1 εφ σφ 1 σφ = σφ 6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

6 ΤΥΠΟΙ ΑΠΟΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ 1 συν ηµ = 1+ συν συν = 1 συν εφ = 1 + συν 1 εφ συν = 1 + εφ εφ ηµ = 1 +εφ ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ = κπ + θ ηµ = ηµθ = κπ + π θ = κπ + θ συν = συνθ = κπ θ εφ = εφθ = κπ + θ σφ = σφθ = κπ + θ όπου κ Z ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 7

7 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Το υπόλοιπο της διίρεσης P( ) :( ρ) µε P( ρ ) Το ρ είνι πράγοντς του ( ) ότν P( ρ ) = 0 είνι ίσο P ότν κι µόνον ΠΡΟΟ ΟΙ Αριθµητική πρόοδος Γεωµετρική πρόοδος ν 1 Νιοστός όρος = + ( ν ) ω = λ Ανδροµικός τύπος Άθροισµ ν ρχικών όρων ν ν = + + ω ν ω διφορά S ν S ν ν = 1 + ν ( ) ν = 1 + ( ν 1) ω ν 1 = ν 1 λ + ν όπου λ λόγος ν λ 1 Sν = 1, λ 1 λ 1 S ν = ν 1, λ= 1 8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

8 = θ = log θ 10 = θ = logθ e ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΚΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΝΕΠΕΡΕΙΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ = θ = lnθ, e,7 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ log a 1= 0 log = 1 log = log θ = θ log θ θ = log θ + log θ ( ) 1 1 θ1 log log θ log θ θ = 1 κ log θ = κ log θ log logβθ θ = (λλγή βάσης) log β ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 9

9 Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α Σ Π ρ ο β ά δ ι σ µ στο Σχολείο Π ρ ό σ β σ η στο Πνεπιστήµιο 10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

10 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο, τότε Γ = β + γ ΑΒ =Β ΒΓ ΑΓ = Γ ΒΓ ΑΒ Β = ΑΓ Γ Α Β Α =Β Γ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 11

11 ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ˆΑ οξεί Β = β + γ β Α γ Α β Γ ˆΑ µβλεί Β γ = β + γ + β Α Α ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ = β + γ β γ συνα ˆ ˆΑ οξεί ˆΑ µβλεί ˆΑ ορθή β Γ < β + γ > β + γ = β + γ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

12 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΙΑΜΕΣΩΝ 1 Ο Α : β + γ = µ + β β β + γ γ µ = 4 Β β Μ ο β β : Αν Μ η προβολή της µ στην, τότε β γ = Μ Γ β ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 13

13 Α ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΕΜΝΟΥΣΩΝ Ρ Β ΡΑ ΡΒ=ΡΓ Ρ Α Β Ρ Γ Γ Ρ Ε Α ΡΕ =ΡΑ ΡΒ= δ R όπου δ =ΡΚ Κ Β ύνµη σηµείου Ρ ως προς κύκλο ( Κ, R) : Ρ (,R) = δ R Κ 14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

14 ΕΜΒΑ Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Τετράγωνο: Ε=, όπου πλευρά Ορθογώνιο: Ε= β, όπου,β διστάσεις Πρλληλόγρµµο: Ε= β υ, όπου β βάση κι υ : ντίστοιχο ύψος Τρίγωνο: Ε= υ = β υβ = γ υγ Β+β Τρπέζιο: Ε= υ, όπου Β,β βάσεις κι υ ύψος δ1 δ Ρόµβος : Ε=, όπου δ1, δ διγώνιοι β γ Νόµος Ηµιτόνων : = = ηµ Α ηµ Β ηµ Γ ΕΜΒΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Ε= τ ( τ ) ( τ β) ( τ γ) (τύπος Ήρων), + β + γ όπου τ = η ηµιπερίµετρος Ε= τ ρ, όπου ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου β γ Ε=, όπου R η κτίν του περιγεγρµµένου 4 R κύκλου 1 Ε= β γ ηµ Α ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 15

15 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Αν σε τρίγων ΑΒΓ, ΑΒΓ είνι = τότε Ε υ = Ε υ Αν σε τρίγων ΑΒΓ, ΑΒΓ είνι υ = υ τότε Ε = Ε Αν ΑΒΓ, ΑΒΓ όµοι µε λόγο οµοιότητς λ, τότε Ε =λ Ε Αν στ τρίγωναβγ, ΑΒΓ οι γωνίες ˆΑ, Α ˆ είνι Ε β γ ίσες ή πρπληρωµτικές, τότε = Ε β γ 16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

16 γωνί πολυγώνου: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ φ ν ο 360 = 180 ν 360 ο κεντρική γωνί : ω ν = ν λν ν + = R, όπου ν πόστηµ κι λ ν πλευρά 4 περίµετρος : Ρ ν = ν λν 1 εµβδόν : Ε ν = Ρν ν Ισόπλευρο Τετράγωνο τρίγωνο Πλευρά λ R 3 R ν ο Κνονικό εξάγωνο Απόστηµ R R R 3 ν Μήκος κύκλου L= π R π R µ Μήκος τόξου µ µοιρών: l= ο 180 Μήκος τόξου κτινίων : l= R R ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 17

17 Εµβδόν κυκλικού δίσκου Ε= π R π R µ Εµβδόν κυκλικού τοµέ µ µοιρών: ε = ο Εµβδόν κυκλικού τοµέ κτινίων: ε = R Οµοιογενή επτµελή τµήµτ Βοηθήµτ Σηµειώσεις Συχνά διγωνίσµτ Φύλλ εργσίς Επνλήψεις Εβδοµδιίοι έλεγχοι προόδου Συχνή ενηµέρωση γονέων Ευχάριστο περιβάλλον κι µέσ διδσκλίς Ετήσιος νλυτικός σχεδισµός ύλης κι επνλήψεων 18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΒ=ΟΒ ΟΑ ή ΑΒ= ( Β Α, y Β y Α ) ΟΑ+ΟΒ Αν Μ µέσο του ΑΒ τότε ΟΜ= ή, y y Α + Β Α + Β Μ =, y Συντελεστής διεύθυνσης του ( ) y λ =, γι 0 εάν = 0 τότε =, y = + y ή = Μέτρο δινύσµτος ( ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 19

19 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ β = β συν(, β) εάν = 0 ή β = 0 τότε β = 0 Εάν = ( 1, y1), β = (, y) τότε β = 1 + y1 y Γωνί δινυσµάτων, β β 1 + y1 y συν(, β) = = β 1 + y1 + y Προβολή του στο β β = προβ β β, προβ = λ β β 0 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

20 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ = µ β, µ > 0 τότε β µ < 0 τότε β λ = λ β 1 1 det (, β y ) = 0 y = β = β β β = β β συν(, β) = 1 β συν, β = 1 β ( ) ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ λ λ = 1 β = 0 β 1 y1 y 0 συν, β = 0 + = ( ) ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Ο προσδιορισµός του ότν δεν γνωρίζω συντετγµένες γίνετι πό τη σχέση = ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ Τ σηµεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά ότν ΑΒ // ΑΓ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 1

21 ΕΥΘΕΙΑ y= λ + β, λ, β R λ > 0 y λ < 0 y y y y y β y = β 0 = 0 y y Εξίσωση ευθείς ότν γνωρίζω έν σηµείο της Α, y κι τον συντελεστή διεύθυνσης : ( ) 0 0 ( ) y y = λ 0 0 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

22 Η εξίσωση Α +Β y+γ= 0, Α, Β, Γ Rπριστάνει Α ευθεί ότν: Α 0ή Β 0. Τότε λ = Β Μ, y πό την ευθεί Απόστση του σηµείου ( ) Α +Β y+γ= 0 d Α 0 +Β y0+γ Μ = Α +Β (, ε) Εµβδόν τριγώνου ΑΒΓ : ( ΑΒΓ ) = det ( ΑΒ, ΑΓ) y ρ ΚΥΚΛΟΣ + = µε κέντρο ( 0,0) ( 0) ( 0) µε κέντρο (, y ) + y y = ρ Κ κι κτίν ρ 0 0 y y Κ κι κτίν ρ + +Α +Β +Γ= 0 εξίσωση κύκλου Α Β Κ Α +Β 4 Γ> 0 µε, Α +Β 4 Γ ρ = Μ ρ συνφ, ρ ηµφ νήκει στον κύκλο ( ) Εφπτοµένη του + y y = ρ = στο (, y ) y ρ Α : y = ρ κι ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 3

23 ΠΑΡΑΒΟΛΗ ρ y = ρ, Ε,0, : ρ δ = y ρ > 0 i ρ Ε,0 δ y y ρ< 0 i ρ Ε,0 y δ Α : Η εφπτοµένη της πρβολής στο ( 1, y1) y y= ρ ( + ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

24 ρ = ρ y, Ε 0,, : ρ δ y= y i ρ Ε 0, ρ > 0 δ y y ρ< 0 δ y i ρ Ε 0, Α : Η εφπτοµένη της πρβολής στο ( 1, y1) = ρ ( y+ y ) 1 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 5

25 y = β 1 ΥΠΕΡΒΟΛΗ µε άξον γ = + β γ β εκκεντρότητ : ε = = 1+ β σύµπτωτες: y=± β y= Ε ( γ,0) Ε ( γ,0) i i i i Α (,0) Α (,0) Μ : εφπτοµένη της υπερβολής στο (, y ) y y = β y y β y= ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

26 y = β 1 γ = + β ΥΠΕΡΒΟΛΗ µε άξον y y γ β εκκεντρότητ : ε = = 1+ σύµπτωτες: y=± β y= β Μ : εφπτοµένη της υπερβολής στο (, y ) y y = β y i Ε ( 0,γ) i i i y Α ( 0,) ( 0, ) Α ( 0, γ) Ε y= β 1 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 7

27 y + = 1, > β, β γ = β ΕΛΛΕΙΨΗ γ β εκκεντρότητ : ε = = 1 y Β ( 0,β) i Α (,0) i i i Ε ( γ,0) Ε ( γ,0) i Α (,0) i Β ( 0, β) y Μ : εφπτοµένη της έλλειψης στο (, y ) y y + = β ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

28 y + = 1, > β β γ = β γ β εκκεντρότητ : ε = = 1 y Α ( 0,) i i Ε ( 0,γ) Β ( β,0) Β ( β,0) i i Μ : εφπτοµένη της έλλειψης στο (, y ) y y + = β i y i ( 0, γ) Ε ( 0, ) Α 1 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 9

29 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τυτότητ ευκλείδεις διίρεσης β = κ + υ, 0 υ<,, β, κ, υ Ζ / β β = λ,, β, λ Ζ Εάν = κ+ 1, κ Ζ τότε = 8 λ+ 1, λ Ζ Το γινόµενο διδοχικών κερίων είνι άρτιος: + 1 = κ, κ Ζ ( ) Εάν / β κι β / γ τότε / γ Εάν / β κι / γ τότε / κ β + λ γ όπου κ, λ Ζ Εάν / β κι β / τότε = β Εάν /1 τότε = 1ή = 1 30 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

30 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ύνµη Coulomb ύνµη Coulomb: F c = k Έντση ηλεκτρικού πεδίου: q q 1 r F E = q Έντση σε πεδίο Coulomb: Ε= Κ Q r V Έντση σε οµογενές ηλεκτρ.πεδίο: E = l υνµικό ηλεκτρικού πεδίου: U A V A = κί W A VA = q q υνµικό σε πεδίο Coulomb: Q V A = K r W A ιφορά δυνµικού σε ηλεκτρ.πεδίο: V AB = V A -VB = q Έργο ηλεκτρικής πεδικής δύνµης : WA = q VA πό το Α στο W A B = q V A V Από το Α στο Β q1q Ηλεκτρική υνµική ενέργει συστήµτος : Uηλ = k r Έργο ηλεκτρικής πεδικής δύνµης : ( ) σηµεικών φορτίων Χωρητικότητ πυκνωτή: Q C= V B B ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 31

31 s Χωρητικότητ επίπεδου πυκνωτή: C = ε 0 (µε κενό) l s : C = εε 0 (µε υλικό) l Q Ενέργει φορτισµένου πυκνωτή: Uε = QV= CV = C q Έντση συνεχούς ηλεκτρ.ρεύµτος: I = t Αντίστση γωγού: V R= I l Νόµος ντίστσης γι µετλλικό γωγό: R= ρ s Ειδική ντίστση κι θερµοκρσί: ρθ = ρο ( 1+ θ) V Νόµος OHM γι µετλλικό γωγό: I = R 1 ος κνόνς Kirchhoff : Σε κάθε κόµβο ισχύει (Αρχή ιτήρησης Φορτίου) Σ ( Ιεισ ) =Σ( Ιεξ ) Σύνδεση ντιστάσεων σε σειρά (κοινή Ι): R ΟΛ = R1 + R R ν Σύνδεση ντιστάσεων πράλληλ (κοινή V) : = R R R R ΟΛ 1 ν 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

32 Ενέργει ηλεκτρικού ρεύµτος: W = VI t Νόµος Joule: Q= I Rt W Ισχύς (ορισµός): P= t Ισχύς σε ηλεκτρική συσκευή: P= VI V Ισχύς σε µετλλικό γωγό: P= I R= R W Ηλεκτρεγερτική δύνµη πηγής (ΗΕ ): E = ήe = q E Νόµος OHM γι κλειστό κύκλωµ: I = R Πολική τάση πηγής: VΠ =Ε Ι r Πρεχόµενη Ισχύς σε όλο το κύκλωµ: P= E I Κτνλισκόµενη Ισχύς στο εξωτερικό κύκλωµ: P V I = I R= EI I r εξ = Π Κτνλισκόµενη Ισχύς στο εσωτερικό της πηγής: P = I r εσ Έντση µγνητικού πεδίου: }ευθύγρµµου γωγού: B= K β}στο κέντρο κυκλικού γωγού: γ}σωληνοειδούς (στο κέντρο): µ I r ΟΛ π I B= Kµ N r N B Kµ 4π I l P I 0= (χωρίς πυρήν) N B= µ K µ4π I (µε πυρήν) l ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 33

33 ύνµη Laplace: F = BIlηµφ Μγνητική Ροή: Φ = BSσυν Νόµος επγωγής (Faraday): E Επγωγικό ρεύµ: I επ = R E επ ΟΛ Φ Νόµος Neumann: Q= N R ΟΛ επ Φ = N t Γρµµική Αρµονική Τλάντωση (ΓΑΤ): Εξίσωση ποµάκρυνσης: y= y0ηµωt Εξίσωση τχύτητς; Εξίσωση επιτάχυνσης: υ 0 = υ συνωt όπου υ 0 = ωy0 = ηµωtόπου 0 = ω y0 0 Στθερά επνφοράς: D= mω m Περίοδος της Γ.Α.Τ.: T = π D ύνµη επνφοράς: FΟΛ = Dy 1 υνµική ενέργει τλάντωσης: UT = Dy 1 Κινητική ενέργει τλάντωσης: K = mυ 1 Ολική ενέργει τλάντωσης: E = K + U T = Dy Περίοδος πλού εκκρεµούς: T = π l g 0 34 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

34 ΕΙ ΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΙΣΟΘΕΡΜΗ ΙΣΟΧΩΡΗ ΙΣΟΒΑΡΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ V nrt ln V Q W U Κτσττική εξίσωση ιδνικού ερίου: mολ ρ PV = nrt ή PV = RT ή P= RT M M 1 Σχέση πίεσης µε τχύτητες ερίων: p = ρυ 3 N Σχέση πίεσης µε µέση κινητική ενέργει: p= E 3 V Σχέση θερµοκρσίς µε µέση κινητική ενέργει: τ κ Τ = 3K Ενεργός τχύτητ µορίων: 3ΚΤ 3RT υ εν = υ = = m M Γρµµοµορικές ειδικές θερµότητες ιδνικού ερίου: Cv = R, C p = R, γ = 3 Σχέση C pκι C v : C = C R p v + V τ nrt ln 0 V nc v Τ 0 nc v Τ nc P Τ Α ΙΑΒΑΤΙΚΗ 0 ΚΥΚΛΙΚΗ QΟΛ = WΟΛ = εµβδό στο P V Ρ V ή nr Τ P τvτ P a V a 1 γ nc v Τ P a V Eκ ΝΟΜΟΙ ΑΕΡΙΩΝ = P V τ r τ Ρ Ρr = Τ Τ V a = T a Vr T Τ γ γ nc v P V = P V W = Q 0 ΟΛ ΟΛ a a r r a ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 35

35 Συντελεστής πόδοσης θερµικής µηχνής: Μηχνή Carnot: Q c = Q h Tc T συντελεστής πόδοσης µ. Carnot: h e c W Q e= ΟΛ ή e= 1 Q Q h h Tc = 1 T ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ (Ο Α) Αν U // E F Ε q : a= ηλ = {1} 0 m m υ = υ 0 + at {} 1 =υ 0 t+ at {3} B) Αν υ E : Σ Άξονς χ F = 0 Ε.Ο.Κ. υ =υ 0 {1} = υ t 0 {} 0 Άξονς y ΣF y = ma Eq= ma Eq a= {3} m υ y = at {4} 1 y= at {5} c h 36 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

36 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ (Ο.Μ.Π Α) Αν υ // B : 0 F = L 0 Ε.Ο.Κ Β) Αν B υ 0 : F L υ (ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ) ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ mυ Ακτίν οµλής κυκλικής κίνησης R= B q Περίοδος οµλής κυκλικής κίνησης πm T = B q Γ) 0<φ<90 ο : Ελικοειδής κίνηση Ακτίν έλικς: m R= υ. Περίοδος: B q Βήµ: β = υ // T = υ // πm B q πm T =. B q Επγωγική τάση σε ευθύγρµµο γωγό που κινείτι σε Ο.Μ.Π. κάθετ στις δυνµικές του γρµµές: E B επ= υ l Επγωγική τάση σε στρεφόµενο γωγό εντός Ο.Μ.Π.: 1 Eεπ = B ω l Ενλλσσόµενη τάση : ) στιγµιί τιµή : i= Iηµωt V β) πλάτος έντσης : I = R I γ) ενεργός έντση : I εν = ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 37

37 Νόµος Joule στο ενλλσσόµενο ρεύµ : Q= I Στιγµιί ισχύς : ρ =υ i W Μέση ισχύς : P= T εν R t Μέση ισχύς σε ντίστση : P= V εν I εν ή P = I εν R I ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ : EΕΠ ( ) = M t ( Π) Συντελεστής µοιβίς επγωγής πηνίων : NN 1 M= µµ A 0 l I ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ : Eυτ = L t Συντελεστής υτεπγωγής πηνίου : N A L= µµ 0 l Ενέργει στο µγνητικό πεδίο πηνίου : U B = 1/ Li Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α Σ Π ρ ο β ά δ ι σ µ στο Σχολείο Π ρ ό σ β σ η στο Πνεπιστήµιο 38 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

38 ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΙ Η ΙΑΜΟΡΙΑΚΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ υνάµεις διπόλου διπόλου(η ισχύς τους εξρτάτι πό τη διπολική ροπή των µορίων) υνάµεις δισποράς(η ισχύς τους εξρτάτι πό το Μr κι πό το σχήµ των µορίων) εσµός υδρογόνου υνάµεις ιόντος - διπόλου(η ισχύς τους εξρτάτι πό τη διπολική ροπή κι το µέγεθος των διπολικών µορίων κι πό το φορτίο κι το µέγεθος του ιόντος) Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΥΓΡΩΝ Ιξώδες Φύση υγρού Θερµοκρσί Επιφνεική τάση Φύση υγρού Τάση τµών Φύση υγρού Θερµοκρσί ΑΕΡΙΑ ΝΟΜΟΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ DALTON P A + P B + + P i = P ολ, όπου P A, P B,...P i η µερική πίεση που σκεί κάθε έριο Α, Β,..., i. Ισχύει, P i V = nrt ή P i = X. i P ολ, n i όπου Χ i = : γρµµοµορικό κλάσµ n ολ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 39

39 ΠΡΟΤΥΠΗ ΕΝΘΑΛΠΙΑ ΑΝΤΙ ΡΑΣΗΣ Ονοµάζετι: η ενθλπί Η σε πρότυπη κτάστση. ηλδή, θ = 5 ο C, P = 1atm κι γι διλύµτ C = 1M. Ισχύει, Η = Η προϊόντων - Η ντιδρώντων Εξρτάτι πό: τη φύση των ντιδρώντων τη φυσική κτάστση των ντιδρώντων κι προϊόντων τις συνθήκες πίεσης κι θερµοκρσίς Είδη πρότυπων ενθλπιών ο ο Σχηµτισµού ( Η f > 0 ή Η f < 0) Κύσης ( Η ο c < 0) Εξουδετέρωσης ( Η o n < 0) ΝΟΜΟΣ ΘΕΡΜΙ ΟΜΕΤΡΙΑΣ Η προσφερόµενη θερµότητ είνι νάλογη της νύψωσης της θερµοκρσίς. Ισχύει, : Q = mc Θ ή Q = (mc + C) Θ, όπου m: µάζ ουσίς σε g, c: η ειδική θερµοχωρητικότητ της ουσίς σε J. g -1. grad -1, C: η θερµοχωρητικότητ του οργάνου σε J. grad -1 Θ: η µετβολή της θερµοκρσίς σε ο C ή Κ ΝΟΜΟΙ ΘΕΡΜΟΧΗΜΕΙΑΣ LAVOISER LAPLACE: Α + ββ γγ + δ, Η 1 κι γγ + δ Α + ββ, Η Ισχύει, Η 1 = - Η Hess: Α Η1 Η Η3 Β Γ Η κι Α Ισχύει: Η = Η 1 + Η + Η 3 40 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

40 ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΑΝΤΙ ΡΑΣΗΣ Γι την ντίδρση: Α + ββ γγ + δ u = - 1 [ Α ] 1 [ Β ] 1 [ Γ ] 1 [ = = = ] : µέση τχύτητ t β t γ t δ t u= - 1 d[ A] 1 d[ B] 1 d[ Γ ] 1 d[ = = = ] : στιγµιί τχύτ dt β dt γ dt δ dt Πράγοντες που επηρεάζουν τχύτητ: Συγκέντρωση Πίεση γι έρι Επιφάνει επφής στερεών Θερµοκρσί Ακτινοβολί Κτλύτες Φύση ντιδρώντων ΝΟΜΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Γι την ντίδρση: Α + ββ γγ + δ U = k. [A] χ. [B] ψ, όπου k: στθερά τχύτητς κι εξρτάτι πό όλους τους πργοντες που επηρεάζουν την τχύτητ πλην της πίεσης κι της συγκέντρωσης, [Α], [Β]: οι συγκεντρώσεις των ντιδρώντων Α, Β σε mol. L -1 χ + ψ: η τάξη της ντίδρσης. Αν χ = κι ψ = β τότε η ντίδρση είνι πλή κι πργµτοποιείτι σε έν στάδιο. Αν χ ή ψ β τότε η ντίδρση είνι πολύπλοκη κι πργµτοποείτι σε περισσότερ στάδι. Στην περίπτωση υτή ο νόµος της τχύτητς κθορίζετι πό το πιο ργό στάδιο. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 41

41 ΝΟΜΟΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Γι την ντίδρση: Α + ββ γγ + δ στην κτάστση Χ.Ι. ισχύουν: γ δ K c = [ Γ ] [ ] κι K p = P β [ Α ] [ Β ] P P γ δ Γ P β A B Σχέση Κ c - Κ p : K p = K c (RT) n, όπου: n=(γ+δ) (+β) ΑΠΟ ΟΣΗ ΑΝΤΙ ΡΑΣΗΣ ποσότητ ουσίς που σχηµτίζετι πρκτικά = ποσ ό τητ ουσ ί ς πουθσχηµτιζ ό τν θεωρητικ ά Τιµές: 0 εως 1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗ ΘΕΣΗ Χ. Ι. Συγκέντρωση ντιδρώντων ή προϊόντων Πίεση γι έρι Θερµοκρσί 4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

42 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙ ΡΑΣΗΣ ΑΡΧΗ Le Chatelier: Αν µετβάλλουµε ένν πό τους πράγοντες που επηρεάζουν τη θέση Χ.Ι. η ντίδρση θ κτευθυνθεί προς τ εκεί που τείνει ν νιρέσει την επιφερόµενη µετβολή. Πηλίκο ντίδρσης: Q c = [ ] γ Γ [ ] [ Α] [ Β] Bρίσκουµε τη σχέση µετξύ K c κι Q c. Αν K c > Q c : η ντίδρση οδεύει προς τ δεξιά Αν K c < Q c : η ντίδρση οδεύει προς τ ριστερά Αν Κ c = Q c : τότε βρισκόµστε σε ισορροπί. ΟΞΕΙ ΩΣΗ ΑΝΑΓΩΓΗ Οξείδωση: ύξηση του Α.Ο.τόµου ή ιόντος Ανγωγή: µείωση του Α.Ο. τόµου ή ιόντος Οξειδωτικό σώµ: προκλεί οξείδωση κι νάγετι Ανγωγικό σώµ: προκλεί νγωγή κι οξειδώνετι ΟΞΕΙ ΟΑΝΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΕΙΣ Συνολική µετβολή Α.Ο. οξειδωτικού = Συνολική µετβολή Α.Ο. νγωγικού δ β ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ 43

43 ΟΞΕΙ ΩΣΗ ΜΕΤΑΛΛΩΝ ΜΕ ΟΞΕΙ ΩΤΙΚΑ ΟΞΕΑ Μ + H SO 4 θειικό άλς του Μ+SO +H O M + HNO 3 πυκνό νιτρικό άλς του Μ+ ΝΟ + Η Ο Μ + ΗΝΟ 3 ριό νιτρικό άλς του Μ + ΝΟ+ Η Ο ΟΞΕΙ ΩΣΗ ΑΜΕΤΑΛΛΩΝ ΜΕ ΟΞΕΙ ΩΤΙΚΑ ΟΞΕΑ C P S I (π θ)h SO 4 CO H 3 PO 4 SO - π. HNO 3 CO H 3 PO 4 H SO 4 HIO 3 ρ. HNO 3 - H 3 PO 4 H SO 4 - Βοηθήµτ Σηµειώσεις Συχνά διγωνίσµτ Φύλλ εργσίς 44 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ