Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Σ Ι Μ Ο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Σ Ι Μ Ο"

Transcript

1 ΣΜΖΜΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ ΔΠΣΔΜΒΡΗΟ 010 ΣΟΜΔΑ ΣΑΣΗΣΗΚΖ, ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΩΝ & ΔΠΗΥΔΗΡΖΗΑΚΖ ΔΡΔΤΝΑ Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Σ Ι Μ Ο ΘΕΜΑ 1 ν : Ζ εηαηξεία SSC θαηαζθεπάδεη έπηπια γξαθείνπ θαη έρεη ζπλάςεη έλα ζπκβόιαην ύςνπο επξώ γηα ηελ πξνκήζεηα ηνπ γξαθεηαθνύ εμνπιηζκνύ ελόο νξγαληζκνύ. ηε ζπκθσλία πξνβιέπνληαη παξαγγειίεο γηα ηξία είδε γξαθείσλ θαζέλα από ηα νπνία απαηηεί ζπγθεθξηκέλν ρξόλν επεμεξγαζίαο ζην ηκήκα μπινπξγείνπ θαη ζην ηκήκα βαθήο. Ο θαησηέξσ Πίλαθαο 1 παξαζέηεη ηα κεγέζε παξαγγειηώλ θαη ηνπο απαηηνύκελνπο ρξόλνπο αλά ηκήκα θαη αλά είδνο γξαθείνπ. ΠΙΝΑΚΑ 1 Γξαθείν 1 Γξαθείν Γξαθείν 3 Αξηζκόο γξαθείσλ πνπ έρνπλ παξαγγειζεί Απαηηνύκελνο ρξόλνο ζην ηκήκα μπινπξγείνπ (γηα έλα γξαθείν) ώξεο 1,5 ώξεο 3 ώξεο Απαηηνύκελνο ρξόλνο ζην ηκήκα βαθήο (γηα έλα γξαθείν) 1 ώξα ώξεο 1 ώξα Ζ εηαηξεία δελ δηαζέηεη ηνλ απαηηνύκελν ρξόλν γηα λα παξάγεη όιε ηελ παξαγγειία κέζα ζηελ πξνβιεπόκελε εκεξνκελία παξάδνζεο. Γηαζέηεη εξγαηνώξεο ζην ηκήκα μπινπξγείνπ θαη 5000 εξγαηνώξεο ζην ηκήκα βαθήο. Τπάξρεη ε ελαιιαθηηθή δπλαηόηεηα λα δνζνύλ ππεξγνιαβία (θαηαζθεπή από άιιε εηαηξεία) κέξνπο ηεο παξαγγειίαο. Σα ζηνηρεία θόζηνπο θαηαζθεπήο θαη ππεξγνιαβίαο αλά είδνο γξαθείνπ εθηίζεληαη ζηνλ παξαθάησ Πίλαθα : ΠΙΝΑΚΑ Γξαθείν 1 Γξαθείν Γξαθείν 3 Κόζηνο θαηαζθεπήο ελόο γξαθείνπ (επξώ) Κόζηνο ππεξγνιαβίαο ελόο γξαθείνπ (επξώ) Θεσξήζηε ηηο κεηαβιεηέο K i λα παξηζηνύλ ηνλ αξηζκό ησλ γξαθείσλ ηύπνπ i πνπ ζα θαηαζθεπαζηνύλ από ηελ SSC (i = 1,, 3) θαη ηηο κεηαβιεηέο Y i λα παξηζηνύλ ηνλ αξηζκό ησλ γξαθείσλ ηύπνπ i πνπ ζα δνζνύλ ππεξγνιαβία (i = 1,, 3). Ο αλαθνξά απνηειεζκάησλ ηνπ LINDO πνπ αθνινπζεί ζα ζαο βνεζήζεη λα απαληήζεηε ζηα εξσηήκαηα 1-5 (δηθαηνινγήζηε ηηο απαληήζεηο ζαο κε ζαθήλεηα ππνδεηθλύνληαο ηαπηόρξνλα ηα αληίζηνηρα ζηνηρεία ηεο αλαθνξάο απνηειεζκάησλ πνπ ρξεζηκνπνηήζαηε): LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST K K K Y Y Y ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ) ) ) ) ) RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE K K K Y INFINITY Y Y INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY INFINITY Να δηαηππώζεηε ην ζηόρν ηεο SSC θαη λα αλαπηύμεηε έλα κνληέιν γξακκηθνύ πξνγξακκαηηζκνύ, πνπ λα δύλαηαη λα βειηηζηνπνηήζεη ην ζηόρν απηό. Να πεξηγξάςεηε κε ζαθήλεηα θάζε ζηνηρείν ηνπ κνληέινπ. Πνηα είλαη ε άξηζηε ιύζε θαη πνηα ε άξηζηε ηηκή ηνπ κνληέινπ; Γηαηππώζηε ηα απνηειέζκαηα κε όξνπο ηεο εθθώλεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Πόζν είλαη ην θέξδνο ηεο SSC;. Τπνδείμηε ηξόπν γηα ηελ ελεξγνπνίεζε ηεο ππεξγνιαβίαο γηα ηα γξαθεία όισλ ησλ ηύπσλ (θάζε ηύπνο γξαθείνπ πξέπεη λα εμεηαζηεί ρσξηζηά). 3. Ζ εηαηξεία εμεηάδεη ην ελδερόκελν λα απμήζεη θαηά 500 ηηο εξγαηνώξεο ζε έλα από ηα δύν ηκήκαηα (μπινπξγείν ή βαθήο) κε θόζηνο 0000 επξώ. ε πνην ηκήκα ζπκθέξεη ηελ SSC λα δηαζέζεη ηηο επηπιένλ εξγαηνώξεο; Δμεγήζηε αλαιπηηθά. 4. Τπνζέζηε όηη ε δήηεζε γηα ηα γξαθεία ηύπνπ 1 πέθηεη ζηα 000 ηεκάρηα (κεηώλεηαη δειαδή θαηά 1000). Ζ κεηαβνιή απηή ζα απμήζεη ή ζα ειαηηώζεη ηα ζπλνιηθά έμνδα ηεο SSC; Δμεγήζηε αλαιπηηθά. 5. Τπνζέζηε όηη ε δήηεζε γηα ηα γξαθεία ηύπνπ 3 αλεβαίλεη ζηα 1000 ηεκάρηα (απμάλεηαη δειαδή θαηά 100). Ζ κεηαβνιή απηή ζα απμήζεη ή ζα ειαηηώζεη ηα ζπλνιηθά έμνδα ηεο SSC; Δμεγήζηε αλαιπηηθά.

2 ΘΕΜΑ ν : Ζ RMC Inc είλαη κηα κηθξή βηνκεραλία πνπ παξαζθεπάδεη ρεκηθά πξντόληα. ηελ παξαγσγηθή δηαδηθαζία πνπ καο ελδηαθέξεη, ηξεηο πξώηεο ύιεο αλακεηγλύνληαη πξνθεηκέλνπ λα παξαρζνύλ δύν πξντόληα, έλα πξνζζεηηθό βελδίλεο θη έλαο δηαιύηεο ρξσκάησλ. Κάζε ηόλνο ηνπ πξνζζεηηθνύ βελδίλεο πξνθύπηεη από ηε κείμε /5 ηόλσλ ηεο πξώηεο ύιεο 1 θαη 3/5 ηόλσλ ηεο ύιεο 3, ελώ ν έλαο ηόλνο ηνπ δηαιύηε ρξσκάησλ δεκηνπξγείηαη από ηε κίμε 1/ ηόλνπ ηεο πξώηεο ύιεο 1, 1/5 ηόλνπ ηεο ύιεο θαη 3/10 ηόλσλ ηεο πξώηεο ύιεο 3. Σν πξνζζεηηθό βελδίλεο απνθέξεη θαζαξό θέξδνο 40 αλά ηόλν θαη ν δηαιύηεο ρξσκάησλ 30 αλά ηόλν. Ζ παξαγσγή ηεο RMC θαζνξίδεηαη από ηελ πεξηνξηζκέλε δηαζεζηκόηεηα ησλ ηξηώλ πξώησλ πιώλ πνπ γηα ηελ ηξέρνπζα παξαγσγηθή δηαδηθαζία αλέξρνληαη, αληίζηνηρα, ζηνπο 0, 5 θαη 1 ηόλνπο. 1. Να δηακνξθώζεηε ην κνληέιν γξακκηθνύ πξνγξακκαηηζκνύ γηα ηνλ θαζνξηζκό ηνπ βέιηηζηνπ ζρεδίνπ παξαγσγήο πνπ κεγηζηνπνηεί ηα θέξδε ηεο βηνκεραλίαο. Να εμεγήζεηε κε ζαθήλεηα ηηο κεηαβιεηέο πνπ ρξεζηκνπνηείηε θαη ην θπζηθό λόεκα ησλ πεξηνξηζκώλ ηνπ κνληέινπ πνπ ζα θαηαζθεπάζεηε. Υξεζηκνπνηείζηε ηε γξαθηθή κέζνδν γηα λα ζθηαγξαθήζεηε ηελ εθηθηή πεξηνρή, λα βξείηε ηε βέιηηζηε ιύζε θαη ηελ άξηζηε ηηκή ηνπ κνληέινπ πνπ δηακνξθώζαηε. Σα απνηειέζκαηα ηεο επίιπζεο λα ηα δηαηππώζεηε κε όξνπο ηεο εθθώλεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο.. Τπνζέζηε όηη ε RMC βξίζθεη έλαλ ηξόπν λα αλεβάζεη ην θέξδνο από θάζε ηόλν ηνπ δηαιύηε ρξσκάησλ ζηα 50. Πώο ζα επεξεάζεη ε απόθαζε απηή ην ζρέδην παξαγσγήο θαη ην θέξδνο ηεο βηνκεραλίαο; (Δμεγήζηε κε ζαθήλεηα, ρσξίο λα ιύζεηε εθ λένπ ην πξόβιεκα). 3. Τπνζέζηε όηη, ιόγσ κηαο απεξγίαο, ε δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο ύιεο 3 αλέρεηαη ηειηθά ζηνπο 16 ηόλνπο. Πώο ζα επεξεάζεη ην γεγνλόο απηό ηα θέξδε ηεο RMC; (Δμεγήζηε κε ζαθήλεηα, ρσξίο λα ιύζεηε εθ λένπ ην πξόβιεκα). ΘΕΜΑ 3 ν : ε έλα εζηηαηόξην, ν ειάρηζηνο αξηζκόο ζεξβηηόξσλ πνπ απαηηνύληαη γηα θάζε κία από ηηο επηά εκέξεο ηεο εβδνκάδαο πνπ ιεηηνπξγεί, δίλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα: ΗΜΕΡΑ ΓΔΤΣ ΣΡ ΣΔΣ ΠΔΜ ΠΑΡ ΑΒ ΚΤΡ ΕΡΒΙΣΟΡΟΙ Θεσξείζηε όηη ζην ζπγθεθξηκέλν εζηηαηόξην, όινη νη ζεξβηηόξνη ακείβνληαη ην ίδην θη όηη θάζε ζεξβηηόξνο πξέπεη λα εξγάδεηαη πέληε ζπλερόκελεο εκέξεο θαη ζηε ζπλέρεηα λα παίξλεη ξεπό δύν εκεξώλ. Όκσο, ην εζηηαηόξην κπνξεί λα δεηήζεη από ηνπο ζεξβηηόξνπο λα δνπιέςνπλ κία επηπιένλ εκέξα ηελ εβδνκάδα, ηελ νπνία λα πιεξσζνύλ κε 6 αληί ησλ 50 αλά εκέξα πνπ ακείβνληαη γηα ηηο ππόινηπεο εκέξεο. Τπνδείμηε έλα π.γ.π. γηα ηελ εύξεζε ηνπ πξνγξάκκαηνο εξγαζίαο πνπ ειαρηζηνπνηεί ην ζπλνιηθό εβδνκαδηαίν θόζηνο ιεηηνπξγίαο ηνπ εζηηαηνξίνπ. ΘΕΜΑ 4 ν : Μηα εηαηξεία πξνγξακκαηίδεη ηελ παξαγσγή ησλ ζρνιηθώλ ηζαληώλ ηεο επόκελεο εκέξαο επηιύνληαο ην θαησηέξσ π.γ.π.: maximize z = 40x x (θέξδνο, ) θάησ από ηνπο πεξηνξηζκνύο (/5)x 1 + (1/)x 0 (ρξόλνο γηα θνπή θαη βαθή, hrs) (1/5)x 5 (ρξόλνο γηα ξάςηκν, hrs) (3/5)x 1 + (3/10)x 1 (ρξόλνο γηα έιεγρν θαη παθεηάξηζκα, hrs) x 1, x 0 (όπνπ x 1, x ην πιήζνο ησλ ηζαληώλ ηύπνπ Α θαη Β, αληίζηνηρα, πνπ πξέπεη λα παξαρζνύλ. Ο αιγόξηζκνο Simplex ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηελ επίιπζή ηνπ θαη ηεξκάηηζε ζην αθόινπζν tableau (x 3, x 4 θαη x 5 πεξηζώξηεο κεηαβιεηέο): B c B β P 1 P P 3 P 4 P 5 P /3 0-0/9 P /3 1 4/9 P /3 0 5/9 z / /9 1. ε πνην πνζό ζα έπξεπε λα αλέξρνληαη ηα θέξδε από εθάζηε ηζάληα ηύπνπ Α πξνθεηκέλνπ ε εηαηξεία λα αλαζεσξήζεη ην αλσηέξσ βέιηηζην ζρέδην παξαγσγήο;. Καηά πόζν ζα ειαηησζνύλ ηα ζπλνιηθά θέξδε ηεο εηαηξείαο, εάλ ν δηαζέζηκνο ρξόλνο γηα έιεγρν θαη παθεηάξηζκα θαηεβεί ζηηο 19 hrs (κεησζεί δειαδή θαηά hrs); 3. Καηά πόζν ζα απμάλνληαλ ηα ζπλνιηθά θέξδε ηεο εηαηξείαο γηα θάζε επηπιένλ ώξα πνπ ζα κπνξνύζε λα εμαζθαιηζηεί γηα θνπή θαη βαθή; Πνηνο είλαη ν κέγηζηνο αξηζκόο σξώλ πνπ ζα κπνξνύζε λα ρξεζηκνπνηεζεί κε απηή ηελ ηηκή;

3 ΘΕΜΑ 1 ν Εξώηεκα 1. Σν πξόβιεκα ηεο εηαηξείαο SSC είλαη έλα πξόβιεκα γξακκηθνύ πξνγξακκαηηζκνύ κε ζηόρν ηελ ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο θαηαζθεπήο. Ζ ηηκή πνπ παίξλεη ν ζηόρνο απηόο θαζνξίδεηαη από ην πιήζνο ησλ πξντόλησλ πνπ ζα θαηαζθεπάζεη ε ίδηα ε επηρείξεζε θαη από ην πιήζνο πνπ ζα αλαζέζεη ζηνλ ππεξγνιάβν. Με βάζε ηα παξαπάλσ: Σν 1 ν βήκα είλαη ν θαζνξηζκόο ησλ κεηαβιεηώλ απόθαζεο Οξίδνληαη έμη (6) κεηαβιεηέο νη: Κ 1 : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ 1 πνπ ζα θαηαζθεπαζζνύλ από ηελ SSC Κ : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ πνπ ζα θαηαζθεπαζζνύλ από ηελ SSC Κ 3 : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ 3 πνπ ζα θαηαζθεπαζζνύλ από ηελ SSC Τ 1 : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ 1 πνπ ζα δνζνύλ ππεξγνιαβία Τ : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ πνπ ζα δνζνύλ ππεξγνιαβία Τ 3 : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ 3 πνπ ζα δνζνύλ ππεξγνιαβία Σν ν βήκα είλαη ν θαζνξηζκόο ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηόρνο ηεο εηαηξείαο απνηειεί ε ειαρηζηνπνίεζε ηνπ ζπλνιηθνύ θόζηνπο θαη απηό εθθξάδεηαη σο: Μin Z= 500Κ Κ Κ Τ Τ Τ 3 Σν 3 ν βήκα είλαη ν θαζνξηζκόο ησλ πεξηνξηζκώλ Περιοριζμοί δσναμικόηηηας παραγφγής ηης SSC Ο ζπλνιηθόο αξηζκόο σξώλ θαηαζθεπήο γηα όια ηα είδε γξαθείσλ ζην μπινπξγείν δελ μεπεξλά ηηο δηαζέζηκεο ώξεο Κ 1 +1,5Κ +3Κ (1) Ο ζπλνιηθόο αξηζκόο σξώλ βαθήο γηα όια ηα είδε γξαθείσλ ζην βαθείν δελ μεπεξλά ηηο δηαζέζηκεο ώξεο 1Κ 1 +Κ +1Κ () Περιοριζμοί κάλσυης ηφν ποζοηήηφν ποσ έτοσν παραγγελθεί Ο αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ 1 πνπ έρνπλ παξαρζεί από ηελ SSC καδί κε ηνλ αξηζκό γξαθείσλ ηύπνπ 1 πνπ έρνπλ δνζεί ππεξγνιαβία ζα πξέπεη λα ηζνύηαη κε ηελ πνζόηεηα παξαγγειίαο γηα ηα γξαθεία ηύπνπ 1 (3.000 γξαθεία) Κ 1 +Τ 1 = (3) Με όκνην ηξόπν θαη γηα ηνπο άιινπο ηύπνπο γξαθείσλ Κ +Τ =.000 (4) Κ 3 +Τ 3 = 900 (5) Σν κνληέιν πξνο επίιπζε ζπλνςίδεηαη σο εμήο: Μin Z = 500Κ Κ +1300Κ Τ Τ +1450Τ 3 κε πεξηνξηζκνύο Κ 1 +1,5Κ +3Κ (1) 1Κ 1 +Κ +1Κ () Κ 1 +Τ 1 = 3000 (3) Κ +Τ = 000 (4) Κ 3 +Τ 3 = 900 (5) Κ 1,Κ,Κ 3,Τ 1,Τ,Τ 3 0 (πεξηνξηζκνί κε αξλεηηθόηεηαο) (6) ύκθσλα κε ηε βέιηηζηε ιύζε, ε SSC ζα θαηαζθεπάζεη 3000 γξαθεία ηύπνπ 1, 550 γξαθεία ηύπνπ, 900 γξαθεία ηύπνπ 3 θαη ζα δώζεη ππεξγνιαβία 1450 γξαθεία ηύπνπ. Σν ζπλνιηθό θόζηνο θαηαζθεπήο θαη ππεξγνιαβίαο αλέξρεηαη ζε επξώ. Σν θέξδνο ηεο αλέξρεηαη ζε = επξώ.

4 Εξώηεκα. Ζ ππεξγνιαβία θαηαζθεπάδεη γξαθεία ηύπνπ. Γηα ηα γξαθεία ηύπνπ 1 ε ππεξγνιαβία έρεη θόζηνο επθαηξίαο 40 θαη γηα ηα γξαθεία ηύπνπ 3, 80. Δπνκέλσο ην θόζηνο ππεξγνιαβίαο ελόο γξαθείνπ ηύπνπ 1 πξέπεη λα ειαηησζεί ηνπιάρηζηνλ θαηά 40 επξώ πξηλ ε ππεξγνιαβία γηα απηά ελεξγνπνηεζεί (ην θόζηνο λα είλαη ην πνιύ 570 επξώ), ελώ, ην θόζηνο ππεξγνιαβίαο ελόο γξαθείνπ ηύπνπ 3 πξέπεη λα ειαηησζεί ηνπιάρηζηνλ θαηά 80 επξώ (ην θόζηνο λα είλαη ην πνιύ 1370 επξώ). Εξώηεκα 3. ύκθσλα κε ηελ αλαθνξά επαηζζεζίαο, ε επηρείξεζε δελ έρεη ζπκθέξνλ λα απμήζεη ηηο ώξεο μπινπξγείνπ επεηδή από ηηο δηαζέζηκεο θαηαλαιώλεη 9.55, έρεη δειαδή αδξαλή παξαγσγηθή δπλακηθόηεηα θαη ε δπηθή ηηκή ησλ σξώλ μπινπξγείνπ είλαη κεδεληθή. Αληίζεηα, ζα είρε ζπκθέξνλ λα απμήζεη ηηο ώξεο ηνπ βαθείνπ όπνπ όπσο βιέπνπκε εμαληινύληαη θαη ε δπηθή ηηκή είλαη -70 επξώ γηα αύμεζε κέρξη θαη 633,33 επηπιένλ ώξεο. Γειαδή γηα θάζε επηπιένλ δηαζέζηκε ώξα κέρξη θαη 633 επηπιένλ ώξεο πεξίπνπ, ε SSC ζα κεηώλεη ην θόζηνο ηεο θαηά 70 επξώ αλά επηπιένλ δηαζέζηκε ώξα. Ζ πξόηαζε είλαη λα απνθηήζεη 500 επηπιένλ ώξεο κε θόζηνο 40 επξώ ηελ ώξα (0.000 επξώ ζπλνιηθά) νπόηε ηειηθά ζα έρεη κείσζε θόζηνπο θαηά 70*500 = = επξώ. Άξα ην θόζηνο ζα κεησζεί θαηά επξώ δειαδή ζα γίλεη θαη ην λέν θέξδνο ηεο ζα είλαη = επξώ. Εξώηεκα 4. Ζ δπηθή ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ 3 ν πεξηνξηζκό είλαη -570 κε εύξνο εθηθηόηεηαο ην δηάζηεκα [100, 3380]. Δπνκέλσο, γηα θάζε ιηγόηεξν γξαθείν ηύπνπ 1 ηνπ νπνίνπ ε SSC έρεη εμαζθαιίζεη ηελ παξαγγειία, κέρξη ηνπ πιήζνπο ησλ 100 γξαθείσλ, ζα θέξδηδε 570. Έηζη γηα εμαζθαιηζκέλεο πσιήζεηο 000 γξαθείσλ ηύπνπ 1, ηα έμνδα ηεο Tucker ζα ειαηηώλνληαλ θαηά 1000*570 = θαη ζα έπεθηαλ ζηα Εξώηεκα 5. Ζ δπηθή ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ 5 ν πεξηνξηζκό είλαη κε εύξνο εθηθηόηεηαο ην δηάζηεκα [0, 1111,11]. Δπνκέλσο, γηα θάζε επηπιένλ γξαθείν ηύπνπ 3 ηνπ νπνίνπ ε SSC έρεη εμαζθαιίζεη ηελ παξαγγειία, κέρξη ηνπ πιήζνπο ησλ 1111 πεξίπνπ γξαθείσλ, ζα επηβαξπλόηαλ κε Έηζη γηα εμαζθαιηζκέλεο πσιήζεηο 1000 γξαθείσλ ηύπνπ 3, ηα έμνδα ηεο Tucker ζα απμάλνληαλ θαηά 100*1370 = θαη ζα έθηαλαλ ζηα

5 ΘΕΜΑ ν Εξώηεκα 1 Ζ βηνκεραλία πξέπεη λα θαζνξίζεη ηηο πνζόηεηεο παξαγσγήο ηνπ πξνζζεηηθνύ βελδίλεο θαη ηνπ δηαιύηε ρξσκάησλ (κεηαβιεηέο απόθαζεο) έηζη ώζηε λα κεγηζηνπνηήζεη ην θέξδνο (ζηόρνο), ιακβάλνληαο ππόςε ηηο δηαζέζηκεο πνζόηεηεο ησλ ηξηώλ πξώησλ πιώλ (πεξηνξηζκνί). Γηα λα κνξθνπνηήζνπκε ην καζεκαηηθό κνληέιν ηνπ πξνβιήκαηνο, πξέπεη λα νξίζνπκε ζπκβνιηθά ηηο κεηαβιεηέο απόθαζεο θαη ζηε ζπλέρεηα λα θαηαγξάςνπκε, σο ζπλαξηήζεηο ησλ κεηαβιεηώλ απηώλ, ην ζηόρν θαη ηνπο πεξηνξηζκνύο. Μεηαβιεηέο. ύκθσλα κε ηα παξαπάλσ, κεηαβιεηέο απόθαζεο είλαη: x 1 : πνζόηεηα παξαγσγήο ηνπ πξνζζεηηθνύ βελδίλεο (ζε ηόλνπο) x : πνζόηεηα παξαγσγήο ηνπ δηαιύηε ρξσκάησλ (ζε ηόλνπο) ηόρνο (αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε). Σν ζπλνιηθό θέξδνο ηεο βηνκεραλίαο από ηελ παξαγσγή θαη πώιεζε x 1 ηόλσλ πξνζζεηηθνύ βελδίλεο θαη x ηόλσλ δηαιύηε ρξσκάησλ είλαη 40x x Δπξώ. Καηά ζπλέπεηα, ε αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε ηνπ πξνβιήκαηνο πνπ αλαθέξεηαη ζηε κεγηζηνπνίεζε ηνπ ζπλνιηθνύ θέξδνπο είλαη ε: max Z = 40x 1 +30x (ζε Δπξώ). Πεξηνξηζκνί. Οη πεξηνξηζκνί ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από: i) Σε δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο 1: x 1 1 x 0 5 ii) Σε δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο : 1 5 x 5 iii) Σε δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο 3: 3 x 3 x iv) Σε κε-αξλεηηθόηεηα ησλ κεηαβιεηώλ απόθαζεο: x 1, x 0 πλνςίδνληαο, ην καζεκαηηθό κνληέιν γηα ην ππό κειέηε πξόβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, αθνξά ηελ εύξεζε ηηκώλ γηα ηηο κεηαβιεηέο x 1 θαη x έηζη ώζηε λα κεγηζηνπνηείηαη ην θαζαξό θέξδνο: max Z = 40x 1 +30x θάησ από ηνπο πεξηνξηζκνύο: 1 (1) x1 x 5 0 (δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο 1) () 1 x 5 5 (δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο ) 3 3 (3) x1 x (δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο 3) (4) x 1, x 0 (θπζηθνί πεξηνξηζκνί) Γηα ηε γξαθηθή επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο ραξάζζνπκε ηηο επζείεο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνπο ηξεηο ιεηηνπξγηθνύο πεξηνξηζκνύο ηνπ πξνβιήκαηνο, ζην πξώην ηεηαξηεκόξην ελόο νξζνθαλνληθνύ ζπζηήκαηνο αμόλσλ (αθνύ είλαη x 1, x 0).

6 Ζ εθηθηή πεξηνρή ηνπ πξνβιήκαηνο είλαη ην θπξηό πνιύγσλν ΑΒΓΓΔ, πνπ πξνθύπηεη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνπο πεξηνξηζκνύο (1), () θαη (3). Ζ θνξπθή Β(35, 0) πξνζδηνξίδεηαη σο ε ηνκή ηνπ ηξίηνπ πεξηνξηζκνύ κε ηνλ νξηδόληην άμνλα (x = 0). Ζ θνξπθή Γ πξνζδηνξίδεηαη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνλ πξώην θαη ηνλ ηξίην πεξηνξηζκό θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο (5, 0) πξνθύπηνπλ από ηελ επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο 0.4x x = 0 θαη 0.6x x = 1. Παξόκνηα, ε θνξπθή Γ πξνζδηνξίδεηαη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνλ πξώην θαη ηνλ δεύηεξν πεξηνξηζκό θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο (18.75, 5) πξνθύπηνπλ από ηελ επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο 0.4x x = 0 θαη 0.x = 5. Σέινο, νη ζπληεηαγκέλεο (0, 5) ηεο θνξπθήο Δ πξνθύπηνπλ από ηελ ηνκή ηνπ νπ πεξηνξηζκνύ κε ηνλ θάζεην άμνλα. Ζ Ο ππνινγηζκόο ηεο ηηκήο ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο Z = 40x x ζε θάζε θνξπθή ηεο εθηθηήο πεξηνρήο, νδεγεί ζηελ εύξεζε ηεο βέιηηζηεο ιύζεο (θνξπθή Γ). Κνξπθή Σηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο Α(0, 0) 0 Β(35, 0) 1400 Γ(5, 0) 1600 Γ(18.75, 5) 1500 Δ(0, 5) 750 πλεπώο ε βηνκεραλία πξέπεη λα παξαζθεπάδεη 5 ηόλνπο πξνζζεηηθνύ βελδίλεο θαη 0 ηόλνπο δηαιύηε ρξσκάησλ κε ην θέξδνο λα αλέξρεηαη ζε 1600 Δπξώ. Με απηό ην πιάλν παξαγσγήο εμαληιείηαη νη δηαζέζηκεο πξώηεο ύιεο 1 θαη 3, ελώ από ηελ ε πξώηε ύιε ρξεζηκνπνηνύληαη νη 4 ηόλνη, ελώ 1 ηόλνο κέλεη αδηάζεηνο. Εξώηεκα Απηό ζεκαίλεη όηη ζα έρνπκε c = 50. Πξνρσξάκε ζε αλάιπζε επαηζζεζίαο ηνπ αληηθεηκεληθνύ ζπληειεζηή c. Όζν ε επζεία z πεξηζηξέθεηαη κεηαμύ ησλ πεξηνξηζηηθώλ επζεηώλ (1) θαη (3) ην ζεκείν Γ εμαθνινπζεί λα είλαη ε βέιηηζηε ιύζε:

7 θιίζε πεξηνξηζηηθήο επζείαο (3) θιίζε επζείαο z θιίζε πεξηνξηζηηθήο επζείαο (1) 3 5 c c c1 c πνπ γηα c 1 = 40 δίλεη 0 c 50. Δπνκέλσο γηα c = 50, ε επζεία z ζα ηαπηηζηεί κε ηελ πεξηνξηζηηθή επζεία (1), θαη ην πξόβιεκα ζα έρεη ηηο άπεηξεο ιύζεηο πνπ νξίδεη ην επζύγξακκν ηκήκα ΓΓ. Σέινο, ην ζπλνιηθό θέξδνο ζα απμεζεί θαηά (50-30) 0 = 400 θαη ζα θηάζεη ηα 000 Δπξώ. Εξώηεκα 3 Πξέπεη λα ππνινγηζηεί ε δπηθή ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ 3ν πεξηνξηζκό, αθνύ πξώηα εληνπίζνπκε ην εύξνο εθηθηόηεηάο ηνπ. Από ην ζρήκα βιέπνπκε όηη καο ελδηαθέξεη λα ππνινγίζνπκε ηε κεηαβνιή ηνπ b 3 ηελ νπνία πξνθαιεί ε παξάιιειε κεηαηόπηζε ηεο πεξηνξηζηηθήο επζείαο (3) πάλσ ζην επζύγξακκν ηκήκα ΕΓ: Ε: 3 (50) 3 (0) Γ 3 (18.75) 3 (5) Δπνκέλσο ην εύξνο εθηθηόηεηαο ηνπ 3νπ πεξηνξηζκνύ είλαη ην δηάζηεκα (18.75, 30). Ζ ηηκή b 3 = 16 πνπ δόζεθε, είλαη έμσ από απηό ην δηάζηεκα, θη άξα δελ κπνξνύκε λα απαληήζνπκε ζην εξώηεκα κε ηελ αλάιπζε επαηζζεζίαο, ρξεηαδόκαζηε παξακεηξηθή αλάιπζε.

8 ΘΕΜΑ 3 ν Θεσξώληαο όηη ε παξαπάλσ εβδνκάδα είλαη κία ηππηθή εβδνκάδα, νξίδνπκε λα είλαη x i ν αξηζκόο ησλ ζεξβηηόξσλ πνπ μεθηλνύλ ηελ πελζήκεξε εβδνκαδηαία βάξδηα εξγαζίαο ηνπο ηελ i-εκέξα (i=1 = Γεπηέξα, i= = Σξίηε,..., i=7 = Κπξηαθή) θαη y i ν αξηζκόο ησλ ζεξβηηόξσλ πνπ είραλ έρνπλ ξεπό ηελ i-εκέξα θαη ηνπο δεηήζεθε λα δνπιέςνπλ. Σν πξνζσπηθό κε πξώηε εκέξα εξγαζίαο ηε Γεπηέξα, ζα ζπλερίζεη λα εξγάδεηαη κέρξη θαη ηελ Παξαζθεπή (δειαδή, ζα έρνπλ «ξεπό» άββαην θαη Κπξηαθή). Σα άηνκα πνπ μεθηλνύλ κε πξώηε εκέξα εξγαζίαο ηελ Σξίηε, εξγάδνληαη κέρξη θαη ην άββαην (θαη έρνπλ «ξεπό» Κπξηαθή θαη Γεπηέξα), θ.ν.θ. Λόγσ ηεο εβδνκαδηαίαο θπθιηθόηεηαο θαη ηεο ζπλερνύο ιεηηνπξγίαο ηνπ εζηηαηνξίνπ, αλ πάξνπκε κία ηπραία εκέξα, ηελ Παξαζθεπή γηα παξάδεηγκα, ηόηε ζα δηαπηζηώζνπκε όηη ζα εξγάδνληαη ζην εζηηαηόξην νη x 1 ζεξβηηόξνη πνπ έπηαζαλ δνπιεηά ηε Γεπηέξα, νη x πνπ έπηαζαλ δνπιεηά ηελ Σξίηε, νη x 3 πνπ μεθίλεζαλ λα εξγάδνληαη ηελ Σεηάξηε, νη x 4 ζεξβηηόξνη ηεο Πέκπηεο θαη ηέινο νη x 5 ζεξβηηόξνη πνπ μεθίλεζαλ εξγαζία ηελ Παξαζθεπή. Δπηπιένλ, παξέρεηαη ε δπλαηόηεηα εξγαζίαο ζε άιινπο y 5 πνπ είραλ ξεπό ηελ Παξαζθεπή θαη ηνπο δεηήζεθε λα δνπιέςνπλ. πλεπώο, νη πιήζνπο x l +x +x 3 +x 4 +x 5 +y 5 ππάιιεινη πνπ εξγάδνληαη ηελ Παξαζθεπή, πξέπεη λα θαιύπηνπλ ηε δήηεζε ησλ 14 ζεξβηηόξσλ πνπ απαηηνύληαη: x l + x + x 3 + x 4 + x 5 + y 5 14 (Παξαζθεπή). Δπηπιένλ, νη y 5 πνπ εξγάδνληαη ελώ είραλ ξεπό ηελ Παξαζθεπή, μεθίλεζαλ ηελ εξγαζία ηνπο ην άββαην ή ηελ Κπξηαθή, θη άξα ζα πξέπεη: y 5 x 6 + x 7 (Παξαζθεπή). Οκνίσο, πξνθύπηνπλ θαη νη πεξηνξηζκνί γηα ηηο ππόινηπεο εκέξεο ηεο εβδνκάδνο: x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + y 6 16 θαη y 6 x 7 + x 1 (άββαην), x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + y 7 11 θαη y 7 x 1 + x (Κπξηαθή), x 1 + x 4 + x 5 + x y 1 17 θαη y 1 x + x 3 (Γεπηέξα), x 1 + x + x 5 + x 6 + x 7 + y 13 θαη y x 3 + x 4 (Σξίηε), x 1 + x + x 3 + x 6 + x 7 + y 3 15 θαη y 3 x 4 + x 5 (Σεηάξηε), x 1 + x + x 3 + x 4 + x 7 + y 4 19 θαη y 4 x 5 + x 6 (Πέκπηε), κε x i, y i 0 (i=l,, 3, 4, 5, 6, 7). Σν θόζηνο εξγαζίαο κηαο εκέξαο ζρεκαηίδεηαη από ηελ ακνηβή ησλ εξγαδνκέλσλ πνπ εξγάδνληαη ηε βάξδηα ηνπο ( 50 αλά εξγαδόκελν) θαη ηελ ακνηβή εθείλσλ πνπ δνπιεύνπλ ην ξεπό ηνπο ( 6 αλά εξγαδόκελν). Γεδνκέλνπ όηη θάζε ζεξβηηόξνο εξγάδεηαη πέληε εκέξεο, ην ζπλνιηθό εβδνκαδηαίν θόζηνο πνπ ζέινπκε λα ειαρηζηνπνηήζνπκε (αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε) είλαη: minimize z= 5x50(x 1 +x +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 ) + 6(y 1 +y +y 3 +y 4 +y 5 +y 6 +y 7 ) εκείσζε Ζ επίιπζε ηνπ κνληέινπ δίλεη x 1 = 8, x = 0, x 3 =, x 4 = 4, x 5 = 0, x 6 = 5, x 7 = 0, y 1 = 0, y = 0, y 3 = 0, y 4 = 5, y 5 = 0, y 6 = 5, y 7 = 0 κε ειάρηζηε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο z= 5,370. Σν ζπλνιηθό πιήζνο εξγαδνκέλσλ αλέξρεηαη ζε 19.

9 ΘΕΜΑ 4 ν Εξώηεκα 1 Γηα λα κεηαβιεζεί ε βέιηηζηε ιύζε ζα πξέπεη ν αληηθεηκεληθόο ζπληειεζηήο c 1 λα βξεζεί εθηόο ησλ νξίσλ πνπ πξνζδηνξίδεη ην εύξνο αξηζηόηεηάο ηνπ. Ζ x 1 είλαη κία εθ ησλ βαζηθώλ κεηαβιεηώλ ηεο βέιηηζηεο ιύζεο. Έζησ cˆ c. Σόηε ην ηειηθό tableau δηακνξθώλεηαη σο αθνινύζσο: Γ B c B β P 1 P P 3 P 4 P 5 P /3 0-0/9 P /3 1 4/9 P 1 40+Γ /3 0 5/9 z Γ /3 -(5/3)Γ 0 400/9 +(5/9)Γ Γηα λα εμαθνινπζεί ε δνζείζα ιύζε λα είλαη ε βέιηηζηε αξθεί θαη πξέπεη ε δηακνξθσζείζα γξακκή ησλ z j c j λα είλαη κε αξλεηηθή. Δπνκέλσο, αξθεί θαη πξέπεη πνπ νδεγνύλ ζην ζπκπέξαζκα όηη Λακβάλνληαο ππόςε ην γεγνλόο όηη c 1 = 40, νδεγνύκαζηε ζην ζπκπέξαζκα όηη ην δεηνύκελν εύξνο αξηζηόηεηαο είλαη ην δηάζηεκα 4, 60. πλεπώο, ην θέξδνο από θάζε ηζάληα ηύπνπ Α πξέπεη λα θαηέβεη ρακειόηεξα από 4 επξώ ή λα αλέβεη πεξηζζόηεξν από 60 επξώ πξνθεηκέλνπ ην βέιηηζην ζρέδην παξαγσγήο λα αλαζεσξεζεί Εξώηεκα Ζ αξρηθή βάζε ζηε δηαδηθαζία επίιπζεο κε ηε κέζνδν Simplex ζρεκαηηδόηαλ από ηα δηαλύζκαηα P 3, P 4, P 5. Δπνκέλσο ε δπηθή ηηκή ηνπ 3νπ πεξηνξηζκνύ, πνπ παξηζηά ηελ αμία κηαο ώξαο γηα έιεγρν θαη παθεηάξηζκα, ηζνύηαη κε (400/9). Γειαδή γηα θάζε ιηγόηεξε ώξα ειέγρνπ/παθεηαξίζκαηνο ηα θέξδε ηεο εηαηξείαο ζα ειαηηώλνληαη θαηά (400/9). Δπηπιένλ, πξέπεη λα ππνινγηζηεί ην εύξνο εθηθηόηεηαο ηνπ δεμηνύ κέινπο ηνπ 3νπ πεξηνξηζκνύ. Έζησ bˆ 3 b 3. Ζ εθηθηόηεηα εμαζθαιίδεηαη εάλ max, min Καηά ζπλέπεηα, ηα θέξδε ηεο εηαηξείαο ζα ειαηησζνύλ θαηά (400/9) Εξώηεκα 3 Ζ αξρηθή βάζε ζηε δηαδηθαζία επίιπζεο κε ηε κέζνδν Simplex ζρεκαηηδόηαλ από ηα δηαλύζκαηα P 3, P 4, P 5. Δπνκέλσο ε δπηθή ηηκή ηνπ 1νπ πεξηνξηζκνύ, πνπ παξηζηά ηελ αμία κηαο ώξαο θνπή θαη βαθή, ηζνύηαη κε (100/3). Γειαδή γηα θάζε επηπιένλ ώξα θνπήο/βαθήο ηα θέξδε ηεο εηαηξείαο ζα απμάλνπλ θαηά (100/3). Δπηπιένλ, πξέπεη λα ππνινγηζηεί ην εύξνο εθηθηόηεηαο ηνπ δεμηνύ κέινπο ηνπ 1νπ πεξηνξηζκνύ. Έζησ bˆ 1 b 1. Ζ εθηθηόηεηα εμαζθαιίδεηαη εάλ

10 0 1 5 max min, Καηά ζπλέπεηα, ε εηαηξεία κπνξεί λα πξνκεζεπηεί ην πνιύ 1.5 επηπιένλ ώξεο θνπήο/βαθήο θαηαβάιινληαο κέρξη ηνπ πνζνύ ησλ (100/3) αλά ώξα.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Σ Ι Μ Ο

Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Σ Ι Μ Ο ΣΜΖΜΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ ΗΟΤΝΗΟ 00 ΣΟΜΔΑ ΣΑΣΗΣΗΚΖ, ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΩΝ & ΔΠΗΥΔΗΡΖΗΑΚΖ ΔΡΔΤΝΑ Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Σ Ι Μ Ο ΘΕΜΑ ο : Ζ Tucker Inc παξάγεη αληξηθά θνζηνύκηα θαη αληξηθά παιηό. Ζ παξαγσγή

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

Αντισταθμιστική ανάλυση

Αντισταθμιστική ανάλυση Θεσξήζηε έλαλ αιγόξηζκν Α πνπ ρξεζηκνπνηεί κηα δνκή δεδνκέλσλ Γ : Καηά ηε δηάξθεηα εθηέιεζεο ηνπ Α ε Γ πξαγκαηνπνηεί κία αθνινπζία από πξάμεηο. Παξάδεηγκα: Θπκεζείηε ην πξόβιεκα ηεο εύξεζεο-έλσζεο Δίρακε

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ ΘΕΜ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΚΕΔΟΝΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜ ΕΦΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ Σελικέρ εξετάσειρ Σετάπτη 21 Ιανοςαπίος 2009 13:00-16:00 Έζησ ν θόζκνο ηεο ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Αιγόξηζκνη 2.2.7.4 Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Υ 1 Άζθεζε 34 ζει 53 Έλα ςεθηαθό θσηνγξαθηθό άικπνπκ έρεη απνζεθεπηηθό ρώξν N Mbytes. Να αλαπηύμεηε

Διαβάστε περισσότερα

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access) Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ 1 Δίδη καμπσλών κόζηοσς Μηα θακπύιε ζπλνιηθνύ θόζηνπο είλαη ε γξαθηθή απεηθόληζε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ ζπλνιηθνύ θόζηνπο ηεο επηρείξεζεο. Μηα θακπύιε κεηαβιεηνύ θόζηνπο είλαη ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67)

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Γηα λα επαλαθέξεηε ην FritzBox Fon WLAN 7140 ζηηο πξνεπηιεγκέλεο ηνπ ξπζκίζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΣΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ

ΔΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΣΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΔΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΣΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ Πξόγξακκα Σπνπδώλ: ΓΙΟΙΚΗΗ ΔΠΙΥΔΙΡΗΔΩΝ θαη ΟΡΓΑΝΙΜΩΝ Θεκαηηθή Δλόηεηα: ΓΔΟ13 Πνζνηηθέο Μέζνδνη Αθαδεκατθό Έηνο: 2009-10 Σέηαξηε Γξαπηή Δξγαζία ζηελ Δπηρεηξεζηαθή Έξεπλα Γεληθέο

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Επιχειρησιακή Έρευνα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Επιχειρησιακή Έρευνα Επαναληπτικές Ασκήσεις Επιχειρησιακή Έρευνα 2016-17 1 η Άσκηση Έστω το παρακάτω πρόγραμμα γραμμικού προγραμματισμού: min 6A + 4B subject to 2Α + Β 12 Α + Β 10 Β 4 Α, Β, 0 1. Διατυπώστε την τυπική μορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΙNCOFRUIT - (HELLAS).

ΙNCOFRUIT - (HELLAS). Πξνο ΟΛΑ ΤΑ ΜΔΛΗ Κε Σπλάδειθε Θέκα: Ιζπαλία & Γεξκαλία 5 ε ΔΒΓΟΜΑΓΑ 2011 (31 Ιαλ έσο 30 Φεβξ.2011) Παξαζέηνπκε θαησηέξσ: Αλαζθόπεζε ηεο 4 εο εβδνκάδνο 2011 κε ηηο ηηκέο ησλ εζπεξηδνεηδώλ πνπ δηακνξθώζεθαλ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Τρίπολη 06/07/2007 Τα θέμαηα 1-5 είναι σποτρεωηικά και έτοσν ηοσς ίδιοσς (ίζοσς) ζσνηελεζηές βαρύηηηας Το θέμα 6 δίνει επιπλέον βαθμούς με βαρύηηηα 10% για βεληίωζη ηης βαθμολογίας ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα) 1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα.

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα. Οι Πανελλαδικέρ Δξεηάζειρ για ηην ειζαγωγή ζηην ηπιηοβάθμια εκπαίδεςζη θα ππαγμαηοποιηθούν ππιν ηιρ απολςηήπιερ ενδοζσολικέρ εξεηάζειρ ηων μαθηηών και ηων μαθηηπιών. Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Κοιμωμικά δίκτυα (multiplex network) Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Facebook? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην LinkedIn? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Twitter? Αεροπορικές γραμμές της Ευρώπης(multiplex

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 10 Ολιγοπώλιο

Κεθάλαιο 10 Ολιγοπώλιο Κεθάλαιο 10 Ολιγοπώλιο 1 Ολιγοπώλιο Έλα κνλνπώιην είλαη κηα αγνξά πνπ απνηειείηαη από κηα θαη κόλν επηρείξεζε. Έλα δπνπώιην είλαη κηα αγνξά πνπ απνηειείηαη από δπν επηρεηξήζεηο. Έλα νιηγνπώιην είλαη κηα

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

Α Καθοπιζμόρ απμοδιοηήηυν - 1 επικεθαλήρ 1. Γ Αςηοτία ζηη ζήπαγγα Β 1 επικεθαλήρ εξ. ζηελεσορ. Ε Ποζοηική ανάλςζη Γ 3 εξ.

Α Καθοπιζμόρ απμοδιοηήηυν - 1 επικεθαλήρ 1. Γ Αςηοτία ζηη ζήπαγγα Β 1 επικεθαλήρ εξ. ζηελεσορ. Ε Ποζοηική ανάλςζη Γ 3 εξ. Άσκηση cash flow tunnel Δίζηε επικεθαλήρ ηηρ ομάδαρ διασείπιζηρ κινδύνος πος αζσολείηαι με ηη λειηοςπγική ανάλςζη κινδύνυν μεγάληρ εηαιπείαρ διασείπιζηρ αςηοκινηηοδπόμυν. Έσεηε να παπαδώζεηε μελέηη πος

Διαβάστε περισσότερα

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ T A E K W O N D O Δ. ΠπθαξΨο ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ ΦΠΗΘΝΘΔΟΑΞΔΗΑ Ο Ρ Ι Μ Ο Φπζη(θ)νζεξαπεΫα εϋλαη ε επηζηϊκε, ε νπνϋα κόλν κε θπζηθψ κωζα θαη κεζόδνπο πξνζπαζεϋ λα ζεξαπεύζεη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ Πεξηερόκελα Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά Καηαγξαθή Ώξαο πγρξνληζκόο πζηήκαηνο Παξνπζίαζε πζηήκαηνο Πηζαλά ελάξηα Υξήζεο 2 Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων

Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων (https://weeman.inf.ethz.ch/particletracker/) Τν Plugin particle tracker κπνξεί λα αληρλεύζεη απηόκαηα ηα ζσκαηίδηα πνπ θηλνύληαη,

Διαβάστε περισσότερα

Κογιζηική Ιόζηοσς Ενόηηηα 2: Ιαηά Παραγγελία Ιοζηολόγηζη- ΑΣΙΗΣΕΘΣ ΛΕΚΕΤΗΣ

Κογιζηική Ιόζηοσς Ενόηηηα 2: Ιαηά Παραγγελία Ιοζηολόγηζη- ΑΣΙΗΣΕΘΣ ΛΕΚΕΤΗΣ Άζκηζη 1 Κογιζηική Ιόζηοσς Ενόηηηα 2: Ιαηά Παραγγελία Ιοζηολόγηζη- ΑΣΙΗΣΕΘΣ ΛΕΚΕΤΗΣ Ηαηά ηε δηάξθεηα ηνπ Ζαλνπαξίνπ 20Φ1 εθηειέζηεθε ε παξαγγειία Νν. 125, ε νπνία αθνξνύζε ηελ θαηαζθεπή 40 θαξεθιώλ θαη

Διαβάστε περισσότερα

6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ

6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ 6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ Σηα πιαίζηα ηεο έθηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΛΙΔΣ. Σπκπιεξώζηε ηα ζηνηρεία πνπ ιείπνπλ ζηνλ παξαθάησ πίλαθα:

ΜΗΛΙΔΣ. Σπκπιεξώζηε ηα ζηνηρεία πνπ ιείπνπλ ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: ΜΗΛΙΔΣ Έλαο αγξόηεο ζέιεη λα θπηέςεη κειηέο ζε ζεηξέο θαη ζε ηεηξάγσλν ζρήκα. Σθέθηεηαη λα πξνζηαηέςεη ηηο κειηέο από ηνλ αέξα, πεξηθξάδνληάο ηηο κε θππαξίζζηα. Σηα παξαθάησ δηαγξάκκαηα βιέπνπκε ηε δηάηαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ Έζησ : R R κηα ζπλάξηεζε πνιιώλ κεηαβιεηώλ. ε θάζε κηα από ηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο ε θαζώο θαη όιεο νη ζπλαξηήζεηο πνπ νξίδνληαη ζεσξνύληαη θιάζεο ηνπιάρηζηνλ

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη

5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη 5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη Σηα πιαίζηα ηεο πέκπηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Time Value of Money)

Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Time Value of Money) Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Te Value of Moey) Εηζαγωγή Η έλλνηα όηη ην ρξήκα έρεη ρξνληθή αμία είλαη κία από ηηο θεθαιαηώδεηο έλλνηεο ζηελ αλάιπζε θάζε πξντόληνο ηεο Κεθαιαηαγνξάο. Σν ρξήκα έρεη ρξνληθή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ β. ΣΟ ΠΝΕΤΜΑΣΙΚΟ ΜΑ ΚΕΝΣΡΟ γ. Η ΠΑΝΟΡΑΜΙΚΗ ΘΕΗ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ. Η Εθθιεζία ηνπ ρσξηνύ καο, ε Αγία Άλλα, είλαη θηηζκέλε πξηλ πνιιά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 15/03/2015 ΟΜΑΔΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 15/03/2015 ΟΜΑΔΑ Α ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 15/03/2015 ΟΜΑΔΑ Α Για τις παρακάτω προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α.5. να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς, και

Διαβάστε περισσότερα

Δπαστηπιότητα 1 - ανάπτςξη, μεταγλώττιση, αποσυαλμάτωση και. εκτέλεση ππογπάμματορ

Δπαστηπιότητα 1 - ανάπτςξη, μεταγλώττιση, αποσυαλμάτωση και. εκτέλεση ππογπάμματορ 1 Δπαστηπιότητα 1 - ανάπτςξη, μεταγλώττιση, αποσυαλμάτωση και εκτέλεση ππογπάμματορ Κάζε πξσί ν Karel μππλάεη ζην θξεβάηη ηνπ όηαλ έλα ξνκπόη-εθεκεξηδνπώιεο ηνπ πεηάεη ηελ εθεκεξίδα, πνπ αλαπαξηζηάλεηαη

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο

Διαβάστε περισσότερα

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Α ο υ ι ς ε κ ς ξ μ ι κ ή ρ ύ μ θ ε ρ η 6 Τ ξ μ έ α π ΘΘΘ, X ώ ο ξ π κ α ι Δ π ι κ ξ ι μ χ μ ί α Η έ μ α : Διδάρκξμςεπ: Τξ εύοξπ ςξσ ξοίξσ Ιεοαμεικόπ

Διαβάστε περισσότερα

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο:

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Πίνακες Σσμβόλων Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Εηζαγσγή ελόο ζηνηρείνπ Αλαδήηεζε ζηνηρείνπ κε δεδνκέλν θιεηδί Άιιεο ρξήζηκεο ιεηηνπξγίεο είλαη: Δηαγξαθή ελόο θαζνξηζκέλνπ ζηνηρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών τοιχεία του μαθήματοσ (ημζρα εβδομάδασ, ώρεσ, ζτοσ): ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών Εργαςτηριακή ομάδα αςκήςεων 2 για το μάθημα «ΑΡΧΙΣΕΚΣΟΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ

Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ MENU ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ Σε απηό ην ζεκείν ηεο εθαξκνγήο δεκηνπξγνύκε ηα δηάθνξα Ηιεθηξνληθά Αξρεία έηζη ώζηε λα ηα ππνβάινπκε ζηνπο δηάθνξνπο θνξείο. Γηα λα επηιέμνπκε έλα είδνο αξρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB. ςνάπηηζη μεηαθοπάρ Γηα ηε κειέηε ελόο ζπζηήκαηνο κε ην Matlab απαξαίηεηε πξνϋπόζεζε είλαη λα δεκηνπξγήζνπκε έλα κνληέιν, ώζηε λα εμεηάζνπκε ηα ραξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 Κα ακαθένεηε 5 εονςπασθέξ πώνεξ θαη κα βνείηε ημ είδμξ ημο μνοθημύ ημοξ πιμύημο. Πμημη πανάγμκηεξ επηηνέπμοκ ηεκ θαηαζθεοή μεγάιςκ ηεπκηθώκ ένγςκ; Ε ελόνολε (ελαγςγή

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ Αγαπεηέ αξρεγέ, Τν λέν ζύζηεκα ησλ playoff πνπ πηινηηθά ζα εθαξκνζηεί ζηε θεηηλή πεξίνδν 2013 14 απνηειεί κηα βειηίσζε ηνπ πθηζηάκελνπ ζπζηήκαηνο πνπ κε επηηπρία εθαξκόζηεθε ζηηο πξώηεο έμη δηνξγαλώζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ ΤΕΙ Δσηικής Μακεδονίας Τμήμα Βιομητανικού Στεδιαζμού Εργαζηήριο C 3 www.c3.teiwm.gr C 3 LAB www.c3.teiwm.gr 1 Εηζαγσγή Πεπιεσόμενα ύκβνια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplac Δηεπξύλεη ηε θιάζε ηωλ ζεκάηωλ γηα ηα νπνία κπνξεί λα επηηεπρζεί ε κεηάβαζε από ην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο. Παξέρεη ηε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στα ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1.2 και 1.3 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΘΕΜΑ 1 A. Να δηαηππώζεηε ην δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα κε ιόγηα θαη λα γξάςεηε ηελ αληίζηνηρε καζεκαηηθή ζρέζε (ηύπν) πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7 Παραγωγός. Ζ Πξνζθνξά ηεο Δπηρείξεζεο ζε ηειείωο αληαγωληζηηθή αγνξά Μ. ΨΥΛΛΑΚΖ

Κεφ. 7 Παραγωγός. Ζ Πξνζθνξά ηεο Δπηρείξεζεο ζε ηειείωο αληαγωληζηηθή αγνξά Μ. ΨΥΛΛΑΚΖ Κεφ. 7 Παραγωγός Ζ Πξνζθνξά ηεο Δπηρείξεζεο ζε ηειείωο αληαγωληζηηθή αγνξά 1 Η προσυορά της επιτείρησης Πώο απνθαζίδεη κηα επηρείξεζε πόζν πξνϊόλ λα πξνζθέξεη; Aπηή ε απόθαζε εμαξηάηαη από ηελ ηερλνινγία

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 61 Ον/μο:.. Β Λσκείοσ Ύλη: Ηλεκηρικό ρεύμα Το Φως Γενικής Παιδείας 22-3-2015 Θέμα 1 ο : 1. Μία ειεθηξηθή ζπζθεπή ιεηηνπξγεί γηα ρξνληθή δηάξθεηα 0,5h θαη θαηαλαιώλεη 2kWh ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή. Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε.

Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή. Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε. Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε. Παξάκεηξνη πξνο αμηνιόγεζε Ννκνζεηηθή ζσξάθηζε Κνηλόο Σύιινγνο Ακνηβή Καηαγγειία/Λύζε

Διαβάστε περισσότερα

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο.

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο. 7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ση είλαη έλαο θαηαρσξεηήο; O θαηαρσξεηήο είλαη κηα νκάδα από flip-flop πνπ κπνξεί λα απνζεθεύζεη πξνζσξηλά ςεθηαθή πιεξνθνξία. Μπνξεί λα δηαηεξήζεη ηα δεδνκέλα ηνπ

Διαβάστε περισσότερα