1 Matematička logika. 1.1 Iskazni račun

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Matematička logika. 1.1 Iskazni račun"

Transcript

1 1 Matematička logika 1.1 Iskazni račun Iskaz je suvisla rečenica za koju se može utvrditi da li je tačna ili netačna. Iskaze obeležavamo slovima p, q,... Vrednost iskaza v(p) {, }, redom tačno i netačno. Složeni iskazi nastaju primenom operacija iskaznog računa i,,,, redom negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija, isključiva disjunkcija (xor), čije su tablice istinitosti redom,,,,,.

2 1.1.1 Iskazne formule 1. Iskazno slovo je iskazna formula. 2. Ako su P i Q iskazne formule, onda je to i P, (P Q), (P Q), (P Q), (P Q), (P Q). 3. Iskazne formule nastaju samo konačnom primenom pravila 1 i 2. Prioritet operacija Brisanje nepotrebnih zagrada. ZADATAK 1 Napraviti istinitosnu tablicu iskazne formule ((p r) q) q. Prvo obrisati nepotrebne zagrade.

3 1.1.2 Tautologije Tautologija je iskazna formula koja je tačna za sve vrednosti iskaznih slova. Pravilo isključenja trećeg p p De Morganovi zakoni (p q) p q, (p q) p q Kontrapozicija (p q) ( q p) Definicija implikacije (p q) p q Distributivnost p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r) Tranzitivnost implikacije (p q) (q r) (p r) Modus ponens p (p q) q Dodajemo na pravilo 1 iskaznih formula da su i iskazne formule. Formula P je tautologija ako i samo ako (akko) je formula P tautologija. Isto za P, P, P Princip zamene za jednakost.

4 1.1.3 Načini dokazivanja tautologija Istinitosna tablica Svo denje na poznatu tautologiju Diskusija po slovu ZADATAK 2 Ispitati da li je tautologija (p q) (p q). ZADATAK 3 Ispitati da li je tautologija diskusijom po slovu (p r) q q.

5 1.2 Predikatski račun Predikat je iskaz čija istinitost zavisi od promenljive koja uzima vrednosti nad nekim modelom (skupom). Na primer P(x) = "x je paran broj" nad N. Kvantifikatori, daju istinitosnu vrednost predikatu nad nekim modelom. ( x)p(x) uzima vrednost ako je P(x) tačan za sve vrednosti x u posmatranom modelu, inače uzima vrednosti. ( x)p(x) uzima vrednost ako je P(x) tačan za neku vrednost x u posmatranom modelu, inače uzima vrednosti. Valjane formule su formule predikatskog računa koje su tačne na svakom modelu. Na primer (( x)p(x)) ( x) P(x) (( x)p(x)) ( x) P(x)

6 1.3 Skupovi Osnovni pojam. Poznajemo skup ako za proizvoljni element možemo utvrditi da li mu pripada. Obeležavamo ih velikim slovima engleske abecede. Oznake,, =, # odnosno i značenje Ne postoji skup svih skupova. Postoji prazan skup. Partitivni skup je skup svih podskupova nekog skupa. Zadavanje skupova {x P(x)} Operacije sa skupovima,, \, Ā u univerzalnom skupu X Skupovne formule, uvodimo ih slično kao iskazne formule Dokazivanje skupovnih formula Ure deni par (a,b) = {a,{a,b}} Dekartov proizvod A B = {(a,b) a A b B}.

7 2 Algebra 2.1 Relacije Za neprazan skup A, za ρ A A kažemo da je relacija (skupa A). Ako (x,y) ρ kažemo da su x i y u relaciji, pišemo xρy. Na primer u skupu {1,2,3} relacije: = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)} ρ = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)} Refleksivnost Simetričnost Tranzitivnost Antisimetričnost ( x A) (x, x) ρ ( x,y A) (x,y) ρ (y, x) ρ ( x,y,z A) (x,y) ρ (y,z) ρ (x,z) ρ ( x,y A) (x,y) ρ (y, x) ρ x = y RST relacije nazivamo relacije ekvivalencije. RAT relacije nazivamo relacije poretka. Za skup A dijagonala je A = {(x, x) x A}. Ispitati osobine relacije: (a) A u skupu A, (b) u skupu R, (c) "daje isti ostatak pri deljenju sa 4 kao" u skupu N.

8 Za RST relaciju ρ skupa A klasa elementa x A je a količnički skup je C x = {y (x,y) ρ}, A /ρ = {C x x A}. Za skup A i relaciju ρ sa prethodne strane naći A /ρ. Za RAT relaciju ρ skupa A elemenat x A je najmanji ako ( y A)(x,y) ρ, najveći ako ( y A)(y, x) ρ, minimalni ako ( y A) ((y, x) ρ y = x), maksimalni ako ( y A) ((x,y) ρ y = x). Za skup A = {1, 2, 3} i relaciju naći najmanji, najveći, minimalni, maksimalni element. Haseov dijagram za relacije RAT. Za x,y N kažemo da x deli y akko ( z N)xz = y. Pišemo x y. Dokazati da je RAT. Napraviti Haseov dijagram i naći najmanji, najveći, minimalni, maksimalni element za u skupu (a) {1,2,3,4,5,6}, (b) {2,3,4,5,6}, (c) {2,3,6}, (d) {1,2,4}, (e) N, (f) N\{1}. Za n N definišemo relaciju nad Z: x n y ( z Z)(x y) = zn. Dokazati da je RST.

9 2.2 Funkcije Skup ure denih parova f je funkcija ako ( x D( f ))( y,z R( f )) (x,y) f (x,z) f y = z, gde je D( f ) skup prvih komponenti i R( f ) skup drugih komponenti ure denih parova iz f. D( f ) nazivamo domen, R( f ) nazivamo skup slika funkcije f. Kažemo da funkcija f preslikava A u B i pišemo f : A B ako je D( f ) = A i R( f ) B. (x,y) f pišemo f (x) = y ili f : x y. Ako f : A B i R( f ) = B, kažemo da je f sirjektivna, odnosno "na" i pišemo f : A na B. Ako f : A B i ( x,y A) f (x) = f (y) x = y, kažemo da je f injektivna, odnosno "1-1" i pišemo f : A 1-1 B. Ako je funkcija f : A B sirjektivna i injektivna, kažemo da je bijektivna, odnosno bijekcija, odnosno obostrano jednoznačno preslikavanje. Pišemo f : A 1-1 B. na Ako je f : A B bijekcija, onda je f 1 = {(y, x) (x,y) f } funkcija. Funkciju f 1 : B A zovemo inverzna funkcija od f i ona je tako de bijekcija. Ispitati da li su "1-1" i "na" funkcije x 2 : [1,2] [1,4], cos x : [ π 3, π 6 ] [ 1 2,1]

10 Kompozicija funkcija g : A B i f : B C u oznaci f g je funkcija definisana f g(x) = f (g(x)). Identična funkcija I A : A A je definisana I A = A, odnosno ( x A) f (x) = x. Ako f : A B, onda je f 1 f = I A i f f 1 = I B. Primer. Popuniti tabelu ( f 1 = f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 2 f 3 f 4 ), f 2 = ( ) ( , f 2 = Naći f 1 1 = f2 1 = f3 1 = f 1 4 = ) ( , f 4 = ). Naći f g i g f za f (x) = x i g(x) = x 2. Naći f g i g f za f (x) = e x i g(x) = x. Naći D( f ), R( f ) i f 1 (x) za f (x) = x+1 x 2. Neka je A = {1,2,3} i B = {4,5}. Koliko ima funkcija f : A B? "na"? "1-1"? "rastućih"? "neopadajućih"?

11 2.3 Grupoidi Za neprazan skup A funkciju : A 2 A zovemo binarna operacija. Umesto (x,y) = z pišemo x y = z. Kažemo da je (A, ) grupoid. Ako ( x,y A) x y = y x, kažemo da je komutativna. Ako ( x,y,z A) x (y z) = (x y) z, kažemo da je asocijativna, odnosno da je (A, ) asocijativni grupoid, ili polugrupa. Ako ( e A)( x A) x e = e x = x, kažemo da je e neutralni element grupoida (A, ). Ako je e neutralni element grupoida (A, ) i ( x A)( x A) x x = x x = e, kažemo da grupoid (A, ) ima osobinu inverznog elementa i kažemo da je x inverzni za x. Za polugrupu sa neutralnim elementom i inverznim elementom za svaki element kažemo da je grupa. Primeri Ako je B A i (A, ) grupa i (B, ) grupa, gde je poslednja operacija restrikcija operacije iz A, kažemo da je grupa B podgrupa grupe A. Primeri

12 Napraviti Kejlijevu tablicu, pokazati da je (F, ) grupa, gde je i naći sve podgrupe. A = {1,2,3}, F = { f f : A 1-1 A}, kompozicija funkcija na 2.4 Osobine grupa i grupoida Ako u grupoidu postoji neutralni element onda je on jedinstven. Za proizvoljan element u grupi inverzni element je jedinstven. U grupi (A, ) za sve a,b A važi (a b) = b a i jednačine a x = b i x a = b su jednoznačno rešive po x. Neka je (A, ) grupa i = B A. (B, ) je podgrupa grupe A u odnosu na restikciju akko: ( x,y B) x y B i ( x B) x B. Ako su A i B konačni skupovi i (B, ) podgrupa (A, ), onda #B #A.

13 2.5 Prsteni i polja (R,+, ) kažemo da je prsten ako su + i operacije na nepraznom skupu R i R1 (R, +) je komutativna grupa, R2 (R, ) je polugrupa, R3 ( x,y,z R) x(y + z) = xy + xz i (x + y)z = xz + yz. Neutralni element operacije + obeležavamo 0 i zovemo nula prstena. Inverzni element za x u odnosu na operaciju + obeležavamo x i zovemo suprotni element. Definišemo x y = x + ( y). Naravno: ( x R)x x = 0. Neutralni element operacije zovemo jedinica prstena i obeležavamo 1. U prstenu (R,+, ) ( x R)x0 = 0x = 0, ( x,y R)x( y) = ( x)y = (xy). Kažemo da je prsten (R,+, ) polje ako je F2 (R\{0}, ) komutativna grupa. Inverzni element za x u polju (F,+, ) obeležavamo x 1. Primeri

14 2.6 Kongruencija po modulu Za n N u skupu Z definišemo relaciju n : x n y ( z Z)x y = nz. Relacija n u skupu Z je RST. x n y akko x i y daju isti ostatak pri deljenju sa n. Količnički skup Z / n = {C 0,C 1,...C n 1 }, gde su klase ekvivalencije C x = {y x n y}. Primeri U skupu Z / n definišemo operacije + n i n: Operacije + n i n su dobro definisane. C x + n C y = C x+y i C x n C y = C x y. (Z / n,+ n, n) je prsten sa neutralnim elementom i drugom operacijom komutativnom, a za n prost broj je polje. Ubuduće obeležavamo Z / n = Z n = {0,1,...,n 1} i umesto C x za x Z n pišemo x, operacije pišemo bez n. Primer Napraviti Kejlijeve tablice grupoida + i prstena (Z 3,+, ) i (Z 4,+, ).

15 2.7 Kompleksni brojevi Ure dena trojka (R 2,+, ) je polje, gde su + i definisane (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d), (a,b)(c,d) = (ac bd, ad + bc). Obeležavamo C = R 2 (x,y) = x + yi, (0,1) = i, i 2 = 1. Za z = x + yi C, Re(z) = x, Im(z) = y, z = x yi z z = x 2 + y 2. Za α R, αz = (αx,αy). Definišemo z = x 2 + y 2. Važi z z = z 2. Za z,w C i α R važi zw = z w, αz = α z, z + w z + w, z w z w.

16 2.7.1 Kompleksna ravan, polarne koordinate, eksponencijalni zapis Im y ρ ϕ x z = x + yi Re x = ρcos ϕ y = ρsin ϕ ρ = z = x 2 + y 2 ϕ = argz arctan y x, x > 0 arctan y x + π, x < 0,y 0 argz = arctan y x π, x < 0,y < 0 π 2, x = 0,y > 0 π 2, x = 0,y < 0 Uvodimo oznaku: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. z = x + iy = ρcos ϕ + iρsin ϕ = ρe iϕ Prevesti iz algebarskog u eksponencijalni zapis (i obrnuto) kompleksne brojeve 2 2i = 1 + i = 5 = i = 2e π 4 i = e π 2 i = 2 3e 5π 6 i = 2e 3π 4 i =

17 2.7.2 Operacije u eksponencijalnom zapisu Neka z 1 = ρ 1 e iϕ 1 i z 2 = ρ 2 e iϕ 2, za ρ 1,ρ 2 [0, ) i ϕ 1, ϕ 2 ( π,π]. z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) Za z = ρe iϕ, ρ [0, ) i ϕ ( π,π] z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(ϕ 1 ϕ 2 ) z n = ρ n e inϕ n z = n ρe i ϕ+2kπ n,k = 0,1,...n 1. Izračunati u algebarskom obliku i koristeći eksponencijalni zapis (1 i) 3 = (1 i)( 3 + i) = i/(3 3i) = 3 8i = Rotacija z = ρe ϕi oko koordinatnog početka za ugao α daje w = ze αi = ρe (ϕ+α)i. Rotacija z oko z 0 za ugao α daje w = z 0 + (z z 0 )e αi.

18 2.8 Polinomi Izrazi oblika p = a n x n + + a 1 x + a 0, gde su a n,..., a 1, a 0 F, n N {0} i a n = 0, su polinomi nad poljem (F,+, ). Nula polja 0 je tako de polinom, nazivamo ga nula polinom. dg(p) = n je stepen polinoma p, a stepen nula polinoma se ne definiše. U skupu svih polinoma nad F, u oznaci F[x], posmatramo operacije sabiranja i množenja polinoma koje se definišu na uobičajen način. (F[x], +, ) je komutativni prsten sa jedinicom. Ako su p i q nenula polinomi onda je pq = 0 i dg(pq) = dg(p) + dg(q). Za svaka dva polinoma p i q = 0 postoje jedinstveni polinomi s i r takvi da je p = qs + r i (r = 0 dg(r) < dg(q)). Kažemo da je s rezultat deljenja p sa q, r je ostatak. p je deljiv sa q ako je r = 0. Hornerova šema: Ako za n > 0, polinom p = a n x n + + a 1 x + a 0 delimo polinomom q = x α rezultat deljenja je polinom s = b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0, a ostatak r = αb 0 + a 0 i: b n 1 = a n, b n 2 = αb n 1 + a n 1,...,b 0 = αb 1 + a 1. Polinomu p pridružujemo njegovu polinomsku funkciju ψ(p) : F F, koja vrednosti x F pridružuje vrednost a n x n + + a 1 x + a 0. Umesto ψ(p)(x) kraće pišemo p(x).

19 Bezuova teorema: Ostatak pri deljenju polinoma p = a n x n + + a 1 x + a 0 sa x α je p(α). a n a n 1 a 1 a 0 α a n α a n + a n 1 αb 1 + a 1 αb 0 + a 0 = b n 1 = b n 2 = b 0 = p(α) Polinom stepena većeg od 0 je svodljiv ako se može napisati kao proizvod dva polinoma čiji stepeni su manji od njegovog. Polinom stepena 1 je nesvodljiv. Ako polinom stepena n > 1 ima koren α, onda je svodljiv, jer je deljiv sa x α. Polinom stepena n ima najviše n korena. Faktorisati polinom znači napisati ga u obliku proizvoda nesvodljivih polinoma. Svaki polinom stepena većeg od 0 nad poljem kompleksnih brojeva C ima koren. U polju C polinom p stepena n > 0 se može faktorisati p = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ). Ako je polinom p deljiv polinomom (x α) k i nije deljiv polinomom (x α) k+1, kažemo da je k višestrukost korena α za polinom p. U polju C polinom p stepena n > 0 ima n korena uračunavajući višestrukost. Ako je polinom p R[x] i p(α) = 0, onda je p(ᾱ) = 0. (x z)(x z) = x 2 2 Re(z)x + z 2 Polinom nad poljem R se može faktorisati tako da činioci nemaju stepen veći od 2.

20 3 Linearna algebra 3.1 Sistemi linearnih jednačina Ako su a i,j R, za i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n, i b i R, za i = 1,2,...,m, onda a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2... a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m zovemo sistem m linearnih jednačina sa n nepoznatih x 1, x 2,..., x n R. a i,j zovemo koeficijenti sistema, b i zovemo slobodni koeficijenti, x i su promenljive, odnosno nepoznate. Ure dena n-torka brojeva (x 1, x 2,..., x n ) koji uvršteni umesto promenljivih zadovoljavaju sve jednačine sistema zove se rešenje sistema. Ako sistem ima barem dva rešenja, onda ima beskonačno mnogo rešenja. Takav sistem zovemo neodre den. Sistem koji nema rešenja zovemo nemoguć, (kontradiktoran, nesaglasan). Sistem koji ima tačno jedno rešenje zovemo odre den.

21 Kažemo da su dva sistema ekvivalentna ako imaju iste skupove rešenja. Ako je b 1 = b 2 = = b m = 0, kažemo da je sistem homogen. Homogen sistem ima rešenje x 1 = x 2 = = x n = 0, koje zovemo trivijalno rešenje Ekvivalentne transformacije sistema Zamena mesta dve jednačine. Množenje jednačine brojem različitim od nule. Množenje jednačine brojem i dodavanje nekoj drugoj jednačini. Primena ekvivalentnih transformacija daje sistem ekvivalentan polaznom. Na primer: x + y z = 2 x + y + z = 4 3x y + z = 6 3x y + z = 6 x + y + z = 4 x + y z = 2 3x y + z = 6 2x + 2y + 2z = 8 x + y z = 2 3x y + z = 6 2x + 2y + 2z = 8 3x + 3y + z = 10 Relacija ekvivalencije sistema linearnih jednačina je relacija ekvivalencije (RST).

22 3.1.2 Gausov postupak eliminacije Kažemo da je sistem gornje trougaoni ako počevši od prve, u svakoj sledećoj jednačini ima barem jedna nepoznata manje. Gausov postupak eliminacije se sastoji u dovo denju sistema na gornje trougaoni primenom ekvivaletnih transformacija. Ako se dobije jednačina 0 = 0, ona se izbacuje. Ako se dobije jednačina 0 = b, gde je b = 0, prekida se dalji rad, sistem je nemoguć. Kada je sistem u gornje trougaonom obliku, označimo sa r (r m) broj preostalih jednačina. Ako je r = n, sistem je odre den i rešenje se može dobiti polazeći od poslednje jednačine prema prvoj, uvrštavanjem dobijenog rešenja i rešavanjem dobijene jednačine sa jednom nepoznatom. Ako je r < n, sistem je neodre den ((n r)-struko) i može se prvih r nepoznatih (sa leva) izraziti preko preostalih (n r), istim postupkom kao kod odre denog sistema sa r jednačina i r nepoznatih. Primeri

23 3.2 Determinante Determinanta je operacija nad n 2 elemenata polja F: a 1,1 a 1,2... a 1,n a 2,1 a 2,2... a 2,n D =... = ( 1) σ(i 1,i 2,...,i n ) a 1,i1 a 2,i2 a n,in po svim perm. a n,1 a n,2... a n,n (i 1,i 2,...,in) gde je σ(i 1,i 2,...,i n ) broj inverzija permutacije (i 1,i 2,...,i n ), čija parnost odlučuje znak. Ako je D dobijena zamenom dve vrste (ili kolone) determinante D, onda je D = D. Ako je determinanta D dobijena množenjem svih elemenata jedne vrste (ili kolone) determinante D istim brojem α, onda je D = αd. Ako je determinanta D dobijena množenjem elemenata jedne vrste (ili kolone) determinante D i dodavanjem odgovarajućim elementima neke druge vrste (kolone) determinante D, onda je D = D. Minor elementa a i,j je M i,j = determinanta D bez i-te vrste i j-te kolone. Algebarski komplement elementa a i,j je A i,j = ( 1) i+j M i,j. D = n j=1 a i,j A i,j = n i=1 a i,j A i,j.

24 Kažemo da je determinanta gornje trougaona ako su elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli. (i > j a i,j = 0) Vrednost gornje trougaone determinante jednaka je proizvodu elemenata sa glavne dijagonale (D = a 1,1 a 2,2 a n,n ) Determinante i sistemi linearnih jednačina Sistem lin. jedn. je kvadratni ako je m = n: a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2... a n,1 x 1 + a n,2 x a n,n x n = b n Determinanta kvadratnog sistema je a 1,1 a 1,2... a 1,n a 2,1 a 2,2... a 2,n D =... a n,1 a n,2... a n,n Kvadratni sistem je odre den ako i samo ako je D = 0. Kramerovo pravilo: Ako je kvadratni sistem odre den, onda je x i = D x i D, i = 1,2,...,n, gde je D xi determinanta sistema u kojoj su koeficijent uz x i zamenjeni slobodnim koeficijentima.

25 Matrice Skup matrica m n nad poljem R definišemo a 1,1 a 1,2... a 1,n R m n a 2,1 a 2,2... a 2,n =..., a i,j R, i = 1,...,m, j = 1,...,n. a m,1 a m,2... a m,n Za matrice A = [a i,j ] i B = [b i,j ] definišemo A + B = [a i,j + b i,j ] i za α R, αa = [αa i,j ]. (R m n,+) je komutativna grupa. Za matrice A m p i B p n definišemo A B = [ p k=1 a i,kb k,j ]. (R n n, ) je nekomutativna polugrupa sa neutralnim elementom. Neutralni element je jedinična matrica I koja ima jedinice na glavnoj dijagonali, a nule na ostalim mestima. (R n n,+, ) je nekomutativan prsten sa neutralnim elementom. Za matricu A = [ a i,j ] definišemo determinantu A = ai,j. Ako za kvadratnu matricu A postoji A 1 takva da AA 1 = A 1 A = I, kažemo da je A 1 inverzna matrica matrice A.

26 Primena matrica Rešavanje matričnih jednačina Rešiti matričnu jednačinu AX = B, gde je A = , B = [ ] Rešiti matričnu jednačinu XA = B, gde je A =, B = Primenom matrica rešiti sistem jednačina x + y z = 2 2x + y + z = 5 3x y + z = 2 Primenom matrica rešiti sistem jednačina x + y z = 3 2x + y + z = 7 3x y + z = 5.

27 Sistemi linearnih jednačina i matrice, vežbe Primenom matrica rešiti sistem jednačina 3x + 2y = 14 2x 3y = 5 Primenom matrica rešiti sistem jednačina x + y z = 6 2x + y + z = 6 3x y + z = 2 Primenom inverzne matrice rešiti matričnu jednačinu AX + 2X = B, gde je A = 3 2 2, B = Primenom sistema jednačina rešiti matričnu jednačinu AX = B, gde je A = 3 2, B =

28 Razni zadaci iz sistema i matrica Za koju vrednost parametra p je sistem odre den? x + py = 14 2x 3y = 5 x + y z = 6 2x + y + z = 6 px y + z = 2 x + y = 4 2x y = 2 px + y = 8 4. x + y z = 6 px + y + z = 6 Za koju vrednost parametra p je matrica 2 p singularna?

29 Analitička geometrija (u ravni) Jednačina prave Opšti oblik Ax + By + C = 0 Eksplicitni oblik y = kx + n Segmentni oblik x a + y b = 1 Data je prava svojom jednačinom u opštem obliku. Napisati datu jednačinu u eksplicitnom i segmentnom obliku, nacrtati u ravni i označiti na crtežu parametre k,n, a,b. (ako može) (a) 2x + 3y 4 = 0 (b) 3x 4y = 0 (c) 3y 6 = 0 (d) x 3 = 0 (e) x = 0 Jednačina prave kroz A(x 0,y 0 ) paralelna pravi y = kx + n: y y 0 = k(x x 0 ) Jednačina prave kroz A(x 0,y 0 ) i B(x 1,y 1 ): y y 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) Postaviti u sva tri oblika jednačinu prave kroz A(1,2) i B(3, 2).

30 Ugao izme du pravih y = k 1 x + n 1 i y = k 2 x + n 2 : tan ϕ = k 1 k k 1 k 2 Postaviti jednačinu normale n na pravu p : y = 2 3 x 1 u tački prave p čija apscisa je x = 3. Dati skicu. Na pravi y = x + 6 naći tačku koja je jednako udaljena od tačaka A(2,1) i B(5,2). Dati skicu. Nacrtati u ravni prave 3x + 5y 9 = 0 i 4x 2y + 1 = 0, naći njihov presek i tangens oštrog ugla pod kojim se seku. Dati skicu. Postaviti jednačinu prave p koja sadrži tačku A(2,2) i normalna je na pravu y = 2x + 1 i odrediti preseke prave p sa koordinatnim osama. Dati skicu. Na pravi kroz tačke A(2,1) i B(5,2) naći tačku koja je najbliža tački C(7,6). Dati skicu. Kroz tačku T( 1, 1) postaviti pravu p koja pravu q : 3x + 2y = 6 seče pod uglom ϕ za koji je tan ϕ = 1 2. Dati skicu. Na pravi p : x 2y + 2 = 0 odrediti tačke čije rastojanje od koordinatnog početka iznosi 1. Dati skicu.

31 Slobodni vektori Vektori su orijentisane duži. Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. y y 0 + y 1 y 1 y 0 O b B b a a a + b C 1 A C α a x 1 x 0 x 0 + x 1 x a = OA, b = OB, a + b = OC b a = AB = OB OA OC 1 = 1 2 ( OA + OB) = 1 2 ( a + b) a = (x 0,y 0 ), b = (x1,y 1 ) a + b = (x0 + x 1,y 0 + y 1 ) α a = (αx 0,αy 0 ) a = x0 2 + y2 0, α a = α a Za skalare α i β i vektore a i b, linearna kombinacija je vektor α a + β b Važe sledeće osobine: 0 a = 0, α( a + b) = α a + α b, (α + β) a = α a + β a, α(β a) = (αβ) a, 1 a = a. Vektori na koordinatnim osama x i y intenziteta 1 su ortovi, redom i i j. Svaki vektor može da se izrazi kao njihova linearna kombinacija: a = (x 0,y 0 ) = x 0 i + y0 j Nula vektor 0 je vektor za koji su početna i krajnja tačka iste, nema pravac i smer.

32 Osobine množenja vektora skalarom: za proizvoljne skalare α i β i vektore a i b važi: α( a + b) = α a + α b, (α + β) a = α a + β a, α(β a) = (αβ) a, 1 a = a, 0 a = 0 = α 0, a + b a + b, α a = α a, a = 0 a = 0. Slobodni vektori u prostoru se predstavljaju kao linearna kombinacija ortonormiranih vektora i, j i k: a = x0 i + y0 j + z0 k, što zapisujemo a = (x0,y 0,z 0 ). Skalarni proizvod vektora a b = a b cos ( a, b), gde je ( a, b) neorijentisani konveksni ugao izme du vektora a i b. Osobine: za proizvoljni skalar α i vektore a, b i c važi a b = b a, (α a) b = a(α b) = α( a b), a( b + c) = a b + a c, a b = 0 a b (x 0,y 0,z 0 )(x 1,y 1,z 1 ) = x 0 x 1 + y 0 y 1 + z 0 z 1 Primer Data su temena trougla ABC: A(2,1,3), B(3,3,5), C(4,3,4). Izračunati stranice i uglove trougla i naći koordinate težišta T.

33 Vektorski proizvod vektora Vektorski proizvod vektora a i b koji označavamo a b je vektor koji je ortogonalan na pravac vektora a i b; redom a, b i a b čine desni triedar i a b = a b sin ( a, b). Osobine: za proizvoljni skalar α i vektore a, b i c važi a b = b a, (α a) b = a (α b) = α( a b), a ( b + c) = a b + a c, 0 a = 0 Primer Data su tri temena paralelograma ABCD: A(2,1,3), B(3,3,5), C(4,3,4). Naći četvrto teme D, izračunati površinu pralelograma i ugao izme du dijagonala. Mešoviti proizvod vektora Za vektore a, b, c, mešoviti proizvod je a( b c). Ako vektori a, b i c čine desni triedar mešoviti proizvod je pozitivan. Zapremina paralelopipeda nad vektorima a, b i c je a( b c).

34 Primer 1 Data su tri temena paralelograma ABCD: A(2,1,3), B(3,3,5), C(4,3,4). Naći četvrto teme D, izračunati površinu pralelograma. Naći presek dijagonala paralelograma. Naći vrh prave piramide ABCDE čija je zapremina V = 153. Primer 2 Naći jedinični vektor normalan na ravan trougla ABC, ako je A(2, 1,3), B( 2,3,5), C(4,3,4). Primer 3 Naći visinu paralelopipeda odre denog vektorima a, b i c na ravan odre denu vektorima a i b. Primer 4 Naći udaljenost koordinatnog početka od ravni trougla ABC, A(2, 1, 3), B( 2, 3, 5), C(4, 3, 4).

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE

ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE 0.0.04. Studenti koji na testu kod pitanja do zvezdica naprave više od tri greške nisu položili ispit! U svakom zadatku dato je više odgovora, a treba zaokružiti tačne odgovore

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

KURS IZ MATEMATIKE I

KURS IZ MATEMATIKE I UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA Maja i Ljubo Nedović 27. oktobar 2014 Sadržaj 1 Logika, skupovi i relacije 7 2 Funkcije 2 Kombinatorika

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve... 1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Predstavljanje funkcija

Funkcije. Predstavljanje funkcija Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009.

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009. Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 009. Autori: Mr Nada Damljanović Mr Rale Nikolić Recenzenti: Prof. dr Mališa

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Iskazni (propozicioni) račun

1.1 Iskazni (propozicioni) račun 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) račun Osnovni elementi iskaznog računa su iskazi (rečenice) i veznici. Iskaz ili

Διαβάστε περισσότερα

Bulove jednačine i metodi za njihovo

Bulove jednačine i metodi za njihovo Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a: Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer. UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije

Διαβάστε περισσότερα

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1

Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα