Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΚΑΙ Ο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΟΧΩΝ

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΚΑΙ Ο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΟΧΩΝ Βαρδαλής Νικόλαος ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2007 ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γεροντίδης Ιωάννης Εκπονηθείσα πτυχιακή εργασία απαραίτητη για την κτήση του βασικού πτυχίου

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή θα ασχοληθούμε με μία από τις μεθόδους γραμμικού προγραμματισμού, την μέθοδο Simplex και τον προγραμματισμό στόχων. Η μέθοδος Simplex χρησιμοποιείται σε πραγματικές εφαρμογές όπου ο αριθμός των μεταβλητών και των περιορισμών των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού ανέρχεται σε δεκάδες. Η μέθοδος Simplex είναι μια συστηματική μέθοδος επίλυσης των προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού η οποία είναι δυνατόν να υλοποιηθεί μέσω κατάλληλων προγραμμάτων ηλεκτρονικού υπολογιστή για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού οποιουδήποτε μεγέθους. Ειδικότερα μπορούμε να πούμε πως στο πρώτο κεφάλαιο ο λόγος γίνεται για τον γραμμικό προγραμματισμό, για τις διάφορες φάσεις που έχει περάσει στην ιστορική του εξέλιξη, περιγράφεται ενδελεχώς ο τρόπος με τον οποίο λύνεται το πρόβλημα και οι κατηγορίες με αλγορίθμων με τους οποίους λύνονται τέτοιου είδους προβλήματα. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφονται οι περισσότεροι αλγόριθμοι τύπου simplex. Ξεκινώντας από τη γεωμετρική λύση ενός τέτοιου προβλήματος, στη συνέχεια με τον δυϊκό αλγόριθμο simplex και μετά με τους αλγόριθμους εξωτερικών σημείων οι οποίοι χωρίζονται σε πρωτεύων αλγόριθμους simplex εξωτερικών σημείων, σε δυϊκούς αλγόριθμους simplex εξωτερικών σημείων και βρίσκοντας τη λύση του προβλήματος με τη μέθοδο των 2 φάσεων και τη μέθοδο του μεγάλου Μ. Τέλος στο τρίτο κεφάλαιο μέσω ενός παραδείγματος δείχνει τη χρηστότητα του προγραμματισμού στόχων όπου αυτός που παίρνει τις αποφάσεις έχει πολλαπλούς στόχους και δε μπορεί όλους να τις ικανοποιήσει το ίδιο. Η λύση των προβλημάτων αυτών με την μεγαλύτερη δυνατή ικανοποίηση των στόχων πετυχαίνεται μέσω δυο προγραμμάτων: του Lindo και του Lingo.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα Κεφάλαιο 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 1.1 Γραμμικός προγραμματισμός Ιστορική αναδρομή Περιγραφή του γραμμικού προβλήματος Κατηγορίες αλγορίθμων 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ- SIMPLEX 2.1 Eισαγωγή Πως δουλεύει γεωμετρικά η μέθοδος simplex Πρωτεύων αλγόριθμος simplex Δυϊκός αλγόριθμος simplex Αλγόριθμος simplex εξωτερικών σημείων Πρωτεύων αλγόριθμος simplex εξωτερικών σημείων Δυϊκός αλγόριθμος simplex εξωτερικού σημείου Αρχική λύση με τη μέθοδο των 2 φάσεων Αρχική λύση με τη μέθοδο του μεγάλου Μ 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΟΧΩΝ 3.1 Εισαγωγή Εναλλακτικός προγραμματισμός στόχων Χρησιμοποιώντας LINDO ή LINGO για να λύσουμε 70 προβλήματα προγραμματισμού εναλλακτικών στόχων.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι ο πιο εφαρμοσμένος κλάδος της επιστήμης των μαθηματικών με πληθώρα εφαρμογών στην επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ασχολείται με την επίλυση του γραμμικού προβλήματος. Για το σκοπό αυτό μελετάει τις ιδιότητες του γραμμικού προβλήματος, κατασκευάζει μεθόδους επίλυσης(αλγόριθμους) και εξετάζει τρόπους εφαρμογής των αποτελεσμάτων στη λήψη πολύπλοκων αποφάσεων σε διοικητικό η οικονομικό επίπεδο, με επιστημονικό τρόπο. Ο Γραμμικός Προγραμματισμός βρίσκει πολλές εφαρμογές στην παραγωγική διαδικασία, όπου αναζητούνται οι ποσότητες των παραγόμενων προϊόντων σε σχέση με τα αποθέματα, τις πρώτες ύλες,το προσωπικό και άλλους παράγοντες με στόχο την μεγιστοποίηση του κέρδους. Υπάρχουν πολλά επιμέρους γραμμικά προβλήματα που πρέπει να αντιμετωπίσει μια επιχείρηση η ένας οργανισμός. Τα πιο γνωστά από αυτά τα προβλήματα χαρακτηρίζονται ως κλασσικά προβλήματα του γραμμικού προγραμματισμού και είναι:το πρόβλημα κατανομής πόρων, της δίαιτας,της μείξης προϊόντων, ενέργειας και προστασίας του περιβάλλοντος, της παραγωγικής διαδικασίας, της διοίκησης προσωπικού,marketing(προώθηση προϊόντων). 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Ως ορόσημο της ραγδαίας εξέλιξης του γραμμικού προγραμματισμού θεωρείται ο Β παγκόσμιος πόλεμος, όπου για πρώτη φορά εφαρμόσθηκαν μέθοδοι ανεφοδιασμού των συμμαχικών δυνάμεων στην Ευρώπη. 1από72

5 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Πολλοί ερευνητές εκείνης της εποχής «διεκδικούν» τον τίτλο του θεμελιωτή της επιστήμης με τις ανακαλύψεις τους σε θεωρητικό κυρίως επίπεδο, αλλά με τεράστιες εφαρμογές σήμερα ειδικότερα με τη χρήση των υπολογιστών όπου κατέστη δυνατή η επίλυση επίπονων σε υπολογισμούς προβλημάτων σε σύντομο χρονικό διάστημα. Ένας εξαίρετος Σοβιετικός μαθηματικός ο Kantovitch(1939) δημοσίευσε στη Ρωσία την εργασία του για το πρόβλημα της οργάνωσης και σχεδιασμού της παραγωγής. Αργότερα το πρόβλημα αυτό ονομάστηκε πρόβλημα μεταφοράς του Hitchcock(1941),ενός επίσης σημαντικού Αμερικανού μελετητή. Ο Koopmans με τις εργασίες του (1947),(1951) συνέβαλε σημαντικά στην εξέλιξη του γραμματικού προγραμματισμού και μάλιστα σύμφωνα με τον Dantzing(1963) είναι αυτός που πρότεινε το όνομα γραμμικός προγραμματισμός για τη νέα επιστήμη που άρχισε να ορθοποδεί. Κορυφαία στιγμή αναμφίβολα θεωρείται το 1947,οποπυ ο G.B Dantzig ανακάλυψε τον γνωστό σήμερα ως αλγόριθμο Simplex για την επίλυση του Γραμμικού Προβλήματος. Η πρώτη παρουσίαση του αλγόριθμου με τη χρήση της γεωμετρίας στο χώρο των μεταβλητών δεν έπεισε τους επιστήμονες για τη σημαντική ανακάλυψη. Ακολούθησε η δεύτερη παρουσίαση με τη χρήση της γεωμετρίας στο χώρο των περιορισμών,με αποτέλεσμα να πειστεί η επιστημονική κοινότητα για το μέγεθος της αξίας της ανακάλυψης.η πρώτη δημοσίευση του αλγόριθμου έγινε το 1949.Ηταν ως τότε ο πιο αποτελεσματικός τρόπος επίλυσης γραμμικών προβλημάτων βελτιστοποίησης και έμελλε να αποτελέσει το υπόβαθρο για την ανακάλυψη και άλλων μεθόδων επίλυσης γραμμικών προβλημάτων μέχρι και σήμερα. Αμέσως μετά την ανακάλυψη του αλγόριθμου Simplex,και την ευφορία που επικράτησε σχετικά με την πρακτική αποτελεσματικότητα του καταβλήθηκαν σοβαρές προσπάθειες για τη βελτίωση του. Η βιβλιογραφία των δεκαετιών 50 και 60 είναι γεμάτη από μελέτες σημαντικών επιστημόνων που συνέβαλαν και αυτοί στην επίλυση διαφόρων άλλων προβλημάτων που προέκυψαν από την εφαρμογή στην 2

6 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή πράξη του αλγόριθμου Simplex.Έγιναν οι ανακαλύψεις του δυϊκού αλγορίθμου καθώς και άλλα αποτελέσματα σχετικά με την πραγματοποίηση υπολογιστικών μελετών. Πολλοί ερευνητές ακολούθησαν την κατεύθυνση της χαλάρωσης των συνθηκών εφικτότητας. Το πρώτο βήμα σε αυτήν την κατεύθυνση έγινε από τους Gaas και Saaty(1955) οι οποίοι κατασκεύασαν τον αποκαλούμενο αυτό-δυϊκό αλγόριθμο. Αποδείχτηκε αργότερα από τον Lusting(1987) ότι ο αυτοδυικός αλγόριθμος μπορεί να ερμηνευτεί σαν ειδική περίπτωση του αλγόριθμου του Lemke(1965) για το αντίστοιχο γραμμικό συμπληρωματικό πρόβλημα. Η αρχή της χαλάρωσης των συνθηκών εφικτοτητας εφαρμόστηκε και σε ειδικά γραμμικά προβλήματα. Στο χώρο της δικτυακής βελτιστοποίησης αναπτύχθηκε πολύ νωρίς ο αλγόριθμος των διαδοχικών ελάχιστων δρόμων.οι αλγόριθμοι αυτοί δεν ήταν μόνο αποτελεσματικοί αλλά συνδυάζονται με την τεχνικοί των κλιμακώσεων των Edmonds και Karp(1972) αποτέλεσαν την βάση για την ανάπτυξη των ισχυρά πολυονυμικών αλγόριθμων του Orlin(1984 και 1989).Οι Dosios και paparizos(1995) απέδειξαν ότι οι αλγόριθμοι των διαδοχικών δρόμων και μερικές παραλλαγές τους, Dijkstra (1959), Akgul (1987), Hung και Rom(1980), είναι ειδικές περιπτώσεις των αλγόριθμων εξωτερικών σημείων. Όλοι οι παραπάνω αλγόριθμοι είναι τύπου Simplex. Τεχνικές χαλάρωσης εφαρμόστηκαν και σε διαφορετικούς μη Simplex αλγόριθμους. Η βασική ιδέα που εφαρμόστηκε είναι απλή. Ένα σύνολο περιορισμών αγνοείται και λύνεται το προκύπτον πρόβλημα με μικρότερο αριθμό περιορισμών. Χρησιμοποιώντας την παρούσα βέλτιστη λύση ένα νέο σύνολο περιορισμών προσδιορίζεται και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Ο πρώτος αλγόριθμος αυτού του τύπου κατασκευάστηκε από τους Motzkin και Schenberg(1954), οι οποίοι χρησιμοποίησαν παρόμοιους αλγόριθμους για επίλυση συστημάτων ισοτήτων,southwell (1940) και Allen (1954), και ανισοτήτων, Agmon(1954).Η ιδέα αυτή επεκτάθηκε αργότερα σε πολύ πιο γενικά προβλήματα. 3 από 72

7 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του αλγόριθμου Simplex είναι ο απεριόριστος αριθμός επιλογών στην εισερχόμενη και στην εξερχόμενη από τη βάση μεταβλητή. Αυτό το χαρακτηριστικό κατέστησε δυνατή την ανάπτυξη αμέτρητων απαλλαγών, όπως για παράδειγμα των Bland(1977),Goldfarb και Reid(1977), Clausen (1987), Ternary (1985), Zhang(1989) και Zionts (1969). Παρά την πρακτική αποτελεσματικότητα του ο αλγόριθμος Simplex εκθετικός.οι εργασίες των Avis και Chvatal (1978), Goldfarb και Sit (1979), Jeroslow (1973), Klee και Minty (1972), Murty (1980), Paparizos (1989) και Roos (1990) αποτελούν μια μικρή λίστα εργασιών στις οποίες αποδεικνύεται εκθετική πολυπλοκότητα διαφόρων κανόνων περιστροφής του αλγόριθμου Simplex. Η μέση πολυπλοκότητα όμως είναι πολυωνυμική. Ο χρόνος επίλυσης των μεγάλων προβλημάτων με τον αλγόριθμο Simplex αποτέλεσε σημείο τριβής μεταξύ των ερευνητών, με ζητούμενο την πολυπλοκότητα του αλγόριθμου, το μεγαλύτερο ανοικτό πρόβλημα της εποχής εκείνης. Το 1972 οι μαθηματικοί Klee και Minty με την εργασία τους απέδειξαν ότι για την υπολογιστική συμπεριφορά της χειρότερης περίπτωσης, ο αλγόριθμος είναι εκθετικός και όχι πολυωνυμικός. Η ανακάλυψη αυτή από τους Klee και Minty μετέφερε το βάρος των ερευνών στην κατασκευή αλγόριθμων με πολυωνυμική πολυπλοκότητα. Ο ελλειψοειδής αλγόριθμος ήταν ο πρώτος πολυωνυμικός αλγόριθμος που αναπτύχθηκε. Παρουσιάστηκε από τον Ρώσο επιστήμονα Khachian(1979), ως τροποποίηση του αλγόριθμου του Shor(1970). Παρά την θεωρητική του αποτελεσματικότητα αποδείχθηκε στην πράξη ότι υστερούσε σημαντικά του αλγόριθμου Simplex. Ο ελλειψοειδής αλγόριθμος παρέμεινε μόνο ένα σημαντικό θεωρητικό αποτέλεσμα στις μετέπειτα αλγοριθμικές προσπάθειες για ανακάλυψη ενός πολυωνυμικού αλγορίθμου αποτελεσματικού στην πράξη. Το 1983 ο Karmakar, ερευνητής των Bell Labs, ανακοινώνει στο συνέδριο της ΙΕΕΕ την ανακάλυψη ενός πολυωνυμικού αλγόριθμου εσωτερικών σημείων με σημαντικά καλύτερη αποτελεσματικότητα στην πράξη από τον αλγόριθμο Simplex και η δημοσίευση της εργασίας του γίνεται ένα χρόνο 4

8 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή μετά. Παράλληλα αποδεικνύεται η πολυωνυμική συμπεριφορά μέσης περίπτωσης για μερικούς κανόνες περιστροφής του αλγόριθμου Simplex. Πολλοί ερευνητές Adler και Megiddo (1985), Borgwardt (1987), Haimovich και Todd (1986) προσπάθησαν να αναλύσουν τη μέση πολυπλοκότητα και τις περισσότερες φορές απέδειξαν ότι είναι πολυωνυμική σε ορισμένα τυχαία δημιουργημένα με ειδικές κατανομές πιθανοτήτων γραμμικά προβλήματα. Στη συνεχεία οι Anstreicher και terlaky (1994) απέδειξαν ότι, ο αυτοδυικός αλγόριθμος περιέχει σαν ειδική περίπτωση τον αλγόριθμο των σκιερών κορυφών. Μελετώντας σχέσεις μεταξύ του δικού τους αλγόριθμου εξωτερικών σημείων με άλλους αλγόριθμους οι Ansteicher και Terlaky απέδειξαν ότι ο αλγόριθμος σκιερών κορυφών είναι ειδική περίπτωση του δικού τους αλγόριθμου. Οι αλγόριθμοι εξωτερικών σημείων σχετίζονται με τον αλγόριθμο των σκιερών κορυφών και επομένως και με τον αυτοδυικό αλγόριθμο. Αυτές οι σχέσεις μελετήθηκαν εκτενώς από τους Anstreicher και Terlaky (1994). Αρκετά πριν τον Terlaky εντελώς διαφορετική κατεύθυνση ακολουθήθηκε από τον Zionts (1969), ο οποίος κατασκεύασε το λεγόμενο Ζικ-Ζακ αλγόριθμο. Στην αρχική του μορφή ο αλγόριθμος Ζικ- Ζακ δεν ήταν πεπερασμένος. Μια πεπερασμένη παραλλαγή του κατασκευάστηκε από τον Terlaky (1985). Ο αλγόριθμος Ζικ-Ζακ, έχει εντελώς συνδυαστική μορφή, δε φαίνεται να είναι αποτελεσματικός και δε σχετίζεται με τους αλγορίθμους εξωτερικών σημείων. Τελευταία, παρουσιάστηκε στη βιβλιογραφία ένας νέος τύπος χαρακτηριστικών αλγορίθμου τύπου Simplex, οι οποίοι αποκαλούμενοι σήμερα αλγόριθμοι εξωτερικών σημείων. Οι νέοι αλγόριθμοι κατασκευάζουν μια ακολουθία από μη εφικτά σημεία και για αυτό το λόγο ονομάζονται αλγόριθμοι εξωτερικών σημείων. Η πρώτη εργασία στην οποία εμφανίζεται ο όρος αλγόριθμος εξωτερικών σημείων, είναι απ ότι γνωρίζουμε, η εργασία paparizos (1991), στην οποία περιγράφεται μια βελτίωση ενός προηγούμενου παρόμοιου αλγορίθμου για το πρόβλημα μεταφοράς, Paparizos (1988). Οι αλγόριθμοι αυτοί βελτιώθηκαν και τροποποιήθηκαν, Achataz (1991), Paparizos(1994) και γενικεύτηκαν στο 5 από 72

9 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων γενικό γραμμικό πρόβλημα. Άλλα αποτελέσματα για αλγόριθμους εξωτερικών σημείων μπορεί κάποιος να βρει στις εργασίες των Paparizos, Samaras, Stephanides. 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Το Γραμμικό Πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησης μιας γραμμικής συνάρτησης, οι άγνωστες μεταβλητές της οποίας υπόκεινται σε γραμμικούς περιορισμούς. Η γενική μορφή του Γραμμικού Προβλήματος μπορεί να διατυπωθεί όπως παρακάτω: Min (ή max) z= C1X1 + C2X2+ +CnXn Με περιορισμούς: a11 X1 a12 X 2... a1 nx n b1 a21x1 a22 X 2... a2nx n b2. a X a X a X b m1 1 m mn n m X 0, j 1,... n j Όπου Cj, Aij, (Bi R) (i=1,2.,n) αποτελούν τα δεδομένα του προβλήματος, * συμβολίζει τα σύμβολα <=,=,>= και Xj είναι οι άγνωστες μεταβλητές του προβλήματος,που πρέπει να υπολογιστούν ώστε η συνάρτηση z να λάβει την ελάχιστη ή μέγιστη τιμή της αντίστοιχα και να ικανοποιούνται οι περιορισμοί του προβλήματος. Οι μεταβλητές Xj ονομάζονται μεταβλητές απόφασης και η μεταβλητή z ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση. Οι μεταβλητές Χj>=0 ονομάζονται φυσικοί περιορισμοί ή περιορισμοί μη αρνητικότητας αφού οι μεταβλητές απόφασης εκφράζουν στην πράξη φυσικές ποσότητες. Οι υπόλοιποι περιορισμοί ονομάζονται τεχνολογικοί επειδή προκύπτουν από το ίδιο το πρόβλημα. 6

10 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή Οι πιο γνωστές μορφές του γραμμικού προβλήματος είναι: Κανονική ή ανισοτική μορφή, όπου όλοι οι τεχνολογικοί περιορισμοί είναι ανισοτικοί, δηλαδή <= ή >=. Τυποποιημένη ή ισοτική μορφή, όπου όλοι οι τεχνολογικοί περιορισμοί είναι ισοτικοί. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στη συνέχεια δίνονται μερικές βασικές έννοιες που αφορούν την επίλυση των γραμμικών προβλημάτων. Θα χρησιμοποιηθούν και στις περιγραφές των νέων αλγόριθμων που θα παρουσιάσουμε σε επόμενα κεφάλαια. 1. Εφικτά σημεία ή εφικτές ονομάζονται τα σημεία που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς του γραμμικού προβλήματος. 2. Εφικτή περιοχή είναι το σύνολο (F) των εφικτών σημείων (ή λύσεων) 3. Βέλτιστο σημείο ή βέλτιστη λύση είναι το εφικτό σημείο (λύση) του γραμμικού προβλήματος(χ Ε F) για το οποίο ισχύει: T T c x c y, y F T T c x c y, y F για min γ.π 4. Βέλτιστη τιμή είναι η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση του γ.π 5. Απεριόριστο είναι ένα εφικτό πρόβλημα για τα οποίο υπάρχει ακολουθία εφικτών σημείων για τα οποία οι αντίστοιχες τιμές τείνουν στο άπειρο για προβλήματα min(max) Σύμφωνα με το θεμελιώδες Θεώρημα του γραμμικού προγραμματισμού ένα γραμμικό πρόβλημα είναι δυνατό ή εφικτό. Αν είναι εφικτό, τότε είναι βέλτιστο ή απεριόριστο. 7 από 72

11 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Επομένως για κάθε γ.π μπορούμε να προσδιορίσουμε την κατηγορία του με το κριτήριο «τη δυνατότητα επίλυσης του» σε μορφή ψευδοκώδικα όπως φαίνεται παρακάτω Αν (F=0) τότε Το γ.π είναι αδύνατο(infeasible) Αλλιώς Το γ.π είναι εφικτό(feasible) Αν(βέλτιστη λύση) τότε Το γ.π είναι βέλτιστο(optimal ) Αλλιώς Το γ.π είναι απεριόριστο(unbounded) Τέλος_αν Τέλος_αν Λύση ενός γραμμικού προβλήματος είναι ο προσδιορισμός της κατηγορίας του δηλ, αν είναι αδύνατο, βέλτιστο ή απεριόριστο. Επιπλέον αν είναι βέλτιστο πρέπει να προσδιοριστεί τουλάχιστον ένα βέλτιστο σημείο του. Επομένως ο γραμμικός προγραμματισμός κατασκευάζει μεθόδους επίλυσης (αλγορίθμους) που υπολογίζουν τουλάχιστον ένα βέλτιστο σημείο. Ένα γ.π μπορεί να σχηματιστεί σε κατάλληλη μορφή (ισοδύναμη με την αρχική μορφή) έτσι ώστε να λυθεί από τον αλγόριθμο που θα χρησιμοποιηθεί. Όσον αφορά την αντικειμενική συνάρτηση μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι ισχύει ο παρακάτω ισχυρισμός T T c x x F c x x F max : min : 8

12 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή Οι δύο μορφές του γ.π που αναφέρθηκαν παραπάνω πήραν το όνομά τους από το είδος των τεχνολογικών περιορισμών που περιλαμβάνουν. Ο μετασχηματισμός αυτών των περιορισμών σε κατάλληλη μορφή γίνεται χρησιμοποιώντας απλές μεθόδους που παρουσιάζονται με τη βοήθεια παραδειγμάτων στη συνέχεια. Ι) Κανονική Τυποποιημένη μορφή Ο μετασχηματισμός των τεχνολογικών περιορισμών από ανισότητες σε ισότητες γίνεται με την πρόσθεση ή αφαίρεση μεταβλητών που ονομάζονται χαλαρές μεταβλητές στο αριστερό μέλος των ανισοτήτων. Σε περίπτωση που ένας περιορισμός είναι ανισότητα της μορφής (μικρότερο ή ίσο), τότε προστίθεται στο αριστερό μέλος του περιορισμού μια μη αρνητική μεταβλητή, η οποία ονομάζεται ελλειμματική χαλαρή μεταβλητή. Για παράδειγμα αν δίνεται ο παρακάτω ανισοτικός περιορισμός x1 x2 x3 x τότε μετά την προσθήκη της χαλαρής μεταβλητής Χ5>=0 προκύπτει αντίστοιχος ισοτικός περιορισμός. x1 2x2 x3 3x4 x5 8 Σε περίπτωση που ένας περιορισμός είναι ανισότητα της μορφής >=(μεγαλύτερο ή ίσο), τότε αφαιρείται από το αριστερό του περιο0ρισμού μια μη αρνητική μεταβλητή. Για παράδειγμα αν δίνεται ο παρακάτω ανισοτικός περιορισμός x1 x2 x3 x4 x5 4 9 από 72

13 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Τότε με την αφαίρεση της χαλαρής μεταβλητής χ6>=0προκύπτει ο αντίστοιχος ισοτικός περιορισμός 2x1 x2 x3 x4 x6 4 Και τις πλεονάζουσες αλλά και τις ελλειμματικές χαλαρές μεταβλητές θα τι καλούμε από δω και στο εξής χαλαρές μεταβλητές. ιι) Τυποποιημένη-Κανονική μορφή Ο μετασχηματισμός των τεχνολογικών περιορισμών από ισότητες σε ανισότητες γίνεται με τη μετατροπή κάθε ισοτικού περιορισμού με δυο ανισοτικούς περιορισμούς, δηλαδή αν δίνεται ο παρακάτω περιορισμός 2x1 x2 x3 x4 x6 4 Τότε προκύπτουν οι επόμενοι δυο ανισοτικοί περιοριορισμοί x1 x2 x3 2x4 x5 4 x1 x2 x3 2x4 x5 4 Ο παραπάνω μετασχηματισμός όμως έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση του πλήθους των περιορισμών του προβλήματος με συνέπεια να προκύπτει ένα σημαντικό υπολογιστικό μειονέκτημα από αυτή τη μετατροπή. Γι αυτό καταφεύγουμε στην εξής λύση. Επειδή χ1>=0 λύνουμε ένα ισοτικό περιορισμό ως προς χ1 και αφαιρούμε τη μεταβλητή χ1 από την αντικειμενική συνάρτηση και από όλους τους περιορισμούς του προβλήματος. Η ενέργεια αυτή πραγματοποιείται για κάθε ισοτικό περιορισμό του γραμμικού προβλήματος. Για παράδειγμα ο παρακάτω ισοτικός περιορισμός Αν λυθεί ως προς χ1 γίνεται x1 x2 x3 2x4 5 10

14 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή Και επειδή χ1>=0 έχουμε x1 x2 x3 2x4 5 x2 x3 2x4 5 Έτσι προκύπτει ένα γραμμικό πρόβλημα με περιορισμούς σε ανισοτική μορφή και με λιγότερες μεταβλητές απόφασης. Επίσης πρέπει να τονισθεί και είναι γνωστό από τα μαθηματικά ότι οποιοσδήποτε ανισοτικός περιορισμός (ή ) μπορεί να μετασχηματισθεί (ή ) αντίστοιχα αν πολλαπλασιάσουμε με -1 και τα δυο μέλη του περιορισμού. Συμπερασματικά είναι απαραίτητο να αναφερθεί ότι οι παραπάνω μετασχηματισμοί είναι γνωστοί ως μετασχηματισμοί ισοδυναμίας και ως εκ τούτου αν το αρχικό γ.π είναι αδύνατο ή βέλτιστο ή απεριόριστο τότε και το αντίστοιχο γραμμικό πρόβλημα που προκύπτει από το μετασχηματισμό θα είναι αντίστοιχα αδύνατο ή βέλτιστο ή απεριόριστο. 1.4 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούνται στην επίλυση γραμμικών προβλημάτων κατασκευάζουν μια ακολουθία σημείων (λύσεων).ένα εφικτό σημείο χ λέγεται εσωτερικό αν ικανοποιεί όλους τους ανισοτικούς περιορισμούς αυστηρά ως ανισότητες και συνοριακό αν ικανοποιεί τουλάχιστο ένα ανισοτικό περιορισμό σαν ισότητα. Τα μη εφικτά σημεία ονομάζονται και εξωτερικά σημεία. Ανάλογα με το είδος των σημείων που κατασκευάζουν οι 11 από 72

15 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων αλγόριθμοι προκύπτει αντίστοιχα μια πρώτη κατάταξη τους όπως φαίνεται παρακάτω 1. Εσωτερικών σημείων(interior point) 2. Συνοριακών σημείων(boundary point) 3. Εξωτερικών σημείων(exterior point) Αν ο αλγόριθμος επιλύει το πρωτεύον πρόβλημα κατασκευάζοντας εφικτά σημεία τότε ονομάζεται πρωτεύον (primal) αλγόριθμος. Αν επιλύει το δυϊκό πρόβλημα κατασκευάζοντας εφικτά σημεία για το δυϊκό πρόβλημα ονομάζεται δυϊκός αλγόριθμος. Επίσης αν τα σημεία που κατασκευάζει ο αλγόριθμος είναι τα βασικά σημεία, δηλαδή ικανοποιούν τουλάχιστον n-mανισοτικούς περιορισμούς σαν ισότητες, τότε ο αλγόριθμος ονομάζεται αλγόριθμος τύπου Simplex ή περιστροφικός αλγόριθμος (pivoting algorithm). Τέλος υπάρχουν και αλγόριθμοι οι οποίοι κατασκευάζουν δυο ακολουθίες σημείων.η πρώτη ακολουθία αποτελείται από σημεία εφικτά στο πρωτεύων πρόβλημα και η δεύτερη αποτελείται από σημεία εφικτά στο δυϊκό πρόβλημα. Οι αλγόριθμοι αυτοί ονομάζονται πρωτεύοντες-δυϊκοί (primal-dual).αν χ είναι εφικτό σημείο του πρωτεύοντος προβλήματος και w ένα εφικτό σημείο του αντίστοιχου δυϊκού προβλήματος τότε η διαφορά στις τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων των δυο προβλημάτων ονομάζεται δυϊκό χάσμα(duality gap). Σε κάθε επανάληψη οι πρωτεύοντες δυϊκοί αλγόριθμοι μειώνουν το δυϊκό χάσμα μέχρι να γίνει ίσο με μηδέν όποτε επιταχύνουν τη βελτιστοποίηση του προβλήματος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ-SIMPLEX 12

16 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή 2.1 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάλαιο απαντάμε στην ερώτηση ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου Simplex ; Κατόπιν περιγράφουμε διάφορους τύπους αλγορίθμων Simplex π.χ τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex, τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex, τον αλγόριθμο Simplex εξωτερικών σημείων, τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex εξωτερικών σημείων και τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex εξωτερικών σημείων. Ο πρώτος αλγόριθμος Simplex εξωτερικών σημείων (EPSA) αναπτύχθηκε από τον Παπαρίζο για το πρόβλημα της αντιστοίχισης. Αργότερα ο Παπαρίζος γενίκευσε τον EPSA για την επίλυση του γενικευμένου γραμμικού προβλήματος LP. Πρωτεύουσες και δυικές εκδόσεις του αλγορίθμου περιγράφονται στις εργασίες (Παπαρίζος 1996, Παπαρίζος 1997). Από τη γεωμετρία του EPSA,είχε προβλεφθεί ότι οι νέοι αλγόριθμοι θα ήταν πιο γρήγοροι από τον αλγόριθμο Simplex. Αυτή η πρόβλεψη επιβεβαιώθηκε από υπολογιστικές μελέτες σε τυχαία αραιά και πυκνά γραμμικά προβλήματα. Πιο συγκεκριμένα αποδείχθηκε ότι ο EPSA είναι μέχρι δέκα φορές πιο γρήγορος από τον αλγόριθμο Simplex για τυχαία βέλτιστα γραμμικά προβλήματα μεσαίου μεγέθους. Οι Anstreicher and Terlaky 1994,Chen et al.1974 και οι Murty and Fathi 1984 ανέπτυξαν άλλους αλγόριθμους τύπου Simplex, οι οποίοι με τον έναν ή τον άλλο τρόπο αποφεύγουν την εφικτή περιοχή. Μια πλήρης επισκόπηση των κανόνων περιστροφής του γραμμικού προγραμματισμού μπορούν να βρεθούν στην αναφορά (Terlaky and Zhang 1993). 2.2 Πως δουλεύει γεωμετρικά η μέθοδος Simplex Ας θεωρήσουμε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: Μεγιστοποίησε: 13 από 72

17 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Με περιορισμούς x1 x2 2x1 x214 x1 2x28 2x1x210 x1 0, x2 0 Η μέθοδος Simplex αποτελείται από δυο βασικά βήματα που καλούνται «φάσεις». Στην πρώτη φάση προσπαθούμε να βρούμε μια εφικτή λύση του προβλήματος. Για προβλήματα μικρού μεγέθους ή ακόμα και για τα μεγαλύτερα προβλήματα κάποιων μορφών η παραπάνω λύση δεν είναι δύσκολη. Συχνά μια τετριμμένη λύση, όπως η χ1=0, είναι μια εφικτή λύση. Αφού βρεθεί μια εφικτή λύση στο πρόβλημα, η μέθοδος Simplex προσπαθεί να βελτιώσει σε κάθε επανάληψη την τιμή της συνάρτησης κόστους (αντικειμενική συνάρτηση). Αυτό επιτυγχάνεται βρίσκοντας μια μεταβλητή του προβλήματος η τιμή της οποίας μπορεί να αυξηθεί, μειώνοντας ταυτόχρονα κάποια άλλη μεταβλητή έτσι ώστε να προκύπτει βελτίωση της τιμής της συνάρτησης κόστους. Αυτό μπορεί να οπτικοποιηθεί γραφικώς,μετακίνησης στις πλευρές του εφικτού (πολυγώνιου) από κορυφή σε κορυφή. Το εφικτό σύνολο του προβλήματος μπορεί να προστεθεί σε δυο διαστάσεις όπως φαίνεται στο σχήμα Οι μη αρνητικοί περιορισμοί χ1>=0 και χ2>=0 περιορίζουν το εφικτό σύνολο στο πρώτο τεταρτημόριο. Οι υπόλοιποι 3 περιορισμοί είναι εξισώσεις ευθείας στο χ1-χ2 όπως φαίνεται στο σχήμα. Η συνάρτηση κόστους χ1+χ2, μπορεί να αναπαρασταθεί με μια ευθεία γραμμή που έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με -1. Η τεταγμένη της γραμμής της συνάρτησης κόστους ισούται με την τιμή της συνάρτησης κόστους για οποιαδήποτε λύση που βρίσκεται επάνω στη γραμμή. Η έντονη γραμμή του σχήματος αναπαριστά τη βέλτιστη λύση του προβλήματος, διότι μια γραμμή που έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με -1 και μέγιστη τεταγμένη ίση με 10 που τέμνει το εφικτό σύνολο. Η τιμή της συνάρτησης κόστους για την εφικτή λύση ισούται με 10 14

18 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή και η ευθεία χ1+χ2=10 της συνάρτησης κόστους έχει ακριβώς ένα σημείο με συντεταγμένες χ1=4 και χ2=6 μέσα στο εφικτό σύνολο. Η μέθοδος Simplex προσπαθεί να βρει μια εφικτή λύση (ένα σημείο), και μετά μετακινεί αυτό το σημείο προς οποιαδήποτε κορυφή του εφικτού συνόλου, με στόχο τη βελτίωση της συνάρτησης κόστους. Τελικά φθάνουμε σε μια κορυφή από την οποία αν μετακινηθούμε δεν βελτιώνεται η συνάρτηση κόστους. Αυτή είναι η βέλτιστη λύση. Στο παράδειγμα μας η τιμή χ1=0 και χ2=0 είναι μια τετριμμένη εφικτή λύση, που δίνει στη συνάρτηση κόστους την τιμή μηδέν(0). Αυτή είναι η κορυφή Α του σχήματος Από το σημείο αυτό μπορούμε να μετακινηθούμε είτε προς το σημείο Β είτε προς το Ε. Το σημείο Ε(0,4) αυξάνει την τιμή της συνάρτησης κόστους σε 4 ενώ το σημείο Ν(5,0) την αυξάνει στην τιμή 5. Επειδή το σημείο Β μας δίνει μεγαλύτερη βελτίωση, το επιλέγουμε στην πρώτη επανάληψη(θα μπορούσαμε επίσης να είχαμε επιλέξει το σημείο Ε, κάτι που θα μας οδηγούσε πιο γρήγορα στη βέλτιστη λύση). Η τιμή της μεταβλητής χ1 αυξάνει από 0 σε 5,ενώ η τιμή της χ2 παραμένει από 72

19 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Σχήμα Γραφική επίλυση ενός γραμμικού προβλήματος Από το σημείο Β, ελέγχουμε αν μια ενδεχόμενη μετακίνηση προς το σημείο C είναι επωφελής (γνωρίζουμε ότι μια ενδεχόμενη μετακίνηση προς το σημείο Α δεν είναι επωφελής. Το σημείο C (6,2) δίνει την τιμή 8 στη συνάρτηση κόστους, γεγονός που αποτελεί βελτίωση. Συνεπώς αυξάνουμε την τιμή της μεταβλητής χ1 από 5 σε 6 και επειδή ισχύουν οι περιορισμοί 2χ1-χ2<=10 και χ1+2χ2<=8, πρέπει να αυξήσουμε και την τιμή της χ2 από 0 σε 2. Από το σημείο C,ελέγχουμε αν μια μετακίνηση προς το σημείο Dβελτιώνει την κατάσταση. Για το σημείο D(4,6) η τιμή της συνάρτησης κόστους ισούται με 10 και έτσι αποδεχόμαστε την μετακίνηση, αυξάνοντας την τιμή της χ2 από 32 σε 6. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της χ1 πρέπει να μειωθεί από το σημείο Ε(τιμή της συνάρτησης κόστους ίση με 4) είτε προς το σημείο C(τιμή της συνάρτησης κόστους ίση με 8) μειώνει την τρέχουσα τιμή της συνάρτησης κόστους, συμπεραίνουμε ότι το σημείο D είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος. 2.3 Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Ας θεωρήσουμε το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα: Μεγιστοποίησε z=cx Με περιορισμούς Ax=b x 0 Μια βασική εφικτή λύση στο παραπάνω πρόβλημα αντιστοιχεί σε ένα ακραίο σημείο της εφικτής περιοχής και χαρακτηρίζεται μαθηματικά από τον διαμερισμό του πίνακα Α σε έναν μη-μοναδιαίο πίνακα βάσης Β και στον πίνακα Ν που αποτελείται από τις μη βασικές στήλες. Δηλαδή Α =(Β:Ν) Βασιζόμενοι σε αυτό το διαμερισμό, το γραμμικό σύστημα Αx=b μπορεί να ξαναγραφεί ως BxB NxN b Αυτό απλοποιείται περαιτέρω στο σύστημα 16

20 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή x 1 1 B B NXN B b Και λύνοντας ως προς XB, άγνωστο το ΧΝ, παίρνουμε 1 1 xb B b B NXN Τώρα θέτοντας XN=,βλέπουμε ότι η εξίσωση έχει ως αποτέλεσμα την XB=B-1b. Η λύση 1 XB B b X XN 0 Καλείται βασική λύση, το διάνυσμα XB καλείται διάνυσμα των βασικών μεταβλητών, και το XN καλείται διάνυσμα των μη βασικών μεταβλητών. Επιπροσθέτως αν XB=B-1 Β>=0, τότε η παρακάτω λύση X 1 B b 0 καλείται βασική εφικτή λύση. Τώρα ας θεωρήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση z=cx. Διαμερίζοντας το διάνυσμα κόστους cσε βασικά και σε μη-βασικά μέρη π.χ c=(cb,cn), η αντικειμενική συνάρτηση γράφεται ως z C X C X B B N N Αντικαθιστώντας το Xb (εξίσωση 2.3.5) στην εξίσωση παίρνουμε 1 1 B XN N N z C B bb N C X Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί ως: z C B b C B N C X 1 1 B B N N από 72

21 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Συνεπώς το ζ ισούται με τη σταθερά CbB-1b μείον τον όρο (CbB-1N- Cn)Xn. Αν θέσουμε Χn=0, η εξίσωση μετατρέπεται στην z=cbb-1b. Η τελευταία είναι ο η αντικειμενική τιμή που αντιστοιχεί στην τρέχουσα βασική εφικτή λύση. Έτσι η τρέχουσα λύση ακραίου σημείου μπορεί να παρασταθεί σε κανονική μορφή όπως παρακάτω: z C B b C B N C X 1 1 B B N N XB B B NxN H τρέχουσα βασική εφικτή λύση δίνεται από τις παρακάτω εξισώσεις Z CBB b X 1 XB B b 0 XN Αν τώρα αναδιατάξουμε τους όρους, έτσι ώστε όλες οι αναθεωρημένες μεταβλητές να βρίσκονται στο αριστερό μέρος της εξίσωσης ενώ οι σταθερές να βρίσκονται στο δεξιό μέρος παίρνουμε: 1 1 z CBB N CN XN CBB b XB B NXN B b Το Simplex ταμπλό είναι απλά ένας πίνακας που χρησιμοποιείται για την αποθήκευση των συντελεστών των εξισώσεων και Η επάνω γραμμή (γραμμά0) του ταμπλό αποτελείται από τους συντελεστές της αντικειμενικής εξίσωσης και το σώμα του ταμπλό(γραμμές 1 έως n) αποθηκεύει τους συντελεστές των εξισώσεων των περιορισμών (2.3.14).Η 18

22 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή γενική μορφή του ταμπλό φαίνεται στον πίνακα και αν ξαναγραφεί πιο συμπυκνωμένα προκύπτει η μορφή που φαίνεται σον πίνακα z Xb Xn Δεξί Μέρος CBB N C N 1 CBB b B N B b 1 Πίνακας Z x Δεξί Μέρος 1 1 B C B A c 1 CBB b 1 0 B A B b 1 Πίνακας Τώρα είμαστε έτοιμοι να συνοψίσουμε τα βήματα του αλγόριθμου Simplexόπως αυτά εφαρμόζονται στο Simplex ταμπλό. Περιγραφή του πρωτεύοντος αλγορίθμου Simplex : Βήμα 0:(Αρχικοποίηση) Ξεκίνα με ένα εφικτό βασικό σημείο και κατασκεύασε το αντίστοιχο Simplex ταμπλό. Βήμα 1:(Επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής) Αν a oj >=0 για j=1,2,,n, STOP.Η λύση είναι βέλτιστη.με κάποιον κανόνα περιστροφής, επέλεξε την εισερχόμενη δείκτη s: a os >0, πχ br b2 b min, min, 10 ar 3 a23 a Βήμα 2:( Επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής) 19 από 72

23 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Θέσε Ι= {i: A is > 0}. Αν Ι=0, STOP. Το πρόβλημα είναι απεριόριστο. Με κάποιον κανόνα περιστροφής, βρες το δείκτη της στήλης περιστροφής r: br bi min : i I brs ais Βήμα3(Περιστροφή) Σχημάτισε το επόμενο ταμπλό με τη μεταβλητή περιστροφής A rs πχ. Θέσε a rj arj Όπου j=1,2,.,n,n+1 ars arj aij aij ais Όπου i=0,1,2, m (i r) και j=1,2,,n n=1 ars Και πήγαινε στο βήμα1. Με τον πρωτεύοντα Αλγόριθμο Simplex επιλύουμε 2 προβλήματα. Το πρώτο πρόβλημα είναι βέλτιστο και το δεύτερο απεριόριστο. Παράδειγμα 2.3.1: Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex. Max z= 2X1+3x2 S.t X1-2x2 +x3 =4 2x1+x2 +x4 =18 X2 + x5 =10 X1, x2, x3, x4 και χ5>=0 Λύση: Επανάληψη 1 Βήμα 0 (Αρχικοποίηση) 20

24 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή Από το αρχικό πρόβλημα είναι φανερό ότι τα βασικά εφικτά σημεία είναι τα χ1=0, χ2=0, χ3=4,χ4=18 και χ5=10. Έτσι προκύπτει το παρακάτω αρχικό Simplex ταμπλό: Z X1 X2 X3 X4 X5 Δεξί μέρος Ζ Χ Χ Χ Βήμα 1: (επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής) Προσδιορισμός της στήλης περιστροφής και επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής aos min a, a min 2, 3 3 a Επειδή s=2,η μεταβλητή χ2 μπαίνει στη βάση. Βήμα2:(επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής). Θέσε Ι={2,3} και βρες το r=3 διότι br b2 b min, min, 10 ar 3 a23 a Συνεπώς η μεταβλητή χ5 βγαίνει από τη βάση. Βήμα 3 :(περιστροφή) Σχημάτισε το επόμενο Simplex ταμπλό με το στοιχείο περιστροφής Α 32 πχ Z X1 X2 X3 X4 X5 Δεξί μέρος z X X X από 72

25 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Επειδή Α 01<0, στην αντικειμενική γραμμή, επαναλαμβάνουμε τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex Επανάληψη 2 Βήμα1 (επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής) Προσδιορισμός της στήλης περιστροφής, Επέλεξε Aos = min {A 01,A 02 } =min{-2,0}=-2=a 01. Το s=1, συνεπώς η μεταβλητή x1 μπαίνει στη βάση. Βήμα 2: (επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής). Θέσε Ι={1,2} και βρες το r =2 br διότι br b1 b min, min, 4 ar1 a13 a Συνεπώς η μεταβλητή χ4 βγαίνει από τη βάση. Βήμα 3:(περιστροφή) Σχημάτισε το επόμενο Simplex ταμπλό με το στοιχείο περιστροφής Α21 πχ. z X1 X2 X3 X4 X5 Δεξί Μέρος Ζ Χ /2 5/2 20 Χ /2-1/2 4 Χ Επειδή Α oj >=0 ; όπου j= 1,2,,5 στην αντικειμενική γραμμή STOP.Η λύση είναι βέλτιστη και είναι η χ1=4, χ2=10, χ3=20, χ4=0, χ5=0.η αντικειμενική συνάρτηση είναι z=2x1 + 3Χ2=38. Παράδειγμα

26 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex. Max z = 5X1 + 3X2 s.t -x1 +x2 4 x1 2x2 6 x1 και χ2 0 Λύση: Προσθέτουμε τις χαλαρές μεταβλητές χ3 και χ4 έτσι ώστε το γραμμικό πρόβλημα να μετατραπεί στο παρακάτω: Max z =5x1 +3x2 s.t x1 + x2 +x3 =4 X1-2x2 +x4=6 X1, x2, x3 και χ4 0 Επανάληψη 1 Βήμα 0 (αρχικοποίηση) Σχημάτισε το αρχικό πρόβλημα. Είναι φανερό ότι τα βασικά εφικτά σημεία είναι τα χ1=0, χ2=0, χ3=4 και χ4=6. Έτσι κατασκευάζουμε το αρχικό ταμπλό Simplex. Z X1 X2 X3 X4 Δεξί Μέρος z X X βήμα 1 : (επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής) Προσδιόρισε τη στήλη περιστροφής και επέλεξε Aos= min {A01, A02} =MIN {-5,-3} = -5 =A 01 Tο s=1, συνεπώς η μεταβλητή χ1 μπαίνει στη βάση. 23 από 72

27 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Βήμα2: (επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής ). Θέσε Ι={2} και βρες το r=2 διότι b a b 6 min min 6 a 1 r 2 r1 21 Συνεπώς η μεταβλητή χ4 βγαίνει από τη βάση. Βήμα3 :(Περιστροφή) Σχημάτισε το επόμενο simplex ταμπλό με το στοιχείο περιστροφής Α21 π.χ z X1 X2 X3 X4 Δεξί Μέρος Z X X Επειδή υπάρχει το a 02 <0, στην αντικειμενική γραμμή, επαναλαμβάνουμε τον πρωτεύοντα αλγόριθμο simplex Επανάληψη 2 Βήμα 1: (επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής). Προσδιόρισε τη στήλη περιστροφής και επέλεξε a min a min a os o2 o2 To s=2, συνεπώς η μεταβλητή χ2 μπαίνει στη βάση. Βήμα 2: (επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής) Θέσε Ι=0 έτσι ώστε το πρόβλημα να είναι απεριόριστο. 2.4 Δυϊκός αλγόριθμος Simplex Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζουμε ένα από τα πιο σημαντικά ζητήματα του γραμμικού προγραμματισμού. Κατά την εκτέλεση του αλγορίθμου Simplexδεν βρίσκουμε μόνο τη βέλτιστη λύση ενός γραμμικού προβλήματος αλλά βρίσκουμε επίσης και ένα συνοδευτικό πρόβλημα που καλείται δυϊκό πρόβλημα. Η δυϊκή μέθοδος Simplex αναπτύχθηκε από τον 24

28 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή Lemke Στον γραμμικό προγραμματισμό χρησιμοποιούμε τη δυϊκότητα σε ένα μεγάλο πλήθος θεωρητικών και πρακτικών περιπτώσεων. Μεταξύ άλλων αυτές είναι οι παρακάτω: 1- Σε μερικές περιπτώσεις είναι πιο εύκολο (π.χ λιγότερες επαναλήψεις) να λύσουμε το δυϊκό πρόβλημα αντί του πρωτεύοντος 2- Οι δυϊκές μεταβλητέ; Παρέχουν σημαντικές οικονομικές ερμηνείες όταν επιλύουμε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. 3- Η δυϊκότητα χρησιμοποιείται βοηθητικά όταν αλλάζουν οι τιμές των συντελεστών ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. 4- Η δυϊκότητα χρησιμοποιείται για να μας επιτρέψει να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο simplex για να επιλύσουμε προβλήματα στα οποία η αρχική βάση δεν είναι εφικτή (αυτή η τεχνική είναι γνωστή σαν δυϊκή simplex ). 5- Η δυϊκότητα χρησιμοποιείται για να αναπτύξουμε έναν αριθμό από σημαντικά θεωρητικά αποτελέσματα στο γραμμικό προγραμματισμό. Περιγράφουμε τη δυϊκή μέθοδο Simplex η οποία λύνει το δυϊκό πρόβλημα απευθείας πάνω στο Simplex ταμπλό του πρωτεύοντος.εξετάζουμε το σύνηθες πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού: Max z=cx S.t Ax= x 0 Σε κάθε επανάληψη προχωράμε από μι βασική εφικτή λύση του δυϊκού προβλήματος σε μια βελτιωμένη βασική εφικτή λύση μέχρι ότου είτε φτάσουμε σε μια βέλτιστη λύση του δυϊκού (καθώς επίσης και του πρωτεύοντος) είτε συμπεράνουμε ότι το δυϊκό πρόβλημα είναι απεριόριστο και το πρωτεύων είναι μη εφικτό. 25 από 72

29 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Περιγραφή του Δυϊκού Αλγόριθμου Simplex Βήμα 0 :(Αρχικοποίηση) Ξεκίνα με ένα βασικό δυϊκό εφικτό σημείο και κατασκεύασε το αντίστοιχο simplex ταμπλό. Βήμα 1:(Επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής) Αν Bi>=0 για i= 1,2,,m, STOP. Η λύση είναι βέλτιστη. Διαφορετικά διάλεξε την εξερχόμενη μεταβλητή του δείκτη r έτσι ώστε: Br=min {Bi: Bi<0, για i=1, 2 m} Βήμα 2: (Επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής) Θέσε J= {j: a rj <0}. Αν J=0, STOP. Το δυϊκό πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά βρες τον δείκτη της στήλης περιστροφής s: a a j J a os oj min : rs arj Βήμα 3 : (Περιστροφή ) Από το επόμενο ταμπλό της μεταβλητής περιστροφής Αrσ π.χ Θέσε a rj arj όπου j=1.2,,n,n+1 ars arj aij aij ais όπου i=0,1,2 m(i r) και j=1,2,,n,n+1 ars Και πήγαινε στο βήμα 1. Επιλύουμε 2 προβλήματα με τον Δυϊκό Πρωτεύοντα Αλγόριθμο Simplex. Το πρώτο πρόβλημα είναι βέλτιστο και το δεύτερο απεριόριστο. Παράδειγμα Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα με τον δυϊκό πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex. Max z = -2x1 x2-4x3 S.t -2x1 4x2 2x3-6 -X1 + 2x2 6x3-5 -x1 + 4x2 + 3x3 8 26

30 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή X1, x2, x3, και χ4 0 Λύση: Προσθέτουμε τις χαλαρές μεταβλητές χ4,χ5, και χ6, οπότε το γραμμικό πρόβλημα μετατρέπεται στο παρακάτω: Max z= -2x1 x2-4x3 S.t -2x1 4x2-2x3 +x4 =-6 -X1 + 2x2-6x3 +x5 =-5 -x1 + 4x2 + 3x3 +x6 =8 X1, x2, x3, x4, x5, και χ6 0 Επανάληψη 1 Βήμα 0 (αρχικοποίηση) Από το αρχικό πρόβλημα είναι φανερό ότι τα δυϊκά βασικά εφικτά σημεία είναι τα χ1=0, χ2=0, χ3=0, χ4=-6, χ5=-5 και χ6=8. Κατασκευάζουμε το αρχικό ταμπλό Simplex ταμπλό Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Δεξί Μέρος z X X X Βήμα 1: (επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής) Προσδιόρισε τη γραμμή περιστροφής και επέλεξε 1 2 br min b, b min 6, 5 6 b Το r=1, συνεπώς η μεταβλητή χ4 βγαίνει από τη βάση. Βήμα2 : ( επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής) Θέσε J={1,2,3} και βρες s=2 διότι aos min aoj a a a : j J min,, min,, ars arj a11 a12 a από 72

31 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Συνεπώς η μεταβλητή χ2 μπαίνει στη βάση. Βήμα 3: (Περιστροφή) Σχημάτισε το επόμενο Simplex ταμπλό με το στοιχείο περιστροφής Α32= Α12 = -4 π.χ Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Δεξί Μέρος z 1 3/2 0 7/2 1/ /2 X2 0 1/2 1 1/2-1/ /2 X X Επειδή υπάρχει Β2<0, στο δεξί μέρος, επαναλαμβάνουμε τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex Επανάληψη 2 Βήμα 1 : (επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής) Προσδιόρισε τη στήλη περιστροφής και επέλεξε br min b min b 2 2 Το r=2, συνεπώς η μεταβλητή χ5 βγαίνει από τη βάση. Βήμα2 : (Επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής) Θέσε J={1,3} και βρες s=3 διότι aos min aoj a a : j J min, min, 1 ars arj a21 a Συνεπώς η μεταβλητή χ3 μπαίνει στη βάση. Βήμα3 : (Περιστροφή) 28

32 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή Σχημάτισε το επόμενο Simplex ταμπλό με το στοιχείο περιστροφής A32=23 =-14 π.χ Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Δεξί Μέρος z 1 1/ /2 1/2 0-11/2 X2 0 5/14 1 1/20-3/14-1/ /14 X3 0 2/ /14-1/7 0 8/7 X6 0-23/ /14 8/7 1 26/7 Βήμα1 : (επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής) Επειδή Bi>0 όπου i=1,2,3 STOP. Η λύση είναι η χ1=0, χ2=13/14, χ3=8/7, χ4=0, χ5=0, και το z= -11/2. Example 2.4.2: Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα με τον δυϊκό πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex. Max z= -x1 + 2x2 + 4x3 S.t x1 + x2-2x3-4 2x1 x2-2x3-2 X1 - x2 + 2x3-8 X1, x2 και χ3 0 Λύση : Προσθέτουμε τις χαλαρές μεταβλητές χ4,χ5, και χ6.έτσι το γραμμικό πρόβλημα μετατρέπεται στο παρακάτω: Max z= -x1 + 2x2 +4x3 S.t x1 + x2-2x3 +x4 =-4 2x1 x2-2x3 +x5 =-2 x1 x2 + 2x3 +x6 =-8 29 από 72

33 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων x1,x2,x3,x4,x5 και χ6 0 Επανάληψη 1 Βήμα (αρχικοποίηση) Από το αρχικό πρόβλημα είναι φανερό ότι τα δυϊκά Βασικά εφικτά Σημεία είναι τα χ1=0, χ2=0, χ3=0, χ4=-4, χ5=-2 και χ6=-8. Κατασκευάζουμε το αρχικό simplex ταμπλό z X1 X2 X3 X4 X5 X6 R.H.S Z X X X Βήμα 1 : (επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής) Προσδιόρισε τη γραμμή περιστροφής και επέλεξε br min b, b, b min 4, 2, 8 8 b Το r=3, συνεπώς η μεταβλητή χ6 βγαίνει από τη βάση. Βήμα 2 : (επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής) Θέσε J={2} και βρες s=2 διότι aos aoj a02 2 min : j J min min 2 ars a a 1 rj 32 Συνεπώς η μεταβλητή χ2 μπαίνει στη βάση. Βήμα 3 : (περιστροφή) Σχημάτισε το επόμενο simplex ταμπλό με το στοιχείο περιστροφής Ars= A12 =-1 π.χ z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Δεξί Μέρος z X

34 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή X X Επειδή υπάρχει b i <0 στο δεξί μέρος επαναλαμβάνουμε τον δυϊκό αλγόριθμο simplex Επανάληψη 2 Βήμα 1 : (επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής ) Προσδιόρισε τη γραμμή περιστροφής και επέλεξε br min b min b 1 1 Το r=1, συνεπώς η μεταβλητή χ4 βγαίνει από τη βάση. Βήμα 2 : ( επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής Θέσε J=0, STOP.Το δυϊκό πρόβλημα είναι απεριόριστο. 2.5 Αλγόριθμος Simplex Εξωτερικών Σημείων Ο κλασσικός αλγόριθμος simplex είναι ο πιο διαδεδομένος αλγόριθμος του γραμμικού προγραμματισμού. Στην πράξη είναι αρκετά αποτελεσματικός για γραμμικά προβλήματα μικρού ή μεσαίου μεγέθους. Ο Borgwardt απέδειξε ότι ο αναμενόμενος αριθμός των επαναλήψεων για την επίλυση ενός γραμμικού προβλήματος (LP) με τον αλγόριθμο Simplex είναι πολυωνυμικός. ΟΙ Klee- Minty απέδειξαν ότι η πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης είναι εκθετική. Από τότε έχουν γίνει πολλές προσπάθειες για να βρεθούν καλύτεροι(πιο γρήγοροι) τρόποι ώστε να επιλυθούν γραμμικά προβλήματα. Έρευνες οδήγησαν στην ανάπτυξη αποτελεσματικών μεθόδων εσωτερικών σημείων. Οι τελευταίες είναι πιο αποτελεσματικές από τον αλγόριθμο Simplex για μεγάλα γραμμικά προβλήματα. Παρόλα αυτά η υπολογιστική βελτίωση των αλγορίθμων περιστροφής παραμένει θέμα μεγάλης σπουδαιότητας. Ένας τρόπος για να βελτιωθεί ο αλγόριθμος Simplex είναι να αποφευχθεί η μετακίνηση από μια κορυφή σε μια γειτονική της. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί αποφεύγοντας τα όρια του πολυέδρου P= {x: Ax b,x 0} και κατασκευάζοντας βασικές λύσεις που δεν είναι εφικτές. Ένας τέτοιος αλγόριθμος ονομάζεται 31 από 72

35 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων αλγόριθμος Simplex εξωτερικών σημείων (EPSA).Ο πρώτος (EPSA) αναπτύχθηκε από τον Παπαρρίζο για το πρόβλημα της αντιστοίχισης. Αργότερα ο Παπαρρίζος γενίκευσε την (EPSA) για το γενικευμένο γραμμικό πρόβλημα. Από τη γεωμετρία του (EPSA),ο Παπαρρίζος προέβλεψε ότι ο νέος αλγόριθμος θα ήταν πιο γρήγορος από τον αλγόριθμο Simplex. Αυτή η πρόβλεψη επαληθεύτηκε από υπολογιστικές μελέτες σε τυχαία αραιά και πυκνά γραμμικά προβλήματα. Πιο συγκεκριμένα ο EPSA αποδείχθηκε ότι είναι 10 φορές πιο γρήγορος από τον αλγόριθμο Simplex για τυχαία βέλτιστα γραμμικά προβλήματα μεσαίου μεγέθους. Οι Anstreicher and Terlaky 1994, CURET 1984,Chen et al 1974 και οι Murty and Fathi 1984 ανέπτυξαν άλλους αλγορίθμους τύπου simplex,που με τον έναν ή τον άλλο τρόπο αποφεύγουν την εφικτή περιοχή. Μια πλήρης επισκόπηση των κανόνων περιστροφής του γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να βρεθεί στο άρθρο (Terlaky and Zhang 1993). Ο EPSA Κατασκευάζει 2 μονοπάτια (διαδρομές) προς τη βέλτιστη λύση. Η πρώτη διαδρομή αποτελείται από βασικές αλλά όχι εφικτές λύσεις και ονομάζεται εξωτερική διαδρομή. Η δεύτερη διαδρομή είναι εφικτή. Αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των οποίων βρίσκονται μέσα στην εφικτή περιοχή. O EPSA στηρίζεται στην ιδέα ότι ακολουθώντας βήματα προς κατευθύνσεις που είναι συνδυασμοί δελεαστικών κατηφορικών διαδρομών, μπορεί να οδηγηθούμε σε σύγκλιση πιο γρήγορα από ότι με τον κλασσικό αλγόριθμο simplex. Αν και ο EPSA είναι σαφώς αποδοτικότερος από τον κλασσικό simplex (σε τυχαία πυκνά και αραιά γραμμικά προβλήματα) παρουσιάζει 2 υπολογιστικά μειονεκτήματα. Πρώτον είναι δύσκολο να κατασκευάσουμε καλές κατευθύνσεις μετακίνησης. Χρησιμοποιούμε τον όρο «καλές κατευθύνσεις μετακίνησης» καταχρηστικά. Μια καλή κατεύθυνση μετακίνησης είναι μια κατεύθυνση που κάνει τον αλγόριθμο αποδοτικό στην πράξη. Γεωμετρικά μια καλή κατεύθυνση που οδηγεί πολύ κοντά στη βέλτιστη λύση. Στην πράξη οι 2 παραπάνω διαδρομές εξαρτώνται από το αρχικό εφικτό τμήμα και από την αρχική εφικτή κορυφή. Δεύτερον δεν 32

36 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή υπάρχει γνωστός τρόπος να μετακινηθούμε μέσα στο εσωτερικό της εφικτής περιοχής. Αυτή η μετακίνηση θα παρέχει μεγαλύτερη ευελιξία κατά την αναζήτηση υπολογιστικά αποδοτικών κατευθύνσεων. 2.6 Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Εξωτερικών σημείων Περιγράφουμε τον πρωτεύοντα αλγόριθμο simplex εξωτερικών σημείων EPSA, που λύνει το πρόβλημα απευθείας πάνω στο (πρωτεύον) simplex ταμπλό. Εξετάζουμε το κλασσικό πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού: Max z=cx S.t Ax=b x 0 Ο αλγόριθμος ξεκινά με ένα εφικτό σημείο.βρίσκουμε το σύνολο των μη- βασικών δεικτών J= {j: a oj <0}. Αν J=0,τότε το πρώτο κύριο σημείο είναι το πιο βέλτιστο και ο αλγόριθμος σταματάει. Διαφορετικά υπολογίζουμε το άθροισμα όπου i=0,1,2,,m και βρίσκουμε το σύνολο των δεικτών I= {i:aio>0}. Αν Ι=0, τότε το πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά υπολογίζουμε το άθροισμα όπου i= 0,1,2,,m και βρίσκουμε το σύνολο των δεικτών I={i: a io >0}. Αν Ι=0, τότε το πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά βρίσκουμε το δείκτη της εισερχόμενης μεταβλητής r από το κλάσμα εξερχόμενης των δεικτών J= {j: br bi min : i I ar0 aio Για να βρούμε το δείκτη της μεταβλητής s, πρέπει να βρούμε το σύνολο a oj >0} και μετά να υπολογίσουμε τα θ1 και θ2. Αν θ1 θ2 θέσε s = k αλλιώς s=1. Το τελευταίο βήμα είναι η περιστροφή με το στοιχείο περιστροφής Αrs. O EPSA κατασκευάζει 2 διαδρομές προς τη βέλτιστη λύση. Η πρώτη διαδρομή αποτελείται από βασικές αλλά μη εφικτές λύσεις και είναι στην ουσία μια εξωτερική διαδρομή. Η δεύτερη διαδρομή είναι εφικτή. 33 από 72

37 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των οποίων βρίσκονται μέσα στα στενά όρια της εφικτής περιοχής. Περιγραφή του αλγόριθμου simplex Εξωτερικών Σημείων Βήμα 0 : (Αρχικοποίηση) Ξεκίνα με ένα εφικτό βασικό σημείο και κατασκεύασε το αντίστοιχο ταμπλό του εξωτερικού simplex. Βήμα 1:(Έλεγχος τερματισμού) Βρες το σύνολο J={j: a oj <0}. Αν J=0, STOP. Το πρόβλημα είναι βέλτιστο. Διαφορετικά υπολόγισε το a io = ai j όπου i=0,1,2,m. n jj Βήμα 2: (Επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής) Βρες το σύνολο Ι= { aio 0 }. Aν Ι=0 STOP. Το πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά υπολόγισε το δείκτη της εισερχόμενης μεταβλητής r από τη σχέση: br bi min : i I ar0 aio Βήμα 3 :(Επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής) Θέσε J={j: Aoj >0} και υπολόγισε a a ok oj 1 min : j J, arj 0 rk rj a a 01 oj 2 min : j J, arj 0 r1 rj Βρες το δείκτη της εξερχόμενης μεταβλητής s, αν θ1 θ2 θέσε s=k αλλιώς s=1. Βήμα 4: (Περιστροφή) Κατασκεύασε το επόμενο ταμπλό με το στοιχείο περιστροφής Αrs π.χ Θέσε 34

38 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή arj arj όπου j=1,2,,n,n+1 ars arj ij ij is ars a a a όπου i=0,1,2, m(i r)και j=1,2,,n,n+1 Αν s=k θέσε aor aor 1 Και πήγαινε στο βήμα 1 Παράδειγμα Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα με τον αλγόριθμο simplex εξωτερικών σημείων. Max z= -x1 x2 + 4x3 S.t x1 + x2 + x3 9 X1 + x2 + x3 2 -x1 + x2 + x3 4 X1, x2 και χ3 0 Λύση: Προσθέτουμε τις χαλαρές μεταβλητές χ4,χ5 και χ6, οπότε το γραμμικό πρόβλημα μετατρέπεται στο παρακάτω: Max z= -x1 x2 + 4x3 S.t x1+ x2 +x3 +x4 =9 X1 + x2 x3 +x5 =2 -x1 + x2 + x3 +x6 =4 x1, x2 x3, x4, x5 και χ6 0 Βήμα 0 : (Αρχικοποίηση ) Από το αρχικό πρόβλημα κατασκευάζουμε το αρχικό εξωτερικό simplex ταμπλό Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 Δεξί Μέρος z από 72

39 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων X4 X5 X Βήμα 1: Βρες το σύνολο J={ j: Aoj <0}={3}, επειδή J 0, ο αλγόριθμος δε σταματάει. Βήμα 2: Βρες το σύνολο I {I =Ai0>0} = {1,3}, επειδή I 0 το πρόβλημα δεν είναι απεριόριστο. Βρες το δείκτη της εισερχόμενης μεταβλητής r=3 διότι br bi b1 b2 min : i I min, min9/ 2,4/1 4 ar0 aio a10 a30 Βήμα 3 : Θέσε J = {j : Aoj>0} {1,2} και υπολόγισε 0 k oj a03 1 min : j J, arj 0 min min 4 /1 4 ark arj a33 01 oj a01 2 min : j J, arj 0 min min 1 / 1 1 ar1 arj a31 Επειδή θ1<θ2 το s=1 και η εξερχόμενη μεταβλητή είναι η χ4 Βήμα 4 : Σχημάτισε το επόμενο ταμπλό με στοιχείο περιστροφής το Α31 Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 Δεξί 36

40 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή Μέρος z X X X Βήμα 1: Βρες το σύνολο J= { j: Aoj <0} ={3}, επειδή J 0, ο αλγόριθμος δε σταματάει. Βήμα 2: Βρες το σύνολο I ={i: Ai0>0} = {1}, επειδή Ι 0 το πρόβλημα δεν είναι απεριόριστο. Βρες το δείκτη της εισερχόμενης μεταβλητής r=1 διότι b1 bi a03 2 min : i I, ais 0 min min3 / als ais a33 aos aoj b3 min : j J min min12 /1 12 am 1, s am 1 j a3 b b na m 1n i m 1j ii b a r bi min : i I min13/ a r0 i0 Βήμα 3 : Θέσε J = {j : Aoj >0} = {2,6} και υπολόγισε aoj a03 1 min : j J, arj 0 min min 3 / 3 1 ar arj a13 1 aoj 2 min : j J, arj 0 min0 arl arj Επειδή θ1<θ2 το s=1 και εξερχόμενη μεταβλητή είναι η χ6 Βήμα 4 : 37 από 72

41 Η μέθοδος simplex και ο προγραμματισμός στόχων Σχημάτισε το επόμενο ταμπλό με στοιχείο περιστροφής το Α13 X1 X2 X3 X4 X5 X6 Δεξί Μέρος z X3 0 2/3 1 1/3 0 1/3 13/3 X X1 1-1/3 0 1/3 0-2/3 1/3 Επειδή J={ j: Aoj <0} =0, η τρέχουσα λύση είναι η βέλτιστη και ισούται με χ1=1/3, χ2=0, χ3=13/3, χ4=0, χ5=6, χ6=0. Η αντικειμενική συνάρτηση ισούται με z=17 Παράδειγμα Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα με τον αλγόριθμο simplex εξωτερικών σημείων. Max z= -2x1 + 2x2-3x3 4x4 s.t -x1-2x2 + 2x3 x4 18-2x1 12x2 x3 x4 4 3x1 + x2 2x3 + 10x4 12 X1, x2, x3 και χ4 0 Λύση : Προσθέτουμε τις χαλαρές μεταβλητές χ5, χ6 και χ7 οπότε το γραμμικό πρόβλημα μετατρέπεται στο παρακάτω: Μεγ. Z = -2x1 + 2x2-3x3-4x4 μ.π : -χ1 2χ2 + 2χ3 χ4 + χ5 =18-2χ1 12χ2 χ3 χ4 + χ6 =4 3χ1 + χ2 2χ3 + 10χ4 +χ7 =12 χ1, χ2, χ3, χ4, χ5, χ6 και χ7 0 38

42 Πτυχιακή εργασία του Νικόλαου Βαρδαλή Βήμα 0 (αρχικοποίηση) Από το αρχικό πρόβλημα κατασκευάζουμε το αρχικό ταμπλό του εξωτερικού simplex X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Δεξί Μέρος z X X Βήμα 1 : Βρες το σύνολο J={j : Aoj <0} = {2}, επειδή J 0, ο αλγόριθμος δε σταματά. Βήμα 2 : Βρες το σύνολο Ι= {Ι : Αio >0} ={3}, επειδή I 0 το πρόβλημα δεν είναι απεριόριστο. Βρες το δείκτη τα εισερχόμενης μεταβλητής r=3 διότι br bi b3 min : i I min min12/1 12 ar0 ai0 a30 Βήμα 3 : Θέσε J = {j : Aoj >0} = {1,3,4} και υπολόγισε k aoj a02 1 min : j J, arj 0 min min 2 /1 2 ark arj a32 01 aoj a03 2 min : j J, arj 0 min min 3 / arl arj a33 Επειδή Θ2<θ1 το s=3 και η εξερχόμενη μεταβλητή είναι η χ6 Βήμα4 : Κατασκεύασε το επόμενο simplex ταμπλό με το στοιχείο περιστροφής Α33 39 από 72