ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. - Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων της µορφής: α

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - Συστήµατα ραµµικών εξισώσεων της µορφής: α x+ β y= α x+ β y= Λύση του (Σ) καλείται η διαδικασία εύρεσης των τιµών του x και του y που επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα... Μέθοδος αντικατάστασης Βήµα ο : Λύνω την µία εξίσωση ως προς τον έναν άνωστο. Βήµα ο : Αντικαθιστώ στην άλλη εξίσωση τον άνωστο αυτό. Έτσι προκύπτει εξίσωση µε έναν άνωστο. Βήµα ο : Λύνω την δεύτερη εξίσωση και βρίσκω τον δεύτερο άνωστο. Βήµα 4 ο : Αντικαθιστώ ξανά στην παράσταση που βρήκα στο ο Βήµα και βρίσκω και τον πρώτο άνωστο. Παράδειµα: Να λυθεί το (Σ) y = () x y = 7 () Βήµα ο : () x+y= x=-y+ () () Βήµα ο : () (-y+)-y=-7 Βήµα ο : -6y+9-y=-7-6y-y= y=-6 y= Βήµα 4 ο : () x=-.+ x=- (Σ).. Μέθοδος αντίθετων συντελεστών Βήµα ο : Πολλαπλασιάζω τα µέλη των δύο εξισώσεων µε κατάλληλους αριθµούς ώστε οι συντελεστές ενός ανώστου να ίνουν αντίθετοι. Βήµα ο : Προσθέτω κατά µέλη οπότε απαλείφεται ο ένας άνωστος και βρίσκω τον άλλο. Βήµα ο : Αντικαθιστώ σε µια από τις δύο εξισώσεις την τιµή αυτή του ανώστου που βρήκα και υπολοίζω τον άλλο άνωστο. Παράδειµα: Να λυθεί το (Σ) Βήµα ο : y = 8 () x y = () y = 8 (-) - x y = -4 x y = 8 x y = 8 -x y = -4 Βήµα ο x y = 8 : 6 y = y = 6 6 Βήµα ο : Η () x+.=8 x+6=8 x=9-6 x=.. Ορισµοί Αδύνατο σύστηµα είναι το σύστηµα το οποίο δεν έχει καµία λύση. π.χ. 6y = 9 x+ 4y =, x - y = x y = ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 4- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

2 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σύστηµα µε άπειρες λύσεις. Για το σύστηµα αυτό υπάρχουν άπειρα ζεύη (x,y) που το επαληθεύουν. π.χ. 6y = 9 x+ 4y =, x - y = 4x y = Ισοδύναµα λέονται τα συστήµατα που έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις. π.χ. x + 4y = 8 x y = 6, - x+ 6y = -8 x + 4y = 8.4. Μέθοδοs οριζουσών ( ιερεύνηση συστήµατος) Έστω το (Σ) D= α β α' β' αx+ βy = α' x+ β' y = ' =αβ -α β Τότε ισχύουν τα εξής: Dx= και οι ορίζουσες: β ' β' =β -β Dy= α α' ' Αν D το (Σ) έχει µοναδική λύση την x= D Dx, y= D Dy. =α -α Αν D= και Dx ή Dy, το (Σ) είναι αδύνατο. Αν D=Dx=Dy= το (Σ) έχει άπειρες λύσεις, εκτός αν α=α=β=β και ή τότε είναι αδύνατο. Παράδειµα: (Παραµετρικό σύστηµα) (λ+)x-(λ-)y= Να λυθεί το (Σ), λ R. x+λy=4λ+ D= λ+ -(λ-) = λ (λ+)λ+(λ-)= =(λ-)(λ+) Dx= = =(8λ-)(λ+) 4λ+ λ+ (λ ) λ Dy= = =(4λ+)(λ+) λ 4λ+ Είναι D= λ=- ή λ=. Άρα: Dx 8λ- x= x= D λ- α. Αν λ και - τότε D και το (Σ) έχει ΜΙΑ λύση. Dy 4λ+ y= y= D λ- β. Αν λ= τότε D= και Dx οπότε το (Σ) είναι αδύνατο.. Αν λ=- τότε D=Dx=Dy= το (Σ) έχει άπειρες λύσεις. Προσδιορίζω αυτές τις λύσεις: -x+6y= () Για λ=- το (Σ) ίνεται: x-6y = () Η () -x+6y= -x=-6y+ x=6y- Αν θέσω y=κ τότε x=6κ-. Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι όλα τα ζεύη της µορφής: (x,y)=(6κ-,κ), όπου κ οποιοσδήποτε πραµατικός αριθµός. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 4- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

3 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ.. Συστήµατα τριών εξισώσεων µε τρεις ανώστους Για τη λύση ενός τέτοιου συστήµατος χρησιµοποιούµε την µέθοδο της απαλοιφής. Παράδειµα: Να λυθεί το (Σ) x y+ ω = -9 x+ y -ω = x+ y -ω = 8 Βήµα ο : Απαλείφω του x από τη δεύτερη και τρίτη εξίσωση: x - y+ ω = -9 x y+ ω = -9 x+ y -ω = ( ) - x 6y+ ω = - 7y+ ω = 9 7υ ω = 9 x - y+ ω = -9 (-) - 6y+ y 9ω = 7 x + y -ω = 8 6x+ y ω = 6 y ω = 4 x y+ ω = -9 Έτσι το (Σ) ίνεται: 7y - ω= 9 y - ω= 4 Βήµα ο : Απαλείφω τον y από την τρίτη εξίσωση: 7y ω = 9 y ω = 4 y - ω = 4 ( 7) y+ 77ω = - ω = -6 ω = Βήµα ο : Βρίσκω τις τιµές των y και x () 7y-(-)=9 7y+=9 7y=9-7y=4 y= () x-+(-)=-9 x--9=-9 x=+9-9 x= x= Άρα η λύση του (Σ) είναι η τριάδα (x,y,ω)=(,,-) ******************* ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 4- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

4 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ασκήσεις. Να λυθούν τα συστήµατα: x y + = 4x+ y = 4 α) β) x + y 9= x y + = 7 7x-y= 8 x-y= δ) ε) 4x+ 9y= 4 x 6y= 4(x+ )-(x-y) = (4 y) η) θ) (y-x) (x+ ) = -(x+ y) x y + = ) x+ y= 6 -x+ y= ζ) 4x y = x y= 4+ (y-x) (x+ y) 4= (x+ y). Nα λυθούν τα συστήµατα x+ψ=6 x+ ψ = x + ψ = α) β) ) (x-ψ)(x-ψ)= x+ ψ = x ψ =. Nα λυθούν τα συστήµατα 4x+ ψ- x-4 ψ+4 - =x - =x-ψ α) β) x+ψ ψ+ x- ψ-4 + =ψ - =x Να λυθούν και να διερευνηθούν τα συστήµατα: x-(-λ)y = λx + (λ-)y = λ+ α) β) x + y = λ + 4 x (-λ)y = 8 λy= (µ-)x+ (µ )y= ) δ) λx 4λy= λ+ 4 (µ-)x+ (µ )y= 4. Να βρεθούν τα µ και ν ώστε το (Σ) να είναι αόριστο: (Σ): (µ + ν)x + (µ + ν+ )y= (µ + ν-)x + (4µ + ν+ )y= 6. Να βρεθούν οι τιµές των λ και µ ια τις οποίες τα συστήµατα: (µ )x+ λy= (µ + )x+ λy= (Α):, (Β): x+ y= 4x+ y= είναι συχρόνως αδύνατα. α x-αψ=-α 7. ίνεται το σύστηµα:. Για ποιες τιµές των α και β το σύστηµα βx+(-β)ψ=+α έχει µοναδική λύση την (x,ψ)=(,); λx+ψ=λ 8. Για ποιες τιµές του λ R, το σύστηµα είναι: x+λψ=λ+ i) αδύνατο, ii) αόριστο. (α+)x+ψ=α+β 9. Για ποιες τιµές των α και β το σύστηµα είναι αόριστο; (α+)x+4ψ=α-β+6 Για τις τιµές αυτές των α και β να βρεθούν οι λύσεις του συστήµατος. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 4- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν τα συστήµατα y ω= 9 y z= α) y+ ω= 4 β) x+ y z= ω= 6 8x-4y+ z= y z= δ) x 4y+ z= 8 x-y+ z= (Αόριστο) ) y+ 4ω= 9 x y+ ω= x + y ω =. Να λυθούν τα συστήµατα: y z= α) x+ 6y 4z= 7 x+ 9y 6z= 8 (z-6)-(x+y)= δ) y+z-x=- x-y+z= β) y z= x 4y+ z= -x+ y+ z= ) y+ z= x+ 4y+ 8z= x+ y+ 7z=. Να λυθούν τα συστήµατα: + = x y x y z x- y- ω- = = = ε) 4 z 7 ζ) 4 η) + = 4x y+ z= 8 y z 8 x+ y-ω = + = z x 6. Να λυθούν τα συστήµατα: x y 97 x + y + ω = + = x+ y = 7 α) y x 6 β) y+ ω= ) x + y = ω+ x 4 y = - = y = 44 x y + = 44 x- y- + = 7 x- y- ε) ζ) η). = 4 = = - x y x- y- x- y- δ) θ) y 4 = xy y + z 8 = yz z+ x 6 = zx + = x + y = 7 8x y 8 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 4- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

6 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ερωτήσεις «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ». Το σύστηµα. Το σύστηµα. Το σύστηµα ψ= έχει µοναδική λύση. x+ψ= x-ψ= έχει άπειρες λύσεις. x-ψ= λ x-ψ=4 έχει µοναδική λύση. x+ψ= 4. Αν τα διαφορετικά ζεύη (α, β) και (, δ) είναι λύσεις του συστήµατος λx-ψ=, τότε λ=. (λ+4)x+ψ=. Σε ένα x ραµµικό σύστηµα είναι D= και ισχύει η σχέση: ( ) ( ) D + D +=D. Τότε η λύση του συστήµατος είναι η x ψ ψ (x, ψ)=(, ). Ερωτήσεις «Πολλαπλής Επιλοής». Αν (x, ψ ) είναι η λύση του συστήµατος: x+mψ=mx-ψ= +m, τότε το x +ψ είναι ίσο µε: Α:, Β: +. Γ:, :, Ε:. α x+ β y=. ίνεται το ραµµικό σύστηµα:. Αν το σύστηµα αυτό έχει α x+ β y= µοναδική λύση (x, ψ ) και ια τις ορίζουσες D, D x, D ψ ισχύει η σχέση: D + D + D = D D +DD, τότε το x +ψ ισούται µε: x ψ x ψ ψ Α:, Β: Γ: : Ε: 4. x. Η λύση της εξίσωσης =-x είναι: x+ Α: x=, Β: x=, Γ: x=, : x=. 4. H τιµή της ορίζουσας α-β β είναι ίση µε: -β α+β Α: α, Β: -β, Γ: β, : -α. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 4- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

7 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ λx+(µ-)ψ= x-ψ=4. Τα συστήµατα και είναι συχρόνως αδύνατα x+ψ= λx+(µ-)ψ=-λ όταν: Α: (λ, µ)=(, ), Β: (λ, µ)=(, ), Γ: (λ, µ)=(, ), : (λ, µ)=(-, ) x+ψ= 6. Αν το σύστηµα είναι αόριστο, τότε η εξίσωση (λ+)x=: λx-ψ=λ Α: είναι αδύνατη, Β: είναι αόριστη, Γ: έχει λύση x= λ+, : έχει λύση x=/. λx - ψ= 7. Aν το σύστηµα είναι αδύνατο, τότε η τιµή της ορίζουσας (λ +)x-(λ+)ψ= -( λ+) λ + είναι ίση µε: - λ Α: -, Β: -, Γ: /, :, Ε: α x-αψ =-α 8. Το σύστηµα έχει µοναδική λύση την (x, ψ)=(, ) όταν βx+ ( -β) ψ=+α (α, β)= : Α: (, -), Β: (-, ), Γ: (, ), : (, -). (α-) - β- = τότε το σύστηµα (α+)x+ψ=α+β είναι: ( α+) x+4ψ=α-β+6 Α: Αδύνατο, Β: Αόριστο, Γ: έχει µοναδική λύση την µηδενική, : Έχει µοναδική λύση (x, ψ)=(, ). 9. Αν ( ) x+mψ=. Αν (x, ψ ) η µοναδική λύση του συστήµατος, τότε, οι τιµές του m mx+4ψ=6 ια τις οποίες είναι x > και ψ > είναι: Α: m>, Β: m<, Γ: m, : m, Ε: m R. *********** ******* *** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 4- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ: