Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε"

Transcript

1 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο ζεύγος αριθµών (χ 0,ψ 0 ) που οι συντεταγµένες του την επαληθεύουν, δηλαδή αχ 0 +βψ 0 =γ. Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=. ύση 6χ-ψ= ψ=6χ-. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. ια να τη χαράξουµε αρκεί να βρούµε δυο σηµεία της. χ 0 0,5 ψ - 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 94

2 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Άρα οι λύσεις της εξίσωσης 6χ-ψ= είναι άπειρες, αφού είναι όλες οι συντεταγµένες των σηµείων της ευθείας ε, που την επαληθεύουν και είναι της µορφής (κ, 6κ-). Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους ρισµός : Σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο γραµµικές εξισώσεις για τις οποίες αναζητούµε τις κοινές λύσεις τους. Η γενική µορφή του συστήµατος είναι η παρακάτω : α χ + β ψ = γ α χ + β ψ = γ πίλυση ενός συστήµατος ονοµάζουµε την διαδικασία που ακολουθούµε για να βρούµε την λύση του δηλαδή τα διατεταγµένα ζεύγη ( χ,ψ) που οι τιµές τους επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις. Παραδείγµατα : Το σηµείο (, -) αποτελεί λύση του παρακάτω συστήµατος διότι επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις. χ + ψ = 4χ -5ψ = Πράγµατι : =, 4 5(-) = Η επίλυση ενός συστήµατος γίνεται µε δύο τρόπους : o ραφικά o λγεβρικά ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 95

3 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΦΗ ΠΣΗ ΣΣΤΗΜΤΣ ραφική λύση ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων είναι ο προσδιορισµός των σηµείων τοµής δύο ευθειών. Η γραφική επίλυση όµως έχει ένα σοβαρό µειονέκτηµα, τον µη ακριβή προσδιορισµό των λύσεων του συστήµατος που οφείλεται σε σχεδιαστικά σφάλµατα ή στην αδυναµία να προσδιορίσουµε µε ακρίβεια πάνω στους άξονες κλασµατικούς ή άρρητους αριθµούς πειδή κάθε εξίσωση της µορφής αχ + βψ = γ παριστάνει µια ευθεία για ένα σύστηµα δύο τέτοιων γραµµικών εξισώσεων υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις : ι δύο ευθείες να τέµνονται σε ένα σηµείο οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση ( χ, ψ ) τις συντεταγµένες του σηµείου αυτού. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων έχει µοναδική λύση τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής του δηλαδή την ( 0, ). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 96

4 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ι δύο ευθείες είναι παράλληλες και οι δύο ευθείες δεν έχουν κοινό σηµείο οπότε το σύστηµα δεν έχει λύση δηλαδή είναι αδύνατο. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων είναι αδύνατο αφού οι ευθείες είναι παράλληλες. ι δύο ευθείες ταυτίζονται οπότε το σύστηµα είναι αόριστο δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων είναι αόριστο αφού οι ευθείες ταυτίζονται. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 97

5 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης φαρµογές ΤΗ : ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Φ. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα + ψ = + ψ = ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. ( Την κατασκευή των γραφικών παραστάσεων την επιτυγχάνουµε µε τον τρόπο που περιγράψαµε στο εφ. 4 δηλαδή φτιάχνουµε πίνακα τιµών κ.τ.λ.). Όπως παρατηρούµε από το σχήµα, οι γραφικές παραστάσεις είναι ευθείες παράλληλες. υτό σηµαίνει ότι δεν έχουν κοινό σηµείο. ποµένως το σύστηµα δεν έχει λύση, είναι αδύνατο. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 98

6 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα + ψ = 8 4ψ = ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Όπως διαπιστώνουµε οι δύο ευθείες έχουν ένα κοινό σηµείο µε συντεταγµένες το ζεύγος (, ). ποµένως η λύση του συστήµατος είναι =, y =.. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα + ψ = 4 = ψ ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Πίνακας τιµών ης εξίσωσης 0 y 4 Πίνακας τιµών ης εξίσωσης 0 y 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 99

7 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ποµένως η λύση είναι το ζεύγος (, ). 4. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα γίνει επαλήθευση + 4ψ = = και να ΠΝΤΗΣΗ ια την πρώτη εξίσωση δηµιουργούµε ένα πίνακα τιµών που µας βοηθάει στην δηµιουργία της γραφικής παράστασης. Πίνακας τιµών ης εξίσωσης -4 0 y 0 ια την δεύτερη εξίσωση δεν χρειάζεται πίνακας τιµών αφού η = είναι µια ευθεία παράλληλη του άξονα y y που τέµνει τον άξονα στο σηµείο (-, 0). 5 4 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 00

8 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ποµένως η λύση είναι το ζεύγος (-, 9 4 ). παλήθευση : - + 4y = ή -(-) = ή = επίσης έχουµε = - ή - = - οπότε επαληθεύονται και οι δύο εξισώσεις από τις λύσεις που βρήκαµε. ΤΗ : ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΗ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Φ. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα ψ = ψ = ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις της παραβολής ( πρώτη εξίσωση ) και της ευθείας στο ίδιο σύστηµα αξόνων ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0

9 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ποµένως οι συντεταγµένες των κοινών σηµείων των γραφικών παραστάσεων είναι η λύση του προβλήµατος. ηλαδή τα ζεύγη (0, 0 ), (, 4 ). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0

10 Άλγεβρα υκείου ΣΗΣΣ επιµ.: άτσιος ηµήτρης. Να εξετάσετε τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση: + + = + + για τις διάφορες τιµές του µ. µ χ µ ψ µ ψ µχ ( ) (5 ). Να λύσετε γραφικά το σύστηµα: χ+ ψ = χ ψ = Σ. Να λύσετε γραφικά τα συστήµατα: χ ψ = 5 4 ψ = χ+ 5 Σ 4χ 5ψ + = 0 4 ψ = χ 5 4. Να βρείτε το σύστηµα που παριστάνεται γραφικά από το παρακάτω σχήµα: Σ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0

11 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Η ΠΣΗ ΣΣΤΗΜΤΩΝ Η αλγεβρική επίλυση των συστηµάτων γίνεται µε τρεις τρόπους : Με αντικατάσταση Με αντίθετους συντελεστές Με ορίζουσες ντικατάσταση : Με τη µέθοδο αυτή για να επιλύσουµε ένα σύστηµα λύνουµε την εξίσωση του συστήµατος ως προς τον ένα άγνωστο. Την τιµή που βρίσκουµε την αντικαθιστούµε στην άλλη εξίσωση έτσι προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. Παράδειγµα : Να επιλύσετε µε την µέθοδο της αντικατάστασης το παρακάτω σύστηµα: χ + ψ = 4χ -5ψ = - ύση ύνουµε την πρώτη εξίσωση ως προς χ : χ + ψ = ή χ = ψ () ντικαθιστούµε την τιµή του χ που βρήκαµε στην δεύτερη εξίσωση οπότε 4( ψ ) 5ψ = - ή 8ψ 5ψ = - ή -8ψ 5ψ = - ή -ψ = - ή ψ = ντικαθιστώ την τιµή ψ = στην σχέση () άρα χ = ψ ή χ = - = ποµένως η λύση του συστήµατος είναι οι χ =, ψ =. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 04

12 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης φαρµογές. Να λυθεί το σύστηµα ΠΝΤΗΣΗ ήµα ο : πιλύουµε τη δεύτερη εξίσωση ως προς αφού έχει συντελεστή το Έχουµε : + y = - ή = -y ( ) ήµα ο : ντικαθιστούµε τη σχέση ( ) στην πρώτη, δηλαδή όπου θα αντικαταστήσουµε y. Άρα είναι : - 5y = ή - (-y ) 5y = ( ) ήµα ο : Η εξίσωση ( ) που προέκυψε έχει έναν άγνωστο, τον y. Τη λύνουµε και υπολογίζουµε τον άγνωστο y. Έχουµε : - (-y ) 5y = ή 6y + 4 5y = ή y = 4 ή y = - ήµα 4ο : ντικαθιστούµε σε µία από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος όπου y = - και υπολογίζουµε το. Έχουµε : + y = - ή + (-) = - ή 6 = - ή = 4 ποµένως, το σύστηµα έχει µία µοναδική λύση την (4, -). ΠΝΤΗΣΗ 5 y = + y =. Να λυθεί το σύστηµα 4 y = = 6 + y = ήµα ο : Παρατηρούµε ότι κανένας άγνωστος δεν έχει συντελεστή ±. πιλέγουµε να επιλύσουµε ως προς τον άγνωστο µε το µικρότερο συντελεστή, δηλαδή τη δεύτερη εξίσωση ως προς y. Έχουµε : 6 + y = - ή y = - 6 ή y 6 = ( ) ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 05

13 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ήµα ο ο : ντικαθιστούµε την ( ) στην πρώτη εξίσωση. Έχουµε διαδοχικά : 4y = ή 6 4 = ή (-6 ) = ή = ή 5 = 6 ή 5 = 5 ή ήµα 4ο : ντικαθιστούµε το 6 + y = - ή 6 y 5 = = 5 = στη δεύτερη και έχουµε : + = ή + y = - ή y = -5 ή Τελικά το σύστηµα έχει µία λύση, την 5,. 5 y=. Να λυθεί το σύστηµα y = y = 4 ΠΝΤΗΣΗ πιλύουµε την πρώτη ως προς. Έχουµε : y = 7 ή = y + 7 ή y+ 7 = ( ) ντικαθιστούµε την ( ) στη δεύτερη εξίσωση και έχουµε διαδοχικά : y = -4 ή y y 4 + = ή - (y + 7) + 6y = -4 ή -6y 4 + 6y = -4 ή -6y + 6y = 4 4 ή 0 y = 0 Η τελευταία εξίσωση που προέκυψε είναι προφανώς αδύνατη. Άρα και το σύστηµα θα είναι αδύνατο. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 06

14 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 4. Να λυθεί το σύστηµα 5 + y = 0 4 y = 6 ΠΝΤΗΣΗ πιλύουµε την εξίσωση ως προς y, και έχουµε : -5 + y = ή y = 5 + ή y 5+ = ( ) ντικαθιστούµε την ( ) στη δεύτερη και έχουµε διαδοχικά : 0 4y = -6 ή ή 0 = = ή 0 (5 + ) = -6 ή = -6 Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται για κάθε τιµή του, είναι δηλαδή αόριστη. ια κάθε όµως τιµή του µπορεί να προκύπτει µε αντικατάσταση στην ( ) και µία τιµή του y. Άρα το σύστηµα θα έχει άπειρες λύσεις (, y) (αόριστο). Με αντίθετους συντελεστές : Με τη µέθοδο αυτή προσπαθούµε να εµφανίσουµε στον ίδιο άγνωστο των δύο εξισώσεων του συστήµατος αντίθετους συντελεστές. ια αυτό το λόγο πολλαπλασιάζουµε τις δύο εξισώσεις µ κατάλληλους αριθµούς. Στην συνέχεια προσθέτουµε τις δύο εξισώσεις οπότε προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. Παράδειγµα : Να επιλύσετε µε την µέθοδο των αντίθετων συντελεστών το παρακάτω σύστηµα: χ + ψ = 4χ -5ψ = - ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 07

15 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ύση Θέλουµε να απαλείψουµε τον χ. πότε προσπαθώ να δηµιουργήσω αντίθετους συντελεστές για το χ. ποµένως πολλαπλασιάζω και τα δύο µέλη της πρώτης εξίσωσης µε το 4. χ + ψ = (-4) -4χ + -8ψ = - ή 4χ -5ψ = - 4χ -5ψ = - Προσθέτω τις δύο εξισώσεις κατά µέλη : -4χ + -8ψ + 4χ -5ψ = - ή -ψ = - ή ψ =. ντικαθιστούµε την τιµή ψ = σε µια από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος. πότε 4χ -5ψ = - ή 4χ 5 = - ή 4χ = 5 ή 4χ = 4 ή χ =. ποµένως η λύση του συστήµατος είναι οι χ =, ψ =. φαρµογές. Να λύσετε µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών τα συστήµατα : i) + 5 y = + 7 y =, ii) ψ 5 + = 5 + ψ = 45 ΠΝΤΗΣΗ i) Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη των εξισώσεων του συστήµατος µε τους αριθµούς και αντίστοιχα : + 5y= + 7 y= ή 6+ 5y= 6 + 4y = 6 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 08

16 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις και έχουµε 9y = 9, δηλαδή y =. Η η εξίσωση του αρχικού συστήµατος για y = δίνει + 5 = ή = -4 ή = -. Άρα η λύση του συστήµατος είναι (, y) = (-, ). ii) Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη των εξισώσεων του συστήµατος µε τους αριθµούς 5 και αντίστοιχα : 5 + ψ = 5 5+ ψ = 45 ή 5+ 0ψ = ψ = 5 Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε έχουµε : ψ ψ = ή 0ψ + ψ = 60 ή ψ = 60 ή ψ = 0. ντικαθιστούµε στην 5 + ψ = 45 όπου ψ = 0, οπότε είναι = 45 ή 5 = 45 0 ή = 5. Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (5, 0).. Να λυθεί το σύστηµα 4( ) y = ( ) = 5 ( y + ) = ( y ) y + ΠΝΤΗΣΗ φαρµόζοντας την ταυτότητα ( ) α± β = α ± αβ + β, έχουµε διαδοχικά : ( ) y ( ) 4 = ή 5 y+ = y y + ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) = ή 5 y + 4y+ 4 = y y+ y + ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 09

17 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης y= y 4y 4= y y+ y + ή 4 6 y 4 + 4= = y 4y y y y 4 y= 5 5 y= 8 ή ( ) κολουθούµε τη µέθοδο αντίθετων συντελεστών. y= 5 ( + ) 5 y= 8 ( ) ή 4 6y= y= 4 Προσθέτουµε κατά µέλη και έχουµε : - 6y y = -0 4 ή -9 = -54 ή = 6 ντικαθιστώντας στο ( ) το = 6 έχουµε : -5 y = 8 ή -5 6 y = 8 ή y = -8 ή y = -9 Άρα η λύση του συστήµατος είναι η (6, -9). ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΗ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Π ΜΤΤΠΤ Σ ΜΜ.. Να λυθεί το σύστηµα ΠΝΤΗΣΗ λέπουµε ότι οι εξισώσεις του συστήµατος ορίζονται, όταν 0 και y 0. Το σύστηµα που µας δίνεται δεν είναι γραµµικό. ια να το µετατρέψουµε σε γραµµικό, θέτουµε a = και y + = 5 y = y α + β = 5 α β = = β, οπότε γίνεται : Παρατηρούµε ότι οι συντελεστές του β στις δύο εξισώσεις είναι αντίθετοι. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0

18 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Έτσι, µε πρόσθεση κατά µέλη παίρνουµε α = 6 ή α =. ντικαθιστώντας την τιµή του α στην πρώτη εξίσωση προκύπτει + β = 5 ή β = 5 =. Συνεπώς θα έχουµε : ή ( µε χιαστί ) = και y = = και y= Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος ( y), =,. 4. Να λυθεί το σύστηµα + y = y = 5 ΠΝΤΗΣΗ Το σύστηµα δεν είναι γραµµικό. ια να το µετατρέψουµε σε γραµµικό, θέτουµε = α και y = β µε α 0 και β 0, οπότε γράφεται : α + β = α β = 5 Προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις κατά µέλη παίρνουµε : α = + 5 ή α = 8 ή α = 9 οπότε από την α + β = προκύπτει β = 9 = 4. Έχουµε λοιπόν : = 9 και y = 4 απ όπου προκύπτει : ( = ή = -) και (y = ή y = -) Συνεπώς οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (, y) = (, ), (, y) = (, -), (, y) = (-, ) και (, y) = (-, -). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

19 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 5. Να λυθεί το σύστηµα 5 y = y = ΠΝΤΗΣΗ Θέτουµε κ 0 συντελεστών : 5κ λ= 4 ( + ) 7κ + λ = ( + ) =, y λ 0 ή = και χρησιµοποιούµε την µέθοδο των αντίθετων 5κ 6λ = 4κ + 6λ = 4 Προσθέτουµε κατά µέλη και έχουµε : 5κ 6λ 4κ +6λ = 4 ή κ = 8 ντικαθιστούµε το κ = 8 στην 5κ λ = 4 και έχουµε : 5 8 λ = 4 ή -λ = -6 ή λ = 8 ποµένως θα είναι : = κ ή 8 = ή ( ) = 8 ή = 64 y = λ ή 8 y = ή ( ) 8 y = ή y= 4 Το σύστηµα τελικά έχει µία λύση, την (64, 4). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

20 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΗ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Π Ν ΜΤΤΠΤ Σ ΜΜ 6. Να λυθούν τα συστήµατα : + y = α), β) y= ΠΝΤΗΣΗ α) Στο σύστηµα παρατηρούµε ότι η πρώτη εξίσωση είναι γραµµική, ενώ η δεύτερη δεν είναι. Θα το λύσουµε µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. ύνοντας την πρώτη εξίσωση ως προς y προκύπτει y = και αντικαθιστώντας στη δεύτερη έχουµε διαδοχικά : y = ή ( ) = ή = ή + = 0 () Η διακρίνουσα της () είναι = (-) 4 = 9 8 =, οπότε + = = ή = = πό την y = για = βρίσκουµε y = = και για = βρίσκουµε y = =. ποµένως οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (, y) = (, ) και (, y) = (, ). β) Παρατηρούµε ότι η πρώτη εξίσωση του συστήµατος δεν είναι γραµµική. ργαζόµαστε λοιπόν και εδώ µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. ύνουµε τη δεύτερη εξίσωση ως προς y και παίρνουµε y =. ντικαθιστώντας το y στην πρώτη έχουµε διαδοχικά : y =6 ή ( ) = 6 ή = 0 ή 0 = 0 Η διακρίνουσα της τελευταίας εξίσωσης του είναι = (-) 4 (-0) = 49. οπότε: y = 6 y = = = 5 ή = = ια = 5 είναι y = = και για = - είναι y = = - = -4. Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (, y) = (5, ) και (, y) = (-,-4). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

21 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Με ορίζουσες : ια να επιλύσουµε το σύστηµα µε αυτό τον τρόπο ακολουθούµε την εξής διαδικασία. α χ + β ψ = γ α χ + β ψ = γ γ β α γ D= =, D χ = = γ β γ β, D γ β ψ = = αγ α γ α γ α β αβ αβ α β ν D 0 τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την χ, D D = ψ = D D ν D = 0 και D χ = 0, D ψ = 0 τότε το σύστηµα είναι αόριστο (εκτός αν α =α =β =β =0 και γ 0 ή γ 0 οπότε το σύστηµα είναι αδύνατο) ν D = 0 και D χ 0 ή D ψ 0 τότε το σύστηµα είναι αδύνατο φαρµογή: Να επιλύσετε µε την µέθοδο των οριζουσών το παρακάτω σύστηµα: χ + ψ = 4χ -5ψ = - ύση πολογίζουµε τα D, D χ, D ψ ψ D= = ( 5) 4 = 5 8= 4 5 D χ = = ( 5) ( ) = 5+ = 5 D ψ = = ( ) 4= = 4,, φού D 0 τότε έχει µοναδική λύση την D χ = = = D, Dψ ψ = = = D ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 4

22 Άλγεβρα υκείου φαρµογή: ίνεται το παρακάτω σύστηµα επιµ.: άτσιος ηµήτρης ( λ ) + y=, λ R + ( λ ) y = I) να επιλυθεί για τις διάφορες τιµές του λ II) στη περίπτωση που το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική λύση ( 0, y 0 ) και επιπλέον ισχύει y 0 =, να βρεθεί ο λ. ύση ) λ D= = λ = λ λ + = λλ λ y 0 0 ( ) ( )( ) ( ) D = = ( λ ) = λ 4= ( λ ) λ D λ = = ( λ ) = λ 4 = ( λ ) ια D 0 για λ 0 και λ µοναδικη λυση D ( λ ) Dy ( λ ) = = =, y = = = D λ( λ ) λ D λλ ( ) λ ρα ( 0, y0) = (, ) λ λ ια λ= 0, D= 0, D = 4 0, αρα συστηµα αδυνατο ια λ=, D= 0, D = 0 = D, αρα συστηµα αοριστο y + y= = y για λ= το ( Σ) γινεται θετουµε y= κ R + y= + y= αραοιαπειρεςλυσειςθαειναιτης µορφης (, y) = ( κκ, ) ) y0 = ( ) + ( ) = + = 6+ 4λ = λ 4 λ λ λ λ λ = λ λ λ 8= 0. Θ ετουµε ω= λ 0 8= 0 =. = 4 = 4 =± λ= ( λ= απορ. γιατι D 0) ω ω ω απορ η ω λ λ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 5

23 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΗΣΣ Να σηµειώσετε το Σ αν είναι σωστή ή το αν είναι λάθος σε κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις : α. Το σύστηµα αχ-ψ=β χ+αψ=γ έχει µια µόνο λύση για κάθε α,β,γ R Σ β. Το σύστηµα αχ+βψ=γ λαχ+λβψ=λγ λ 0 είναι αόριστο για κάθε α,β.γ R Σ γ. ν για το σύστηµα αχ+βψ=γ α χ+β ψ=γ ισχύει : i. D +D ψ +D =0 τότε το σύστηµα είναι αόριστο Σ ii. έχει δύο λύσεις τότε είναι αόριστο Σ iii. D=0 και D 0 τότε είναι αδύνατο Σ iv. γ=γ =0 τότε δεν µπορεί να είναι αδύνατο Σ δ. Το σύστηµα αχ+0ψ=β α χ+0ψ=β µε αα 0 έχει λύσεις µόνο αν D ψ =0 Σ ε. ν D=D =D ψ =0 και α 0 τότε το σύστηµα έχει λύσεις της µορφής ( γ βκ, κ ) µε κ R Σ α στ. ν ένα σύστηµα έχει µια µόνο λύση τότε D 0 Σ ζ. ν ένα σύστηµα είναι αδύνατο τότε D=0 και D 0 ή D ψ 0 Σ η. Το σύστηµα είναι αόριστο D=D =D ψ =0 Σ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 6

24 Άλγεβρα υκείου. Να λύσετε την εξίσωση: επιµ.: άτσιος ηµήτρης χ -χ 9χ 5 4χ = - χ. ια τις διάφορες τιµές του λ να λυθεί η εξίσωση: λ λ-χ = 0 - χ-λ. ια τις διάφορες τιµές του λ να λυθεί το σύστηµα: χ+ λψ = 4 λχ+ ψ = λ 4. ια ποιες τιµές του µ το σύστηµα i) έχει µοναδική λύση ii) είναι αδύνατο; µ χ µψ + = χ + µψ = µ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 7

25 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 5. Να βρεθούν τα κ, λ ώστε το σύστηµα α) έχει µια λύση β) είναι αδύνατο. 6. Να βρεθούν τα α και β ώστε το σύστηµα αόριστο. ( α β) ( ) ( ) ( ) + + α ψ = αβ α β + β 5 ψ = αβ 5ψ= 9 4+κψ=λ να είναι 7. Να βρεθούν τα κ και λ ώστε οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις κ (λ )ψ + = 0 και 4 + ψ + = 0 α) να είναι παράλληλες β) να ταυτίζονται. 8. ια ποιες τιµές του λ οι ευθείες ε : (λ -)χ-λy=λ και ε : (λ-)χ+y=λ- είναι: παράλληλες; ταυτίζονται; τέµνονται; 9. α) Να λυθεί το σύστηµα ) (Σ : a+ 5β = 7 5α 4β = β) Με τη βοήθεια της λύσης του συστήµατος (Σ) να λυθούν τα συστήµατα: + 5 y+ 4 = 7 ( Σ ) : 5 4 y+ 4 = 5 + = ( Σ ) y : 5 4 = 7 y+ { ( Σ ) : + 5y y+ = 0 0. ίνεται η εξίσωση: a όπου α, β R. ( + β ) + a β + = 0 Να βρείτε τις τιµές των από 00 λύσεις. α, β έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει περισσότερες ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 8

26 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. Να λυθεί το σύστηµα µε τη µέθοδο των οριζουσών = y ( + y) + = ( ) + y + λy= 4. α) Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστηµα: ( Σ) :, λ R λ+ y= λ για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου λ. β) ν (, y ) είναι η µοναδική λύση του συστήµατος ( Σ ), βρείτε το λ 0 αν ισχύει ότι: 0+ y0 = 0 y= µ. ίνεται το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : + 5y = 7 + µε αγνώστους, y µ και µ R. α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, D και D y του συστήµατος (Σ). β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του µ το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση, την οποία και να βρείτε. γ) ια µ =, να βρείτε το σηµείο που τέµνονται οι ευθείες που αντιστοιχούν στις εξισώσεις του λ y= 5λ 4. ίνεται το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : + λy = λ και λ R. µε αγνώστους, y α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, D και D y του συστήµατος (Σ). β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του λ το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση, την οποία και να βρείτε και να γράψετε µε την πιο απλοποιηµένη της µορφή. γ) Να βρείτε για ποια τιµή του λ, η ευθεία που αντιστοιχεί στην πρώτη εξίσωση του συστήµατος (Σ) είναι παράλληλη προς την ευθεία ε: y= 67. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 9

27 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 5. ίνεται ένα γραµµικό σύστηµα (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, y που έχει µοναδική λύση, ενώ ακόµα ισχύουν ότι: D + Dy 4D + 7D Να βρεθεί η µοναδική λύση του (Σ). y = D = D 6. ίνεται ένα γραµµικό σύστηµα (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, y ώστε: Να λυθεί το σύστηµα. D + D D 8 = 0. y παναληπτικές ασκήσεις στα γραµµικά συστήµατα. ια τους αριθµούς, y Rαντιστοιχίστε τους αριθµούς της στήλης µε τα γράµµατα της στήλης αιτιολογώντας την αντιστοίχιση. Στήλη... ι, y έχουν διαφορά 0 και πηλίκο 0 ι, y είναι πλευρές τετραγώνου µε εµβαδόν 40 ι, yέχουν άθροισµα 0και ο y είναι το µισό του ελαττωµένο κατά. Στήλη α. β. γ. = y y= 0 y= 0 y+ 6= y= 0 y= 0 δ. y= 0 y 40= 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0

28 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. ια τους αριθµούς, y R * ισχύουν: α) Η διαίρεση του µε τον y δίνει πηλίκο το διπλάσιο του αυξηµένο κατά και υπόλοιπο τα δύο τρίτα του y ελαττωµένο κατά 5 και β) η διαφορά του πενταπλασίου του από το ένα πέµπτο του y είναι 40. Ένας µαθητής έγραψε τις παραπάνω προτάσεις α) και β) µε τη µορφή συστήµατος: = y(+ ) + ( y 5) 5 y= 40 5 ίναι σωστό ή λάθος το σύστηµα; ν είναι λάθος διορθώστε το ώστε να γίνει σωστό.. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A (, 4) και B (, ). 4. ίνεται η εξίσωση 7 y = 4. Να γράψετε µια δεύτερη εξίσωση ώστε το σύστηµα που θα προκύψει: α) να έχει λύση πάνω στη διχοτόµο της πρώτης και τρίτης γωνίας. β) να έχει λύση το ζεύγος, ) (. γ) να έχει λύση ένα ζεύγος αντίθετων αριθµών. Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση που γράψατε σε κάθε περίπτωση, ικανοποιεί τη ζητούµενη συνθήκη. 5. Να λυθεί η ανίσωση: 5+ 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

29 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 6. Έστω οι ευθείες ε : y λ = και ε : y+ 4=. ν ε //ε να λυθεί η εξίσωση: 7. Να λυθεί το σύστηµα µε τη µέθοδο των οριζουσών = y ( + y) + = ( ) + y 8. Να βρείτε για ποια τιµή του λ Rέχει άπειρες λύσεις το σύστηµα: λ y = 4 4 y= 9. Να βρείτε για ποιες τιµές του λ Rείναι αδύνατο το σύστηµα: y= y= λ µ λ+ = µ λ y = 0. α) Να λυθεί το σύστηµα: + y = λ β) ια την λύση (, y ) 0 0 που βρήκατε στο ερώτηµα α) να λύσετε την 9 ανίσωση: 0 + y 0. Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστηµα: λ+ y= λ+ + λ y = ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

30 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. ν σε ένα σύστηµα (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, y ισχύουν: D + D y = D 4D + 7Dy = D και το σύστηµα έχει µοναδική λύση, να βρεθούν τα το σύστηµα)., y. ( ηλαδή να λυθεί. Aν σε ένα γραµµικό σύστηµα Χ ισχύει: D + D + Dy = D 6D + 4Dy 4. α) Να λυθεί το σύστηµα ) 4 τότε αυτό να λυθεί. (Σ a+ 5β = 7 : 5α 4β = β) Με τη βοήθεια της λύσης του συστήµατος (Σ) να λυθούν τα συστήµατα: + 5 y+ 4 = 7 ( Σ ) : 5 4 y+ 4 = + 7 ( Σ ) : = 7 y+ 4 = y+ ( Σ ) :{ + 5y y+ = 0 + y+ z= y + z + t = 5 5. Να λυθούν τα συστήµατα ( ) : και Σ z + t + = t+ + y= 8 y= ( Σ ) : yt= t= 8 6. Να λυθούν τα συστήµατα 5( + ) + = 9 ( Σ ) y y : ( + y) y= 9 ( Σ ) + y= + y = : ( Σ ) : y= y= 0 58 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

31 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 7. Μια ευθεία ε περνά από τα σηµεία (-,0) και (0,) µια δε άλλη ευθεία ε περνά από το σηµείο (0,-) και σχηµατίζει µε τον άξονα χ χ γωνία Να βρεθεί το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ε και ε και µετά οι συντεταγµένες του κοινού σηµείου των. 8. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας αχ+βψ=γ, µε β 0 αν γνωρίζουµε ότι περνά από τα σηµεία (,) και (-,5) 9. Ένας µαθητής γράφει διαγώνισµα το οποίο αποτελείται από 8 θέµατα πολλαπλής επιλογής. ια να αποφευχθεί η απάντηση στην τύχη δόθηκε ο εξής περιορισµός : ια κάθε θέµα σωστό παίρνει 0 βαθµούς ενώ για κάθε λανθασµένο θα χάνει 5 βαθµούς. ν η τελική βαθµολογία είναι 5 βαθµοί, να βρεθεί το πλήθος των σωστών και το πλήθος των λανθασµένων θεµάτων 0. υο κινητά κινούνται ευθύγραµµα στο επίπεδο, το πρώτο από το σηµείο (-,) προς το (0,0) και το δεύτερο από το (-5,5) προς το (0,-). Να βρείτε το κοινό σηµείο της διαδροµής τους. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 4

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο α. I. Σχολικό βιβλίο σελ. 41. ΙΙ. Σχολικό βιβλίο σελ. 89. β. Σχολικό βιβλίο σελ. 71. γ. Σχολικό βιβλίο σελ.60. δ. Σ, Λ,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης Έστω η εξίσωση x y, όπου,, ακέραιοι με και Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, ηλαή ζεύγη ακεραίων

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο www.commonmaths.weebly.com

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία ΕΟ 13 2014-2015. Υποδειγματική λύση

1 η Εργασία ΕΟ 13 2014-2015. Υποδειγματική λύση 1 η Εργασία ΕΟ 13 014-015 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) 1

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα