Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε"

Transcript

1 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο ζεύγος αριθµών (χ 0,ψ 0 ) που οι συντεταγµένες του την επαληθεύουν, δηλαδή αχ 0 +βψ 0 =γ. Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=. ύση 6χ-ψ= ψ=6χ-. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. ια να τη χαράξουµε αρκεί να βρούµε δυο σηµεία της. χ 0 0,5 ψ - 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 94

2 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Άρα οι λύσεις της εξίσωσης 6χ-ψ= είναι άπειρες, αφού είναι όλες οι συντεταγµένες των σηµείων της ευθείας ε, που την επαληθεύουν και είναι της µορφής (κ, 6κ-). Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους ρισµός : Σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο γραµµικές εξισώσεις για τις οποίες αναζητούµε τις κοινές λύσεις τους. Η γενική µορφή του συστήµατος είναι η παρακάτω : α χ + β ψ = γ α χ + β ψ = γ πίλυση ενός συστήµατος ονοµάζουµε την διαδικασία που ακολουθούµε για να βρούµε την λύση του δηλαδή τα διατεταγµένα ζεύγη ( χ,ψ) που οι τιµές τους επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις. Παραδείγµατα : Το σηµείο (, -) αποτελεί λύση του παρακάτω συστήµατος διότι επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις. χ + ψ = 4χ -5ψ = Πράγµατι : =, 4 5(-) = Η επίλυση ενός συστήµατος γίνεται µε δύο τρόπους : o ραφικά o λγεβρικά ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 95

3 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΦΗ ΠΣΗ ΣΣΤΗΜΤΣ ραφική λύση ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων είναι ο προσδιορισµός των σηµείων τοµής δύο ευθειών. Η γραφική επίλυση όµως έχει ένα σοβαρό µειονέκτηµα, τον µη ακριβή προσδιορισµό των λύσεων του συστήµατος που οφείλεται σε σχεδιαστικά σφάλµατα ή στην αδυναµία να προσδιορίσουµε µε ακρίβεια πάνω στους άξονες κλασµατικούς ή άρρητους αριθµούς πειδή κάθε εξίσωση της µορφής αχ + βψ = γ παριστάνει µια ευθεία για ένα σύστηµα δύο τέτοιων γραµµικών εξισώσεων υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις : ι δύο ευθείες να τέµνονται σε ένα σηµείο οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση ( χ, ψ ) τις συντεταγµένες του σηµείου αυτού. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων έχει µοναδική λύση τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής του δηλαδή την ( 0, ). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 96

4 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ι δύο ευθείες είναι παράλληλες και οι δύο ευθείες δεν έχουν κοινό σηµείο οπότε το σύστηµα δεν έχει λύση δηλαδή είναι αδύνατο. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων είναι αδύνατο αφού οι ευθείες είναι παράλληλες. ι δύο ευθείες ταυτίζονται οπότε το σύστηµα είναι αόριστο δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων είναι αόριστο αφού οι ευθείες ταυτίζονται. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 97

5 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης φαρµογές ΤΗ : ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Φ. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα + ψ = + ψ = ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. ( Την κατασκευή των γραφικών παραστάσεων την επιτυγχάνουµε µε τον τρόπο που περιγράψαµε στο εφ. 4 δηλαδή φτιάχνουµε πίνακα τιµών κ.τ.λ.). Όπως παρατηρούµε από το σχήµα, οι γραφικές παραστάσεις είναι ευθείες παράλληλες. υτό σηµαίνει ότι δεν έχουν κοινό σηµείο. ποµένως το σύστηµα δεν έχει λύση, είναι αδύνατο. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 98

6 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα + ψ = 8 4ψ = ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Όπως διαπιστώνουµε οι δύο ευθείες έχουν ένα κοινό σηµείο µε συντεταγµένες το ζεύγος (, ). ποµένως η λύση του συστήµατος είναι =, y =.. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα + ψ = 4 = ψ ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Πίνακας τιµών ης εξίσωσης 0 y 4 Πίνακας τιµών ης εξίσωσης 0 y 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 99

7 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ποµένως η λύση είναι το ζεύγος (, ). 4. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα γίνει επαλήθευση + 4ψ = = και να ΠΝΤΗΣΗ ια την πρώτη εξίσωση δηµιουργούµε ένα πίνακα τιµών που µας βοηθάει στην δηµιουργία της γραφικής παράστασης. Πίνακας τιµών ης εξίσωσης -4 0 y 0 ια την δεύτερη εξίσωση δεν χρειάζεται πίνακας τιµών αφού η = είναι µια ευθεία παράλληλη του άξονα y y που τέµνει τον άξονα στο σηµείο (-, 0). 5 4 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 00

8 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ποµένως η λύση είναι το ζεύγος (-, 9 4 ). παλήθευση : - + 4y = ή -(-) = ή = επίσης έχουµε = - ή - = - οπότε επαληθεύονται και οι δύο εξισώσεις από τις λύσεις που βρήκαµε. ΤΗ : ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΗ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Φ. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα ψ = ψ = ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις της παραβολής ( πρώτη εξίσωση ) και της ευθείας στο ίδιο σύστηµα αξόνων ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0

9 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ποµένως οι συντεταγµένες των κοινών σηµείων των γραφικών παραστάσεων είναι η λύση του προβλήµατος. ηλαδή τα ζεύγη (0, 0 ), (, 4 ). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0

10 Άλγεβρα υκείου ΣΗΣΣ επιµ.: άτσιος ηµήτρης. Να εξετάσετε τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση: + + = + + για τις διάφορες τιµές του µ. µ χ µ ψ µ ψ µχ ( ) (5 ). Να λύσετε γραφικά το σύστηµα: χ+ ψ = χ ψ = Σ. Να λύσετε γραφικά τα συστήµατα: χ ψ = 5 4 ψ = χ+ 5 Σ 4χ 5ψ + = 0 4 ψ = χ 5 4. Να βρείτε το σύστηµα που παριστάνεται γραφικά από το παρακάτω σχήµα: Σ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0

11 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Η ΠΣΗ ΣΣΤΗΜΤΩΝ Η αλγεβρική επίλυση των συστηµάτων γίνεται µε τρεις τρόπους : Με αντικατάσταση Με αντίθετους συντελεστές Με ορίζουσες ντικατάσταση : Με τη µέθοδο αυτή για να επιλύσουµε ένα σύστηµα λύνουµε την εξίσωση του συστήµατος ως προς τον ένα άγνωστο. Την τιµή που βρίσκουµε την αντικαθιστούµε στην άλλη εξίσωση έτσι προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. Παράδειγµα : Να επιλύσετε µε την µέθοδο της αντικατάστασης το παρακάτω σύστηµα: χ + ψ = 4χ -5ψ = - ύση ύνουµε την πρώτη εξίσωση ως προς χ : χ + ψ = ή χ = ψ () ντικαθιστούµε την τιµή του χ που βρήκαµε στην δεύτερη εξίσωση οπότε 4( ψ ) 5ψ = - ή 8ψ 5ψ = - ή -8ψ 5ψ = - ή -ψ = - ή ψ = ντικαθιστώ την τιµή ψ = στην σχέση () άρα χ = ψ ή χ = - = ποµένως η λύση του συστήµατος είναι οι χ =, ψ =. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 04

12 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης φαρµογές. Να λυθεί το σύστηµα ΠΝΤΗΣΗ ήµα ο : πιλύουµε τη δεύτερη εξίσωση ως προς αφού έχει συντελεστή το Έχουµε : + y = - ή = -y ( ) ήµα ο : ντικαθιστούµε τη σχέση ( ) στην πρώτη, δηλαδή όπου θα αντικαταστήσουµε y. Άρα είναι : - 5y = ή - (-y ) 5y = ( ) ήµα ο : Η εξίσωση ( ) που προέκυψε έχει έναν άγνωστο, τον y. Τη λύνουµε και υπολογίζουµε τον άγνωστο y. Έχουµε : - (-y ) 5y = ή 6y + 4 5y = ή y = 4 ή y = - ήµα 4ο : ντικαθιστούµε σε µία από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος όπου y = - και υπολογίζουµε το. Έχουµε : + y = - ή + (-) = - ή 6 = - ή = 4 ποµένως, το σύστηµα έχει µία µοναδική λύση την (4, -). ΠΝΤΗΣΗ 5 y = + y =. Να λυθεί το σύστηµα 4 y = = 6 + y = ήµα ο : Παρατηρούµε ότι κανένας άγνωστος δεν έχει συντελεστή ±. πιλέγουµε να επιλύσουµε ως προς τον άγνωστο µε το µικρότερο συντελεστή, δηλαδή τη δεύτερη εξίσωση ως προς y. Έχουµε : 6 + y = - ή y = - 6 ή y 6 = ( ) ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 05

13 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ήµα ο ο : ντικαθιστούµε την ( ) στην πρώτη εξίσωση. Έχουµε διαδοχικά : 4y = ή 6 4 = ή (-6 ) = ή = ή 5 = 6 ή 5 = 5 ή ήµα 4ο : ντικαθιστούµε το 6 + y = - ή 6 y 5 = = 5 = στη δεύτερη και έχουµε : + = ή + y = - ή y = -5 ή Τελικά το σύστηµα έχει µία λύση, την 5,. 5 y=. Να λυθεί το σύστηµα y = y = 4 ΠΝΤΗΣΗ πιλύουµε την πρώτη ως προς. Έχουµε : y = 7 ή = y + 7 ή y+ 7 = ( ) ντικαθιστούµε την ( ) στη δεύτερη εξίσωση και έχουµε διαδοχικά : y = -4 ή y y 4 + = ή - (y + 7) + 6y = -4 ή -6y 4 + 6y = -4 ή -6y + 6y = 4 4 ή 0 y = 0 Η τελευταία εξίσωση που προέκυψε είναι προφανώς αδύνατη. Άρα και το σύστηµα θα είναι αδύνατο. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 06

14 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 4. Να λυθεί το σύστηµα 5 + y = 0 4 y = 6 ΠΝΤΗΣΗ πιλύουµε την εξίσωση ως προς y, και έχουµε : -5 + y = ή y = 5 + ή y 5+ = ( ) ντικαθιστούµε την ( ) στη δεύτερη και έχουµε διαδοχικά : 0 4y = -6 ή ή 0 = = ή 0 (5 + ) = -6 ή = -6 Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται για κάθε τιµή του, είναι δηλαδή αόριστη. ια κάθε όµως τιµή του µπορεί να προκύπτει µε αντικατάσταση στην ( ) και µία τιµή του y. Άρα το σύστηµα θα έχει άπειρες λύσεις (, y) (αόριστο). Με αντίθετους συντελεστές : Με τη µέθοδο αυτή προσπαθούµε να εµφανίσουµε στον ίδιο άγνωστο των δύο εξισώσεων του συστήµατος αντίθετους συντελεστές. ια αυτό το λόγο πολλαπλασιάζουµε τις δύο εξισώσεις µ κατάλληλους αριθµούς. Στην συνέχεια προσθέτουµε τις δύο εξισώσεις οπότε προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. Παράδειγµα : Να επιλύσετε µε την µέθοδο των αντίθετων συντελεστών το παρακάτω σύστηµα: χ + ψ = 4χ -5ψ = - ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 07

15 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ύση Θέλουµε να απαλείψουµε τον χ. πότε προσπαθώ να δηµιουργήσω αντίθετους συντελεστές για το χ. ποµένως πολλαπλασιάζω και τα δύο µέλη της πρώτης εξίσωσης µε το 4. χ + ψ = (-4) -4χ + -8ψ = - ή 4χ -5ψ = - 4χ -5ψ = - Προσθέτω τις δύο εξισώσεις κατά µέλη : -4χ + -8ψ + 4χ -5ψ = - ή -ψ = - ή ψ =. ντικαθιστούµε την τιµή ψ = σε µια από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος. πότε 4χ -5ψ = - ή 4χ 5 = - ή 4χ = 5 ή 4χ = 4 ή χ =. ποµένως η λύση του συστήµατος είναι οι χ =, ψ =. φαρµογές. Να λύσετε µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών τα συστήµατα : i) + 5 y = + 7 y =, ii) ψ 5 + = 5 + ψ = 45 ΠΝΤΗΣΗ i) Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη των εξισώσεων του συστήµατος µε τους αριθµούς και αντίστοιχα : + 5y= + 7 y= ή 6+ 5y= 6 + 4y = 6 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 08

16 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις και έχουµε 9y = 9, δηλαδή y =. Η η εξίσωση του αρχικού συστήµατος για y = δίνει + 5 = ή = -4 ή = -. Άρα η λύση του συστήµατος είναι (, y) = (-, ). ii) Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη των εξισώσεων του συστήµατος µε τους αριθµούς 5 και αντίστοιχα : 5 + ψ = 5 5+ ψ = 45 ή 5+ 0ψ = ψ = 5 Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε έχουµε : ψ ψ = ή 0ψ + ψ = 60 ή ψ = 60 ή ψ = 0. ντικαθιστούµε στην 5 + ψ = 45 όπου ψ = 0, οπότε είναι = 45 ή 5 = 45 0 ή = 5. Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (5, 0).. Να λυθεί το σύστηµα 4( ) y = ( ) = 5 ( y + ) = ( y ) y + ΠΝΤΗΣΗ φαρµόζοντας την ταυτότητα ( ) α± β = α ± αβ + β, έχουµε διαδοχικά : ( ) y ( ) 4 = ή 5 y+ = y y + ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) = ή 5 y + 4y+ 4 = y y+ y + ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 09

17 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης y= y 4y 4= y y+ y + ή 4 6 y 4 + 4= = y 4y y y y 4 y= 5 5 y= 8 ή ( ) κολουθούµε τη µέθοδο αντίθετων συντελεστών. y= 5 ( + ) 5 y= 8 ( ) ή 4 6y= y= 4 Προσθέτουµε κατά µέλη και έχουµε : - 6y y = -0 4 ή -9 = -54 ή = 6 ντικαθιστώντας στο ( ) το = 6 έχουµε : -5 y = 8 ή -5 6 y = 8 ή y = -8 ή y = -9 Άρα η λύση του συστήµατος είναι η (6, -9). ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΗ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Π ΜΤΤΠΤ Σ ΜΜ.. Να λυθεί το σύστηµα ΠΝΤΗΣΗ λέπουµε ότι οι εξισώσεις του συστήµατος ορίζονται, όταν 0 και y 0. Το σύστηµα που µας δίνεται δεν είναι γραµµικό. ια να το µετατρέψουµε σε γραµµικό, θέτουµε a = και y + = 5 y = y α + β = 5 α β = = β, οπότε γίνεται : Παρατηρούµε ότι οι συντελεστές του β στις δύο εξισώσεις είναι αντίθετοι. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0

18 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Έτσι, µε πρόσθεση κατά µέλη παίρνουµε α = 6 ή α =. ντικαθιστώντας την τιµή του α στην πρώτη εξίσωση προκύπτει + β = 5 ή β = 5 =. Συνεπώς θα έχουµε : ή ( µε χιαστί ) = και y = = και y= Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος ( y), =,. 4. Να λυθεί το σύστηµα + y = y = 5 ΠΝΤΗΣΗ Το σύστηµα δεν είναι γραµµικό. ια να το µετατρέψουµε σε γραµµικό, θέτουµε = α και y = β µε α 0 και β 0, οπότε γράφεται : α + β = α β = 5 Προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις κατά µέλη παίρνουµε : α = + 5 ή α = 8 ή α = 9 οπότε από την α + β = προκύπτει β = 9 = 4. Έχουµε λοιπόν : = 9 και y = 4 απ όπου προκύπτει : ( = ή = -) και (y = ή y = -) Συνεπώς οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (, y) = (, ), (, y) = (, -), (, y) = (-, ) και (, y) = (-, -). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

19 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 5. Να λυθεί το σύστηµα 5 y = y = ΠΝΤΗΣΗ Θέτουµε κ 0 συντελεστών : 5κ λ= 4 ( + ) 7κ + λ = ( + ) =, y λ 0 ή = και χρησιµοποιούµε την µέθοδο των αντίθετων 5κ 6λ = 4κ + 6λ = 4 Προσθέτουµε κατά µέλη και έχουµε : 5κ 6λ 4κ +6λ = 4 ή κ = 8 ντικαθιστούµε το κ = 8 στην 5κ λ = 4 και έχουµε : 5 8 λ = 4 ή -λ = -6 ή λ = 8 ποµένως θα είναι : = κ ή 8 = ή ( ) = 8 ή = 64 y = λ ή 8 y = ή ( ) 8 y = ή y= 4 Το σύστηµα τελικά έχει µία λύση, την (64, 4). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

20 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΗ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Π Ν ΜΤΤΠΤ Σ ΜΜ 6. Να λυθούν τα συστήµατα : + y = α), β) y= ΠΝΤΗΣΗ α) Στο σύστηµα παρατηρούµε ότι η πρώτη εξίσωση είναι γραµµική, ενώ η δεύτερη δεν είναι. Θα το λύσουµε µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. ύνοντας την πρώτη εξίσωση ως προς y προκύπτει y = και αντικαθιστώντας στη δεύτερη έχουµε διαδοχικά : y = ή ( ) = ή = ή + = 0 () Η διακρίνουσα της () είναι = (-) 4 = 9 8 =, οπότε + = = ή = = πό την y = για = βρίσκουµε y = = και για = βρίσκουµε y = =. ποµένως οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (, y) = (, ) και (, y) = (, ). β) Παρατηρούµε ότι η πρώτη εξίσωση του συστήµατος δεν είναι γραµµική. ργαζόµαστε λοιπόν και εδώ µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. ύνουµε τη δεύτερη εξίσωση ως προς y και παίρνουµε y =. ντικαθιστώντας το y στην πρώτη έχουµε διαδοχικά : y =6 ή ( ) = 6 ή = 0 ή 0 = 0 Η διακρίνουσα της τελευταίας εξίσωσης του είναι = (-) 4 (-0) = 49. οπότε: y = 6 y = = = 5 ή = = ια = 5 είναι y = = και για = - είναι y = = - = -4. Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (, y) = (5, ) και (, y) = (-,-4). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

21 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Με ορίζουσες : ια να επιλύσουµε το σύστηµα µε αυτό τον τρόπο ακολουθούµε την εξής διαδικασία. α χ + β ψ = γ α χ + β ψ = γ γ β α γ D= =, D χ = = γ β γ β, D γ β ψ = = αγ α γ α γ α β αβ αβ α β ν D 0 τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την χ, D D = ψ = D D ν D = 0 και D χ = 0, D ψ = 0 τότε το σύστηµα είναι αόριστο (εκτός αν α =α =β =β =0 και γ 0 ή γ 0 οπότε το σύστηµα είναι αδύνατο) ν D = 0 και D χ 0 ή D ψ 0 τότε το σύστηµα είναι αδύνατο φαρµογή: Να επιλύσετε µε την µέθοδο των οριζουσών το παρακάτω σύστηµα: χ + ψ = 4χ -5ψ = - ύση πολογίζουµε τα D, D χ, D ψ ψ D= = ( 5) 4 = 5 8= 4 5 D χ = = ( 5) ( ) = 5+ = 5 D ψ = = ( ) 4= = 4,, φού D 0 τότε έχει µοναδική λύση την D χ = = = D, Dψ ψ = = = D ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 4

22 Άλγεβρα υκείου φαρµογή: ίνεται το παρακάτω σύστηµα επιµ.: άτσιος ηµήτρης ( λ ) + y=, λ R + ( λ ) y = I) να επιλυθεί για τις διάφορες τιµές του λ II) στη περίπτωση που το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική λύση ( 0, y 0 ) και επιπλέον ισχύει y 0 =, να βρεθεί ο λ. ύση ) λ D= = λ = λ λ + = λλ λ y 0 0 ( ) ( )( ) ( ) D = = ( λ ) = λ 4= ( λ ) λ D λ = = ( λ ) = λ 4 = ( λ ) ια D 0 για λ 0 και λ µοναδικη λυση D ( λ ) Dy ( λ ) = = =, y = = = D λ( λ ) λ D λλ ( ) λ ρα ( 0, y0) = (, ) λ λ ια λ= 0, D= 0, D = 4 0, αρα συστηµα αδυνατο ια λ=, D= 0, D = 0 = D, αρα συστηµα αοριστο y + y= = y για λ= το ( Σ) γινεται θετουµε y= κ R + y= + y= αραοιαπειρεςλυσειςθαειναιτης µορφης (, y) = ( κκ, ) ) y0 = ( ) + ( ) = + = 6+ 4λ = λ 4 λ λ λ λ λ = λ λ λ 8= 0. Θ ετουµε ω= λ 0 8= 0 =. = 4 = 4 =± λ= ( λ= απορ. γιατι D 0) ω ω ω απορ η ω λ λ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 5

23 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΗΣΣ Να σηµειώσετε το Σ αν είναι σωστή ή το αν είναι λάθος σε κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις : α. Το σύστηµα αχ-ψ=β χ+αψ=γ έχει µια µόνο λύση για κάθε α,β,γ R Σ β. Το σύστηµα αχ+βψ=γ λαχ+λβψ=λγ λ 0 είναι αόριστο για κάθε α,β.γ R Σ γ. ν για το σύστηµα αχ+βψ=γ α χ+β ψ=γ ισχύει : i. D +D ψ +D =0 τότε το σύστηµα είναι αόριστο Σ ii. έχει δύο λύσεις τότε είναι αόριστο Σ iii. D=0 και D 0 τότε είναι αδύνατο Σ iv. γ=γ =0 τότε δεν µπορεί να είναι αδύνατο Σ δ. Το σύστηµα αχ+0ψ=β α χ+0ψ=β µε αα 0 έχει λύσεις µόνο αν D ψ =0 Σ ε. ν D=D =D ψ =0 και α 0 τότε το σύστηµα έχει λύσεις της µορφής ( γ βκ, κ ) µε κ R Σ α στ. ν ένα σύστηµα έχει µια µόνο λύση τότε D 0 Σ ζ. ν ένα σύστηµα είναι αδύνατο τότε D=0 και D 0 ή D ψ 0 Σ η. Το σύστηµα είναι αόριστο D=D =D ψ =0 Σ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 6

24 Άλγεβρα υκείου. Να λύσετε την εξίσωση: επιµ.: άτσιος ηµήτρης χ -χ 9χ 5 4χ = - χ. ια τις διάφορες τιµές του λ να λυθεί η εξίσωση: λ λ-χ = 0 - χ-λ. ια τις διάφορες τιµές του λ να λυθεί το σύστηµα: χ+ λψ = 4 λχ+ ψ = λ 4. ια ποιες τιµές του µ το σύστηµα i) έχει µοναδική λύση ii) είναι αδύνατο; µ χ µψ + = χ + µψ = µ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 7

25 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 5. Να βρεθούν τα κ, λ ώστε το σύστηµα α) έχει µια λύση β) είναι αδύνατο. 6. Να βρεθούν τα α και β ώστε το σύστηµα αόριστο. ( α β) ( ) ( ) ( ) + + α ψ = αβ α β + β 5 ψ = αβ 5ψ= 9 4+κψ=λ να είναι 7. Να βρεθούν τα κ και λ ώστε οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις κ (λ )ψ + = 0 και 4 + ψ + = 0 α) να είναι παράλληλες β) να ταυτίζονται. 8. ια ποιες τιµές του λ οι ευθείες ε : (λ -)χ-λy=λ και ε : (λ-)χ+y=λ- είναι: παράλληλες; ταυτίζονται; τέµνονται; 9. α) Να λυθεί το σύστηµα ) (Σ : a+ 5β = 7 5α 4β = β) Με τη βοήθεια της λύσης του συστήµατος (Σ) να λυθούν τα συστήµατα: + 5 y+ 4 = 7 ( Σ ) : 5 4 y+ 4 = 5 + = ( Σ ) y : 5 4 = 7 y+ { ( Σ ) : + 5y y+ = 0 0. ίνεται η εξίσωση: a όπου α, β R. ( + β ) + a β + = 0 Να βρείτε τις τιµές των από 00 λύσεις. α, β έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει περισσότερες ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 8

26 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. Να λυθεί το σύστηµα µε τη µέθοδο των οριζουσών = y ( + y) + = ( ) + y + λy= 4. α) Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστηµα: ( Σ) :, λ R λ+ y= λ για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου λ. β) ν (, y ) είναι η µοναδική λύση του συστήµατος ( Σ ), βρείτε το λ 0 αν ισχύει ότι: 0+ y0 = 0 y= µ. ίνεται το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : + 5y = 7 + µε αγνώστους, y µ και µ R. α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, D και D y του συστήµατος (Σ). β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του µ το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση, την οποία και να βρείτε. γ) ια µ =, να βρείτε το σηµείο που τέµνονται οι ευθείες που αντιστοιχούν στις εξισώσεις του λ y= 5λ 4. ίνεται το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : + λy = λ και λ R. µε αγνώστους, y α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, D και D y του συστήµατος (Σ). β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του λ το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση, την οποία και να βρείτε και να γράψετε µε την πιο απλοποιηµένη της µορφή. γ) Να βρείτε για ποια τιµή του λ, η ευθεία που αντιστοιχεί στην πρώτη εξίσωση του συστήµατος (Σ) είναι παράλληλη προς την ευθεία ε: y= 67. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 9

27 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 5. ίνεται ένα γραµµικό σύστηµα (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, y που έχει µοναδική λύση, ενώ ακόµα ισχύουν ότι: D + Dy 4D + 7D Να βρεθεί η µοναδική λύση του (Σ). y = D = D 6. ίνεται ένα γραµµικό σύστηµα (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, y ώστε: Να λυθεί το σύστηµα. D + D D 8 = 0. y παναληπτικές ασκήσεις στα γραµµικά συστήµατα. ια τους αριθµούς, y Rαντιστοιχίστε τους αριθµούς της στήλης µε τα γράµµατα της στήλης αιτιολογώντας την αντιστοίχιση. Στήλη... ι, y έχουν διαφορά 0 και πηλίκο 0 ι, y είναι πλευρές τετραγώνου µε εµβαδόν 40 ι, yέχουν άθροισµα 0και ο y είναι το µισό του ελαττωµένο κατά. Στήλη α. β. γ. = y y= 0 y= 0 y+ 6= y= 0 y= 0 δ. y= 0 y 40= 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0

28 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. ια τους αριθµούς, y R * ισχύουν: α) Η διαίρεση του µε τον y δίνει πηλίκο το διπλάσιο του αυξηµένο κατά και υπόλοιπο τα δύο τρίτα του y ελαττωµένο κατά 5 και β) η διαφορά του πενταπλασίου του από το ένα πέµπτο του y είναι 40. Ένας µαθητής έγραψε τις παραπάνω προτάσεις α) και β) µε τη µορφή συστήµατος: = y(+ ) + ( y 5) 5 y= 40 5 ίναι σωστό ή λάθος το σύστηµα; ν είναι λάθος διορθώστε το ώστε να γίνει σωστό.. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A (, 4) και B (, ). 4. ίνεται η εξίσωση 7 y = 4. Να γράψετε µια δεύτερη εξίσωση ώστε το σύστηµα που θα προκύψει: α) να έχει λύση πάνω στη διχοτόµο της πρώτης και τρίτης γωνίας. β) να έχει λύση το ζεύγος, ) (. γ) να έχει λύση ένα ζεύγος αντίθετων αριθµών. Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση που γράψατε σε κάθε περίπτωση, ικανοποιεί τη ζητούµενη συνθήκη. 5. Να λυθεί η ανίσωση: 5+ 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

29 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 6. Έστω οι ευθείες ε : y λ = και ε : y+ 4=. ν ε //ε να λυθεί η εξίσωση: 7. Να λυθεί το σύστηµα µε τη µέθοδο των οριζουσών = y ( + y) + = ( ) + y 8. Να βρείτε για ποια τιµή του λ Rέχει άπειρες λύσεις το σύστηµα: λ y = 4 4 y= 9. Να βρείτε για ποιες τιµές του λ Rείναι αδύνατο το σύστηµα: y= y= λ µ λ+ = µ λ y = 0. α) Να λυθεί το σύστηµα: + y = λ β) ια την λύση (, y ) 0 0 που βρήκατε στο ερώτηµα α) να λύσετε την 9 ανίσωση: 0 + y 0. Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστηµα: λ+ y= λ+ + λ y = ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

30 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. ν σε ένα σύστηµα (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, y ισχύουν: D + D y = D 4D + 7Dy = D και το σύστηµα έχει µοναδική λύση, να βρεθούν τα το σύστηµα)., y. ( ηλαδή να λυθεί. Aν σε ένα γραµµικό σύστηµα Χ ισχύει: D + D + Dy = D 6D + 4Dy 4. α) Να λυθεί το σύστηµα ) 4 τότε αυτό να λυθεί. (Σ a+ 5β = 7 : 5α 4β = β) Με τη βοήθεια της λύσης του συστήµατος (Σ) να λυθούν τα συστήµατα: + 5 y+ 4 = 7 ( Σ ) : 5 4 y+ 4 = + 7 ( Σ ) : = 7 y+ 4 = y+ ( Σ ) :{ + 5y y+ = 0 + y+ z= y + z + t = 5 5. Να λυθούν τα συστήµατα ( ) : και Σ z + t + = t+ + y= 8 y= ( Σ ) : yt= t= 8 6. Να λυθούν τα συστήµατα 5( + ) + = 9 ( Σ ) y y : ( + y) y= 9 ( Σ ) + y= + y = : ( Σ ) : y= y= 0 58 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ

31 Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 7. Μια ευθεία ε περνά από τα σηµεία (-,0) και (0,) µια δε άλλη ευθεία ε περνά από το σηµείο (0,-) και σχηµατίζει µε τον άξονα χ χ γωνία Να βρεθεί το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ε και ε και µετά οι συντεταγµένες του κοινού σηµείου των. 8. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας αχ+βψ=γ, µε β 0 αν γνωρίζουµε ότι περνά από τα σηµεία (,) και (-,5) 9. Ένας µαθητής γράφει διαγώνισµα το οποίο αποτελείται από 8 θέµατα πολλαπλής επιλογής. ια να αποφευχθεί η απάντηση στην τύχη δόθηκε ο εξής περιορισµός : ια κάθε θέµα σωστό παίρνει 0 βαθµούς ενώ για κάθε λανθασµένο θα χάνει 5 βαθµούς. ν η τελική βαθµολογία είναι 5 βαθµοί, να βρεθεί το πλήθος των σωστών και το πλήθος των λανθασµένων θεµάτων 0. υο κινητά κινούνται ευθύγραµµα στο επίπεδο, το πρώτο από το σηµείο (-,) προς το (0,0) και το δεύτερο από το (-5,5) προς το (0,-). Να βρείτε το κοινό σηµείο της διαδροµής τους. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 4

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1) Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ, όπου α,β,γr. α) Λύση της γραμμικής αυτής εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος (χ,ψ)=(χ 0,ψ 0 ) που την

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους Είναι ένα σύνολο δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους και των οποίων αναζητούµε

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. = 4 Να λύσετε το σύστηµα + = αλγεβρικά γραφικά = 4 = 4+ + = + = = 4+ 4 + + = = 4+ = = 4+ = = 4 = = = = 4 = 4 παριστάνει ευθεία ε Για = 0

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας . Ασκήσεις σχοικού βιβίου σείδας 69 7 A Oµάδας. Να αποδείξτε ότι, για κάθε πραγµατική τιµή του µ η εξίσωση (µ ) + µ + µ παριστάνει ευθεία γραµµή. Πότε η ευθεία αυτή είναι παράηη προς τον άξονα, πότε προς

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ 1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Παράγραφος 1.1 (ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Πότε μια εξίσωση λέγεται γραμμική; Η εξίσωση α + βy = γ Κάθε εξίσωση της μοεφής α + βy = γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 56 57 A µάδας. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) () = ii) () = ln( ) iii) () = e + iv) () = ( ), i)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση αx+βy = γ Λύση της εξίσωσης α x + β y = γ ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 140 ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Για την αξιολόγηση του µαθητή και της διδασκαλίας ενός µαθήµατος θα πρέπει να υπάρχει ένας συνολικός σχεδιασµός κατά ευρύτερη διδακτική ενότητα

Διαβάστε περισσότερα