Κεφάλαιο 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Transcript

1 Κεφάλαι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Σύνψη Στ δεύτερ τύτ κεφάλαι, ρίζεται τ ηλεκτρικό πεδί ως ιδιότητα τυ χώρυ γύρω από τ ηλεκτρικό φρτί. Γίνεται περιγραφή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ με την έννια των ηλεκτρικών δυναμικών γραμμών και εισάγεται η σχέση μεταξύ τυ πεδίυ και της ηλεκτρικής δύναμης. Επίσης μελετάται τ ηλεκτρικό πεδί μη σημειακών φρτίων και η κίνηση φρτίυ μέσα σε μγενές ηλεκτρικό πεδί. Πραπαιτύμενη γνώση Διανυσματικός λγισμός. Διαφρικός και λκληρωτικός λγισμός..1 Ένταση ηλεκτρικύ πεδίυ Στ πρώτ κεφάλαι, μελετήσαμε τις ηλεκτρικές δυνάμεις πυ αναπτύσσνται μεταξύ των ηλεκτρικών φρτίων. Η ηλεκτρική δύναμη, η πία ασκείται από ένα ηλεκτρικό φρτί επάνω σε ένα άλλ, δημιυργείται όταν τ δεύτερ φρτί πρσεγγίσει τ πρώτ, δηλαδή «εισέλθει» στ χώρ τυ. Πώς όμως ένα ηλεκτρικό φρτί «αντιλαμβάνεται» την παρυσία κάπιυ άλλυ, ώστε να αλληλεπιδράσει ηλεκτρικά μαζί τυ; Για να απαντήσυμε στ ερώτημα αυτό, πρέπει να εστιάσυμε την πρσχή μας στ χώρ γύρω από τ αρχικό φρτί. Γενικά, χώρς γύρω από ένα ηλεκτρικό φρτί απτελεί ένα πεδί δράσης ηλεκτρικών δυνάμεων για κάθε άλλ φρτί πυ εισέρχεται σ αυτόν. Έτσι λιπόν, η παρυσία ενός φρτίυ Q, ή γενικότερα μιας κατανμής φρτίων, απδίδει στν τριγύρω χώρ, μια ιδιότητα πυ νμάζεται ηλεκτρικό πεδί. Σ πιδήπτε άλλ ηλεκτρικό φρτί ευρεθεί σ αυτόν τ χώρ, θα ασκείται επάνω τυ μια ηλεκτρική δύναμη, ίση με F E (.1) όπυ Ε είναι τ διανυσματικό μέγεθς της έντασης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ. Δηλαδή τ ηλεκτρικό πεδί είναι μια ιδιότητα τυ χώρυ πυ φείλεται απκλειστικά στην παρυσία ηλεκτρικύ φρτίυ σ αυτόν. Απυσία ηλεκτρικύ φρτίυ δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδί, δηλαδή Ε=0. Τ ηλεκτρικό πεδί είναι μια αφηρημένη και δυσνόητη έννια, μιας και εκτείνεται στ χώρ γύρω από τ ηλεκτρικό φρτί πρς όλες τις κατευθύνσεις και τ άπειρ. Η ηλεκτρική δύναμη και τ ηλεκτρικό πεδί είναι δυ φυσικές πσότητες αλληλένδετες μεταξύ τυς, ι πίες η μια χρησιμπιείται για τν ρισμό της άλλης. Έτσι λιπόν, ένας πι ακριβής ρισμός της έντασης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε είναι E lim F (.) 0 μιας και τ φρτί πρέπει να είναι μικρό σε σύγκριση με τ φρτί Q πυ δημιυργεί τ ηλεκτρικό πεδί Ε, διότι διαφρετικά τ φρτί επηρεάζει τ πεδί τυ Q αλλάζντάς τ, επειδή και τ δημιυργεί γύρω τυ τ δικό τυ ηλεκτρικό πεδί (Gant & Phillips, 1975), (Hallida, Resnick & Kane, 009). Η εξ.. είναι λιπόν στην πραγματικότητα πρσεγγιστική, μιας και πάντα τ φρτί σδήπτε μικρό και να είναι, επηρεάζει τ πεδί Ε, αλλάζντάς τ τπικά έστω και απειρελάχιστα. Βάσει λιπόν της εξ..1, τ ηλεκτρικό πεδί είναι μια ιδέα άρρηκτα συνδεδεμένη με την ηλεκτρική δύναμη και μπρύμε να γράψυμε F Q Q E K ˆ E K ˆ (.3) Πρέπει σ αυτό τ σημεί να τνίσυμε ότι η εξ..3 ισχύει μόν για σημειακά φρτία. Τ συνιστάμεν ηλεκτρικό πεδί πυ σχηματίζυν δυ ή περισσότερα φρτία, είναι τ διανυσματικό άθρισμα των πεδίων πυ δημιυργεί τ κάθε φρτί ξεχωριστά. Ισχύει δηλαδή για τ ηλεκτρικό πεδί η αρχή της επαλληλίας. Έτσι λιπόν για να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό πεδί σε ένα σημεί τυ χώρυ πυ δημιυργύν n σημειακά φρτία, πρέπει να υπλγίσυμε ξεχωριστά τ ηλεκτρικό πεδί Ε i πυ δημιυργεί κάθε φρτί i στ

2 συγκεκριμέν σημεί, και στη συνέχεια να υπλγίσυμε τ διανυσματικό άθρισμα όλων των επιμέρυς ηλεκτρικών πεδίων (Lbkwicz & Melissins, 1975). Ισχύει δηλαδή E E E... E (.4) 1 n Ο ρισμός της έντασης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ έγινε πι πάνω συναρτήσει της δύναμης πυ ασκείται πάνω στ φρτί (εξ..3). Εντύτις, ρισμός αυτός είναι αυθαίρετς, καθιστώντας την περιγραφή και κατανόηση αυτής της φυσικής πσότητας αρκετά δύσκλη, μιας και τ πεδί Ε απτελεί μια ιδιότητα τυ χώρυ πυ εξαρτάται από τ σημεί στ πί τ μελετάμε κάθε φρά. Τύτ είναι πρφανές διότι αλλάζντας τη θέση ενός φρτίυ ως από ένα άλλ Q, αλλάζει και η μεταξύ τυς ηλεκτρική δύναμη. Την ιδέα τυ ηλεκτρικύ πεδίυ την εισήγαγε πρώτς Άγγλς φυσικός και χημικός Michael Faada ( ), ως απτέλεσμα της πρσπάθειάς τυ να εξηγήσει πώς ένα φρτί «αντιλαμβάνεται» την ύπαρξη ενός άλλυ, ώστε να αλληλεπιδράσει μαζί τυ. Ο Faada κατάφερε να περιγράψει την αφηρημένη έννια τυ πεδίυ με την σχεδίαση γραμμών, ι πίες νμάζνται γραμμές ηλεκτρικύ πεδίυ ή ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές (Seas, 1951), (Giancli, 01), (Hallida, Resnick & Walke, 013). Η περιγραφή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ με τις ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές βασίζνται στυς εξής κανόνες 1) Οι δυναμικές γραμμές ξεκινύν πάντα από θετικά φρτία και καταλήγυν σε αρνητικά. Εάν στ χώρ υπάρχυν μόν θετικά ή αρνητικά φρτία, ι δυναμικές γραμμές εκτείννται στ άπειρ, όμως με αντίθετη κατεύθυνση σε κάθε περίπτωση, έτσι όπως δείχνει τ σχ..1. ) Ο αριθμός των δυναμικών γραμμών πυ διέρχνται κάθετα από μια επιφάνεια είναι ανάλγς της έντασης τυ πεδίυ Ε. Πυκνές γραμμές σημαίνυν μεγάλ Ε και τ αντίθετ (βλέπε σχ..1α). 3) Η διεύθυνση τυ διανύσματς Ε είναι πάντα εφαπτόμενη σε κάθε σημεί των δυναμικών γραμμών. Στην πραγματικότητα, ι δυναμικές γραμμές δείχνυν την κατεύθυνση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στν χώρ. + (α) Σχήμα.1 Οι δυναμικές γραμμές τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πυ δημιυργείται από α) ένα θετικό σημειακό φρτί, και β) ένα αρνητικό σημειακό φρτί. - (β) Michael Faada ( ) ( ichael_faada#/media/file:fa ada-millikan-gale-1913.jpg). Τ παρόν έργ απτελεί κινό κτήμα (public dmain). Βάσει των πι πάνω κανόνων, στ σχ..1α φαίννται ι δυναμικές γραμμές τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πυ σχηματίζεται από ένα απμνωμέν θετικό σημειακό φρτί, ενώ στ σχ..1β από ένα αντίστιχ αρνητικό. Γενικά, η κατεύθυνση των δυναμικών γραμμών είναι η ίδια με αυτήν τυ ηλεκτρικύ πεδίυ και με την κατεύθυνση της ηλεκτρικής δύναμης πυ ασκείται σ ένα θετικό φρτί μέσα σε αυτό. Η ένταση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ μειώνεται με την απόσταση από τ φρτί, μιας και όπως φαίνεται στ σχ..1α, μια δεδμένη επιφάνεια διαπερνάται από μικρότερ αριθμό δυναμικών γραμμών όσ πι μακριά ευρίσκεται από τ φρτί (βλέπε κανόνα πι πάνω). Στ ίδι συμπέρασμα καταλήγει κάπις και από την εξ..3, όπυ η ένταση τυ πεδίυ Ε είναι αντιστρόφως ανάλγη της απόστασης. Γενικά αριθμός των ηλεκτρικών δυναμικών γραμμών ανά μνάδα επιφανείας εκφράζεται με την φυσική πσότητα της ηλεκτρικής ρής, η πία είναι πλύ σημαντική στην θεωρία τυ ΗΜ και θα αναλυθεί λεπτμερειακώς παρακάτω.

3 3 Ένα άλλυ είδυς ηλεκτρικό πεδί είναι αυτό πυ δημιυργείται από ένα ηλεκτρικό δίπλ και τ πί απεικνίζεται στ σχ... Τ ηλεκτρικό δίπλ είναι ένα ζεύγς ισδυνάμων και ταυτχρόνως ετερσήμων ηλεκτρικών φρτίων σε σταθερή απόσταση (Knight, 010), (Yung & Feedman, 010), (Sewa & Jewett, 013). Ηλεκτρικά δίπλα σχηματίζνται στυς ιντικύς χημικύς δεσμύς, όπυ παρατηρείται μεταφρά φρτίυ μεταξύ ατόμων. Ένα σημαντικό και χρήσιμ σε εφαρμγές ηλεκτρικό πεδί, είναι τ μγενές ηλεκτρικό πεδί, όπυ τ διάνυσμα Ε είναι σταθερύ μέτρυ και κατευθύνσεως σ ένα τμήμα τυ χώρυ. Εξ ρισμύ τ μγενές ηλεκτρικό πεδί, παριστάνεται από ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές, ι πίες είναι παράλληλες ευθείες με την ίδια κατεύθυνση και πυκνότητα στ χώρ (Αλεξόπυλς & Μαρίνς, 199). Θα περιγράψυμε πι κάτω τη δημιυργία μγενύς ηλεκτρικύ πεδίυ και πώς ένα ηλεκτρικό φρτί συμπεριφέρεται μέσα σ αυτό.. Ηλεκτρικό πεδί συνόλυ σημειακών φρτίων Όταν θέλυμε να υπλγίσυμε την ένταση Ε τυ ηλεκτρικύ πεδίυ, τ πί δημιυργείται από διακριτά σημειακά φρτία σε ένα σημεί τυ χώρυ, πρώτα υπλγίζυμε τ πεδί Ε i πυ δημιυργεί κάθε σημειακό φρτί ξεχωριστά στ σημεί, και έπειτα ευρίσκυμε τ διανυσματικό τυς άθρισμα σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας. Η κατεύθυνση τυ διανύσματς Ε πυ δημιυργεί ένα σημειακό φρτί είναι πρς τ φρτί όταν αυτό είναι αρνητικό, και απμακρύνεται από τ σημεί όταν είναι θετικό. Αυτή η σύμβαση βασίζεται στην θεώρηση των δυναμικών γραμμών, όπως τις περιγράψαμε πι πάνω. Ένας άλλς τρόπς για να εύρυμε τη φρά τυ πεδίυ Ε, είναι να θεωρήσυμε ένα θετικό δκιμαστικό φρτί στ υπό μελέτη σημεί τυ χώρυ, και να εύρυμε τη φρά της δύναμης F επάνω στ φρτί, η πία θα συμπίπτει με εκείνη τυ πεδίυ Ε. Παράδειγμα.1 Ηλεκτρικό πεδί σημειακών ηλεκτρικών φρτίων Τρία ηλεκτρικά φρτία ίσυ μέτρυ ευρίσκνται στις κρυφές ενός ισπλεύρυ τριγώνυ πλευράς α. Δύ από τα φρτία είναι αρνητικά και τ τρίτ θετικό, όπως φαίνεται στ σχ..3. Να ευρεθεί τ μέτρ και η κατεύθυνση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στ σημεί P, ως συνάρτηση των α, και της ηλεκτρικής σταθεράς Κ. Σημειωτέν, ότι τ σημεί Ρ είναι τ μέσν της πλευράς στα άκρα της πίας ευρίσκνται τα αρνητικά φρτία. Λύση Τ ηλεκτρικό πεδί στ σημεί P ευρίσκεται αν υπλγίσυμε τα ηλεκτρικά πεδία πυ δημιυργύν τα τρία επιμέρυς φρτία, και στη συνέχεια τα πρσθέτυμε διανυσματικά. Επειδή τ σημεί Ρ απέχει εξ ίσυ από τα αρνητικά φρτία και ευρίσκεται στ μέσν τυς, τα αρνητικά φρτία δημιυργύν στ σημεί P αντίθετα ηλεκτρικά πεδία μέτρυ, 4 E K E K ( a/ ) a (1) τα πία αλληλεξυδετερώννται και δεν συνεισφέρυν στ συνλικό πεδί. Δηλαδή στν άξνα ισχύει ˆ E K K ( ˆ) 0 ( a/ ) ( a/ ) i i E () Τελικώς μόν τ θετικό φρτί είναι αυτό πυ δημιυργεί ηλεκτρικό πεδί στ σημεί P, ίσ με + Ε - Ε Ε Ε Σχήμα. Ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργείται από ζεύγς ετερσήμων ηλεκτρικών φρτίων (ηλεκτρικό δίπλ), όπως αυτό ρίζεται με τις δυναμικές γραμμές. α Ε Ε α/ α/ α P - Σχήμα.3 Ηλεκτρικό πεδί τριών σημειακών ηλεκτρικών φρτίων (παράδειγμα.1). -

4 4 E K (3) Από τα ρθγώνια τρίγωνα τυ σχήματς.3 έχυμε 3 a ( a / ) a ( a / ) a a / 4 a (4) 4 Η εξ. 3 λόγω της 4 δίνει τ μέτρ τυ συνλικύ ηλεκτρικύ πεδίυ, ίσ με E 4 K (5) 3 a Παρατηρώντας τ σχ..3 η κατεύθυνση τυ πεδίυ είναι πρς τν Νότ, διότι λόγω της ηλεκτρθετικότητας τυ φρτίυ στην επάνω κρυφή τυ ισπλεύρυ τριγώνυ, ι δυναμικές γραμμές τυ πεδίυ στ σημεί P έχυν φρά πρς τα «κάτω». Δηλαδή μπρύμε να γράψυμε τελικά για τ διάνυσμα τυ συνλικύ ηλεκτρικύ πεδίυ στ σημεί P 4 E K ˆj. 3 a Παράδειγμα. Ηλεκτρικό πεδί δίπλυ Να υπλγιστεί τ ηλεκτρικό πεδί πυ πρκαλεί τ ηλεκτρικό δίπλ με φρτία =± C σε απόσταση d=0 cm μεταξύ τυς, στα σημεία Α, Β και Γ, όπως δείχνει τ σχ..4. Οι απστάσεις των Α, Β και Γ σημείων από την αρχή των αξόνων είναι A =1 cm, B =8 cm και Γ =6 cm αντιστίχως. Τ σημεί Γ ευρίσκεται στην μεσκάθετ της απόστασης μεταξύ των δυ φρτίων. Λύση Τ ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργεί ένα σημειακό φρτί σε απόσταση από αυτό, δίνεται από την εξ..3. Έτσι λιπόν, στ σημεί Α σε απόσταση A, τ φρτί δημιυργεί πεδί Ε Α1 EA1 Nm K E A1 9 9 i ˆ E A C (1 10 m) A N C 510 C Ομίως, μπρύμε να εύρυμε ότι τ δημιυργεί πεδί Ε Α, δηλαδή EA Nm 510 C N K E E ( d ) C (8 10 m) C ( i ˆ) A 9 10 A A Οι συνιστώσες και των δυ πεδίων Ε Α1 και Ε Α είναι Ε Α1 = N/C, E Α1 =0 και Ε Α = N/C, E Α =0. Επμένως, τ συνλικό πεδί E A στ σημεί Α είναι κατά μήκς τυ άξνα με φρά πρς τ - και με μέτρ = + = N/C N/C = E E E N/C A A1 A ή διανυσματικά Ε Α = N/C î. Στ σημεί Β και σε απόσταση B =8 cm πρς τν αρνητικό ημιάξνα, τ φρτί δημιυργεί πεδί EB1 Nm 510 C N K E K E C (8 10 m) C ( i ˆ) B B B B Τ δημιυργεί στ σημεί Β πεδί B B + Γ φ Γ E Γ1 E Γ E Γ Σχήμα.4 Ηλεκτρικό πεδί στ χώρ γύρω από ηλεκτρικό δίπλ. Τ κάθε φρτί δημιυργεί τ δικό τυ επιμέρυς ηλεκτρικό πεδί (παράδειγμα.). A d φ A φ Γ -

5 5 Nm 510 C N EB K i E K E ( d ) ( d ) C (810 m) C 9 9 ( ˆ) B 9 10 B B B Η φρά τυ Ε Β είναι πρς τ και αντίθετη από αυτή τυ Ε Β1. Οι συνιστώσες των πεδίων στν άξνα των είναι μηδέν. Επμένως τ συνλικό ηλεκτρικό πεδί στ Β είναι Ε Β =Ε 1 +Ε =(7.03i i) 10 4 N/C Ε Β = N/C i. T μείν δηλώνει τη φρά τυ πεδίυ Ε Β, η πία είναι πρς τα αριστερά. Στ σημεί Γ πυ ευρίσκεται στη μεσκάθετ της απόστασης μεταξύ των δυ φρτίων, τ ηλεκτρικό πεδί θα είναι τ διανυσματικό άθρισμα των Ε Γ1 και Ε Γ, πυ δημιυργύν τα φρτία και αντιστίχως. Τ διάνυσμα Ε Γ1 έχει μέτρ Nm 510 C N E K E E C (6 10 m) C 9 9 Γ Γ και μίως υπλγίζεται τ μέτρ τυ διανύσματς Ε Γ ως N E. Γ C Οι διευθύνσεις των Ε Γ1 και Ε Γ φαίννται στ σχ..4. Τ ηλεκτρικό πεδί στ σημεί Γ είναι E E E Γ Γ1 Γ Επειδή τ E E, τ E Γ δεν έχει συνιστώσα στην διεύθυνση, πότε E Γ =0. Επίσης Ε 1 =E. Γ1 Γ Άρα ισχύει E = E. Γ 1 Όμως π EΓ1 E Γ1 cs φ, όπυ csφsin( φ) και π d / 10 π sin( φ) φ sin φ 90.6 φ Άρα E Επμένως N/C cs N/C E N/C. 1 1 E Γ N/C E N/C, Γ και επειδή η κατεύθυνσή τυ είναι αυτή τυ θετικύ ημιάξνα των, διανυσματικά εκφράζεται ως E N/Ci ˆ. Γ.3 Ηλεκτρικό πεδί συνεχύς κατανμής φρτίυ Όταν έχυμε μια συνεχή κατανμή φρτίυ στ χώρ, όπως είναι ένα φρτισμέν σώμα, πχ. μια ράβδς, ένας δακτύλις ή ένα τυχαίυ σχήματς σώμα, δεν μπρύμε να χρησιμπιήσυμε απευθείας τν νόμ τυ Culmb για να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό πεδί σε ένα σημεί τυ χώρυ. Τύτ συμβαίνει διότι δεν ρίζεται η απόσταση μεταξύ ενός σημείυ και ενός σώματς με διαστάσεις. Σε τέτια περίπτωση, πρέπει να χωρίσυμε τ συνλικό φρτί Q τυ σώματς σε στιχειώδη απειρελάχιστα φρτία d, και για κάθε τέτι φρτί, αφύ τ θεωρήσυμε σημειακό, να εφαρμόσυμε τν νόμ τυ Culmb, και να εύρυμε τ αντίστιχ στιχειώδες ηλεκτρικό πεδί de πυ δημιυργεί στ συγκεκριμέν σημεί τυ χώρυ. Στη συνέχεια, για να υπλγίσυμε τ συνλικό Ε πρέπει να αθρίσυμε διανυσματικά όλα τα στιχειώδη πεδία de. Μια τέτια διαδικασία περιγράφεται στ σχ..5.

6 6 Έτσι λιπόν, ρίζυμε τ πεδί de τυ στιχειώδυς φρτίυ d τ πί θα είναι d de K ˆ (.5) Επειδή κάθε τρισδιάστατ σώμα φρτισμέν με φρτί Q, απαρτίζεται από έναν απείρως μεγάλ αριθμό στιχειωδών φρτίων d, έχυμε να πρσθέσυμε έναν πλύ μεγάλ αριθμό στιχειωδών πεδίων de, με απτέλεσμα τ άθρισμα να ανάγεται σε λκλήρωση. Τιυττρόπως λκληρώνντας την εξ..5 στ χώρ πυ εκτείνεται τ φρτί Q, μπρύμε να πάρυμε τ συνλικό ηλεκτρικό πεδί Ε ως E d K ˆ (.6) Γενικά τ λκλήρωμα της σχέσης.6 δεν είναι ευκόλως υπλγίσιμ, μιας και η απόσταση εξαρτάται από τ d. Εντύτις, σε περιπτώσεις πυ τ σχήμα τυ σώματς παρυσιάζει κάπια συμμετρία και η πυκνότητα τυ φρτίυ είναι γνωστή, τ λκλήρωμα.6 μπρεί να υπλγισθεί σχετικά εύκλα. Στη συνέχεια θα ιδύμε τν υπλγισμό των ηλεκτρικών πεδίων κάπιων κατανμών φρτίων με την χρήση της πυκνότητας φρτίυ. Παράδειγμα.3 Ηλεκτρικό πεδί μνδιάστατης φρτισμένης ράβδυ Έστω μια θετικά φρτισμένη μνδιάστατη ράβδς πλύ μεγάλυ μήκυς de d με γραμμική πυκνότητα φρτίυ λ, όπως =0 = d φαίνεται στ σχ..6. Να υπλγιστεί τ ηλεκτρικό πεδί Ε στ σημεί =0, για α) λ= λ σταθερή, και β) μεταβλητή πυκνότητα λ Σχήμα.6 Μνδιάστατη θετικά φρτισμένη ράβδς πλύ μεγάλυ φρτίυ λ. μήκυς (παράδειγμα.3). Λύση Για να υπλγίσυμε τ διάνυσμα της έντασης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε στην αρχή τυ άξνα των (=0), πρέπει να υπλγίσυμε τ στιχειώδες ηλεκτρικό πεδί de, τ πί δημιυργείται από κάθε στιχειώδες φρτί d της ράβδυ μήκυς d. Επμένως μπρύμε να γράψυμε d de K ( i ˆ) (1) Η θέση όμως τυ d εξαρτάται από την απόσταση γιατί κάθε d ευρίσκεται σ ένα διαφρετικό. Όμως από τν ρισμό της γραμμικής πυκνότητας (βλ. εξ. 1.9) φρτίυ ισχύει, d λ = d = λd d () και επμένως από την εξ. παίρνυμε για την περίπτωση σταθερής γραμμικής πυκνότητας λ d λ d (3) Τότε η στιχειώδης ένταση de τυ στιχειώδυς ηλεκτρικύ φρτίυ d είναι Σχήμα.5 Στιχειώδες ηλεκτρικό πεδί de πυ δημιυργείται από στιχειώδες φρτί d ενός τρισδιάστατυ φρτίυ Q. Τ διανυσματικό άθρισμα όλων των de από όλα τα d πυ απαρτίζυν τ σώμα θα δώσυν τ λικό Ε. λ de K d (4) Ολκληρώνντας την εξ. 4 κατά μήκς όλης της ράβδυ από = έως =, γράφυμε d Q de

7 7 d 1 1 (0 ) λ λ Kλ de K d de K d E Kλ Kλ Kλ E Επειδή τ φρτί της ράβδυ είναι θετικό, η φρά τυ πεδίυ είναι πρς τν αρνητικό ημιάξνα των και επμένως ισχύει Kλ E ( i ˆ) Για την β) περίπτωση όπυ η γραμμική πυκνότητα φρτίυ είναι μεταβλητή, ισχύει λ (5) d λd d d Από την εξ.5 μπρύμε να γράψυμε για τ στιχειώδες ηλεκτρικό πεδί de τυ φρτίυ d d ( ) λ λ Kλ Kλ de K d de K d E Kλ Kλ E Η κατεύθυνση τυ Ε είναι και εις αυτήν την περίπτωση πρς τα αριστερά, διότι τ φρτί της ράβδυ είναι θετικό. Άρα τ ηλεκτρικό πεδί της ράβδυ είναι Kλ E i ˆ Παράδειγμα.4 Ηλεκτρικό πεδί στη μεσκάθετ μνδιάστατης φρτισμένης ράβδυ Έστω μια θετικά μιόμρφα φρτισμένη μνδιάστατη ράβδς πλύ μεγάλυ μήκυς με γραμμική πυκνότητα φρτίυ λ. Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί E σε σημεί Ο πυ απέχει απόσταση α από την ράβδ, και ευρίσκεται στην μεσκάθετό της, όπως φαίνεται στ σχ..7. Λύση Θεωρώντας στιχειώδες φρτί d της ράβδυ, τ πί απέχει απόσταση από τ σημεί Ο, τ στιχειώδες ηλεκτρικό πεδί de πυ αυτό δημιυργεί στ σημεί Ο, έχει μέτρ όπυ και Λόγω των εξισώσεων και 3, η εξ. 1 γράφεται 1 d de (1) 4πε d λd () a (3) 1 λd de 4πε a Όμως για κάθε στιχειώδες φρτί d, υπάρχει ένα αντιδιαμετρικό d ως πρς τ σημεί =0 της ράβδυ, τ πί δημιυργεί ένα αντίστιχ de, με απτέλεσμα η συνισταμένη τυ Ε στν άξνα των να είναι μηδέν, διότι τα δυ de αλληλαναιρύνται. Αντιθέτως, η συνισταμένη στν κάθετ άξνα θα είναι Όμως ισχύει ότι de decsθ (5) (4)

8 8 Επμένως γράφυμε για τ ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργεί ένα φρτί d μαζί με τ αντιδιαμετρικό τυ de α csθ (6) ade (7) Για να υπλγίσυμε τώρα τ συνλικό ηλεκτρικό πεδί Ε πυ λόκληρη η ράβδς δημιυργεί στ σημεί Ο, θα πρέπει να λκληρώσυμε την πι πάνω σχέση από τ 0 έως τ. H λκλήρωση γίνεται κατά μήκς της μισής ράβδυ, γιατί στν υπλγισμό τυ de συμπεριλάβαμε και τ αντιδιαμετρικό φρτί τυ d, τ πί ευρίσκεται στν αρνητικό ημιάξνα των. Έτσι, λκληρώνντας την εξ. 7 έχυμε de -de de de θ Σχήμα.7 Ηλεκτρικό πεδί de πυ παράγεται από στιχειώδες φρτί d θετικά μιόμρφης φρτισμένης μνδιάστατης ράβδυ πλύ μεγάλυ μήκυς σε απόσταση α από αυτή (παράδειγμα.4). Ο a de d d =0 1 λd a 1 aλd aλ d E de 4 πε a πε ( a )( a ) πε ( a ) 1/ 3/ aλ 1 λ λ λ ( )( ) (1 0) E πε a πε a πε a πε a a 0 Η διεύθυνση τυ Ε είναι κάθετη στη ράβδ και εκτείνεται ακτινικά πρς αυτή, με κατεύθυνση πρς τα «έξω» μιας και τ φρτί της ράβδυ είναι θετικό. Δηλαδή ισχύει λ E ˆj πε a [1] Παράδειγμα.5 Ηλεκτρικό πεδί φρτισμένυ τεταρτκυκλίυ Θετικό ηλεκτρικό φρτί +Q, κατανέμεται μιόμρφα επάνω σε τεταρτκύκλι με ακτίνα α. Τ τεταρτκύκλι ευρίσκεται στ τεταρτημόρι τυ σχήματς.8, και τ κέντρ καμπυλότητάς τυ Ο είναι στην αρχή των αξόνων ρθγωνίυ καρτεσιανύ συστήματς αναφράς. Υπλγίστε τ συνλικό ηλεκτρικό πεδί Ε στ κέντρ καμπυλότητας, αφύ πρηγυμένως υπλγίστε τις συνιστώσες και τυ ηλεκτρικύ πεδίυ. Λύση Θεωρύμε στιχειώδες φρτί d τυ τεταρτκυκλίυ με μήκς dl. Τ στιχειώδες ηλεκτρικό πεδί de στ κέντρ τυ τεταρτκυκλίυ δίνεται ως 1 d de ˆ (1) 4πε a dl α θ Ο dε dε dε Σχήμα.8 Ηλεκτρικό πεδί φρτισμένυ τεταρτημρίυ στ κέντρ καμπυλότητάς τυ (παράδειγμα.5). [1] d 1 Ισχύει για τ λκλήρωμα. 3/ ( a ) a a

9 9 όπυ ˆ τ μναδιαί διάνυσμα στην κατεύθυνση πυ ρίζεται από την γωνία θ (βλ. σχ..8). T διάνυσμα de αναλύεται σε δυ συνιστώσες κατά μήκς των και αξόνων, την de και την de αντιστίχως. Για τ de ισχύει και 1 d de sin sin ˆ de θ θi (α) 4πε a 1 d de cs cs ˆ de θ θj (β) 4πε a Επειδή η κατανμή φρτίυ είναι μιόμρφη κατά μήκς τυ τεταρτημρίυ, η γραμμική πυκνότητα φρτίυ είναι σταθερή και ίση με Q Q λ λ (3) πα/ 4 πα Για τ στιχειώδες τμήμα της ράβδυ με φρτί d και μήκς dl, λόγω της εξ. 3 ισχύει Q d dl (4) πα Επίσης τ στιχειώδες μήκς dl πυ αντιστιχεί σε γωνία dθ, γράφεται dl = αdθ (5) Λόγω των εξισώσεων 4 και 5, ι αντίστιχες α και β γράφνται και 1 Q de sin sin ˆ de θ θdθi (6α) 4πε πα 1 Q de cs cs ˆ de θ θdθj (6β) 4πε πα Για να υπλγίσυμε την συνλική Ε συνιστώσα τυ πεδίυ Ε πυ δημιυργεί τ τεταρτημόρι κατά μήκς τυ άξνα, λκληρώνυμε την εξ. 6α. Επμένως π / 1 Q 1 Q π / E de sinθdθ csθ 4πε πα 4πε πα Q 1 Q 1 Q Q cs( π/ ) cs(0) 0 E 4πε πα 4πε πα 4πε πα π ε α Ομίως για την συνλική Ε συνιστώσα τυ πεδίυ Ε γράφυμε (7α) π / 1 Q 1 Q π / E de csθdθ sinθ 4πε πα 4πε πα Q 1 Q 1 Q Q sin( π/ ) sin(0) 0 E 4πε πα 4πε πα 4πε πα π ε α Τελικά γνωρίζντας τις συνιστώσες Ε και Ε μπρύμε να υπλγίσυμε τ μέτρ τυ πεδίυ Ε ως Q Q E E E ( ) E (8) π εα π εα Η κατεύθυνση τυ διανύσματς Ε είναι στ τέταρτ τεταρτημόρι με γωνία φ, όπυ (7β)

10 10 E tan φ 1 45 E φ..4 Κίνηση ηλεκτρικύ φρτίυ σε μγενές ηλεκτρικό πεδί Όπως αναφέραμε πρηγυμένως, όταν ένα ηλεκτρικό φρτί ευρεθεί μέσα σ ένα ηλεκτρικό πεδί, ασκείται επάνω τυ μια ηλεκτρική δύναμη, πότε τ φρτί κινείται με επιτάχυνση. Όταν τ ηλεκτρικό πεδί είναι μγενές, δηλαδή τ διάνυσμα Ε είναι σταθερό σ όλη την έκταση τυ πεδίυ, η δύναμη F και επμένως και η επιτάχυνση α τυ φρτίυ είναι επίσης σταθερή. Σ αυτή την περίπτωση ισχύει F E ma a E (.7) m Ένα παράδειγμα μγενύς ηλεκτρικύ πεδίυ, είναι αυτό πυ δημιυργείται ανάμεσα από δυ παράλληλες και μιγενώς αντίθετα φρτισμένες επίπεδες μεταλλικές πλάκες, όπως δείχνει τ σχ..9. Εάν θεωρήσυμε ότι ένα ηλεκτρόνι εισέρχεται εντός τυ ηλεκτρικύ πεδίυ ριζντίως και με αρχική ταχύτητα υ, μια κατακόρυφη ηλεκτρική δύναμη F ασκείται επάνω τυ. Αυτή η δύναμη επιταχύνει τ ηλεκτρόνι πρς τα κάτω, αναγκάζντάς τ να εκτραπεί από την αρχική τυ πρεία. Η επιτάχυνση τυ ηλεκτρνίυ δίνεται από την εξ..7. Η βαρυτική δύναμη έχει σκπίμως αγνηθεί, μιας και η ισχύ της είναι απειρελάχιστη σε σύγκριση με την ηλεκτρική (περίπυ φρές ασθενέστερη). Σε μια τυχαία θέση της τρχιάς τυ τ ηλεκτρόνι έχει ταχύτητα υ υ ˆ υ ˆ (.8) Η ριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας υ δεν αλλάζει, διότι κατά μήκς της διεύθυνσης δεν ασκείται κάπια δύναμη. Αντίθετα στην διεύθυνση τ μέτρ της ταχύτητας μεταβάλλεται με τν χρόν σύμφωνα με την σχέση ee υ at t (.9) m _ Οι συντεταγμένες τυ ηλεκτρνίυ μετά από χρόν t από την είσδό τυ στ ηλεκτρικό πεδί είναι υt (.10α) και μέσω της εξ..10α η κάθετη μετατόπιση τυ ηλεκτρνίυ είναι (.10α) 1 1 ee at t (.10β) m Για t=/υ, η εξ..10β δίνει την εξίσωση της τρχιάς τυ ηλεκτρνίυ δηλαδή 1 ee mυ (.11) A (.1) όπυ Α=eE/mυ. Από την εξ..1 είναι φανερό ότι η τρχιά πυ διαγράφει τ ηλεκτρόνι είναι παραβλή. Στην πραγματικότητα δηλαδή, τ ηλεκτρόνι εκτελεί ριζόντια βλή. Εάν τ ηλεκτρόνι εξέλθει από τ ηλεκτρικό πεδί, θα εκτελέσει ευθύγραμμη μαλή κίνηση, διότι η ηλεκτρική δύναμη F σταματά να δρα πάνω τυ. e - υ _ υ Ε F υ υ Σχήμα.9 Κίνηση ηλεκτρνίυ στ επίπεδ, μέσα σε μγενές ηλεκτρικό πεδί.

11 Ο παλμγράφς Μια τεχνλγική εφαρμγή τυ μγενύς ηλεκτρικύ πεδίυ και της κίνησης ηλεκτρικών φρτίων μέσα σ αυτό, είναι η συσκευή τυ παλμγράφυ (Αλεξόπυλς & Μαρίνς, 199), (Giancli, 01). Ο παλμγράφς είναι όργαν τ πί χρησιμπιείται για ηλεκτρικές μετρήσεις. Τ βασικό εξάρτημα τυ παλμγράφυ είναι σωλήνας Baun (Μπράυν), ή αλλιώς λυχνία καθδικών ακτίνων, η πία παράγει μια δέσμη ηλεκτρνίων πυ επιταχύννται πρς την θετικά φρτισμένη άνδ. Η δέσμη ηλεκτρνίων περνά διαμέσυ δυ ηλεκτρικών πεδίων πυ δημιυργύνται από δυ ζεύγη παράλληλων πλισμών τπθετημένα κάθετα μεταξύ τυς. Η λειτυργία της λυχνίας φαίνεται σχηματικά στ σχ..10. Ανάλγα τ ηλεκτρικό πεδί των πλακών, η ηλεκτρνιακή δέσμη εκτρέπεται και πρσκρύει τελικά πάνω στην φθρίζυσα θόνη αφήνντας ένα φωτεινό ίχνς. Εφαρμόζντας μεταβλητές τάσεις στα άκρα των πλισμών κατακόρυφης και ριζόντιας απόκλισης, είναι δυνατόν να επιτευχθεί σάρωση λόκληρης της θόνης από την ηλεκτρνιακή δέσμη. Πριν λίγα χρόνια τέτιυ είδυς σάρωση γινόταν και στις θόνες των τηλεράσεων και των ηλεκτρνικών υπλγιστών, με τη μόνη διαφρά ότι σ αυτές τις περιπτώσεις χρησιμπιύνταν μαγνητικά πεδία για την εκτρπή της δέσμης. Βεβαίως σήμερα, ι θόνες καθδικύ σωλήνα στις τηλεράσεις και στυς ηλεκτρνικύς υπλγιστές έχυν αντικατασταθεί από τις θόνες υγρών κρυστάλλων (Liuid Σχήμα.11 Σχεδιάγραμμα εμπρσθίυ μέρυς παλμγράφυ ΗΜ03-6 της εταιρίας HAMEG Instuments. Διακρίνεται η φθρίζυσα θόνη. ( Ευγενική πρσφρά τυ D W D Phillips. Κάθδς Άνδς ριζόντιας απόκλισης εκτρέπει την δέσμη με σταθερό ρυθμό (εναλλασσόμενη τάση). O παλμγράφς, σχεδιάγραμμα τυ πίυ φαίνεται στ σχ..11, είναι ένα εξαιρετικά χρήσιμ εργαστηριακό όργαν στις θετικές και βιλγικές επιστήμες. Παράδειγμα.6 Στατική ισρρπία φρτίυ σε ηλεκτρικό πεδί Μικρή σφαίρα μάζας 3 g κρέμεται με νήμα μεταξύ δυ παραλλήλων φρτισμένων πλακών. Τ φρτί της σφαίρας είναι C. Πόση είναι η ένταση Ε τυ ηλεκτρικύ πεδίυ μεταξύ των πλακών, ώστε τ νήμα να σχηματίσει σταθερή γωνία θ=30 με την κατακόρυφ, όπως φαίνεται στ σχ..1; Δίδεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=9.81 m/s. Λύση [] Θα εξηγήσυμε τί σημαίνει ηλεκτρική τάση σε επόμεν κεφάλαι. Φωτεινό ίχνς απόκλισης της ηλεκτρνιακής δέσμης +V -V Πεδί κατακόρυφης απόκλισης Πεδί ριζόντιας απόκλισης Φθρίζυσα θόνη Σχήμα.10 Σχεδιάγραμμα της λυχνίας καθδικών ακτίνων στην λειτυργία τυ παλμγράφυ. Η ηλεκτρνιακή δέσμη εκτρέπεται από τ σύστημα των εξωτερικώς ελεγχμένων ηλεκτρικών πεδίων, αφήνντας ένα φωτεινό ίχνς στ σημεί πρόσπτωσης πάνω στη φθρίζυσα θόνη τυ παλμγράφυ. -V Cstal Displa LCD) και τις θόνες φωτδιόδων (Light Emissin Displa - LED). Στν παλμγράφ μπρύμε να συνθέσυμε δυ διαφρετικές ηλεκτρικές τάσεις Y και Χ (σχήματα Lissaejus) ή ακόμα να καταγράψυμε τη μεταβλή μιας τάσης [] σαν συνάρτηση τυ χρόνυ t ( άξνας), αν τ πεδί της +V E θ T T T W F Σχήμα.1 Ισρρπία φρτισμένης σφαίρας αναρτημένης σε νήμα μέσα σε μγενές ηλεκτρικό πεδί (παράδειγμα.6). θ

12 1 Για να σχηματίζει τ νήμα σταθερή γωνία πρέπει η σφαίρα να ισρρπεί. Η συνισταμένη δύναμη πάνω στη σφαίρα πρέπει να είναι μηδέν. Άρα T + F +W 0 (1) Αναλύυμε την τάση τυ νήματς Τ σε δυ κάθετες συνιστώσες Τ και T. Τότε ισχύει T F T = F () και T W T W T mg (3) Από την γεωμετρία τυ σχ..1 μπρύμε να γράψυμε Οι εξισώσεις και 3 στην εξ. 4 δίνυν T tan θ (4) T F tanθ (5) mg Όμως η ηλεκτρική δύναμη πυ ασκείται από τ πεδί Ε πάνω στ φρτί είναι F E F E (6) Η εξ. 6 στην 5 δίνει τελικά mg E tanθ E tan E C C C kg 9.81m/s N 3 3 N 6 Η κατεύθυνση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ είναι αυτή τυ σχήματς.1, κάθετα στ επίπεδ των πλακών. 3 N Δηλαδή ισχύει E i ˆ. C Παράδειγμα.7. Κίνηση ηλεκτρικύ φρτίυ σε μγενές ηλεκτρικό πεδί Ηλεκτρόνι εισέρχεται ριζντίως σε μγενές ηλεκτρικό πεδί μεταξύ δυ ριζντίων πλακών, με αρχική ταχύτητα υ =310 6 m/s, όπως φαίνεται στ σχ..13. Τ διάνυσμα τυ ηλεκτρικύ πεδίυ κατευθύνεται κατακόρυφα πρς τα κάτω, και η απόσταση μεταξύ των πλακών είναι 3 cm, ενώ τ μήκς τυς είναι 5 cm. Τ ηλεκτρόνι εισέρχεται σε ύψς ακριβώς ενδιάμεσα των δύ πλακών και εξέρχεται ξυστά από την επάνω πλάκα. Να ευρεθεί α) τ μέτρ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ, και β) η ταχύτητα εξόδυ τυ ηλεκτρνίυ. Δίννται η μάζα και τ φρτί τυ ηλεκτρνίυ, m e = kg και e= C αντιστίχως. Λύση α) Κατά την διάρκεια της κίνησης τυ ηλεκτρνίυ μέσα στ πεδί ασκείται επάνω τυ υ υ ηλεκτρική δύναμη, η πία έχει φρά πρς τα επάνω διότι ισχύει φ F ee (1) Η βαρυτική δύναμη επάνω στ ηλεκτρόνι μπρεί να αγνηθεί, μιας και είναι απειρελάχιστη εν συγκρίσει με την ηλεκτρική. Γι αυτόν τν λόγ η τρχιά πυ ακλυθεί τ ηλεκτρόνι είναι πρς την επάνω θετικά φρτισμένη πλάκα (σχ..13). Λόγω της φράς της σταθερής ηλεκτρικής δύναμης, τ ηλεκτρόνι εκτελεί μαλά επιταχυνόμενη κίνηση πρς τα πάνω, πότε η τεταγμένη δίνεται ως e - υ Ε Σχήμα.13 Κίνηση ηλεκτρνίυ μέσα σε μγενές ηλεκτρικό πεδί παραλλήλων πλακών (παράδειγμα.7). υ

13 13 1 at () ενώ, επειδή ριζντίως δεν υπάρχει δύναμη, τ ηλεκτρόνι εκτελεί μαλή ευθύγραμμη κίνηση με ταχύτητα υ πότε η τετμημένη δίνεται ως Η επιτάχυνση α δίδεται από την σχέση e e υt (3) (1) F ee a a m m (4) Η εξ. βάσει των 3 και 4 δίνυν meυ E 1 ee ( ) (5) m υ e e Όταν τ ηλεκτρόνι περνά ξυστά από την επάνω πλάκα και βγαίνει εκτός πεδίυ, η θέση τυ στ κατακόρυφ επίπεδ, είναι =5 cm και =1.5 cm. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην εξ. 5 παίρνυμε 31 6 e 19 m υ kg (3 10 m/s) m N E E 615 e C (510 m) C β) Για να υπλγίσυμε την ταχύτητα εξόδυ τυ ηλεκτρνίυ, θα πρέπει να αναλύσυμε την ταχύτητα σε δυ συνιστώσες υ και υ, όπως φαίνεται στ σχ..13. Τότε ισχύει ότι υ = υ + υ (6) ή αλλιώς υ = υ iˆ+ υ ˆj (7) πότε για τ μέτρ της υ ισχύει υ υ υ (8) όπυ υ =υ, και για την συνιστώσα υ ισχύει ότι υ at υ t υ υ υ (4) (3) 19 ee ee C 615N/C510 m 31 6 me me υ kg 310 m/s Έτσι η εξ.8 δίνει τελικά υ (3 10 m/s) ( m/s) (m/s) υ m/s m/s Η κατεύθυνση της ταχύτητας δίνεται από την γωνία φ ως πρς τν ρίζντα (άξνας, σχ..7), όπυ 6 υ m/s tan φ tan φ 0.6 φ υ m/s

14 14 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ε.1 * Ένα ηλεκτρόνι κινείται πρς τα δεξιά εκτελώντας ευθύγραμμη μαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Πια είναι η κατεύθυνση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ; Απαντήστε στην ίδια ερώτηση εάν αντί για ηλεκτρόνι έχυμε πρωτόνι. Ε. Φρτισμέν σώμα ισρρπεί αιωρύμεν σε χώρ όπυ υπάρχει βαρυτικό πεδί. Εξηγείστε πώς τ σώμα ενώ έχει βάρς, δεν εκτελεί ελεύθερη πτώση. Ε.3 Θεωρείστε δυ ηλεκτρικά δίπλα ικανά να κινύνται ελεύθερα στ χώρ. Πια θα είναι η τελική τυς κατάληξη όσν αφρά τη θέση τυ ενός ως πρς τ άλλ; Ε.4 Δυ σημειακά ηλεκτρικά φρτία απέχυν μεταξύ τυς σταθερή απόσταση. Εάν σε κάπι σημεί αυτής της απόστασης τ ηλεκτρικό πεδί είναι μηδέν, τι μπρύμε να συμπεράνυμε για τα δυ φρτία; + - Ε.5 Σχεδιάστε τις ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές στ χώρ ηλεκτρικύ πεδίυ πυ σχηματίζει μια μιόμρφα θετικά φρτισμένη μεταλλική πλάκα ρθγωνίυ σχήματς. Επαναλάβετε για παρόμια αρνητικά φρτισμένη πλάκα. Ε.6 Θεωρείστε τα τέσσερα ηλεκτρικά φρτία τυ σχήματς.14, τα πία είναι ακίνητα και τπθετημένα στις κρυφές τετραγώνυ. Σχεδιάστε τις δυναμικές - + γραμμές τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πυ σχηματίζυν στ χώρ τυ επιπέδυ. Σχήμα.14 Ερώτηση.6. ε Υπάρχει κάπι σημεί όπυ τ ηλεκτρικό πεδί είναι μηδέν; α - δ Ε.7 Οι δυναμικές γραμμές ενός ηλεκτρικύ πεδίυ δεν τέμννται πτέ. Μπρείτε να φανταστείτε τν λόγ; β - + Σχήμα.15 Ερώτηση.8. γ Ε.8 Τρία μικρών διαστάσεων ηλεκτρικά φρτία ευρίσκνται επάνω σε λεί επίπεδ, τπθετημένα στις κρυφές ενός νητύ ισόπλευρυ τριγώνυ, όπως δείχνει τ σχ..15. Τα δυ φρτία στη βάση τυ τριγώνυ είναι πακτωμένα σε σταθερές θέσεις και δεν μπρύν να κινηθύν. Αντιθέτως, τ τρίτ φρτί είναι ελεύθερ να κινείται χωρίς τριβές. Πια από τις πέντε διαδρμές θα ακλυθήσει; ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Π.1. Ηλεκτρικό πεδί πυρήνα. Ο ατμικός αριθμός τυ μλύβδυ είναι 8. α) Πόσ είναι τ ηλεκτρικό πεδί τυ πυρήνα τυ ατόμυ τυ μλύβδυ σε απόσταση = m από τν πυρήνα; β) Πόσ είναι τ ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργεί ένα πρωτόνι σε απόσταση = m από αυτό; Δίνεται η παγκόσμια ηλεκτρική σταθερά Κ=910 9 N.m.C -. Απάντηση: α) N/C, και β) N/C. Π.. Ηλεκτρικό πεδί δύ σημειακών φρτίων. Δυ σωμάτια σε απόσταση 1.80 m μεταξύ τυς έχυν φρτία 1 = C και = C αντιστίχως. Σε πι σημεί μεταξύ των δυ φρτίων μηδενίζεται τ ηλεκτρικό πεδί; Απάντηση: m.

15 15 Π.3. Ηλεκτρικό πεδί δύ σημειακών φρτίων. Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί κατά μέτρ και κατεύθυνση στ μέσν ευθείας μήκυς =3 m, η πία ενώνει δυ φρτία 1 =-4.7 μc και =9.0 μc. Δίνεται η ηλεκτρική σταθερά Κ=910 9 N.m.C -. Απάντηση: N/C. Π.4. Φρτί σε ηλεκτρικό πεδί. Ένα μικρό πλαστικό σφαιρίδι μάζας g, αναρτάται από νήμα μέσα σε μγενές ηλεκτρικό πεδί έντασης 10 3 N/C όπως φαίνεται στ σχ..16. Αν τ σφαιρίδι ισρρπεί όταν τ νήμα σχηματίζει γωνία θ=15 με την κατακόρυφ στη θέση πυ φαίνεται στ σχήμα, πι είναι τ φρτί τυ σφαιριδίυ; Είναι θετικό ή αρνητικό; Δίνεται g=9.81 m/s. Απάντηση: C. Π.5. Ισρρπία ηλεκτρικύ φρτίυ. Πόσ πρέπει να είναι τ φρτί (πρόσημ και μέγεθς) σωματίυ με μάζα 5.60 g, ώστε να παραμείνει ακίνητ όταν τπθετηθεί μέσα σε ηλεκτρικό πεδί με μέτρ Ε=5000 Ν/C και κατεύθυνση πρς τα κάτω; Δίνεται g=9.81 m/s. Απάντηση: =-10 μc. θ E m Σχήμα.16 Πρόβλημα.4. θ E φ Π.6. Ηλεκτρικό πεδί και δύναμη. Δύ ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φρτία = C, συγκρατύνται σε απόσταση 15. cm μεταξύ τυς. α) Πι είναι τ μέτρ και η κατεύθυνση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ E στ μέσν της απόστασης των δυ φρτίων; β) Πι είναι τ μέτρ και η κατεύθυνση της δύναμης πυ ασκείται πάνω σε ένα ηλεκτρόνι εάν τπθετηθεί σ αυτό τ σημεί; Δίνεται η ηλεκτρική σταθερά Culmb, Κ=910 9 N.m /C και τ ηλεκτρικό φρτί τυ ηλεκτρνίυ e= C. Απάντηση: α) N/m, και β) N. m Π.7. Ισρρπία ηλεκτρικύ φρτίυ. Ένα φρτισμέν σφαιρίδι από φελλό μάζας m=1 g αναρτάται με ελαφρό νήμα στην περιχή μγενύς Σχήμα.17 Πρόβλημα.7. ηλεκτρικύ πεδίυ E= Ν/C πυ έχει την κατεύθυνση τυ σχήματς.17 σχηματίζντας γωνία φ=60 με τν ρίζντα. Τ σφαιρίδι ισρρπεί σχηματίζντας γωνία θ=37 με την κατακόρυφ. Υπλγίστε α) τ φρτί τυ σφαιριδίυ, και β) την τάση τυ νήματς. Απάντηση: α) 10 nc και β) Ν. Π.8. Ηλεκτρικό πεδί φρτισμένης ράβδυ. Ευθύγραμμη ράβδς μήκυς L=5 m φρτίζεται, έτσι ώστε η γραμμική πυκνότητα φρτίυ να είναι λ=k, όπυ k=510-9 C/m μια σταθερά, και τ μήκς της ράβδυ τ πί εκτείνεται από 0 έως L. Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί σε ένα σημεί πυ ευρίσκεται στην πρέκταση της ράβδυ, πρς την θετική κατεύθυνση και σε απόσταση 1 cm από τ τέλς της. Δίνεται η ηλεκτρική σταθερά Κ=910 9 N.m /C. Απάντηση:.10 4 Ν/C. Π.9. Ηλεκτρικό πεδί φρτισμένυ ημικυκλίυ. Θετικό ηλεκτρικό φρτί Q είναι συνλικά κατανεμημέν μιόμρφα πάνω σε ημικύκλι με ακτίνα α όπως φαίνεται στ σχ..18. Πόσ είναι τ ηλεκτρικό πεδί (κατά μέτρ και κατά διεύθυνση) στ κέντρ καμπυλότητας (σημεί P); Π.10. Κίνηση ηλεκτρνίυ σε ηλεκτρικό πεδί. Ηλεκτρόνι κινείται με ταχύτητα υ =510 6 m/s και εκτξεύεται παράλληλα πρς τ ηλεκτρικό πεδί έντασης Ε=110 3 Ν/C πυ επιβραδύνει την κίνησή τυ. α) Πόση απόσταση θα διανύσει τ ηλεκτρόνι ώσπυ να σταματήσει (στιγμιαία); β) Πόσς χρόνς θα περάσει από την στιγμή πυ άρχισε η επιβράδυνση; Δίννται m e = kg και e= C. Απάντηση: α) m, και β) s. α Ρ Σχήμα.18 Πρόβλημα.9

16 16 Βιβλιγραφία/Αναφρές Giancli, D. (01). Φυσική για επιστήμνες και μηχανικύς. 4 η ΤΖΙΟΛΑ. ISBN: (τόμς B ). Έκδση Cpight 01, Εκδόσεις Gant, I. S., & Phillips, W. R. (1975). Electmagnetism. The Mancheste phsics seies. Cpight 1975, b Jhn Wile & Sns, Ltd. ISBN: Hallida, D., Resnick, R., & Kane, K. (009). Φυσική. Ελληνική Έκδση, Cpight 009, Εκδόσεις Γ. & Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ. ISBN: (τόμς B ). Hallida, D., Resnick, R., & Walke, J. (013). Φυσική Ηλεκτρμαγνητισμός, Σύγχρνη Φυσική, Σχετικότητα. Ελληνική Έκδση, Cpight 013, Εκδόσεις Gutenbeg. ISBN: (τόμς B ). Knight, R. D. (010). Φυσική για επιστήμνες και μηχανικύς - Κύματα, Οπτική, Ηλεκτρικό και Μαγνητικό Πεδί. 1 η Ελληνική Έκδση, Cpight 010, Εκδόσεις ίων/μακεδονικεσ ΕΚΔΟΣΕΙΣ, Σ. Παρίκυ & ΣΙΑ Ε. Ε. ISBN: (τόμς ΙΙ). Lbkwicz, F., & Melissins, A. C. (1975). Phsics f scientists and enginees. Cpight 1975 b W. B. Saundes Cmpan. ISBN: (Vlume II). Seas, F. W. (1951). Electicit and magnetism. Cpight 1951 b Addisn-Wesle Publishing Cmpan, Inc. Sewa, P. A., & Jewett, J. W. (013). Φυσική για επιστήμνες και μηχανικύς - Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρνη Φυσική. Ελληνική Έκδση, Cpight 013, Εκδόσεις Κλειδάριθμς. ISBN: Yung, H. D., & Feedman, R. A. (010). Πανεπιστημιακή Φυσική Ηλεκτρμαγνητισμός, Οπτική. η Ελληνική Έκδση, Cpight 010, Εκδόσεις ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΕΒΕ. ISBN: (τόμς Β ). Αλεξόπυλς, Κ. Δ., & Μαρίνς, Δ. Ι. (199). Γενική Φυσική Τόμς Δεύτερς Ηλεκτρισμός. 1 η Έκδση, Cpight 199, Εκδόσεις ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΕΒΕ. ISBN: