Ενότητα 1: Εργαλειοθήκη, μέρος 1 ο : μετρήσεις σε κοσμολογικές αποστάσεις Φύλλο Φοιτητή

Transcript

1 1 Ενότητα 1: Εργαλειοθήκη, μέρος 1 ο : μετρήσεις σε κοσμολογικές αποστάσεις Φύλλο Φοιτητή Σκοπός της ενότητας αυτής: Πολλά αστροφυσικά συστήµατα υψηλών ενεργειών, π.χ. ενεργοί γαλαξιακοί πυρήνες (active galactic nuclei ή AGN), εκρήξεις ακτίνων γάµµα (gamma-ray bursts ή GRB) ζουν σε κοσµολογικές αποστάσεις. Πρέπει να ξέρουµε πώς να χειριστούµε αστρονοµικά δεδοµένα από τέτοια συστήµατα: πώς να µετρήσουµε την απόσταση τους πώς να µετατρέψουµε γωνιακές σε φυσικές αποστάσεις στα συστήµατα αυτά, ώστε να µπορούµε να υπολογίζουµε µε τι ταχύτητα κινείται η ύλη πώς να µετατρέψουµε ένταση της ακτινοβολίας σε φωτεινότητα (ισχύ) σε κοσµολογικές αποστάσεις, ώστε να µπορούµε να υπολογίζουµε τις ενεργειακές απαιτήσεις ενός τέτοιου συστήµατος Τι θα συζητήσουµε: A. Γεωµετρία στο διαστελλόµενο σύµπαν: η µετρική Robertson-Walker B. Κοσµολογική µετατόπιση προς το ερυθρό: µια ποσότητα που χαρακτηρίζει την απόσταση και η οποία είναι ανεξάρτητη από το κοσµολογικό µας µοντέλο C. Συντεταγµένη απόσταση (coordinate distance), ιδιοαπόσταση (proper distance), απόσταση φωτεινότητας (luminosity distance), απόσταση γωνιακής διαµέτρου (angular diameter distance). D. Σχέση µεταξύ µονοχρωµατικής έντασης και µονοχρωµατικής φωτεινότητας (ισχύος). E. Νόµος διαστολής του Hubble και παράµετρος Hubble F. Δυναµική της διαστολής: η εξίσωση Friedmann Γνώσεις και δεξιότητες που θέλουµε να αποκτήσουµε ή να φρεσκάρουµε (τα SOS!) : i. (Επαν)εξοικίωση µε τις µετρικές γενικότερα και τη µετρική Robertson-Walker ειδικότερα. ii. Πώς συνδέεται η µετατόπιση στο ερυθρό µε τον παράγοντα κλίµακας (scale factor) iii. Ποιες ποσότητες στην Κοσµολογία είναι απ ευθείας παρατηρήσιµες (και ανεξάρτητες από το κοσµολογικό µοντέλο) και ποιες είναι παράγωγες (και εξαρτώνται από το κοσµολογικό µοντέλο). iv. Τι αντιπροσωπεύει κάθε όρος της εξίσωσης Friedmann v. Για οποιοδήποτε κσµολογικό µοντέλο (και βεβαίως για το τρέχον βέλτιστο), ξεκινώντας από την εξίσωση Friedmann, να µπορούµε να γράψουµε το ολοκλήρωµα που συνδέει redshift και κοσµικό χρόνο, και redshift και συντεταγµένη απόσταση. vi. Να µπορούµε εύκολα να µετατρέπουµε την ίδια απόσταση σε απόσταση φωτεινότητας ή γωνιακής διαµέτρου και το αντίστροφο, και να κατανοήσουµε από πού πηγάζει η διαφορά µεταξύ των αποστάσεων αυτών.

2 A. Γεωµετρία στο διαστελλόµενο σύµπαν: η µετρική Robertson-Walker Η γεωµερία του χωρόχρονου περιγράφεται από τη µετρική (τον µετρικό τανυστή), η οποία µπορεί επίσης να εκφραστεί µέσω του γραµµικού στοιχείου ds : ds = g µν dx µ dx ν Το γραµµικό στοιχείο είναι µια ποσότητα αµετάβλητη κάτω από αλλαγές συστήµατος συντεταγµένων. Ποια είναι η µετρική του επίπεδου χωρόχρονου σε καρτεσιανές συντεταγµένες; σε σφαιρικές συντεταγµένες; Τι είναι ο ιδιόχρονος, και τι το ιδιοµήκος; Ιδιόχρονος: Ιδιοµήκος: Τι είναι το χωροειδές, χρονοειδές, και φωτοειδές χωροχρονικό διάστηµα; Ας γράψουµε µια γενική διαγώνια µετρική σε χωρικές συντεταγµένες r,θ,φ ds = g tt dt + g rr dr + g θθ dθ + g φφ dφ Πώς υπολογίζουµε το ιδιοµήκος ανάµεσα σε εµάς (κέντρο της σφαίρας) και σε ένα µακρινό αστέρι σε συντεταγµένη απόσταση r; Πώς υπολογίζουµε πόσο χρόνο θα κάνει ένα φωτόνιο από το µακρινό αστέρι συντεταγµένης απόστασης r να µας φτάσει; Πώς υπολογίζουµε το µήκος µιας ράβδου στον ουρανό η οποία ειναι προσανατολισµένη στην κατεύθυνση θ; Πώς υπολογίζουµε την επιφάνεια µιας σφαίρας συντεταγµένης ακτίνας r?

3 3 Η µετρική του διαστελλόµενου σύµπαντος: (µετρική Robertwon Walker) ds = c dt + R dξ 0 a (t) 1 kξ + ξ ( dθ + sin θdφ ) k είναι η καµπυλότητα, που µπορεί να είναι θετική, αρνητική, ή µηδέν (το k παίρνει τιµές +1,-1,0 στον συγκεκριµένο τρόπο γραφής της µετρικής), αλλά είναι η ίδια παντού. Και a(t) είναι ο παράγοντας κλίµακας του σύµπαντος, τον οποίον κατά σύµβαση τον κανονικοποιούµε στη σηµερινή εποχή (a(σήµερα) = a 0 =1). R 0 είναι µια σταθερά που δίνει µονάδες στις συντεταγµένες (ώστε στη µορφή αυτή να είναι αδιάστατες). Ας παίξουµε λίγο µε τη µετρική RW k=0. Τι γίνεται όταν t=σήµερα; Όταν dt=0? Όταν ds=0? Πώς γράφεται η µετρική αυτή σε καρτεσιανές συντεταγµένες; k=1. Ποια είναι η µετρική της -διάσταστης σφάιρας; Χρησιµοποίησε το µετασχηµατισµό ξ= sina για να δείξεις ότι οι πρώτοι χωρικοί όροι της RW µετρικής για k=1 είναι η =σφαίρα (κλειστό σύµπαν). Γιατί είναι σηµαντικό να κατανοούµε τις άλλες γεωµετρίες κι ας δείχνουν τα δεδοµένα ότι το σύµπαν µας είναι επίπεδο; Ποιες ποσότητες στη µετρική είναι απ ευθείας παρατηρήσιµες; B. Κοσµολογική µετατόπιση προς το ερυθρό (ερυθρόπηση ή redshift): µια παρατηρήσιµη ποσότητα που χαρακτηρίζει την απόσταση και η οποία είναι ανεξάρτητη από το κοσµολογικό µας µοντέλο Ορισµός του redshift: Το redshift είναι µια παρατηρήσιµη ποσότητα. 1+z = λ τώρα / λ τότε Με ποιον τρόπο συνδέεται το redshift µε τον παράγοντα κλίµακας; Με ποιον τρόπο το redshift κωδικοποιεί µια απόσταση; C. Συντεταγµένη απόσταση, ιδιοαπόσταση, απόσταση γωνιακής διαµέτρου, απόσταση φωτεινότητας, Συντεταγµένη απόσταση είναι απλώς η ακτινική συντεταγµένη ξ πολλαπλασιασµένη µε τον παράγοντα R 0, R 0 ξ. Στην περιπτωση που k=0, η συντεταγµένη απόσταση είναι ίση µε την συνταξιδεύσουσα ιδιοαπόσταση d 0, η

4 4 ξ dξ' οποία γενικά είναι ίση µε το ολοκληρωµα R 0 -- είναι δηλαδή η ακτινική απόσταση η οποία 0 1 kξ' προκύπτει από τη µετρική όπως µετράται σήµερα. Αντίστοιχα η ιδιοαπόσταση σε χρόνο t είναι d p (t) = a(t)d 0. Απόσταση γωνιακής διαµέτρου είναι ο λόγος ενός µήκους l που ζει σε µια εποχή z, προς την γωνιακή διάµετρο που µετρούµε σήµερα για το µήκος αυτό. Πίσω στη µετρική RW: για να µετρήσουµε ένα µήκος, χρησιµοποιούµε φωτόνια που εκπέµπονται ταυτόχρονα (οπότε dt = 0) και ακτινικά προς εµάς. Έστω ότι το µήκος l είναι προσανατολισµένο στο επίπεδο του ουρανού και στην κατεύθυνση θ, οπότε dφ=0. Τότε l = ds = a z R 0 ξdθ = R 0ξ (1+ z) dθ ονοµάζουµε το λόγο R 0 ξ/(1+z) απόσταση γωνιακής διαµέτρου. Απόσταση φωτεινότητας είναι ο λόγος L(4πS) (εκ του S = L/4πr αν δεν υπήρχε διαστολή) Πίσω στη µετρική RW: Επιφάνεια σφαίρας σε ακτινική συντεταγµένη ξ: 4πR 0 ξ. Όµως για πηγή που ζει στο ξ και εκπέµπει µε ισχύ (όπως τη µετρά η ίδια) L: η (παγχρωµατική) ένταση της ακτινοβολίας που λαµβάνουµε είναι: - S = L/4πR 0 ξ αν δεν υπήρχε διαστολή - Μικρότερη κατά παράγοντα (1+z) γιατί το µήκος κύµατος κάθε φωτονίου διαστέλλεται µαζί µε το σύµπαν και άρα η ενέργειά του έχει ελαττωθεί κατά (1+z) από το z µέχρι σήµερα - Μικρότερη κατά παράγοντα (1+z) επειδή διαδοχικά φωτόνια φτάνουν στον παρατηρητή σε χρονικό διάστηµα µεγαλύτερο από αυτό που εκπέµφθηκαν. Οπότε: S = L/4πR 0 ξ (1+z), και η απόσταση φωτεινότητας ορίζεται σαν R 0 ξ(1+z). Προφανώς: η απόσταση γωνιακής διαµέτρου είναι µικρότερη από R 0 ξ γιατί τα αντικείµενα φαίνονται µεγαλύτερα λόγω της διαστολής (και άρα πιο κοντινά), η απόσταση φωτεινότητας είναι µεγαλύτερη από R 0 ξ γιατί τα αντικείµενα φαίνονται αµυδρότερα λόγω της διαστολής (και άρα πιο µαρκυνά). D. Σχέση µεταξύ µονοχρωµατικής έντασης και µονοχρωµατικής φωτεινότητας (ισχύος). Η πιο πάνω συζήτηση για την απόσταση φωτεινότητας αφορά παγχρωµατική (βολοµετρική) φωτεινότητα. Στην περίπτωση µονοχρωµατικής φωτεινότητας και έντασης (φωτεινότητας και έντασης που εκπέµονται σε µικρό εύρος συχνοτήτων dν): S ν (ν 0 ) = L ν ([1+ z]ν 0 ) 4πR 0 ξ (1+ z) Διαφορές: Ο παράγοντας (1+z) στον παρονοµαστή τώρα είναι (1+z), γιατί στα δυο φαινόµενα που συζητήσαµε (διαστολή του µήκους κύµατος του φωτονίου και διαστολή του χρόνου µεταξύ διαδοχικών φωτονίων) που κάνουν την πηγή να φαίνιται αµυδρότερη καθένα κατα (1+z), προστίθεται ένα τρίτο που κάνει την πηγή να φαίνεται λαµπρότερη κατά παράγοντα (1+z): Το εύρος συχνοτήτων dν που λαµβάνει ο παρατηρητής είναι

5 5 µικρότερο κατά (1+z) από ότι αυτό που εξέπεµψε η πηγή, οπότε ο ίδιος αριθµός φωτονίων συµπιέζεται σε µικρότερο εύρος σχνοτήτων και η ένταση ανά µονάδα συχνότητας φαίνεται µεγαλύτερη. Η συχνότητα την οποία µετρά ο παρατηρητής είναι µικρότερη κατά (1+z) από αυτήν που εξέπεµψε η πηγή. Η παραπάνω σχέση υποθέτει ισότροπη εκποµπή (οπότε η φωτεινότητα είναι σε µονάδες ενέργεια/χρονοςσυχνότητα). Αν η πηγή δεν εκπέµπει ισότροπα, τότε µπορούµε να θεωρήσουµε εκποµπή στη µονάδα στερεάς γωνίας (οπότε η φωτεινότητα είναι σε µονάδες ενέργεια / χρόνος-συχνότητα-στερεά γωνία) και η παραπάνω σχέση δεν έχει 4π στον παρονοµαστή. Ε. Νόµος διαστολής του Hubble και παράµετρος Hubble Παράµετρος Hubble: ειναι η «σταθερά» H της (παρατηρηµένης) αναλογίας v R = Hd p (νόµος διαστολής του Hubble). Παρατηρώντας ότι v R = dd p /dt = d(ad 0 )/dt = d 0 da/dt, παίρνουµε αµέσως H = a /a Προφανώς το H είναι συνάρτηση του χρόνου (ή, ισοδύναµα, του redshift). Η τιµή του H σήµερα συµβολίζεται µε H 0 και µε h συµβολίζουµε την ποσότητα H 0 /100 km s -1 Mpc -1. Τι µονάδες έχει το H? Τι µονάδες έχει το 1/H? Πώς πρέπει να διαστέλλεται το σύµπαν για να είναι το H πραγµατικά σταθερό; Το σύµπαν αυτό έχει όνοµα: σύµπαν de Sitter. Αν το τρέχον προτιµώµενο κοσµολογικό µοντέλο είναι σωστό, το σύµπαν µας βαδίζει προς διαστολή de Sitter στο απώτερο µέλλον. Επίσης πιστεύεται ότι το σύµπαν πέρασε από περίοδο διαστολής de Sitter στο παρελθόν. F. Δυναµική της διαστολής: η εξίσωση Friedmann Στο οµογενές και ισότροπο σύµπαν, η γενική µορφή της µετρικής είναι η RW, όµως δεν γνωρίζουµε την χρονική εξέλιξη του a. Αυτή περιγράφεται από την Εξίσωση Friedmann: a a 3 ρ kc a η οποία είναι η µορφή µε την οποία συνήθως απαντάται στα βιβλία, ή, στη µορφή που προτιµώ εγώ γιατι είναι προφανέστερη η φυσική της ερµηνεία κι έτσι είναι ευκολότερο να τη θυµάµαι, a 3 ρa kc

6 6 Η οποία είναι απλώς η διατήρηση της ενέργειας σε ένα διαστελλόµενο σύµπαν: το άθροισµα κινητικής και δυναµικής ενέργειας ( M/r ρa 3 /a) είναι σταθερό. To ρ είναι το άθροισµα όλων των µορφών ύλης/ενέργειας (βαρυονική και σκοτεινή ύλη, ακτινοβολία, ενέργεια κενού) και κάθε µια από τις µορφές αυτές έχει την δική της εξάρτηση από το a, η οποία είναι µάλλον προφανής: Για την ύλη Για την ενέργεια του κενού (αν υποθέσουµε ότι αυτή συµπεριφέρεται όπως η κοσµολογική σταθερά, δηλαδή είναι αµετάβλητη µε το χρόνο και άρα µε τον παράγοντα κλίµακας) Για την ακτινοβολία Κρισιµη πυκνότητα σήµερα: Ορίζουµε την κρίσιµη πυκνότητα σήµερα, ρ c, 0, ως την τιµή εκείνη της (συνολικής) πυκνότητας η οποία µε βάση την σηµερινή τιµή του H = a /a, την οποία συµβολίζουµε µε H 0, η οποία µηδενίζει το k στη µετρική RW: H 0 3 ρ c,0 ρ c,0 = 3H 0 8πG Συνηθίζεται λοιπόν να γράφουµε τις τιµές των πυκνοτήτων των διαφόρων συστατικών του σύµπαντος σήµερα ως κλάσµατα του ρ c, 0, και να τις συµβολίζουµε µε Ω: Ω m = ρ m,0 /ρ c,0 Ω Λ = ρ Λ,0 /ρ c,0 Ω r = ρ v,0 /ρ c,0 Επίσης ορίζουµε Ω = Ω m +Ω Λ + Ω r = ρ 0 /ρ c,0. Από τη γενική εξισωση Friedmann σήµερα, αντικαθιστώντας το ρ µε Ωρ c,0, και λαµβάνοντας υπ όψιν µας ότι εξ ορισµού ο παράγοντας κλίµακας σήµερα είναι ίσος µε 1, παίρνουµε H 0 3 Ωρ kc c,0 kc 3 Ωρ H c,0 0 = H 0 (Ω 1) Τα Ω, Ω m, Ω Λ, Ω r είναι οι παράµετροι που θα βρούµε στη βιβλιογραφία για το περιεχόµενο του σύµπαντος στα διάφορα συστατικά του, και για την καµπυλότητά του, που όπως δείξαµε χαρακτηρίζεται από την ποσότητα Ω-1: αν αυτή η ποσότητα είναι µηδέν το σύµπαν είναι επίπεδο, αν ειναι θετική είναι κλειστό, αν είναι αρνητική είναι ανοιχτό. Είναι λοιπόν πολύ σηµαντικό να κατανοήσουµε και να θυµόµαστε την φυσική σηµασία καθενός Ω. Ας κάνουµε µια µικρή ανακεφαλαίωση: Φυσική σηµασία του Ω m ; Φυσική σηµασία του Ω Λ ;

7 7 Φυσική σηµασία του Ω r ; Φυσική σηµασία του Ω;. Όταν λέµε ότι το σύµπαν σήµερα είναι επίπεδο και κυριαρχείται από ύλη (η ύλη είναι το µόνο σηµαντικό συστατικό): ποιες είναι οι τιµές των Ω; Όταν λέµε ότι το σύµπαν σήµερα είναι επίπεδο µε 70% ενέργεια κενού και µηδαµινή ακτινοβολία, ποιές είναι οι τιµές των Ω; Σε ένα σύµπαν χωρίς ενέργεια κενού που κυριαρχείται από ύλη στο 30% της κρίσιµης, ποιες είναι οι τιµές των Ω; Το προτιµώµενο σήµερα κοσµολογικό µοντέλο έχει προσεγγιστικές τιµές Ω m =0.3, Ω Λ =0.7, και µηδαµινή ακτινοβολία. Τι σηµαίνει αυτό για τη γεωµετρία του σύµπαντός; Είµαστε έτοιµοι να γράψουµε την εξίσωση Friedmann στη µορφή την οποία θα την λύνουµε. Αρχίζουµε από εδώ, a a 3 ρ kc a και αντικαθιστούµε την σταθερά kc µε την µορφή που βρήκαµε πιο πάνω, και γράφουµε το ρ σαν άθροισµα των αντίστοιχων συνεισφορών, µε βάση τα Ω, και περιλαµβάνοντας την χρονική εξέλιξη που συζητήσαµε πιο πάνω. a a 3 ( Ω m a 3 + Ω r a 4 + Ω Λ )ρ c,0 H 0 (Ω 1)a Τώρα αντικαθιστούµε το ρ c,0 µε την εξίσωση ορισµού του, και παίρνουµε a = H a 0 ( Ω m a 3 + Ω r a 4 + Ω Λ ) H 0 (Ω 1)a = H 0 [ Ω m a 3 + Ω r a 4 + Ω Λ (Ω 1)a ] Ας παίξουµε τώρα µε την βολική αυτή µορφή της εξίσωσης Friedmann. Για µια γενική κοσµολογία, ας γράψουµε το ολοκλήρωµα που συνδέει τον χρόνο µε τον παράγοντα κλίµακας Πώς τώρα συνδέουµε την απόσταση µε το redshift?

8 8 Ασκήσεις: 1. (16 β.) Γράψτε τη µετρική Robertson Walker σε επίπεδη γεωµετρία (που είναι, απ ότι φαίνεται, η γεωµετρία του δικού µας σύµπαντος). Για την περίπτωση αυτή: a. Πώς συνδέονται η συντεταγµένη απόσταση και η ιδιοαπόσταση; b. Πώς συνδέεται η ιδιοαπόσταση µε την απόσταση φωτεινότητας; c. Πώς συνδέεται η απόσταση φωτεινότητας µε την απόσταση γωνιακής διαµέτρου; d. Πώς συνδέεται η ιδιοαπόσταση µε την απόσταση γωνιακής διαµέτρου; e. Ποια είναι η επιφάνεια σφαίρας σε ιδιοαπόσταση r? f. Ποια είναι η µέγιστη συντεταγµένη απόσταση από την οποία µπορούµε να λάβουµε φωτόνια σήµερα; g. Ποια είναι µια ιδιοαπόσταση (οποιαδήποτε) από την οποία δεν µπορούµε να λάβουµε φωτόνια σήµερα;. (5β.) Γράψτε το ολοκλήρωµα που µας δίνει τη σχέση ανάµεσα στο redshift και την ιδιοαπόσταση 3. (β.) Ποιες παραµέτρους χρειαζόµαστε για να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα της άσκησης ; 4. (β.) Να βρείτε στη διεθνή βιβλιογραφία το τρέχον βέλτιστο κοσµολογικό µοντέλο που προέκυψε από ανάλυση δεδοµένων της ακτινοβολίας υποβάθρου µικροκυµάτων (του cosmic microwave background) από το δορυφόρο Planck συγκεκριµένα, να γράψετε τις τιµές των παραµέτρων που προσδιορίσατε στην άσκηση (1β.) Για το τρέχον βέλτιστο κοσµολογικό µοντέλο που βρήκατε στην άσκηση 4, να γράψετε τη σχέση η οποία προσδιορίζει την απόσταση γωνιακής διαµέτρου που αντιστοιχεί σε z= (β.)χρησιµοποιώντας την Wolfram Alpha, το δικό σας πρόγραµµα αριθµητικής ολοκλήρωσης, ή µια από τις πολλές διαθέσιµες online υπηρεσίες µετατροπής redshift σε (διαφόρων ειδών) απόσταση, να υπολογίσετε το αποτέλεσµα της σχέσης που γράψατε στην άσκηση 5 σε Mpc. 7. (3β.)Σε πόσα pc φυσικής απόστασης στο επίπεδο του ουρανού αντιστοιχεί παρατηρηµένη γωνιακή απόσταση ενός milli-arcsec για την πηγή σε z=0.595 που συζητήσαµε στις ασκήσεις 6 και 7? 8. (3β.) Αν για κάποιο κοσµολογικό µοντέλο η συντεταγµένη απόσταση µιας πηγής σε z=0.595 είναι R 0 ξ = 590 Mpc, σε πόσα pc φυσικής απόστασης στο επίπεδο του ουρανού αντιστοιχεί παρατηρηµένη γωνιακή απόσταση ενός milli-arcsec; 9. (1β.) Ποια είναι η ταχύτητα του φωτός σε pc/yr? 10. ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ: Θεωρείστε κλειστό σύµπαν, µε µόνα συστατικά την ύλη και την σκοτεινή ενέργεια, οπότε Ω m +Ω Λ =Ω>1, το οποίο επί του παρόντος διαστέλλεται. Κάτω από ποιες προϋποθέσεις το σύµπαν αυτό θα συνεχίσει να διαστέλλεται για πάντα; Να βρείτε τη συνθήκη για την οποία το σύµπαν θα συνεχίσει να διαστέλλεται για πάντα, όµως ο παράγοντας κλίµακάς του δεν θα απειριστεί. Ποια θα είναι η µέγιστη τιµή που θα αποκτήσει ο παράγοντας κλίµακας στην τελευταία αυτή περίπτωση; Να δείξετε ότι ο παράγοντας κλίµακας θα αποκτήσει την τιµή αυτή µετά από άπειρο χρόνο. Βιβλιογραφία: Andrew Liddle, An Introduction to Modern Cosmology, πλέον βοηθητικά είναι τα κεφάλαια, 4, 5, 6, 7, Advance Topics 1 και. Θ. Τοµαρά, σηµειώσεις για το µάθηµα «Βαρύτητα και Κοσµολογία» [προσοχή: typo στον ορισµό της απόστασης d L, η επιφάνεια σφαίρας είναι 4πd p µόνον σε επίπεδο σύµπαν, στη γενική περίπτωση είναι 4π(συντεταγµένη απόσταση) ] Bernard Schutz, A First Course in General Relativity, κεφάλαια 1, 3 John A. Peacock, Cosmological Physics, chapter 3, The Isotropic Universe ( [προσοχή: ο Peacock γράφει τη µετρική Robertson Walker σε διαφορετική µορφή, απ όπου προκύπτουν διαφορές σε ορισµένους τύπους] Τελευταίο καταφύγιο: Misner Thorne Wheeler Gravitation