Τίτλος: Συμπάγεια, Θεωρήματα Σταθερού Σημείου, και Εφαρμογές στην Οικονομική Θεωρία

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Δ.Π.Μ.Σ. «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΤΙΡΙΟ Α, ος ΟΡΟΦΟΣ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥΠΟΛΗ ΖΩΓΡΑΦΟΥ, Τ.Κ , ΑΘΗΝΑ Τίτλος: Συμπάγεια, Θεωρήματα Σταθερού Σημείου, και Εφαρμογές στην Οικονομική Θεωρία Μεταπτυχιακή διατριβή υποβληθείσα προς μερική εκπλήρωση των προϋποθέσεων απόκτησης Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ. Αθανασούλη. Ηλίας Μπουλτζής 0

2 Η διατριβή του Ηλία Μπουλτζή εγκρίνεται: Ο Επιβλέπων Καθηγητής: Αθανασούλης Γεράσιμος Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο... Αθήνα,./.. / 0...

3 Ευχαριστίες Ευχαριστώ τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Αθανασούλη για τις πολύωρες συζητήσεις μας και τον ευχάριστο τρόπο με τον οποίο με εισήγαγε σε ένα θέμα για το οποίο προηγουμένως δεν ήξερα σχεδόν τίποτα. Επίσης, ευχαριστώ την Κατερίνα για την βοήθεια της στην αισθητική επιμέλεια της διατριβής, αλλά κυρίως για την ηθική της συμπαράσταση, η οποία είναι ανεκτίμητη.

4 Πίνακας Περιεχομένων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο ο ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΓΗ ΣΥΝΟΛΑ. Γενικά. Ορισμοί και Βασικά Θεωρήματα.3 Συμπαγή Σύνολα και Συνεχείς Απεικονίσεις.4 Συμπαγή Σύνολα σε Χώρους Συναρτήσεων Θεώρημα Ascol-Arzel Κεφάλαιο ο ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ. Ορισμοί και Παραδείγματα. Βασικά Θεωρήματα Κεφάλαιο 3 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ 3. Εισαγωγή στις Αντιστοιχίες 3. Ορισμός Σταθερού Σημείου 3.3 Θεωρήματα Σταθερού Σημείου για Συμπαγή Σύνολα 3.4 Θεωρήματα Σταθερού Σημείου για Απεικονίσεις Συστολής Κεφάλαιο 4 ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4. Ύπαρξη Ισορροπίας κατά Wlrs σε μια Οικονομία Ανταλλαγής 4. Εφαρμογή στη Θεωρία Meu Auctos με Εξωτερικότητες Βιβλιογραφία

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο στόχος της παρούσας διατριβής είναι η παρουσίαση διαφόρων θεωρημάτων σταθερού σημείου, που χρησιμοποιούνται συχνά στις εφαρμογές, καθώς και ειδικών παραδειγμάτων του τρόπου χρήσης των θεωρημάτων αυτών στην οικονομική θεωρία. Για λόγους πληρότητας, παρουσιάζονται επίσης εδώ κάποια στοιχεία της ανάλυσης, που είναι κρίσιμα στις αποδείξεις των σχετικών θεωρημάτων. Κυρίως, παρουσιάζονται θεωρήματα σχετικά με τα συμπαγή σύνολα σε γενικούς χώρους και χώρους συναρτήσεων, τους συμπαγείς τελεστές, αλλά και κάποια στοιχεία θεωρίας για αντιστοιχίες πλειότιμες απεικονίσεις. Στο τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζονται δυο εφαρμογές από τα οικονομικά μια γνωστή και μια πρωτότυπη, με στόχο να δώσουμε και έναν εφαρμοσμένο χαρακτήρα στην διατριβή. Το υπόλοιπο κείμενο είναι οργανωμένο ως εξής. Το κεφάλαιο αφορά στα συμπαγή σύνολα. Το κεφάλαιο στις συμπαγείς απεικονίσεις. Το κεφάλαιο 3 παρουσιάζει τα πιο γνωστά θεωρήματα σταθερού σημείου και το κεφάλαιο 4 τις εφαρμογές στα οικονομικά.

6 . ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΓΗ ΣΥΝΟΛΑ. ΓΕΝΙΚΑ Λόγω του κεντρικού ρόλου που έχει η συμπάγεια σε κάποια από τα θεωρήματα σταθερού σημείου είναι απαραίτητη μια εισαγωγική αναφορά στις έννοιες των συμπαγών συνόλων και απεικονίσεων. Στόχος μας είναι η συζήτηση των παραπάνω θεμάτων σε μετρικούς χώρους μ.χ. Κατά περίπτωση όμως, οι ορισμοί και οι προτάσεις που παρουσιάζονται, μπορεί να αφορούν τις γενικότερες έννοιες του τοπολογικού χώρου τ.χ. ή του τοπολογικού χώρου Husdor T. Ο ορισμός και η πρόταση που ακολουθούν διευκρινίζουν την έννοια των Τ τοπολογικών χώρων και τη σχέση τους με τους μετρικούς χώρους... Ορισμός Έστω Χ.Τ. τ.χ. και, y X, y. Αν υπάρχουν ανοικτές περιοχές των, y ξένες μεταξύ τους, τότε ο Χ.Τ. καλείται Husdor T... Πρόταση Έστω Χ.ρ. μ.χ. Ο Χ.ρ. είναι Τ. Απόδειξη B, Έστω, 3, y X, y. Τότε, y 0. Οπότε οι ανοικτές μπάλες B y, ικανοποιούν τον παραπάνω ορισμό. 3. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Σε αυτή την ενότητα θα συζητηθεί η έννοια των συμπαγών συνόλων και θα παρουσιαστούν οι βασικές ιδιότητες τους, καθώς και κάποιες προτάσεις που επιτρέπουν τον χαρακτηρισμό τους. Το κείμενο εκτός από τις περιπτώσεις που γίνεται ειδική αναφορά σε άλλη πηγή στηρίζεται στις σημειώσεις πραγματικής ανάλυσης Αργυρού. Βλ. Kolmogorov και Fom σελ

7 .. Ορισμός Έστω Χ.Τ. τ.χ. και K X. Μια οικογένεια u I από ανοικτά υποσύνολα του Χ λέγεται ανοικτό κάλυμμα του Κ αν K I u.. Ορισμός u k k,,... Έστω Χ.Τ. τ.χ. και K X. Επίσης έστω u I ανοικτό κάλυμμα του Κ. Το είναι πεπερασμένο υποκάλυμμα του ώστε K u για κάποιο N. k k I u αν υπάρχει I, Ορισμός Έστω Χ.Τ. τ.χ. και K X.Το Κ λέγεται συμπαγές αν κάθε ανοικτό κάλυμμα του Κ έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα. Αν το Χ είναι συμπαγές ο Χ.Τ. λέγεται συμπαγής...4 Πρόταση Έστω Χ.ρ. μ.χ. και K X.Τότε αν το Κ είναι συμπαγές είναι κλειστό. Απόδειξη Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα Τ των μετρικών χώρων. Αρκεί να δείξω ότι το X / K είναι ανοικτό. Δηλαδή X / K, uανοικτή περιοχή του, ώστε U K =. Έστω X / K, τότε y K, u, u y ανοικτές περιοχές των, y αντίστοιχα ώστε U U = από Τ. Τότε y K u y K, δηλαδή η οικογένεια y k είναι ανοικτό κάλυμμα του u y Κ. Επειδή Κ συμπαγές K ώστε y K u y Άρα,,,..., u ώστε: u u = ή u u = ή v K =, όπου v u ανοικτό ως πεπερασμένη τομή ανοικτών. 4

8 Γενικά, η αντίστροφη της πρότασης..4 δεν ισχύει. Σχετική, όμως, είναι η παρακάτω ιδιότητα...5 Πρόταση Έστω Χ.ρ. μ.χ. και K X, συμπαγές. Τότε αν L K και L κλειστό, τότε το L είναι συμπαγές. Απόδειξη Έστω I u ανοικτό κάλυμμα του L. Τότε το u X L / I κάλυμμα του Κ. Επειδή Κ συμπαγές έπεται ότι υπάρχει,... I είναι ανοικτό, ώστε K k u k X / L και επειδή X/L L =, θα ισχύει L u k k άρα το L είναι συμπαγές. Η πρόταση..5. σημαίνει ότι τα κλειστά υποσύνολα συμπαγών μετρικών χώρων είναι συμπαγή. Γενικά, τα συμπαγή υποσύνολα μετρικών χώρων είναι κλειστά. Το αντίστροφο όμως ισχύει μόνο αν ο μετρικός χώρος είναι συμπαγής...6 Πρόταση I Έστω Χ.ρ. μ.χ. συμπαγής και K οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: K =, υπάρχει,... I πεπερασμένο ώστε: K =. Απόδειξη Από το στο είναι άμεσο. Από το στο έχουμε: K I X / είναι ανοικτό κάλυμμα του Χ, γιατί X / K ανοικτό και X / K X / K X. I I 5

9 Άρα, από συμπάγεια υπάρχει,... I ώστε X / K X j j ή X / K X ή j j K =. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή και ως η ιδιότητα της πεπερασμένης τομής...7 Πρόταση Κάθε συμπαγής μετρικός χώρος είναι διαχωρίσιμος. Δηλαδή, έχει ένα αριθμήσιμο υποσύνολο, το οποίο έχει μη κενή τομή, με κάθε ανοικτό υποσύνολο του χώρου πυκνό. Απόδειξη N Έστω Χ.ρ. μ.χ. Η οικογένεια B, είναι ανοικτό κάλυμμα του Χ. Αφού ο Χ είναι συμπαγής, η παραπάνω οικογένεια έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα. Άρα, X N υπάρχει D X πεπερασμένο ώστε: X D B, Ορίζω: D D. Το D είναι αριθμήσιμο γιατί είναι αριθμήσιμη ένωση πεπερασμένων. Πρέπει να δείξω ότι είναι πυκνό. Δηλαδή, ότι X και 0 υπάρχει y D τέτοιο ώστε y B, ή, y Έστω X και 0 τότε υπάρχει N ώστε. Έστω ένα τέτοιο. Τότε, από συμπάγεια έχω ότι X yd B y,. Άρα, υπάρχει y D τέτοιο ώστε B y, ή, y. 6

10 ..8 Πρόταση Κάθε συμπαγής μετρικός χώρος είναι πλήρης. Απόδειξη Θα χρησιμοποιήσουμε τον χαρακτηρισμό του Ctor για τους πλήρεις μετρικούς χώρους ο οποίος παρατίθεται χωρίς απόδειξη 3. Έστω Χ.ρ. μ.χ. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: O Χ.ρ. είναι πλήρης Αν φθίνουσα ακολουθία κλειστών μη κενών N υποσυνόλων του Χ με dm 0τότε:. Έστω Χ.ρ συμπαγής μ.χ. και υποσυνόλων του Χ. Επειδή η N N φθίνουσα ακολουθία μη κενών είναι φθίνουσα ακολουθία μη κενών συνόλων, κάθε πεπερασμένη τομή τους δεν είναι κενή. Συνεπώς, και η άπειρη τομή τους δεν είναι κενή από ιδιότητα πεπερασμένης τομής. Άρα, από τον χαρακτηρισμό Ctor έπεται ότι ο Χ.ρ. είναι πλήρης...9 Πρόταση Έστω Χ.ρ. μ.χ. και K X. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: Το Κ είναι συμπαγές Για κάθε ακολουθία K στο Κ. N, υπάρχει υπακολουθία που συγκλίνει Απόδειξη Θα δείξουμε μόνο ότι το συνεπάγεται το. Η απόδειξη του αντιστρόφου παραλείπεται γιατί είναι μεγάλη 4. Έστω Κ συμπαγές και ακολουθία K υπακολουθία που συγκλίνει στο Κ. Άρα, για κάθε του y τέτοια ώστε το σύνολο vy N N y K να είναι πεπερασμένο. τέτοια ώστε δεν έχει υπάρχει v y ανοικτή περιοχή 3 Για την απόδειξη βλ. Νεγρεπόντης κ.α. σελ Για την απόδειξη βλ. ο.π. σελ 65. 7

11 Παρατηρώ ότι η οικογένεια v y yk είναι ανοικτό κάλυμμα του Κ. Άρα, από συμπάγεια υπάρχει πεπερασμένο σύνολο y y yk K, ώστε k K v y. Επειδή το vy N είναι πεπερασμένο, y K, έπεται ότι το σύνολο k vy vy N N N k είναι επίσης πεπερασμένο, πράγμα που K v. είναι προφανώς άτοπο. Η τελευταία ισότητα έπεται από το ότι: N y k συνόλων στο Η παραπάνω πρόταση οδηγεί σε έναν άμεσο χαρακτηρισμό των συμπαγών R. Συγκεκριμένα, ισχύει η ακόλουθη πρόταση...0 Πρόταση Έστω Το Κ είναι συμπαγές K R.Τα επόμενα είναι ισοδύναμα To K είναι κλειστό και φραγμένο Απόδειξη Το συνεπάγεται το, γιατί ο R με την ευκλείδια μετρική είναι μετρικός χώρος 5. Το αντίστροφο ισχύει από το θεώρημα Bolzo-Weerstrss κάθε φραγμένη ακολουθία στο R έχει υπακολουθία που συγκλίνει και την παραπάνω πρόταση. Προκειμένου να διευκολυνθεί η διαισθητική διάκριση ανάμεσα στην συμπάγεια και άλλες συγγενείς έννοιες, είναι χρήσιμο να αναφέρουμε μερικά παραδείγματα κλειστών και φραγμένων συνόλων που δεν είναι συμπαγή. y Πρώτα ας θεωρήσουμε το R με την τετριμμένη μετρική, y. 0 y Παρατηρούμε ότι το R είναι κλειστό και φραγμένο, αλλά δεν είναι συμπαγές. Πράγματι, η οικογένεια, είναι ανοικτό κάλυμμα του R το οποίο, R προφανώς, δεν έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα. Παρόλο που το παραπάνω αποτέλεσμα στηρίζεται σε μια μετρική που δεν είναι «συνηθισμένη», μας επιτρέπει 5 Για το ότι τα συμπαγή είναι και φραγμένα βλ. πρόταση..4 παρακάτω. 8

12 να κατανοήσουμε γιατί ένα κλειστό και φραγμένο δεν είναι πάντα συμπαγές. Ο λόγος είναι ότι σε ορισμένους μετρικούς χώρους μπορούμε να βρούμε υποσύνολα κλειστών και φραγμένων συνόλων, που έχουν άπειρα στοιχεία τα οποία είναι όλα «μακριά» μεταξύ τους. Σε αυτό το πνεύμα είναι και τα δύο παραδείγματα που ακολουθούν, τα οποία συναντάμε σε πιο «φυσιολογικούς» μετρικούς χώρους. Έστω η μοναδιαία σφαίρα 0, B = l : στον l, η οποία προφανώς, είναι κλειστή και φραγμένη. Έστω, επίσης, η ακολουθία B 0, η οποία ορίζεται ως εξής:,0,0,0,,,0,0,0,,,,0,0,0, 3, N Προφανώς, για κάθε, m N θα ισχύει ότι m και άρα, η N, δεν έχει υπακολουθία που συγκλίνει. Άρα, η κλειστή μοναδιαία σφαίρα δεν είναι συμπαγής. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, μπορούμε να δείξουμε ότι η μοναδιαία σφαίρα του C0, δεν είναι συμπαγής. Συγκεκριμένα, αρκεί να βρούμε μια ακολουθία συναρτήσεων C0, ώστε N, με m για κάθε N, m N. Εύκολα μπορεί να ελεγχθεί ότι μια τέτοια ακολουθία δίνεται από τις ακόλουθές 6 : 0, t, t t, 0, 0 t t t t Εκτός από τον χαρακτηρισμό των συμπαγών συνόλων με βάση τις ακολουθίες, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου που θα δούμε αμέσως. 6 Βλ. Kumres

13 .. Ορισμός Έστω Χ.ρ. μ.χ. και A X. Το Α λέγεται ολικά φραγμένο, αν για κάθε ε θετικό, υπάρχει πεπερασμένο F A ώστε A B,. F Παρατηρήσεις Ο παραπάνω ορισμός επεκτείνεται για A X Το κενό σύνολο είναι ολικά φραγμένο.. ολικά φραγμένος μ.χ.. Τα συμπαγή σύνολα είναι ολικά φραγμένα. Το αντίστροφο ισχύει υπό προϋποθέσεις που θα συζητήσουμε παρακάτω. Τα ολικά φραγμένα σύνολα είναι φραγμένα. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Επίσης, τα ολικά φραγμένα σύνολα έχουν τις ιδιότητες που περιγράφει η πρόταση που ακολουθεί... Πρόταση Έστω Χ.ρ. μ.χ. και A X, ολικά φραγμένο. Τότε: To B A είναι ολικά φραγμένο. To A κλειστότητα είναι ολικά φραγμένο. Απόδειξη B A Αφού το Α είναι ολικά φραγμένο, υπάρχει F F A πεπερασμένο, ώστε: B,. Θεωρώ, επίσης, F = F: B, Β, οπότε: F B j,. Επίσης, έστω τυχόν y j B j, B, τότε B j B y j, B j, και B F B j, y : F B y j, j j j άρα, το Β είναι ολικά φραγμένο. Αφού το Α είναι ολικά φραγμένο, τότε υπάρχει F A πεπερασμένο, ώστε A F B,.Έστω y A τότε κάθε ανοικτή περιοχή του y περιέχει στοιχείο του Α.Δηλαδή, υπάρχει A ώστε, y. Επίσης, υπάρχει F ώστε: 0

14 B,, άρα, y,, y. Οπότε y A, υπάρχει F ώστε: y B,. Συνεπώς, A B, και άρα το A είναι ολικά φραγμένο. F Οι δύο προτάσεις που ακολουθούν χαρακτηρίζουν τα συμπαγή σύνολα με την βοήθεια της έννοιας του ολικά φραγμένου συνόλου. Για την απόδειξή τους χρειάζεται να κάνουμε χρήση του ακόλουθου λήμματος...3 Λήμμα Έστω Χ.ρ. μ.χ. και ακολουθία X N,τέτοια ώστε,κάθε υποακολουθία της δεν είναι Cuchy. Τότε υπάρχει, ε θετικό και M N άπειρο, ώστε M M άπειρο, dm m : m M. Απόδειξη Λήμματος Έστω ότι δεν ισχύει. Άρα 0 και M N άπειρο, υπάρχει M M άπειρο, ώστε dm m : m M. Έστω M N και. Τότε, υπάρχει M M άπειρο ώστε: dm m : m M Έστω M M dm m : m M M Γενικά, N Επειδή τα. και M M m ώστε m τότε, υπάρχει M M με dm m : m M. άπειρο ώστε: M είναι απειροσύνολα, μπορώ να διαλέξω μια ακολουθία από m Παρατηρώ ότι το σύνολο dm : k dm m : m M. m k m k : k είναι υποσύνολο του M και συνεπώς

15 Όμως, επειδή 0 υπάρχει ώστε έπεται ότι 0 υπάρχει,ώστε, m να ισχύει ότι, dm m k : k Δηλαδή, η είναι ακολουθία Cuchy που είναι άτοπο. m k..4 Πρόταση Έστω Χ.ρ. μ.χ. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: O Χ.ρ. είναι συμπαγής O Χ.ρ. είναι ολικά φραγμένος και πλήρης Απόδειξη Από σε : Αν ο Χ.ρ. είναι συμπαγής τότε είναι και πλήρης. Επίσης για κάθε ε θετικό η οικογένεια B, είναι ανοικτό κάλυμμα του Χ. Συνεπώς, υπάρχει F X X πεπερασμένο ώστε X B, και άρα, ο Χ είναι ολικά φραγμένος. Από σε : F Θα δείξω ότι κάθε ακολουθία στον Χ έχει υπακολουθία Cuchy. Αν ισχύει αυτό, τότε επειδή ο Χ είναι πλήρης κάθε ακολουθία του, έχει υπακολουθία που συγκλίνει και άρα ο Χ είναι συμπαγής. Έστω A X, ολικά φραγμένο και έστω επίσης ότι υπάρχει Aπου N δεν έχει υπακολουθία Cuchy. Τότε, από το λήμμα θα ισχύει ότι υπάρχει ε θετικό και M N άπειρο ώστε M M άπειρο, dm m : m M. Επίσης, αφού το Α είναι ολικά φραγμένο θα υπάρχει,,k A,k θέτω k ώστε A B,. Για κάθε M m M : m B, οπότε M M M Επειδή το Μ είναι απειροσύνολο τουλάχιστον ένα από τα απειροσύνολο. Άρα υπάρχει υπακολουθία m m M της N M θα είναι, επίσης, που είναι υποσύνολο της B, ή dm m : m M το οποίο είναι άτοπο γιατί M M. Προφανώς, αν A X έχουμε δείξει το ζητούμενο.

16 Στη διάρκεια της παραπάνω απόδειξης δείξαμε ότι τα ολικά φραγμένα υποσύνολα ενός μετρικού χώρου έχουν την ιδιότητα, όλες οι ακολουθίες στοιχείων τους να έχουν μια υπακολουθία Cuchy. Σχετική είναι η πρόταση που ακολουθεί, η οποία χρησιμοποιεί την έννοια του σχετικά συμπαγούς συνόλου...5 Ορισμός 7 Έστω Χ.τ. τ.χ. και A X. Το Α λέγεται σχετικά συμπαγές αν η κλειστότητα του A X είναι συμπαγές σύνολο...6 Πρόταση 8 Έστω Χ.ρ. μ.χ. πλήρης και A X. Το Α είναι σχετικά συμπαγές αν και μόνο αν είναι ολικά φραγμένο. Απόδειξη Αν το Α είναι σχετικά συμπαγές, το A είναι συμπαγές και άρα ολικά φραγμένο. Επειδή το το Α είναι υποσύνολο του A είναι και αυτό ολικά φραγμένο. Αντίστροφα. Αν το Α είναι ολικά φραγμένο τότε όπως είδαμε παραπάνω, έχει την ιδιότητα κάθε ακολουθία του να έχει υπακολουθία Cuchy. Αυτές όμως συγκλίνουν στο A, γιατί τα κλειστά υποσύνολα μετρικών χώρων που είναι πλήρεις είναι και αυτά πλήρη. Συνεπώς, το A είναι συμπαγές και άρα, το Α είναι σχετικά συμπαγές..3 ΣΥΜΠΑΓΗ ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με απεικονίσεις από συμπαγείς μετρικούς χώρους σε άλλους μετρικούς χώρους..3. Πρόταση Έστω Χ,ρ, Y, d μ.χ. και : X Y συνεχής. Τότε, αν το K X είναι συμπαγές, το K Y είναι επίσης συμπαγές. 7 Βλ. Kolmogorov και Fom σελ Βλ. Kolmogorov και Fom σελ. 0 3

17 Απόδειξη I Έστω u ανοικτό κάλυμμα του K u.τότε το I είναι ανοικτό κάλυμμα του K, γιατί: K I u K I u K I u και το u είναι ανοικτό από τη συνέχεια της. Επίσης, επειδή το Κ είναι συμπαγές, θα υπάρχει J πεπερασμένο ώστε K u K u K J j j u K J u. Τότε, και άρα, το K είναι συμπαγές. Η παραπάνω πρόταση σημαίνει ότι αν ο Χ είναι συμπαγής, το X είναι συμπαγές υποσύνολο του Υ. Στην περίπτωση που η είναι -, τότε ο Υ είναι συμπαγής..3. Πρόταση Έστω Χ,ρ συμπαγής μ.χ., Y, d μ.χ. και : X Y συνεχής, - και επί. Τότε η είναι επίσης συνεχής και άρα, η είναι ομοιομορφισμός. Απόδειξη Αρκεί να δείξω ότι η, αντιστρέφει κλειστά σε κλειστά. Έστω K X κλειστό. Πρέπει να δείξω ότι K K είναι κλειστό. Επειδή ο Χ είναι συμπαγής και το Κ κλειστό, το Κ είναι συμπαγές. Επειδή η είναι συνεχής, το K είναι επίσης συμπαγές και άρα, κλειστό..3.3 Πρόταση Έστω Χ,ρ συμπαγής μ.χ.,. και : X R συνεχής. Τότε, η είναι φραγμένη και μάλιστα λαμβάνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Απόδειξη Επειδή ο Χ είναι συμπαγής και η συνεχής, το X είναι συμπαγές υποσύνολο του R. Δηλαδή, είναι κλειστό και φραγμένο. Αφού είναι φραγμένο, υπάρχουν τα sup, και αφού είναι κλειστό, αυτά θα ανήκουν στο σύνολο. 4

18 Παρατήρηση: Αν ο τελεστής από ένα συμπαγή μετρικό χώρο X, σε ένα γενικό μετρικό χώρο Y, d είναι συνεχής, τότε ακολουθώντας την παραπάνω απόδειξη, βλέπουμε ότι υπάρχουν τα m d, y και md, y., yx, yx Πριν προχωρήσουμε στην επόμενη πρόταση πρέπει να αναφερθούμε στην έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας..3.4 Ορισμός Έστω Χ.ρ., Y,d μ.χ. και : X Y. Η καλείται ομοιόμορφα συνεχής, αν για κάθε 0, υπάρχει 0, ώστε για κάθε, y X με, y να ισχύει: d, y. Παρατήρηση: Αν η είναι απλώς συνεχής στο, τότε το δ δεν εξαρτάται μόνο από το ε αλλά και από το. Προφανώς, αν η είναι ομοιόμορφα συνεχής, είναι και συνεχής..3.5 Πρόταση Έστω Χ.ρ. συμπαγής μ.χ., Y,d γενικός μ.χ. και είναι ομοιόμορφα συνεχής. : X Y συνεχής. Τότε, η Απόδειξη Η απόδειξη θα γίνει σε δύο βήματα. Βήμα ο Θα δείξουμε ότι αν η οικογένεια G είναι ανοικτό κάλυμμα του X, τότε I υπάρχει 0,ώστε για κάθε A X με dm A,να υπάρχει I,ώστε A G. I Εφόσον η οικογένεια G είναι ανοικτό κάλυμμα του X, υπάρχει πεπερασμένο σύνολο,,,k I για κάθε, ώστε X G X θα υπάρχει k και,,,k. Επίσης, επειδή τα G είναι ανοικτά σύνολα, ώστε B,. G 5

19 Επειδή η οικογένεια B, k,, k ώστε X B, X είναι ανοικτό κάλυμμα του X, υπάρχει. Ορίζω m,, y X και για κάθε A X με dm A και A.Τότε, για κάθε k y, θα υπάρχει y k,,,ώστε A B y, B y, G. y Βήμα ο Έστω 0, αφού η είναι συνεχής τότε η οικογένεια B y, yy είναι ανοικτό κάλυμμα του X. Άρα, από το προηγούμενο βήμα, υπάρχει 0 ώστε για κάθε, X με, να ισχύει ότι:, B y, για κάποιο y Y ή, B y, και άρα, d,. Δηλαδή, η είναι ομοιόμορφα συνεχής..4 ΣΥΜΠΑΓΗ ΣΥΝΟΛΑ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ ASCOLI -ARZELA Τα δύο κριτήρια συμπάγειας που έχουμε παρουσιάσει ως τώρα, στηρίζονται είτε στην σύγκλιση υπακολουθιών είτε στη διαπίστωση ότι ένα σύνολο είναι ολικά φραγμένο. Αυτά τα δύο κριτήρια είναι ιδιαίτερα δύσκολο να ελεγχθούν απ ευθείας σε απειροδιάστατους χώρους όπως για παράδειγμα οι χώροι συναρτήσεων ή τελεστών. Για αυτούς τους χώρους, ένα πιο εύχρηστο ευκολότερα εφαρμόσιμο κριτήριο συμπάγειας παρέχεται από το θεώρημα ASCOLI ARZELA, μια γενικευμένη εκδοχή του οποίου θα παρουσιάσουμε σε αυτή την ενότητα. Το θεώρημα αυτό στηρίζεται στην έννοια της ισοσυνέχειας. 6

20 .4. Ορισμός Έστω Χ,ρ, Y, d μ.χ. και F μια οικογένεια τελεστών από τον X στον Y. Η F λέγεται ισοσυνεχής στο o X αν για κάθε 0, υπάρχει 0, ώστε για κάθε X με, να ισχύει: d,, για κάθε F. o o Αν η F είναι ισοσυνεχής για κάθε o X, τότε λέγεται απλά ισοσυνεχής. Παρατηρήσεις Αν η F είναι ισοσυνεχής στο o X,τότε κάθε στοιχείο της είναι συνεχές στο o X. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Η ισοσυνέχεια απαιτεί το δ να μην εξαρτάται από το. Αν η F είναι πεπερασμένη οικογένεια συνεχών είναι ισοσυνεχής. Σε αναλογία με την ομοιόμορφη συνέχεια ορίζεται και η ομοιόμορφη ισοσυνέχεια το δ εκτός από το δεν εξαρτάται επίσης και από το o. Σχετικά ισχύουν τα εξής: α Μια πεπερασμένη οικογένεια από ομοιόμορφα συνεχείς είναι ομοιόμορφα ισοσυνεχής. β Μια ισοσυνεχής οικογένεια τελεστών από ένα συμπαγή μ.χ. σε έναν γενικό μ.χ. είναι ομοιόμορφα ισοσυνεχής 9. Παράδειγμα 0 Έστω F C, b με την ιδιότητα ότι κάθε F είναι παραγωγίσιμη στο, b και μάλιστα για κάθε F ισχύει ότι: M για κάθε, b.τότε από το θεώρημα μέσης τιμής, u v M u v. Θέτοντας βλέπουμε ότι η οικογένεια είναι ισοσυνεχής στο [, b]., M Χρήσιμοι για την πρόταση που ακολουθεί είναι και οι ακόλουθοι ορισμοί..4. Ορισμός Έστω Χ,ρ, Y, d μ.χ. και F μια οικογένεια τελεστών από τον X στον Y. Η F λέγεται κατά σημείο φραγμένη αν για κάθε X, υπάρχει M R, ώστε 9 Η απόδειξη είναι αντίστοιχη με την απόδειξη της πρότασης Βλ. Royder και Ftjptrck 00, σελ. 07 7

21 dm dm : F M. Η F λέγεται απλώς φραγμένη αν υπάρχει M R, ώστε : F M, για κάθε X. Παρατηρούμε ότι αν μια οικογένεια τελεστών είναι φραγμένη είναι φραγμένη και ως υποσύνολο του C X, Y..4.3 Πρόταση ASCOLI ARZELA σε μετρικούς χώρους Έστω Χ,ρ συμπαγής μ.χ. και Y,d γενικός μ.χ. Συμβολίζω C X, Y τον χώρο των συνεχών τελεστών μεταξύ των δύο χώρων, εφοδιασμένο με την συνήθη μετρική. Έστω επίσης, A C X, Y με τις εξής ιδιότητες: Το σύνολο Α είναι ισοσυνεχές για κάθε X Για κάθε A το σύνολο N Y N : είναι σχετικά συμπαγές για κάθε X Τότε, το Α είναι σχετικά συμπαγές υποσύνολο του C X, Y. Απόδειξη Για να αποδείξουμε το θεώρημα θα δείξουμε ότι κάθε ακολουθία A έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία στον C X, Y. Γιατί τότε κάθε N ακολουθία στο A θα έχει υπακολουθία που συγκλίνει ομοιόμορφα, δηλαδή με την μετρική του C X, Y στο A. Άρα, το A θα είναι συμπαγές και συνεπώς το Α θα είναι σχετικά συμπαγές. Η απόδειξη θα γίνει σε δύο βήματα. Βήμα ο Έστω τυχαία ακολουθία A συγκλίνει κατά σημείο για κάθε N X.. Θα δείξουμε ότι έχει υπακολουθία που Εφόσον ο Χ είναι συμπαγής χώρος, είναι διαχωρίσιμος. Υπάρχει δηλαδή D X αριθμήσιμο και πυκνό. Έστω D. Θεωρώ το. Τότε το σύνολο N Y B : είναι σχετικά συμπαγές. Άρα, υπάρχει M N άπειρο ώστε Βλ. άσκηση 8, σελ. 0, Royder και Ftjptrck 00. Έστω, g C X, Y τότε η συνήθης μετρική, g ορίζεται ως, g m d, g. Η μετρική αυτή είναι καλά ορισμένη γιατί αν οι,g είναι συνεχείς X τότε η d, g είναι ένα συνεχές συναρτησιακό στον Χ. Επειδή ο Χ είναι συμπαγής θα έχει μέγιστο. 8

22 η ακολουθία στοιχείων του Υ, M να συγκλίνει στο B Y με την μετρική d. Θεωρώ το.τότε το σύνολο B M : είναι σχετικά συμπαγές. Άρα, υπάρχει άπειρο M B Y. M ώστε η ακολουθία, M να συγκλίνει στο Γενικά, θα υπάρχουν M,,, με άπειρα στοιχεία, ώστε N M M και η ακολουθία k να συγκλίνει σε στοιχείο του Υ. M k k k N τότε η το Μπορώ τώρα να διαλέξω M ώστε. Θεωρώ την υπακολουθία. Θα δείξω ότι αυτή συγκλίνει κατά σημείο για κάθε D. Έστω D j k j kn συγκλίνει σε στοιχείο του Υ. Αυτό συμβαίνει, γιατί για κάθε k j k M και η j j M j είναι ακολουθία που συγκλίνει. Θα δείξουμε τώρα ότι αυτή η υπακολουθία συγκλίνει για κάθε X. Για λόγους απλούστευσης συμβολίζουμε και την συγκλίνουσα υπακολουθία με. Αυτή θα συγκλίνει για κάθε Δηλαδή, για κάθε N D και άρα, θα είναι Cuchy για κάθε τέτοιο. D και 0, υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε, m k, d, m. Επίσης, από ομοιόμορφη ισοσυνέχεια στο 0 X, θα 3 υπάρχει 0, ώστε αν X και ικανοποιεί, 0 να ισχύει ότι: d 0,, για κάθε A. Τέλος, επειδή το D είναι πυκνό, υπάρχει D 3 ώστε, 0. Οπότε, για τυχόν κάθε, m k, να ισχύουν τα ακόλουθα: 0 X και 0, μπορώ να βρω D και ώστε για d 0, m 0 d 0, d, m d m, m 0 Δηλαδή, η ακολουθία 0 N Y 0 είναι Cuchy. Όμως, το σύνολο B : είναι από υπόθεση σχετικά συμπαγές και άρα, το σύνολο B είναι συμπαγές και άρα, πλήρες. Συνεπώς, η 0 συγκλίνει στο B Y. Εδώ ολοκληρώνεται το ο βήμα οπότε και δείξαμε ότι κάθε ακολουθία στο Α έχει 9

23 υπακολουθία που συγκλίνει κατά σημείο για κάθε X. Στο ο βήμα θα δείξουμε ότι κάθε ακολουθία στο Α έχει υπακολουθία που συγκλίνει στο χώρο συναρτήσεων. Βήμα ο Έστω τυχαία ακολουθία A N. Θα δείξουμε ότι έχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του χώρου C X, Y με την αντίστοιχη μετρική. Από το ο βήμα γνωρίζουμε ότι η N έχει υπακολουθία που συγκλίνει κατά σημείο. Για λόγους απλούστευσης συμβολίζουμε και την συγκλίνουσα υπακολουθία με. N Από ομοιόμορφη ισοσυνέχεια, για κάθε 0, θα υπάρχει 0 τέτοιο ώστε, y X και, y d, y, για κάθε A. 3 Επίσης, επειδή ο Χ είναι συμπαγής και το B, είναι ανοικτό κάλυμμα X του Χ, θα έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα. Άρα, θα υπάρχει πεπερασμένο σύνολο ή, ώστε X B,. Άρα, για κάθε X d,, για κάθε A. 3 Τέλος, επειδή η Cuchy για κάθε, N υπάρχει, ώστε συγκλίνει κατά σημείο για κάθε X,. Θα είναι X, άρα και για κάθε. Δηλαδή, για κάθε, και 0, υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε, m k, d, m. 3 Οπότε για κάθε X και 0 τέτοιο ώστε για κάθε, m k, να ισχύει το ακόλουθο:, μπορώ να βρω και, d, d, d, d,. m Όμως αφού αυτό ισχύει για κάθε m m X,θα ισχύει επίσης ότι για κάθε 0, υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε, m k, md, η ομοιόμορφη X σύγκλιση ταυτίζεται με τη σύγκλιση στον C X, Y. Δείξαμε λοιπόν ότι κάθε ακολουθία στο Α έχει υπακολουθία Cuchy. Αν γνωρίζαμε ότι ο C X, Y είναι πλήρης, η απόδειξη θα τελείωνε εδώ. Ωστόσο επειδή m m 0

24 αυτό δεν ισχύει γενικά, πρέπει να δείξουμε ότι κάθε ακολουθία Cuchy στο Α συγκλίνει στο C X, Y. Αρχικά παρατηρούμε ότι, αν η είναι συνεχής, η εικόνα της X, θα είναι συμπαγές σύνολο και άρα, φραγμένο. Μπορούμε, λοιπόν, να θεωρήσουμε τον χώρο C X, Y σαν υπόχωρο του B X, Y 3, δηλαδή των φραγμένων τελεστών από το X στο Y. Έστω τώρα N ακολουθία N supd, X m ακολουθία Cuchy στο Α. Τότε, για κάθε X είναι ακολουθία Cuchy στον Υ, γιατί d,, X. Επειδή το σύνολο m : N είναι συμπαγές, είναι πλήρες και φραγμένο. Δηλαδή, η ακολουθία N συγκλίνει στον Υ, για κάθε X. Ορίζω ως αυτό το όριο σε κάθε X. Παρατηρώ ότι η είναι φραγμένη και ότι για κάθε 0, υπάρχει, η τέτοιο ώστε για κάθε k, d,. Επειδή αυτό ισχύει σε κάθε X, θα υπάρχει k, ώστε: supd,, k. X Δείξαμε λοιπόν ότι αν η N είναι ακολουθία Cuchy στο Α, θα συγκλίνει ως στοιχείο του B X, Y. Αν δείξουμε ότι ο C X, Y είναι κλειστός υπόχωρος του B X, Y θα έχουμε δείξει το ζητούμενο. Για αυτό το σκοπό θα χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο λήμμα. Λήμμα Έστω Χ,ρ και Y,d μ.χ. και B X, Y ο μ.χ. των φραγμένων τελεστών από τον X στον Y. Έστω ακολουθία συνεχών συναρτήσεων που συγκλίνει ομοιόμορφα με την μετρική του B X, Y στην B X, Y. Τότε, η είναι συνεχής. 3 Προφανώς η κατάλληλη μετρική για αυτόν το χώρο είναι η supd, g,η οποία όμως ταυτίζεται με την md, g όταν ο B X, Y περιορίζεται στον C X, Y. X X

25 Απόδειξη Λήμματος Έστω 0 X και 0 ώστε για κάθε k, sup d X. Επειδή η N, d,, 3 3 Επίσης, επειδή κάθε είναι συνεχής στο κάθε X με, 0 να ισχύει ότι d Άρα, για κάθε συγκλίνει, θα υπάρχει τέτοιο X. 0 X,θα υπάρχει 0 ώστε για,. 3 0 X ώστε, 0 θα υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε k, να ισχύει ότι: d , d, d, d, Δηλαδή, η είναι συνεχής στο 0 και αφού αυτό επιλέχτηκε τυχαία, η είναι συνεχής. Έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη του λήμματος και της πρότασης. Στους πραγματικούς αριθμούς γνωρίζουμε ότι τα συμπαγή ταυτίζονται με τα κλειστά κα φραγμένα. Αυτό σημαίνει ότι αν B R φραγμένο, τότε επειδή η κλειστότητα του B, θα είναι επίσης φραγμένο σύνολο θα είναι και συμπαγές. Άρα, το Β είναι σχετικά συμπαγές. Γενικά, κάθε φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών είναι σχετικά συμπαγές. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω παρατήρηση μπορούμε να ξαναδιατυπώσουμε την πρόταση για απεικονίσεις με τιμές στο R..4.4 Πρόταση ASCOLI ARZELA Έστω Χ,ρ συμπαγής μ.χ. Συμβολίζω C X, R τον χώρο των συνεχών συναρτησιακών από τον Χ στο R, εφοδιασμένο με την συνήθη μετρική 4. Έστω επίσης A CX με τις εξής ιδιότητες: Η οικογένεια Α είναι ισοσυνεχής. Η οικογένεια Α είναι κατά σημείο φραγμένη. Τότε, το Α είναι σχετικά συμπαγές υποσύνολο του Υ. 4 Έστω, g C X, R τότε η συνήθης μετρική, g ορίζεται ως, g m g X

26 Για τον C X, R μπορούμε επιπλέον να δείξουμε την ακόλουθη πρόταση..4.5 Πρόταση 5 Έστω Χ,ρ συμπαγής μ.χ. Έστω, επίσης, A C X, R. Το Α είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό φραγμένο και ισοσυνεχές. Απόδειξη Αν το Α είναι κλειστό, φραγμένο και ισοσυνεχές τότε από το θεώρημα Ascol- Arzel είναι και συμπαγές. Αν το Α είναι συμπαγές τότε είναι κλειστό και φραγμένο. Θα δείξουμε ότι είναι και ισοσυνεχές. Αν το Α δεν είναι ισοσυνεχές στο X, τότε για κάθε N υπάρχει A και X ώστε και,, για κάποιο 0. Επειδή το Α είναι συμπαγές, η ακολουθία N k έχει υπακολουθία kn που συγκλίνει. Άρα, υπάρχει k o N ώστε για κάθε k ko να ισχύει ότι για κάθε X. 3 k Από τη συνέχεια της στο l k να ισχύει ότι. l 3 Άρα, μπορώ να βρω k N X έπεται ότι υπάρχει k N ώστε για κάθε ώστε: k k k k k k k k, το οποίο όπως είδαμε είναι άτοπο, γιατί το Α δεν είναι ισοσυνεχές. Παραδείγματα εφαρμογής της θεωρίας Ascol-Arzel α Συνεχείς κατά Holder 6 Μια πραγματική συνάρτηση στο 0, λέγεται συνεχής κατά Holder τάξης, αν υπάρχει σταθερά C ώστε 5 Βλ. Royder και Ftjptrck 00, σελ Βλ. άσκηση 5, σελ. 0, Royder και Ftjptrck 00. 3

27 y C y για κάθε, y 0, Ως νόρμα Holder ορίζουμε:, y y. y / y 0, m Θα δείξουμε ότι το σύνολο των συνεχών κατά Holder, για τις οποίες, είναι σχετικά συμπαγές ως υποσύνολο του C 0,. Παρατηρούμε ότι αν θέσω προκύπτει ότι η παραπάνω οικογένεια είναι C ισοσυνεχής. Επίσης, εφόσον έχουμε ότι για κάθε συναρτησιακό της οικογένειας θα ισχύει: m, y y y / y m 0, 0, Η οικογένεια λοιπόν είναι ισοσυνεχής και φραγμένη και άρα, από το θεώρημα Ascol-Arzel είναι σχετικά συμπαγής. β Οι παραγωγίσιμες ως υποσύνολο των συνεχών 7 Ορίζουμε ως C, b το σύνολο όλων των παραγωγίσιμων πραγματικών συναρτήσεων στο, b οι οποίες επιπλέον έχουν συνεχείς παραγώγους, εφοδιασμένο με την μετρική m, b b m, Θα δείξουμε ότι κάθε φραγμένο υποσύνολο του C, b συμπαγές υποσύνολο του b C, b, τότε: η ποσότητα C, b. C,.. είναι σχετικά Παρατηρούμε ότι αν μια οικογένεια συναρτήσεων είναι φραγμένη στο η ποσότητα m, b, b m είναι φραγμένη και άρα, η οικογένεια είναι φραγμένη στο είναι φραγμένη και άρα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα μέσης τιμής για να δείξουμε ότι είναι ισοσυνεχής όπως ακριβώς στο παράδειγμα που είδαμε στην αρχή της ενότητας. 7 Βλ. Brow 993 σελ. 5. 4

28 στον b Άρα, μια φραγμένη οικογένεια στον C, b, είναι φραγμένη και ισοσυνεχής C, και άρα από το θεώρημα Ascol-Arzel είναι σχετικά συμπαγής. Το παραπάνω επιχείρημα γενικεύεται ομαλά. Όλα τα φραγμένα υποσύνολα του C k, bείναι σχετικά συμπαγή υποσύνολα του b C k,. γ Οι συναρτήσεις προϊόν ολοκλήρωσης 8 Έστω F οικογένεια τελεστών από το p 0, 0 L στο 0, C με p F G : G g t dt, g L 0,, g όπου p και η νόρμα στον p L. Θα δείξουμε ότι το σύνολο F είναι σχετικά p συμπαγές υποσύνολο του C 0,. Παρατηρούμε ότι: y y y, G G y g t dt g t dt g t dt g t dt 0 0 χρησιμοποιώντας την ανισότητα Holder για y παίρνουμε: y y p p y q y q g t dt g t dt dt dt y. p q Συνεπώς, q G G y y. q Δείξαμε ότι το σύνολο F ικανοποιεί την συνέχεια κατά Holder με C και και άρα είναι σχετικά συμπαγές ως υποσύνολο του 0, C. 8 Βλ. λήμμα Ascol-Arzel στο Wkped. 5

29 . ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τις συμπαγείς απεικονίσεις ή τελεστές. Αυτές οι απεικονίσεις έχουν κεντρικό ρόλο σε μεγάλο μέρος της θεωρίας σταθερών σημείων και όπως θα δούμε, σχετίζονται άμεσα με τα συμπαγή σύνολα και ιδιαίτερα με τη θεωρία Ascol-Arzel.. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.. Ορισμός Έστω Χ.ρ., Y,d μ.χ. και τελεστής : X Y. Ο καλείται συμπαγής αν απεικονίζει τα φραγμένα υποσύνολα του X σε σχετικά συμπαγή υποσύνολα του Y. Δηλαδή, αν για κάθε D X φραγμένο, το σύνολο D Y είναι σχετικά N συμπαγές. Ισοδύναμα, ο είναι συμπαγής αν κάθε φραγμένη ακολουθία στον k Χ, έχει υπακολουθία,ώστε η ακολουθία k N kn να συγκλίνει στον Υ. k.. Ορισμός συνεχής. Αν ένας συμπαγής τελεστής είναι και συνεχής, τότε καλείται απολύτως Παρατήρηση: Όπως έχουμε δει στο προηγούμενο κεφάλαιο, τα σχετικά συμπαγή σύνολα είναι και φραγμένα. Επειδή οι γραμμικοί τελεστές που απεικονίζουν φραγμένα σε φραγμένα είναι συνεχείς, έπεται ότι στους γραμμικούς τελεστές οι έννοιες συμπαγής και απολύτως συνεχής τελεστής ταυτίζονται...3 Παραδείγματα Οι τελεστές συμπερίληψης cluso, του C k, bστο b C k, και των συνεχών κατά Holder στο 0,, στο C 0, είναι συμπαγείς, όπως προκύπτει από τα παραδείγματα α και β στο τέλος του προηγούμενου κεφαλαίου. 6

30 9 p Ο γραμμικός τελεστής T : L 0, C0, με Tg g t dt που περιγράφεται στο παράδειγμα γ του προηγούμενου κεφαλαίου είναι συμπαγής. Επίσης, αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο 0,, είναι και ολοκληρώσιμη στο 0,. Επειδή ο τελεστής συμπερίληψης cluso j του 0, C στο L p 0, είναι συνεχής, ο τελεστής T j είναι συμπαγής 0. Δηλαδή, ο γραμμικός τελεστής Tg g t dt 0 ορίζει μια συμπαγή απεικόνιση από το L p 0, στο L p 0,. Έστω K, b, b R, b C b 0 : συνεχής. Θα δείξουμε ότι ο τελεστής T : C, με T t G t ο οποίος ορίζεται μέσω της b C, b. Δηλαδή θεωρούμε πραγματικό αριθμό Μ ώστε: F C b G t K s, t s ds είναι συμπαγής. Θεωρούμε ένα φραγμένο σύνολο F στον Επίσης, θεωρούμε την οικογένεια A T F, : M. :. Πρώτα, παρατηρούμε ότι η Α είναι μια ομοιόμορφα φραγμένη οικογένεια. Συγκεκριμένα, η Κ είναι συνεχής σε ένα συμπαγές υποσύνολο του R. Άρα, έχει μέγιστο και ελάχιστο σε αυτό το σύνολο, οπότε και η απόλυτη τιμή της Κ, θα έχει μέγιστο σε αυτό το σύνολο. Έστω N 0 αυτό το μέγιστο. Τότε, για κάθε t, b b b μπορώ να γράψω G t K s, t s ds K s, t s ds NM b. Δηλαδή, η οικογένεια Α είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι η Α είναι και ισοσυνεχής. Συγκεκριμένα έστω t o, b και 0. t, b, t t θα ισχύει: Τότε, για κάθε o G t G t o b K s, t s ds o b K s, t s ds b K s, t K s, t o s ds b M K s, t K s, t ds o Όμως, από τη συνέχεια της Κ ως προς t έπεται ότι για κάθε s, b υπάρχει 0 τέτοιο ώστε για κάθεt, b με t t να ισχύει o 9 Βλ. wkped ο.π. 0 Βλ. πρόταση.. παρακάτω. Βλ. Goldberg et l

31 K s, t o K s, t ή M b G o t G t. Άρα, η οικογένεια Α είναι ισοσυνεχής. Από το θεώρημα Ascol-Arzel έπεται ότι η οικογένεια Α είναι σχετικά συμπαγές υποσύνολο του b C, και άρα, ο τελεστής Τ είναι συμπαγής.. ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ.. Πρόταση Έστω Χ.ρ., Y,d,Z,μ μ.χ., Τότε, ο g : X Z είναι συμπαγής. : X Y συμπαγής και g : Y Z συνεχής. Απόδειξη Έστω ακολουθία S z S X φραγμένο και ακολουθία στο g S. Άρα, υπάρχει N ώστε N ακολουθία Y g z. Επειδή, ο είναι συμπαγής τελεστής η έχει υπακολουθία N k k N που συγκλίνει στον Υ. Επειδή ο g είναι συνεχής, απεικονίζει συγκλίνουσες ακολουθίες σε συγκλίνουσες ακολουθίες. Δηλαδή, αφού y τότε gy. Προκύπτει, λοιπόν, ότι η ακολουθία z N k z k έχει συγκλίνουσα υπακολουθία στον Z. Συνεπώς, το g S είναι σχετικά συμπαγές υποσύνολο του Z και άρα, ο τελεστής g είναι συμπαγής... Πρόταση Έστω Χ.ρ., Y,d μ.χ. και τελεστές, g : X Y συμπαγείς. Τότε, ο g : X Y είναι επίσης συμπαγής. Απόδειξη Έστω φραγμένη ακολουθία X υπάρχει υπακολουθία k k N ώστε η N k k N. Τότε επειδή ο είναι συμπαγής, να συγκλίνει. Επειδή η k k N είναι και αυτή φραγμένη ακολουθία και επειδή ο g είναι επίσης συμπαγής τελεστής, Βλ. ο.π. σελ. 3. 8

32 υπάρχει περαιτέρω υπακολουθία Επίσης, επειδή η k l l N k l l N ώστε η ακολουθία k ln είναι υπακολουθία της k k N g να συγκλίνει. l συγκλίνει και αυτή. g επίσης Τέλος, από τη συνέχεια της πρόσθεσης έπεται ότι η k l l N k l l N συγκλίνει. Άρα, για κάθε φραγμένη ακολουθία X N X, ώστε η ακολουθία g N g N N, υπάρχει υπακολουθία, να συγκλίνει στον Y. Δηλαδή, ο g είναι συμπαγής...3 Πρόταση Έστω Χ.ρ. γενικός μ.χ., και Y,d πλήρης μ.χ. Αν B X, Y N ακολουθία από συμπαγείς τελεστές που συγκλίνει στο B X, Y. Τότε, ο είναι επίσης συμπαγής. μια Απόδειξη Έστω φραγμένη ακολουθία X. Αφού η N N είναι φραγμένη και ο είναι συμπαγής, τότε η ακολουθία έχει υπακολουθία που συγκλίνει. N Δηλαδή, υπάρχει υπακολουθία N της ώστε η N να συγκλίνει. N Έπειδή η N είναι επίσης φραγμένη ακολουθία και ο επίσης συμπαγής, έπεται ότι η N έχει υπακολουθία που συγκλίνει. Δηλαδή, υπάρχει N υπακολουθία της ώστε η N N να συγκλίνει. Με αντίστοιχο τρόπο μπορώ να βρω φραγμένη ακολουθία ώστε η k k N l να συγκλίνει. Έτσι, η ακολουθία, l κάθε l k, επειδή η N k N k N θα είναι υπακολουθία της k N Τότε, για την ακολουθία,, συγκλίνει για κάθε k N. N k N επίσης θα συγκλίνει για. N θα ισχύει ότι η ακολουθία Θα δείξουμε ότι η είναι Cuchy. Έστω 0. Επειδή k έπεται ότι υπάρχει N, ώστε για κάθε k, να ισχύει κάθε X. N d k,, για 3 9

33 k N Επίσης, επειδή η ακολουθία, συγκλίνει για κάθε k N,θα είναι και Cuchy. Δηλαδή, για κάθε k N,θα υπάρχει N, ώστε για κάθε N, να ισχύει d k, k. 3 Συνεπώς, μπορούμε να βρούμε πάντα ισχύει ότι:, M N, ώστε για κάθε, M, να d, d, k d k, k d k, Συνεπώς, η είναι Cuchy, και επειδή ο Y είναι πλήρης θα N συγκλίνει. Άρα, για κάθε φραγμένη ακολουθία X υπακολουθία N, ώστε η N N, μπορώ να βρω να συγκλίνει. Δηλαδή, ο είναι συμπαγής. 30

34 3. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα συζητήσουμε τα πιο γνωστά θεωρήματα σταθερού σημείου και θα δούμε μερικές εφαρμογές τους στα οικονομικά. Σε τέτοιες εφαρμογές συναντάμε συχνά απεικονίσεις που η εικόνα τους δεν είναι απαραίτητα μοναδική πλειότιμες απεικονίσεις ή αντιστοιχίες 3. Πριν προχωρήσουμε είναι σκόπιμο να κάνουμε μια πολύ μικρή εισαγωγή σε αυτές τις απεικονίσεις. 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΕΣ 3.. Βασικοί ορισμοί εξής: Έστω Χ.ρ., Y,d μ.χ. Εικόνα του Α: A A X, B Y και αντιστοιχία : X Y. Ορίζω τα A Άνω αντίστροφη εικόνα του Β: u B X : B Κάτω αντίστροφη εικόνα του Β: B = { X: B } v Αντίστροφη εικόνα του Y y : y X : y Από τα παραπάνω προκύπτει ότι στις αντιστοιχίες δεν έχουμε μοναδική έννοια της αντιστροφής εικόνας. Σα συνέπεια αυτού και η έννοια της συνέχειας δεν είναι μοναδική. 3.. Ορισμός Έστω Χ.ρ., Y,d μ.χ. και αντιστοιχία : X Y. Λέμε ότι οι τιμές της έχουν μια ιδιότητα π.χ. κυρτές, κλειστές κ.λ.π. όταν το σύνολο έχει αυτή την ιδιότητα για κάθε X Ορισμοί συνέχειας Έστω Χ.ρ., Y,d μ.χ. και αντιστοιχία : X Y. Ορίζω τα εξής: Η καλείται άνω ημισυνεχής upper hemcotuous 4 στο X κάθε, αν για U Y ανοικτό, με U, υπάρχει V X ανοικτό, ώστε: u V U. 3 Ο όρος πλειότιμες απεικονίσεις αναφέρεται στον Πολυράκη 00, ενώ ο όρος αντιστοιχία που θα χρησιμοποιείται εφεξής αποτελεί απόδοση του αντίστοιχού αγγλικού όρου correspodece. 4 Εφιστώ την προσοχή στον αναγνώστη, καθώς συχνά οι όροι άνω/κάτω ημισυνέχής χρησιμοποούνται για να αποδώσουν στα Ελληνικά του όρους upper/lower semcotuous που έχουν διαφορετικό νόημα. 3

35 Η καλείται κάτω ημισυνεχής lower hemcotuous στο X κάθε, αν για U Y ανοικτό, με U, υπάρχει V X ανοικτό, ώστε: l V U. Η καλείται συνεχής στο X v ημισυνεχής στο X., αν είναι ταυτόχρονα άνω και κάτω Η καλείται άνω ημισυνεχής, κάτω ημισυνεχής, συνεχής αν έχει την αντίστοιχη ιδιότητα για κάθε X. Η πρόταση που ακολουθεί επιτρέπει τον ευκολότερο χαρακτηρισμό της συνέχειας Πρόταση Έστω Χ.ρ., Y,d μ.χ. και αντιστοιχία : X Y. Ισχύουν τα εξής: Η είναι άνω ημισυνεχής u U ανοικτό, για κάθε U Y ανοικτό. Η είναι κάτω ημισυνεχής l U ανοικτό, για κάθε U Y ανοικτό. Απόδειξη lhs rhs. Έστω άνω ημισυνεχής και U Y ανοικτό. Τότε, για κάθε u U, έχουμε: U. Από τον ορισμό της άνω ημισυνέχειας παίρνουμε ότι: υπάρχει u u V X ανοικτό, ώστε V U. Συνεπώς, για κάθε U μπορώ να βρω ανοικτή περιοχή του που είναι υποσύνολο του u U. Δηλαδή, το u U είναι ανοικτό. rhs lhs. Έστω u X και U Y ανοικτό ώστε U. Τότε, U και το u U είναι ανοικτό από υπόθεση και άρα, η είναι άνω ημισυνεχής ο u ορισμός ικανοποιείται με V U. lhs rhs. Έστω κάτω ημισυνεχής και U Y ανοικτό. Τότε, για κάθε l U έχουμε: U. Από τον ορισμό της κάτω ημισυνέχειας παίρνουμε ότι: υπάρχει l l V X ανοικτό, ώστε V U. Συνεπώς, για κάθε U μπορώ να βρω ανοικτή περιοχή του που είναι υποσύνολο του l U. Δηλαδή, το l U είναι ανοικτό. 3

36 rhs lhs. Έστω X και U Y ανοικτό, ώστε: U. Τότε, l U και το l U είναι ανοικτό από υπόθεση και άρα, η είναι κάτω l ημισυνεχής ο ορισμός ικανοποιείται με V U. Τέλος, οι δύο προτάσεις που ακολουθούν αφορούν στη σχέση συνέχειας και συμπάγειας σε αντιστοιχίες Πρόταση Έστω Χ.ρ., Y,d μ.χ. και αντιστοιχία : X Y. Αν η έχει κλειστές τιμές και ο Y είναι συμπαγής, τότε ισχύει το εξής: Η είναι άνω ημισυνεχής Η έχει κλειστό γράφημα. Δηλαδή, το σύνολο Gr, y X Y : y F είναι κλειστό υποσύνολο του X Y. Απόδειξη rhs lhs. Έστω ότι η έχει κλειστό γράφημα και δεν είναι άνω ημισυνεχής. Άρα, υπάρχει X και U Y ανοικτό με U ώστε, για κάθε V X ανοικτό, με u V να ισχύει V U. Δηλαδή, σε κάθε ανοικτή περιοχή V του υπάρχει u z V με z U. Δηλαδή, z U. Μπορώ να πάρω μια ακολουθία από ανοικτές μπάλεςv επιλέξω ένα σημείο B, τέτοιων περιοχών του και αντίστοιχα να N z από κάθε τέτοια περιοχή που ικανοποιεί τα παραπάνω και επιπλέον z. Άρα, θα υπάρχει ακολουθίαy με y z και y U για κάθε N. Επειδή ο Y είναι συμπαγής, έπεται ότι υπάρχει υπακολουθία y που k συγκλίνει στο y Y. Επειδή το γράφημα είναι κλειστό και, y, y, k k έπεται ότι y U και επειδή y U για κάθε N, y U που είναι άτοπο. y k δεν συγκλίνει στο lhs rhs. Έστω ότι η είναι άνω ημισυνεχής. Θα δείξουμε ότι έχει κλειστό γράφημα. Δηλαδή, ότι το Gr c είναι ανοικτό ή ισοδύναμα ότι για κάθε, y Gr υπάρχει u v X Y ανοικτό, ώστε: u v Gr =. 33

37 Έστω, y Gr, τότε y. Επειδή το είναι κλειστό, υπάρχουν ανοικτά σύνολα w,w με w, y w και w w = 5. Επειδή η είναι άνω ημισυνεχής, υπάρχει u u X ανοικτο ώστε u w. Δηλαδή, για κάθε z u, z w. Συνεπώς, το u w είναι ανοικτό και για κάθε z u, z w = και συνεπώς: u w Gr = Πρόταση Έστω Χ.ρ., Y,d μ.χ. και άνω ημισυνεχής αντιστοιχία : K Y. Αν η έχει συμπαγείς άρα και κλειστές τιμές και το K είναι συμπαγές υποσύνολο του X, τότε το σύνολο K είναι συμπαγές. Απόδειξη I Έστω U ανοικτό κάλυμμα του K. Έστω K, αφού το είναι συμπαγές, θα υπάρχει πεπερασμένο υποκάλυμμα U U I V U του. Ορίζω, το οποίο είναι ανοικτό. Επειδή η είναι άνω ημισυνεχής, το σύνολο u V είναι ανοικτή περιοχή του.επειδή η οικογένειαv K είναι ανοικτό κάλυμμα του K και το K είναι συμπαγές, υπάρχει πεπερασμένο σύνολο l u ώστε: K V. Άρα, πεπερασμένο υποκάλυμμα του U K I. l l V και η οικογένεια l U K είναι 3. ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Πριν προχωρήσουμε με την παρουσιάση των γνωστότερων θεωρημάτων σταθερού σημείου είναι σκόπιμο να εξηγήσουμε τι εννοούμε με τον όρο σταθερό σημείο. 5 Χρησιμοποιούμε το ότι οι μετρικοί χώροι είναι φυσιολογικοί. Βλ. σελ του Νεγρεπόντη κ.α. 34

38 3.. Ορισμός Έστω Χ.ρ., μ.χ. A X και τελεστής : A X. Ο έχει σταθερό σημείο αν υπάρχει A ώστε. Στην περίπτωση των αντιστοιχιών, ο ορισμός του σταθερού σημείου τροποποιείται ως εξής: 3.. Ορισμός Έστω Χ.ρ., μ.χ., A X και αντιστοιχία : A X. Η έχει σταθερό σημείο αν υπάρχει A ώστε. Για τις εφαρμογές που θα συναντήσουμε αργότερα μας ενδιαφέρουν κυρίως, απεικονίσεις από ένα υποσύνολο ενός χώρου με νόρμα στον εαυτό του. Για αυτόν το λόγο, τα θεωρήματα σταθερού σημείου που θα συζητήσουμε παρακάτω, θα αφορούν σε τέτοιες απεικονίσεις. Γενικά, υπάρχουν δύο μεγάλες κατηγορίες θεωρημάτων σταθερού σημείου. Αυτά που στηρίζονται στην έννοια των συμπαγών συνόλων και αυτά που αφορούν στις απεικονίσεις συστολής cotrcto. 3.3 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΓΙΑ ΣΥΜΠΑΓΗ ΣΥΝΟΛΑ Το πρώτο και πιο γνωστό αποτέλεσμα σε αυτή την κατηγορία είναι το θεώρημα του Brower του Πρόταση Brower Κάθε συνεχής συνάρτηση, από ένα κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του R στον εαυτό του, έχει σταθερό σημείο. Το θεώρημα του Brower επεκτάθηκε προς δύο κατευθύνσεις. Πρώτον, σε αντιστοιχίες στο 3.3. Πρόταση Kkut 6 R. Κάθε άνω ημισυνεχής αντιστοιχία, με μη κενές, κυρτές και κλειστές τιμές, από ένα κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του R στον εαυτό του, έχει σταθερό σημείο. 6 Επειδή η εικόνα της αντιστοιχίας είναι συμπαγές σύνολο αντί για άνω ημισυνεχείς αντιστοιχίες με κλειστές τιμές μπορούμε να θεωρήσουμε αντιστοιχίες με κλειστά γραφήματα. 35

39 Δεύτερον, σε χώρους με νόρμα Πρόταση Schuder Κάθε συνεχής τελεστής, από ένα κυρτό και συμπαγές υποσύνολο ενός χώρου με νόρμα, στον εαυτό του, έχει σταθερό σημείο. Ένας συνηθισμένος δρόμος για την απόδειξη των παραπάνω θεωρημάτων είναι να αποδείξουμε πρώτα το θεώρημα του Brower με την χρήση της θεωρίας «homology groups» και στη συνέχεια με την βοήθεια των ιδιοτήτων των συμπαγών συνόλων να πάρουμε τα άλλα δύο θεωρήματα 7. Εδώ, θα ακολουθήσουμε έναν άλλο δρόμο. Θα αποδείξουμε το ακόλουθο γενικό θεώρημα για αντιστοιχίες, που περιλαμβάνει τα τρία προαναφερθέντα θεωρήματα ως ειδικές περιπτώσεις Πρόταση Glcksberg-F 8 Κάθε άνω ημισυνεχής αντιστοιχία, με μη κενές, κυρτές και κλειστές τιμές, από ένα συμπαγές και κυρτό υποσύνολο ενός χώρου με νόρμα στον εαυτό του, έχει σταθερό σημείο. Το θεώρημα Kkut είναι προφανώς ειδική περίπτωση της παραπάνω πρότασης, καθώς ο R είναι χώρος με νόρμα. Για το θεώρημα Schuder και άρα, και για το θεώρημα Brower, αρκεί να παρατηρήσουμε, ότι αν μια αντιστοιχία είναι μονότιμη, είναι δηλαδή τελεστής, η άνω αντίστροφη εικόνα της, θα ταυτίζεται με την αντίστροφη εικόνα της και άρα, λόγω της πρότασης 3..4, η συνέχεια θα ταυτίζεται με την άνω ημισυνέχεια. Επίσης, τα μονοσύνολα σε έναν χώρο με νόρμα είναι κλειστά και τετριμμένα κυρτά. Προκειμένου να αποδείξουμε την παραπάνω πρόταση, θα χρησιμοποιήσουμε τρία θεωρήματα τα οποία θα αναφέρουμε στην συνέχεια χωρίς απόδειξη. 7 Για αυτή την προσέγγιση βλ. Brow 993 κεφάλαια 3 και 4 και παράρτημα D και Border 003 σελ Για την διατύπωση βλ. Ok 005. Η απόδειξη ακολουθεί την απόδειξη του γενικότερου θεωρήματος Hlper-Bergm που βρίσκεται στον Πολυράκη 00 - σελ αυτό το θεώρημα αντί να υποθέτει ότι η αντιστοιχία απεικονίζει ένα κυρτό και συμπαγές στον εαυτό του, υποθέτει ότι απεικονίζει ένα κυρτό και συμπαγές σε έναν γενικό χώρο με νόρμα και η αντιστοιχία είναι επιπλέον wrd potg. Το θεώρημα Hlper-Bergm γενικεύεται ακόμα περισσότερο βλ. θεώρημα F- Brοwder στη σελ. 78 του Border

40 3.3.5 Πρόταση Έστω X τοπικά κυρτός τοπολογικός γραμμικός χώρος και K, F μη κενά, κλειστά, κυρτά και ξένα υποσύνολα του X με το K συμπαγές. Τότε, υπάρχουν * * X 9 και R ώστε: K X : * και X : * F. Η πρόταση αυτή είναι γνωστή και ως «δεύτερη γεωμετρική μορφή του θεωρήματος Hh Bch» 30. Για την εφαρμογή της παραπάνω πρότασης παρατηρούμε τα ακόλουθα: Πρώτον: Οι χώροι με νόρμα είναι τοπικά κυρτοί. Δεύτερον: Αν : X Y είναι μια αντιστοιχία χωρίς σταθερό σημείο, τότε για κάθε K τα, είναι ξένα μεταξύ τους. Επίσης, αν η έχει μη κενές, κλειστές και κυρτές τιμές, η πρόταση μας επιτρέπει να διαχωρίσουμε το από τα,καθώς το, ως μονοσύνολο σε ένα χώρο με νόρμα, είναι κλειστό, συμπαγές και τετριμένα κυρτό Πρόταση ύπαρξη πεπερασμένων διαμερίσεων της μονάδας Έστω φυσιολογικός χώρος 3 X και U U, U ένα πεπερασμένο κάλυμμα του. Τότε υπάρχουν συνεχείς, μη αρνητικές συναρτήσεις, ώστε:, για κάθε X X : 0 U για και k k k,. Η πρόταση ισχύει επίσης αν το U, U U είναι πεπερασμένο κάλυμμα ενός συμπαγούς υποσυνόλου του φυσιολογικού χώρου X. Για την απόδειξη παραπέμπω στη σελίδα 364 του Νεγρεπόντη κ.α. Στηρίζεται στο λήμμα του Urysoh, το οποίο αποδεικνύεται στη σελίδα 363 του ίδιου βιβλίου. 9 * Ο X είναι ο χώρος των συνεχών γραμμικών συναρτησιακών από το X στο R. 30 Βλ. πρόταση 4.35 στη σελ. 39 του Νεγρεπόντη κ.α. και πρόταση 3.8 στη σελ. 50 του Πολυράκη Ο ορισμός του φυσιολογικού χώρου αναφέρεται στις σελ του Νεγρεπόντη κ.α. Σημειώνεται ότι οι χώροι με νόρμα και γενικότερα οι μετρικοί χώροι είναι φυσιολογικοί βλ. και υποσημείωση 5. 37

41 3.3.7 Πρόταση επίσης από το Έστω X χώρος με νόρμα και * p : K X. Αν η απεικόνιση, y y, p K X μη κενό, συμπαγές και κυρτό. Έστω είναι συνεχής ως απεικόνιση K K στο R υπάρχει K ώστε:, p y, p για κάθε y K. Η απόδειξη μπορεί να βρεθεί στη σελίδα 99 του Πολυράκη 00. Στηρίζεται στο λήμμα του F το οποίο αποδεικνύεται στην σελίδα 96 του Πολυράκη 00 και στο θεώρημα Kster-Kurtowsk-Mzurkewcz το οποίο αποδεικνύεται στη σελίδες 6-7 του Border 003. Τώρα, μπορούμε να προχωρήσουμε με την απόδειξη της πρότασης Απόδειξη της πρότασης αντιστοιχία Έστω Χ χώρος με νόρμα, A X συμπαγές, μη κενό και κυρτό και : A A με μη κενές, κυρτές και κλειστές τιμές. Έστω ότι η δεν έχει σταθερό σημείο, δηλαδή για κάθε Q,. Επομένως, από την πρόταση 3.3.5, υπάρχει συνεχές γραμμικό συναρτησιακό : X R και R ώστε Q και Q y για κάθε y. Παρατηρώ ότι τα σύνολα, και, είναι ανοικτά στο R. Συνεπώς, από τη συνέχεια του Q, τα σύνολα z Q z : και z : Q z είναι επίσης ανοικτά. Επειδή η είναι άνω ημισυνεχής, το σύνολο z : Q z είναι επίσης ανοικτό και υποσύνολο του Α. Άρα, και το u u U z A : Q z z A : Q z είναι ανοικτό ως πεπερασμένη τομή ανοικτών. Επίσης, το σύνολο U είναι μη κενό γιατί το ανήκει σε αυτό. Είναι, λοιπόν, ανοικτή περιοχή του. Συνεπώς, η οικογένεια U είναι ανοικτό κάλυμμα του A. Επειδή το A είναι συμπαγές, θα έχει A πεπερασμένο υποκάλυμμα. Δηλαδή, θα υπάρχουν A, ώστε: A U. Συνεπώς, μπορώ να εφαρμόσω την πρόταση οπότε, για κάθε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα με 0 γιατί X : 0. ώστε: U 3 Η απόδειξη ακολουθεί τον Πολυράκη 00 σελ

42 Από τον ορισμό του U θα έχω: 0 Q y και για Q * κάθε y. Ορίζω: p : K X με p Q. Η απεικόνιση, y y, p Q y είναι συνεχής γιατί, τα και τα είναι συνεχή άρα, μπορώ να εφαρμόσω την πρόταση Συνεπώς, μπορώ Q να βρώ ένα o A ώστε για κάθε y A να ισχύει: p y, p ή o, o o ισοδύναμα: o Q y Q o. Έστω A και y. Τότε θα ισχύει: o, p Q Q y y, p Άρα, για κάθε A και y,, p y, p. Ξέρω, όμως, ότι υπάρχει o A ώστε: p y, p για κάθε y A. o, o o Συνεπώς, για κάθε y θα ισχύει: p y, p, το οποίο είναι άτοπο. o o, o o Το θεώρημα Schuder συναντιέται στην βιβλιογραφία και με άλλες μορφές. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε δύο από αυτές προτάσεις και Πρόταση Κάθε απολύτως συνεχής τελεστής όχι απαραίτητα γραμμικός από ένα κλειστό, φραγμένο και κυρτό υποσύνολο ενός χώρου Bch στον εαυτό του έχει σταθερό σημείο. Για την απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος χρειαζόμαστε το θεώρημα συμπάγειας του Mzur που παρατίθεται χωρίς απόδειξη Πρόταση Θεώρημα Συμπάγειας Mzur Η κλειστότητα της κυρτής θήκης, ενός σχετικά συμπαγούς υποσυνόλου ενός χώρου Bch, είναι συμπαγές σύνολο. 33 Για την απόδειξη δες Ok 005 σελ

43 Απόδειξη της πρότασης Έστω S X, κλειστό, φραγμένο και κυρτό και : X X σύμφωνα με τις υποθέσεις του θεωρήματος. Τότε, το σύνολο S S, είναι σχετικά συμπαγές και άρα, η κλειστότητα της κυρτής θήκης του, δηλαδή το σύνολο T co S, είναι συμπαγές σύνολο από την πρόταση και κυρτό εκ κατασκευής. Επίσης Επειδή το S είναι κυρτό, co S S co S S co S S. T S. Επίσης, S co S S co S T. Τέλος, T T co s co S. Για την τελευταία ισότητα παρατηρήστε τα εξής. Επειδή η είναι συνεχής, για κάθε A S θα ισχύει ότι A A 35. Οπότε A A. Επίσης A A A A A A, συνεπώς A A. Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα παίρνουμε T co S S T. Συνεπώς, ο περιορισμός του στο T ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Schuder και άρα, ο έχει σταθερό σημείο. Παρατήρηση: Από την απόδειξη προκύπτει ότι οι υποθέσεις ότι ο τελεστής είναι συμπαγής και ότι το σύνολο S είναι φραγμένο, μπορούν να αντικατασταθούν από την υπόθεση ότι το σύνολο S είναι σχετικά συμπαγές. Συχνά, μπορεί να είναι δύσκολο να εντοπίσουμε ένα κυρτό και συμπαγές σύνολο που ένας τελεστής απεικονίζει στον εαυτό του. Η πρόταση 3.3., που θα δούμε παρακάτω, είναι πόρισμα της πρότασης και αντικαθιστά τη συμπάγεια από την ακόλουθη ιδιότητα. 34 Σε ότι ακολουθεί A είναι η κλειστότητα του Α και coa είναι η κυρτή θήκη του Α. 35 Βλ. Νεγρεπόντη κ.α. σελ

44 3.3.0 Ορισμός Lery Schuder Boudry Codto-LSBC Έστω X χώρος με νόρμα και τελεστής : X X. Ο τελεστής ικανοποιεί την ιδιότητα LSBC, αν υπάρχει r 0, τέτοιo ώστε r συνεπάγεται για κάθε. τέτοιο ώστε Αν o ικανοποιεί την LSBC τότε υπάρχει r 0 ώστε r για κάθε r. Ένας τρόπος που συναντάμε την LSBC στις εφαρμογές είναι ως μια συνθήκη μεγέθυνσης growth codto. Καθώς το μεγαλώνει το μεγαλώνει λιγότερο, με αποτέλεσμα, κάποια στιγμή να γίνεται μικρότερο από το Πρόταση Έστω X χώρος Bch και απολύτως συνεχής τελεστής ικανοποιεί την ιδιότητα LSBC. Ο έχει σταθερό σημείο. : X X που Απόδειξη Έστω η κλειστή μπάλα X r B r : όπου το r ικανοποιεί την LSBC. Έστω, επίσης, ο περιορισμός / : B X της στο B r. Επειδή το B r r Br είναι φραγμένο και η είναι απολύτως συνεχής, το B είναι σχετικά συμπαγές. Δηλαδή, r υπάρχει K X συμπαγές ώστε: Br K. Ορίζω τελεστή : X Br ως εξής: r r r Ο ρ είναι συνεχής, γιατί η αντίστροφη εικόνα οποιουδήποτε ανοικτού υποσυνόλου του * Br μας δίνει το ίδιο ανοικτό υποσύνολο του B r. Άρα, ο τελεστής είναι συνεχής, ως σύνθεση συνεχών και συμπαγής από την πρόταση.., άρα απολύτως συνεχής. 4