ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
|
|
- Νικόλαος Μεταξάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πίνακας γειτνίασης ενός γραφήµατος ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρούµε ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωµένος µε τις έννοιες των πινάκων, την πρόσθεση πινάκων και τον πολλαπλασιασµό πινάκων. Αν ένα κατευθυνόµενο γράφηµα G έχει κορυφές u 1,u 2,..u k, τότε µπορεί να απεικονιστεί από τον πίνακα γειτνίασης Α(G).Το στοιχείο της γραµµής i και στήλης j του πίνακα είναι 1 αν (u i, u j ) είναι ακµή, ενώ θα είναι µηδέν αν (u i, u j ) δεν είναι ακµή. Εφόσον οι περισσότερες γλώσσες προγραµµατισµού υποστηρίζουν την αποθήκευση και τον χειρισµό πινάκων, o πίνακας γειτνίασης προσφέρει έναν βολικό τρόπο αποθήκευσης της πληροφορίας ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος σε ένα υπολογιστή. Στο σχήµα 1 απεικονίζεται ένα κατευθυνόµενο γράφηµα και ο πίνακας γειτνίασης του. Παρατηρούµε ότι αν αναθέσουµε ξανά τα σύµβολα u 1 ως και u n στο διάγραµµα µε διαφορετικό τρόπο, θα πάρουµε ένα διαφορετικό πίνακα. Έτσι κάθε αρίθµηση των κορυφών δίνει ένα διαφορετικό πίνακα γειτνίασης. U2 U1 U3 U A( G) = Σχήµα 1 Σελίδα 1 από 14
2 Ένα κατευθυνόµενο πολυγράφηµα µε κορυφές u i µπορεί να αντιπροσωπευθεί από ένα πίνακα γειτνίασης του οποίου το (i,j)-στοιχείο του είναι ο αριθµός των φορών που οι ακµές (u i, u j ) εµφανίζονται. Με παρόµοιο τρόπο ορίζουµε και τον πίνακα γειτνίασης για ένα οποιοδήποτε γράφηµα: θεωρούµε το Α(G) ij να είναι 1 αν µεταξύ των κορυφών {u i, u j } υπάρχει ακµή και 0 στην αντίθετη περίπτωση. Αφού θεωρούµε ότι {u i, u j } είναι ακµή τότε και η { u j, u i } είναι ακµή, άρα ο πίνακας Α(G) είναι συµµετρικός. Το γεγονός ότι το γράφηµα δεν έχει βρόγχους σηµαίνει ότι ο Α(G) θα έχει 0 στην κύρια διαγώνιο. Για πολυγραφήµατα, θεωρούµε το Α(G) ij να είναι η πολλαπλότητα της ακµής {i,j}. Ένα γράφηµα και ο πίνακας γειτνίασης του φαίνονται στο σχήµα A( G) = Σχήµα 2 5 Τάξη Πίνακα και Περίπατοι Οι πράξεις των πινάκων µας δίνουν τη δυνατότητα να καθορίσουµε τις φυσικές ιδιότητες των γραφηµάτων. Το µήκος ενός περιπάτου στο παρακάτω θεώρηµα αναφέρεται στον αριθµό των ακµών. Θεώρηµα 7.1 Αν D είναι ένα (κατευθυνόµενο) (πολυ)γράφηµα µε n κορυφές και Α ο πίνακας γειτνίασης, τότε το στοιχείο {i,j} του πίνακα Α κ είναι ο αριθµός των (κατευθυνόµενων) περιπάτων µήκους k από την κορυφή i, στην κορυφή j στο D. Απόδειξη: A i,j είναι ο αριθµός των περιπάτων µήκους 1 από το u i στο u j. Θεωρούµε ότι το S είναι το σύνολο όλων των ακεραίων m, και ισχύει ότι Α m i,j είναι ο αριθµός των (κατευθυνόµενων) περιπάτων µήκους m από το u i, στο u j. Γνωρίζουµε ότι το 1 Σελίδα 2 από 14
3 ανήκει στο S.Υποθέτουµε ότι όλοι οι θετικοί ακέραιοι που είναι µικρότεροι από το k ανήκουν στο S. Τότε Α k = Α k-1 A (Α k n k 1 ) ij = ( A ) h= 1 ih A hj Μπορούµε να χωρίσουµε το σύνολο των (κατευθυνόµενων) περιπάτων µήκους k από την κορυφή u i στην κορυφή u j το πολύ σε n υποσύνολα, το υποσύνολο h περιλαµβάνει όλους τους περιπάτους των οποίων η επόµενη πριν την τελευταία κορυφή είναι η u h. Σύµφωνα µε την αρχή του πολλαπλασιασµού, ο αριθµός των περιπάτων στο υποσύνολο h, είναι ο αριθµός των περιπάτων µήκους κ-1 από την κορυφή u i στην κορυφή u j.το γινόµενο αυτό, υποθέτουµε ότι είναι (Α k-1 ) ih A hj Σύµφωνα µε την αρχή του αθροίσµατος, ο αριθµός των περιπάτων µήκους k από u i, στο u j είναι n k 1 k ( A ) Ahj = ( A ) h= 1 ih και έτσι το k ανήκει στο S. Όµως από την 1η υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής, το S περιλαµβάνει όλους τους θετικούς ακέραιους και το θεώρηµα έχει αποδειχτεί. Ο αριθµός των (κατευθυνόµενων) µονοπατιών µήκους k από την κορυφή i, στην κορυφή j είναι πολύ πιο δύσκολο να υπολογιστεί. Για γραφήµατα, τα στοιχεία της διαγωνίου του πίνακα στην k δύναµη περιέχουν ενδιαφέρουσες πληροφορίες. Για παράδειγµα, Θεώρηµα 7.2 Αν ο Α είναι ο πίνακας γειτνίασης του γραφήµατος, τότε ο βαθµός της κορυφής i είναι (Α 2 ) ii ij Απόδειξη: (Α 2 ) ii = A ij A ji n j= 1 Αφού A ij Α ji είναι 0 εκτός αν {u i, u j } είναι ακµή, και θα είναι 1 αν {u i, u j } είναι ακµή, ο (Α 2 ) ii είναι ο αριθµός των ακµών που περιέχουν την κορυφή i. Σελίδα 3 από 14
4 Συνδεσιµότητα και µεταβατικός εγκλεισµός Θεώρηµα 7.3 Ένα (κατευθυνόµενο) (πολυ)γράφηµα n κορυφών είναι συνδετικό (ισχυρά συνδετικό) αν και µόνο αν κάθε στοιχείο του n i (A ) δεν είναι µηδενικό. i= 1 Απόδειξη: Αφού κάθε ζευγάρι από συνδεδεµένες κορυφές µπορεί να συνδεθεί µε ένα περίπατο µήκους n ή λιγότερου, το θεώρηµα προκύπτει από το θεώρηµα 7.1 Στην πραγµατικότητα δεν χρειάζεται να υπολογίσουµε κάθε τάξη χωριστά και να τις προσθέσουµε. Θεώρηµα 7.4 Ένα πολυγράφηµα n κορυφών είναι συνδετικό (ισχυρά συνδετικό) αν και µόνο αν κάθε στοιχείο του πίνακα (I + A) n δεν είναι µηδενικό. Απόδειξη: Αφού (I + A) n = n n I A j = j n j k j= 0 k= 0 n A k και αφού τα στοιχεία του Α κ είναι όλα µη αρνητικοί αριθµοί, το (i,,j) στοιχείο του (Ι+Α) n θα είναι µη µηδενική αν και µόνο αν το (i,,j) στοιχείο οποιουδήποτε Α k δεν είναι µηδενικό. Το θεώρηµα 7.4 προκύπτει από το θεώρηµα 7.3. Ο πίνακας (I + A) n µας δίνει και άλλες πληροφορίες για ένα γράφηµα ή κατευθυνόµενο γράφηµα. Μπορούµε να ορίσουµε τον µεταβατικό εγκλεισµό ενός γραφήµατος µε τρόπο παρόµοιο µε αυτό για ένα κατευθυνόµενο γράφηµα.( Απλώς θα θεωρήσουµε το σύνολο των ακµών του γραφήµατος σαν µια συµµετρική σχέση) Θεώρηµα 7.5 Ο πίνακας γειτνίασης του µεταβατικού εγκλεισµού ενός πολυγραφήµατος n κορυφών έχει 1 στην θέση i,j, αν και µόνο αν το στοιχείο i,j του πίνακα (Α+Ι) n -I είναι µη µηδενικό. Απόδειξη: Υπάρχει ένας περίπατος από την κορυφή i στην κορυφή j µήκους k αν και µόνο αν η θέση (i,j) του Α k είναι µη µηδενική και ( n k )Αk είναι ο προσθετέος του (Α+Ι) n. Όµως η έκφραση ( 0 n ) Α 0 =I αντιστοιχεί σε περιπάτους µήκους 0 που δεν χρησιµοποιούνται στον µεταβατικό εγκλεισµό. Σε ένα γράφηµα δύο σηµεία συνδέονται στον µεταβατικό εγκλεισµό αν και µόνο αν είναι στην ίδια συνδεδεµένη συνιστώσα. Αυτό µας δίνει ένα θεµελιώδη απλό τρόπο, για να ξεχωρίζουµε τις συνδεδεµένες συνιστώσες ενός γραφήµατος. Οι κορυφές u i στην ίδια συνδεδεµένη συνιστώσα αντιστοιχούν στα µη µηδενικά στοιχεία της γραµµής i του (Α+Ι) n. Η αριθµητική των πινάκων δεν είναι µια βασική ηλεκτρονική λειτουργία. Είναι προφανές ότι πιο πολύπλοκες µέθοδοι που βασίζονται στα Σελίδα 4 από 14
5 επικαλυπτόµενα δέντρα είναι πιο αποτελεσµατικές για µεγάλης κλίµακας υπολογισµούς. Ακόµη και οι συνηθισµένες προσθέσεις απαιτούν περισσότερη προσπάθεια από τις πιο απλές πράξεις των υπολογιστών. Boolean Πράξεις Ένα άλλο είδος προσθέσεων, η Boolean πρόσθεση, που ορίζεται µόνο από το 0 και το 1 και τους κανόνες 1 1 = = 0 1 = = 0 που το σύµβολο που καλείται «ή» είναι ηλεκτρονικά πιο ακριβής από την συνηθισµένη αριθµητική. Εφόσον δουλεύουµε µόνο µε το 0 και το 1, ο συνήθης πολλαπλασιασµός δίνει µόνο 0 και 1 και είναι επίσης ηλεκτρονικά ακριβής. Όλοι οι συνηθισµένοι κανόνες σαν µεταφράζονται σε κανόνες a(b + c) = ab + ac a(b c) = ab ac για πολλαπλασιασµό και πρόσθεση Boolean. Στην Boolean αριθµητική, όµως, δεν υπάρχει η έννοια της αφαίρεσης, έτσι έστω και αν ισχύει ότι στην περίπτωση a + b = a + c b = c, a b = a c δεν συνεπάγεται b = c Επειδή µόνο ο πολλαπλασιασµός και η πρόσθεση χρησιµοποιούνται για να ερµηνεύσουν τον πολλαπλασιασµό πινάκων, µπορούµε να ερµηνεύσουµε τον Boolean πολλαπλασιασµό πινάκων. Χρησιµοποιούµε Α n να δηλώσουµε την n-τάξη ενός πίνακα µε µηδενικά και άσσους στην Boolean αριθµητική. Ο πίνακας συνδεσιµότητας ενός κατευθυνόµενου ή µη γραφήµατος έχει 1 στην θέση (i,j) αν η κορυφή i και η κορυφή j είναι (ισχυρά) συνδεδεµένες. Στις εκφράσεις για την τάξη του πίνακα και τον πολλαπλασιασµό κατά Boolean τα θεωρήµατα 7.3 µέχρι 7.5 µπορούν να διατυπωθούν ως εξής Θεώρηµα 7.6 Ο πίνακας συνδεσιµότητας ενός κατευθυνόµενου πολυγραφήµατος είναι ο (Ι+Α) n και ο µεταβατικός εγκλεισµός έχει πίνακα γειτνίασης τον Α(Ι+Α) n-1. Απόδειξη: Κάθε Boolean δύναµη πίνακα έχει 1 σε κάθε θέση που οι συνηθισµένες δυνάµεις είναι µη µηδενικές. Σελίδα 5 από 14
6 Το Θεώρηµα πίνακα-δέντρου Πιο εξειδικευµένες πληροφορίες για ένα γράφηµα µπορούν να αποκτηθούν από άλλες πράξεις ενός πίνακα. Το θεώρηµα πίνακα-δέντρου µας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουµε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων ενός γραφήµατος G από τον πίνακα γειτνίασης. Θεωρούµε ότι ο Β(G) είναι ο πίνακας του οποίου το (i, j) στοιχείο είναι 0 αν i j και το (i,i) στοιχείο του είναι ο βαθµός της κορυφής u i στο G. Ο συντελεστής του (i, j) στοιχείου του τετραγωνικού πίνακα M, όπου Μ= Β(G) - Α(G) είναι (-1) i+j φορές την ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από την διαγραφή της γραµµής i και της στήλης j του Μ. Θεώρηµα 7.7 Αν το G είναι ένα συνδετικό γράφηµα, τότε όλοι οι συντελεστές του πίνακα Μ = B(G) A(G) ισούνται µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων του G. Το θεώρηµα 7.7 µπορεί να αποδειχτεί σαν ένα εύκολο πόρισµα του θεωρήµατος 7.8. Για ένα κατευθυνόµενο γράφηµα D, θεωρούµε ότι ο C(D) είναι ο πίνακας του οποίου το (i, i) στοιχείο είναι ο εξωτερικός βαθµός της κορυφής i και το (i,j) στοιχείο είναι 0 αν i j. Λέµε ότι ένα δέντρο είναι κατευθυνόµενο στην κορυφή i αν οι ακµές του είναι κατευθυνόµενες µε τέτοιο τρόπο που υπάρχει µονοπάτι από κάθε κορυφή στην κορυφή i. Θεώρηµα 7.8 Ο συντελεστής (i,i) του πίνακα Μ = Β(D) A(D) είναι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή i στο συνδετικό κατευθυνόµενο γράφηµα D. Απόδειξη: Θα αποδείξουµε το θεώρηµα µε επαγωγή στον αριθµό των ακµών του D. Θεωρούµε ότι το S είναι το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων n έτσι ώστε, αν ο D έχει n ακµές, τότε το θεώρηµα ισχύει για τον D. Αν ο D έχει µία ακµή, έστω (1, 2), τότε Β(D) = A(D) = M = Β(D) A(D) = Ο συντελεστής (1, 1) του Μ είναι 0 και ο συντελεστής (2, 2) του Μ είναι 1. Αυτοί είναι οι αριθµοί των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται αντιστοίχως στην κορυφή 1 και στην κορυφή 2. Όµως το 1 ανήκει στο S. Τώρα υποθέτουµε ότι όλοι οι ακέραιοι που είναι µικρότεροι από το n ανήκουν στο S και ότι το D είναι ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µε n ακµές και m κορυφές. Χωρίζουµε την απόδειξη σε δύο υποθέσεις. Η υπόθεση 1 είναι η υπόθεση κατά την οποία υπάρχει µία ακµή (1, i) από Σελίδα 6 από 14
7 την κορυφή 1 σε κάποια κορυφή i, έτσι ώστε ο εξωτερικός βαθµός της od(1)>0. Εφόσον η ακµή δεν µπορεί να βρίσκεται σε κανένα επικαλύπτον δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφής 1, ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων είναι ο ίδιος για το G και για το γράφηµα G του οποίου οι ακµές είναι οι ακµές του G εκτός από την (1,i). Ο πίνακας M = Β(G ) A(G ) θα είναι διαφορετικός από τον M µόνο στην πρώτη γραµµή (και µόνο στην στήλη 1 και στην στήλη i). Έτσι οι Μ και Μ έχουν τον ίδιο συντελεστή(1,1) τον οποίο, αφού το G έχει n-1 ακµές και το n-1 ανήκει στο S, είναι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων του G που κατευθύνονται στη κορυφή 1 στο G. Από την παραπάνω αναφορά, αυτός είναι επίσης ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων του G που κατευθύνονται στη κορυφής 1. Η υπόθεση 2 είναι η υπόθεση κατά την οποία ο εξωτερικός βαθµός της κορυφής 1 είναι 0. Αυτή η υπόθεση θα αναλυθεί λεπτοµερέστερα σε τρία βήµατα για να ξεκαθαριστεί. Βήµα 1:Έστω ότι για κάθε κορυφή i τέτοια ώστε η (i,1) να είναι ακµή της, η κορυφή i έχει εξωτερικό βαθµό 1. Έστω G το γράφηµα που προκύπτει από µια τέτοια κορυφή. Έστω κορυφή j, διαγράφουµε την ακµή (j, 1), αντικαθιστούµε κάθε ακµή (i,1) µε την ακµή (i,j) και διαγράφουµε την κορυφή 1. Πιο συγκεκριµένα, αν εφαρµόσουµε αυτή την κατασκευή σε ένα επικαλύπτον δέντρο που κατευθύνεται στη κορυφή 1, θα πάρουµε ένα επικαλύπτον δέντρο του G που κατευθύνεται στην κορυφή j. Αν αντιστρέψουµε την διαδικασία, δηλαδή αν ξεκινήσουµε από ένα επικαλύπτον δέντρο του G που κατευθύνεται στην κορυφή j, θα πάρουµε ένα επικαλύπτον δέντρο του G που κατευθύνεται στη κορυφή 1. Αυτές οι αντιστοιχίες είναι 1-1, έτσι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων του G που κατευθύνονται στην κορυφή 1 είναι ίσος µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων του G που κατευθύνονται στην κορυφή j. Ο πίνακας Μ του G προέρχεται από τον πίνακα Μ του G αν προσθέσουµε την στήλη i στην στήλη j και µετά διαγράψουµε την γραµµή και στήλη 1. Ο πίνακας που σχηµατίζεται όταν διαγραφούν οι γραµµές και στήλες 1 και j του πίνακα Μ, είναι ο ίδιος µε τον πίνακα που σχηµατίζεται αν διαγραφούν οι γραµµές και στήλες j του πίνακα Μ. Ονοµάζουµε τον πίνακα αυτό που προκύπτει Μ*. Επιστρέφουµε στον πίνακα Μ και παρατηρούµε ότι η γραµµή j έχει -1 στην θέση 1,έχει 1 στην θέση j και 0 οπουδήποτε αλλού. Έτσι ο συντελεστής (1,1) του Μ είναι η ορίζουσα του Μ*. Όµως η ορίζουσα του Μ* είναι ο συντελεστής (j,j) του Μ. Από την επαγωγική υπόθεση, αυτός είναι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή j στο G. Έτσι ο αριθµός των επικαλυπτόµενων δέντρων του G που κατευθύνονται στην κορυφή 1 είναι ο συντελεστής (1,1) του Μ. Τα βήµατα 2 και 3 αναλύουν την κατάσταση στην οποία η (i,1) είναι ακµή και η κορυφή i έχει εξωτερικό βαθµό µεγαλύτερο του 1. Πρώτα υπολογίζουµε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων που χρησιµοποιούν την ακµή (i,1) στην κατάσταση αυτή (αυτό είναι το βήµα 2). Ακολούθως υπολογίζουµε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων που δεν χρησιµοποιούν την ακµή (i,1) (αυτό είναι το βήµα 3). Τέλος προσθέτουµε τους 2 αυτούς αριθµούς Υποθέτουµε ότι η (i,1) είναι ακµή και η κορυφή i έχει εξωτερικό βαθµό µεγαλύτερο του 1. Αν ένα επικαλύπτον δέντρο χρησιµοποιεί την ακµή (i,1), τότε δεν µπορεί να χρησιµοποιεί και την ακµή (i,j) γιατί τότε το κατευθυνόµενο µονοπάτι από την κορυφή j στην κορυφή 1 θα µας έδινε ένα µη κατευθυνόµενο κύκλο στο επικαλύπτον δέντρο µας. Έτσι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που χρησιµοποιούν την ακµή (i,1) είναι ίσος µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων του γραφήµατος G που προέρχεται διαγράφοντας όλες τις ακµές (i, j) µε j 1 του G. Σελίδα 7 από 14
8 Θέτουµε Μ =Β(G )-A(G ). Από την επαγωγική µας υπόθεση γνωρίζουµε ότι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων είναι ο συντελεστής του στοιχείου (1,1) του πίνακα Μ. Σε αυτήν την περίπτωση ο Μ διαφέρει από τον Μ µόνο στην γραµµή i.στην γραµµή i και στήλη 1 έχει -1 και στην γραµµή i και στήλη i έχει α+1. Όλα τα άλλα στοιχεία της γραµµής i είναι 0. Τώρα υπολογίζουµε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων που δεν χρησιµοποιούν την ακµή (i,1). Ο αριθµός αυτός είναι ίσος µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή 1 του γραφήµατος G** που προκύπτει διαγράφοντας την ακµή (i,1) από τον G. Αφού το G** έχει n-1 ακµές, η επαγωγική µας υπόθεση µας λεει ότι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων είναι ο συντελεστής του στοιχείου (1,1) του πίνακα Μ**=B(G**)-A(G**). Έστω Ν, Ν n και Ν** οι πίνακες που προκύπτουν από τους αντίστοιχους Μ, Μ n και Μ** αν διαγράψουµε την 1 η γραµµή και στήλη. Αν εξαιρέσουµε την 1 η γραµµή οι πίνακες αυτοί είναι πανοµοιότυποι και η γραµµή i του Ν είναι το άθροισµα της γραµµής i του Ν και της γραµµής i του Ν**. Έτσι από το θεώρηµα της πρόσθεσης των οριζουσών, η ορίζουσα του Ν είναι το άθροισµα των οριζουσών του Ν και του Ν**. Το άθροισµα αντιστοιχεί και στον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή 1. Αυτό αποδεικνύει ότι το n ανήκει στο S και έτσι, από την πρώτη υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής αποδεικνύεται το θεώρηµα µας. Ο αριθµός των περιπάτων Euler σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα Με το να γνωρίζουµε το πόσα επικαλύπτοντα δέντρα έχει ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µπορούµε να βρούµε τον αριθµό των περιπάτων Euler που έχει. Αν µας δίδεται ένα επικαλύπτον δέντρο κατευθυνόµενο στην κορυφή i σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα Euler που δεν έχει κορυφές περιττού βαθµού, µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα κατευθυνόµενο περίπατο Euler ως εξής :Ξεκινώντας από την κορυφή i, ακολουθούµε οποιαδήποτε ακµή (i,j 1 ) προς τα έξω. Από την κορυφή j 1 διαλέγουµε οποιαδήποτε ακµή, έστω την (j 1, j 2 ) που να µην ανήκει στο επικαλύπτον δέντρο. Επαναλαµβάνουµε την διαδικασία αυτή κάθε φορά που καταλήγουµε σε κορυφή j κ. Ακολουθούµε την ακµή (j κ, j κ+1 ) που οδηγεί προς τα έξω της κορυφής j κ+1, αλλά όχι προς το επικαλύπτον δέντρο αν υπάρχει τέτοια ακµή. Αλλιώς ακολουθούµε την µοναδική ακµή του επικαλύπτοντος δέντρου που φεύγει από την κορυφή κ. Με αυτό τον τρόπο κάθε ακµή µε κατεύθυνση προς τα έξω από κάθε κορυφή θα χρησιµοποιηθεί, και αφού κάθε κορυφή (εκτός ίσως από την κορυφή i και την τελική κορυφή) θα βρίσκεται σε ζυγό αριθµό ακµών στον περίπατο, η κορυφή i θα είναι η τελευταία κορυφή που θα επιλεχθεί. Στο θεώρηµα 7.9 το od(u 1 ) είναι ο εξωτερικός βαθµός της κορυφής i. Θεώρηµα 7.9 Ο αριθµός κατευθυνόµενων περιπάτων Euler από µια κορυφή i σε µια κορυφή j σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα n κορυφών D, του οποίου κάθε κορυφή έχει τον ίδιο εσωτερικό και εξωτερικό βαθµό που είναι ίσος µε το γινόµενο του συντελεστή του στοιχείου (i,i) B(D) A(D) µε το n ( od u j ) od( u ) ( ) 1! i j= 1 Σελίδα 8 από 14
9 Απόδειξη: Κάθε περίπατος Euler από την κορυφή u i στην κορυφή u i παράγει ένα δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφή u i ως ακολούθως : Για κάθε κορυφή u j που δεν είναι ίση µε την u i,υπάρχει µια τελευταία ακµή (u j, u κ ) στον περίπατο που εµφανίζεται η j. Το σύνολο των κορυφών V µε αυτές τις τελευταίες ακµές, σχηµατίζει ένα δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφή u i. Ονοµάζουµε το δέντρο αυτό, το δέντρο της τελευταίας διέλευσης του περιπάτου(tree of last passage of the walk). Ο αριθµός των περιπάτων που έχουν ένα δεδοµένο δέντρο τελευταίας διέλευσης µπορεί να υπολογιστεί µε το να παρατηρήσουµε τον τρόπο που κάθε τέτοιος περίπατος µπορεί να κατασκευαστεί µε την µέθοδο που περιγράψαµε πριν την διατύπωση του θεωρήµατος. Ξεκινάµε διαλέγοντας την κορυφή u i. Υπάρχουν od(u i ) τρόποι για να επιλέξουµε µια ακµή που να φεύγει από την u i. Την πρώτη φορά που οποιαδήποτε κορυφή u j για j i χρησιµοποιείται, θα υπάρχουν od(u j ) ακµές που να φεύγουν από την κορυφή u j για να επιλέξουµε. Την κ φορά που θα χρησιµοποιήσουµε είτε την u i είτε την u j (για j i), υπάρχουν αντίστοιχα od(u i )-κ+1 ή od(u j )-κ ακµές που φεύγουν από την κορυφή που έχουµε επιλέξει. Πολλαπλασιάζοντας, ο αριθµός των περιπάτων αν µας δίνεται το δέντρο τελευταίας διέλευσης είναι Ξανά πολλαπλασιάζοντας, αποδεικνύεται το θεώρηµα. υστυχώς, δεν υπάρχει το αντίστοιχο θεώρηµα(7.9) για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα Euler. Στις πιο κάτω ασκήσεις εντοπίζονται οι λόγοι που δεν µπορεί να εφαρµοστεί σε µη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Σελίδα 9 από 14
10 Ασκήσεις 1. Να σχεδιαστούν τα γραφήµατα µε τους πιο κάτω πίνακες γειτνίασης Να γράψετε τον πίνακα γειτνίασης του γραφήµατος Σχήµα Να γράψετε τον πίνακα γειτνίασης για το πολυγράφηµα Να βρεθεί ο αριθµός των περιπάτων µήκους 2 και µήκους 3 µεταξύ των κορυφών 1 και 5 του γραφήµατος Να γίνει το ίδιο και για τα µονοπάτια. Τι γίνεται για µήκος 4? 5. Να βρεθεί ο αριθµός των περιπάτων µήκους 4 µεταξύ των κορυφών 1 και 4 στο πολυγράφηµα Να βρεθεί ο πίνακας γειτνίασης του κατευθυνόµενου γραφήµατος Να βρεθεί ο αριθµός των κατευθυνόµενων περιπάτων µήκους 3 και 4 από την κορυφή 1 στην κορυφή 3 στο κατευθυνόµενο γράφηµα 4.41 Σελίδα 10 από 14
11 Σχήµα Σχήµα (α)υπό ποιες συνθήκες το (i,i) στοιχείο του πίνακα A( G) 3 θα είναι µη µηδενικό? (π.χ τι ιδιότητα πρέπει να έχει το γράφηµα G στην περίπτωση αυτή?) (β)πως σχετίζεται ο αριθµός των τριγώνων του γραφήµατος G µε το ίχνος( άθροισµα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου) του πίνακα A( G ) 3? 9. Να δείξετε ότι ένα τουρνουά D είναι µεταβατικό τότε και µόνο τότε, όταν το ίχνος(δες άσκηση 8) του A( G ) 3 είναι µηδέν. 10. (α)να υπολογιστεί ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή 3 στο κατευθυνόµενο γράφηµα 4.41 (β) Να υπολογιστεί ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται σε οποιαδήποτε άλλη κορυφή στο κατευθυνόµενο γράφηµα (α)να υπολογιστεί ο αριθµός των περιπάτων Euler που ξεκινούν και τελειώνουν στην κορυφή 1 στο γράφηµα 4.42 (β)να υπολογιστεί ο αριθµός των περιπάτων Euler που ξεκινούν και τελειώνουν στην κορυφή 3 στο γράφηµα 4.42 Σελίδα 11 από 14
12 12. Να εξηγήσετε γιατί χρειαζόµαστε το πολύ log 2( n ) (ή το αµέσως επόµενο µεγαλύτερο ακέραιο) πολλαπλασιασµούς πινάκων για να εφαρµόσουµε το θεώρηµα 4.40 και Τι θα γίνει στο θεώρηµα 4.42? Σχήµα 4.42 *13. Εξηγήστε γιατί κάθε επικαλύπτον δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφή 3 στο σχήµα 4.42 πρέπει να περιέχει την ακµή(6,3). *14. Να εξηγήσετε γιατί σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα Euler υπάρχει τουλάχιστον ένα επικαλύπτον δέντρο που να κατευθύνεται σε κάθε κορυφή. *15. ίδεται ένα γράφηµα G, το διπλάσιο του DG είναι ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µε ακµές (i,j) και (j,i) για κάθε ακµή {i,j} του G. (α)να δείξετε ότι υπάρχει 1-1 αντιστοιχία µεταξύ των επικαλυπτόντων δέντρων του G και των επικαλυπτόντων δέντρων του DG που κατευθύνονται στην κορυφή i. (β)να δείξετε ότι οι διαγώνιοι συντελεστές του B(G)-A(G)(οι συντελεστές (i,i) δηλαδή) είναι ίσοι µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων του G. (γ)να δείξετε ότι οι γραµµές και οι στήλες του B(G)-A(G) όταν προστεθούν µας δίνουν µηδέν. Είναι ένα θεώρηµα της γραµµικής άλγεβρας όπου οι συντελεστές ενός πίνακα µε µηδενικό άθροισµα στηλών και γραµµών είναι ίσοι. Έτσι αποδεικνύεται το θεώρηµα 7.7 *16. Ένας περίπατος Euler που ξεκινά και τελειώνει στην κορυφή i µας δίνει 2 κατευθύνσεις που µετατρέπουν το G σε κατευθυνόµενο γράφηµα. Υπάρχει δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφή i και συσχετίζεται µε ένα τέτοιο περίπατο. Επίσης, κάθε επικαλύπτον δέντρο του G(σαν γράφηµα, όχι κατευθυνόµενο) µπορεί να προσανατολιστεί µε ακριβώς ένα τρόπο έτσι ώστε να γίνει επικαλύπτον δέντρο που να κατευθύνεται στην κορυφή i. Γιατί αυτά τα γεγονότα δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν όπως στο θεώρηµα 7.9 για να υπολογίσουµε τον αριθµό των περιπάτων Euler στο G? Σελίδα 12 από 14
13 17. Να βρεθεί ο πίνακας γειτνίασης του γραφήµατος Να βρεθούν µε χρήση Boolean αριθµητικής τα τετράγωνα, η 4 η και 8 η δύναµη των πινάκων της άσκησης Το Boolean άθροισµα 2 διανυσµάτων γραµµής είναι το διάνυσµα του οποίου τα συστατικά του είναι τα Boolean αθροίσµατα των συστατικών των 2 διανυσµάτων. Χρησιµοποιούµε το Ai για να συµβολίσουµε την γραµµή i του πίνακα Α. Ο ακολούθως αλγόριθµος, που ονοµάζεται αλγόριθµος του Warshall, είναι πολύ αποτελεσµατικός στο να υπολογίζει τον µεταβατικό εγκλεισµό επειδή η πράξη υλοποιείται εύκολα. Να δείξετε ότι ο αλγόριθµος αυτός υπολογίζει τον µεταβατικό εγκλεισµό ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος µε πίνακα πρόσπτωσης Α διαστάσεων n X n, και έπειτα αποθηκεύει τον πίνακα του Μεταβατικού εγκλεισµού στον πίνακα Α. For j=1 to n For i=1 to n If A i j = 1, then let Ai = Ai Aj 20. Στα θεωρήµατα αυτού του κεφαλαίου για τις n-οστές δυνάµεις των πινάκων, το n µπορεί συχνά να αντικατασταθεί από το n-1, αλλά σε κάποιες περιπτώσεις δεν γίνεται. Εξηγήστε το.(υπόδειξη: Υπάρχει διαφορά ανάµεσα στα γραφήµατα και τα κατευθυνόµενα γραφήµατα.) Σελίδα 13 από 14
14 Προτεινόµενη Βιβλιογραφία Behzad, M., Chartrand, G. and Lesniak-Foster, L.: Graphs and Digraphs, Wadsworth Biggs, N.L, Lloyd, E.K., and Wilson, R.J: Graph Theory , Oxford University Press 1976, Clarendon Press Harary, F.: Graph Theory, Addison-Wesley Harary, F., Norman, R.Z., and Cartwright, D: Structural Models: An Introduction to the Theory of Directed Graphs, Wiley Korfhage, R.: Discrete Computational Structures, Academic Press Liu, C.L.: Introduction to Combinatorial Mathematics, McGraw-Hill 1968 Nijenhuis, A and Wilf, H.S.: Combinatorial Algorithms, Academic Press Reingold, E.M., Nievergelt, Deo, N.: Combinatorial Algorithms, Prentice Hall Roberts, F.S.: Discrete Mathematical Models, Prentice Hall Tucker, Alan: Applied Combinatorics, Wiley Tutte, W.T.: Chromials in studies in Graph Theory II. MAA Studies in Mathematics, Volume 12, Mathematical Association of America Whitney, Hassler and Tutte, W.T.: Kempe Chains and the Four Color Problem in Studies in Graph Theory II, MAA Studies in Mathematics, Volume 12, G.S. Rota, e.d. Mathematical Association of America Σελίδα 14 από 14
ΓραφήµατακαιΠίνακες. Μεταπτυχιακό Μάθηµα «ιακριτά Μαθηµατικά» ιδάσκων Χ. Ζαγούρας. Ροδοσθένους Χρίστος A.M 257 Ζορµπά Αλεξάνδρα A.
ΓραφήµατακαιΠίνακες Μεταπτυχιακό Μάθηµα «ιακριτά Μαθηµατικά» ιδάσκων Χ. Ζαγούρας Ροδοσθένους Χρίστος A.M 257 Ζορµπά Αλεξάνδρα A.M 216 Περιεχόµενα Πίνακες γειτνίασης Τάξη πίνακα και Περίπατοι Συνδεσιµότητα
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης
ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2 Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 2.
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότερα(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς
Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) (α) Επιλέγουµε αυθαίρετα φυσικούς αριθµούς από το σύνολο {,,3,, 3, } Να δείξετε ότι µεταξύ των αριθµών που έχουµε επιλέξει υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι όπου ο µεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017
Διαβάστε περισσότερα... a b c d. b d a c
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α) Σε ένα διάστηµα
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)
Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)
Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραq={(1+2)/2}=1 A(1,2)= MERGE( 4, 6 ) = 4 6 q=[(3+4)/2]=3 A(1,4)= MERGE( 4 6, 5 8 ) = q=[(5+6)/2]=5 A(5,6)= MERGE( 2, 9 ) = 2 9
R 0 0 Ερώτηση 1 Να εκτελεστούν όλα τα βήµατα του παρακάτω αλγορίθµου στον µονοδιάστατο πίνακα: "!$ Στην κάθε κλήση της procedure εισάγεται ο %&') Ο συµϐολισµός υπονοεί τον υποπίνακα από την ϑέση % έως
Διαβάστε περισσότεραjτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου, Θ Λιανέας η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α)
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων
ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΓράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή
Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.
Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραm 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις
Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς έντρα 1 / 27 έντρα έντρο είναι απλό συνδεδεµένο µη
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΓ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης
- Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ή ΜΗΤΡΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ή ΜΗΤΡΩΝ Η άλγεβρα πινάκων μας επιτρέπει: Να γράψουμε με περιεκτικό τρόπο ένα μεγάλο σύστημα γραμμικών εξισώσεων Να ελέγξουμε την ύπαρξη λύσης σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με τη χρησιμοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΑδιάσπαστοι, p-κυκλικοί, συνεπώς διατεταγµένοι πίνακες και γραφήµατα
Αδιάσπαστοι, p-κυκλικοί, συνεπώς διατεταγµένοι πίνακες και γραφήµατα Νικόλαος Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 19 εκεµβρίου 2018 Νικόλαος Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές
Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών
Αλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 3 Απριλίου 2006 Μέθοδος Συνεχών Κλασµάτων. Θεωρητικό Υπόβαθρο Συνεχών Κλασµάτων Περίληψη Στο κοµµάτι αυτό ϑα περιγράψουµε µία
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9 Απριλίου 2009 1 / 0 Παραδείγµατα γράφων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραQR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότερα3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΌνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291
ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)
Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός προγραμματισμός για δέντρα
ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Όλα τα γραφήματα είναι μη-κατευθυνόμενα, αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο. ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις».
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
Διαβάστε περισσότεραMathematics and its Applications, 5th
Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1
Διαβάστε περισσότερα2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3
Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα