ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΜΕΣΩ ΠΟΛΥΕΔΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ LYAPUNOV

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΜΕΣΩ ΠΟΛΥΕΔΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ LYAPUNOV ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ του Νικόλαου Αθανασόπουλου ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΥΧΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ: 251 ΙΟΥΛΙΟΣ 2010

2 Η εκπόνηση της διατριβής χρηματοδοτήθηκε εν μέρει από το Ίδρυμα Κρατικών Υποτροφιών στα πλαίσια των μεταπτυχιακών υποτροφιών εσωτερικού, στο γνωστικό αντικείμενο Ρομποτική και Αυτόματος Έλεγχος, Οκτώβριος 2006-Απρίλιος ii

3 Σύνοψη Το αντικείμενο της παρούσας διατριβής αφορά την ανάλυση και τον έλεγχο δυναμικών συστημάτων με περιορισμούς στο διάνυσμα της εισόδου ή/ και στις μεταβλητές κατάστασης. Τα θεωρητικά εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων προέρχονται από τη θεωρία ευστάθειας Lyapunov, την αρχή σύγκρισης συστημάτων και τη θεωρία συνόλων, και οδήγησαν στην εδραίωση συνθηκών ευστάθειας και την ανάπτυξη συστηματικών μεθόδων εύρεσης λύσης στο πρόβλημα ελέγχου συγκεκριμένων κατηγοριών δυναμικών συστημάτων με περιορισμούς. Πιο συγκεκριμένα, για την κατηγορία των γραμμικών συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου, προτάθηκε μια νέα μέθοδος επίλυσης του προβλήματος ευσταθειοποίησης συνόλου αρχικών συνθηκών και του υπολογισμού του μέγιστου θετικά αμετάβλητου ή αμετάβλητου με έλεγχο συνόλου παρουσία περιορισμών στις εισόδους ή/και στις καταστάσεις. Τα αποτελέσματα επεκτάθηκαν και στην κατηγορία των γραμμικών συστημάτων με πολυτοπικη αβεβαιότητα. Επίσης, μελετήθηκε η κατηγορία των αυτοανάδρομων μοντέλων κινούμενου μέσου όρου (ARMA models). Αρχικά εδραιώθηκαν συνθήκες που εγγυώνται ευστάθεια για ένα συγκεκριμένο σύνολο αρχικών συνθηκών παρουσία περιορισμών. Τα αποτελέσματα αυτά εφαρμόστηκαν στην κατηγορία των δικτυωμένων συστημάτων ελέγχου (NCS), όπου υπολογίστηκε ένας κοινός γραμμικός νόμος ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης για όλο το εύρος της καθυστέρησης της εισόδου. Τέλος, μελετήθηκε η κατηγορία των διγραμμικών συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Αρχικά διατυπώθηκαν ικανές συνθήκες ύπαρξης πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov για αυτήν την κατηγορία συστημάτων. Το πρόβλημα που μελετήθηκε είναι η ευσταθειοποίηση μιας συγκεκριμένης περιοχής του χώρου κατάστασης παρουσία περιορισμών στις εισόδους και τις καταστάσεις και προτάθηκε μια υποβέλτιστη λύση που οδηγεί στον υπολογισμό γραμμικού νόμου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Όλα τα αποτελέσματα προκύπτουν από την επιλογή πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov οι οποίες οδηγούν στο χαρακτηρισμό πολυεδρικών εκτιμήσεων της περιοχής ελκτικότητας και θετικά αμετάβλητων συνόλων. Τα κυριότερα οφέλη της επιλογής τέτοιων συναρτήσεων είναι η μη συντηρητική

4 εκτίμησης της περιοχή ευστάθειας και η εδράιωση συνθηκών που οδηγούν σε συστηματικές μεθόδους επίλυσης των προβλημάτων ανάλυσης και ελέγχου, η λύση των οποίων προκύπτει από τη λύση γραμμικών προβλημάτων βελτιστοποίησης.

5 στους γονείς μου

6 Ευχαριστίες Ευχαριστώ τον επιβλέποντα ακαδημαϊκό δάσκαλο, κ. Γιώργο Μπιτσώρη, έναν από τους πιο ενδιαφέροντες ανθρώπους που έχω γνωρίσει ποτέ, που μου έδειξε τη σημασία του να χαρακτηρίζεις με ιδιότητες τον χώρο κατάστασης. Η βοήθεια που μου παρείχε στη διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής ήταν απλόχερη και είναι ανεκτίμητη, γιατί κατά τη γνώμη μου αποτελούταν από συστατικά που οδηγούσαν στη λύση των προβλημάτων που αντιμετώπιζα: καθοδήγηση χωρίς περιορισμό στην ερευνητική ελευθερία, συμβουλές, μερικές φορές μάθημα, και από κοινού έρευνα. Επίσης, θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την φιλική σχέση που αναπτύξαμε. Θέλω να ευχαριστήσω τα άλλα δύο μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής, τον κ. Δημοσθένη Καζάκο και Νικόλαο Κούσουλα, για τις συμβουλές και τη βοήθεια που μου παρείχαν. Το ίδιο ισχύει για όλους τους καθηγητές του τομέα Συστήματων και Αυτομάτου Ελέγχου, ονομαστικά τους κ. Αντώνιο Τζε και Τριαντάφυλλο Ποιμενίδη που ήταν και μέλη της επταμελούς εξεταστικης επιτροπής, και τον κ. Σταμάτη Μάνεση. Νιώθω ότι οφείλω και ένα ευχαριστώ στα υπόλοιπα δύο μέλη της εξεταστικης επιτροπής, τους κ. Ιωάννη Τσινιά και κ. Νικόλαο Μαράτο. Όσον αφορά την οικονομική υποστήριξη, θα ήθελα να ευχαριστήσω το ίδρυμα κρατικών υποτροφιών που χρηματοδότησε την ερευνητικό μου έργο από το Νοέμβριο του 2006 έως τον Απρίλιο του Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω το Πανεπιστήμιο Πατρών για τη χρηματοδότηση και τον καθηγητή Eric Kerrigan που με δέχτηκε στο Imperial College για τρεις μήνες, Μάρτιος 2008-Ιούνιος 2008, στην ομάδα Control and Power Group. Ένα ακόμα ευχαριστώ οφείλω στους υπόλοιπους μεταπτυχιακούς φοιτητές του τομέα Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου για τη φιλία και τη στήριξή τους. Έτσι λοιπόν, θέλω να ευχαριστήσω τους Βάσω Ρέππα, Νανσύ Πανουσοπούλου, Γιάννη Κωβαίο (που πραγματικά τα ξέρει όλα!), θέμη Κολυβα, Μαριαλένα Βάγια, Γιάννη Στεργιόπουλο, Ελένη Κελασίδη, Λεωνίδα Δρίτσα. Ευχαριστώ για τη συμπαράσταση τους πολύ πολύ πολύ καλούς φίλους Νίκο Ευθυμιόπουλο, Σάκη Χρηστακίδη, Δημήτρη Δεχουνιώτη, Αντρέα Λαμπρόπουλο και Ράνια Τσιούλου. Τέλος, ευχαριστώ την Αναστασία Ζησιμάτου για όλα και για την υπομονή της η οποία τώρα μου φαντάζει τόσο δύσκολη υπόθεση όσο να γράψεις ένα διδακτορικό.

7 Η διατριβή αφιερώνεται στους γονείς μου Κώστα και Μαρία και στην αδερφή μου Ελίνα, καθώς πιστεύω ειλικρινά ότι οδήγησαν, ως ένα βαθμό, στην εκπόνησή της.

8 ΓΛΩΣΣΑΡΙΟ Συμβολισμοί Ο n-διάστατος χώρος των πραγματικών αριθμών ορίζεται ως R n, ενώ R n m είναι ο χώρος των πραγματικών πινάκων διάστασης n m. Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι N. x i είναι η νόρμα ενός διανύσματος x R n, i = 1,2,..,. x υποδηλώνει την άπειρη νόρμα (infinity norm), δηλαδή x = max 1 i n { x i }. Για ένα σύνολο S R n, ints είναι το εσωτερικό του συνόλου, ενώ bd(s) = S \ ints είναι το όριο του συνόλου. Η διαφορά δύο συνόλων S A, S B ορίζεται ως S A \ S B = {x S A,x / S B }. Η ένωση δύο συνόλων ορίζεται ως S A S B = {x S A or x S B }. Η κυρτή θήκη q σημείων συμβολίζεται με conv{v 1,V 2,...,V q }. Η κυρτή ένωση δυο πολυεδρικών συνόλων S A,S B είναι η κυρτή θήκη των κορυφών των δύο συνόλων και συμβολίζεται με S A K S B. Η κυρτή ένωση πολυεδρικού συνόλου S A με σύνολο που αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό στοιχείων S B προκύπτει από την κυρτή θήκη των κορυφών του πολυεδρικού συνόλου και των στοιχείων του δεύτερου συνόλου και συμβολίζεται με S A K S B. V i, i = 1,...,q είναι οι στήλες ενός πίνακα V R n q. Για δύο διανύσματα a,b R n η σχέση a < ( )b ισοδυναμεί με a i < ( )b i, i = 1,..,n. Για δύο πίνακες A,B R n m η σχέση A < ( )B ισοδυναμεί με a i j b i j, i = 1,...,n, j = 1,...,m. iv

9 ΓΛΩΣΣΑΡΙΟ Η σχέση A 0 δηλώνει ότι ο πίνακας είναι θετικά ορισμένος. e q R q είναι το διάνυσμα με στοιχεία ίσα με τη μονάδα. I q είναι ο μοναδιαίος πίνακας διάστασης q. Για πίνακα A = (a i j ), R n n, οι πίνακες A +,A έχουν ως στοιχεία a + i j = max{a i j,0} και a i j = min{a i j,0}. Έτσι, A = A + A. Για ένα τετραγωνικό πίνακα D = (d i j ) R p p, D δ = (di δ j ) είναι ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία dii δ = d ii. Επίσης D µ = (d µ i j ) δηλώνει τον τετραγωνικό πίνακα με στοιχεία d µ ii = 0, και d µ i j = d i j για i j. Έτσι, D = D δ + D µ. Για δύο n m πίνακες A = (a i j ) και B = (b i j ), A B = n a i j b i j δηλώνει το εσωτερικό τους γινόμενο κατά Frobenius. m i=1 j=1 Για ένα θετικό αριθμό α, α είναι το ακέραιο του μέρος. ranka δηλώνει τη τάξη του πίνακα A. v

10 Ακρώνυμα ΣL ΣΣ ΠΕ ΘΑ εσ ΑΕ εσαε ΜΘΑ ΜεΣ ΜΑΕ ΜεΣΑΕ Συνάρτηση Lyapunov Σύστημα Σύγκρισης Περιοχή Ελκτικότητας Θετικά Αμετάβλητο σύνολο ε-συστολικό σύνολο Αμετάβλητο με Έλεγχο σύνολο ε-συστολικό Αμετάβλητο με Έλεγχο σύνολο Μέγιστο ΘΑ σύνολο Μέγιστο εσ σύνολο Μέγιστο ΑΕ σύνολο Μέγιστο εσαε σύνολο

11 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Αντικείμενο Στόχοι και συνεισφορές Διάρθρωση της διατριβής Θεωρητική ανασκόπηση Εισαγωγή Πρότυπα συστημάτων Ευστάθεια Θεωρία Lyapunov Αρχή σύγκρισης Σύνοψη Γραμμικά συστήματα Εισαγωγή Περιγραφή του συστήματος Περιορισμοί ΘΑ σύνολα, εσ σύνολα και εκτίμηση της ΠΕ Πολυεδρικές συναρτήσεις Lyapunov Συνθήκες κορυφών Πρόβλημα αρχικών συνθηκών Αυτόνομα γραμμικά συστήματα Μη αυτόνομα γραμμικά συστήματα Προσδιορισμός μέγιστου αμετάβλητου συνόλου Σύνοψη Γραμμικά συστήματα με αβεβαιότητες Εισαγωγή Περιγραφή του συστήματος Πολυεδρικά ΘΑ,εΣ σύνολα Πρόβλημα αρχικών συνθηκών vii

12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.5 Προσδιορισμός μέγιστου αμετάβλητου συνόλου Σύνοψη Συστήματα ARMA Εισαγωγή Αυτόνομα ARMA συστήματα Μη αυτόνομα συστήματα ΑRMA, έλεγχος με περιορισμούς Εφαρμογή στα δικτυωμένα συστήματα ελέγχου Σύνοψη Διγραμμικά συστήματα Εισαγωγή Διγραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου Διγραμμικά συστήματα συνεχούς χρόνου Σύνοψη Συμπεράσματα και μελλοντική έρευνα Συμπεράσματα Μελλοντική έρευνα Βιβλιογραφία 115 viii

13 Κατάλογος σχημάτων 2.1 Υποψήφια ΣL V (x) και συνολα R(V,γ i ) Περιοχές ελκτικότητας με ταχύτητα σύγκλισης ε και απόκριση συστήματος της μορφής (2.5) ε-συστολικά σύνολα για το σύστημα διακριτού χρόνου: S 1 ελλειψοειδές, S 2 συμμετρικό πολύεδρο ως προς το μηδενικό σημείο, S 3 πολύεδρο με παράλληλες έδρες, S 4 πολύεδρο γενικής μορφής Σύνολο αρχικών συνθηκών S x0, σύνολο περιορισμών S x, θετικά αμετάβλητο σύνολο και περιοχή ελκτικότητας Ω Σύνολο αρχικών συνθηκών S x0 (άσπρο), σύνολο περιορισμών S x (γκρι), θετικά αμετάβλητο σύνολο και περιοχή ελκτικότητας Ω (σκούρο γκρι), ενώ με κόκκινο χρώμα φαίνονται οι τροχιές του συστήματος που ξεκινάνε από τις κορυφές του S x0 και εισέρχονται στο Ω Σύνολο περιορισμών στην είσοδο S u(x), σύνολο περιορισμών στις καταστάσεις S x, αποδεκτό σύνολο S α, σύνολο αρχικών συνθηκών S x0 και σύνολο Ω Σύνολο αρχικών συνθηκών S x0, σύνολο περιορισμών S x και σύνολο Ω που προκύπτει από τη λύση του Προβλήματος 3.2 για σύστημα (3.4) Ο μοναδιαίος ρόμβος και η περιοχή των 45 μοιρών στο χώρο των ιδιοτιμών για συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου αντίστοιχα Σύνολα S,S x και SE i (β ), στην περίπτωση που β = 1 και β > Σύνολα SE i (1),i = 1,...,5, και σύνολο S Γεωμετρικη ερμηνεία του κριτηρίου τερματισμού για τον Αλγόριθμο Σύνολο περιορισμών S x, και ε-συστολικά αμετάβλητα με έλεγχο σύνολα S i, i = 0,...,8, και το μεγαλύτερο ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο S M = S Σύνολο περιορισμών S x, και ε-συστολικά αμετάβλητα με έλεγχο σύνολα S i, i = 0,...,9, και η προσέγγιση του μεγαλύτερου ε-συστολικού αμετάβλητο με έλεγχο συνόλου S M = S 9, για το σύστημα συνεχούς χρόνου Μέγιστα ε-συστολικά αμετάβλητα με έλεγχο σύνολα, για το διακριτοποιημένο διπλό ολοκληρωτή ix

14 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 3.13 η προσέγγιση του μεγαλύτερου ε-συστολικού συνόλου για τον τριπλό ολοκληρωτή, σ = Σύνολο Ω για το παράδειγμα 3.3, υπολογισμός του συνόλου Ω μέσω του Αλγορίθμου ε-συστολικά αμετάβλητα σύνολα S i, i = 1,..,7, και S M = S 10, για τον τριπλό ολοκληρωτή, διακριτοποιημένο σύστημα Σύνολο αρχικών συνθηκών και θετικά αμετάβλητο σύνολο και περιοχή ελκτικότητας σύνολο Ω ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου με γραμμικό έλεγχο Σύνολο αρχικών συνθηκών, και αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο και περιοχή ελκτικότητας Ω Σύνολο περιορισμων S x, αρχικό σύνολο S 0, και το μεγαλύτερο θετικά αμετάβλητο σύνολο S M για το σύστημα κλειστού βρόχου με γραμμικό έλεγχο ανατροφοδότησης Σύνολο περιορισμών S x, αρχικό σύνολο S 0, και το μεγαλύτερο αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο για το μη αυτόνομο σύστημα S M Το μεγαλύτερο αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο S M και οι τροχιές που ξεκινάνε από τις κορυφές του S M, με έλεγχο της μορφής u(x) = U M λ(x) Δομικό διάγραμμα δικτυωμένου συστήματος ελέγχου Περιθώρια ευστάθειας για το σύστημα κλειστού βρόχου όταν το κέρδος ανατροφοδότησης εξόδου κυμαίνεται απο -1 έως Απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου για αρχική συνθήκη x 0 = [ ] T Η στρατηγική ελέγχου για αρχική συνθήκη x 0 = [ ] T ε-συστολικό θετικά αμετάβλητο σύνολο (γκρι), αμετάβλητο σύνολο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο στο [69] (άσπρο), και τροχιές του συστήματος κλειστού βρόχου που ξεκινάνε από τις κορυφές του S x Το σύνολο των περιορισμών στις εισόδους S(Kx,u m,u M ) (μαύρο), ε-συστολικό θετικά αμετάβλητο πολυεδρικό σύνολο, ελλειψοειδές αμετάβλητο σύνολο και περιοχή ελκτικότητας Το πολυεδρικό ε-συστολικό θετικά αμετάβλητο σύνολο S(G,w 1,w 2 ), το ελλειψοειδές αμετάβλητο σύνολο [70], και η τροχιά του συστήματος κλειστού βρόχου που αρχίζει από x 0 = [ ] T Σήματα εισόδου για x 0 = [ ] T Σύνολο S(G,w 1,w 2 ), το σύνολο των περιορισμών, και τροχιές του συστήματος κλειστού βρόχου που ξεκινάνε από τις κορυφές του S(G,w 1,w 2 ) Χρονική απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου για x 0 = [ ] T Στρατηγική ελέγχου για x 0 = [ ] T x

15 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Αντικείμενο Η θεωρία συστημάτων ελέγχου έχει ως σκοπό την μελέτη της συμπεριφοράς φυσικών διεργασιών ή κατασκευών που έχει δημιουργήσει ο άνθρωπος, με την προϋπόθεση πως η δυναμική τους μπορεί να αποτυπωθεί με τη βοήθεια μαθηματικών μοντέλων που περιγράφουν τις σχέσεις εισόδων-εξόδων. Τα περισσότερα μοντέλα περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών. Στην περίπτωση που ο μηχανικός ελέγχου έχει τη δυνατότητα να καθορίζει κάποια από τα σήματα εισόδου, η θεωρία ελέγχου παρέχει τα εργαλεία επιλογής κατάλληλης στρατηγικής ώστε τα σήματα εξόδου να έχουν μια επιθυμητή συμπεριφορά. Οι σημαντικότερες απαιτήσεις που επιβάλλονται για ένα σύστημα ελέγχου αφορούν την επίτευξη της ευστάθειας και την επιθυμητή απόδοση σύμφωνα με προδιαγεγραμμένα κριτήρια. Η κλασική θεωρία, η οποία στηρίζεται σε τεχνικές ανάλυσης στο πεδίο της συχνότητας, μπορεί να προτείνει λύσεις σε θέματα ελέγχου για γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα με μεγάλη επιτυχία. Δυστυχώς, τα πραγματικά προβλήματα ελέγχου δεν αντιστοιχούν σε συστήματα που ανήκουν στην παραπάνω κατηγορία, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται εμπόδια στην ανάλυση και τον έλεγχο. Οι δυσκολίες που παρουσιάζονται οφείλονται κυρίως σε μη γραμμικότητες, σε χρονικά μεταβαλλόμενα χαρακτηριστικά του συστήματος και σε περιορισμούς στις εισόδους και εξόδους, όπως θα εξηγήσουμε στη συνέχεια. Στη παρούσα διατριβή θα συναντήσουμε κατηγορίες συστημάτων που έχουν κάποιο ή ένα συνδυασμό από τα παραπάνω χαρακτηριστικά. Μεγάλο μέρος των πραγματικών προβλημάτων ελέγχου αφορά μη γραμμικά συστήματα [1], [2]. Λόγω της πολυπλοκότητας τους, η πιο διαδεδομένη μέθοδος ανάλυσης και ελέγχου είναι η γραμμικοποίηση γύρω από κάποιο επιθυμητό σημείο, ώστε η μελέτη και εύρεση ελέγχου να ανάγεται στη μελέτη του γραμμικοποιημένου μοντέλου. Έτσι, η ανάλυση και ο σχεδιασμός ελέγχου γίνεται χρησιμοποιώντας καλά εδραιωμένες τεχνικές για γραμμικά συστήματα. Πολλές φορές όμως η γραμμικοποίηση δεν είναι η επιθυμητή μέθοδος, είτε γιατί δεν είναι εφικτή, είτε γιατί δεν είναι χρήσιμη στην πε- 1

16 1.1. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ρίπτωση που το γραμμικοποιημένο μοντέλο περιγράφει ικανοποιητικά το μη γραμμικό μοντέλο σε ένα πολύ περιορισμένο σύνολο στο χώρο των καταστάσεων. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μη γραμμικού συστήματος που η συμπεριφορά του δεν μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από γραμμικά μοντέλα είναι η δυναμική των πληθυσμών στην οικολογία και στην βιολογία. Στη παρούσα διατριβή μελετάται η κατηγορία των διγραμμικών συστημάτων συνεχούς χρόνου και διγραμμικών συστημάτων διακριτού χρόνου [3], [4]. Μία εξίσου σημαντική κατηγορία συστημάτων είναι τα συστήματα με χρονικά μεταβαλλόμενες άγνωστες παραμέτρους, ή συστήματα με αβεβαιότητες. Για παράδειγμα, τα δικτυωμένα συστήματα ελέγχου, ακόμα και στην περίπτωση που το υπό έλεγχο σύστημα είναι γραμμικό, μπορούν να θεωρηθούν χρονικά μεταβαλλόμενα καθώς η παρεμβολή δικτύου μεταξύ του ελεγκτή και της διεργασίας εισάγει καθυστερήσεις στην είσοδο. Σε αυτή την εργασία μελετάμε την κατηγορία των γραμμικών συστημάτων με πολυτοπική αβεβαιότητα [5], [6], καθώς και την οικογένεια των δικτυωμένων γραμμικών συστημάτων ελέγχου [7], [8], [9], ή σε μια διαφορετική θεώρηση ARMA συστημάτων [10] με συγκεκριμένου τύπου αβεβαιότητες. Ο όρος περιορισμοί με την ευρεία έννοια σε ένα σύστημα, είναι η απαίτηση οι τροχιές του συστήματος ή /και τα διανύσματα εισόδου να βρίσκονται πάντα σε ένα συγκεκριμένο, προδιαγεγραμμένο σύνολο στο χώρο των καταστάσεων και των εισόδων αντίστοιχα [11], [12], [13], [14]. Οι περιορισμοί πηγάζουν από διάφορες αιτίες, για παράδειγμα τα δομικά χαρακτηριστικά ενός συστήματος, όπως η ροή σε μια αντλία ή η τάση ενός κινητήρα, η τήρηση των μέτρων ασφαλείας όπως η θερμοκρασία ενός πυρηνικού αντιδραστήρα, περιορισμοί που προκύπτουν από προδιαγραφές στην απόδοση όπως είναι η κατανάλωση καυσίμου ή η εκπομπή ρύπων. Τέλος, μια σημαντική αιτία ύπαρξης περιορισμών είναι η ατελής μοντελοποίηση των συστημάτων. Όταν μελετώνται μοντέλα των οποίων η συμπεριφορά πλησιάζει ικανοποιητικά τη δυναμική του πραγματικού συστήματος σε ένα υποσύνολο του χώρου κατάστασης, η ανάλυση αλλά και ο έλεγχος του συστήματος έχουν εγκυρότητα όταν οι τροχιές του βρίσκονται σε αυτό το υποσύνολο. Σε όλες τις κατηγορίες συστημάτων που μελετάμε οι περιορισμοί είναι παρόντες. Όλες οι δυσκολίες που περιγράφονται πιο πάνω και προκύπτουν είτε από την μοντελοποίηση είτε από εγγενή δομικά χαρακτηριστικά του συστήματος αποτελούν αντικείμενο μελέτης για την ακαδημαϊκή κοινότητα. Η πληθώρα χρήσιμων αποτελεσμάτων και θεωρητικών μεθόδων που έχουν εδραιωθεί και προτείνουν λύσεις σε τέτοια πολύπλοκα προβλήματα διαμορφώνουν τη σύγχρονη θεωρία ελέγχου, που στηρίζεται στην ανάλυση και τον έλεγχο στο πεδίο του χρόνου. Μια κυρίαρχη συνιστώσα της σύγχρονης θεωρίας ελέγχου είναι η θεωρία Lyapunov [15]. Η θεωρία Lyapunov, βασικό στοιχείο της οποίας είναι η δεύτερη ή άμεση μέθοδος Lyapunov, είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο ανάλυσης ευστάθειας των σημείων ισορροπίας των δυναμικών συστημάτων. Ένα εξίσου σημαντικό πλεονέκτημα που προσφέρει, το οποίο έχει οδηγήσει στη διεξαγωγή των κυριότερων αποτελεσμάτων αυτής της διατριβής, είναι η εκτίμηση της περιοχής ελκτικότητας [1], [2], και ο υπολογισμός θετικά αμετάβλητων/συστολικών 2

17 1.2. ΣΤΟΧΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΕΣ συνόλων [11], [16] στο χώρο κατάστασης. Παραδοσιακά, οι υποψήφιες συναρτήσεις Lyapunov είναι τετραγωνικές συναρτήσεις και οδηγούν στον υπολογισμό ελλειψοειδών συνόλων που αποτελούν εκτιμήσεις της περιοχής ελκτικότητας [17]. Η δεύτερη κατηγορία συναρτήσεων Lyapunov, η οποία χρησιμοποιείται σε όλη τη διάρκεια της διατριβής, είναι οι πολυεδρικές συναρτήσεις Lyapunov. Ο όρος πολυεδρικές συναρτήσεις προκύπτει επειδή αυτός ο τύπος των συναρτήσεων οδηγεί στο χαρακτηρισμό πολυεδρικών αμετάβλητων συνόλων [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25], [5], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [35]. Τα πολυεδρικά σύνολα αποτελούν εν γένει καλύτερες εκτιμήσεις της περιοχής ελκτικότητας, ιδίως όταν το σύστημα υπόκειται σε περιορισμούς στο χώρο των καταστάσεων και των εισόδων. Για να καταλάβει κανείς το λόγο για την επιλογή πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov, αξίζει να λάβει υπ όψιν του την φυσική διατύπωση των προβλημάτων στην ανάλυση και τον έλεγχο δυναμικών συστημάτων, είτε όσον αφορά τις απαιτήσεις απόδοσης είτε τους περιορισμούς στον έλεγχο και τις καταστάσεις. Ενώ για τις τετραγωνικές συναρτήσεις Lyapunov έχει εδραιωθεί ένας μηχανισμός εύρεσης τους, ειδικά μετά και τις συστηματικές μεθόδους που έχουν προταθεί [36], τα αμετάβλητα σύνολα ή/και οι περιοχές ελκτικότητας που προσδιορίζονται είναι συνήθως μια συντηρητική προσέγγιση της πραγματικής περιοχής ελκτικότητας. Από την άλλη μεριά, οι πολυεδρικές συναρτήσεις Lyapunov παράγουν πολυεδρικές εκτιμήσεις της περιοχής ελκτικότητας οι οποίες προσεγγίζουν με μεγάλη ακρίβεια, μερικές φορές μάλιστα με αυθαίρετα μεγάλη ακρίβεια, την περιοχή ελκτικότητας, ή τουλάχιστον την περιοχή όπου η ευστάθεια κατά Lyapunov μπορεί να εγγυηθεί [16], [11]. 1.2 Στόχοι και συνεισφορές Στη παρούσα διατριβή ασχολούμαστε με συστήματα που υπόκεινται σε περιορισμούς, ενώ κάποια από αυτά παρουσιάζουν αβεβαιότητες ή είναι μη γραμμικά. Οι κυριότεροι στόχοι της διατριβής συνοψίζονται στη συνέχεια: 1. Συνθήκες ύπαρξης πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov. Όπως ειπώθηκε και προηγουμένως, η μέθοδος Lyapunov προσφέρει σημαντικά εργαλεία στην ανάλυση και τον έλεγχο δυναμικών συστημάτων, ιδιαίτερα όταν τα συστήματα έχουν τα χαρακτηριστικά που αναφέρθηκαν πιο πάνω. Ένας από τους στόχους της διατριβής είναι να προσδιοριστούν συνθήκες ύπαρξης πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov για συγκεκριμένες οικογένειες συστημάτων. 2. Προσδιορισμός πολυεδρικών περιοχών ελκτικότητας/αμετάβλητων συνόλων. 3

18 1.2. ΣΤΟΧΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΕΣ Ο δεύτερος στόχος της διατριβής αφορά τον προσδιορισμό συστηματικών μεθόδων που οδηγούν στην πολυεδρική εκτίμηση της περιοχής ελκτικότητας και τον προσδιορισμό πολυεδρικών αμετάβλητων συνόλων για γραμμικά συστήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου με ή χωρίς αβεβαιότητες, ARMA συστήματα και διγραμμικά συστήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. 3. Εύρεση στρατηγικών ελέγχου για συστήματα με περιορισμούς. Για την περίπτωση των μη αυτόνομων συστημάτων με περιορισμούς, ένα κυρίαρχο πρόβλημα είναι ο σχεδιασμός ευσταθειοποιητικού ελέγχου με σκοπό να μην παραβιάζονται οι περιορισμοί. Στην εργασία που παρουσιάζουμε έχουμε ως στόχο τον προσδιορισμό νόμων ελέγχου σύμφωνα με τρία αντικειμενικά κριτήρια: i) οι τροχιές του συστήματος κλειστού βρόχου να περιορίζονται σε ένα σύνολο του χώρου κατάστασης ώστε να τηρούνται οι περιορισμοί, ii) το σημείο ισορροπίας να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, iii) το σύστημα κλειστού βρόχου να έχει συγκεκριμένη ταχύτητα σύγκλισης στο σημείο ισορροπίας. Οι κυριότερες διακριτές συνεισφορές παρουσιάζονται παρακάτω: Κεφάλαιο 3 Νέα μέθοδος εύρεσης ευσταθειοποιητικού ελέγχου για ένα προκαθορισμένο σύνολο αρχικών συνθηκών για μη αυτόνομα γραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου που υπόκεινται σε περιορισμούς. Νέα μέθοδος προσδιορισμού του μέγιστου θετικά αμετάβλητου συνόλου για αυτόνομα συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου με περιορισμούς. Νέα μέθοδος ταυτόχρονου προσδιορισμού του μέγιστου αμετάβλητου με έλεγχο συνόλου και ευσταθειοποιητικού νόμου ελέγχου ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να έχει συγκεκριμένη ταχύτητα σύγκλισης, για μη αυτόνομα συστήματα διακριτού χρόνου που υπόκεινται σε περιορισμούς. Προσδιορισμός του μέγιστου αμετάβλητου με έλεγχο συνόλου για μη αυτόνομα συστήματα συνεχούς χρόνου που υπόκεινται σε περιορισμούς. Κεφάλαιο 4 Λύση του προβλήματος εύρεσης ευσταθειοποιητικού έλεγχου για ένα προκαθορισμένο σύνολο αρχικών συνθηκών για γραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου με πολυτοπική αβεβαιότητα που υπόκεινται σε περιορισμούς. Νέα μέθοδος προσδιορισμού του μέγιστου θετικά αμετάβλητου συνόλου για αυτόνομα συστήματα διακριτού χρόνου με πολυτοπική αβεβαιότητα που υπόκεινται σε περιορισμούς. 4

19 1.3. ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Προσδιορισμός του μέγιστου θετικά αμετάβλητου συνόλου για αυτόνομα συστήματα συνεχούς χρόνου με πολυτοπική αβεβαιότητα που υπόκεινται σε περιορισμούς. Νέα μέθοδος ταυτόχρονου προσδιορισμού του μέγιστου αμετάβλητου με έλεγχο συνόλου και ευσταθειοποιητικού νόμου ελέγχου ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να έχει συγκεκριμένη ταχύτητα σύγκλισης, για μη αυτόνομα συστήματα διακριτού χρόνου με αβεβαιότητες που υπόκεινται σε περιορισμούς. Προσδιορισμός του μέγιστου αμετάβλητου με έλεγχο συνόλου για μη αυτόνομα συστήματα συνεχούς χρόνου με αβεβαιότητες που υπόκεινται σε περιορισμούς. Κεφάλαιο 5 Εδραίωση ικανών συνθηκών ύπαρξης πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov/θετικά αμετάβλητων συνόλων γενικής μορφής για ARMA συστήματα. Εύρεση γραμμικού ευσταθειοποιητικού νόμου ελέγχου για συστήματα ARMA με περιορισμούς. Εύρεση γραμμικού ευσταθειοποιητικού νόμου ελέγχου για όλο το εύρος της καθυστέρησης στην είσοδο για δικτυωμένα συστήματα ελέγχου. Κεφάλαιο 6 Εδραίωση ικανών συνθηκών ύπαρξης πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov/θετικά αμετάβλητων συνόλων για διγραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου. Εδραίωση ικανών συνθηκών ύπαρξης πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov/θετικά αμετάβλητων συνόλων για διγραμμικά συστήματα συνεχούς χρόνου. Εύρεση γραμμικού ευσταθειοποιητικού νόμου ελέγχου για ένα προκαθορισμένο σύνολο αρχικών συνθηκών για διγραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου με περιορισμούς. Εύρεση γραμμικού ευσταθειοποιητικού νόμου ελέγχου για ένα προκαθορισμένο σύνολο αρχικών συνθηκών για διγραμμικά συστήματα συνεχούς χρόνου με περιορισμούς. 1.3 Διάρθρωση της διατριβής H διατριβή αποτελείται από εφτά Κεφάλαια: Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται οι στόχοι της διατριβής και η διάρθρωση των κεφαλαίων. 5

20 1.3. ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Στο Κεφάλαιο 2 περιγράφονται τα θεωρητικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται στη διατριβή. Αρχικά, δίνεται η περιγραφή των δυναμικών συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Στη συνέχεια αναφέρεται η δεύτερη μέθοδος Lyapunov. Πιο συγκεκριμένα, υπογραμμίζεται η σχέση των συναρτήσεων Lyapunov με σύνολα που έχουν ειδικές ιδιότητες ως προς το σύστημα για το οποίο έχει αποδεικνύεται η ευστάθεια, όπως είναι η θετική αμεταβλητότητα και η συστολικότητα. Στη συνέχεια αναφέρεται η αρχή σύγκρισης. Η προσέγγιση που ακολουθούμε στην ανάλυση των συστημάτων σύγκρισης και της αρχής σύγκρισης αποσκοπεί στο να αναδειχθεί η σχέση των συστημάτων σύγκρισης με συναρτήσεις Lyapunov ειδικής μορφής και θετικά αμετάβλητων/συστολικων συνόλων. Το Κεφάλαιο 3 αφορά την ανάλυση και τον έλεγχο γραμμικών συστημάτων με περιορισμούς. Σε αυτό το κομμάτι της διατριβής ορίζεται επίσης η μορφή των πολυεδρικών περιορισμών στον έλεγχο και τις καταστάσεις. Αρχικά γίνεται μια ανασκόπηση των αποτελεσμάτων αναφορικά με την κατασκευή πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov/θετικά αμετάβλητων συνόλων τα οποία είναι περιοχές ελκτικότητας. Τα αποτελέσματα αυτά προκύπτουν από εφαρμογή της αρχής σύγκρισης ή από συνθήκες που αφορούν τις κορυφές των υποψήφιων αμετάβλητων συνόλων. Στη συνέχεια προτείνουμε δύο μεθόδους ταυτόχρονης κατασκευής αμετάβλητων συνόλων και ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης, οι οποίες συνοψίζονται σε δύο προβλήματα: το πρόβλημα συνόλου αρχικών συνθηκών, και το πρόβλημα εύρεσης του μέγιστου αμετάβλητου συνόλου. Η πρώτη μέθοδος αφορά την αλγοριθμική κατασκευή ενός θετικά αμετάβλητου συνόλου που είναι και περιοχή ελκτικότητας ως προς ένα γραμμικό σύστημα διακριτού χρόνου με περιορισμούς, και προκύπτει από τη λύση μιας ακολουθίας προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Η δεύτερη μέθοδος οδηγεί στον υπολογισμό του μέγιστου αμετάβλητου συνόλου για γραμμικά συστήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου με περιορισμούς. Στην περίπτωση που το μέγιστο σύνολο δεν είναι πολυεδρικό, παρέχουμε μια μετατροπή της μεθόδου που επιτρέπει τον υπολογισμό αμετάβλητου συνόλου που αποτελεί πολυεδρική προσέγγιση του μέγιστου συνόλου. Η τεχνική που παρουσιάζεται επιλύεται εφαρμόζοντας ένα αλγόριθμο χαμηλής υπολογιστικής πολυπλοκότητας καθώς στηρίζεται στη λύση μιας σειράς προβλημάτων βελτιστοποίησης τα οποία είναι πάντα επιλύσιμα, ενώ το κάθε ένα από αυτά ισοδυναμεί με μια ακολουθία προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Στο Κεφάλαιο 4 αναλύεται η περίπτωση των γραμμικών συστημάτων με αβεβαιότητες. Αρχικά, περιγράφεται ο τύπος αυτών των συστημάτων καθώς και το είδος της αβεβαιότητας. Στη συνέχεια, αναφέρονται αποτελέσματα που εγγυώνται την ύπαρξη πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov /αμετάβλητων συνόλων. Τα αποτελέσματα της διατριβής για αυτόν τον τύπο συστημάτων αναφέρονται στο τέταρτο και πέμπτο μέρος του κεφαλαίου. Αναλυτικά, στο τέταρτο μέρος εξετάζουμε το πρόβλημα ευσταθειοποί- 6

21 1.3. ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ησης γραμμικών συστημάτων διακριτού χρόνου με αβεβαιότητες που υπόκεινται σε περιορισμούς, ώστε όλες οι τροχιές που ξεκινάνε από ένα a priori ορισμένο πολυεδρικό σύνολο να μεταφέρονται ασυμπτωτικά στο μηδενικό σημείο ισορροπίας τηρώντας τους περιορισμούς. Στο πέμπτο μέρος του κεφαλαίου προτείνουμε λύση στο πρόβλημα προσδιορισμού του μέγιστου αμετάβλητου συνόλου για συστήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου, κάνοντας μερικες μετατροπές στη μέθοδο που αναπτύσσεται στο κεφάλαιο 3. Στο Κεφάλαιο 5 εξετάζουμε τα γραμμικά συστήματα που περιγράφονται από ARMA μοντέλα. Αρχικά δίνεται η περιγραφή των συστημάτων και προσαρμόζεται η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας. Στη συνέχεια διατυπώνουμε συνθήκες ύπαρξης πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov και θετικά αμετάβλητων περιοχών ελκτικότητας οι οποίες οδηγούν σε λύση του προβλήματος της ευσταθειοποίησης ARMA συστήματος με περιορισμούς στις εισόδους. Στο τελευταίο μέρος του κεφαλαίου παρουσιάζουμε αποτελέσματα που αφορούν την ανάλυση και έλεγχο γραμμικών δικτυωμένων συστημάτων ελέγχου. Αρχικά μοντελοποιείται το δικτυωμένο σύστημα ελέγχου ως ARMA σύστημα με συγκεκριμένου τύπου αβεβαιότητες, και στη συνέχεια παρουσιάζονται αποτελέσματα που οδηγούν στην εύρεση γραμμικού ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης για τέτοιου είδους συστήματα λύνοντας ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Στο Κεφάλαιο 6 αναλύεται η κατηγορία των διγραμμικών συστημάτων. Αρχικά παρουσιάζεται η περιγραφή των συστημάτων διακριτού χρόνου στο χώρο των καταστάσεων. Στη συνέχεια διατυπώνουμε συνθήκες που εγγυώνται την ύπαρξη πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov καθώς και πολυεδρικών αμετάβλητων συνόλων με παράλληλες έδρες. Στη συνέχεια θεωρούμε το πρόβλημα του ελέγχου με περιορισμούς στις εισόδους ή/και στις καταστάσεις. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζεται μια μέθοδος εύρεσης γραμμικού ελέγχου και συστολικών πολυεδρικών συνόλων, η οποία στηρίζεται στο διαδοχικό υπολογισμό συστολικών συνόλων με σκοπό να χαρακτηριστεί ένα a priori σύνολο αρχικών συνθηκών ως περιοχή ελκτικότητας. Τέλος, αναλύουμε την περίπτωση των διγραμμικών συστημάτων συνεχούς χρόνου. Σε αυτό το μέρος διατυπώνονται τα αντίστοιχα θεωρήματα που εγγυώνται ύπαρξη πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov και συστολικών συνόλων. Στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζουμε τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τη διατριβή καθώς και προτάσεις για μελλοντική έρευνα. 7

22 Κεφάλαιο 2 Θεωρητική ανασκόπηση 2.1 Εισαγωγή Στο πρώτο μέρος του κεφαλαίου ορίζονται τα είδη των συστημάτων που θα μας απασχολήσουν στη συνέχεια, τα οποία περιγράφονται στο συνεχές ή διακριτό πεδίο του χρόνου μέσω διαφορικών εξισώσεων ή εξισώσεων διαφορών αντίστοιχα. Στη συνέχεια, αναλύονται τα διάφορα είδη ευστάθειας σημείου ισορροπίας ενός δυναμικού συστήματος. Ακόμα, παραθέτουμε δύο θεωρητικά εργαλεία τα οποία οδηγούν στο ταυτόχρονο χαρακτηρισμό της ευστάθειας και της περιοχής ελκτικότητας του σημείου ισορροπίας. Πιο συγκεκριμένα, περιγράφεται το θεώρημα Lyapunov (ευθεία μέθοδος Lyapunov) και η αρχή σύγκρισης. 2.2 Πρότυπα συστημάτων Οι κατηγορίες των συστημάτων που μελετώνται στη παρούσα διατριβή περιγράφονται από συστήματα διαφορικών εξισώσεων ή εξισώσεων διαφορών στο χώρο των καταστάσεων και των εισόδων, τα οποία είναι χρονικά αμετάβλητα. Αναλυτικότερα, θεωρούμε συστήματα συνεχούς χρόνου που περιγράφονται από την εξίσωση ẋ(t) = f (x(t),u(t)) (2.1) όπου x(t) R n, u(t) R m. Θεωρούμε ότι f είναι μια συνεχής και διαφορίσιμη απεικόνιση f : R n R m R n και τηρεί όλες τις τυπικές υποθέσεις που εγγυώνται ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων της (2.1), και επιπροσθέτως f (0,0) = 0. Η μεταβλητή του χρόνου t παίρνει τιμές στους πραγματικούς αριθμούς t R. Σε όλες τις περιπτώσεις, ο έλεγχος που εφαρμόζεται είναι ανατροφοδότησης κατάστασης u(t) = g(x(t)), όπου g : R m R n 8

23 2.3. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ μία συνεχής απεικόνιση ενώ g(0) = 0. Σε αυτήν την περίπτωση, το σύστημα κλειστού βρόχου περιγράφεται από την εξίσωση ẋ(t) = f (x(t),g(x(t))). (2.2) Αντιστοίχως, θεωρούμε την κατηγορία συστημάτων διακριτού χρόνου που περιγράφονται από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων διαφορών x(t + 1) = f (x(t),u(t)) (2.3) όπου f : R n R m R n είναι μια συνεχής διαφορίσιμη απεικόνιση, και f (0,0) = 0. Η μεταβλητή του χρόνου t παίρνει τιμές στους ακεραίους t Z. Εφαρμόζοντας έλεγχο ανατροφοδότησης κατάστασης u(t) = g(x(t)) g : R m R n, g(0) = 0, το σύστημα κλειστού βρόχου περιγράφεται από x(t + 1) = f (x(t),g(x(t))). (2.4) Η τροχιά των συστημάτων (2.2),(2.4) τη χρονική στιγμή t t 0 ξεκινώντας από αρχική συνθήκη x 0 = x(t 0 ) ενώ εφαρμόζεται έλεγχος της μορφής u(t) = g(x(t)) συμβολίζεται με x(t;x 0,g(x)). Το σημείο x = x eq είναι σημείο ισορροπίας των συστημάτων (2.2),(2.4) αν αποτελεί λύση της εξίσωσης f (x eq,g(x eq )) = 0. Καθώς έχουμε υποθέσει μοναδικότητα των λύσεων, αν x(t 0 ) = x eq, τότε x(t;t 0,x eq,g(x)) = 0, t t 0. Επίσης, θεωρούμε απομονωμένα σημεία ισορροπίας, δηλαδή ε > 0 ώστε το σύνολο {x R n : x eq x ε} έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας το x eq. 2.3 Ευστάθεια H έννοια της ευστάθειας είναι συνυφασμένη με τη συμπεριφορά των δυναμικών συστημάτων, ενώ έχουν διατυπωθεί διάφορα είδη ευστάθειας, όπως ευστάθεια εισόδουεξόδου ή ευστάθεια περιοδικών τροχιών. Στη παρούσα διατριβή επικεντρωνόμαστε ευστάθεια σημείου ισορροπίας x eq, η οποία χαρακτηρίζει τη συμπεριφορά των τροχιών του συστήματος κοντά στο x eq. Το γενικότερο είδος ευστάθειας σημείου ισορροπίας είναι η ευστάθεια κατά Lyapunov [15] η οποία εγγυάται την παραμονή των τροχιών κοντά στο σημείο ισορροπίας όταν αυτές ξεκινάνε από σημεία που βρίσκονται στη γειτονιά του x eq. Μια ειδικότερη μορφή ευστάθειας είναι η ασυμπτωτική ευστάθεια όπου οι τροχιές του συστήματος εκτός του ότι παραμένουν κοντά στο x eq τείνουν σε αυτό καθώς ο χρόνος απειρίζεται. Στη συνέχεια, παραθέτονται οι αναλυτικοί ορισμοί των διαφόρων ειδών ευστάθειας. Χωρίς απώλεια της γενικότητας, θεωρούμε ότι το σημείο ισορροπίας μπορεί να μεταφερθεί στο μηδέν x eq = 0 κάνοντας αλλαγή μεταβλητών στο χώρο κατάστασης. Πρώτα ορίζουμε τη γειτονιά γύρω από το μηδενικό σημείο ισορροπίας 1. 1 Από εδώ και στο εξής, για λόγους συντομίας, η όρος ευστάθεια συνεπάγεται την ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας του υπό μελέτη συστήματος. 9

24 2.4. ΘΕΩΡΙΑ LYAPUNOV Ορισμός Η σφαίρα B s με ακτίνα s > 0 και κέντρο το μηδενικό σημείο είναι B s = {x R n : x s} όπου. υποδηλώνει οποιαδήποτε νόρμα του διανύσματος x. Ορισμός Θεωρούμε σύστημα συνεχούς ή διακριτού χρόνου της μορφής ẋ(t) = f (x(t)) (2.5) x(t + 1) = f (x(t)) (2.6) αντίστοιχα. Τότε, το μηδενικό σημείο ισορροπίας είναι τοπικά ευσταθές κατά Lyapunov, αν και μόνο αν ε > 0 δ = δ(ε) > 0 ώστε x 0 B δ(ε) x(t;x 0 ) B ε, t t 0 Ορισμός Το μηδενικό σημείο ισορροπίας των συστημάτων (2.5),(2.6) είναι ελκτικό σε μια περιοχή D R n αν x 0 D ισχύει lim x(t;x 0) = 0 t H περιοχή D ονομάζεται περιοχή ελκτικότητας (ΠΕ) του σημείου ισορροπίας. Ορισμός Το μηδενικό σημείο ισορροπίας των συστημάτων (2.5),(2.6) είναι ασυμπτωτικά ευσταθές αν και μόνο αν είναι ευσταθές κατά Lyapunov και ελκτικό, δηλαδή όπου D η ΠΕ. lim x(t;x 0) = 0, x 0 B δ(ε) D, t 2.4 Θεωρία Lyapunov Σε αυτό το κομμάτι παρουσιάζουμε ένα σημαντικό αποτέλεσμα που αφορά τη σύνδεση μιας συνάρτησης συγκεκριμένου τύπου με την ευστάθεια συστημάτων, και αναφέρεται ως θεώρημα Lyapunov, ή δεύτερη μέθοδος Lyapunov, ή άμεση μέθοδος Lyapunov. Πρώτα, είναι ανάγκη να οριστούν οι ιδιότητες αυτής της συνάρτησης. Ορισμός Έστω συνεχής συνάρτηση V (x), V : D R, όπου D περιέχει το μηδενικό σημείο. Τότε, η V (x) είναι θετικά (ημι)ορισμένη στο D αν V (x) > ( )0, x D \ {0} V (0) = 0 10

25 2.4. ΘΕΩΡΙΑ LYAPUNOV Ορισμός Η συνάρτηση V (x) είναι αρνητικά (ημι)ορισμένη στο D αν η V (x) είναι θετικά (ημι)ορισμένη. Ορισμός Για δυναμικά συστήματα συνεχούς χρόνου (2.5), η ολική παράγωγος της συνεχούς συνάρτησης V (x), V : R n R ως προς το σύστημα (2.5) είναι Ορισμός V (x(t 0 )) (2.5) = lim sup V (x(t;t 0,x 0 )) V (x 0 ) (2.7) t t 0 + t t 0 Για δυναμικά συστήματα διακριτού χρόνου (2.6), η ολική διαφορά της συνάρτησης V (x), V : R n R ως προς το σύστημα (2.6) είναι V (x) (2.6) = V ( f (x(t)) V (x(t)) (2.8) Στη συνέχεια παρουσιάζουμε το θεώρημα Lyapunov για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. Θεώρημα [2], [1] Έστω θετικά ορισμένη συνάρτηση V (x), V : D R. Τότε, αν η ολική παράγωγος ως προς το σύστημα (2.5) V (x(t)) (2.5) είναι αρνητικά ημιορισμένη x D, το σύστημα είναι τοπικά ευσταθές κατά Lyapunov. αν η ολική παράγωγος ως προς το σύστημα (2.5) V (x(t)) (2.5) είναι αρνητικά ορισμένη x D \ {0}, το σύστημα είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές. Αντιστοίχως, για την κατηγορία των συστημάτων διακριτού χρόνου: Θεώρημα [2], [1] Έστω θετικά ορισμένη συνάρτηση V (x), V : D R. Τότε, αν η ολική διαφορά ως προς το σύστημα (2.6) V (x) (2.6) είναι αρνητικά ημιορισμένη x D, το σύστημα είναι τοπικά ευσταθές κατά Lyapunov. αν η ολική διαφορά ως προς το σύστημα (2.6) V (x) (2.6) είναι αρνητικά ορισμένη x D \ {0}, το σύστημα είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές. H συνάρτηση V (x) που ικανοποιεί τα παραπάνω θεωρήματα ονομάζεται συνάρτηση Lyapunov (ΣL). Όπως φαίνεται, η ανάλυση της ευστάθειας μπορεί να αναχθεί στην προσπάθεια εύρεσης μιας θετικά ορισμένης συνάρτησης η οποία είναι μη αύξουσα ή φθίνουσα κατά μήκος των τροχιών των συστημάτων (2.5),(2.6). Ένα εξίσου σημαντικό όφελος που αποκομίζουμε με την εύρεση ΣL αφορά τον χαρακτηρισμό συνόλων που έχουν ειδικές ιδιότητες ως προς το σημείο ισορροπίας. Για παράδειγμα, όταν υπάρχει ΣL V (x) που εγγυάται την ευστάθεια/ασυμπτωτική ευστάθεια σε μια περιοχή D, αν τα σύνολα R(V,γ) = {x R n : V (x) γ} D είναι κλειστά και περιέχουν το μηδενικό σημείο ισορροπίας, αποτελούν μια εκτίμηση της ΠΕ. Στη συνέχεια δίνονται οι ορισμοί τέτοιων συνόλων και αποκαλύπτεται η σύνδεση τους με τις ΣL. 11

26 2.4. ΘΕΩΡΙΑ LYAPUNOV Ορισμός Το σύνολο S R n είναι θετικά αμετάβλητο (ΘΑ) ως προς τα συστήματα (2.5),(2.6) αν και μόνο αν x 0 S η τροχιά του συστήματος παραμένει στο σύνολο S για όλες τις μελλοντικές στιγμές x(t;x 0 ) S, t 0. Ορισμός [5] Για ένα κυρτό συμπαγές σύνολο S R n που περιέχει το μηδέν, το συναρτησοειδές Minkowski είναι Ψ S (x) = in f {λ R : λ 0, x λs} Tότε, το σύνολο S είναι ε-συστολικό (εσ), ε > 0 ως προς το σύστημα (2.5) αν x 0 S, Ψ S (x(t;x 0 ) e εt Ψ S (x 0 ), t t 0 Για τα συστήματα διακριτού χρόνου, το σύνολο S είναι ε-συστολικό εσ ως προς το σύστημα (2.6), 0 ε < 1 αν x 0 S, Ψ S (x(t;x 0 )) ε t Ψ S (x 0 ), t t 0 Είμαστε σε θέση να δείξουμε τη συσχέτιση μεταξύ των συναρτήσεων Lyapunov και των ΘΑ συνόλων, ΠΕ, και εσ 1 συνόλων: Παρατήρηση Θεωρούμε τα συστήματα (2.5),(2.6) και υποψήφια ΣL V (x). Τότε, αν το σύνολο R(V,γ) = {x R n : V (x) γ} (2.9) είναι κυρτό, συμπαγές και περιέχει το μηδενικό σημείο ισορροπίας, ισχύουν τα παρακάτω: Αν V (x) είναι ΣL η οποία εγγυάται ευστάθεια κατά Lyapunov, το σύνολο R(V,γ) είναι ΘΑ ως προς τα συστήματα (2.5),(2.6). Αν V (x) είναι ΣL η οποία εγγυάται ασυμπτωτική ευστάθεια, το σύνολο R(V,γ) D είναι ΘΑ και ΠΕ ως προς τα συστήματα (2.5),(2.6). Αν V (x) είναι ΣL η οποία εγγυάται ασυμπτωτική ευστάθεια και επιπλέον ισχύει για το σύστημα (2.5), ε > 0, και V (x(t)) (2.5) εv (x(t)) (2.10) V (x) (2.6) (ε 1)V (x(t)) (2.11) 1 Όλα τα ε συστολικά σύνολα είναι και θετικά αμετάβλητα σύνολα. Έτσι, ο όρος ε συστολικό σύνολο υπονοεί και την θετική αμεταβλητότητα του συνόλου. Ένα θετικά αμετάβλητο σύνολο είναι ε-συστολικό σύνολο με ε = 1 για τα συστήματα διακριτού χρόνου, και ε = 0 για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. 12

27 2.4. ΘΕΩΡΙΑ LYAPUNOV για το σύστημα (2.6), 0 ε < 1, το σύνολο R(V,γ) D είναι εσ ως προς τα συστήματα (2.5),(2.6). Στο Σχήμα 2.1 φαίνονται οι τιμές που παίρνει μια υποψήφια συνάρτηση Lyapunov που ορίζεται από την άπειρη νόρμα του διανύσματος V (x) = Gx, x R 2, και G R 3 2, rankg = 2, καθώς και τα σύνολα R(V,γ i ), i = 1,..,5. Αξίζει να τονίσουμε πως η συνάρτηση V (x) είναι συνεχής και κατά τμήματα διαφορίσιμη. Στο σχήμα 2.2 φαίνονται διάφορα εσ σύνολα ε i R(V,1), i = 0,...,7, ε = 0.9 ως προς ένα σύστημα της μορφης (2.6), R(V,1) = {x R n : x 1}, όπου V (x) = x είναι ΣL για σύστημα (2.6). Με μπλε χρώμα φαίνονται οι τροχιές του συστήματος για αρχικές συνθήκες που βρίσκονται στο όριο του συνόλου R(V, 1). Σχήμα 2.1: Υποψήφια ΣL V (x) και συνολα R(V,γ i ) Ανακεφαλαιώνοντας, τα δύο κύρια οφέλη που αποκομίζουμε από τη θεωρία Lyapunov είναι ο χαρακτηρισμός της ευστάθειας σημείου ισορροπίας καθώς και η δυνατότητα προσδιορισμού συνόλων που έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες: για παράδειγμα, αν μπορούμε να βρούμε μια ΣL ώστε να εξασφαλίζεται η ασυμπτωτική ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας ενός συστήματος που υπόκειται σε περιορισμούς x(t) S x R n, οποιαδήποτε τροχιά που ξεκινάει μέσα στο R(V,γ) S x μεταφέρεται στο σημείο ισορροπίας χωρίς να παραβιάζονται οι περιορισμοί. Ωστόσο, το μειονέκτημα της με- 13

28 2.5. ΑΡΧΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ R(V,1) å 2 R(V,1) x å 6 R(V,1) x 1 Σχήμα 2.2: Περιοχές ελκτικότητας με ταχύτητα σύγκλισης ε και απόκριση συστήματος της μορφής (2.5) θόδου Lyapunov είναι ότι παρέχει ικανές και όχι αναγκαίες συνθήκες ευστάθειας ή/και ύπαρξης ΘΑ, εσ συνόλων. Στο επόμενο μέρος, περιγράφεται η αρχή σύγκρισης, ένα αποτέλεσμα που μπορεί να οδηγήσει στην εύρεση συναρτήσεων Lyapunov. 2.5 Αρχή σύγκρισης Τα συστήματα σύγκρισης [37] χρησιμοποιούνται σε αυτή τη διατριβή με σκοπό να προσδιοριστούν πολυεδρικές συναρτήσεις Lyapunov και πολυεδρικά ΘΑ, εσ σύνολα ως προς το αρχικό σύστημα. Παρακάτω παρουσιάζουμε μια απλοποιημένη έκδοση του θεωρήματος σύγκρισης για συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου. Οι ορισμοί που παραθέτουμε είναι απαραίτητοι για την περιγραφή των θεωρητικών αποτελεσμάτων. Ορισμός Η διανυσματική συνάρτηση h(y), h : R p R p είναι μη φθίνουσα αν όλες οι συνιστώσες της h i (y), i = 1,..., p είναι μη φθίνουσες ως προς τα στοιχεία του διανύσματος y. Έτσι, για y 1,y 2 R p, αν y 1 y 2 τότε h(y 1 ) h(y 2 ). Ορισμός H διανυσματική συνάρτηση h(y), h : R p R p είναι ημιμονότονη μη φθίνουσα αν όλα τα στοιχεία της h i (y), i = 1,..., p είναι μη φθίνοντα ως προς τα ορίσματα y j, j = 1,..., p, j i. Ορισμός Η διανυσματική συνάρτηση v(x), v : R n R p ανήκει στην κατηγορία B αν για κάθε μη αρνητικό διάνυσμα y 0 το σύνολο {x R n : v(x) y} είναι κλειστό. 14

29 2.5. ΑΡΧΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ Παρακάτω, ορίζονται τα συστήματα σύγκρισης για συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου (2.6),(2.5). Ορισμός [38], [39] Έστω διανυσματική συνάρτηση v(x), v : R n R p και μη φθίνουσα συνάρτηση h(y), h : R p R p που ικανοποιούν τη σχέση v(x(t + 1)) = v( f (x(t))) h(v(x(t)) (2.12) Τότε, το σύστημα y(t + 1) = h(y(t)) (2.13) ονομάζεται σύστημα σύγκρισης (ΣΣ) του (2.6). Τα δύο συστήματα (2.6),(2.13) συνδέονται μέσω της συνάρτησης v(x). Ορισμός [40] Έστω διανυσματική συνάρτηση v(x), v : R n R p, και ημιμονότονη μη φθίνουσα συνάρτηση h(y), h : R p R p ώστε v(x(t)) (2.5) h(v(x(t)) (2.14) Τότε, το σύστημα ẏ(t) = h(y(t)) (2.15) ονομάζεται σύστημα σύγκρισης (ΣΣ) του (2.5). Τα δύο συστήματα (2.5),(2.15) συνδέονται μέσω της συνάρτησης v(x). Αν υπάρχουν δύο διανύσματα x 0 R n, y(0) = y 0 R p ώστε v(x 0 ) y 0, τότε v(x(t;t 0,x 0 )) y(t;t 0,y 0 ), t t 0. Σε γενικές γραμμές [38], [39], οι τροχιές του συστήματος σύγκρισης (2.13) φράσσουν τη συνάρτηση v(x), όταν αυτή ακολουθεί τη δυναμική του αρχικού συστήματος (2.6). Ανακεφαλαιώνοντας, η δυναμική των συστημάτων σύγκρισης περιγράφεται από μια μη φθίνουσα ή ημιμονότονη μη φθίνουσα συνάρτηση, ανάλογα αν βρίσκεται κάποιος στο διακριτό ή συνεχές πεδίο του χρόνου. Τα συστήματα αυτά συνδέονται μέσω μιας διανυσματικής συνάρτησης κατηγορίας B με τα αρχικά συστήματα (2.6),(2.5). Στη συνέχεια, αποκαλύπτεται η σχέση που έχουν τα δύο συστήματα όσον αφορά την ευστάθεια του σημείου ισορροπίας. Τόσο για τα αρχικά συστήματα (2.6),(2.5) όσο και για τα αντίστοιχα συστήματα σύγκρισης (2.15),(2.13) το μηδενικό σημείο θεωρείται σημείο ισορροπίας. Θεώρημα [29] Θεωρούμε διανυσματική συνάρτηση v(x),v : R n R p η οποία ανήκει στην κατηγορία B. Τότε, αν υπάρχει ΣΣ το οποίο συνδέεται μέσω της v(x) με το σύστημα (2.6), και θετικό διάνυσμα w > 0, w R n ώστε h(w) w, το σύνολο R(v,w) = {x R n : v(x) w} είναι ΘΑ ως προς το (2.6). 15

30 2.6. ΣΥΝΟΨΗ h(rw) εrw, r [0,1], 0 ε < 1, τα σύνολα R(v,w) = {x R n : v(x) rw} είναι εσ ως προς το σύστημα (2.6). Επιπλέον, αν η συνάρτηση v (x), v : R n R { } v vi (x) (x) = max 1 i p w i (2.16) είναι θετικά ορισμένη, x R(v,w), είναι ΣL για το σύστημα (2.6). Ανάλογα αποτελέσματα έχουν παρουσιαστεί για τα συστήματα συνεχούς χρόνου: Θεώρημα [28] Θεωρούμε διανυσματική συνάρτηση v(x),v : R n R p η οποία ανήκει στην κατηγορία B. Τότε, αν υπάρχει ΣΣ το οποίο συνδέεται μέσω της v(x) με το σύστημα (2.5), και θετικό διάνυσμα w > 0, w R n ώστε h(w) 0, το σύνολο R(v,w) = {x R n : v(x) w} είναι ΘΑ ως προς το (2.5). h(rw) εrw, r [0,1], ε > 0, τα σύνολα R(v,w) = {x R n : v(x) rw} είναι εσ ως προς το σύστημα (2.5). Επιπλέον, αν η συνάρτηση v (x), v : R n R { } v vi (x) (x) = max 1 i p w i (2.17) είναι θετικά ορισμένη, x R(v,w), είναι ΣL για το σύστημα (2.6). Τα συστήματα σύγκρισης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ανάλυση ευστάθειας, ειδικά όταν συνδέονται με το αρχικό σύστημα μέσω διανυσματικής συνάρτησης v(x) που έχει παρόμοια χαρακτηριστικά με μια ΣL. Αξίζει να υπογραμμίσουμε την ικανότητα της μεθόδου να εξάγει ΘΑ, εσ σύνολα, όπως φαίνεται από τα Θεωρήματα 2.5.6, Καθώς τα συστήματα που μελετάμε στη συνέχεια της διατριβής υπόκεινται σε περιορισμούς, τα πρόβλημα ανάλυσης και ελέγχου που διατυπώνονται για όλους τους τύπους των υπό μελέτη συστημάτων ανάγονται στο πρόβλημα εύρεσης συστήματος σύγκρισης που συνδέεται με το υπό μελέτη συστήμα μέσω μιας συγκεκριμένου τύπου συνάρτησης v(x). 2.6 Σύνοψη Σε αυτό το κεφάλαιο αναφέρθηκαν τα βασικά θεωρητικά εργαλεία στα οποία στηρίχτηκαν τα αποτελέσματα της παρούσας διατριβής. Αρχικά, περιγράφτηκαν τα είδη των δυναμικών συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου που θα μελετήθουν, και ορίστηκαν τα διαφορετικά είδη ευστάθειας σημείου ισορροπίας. Στη συνέχεια η ευστάθεια 16

31 2.6. ΣΥΝΟΨΗ συσχετίστηκε με τις συναρτήσεις Lyapunov, ενώ φάνηκε η σχέση των συνόλων που ορίζονται από τη ΣL με την ιδιότητα της θετικής αμεταβλητότας και συστολικότητας ως προς τα συστήματα (2.5),(2.6). Ακόμα, παρουσιάστηκαν τα συστήματα σύγκρισης όπου αναδείχθηκε η συσχέτιση μεταξύ των ιδιοτήτων ευστάθειας και ύπαρξης θετικών αμετάβλητων και ε-συστολικών συνόλων [41], [29], [28]. Στα επόμενα κεφάλαια θα δούμε αναλυτικά πώς μπορούν να εφαρμοστούν οι μέθοδοι αυτές για το πρόβλημα της ανάλυσης και εύρεσης ελέγχου για δυναμικά συστήματα, που μπορεί να υπόκεινται σε περιορισμούς. 17

32 Κεφάλαιο 3 Γραμμικά συστήματα 3.1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο ασχολούμαστε με την ανάλυση και την εύρεση ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης για γραμμικά συστήματα που περιγράφονται στο διακριτό ή συνεχές πεδίο του χρόνου παρουσία περιορισμών, καθώς και με την εκτίμηση της ΠΕ του μηδενικού σημείου ισορροπίας. Αρχικά, δίνονται οι περιγραφές των γραμμικών αυτόνομων και μη αυτόνομων συστημάτων. Στη συνέχεια, εισάγεται η έννοια των περιορισμών, η οποία θα μας απασχολήσει στο υπόλοιπο της διατριβής. Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι οι καταστάσεις και οι είσοδοι επιτρέπεται να βρίσκονται σε ένα υποσύνολο του χώρου στον οποίο ορίζονται, το οποίο είναι πολυεδρικό, και δίνουμε τις δύο, δυικές μεταξύ τους, περιγραφές του. Στη συνέχεια αναφέρουμε αποτελέσματα που αφορούν το χαρακτηρισμό ΘΑ, εσ πολυεδρικών συνόλων και πολυεδρικων ΠΕ. Παρουσιάζονται δύο κατηγορίες αποτελεσμάτων που αφορούν την εύρεση πολυεδρικών ΣL μέσω ΣΣ και την ύπαρξη πολυεδρικών συνόλων που ανάγονται σε συνθήκες που αφορούν τις κορυφές τους, όταν η περιγραφή του συνόλου γίνεται μέσω της κυρτής θήκης των κορυφών του. Στο μέρος που απομένει αναφέρουμε τα κύρια αποτελέσματα της διατριβής για γραμμικά συστήματα μέσω της λύσης δύο προβλημάτων, i) το πρόβλημα αρχικών συνθηκών και ii) το πρόβλημα προσδιορισμού του μέγιστου αμετάβλητου συνόλου. Το πρώτο πρόβλημα αφορά την εύρεση ενός νόμου ελέγχου για ένα a priori ορισμένο σύνολο αρχικών συνθηκών ώστε όλες οι τροχιές που ξεκινάνε από το σύνολο να μεταφέρονται ασυμπτωτικά στο μηδενικό σημείο ισορροπίας με ταυτόχρονη ικανοποίηση των περιορισμών στις εισόδους ή/και στο χώρο κατάστασης. Η αλγοριθμική διαδικασία που προτείνουμε εγγυάται την εύρεση λύσης στο πρόβλημα όταν αυτό έχει λύση. Το δεύτερο πρόβλημα που μελετάται είναι ο προσδιορισμός του μέγιστου αμετάβλητου συνόλου για ένα γραμμικό σύστημα με περιορισμούς, δηλαδή ο προσδιορισμός του συνόλου που περιέχει όλα τα αμετάβλητα σύνολα ως προς το σύστημα. Το αποτέλεσμα που παρουσιάζουμε βασίζεται σε μια επαναληπτική μέθοδο διεύρυνσης ενός αμετάβλητου συνόλου και οδηγεί στον υπολογισμό μιας ακολουθίας 18

33 3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ αμετάβλητων συνόλων που συγκλίνει στο μέγιστο Περιγραφή του συστήματος Θεωρούμε γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα. Τα αυτόνομα συστήματα συνεχούς χρόνου περιγράφονται από το σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης ẋ(t) = Ax(t), (3.1) x R n, A R n n, t R. Αντίστοιχα, τα αυτόνομα συστήματα διακριτού χρόνου περιγράφονται από το σύστημα εξισώσεων διαφορών x(t + 1) = Ax(t), (3.2) x R n, A R n n, t Z. Η γενική μορφή των μη αυτόνομων γραμμικών συστημάτων είναι ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (3.3) για τα συστήματα συνεχούς χρόνου, και x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) (3.4) για τα συστήματα διακριτού χρόνου, όπου x R n το διάνυσμα των καταστάσεων, u R m το διάνυσμα των εισόδων, ενώ οι πίνακες των συστημάτων είναι A R n n, B R n m. Σε όλες τις περιπτώσεις, ο έλεγχος που υπολογίζουμε είναι έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης u(t) = g(x(t)), όπου g : R m R n. Τότε, τα συστήματα κλειστού βρόχου περιγράφονται από τις εξισώσεις ẋ = Ax(t) + Bg(x(t)) (3.5) x(t + 1) = Ax(t) + Bg(x(t)). (3.6) Περιορισμοί Σε αυτό το μέρος παρουσιάζουμε αναλυτικά τις δύο αναπαραστάσεις των πολυεδρικων περιορισμών. Στις περισσότερες των περιπτώσεων, οι περιορισμοί περιγράφονται σε μορφή γραμμικών ανισοτήτων. Για παράδειγμα, για ένα σύστημα n τάξης, το σύνολο των περιορισμών ορίζεται ως x(t) X, όπου X = {x R n : g i 1 x 1 +g i 2 x g i n w i, i = 1,..., p}. Έτσι, για τις μεταβλητές του χώρου κατάστασης θεωρούμε x(t) S x, t > 0, όπου S x (G x,w x ) = {x R n : G x x w x }, (3.7) G x R p x n, w R p x, w x > 0. Για τους περιορισμούς στο χώρο των εισόδων u(t) S u, t > 0, όπου S u (G u,w u ) = {u R m : G u u w u }, (3.8) 19

34 3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ G u R p u m, και w u > 0, w u R p u. Απαιτώντας τα διανύσματα w u,w x να είναι θετικά, τα σύνολα S x,s u έχουν το μηδενικό σημείο στο εσωτερικό τους. Όταν εφαρμόζεται έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης, οι περιορισμοί στην είσοδο u S u ανάγονται σε περιορισμούς στο χώρο των καταστάσεων x S u(x), δηλαδή S u(x) = {x R n : g(x) S u :} = {x R n : G u g(x) w u }. (3.9) Μάλιστα, στην περίπτωση που η απεικόνιση g είναι γραμμική, το σύνολο S u(x) είναι και αυτό πολυεδρικό. 1 Η αναπαράσταση των συνόλων σε αυτή τη μορφή, δηλαδή ως τομή των υπερεπιπέδων G T xi = w i, i = 1,.., p, όπου G xi οι γραμμές του πίνακα G x ονομάζεται H- αναπαράσταση. Η δυική περιγραφή των πολυεδρικών συνόλων γίνεται μέσω της κυρτής θήκης των κορυφών τους και ονομάζεται V- αναπαράσταση. Έτσι, η V- περιγραφή των συνόλων S x,s u είναι S x (V x ) = conv { Vx 1,Vx 2,...,V q } { x x = x R n : ( λ R q x : x = V x λ, e T q x λ 1, λ 0 )} 2 (3.10) όπου Vx, i i = 1,..,q x είναι οι στήλες του πίνακα V x R n q x, και S u (V u ) = conv { Vu 1,Vu 2,...,V q } { u u = u R m : ( λ R q u : u = V u λ, e T q u λ 1, λ 0 )} (3.11) με Vu, i i = 1,..,q u τις στήλες του πίνακα V u R m q u. Έχει αποδειχτεί πως οι δύο αναπαραστάσεις είναι ισοδύναμες [42]. Ωστόσο, αξίζει να σημειώσουμε πως οι δύο αναπαραστάσεις δεν είναι αλγοριθμικά ισοδύναμες, με την έννοια ότι μπορεί η μια να είναι μεγαλύτερης πολυπλοκότητας από την άλλη. Όταν υπάρχουν περιορισμοί, έχει νόημα να υπολογιστούν τα αμετάβλητα σύνολα τα οποία βρίσκονται μέσα στο σύνολο που ορίζεται από τους περιορισμούς. Έτσι, είναι σκόπιμο να ορίσουμε περιοχές στις οποίες οι περιορισμοί τηρούνται: Ορισμός Το αποδεκτό σύνολο S α στο χώρο καταστάσεων ως προς τα συστήματα (3.5),(3.6) παρουσία περιορισμών είναι S α = { x : x S x,x S u(x) } = Sx S u(x) (3.12) Για τα αυτόνομα συστήματα (3.1),(3.2), είναι προφανές πως το αποδεκτό σύνολο είναι το σύνολο των περιορισμών στο χώρο κατάστασης, δηλαδή S α = S x. 1 Στη βιβλιογραφία ο όρος πολύεδρο εναλλάσσεται με το πολύτοπο. Ενώ γενικά τα πολυεδρικά σύνολα ορίζονται στις 3 διαστάσεις, φαίνεται ότι ο όρος πολυεδρική συνάρτηση Lyapunov καθώς και πολυεδρικά σύνολα έχουν καθιερωθεί. Επίσης, σε πολλές περιπτώσεις το πολύεδρο αναφέρεται ως σύνολο που είναι πιθανώς μη φραγμένο, ενώ το πολύτοπο αντιστοιχεί σε φραγμένα σύνολα. Στο υπόλοιπο της διατριβής, καθιερώνεται ο όρος πολύεδρο-πολυεδρική συνάρτηση Lyapunov. 2 Είμαστε σε θέση να ορίσουμε την κυρτή θήκη με αυτόν τον τρόπο καθώς το μηδενικό σημείο είναι εσωτερικό σημείο των κλειστών φραγμένων συνόλων S x,s u. 20

35 3.2. ΘΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣ ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕ 3.2 ΘΑ σύνολα, εσ σύνολα και εκτίμηση της ΠΕ Σε αυτό το μέρος αναφέρονται αποτελέσματα που έχουν οδηγήσει στο χαρακτηρισμό πολυεδρικών ΘΑ, εσ συνόλων και της ευστάθειας/ασυμπτωτικής ευστάθειας του σημείου ισορροπίας για γραμμικά συστήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου Πολυεδρικές συναρτήσεις Lyapunov Η ύπαρξη ΘΑ ή/και εσ συνόλων έχει απασχολήσει την επιστημονική κοινότητα, ειδικά όταν το σύστημα έχει περιορισμούς στην είσοδο ή/και τις καταστάσεις. Όπως είναι γνωστό [17], αν ο πίνακας A των συστημάτων (3.1),(3.2) έχει ευσταθείς ιδιοτιμές, τότε πάντα μπορούμε να εκτιμήσουμε την περιοχή ελκτικότητας του συστήματος με ένα ελλειψοειδές σύνολο το οποίο είναι και θετικά αμετάβλητο. H εύρεση τέτοιων συνόλων υπονοεί την ύπαρξη τετραγωνικής ΣL που ορίζεται από τη σταθμισμένη νόρμα δύο V (x) = x P 2 = xt Px, όπου P 0, P = P T, P R n n. Πολλές φορές, η ύπαρξη πολυεδρικών περιορισμών στις καταστάσεις δεν επιτρέπει την ικανοποιητική εκτίμηση της ΠΕ μέσω ελλειψοειδών συνόλων. Στη συνέχεια παραθέτονται αναγκαίες και ικανές συνθήκες ύπαρξης πολυεδρικών ΘΑ, εσ συνόλων. Συγκεκριμένα, περιγράφονται συνθήκες που αν ικανοποιούνται ισοδυναμούν με την ύπαρξη συμμετρικών πολυεδρικών συνόλων, πολυεδρικών συνόλων με παράλληλες έδρες, και πολυεδρικων συνόλων γενικής μορφής. H πρώτη προσέγγιση για τον υπολογισμό πολυεδρικών αμετάβλητων συνόλων είναι να επιλέξουμε ως υποψήφιο ΘΑ,εΣ το σύνολο της μορφής S(P,e p,e p ) = {x R n : e p Px e p }, (3.13) P R n n,rankp = n. Τα σύνολα αυτής της μορφής είναι συμμετρικά ως προς το μηδενικό σημείο και ονομάζονται 0 συμμετρικά. Η απαίτηση rankp = n εγγυάται πως το σύνολο S είναι φραγμένο. Θεώρημα [43] Ικανή και αναγκαία συνθήκη ύπαρξης ΘΑ ή εσ πολυεδρικού συνόλου (3.13) για γραμμικά συστήματα συνεχούς χρόνου (3.1) είναι η ύπαρξη πίνακα Q R p p ώστε PA = QP Qe T p εe T p, όπου Q πίνακας με στοιχεία q ii = q ii, και q i j = q i j, και PA = QP Q e T p εe T q 21

36 3.2. ΘΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣ ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕ για τα γραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου (3.2). Η συνάρτηση V (x) = Px είναι συνάρτηση Lyapunov για τα συστήματα (3.1),(3.2). όπου Το σύνολο S(P,e p,e p ) μπορεί να γραφεί σε πιο συμπαγή μορφή S(P,e 2p ) = {x R n : P x e 2p } [ P P = P ] [ ep,e 2p = e p Μια δεύτερη προσέγγιση εύρεσης πολυεδρικών ΘΑ,εΣ συνόλων αφορά σύνολα με παράλληλες έδρες, της μορφής S(G,w 1,w 2 ) = {x R n : w 2 Gx w 1 } = {x R n : v(x) w}, (3.14) όπου G R p n, w 1,w 2 R p, w 1 > 0, w 2 > 0, και [ ] G v(x) = x,w = G [ w1 w 2 ] ]. (3.15) Θεώρημα [22], [23] Ικανή και αναγκαία συνθήκη ύπαρξης ΘΑ ή εσ πολυεδρικού συνόλου S(G,w 1,w 2 ) είναι η ύπαρξη πίνακα H R p p ώστε και [ H + H H H + GA = HG ][ για το σύστημα διακριτού χρόνου (3.2), ενώ [ H δ + H µ+ H µ H µ H δ + H µ+ w 1 w 2 ] ][ ε w 1 w 2 [ ] w 1 w 2 ] ε για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. H συνάρτηση { v (Gx)i (x) = max, (Gx) } i 1 i p (w 1 ) i (w 2 ) i είναι ΣL για τα συστήματα (3.1),(3.2). Για το σύστημα διακριτού χρόνου (3.2), η ύπαρξη ΘΑ,εΣ συνόλων (3.14) είναι ισοδύναμη με ύπαρξη ΣΣ που συνδέεται μέσω συνάρτησης v(x) (3.15) με το (3.2) [ y 1 (t + 1) y 2 (t + 1) ] = [ H + H H H + ][ [ y 1 (t) y 2 (t) ενώ το αντίστοιχο ΣΣ για τα συστήματα συνεχούς χρόνου (3.1) είναι [ ] [ ][ ] ẏ 1 (t) H δ + H µ+ H µ y 1 (t) = ẏ 2 (t) H µ H δ + H µ+ y 2 (t) w 1 w 2 ] ] 22

37 3.2. ΘΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣ ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕ Τέλος, αναφέρουμε αναγκαίες και ικανές συνθήκες ύπαρξης πολυεδρικών ΘΑ, εσ συνόλων γενικής μορφής R(v,w) = {x R n : v(x) w} ή όπου G R p n, w R p,w > 0. S(G,w) = {x R n : Gx w} (3.16) v(x) = Gx, Θεώρημα [21], [23] Αναγκαία και ικανή συνθήκη ύπαρξης ΘΑ, εσ συνόλων S(G, w) (3.16) για γραμμικά συστήματα συνεχούς χρόνου είναι η ύπαρξη πίνακα H R p p με μη αρνητικά μη διαγώνια στοιχεία ώστε GA = HG (3.17) Hw εw (3.18) ε > 0, ενώ για τα συστήματα διακριτού χρόνου η ύπαρξη πίνακα H R p p με μη αρνητικά στοιχεία ώστε Η συνάρτηση GA = HG (3.19) Hw εw, (3.20) { } v (Gx)i (x) = max 1 i p w i (3.21) είναι ΣL για τα συστήματα (3.1),(3.2). Τα αντίστοιχα ΣΣ είναι y(t + 1) = Hy(t) για το σύστημα (3.2), και ẏ(t) = Hy(t) για το σύστημα συνεχούς χρόνου (3.1). Μπορούμε να δούμε τα διάφορα ΘΑ,εΣ στο επόμενο παράδειγμα που αφορά σύστημα διακριτού χρόνου δεύτερης τάξης. Παράδειγμα Έστω γραμμικό σύστημα διακριτού χρόνου (3.1) με πίνακα Α [ ] A = Στο σχήμα (3.1) φαίνονται τα ε-συστολικά σύνολα S i, i = 1,..,4 που προκύπτουν επιλέγοντας όλα τα είδη των συναρτήσεων Lyapunov V i (x) που αναφέρονται παρακάτω. Πιο συγκεκριμένα, οι συναρτήσεις Lyapunov είναι της μορφής 23

38 3.2. ΘΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣ ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕ x x 1 Σχήμα 3.1: ε-συστολικά σύνολα για το σύστημα διακριτού χρόνου: S 1 ελλειψοειδές, S 2 συμμετρικό πολύεδρο ως προς το μηδενικό σημείο, S 3 πολύεδρο με παράλληλες έδρες, S 4 πολύεδρο γενικής μορφής V 1 (x) = x P 2 V 2 (x) = x G 2 { (G3 x) V 3 (x) = max i, ( G } 3x) i 1 i 2 w 31i w 32i { } (G4 x) V 4 (x) = max i 1 i 6 και τα αντίστοιχα σύνολα που σχηματίζονται είναι w 4i S 1 = { x R 2 : x T Px 1 },P R 2 2,P 0 S 2 = { x R 2 : e 2 G 2 x e 2 },G2 R 2 2,rankG 2 = 2 S 3 = { x R 2 : w 32 G 3 x w 31 },G3 R 2 2,rankG 3 = 2 S 4 = { x R 2 : G 4 x w 4 },G4 R 6 2,rankG 4 = 2 Όλα τα παραπάνω σύνολα είναι εσ. Όπως θα φανεί παρακάτω, η κατασκευή συνόλων της μορφής S 4 δίνει τις λιγότερο συντηρητικές λύσεις σε προβλήματα ανάλυσης και ελέγχου, ιδίως όταν το σύστημα υπόκειται σε περιορισμούς. 24

39 3.2. ΘΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣ ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕ Παρατήρηση Στα προηγούμενα θεωρήματα οι συνθήκες ύπαρξης αφορούν τον χαρακτηρισμό ΘΑ και εσ συνόλων. Έτσι, αν ε = 0, ή ε = 1 για το σύστημα συνεχούς και διακριτού χρόνου αντίστοιχα, οι συνθήκες χαρακτηρίζουν το σύνολο S ως ΘΑ, ενώ αν ε > 0 ή ε < 1 το σύνολο S είναι εσ Συνθήκες κορυφών Σε αυτό το μέρος περιγράφουμε τις συνθήκες ύπαρξης πολυεδρικών ΘΑ,εΣ συνόλων για γραμμικά συστήματα, όταν τα σύνολα S(V ) περιγράφονται μέσω της V- αναπαράστασης S(V ) = conv{v 1,V 2,...,V q }, (3.22) όπου V i, i = 1,...,q είναι οι στήλες του πίνακα V R n q. Όλες οι αποδείξεις των θεωρημάτων που παραθέτουμε βρίσκονται στο βιβλίο [11]. Σε γενικές γραμμές, για να αποδειχτεί η θετική αμεταβλητότητα του συνόλου (3.22) για γραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου, αρκεί να δείξουμε πως κάθε τροχιά που αρχίζει από τις κορυφές του συνόλου παραμένει στο σύνολο, ενώ για τα συστήματα συνεχούς χρόνου η παράγωγος του συστήματος στις κορυφές ανήκει στον εφαπτόμενο κώνο [44] του συνόλου [45]. Πρώτα, παρουσιάζουμε το αποτέλεσμα για αυτόνομα συστήματα. Θεώρημα Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το σύνολο S (3.22) ΘΑ, εσ ως προς τα συστήματα (3.1),(3.2) είναι η ύπαρξη πίνακα P R q q ώστε AV = V P (3.23) και e T q P εe T q (3.24) για τα συστήματα διακριτού χρόνου (3.2), ενώ για τα συστήματα συνεχούς χρόνου (3.1). P 0 (3.25) e T q P εe T q (3.26) p i j 0, i j (3.27) Χρησιμοποιώντας την V- αναπαράσταση των πολυεδρικών συνόλων (3.22), έχουν εδραιωθεί ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε να υπάρχει έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης u = g(x(t)) που καθιστά το σύνολο S(V ) ΘΑ,εΣ ως προς τα συστήματα κλειστού βρόχου (3.5),(3.6). Για να παρουσιάσουμε αυτό το σημαντικό αποτέλεσμα, πρέπει πρώτα να εισάγουμε δύο νέες ιδιότητες που μπορεί να έχει ένα συνόλο ως προς ένα δυναμικό σύστημα, την αμεταβλητότητα με έλεγχο, και τη ε-συστολικότητα με έλεγχο. 25

40 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Ορισμός Ένα σύνολο S R n του χώρου κατάστασης είναι αμετάβλητο με έλεγχο (ΑΕ) ως προς τα συστήματα (2.1),(2.3) αν υπάρχει έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης u(t) = g(x(t)) ώστε το S είναι να είναι ΘΑ ως προς τα συστήματα κλειστού βρόχου (2.2),(2.4). Ορισμός Ένα σύνολο S R n του χώρου κατάστασης είναι ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο (εσαε) ως προς το (2.1),(2.3) αν υπάρχει έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης u(t) = g(x(t)) ώστε το S είναι εσ ως προς το (2.2),(2.4). Θεώρημα [27] [11]. Το σύνολο S(V ), V R n n είναι ΑΕ, εσαε αν και μόνο αν υπάρχουν πίνακες U R m q, P R q q ώστε AV + BU = V P (3.28) και e T q P εe T q (3.29) για τα συστήματα διακριτού χρόνου, ενώ για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. P 0 (3.30) e T q P εe T q (3.31) p i j 0, i j (3.32) Ο ρόλος του πίνακα U είναι κρίσιμος καθώς περιέχει όλη την πληροφορία για τον υπολογισμό στρατηγικής ελέγχου u(x), όπως θα δούμε παρακάτω. Για τα συστήματα διακριτού χρόνου, για την κορυφή V i του συνόλου S(V ), ισχύει V i + BU i = V P i, όπου P i η i στήλη του πίνακα P, και σε συνδυασμό με τη σχέση q Pj i ε εύκολα συμπεραίνουμε j=1 η τροχιά που ξεκινάει από κάθε κορυφή του συνόλου την επόμενη στιγμή ανήκει στο εσωτερικό του συνόλου, δηλαδή x(1;v i ) ints(v ) ή x(1;v i ) εs(v ). 3.3 Πρόβλημα αρχικών συνθηκών Στην περίπτωση των αυτόνομων (3.1),(3.2) και μη αυτόνομων (3.3),(3.4) γραμμικών συστημάτων, αν ο πίνακας A έχει ευσταθείς ιδιοτιμές, η ΠΕ D του σημείου ισορροπίας είναι ολόκληρος ο χώρος κατάστασης D = R n. Στην περίπτωση όμως που εισάγονται περιορισμοί στις καταστάσεις ή/και στον έλεγχο (3.7),(3.8), ακόμα και αν το σύστημα είναι ευσταθές, είναι αναγκαίο να κάνουμε μια εκτίμηση της ΠΕ που είναι 26

41 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ υποσύνολο ή στην καλύτερη περίπτωση ίση με το αποδεκτό σύνολο D S α. Το γενικότερο πλαίσιο στο οποίο μπορούμε να θέσουμε το πρόβλημα ανάλυσης και ελέγχου συστηματων με περιορισμους, είναι το πρόβλημα αρχικών συνθηκών. Στη συνέχεια, αναλύεται το πρόβλημα για αυτόνομα και μη αυτόνομα γραμμικά συστήματα Αυτόνομα γραμμικά συστήματα. Το πρόβλημα συνόλου αρχικών συνθηκών συνοψίζεται ως εξής: Πρόβλημα 3.1 Θεωρούμε γραμμικά αυτόνομα συστήματα συνεχούς ή διακριτού χρόνου (3.1),(3.2). Ζητείται να βρεθούν οι συνθήκες που εγγυώνται ότι όλες οι τροχιές των συστημάτων που ξεκινούν από ένα σύνολο αρχικών συνθηκών S x0 S x, x 0 S x0, όπου S x0 (G x0,w x0 ) = {x R n : G x0 x w x0 }, (3.33) S x0 (V x0 ) = conv{v 1 x 0,V 2 x 0,...,V q x 0 x 0 } G x0 R p x 0 n, w x0 > 0, w x0 R p x 0, μεταφέρονται ασυμπτωτικά στο μηδενικό σημείο ισορροπίας, ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί (3.7) x(t) S x, t S x 2 Ω x 2 0 S x x 1 Σχήμα 3.2: Σύνολο αρχικών συνθηκών S x0, σύνολο περιορισμών S x, θετικά αμετάβλητο σύνολο και περιοχή ελκτικότητας Ω. Όπως έχει αποδειχτεί για τη γενική περίπτωση των μη γραμμικών συστημάτων [29], το Πρόβλημα 3.1 έχει λύση αν και μόνο αν υπάρχει ένα σύνολο Ω το οποίο είναι ΘΑ και ΠΕ, για το οποίο επιπλέον ισχύει η σχέση S x0 Ω S x. Η σχέση αυτή φαίνεται στο Σχήμα 3.2, για ένα σύστημα δευτέρας τάξης. Έτσι, είμαστε σε θέση να θέσουμε ένα ισοδύναμο Πρόβλημα 3.1: 27

42 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Ισοδύναμο Πρόβλημα 3.1 Θεωρούμε γραμμικά αυτόνομα συστήματα (3.1),(3.2), και ένα σύνολο αρχικών συνθηκών x 0 S x0 (3.33). Ζητείται να βρεθεί πολυεδρικό σύνολο Ω το οποίο να είναι ΘΑ και ΠΕ ως προς τα (3.1),(3.2), και ταυτόχρονα να ικανοποιεί τις σχέσεις S x0 Ω S x. (3.34) Μια πιθανή λύση μπορεί να προκύψει θέτοντας Ω = S x0 και εφαρμόζοντας τα Θεωρήματα 3.2.3, θέτοντας G = G x0, V = V x0 αντίστοιχα. Κατά παρόμοιο τρόπο, το Πρόβλημα 3.1 έχει λύση θεωρώντας Ω = S x. Ωστόσο, είναι προφανές πως δεν είναι αναγκαίο τα σύνολα S x0 ή S x να είναι ΘΑ, εσ για να έχει λύση το Πρόβλημα 3.1. Από την άλλη μεριά, η εύρεση ΘΑ συνόλου και ΠΕ Ω Ω(G,w) = {x R n : Gx w} = Ω(V ) = conv { V 1,V 2,...,V q}, (3.35) G R p n, w > 0, w R p, V R n q, που ικανοποιεί τη σχέση (3.34) είναι αναγκαία προϋπόθεση για να έχει λύση το πρόβλημα. Για την H αναπαράσταση του Ω, η λύση στη γενική περίπτωση του Προβλήματος 3.1 ανάγεται στην εύρεση των ακόλουθων πινάκων H, H R p p, G R p n, w R p, L 1 0, L 1 R p p x 0, L 2 0, L 2 R p x p ώστε να ισχύουν οι σχέσεις και για τα συστήματα διακριτού χρόνου, ενώ GA = HG (3.36) L 1 G x0 = G (3.37) L 1 w x0 w (3.38) L 2 G = G x (3.39) L 2 w w x (3.40) Hw εw (3.41) H 0 (3.42) Hw εw (3.43) h i j 0, i j (3.44) για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. Οι σχέσεις (3.36),(3.41)-(3.44) προκύπτουν από την άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Η ικανοποίηση των (3.37),(3.38) εξασφαλίζει τη σχέση S x0 Ω, ενώ οι (3.39),(3.40) αφορούν τη σχέση Ω S x. Η μετατροπή των σχέσεων μεταξύ συνόλων σε αλγεβρικές εξισώσεις και ανισότητες προκύπτει από το γενικευμένο λήμμα του Farkas, το οποίο παραθέτουμε: 28

43 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Λήμμα Θεωρούμε δύο πολυεδρικά σύνολα S A R n, S B R n, όπου S A = {x R n : G A x w A } G A R p A n,w A R p A S B = {x R n : G B x w B } G B R p B n,w B R p B, τα οποία περιέχουν το μηδενικό σημείο. Τότε, η σχέση S A S B ικανοποιείται αν και μόνο αν υπάρχει μη αρνητικός πίνακας L R p B p A ώστε να ισχύουν οι σχέσεις. LG A = G B Lw A w B Για την V αναπαράσταση του συνόλου Ω(V ) (3.35), το Πρόβλημα 3.1 έχει λύση αν και μόνο αν υπάρχουν πίνακες V R n q, L R q x 0 q, ώστε να οι ισχύουν οι σχέσεις και για τα συστήματα διακριτού χρόνου, ενώ AV = V P (3.45) G x V i w x, i = 1,...,q (3.46) V x0 = V L (3.47) e T q x0 L e T q (3.48) e T q P εe T q (3.49) P 0 (3.50) e T q P εe T q (3.51) p i j 0, i j (3.52) για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. Οι σχέσεις (3.45), (3.49)-(3.52) προκύπτουν από την άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Η (3.46) εξασφαλίζει τη σχέση Ω S x ενώ οι σχέσεις (3.47),(3.48) αφορούν τη S x0 Ω. Πιο συγκεκριμένα, οι σχέσεις (3.47), (3.48) αποτελούν τη γενίκευση του δυϊκού λήμματος του Farkas, το οποίο παραθέτουμε: Λήμμα Έστω πολυεδρικά σύνολα S A R n, S B R n S A = conv { V 1 A,V 2 A,...,V q A A S B = conv { V 1 B,V 2 B,...,V q B B } } V A R n q A V B R n q B Τότε, η σχέση S A S B ικανοποιείται αν και μόνο αν υπάρχει πίνακας L R q B q A ώστε να ισχύουν οι σχέσεις V A = V B L e T q B L e T q A 29

44 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Απόδειξη: Αποδεικνύεται το ικανό μέρος. Αν S A S B τότε για κάθε κορυφή V j A, j = 1,...,q A του συνόλου S A υπάρχει ένα μη αρνητικό διάνυσμα l j R q B, j = 1,...,q A ώστε V j A = q B i=1 l j i V i B, q B l j i 1, i=1 l j i 0, ή σε πιο συμπαγή μορφή ή V j A = V Bl j, j = 1,...,q A V A = V B L Επίσης, επειδή q B l j i 1, j = 1,...,q A, ισχύει i=1 e T q B L e T q A. Όπως μπορεί να παρατηρήσει κάποιος, τόσο οι σχέσεις (3.36)-(3.44) που σχετίζονται με την H αναπαράσταση των συνόλων όσο και οι (3.45)-(3.52) για την V αναπαράσταση, παρέχουν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τη λύση του Προβλήματος 3.1. Ωστόσο, η επίλυση των σχέσεων παρουσιάζει δύο πολύ σημαντικές δυσκολίες: οι σχέσεις (3.36),(3.39) και (3.45),(3.47) είναι μη γραμμικές καθώς περιέχουν γινόμενα πινάκων και το πρόβλημα επίλυσης είναι μη κυρτό. Επίσης, οι διαστάσεις p, q των πινάκων G, V δεν είναι ορισμένες, οπότε αποτελούν μια ακόμη παράμετρο που πρέπει να ληφθεί υπόψιν για την επίλυση του Προβλήματος 3.1. Έτσι, είναι ξεκάθαρο πως εκτός των απλών περιπτώσεων, όπου τα πολυεδρικά σύνολα είναι χαμηλής πολυπλοκότητας και οι διάσταση του χώρου κατάστασης είναι μικρή, οι συνθήκες που ισοδυναμούν με λύση του Προβλήματος 3.1 δεν είναι χρήσιμες. Δεν είναι τυχαίο πως υπάρχει μια πληθώρα επιστημονικών δημοσιεύσεων όπου γίνεται προσπάθεια να παρακαμφθεί το πρόβλημα επίλυσης των συνθηκών. Το παρακάτω θεώρημα παρέχει ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τη λύση του Προβλήματος 3.1: Θεώρημα [46] Το Πρόβλημα 3.1 έχει λύση αν και μόνο αν οι τροχιές x(t;v i x 0 ),, t 0 που ξεκινούν από κάθε κορυφή του συνόλου αρχικών συνθηκών V i x 0,i = 1,...,q x0 μεταφέρονται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων T i στο εσωτερικό του συνόλου x(t i ;V i x 0 ) ints x0, ενώ τηρούνται οι περιορισμοί. Ακολουθώντας τη φιλοσοφία του παραπάνω Θεωρήματος, είναι εύκολο να αποδειχτεί η ύπαρξη του ΘΑ συνόλου Ω που ικανοποιεί τη σχέση (3.34), το οποίο είναι καιπε, και ορίζεται από τη σχέση Ω = S x0 K { x ( j;v i x0 ), i = 1,...,qx0, j = 1,...,T i }, όπου x( j;v i x 0 ) είναι οι τροχιές του συστήματος (3.2) ώστε x ( T i ;V i x 0 ) intsx0,i = 1,..,q x0. 30

45 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Παρατήρηση Το σύνολο Ω που προκύπτει από την παραπάνω σχέση είναι το μικρότερο ΘΑ σύνολο και ΠΕ ως προς το σύστημα (3.2) που ικανοποιεί τη συνθήκη (3.34). Το παραπάνω αποτέλεσμα επιτρέπει να κατασκευάσουμε μια επαναληπτική μέθοδο για τον υπολογισμό του συνόλου Ω. Στη συνέχεια, θεωρούμε την ακολουθία συνόλων E i, i = 1,..,q x0 με E 0 = S x0 και K { E i+1 = E i x ( j;vx i ) } 0, j = 1,...,T i όπου x ( j;vx i 0 ), i = 1,...,Ti προκύπτει από τη λύση του προβλήματος με περιορισμούς min T i {T i } x( j + 1) = Ax( j), j = 0,...,T i 1 x(t i ;V i x 0 ) inte i G x x( j) w x, j = 1,...,T i 1 Αν όλα τα παραπάνω προβλήματα βελτιστοποίησης έχουν λύση T i N, i = 1,...,q x0, τότε το τελικό σύνολο E qx0, είναι ΘΑ καιπε, και ισχύει E qx0 = Ω. Στη συνέχεια, παραθέτεται η αλγοριθμική έκδοση της μεθόδου. Algorithm 1 Επίλυση Προβλήματος 3.1, γραμμικά αυτόνομα συστήματα διακριτού χρόνου Είσοδοι: πίνακας Α, σύνολο S x0 στην V αναπαράσταση, σύνολο περιορισμών S x0 σε H αναπαράσταση. Έξοδος: απόφαση για το αν υπάρχει λύση στο πρόβλημα, και υπολογισμός του συνόλου Ω στην περίπτωση που υπάρχει.. 1: Ω = S x0 2: for i=1 έως q x0 do 3: επίλυση του προβλήματος 4: min {N} N 5: με περιορισμούς 6: x( j + 1) = Ax( j), j = 0,...,N 1 7: x(n) intω 8: x(0) = Vx i 0 9: x( j) S x, j = 1,...,N 1 10: if το πρόβλημα έχει λύση για N = N then 11: Ω = Ω K {x( j), j = 1,...,N 1} 12: else 13: διακοπή, το Πρόβλημα 3.1 δεν έχει λύση 14: end if 15: end for 31

46 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Παράδειγμα Θεωρούμε ευσταθές σύστημα (3.2) με πίνακα συστήματος [ ] A = με ιδιοτιμές λ = 0.7 ± Το σύνολο αρχικών συνθηκών είναι της μορφής (3.33) με στοιχεία G x0,w x0 G x0 = ,w x 0 = ενώ το σύνολο περιορισμών S x είναι της μορφής (3.7) με στοιχεία G x, w x 5 4 S x Ω S x0 x x 1 Σχήμα 3.3: Σύνολο αρχικών συνθηκών S x0 (άσπρο), σύνολο περιορισμών S x (γκρι), θετικά αμετάβλητο σύνολο και περιοχή ελκτικότητας Ω (σκούρο γκρι), ενώ με κόκκινο χρώμα φαίνονται οι τροχιές του συστήματος που ξεκινάνε από τις κορυφές του S x0 και εισέρχονται στο Ω G x = ,w x =

47 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο 3.1 για το σύστημα (3.1), καταλήγουμε στον υπολογισμό ενός ΘΑ συνόλου και ΠΕ, για το οποίο ισχύει η σχέση S x0 Ω S x. Όλα τα σύνολα φαίνονται στο σχήμα Μη αυτόνομα γραμμικά συστήματα Το αντίστοιχο πρόβλημα αρχικών συνθηκών, για μη αυτόνομα γραμμικά συστήματα (3.3),(3.4) ορίζεται ως εξής: Πρόβλημα 3.2 Θεωρούμε συστήματα συνεχούς ή διακριτού χρόνου (3.3),(3.4). Ζητείται να βρεθούν οι συνθήκες ύπαρξης ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης της μορφής u = g(x), ώστε όλες οι τροχιές των συστημάτων κλειστού βρόχου (3.5),(3.6) που ξεκινούν από ένα σύνολο αρχικών συνθηκών x 0 S x0 S x (3.33) μεταφέρονται ασυμπτωτικά στο μηδενικό σημείο ισορροπίας, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τους περιορισμούς στον έλεγχο (3.9) και τις καταστάσεις (3.7), δηλαδή x(t) S α, t t 0, όπου S α το αποδεκτό σύνολο στο χώρο καταστάσεων. Σε συμφωνία με την περίπτωση των αυτόνομων συστημάτων, μπορούμε να ορίσουμε το ισοδύναμο πρόβλημα: 6 4 S x x S α Ω S x0 S u(x) x 1 Σχήμα 3.4: Σύνολο περιορισμών στην είσοδο S u(x), σύνολο περιορισμών στις καταστάσεις S x, αποδεκτό σύνολο S α, σύνολο αρχικών συνθηκών S x0 και σύνολο Ω. Ισοδύναμο Πρόβλημα 3.2 Θεωρούμε συστήματα συνεχούς η διακριτού χρόνου 33

48 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ (3.3),(3.4), ένα σύνολο αρχικών συνθηκών, και περιορισμούς στις καταστάσεις x(t) S x, και στον έλεγχο u(t) S u. Ζητείται να βρεθεί έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης u = g(x) καθώς και ένα σύνολο Ω που είναι ΘΑ και ΠΕ ως προς τα συστήματα κλειστού βρόχου (3.5),(3.6),για το οποίο ισχύει η σχέση S x0 Ω S α (3.53) όπου S α το αποδεκτό σύνολο στο χώρο καταστάσεων. Οι σχέσεις που πρέπει να έχουν τα σύνολα S x0, S x,s u(x), S α και Ω φαίνονται στο Σχήμα 3.4. Η στρατηγική που ακολουθούμε για να λύσουμε το Πρόβλημα 3.2 είναι παρόμοια με την περίπτωση των αυτόνομων γραμμικών συστημάτων. Μια πρώτη προσέγγιση προς τη λύση του Προβλήματος 3.2 είναι να απαιτήσουμε Ω = S x0 και να διαλέξουμε έλεγχο g(x) που ανήκει στην οικογένεια των γραμμικών ελέγχων. Τα γραμμικά συστήματα κλειστού βρόχου συνεχούς και διακριτού χρόνου επιλέγοντας έλεγχο u(t) = Kx(t) K R m n περιγράφονται από τις εξισώσεις ẋ(t) = (A + BK)x(t) (3.54) x(t + 1) = (A + BK)x(t) (3.55) Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 3.2.3, και δύο φορές το Λήμμα 3.3.1, θέτοντας Ω = S x0 και u(t) = Kx(t), το Πρόβλημα 3.2 έχει λύση αν υπάρχουν πίνακες K R m n, H R p x 0 p x0, L 1 R p x p x0, L 1 0, L 2 R px p, L 2 0, L 3 R pu p G R p n και διάνυσμα w R p, w > 0 ώστε να ισχύουν οι σχέσεις και για τα συστήματα διακριτού χρόνου, ενώ GA + GBK = HG (3.56) L 1 G x0 = G (3.57) L 1 w x0 w (3.58) L 2 G = G x (3.59) L 2 w w x (3.60) L 3 G = G u K (3.61) L 3 w w u (3.62) Hw εw (3.63) H 0 (3.64) Hw εw (3.65) 34

49 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ h i j 0, i j (3.66) για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. Οι σχέσεις (3.56), (3.63)-(3.66) εξασφαλίζουν τη θετική αμεταβλητότητα και την ε-συστολικότητα του συνόλου Ω.Οι σχέσεις (3.57),(3.58) είναι το αλγεβρικό ισοδύναμο της σχέσης S x0 Ω, ενώ οι (3.59),(3.60) αντιστοιχούν στη Ω S x, και οι (3.61),(3.62) στην Ω S u(x) = S Kx. Θεωρώντας τη γενικότερη περίπτωση, όπου το σύνολο Ω όπως ορίζεται από τη σχέση (3.35) δεν έχει συγκεκριμένο σχήμα και ο έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης είναι οποιασδήποτε μορφής, είναι δυνατό να υπολογίσουμε εσ σύνολο Ω που ικανοποιεί τη σχέση (3.53) χρησιμοποιώντας το Θεώρημα και το Λήμμα Έτσι, το Πρόβλημα 3.2 έχει λύση αν και μόνο αν υπάρχουν πίνακες V R n q, U R m q, P R q q που ικανοποιούν το Θεώρημα 3.2.6, και L R q q x 0 ώστε G u U i w u, i = 1,...,q (3.67) G x V i w x, i = 1,...,q (3.68) V x0 = V L (3.69) e T q x0 L e T q x (3.70) Οι σχέσεις (3.67)-(3.70) εξασφαλίζουν τη σχέση (3.53). Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε, ενώ έχουν διατυπωθεί ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τη λύση του Προβλήματος 3.2 ακόμα και για την γενική περίπτωση, το πρόβλημα επίλυσης είναι ισχυρά μη γραμμικό, καθώς και μη κυρτό. Για τα συστήματα διακριτού χρόνου, μπορούμε να παρακάμψουμε το πρόβλημα όπως στην περίπτωση των αυτόνομων συστημάτων, και να υπολογίσουμε το σύνολο Ω σε πεπερασμένα βήματα. Η αλγοριθμική έκδοση της μεθόδου φαίνεται παρακατω: 35

50 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Algorithm 2 Επίλυση Προβλήματος 3.2, γραμμικά μη αυτόνομα συστήματα διακριτού χρόνου Είσοδοι: πίνακας Α, σύνολο S x0 στην V αναπαράσταση, σύνολο περιορισμών S x0 σε H αναπαράσταση, Έξοδος: ΘΑ σύνολο και ΠΕ Ω στην περίπτωση που υπάρχει λύση 1: Ω = S x0 2: for i=1 έως q x0 do 3: επίλυση του προβλήματος 4: min N,u( j), j=0,..,n 1 5: με περιορισμούς 6: x( j + 1) = Ax( j) + Bu( j), j = 0,...,N 1 7: x(n) intω 8: x(0) = Vx i 0 9: x( j) S x, j = 1,...,N 1 10: u( j) S u,, j = 0,...,N 1 11: if το πρόβλημα έχει λύση για N = N then 12: Ω = Ω K {x( j), j = 1,...,N 1} 13: else 14: διακοπή, το Πρόβλημα 3.2 δεν έχει λύση 15: end if 16: end for Καθώς τα σύνολα των περιορισμών και των αρχικών συνθηκών είναι πολυεδρικά, το πρόβλημα βελτιστοποίησης που περιγράφεται στις Γραμμές 3-7 του Αλγορίθμου 2 είναι επιλύσιμο. Για παράδειγμα, μπορεί να αναχθεί σε μια ακολουθία προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με αυξανόμενο χρονικό ορίζοντα N ως εξής: εύρεση u( j), j = 0,...,N 1 με περιορισμούς x( j + 1) = Ax( j) + Bu( j), j = 0,...,N 1 G x0 x(n) γw x0,0 γ < 1 x(0) = Vx i 0 G x x( j) w x, j = 1,...,N 1 G u u( j) w u, j = 0,...,N 1 Μια εφαρμογή της μεθόδου φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα: Παράδειγμα Έστω μη αυτόνομα σύστημα διακριτού χρόνου της μορφής (3.4) 36

51 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ με πίνακες συστήματος A = ,B = Το σύστημα ανοιχτού βρόχου έχει δύο ασταθείς πραγματικές ιδιοτιμές λ 1 = 1.1, λ 2 = 1 Σχήμα 3.5: Σύνολο αρχικών συνθηκών S x0, σύνολο περιορισμών S x και σύνολο Ω που προκύπτει από τη λύση του Προβλήματος 3.2 για σύστημα (3.4) 2.5. Ακόμα, θεωρούμε ότι το σύστημα υπόκειται σε περιορισμούς στο χώρο κατάστασης x S x, όπου S x ένας κύβος της μορφής { S x (G x,w x ) = x R 3 : [ I 3 I 3 ] x 6 και σε περιορισμούς στον έλεγχο 1.75 u 4. Επίσης, θεωρείται σύνολο αρχικών συνθηκών της μορφής S x (G x,w x ) = { x R 3 : Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο 2, προκύπτει ένα σύνολο Ω της μορφής Ω = conv 1.55, 0, 3, 4.16, 1, 1, 3.84, [ I 3 I 3 ] x [ [ e 3 e 3 e 3 e 3 ]} ]}.,

52 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Τα σύνολα S x, Ω και S x0 φαίνονται στο σχήμα 3.5. Παρατήρηση Αξίζει να σημειωθεί ότι ταυτόχρονα με την εύρεση του συνόλου Ω = conv { V 1,...,V q},, w > 0, V R n q, το οποίο είναι ΘΑ και ΠΕ, μπορούμε να υπολογίσουμε έλεγχο ανατροφοδότησης κατάστασης u = g(x) ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου (3.6) να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, καθώς οι σχέσεις (3.28),(3.29)-(3.30) ισχύουν, με U R m q. Ένας κατάλληλος έλεγχος μπορεί να προκύψει από την εύρεση αριθμού γ(t), και διανύσματος λ(t), λ R q ώστε το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού να έχει λύση κάθε χρονική στιγμή t: min {γ(t)} (3.71) γ(t),λ(t) με περιορισμούς Gx(t + 1) γ (t)w x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) x(t) = V λ (t) u(t) = Uλ (t) e T q λ (t) 1 λ (t) 0 (3.72) όπου G R p n ορίζουν την H- αναπαράσταση του συνόλου Ω, ή σε πιο συμπαγή μορφή με περιορισμούς min {γ(t)} γ(t),λ(t) G(AV + BU)λ (t) γ (t)w x(t) = V λ (t) e T qλ (t) 1 λ (t) 0 Παρατήρηση Ο Αλγόριθμος 2 παράγει λύση αν και μόνο αν Πρόβλημα 3.2 μπορεί να επιλυθεί. Σε αυτήν την περίπτωση, κατασκευάζεται το σύνολο Ω, το οποίο είναι ΑΕ, καθώς και ΠΕ. Καθώς λοιπόν εγγυάται η ύπαρξη ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης που ευσταθειοποιεί το σύνολο των αρχικών συνθηκών, μπορεί κάποιος να εφαρμόσει και άλλες στρατηγικές ελέγχου όπως προβλεπτικό έλεγχο με περιορισμούς [12]. Εκτός του προβλεπτικού ελέγχου, άλλες δύο τεχνικές ελέγχου που έχουν προταθεί βρίσκονται στα άρθρα [19], [47]. 38

53 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ 3.4 Προσδιορισμός μέγιστου αμετάβλητου συνόλου. Οι τεχνικές που αναπτύχθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο είχαν ως στόχο να απαντήσουν στο ερώτημα αν όλα τα σημεία που ανήκουν σε ένα προδιαγεγραμμένο σύνολο αρχικών συνθηκών μπορούν να μεταφερθούν ασυμπτωτικά στο μηδενικό σημείο ισορροπίας με ταυτόχρονη τήρηση των περιορισμών στον έλεγχο και τις καταστάσεις. Επίσης, για την περίπτωση των μη αυτόνομων συστημάτων, προτάθηκε μια στρατηγική ελέγχου ώστε οι τροχιές των συστημάτων κλειστού βρόχου που ξεκινάνε από το σύνολο αρχικών συνθηκών οδηγούνται στο σημείο ισορροπίας. Το γεγονός ότι τα Προβλήματα 3.1, 3.2 μπορεί να μην έχουν λύση λόγω των περιορισμών στις καταστάσεις ή/και στο διάνυσμα ελέγχου, οδηγεί στο εξής ερώτημα: Στην περίπτωση που τα Προβλημάτα 3.1, 3.2 δεν είναι επιλύσιμα, υπάρχει τρόπος να μπορέσουμε να εγγυηθούμε την τήρηση των περιορισμών στα συστήματα (3.3),(3.4) ή/και η ασυμπτωτική ευστάθεια για ένα μέρος του συνόλου αρχικών συνθηκών; Για να είμαστε σε θέση να απαντήσουμε, είναι σκόπιμο να συστηθεί η έννοια του μέγιστου αμετάβλητου συνόλου. Σε γενικές γραμμές, το μέγιστο σύνολο από την οικογένεια συνόλων που έχουν μια ιδιότητα ως προς ένα δυναμικό σύστημα, είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα της οικογένειας. Είναι προφανές πως για να προσδιορίσουμε το μεγαλύτερο κομμάτι του συνόλου αρχικών συνθηκών S x0, ή σε μια γενικότερη θεώρηση του αποδεκτού συνόλου S α, που ανήκει σε ένα θετικά αμετάβλητο ή ε-συστολικό σύνολο, αρκεί να υπολογίσει μέγιστο αμετάβλητο σύνολο. Στη συνέχεια, παραθέτονται οι σχετικοί ορισμοί. Ορισμός Το σύνολο S M S x είναι το μέγιστο θετικά αμετάβλητο σύνολο ως προς τα (3.1),(3.2) (ΜΘΑ) αν και μόνο αν είναι ΘΑ, περιέχει όλα τα ΘΑ σύνολα που περιέχονται στο S x R n. Ορισμός Το σύνολο S M S x είναι το μέγιστο ε-συστολικό σύνολο ως προς τα (3.1),(3.2) (ΜεΣ) αν και μόνο αν είναι(εσ) και περιέχει όλα τα (εσ) σύνολα που περιέχονται στο S x R n. Ορισμός Το σύνολο S M S α είναι το μέγιστο αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο ως προς τα (3.3),(3.4) (ΜΑΕ) αν και μόνο αν είναι ΑΕ και περιέχει όλα τα ΑΕ σύνολα που περιέχονται στο S α R n, όπου S α το αποδεκτό σύνολο στο χώρο των καταστάσεων. Ορισμός Το σύνολο S M S α είναι το μέγιστο ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο (ΜεΣΑΕ) ως προς τα (3.3),(3.4) αν και μόνο αν είναιεσαε και περιέχει όλα εσαε σύνολα που περιέχονται στο S α R n, όπου S α το αποδεκτό σύνολο στο χώρο των καταστάσεων. 39

54 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Τα προβλήματα που μελετώνται σε αυτό το μέρος αφορούν την εύρεση των ΜΑΕ, ΜεΣΑΕ συνόλων. Η περιγραφή της μεθοδολογίας περιορίζεται στα μη αυτόνομα γραμμικά συστήματα (3.3),(3.4) καθώς είναι αρκετά εύκολο να γίνει η μετατροπή για τα αυτόνομα γραμμικά συστήματα (3.1),(3.2). Επίσης, καθώς η μέθοδος εκμεταλλεύεται συνθήκες που είναι παρόμοιες και εγγυώνται αμεταβλητότητα με έλεγχο και ε-συστολικότητα με έλεγχο, η περιγραφή γίνεται με ενιαίο τρόπο. Συγκεκριμένα, οι συνθήκες (3.28), (3.29)-(3.32) εγγυώνται την αμεταβλητότητα με έλεγχο ενός συνόλου S = conv { V 1,V 2,...,V q}, όταν ε = 1 στην περίπτωση των συστημάτων διακριτού χρόνου (3.29), και ε = 0 στην περίπτωση των συστημάτων συνεχούς χρόνου. Στη συνέχεια, ορίζουμε τα προβλήματα: Πρόβλημα 3.3 Έστω μη αυτόνομα γραμμικά συστήματα συνεχούς ή διακριτού χρόνου (3.3),(3.4), τα οποία υπόκεινται σε περιορισμούς στις καταστάσεις x(t) S x και τον έλεγχο u(t) S u. Ζητείται να βρεθεί το ΜΑΕ σύνολο S M. Πρόβλημα 3.4 Έστω μη αυτόνομα γραμμικά συστήματα συνεχούς ή διακριτού χρόνου (3.1),(3.2), τα οποία υπόκεινται σε περιορισμούς x(t) S x και τον έλεγχο. Ζητείται να βρεθεί το ΜεΣΑΕ S M. Η μεθοδολογία που προτείνουμε οδηγεί στην εύρεση, ή στη χειρότερη περίπτωση την αυθαίρετα μεγάλη προσέγγιση, του ΜεΣΑΕ, MAE για τα συστήματα (3.3),(3.4). Σε γενικές γραμμές, αρχίζοντας από ένα αρχικό εσαε σύνολο S x0 S x, αυξάνουμε επαναληπτικά τον όγκο του, διατηρώντας ταυτόχρονα την ιδιότητα της συστολικότητας, μέχρι που καμία περαιτέρω διεύρυνση του συνόλου δεν είναι εφικτή. Ο τρόπος αύξησης του συνόλου κατά το βήμα j γίνεται με την εισαγωγή τουλάχιστο ενός καινούριου σημείου v S x \ S j στην κυρτή θήκη του ε-συστολικού συνόλου S j. Το κριτήριο με το οποίο γίνεται η αύξηση οδηγεί στην εξέταση όλων των υποψήφιων σημείων που μπορούν να προστεθούν στη κυρτή θήκη του συνόλου S j. Όταν δεν υπάρχουν σημεία που μπορούν να συμπεριληφθούν στο σύνολο S j, ο αλγόριθμος τερματίζεται και το μέγιστο ε-συστολικό σύνολο έχει υπολογιστεί. Αρχικά περιγράφουμε τη διαδικασία εύρεσης ενός αρχικού ε-συστολικού αμετάβλητου με έλεγχο συνόλου S 0 S α. Πρώτα, δίνεται ο ορισμός του πολυεδρικά ευσταθειοποιήσιμου συστήματος. Ορισμός Το σύστημα της μορφής (3.4) είναι πολυεδρικά ευσταθειοποιήσιμο αν είναι ελέγξιμο ή αν οι μη ελέγξιμες ιδιοτιμές του ϕ i = σ i + jω i βρίσκονται μέσα στο μοναδιαίο ρόμβο, δηλαδή σ i + ω i < 1. Ορισμός Το σύστημα (3.3) είναι πολυεδρικά ευσταθειοποιήσιμο αν είναι ελέγξιμο ή αν οι μη ελέγξιμες ιδιοτιμές του ϕ i = σ i + jω i βρίσκονται στην περιοχή των 45 40

55 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ μοιρών, δηλαδή ω i < σ i. 1 5 ω i + σ i <1 ω i < σ i ω i 0 ω i σ i 5 0 σ i Σχήμα 3.6: Ο μοναδιαίος ρόμβος και η περιοχή των 45 μοιρών στο χώρο των ιδιοτιμών για συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου αντίστοιχα. Στην Σχήμα (3.6) φαίνονται οι περιοχές στο χώρο των ιδιοτιμών που πρέπει να βρίσκονται οι μη ελέγξιμες ιδιοτιμές για να είναι το σύστημα πολυεδρικά ευσταθειοποιήσιμο. Όταν οι ιδιοτιμές των συστημάτων μπορούν να τοποθετηθούν σε αυτές τις περιοχές είναι δυνατός ο χαρακτηρισμός αμετάβλητων με έλεγχο πολυεδρικών συνόλων χαμηλής πολυπλοκότητας. Έτσι, παρέχεται ένας τρόπος που επιτρέπει την κατασκευή αμετάβλητου με έλεγχο ή ε-συστολικού αμετάβλητου με έλεγχο συνόλου S 0, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην αρχικοποίηση του αλγορίθμου που λύνει τα Προβλήματα 3.3, 3.4. Ο τρόπος εύρεσης του συνόλου S 0 για τα συστήματα (3.3),(3.4) συνοψίζεται παρακάτω. Λήμμα Έστω γραμμικό σύστημα διακριτού χρόνου (3.3), το οποίο υπόκειται σε περιορισμούς στις καταστάσεις x(t) S x και στον έλεγχο u(t) S u. Αν το σύστημα είναι πολυεδρικά ευσταθειοποιήσιμο, τότε μπορεί να προσδιοριστει εσαε σύνολο της μορφής S 0 = {x R n : w 02 G 0 x w 01 } S α, όπου G R n n και w 01,w 02 R n θετικά διανύσματα. Απόδειξη Το γραμμικό σύστημα διακριτού χρόνου είναι της μορφής x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) Καθώς είναι πολυεδρικά ευσταθειοποιήσιμο, μπορούμε πάντα να υπολογίσουμε ένα γραμμικό έλεγχο ανατροφοδότησης κατάστασης u(t) = K 0 x(t) ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου x(t + 1) = (A + BK 0 )x(t) 41

56 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ να έχει ιδιοτιμές μέσα στο μοναδιαίο ρόμβο. Τότε, υπάρχει πίνακας μετασχηματισμού G 0 R n n ο οποίος μετατρέπει τον πίνακα του συστήματος A+BK 0 στην Jordan μορφή J 0, ώστε να ισχύει η σχέση G 0 (A + BK 0 ) = J 0 G 0 O μη αρνητικός πίνακας H 0 = [ J + 0 J 0 J 0 J + 0 έχει μια θετική πραγματική ιδιοτιμή ϕ < 1 που σχετίζεται με ένα πραγματικό θετικό ιδιοδιάνυσμα w 0 > 0, w 0 R2n [21]. Έτσι, θέτοντας w 0 = [ w 01 T w 02 T ] T ισχύουν οι σχέσεις ] G 0 (A + BK 0 ) = J 0 G 0 (3.73) [ J + 0 J0 ][ ] [ ] w 01 w J0 J 0 + w < ε w, 02 (3.74) όπου ε ϕ. Οι δύο παραπάνω σχέσεις εγγυώνται την ε-συστολικότητα του συνόλου S 0. Η ύπαρξη ε-συστολικού συνόλου ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου ώστε να ικανοποιούνται και οι περιορισμοί είναι ισοδύναμη με την ύπαρξη μη αρνητικών πινάκων L 1 R px 2n, L 2 R pu n και ενός θετικού αριθμού δ ώστε να ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις [ ] G0 L 1 = G x (3.75) G 0 L 1 [ w 01 w 02 L 2 [ G0 G 0 L 2 [ w 01 w 02 ] δw x (3.76) ] = G u K 0 (3.77) ] δw u (3.78) Οι σχέσεις έχουν πάντα λύση, και προκύπτουν από την άμεση εφαρμογή του Λήμματος Θέτοντας w 01 = 1 δ w 01,w 02 = 1 δ w 02, το σύνολο S 0 = {x R n : w 02 G 0 x w 01 } (3.79) είναι ε-συστολικό με έλεγχο ως προς το σύστημα (3.3) και S 0 S α. Λήμμα Έστω γραμμικό σύστημα συνεχούς χρόνου (3.3), το οποίο υπόκειται σε περιορισμούς στις καταστάσεις x(t) S x και στον έλεγχο u(t) S u. Αν το σύστημα είναι πολυεδρικά ευσταθειοποιήσιμο, τότε μπορεί να κατασκευαστεί πάντα ένα εσαε σύνολο της μορφής S 0 = {x R n : w 02 G 0 x w 01 } S α, όπου G R n n και w 01,w 02 R n θετικά διανύσματα. 42

57 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Απόδειξη Το γραμμικό σύστημα συνεχούς χρόνου είναι της μορφής ẋ = Ax(t) + Bu(t) Καθώς είναι πολυεδρικά ευσταθειοποιήσιμο, μπορούμε να βρούμε πάντα ένα γραμμικό έλεγχο ανατροφοδότησης κατάστασης u(t) = K 0 x(t) ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου ẋ(t) = (A + BK 0 )x(t) να έχει ιδιοτιμές μέσα περιοχή των 45 μοιρών. Τότε, υπάρχει πίνακας μετασχηματισμού G 0 R n n ο οποίος μετατρέπει τον πίνακα του συστήματος A+BK 0 στην Jordan μορφή J 0, ώστε να ισχύει η σχέση G 0 (A + BK 0 ) = J 0 G 0 O πίνακας με μη αρνητικά στοιχεία εκτός διαγωνίου [ H0 J = 0 δ + Jµ+ 0 J µ 0 J µ 0 J0 δ + Jµ+ 0 ] (3.80) έχει μια πραγματική αρνητική ιδιοτιμή ϕ που σχετίζεται με ένα πραγματικό θετικό ιδιοδιάνυσμα w 0 > 0, w 0 R2n [23]. Έτσι, θέτοντας w 0 = [ w 01 T w 02 T ] T. ισχύουν οι σχέσεις [ J0 δ + Jµ+ 0 J µ 0 G 0 (A + BK 0 ) = J 0 G 0 (3.81) ] [ ] [ ] w 01 w < ε 01 w, (3.82) 02 J µ 0 J0 δ + Jµ+ 0 όπου ε ϕ. Οι δύο παραπάνω σχέσεις εγγυώνται την ε-συστολικότητα του συνόλου S 0. Σε αντιστοιχία με την περίπτωση των συστημάτων διακριτού χρόνου, η ύπαρξη ε- συστολικού συνόλου ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου ώστε να ικανοποιούνται και οι περιορισμοί είναι ισοδύναμη με την ύπαρξη μη αρνητικών πινάκων L 1 R px 2n, L 2 R pu n και ενός θετικού αριθμού δ ώστε να ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις L 1 [ G0 G 0 L 1 [ w 01 w 02 L 2 [ G0 G 0 L 2 [ w 01 w 02 w 02 ] = G x (3.83) ] δw x (3.84) ] = G u K 0 (3.85) ] δw u (3.86) 43

58 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Οι σχέσεις έχουν πάντα λύση, και προκύπτουν από την άμεση εφαρμογή του Λήμματος Θέτοντας w 01 = 1 δ w 01,w 02 = 1 δ w 02, το σύνολο S 0 = {x R n : w 02 G 0 x w 01 } (3.87) είναι ε-συστολικό με έλεγχο ως προς το σύστημα (3.3) και S 0 S α. Εφόσον υπάρχει τρόπος να κατασκευάσουμε ένα εσαε σύνολο S 0 S α για τα γραμμικά συστήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου, μπορούμε να προχωρήσουμε στην εδραίωση συνθηκών που επιτρέπουν τη διεύρυνση του συνόλου, προσθέτοντας μια νέα κορυφή στη κυρτή του θήκη. Θεωρούμε ένα εσαε σύνολο S S α με περιγραφή S = {x R n : Gx w} = conv { V 1,V 2,...,V q}, (3.88) όπου G R p n, w > 0, w R p, και V i, i = 1,...,q είναι οι στήλες του πίνακα V R q n. Αν προστεθεί στην κυρτή θήκη του συνόλου S μια κορυφή v R n, v / S, το σύνολο που προκύπτει είναι S = conv { V 1,V 2,...,V q,v } (3.89) Στα επόμενα δύο θεωρήματα εδραιώνονται συνθήκες ώστε το σύνολο S να είναι εσαε ως προς τα συστήματα (3.3),(3.4). Θεώρημα Για συστήματα διακριτού χρόνου, το σύνολο S, όπως ορίζεται από τη (3.89) είναι ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο ως προς το σύστημα (3.4) αν και μόνο αν υπάρχουν διανύσματα u R m, p R q, και ένας θετικός αριθμός p q+1 που ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις Av + Bu = V p + v p q+1 (3.90) p 0, p q+1 0 (3.91) e T q p + p q+1 ε (3.92) G x v w x (3.93) G u u w u (3.94) Απόδειξη Το σύνολο S είναι ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο. Έτσι, υπάρχει μη αρνητικός πίνακας P R q q, και ένας πίνακας U R m q, έτσι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: AV + BU = V P (3.95) e T q P < εe T q, P 0 (3.96) G x V i w x, i = 1,...,q (3.97) 44

59 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ G u U i w u, i = 1,...,q (3.98) Κατασκευάζοντας τον πίνακα [ P P Oq,1 = p T p q+1 ] (3.99) και θέτοντας V = [ V v ], U = [ V u ], λαμβάνοντας υπόψιν τις σχέσεις (3.90)- (3.99) προκύπτει AV + BU = V P (3.100) e T q+1p < εe T q+1. (3.101) Άρα, το σύνολο S είναι εσαε ως προς το (3.4). Ανάλογα αποτελέσματα έχουν διατυπωθεί για γραμμικά συστήματα συνεχούς χρόνου, όπως φαίνεται στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα Για συστήματα συνεχούς χρόνου (3.3), το σύνολο S, όπως ορίζεται από τη (3.89) είναι εσαε ως προς το σύστημα (3.3) αν και μόνο αν υπάρχουν διανύσματα u R m, p R q, και ένας θετικός αριθμός p q+1 που ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις Av + Bu = V p + v p q+1 (3.102) p 0 (3.103) e T q p + p q+1 ε (3.104) G x v w x (3.105) G u u w u (3.106) Απόδειξη Το σύνολο S είναι ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο. Έτσι, υπάρχει πίνακας με τα μη διαγώνια στοιχεία μη αρνητικά P R q q, ένας πίνακας U R m q, έτσι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: AV + BU = V P (3.107) e T q P < εe T q (3.108) G x V i w x, i = 1,...,q (3.109) G u U i w u, i = 1,...,q (3.110) Κατασκευάζοντας τον πίνακα [ P P Oq,1 = p T p q+1 ] (3.111) 45

60 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ και θέτοντας V = [ V v ], U = [ V u ], λαμβάνοντας υπόψιν τις σχέσεις (3.103)- (3.111) προκύπτει AV + BU = V P e T q+1p < εe T q+1. Άρα, το σύνολο S είναι εσαε ως προς το (3.3). Το επόμενο αποτέλεσμα αφορά την διατήρηση της αμεταβλητότητας όταν πραγματοποιείται κυρτή ένωση ε-συστολικών αμετάβλητων με έλεγχο συνόλων. Λήμμα Έστω εσαε σύνολα Si, i = 1,...,r της μορφής S i = conv{v 1,...,V q,v i }, i = 1,...,r, όπου V i, i = 1,..,q είναι οι κορυφές του εσαε συνόλου S που περιγράφεται από την (3.90). Τότε, η κυρτή ένωση των συνόλων S i S = S 1 S 2... S r = conv{v 1,...,V q,v 1,...,v r } (3.112) είναι επίσης εσαε σύνολο. Το αποτέλεσμα αυτό είναι άμεση συνέπεια του γεγονότος πως η ένωση ε-συστολικών αμετάβλητων με έλεγχο συνόλων ως προς γραμμικά συστήματα συνεχούς ή διακριτού χρόνου είναι επίσης ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο. Στη συνέχεια περιγράφεται η αλγοριθμική έκδοση της λύσης που προτείνουμε για τα Προβλήματα 3.3, 3.4. Οι είσοδοι είναι οι πίνακες A, B των συστημάτων (3.3),(3.4), το σύνολο περιορισμών στις καταστάσεις S x (G x,w x ) στην H αναπαράσταση, G x R p n, w R p, το σύνολο περιορισμών στον έλεγχο S u (G u,w u ) στην H αναπαράσταση, G u R p u m, w u R p u, και το αρχικό ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο που υπολογίζεται με τη διαδικασία που αναφέρεται παραπάνω. Η έξοδος είναι το μέγιστο ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο S M. 46

61 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Algorithm 3 Επίλυση Προβλήματος 3.3, 3.4, γραμμικά μη αυτόνομα συστήματα συνεχούς ή διακριτού χρόνου 1: S = S 0, αρχικοποίηση 2: αλλαγή=1 3: while αλλαγή=1 do 4: αλλαγή = 0 5: υπολογισμός V,G,w από την V αναπαράσταση και H αναπαράσταση του S, 6: p = διάσταση του διανύσματος w, q = αριθμός στηλών του πίνακα V 7: i = 0, R= κενός πίνακας 8: while i p do 9: i = i : [v,β ]=διεύρυνση(s,i,s x,s u ) 11: if β > 1 then 12: R = [R v ] 13: αλλαγή=1 14: end if 15: end while 16: S = S K { R j, j = 1,..,r }, όπου r οι στήλες του R 17: end while 18: S M = S Στη γραμμή 1 του Αλγορίθμου 3, γίνεται η αρχικοποίηση του εσαε συνόλου. Ο πυρήνας του Αλγορίθμου 3 βρίσκεται στη γραμμή 10. Πιο συγκεκριμένα, κατά την επανάληψη i λύνεται ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης με στόχο τη διεύρυνση του συνόλου S προσθέτοντας ένα σημείο v SE i στην κυρτή θήκη του, όπου Si E είναι σύνολο που ανήκει στον υποψήφιο χώρο που μπορεί να επεκταθεί το S. Το πρόβλημα βελτιστοποίησης διεύρυνση είναι max {β} (3.113) v,u,β,p,p q+1 με περιορισμούς και G u u w u (3.114) G x v w x (3.115) G i v βw i (3.116) β 1 (3.117) Av + Bu = V p + v p q+1 (3.118) 47

62 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ για τα συστήματα διακριτού χρόνου, ενώ p 0, p q+1 0 (3.119) e T q p + p q+1 ε, (3.120) Av + Bu = V p + v p q+1 (3.121) p 0, (3.122) e T q p + p q+1 ε (3.123) για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. Οι σχέσεις (3.118)-(3.120), (3.121)-(3.123) προκύπτουν από την εφαρμογή των θεωρημάτων και , και εξασφαλίζουν την ε-συστολική αμεταβλητότητα με έλεγχο του συνόλου S = conv { V 1,...,V q,v }. Παρατήρηση Τόσο το κριτήριο βελτιστοποίησης (3.113) όσο και οι περιορισμοί (3.114)-(3.117), (3.119)-(3.120), (3.122)-(3.123) είναι γραμμικοί ως προς τις μεταβλητές βελτιστοποίησης. Το μοναδικό μη γραμμικό στοιχείο βρίσκεται στο γινόμενο της μη αρνητικής μεταβλητής p q+1 με το διάνυσμα v στις εξισώσεις (3.118) και (3.121) για τα συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου αντίστοιχα. Μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι το πρόβλημα (3.113)-(3.120), ή (3.113)-(3.118), (3.121)-(3.123) είναι ισοδύναμο με μια ακολουθία προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Οι σχέσεις (3.114),(3.115) εγγυώνται την ικανοποίηση των περιορισμών για το σύνολο S. Η σχέση (3.116) υπονοεί ότι η κορυφή v που υπολογίζεται βρίσκεται πάνω στο επίπεδο το οποίο είναι παράλληλο προς αυτό που ορίζεται από την i έδρα του συνόλου S G i x = w i. Έτσι, όταν μεγιστοποιείται η παράμετρος β, το σημείο v, που υπολογίζεται βρίσκεται στο πιο απομακρυσμένο επίπεδο σε σχέση με τα υπόλοιπα υποψήφια σημεία. Σημειώνεται πως το πρόβλημα βελτιστοποίησης διεύρυνση έχει πάντα την τετριμμένη λύση β = 1, στην περίπτωση που v bds. Η συναλήθευση των σχέσεων (3.115)-(3.116) αντιστοιχεί στο σύνολο SE i (β), δηλαδή { [ SE i (β) = x R n Gx : G i ] [ ww x βw i Στο σχήμα 3.7 φαίνεται η περίπτωση που το πρόβλημα έχει λύση β = 1, όταν δηλαδή το σύνολο S δεν μπορεί να διευρυνθεί στο σύνολο S i E, και στην περίπτωση που β > 1, όπου και φαίνεται η διεύρυνση. Στις γραμμές 8-15 του Αλγορίθμου 3 η διαδικασία που περιγράφτηκε επαναλαμβάνεται για όλες τις έδρες του συνόλου S, εξετάζοντας όλα τα υποψήφια σημεία που μπορούν να προστεθούν στη κυρτή του θήκη. Το αποτέλεσμα αυτό συνοψίζεται στο ακόλουθο λήμμα: ]}. 48

63 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ S i E (1) G i x=β w i S i E (β ) * x G i x=w i S * v x S S v S x 0.8 S x x x 1 Σχήμα 3.7: Σύνολα S,S x και S i E (β ), στην περίπτωση που β = 1 και β > S 2 E (1) S 3 E (1) x 2 0 S 1 E (1) S S 4 E (1) S 5 E (1) x 1 Σχήμα 3.8: Σύνολα SE i (1),i = 1,...,5, και σύνολο S 49

64 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Λήμμα Έστω δύο πολυεδρικά σύνολα S,S x ώστε S S x, και το μηδενικό σημείο είναι εσωτερικό σημείο του S. Τότε, για τα σύνολα της μορφής { [ ] [ ]} S i E = ισχύει η ακόλουθη σχέση x R n : G x G i x w w w i p S i E = S x \ S i=1, i = 1,.., p Έτσι, στην περίπτωση που για όλα τα προβλήματα βελτιστοποίησης που λύνονται στη γραμμή 10 του Αλγορίθμου 3, i = 1,.., p η λύση που προκύπτει είναι β = 1,όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.8, ο αλγόριθμος τερματίζεται και το ΜεΣΑΕ σύνολο έχει βρεθεί. Στην περίπτωση που υπάρχει τουλάχιστο μια επανάληψη i ώστε να προκύπτει β > 1, τα σημεία v προστίθενται στην κυρτή θήκη του συνόλου S και προκύπτει ένα καινούριο σύνολο, όπως φαίνεται στη γραμμή 16. Το καινούριο σύνολο S είναι εσαε, όπως προκύπτει από το Λήμμα Παρατήρηση Ο αλγόριθμος 3 συγκλίνει στο μεγαλύτερο ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο S M. Για να δειχτεί η σύγκλιση, πρέπει πρώτα να αποδείξουμε πως τα σύνολα S που υπολογίζονται επαναληπτικά συγκλίνουν σε ένα σύνολο S M. Αρχίζοντας από ένα σύνολο S 0, η ακολουθία των συνόλων S j που παράγονται σε κάθε επανάληψη j στις γραμμές 3-17 είναι μονότονη αύξουσα S 0 S 1... S j, επειδή σε κάθε επανάληψη j τουλάχιστο ένα σημείο v i προστίθεται στην κυρτή θήκη του συνόλου S j. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση S j = S j 1 και ο αλγόριθμος τερματίζεται. Έστω ότι ο αλγόριθμος έχει συγκλίνει σε ένα σύνολο S M, το οποίο δεν είναι το ΜεΣΑΕ σύνολο S M. Τότε, υπάρχει τουλάχιστο ένα σημείο v S M ενώ v / S M. Όμως σύμφωνα με το Λήμμα , υπάρχει τουλάχιστο ένας δείκτης î, 1 î p ώστε v SîE. Τότε, η λύση του προβλήματος βελτιστοποίηση (3.113)-(3.120) για τα συστήματα διακριτού χρόνου ή (3.113)-(3.117),(3.121)-(3.123) για τα συστήματα συνεχούς χρόνου θα ήταν β > 1, και ο αλγόριθμος δε θα είχε τερματιστεί. Άρα S M = S M. Παρατήρηση Στην περίπτωση που το ΜεΣΑΕ είναι πολυεδρικό, όταν δηλαδή η κυρτή του θήκη περιγράφεται από πεπερασμένο αριθμό σημείων, τότε ο Αλγόριθμος 3 τερματίζεται μόνο όταν S = S M. Ωστόσο, όταν το σύνολο S M δεν είναι πολυεδρικό (παραμένει όμως κυρτό), ο Αλγόριθμος 3 δεν τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι σκόπιμο να προστεθεί ένα κριτήριο το οποίο οδηγεί 50

65 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ σε προσέγγιση του μέγιστου αμετάβλητου συνόλου. Ένας τρόπος που εγγυάται τον τερματισμό του Αλγορίθμου 3 σε πεπερασμένο χρόνο είναι να αντικατασταθεί η γραμμή 11 από τη σχέση if β > (1 + σ) then... όπου σ > 0. Έτσι, ο Αλγόριθμος 3 τερματίζεται όταν τα καινούρια σημεία που μπορούν να προστεθούν βρίσκονται πολύ κοντά στο σύνολο S, με αποτέλεσμα να η επέκταση του συνόλου να είναι αμελητέα. Συγκεκριμένα, ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν S (1+σ)S, όπου S το ε-συστολικό σύνολο που έχει υπολογιστεί στο προηγούμενο βήμα Η γεωμετρική ερμηνεία της συνθήκης φαίνεται στο Σχήμα S 2 E (1+σ) S 3 E (1+σ) (1+σ)S S 4 E (1+σ) x S S S 1 E (1+σ) S 5 E (1+σ) x 1 Σχήμα 3.9: Γεωμετρικη ερμηνεία του κριτηρίου τερματισμού για τον Αλγόριθμο 3 Παράδειγμα Θεωρούμε το σύστημα του διπλού ολοκληρωτή δεύτερης τάξης (3.3) με πίνακες συστήματος Α,Β, [ ] [ ] A = 0 1 0, B =

66 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Θεωρούνται περιορισμοί στις καταστάσεις x(t) S x = {x R n : G x x w x } με G x = ,w x = και περιορισμούς στην είσοδο 1 u(t) 1. Κάνοντας διακριτοποίηση με σταθερά δειγματοληψίας 1 sec, το αντίστοιχο σύστημα διακριτού χρόνου (3.4) που προκύπτει είναι [ ] [ ] A =,B = Αρχικά, εφαρμόζουμε τον Αλγόριθμο 3 για το σύστημα διακριτού χρόνου. Το αρχικό σύνολο S 0 υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3.83)-(3.88) εφαρμόζοντας ένα γραμμικό έλεγχο ανατροφοδότησης u = K 0 x ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου x(t + 1) = (A + BK 0 )x(t) έχει ιδιοτιμές ϕ 1 = 0.4, ϕ 2 = 0.2. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.4, αρχίζοντας από το σύνολο S 0, ο αλγόριθμος συγκλίνει στο ΜΑΕ S M, ε = 1, το οποίο στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι ένα πολυεδρικό σύνολο με 14 κορυφές. 5 4 S 4 S x 3 S 2 2 S 3 1 x 2 0 S1 S S M x 1 Σχήμα 3.10: Σύνολο περιορισμών S x, και ε-συστολικά αμετάβλητα με έλεγχο σύνολα S i, i = 0,...,8, και το μεγαλύτερο ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο S M = S 8 Από την άλλη μεριά, το ΜΑΕ σύνολο για την περίπτωση του συστήματος συνεχούς χρόνου δεν είναι πολυεδρικό. Σε αυτήν την περίπτωση, ο Αλγόριθμος δεν τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο και είναι αναγκαίο να αλλάξει η συνθήκη στη γραμμή 11 52

67 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ όπως περιγράφεται παραπάνω. Έτσι, θέτοντας σ = 0.1, καταλήγει κάποιος σε μια προσέγγιση S M του συνόλου S M. Στο σχήμα 3.5 φαίνεται η ακολουθία των ε-συστολικών συνόλων S i, i = 0,...,9, S M = S S 2 S 4 S 3 S x 1 x S S M x 1 Σχήμα 3.11: Σύνολο περιορισμών S x, και ε-συστολικά αμετάβλητα με έλεγχο σύνολα S i, i = 0,..., 9, και η προσέγγιση του μεγαλύτερου ε-συστολικού αμετάβλητο με έλεγχο συνόλου S M = S 9, για το σύστημα συνεχούς χρόνου Παρατήρηση Όπως προκύπτει και από τα δύο σχήματα, το ΜεΣΑΕ σύνολο προσεγγίζεται ικανοποιητικά από τις πρώτες επαναλήψεις του αλγορίθμου, για παράδειγμα i = 2. Έτσι, ακόμα και στην περίπτωση που δεν είναι δυνατή η εύρεση του ακριβούς ΜεΣΑΕ, όπως στην περίπτωση των συστημάτων συνεχούς χρόνου, η μέθοδος δίνει χρήσιμα αποτελέσματα. Σε σύγκριση με τις υπάρχουσες μεθόδους η μεθοδολογία που προτείνεται εδώ έχει δύο συγκριτικά πλεονεκτήματα: η σύγκλιση είναι πιο γρήγορη και η πολυπλοκότητα των εσαε συνόλων που παράγονται σε όλα τα ενδιάμεσα στάδια του Αλγορίθμου 3 είναι μικρή. Τα χαρακτηριστικά της μεθόδου φαίνονται ευκολότερα όταν η τάξη του συστήματος είναι μεγάλη, όπως περιγράφεται στο επόμενο παράδειγμα. Παρατήρηση Η μέθοδος παρέχει τη δυνατότητα να προσδιορίζουμε ε-συστολικά σύνολα με προδιαγεγραμμένη ταχύτητα σύγκλισης. Το γεγονός αυτό δίνει τη δυνατότητα χαρακτηρισμού περιοχών που ικανοποιούν απαιτήσεις απόδοσης σε ένα πρόβλημα ελέγχου. Στο σχήμα, φαίνονται για το διακριτοποιημένο διπλό ολοκληρωτή τα διάφορα MεΑΕ σύνολα, 0.6 ε 1. 53

68 3.4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ 5 4 S M 3 S M (0.95) 2 1 S M (0.9) x 2 0 S M (0.6) 1 S M (0.8) 2 3 S M (0.7) 4 S x x 1 Σχήμα 3.12: Μέγιστα ε-συστολικά αμετάβλητα με έλεγχο σύνολα, για το διακριτοποιημένο διπλό ολοκληρωτή Παράδειγμα Θεωρούμε το σύστημα συνεχούς χρόνου του τριπλού ολοκληρωτή με πίνακες συστήματος A = 0 0 1,B = ενώ το διακριτοποιημένο σύστημα για περίοδο δειγματοληψίας = 0.5 είναι 1 T T 2 /2 T 3 /6 A = 0 1 T,B = T 2 / T Οι περιορισμοί στις καταστάσεις και στον έλεγχο δίνονται από [ ] [ G x =,w x =,M =,d = ] Στο Σχήμα 3.15 φαίνεται η ακολουθία των ε-συστολικών συνόλων S i = 1,...,10, όπου S M = S 10, θέτοντας σ = 0.1. Το αρχικό σύνολο S 0 προέκυψε από τον υπολογισμού του 54

69 3.5. ΣΥΝΟΨΗ θετικά αμετάβλητου συνόλου για το σύστημα κλειστού βρόχου με γραμμικό έλεγχο ο οποίος τοποθετεί τις ιδιοτιμές του συστήματος στις τιμές ϕ = 0.4, 0.5, 0.3. Αντίστοιχα, για το σύστημα συνεχούς χρόνου το μεγαλύτερο ε-συστολικό αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο S M φαίνεται στο Σχήμα 3.8, για σ = 0.2. Σχήμα 3.13: η προσέγγιση του μεγαλύτερου ε-συστολικού συνόλου για τον τριπλό ολοκληρωτή, σ = 0.2 Παρατήρηση Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο για την κατασκευή του μέγιστου ε-συστολικού με έλεγχο συνόλου για να δώσει λύση και στο Προβλήματα 3.1, 3.2, με τον εξής τρόπο: Ο αλγόριθμος 3 τερματίζεται όταν το σύνολο S που έχει υπολογιστεί είναι υπερσύνολο του συνόλου αρχικών συνθηκών S S x0. Στο σχήμα 3.14 φαίνεται το σύνολο Ω για τα δεδομένα του παραδείγματος 3.3, όπως υπολογίστηκε μέσω του Αλγορίθμου Σύνοψη Στο κεφάλαιο που προηγήθηκε μελετήθηκε το πρόβλημα της ευσταθειοποίησης γραμμικών συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου, επικεντρώνοντας την προσοχή σε μεθόδους που παράγουν πολυεδρικές θετικά αμετάβλητες ή/και περιοχές ελκτικότητας. Αρχικά μελετήθηκε το πρόβλημα του προδιαγεγραμμένου συνόλου αρχικών συνθηκών, ή Πρόβλημα 3.1, 3.2. Όπως υπογραμμίστηκε αρκετές φορές, ενώ έχουν διατυπωθεί ικανές και αναγκαίες συνθήκες που επιτρέπουν τον χαρακτηρισμό πολυεδρικών συνόλων ως θετικά αμετάβλητων ή /και ε-συστολικων [21], [23], [48], [25], [24], [43], [35], [11] η δυσκολία επίλυσης τους δεν τις καθιστά χρήσιμες στην ανάπτυξη μιας μεθόδου που κατασκευάζει τέτοια σύνολα. Χρησιμοποιώντας τη γενική φι- 55

70 3.5. ΣΥΝΟΨΗ Σχήμα 3.14: Σύνολο Ω για το παράδειγμα 3.3, υπολογισμός του συνόλου Ω μέσω του Αλγορίθμου 3 λοσοφία όπως έχει διατυπωθεί στα άρθρα [46], [49] και μέσω του αποτελέσματος που παρουσιάστηκε στο Θεώρημα 3.3.3, αναπτύξαμε μια μέθοδο που οδηγεί πάντα σε λύση των Προβλημάτων 3.1, 3.2, δεδομένου ότι το πρόβλημα αρχικών συνθηκών έχει λύση. Στη συνέχεια μελετήθηκε το πρόβλημα υπολογισμού του ΜΑΕ/ΜεΣΑΕ συνόλου, το οποίο συνοψίστηκε στο Πρόβλημα 3.3,3.4. Η πιο συνηθισμένη μέθοδος που ακολουθείται για τον υπολογισμό του μεγαλύτερου αμετάβλητου συνόλου προσεγγίζοντας το σύνολο εξωτερικά (outer-approximation methods) μέσω των Ν-reachable/admissible συνόλων [50], [51], [30], [31], [52]. Ωστόσο, το μειονέκτημα των επαναληπτικών μεθόδων που προκύπτουν είναι η μη εγγύηση του τερματισμού σε πεπερασμένο χρόνο, ώστε σε συνδυασμό με το γεγονός πως μόνο το τελικό σύνολο που παράγεται είναι εσαε, είναι πιθανό να μη παραχθεί λύση στο Πρόβλημα 3.3,3.4. Από την άλλη μεριά, για παράδειγμα αναφέρονται τα άρθρα [19], [20], [33] αλγοριθμικές διαδικασίες έχουν προταθεί για τον υπολογισμό Ν-ελέγξιμων (controllable) συνόλων που οδηγούν σε λύση των Προβλημάτων 3.3,3.4 και ανήκουν στην οικογένεια των μεθόδων προσέγγισης εκ των έσω (inner approximating methods). Τα προβλήματα που προκύπτουν από την εφαρμογή των μεθόδων είναι η δυσκολία επίλυσης των προβλημάτων βελτιστοποίησης που εμπεριέχονται στην αλγοριθμική διαδικασία, οι συντηρητικές υποθέσεις περιορίζοντας την εφαρμογή σε συγκεκριμένες κατηγορίες γραμμικών συστημάτων, η πολυπλοκότητα των συνόλων που προσεγγίζουν το μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο, και η αδυναμία επέκτασης της μεθόδους σε συστήματα συνεχούς χρόνου. Η μέθοδος που παρατέθηκε εδώ για τη λύση των Προβλημάτων 3.3, 3.4, ανήκει στην οικογένεια των μεθόδων προσέγγισης εκ των έσω. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που αναφέρονται στα Θεωρήματα 3.3, 3.4, η επαναληπτική διαδικασία αποτελεί μια γενικευμένη προσέγγιση στο πρόβλημα εύρεσης ε-συστολικών αμετάβλητων συνόλων με έλεγχο, τόσο για τα συστήματα συνεχούς χρόνου, όσο και για τα συστήματα διακρι- 56

71 3.5. ΣΥΝΟΨΗ Σχήμα 3.15: ε-συστολικά αμετάβλητα σύνολα S i, i = 1,..,7, και S M = S 10, για τον τριπλό ολοκληρωτή, διακριτοποιημένο σύστημα 57

72 3.5. ΣΥΝΟΨΗ τού χρόνου. Τα σύνολα που παράγονται στα ενδιάμεσα στάδια είναι και αυτά αμετάβλητα με έλεγχο. Επίσης, φαίνεται ότι έχουν κλιμακούμενη πολυπλοκότητα, γεγονός που επιτρέπει σε κάποιον να επιλέξει ανάμεσα σε σύνολα με χαμηλή πολυπλοκότητα και σύνολα που προσεγγίζουν με μεγαλύτερη ακρίβεια το μεγαλύτερο αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο. Τέλος, καθώς η μέθοδος δε στηρίζεται σε υπολογισμό Ν-reachable ή N-ελέγξιμων συνόλων η σύγκλιση στον μεγαλύτερο σύνολο είναι ταχύτερη σε σχέση με τις προαναφερθείσες μεθόδους. 58

73 Κεφάλαιο 4 Γραμμικά συστήματα με αβεβαιότητες 4.1 Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουμε αποτελέσματα σχετικά με την ανάλυση και έλεγχο γραμμικών συστημάτων με χρονικά μεταβαλλόμενη αβεβαιότητα στα δομικά τους χαρακτηριστικά. Αρχικά, περιγράφεται η δομή των γραμμικών συστημάτων με πολυτοπική αβεβαιότητα. Στη συνέχεια, αναφέρουμε τα αποτελέσματα που αφορούν την ύπαρξη πολυεδρικών ΣL καθώς και ΘΑ,εΣ συνόλων και ΠΕ, που προκύπτουν από απευθείας εφαρμογή του Θεωρήματος Lyapunov ή από τις συνθήκες κορυφών. Όπως θα φανεί, λόγω του συγκεκριμένου είδους αβεβαιότητας, η λύση στο πρόβλημα του συνόλου αρχικών συνθηκών και του προσδιορισμού του μέγιστου αμετάβλητου συνόλου ανάγεται στη μελέτη της δυναμικής q ρ γραμμικών χρονικά αμετάβλητων γραμμικών συστημάτων. Τα δύο αυτά προβλήματα μελετώνται στα δύο τελευταία μέρη του κεφαλαίου και γίνεται αντιληπτό πως η λύση που προτείνουμε προκύπτει κάνοντες μικρές μετατροπές στις μεθόδους που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο 3, αναδεικνύοντας έτσι τη γενικότητα των μεθόδων. 4.2 Περιγραφή του συστήματος Η γενική περιγραφή γραμμικών συστημάτων με αβεβαιότητα, για συστήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου είναι ẋ(t) = A(ρ(t))x(t) + B(ρ(t))u(t) (4.1) x(t + 1) = A(ρ(t))x(t) + B(ρ(t))u(t), (4.2) 59

74 4.3. ΠΟΛΥΕΔΡΙΚΑ ΘΑ,ΕΣ ΣΥΝΟΛΑ ενώ για τα αυτόνομα συστήματα ẋ(t) = A(ρ(t))x(t) (4.3) x(t + 1) = A(ρ(t))x(t) (4.4) όπου x(t) R n, u(t) R m, και A(t) R n n, B(t) R m n και ρ(t) είναι η αβέβαια μεταβλητή ρ(t) R q ρ. Στο παρόν κεφάλαιο εξετάζουμε συστήματα με δομημένη φραγμένη αβεβαιότητα. Οι πίνακες A(t), B(t) είναι συναρτήσεις μιας πιθανώς ασυνεχούς παραμέτρου ρ(t) S ρ R q ρ η οποία είναι συνάρτηση του χρόνου, ενώ S ρ είναι ένα φραγμένο σύνολο. Στα γραμμικά συστήματα με πολυτοπική αβεβαιότητα το σύνολο S ρ είναι της μορφής S ρ = { ρ R q ρ : ρ 0,e T qρ ρ = 1 } (4.5) και η περιγραφή των πινάκων του συστήματος (A(ρ), B(ρ)) δίνεται από τη σχέση (A(ρ),B(ρ)) = q ρ i=1 (A i,b i )ρ i (4.6) Μπορούμε να θεωρήσουμε πως το ζεύγος των πινάκων (A(ρ), B(ρ)) ανήκει στην κυρτή θήκη ενός πολυεδρικού συνόλου S R n n R n m, το οποίο έχει ως κορυφές τα σημεία (A i,b i ). Η ανάλυση και η ανάπτυξη τεχνικών ελέγχου για συστήματα με το συγκεκριμένο τύπο αβεβαιότητας είναι ευκολότερη για αυτού του τύπου την αβεβαιότητα, καθώς για να εγγυηθεί η ευστάθεια ή η ύπαρξη ΘΑ συνόλων, αρκεί να υπάρχει μια κοινή συνάρτηση Lyapunov για κάθε σύστημα που αντιστοιχεί στην κορυφή του συνόλου S. 4.3 Πολυεδρικά ΘΑ,εΣ σύνολα Ικανές και αναγκαίες συνθήκες που εγγυώνται την αμεταβλητότητα ή/και ε- συστολικότητα 1 με έλεγχο πολυεδρικών συνόλων S έχουν διατυπωθεί για σύνολα με H, V αναπαράσταση. Στο επόμενο θεώρημα διατυπώνονται ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη ΘΑ,εΣ συνόλου για τα αυτόνομα γραμμικά συστήματα με αβεβαιότητες, οι οποίες προκύπτουν από την άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Θεώρημα Για αυτόνομα γραμμικά συστήματα με αβεβαιότητα, της μορφής (4.3), (4.4) το πολυεδρικό σύνολο S R n, η μορφή του οποίου υπενθυμίζεται S = {x R n : Gx w} = conv { V 1,...,V q}, (4.7) G R p n, w R p, w > 0, V R n q είναι εσ,θα ως προς τα συστήματα (4.3),(4.4) αν και μόνο αν υπάρχουν πίνακες H i, i = 1,...,q ρ ώστε GA i = H i G, i = 1,..,q ρ (4.8) 1 Πολλές φορές στη βιβλιογραφία τα αμετάβλητα σύνολα για συστήματα με αβεβαιότητες ή/και διαταραχές ονομάζονται σθεναρά αμετάβλητα σύνολα. 60

75 4.3. ΠΟΛΥΕΔΡΙΚΑ ΘΑ,ΕΣ ΣΥΝΟΛΑ και H i w εw, i = 1,..,q ρ (4.9) για τα συστήματα διακριτού χρόνου, ενώ για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. H i 0 i = 1,..,q ρ (4.10) H i w εw i = 1,...,q ρ (4.11) h i jk 0, j k, i = 1,...,q ρ (4.12) Αντίστοιχες συνθήκες για την V αναπαράσταση του συνόλου S έχουν επίσης διατυπωθεί και συνοψίζονται στα επόμενα δύο Θεωρήματα: Θεώρημα [53] Το σύνολο S είναι ΘΑ,εΣ αν και μόνο αν υπάρχουν πίνακες P i R p p, i = 1,..,q ρ που ικανοποιούν τις συνθήκες A i V = V P i i = 1,..,q ρ (4.13) και e T q P εe T q (4.14) για τα συστήματα διακριτού χρόνου, ενώ για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. P i 0 i = 1,..,q ρ (4.15) e T q P i εe T q i = 1,..,q ρ (4.16) p i jk 0, j k, i = 1,...,q ρ (4.17) Για την περίπτωση των μη αυτόνομων συστημάτων, η αμεταβλητότητα με έλεγχο του S ως προς συστήματα της μορφής (4.1),(4.2), με αβεβαιότητα (4.5),(4.6) εγγυάται μόνο από συνθήκες που εκμεταλλεύονται την V αναπαράσταση του συνόλου S. Θεώρημα [53] Το σύνολο S είναι εσαε ως προς τα (4.1),(4.2) αν και μόνο αν υπάρχουν πίνακες P i, i = 1,..,q ρ, P i R q q ώστε A i V + B i U = V P i, i = 1,...,q ρ (4.18) και e T q P εe T q, i = 1,...,q ρ (4.19) 61

76 4.4. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ για τα συστήματα διακριτού χρόνου (4.2), ενώ για τα συστήματα συνεχούς χρόνου (4.1). Παρατήρηση P i 0, i = 1,...,q ρ (4.20) e T q P i εe T q i = 1,...,q ρ (4.21) p i jk 0, j k, i = 1,...,q ρ (4.22) Είναι ξεκάθαρο πως αναγκαία και ικανή συνθήκη για το χαρακτηρισμό εθα, εσαε συνόλων S ως προς τα συστήματα (4.1),(4.2) με αβεβαιότητα (4.5),(4.6) είναι η αμεταβλητότητα με έλεγχο ή συστολικότητα με έλεγχο του συνόλου S για κάθε σύστημα (A i,b i ), i = 1,...,q ρ. Αυτή η ιδιότητα οφείλεται στη γραμμικότητα των συστημάτων και το γεγονός ότι τα σύνολα είναι πολυεδρικά. Παρατήρηση Εκτός της εγγενούς δυσκολίας που παρουσιάζει η επίλυση των παραπάνω σχέσεων, όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, το επιπρόσθετο στοιχείο που πρέπει να λάβει κανείς υπόψιν του είναι η ταυτόχρονη επίλυση των σχέσεων για όλα τα συστήματα (A i,b i ), i = 1,...,q ρ. Έτσι, αν εξαιρεθούν τα ακαδημαϊκά παραδείγματα, οι συνθήκες δεν επιτρέπουν τη λύση τέτοιων προβλημάτων ελέγχου. Στο υπόλοιπο του κεφαλαίου θα μελετηθεί το πρόβλημα του συνόλου αρχικών συνθηκών, και της εύρεσης του μέγιστου ε-συστολικού αμετάβλητου με έλεγχο συνόλου, όπως έχουν διατυπωθεί στο Κεφάλαιο 3, για την περίπτωση των γραμμικών συστημάτων με πολυτοπική αβεβαιότητα. 4.4 Πρόβλημα αρχικών συνθηκών Για την περίπτωση των μη αυτόνομων γραμμικών συστήμάτων με πολυτοπική αβεβαιότητα της μορφής (4.1),(4.2), το πρόβλημα του συνόλου αρχικών συνθηκών ορίζεται ως εξής: Πρόβλημα 4.1 Έστω γραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου με αβεβαιότητα της μορφής (4.2), όπου η αβέβαια μεταβλητή ρ S ρ R q ρ είναι φραγμένη στο σύνολο S ρ (4.5), και οι πίνακες του συστήματος δίνονται από τη σχέση (4.6). Επίσης, θεωρείται ότι υπάρχουν περιορισμοί στο διάνυσμα καταστάσεων x(t) S x και τις εισόδους u(t) S u της μορφής S x = {x R n : G x x w x } (4.23) S u = {u R m : G u u w u }, (4.24) 62

77 4.4. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ όπου G x R p x n, w > 0, G u R p u m, w u > 0. Ζητείται να βρεθούν συνθήκες ύπαρξης ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης u = g(x) ώστε όλες οι τροχιές του συστήματος κλειστού βρόχου που ξεκινούν από ένα σύνολο αρχικών συνθηκών x(0) S x0 { S x0 = {x R n : G x0 x w x0 } = conv Vx 1 0,...,V q x 0 x 0 }, (4.25) G x0 R p x 0 να μεταφέρονται ασυμπτωτικά στο μηδενικό σημείο ισορροπίας χωρίς να παραβιάζονται οι περιορισμοί. Στο σημείο αυτό είναι σκόπιμο να αναφερθεί το ανάλογο αποτέλεσμα που περιγράφεται από τη σχέση (3.34). Έτσι, η λύση του Προβλήματος 4.1 είναι ισοδύναμη με την ύπαρξη ενός ΑΕ συνόλου Ω που είναι και ΠΕ ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου ώστε S x0 Ω S α, (4.26) όπου το S α το αποδεκτό σύνολο στο χώρο των καταστάσεων, όπως ορίζεται από τη σχέση (3.12). Όπως και στο προηγούμενο κεφάλαιο, η ειδική περίπτωση αφορά την απαίτηση Ω = S x0, η οποία ισοδυναμεί με την ύπαρξη πίνακα P R q x 0 q x0 που ικανοποιεί ταυτόχρονα τις σχέσεις (4.18)-(4.20) θέτοντας V = V x0, καθώς και G u U i w u i = 1,...,q x0. Στη συνέχεια, περιγράφεται ένας τρόπος που οδηγεί πάντα στην κατασκευή ενός συνόλου Ω, με την προϋπόθεση ότι το Πρόβλημα 4.1 έχει λύση. θεωρούμε την ακολουθία συνόλων Z i, E i, i = 1,..,N, με αρχικά σύνολα το Z 0 που έχει ως στοιχεία τις κορυφές του συνόλου αρχικών συνθηκών { } Z 0 = Vx l 0,l = 1,..,q x0 καθώς και το σύνολο E 0 S x στο χώρο των καταστάσεων. H περιγραφή του E 0 δίνεται από τη σχέση { } E 0 = conv Vx 1 0,...,V q x 0 x 0 = S x0 Η ακολουθία των συνόλων έχει τη μορφή E i+1 = E i K { xk ( j;z ),k = 1,...,q ρ, j = 1,..,T 1 } (4.27) Z i+1 = ( ( Z i { x k ( j;z ),k = 1,..,q ρ, j = 1,..,T 1 }) {z inte i+1 }) {z } (4.28) όπου K είναι η κυρτή ένωση συνόλου με σύνολο στοιχείων, z είναι ένα στοιχείο του συνόλου Z i, και x k ( j;z ), k = 1,..,q ρ, j = 1,..,T 1 προκύπτουν από την λύση του ακόλουθου προβλήματος βελτιστοποίησης min {T } (4.29) T,u( j), j=1,...,t 1 63

78 4.4. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ με περιορισμούς x k (T ;z) E i, k = 1,...,q ρ (4.30) x k ( j + 1) = A k x( j) + B k u( j), k = 1,...,q ρ, j = 0,1,...,T 1 (4.31) Mu( j) d, j = 0,1,..,T 1 (4.32) G x x k ( j;z) w x,k = 1,...,q ρ, j = 1,...,T 1 (4.33) Παρατήρηση Αν το Πρόβλημα 4.1 έχει λύση, τότε η ακολουθία E i+1 συγκλίνει σε ένα αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο E N, N N ως προς το (4.2) που είναι περιοχή ελκτικότητας για το σύνολο αρχικών συνθηκών S x0 με ταυτόχρονη ικανοποίηση των περιορισμών. Το σύνολο E N = Ω είναι το μικρότερο αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο που περιέχει το σύνολο αρχικών συνθηκών Όπως αναφέρεται και στο κεφάλαιο 3, εφόσον έχει βρεθεί το σύνολο E N, όπου E N = Ω = conv { VE 1,VE 2,...,V q } E E (4.34) υπάρχουν πίνακες U R m p E, P R p E p E που ικανοποιούν τις σχέσεις (4.18)-(4.20), με V =V E, όπου V E πίνακας με στήλες τις κορυφές του συνόλου E N. Έτσι, μια κατάλληλη στρατηγική ελέγχου είναι u(x) = Uλ(x) (4.35) όπου λ(x) R q E, υπολογίζεται λύνοντας τις σχέσεις x(t) = V E λ(x), λ(x) 0, e T q E λ(x) 1. H αλγοριθμική παρουσίαση της μεθόδου που αναπτύξαμε και παρέχει λύση στο Πρόβλημα 4.1 φαίνεται παρακάτω. 64

79 4.4. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Algorithm 4 Είσοδοι: Πίνακες (A i,b i ), σύνολα περιορισμων S x, S u,σύνολο αρχικών συνθηκών S x0, μέγιστο παράθυρο χρόνου T max.έξοδος: αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο Ω, περιοχή ελκτικότητας για το S x0. 1: Z = {Vx l 0, l = 1,..,q x0 }, E = S x0 2: while Z do 3: διάλεξε z Z 4: T = 0, λύση=0 5: while λύση=0 ΚΑΙ T < T max do 6: T = T + 1 { 7: γ,x k ( j;z ),k = 1,...,q ρ, j = 1,..,T 1 } = δοκιμή(t,z,e) 8: if γ < 1 then 9: λύση =1 10: end if 11: end while 12: if T > T max then 13: έξοδος, το Πρόβλημα 4.1 δεν έχει λύση 14: end if 15: E E K { x k ( j;z),k = 1,...,q ρ, j = 1,...,T 1 } 16: Z ( ( Z { x k ( j;z ),k = 1,..,q ρ, j = 1,..,T 1 }) {z inte i+1 }) {z } 17: end while 18: Ω = E Στη γραμμή 7 το πρόβλημα βελτιστοποίησης δοκιμή είναι με περιορισμούς min {γ} (4.36) γ,u( j), j=0,...,t 1 x k ( j + 1) = A k x( j) + B k u( j), k = 1,...,q ρ, j = 0,...,T 1 (4.37) Mu j d, j = 0,...,T 1 (4.38) G x x k ( j;z ) w x, k = 1,...,q ρ, j = 1,...,T 1 (4.39) G E x k (T ;z ) γw E (4.40) όπου G E,w E προκύπτουν από την H αναπαράσταση του συνόλου E. Έτσι, αν η μεταβλητή γ είναι μικρότερη του ένα, οι τροχιές x k (t;z ), k = 1,...,q ρ ξεκινούν από το σημείο z βρίσκονται στο εσωτερικό του E μετά από T το πολύ βήματα. Όπως είναι φανερό, 65

80 4.5. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ το πρόβλημα δοκιμή είναι ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. H διαδικασία που περιγράφηκε μπορεί να εφαρμοστεί και στα αυτόνομα συστήματα διακριτού χρόνου, θέτοντας B = 0. Παράδειγμα Θεωρούμε μη αυτόνομο σύστημα διακριτού χρόνου (4.2). Τα συστήματα (A i,b i ), i = 1,2 περιγράφονται από [ ] [ ] A 1 =, B 1 = A 2 = [ ], B 2 = Η είσοδος υπόκειται σε περιορισμούς 1 u 1, ενώ υπάρχουν περιορισμοί και στις καταστάσεις x(t) S x [ G x = , w x = όπου ο πίνακας G x και το διάνυσμα w x προκύπτουν από την H αναπαράσταση του S x. Εφαρμόζοντας ένα γραμμικό νόμο ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης u(x) = Kx(k), όπου K = [ ], το σύστημα κλειστού βρόχου ορίζεται από τους πίνακες [ ] [ ] A cl =, A cl = Κάνοντας τη μετατροπή για την περίπτωση των αυτόνομων συστημάτων και εφαρμόζοντας τον Αλγόριθμο 4, προκύπτει το ΘΑ σύνολο και ΠΕ Ω, το οποίο φαίνεται στο Σχήμα 4.1, μαζί με τον σύνολο αρχικών συνθηκών S x0. Εφαρμόζοντας τον Αλγόριθμο 4 για οποιοδήποτε έλεγχο, προκύπτει το ΑΕ και περιοχή ελκτικότητας Ω, το οποίο φαίνεται στο Σχήμα 4.2 μαζί με το σύνολο αρχικών συνθηκών. ] 4.5 Προσδιορισμός μέγιστου αμετάβλητου συνόλου Η έννοια του ΜεΣ ή ΜεΣΑΕ συνόλου για τα γραμμικά συστήματα με αβεβαιότητα είναι ισοδύναμη με αυτή που διατυπώθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο για τα γραμμικά συστήματα. Σε αυτό το μέρος παρουσιάζεται ένας τρόπος κατασκευής του ΜεΣΑΕ συνόλου για την περίπτωση των μη αυτόνομων γραμμικών συστημάτων με αβεβαιότητες (4.1),(4.2) όταν είναι παρόντες περιορισμοί στις καταστάσεις και στο διάνυσμα ελέγχου (4.23),(4.24). Τα αποτελέσματα του προηγούμενου κεφαλαίου μπορούν να επεκταθούν 66

81 4.5. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ E N =Ω x 2 0 S x x 1 Σχήμα 4.1: Σύνολο αρχικών συνθηκών και θετικά αμετάβλητο σύνολο και περιοχή ελκτικότητας σύνολο Ω ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου με γραμμικό έλεγχο Ω x 2 0 S x x 1 Σχήμα 4.2: Σύνολο αρχικών συνθηκών, και αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο και περιοχή ελκτικότητας Ω 67

82 4.5. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ για την περίπτωση των συστημάτων με αβεβαιότητα, απαιτώντας οι συνθήκες (3.92)- (3.94) και (3.107)-(3.109) να ικανοποιούνται για κάθε σύστημα (A i,b i ), i = 1,...,q ρ. Έτσι, ο Αλγόριθμος 3 μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την εύρεση εσαε συνόλων για αυτήν την κατηγορία συστημάτων, αλλάζοντας το πρόβλημα βελτιστοποίησης διεύρυνση ως εξής: max {β} (4.41) v,u,β,p j,p j,q+1, j=1,...,q ρ με περιορισμούς και G u u w u (4.42) G x v w x (4.43) G i v βw i (4.44) β 1 (4.45) A j v + B j u = V p j + v p j,q+1, j = 1,...,s (4.46) p j 0, p j,q+1 0, j = 1,...,s (4.47) e T q p j + p j,q+1 ε, j = 1,...,s (4.48) για τα συστήματα διακριτού χρόνου, ενώ A j v + B j u = V p j + v p j,q+1, j = 1,...,s (4.49) p j 0, j = 1,...,s (4.50) e T q p j + p j,q+1 ε, j = 1,...,s (4.51) για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. Παρατήρηση 4.4 H περαιτέρω δυσκολία που παρουσιάζει η μέθοδος για συστήματα με αβεβαιότητες, είναι η εύρεση ενός αμετάβλητου με έλεγχο ή/και ε-συστολικού συνόλου που θα χρησιμεύσει ως το αρχικό σύνολο S 0. Εκτός κάποιων ευριστικών μεθόδων που αφορούν την εύρεση κοινής συνάρτησης Lyapunov (σε αυτήν την περίπτωση πολυεδρικής συνάρτησης Lyapunov), μπορούμε να προσαρμόσουμε τη μέθοδο που προτάθηκε ως λύση στο Πρόβλημα 4.1, για την εύρεση ενός ΑΕ, ΘΑ για συστήματα διακριτού χρόνου. Έτσι, για τα αυτόνομα συστήματα, αν στο πρόβλημα βελτιστοποίησης δοκιμή αφαιρεθούν οι περιορισμοί (4.38),(4.39),εφαρμόζοντας τον Αλγόριθμο 4 προκύπτει πάντα ένα θετικά αμετάβλητο σύνολο E = {x R n : G E x w E } που είναι και περιοχή ελκτικότητας, με την προϋπόθεση ότι κάθε υποσύστημα A i, i = 1,...,q ρ είναι ευσταθές. Τότε, είναι 68

83 4.5. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ πάντα εφικτό να βρεθεί ένα ΘΑ σύνολο E = {x R n : G E x w E } S x, με w E = 1 δ w E, όπου δ είναι ένας θετικός αριθμός που ικανοποιεί τις συνθήκες LG E = G x για ένα πίνακα L R p x p E. Lw E δw x L 0 Με παρόμοιο τρόπο, μπορεί κανείς να βρει αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο για τα μη αυτόνομα συστήματα διακριτού χρόνου. 6 S x 4 S M S 0 =E 2 x S x x 1 Σχήμα 4.3: Σύνολο περιορισμων S x, αρχικό σύνολο S 0, και το μεγαλύτερο θετικά αμετάβλητο σύνολο S M για το σύστημα κλειστού βρόχου με γραμμικό έλεγχο ανατροφοδότησης Παράδειγμα Θεωρούμε το ίδιο σύστημα με το προηγούμενο παράδειγμα, και ζητείται να βρεθεί το ΜΘΑ και το ΜΑΕ σύνολο για το σύστημα κλειστού βρόχου και το μη αυτόνομο σύστημα αντίστοιχα. Από το προηγούμενο παράδειγμα, φαίνεται πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το ΘΑ και το ΑΕ E N = Ω ως αρχικά σύνολα S 0 για να αρχικοποιηθεί ο αλγόριθμος εύρεσης του μέγιστου αμετάβλητου συνόλου. Στο σχήμα 4.3 φαίνονται το ΜΘΑ για το σύστημα κλειστού βρόχου, ενώ στο στο σχήμα 4.4 φαίνεται το ΜΑΕ για την περίπτωση του μη αυτόνομου συστήματος. Το μέγιστο αμετάβλητο με 69

84 4.5. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ 10 8 S 14 6 S 3 4 S 5 2 x 2 0 S 1 S 0 S x S x x 1 Σχήμα 4.4: Σύνολο περιορισμών S x, αρχικό σύνολο S 0, και το μεγαλύτερο αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο για το μη αυτόνομο σύστημα S M 10 8 S M x S x x 1 Σχήμα 4.5: Το μεγαλύτερο αμετάβλητο με έλεγχο σύνολο S M και οι τροχιές που ξεκινάνε από τις κορυφές του S M, με έλεγχο της μορφής u(x) = U M λ(x) 70

85 4.6. ΣΥΝΟΨΗ έλεγχο σύνολο που παράγεται είναι ένα πολυεδρικό σύνολο με 24 κορυφές S M = conv { VM,...,V 1 M 24 } = {x R n : G SM x w SM } Επίσης, υπάρχουν πίνακες U M R 1 24, P i R 24 24, i = 1,...,24 που ικανοποιούν τις σχέσεις (4.18)-(4.20). Έτσι, μια κατάλληλη στρατηγική ελέγχου που οδηγεί κάθε τροχιά που ξεκινάει από σημείο x 0 S M στο σημείο ισορροπίας είναι u(x) = U M λ(x) όπου το διάνυσμα λ(x(t)) προκύπτει κάθε χρονική στιγμή από τη λύση του ακόλουθου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού min λ(x(t)) {γ(t)} με περιορισμούς x(t) = V M λ(t) e T 24λ γ(t) λ(t) 0 Στο σχήμα 4.5 φαίνονται οι τροχιές που ξεκινάνε από τις κορυφές του συνόλου S M με τον έλεγχο που υπολογίζεται για διάφορες τυχαίες τιμές της αβεβαιότητας ρ(t) S ρ. 4.6 Σύνοψη Σε αυτό το κεφάλαιο μελετήθηκε η οικογένεια των γραμμικών συστημάτων με πολυτοπική αβεβαιότητα και περιορισμούς στις καταστάσεις και την είσοδο. Συγκεκριμένα, η ανάλυση εστιάστηκε στην εύρεση πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov/ θετικά αμετάβλητων περιοχών ελκτικότητας καθώς και στον χαρακτηρισμό αμετάβλητων με έλεγχο συνόλων μαζί με τον ταυτόχρονο υπολογισμό κατάλληλου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Σχετικά με το θέμα αποτελέσματα βρίσκονται στα άρθρα [54], [48], [55], [56], [57], [58], [59], [60]. Αρχικά μελετήθηκε το πρόβλημα αρχικών συνθηκών, όπου για την κατηγορία των συστημάτων διακριτού χρόνου προτάθηκε μια επαναληπτική μέθοδος που οδηγεί στον υπολογισμό αμετάβλητων με έλεγχο πολυεδρικών συνόλων, τα οποία είναι περιοχή ελκτικότητας, βρίσκονται μέσα στο σύνολο των περιορισμών και είναι υπερσύνολα του συνόλου αρχικών συνθηκών. Η μέθοδος που παρουσιάσαμε οδηγεί πάντα στην λύση του προβλήματος αρχικών συνθηκών, αν το πρόβλημα έχει λύση. Στη συνέχεια, σε συνέπεια με το κεφάλαιο 3 μελετήθηκε το πρόβλημα του μέγιστου αμετάβλητου συνόλου. Όπως φαίνεται, η μέθοδος που αναπτύχθηκε στον προηγούμενο κεφάλαιο μπορεί να εφαρμοστεί με μερικές μετατροπές στην περίπτωση των συστημάτων με αβεβαιότητα, υπογραμμίζοντας έτσι τη γενικότητα της μεθόδου. 71

86 Κεφάλαιο 5 Συστήματα ARMA 5.1 Εισαγωγή Τα συστήματα ARMA (Auto-Regressive Moving Average), ή αυτοανάδρομα μοντέλα κινούμενου μέσου όρου ανήκουν στην οικογένεια των γραμμικών συστημάτων και συνήθως προκύπτουν εφαρμόζοντας αλγορίθμους αναγνώρισης διαδικασιών. Στο πρώτο μέρος του κεφαλαίου δίνεται η περιγραφή ενός αυτόνομου ARMA συστήματος. Επίσης, εδραιώνονται συνθήκες ύπαρξης ΘΑ πολυεδρικών συνόλων γενικής μορφής για αυτόν τον τύπο συστημάτων. Στη συνέχεια, θεωρούμε την ύπαρξη περιορισμών στον έλεγχο και τις καταστάσεις για την περίπτωση των μη αυτόνομων συστημάτων, και εδραιώνουμε συνθήκες που οδηγούν στη λύση του προβλήματος του συνόλου αρχικών συνθηκών με γραμμικό έλεγχο, η οποία αντιστοιχεί στη λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Το τρίτο μέρος του κεφαλαίου διαπραγματεύεται το πρόβλημα ανάλυσης και ελέγχου δικτυωμένων συστημάτων ελέγχου. Το κύριο χαρακτηριστικό αυτών των συστημάτων είναι η εισαγωγή καθυστέρησης στο σήμα εισόδου. Η προσέγγιση που ακολουθούμε στηρίζεται στην θεώρηση των δικτυωμένων συστημάτων ελέγχου ως ARMA συστήματα με αβεβαιότητες. 5.2 Αυτόνομα ARMA συστήματα Η γενική περιγραφή ενός αυτόνομου ARMA συστήματος είναι όπου q 1 είναι ο τελεστής προς τα πίσω, x(t) R l, ενώ A(q 1 )x(t) = 0 (5.1) A(q 1 ) = I l + A 1 q 1 + A 2 q A n q n, (5.2) A i R l l, i = 1,...,n. Στη συνέχεια, θεσπίζονται συνθήκες ύπαρξης ΘΑ πολυεδρικών συνόλων γενικής μορφής για αυτήν την κατηγορία γραμμικών συστημάτων. Πρώτα, είναι ανάγκη να δοθεί ένας ορισμός της θετικής αμεταβλητότητας για ARMA συστήματα: 72

87 5.2. ΑΥΤΟΝΟΜΑ ARMA ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ορισμός Το σύνολο του χώρου κατάστασης S R l ονομάζεται θετικά αμετάβλητο ΘΑ ως προς το σύστημα (5.1) αν και μόνο αν για αρχικές συνθήκες x(t) S, t = 0, 1,..., (n 1) οι τροχιές του συστήματος x(t;x(0),x( 1),...,x( n + 1)) S, για κάθε t > 0. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε συνθήκες που εγγυώνται την θετική αμεταβλητότητα ενός πολυεδρικού συνόλου γενικής μορφής { } S = x R l : Gx w, (5.3) G R p l, w R p, w > 0, και rankg = l. Σημειώνεται πως οι συνθήκες αφορούν πολυεδρικά σύνολα γενικής μορφής, και αποτελούν τη γενίκευση των αποτελεσμάτων στο [61]. Θεώρημα Το σύνολο S(G,w) είναι ΘΑ ως προς το σύστημα (5.1) αν υπάρχουν μη αρνητικοί πίνακες H i R l l, i = 1,...,n και ένας αριθμός 0 ε 1, ώστε GA i = H i G,,i = 1,..,n (5.4) (H 1 + H H n )w εw (5.5) H i 0, i = 1,...,n (5.6) Απόδειξη. Έστω συνάρτηση v(x), v : R l R, η οποία είναι θετικά ορισμένη: { } (Gx) j v(x) = max 1 j l w j (5.7) Τότε, v(x(t)) = max 1 j l ( n i=1 = max 1 j l ( n i=1 = max 1 j l ( n i=1 max 1 j l { (Gx(t)) j w j } = GA i x(t i)) j w j = H i Gx(t i)) j w j w j H i v(x(t i)w) j 73

88 5.3. ΜΗ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑRMA, ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ max 1 j l ( n H i w) j i=1 w j max 1 i n {v(x(t i))} { } εw j max max {v(x(t i))} 1 j l 1 i n w j Από την ανισότητα = ε max {v(x(t i))} 1 i n προκύπτει ή με αναγωγή στις αρχικές συνθήκες v(x(t)) ε max {v(x(t i))} (5.8) 1 i n max {v(x(t + n i))} ε max {v(x(t i))} 1 i n 1 i n max {v(x(t + n i))} ε n +1 t max{v(x(0)),v(x( 1)),...,v(x( n + 1))} 1 i n για κάθε t > 0, και x(k) R l, k = 0, 1,..., n + 1. Είναι φανερό πως η μεταβλητή ε αποτελεί ένα μέτρο της ταχύτητας σύγκλισης για το σύστημα (5.1), στην περίπτωση που ε < Μη αυτόνομα συστήματα ΑRMA, έλεγχος με περιορισμούς Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε την περίπτωση των μη αυτόνομων συστημάτων ARMA παρουσία περιορισμων, και αναπτύσσουμε μια μεθοδολογία εύρεσης γραμμικού νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης ώστε να υπάρχει λύση για την ειδική περίπτωση του προβλήματος αρχικών συνθηκών. Τα μη αυτόνομα ARMA συστήματα περιγράφονται από την ακόλουθη εξίσωση όπου u(t) R s και B(q 1 ) ορίζεται από A(q 1 )x(t) = B(q 1 )u(t), (5.9) B ( q 1) = B 1 q 1 + B 2 q B m q m, (5.10) B i R l s, i = 1,...,m και A(q 1 ) δίνεται από τη (5.2). Επίσης, θεωρούμε περιορισμούς στον έλεγχο u(t) S u, όπου S u ένα πολυεδρικό σύνολο της μορφής S u = {u R s : G u u w u }, (5.11) 74

89 5.3. ΜΗ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑRMA, ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ G u R pu s, w u R p u, w u > 0. Επιλέγοντας γραμμικό έλεγχο ανατροφοδότησης της μορφής u(t) = K(q 1 )x(t) (5.12) όπου K(q 1 ) = K 0 + K 1 q 1 + K 2 q K r q r, (5.13) r n m, το σύστημα κλειστού βρόχου είναι της μορφής [A(q 1 ) B(q 1 )K(q 1 )]x(t) = 0 (5.14) Το πρόβλημα που διαπραγματευόμαστε έχει την εξής διατύπωση: Πρόβλημα 5.1 Έστω ARMA σύστημα της μορφής (5.9), το οποίο υπόκειται σε πολυεδρικούς περιορισμούς στον έλεγχο. Ζητείται να βρεθεί ένας γραμμικός έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης της μορφής (5.12) ώστε όλες οι τροχιές του συστήματος που ξεκινάνε από ένα σύνολο αρχικών συνθηκών S (5.3) οδηγούνται ασυμπτωτικά στο μηδενικό σημείο ισορροπίας, ενώ οι περιορισμοί στον έλεγχο (5.11) ικανοποιούνται. Το Πρόβλημα 5.1 ανάγεται στην περίπτωση του γενικού προβλήματος αρχικών συνθηκών και η λύση του συνεπάγεται την ύπαρξη ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης ώστε το σύνολο S να είναι ΘΑ και ΠΕ ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου, ενώ ταυτόχρονα, το σύνολο των περιορισμών στην είσοδο, μεταφρασμένο στο χώρο των καταστάσεων είναι υπερσύνολο του συνόλου αρχικών συνθηκών S u(x) S. Όταν εφαρμόζεται γραμμικός έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης (5.12), το σύνολο S u ανάγεται στον επαυξημένο χώρο καταστάσεων z R (r+1)l, όπου z = [ z T 0 z T 1... z T ] r ως εξής: S u(x) = { z R (r+1)l : } r G u K i z i w u j=0 (5.15) Το σύνολο S u(x) είναι το σύνολο στο οποίο βρίσκονται όλοι οι συνδυασμοί των καταστάσεων x(t), x(t 1),..., x(t r) για τις οποίες ο γραμμικός έλεγχος ικανοποιεί τους περιορισμούς. Είναι φανερό πως για να είναι ο γραμμικός έλεγχος αποδεκτός πρέπει S S... S S u(x). Οι αλγεβρικές συνθήκες που εγγυώνται αυτή τη σχέση αποτυπώνονται στο παρακάτω θεώρημα, το οποίο είναι η γενίκευση αυτού που παρουσιάζεται στο [61]: Θεώρημα Η σχέση S S... S S u(x) ισχύει αν και μόνο αν υπάρχουν μη αρνητικοί πίνακες L i, i = 1,...,r ώστε L i G = G u K i, i = 1,...,r (5.16) r i=0 L i w w u (5.17) 75

90 5.3. ΜΗ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑRMA, ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Απόδειξη Το σύνολο S S... S ορίζεται από τη σχέση { S = z R (r+1)l : G z w } (5.18) όπου G R p(r+1) l(r+1), w R p(r+1) όπου G = G G G,w = Επίσης, οι περιορισμοί στην είσοδο είναι { } S u(x) = z R (r+1)l : G u(x) z w u w w... w όπου G u(x) = G u K G u K G u K r,w u = w u w u... w u G u(x) Rp u(r+1) l(r+1), w u R p u(r+1). Σύμφωνα με το Λήμμα 3.3.1, η σχέση S S u(x) ισοδυναμεί με την ύπαρξη ενός μη αρνητικού πίνακα L R p u(r+1) p(r+1) ώστε L G = G u(x) (5.19) L w w u(x) (5.20) Χωρίζοντας τον πίνακα L σε μέρη L = [ L 0 L 1... ] L r, οι σχέσεις (5.19)-(5.20) ισοδυναμούν με τις (5.16),(5.17). Εφαρμόζοντας γραμμικό έλεγχο ανατροφοδότησης κατάστασης, ο ισοδύναμος πίνακας του συστήματος κλειστού βρόχου (5.14) είναι A = A(q 1 ) B(q 1 )K(q 1 ), όπου A i = A i min{i,m} B j K i j,i = 1,...,n (5.21) j=max{1,i r} Η λύση στο Πρόβλημα 5.1 συνοψίζεται στο επόμενο θεώρημα: Θεώρημα Το σύνολο S είναι θετικά αμετάβλητο και περιοχή ελκτικότητας ως προς το σύστημα (5.14), με ταυτόχρονη τήρηση των περιορισμών στην είσοδο u(t) S u αν υπάρχουν πίνακες Hi, i = 1,...,n, L i, i = 1,...,r ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: ( ) min{i,m} G A i B j K i j = Hi G,i = 1,...,n (5.22) j=max{1,i r} 76

91 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ n i=1 H i w εw (5.23) H i 0, i = 1,...,n (5.24) L i G = G u K i, i = 0,1,..,r (5.25) r j=0 L j w w u (5.26) L i 0, i = 0,1,...,r (5.27) Οι σχέσεις (5.23)-(5.24) εγγυώνται την θετική αμεταβλητότητα και την ελκτικότητα, όταν ε < 1, ενώ οι σχέσεις (5.25)-(5.27) εγγυώνται την τήρηση των περιορισμών. Παρατήρηση Οι σχέσεις (5.22)-(5.27) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση γραμμμικού ελέγχου που δίνει λύση στο Πρόβλημα 5.1. Μάλιστα, μια τέτοια στρατηγική ελέγχου μπορεί να προκύψει από την λύση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού min (5.28) ε,k i,l i,i=1,..,r,hi, j=1,..,n{ε} με περιορισμούς τις σχέσεις (5.22)-(5.27). H ελαχιστοποίηση της παραμέτρου ε οδηγεί σε μεγιστοποίηση της ταχύτητας σύγκλισης. 5.4 Εφαρμογή στα δικτυωμένα συστήματα ελέγχου Τα δικτυωμένα συστήματα ελέγχου (ΔΣΕ) (NCS, networked control systems) έχουν προκύψει από την ανάγκη επιβολής ελέγχου όταν παρεμβάλλεται ένα δίκτυο ανάμεσα στη φυσική διαδικασία και στον ελεγκτή. Το πρόβλημα που προκύπτει σε αυτές τις περιπτώσεις είναι η εισαγωγή καθυστέρησης στο σήμα εισόδου, λόγω των καθυστερήσεων στη μετάδοση της πληροφορίας στο δίκτυο. Η δυναμική των γραμμικών δικτυωμένων συστημάτων ελέγχου που μελετώνται σε αυτό το μέρος φαίνεται στο Σχήμα 5.1 Οι συνθήκες ύπαρξης θετικά αμετάβλητων περιοχών ελκτικότητας για ΔΣΕ που θα αναπτύξουμε αφορούν συστήματα με καθυστερήσεις τ k μικρότερες της μιας περιόδου δειγματοληψίας h. Το NCS σύστημα περιγράφεται από σύστημα διαφορικών εξισώσεων, όταν t [ kh + τ k,kh + h + τ k+1), όπου k Z η διακριτή μεταβλητή του χρόνου: 1 1 Στο υπόλοιπο του κεφαλαίου 5, η διακριτή μεταβλητή του χρόνου συμβολίζεται με k κατ εξαίρεση για να υπογραμμιστεί το γεγονός ότι το σύστημα διακριτού χρόνου έχει προκύψει από διακριτοποίηση 77

92 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Delay t k ZOH u(t) PLANT x c(t) =Acx c(t)+bcu(t) y(t)=cc x c(t) DISCRETE TIME CONTROLLER u k=-ksf x(kh) Periodic Sampler h x(kh) Σχήμα 5.1: Δομικό διάγραμμα δικτυωμένου συστήματος ελέγχου ẋ(t) = A c x(t) + B c û(t), y(t) = C c x(t), (5.29) όπου { [ u(k 1), t kh h + τ û(t) = k 1, kh + τ k) u(k), t [ kh + τ k, kh + h + τ k+1). (5.30) Η καθυστέρηση τ k είναι μια χρονικά μεταβαλλόμενη ποσότητα. Ωστόσο, θεωρείται φραγμένη, 0 τ min < τ k τ max = h. H διακριτοποίηση μεταξύ δύο στιγμών δειγματοληψίας είναι ακριβής, και φαίνεται παρακάτω όπου Φ = exp(a c h) και x(k + 1) = Φx(k) + Γ 0 (τ k )u(k) + Γ 1 (τ k )u(k 1) (5.31) Γ 0 (τ k ) = h τ k 0 exp(a c λ)b c dλ, h Γ 1 (τ t ) = Γ 0 (τ t ) + exp(a c λ)b c dλ (5.32) 0 Η καθυστέρηση μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη τ k = τ + τ k, όπου τ είναι η επιλεγμένη ονομαστική τιμή της καθυστέρησης τ o [τ min,τ max ]. Από εδώ και στο εξής θεωρούμε πως τ = τ min. Για τις μεταβλητές του συστήματος, η ένδειξη ( ) στον εκθέτη δηλώνει τις ονομαστικές τιμές. Οι πίνακες Γ 0 (τ k ), Γ 1 (τ k ) χωρίζονται κατα αντιστοιχία στα σταθερά ονομαστικα μέρη Γ 0 (τ ), Γ 1 (τ ), και σε μέρη με δομημένη αβεβαιότητα Γ 0 (τ k,τ o ), Γ 1 (τ k,τ o ), δηλαδή 78

93 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Γ i (τ k ) = Γ i (τ ) + Γ i (τ k,τ ) i = 0,1 όπου Γ 1 (τ k,τ ) = Γ 0 (τ ) = Γ 1 (τ ) = h τ h τ 0 h exp(a c λ)b c dλ h τ exp(a c λ)b c dλ h τ k exp(a c τ)b c dτ = Γ 0 (τ k,τ ) (5.33) Έτσι, το σύστημα (5.31) μπορεί να γραφεί στην ακόλουθη μορφή x(k + 1) = Φx(k) + (Γ 0 (τ 0 ) + Γ 0 (τ k,τ ))u(k) + +(Γ 1 (τ 0 ) + Γ 1 (τ k,τ ))u(k 1) (5.34) Επιλέγοντας ένα γραμμικό έλεγχο ανατροφοδότησης κατάστασης για το σύστημα κλειστού βρόχου της μορφής u(k) = K s f x(k), το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ] ] x(k + 1) = [Φ + Γ 0 (τ k )K s f x(k) + [Γ 1 (τ k )K s f x(k 1). (5.35) Παρατηρούμε από την προηγούμενη σχέση ότι το δικτυωμένο σύστημα μπορεί να έχει περιγραφή ARMA μοντέλου: A (q 1 )x(k) = 0 (5.36) όπου και A (q 1 ) = I n + A 1q 1 + A 2q 2 A 1 = [Φ + Γ 0 (τ k) ] K s f A 2 = Γ 1 (τ k) K s f Καθώς το ΔΣΕ μπορεί να γραφεί ως ARMA σύστημα, μπορούμε να διατυπώσουμε συνθήκες ύπαρξης ΘΑ συνόλων που είναι και ΠΕ. Για την συγκεκριμένη περίπτωση, 79

94 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ επιλέγονται συμμετρικά πολυεδρικά σύνολα της μορφής S = {x R n : w Gx w}. Μια παραλλαγή του Θεωρήματος 5.2.2, το οποίο βρίσκεται στο [61] για την ειδική περίπτωση των 0-συμμετρικών πολυεδρικών συνόλων είναι: Θεώρημα [61] Αν υπάρχουν πίνακες G R p p, p n, rankg = n, H 0 R p p,h 1 R p n, διάνυσμα w R p, w > 0 και θετικός αριθμός ε > 0 ώστε GA i = H i G, i = 1,2 ( H 1 + H 2 )w εw ε < 1 τότε το σύνολο S είναι εσ,θα ως προς το σύστημα (5.36). Για την περίπτωση των ΔΣΕ το θεώρημα μετατρέπεται ως εξής: Θεώρημα Αν υπάρχουν πίνακες G R p n, p n, rankg = n, H 0 (τ k ) R p p, H 1 (τ k ) R p p, ένα διάνυσμα w R p, w > 0 καθώς και ένας αριθμός ε(τ k ) > 0 ώστε G[Φ + Γ 0 (τ k )K s f ] = H 0 (τ k )G (5.37) GΓ 1 (τ k )K s f = H 1 (τ k )G (5.38) ( H 0 (τ k ) + H 1 (τ k ) )w ε(τ k )w (5.39) ε(τ k ) < 1 (5.40) τότε το σημείο ισορροπίας x = 0 είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, το σύνολο S(G,w,w) είναι ΘΑ και περιοχή ελκτικότητας, και η συνάρτηση { } v(x) = (Gx)i max 1 i n είναι ΣL για το σύστημα (5.35). Είναι φανερό πως μέσω των συνθηκών (5.37)-(5.40) μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα εύρεσης θετικά αμετάβλητων συνόλων. Καθώς όμως πρέπει οι παραπάνω σχέσεις να ικανοποιούνται τ k [ τ min τ max ], είναι δύσκολο να εδραιωθεί μια μέθοδος υπολογισμού γραμμικού ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Ωστόσο, οι συνθήκες (5.38)-(5.40) μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε θέματα ανάλυσης για ένα συγκεκριμένο γραμμικό νόμο ελέγχου, όπως θα φανεί στο επόμενο παράδειγμα. w i 80

95 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Παράδειγμα Θεωρούμε σύστημα (5.29) [ ] [ 0 1 A c =, B c = 2 3 [ C c = 0 1 ] 0 2 ] Η περίοδος δειγματοληψίας είναι h = sec ενώ η καθυστέρηση στην είσοδο κυμαίνεται μεταξύ του μηδενός και μίας πλήρους[ περιόδου] δειγματοληψίας τ k [0,h). Το κέρδος K s f του γραμμικού ελέγχου είναιk s f = 0 K o f το οποίο αντιστοιχεί σε γραμμικό έλεγχο ανατροφοδότησης εξόδου u(t) = K o f y(t). Στο Σχήμα (5.2) φαίνονται τα περιθώρια ευστάθειας για δύο διαφορετικές επιλογές του πίνακα G: Τα μικρότερα περιθώρια ευστάθειας υπολογίζονται όταν ο μη ιδιάζων πίνακας G R 2 2 και το θετικό διάνυσμα [ ] T w επιλέγονται τυχαία, ενώ τα μεγαλύτερα περιθώρια αντιστοιχούν όταν w = 1 1 και ο πίνακας G επιλέγεται ως εξής: Για κάθε τιμή του K o f, ο πίνακας G αποτελείται από τα αριστερά ιδιοδιανύσματα του πίνακα (Φ + B d K s f ) όπου B d = h exp(a c λ)b c dλ Network delay range τ k /h Ouput feedback gain K range of Σχήμα 5.2: Περιθώρια ευστάθειας για το σύστημα κλειστού βρόχου όταν το κέρδος ανατροφοδότησης εξόδου κυμαίνεται απο -1 έως 1. Το πρόβλημα σχεδιασμού ελέγχου μπορεί να οριστεί ως εξής: 81

96 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Πρόβλημα 5.2 Έστω σύστημα της μορφής (5.29), και όρια τ min,τ max της αβέβαιης μεταβλητής της καθυστέρησης της εισόδου τ k. Ζητείται να υπολογιστεί ένας γραμμικός έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης u(k) = K s f x(k) ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για κάθε χρονικά μεταβαλλόμενη καθυστέρηση τ k [τ min,τ min ]. Το σύστημα (5.35), όταν χωρίζεται στο ονομαστικό και χρονικά μεταβαλλόμενο μέρος έχει τη μορφή x(k + 1) = Φ + Γ 0 (τ 0 )K s f + Γ 0 (τ k,τ )K s f )x(k) + +(Γ 1 (τ 0 ) + Γ 1 (τ k,τ )K s f )x(k 1) (5.41) Τότε, μπορούμε να αναπτύξουμε με συνθήκες παρόμοιες με αυτές του Θεωρήματος 5.4.2, με τη διαφορά ότι απομονώνεται το ονομαστικό από το χρονικά μεταβαλλόμενο μέρος: Θεώρημα Αν για τον πίνακα G R n n, υπάρχουν n n πίνακες H 0,H 1, H(τ k ), H + 0, (τ k ), H 0 (τ k ), H + 1 (τ k ), H 1 (τ k ), ένα διάνυσμα w R n, w > 0 και ένας θετικός αριθμός ε < 1 ώστε G[Φ + Γ 0 (τ 0 )K s f ] = H 0 G (5.42) GΓ 1 (τ 0 )K s f = H 1 G (5.43) G Γ 1 (τ k )K s f = H(τ k )G (5.44) H 0 H(τ k ) = H + 0 (τ k ) H 0 (τ k ) (5.45) H 1 + H(τ k ) = H + 1 (τ k ) H 1 (τ k ) (5.46) (H + 0 (τ k ) + H 0 (τ k ) + H + 1 (τ k ) + H 1 (τ k ))w εw (5.47) H + 0 (τ k ) O n,h 0 (τ k ) O n H + 1 (τ k ) O n,h 1 (τ k ) O n για κάθε τ k [τ min,τ max ] τότε το σύστημα (5.41) είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για κάθε τιμή της καθυστέρησης τ k [τ min,τ max ]. Απόδειξη. Λαμβάνοντας υπ όψιν το γεγονός πως Γ 0 (τ k ) = Γ 1 (τ k ), από τις σχέσεις (5.42)-(5.47) προκύπτει G[Φ + Γ 0 (τ k )K s f ] = G[Φ + Γ 0 (τ 0 )K s f + Γ 0 (τ k )K s f ] = = (H 0 H(τ k ))G G[Γ 1 (τ k )K s f ] = G[Γ 1 (τ 0 )K s f + Γ 1 (τ k )K s f ] = 82

97 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ = (H 1 + H(τ k ))G ( H 0 H(τ k ) + H 1 + H(τ k ) )w = ( H + 0 (τ k ) H 0 (τ k ) + H + 1 (τ k ) H 1 (τ k ) )w ( H + 0 (τ k ) + H 0 (τk ) + H + 1 (τ k ) + H 1 (τ k ) w = = (H + 0 (τ k ) + H 0 (τ k ) + H + 1 (τ k ) + H 1 (τ k ))w εw επειδή H + 0 (τ k ) O n, H 0 (τ k ) O n, H + 1 (τ k ) O n, H 1 (τ k ) O n. Έτσι, θέτοντας H 0 (τ k ) = H 0 H(τ k ) H 1 (τ k ) = H 1 + H(τ k ) όλες οι συνθήκες του Θεωρήματος ικανοποιούνται και το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για κάθε χρονικά μεταβαλλόμενη καθυστέρηση τ k [τ min τ max ]. Το εκθετικό exp(a c τ) ενός πίνακα με πραγματικές ιδιοτιμές μπορεί πάντα να περιγραφεί από τη σχέση exp(a c τ) = a 1 (τ)z 1 + a 2 (τ)z a n (τ)z n (5.48) όπου Z i R n n, i = 1,2,...,n είναι πραγματικοί πίνακες (constituent matrices) και a i (τ) i = 1,2,...,n είναι συναρτήσεις της μορφής a i (τ) = τ q e λiτ. Έτσι, = Γ 1 (τ k,τ ) = h τ n i=1 h τ h τ k a i (τ)dτz i B c = όπου c i (τ k ) είναι ολοκληρώματα της μορφής c i (τ k ) = h τ k exp(a c τ)b c dτ = h τ n i=1 h τ k e λiτ dτ στην περίπτωση που ο Z i αντιστοιχεί σε απλή ιδιοτιμή και c i (τ k ) = h τ h τ k τ q e λiτ dτ c i (τ k )Z i B c (5.49) 83

98 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ αντιστοιχεί σε ιδιοτιμή πολλαπλότητας q. Στη συνέχεια ορίζουμε την ποσότητα c max = c1max + c 2max c nmax όπου c imax = max τ min τ k τ max c i (τ k ) Στην περίπτωση όπου τ = τ min, η ποσότητα c i (τ k ) είναι θετική για κάθε τ k [τ min,τ max ]. Έτσι, c imax = ci (τ max ). Τώρα είμαστε σε θέση να διατυπώσουμε συνθήκες που εγγυώνται την ασυμπτωτική ευστάθεια του ΔΣΕ, και την ύπαρξη εσ,θα συνόλου ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου, που έχουν ως παράμετρο μόνο τα όρια της καθυστέρησης, και όχι τη χρονικά μεταβαλλόμενη μεταβλητή. Έτσι, Θεώρημα Αν για πίνακα G R n n, υπάρχουν n n πίνακες, H 0,H 1, H 1 Z,H2 Z,...,Hr Z, ένα διάνυσμα w R n, w > 0 και ένας θετικός αριθμός ε > 0 ώστε να ισχύουν οι σχέσεις G[Φ + Γ 0 (τ 0 )K s f ] = H 0 G (5.50) GΓ 1 (τ 0 )K s f = H 1 G (5.51) ( H 0 + H 1 )w εw (5.52) c max GZ i B c K s f = H j ZG j = 1,2,...,n (5.53) ( H 0 H j Z + H1 + H j Z )w εw j = 1,2,...,n (5.54) ε < 1 (5.55) τότε το σύστημα (5.41) είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για κάθε χρονικά μεταβαλλόμενη τιμή της καθυστέρησης τ k [τ min,τ max ]. Απόδειξη Από τη σχέση (5.49)προκύπτει G Γ 1 (τ k )K s f = c 1 (τ k )GZ 1 B c K s f + c 2 (τ k )GZ 2 B c K s f c r (τ k )GZ n B c K s f για κάθε τ k [τ min,τ max ], και από τη σχέση (5.53) προκύπτει G Γ 1 (τ k )K s f = c 1(τ k ) H c ZG c 2(τ k ) H max c ZG n = ) max c i (τ k ) = HZ i G = H(τ k )G (5.56) c max ( n i=1 84

99 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ όπου H(τ k ) = n i=1 c i (τ k ) c max H i Z Λαμβάνοντας υπ οψιν ότι Γ 0 (τ k ) = Γ 1 (τ k ), προκύπτει G[Φ + Γ 0 (τ k )K s f ] = G[Φ + Γ 0 (τ 0 )K s f + Γ 0 (τ k )K s f ] = = (H 0 H(τ k ))G G[Γ 1 (τ k )K s f ] = G[Γ 1 (τ 0 )K s f + Γ 1 (τ k )K s f ] = = (H 1 + H(τ k ))G Έτσι, οι συνθήκες (5.37),(5.38) ικανοποιούνται με H 0 = H 0 H(τ k ) H 1 = H 1 + H(τ k ) Επίσης, ( H 0 (τ k ) + H 1 (τ k ) )w = = ( H 0 H(τ k ) + H 1 + H(τ k ) )w = ( ( n ) ( c i (τ k ) = H0 HZ i i=1 c max + n ) ) c i (τ k ) H1 + HZ i w = i=1 c max ( ) n c i (τ = 1 k ) H 0 n c i (τ + i=1 c max k ) (H 0 H i i=1 c Z) max w+ ( ) n c i (τ + 1 k ) H 1 n c i (τ + i=1 c max k ) (H 1 + H i i=1 c Z) max w ( ) n c i (τ 1 k ) H 0 n c i (τ w + i=1 c max k ) H 0 H i=1 c Z w+ i max ( ) n c i (τ + 1 k ) H 1 n c i (τ w + i=1 c max k ) H 1 + H i=1 c Z w i max ( ) n c i (τ 1 k ) ( H 0 + H 1 )w+ c max + n i=1 i=1 c i (τ k ) c max ( H 0 H i Z + H 1 + H i Z )w 85

100 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ c i (τ k ) c max ( 1 n i=1 ) c i (τ k ) εw + c max n i=1 c i (τ k ) c max εw = εw επειδή 1 n i=1 0. Έτσι, οι σχέσεις (5.39),(5.40) του Θεωρήματος ικανοποιούνται για κάθε τιμή της καθυστέρησης τ k που βρίσκεται στο διάστημα [τ min,τ max ], και το σύστημα (5.41) είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Έτσι, επιλέγοντας αρχικά ένα ζεύγος (G, w) και λύνοντας τις σχέσεις (5.50)-(5.55) ως προς τους άγνωστους πίνακες K s f,h 1,H 0, H(τ k ),HZ i i = 1,2,...,n και την παράμετρο ε μπορούμε να εγγυηθούμε την ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Καθώς οι συνθήκες εγγυώνται την θετική αμεταβλητότητα του συνόλου S = {x R n : Gx w} και ως προς το ονομαστικό σύστημα x(t +1) = Φx(k)+Γ 0 (τ o )u(k), το ζεύγος (G,x) μπορεί να επιλεγεί σύμφωνα με τη μεθοδολογία που περιγράφηκε στο Λήμμα Παρατήρηση Οι σχέσεις (5.50)-(5.55) μπορούν να διατυπωθούν ως γραμμικές εξισώσεις και ανισότητες θέτοντας H 0 H j Z = H j+ 0Z H j+ 0Z H 1 + H j Z = H j+ 1Z H j+ 1Z με H j+ 0Z 0,H j 0Z 0,H j+ 1Z 0,H j 1Z 0 i = 1,2,...,n. i = 1,2,...,n Τότε, ένας γραμμικός νόμος ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές για κάθε χρονικά μεταβαλλόμενη καθυστέρηση τ t [τ min,τ max ] μπορεί να προσδιοριστεί λύνοντας το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: με περιορισμούς min K s f,h 1,H 0,H j j+ j j+ j Z,H0Z,H0Z,H1Z,H 1Z,ε {ε} G[Φ + Γ 0 (τ 0 )K s f ] = H 0 G GΓ 1 (τ 0 )K s f = H 1 G ( H 0 + H 1 )w εw c max GZ i B c K s f = H j Z G j = 1,2,...,n 86

101 5.4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ H 0 H j Z = H j+ 0Z H j 0Z H 1 + H j Z = H j+ 1Z H j+ 1Z (H j+ 0Z + H j+ 0Z + H j+ 1Z + H j+ 1Z )w εw H j+ 0Z 0,H j 0Z 0,H j+ 1Z 0,H j 1Z 0 i = 1,2,...,n i = 1,2,...,n j = 1,2,...,n j = 1,2,...,n Αν η βέλτιστη τιμή της παραμέτρου ε είναι μικρότερη της μονάδας, τότε ο έλεγχος u(k) = K s f x(k) αποτελεί τη λύση στο Πρόβλημα state variables x 1, x x 1 1 x time (sec) Σχήμα 5.3: Απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου για αρχική συνθήκη x 0 = [ ] T. Παράδειγμα Θεωρούμε το ασταθές σύστημα συνεχούς χρόνου με πίνακες ανοιχτού βρόχου [ ] [ ] A c =, B c = Η περίοδος δειγματοληψίας είναι h = 1.1 sec, και το ελάχιστο και μέγιστο όριο της καθυστέρησης στην είσοδο είναι τ min = 0, τ max = 0.7. Το διακριτοποιημένο ονομαστικό [ σύστημα προκύπτει για τ 0 = 0. Το κέρδος του γραμμικού ελέγχου είναι K s f = και προκύπτει λύνοντας το προηγούμενο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, θέτοντας [ ] [ ] G =, w = ] 87

102 5.5. ΣΥΝΟΨΗ control effort u time (sec) Σχήμα 5.4: Η στρατηγική ελέγχου για αρχική συνθήκη x 0 = [ ] T. Η βέλτιστη τιμή ε είναι ε = 0.98 < 1. Στα Σχήματα (5.3),(5.4) φαίνεται η απόκριση του συστήματος διακριτού χρόνου και ο έλεγχος αντίστοιχα, όταν η τροχιά του συστήματος ξεκινάει από x 0 = [ ] T. 5.5 Σύνοψη Σε αυτό το κεφάλαιο ασχοληθήκαμε με την κατηγορία των ARMA γραμμικών συστημάτων διακριτού χρόνου. Αρχικά, διατυπώθηκε η έννοια της θετικής αμεταβλητότητας και στη συνέχεια εδραιώσαμε συνθήκες που η ικανοποίησή τους εγγυάται την ύπαρξη πολυεδρικών ΘΑ συνόλων και περιοχών ελκτικότητας. Τα αποτελέσματα αυτά σε συνδυασμό με την εδραίωση συνθηκών που επιτρέπουν την ικανοποίηση περιορισμών στην είσοδο, οδήγησαν στην ανάπτυξη μιας μεθοδολογίας υπολογισμού γραμμικού έλεγχου ανατροφοδότησης κατάστασης που δίνει λύση στην ειδική περίπτωση του προβλήματος του συνόλου αρχικών συνθηκών. Στη συνέχεια, μελετήθηκε η περίπτωση των δικτυωμένων συστημάτων ελέγχου [62], [9], [63], [64], [65], [66], [67], [68]. Τα συστήματα αυτά μοντελοποιήθηκαν ως ARMA συστήματα με αβεβαιότητα ειδικής μορφής, η οποία πηγάζει από την καθυστέρηση της μετάδοσης του σήματος εισόδου. Αρχικά διατυπώθηκαν συνθήκες που εγγυώνται την ευστάθεια τέτοιας κατηγορίας συστημάτων, τις οποίες χρησιμοποιήσαμε για την ανάλυση του συστήματος κλειστού βρόχου, και στη συνέχεια εδραιώθηκε μια μέθοδος για τον υπολογισμό γραμμικού νόμου ελέγχου που ευσταθειοποιεί το σύστημα λύνοντας ένα πρόβλημα γραμμικής βελτιστοποίησης. 88

103 Κεφάλαιο 6 Διγραμμικά συστήματα 6.1 Εισαγωγή Τα διγραμμικά συστήματα ανήκουν στην ειδική κατηγορία των συστημάτων όπου οι μη γραμμικότητες αφορούν γινόμενα μεταξύ των μεταβλητών κατάστασης και του διανύσματος εισόδου. Σε αυτό το κεφάλαιο εφαρμόζεται η πολυεδρική προσέγγιση για αυτό το συγκεκριμένο τύπο συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζουμε την περιγραφή των διγραμμικών συστημάτων διακριτού χρόνου. Αρχικά, εδραιώνουμε συνθήκες που εγγυώνται την ύπαρξη ΘΑ,εΣ συνόλων ως προς τα συστήματα κλειστού βρόχου όταν εφαρμόζεται γραμμικό έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης. Στη συνέχεια αναλύεται το πρόβλημα εύρεσης γραμμικού ευσταθειοποιητικού ελέγχου για αυτόν τον τύπο συστημάτων ώστε όλες οι τροχιές που ξεκινουν από ένα σύνολο αρχικών καταστάσεων να μεταφέρονται στο μηδενικό σημείο ισορροπίας με ταυτόχρονη τήρηση περιορισμών στην είσοδο και καταστάσεις. Η προσέγγιση που ακολουθούμε σε αυτό το κεφάλαιο διαφέρει με την γενική περίπτωση που αναλύθηκε στο κεφάλαιο 3 για τα γραμμικά συστήματα, καθώς ενώ εδραιώνουμε συνθήκες που εγγυώνται ύπαρξη πολυεδρικών ΘΑ,εΣ συνόλων, δεν μπορούν να εφαρμοστούν στη γενική περίπτωση καθώς δεν είναι επιλύσιμες. Ωστόσο, προτείνουμε μια μέθοδο που οδηγεί στον υπολογισμό μιας ακολουθίας εσ συνόλων που μπορούν να αποτελέσουν μια υποβέλτιστη λύση στο πρόβλημα αρχικών συνθηκών. Στη συνέχεια, αναλύουμε το πρόβλημα για τα διγραμμικά συστήματα συνεχούς χρόνου διατυπώνοντας συνθήκες για θετική αμεταβλητότητα και ε-συστολικοτητα αυτού του τύπου συστημάτων. Τα αποτελέσματα για το πρόβλημα συνόλου αρχικών συνθηκών για διγραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου μπορούν να εφαρμοστούν σχεδόν αυτούσια και για τα συστήματα συνεχούς χρόνου. 89

104 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 6.2 Διγραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου Η γενική αναπαράσταση διγραμμικών συστημάτων διακριτού χρόνου μέσω των εξισώσεων διαφορών είναι x T (t)c 1 x T (t)c 2 x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) + u(t) (6.1). x T (t)c n x R n, u R m, A R n n,b R n m, C i R n m, i = 1,2,...,n. Εφαρμόζοντας γραμμικό νόμο ελέγχου της μορφής u(k) = Kx(t), (6.2) K R m n, το σύστημα κλειστού βρόχου περιγράφεται από την εξίσωση x T (t)c 1 Kx(t) x T (t)c 2 Kx(t) x(t + 1) = (A + BK)x(t) +.. (6.3) x T (t)c n Kx(t) Αυτή η εξίσωση διαφορών περιγράφει ένα σύστημα με πολυωνυμική μη γραμμικότητα δευτέρου βαθμού. Στόχος είναι να βρούμε ευσταθειοποιητικό γραμμικό νόμο ελέγχου για τροχιές που ξεκινάνε από ένα προδιαγεγραμμένο σύνολο αρχικών συνθηκών, με ή χωρίς την παρουσία περιορισμών. Πιο αναλυτικά, τα προβλήματα που λύνονται σε αυτό το κεφάλαιο συνοψίζονται ως εξής: Πρόβλημα 6.1 Έστω διγραμμικό σύστημα διακριτού χρόνου (6.1) καθώς και ένα πολυεδρικό σύνολο αρχικών συνθηκών με παράλληλες έδρες S(G,w 1,w 2 ), της μορφής S(G,w 1,w 2 ) = {x R n : w 2 Gx w 1 }, (6.4) Ζητείται να βρεθεί ένας γραμμικός νόμος ελέγχου της u(t) = Kx(t) ώστε το σύνολο S να είναι περιοχή ελκτικότητας ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου (6.3). Πρόβλημα 6.2 Έστω διγραμμικό σύστημα διακριτού χρόνου (6.1)και ένα σύνολο αρχικών συνθηκών S (6.64). Ζητείται να βρεθεί γραμμικός έλεγχος ώστε όλες οι τροχιές του συστήματος κλειστού βρόχου (6.3) που ξεκινάνε από το S να μεταφέρονται ασυμπτωτικά στο μηδενικό σημείο ισορροπίας, τηρώντας παράλληλα τους περιορισμούς στην είσοδο u(t) S u, όπου S u = {u R m : G u u w u } (6.5) 90

105 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Και τα δύο προβλήματα ανήκουν στην κατηγορία του προβλήματος αρχικών συνθηκών που έχουμε εξετάσει και στα προηγούμενα κεφάλαια. Αν μπορέσουμε να χαρακτηρίσουμε το σύνολο S ως ΘΑ και ΠΕ ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου με γραμμικό έλεγχο (6.2), τότε τα Προβλήματα 6.1, 6.2 έχει λύση. Πρώτα, είναι ανάγκη να οριστούν συνθήκες που εγγυώνται μόνο την θετική αμεταβλητότητα του συνόλου S ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου. Στη συνέχεια θεωρούμε y 1 = y 11 y 12. y 1p = Gx, y 2 = y 21 y 21. y 2p = Gx (6.6) όπου Y M = (y M i j ), Y m = (y m i j ) από τις ακόλουθες σχέσεις Τότε είναι p p πίνακες τα στοιχεία των οποίων καθορίζονται y M i j y m i j = max(y 1i y 1 j,y 2i y 2 j ) (6.7) = max(y 1i y 2 j,y 2i y 1 j ). (6.8) Θεώρημα Το πολυεδρικό σύνολο της μορφής S(G,w 1,w 2 ) = {x R n : w 2 Gx w 1 } (6.9) είναι θετικά αμετάβλητο ως προς το διγραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου (6.3) αν υπάρχουν πίνακες H R p p και D j R p p j = 1,2,..., p ώστε G(A + BK) = HG (6.10) και n i=1 g ji C i K = G T D j G j = 1,2,..., p (6.11) h(w) w (6.12) όπου h(y) = [ H + H H H + ][ y 1 y 2 ] + D + 1 Y M + D µ 1 Y m. D + p Y M + D µ p Y m D 1 Y M + D µ+ 1 Y m D p Y M + D µ+ p. Y m (6.13) 91

106 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ και w = [ w 1 w 2 ]. Απόδειξη Θέτοντας οι ανισότητες έχουν την ισοδύναμη περιγραφή [ v1 (x) v(x) = v 2 (x) ] [ Gx = Gx ]. w 2 Gx w 1 (6.14) v(x) w. Συνεπώς, το πολυεδρικό σύνολο S(G,w 1,w 2 ) είναι ισοδύναμο με το R(v,w) = {x R n : v(x) w}, δηλαδή S(G,w 1,w 2 ) = R(v,w). Επίσης, v i (x(t + 1)) = ( 1) i+1 G(A + BK)x(t) + ( 1) i+1 G x T (t)c 1 Kx(t) x T (t)c 2 Kx(t). x T (t)c n Kx(t) i = 1,2 και λαμβάνοντας υπ όψιν τις σχέσεις (6.10),(6.11) προκύπτει x T (t)g T D 1 Gx(t) v i (x(t + 1)) = ( 1) i+1 HGx(t) + ( 1) i+1 x T (t)g T D 2 Gx(t) i = 1,2 (6.15). x T (t)g T D r Gx(t) Καθώς H = H + H, HGx = H + (Gx) + H ( Gx) (6.16) H( Gx) = H (Gx) + H + ( Gx) (6.17) Χρησιμοποιώντας τη σχέση (6.6), οι (6.16),(6.17) μπορούν να γραφούν ως εξής HGx = H + y 1 + H y 2 (6.18) HGx = H y 1 + H + y 2 (6.19) Επίσης, x T G T D j Gx = x T G T D δ j Gx + x T G T D µ j Gx = = x T G T D δ j Gx + x T G T D µ+ j Gx x T G T D µ j Gx (6.20) 92

107 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ και επειδή x T G T D j Gx = = x T G T D δ j Gx x T G T D µ+ j Gx + x T G T D µ j Gx (6.21) D j = D δ j + D µ j (6.22) D µ j = D µ+ j D µ j. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (6.7)-(6.8), από την (6.20) προκύπτει και λόγω της σχέσης (6.22) x T G T D j Gx D δ + j Y M + D µ+ j Y M + D µ j Y m x T G T D j Gx D + j Y M + D µ j Y m (6.23) επειδή οι πίνακες D δ + j,d δ + j,d µ+ j και D µ j έχουν μη αρνητικά στοιχεία, και για έναν μη αρνητικό πίνακα D x T G T DGx = και p p i=1 j=1 p p i=1 j=1 = p p i=1 j=1 i=1 j=1 d i j (Gx) i (Gx) j = p p i=1 j=1 d i j ( Gx) i ( Gx) j d i j max{(gx) i (Gx) j,( Gx) i ( Gx) j } = D Y M p x T G T DGx d i j (Gx) i ( Gx) j = Με τον ίδιο τρόπο, μπορεί να δειχθεί ότι p p p i=1 j=1 d i j ( Gx) i (Gx) j d i j max{(gx) i ( Gx) j,( Gx) i (Gx) j } = D Y m. x T G T D j Gx D j Y M + D µ+ j Y m (6.24) Έτσι, λαμβάνοντας υπ όψιν τις σχέσεις (6.16),(6.17),(6.21),(6.23), από την (6.11) προκύπτει ότι y(t + 1) h(y(t)) ή, αντίστοιχα v(x(t + 1)) h[v(x(t))] όπου η συνάρτηση h(y) ορίζεται από την (6.13). Η συνάρτηση h(y) είναι μη φθίνουσα εκ κατασκευής. Έτσι, σύμφωνα με το Θεώρημα 2.5.6, το σύστημα y(t + 1) = h(y(t)) είναι 93

108 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ σύστημα σύγκρισης του (6.2). Έτσι, το σύνολο S = S(G,w 1,w 2 ) = P(v,w) είναι ΘΑ ως προς το διγραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου. Παρατήρηση Υπενθυμίζουμε πως για την περίπτωση των μη γραμμικών συστημάτων, προκειμένου να χαρακτηριστεί ένα σύνολο εκτός από ΘΑ και εσ δεν αρκεί να ικανοποιείται η σχέση h(w) εw, ε < 1, όπως είναι η περίπτωση για τα γραμμικά συστήματα, αλλά h(rw) εrw, r [01). Στη συνέχεια αναπτύσσουμε συνθήκες για τη ε-συστολικότητα του συνόλου S, θεωρώντας οτι το μηδενικό σημείο είναι σημείο ισορροπίας. Η συνάρτηση h(y), η οποία περιγράφει τη δυναμική του ΣΣ, μπορεί να χωριστεί σε γραμμικό και μη γραμμικό μέρος, h(y) = H y + g (y) (6.25) όπου και Τότε, g (y) = [ H H y = + H H H + D + 1 Y M + D µ 1 Y m. D + p Y M + D µ p Y m D 1 Y M + D µ+ 1 Y m D p Y M + D µ+ p. ] y (6.26) Y m (6.27) Θεώρημα Έστω πίνακες G R p n όπου rankg = n, H R p p και D j R p p j = 1,2,..., p οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις (6.10),(6.11), και θετικοί αριθμοί ε < 1, α > 0 ώστε να ισχύει H w + ag (w) εw (6.28) Τότε, το σημείο ισορροπίας x = 0 του συστήματος κλειστού βρόχου (6.3) ασυμπτωτικά ευσταθές, η συνάρτηση { v (Gx)1 (x) = max,..., (Gx) p, ( Gx) 1,..., ( Gx) } p w 11 w 1p w 21 w 2p (6.29) είναι ΣL, και τα σύνολα Q(G,rw 1,rw 2 ) είναι εσ ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου, για κάθε r [0,a]. 94

109 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Απόδειξη. Ακολουθώντας τα ίδια βήματα με το Θεώρημα 6.2.1, μπορεί κάποιος να φτάσει στο αποτέλεσμα v( f (x)) h(v(x)) όπου h(y) = H y + g (y), και H y και g (y) δίνονται από τις σχέσεις (6.26),(6.27). Καθώς η h(y(t)) είναι μη φθίνουσα εκ κατασκευής, η βαθμωτή συνάρτηση max{(gx) 1,...,(Gx) p, (Gx) 1,..., (Gx) p } είναι θετικά ορισμένη, καθώς rankg = n. Επιπλέον, απο την (6.28) προκύπτει h(rw) = H rw + g (rw) = rh w + r 2 g (w) = r(h w + rg (w)) r(h w + ag (w)) r (0,a) εrw r (0, a) Έτσι, το μέρος του Θεωρήματος στο Κεφάλαιο 2 για μη γραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου που αναφέρεται στη συστολικότητα ικανοποιείται, η συνάρτηση v (x) είναι ΣL, και όλα τα σύνολα S(G,rw 1,rw 2 ), r [0,a) είναι εσ. Παρατήρηση Άμεση συνέπεια του Θεωρήματος είναι πως η ύπαρξη πινάκων H R p p, D j R p p, j = 1,2,..., p που ικανοποιούν τις σχέσεις (6.10) και H w + g (w) < w, (6.30) όπου H y, g (y) το γραμμικό και μή γραμμικό μέρος του συστήματος σύγκρισης όπως δίνεται από τις (6.25),(6.26), ισοδυναμεί με την θετική αμεταβλητότητα και ε-συστολικότητα του συνόλου S. Όπως ειπώθηκε και παραπάνω, μια προσέγγιση για την εύρεση λύσης στο Πρόβλημα 6.1 είναι να χαρακτηριστεί το σύνολο αρχικών συνθηκών S ως εσ. Αν το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού min {ε} (6.31) ε,k,h,d i,i=1,...,p με περιορισμούς n i=1 G(A + BK) = HG (6.32) g ji C i K = G T D j G j = 1,2,..., p (6.33) 95

110 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ [ H + H H H + ][ w1 w 2 ] + D + 1 W M + D µ 1 W m. D + p W M + D µ p W m D 1 W M + D µ+ 1 W m D p W M + D µ+ p. W m [ w1 ε w 2 ] (6.34) όπου W M = (w M i j ), W m = (w m i j ) είναι p p πίνακες τα στοιχεία των οποίων ορίζονται από τις σχέσεις = max(w 1i w 1 j,w 2i w 2 j ) w M i j w m i j = max(w 1i w 2 j,w 2i w 1 j ), έχει λύση ε < 1, τότε ο έλεγχος u(t) = Kx(t) αποτελεί λύση στο Πρόβλημα 6.1, και το σύνολο S είναι εσ ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου. Παρατήρηση Είναι πιθανό το παραπάνω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού να μην οδηγήσει σε λύση του Προβλήματος 6.1, είτε επειδή ε 1, είτε επειδή το πρόβλημα δεν έχει λύση με τους δεδομένους περιορισμούς (6.32)-(6.34). Παρακάτω, παρουσιάζουμε μια μέθοδο που ξεπερνάει αυτό τα εμπόδιο. Αρχικά, εξετάζουμε την περίπτωση ε > 1, αλλά το πρόβλημα (6.31)-(6.34) έχει λυση. Για να υπάρχει λύση ε < 1 πρέπει να υπάρχουν πίνακες K,H που να εγγυώνται θετική αμεταβλητότητα και ε-συστολικότητα για το γραμμικό μέρος συστήματος κλειστού βρόχου, δηλαδή G(A + BK) = HG (6.35) [ H + H H H + ][ w1 w 2 ] [ w1 < w 2 ] (6.36) Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχει πάντα ένας αριθμός α < 1 ώστε H w + ag (w) < w. Έτσι, λαμβάνοντας υπόψιν το Θεώρημα 6.2.3, ο γραμμικός έλεγχος u(t) = Kx(t) καθιστά ένα υποσύνολο S(G,αw 1,αw 2 ) του συνόλου S(G,w 1,w 2 ) ως εσ. Η μεγαλύτερη περιοχή ελκτικότητας S(G,α w 1,α w 2 ) όπου το σύστημα κλειστού βρόχου έχει ταχύτητα σύγκλισης ε προκύπτει από τη λύση του ακόλουθου προβλήματος βελτιστοποίησης max {α } (6.37) K,H,D 1,...,D p,a με περιορισμούς G(A + BK) = HG (6.38) 96

111 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ [ H + H H H + n i=1 ][ w1 w 2 g ji C i K = G T D j G j = 1,2,...,r (6.39) ] + α D + 1 W M + D µ 1 W m. D + p W M + D µ p W m D 1 W M + D µ+ 1 W m D p W M + D µ+ p. W m [ w1 ε w 2 ] (6.40) a > 0 (6.41) Παρατήρηση Το πρόβλημα βελτιστοποίησης (6.37)-(6.41) είναι κυρτό και είναι ισοδύναμο με μια ακολουθία από προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου α. Στη συνέχεια μελετάμε την περίπτωση όπου το πρόβλημα (6.31)-(6.34) δεν έχει λύση, δηλαδή δεν υπάρχουν πίνακες K, H που ικανοποιούν τις σχέσεις (6.35),(6.36). Τότε, μπορούμε να επιλέξουμε ένα διαφορετικό υποψήφιο εσ σύνολο S(G 0,w 01,w 02 ) ώστε να υπάρχουν πίνακες K 0, G 0 που να ικανοποιούν τις σχέσεις G 0 (A + BK 0 ) = H 0 G 0 (6.42) [ H + 0 H0 ][ ] [ ] w01 w01 H0 H 0 + < w 02 w 02 (6.43) Η διαδικασία επιλογής τέτοιου συνόλου έχει περιγραφεί αναλυτικά στο Κεφάλαιο 3.4. Συνεπώς, με την προϋπόθεση ότι το γραμμικό σύστημα είναι πολυεδρικά ευσταθειοποιήσιμο, υπάρχει γραμμικό κέρδος K 0 ώστε να οι ικανοποιούνται οι σχέσεις (6.42),(6.43). Η ύπαρξη πινάκων K 0, G 0 εγγυάται την εύρεση ενός θετικού αριθμού α 0, και πινάκων D 0 j, j = 1,..., p, θέτοντας K = K 0, H = H 0 D j = D 0 j j = 1,2,..., p and a = a 0 και λύνοντας το πρόβλημα (6.37),(6.41). Αν η μέγιστη τιμή a 0 είναι τέτοια ώστε S(G,w 1,w 2 ) S(G 0,a 0 w 01,a 0 w 02) τότε ο έλεγχος u(t) = K 0 x(t) αποτελεί λύση στο Πρόβλημα 6.1. Στην περίπτωση που Q(G,w 1,w 2 ) Q(G 0,a 0max w 01,a 0max w 02 ) είναι δυνατό να υπολογιστεί ένας νέος νόμος ελέγχου που καθιστά ένα μεγαλύτερο σύνολο εσ ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου, λύνοντας το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού max {α } (6.44) K,H,D 1,...,D p,a 97

112 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ με περιορισμούς [ H + H H H + n i=1 ][ w01 w 02 G 0 (A + BK) = HG 0 (6.45) g ji C i K = G T 0 D j G 0 j = 1,2,..., p (6.46) D + 1 W 0 M ] D + α + r W0 M D 1 W 0 M + Dµ 1 W m 0. + Dµ r W0 m + Dµ+ 1 W0 m. [ w01 < w 02 ]. (6.47) D r W M 0 + Dµ+ r W m 0 a > 0 (6.48) Είναι προφανές πως η βέλτιστη λύση a του Προβλήματος 6.1 ικανοποιεί την ανισότητα a a 0. Έτσι, η καινούρια περιοχή ελκτικότητας είναι S(G 0,a w 01,a w 02 ) η οποία ικανοποιεί τη σχέση Q(G 0,a 0 w 01,a 0 w 02) Q(G 0,a w 01,a w 02 ). Παρατήρηση Μπορούμε να υπολογίσουμε μια ακόμα μεγαλύτερη περιοχή ελκτικότητας για το σύστημα κλειστού βρόχου με το νόμο ελέγχου που προκύπτει από τη λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης (6.44)-(6.48) ως εξής: Αν G είναι ο πίνακας που μετασχηματίζει τον πίνακα (A + BK) στην πραγματική Jordan μορφή J, τότε G (A + BK) = HG (6.49) [ ] θέτοντας H = J, υπάρχει διάνυσμα w T = w T 1 w T 2,w > 0 που ικανοποιεί την ανισότητα [ ][ ] [ ] H + H H H + w 1 w 2 < w 1 w 2 (6.50) Έτσι, υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός α και πίνακες D j ώστε οι σχέσεις (6.44)- (6.48) να ικανοποιούνται. Άρα, με νόμο ελέγχου u = Kx, εκτός του συνόλου S(G 0,a w 01,a w 02 ), το πολυεδρικό σύνολο S(G,a w 1,a w 2 ) είναι επίσης ΘΑ και ΠΕ για το σύστημα κλειστού βρόχου. Συνεπώς, εφαρμόζοντας έλεγχο u = Kx, το (μη κυρτό) σύνολο Q(G 0,a 0w 01,a 0w 02 ) Q(G,a w 1,a w 2 ) είναι εσ ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου. 98

113 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στη συνέχεια, θεωρούμε την ύπαρξη περιορισμών της μορφής (6.65). Επιλέγοντας ένα γραμμικό νόμο ελέγχου, το σύνολο S u μπορεί να οριστεί στο χώρο των καταστάσεων S u(x) (G u K,w u ) = {x R n : G u Kx w u }, (6.51) G u R p u m, w u > 0, w u R p u. Απαιτώντας το σύνολο S(G,w 1,w 2 ) να είναι ΘΑ και ΠΕ όπως και πριν, για να έχει λύση το Πρόβλημα 6.2 αρκεί S(G,w 1,w 2 ) S u(x) (G u K,w u ) Έτσι, σύμφωνα με το Λήμμα αρκεί να υπάρχει μη αρνητικός πίνακας L R p u 2p ώστε να ισχύουν οι σχέσεις [ ] G L = G G u K (6.52) [ w1 L w 2 ] w u (6.53) Το επόμενο θεώρημα αποτελεί άμεση εφαρμογή των παραπάνω σχέσεων και των αποτελεσμάτων που έχουν προηγηθεί για τη λύση του Προβλήματος 6.1. Θεώρημα O έλεγχος u(t) = Kx(t) αποτελεί λύση στο Πρόβλημα 6.2 αν υπάρχουν πίνακες H R p p,d j R r r j = 1,2,...,r, L R 2m 2r, και L 0 ώστε να ικανοποιούνται οι σχέσεις (6.10)-(6.13), (6.52),(6.53). Μια πιθανή λύση στο Πρόβλημα 6.2 μπορεί να υπολογιστεί από το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού min {ε } (6.54) K,H,D 1,...,D r,ε με περιορισμούς [ H + H H H + n i=1 ][ w1 G(A + BK) = HG (6.55) g ji C i K = G T D j G j = 1,2,...,r (6.56) w 2 ] + D + 1 W M + D µ 1 W m. D + r W M + D r µ W m D 1 W M + D µ+ 1 W m D r W M + D µ+ r. W m [ w1 ε w 2 ]. (6.57) 99

114 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ [ G L G L [ w1 w 2 ] = G u K (6.58) ] w u. (6.59) Αν η βέλτιστη λύση προκύψει ε < 1 τότε ο γραμμικός έλεγχος καθιστά το σύνολο S(G,w 1,w 2 ) ΘΑ και ΠΕ ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου, με ταυτόχρονη τήρηση των περιορισμών. Στην περίπτωση που ε > 1 ή το πρόβλημα βελτιστοποίησης δεν έχει λύση, μπορούμε να ακολουθήσουμε τα βήματα που περιγράφτηκαν για τη λύση του προβλήματος χωρίς περιορισμούς, επιβάλλοντας επιπλέον τις σχέσεις (6.52),(6.53) x x 1 Σχήμα 6.1: ε-συστολικό θετικά αμετάβλητο σύνολο (γκρι), αμετάβλητο σύνολο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο στο [69] (άσπρο), και τροχιές του συστήματος κλειστού βρόχου που ξεκινάνε από τις κορυφές του S x Παράδειγμα Θεωρούμε διγραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης με πίνακες συστήματος [ ] [ ] A =, B = [ ] [ ] C 1 =, C 2 = Το σύστημα υπόκειται σε περιορισμούς στο χώρο κατάστασης 4 x i 4 i = 1,2 (6.60) 100

115 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Επίσης, υπάρχουν περιορισμοί στην είσοδο: 2 u 2 (6.61) Το πρόβλημα που καλούμαστε να λύσουμε αφορά τον ταυτόχρονο υπολογισμό ενός γραμμικού νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης u(t) = Kx(t) καθώς και μιας περιοχής ελκτικότητας S R 2 ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου ώστε όλες οι τροχιές του συστήματος κλειστού βρόχου που ξεκινούν από το σύνολο S μεταφέρονται στο μηδενικό σημείο ισορροπίας με ταυτόχρονη τήρηση των περιορισμών στις καταστάσεις και την είσοδο. Προφανώς, η μεγαλύτερη περιοχή ελκτικότητας που μπορεί να υπολογιστεί είναι το σύνολο των περιορισμών στις καταστάσεις δηλαδή S(G x,w x,w x ) = {x R 2 : w x G x x w x }, όπου G x = [ ], w x = Λύνοντας το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (6.54)-(6.86) με G = G x, w 1 = w 2 = w x προκύπτει το γραμμικό κέρδος [ K = και ε = 0.99Έτσι, με το νόμο ελέγχου u(t) = K x(t) ολόκληρο το σύνολο των περιορισμών Q(G x,w x,w x ) καθιστάται εσ με ταυτόχρονη τήρηση των περιορισμών στην είσοδο. Στο Σχήμα 6.1 φαίνονται οι τροχιές του συστήματος κλειστού βρόχου οι οποίες ξεκινάνε από τις κορυφές του συνόλου S(G x,w x,w x ). Το ίδιο πρόβλημα έχει μελετηθεί επίσης στο [69]. Στο σχήμα φαίνεται επίσης το θετικά αμετάβλητο σύνολο που έχει προκύψει σε αυτό το άρθρο. [ 4 4 ] ]. Παράδειγμα A = Θεωρούμε το σύστημα τρίτης τάξης με 2 εισόδους , B = C 1 = , C 2 = C 3 = Οι περιορισμοί στον έλεγχο ορίζονται από τις ανισότητες ρ 2 u ρ

116 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σχήμα 6.2: Το σύνολο των περιορισμών στις εισόδους S(Kx,u m,u M ) (μαύρο), ε-συστολικό θετικά αμετάβλητο πολυεδρικό σύνολο, ελλειψοειδές αμετάβλητο σύνολο και περιοχή ελκτικότητας. όπου ρ 1 = ρ 2 = [ 1 1 ] T. Σε αυτό το παράδειγμα δε δίνεται κάποιο σύνολο αρχικών συνθηκών. Το πρόβλημα που διερευνάται αφορά τον υπολογισμό ενός υποσυνόλου S(G,w 1,w 2 ) του χώρου κατάστασης, καθώς και ένα γραμμικό κέρδος K ώστε το σύνολο να είναι θετικά αμετάβλητο και περιοχή ελκτικότητας ως προς το σύστημα κλειστού βρόχου με ταυτόχρονη τήρηση των περιορισμών στην είσοδο. Εφαρμόζοντας την τοποθέτηση ιδιοτιμών στο γραμμικό μέρος του συστήματος, προκύπτει το κέρδος [ ] K 0 = που τοποθετεί τις ιδιοτιμές του πίνακα A+BK 0 στις θέσεις 0.1,,0.6, 0.9. Ο πίνακας G 0 που μετασχηματίζει τον πίνακα A + BK 0 στην Jordan μορφή, καθώς και τα διανύσματα w 01, w 02 είναι G 0 = w 01 = ώστε να ικανοποιούνται οι σχέσεις (6.52), (6.53) w 02 = Λύνοντας το πρόβλημα βελτιστοποίησης (6.44)-(6.48) με επιπλέον περιορισμούς 1 1 1, 102

117 6.2. ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σχήμα 6.3: Το πολυεδρικό ε-συστολικό θετικά αμετάβλητο σύνολο S(G,w 1,w 2 ), το ελλειψοειδές αμετάβλητο σύνολο [70], και η τροχιά του συστήματος κλειστού βρόχου που αρχίζει από x 0 = [ ] T control inputs u 1, u u 1 u time step Σχήμα 6.4: Σήματα εισόδου για x 0 = [ ] T. 103