Έλεγχος Υϖοθέσεων. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Transcript

1 Στόχοι Μθήτος Σττιστική ΙΙ Συμπερσμτολογί Βσισμένη σε Έν Δείγμ: Έλεγχοι υποθέσεων. Τύποι Σττιστικών Υποθέσεων 2. Διδικσί Ελέγχου Υποθέσεων 3. Σημσίτης p-τιμής 4. Σφάλμτ Ελέγχων κι Ισχύς Ελέγχων 5. Επίλυση Προλημάτων Ελέγχου Υποθέσεων Πράδειγ Υϖερθέρνση του ϖλνήτη Η πλνητική θερμοκρσί τις δεκετίες 94-2 είχε μ = 4. ο Cκισ= ο C. Από δείγμ =4 τυχίων μετρήσεων την δεκετί 2-22 πρoέκυψε = 4.6 C κι η τυπική πόκλιση πρέμεινε ίδι. Μπορούμε ν πούμε πως η μέση πλνητική θερμοκρσί την δεκετί 2-22 δενυξήθηκε; 2-3 Πράδειγ Υϖερθέρνση του ϖλνήτη Κτνομή δειγμτοληψίς της μέσης πλνητικής θερμοκρσίς σπάνιο γεγονός (rre evet) P( X 4.6) =.79 σ ( ) P( ) = P( X 4.6) = P = P = 4 P 3.6 = 3.6 =.9992 =.79 X( C) 2-4 Πληθυσμός Έλεγχος Υϖοθέσεων Τυχίο Δείγμ Η μέση ετήσι θερμοκρσί της Γης πρμένει στθερή στους 4. ο C (υπόθεση). Το 4.6είνι σημντικά διφορετικό πό το 4.. Η υπόθεση πορρίπτετι! Μέσος X = 4.6 ο C 2-5 Έννοι της Σττιστικής Υϖόθεσης Μι δήλωση γι μι πράμετρο του πληθυσμού Πράμετρος: Πράμετρος:μέσος, μέσος, Δήλωση: η μέση ετήσι νλογί, δικύμνση θερμοκρσί στον πληθυσμού πλνήτη είνι 4. ο C Διτυπώνετι πριν πό την μέτρηση/νάλυση 2-6 Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr PDF processed with CutePDF evlutio editio

2 Μηδενική Υϖόθεση. Η υπόθεση που ελέγχετι, συνήθως η προύσ κτάστση ή η προύσ γνώση μς 2. Το κόστος μις λνθσμένης πόφσης είνι υψηλό 3. Εμπεριέχει πάντ το σύμολο της ισότητς: =,, ή 4. Συμολίζετι ως H 5. Διτυπώνετι ως H : = μι τιμή, μ Διτυπώνετι με το σύμολο = κόμη κι ν, ή Π.χ., στο πρόλημ της θερμοκρσίς, H : = Ενλλκτική Υϖόθεση. Αντίθετη της μηδενικής υπόθεσης 2. Εμπεριέχει πάντ το σύμολο της νισότητς:, <, ή > 3. Συμολίζετι συνήθως ως H ή H 4. Διτυπώνετι ως H : < μι τιμή, μ Π.χ. Π.χ.,, H : < Βήτ ιτύϖωσης Σττιστικών Υϖοθέσεων Πράδειγμ: Ελέγξτε ν ο μέσος του πληθυσμού δεν είνι 4. Βήμτ Δηλώστε το ερώτημ ( 4.) Δηλώστε το ντίθετο ερώτημ ( = 4.) Πρέπει ν είνι μοιί ποκλειόμεν κι ποκλειστικά Επιλέξτε την ενλλκτική υπόθεση ( 4.) Εμπεριέχει πάντοτε το σύμολο της νισότητς, <, > Διτυπώστε τη μηδενική υπόθεση ( = 4.) Εμπεριέχει πάντοτε το σύμολο της ισότητς: =,, 2-9 ιτύϖωση Υϖοθέσεων Είνι ο μέσος χρόνος τηλεθέσης στον πληθυσμό 2 ώρες την εδομάδ; Δηλώστε το ερώτημ : = 2 Δηλώστε το ντίθετο : 2 Επιλέξτε την ενλλκτική υπόθεση: H : 2 Διτυπώστε τη μηδενική υπόθεση: H : = 2 Δίπλευρος έλεγχος: H : ιτύϖωση Υϖοθέσεων Είνι ο μέσος χρόνος τηλεθέσης στον πληθυσμό διφορετικός πό 2 ώρες; Δηλώστε το ερώτημ : 2 Δηλώστε το ντίθετο : = 2 Επιλέξτε την ενλλκτική υπόθεση: H : 2 Διτυπώστε τη μηδενική υπόθεση: H : = 2 Δίπλευρος έλεγχος: H : ιτύϖωση Υϖοθέσεων Είνι το μέσο κόστος νά εργτοώρ μικρότερο ή ίσο πό 5ευρώ? Δηλώστε το ερώτημ : 5 Δηλώστε το ντίθετο : > 5 Επιλέξτε την ενλλκτική υπόθεση: H : > 5 Διτυπώστε τη μηδενική υπόθεση: H : = 5 Δεξιόπλευρος έλεγχος: H : > Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 2

3 ιτύϖωση Υϖοθέσεων Είνι το μέσο ποσό νά γορά στο ιλιοπωλείο μικρότερο πό 25ευρώ; Δηλώστε το ερώτημ : < 25 Δηλώστε το ντίθετο : 25 Επιλέξτε την ενλλκτική υπόθεση: H : < 25 Διτυπώστε τη μηδενική υπόθεση: H : = 25 Αριστερόπλευρος έλεγχος: H : < Περίληψη Μορφών Μηδενικής κι Ενλλκτικής Υϖόθεσης Έστω θη η πράμετρος ενδιφέροντος κι θοη υποτιθέμενη τιμή της. H : θ θ Αριστερόπλευροςέλεγχος: λεγχος: : θ < θ Δεξιόπλευροςέλεγχος: Δίπλευρος έλεχος: H H H : θ θ H : θ > θ H : θ = θ : θ θ επομένως πορρίπτουμε την υπόθεση ότι = 4. Η σική ιδέ Κτνομή δειγμτοληψίς του μέσου... νόντως υτός ήτν ο μέσος του πληθυσμού = 4. H Είνι μικρή η πιθνότητ ν ρίσκμε ένν δειγμτικό μέσο με υτή την τιμή X 2-5 Εϖίϖεδο Σηντικότητς. Είνι μι πιθνότητ που ορίζει τις τιμές της δειγμτικής σττιστικής που έχουν μικρή πιθνότητ ν η μηδενική υπόθεση είνι ληθής Οι τιμές υτές κλούντι περιοχήπόρριψης της κτνομής δειγμτοληψίς 2. Συμολίζετι με Τυπικές τιμές:.,.5,. 3. Επιλέγετι πό τον ερευνητή στην ρχή της έρευνς 2-6 Αϖόρριψης ( εξιόϖλευρος Έλεγχος) Κτνομή Δειγμτοληψίς - Μονόϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέσο (σ Γνωστό) Δειγμτική Σττιστική Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 3

4 Μονόϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέσο (σ Γνωστό). Πρδοχές Κνονικά Κτνεμημένος Πληθυσμός Αν όχι Κνονικός, Μπορεί ν Προσεγγιστεί πό την Κνονική Κτνομή ( 3) 2. Η Ενλλκτική Υπόθεση Εμπεριέχει το Σύμολο < ή > X X 3. Σττιστική -ελέγχου: = = σ σ X π z π = = = =.5 σ Αϖόρριψης ( εξιόϖλευρος Έλεγχος) Αϖόρριψης ( εξιόϖλευρος Έλεγχος) Κτνομή Δειγμτοληψίς Κτνομή Δειγμτοληψίς - - Δειγμτική Σττιστική 2-23 Δειγμτική Σττιστική Πρτηρούμενητιμή 2-24 Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 4

5 Αϖόρριψης ( εξιόϖλευρος Έλεγχος) Κτνομή Δειγμτοληψίς - Δειγμτική Σττιστική Πρτηρούμενητιμή π z π = = = = σ Αϖόρριψης (Αριστερόϖλευρος Έλεγχος) Αϖόρριψης (Αριστερόϖλευρος Έλεγχος) Κτνομή Δειγμτοληψίς - Κτνομή Δειγμτοληψίς - Δειγμτική Σττιστική 2-29 Πρτηρούμενητιμή Δειγμτική Σττιστική 2-3 Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 5

6 Αϖόρριψης (Αριστερόϖλευρος Έλεγχος) Κτνομή Δειγμτοληψίς - ίϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέσο (σ Γνωστό) Δειγμτική Σττιστική Πρτηρούμενητιμή ίϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέσο (σ Γνωστό). Πρδοχές Κνονικά Κτνεμημένος Πληθυσμός Αν όχι Κνονικός, Μπορεί ν Προσεγγιστεί πό την Κνονική Κτνομή ( 3) 2. Η Ενλλκτική Υπόθεση Εμπεριέχει το Σύμολο X X 3. Σττιστική -Ελέγχου: = = σ σ X π z π = = = = -.5 σ Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 6

7 Πράδειγ: ίϖλευρος Έλεγχος Πράδειγ: ίϖλευρος Έλεγχος Ελεγκτής ποιότητς πργωγής θέλει ν εξετάσει νμι νέ μέθοδος πράγει ηλεκτρικά κλώδι σύμφων μετις πιτήσεις του πελάτη: μέση ντοχή σε θρύση 7 kg. με σ = 3.5 kg. Λμάνει δείγμ 36κλωδίων κι υπολογίζειτον δειγμτικό μέσο 69.7 kg. Σε επίπεδο.5, υπάρχει ένδειξη πως η μέθοδος δεν ντποκρίνετι στη ζητούμενη μέση ντοχή σε θρύση; 2-37 H: = 7 H: 7 =.5 = 36 Κριτικές Τιμές : Απόρ. Ηο Απόρ. Ηο Ζ Σττιστική Ελέγχου: π z π = = =-.5 σ Απόφση: Δεν πορ. Η γι =.5 Συμπέρσμ: Δεν υπάρχει επρκής ένδειξηότιμ Περιοχές Αϖόρριψης ( ίϖλευρος Έλεγχος) Περιοχές Αϖόρριψης ( ίϖλευρος Έλεγχος) Κτνομή Δειγμτοληψίς Κτνομή Δειγμτοληψίς /2 - /2 /2 - /2 Δειγμτική Σττιστική 2-39 Δειγμτική Σττιστική Πρτηρούμενη 2-4 Περιοχές Αϖόρριψης ( ίϖλευρος Έλεγχος) Περιοχές Αϖόρριψης ( ίϖλευρος Έλεγχος) Κτνομή Δειγμτοληψίς Κτνομή Δειγμτοληψίς /2 - /2 /2 - /2 Δειγμτική Σττιστική Δειγμτική Σττιστική Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 7

8 Περιοχές Αϖόρριψης (Όλοι οι Τύϖοι Ελέγχων) - Αριστερόπλευρος: H: θ < θ - Δεξιόπλευρος: H: θ > θ z z θ θ z σ ˆ θ z z θ θ + z σ ˆ θ z z / 2 θ θ + z σ / 2 θˆ θ θ z σ / 2 θˆ /2 - /2 Δίπλευρος: H: θ θ Βήτ Ελέγχου της H ιδικσί Ελέγχου Υϖοθέσεων Διτυπώστετην την μηδενική υπόθεση H Διτυπώστετην την ενλλκτική υπόθεση H Επιλέξτετο το επίπεδο σημντικότητς Επιλέξτετο το μέγεθος του δείγμτος Επιλέξτε την σττιστική ελέγχου (δειγμτική σττιστική) Βήτ Ελέγχου της H Έλεγχοι γι Ένν Πληθυσό Κθορίστε τις κριτικές τιμές της σττιστικής Συλλέξτε Δεδομέν Ένς Πληθυσμός Υπολογίστε την τιμή της σττιστικής ελέγχου Λάετε την σττιστική πόφση Μέσος Ανλογί Διτυπώστε την πόφση λεκτικά έλεγχος t έλεγχος έλεγχος Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 8

9 Κίνδυνοι στη Λήψη Αϖοφάσεων 2-49 Σφάλτ στη Λήψη Αϖοφάσεων. Σφάλμ Τύπου Ι Απόρριψη ληθούς μηδενικής υπόθεσης Έχει σορές επιπτώσεις Η Η πιθνότητ Σφάλμτος Τύπου Ι είνι Ονομάζετι επίπεδο σημντικότητς 2. Σφάλμ Τύπου ΙΙ Αποδοχή εσφλμένης μηδενικής υπόθεσης Η πιθνότητ Σφάλμτος Τύπου ΙΙ είνι Η Η πιθνότητ ονομάζετι ισχύς του ελέγχου 2-5 υντά Αϖοτελέστ Αϖοφάσεων υντά Αϖοτελέστ Αϖοφάσεων H : μ=μ H : μ=μ Έλεγχος Η Έλεγχος H Πργμτικότητ Πργμτικότητ Απόφση H Αληθής Αποδοχή H Απόρριψη H Σωστό Λάθος H Ψευδής Λάθος Σωστό Απόφση H Αληθής Αποδοχή H Απόρριψη H - Σφάλμ Τύπου I () H Ψευδής Σφάλμ Τύπου II () Ισχύς ( - ) 2-5 Έλεγχος Η Έλεγχος H Πργμτικότητ Πργμτικότητ Απόφση H Αληθής Αποδοχή H Απόρριψη H Σωστό Λάθος H Ψευδής Λάθος Σωστό Απόφση H Αληθής Αποδοχή H Απόρριψη H - Σφάλμ Τύπου I () H Ψευδής Σφάλμ Τύπου II () Ισχύς ( - ) 2-52 Τ κι έχουν ντίστροφη σχέση Πράγοντες ϖου εϖηρεάζουν το Τ δύο σφάλμτ δε μπορεί ν μειωθούν τυτόχρον, πρά μόνο με ύξηση του μεγέθους δείγμτος.. Αληθής της Πρμέτρου Πληθυσμού Μειώνετι ότν η Διφορά της πό την Υποτιθέμενη Αυξάνει θ θ 2. Σημντικότητς, Μειώνετι ότν το Αυξάνει 3. Τυπική Απόκλιση Πληθυσμού, σ Μειώνετι ότν το σ Μειώνετι 4. Μέγεθος Δείγμτος, Μειώνετι ότντο το Αυξάνει σ Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 9

10 p - τιή Πρτηρούεν Εϖίϖεδ Σηντικότητς: p - τιές. Η πιθνότητ η σττιστική ελέγχου ν λάει τιμή τουλάχιστον τόσο κρί ( ή ) όσοη πρτηρούμενη τιμή δεδομένου ότιη H είνι ληθής 2. Κλείτι πρτηρούμενο επίπεδο σημντικότητς Είνι η ελάχιστη τιμή του γι την οποίη H μπορεί ν πορριφθεί 3. Χρησιμοποιείτιγιτη λήψη πόφσης Αν p-τιμή,, η H πορρίπτετι Αν p-τιμή >,, η H δεν πορρίπτετι ίϖλευρο -έλεγχο Είνι το μέσο περιεχόμενο τωνσυσκευσιών ενός προϊόντος 5 gr; Τυχίο δείγμ 25 συσκευσιών είχε X = Η ετιρί δήλωσεότιτο το σείνι 5 gr. Υπολογίστε την p-τιμή του ελέγχου.θεωρείστε ότι ο πληθυσμός είνι κνονικός κι η δήλωση της ετιρίς γι την τυπική πόκλιση του πληθυσμού σωστή ίϖλευρο -έλεγχο π z π = = =.5 σ Πρτηρούμενη 2-58 ίϖλευρο -έλεγχο Η p-τιμή είνι P( -.5 ή.5) ίϖλευρο -έλεγχο Η p-τιμή είνι P( -.5 ή.5) /2 p /2 p Πρτηρούμενη Πρτηρούμενη 2-6 Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr

11 ίϖλευρο -έλεγχο Η p-τιμή είνι P( -.5 ή.5) ίϖλευρο -έλεγχο Η p-τιμή είνι P( -.5 ή.5) =.336 /2 p /2 p /2 p =.668 /2 p = Από Πίνκ: : Ρ( ) Πρτηρούμενη 2-6 Πρτηρούμενη 2-62 ίϖλευρο -έλεγχο Πράδειγ p-τιής σε ίϖλευρο Ζ-έλεγχο /2 p =.668 /2 p =.668 (p- =.336) > ( =.5). Η δεν πορρίπτετι. /2 p =.668 /2 p =.668 Απόρ. Η Απόρ. Η Απόρ. Η Απόρ. Η /2 =.25 /2 =.25 /2 =.25 /2 = Η Σττιστική Ελέγχου έχει τιμή στην 2-64 Είνι το μέσο περιεχόμενο τωνσυσκευσιών ενός προϊόντοςπάνω πάνω πό 5 gr; Τυχίο δείγμ 25 συσκευσιών είχε X = Η ετιρί δήλωσεότι το σείνι 5 gr. Υπολογίστετην p-τιμή του ελέγχου.θεωρείστε ότι ο πληθυσμός είνι κνονικός κι η δήλωση της ετιρίς γι την τυπική πόκλιση του πληθυσμού σωστή π z π = = =.5 σ Πρτηρούμενη 2-66 Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr

12 2 Χρήση της Η γι εύρεση κτεύθυνσης p- = P(.5).5 p- Πρτηρούμενη Χρήση της Η γι εύρεση κτεύθυνσης p- = P(.5) Από Πίνκ: : Ρ( ).5 p- Πρτηρούμενη Χρήση της Η γι εύρεση κτεύθυνσης p- = P(.5) Από Πίνκ: : Ρ( ).5 p Πρτηρούμενη Χρήση της Η γι εύρεση κτεύθυνσης p- = P(.5) Από Πίνκ: : Ρ( ).5 p- = Πρτηρούμενη 2-7 p-τιμή =.668 Απόρ. Η =.5 (p- =.668) > ( =.5). Η Δεν Απορρίπτετι. p-τιμή =.668 Απόρ. Η = Η Σττιστική Ελέγχου έχει τιμή στην Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 2

13 Είστε νλυτής γι την Ford US. Θέλετε ν ρείτε ν ο μέσος ριθμός μιλίων νά γλόνιγιτ Focus είνι τουλάχιστον 32 mpg. Πρόμοι μοντέλ έχουντυπική πόκλιση 3.8 mpg. Πίρνετε τυχίο δείγμ 6 Focus κι υπολογίζετε δειγμτικό μέσο 3.7 mpg. Ποιό είνι το πρτηρούμενο επίπεδο σημντικότητς (p-τιμή); Σε επίπεδο., υπάρχει ένδειξη πωςτο τομ είνι τουλάχιστον 32; 2-73 p- = P( -2.65) =.4. p- ( =.). H Απορρίπτετι. Χρήση της Η γι εύρεση κτεύθυνσης 2 p Πρτηρούμενη Από Πίνκ: Ρ( - ) 2-74 p-τιμή =.4 Πράδειγ Μονόϖλευρου Ζ-ελέγχου H: = 32 H: < 32 =. = 6 Κριτικές Τιμές : Απόρ. Η = Ζ Σττιστική Ελέγχου: π z π = = =-2.65 σ Απόφση: ΑπόρριψηΗ γι =. Συμπέρσμ: Υπάρχει ένδειξη ότι μ < Περίληψη Υϖολογισού p-τιών σε Ζ-ελέγχους ( ) p τι ή = P Αριστερόπλευρος: H: μ < μ Δεξιόπλευρος: H: μ > μ /2 p /2 p - Δίπλευρος: H: μ μ, < ή > ( ) p τι ή = P ( ) p τι ή = 2 P 2-76 Τ κι έχουν ντίστροφη σχέση Υϖολογισός Πιθνότητς Σφάλτος Τύϖου II Τ δύο σφάλμτ δε μπορεί ν μειωθούν τυτόχρον Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 3

14 Πράγοντες ϖου εϖηρεάζουν το. Αληθής της Πρμέτρου Πληθυσμού Μειώνετι ότν η Διφορά της πό την Υποτιθέμενη Αυξάνει θ θ 2. Σημντικότητς, Μειώνετι ότν το Αυξάνει 3. Τυπική Απόκλιση Πληθυσμού, σ Μειώνετι ότν το σ Μειώνετι 4. Μέγεθος Δείγμτος, Μειώνετι ότντο το Αυξάνει σ 2-79 Σφάλ Τύϖου ΙΙ - Πράδειγ Είνι το μέσο μηνιίο εισόδημ των μεσίων στελεχών πάνωπό 24 ευρώ; Η τυπική πόκλιση των εισοδημάτων είνι γνωστή κι ίση με σ = 2 ευρώ. Τυχίο δείγμ 5 μεσίων στελεχώνείχε X = 244 ευρώ. Ελέγξτε σε επίπεδο.5. Υπολογίστετην πιθνότητ Σφάλμτος ΤύπουΙΙ,, ν στην πργμτικότητ: ) μ=2425, ) μ= Σφάλ Τύϖου ΙΙ - Πράδειγ Σφάλ Τύϖου ΙΙ - Πράδειγ H: H: = = Κριτικές Τιμές : Σττιστική Ελέγχου: Απόφση: Συμπέρσμ: 2-8 H: = 24 H: > 24 =.5 = 5 Κριτικές Τιμές : Απόρ. Η Ζ ΣττιστικήΕλέγχου: π 24 zπ = = σ / = =.44 < z = / 5 Απόφση: Αποδοχή της Η γι =.5 Συμπέρσμ: Δεν υπάρχει επρκής ένδειξη ότι μ> Σφάλ Τύϖου ΙΙ - Πράδειγ Γι =.5 η Η δεν πορρίπτετι γι ή σ < c = + z = = z < z =. 645 Απόρ. Η = Σφάλ Τύϖου ΙΙ - Πράδειγ Απόρ. Η = Θέστε μ =2425 ( ή 2475). =Ρ(Αποδοχή Η μ = μ ) c = P ( X < c = ) = P < = σ / = P < = P ( <. 76 ) = / ή P < = P =. 2 / 5 ( <. ) Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 4

15 Σφάλ Τύϖου ΙΙ γι διάφορες τιές του Περίληψη Υϖολογισού Σφάλτος Τύϖου ΙΙ = Απόρ. Η =.5 Δεξιόπλευρος Έλεγχος, Η : μ>μ c = P ( X < c = ) = P <, σ / c = + z σ Απόρ. Η μ c = μ 2-85 c 2-86 Περίληψη Υϖολογισού Σφάλτος Τύϖου ΙΙ Περίληψη Υϖολογισού Σφάλτος Τύϖου ΙΙ Αριστερόπλευρος Έλεγχος, Η : μ<μ c = P ( X > c = ) = P >, σ / c = z σ Απόρ. Η Δίπλευρος Έλεγχος, Η : μ μ = P( < X < = ) = P c, L c, U c, L c, U < <, σ / σ / = z σ, = + z σ c, L / 2 c, U / 2 /2 /2 c μ c, L μ c, U X μ c 2-87 μ 2 - c, L c, U X 88 Περίληψη Υϖολογισού Σφάλτος Τύϖου ΙΙ. Διτυπώστε τη μηδενική κι την ενλλκτική υπόθεση. 2. Από το επίπεδο εμπιστοσύνης κθορίστε την περιοχή πόρριψης με άση την σττιστική ελέγχου. 3. Από τον κνόν πόρριψης, υπολογίστε την τιμή (ή ή τιμές) του δειγμτικού μέσου που κθορίζει την περιοχή πόρριψης. 4. Με άση την τιμή που ρήκτε στο ήμ 3 κθορίστε τις τιμές του δειγμτικού μέσου που νήκουν στην περιοχή ποδοχής. 5. Από την κτνομή δειγμτοληψίς του μέσου γι οποιδήποτε τιμή του μ της ενλλκτικής υπόθεσης,κι την περιοχή ποδοχής του ήμτος 4, υπολογίστε την πιθνότητ ο δειγμτικός μέσος ν είνι στην περιοχή ποδοχής Χρκτηριστικές Λειτουργικές Κϖύλες ( ) Δεξιόπλευρος Έλεγχος, Η : μ>μ c = P ( X < c = ) = P <, σ / = + z σ c μ c μ c Απόρ. Η Χρκτηρ. Λειτ. Κμπύλη }.5 σ c c +3 X 2-9 Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 5

16 Αριστερόπλευρος Έλεγχος, Η : μ<μ c = P ( X > c = ) = P >, σ / = z σ Χρκτηριστικές Λειτουργικές Κϖύλες ( ) c Απόρ. Η c μ Χρκτηρ. Λειτ. Κμπύλη }.5 c 3σ X c Δίπλευρος Έλεγχος, Η : μ μ c, L c, U = P( c, L < X < c, U = ) = P < <, σ / σ / Χρκτηριστικές Λειτουργικές Κϖύλες ( ) c, L /2 = z / 2 σ, c, U = + z /2 cl, μ cu, X / 2 σ Χρκτηρ. Λειτ. Κμπύλη }.5 c, L 3σ X c, L cu, cu, + 3σ X c μ 2-9 cl, μ cu, X 2-92 Χρκτηριστικές Λειτουργικές Κϖύλες ( ) Δεξιόπλευρος: H : > }.5 σ c c +3 Δίπλευρος: H : = X.5 Αριστερόπλ.: H : <.5 } c 3σ X c } c 3 σ X c, L c, U c + 3σ X 2-93 Χρκτηριστικές Λειτουργικές Κϖύλες ( ) Όσο μεγλύτερη η κλίσητης χρκτηριστικής λειτουργικής κμπύλης, δηλ. όσο τχύτερ μειώνετι το με το μ-μ, τόσο κλύτερη η ικνότητ ενός ελέγχου ν πορρίπτει μι λνθσμένη Η Αυτό επιτυγχάνετι επιλέγοντς κτάλληλο συνδυσμό των κι 2-94 Χρκτηριστικές Λειτουργικές Κϖύλες ( ) μ =, σ=5, =, =. Η : μ < μ μ =, σ=5, =3, = μ μ =, σ=5, =, = Χ. Εμμνουηλίδης, cemm@eco.uth.gr 6