sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

Transcript

1 I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο ολοκλήρωμ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.Αντίστροφες τριγωνομετρικές. Κριτήριο σύγκρισης. Αριθμητική ολοκλήρωση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνάρτησης f() σέν φργμένο διάστημ [,] κλείτι το προσημσμένο εμδόν μετξύ της κμπύλης y = f() κι του άξον σ υτό το διάστημ. Πριστάνετι με: f()d E + E E = + όπου {E,E } είνι τ γεωμετρικά εμδά πάνω κι κάτω πό τον άξον ντίστοιχ. Η ερμηνεί ισχύει εφόσον το πάνω όριο είνι μεγλύτερο: >, οπότε λέμε ότι έχουμε ολοκλήρωση προς τ δεξιά. Επεκτείνουμε την ερμηνεί σόλες τις περιπτώσεις με τους ορισμούς: f()d = f()d, f()d = οπότε ισχύει κι η πρκάτω προσθετική ιδιότητ, γι οιδήποτε διάτξη των {,,γ} : γ f()d = f()d + f()d γ Πράδειγμ. ριστερά, λλά είνι κι η συνάρτηση ρνητική κι έτσι το ποτέλεσμ είνι πάλι θετικό. d = είτε το είνι θετικό είτε είνι ρνητικό οπότε έχουμε ολοκλήρωση προς τ. Πράγουσ συνάρτησης f() κλείτι κάθε συνάρτηση F() που την έχει ως πράγωγο: F () = f() Προκύπτει πό το θεώρημ μέσης τιμής ότι είνι μονδική εκτός πό μι προσθετική στθερά. Μι πράγουσ ορίζετι κτά τρόπο μονδικό ν επιπλέον δίνετι κι η τιμή της σε κάποιο σημείο διότι τότε κθορίζετι η τιμή της στθεράς. Δίνουμε πρκάτω τις πράγουσες F() ορισμένων σικών συνρτήσεων f(), χωρίς την στθερά. f(),, > e + sn F() + / + ln e / + / cos Στη συνέχει θ συνδέσουμε τις πράγουσες με τ ορισμέν ολοκληρώμτ (εμδά).. Θεμελιώδες Θεώρημ του Μθημτικού Λογισμού. Θεωρούμε μι συνάρτηση f() κι ρχίζοντς πό το = ορίζουμε μι νέ συνάρτηση E() της οποίς η τιμή σε κάθε δίνετι πό το oλοκλήρωμ: E() = f()d δηλδή πό το προσημσμένο εμδό πό το στο τυχόν. Κλείτι f() όριστο ολοκλήρωμ της f() ρχίζοντς πό το. Βσική ιδιότητ Το όριστο ολοκλήρωμ E() ρχίζοντς πό το = μις συνεχούς συνάρτησης f() είνι η πράγουσ της f(), που E() ικνοποιεί E() =. Έχοντς ρει μι πράγουσ μπορούμε ν ρούμε το σύνολο των πργουσών προσθέτοντς στθερές. Το κλούμε όριστο ολοκλήρωμ της f() κι το πριστάνουμε με: f()d πράγουσ Πρτήρηση. Αντί του = θ μπορούσμε ν ορίσουμε τ ολοκληρώμτ ρχίζοντς πό έν οιοδήποτε σημείο στο πεδίο ορισμού. Η διφορά τους πό τ πρπάνω θ ήτν μι στθερά. E +

2 Θεμελιώδες θεώρημ του Μθημτικού Λογισμού. Αν η συνάρτηση f() είνι συνεχής σε κάποιο διάστημ, τότε ισχύουν τ πρκάτω ισοδύνμ μετξύ τους: Ι. F () = f() f()d = F() F(), γι κάθε ζεύγος {,} στο διάστημ ΙΙ. F () = f() f()d = F() + c, c : υθίρετη στθερά Το θεμελιώδες θεώρημ μς επιτρέπει: Ι. Ν υπολογίζουμε ορισμέν ολοκληρώμτ (εμδά) πό πράγουσες, σύμφων με το Ι. ΙΙ. Ν ρίσκουμε πράγουσες πό ολοκληρώμτ, δηλδή πό εμδά, σύμφων με το ΙΙ. Επίσης, η πράστση πργουσών ως ορίστων ολοκληρωμάτων μς επιτρέπει ν νπτύξουμε ένν λογισμό εύρεσης πργουσών που σίζετι σε ιδιότητες των ολοκληρωμάτων ντίστροφες των ιδιοτήτων των πργώγων. Όλ τ πρπάνω ισχύουν κι γι τμημτικά συνεχείς συνρτήσεις. Πράδειγμ. Θ υπολογίσουμε τ πρκάτω εμδά με τ ντίστοιχ ορισμέν ολοκληρώμτ:. ( / ) = d = = =. (ln ) = d = ln = ln ln= ln. (sn ) = cos π/ cos d = sn = = π/. Βσικά ολοκληρώμτ, χωρίς τις υθίρετες στθερές: ) ) γ) + + d = γι d = ln e d = e = + f () d = ln f() f() + f ()f ()d f () = f () f() f ()e d e δ) cos d = sn f ()cos f()d = sn f() ε) sn d = cos f () sn f()d = cos f() 5 Γρμμικότητ. Ισχύει γι τ ορισμέν κι γι τ όριστ ολοκληρώμτ: [λf() + μg()]d = λ f() + μ g()]d, [λf() + μg()]d = λ f()d + μ g()d Πρτήρηση. Το ορισμένο ολοκλήρωμ της διφοράς δύο συνρτήσεων f() g() ερμηνεύετι γεωμετρικά ως το προσημσμένο εμδό μετξύ των κμπύλων τους, θετικό όπου η f() είνι μεγλύτερη, ρνητικό όπου είνι μικρότερη, όπως στο σχήμ πρπλεύρως [f() g()]d = Ε + E γι > Πράδειγμ. Χρησιμοποιώντς τους πρπάνω τύπους κι την γρμμικότητ, ρίσκουμε: ln. d = lnd = ln + c,. () e d = e d e c = + (γ). d = d = ln(+ ) + c + + (). ( + )d = d d + d = / ln + Στη συνέχει θ εξετάσουμε ορισμένες τεχνικές οι οποίες μς επιτρέπουν ν υπολογίσουμε περισσότερο σύνθετ ολοκληρώμτ, κι επομένως πράγουσες, πό άλλ γνωστά. / ln E f() cos g() E +

3 6. Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση Θεωρούμε έν όριστο ολοκλήρωμ f()d = F() Αν κάνουμε λλγή μετλητής, ντικθιστώντς τυπικά κι το κι το d : { = (z), d = (z)dz} θ ρούμε έν νέο ολοκλήρωμ ως προς z. Προκύπτει πό τον κνόν λυσωτής πργώγισης ότι ν μπορούμε ν υπολογίσουμε το τελευτίο τότε μπορούμε ν υπολογίσουμε κι το ρχικό, ως εξής: f()d = f((z)) (z)dz = h(z)dz = H(z) = H(z()) = F() = = όπου: (z), d (z)dz Απόδειξη. Αρκεί ν δείξουμε: F () = f() F () = H (z() = H (z)z () = h(z)z () = [f() (z)]z () = f() διότι: z () = / (z) Η πρπάνω τεχνική ντικτάστσης: f()d h(z)dz κλείτι ολοκλήρωση με ντικτάστση ή με λλγή μετλητής. Η λλγή μετλητής ορίζετι είτε στη μορφή = (z) είτε ντίστροφ z = z(). Αν πρόκειτι γι ορισμένο ολοκλήρωμ, τότε μπορούμε είτε ν ρούμε πρώτ το όριστο όπως πρπάνω, είτε ν υπολογίσουμε πάλι έν ορισμένο, ντικθιστώντς στο νέο ολοκλήρωμ κι τ όρι {,} του με τ ντίστοιχ όρι {γ,δ} του z : δ f()d = h(z)dz, όπου: γ = z(),δ = z() γ Πράδειγμ. Θ υπολογίσουμε τ πρκάτω ολοκληρώμτ:. + d ( + ) d = ( + ) d = [ ( + ) ] = ( + ) z = + = z / /, (z) = / Λύση. Με τους τύπους: Λύση. Με ντικτάστση: { }. ( + ) d = z dz = z = ( + ) / + d / / / / / / / /. Μπορούμε ν χρησιμοποιήσουμε το όριστο που ρήκμε πρπάνω: / / / 6 + d = ( + ) = 9 = Ενλλκτικά μπορούμε μζί με την λλγή μετλητής ν λλάξουμε κι τ όρι: 9 / / 9 / / 6 + d = z dz z z [9 ] = = = = =. d + με ντικτάστση: z = + { = + z, d = dz} z / / d = dz = z dz = z dz z dz + z z / / / / / = z z = ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) / / 7. Ολοκλήρωση κτά μέρη. Θεωρούμε τον κνόν πργώγισης γινομένου συνρτήσεων: (fg) = f g + fg f g = (fg) fg Ολοκληρώνοντς μφότερ τ μέρη ρίσκουμε τον πρκάτω κνόν ολοκλήρωσης κτά μέρη, γι το όριστο κι το ορισμένο ολοκλήρωμ ντίστοιχ: f ()g()d f()g() f()g = ()d, f ()g()d = f()g() f()g ()d Γι ν το εφρμόσουμε εκφράζουμε πρώτ την προς ολοκλήρωση συνάρτηση ως γινόμενο δύο συνρτήσεων, στη μορφή: f ()g() Στη συνέχει, ολοκληρώνοντς κι πργωγίζοντς ντίστοιχ, ρίσκουμε τις συνρτήσεις :

4 {f () f()}, {g() g ()} Στη συνέχει ντικθιστώντς στην πρπάνω σχέση ολοκληρώνουμε την νέ συνάρτηση f()g () ντί της ρχικής: f ()g(). Η τεχνική υτή οδηγεί συχνά σε πλούστερ ολοκληρώμτ. Π.χ. χρησιμοποιείτι στ ολοκληρώμτ: n n e d, lnd, Πράδειγμ.. e d = e d με n cos() d, n sn() d, με: {f = e,g = } {f = e,g = } f () = {e, sn, cos }, = e ( e )d = e + e d = e e = e + e d = e d με {f = e,g = } {f = e,g = } = = + = + + e ( e )d e e d e ( ) n g() = {,ln } Εφρμόσμε ολοκλήρωση κτά μέρη δύο φορές, χρησιμοποιώντς κι το ποτέλεσμ στην άσκηση. 8.Ολοκληρώμτ ρητών. Γι το ολοκλήρωμ ρητής συνάρτησης με πρνομστή πολυώνυμο πρώτου θμού, μπορούμε είτε ν εκτελέσουμε πρώτ τη διίρεση των πολυώνυμων, είτε ν χρησιμοποιήσουμε ντικτάστση. d Πράδειγμ. d, με διίρεση: = d d ln = = Ενλλκτικά μπορούμε ν ντικτστήσουμε w = + = w w d = dw = dw dw = w ln w = ln + + w w 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών. Πολλά ολοκληρώμτ συνρτήσεων που ποτελούντι πό γινόμεν τριγωνομετρικών, πλοποιούντι χρησιμοποιώντς τριγωνομετρικές τυτότητες, όπως: sn(a)cos(b) = sn(a B) + sn(a + B), cos(a)cos(b) = cos(a B) + cos(a + B) sn A snb = cos(a B) cos(a + B), Πράδειγμ. sn cos d sn cos = sn( ) + sn( + ) = sn + sn Επομένως το ολοκλήρωμ είνι: sn cos d = sn d snd cos cos = + 6. Γενικευμένο ολοκλήρωμ Αφορά μη φργμέν διστήμτ ή/κι μη φργμένες συνρτήσεις, κι υπολογίζετι ως όριο. Λέμε ότι το ολοκλήρωμ συγκλίνει ν δίνει πεπερσμένο ριθμό, δεν συγκλίνει ν δίνει άπειρο. Π.χ. έχουμε τ πρκάτω όρι: f()d = lm f()d γι μη φργμένο διάστημ: [, ) γ f()d = lm f()d γι μη φργμένη συνάρτηση: lm f() = γ Πρτήρηση. Μι περιοχή μπορεί ν μην είνι φργμένη λλά ν έχει φργμένο (πεπερσμένο) εμδό, (όπως έν άπειρο πλήθος όρων μπορεί ν έχει πεπερσμένο άθροισμ). Πράδειγμ. Τ πρκάτω ολοκληρώμτ φορούν μη φργμένο διάστημ. d = ln = ln, δεν συγκλίνει,. d = = +, συγκλίνει Πράδειγμ. Τ πρκάτω ολοκληρώμτ φορούν μη φργμένη συνάρτηση. d = ln = ln, δεν συγκλίνει. ln d = ln d = ln ( ) =, συγκλίνει

5 Χρησιμοποιήσμε ολοκλήρωση κτά πράγοντες, κθώς κι το όριο: ln ότν. Πρότση. Τ πρκάτω γενικευμέν ολοκληρώμτ συγκλίνουν ικνοποιούντι οι ντίστοιχες συνθήκες: r. dr = r > r r. d = < r < r. e d r r = > r ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.Αντίστροφες τριγωνομετρικές. Από τις πργώγους των ντίστροφων τριγωνομετρικών συνρτήσεων, ρίσκουμε: f () d = arcsn d = rc sn f() f () f () d = rctn d rctnf() + = + f () Πράδειγμ. d = d = / d = rctn + + ( / ) + ( / ) Ενλλκτικά μπορούμε ν εφρμόσουμε την λλγή μετλητής: = z d = dz. Κριτήριο σύγκρισης. Ότν δεν μπορούμε ν υπολογίσουμε έν γενικευμένο ολοκλήρωμ συχνά μπορούμε ν μελετήσουμε τις ιδιότητες σύγκλισης συγκρίνοντς με κάποιο γνωστό, ως εξής: Κριτήριο σύγκρισης. Θεωρούμε δύο θετικές συνρτήσεις με f() g(). Aν το γενικευμένο ολοκλήρωμ της g() συγκλίνει, θ συγκλίνει κι υτό της f(). Αν το γενικευμένο ολοκλήρωμ της f() δεν συγκλίνει τότε δεν θ συγκλίνει ούτε υτό της g(). Κριτήριο ορικής σύγκρισης. Θεωρούμε τ γενικευμέν ολοκληρώμτ δύο θετικών συνρτήσεων, κι υπολογίζουμε το όριο f() lm c g() = ότν γι μη φργμένο διάστημ γι μη φργμένη συνάρτηση στο Δικρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:. < c < : τ γενικευμέν ολοκληρώμτ των δύο συνρτήσεων έχουν τις ίδιες ιδιότητες σύγκλισης.. c = : ν συγκλίνει της g θ συγκλίνει κι της f.. c = : ν δεν συγκλίνει της g δεν θ συγκλίνει ούτε της f. Πράδειγμ. e d συγκλίνει διότι γι > έχουμε: < ep( ) < ep( ). r e d συγκλίνει γι {r, } > >, διότι: 5 f r/ e r/ e g r e = ότν.. Αριθμητική ολοκλήρωση. Αν γνωρίζουμε την πράγουσ μις συνάρτησης τότε μπορούμε ν υπολογίσουμε τ εμδά που δίνοντι πό τ ντίστοιχ ορισμέν ολοκληρώμτ. Σε κάθε περίπτωση μπορούμε ν εκτιμήσουμε ριθμητικά έν ορισμένο ολοκλήρωμ, δηλδή ν ρούμε προσεγγιστικά το ντίστοιχο εμδό, ως εξής: Διμερίζουμε το διάστημ ολοκλήρωσης [,], σε n ίσ υποδιστήμτ, με σημεί: = < < < < = n n Υποθέτοντς γι ευκολί τη συνάρτηση ύξουσ, τότε όπως φίνετι κι στο σχήμ, το στοιχειώδες εμδό ΔΕ πάνω πό το διάστημ [, ] θ έχει κάτω κι πάνω φράγμ, ως εξής: f Δ ΔE f Δ f h ΔE fh,όπου: f = f( ), h = ( ) / n To συνολικό εμδόν E προκύπτει θροίζοντς τ επιμέρους εμδά, κι θ ρίσκετι μετξύ των φργμάτων: fh + fh fn h ΔE ΔEn fh fnh S E Τ δύο φράγμτ {S,S} κλούντι κάτω κι πάνω άθροισμ Remann ντίστοιχ. S τρπέζιο f f

6 Κνόνς Τρπεζίου. Αν πάρουμε ως εκτίμηση του ολοκληρώμτος το ενδιάμεσο των δύο φργμάτων: f fn E (S + S) = f fn h τότε το μέγιστο δυντό σφάλμ είνι το μισό της διφοράς του κάτω πό το πάνω φράγμ: [ n ] [f() σ (S S) f f h f()]( = = = ), ότν n n Επομένως, επιλέγοντς το n ρκετά μεγάλο μπορούμε ν εκτιμήσουμε το ολοκλήρωμ με οιδήποτε επιθυμητή κρίει. Ο πρπάνω τύπος προσεγγιστικού υπολογισμού ολοκληρώμτος, κλείτι κνόνς τρπεζίου, διότι η εκτίμηση δίνετι πό το άθροισμ των εμδών των τρπεζίων που σχημτίζοντι πό τις χορδές, όπως στο σχήμ. Πράδειγμ. Γι τη συνάρτηση f() = στο διάστημ [,] θ υπολογίσουμε τ θροίσμτ Remann που ντιστοιχούν σε διμέριση με n = : S = [f + f + f + f ]h = = + h = / h = h = f = = / S = [f + f + f + f ]h = h = Επομένως έχουμε εκτίμηση: S + S S S E = d = =. με σ = =.5, δηλδή: E =. ±.5 6 Στην πργμτικότητ το ολοκλήρωμ είνι E = / =., μέσ στο πρπάνω διάστημ 6

7 I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκήσεις. Ν υπολογιστούν τ πρκάτω ολοκληρώμτ, σχεδιάζοντς κι το γράφημ. ) ( + / )d, mn{, }d,, d, d /, d + d, +, ( ) + d, d, d, ) e d, e r d r, e d, e d, e d, e d ln d, ln d, d, d, log d γ) sn()cos()d, sn ()d, sn()d, d,. Γι κθέν πό τ πρκάτω ζεύγη εξισώσεων ν γίνει το γράφημ κι ν υπολογιστεί το εμδόν που ρίσκετι στη θετική περιοχή: {, y } μετξύ των κμπύλων τους κι ) του άξον, ) του y άξον. {y =, y = }, {y =, y = }, {y =, y = e }, { + y =, ( + )(y + ) = 9} +. Ν ρεθεί η συνάρτηση f() γι >, με {f () = + +, f() =, f () = } n+ n+ n. Ν δειχτεί επγωγικά ο τύπος: ln d = ln + c, n =,,,..., n + (n + ) 5. Λέμε ότι μι συνάρτηση ορίζει κτνομή στο θετικό διάστημ:, ν ικνοποιεί: f() κι f()d = Αθροιστική κτνομή F(), μέση τιμή m, κι πόκλιση σ, της κτνομής κλούντι τ μεγέθη που ορίζοντι με τις σχέσεις: F() = f()d, m = f()d, σ = ( m) f()d Ενδιάμεση τιμή της κτνομής, κλείτι η τιμή = μ με την ιδιότητ: F(μ) = /. Σε κάθε μί πό τις πρκάτω συνρτήσεις, ν ρεθεί ο συντελεστής A ώστε ν ορίζετι κτνομή γι, κι στη συνέχει ν υπολογιστούν τ πρπάνω μεγέθη: r A ν c Ae ν c f() =, f() = Ae r, f() = ν c ν c ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 6. Ν δειχτεί ότι το εμδό του δίσκου κτίνς r είνιπr. 7. Ν υπολογιστούν τ ολοκληρώμτ: d, + d 8. Ν διερευνηθεί η σύγκλιση των πρκάτω γενικευμένων ολοκληρωμάτων: d d, + 9. Γι τ πρκάτω ολοκληρώμτ, ν ρεθεί το άθροισμ του κνόν τρπεζίου που το εκτιμάει με σφάλμ το πολύ ίσο με: )., ). d, d. Ν διμοιρστεί το διάστημ [,] σε ίσ υποδιστήμτ, κι ν ρεθούν το πάνω κι κάτω άθροισμ Remann των συνρτήσεων: ( + ), + Σε κάθε περίπτωση ν δοθεί η ντίστοιχη εκτίμηση του ολοκληρώμτος κθώς κι το σφάλμ. Ν γίνει σύγκριση με την πργμτική τιμή του ολοκληρώμτος. 7