Μαθησιακά αντικείμενα

Transcript

1 Μαθησιακά αντικείμενα για την προηγμένη βιομηχανία Συγγραφείς: Konstantinos Tatsis, Bożena Maj-Tatsis, Ewa Swoboda, Marta Pytlak University of Rzeszow, Poland Ανατροφοδότηση: AMRC, CECIMO, CKUNT, PROMEA Rzeszow

2 Εισαγωγή Ο τομέας της προηγμένης βιομηχανίας αλλάζει και εξελίσσεται. Νέες και καινοτόμες ψηφιακές τεχνολογίες κάνουν την εμφάνισή τους. Σε ένα τέτοιο μεταβαλλόμενο περιβάλλον, οι υφιστάμενοι και μελλοντικοί εργαζόμενοι στον κλάδο χρειάζονται τις κατάλληλες αριθμητικές και μαθηματικές δεξιότητες για να μπορούν να ανταποκριθούν στις εξελισσόμενες ανάγκες της αγοράς. Σε αυτόν ακριβώς τον τομέα τα μαθησιακά αντικείμενα του έργου ΝΑΜΑ μπορούν να συνεισφέρουν αποτελεσματικά. Περιεχόμενα Μέρος 1 Ποσοτικές σχέσεις και μεταβλητές... 3 L1: Το αριθμητικό σύστημα... 4 L2: Σχετικό μέγεθος των αριθμών... 9 L3: Αριθμητικές ακολουθίες και μοτίβα L4: Βασικές πράξεις L5: Δεκαδικοί, κλάσματα, ποσοστά L6: Νοεροί υπολογισμοί Μέρος 2 Μεταβολές και σχέσεις L7: Τύποι μεταβολών L8: Διαφορετικές αναπαραστάσεις σχέσεων L9: Προσεγγίσεις και εκτιμήσεις L10: Αποτελεσματική χρήση αριθμομηχανών Μέρος 3 Σχήματα και αποστάσεις L11: Μονάδες μέτρησης και κλίμακα L12: 2D-3D σχήματα και ιδιότητες L13: Τριγωνομετρία και γεωμετρία L14: Χωρική Απεικόνιση L15: Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμ. προβλημάτων Μέρος 4 Ανάλυση δεδομένων και αβεβαιότητα L16: Πιθανότητες L17: Εισαγωγή σε τύπους δεδομένων L18: Ομαδοποίηση δεδομένων L19: Γραφική απεικόνιση δεδομένων L20: Μετρήσεις του μέσου όρου L21: Σύγκριση δεδομένων

3 Προτεινόμενο γνωστικό υπόβαθρο Το διαδικτυακό μάθημα του έργου NAMA απευθύνεται σε όλους όσους επιζητούν την αναβάθμιση των αριθμητικών δεξιοτήτων τους ώστε να μπορούν να ανταποκριθούν στις εξελισσόμενες ανάγκες της αγοράς, και συγκεκριμένα σε: α) σε υφιστάμενους και μελλοντικούς εργαζομένους του κλάδου της προηγμένης βιομηχανίας και β) σε σπουδαστές που συμμετέχουν σε σχετικά εκπαιδευτικά προγράμματα και προγράμματα κατάρτισης. Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενες ακαδημαϊκές γνώσεις για το μάθημα! 2

4 Μέρος 1 Ποσοτικές σχέσεις και μεταβλητές 3

5 Οι Φυσικοί Αριθμοί L1: Το αριθμητικό σύστημα Θεωρία Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι 0, 1, 2, 3, 4, 5, κτλ. Υπάρχουν άπειρα πολλοί φυσικοί αριθμοί. Το σύνολο των φυσικών αριθμών, {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} γράφεται συχνά για συντομία N. Σημείωση: Το άθροισμα οποιονδήποτε δύο φυσικών αριθμών είναι επίσης ένας φυσικός αριθμός (για παράδειγμα, = 2016), και το γινόμενο δύο οποιωνδήποτε φυσικών αριθμών είναι ένας φυσικός αριθμός ( = 32000). Αυτό δεν ισχύει στην περίπτωση της αφαίρεσης και της διαίρεσης! Οι Ακέραιοι Ακέραιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί που αποτελούνται από τους φυσικούς αριθμούς και τους αντίθετούς τους: {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} Συνήθως το σύνολο των ακέραιων αριθμών γράφεται για συντομία Z. Σημείωση: Το άθροισμα, το γινόμενο, και η διαφορά δύο οποιονδήποτε ακέραιων αριθμών είναι επίσης ακέραιος αριθμός. Αλλά αυτό δεν ισχύει στην περίπτωση της διαίρεσης! Οι Ρητοί Αριθμοί Οι ρητοί αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως ο λόγος δύο ακεραίων αριθμών. Παραδείγματα: Τα κλάσματα 1 2 και 33 5 είναι και τα δύο ρητοί αριθμοί. Όλοι οι δεκαδικοί με πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων είναι ρητοί αριθμοί. Οι δεκαδικοί των οποίων το δεκαδικό μέρος επαναλαμβάνεται μετά από κάποιο σημείο είναι επίσης ρητοί αριθμοί: Παραδείγματα: Το 3,42 μπορεί να γραφτεί ως 342, επομένως είναι ένας ρητός αριθμός 100 0, = 1, επομένως είναι ένας ρητός αριθμός 12 Σημείωση: Όταν έχουμε δύο ρητούς αριθμούς, το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο τους είναι επίσης ένας ρητός αριθμός (υπό την προϋπόθεση ότι δεν το διαιρούμε με το 0). Οι Άρρητοι Αριθμοί Άρρητος αριθμός είναι ένας αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί ως λόγος (κλάσμα). Αν γραφτεί σε μορφή δεκαδικού έχει άπειρο πλήθος μη επαναλαμβανόμενων ψηφίων στο δεκαδικό του μέρος. 4

6 Παράδειγμα: Ποιος αριθμός όταν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του δίνει 2; Με άλλα λόγια, ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης x 2 =2? Οι λύσεις είναι 2 και 2, με 2 να ισούται κατά προσέγγιση με 1,414. Αλλά 1,414 2 = 1,999396, το οποίο είναι κοντά στο 2. Ωστόσο ποτέ δεν θα φτάσεις ακριβώς στο 2 υψώνοντας στο τετράγωνο ένα κλάσμα (ή έναν τερματικό δεκαδικό). Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ένας άρρητος αριθμός, δηλαδή το δεκαδικό του ισοδύναμο συνεχίζεται στο άπειρο, χωρίς επαναλαμβανόμενο μοτίβο: 2 = 1, Άλλα παραδείγματα άρρητων αριθμών Άλλοι γνωστοί άρρητοι αριθμοί είναι: Η χρυσή αναλογία, ο αριθμός με την μεγάλη σπουδαιότητα στη βιολογία και στην τέχνη: φ = 1+ 5 = 1, π, ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου με τη διάμετρό του: π = 3, Ο αριθμός του Euler: e = 2, Οι Πραγματικοί Αριθμοί Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το σύνολο των αριθμών που περιέχουν όλους τους ρητούς και άρρητους αριθμούς. Το σύνολο αυτό γράφεται συχνά για συντομία R. Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι το σύνολο {a + bi οι a και b είναι πραγματικοί αριθμοί}, όπου i είναι μια φανταστική μονάδα (i 2 = 1). Οι μιγαδικοί περιλαμβάνουν το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο αυτό συχνά γράφεται για συντομία C. 5

7 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Είναι το άθροισμα φυσικός αριθμός; Πρόβλημα 2 Είναι το (-3) (-6):9 ακέραιος; Πρόβλημα 3 Είναι το 3/1 ακέραιος; Πρόβλημα 4 Είναι το 3 ένας άρρητος αριθμός; Πρόβλημα 5 Είναι το 3 3 ρητός ή άρρητος αριθμός; Πρόβλημα 6 Είναι το 3 + π ένας πραγματικός αριθμός; Πρόβλημα 7 Είναι οι λύσεις της εξίσωσης x 2 +x+1=0 πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί; 6

8 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Απάντηση: Ναι, είναι. Πρόβλημα 2 Απάντηση: Ναι, είναι. Πρόβλημα 3 Απάντηση: Ναι, είναι. Πρόβλημα 4 Απάντηση: Ναι, είναι. Πρόβλημα 5 Απάντηση: Είναι ένας ρητός αριθμός, καθώς ισούται με 3. Πρόβλημα 6 Απάντηση: Ναι, είναι. Πρόβλημα 7 Απάντηση: Είναι μιγαδικοί αριθμοί. 7

9 Προβλήματα 1-2 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υποπεδία Το αριθμητικό σύστημα Βασικές πράξεις Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών αριθμητικών αρχών Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα 3-4 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υποπεδία Το αριθμητικό σύστημα Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών αριθμητικών αρχών Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα 5-6 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υποπεδία Το αριθμητικό σύστημα Βασικές πράξεις Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών αριθμητικών αρχών Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 7 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικό υποπεδίο Το αριθμητικό σύστημα Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Επίλυση εξισώσεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος 8

10 L2: Σχετικό μέγεθος των αριθμών Θεωρία Το σχετικό μέγεθος των αριθμών αναφέρεται στην κατανόηση της σχετικής εμβέλειας διαφορετικών τύπων αριθμών συγκρίνοντας, ταξινομώντας και εντοπίζοντας ισοδύναμες μορφές στο πλαίσιο διάφορων μορφών αριθμών χρησιμοποιώντας μοντέλα, αριθμoγραμμές, σύμβολα ισότητας (=) και ανισότητας (,,, <, >) και επεξηγήσεις. Οι αριθμοί μπορεί να είναι: ακέραιοι ρητοί αριθμοί κοινοί άρρητοι αριθμοί, συμπεριλαμβανομένων των τετραγωνικών ριζών αριθμοί με ακέραιες ή κλασματικές βάσεις και με ακέραιους ή κλασματικούς εκθέτες απόλυτες τιμές αριθμοί που αναπαρίστανται με την επιστημονική μορφή. Αριθμογραμμές Οι αριθμογραμμές μπορεί να λάβουν διαφορετική μορφή, ανάλογα με το μέγεθος των αριθμών που συγκρίνονται. Εδώ έχουμε δύο παραδείγματα: Σημείωση: Η αριθμογραμμή μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί στην πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό! Πολύ μεγάλοι και πολύ μικροί αριθμοί Οι πολύ μεγάλοι ή πολύ μικροί αριθμοί εκφράζονται συνήθως στην επιστημονική μορφή. Ένας αριθμός στην επιστημονική μορφή γράφεται ως το γινόμενο ενός αριθμού (ακέραιου ή δεκαδικού) και μια δύναμη του 10. Αυτός ο αριθμός είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 1 και μικρότερος του 10. Παράδειγμα: Υπάρχουν περίπου άνθρωποι στη Γη. Αυτός ο αριθμός μπορεί να γραφεί σε επιστημονική μορφή ως Ο αριθμός είναι ίσος με Ο αριθμός είναι ίσος με 10 9 ή

11 Ένας αριθμός μπορεί να μετατραπεί στην επιστημονική μορφή αυξάνοντας τη δύναμη στο 10 κατά ένα για κάθε θέση που μετατοπίζεται η υποδιαστολή στα αριστερά. Στο παραπάνω παράδειγμα, η υποδιαστολή μετακινήθηκε 9 θέσεις στα αριστερά για να δημιουργήσει έναν αριθμό που θα είναι πάνω από 1 και λιγότερο από 10. Οι αριθμοί επιστημονικής μορφής μπορούν να γραφούν με διάφορους τρόπους. Ο αριθμός μπορεί επίσης να γραφτεί ως 7e+9. Ο +9 δείχνει ότι το δεκαδικό σημείο μπορεί να μετατοπιστεί 9 θέσεις στα δεξιά για να γραφεί ο αριθμός στην κανονική του μορφή. Δύο αριθμοί γραμμένοι σε επιστημονική μορφή μπορούν να συγκριθούν. Ο αριθμός με τη μεγαλύτερη δύναμη στο 10 είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό με τη μικρότερη δύναμη στο 10. Αν οι δυνάμεις στο 10 είναι ίδιες τότε ο αριθμός με τον μεγαλύτερο παράγοντα είναι ο μεγαλύτερος. Παραδείγματα: 2, είναι μεγαλύτερο από το 2, , είναι μεγαλύτερο από το 1, Αριθμοί γραμμένοι σε κανονική μορφή μπορούν να συγκριθούν με αριθμούς γραμμένους σε επιστημονική μορφή μετατρέποντας τον έναν από τους αριθμούς στη μορφή του άλλου. Παράδειγμα: Προκειμένου να συγκρίνετε τα 2, και πρέπει πρώτα να μετατρέψετε το 3, σε ή να μετατρέψετε το σε 2,

12 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Πού βρίσκεται ο αριθμός 17 στην αριθμογραμμή που ακολουθεί; Πρόβλημα 2 Χρησιμοποιώντας την κατάλληλη αριθμογραμμή, τοποθετήστε τους ακόλουθους αριθμούς σε φθίνουσα σειρά. (Από τον μεγαλύτερο στο μικρότερο): 0.01, 0.009, 2 23, 2 25, Πρόβλημα 3 Πώς θα εμφανιστεί το αποτέλεσμα του υπολογισμού στην αριθμομηχανή; Πρόβλημα 4 Η ακτίνα ενός ατόμου υδρογόνου ισούται με 0, m. Γράψτε τον αριθμό στην επιστημονική μορφή. 11

13 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Απάντηση: Πρόβλημα 2 Απάντηση: 2 > 2 > 0,013 > 0,01 > 0, Πρόβλημα 3 Απάντηση: 5e+32 Πρόβλημα 4 Απάντηση: 2, m. 12

14 Προβλήματα 1-2 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικό υποπεδίο Σχετικό μέγεθος των αριθμών Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών αριθμητικών αρχών Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 3 Μαθηματικά πεδία Ποσότητα Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικά υποπεδία Σχετικό μέγεθος των αριθμών Αποτελεσματική χρήση αριθμομηχανών Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών αριθμητικών αρχών Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 4 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικό υποπεδίο Σχετικό μέγεθος των αριθμών Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών αριθμητικών αρχών Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος 13

15 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος; a. 1, b. 2, c. 1, d. 9, Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς ισούται με ; a. 1, b. 1, c. 1, d. 1, Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι μεταξύ 2 και 3; a. 2/3 b. 3/2 c. 5/3 d. 5/2 4. Χωρίς να προβείτε στον υπολογισμό, απαντήστε ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό σχετικά με το γινόμενο του πολλαπλασιασμού 1,5 1, a. Το αποτέλεσμα είναι πάνω από 10 εκατομμύρια b. Το αποτέλεσμα είναι πάνω 1 εκατομμύριο c. Κανένα από τα παραπάνω δεν είναι σωστό 5. Πόσα μηδενικά έχει ο αριθμός 2, ; a. 31 b. 32 c. 33 d. 34 Απαντήσεις: 1c, 2d, 3d, 4c, 5a 14

16 L3: Αριθμητικές ακολουθίες και μοτίβα Θεωρία Μια αριθμητική ακολουθία είναι το σύνολο ταξινομημένων τιμών μιας συνάρτησης, της οποίας το πεδίο ορισμού αποτελείται από το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών σε αύξουσα σειρά. Τα στοιχεία της ακολουθίας ονομάζονται όροι. Ο n-στός όρος μιας πρότασης ονομάζεται γενικός όρος της ακολουθίας. Ο γενικός όρος σημειώνεται με ένα μικρό γράμμα με το δείκτη n, όπου το n παίρνει τις αξίες 1, 2, 3, Μια ακολουθία μπορεί να είναι πεπερασμένη ή άπειρη. Παραδείγματα: (2, 5, 9, 10) ακολουθία με τέσσερα στοιχεία (1, 2, 3, 4, 5, 6,...) η άπειρη ακολουθία διαδοχικών φυσικών αριθμών. (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...) η άπειρη ακολουθία των θετικών άρτιων αριθμών. (1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,...) εναλλασσόμενη ακολουθία θετικών και αρνητικών αριθμών. (1, 1, 1, 1, 1, 1,...) μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος (3, 9, 27, 81, 243,... ) ακολουθία διαδοχικών δυνάμεων του 3. (-80, -77, -74, -71, -68, -65, ) - μια αύξουσα αριθμητική πρόοδος. Παραδείγματα: Η ακολουθία (1, 3, 5, 7, 9, ) περιέχει τους όρους: a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 5, κτλ. Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία: ο γενικός της όρος είναι a n = 2n 1. Τα στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: a, a+r, a+2r, είναι οι όροι μιας αριθμητικής ακολουθίας με τον γενικό όρο a n = a+(n 1)r. Τα στοιχεία μιας γεωμετρικής προόδου: a, aq, aq 2, είναι οι όροι μιας αριθμητικής ακολουθίας με τον γενικό όρο b n = aq n-1. Οι ακολουθίες των οποίων οι όροι έχουν σχέση με προηγούμενους όρους με έναν απλό τρόπο καθορίζονται συχνά χρησιμοποιώντας τον αναδρομικό τύπο. Για να προσδιορίσουμε μια ακολουθία μέσω αναδρομικού τύπου απαιτείται ένας κανόνας για να κατασκευάσουμε κάθε διαδοχικό στοιχείο βάσει εκείνων που προηγούνται. Επιπλέον, κάποια αρχικά στοιχεία πρέπει να προσδιοριστούν έτσι ώστε τα νέα στοιχεία της ακολουθίας να μπορούν να προσδιοριστούν με τον κανόνα. Παράδειγμα: Η ακολουθία Fibonacci μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας έναν αναδρομικό τύπο με δύο αρχικά στοιχεία. Ο κανόνας είναι ότι κάθε στοιχείο αποτελεί το άθροισμα των προηγούμενων δύο στοιχείων, και τα πρώτα δύο στοιχεία είναι 1 και 1: a 0 = 1, a 1 = 1, a n = a n 2 + a n 1 15

17 Τα διαδοχικά στοιχεία της ακολουθίας ονομάζονται αριθμοί Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...) 16

18 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Ποιος είναι ο γενικός όρος της ακολουθίας 2, 0, 2, 0, ; Πρόβλημα 2 n 5 n Δίνεται η ακολουθία: a n = ( 1) for n = 1, 2, 3, Υπολογίστε τους όρους n 2 +3 a 2, a 3, a 6. Πρόβλημα 3 Υπολογίστε τον πέμπτο όρο της ακολουθίας: Πρόβλημα 4 a { 1 = 3 a n+1 = a n + 5n Η παρακάτω εικόνα περιγράφει ένα μοτίβο για το n = 1, 2, 3, 4 και 5. Μπορείτε να βρείτε το γενικό όρο της ακολουθίας; Πρόβλημα 5 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τους πρώτους όρους μιας ακολουθίας. Μπορείτε να βρείτε το γενικό όρο της ακολουθίας; n a n

19 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Απάντηση: a n = 1 ( 1) n. Πρόβλημα 2 Λύση: a 2 = ( 1) = 3 7 a 3 = 1 6 a 6 = 1 39 Πρόβλημα 3 Λύση: a 2 = a = = 8 a 3 = a = 18 a 4 = a = 33 a 5 = a = 53 Πρόβλημα 4 Απάντηση: T n = n(n+1) 2 Πρόβλημα 5 Απάντηση: a n = (n+1)(n+2) 18

20 Πρόβλημα 1 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικό υποπεδίο Αριθμητικές ακολουθίες και μοτίβα Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ρόλος ΟΛΕΣ Προβλήματα 2-3 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υποπεδία Αριθμητικές ακολουθίες και μοτίβα Βασικές πράξεις Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ρόλος ΟΛΕΣ Προβλήματα 4-5 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικό υποπεδίο Αριθμητικές ακολουθίες και μοτίβα Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Ερμηνεία γραφημάτων και πινάκων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ειδικότητα/ρόλος ΟΛΕΣ 19

21 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Το ένατο στοιχείο της ακολουθίας 33, 37, 41, είναι το: a. 61 b. 63 c. 65 d. Κανένα από τα παραπάνω 2. Είναι δυνατόν να έχουμε μία φθίνουσα ακολουθία; a. Ναι b. Όχι 3. Ποιος είναι ο γενικός όρος της ακόλουθης γεωμετρικής προόδου: 3, 1, 1 3, 1 9, 1 27, ; a. 3 b. 1 c. 1/3 d. Άλλο 4. Ένα θέατρο έχει 24 καθίσματα στη πρώτη σειρά. Η κάθε σειρά περιλαμβάνει 4 περισσότερα καθίσματα από την προηγούμενη σειρά. Ποια σχέση αναπαριστά τον αριθμό των καθισμάτων για τη νιοστή σειρά; a (n + 4) b n c (n + 1) d (n - 1) Απαντήσεις: 1c, 2a, 3c, 4a, 5d 20

22 L4: Βασικές πράξεις Θεωρία Το σύνολο των φυσικών αριθμών περιέχεται στο σύνολο των ακέραιων, επομένως οι κανόνες για τις πράξεις με ακέραιους έχουν επίσης εφαρμογή στις πράξεις με φυσικούς αριθμούς. Πρόσθεση Ακέραιων με το Ίδιο Πρόσημο Η πρόσθεση ακεραίων που έχουν το ίδιο πρόσημο γίνεται προσθέτοντας τους δύο αριθμούς διατηρώντας το πρόσημο. Παραδείγματα: Και οι δύο αριθμοί είναι θετικοί οπότε τους προσθέτουμε και ο αριθμός που εκφράζει το άθροισμά τους παραμένει θετικό: 3+7 = 10 Και οι δύο προστιθέμενοι αριθμοί είναι αρνητικοί, οπότε τους προσθέτουμε και διατηρούμε το αρνητικό πρόσημο: 3 + ( 2) = 5 Πρόσθεση Ακέραιων με Διαφορετικά Πρόσημα Η πρόσθεση ακέραιων αριθμών με διαφορετικά πρόσημα γίνεται αγνοώντας τα πρόσημα αρχικά και αφαιρώντας τον μικρότερο αριθμό από τον μεγαλύτερο. Το τελικό άθροισμα θα διατηρήσει το πρόσημο του μεγαλύτερου σε απόλυτη τιμή από τους προστιθέμενους αριθμούς. Παραδείγματα: : Καθώς προσθέτουμε δύο αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα, αγνοούμε τα πρόσημα και μένουμε με το 13 και το 8. Ο αριθμός 13 είναι μεγαλύτερος από το 8 οπότε αφαιρούμε το 8 από το 13 με αποτέλεσμα 5. Από τους δύο προστιθέμενους αριθμούς, το 13 που ήταν ο μεγαλύτερος είχε και αρνητικό πρόσημο, οπότε το τελικό πρόσημο θα είναι αρνητικό. Επομένως, το τελικό άθροισμα είναι 5. Αφαίρεση ακέραιων Όταν αφαιρούμε ακέραιους, πρέπει να αλλάζουμε το πρόσημο των αριθμών που αφαιρούνται και μετά να ακολουθούμε τους κανόνες της πρόσθεσης. Παράδειγμα: 7 ( 13) = = 6 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση των ακέραιων αριθμών Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση ακεραίων είναι παρόμοιοι με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των φυσικών αριθμών. Η μόνη διαφορά είναι ότι στην περίπτωση των ακέραιων αριθμών, πρέπει να προσέχουμε ποιο πρόσημο θα εφαρμόσουμε στο τελικό αποτέλεσμα. Αν τα πρόσημα των αριθμών που πολλαπλασιάζονται ή διαιρούνται είναι ίδια, τότε το αποτέλεσμα θα είναι θετικό. Αν τα πρόσημα είναι διαφορετικά, τότε το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό. 21

23 Παραδείγματα: 3 ( 15) = 45 7 ( 4) = 28 Πράξεις με ρητούς αριθμούς Οι ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα και δεκαδικοί. Επομένως, όταν σας ζητηθεί να κάνετε μια πράξη ανάμεσα σε δύο ή περισσότερα κλάσματα, μπορείτε πρώτα να τα μετατρέψετε σε δεκαδικούς και μετά να κάνετε τις πράξεις. Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών Η πρόσθεση και η αφαίρεση δεκαδικών μοιάζει με την πρόσθεση και την αφαίρεση των ακεραίων αριθμών. Το μόνο που πρέπει να θυμόσαστε είναι να τοποθετήσετε τα ψηφία σωστά. Ο ευκολότερος τρόπος να το κάνετε αυτό είναι παρατάσσοντας τα δεκαδικά ψηφία. Παράδειγμα: 3, 1 7 0, 1 2 3, 0 5 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δεκαδικών Όταν πολλαπλασιάζουμε αριθμούς με δεκαδικούς, πρώτα πρέπει να τους πολλαπλασιάζουμε σαν να είναι ακέραιοι αριθμοί. Μετά, το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων στο αποτέλεσμα ισούται με το άθροισμα του πλήθους των δεκαδικών ψηφίων των αριθμών που πολλαπλασιάζονται. Παράδειγμα: 2, 4 1, , 1 2 Όταν διαιρούμε έναν δεκαδικό αριθμό με έναν ακέραιο αριθμό ξεκινάμε κάνοντας κανονική διαίρεση και μετά βάζουμε την υποδιαστολή στο ίδιο σημείο με τον διαιρετέο (ο αριθμός που διαιρείται). Παράδειγμα: 31, ,7 Όταν διαιρούμε έναν δεκαδικό αριθμό με έναν δεκαδικό αριθμό πρώτα πρέπει να μετατρέψουμε τον αριθμό που διαιρείται σε ακέραιο, μετατοπίζοντας την υποδιαστολή και των δύο αριθμών προς τα δεξιά. 22

24 Παράδειγμα: Για να κάνουμε τη διαίρεση 17,4:0.3 και οι δύο αριθμοί πολλαπλασιάζονται με το 10, οπότε έχουμε την ακόλουθη διαίρεση: 174:3=58. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε κλάσματα, πρέπει να βεβαιωθούμε ότι τα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρανομαστή. Αν δεν έχουν, βρίσκουμε τον ελάχιστο κοινό παρανομαστή (ΕΚΠ) των κλασμάτων και αντικαθιστούμε το καθένα με το ισοδύναμό του. Μετά, απλά προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές των κλασμάτων. Παράδειγμα: = = 5 6 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων Στον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, απλά πολλαπλασιάζουμε μαζί τους αριθμητές και μετά πολλαπλασιάζουμε μαζί τους παρανομαστές. Κατόπιν, αν είναι απαραίτητο απλοποιούμε το αποτέλεσμα. Κατά τη διαίρεση δύο κλασμάτων, παίρνουμε το αντίστροφο του δεύτερου κλάσματος και το πολλαπλασιάζουμε με το πρώτο. Παράδειγμα: 2 3 : 1 5 = = 10 3 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Οι πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ακολουθούν τους κανόνες που αναφέρθηκαν πιο πάνω. Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας πράξης εξαρτάται από το πλαίσιο. Παράδειγμα: Το άθροισμα μπορεί είτε να μείνει ως έχει, είτε να βρούμε την κατά προσέγγιση τιμή του: 1,414+1,732 = 3,

25 Πρόβλημα 1 Προβλήματα Είναι το άθροισμα φυσικός αριθμός; Πρόβλημα 2 Είναι το (-3) (-6):9 ένας ακέραιος; Πρόβλημα 3 Είναι το 1/3 ακέραιος; Πρόβλημα 4 Είναι το 3 ένας άρρητος αριθμός; Πρόβλημα 5 n 5 n Δίνεται η ακολουθία: a n = ( 1) for n = 1, 2, 3, Υπολογίστε τους όρους n 2 +3 a 2, a 3, a 6. Πρόβλημα 6 Υπολογίστε το πέμπτο στοιχείο στην ακολουθία: Πρόβλημα 7 a { 1 = 3 a n+1 = a n + 5n Η τιμή μετοχής της εταιρείας ΑΒC κοστίζει 32 Ευρώ και αυξήθηκε κατά 1,5%. Ποια είναι η τρέχουσα τιμή 100 μετοχών; Πρόβλημα 8 Το μεικτό βάρος ενός προϊόντος είναι 150 kg και το απόβαρο είναι 3 kg. Τι ποσοστό του μεικτού βάρους είναι καθαρό βάρος; Πρόβλημα 9 Για ένα προϊόν του οποίου η αξία είναι 150 Ευρώ πρέπει να πληρώσετε 183 Ευρώ με το ΦΠΑ. Υπολογίστε το ποσοστό του ΦΠΑ. Πρόβλημα 10 Η τιμή μιας μετοχής αυξήθηκε από τα 15,35 στα 16,47 Ευρώ. Υπολογίστε σε τι ποσοστό αυξήθηκε η τιμή της μετοχής. Πρόβλημα 11 Βρείτε τον αριθμό του οποίου το 20% είναι 1,5. Πρόβλημα 12 Ένας εργάτης πήρε αύξηση μισθού 120 Ευρώ το οποίο αποτελεί το 15% του μισθού του. Πόσος ήταν ο μισθός του πριν την αύξηση και πόσο κερδίζει τώρα; 24

26 Πρόβλημα 13 Ένας πελάτης παρήγγειλε ατσάλινους κυλίνδρους από μια εταιρεία. Το μήκος της μεταλλικής επιφάνειας από την οποία κόπηκαν οι κύλινδροι είναι 2000 mm, και το πάχος τους είναι 100 mm. Το μήκος ενός κυλίνδρου είναι 240 mm και η διάμετρός του είναι ίση με το πάχος της μεταλλικής επιφάνειας (ρ = 7,85 kg/dm 3 ). Πόσα φορτηγά χρειάζονται προκειμένου να μεταφερθούν τα υλικά που παρήγγειλε ο πελάτης; Ο συνολικός όγκος του μεταφορικού οχήματος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από 40 t, το βάρος ενός άδειου φορτηγού είναι περίπου 20 t. 10 κύλινδροι είναι συσκευασμένοι σε ένα κιβώτιο το οποίο ζυγίζει 20 kg. Πρόβλημα 14 Μια εταιρεία που παράγει ατσάλινους κυλίνδρους μεταφέρει τα υλικά με χρέωση. Πόσο θα πληρώσει ένας πελάτης για κυλίνδρους και πόσο θα κερδίσει η εταιρεία από τον πελάτη; Η εταιρεία του πελάτη βρίσκεται σε απόσταση 200 km από την εταιρεία. Το κόστος μεταφοράς με ένα φορτηγό είναι 80 ευρώ την ώρα. Το κόστος παραγωγής ενός κυλίνδρου είναι 53 ευρώ. Το περιθώριο κέρδους ανέρχεται στο 10% για έναν κύλινδρο. Πρόβλημα 15 Ένα από τα πρώτα πράγματα που πρέπει να κάνουμε όταν παράγουμε ένα μηχανικό αντικείμενο είναι να υπολογίσουμε το κόστος για να εξασφαλίσουμε ότι είναι βιώσιμη η κατασκευή του. Το κόστος των υλικών, το κόστος κατασκευής, και ο χρόνος που απαιτείται για να κατασκευαστεί πρέπει να ληφθούν υπόψη. Ένας πελάτης αεροδιαστημικής εταιρείας απαιτεί μια παρτίδα μηχανικά διαφορικά. Ένας ψηφιακά ελεγχόμενος τόρνος (CNC) χρησιμοποιείται για την κατασκευή αεροδιαστημικών εξαρτημάτων: Το κόστος λειτουργίας μιας CNC μηχανής σε ένα εργαστήριο μηχανουργίας είναι την ώρα. Η κατασκευή των διαφορικών στη μηχανή απαιτεί 5 λεπτά. Το κόστος υλικού για το κάθε τμήμα είναι Πόσο στοιχίζει η κατασκευή του κάθε εξαρτήματος αν ληφθούν υπόψη το κόστος των υλικών και ο χρόνος κατασκευής; 25

27 2. Ο πελάτης απαιτεί μια δεσμίδα των 500, ποια είναι η τιμή μιας πλήρους δεσμίδας; 3. Όταν ο πελάτης πληροφορείται την παραπάνω εκτίμηση θεωρεί ότι πρέπει να πάρει 15% έκπτωση. Τι τιμή θα χρεωθεί στον πελάτη μετά την έκπτωση; Πρόβλημα 16 Ένας ψηφιακά ελεγχόμενος τόρνος (CNC) χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός εξαρτήματος αεροδιαστημικής: Το διαφορικό έχει μήκος 240 mm Κάθε αντικείμενο είναι κομμένο από μια ράβδο με μήκος 2000 mm με ένα περιθώριο 5 mm για κάθε κοπή. Στο Εργοστάσιο I: Το κόστος λειτουργίας της μηχανής CNC σε ένα εργαστήριο μηχανικής είναι 36,00 την ώρα Το διαφορικό απαιτεί 5 λεπτά για να φτιαχτεί στη μηχανή Το κόστος υλικού για κάθε αντικείμενο είναι 50 Στο Εργοστάσιο II: Το κόστος λειτουργίας της μηχανής CNC σε ένα εργαστήριο μηχανικής είναι 34,00 την ώρα Το διαφορικό απαιτεί 6 λεπτά για να φτιαχτεί στη μηχανή Το κόστος υλικών για κάθε αντικείμενο είναι 49. Ένας πελάτης θέλει να αγοράσει 1000 εξαρτήματα. Ποια προσφορά πρέπει να επιλέξει; Πρόβλημα 17 Ένας ψηφιακά ελεγχόμενος τόρνος (CNC) χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός εξαρτήματος αεροδιαστημικής και γνωρίζουμε ότι ένα διαφορικό απαιτεί 5 λεπτά για να κατασκευαστεί στη μηχανή. 26

28 Η παραγωγικότητα ενός χειριστή τόρνου CNC μειώνεται κατά 5% ανά ώρα από τη στιγμή που ξεκινάει την εργασία (ο εργάτης παράγει 5% λιγότερα αντικείμενα σε σχέση με μια ώρα νωρίτερα). Είναι δυνατό να παράγει 50 διαφορικά σε διάστημα 8 ωρών εργασίας; Πρόβλημα 18 Ένας ψηφιακά ελεγχόμενος τόρνος (CNC) χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός εξαρτήματος αεροδιαστημικής: Το κόστος λειτουργίας της μηχανής CNC σε ένα εργαστήριο μηχανουργίας είναι 36,00 ανά 60 min. Το διαφορικό απαιτεί 5 λεπτά για να φτιαχτεί στη μηχανή Το κόστος υλικών για το κάθε αντικείμενο είναι 50 Το διαφορικό έχει μήκος 24 cm Κάθε αντικείμενο κόβεται από μια ράβδο μήκους 2 m με περιθώριο 0,5 cm ανά κοπή. a) Πόσα διαφορικά θα παραχθούν στη διάρκεια μιας ώρας από τη μηχανή; b) Ποιο είναι το κόστος παραγωγής ενός εξαρτήματος από τη μηχανή; c) Ποιο είναι το συνολικό κόστος παραγωγής ενός εξαρτήματος; d) Ποιο θα είναι το κόστος για έναν πελάτη που παραγγέλνει 500 εξαρτήματα; e) Πόσο θα πληρώσει εάν λάβει έκπτωση 15%; f) Πόσα διαφορικά θα κατασκευάσει η μηχανή από μια ράβδο; g) Πόσο υλικό από την πρώτη ύλη θα περισσέψει από την κάθε ράβδο; 27

29 h) Τι μέρος του συνολικού υλικού αποτελεί η πρώτη ύλη που θα περισσέψει από την κάθε ράβδο; Πρόβλημα 19 Ένας ψηφιακά ελεγχόμενος τόρνος (CNC) χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός εξαρτήματος αεροδιαστημικής: Το κόστος λειτουργίας του CNC τόρνου σε ένα εργαστήριο μηχανουργίας είναι 36,00 για 60 min. Το διαφορικό παίρνει 5 λεπτά να φτιαχτεί στη μηχανή Το κόστος υλικών για κάθε αντικείμενο είναι 50 Το διαφορικό έχει μήκος 24 cm Κάθε εξάρτημα κόβεται από μια ράβδο μήκους 2 m με περιθώριο 0,5 cm για κάθε κοπή. Ένας πελάτης παρήγγειλε διαφορικά παραδοτέα εντός 10 ημερών. Συνήθως 2% των προϊόντων δεν πληρούν τις προδιαγραφές ποιότητας. a) Υπολογίστε πόσα διαφορικά πρέπει να κατασκευάσει ο παραγωγός για να ανταποκριθεί στις προσδοκίες του πελάτη. b) Υπολογίστε τον ελάχιστο αριθμό μηχανών που πρέπει να κινηθούν για να προχωρήσει η παραγγελία χωρίς καθυστέρηση, εάν η εταιρεία υιοθετεί το σύστημα των 4 βαρδιών (συνεχής λειτουργία των μηχανών, 7 ημέρες/την εβδομάδα, 24 ώρες) 28

30 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Απάντηση: Ναι, είναι. Πρόβλημα 2 Απάντηση: Ναι, είναι. Πρόβλημα 3 Απάντηση: Ναι, είναι. Πρόβλημα 4 Απάντηση: Ναι, είναι. Πρόβλημα 5 Λύση: a 2 = ( 1) = 3 7 a 3 = 1 6 a 6 = 1 39 Πρόβλημα 6 Λύση: a 2 = a = = 8 a 3 = a = 18 a 4 = a = 33 a 5 = a = 53 Πρόβλημα 7 Λύση: 1,5% του 32 = 0, = 0, ,48 = 32,48 ευρώ η τιμή 1 μετοχής μετά την αύξηση ,48 = 3248 ευρώ Πρόβλημα 8 Λύση: = 147 kg καθαρό βάρος = = = 98% 29

31 Πρόβλημα 9 Λύση: = 33 ευρώ 33 = 11 = 22 = 22% - ΦΠΑ Πρόβλημα 10 Λύση: 16,47 15,35 = 1,12 ευρώ 1,12 100% 7,3% 15,35 Πρόβλημα 11 Λύση: Έστω x ο ζητούμενος αριθμός 20% x = 1,5 1 x = 1,5 5 x = 7,5. Πρόβλημα 12 Λύση: x ο μισθός πριν την αύξηση 15% x η αύξηση 120 η αύξηση 15% x = 120 0,15 x = 120 x = 800. Ο εργάτης κερδίζει τώρα = 920 ευρώ. Πρόβλημα 13 Λύση: Το βάρος φορτίου είναι = 20 t. 1 κύλινδρος ζυγίζει 14,91 kg. Θα χρειαστούμε 1000 κιβώτια ( : 10). Το συνολικό βάρος ενός κιβωτίου 10 κυλίνδρων είναι 149,10 kg +20 kg = 169,10 kg : 169,10 118,27 Ένα φορτηγό μπορεί να φορτωθεί με 118 κιβώτια : 118 8,47 Χρειαζόμαστε 9 φορτηγά. 30

32 Πρόβλημα 14 Λύση: Ο πελάτης θα πληρώσει ,3 = 58,3 ευρώ για κάθε κύλινδρο ,3 = ευρώ για κυλίνδρους. Ο πελάτης θα πληρώσει ευρώ Ο μέσος χρόνος για μια απόσταση 200 km (αν η μέση ταχύτητα είναι 60 km/h) υπολογίζεται σε 3h 20 min. Το κόστος μεταφοράς για 1 φορτηγό είναι ,67 8 = ευρώ για 8 φορτηγά. 80 = = Η εταιρεία κερδίζει 5,3 ευρώ για κάθε κύλινδρο, ευρώ για κυλίνδρους ,36 = ,64 ευρώ Η εταιρεία θα κερδίσει ,64 ευρώ. Πρόβλημα 15 Λύση: 1. Κόστος μηχανουργίας = 36/ώρα Ένα διαφορικό = 5 λεπτά 266,67 ευρώ Ο χρόνος κατασκευής του ενός = 60/5 = 12λεπτά, 36/12 = 3,00 το διαφορικό 2. Κόστος υλικού = 50, επομένως, συνολικό κόστος = = 53. Αν ο πελάτης απαιτεί 500, τότε 500 x 53 = Για να γίνει έκπτωση 15% = x 15/100 = 3975 Πρόβλημα 16 Λύση: Εργοστάσιο I: = Χρόνος παραγωγής 5 λεπτά. Η ποσότητα των εξαρτημάτων που παράγονται σε μια ώρα 60min 5min = 12 Το κόστος παραγωγής ενός διαφορικού ανά μηχάνημα = 3 Κόστος υλικού 50 Συνολικό κόστος παραγωγής ενός διαφορικού = 53 Τιμή 1000 εξαρτημάτων = Εργοστάσιο II: Χρόνος παραγωγής 6 min. 31

33 Η ποσότητα των εξαρτημάτων που παράγονται σε μια ώρα 60min 6min = 10 Το κόστος παραγωγής ενός διαφορικού ανά μηχάνημα = 3,4 Κόστος υλικού 50 Συνολικό κόστος παραγωγής ενός διαφορικού ,4 = 52,4 Τιμή 1000 αντικειμένων ,4 = Η προσφορά του Εργοστασίου II είναι προτιμητέα. Πρόβλημα 17 Λύση: 1 ώρα εργασίας 60min 5min = 12 (12 διαφορικά παράγονται) 2 ώρες εργασίας 95% 12 = 11,4 (11 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 23) 3 ώρες εργασίας 90% 11 = 9,9 (9 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 32) 4 ώρες εργασίας 85% 9 = 7,65 (7 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 39) 5 ώρες εργασίας 80% 7 = 5,6 (5 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 44) 6 ώρες εργασίας 75% 5 = 3,75 (3 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 47) 7 ώρες εργασίας 70% 3 = 2,1 (2 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 49) 8 ώρες εργασίας 65% 2 = 1,3 (1 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 50) Ο εργάτης είναι σε θέση να κατασκευάσει 50 διαφορικά. Πρόβλημα 18 Λύση: a) 5/60 της ώρας = 5 min. 60min /5 min = 12 κομμάτια b) 36,00 / 12 = 3 c) = 53 d) = e) 15 % = 15/ /100 = = f) 2 m = 200 cm 200 cm / 24 cm = τεμάχια g) 8 τεμάχια 24 cm =192 cm - υλικό χρησιμοποιημένο για τα διαφορικά 200 cm 192 cm = 8 cm - το υπόλοιπο υλικό μαζί με 0.5 ανοχή cm = 4 cm 8 cm 4 cm = 4 cm το υπόλοιπο από μια μπάρα h) 40 mm /2000 mm = 1/50 = 0.02 από το σύνολο του υλικού Πρόβλημα 19 32

34 Λύση: a) % = = η ποσότητα των διαφορικών για παραγωγή σύμφωνα με τις προδιαγραφές ποιότητας b) Σε μια ώρα από μια μηχανή: 60min/5min = 12 τεμάχια Σε 24 ώρες από μια μηχανή: = 288 τεμάχια Σε 10 ημέρες από μια μηχανή: = 2880 Η ποσότητα των μηχανών που απαιτούνται: 10200/2880 = μηχανές πρέπει να τεθούν σε λειτουργία. 33

35 Προβλήματα 1-2 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υποπεδία Το αριθμητικό σύστημα Βασικές πράξεις Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών αριθμητικών αρχών Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα 3-4 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υποπεδία Το αριθμητικό σύστημα Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών αριθμητικών αρχών Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα 5-6 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υποπεδία Αριθμητικές ακολουθίες και μοτίβα Βασικές πράξεις Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα 7-12 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υποπεδία Δεκαδικοί, κλάσματα, αναλογίες Βασικές πράξεις Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 13 Χώρος και σχήμα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικά πεδία μετρήσεων Ποσότητα Μαθηματικά υποπεδία 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Βασικές λειτουργίες Τύποι/δεδομένα Πυκνότητα ατσαλιού ρ = 7,85 kg/dm 3 όγκος κυλίνδρου: V = πr 2 h Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπου Μετατροπή μονάδων Επίπεδο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, αγοραστής Πρόβλημα 14 34

36 Μαθηματικά πεδία Μαθηματικά υποπεδία Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Χώρος και σχήμα, συμπεριλαμβανομένων των μετρήσεων Ποσότητα 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Βασικές πράξεις Εκτέλεση απλών πράξεων Κοστολόγηση έργου Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, Αγοραστής Πρόβλημα 15 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υπό-πεδία Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ ρόλος Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υπό-πεδία Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Βασικές πράξεις Δεκαδικά κλάσματα και αναλογίες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση μοντέλων αναλογίας Κοστολόγηση έργου Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική Υποστήριξη, Σχεδιαστής Βασικές πράξεις Δεκαδικά κλάσματα και αναλογίες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση μοντέλων αναλογιών Κοστολόγηση έργου Επίπεδο 2 Επαγγελματική ειδικότητα/ Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική ρόλος Υποστήριξη, Σχεδιαστής 35

37 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Το αποτέλεσμα της πράξης π + 3π είναι ένας: 2 2 a. Φυσικός αριθμός b. Ρητός αριθμός c. Πραγματικός αριθμός d. Δεν μπορεί να προσδιορισθεί 2. Το αποτέλεσμα της πράξης 3-a, όπου το α είναι ένας ακέραιος αριθμός, είναι πάντα ακέραιος. a. Σωστό b. Λάθος 3. Σε ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε το 1/3 για να έχουμε αποτέλεσμα 2/5; a. 1/2 b. 1/3 c. 1/5 d. Κανένα από τα παραπάνω 4. Ποιος από τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς οδηγεί στο μεγαλύτερο γινόμενο; a b c d Ποια από τις παρακάτω διαιρέσεις έχει το μικρότερο πηλίκο; a. 2:π b. 3:π c. π:2 d. π:3 Απαντήσεις: 1c, 2a, 3d, 4c, 5a 36

38 L5: Δεκαδικοί, κλάσματα, ποσοστά Θεωρία «Ποσοστό» σημαίνει στην ουσία «επί τοις εκατό». Αυτή η έννοια μπορεί να χρησιμοποιηθεί, παράλληλα με την ιδέα ότι τα κλάσματα δηλώνουν διαίρεση, για τη μετατροπή μεταξύ κλασμάτων, ποσοστών και δεκαδικών. Ποσοστό ως δεκαδικός Πρέπει απλά να μετακινήσουμε την υποδιαστολή δύο θέσεις αριστερά. Παραδείγματα: 23% = 0,23 103% = 1,03 0,1% = 0,001 Ποσοστό και δεκαδικός ως κλάσμα Επικαλούμαστε την ιδέα ότι «ποσοστό» σημαίνει «επί τοις εκατό», επομένως μετατρέπουμε το ποσοστό σε δεκαδικό, και στη συνέχεια σε κλάσμα. Παραδείγματα 30% = 0,30 = 0,3 = ,5% = 0,125 = = 1 8 Δεκαδικός ως Ποσοστό Μετακινούμε την υποδιαστολή δύο θέσεις δεξιά. Παραδείγματα: 0,29 = 29% 1,74 = 174% 0,0014 = 0,14% Κλάσμα ως δεκαδικός και ποσοστό Θυμόμαστε ότι τα κλάσματα δηλώνουν διαίρεση, επομένως το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε είναι αυτή τη διαίρεση. Στη συνέχεια, αν είναι απαραίτητο μετατρέπουμε τον δεκαδικό σε ποσοστό ακολουθώντας τη διαδικασία που αναφέρθηκε προηγουμένως. Παραδείγματα: = 3: 4 = 0,75 = 1: 3 = 0,33333 = 0, 3 Υπολογισμοί ποσοστών 1) Υπολογισμός του ποσοστού ενός αριθμού 37

39 Παράδειγμα: 15% του 60 = 15% 60 = 0,15 60 = 9 2) Υπολογισμός του τι ποσοστό ενός αριθμού είναι ένας αριθμός Παράδειγμα: Τι ποσοστό του αριθμού 20 είναι ο αριθμός 5; Πρώτα, μπορούμε να βρούμε τι κλάσμα του αριθμού 20 αποτελεί ο αριθμός 5: 5 20 = 5 100% = 25% 20 3) Σε τι ποσοστό ένας αριθμός αυξάνεται/μειώνεται Παράδειγμα: Η τιμή των πορτοκαλιών στη λαϊκή αγορά είναι 1,50 ευρώ και στο μανάβικο 2 ευρώ το κιλό. a) Σε τι ποσοστό τα πορτοκάλια είναι φθηνότερα στην λαϊκή αγορά σε σύγκριση με την τιμή τους στο μανάβικο; 2-1,50 = 0,50 η διαφορά στις τιμές 0,50 100% = 25% 2 b) Σε τι ποσοστό είναι τα πορτοκάλια πιο ακριβά στο μανάβικο σε σύγκριση με την λαϊκή αγορά; 0,50 100% = 33, (3)% 1,50 Σημειώστε ότι το ποσοστό είναι υψηλότερο στη δεύτερη περίπτωση γιατί κάνουμε τη σύγκριση με την μικρότερη τιμή. 4) Υπολογισμός ενός αριθμού όταν δίνεται το ποσοστό του Παράδειγμα: Βρείτε τον αριθμό του οποίου το 25% ισούται με 35. Έστω x ο ζητούμενος αριθμός 25% x = 35 1 x = 35 4 x =

40 Πρόβλημα 1 Προβλήματα Η τιμή μετοχής της εταιρείας ΑΒC κοστίζει 32 ευρώ και αυξήθηκε κατά 1,5%. Ποια είναι η τρέχουσα τιμή 100 μετοχών; Πρόβλημα 2 Το μεικτό βάρος ενός προϊόντος είναι 150 kg και το απόβαρο είναι 3 kg. Τι ποσοστό του μεικτού βάρους είναι καθαρό βάρος; Πρόβλημα 3 Για ένα προϊόν του οποίου η αξία είναι 150 ευρώ πρέπει να πληρώσετε 183 Ευρώ με το ΦΠΑ. Υπολογίστε το ποσοστό του ΦΠΑ. Πρόβλημα 4 Η τιμή μιας μετοχής αυξήθηκε από τα 15,35 στα 16,47 ευρώ. Υπολογίστε σε τι ποσοστό αυξήθηκε η τιμή της μετοχής. Πρόβλημα 5 Βρείτε τον αριθμό του οποίου το 20% είναι 1,5. Πρόβλημα 6 Ένας εργάτης πήρε αύξηση μισθού 120 ευρώ το οποίο αποτελεί το 15% του μισθού του. Πόσος ήταν ο μισθός του πριν την αύξηση και πόσο κερδίζει τώρα; Πρόβλημα 7 Ένα από τα πρώτα πράγματα που πρέπει να κάνουμε όταν παράγουμε ένα μηχανικό αντικείμενο είναι να υπολογίσουμε το κόστος για να εξασφαλίσουμε ότι είναι βιώσιμη η κατασκευή του. Το κόστος των υλικών, το κόστος κατασκευής, και ο χρόνος που απαιτείται για να κατασκευαστεί πρέπει να ληφθούν υπόψη. Ένας πελάτης αεροδιαστημικής εταιρείας απαιτεί μια παρτίδα μηχανικά διαφορικά. Ένας ψηφιακά ελεγχόμενος τόρνος (CNC) χρησιμοποιείται για την κατασκευή αεροδιαστημικών εξαρτημάτων: Το κόστος λειτουργίας μιας CNC μηχανής σε ένα εργαστήριο μηχανουργίας είναι την ώρα. Η κατασκευή των διαφορικών στη μηχανή απαιτεί 5 λεπτά. Το κόστος υλικού για το κάθε τμήμα είναι

41 1. Πόσο στοιχίζει η κατασκευή του κάθε εξαρτήματος αν ληφθούν υπόψη το κόστος των υλικών και ο χρόνος κατασκευής; 2. Ο πελάτης απαιτεί μια δεσμίδα των 500, ποια είναι η τιμή μιας πλήρους δεσμίδας; 3. Όταν ο πελάτης πληροφορείται την παραπάνω εκτίμηση θεωρεί ότι πρέπει να πάρει 15% έκπτωση. Τι τιμή θα χρεωθεί στον πελάτη μετά την έκπτωση; Πρόβλημα 8 Ένας ψηφιακά ελεγχόμενος τόρνος (CNC) χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός εξαρτήματος αεροδιαστημικής: Το διαφορικό έχει μήκος 240 mm Κάθε αντικείμενο είναι κομμένο από μια ράβδο με μήκος 2000 mm με ένα περιθώριο 5 mm για κάθε κοπή. Στο Εργοστάσιο I: Το κόστος λειτουργίας της μηχανής CNC σε ένα εργαστήριο μηχανικής είναι 36,00 την ώρα Το διαφορικό απαιτεί 5 λεπτά για να φτιαχτεί στη μηχανή Το κόστος υλικού για κάθε αντικείμενο είναι 50 Στο Εργοστάσιο II: Το κόστος λειτουργίας της μηχανής CNC σε ένα εργαστήριο μηχανικής είναι 34,00 την ώρα Το διαφορικό απαιτεί 6 λεπτά για να φτιαχτεί στη μηχανή 40

42 Το κόστος υλικών για κάθε αντικείμενο είναι 49. Ένας πελάτης θέλει να αγοράσει 1000 εξαρτήματα. Ποια προσφορά πρέπει να επιλέξει; Πρόβλημα 9 Ένας ψηφιακά ελεγχόμενος τόρνος (CNC) χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός εξαρτήματος αεροδιαστημικής και γνωρίζουμε ότι ένα διαφορικό απαιτεί 5 λεπτά για να κατασκευαστεί στη μηχανή. Η παραγωγικότητα ενός χειριστή τόρνου CNC μειώνεται κατά 5% ανά ώρα από τη στιγμή που ξεκινάει την εργασία (ο εργάτης παράγει 5% λιγότερα αντικείμενα σε σχέση με μια ώρα νωρίτερα). Είναι δυνατό να παράγει 50 διαφορικά σε διάστημα 8 ωρών εργασίας; Πρόβλημα 10 Ένας ψηφιακά ελεγχόμενος τόρνος (CNC) χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός εξαρτήματος αεροδιαστημικής: Το κόστος λειτουργίας της μηχανής CNC σε ένα εργαστήριο μηχανουργίας είναι 36,00 ανά 60 min. Το διαφορικό απαιτεί 5 λεπτά για να φτιαχτεί στη μηχανή Το κόστος υλικών για το κάθε αντικείμενο είναι 50 Το διαφορικό έχει μήκος 24 cm Κάθε αντικείμενο κόβεται από μια ράβδο μήκους 2 m με περιθώριο 0,5 cm ανά κοπή. 41

43 a) Πόσα διαφορικά θα παραχθούν στη διάρκεια μιας ώρας από τη μηχανή; b) Ποιο είναι το κόστος παραγωγής ενός εξαρτήματος από τη μηχανή; c) Ποιο είναι το συνολικό κόστος παραγωγής ενός εξαρτήματος; d) Ποιο θα είναι το κόστος για έναν πελάτη που παραγγέλνει 500 εξαρτήματα; e) Πόσο θα πληρώσει εάν λάβει έκπτωση 15%; f) Πόσα διαφορικά θα κατασκευάσει η μηχανή από μια ράβδο; g) Πόσο υλικό από την πρώτη ύλη θα περισσέψει από την κάθε ράβδο; h) Τι μέρος του συνολικού υλικού αποτελεί η πρώτη ύλη που θα περισσέψει από την κάθε ράβδο; Πρόβλημα 11 Ένας ψηφιακά ελεγχόμενος τόρνος (CNC) χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός εξαρτήματος αεροδιαστημικής: Το κόστος λειτουργίας του CNC τόρνου σε ένα εργαστήριο μηχανουργίας είναι 36,00 για 60 min. Το διαφορικό παίρνει 5 λεπτά να φτιαχτεί στη μηχανή Το κόστος υλικών για κάθε αντικείμενο είναι 50 Το διαφορικό έχει μήκος 24 cm Κάθε εξάρτημα κόβεται από μια ράβδο μήκους 2 m με περιθώριο 0,5 cm για κάθε κοπή. Ένας πελάτης παρήγγειλε διαφορικά παραδοτέα εντός 10 ημερών. Συνήθως 2% των προϊόντων δεν πληρούν τις προδιαγραφές ποιότητας. a) Υπολογίστε πόσα διαφορικά πρέπει να κατασκευάσει ο παραγωγός για να ανταποκριθεί στις προσδοκίες του πελάτη. b) Υπολογίστε τον ελάχιστο αριθμό μηχανών που πρέπει να κινηθούν για να προχωρήσει η παραγγελία χωρίς καθυστέρηση, εάν η εταιρεία υιοθετεί το σύστημα των 4 βαρδιών (συνεχής λειτουργία των μηχανών, 7 ημέρες/την εβδομάδα, 24 ώρες) 42

44 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Λύση: 1,5% του 32 = 0, = 0, ,48 = 32,48 ευρώ η τιμή 1 μετοχής μετά την αύξηση ,48 = 3248 ευρώ Πρόβλημα 2 Λύση: = 147 kg καθαρό βάρος = = = 98% Πρόβλημα 3 Λύση: = 33 ευρώ 33 = 11 = 22 = 22% - ΦΠΑ Πρόβλημα 4 Λύση: 16,47 15,35 = 1,12 ευρώ 1,12 100% 7,3% 15,35 Πρόβλημα 5 Λύση: Έστω x ο ζητούμενος αριθμός 20% x = 1,5 1 x = 1,5 5 x = 7,5. Πρόβλημα 6 Λύση: x ο μισθός πριν την αύξηση 15% x η αύξηση 120 η αύξηση 15% x = 120 0,15 x =

45 x = 800. Ο εργάτης κερδίζει τώρα = 920 ευρώ. Πρόβλημα 7 Λύση: 1. Κόστος μηχανουργίας = 36/ώρα Ένα διαφορικό = 5 λεπτά Ο χρόνος κατασκευής του ενός = 60/5 = 12λεπτά, 36/12 = 3,00 το διαφορικό 2. Κόστος υλικού = 50, επομένως, συνολικό κόστος = = 53. Αν ο πελάτης απαιτεί 500, τότε 500 x 53 = Για να γίνει έκπτωση 15% = x 15/100 = 3975 Πρόβλημα 8 Λύση: Εργοστάσιο I: = Χρόνος παραγωγής 5 λεπτά. Η ποσότητα των εξαρτημάτων που παράγονται σε μια ώρα 60min 5min = 12 Το κόστος παραγωγής ενός διαφορικού ανά μηχάνημα = 3 Κόστος υλικού 50 Συνολικό κόστος παραγωγής ενός διαφορικού = 53 Τιμή 1000 εξαρτημάτων = Εργοστάσιο II: Χρόνος παραγωγής 6 min. Η ποσότητα των εξαρτημάτων που παράγονται σε μια ώρα 60min 6min = 10 Το κόστος παραγωγής ενός διαφορικού ανά μηχάνημα = 3,4 Κόστος υλικού 50 Συνολικό κόστος παραγωγής ενός διαφορικού ,4 = 52,4 Τιμή 1000 αντικειμένων ,4 = Η προσφορά του Εργοστασίου II είναι προτιμητέα. Πρόβλημα 9 44

46 Λύση: 1 ώρα εργασίας 60min 5min = 12 (12 διαφορικά παράγονται) 2 ώρες εργασίας 95% 12 = 11,4 (11 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 23) 3 ώρες εργασίας 90% 11 = 9,9 (9 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 32) 4 ώρες εργασίας 85% 9 = 7,65 (7 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 39) 5 ώρες εργασίας 80% 7 = 5,6 (5 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 44) 6 ώρες εργασίας 75% 5 = 3,75 (3 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 47) 7 ώρες εργασίας 70% 3 = 2,1 (2 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 49) 8 ώρες εργασίας 65% 2 = 1,3 (1 διαφορικά παράγονται, το σύνολο είναι 50) Ο εργάτης είναι σε θέση να κατασκευάσει 50 διαφορικά. Πρόβλημα 10 Λύση: a) 5/60 της ώρας = 5 min. 60min /5 min = 12 κομμάτια b) 36,00 / 12 = 3 c) = 53 d) = e) 15 % = 15/ /100 = = f) 2 m = 200 cm 200 cm / 24 cm = τεμάχια g) 8 τεμάχια 24 cm =192 cm - υλικό χρησιμοποιημένο για τα διαφορικά 200 cm 192 cm = 8 cm - το υπόλοιπο υλικό μαζί με 0,5 ανοχή 8 0,5 cm = 4 cm 8 cm 4 cm = 4 cm το υπόλοιπο από μια μπάρα h) 40 mm /2000 mm = 1/50 = 0,02 από το σύνολο του υλικού Πρόβλημα 11 Λύση: a) % = = η ποσότητα των διαφορικών για παραγωγή σύμφωνα με τις προδιαγραφές ποιότητας b) Σε μια ώρα από μια μηχανή: 60min/5min = 12 τεμάχια Σε 24 ώρες από μια μηχανή: = 288 τεμάχια Σε 10 ημέρες από μια μηχανή: = 2880 Η ποσότητα των μηχανών που απαιτούνται: 10200/2880 = μηχανές πρέπει να τεθούν σε λειτουργία. 45

47 Προβλήματα 1-6 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υποπεδία Δεκαδικοί, κλάσματα, αναλογίες Βασικές πράξεις Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 7 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικό υπό-πεδίο Βασικές πράξεις Δεκαδικά κλάσματα και αναλογίες Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ ρόλος Προβλήματα 8-11 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικά υπό-πεδία Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 2 Επαγγελματική ειδικότητα/ ρόλος Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση μοντέλων αναλογίας Κοστολόγηση έργου Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική Υποστήριξη, Σχεδιαστής Βασικές πράξεις Δεκαδικά κλάσματα και αναλογίες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση μοντέλων αναλογιών Κοστολόγηση έργου Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική Υποστήριξη, Σχεδιαστής 46

48 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Αν αυξήσουμε το ποσό των 35 ευρώ κατά 100%, το ποσό θα γίνει: a. 350 ευρώ b. 70 ευρώ c. 135 ευρώ d. Κανένα από τα παραπάνω 2. Η τιμή μιας μετοχής αυξήθηκε από 12,25 σε 15,55 Ευρώ. Υπολογίστε το ποσοστό αύξησης της τιμής της μετοχής. a. Περίπου 27% b. Περίπου 13% c. Περίπου 3% d. Κανένα από τα παραπάνω 3. Το 17,5% ισούται με 0,175. Σωστό ή Λάθος; a. Σωστό b. λάθος 4. Ένα προϊόν έχασε το μισό της αξίας του τους τελευταίους μήνες. Με άλλα λόγια: a. Μειώθηκε κατά 1/2% b. Μειώθηκε κατά 25% c. Μειώθηκε κατά 50% d. Μειώθηκε κατά 100% 5. Ποιο από τα ακόλουθα ισούται με 3/5; a. 60% b. 35% c. 3.5% d. Κανένα από τα παραπάνω Απαντήσεις 1b, 2a, 3a, 4c, 5a 47

49 L6: Νοεροί υπολογισμοί Θεωρία Οι νοεροί υπολογισμοί είναι αριθμητικοί υπολογισμοί που κάνουμε χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανής, ή γραπτών πράξεων. Δύο σημαντικά χαρακτηριστικά των νοερών υπολογισμών είναι ότι οι αριθμοί προσεγγίζονται ως ποσότητες παρά ως ψηφία και ότι υπολογισμοί που φαίνονται παρόμοιοι μπορεί να υπόκεινται στη χρήση διαφορετικών στρατηγικών ανάλογα με τους αριθμούς που εμπλέκονται. Παραδείγματα: Το = 14 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσουμε νοερά άλλα αποτελέσματα: 7+ 6, 7 + 8, , , Το 8 4 = 32 μπορεί να βοηθήσει να υπολογίσουμε το 16 4 διπλασιάζοντας. Το 36 : 3 = 12 βοηθά στον υπολογισμό του 66 : 3 χωρίζοντας το 66 σε και χρησιμοποιώντας τη γνώση του 36 : 3 και 30 : 3 για να βρούμε το αποτέλεσμα κάνει 91 (διπλασιάζοντας το 45 σαν 1) (σχεδόν διπλά) κάνει 56 συν 30 (86) συν 4 (90) συν 1, δίνει 91 (χωρίζοντας τον μικρότερο αριθμό και μετά φτάνοντας έως το 10) κάνει 80 (40 συν 40) συν 15 (γνωρίζοντας ως δεδομένο: = 15), μας δίνει 95. Διαφορετικές στρατηγικές: 1) Μετρώντας προς τις δύο κατευθύνσεις: Παραδείγματα: από το μετράμε 2 έως το 80 μετά 3 έως το μετράμε πίσω κατά δεκάδες από το 76 ή μετράμε σε δεκάδες μετράμε κατά εκατοντάδες από το μετράμε αντίστροφα κατά εκατοντάδες από το 860 ή μετράμε κατά εκατοντάδες από το ½ + ¾ μετράμε κατά τέταρτα 1,6 + 0,5 μετράμε κατά δέκατα 2) Αναδιάταξη: Παραδείγματα: = = ,6 + 5,8 + 2,4 = 4,6 + 2,4 + 5,8 9,7 + 4,6 6,7 = 9,7 6,7 + 4,6 3,8 + 2,5 1,8 = 3,8 1,8 + 2,5 48

50 3) Διαχωρισμός 1 Χωρίζοντας τα πολλαπλάσια του 10 και 100 Παραδείγματα: = = ,6 + 2,7 = 4, ,7 = 6,6 + 0,7 4) Διαχωρισμός 2 Γεφυρώνοντας μεταξύ πολλαπλασίων του 10 Παραδείγματα: 4,8 + 1,6 = 4,8 + 0,2 + 1,4 6,6 + 2,5 = 6,6 + 0,4 + 2, = ) Διαχωρισμός 3 Υπόλοιπα Παραδείγματα: = = = ½ + 1 ¾ = 3 ½ + 2 ¼ 5,7 + 3,9 = 5,7 + 4,0 0,1 6) Διαχωρισμός 4 Χρησιμοποιώντας «κοντινά» διπλάσια Παραδείγματα: είναι διπλάσιο του 45 συν είναι διπλάσιο του 250 συν 10 και μετά συν 20, ή διπλάσιο του 260 συν 10, ή διπλάσιο του 270 αφαιρώντας το είναι διπλάσιο του 300 αφαιρώντας μετά δύο φορές το 20 2,5 + 2,6 είναι διπλάσιο του 2,5 συν 0,1 ή διπλάσιο του 2,6 συν 0, είναι διπλάσιο του 500 συν 21 και μετά αφαιρούμε 13 7) Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με πολλαπλάσια του 10 Παραδείγματα: = = : 10 = : 100 = ,4 10 = ,2 : 100 = 8,762 49

51 8) Διπλασιάζοντας και διαιρώντας στο μισό Παραδείγματα: 24 5 = : = = = : 2 Μισό του 840 = 420 Τέταρτο του 84 = Μισό του μισού του = 70 x = = % των 25 = 10% των = : 4 = (16 : 4) 100 1,8 : 2 = 0,9 50

52 Προβλήματα Πρόβλημα 1 1. Γνωρίζοντας ότι = 40, υπολογίστε τα 52 13, 51 12, Υπολογίστε χρησιμοποιώντας διάφορες στρατηγικές τα: 81 4, 81 61, 81 42, 81 78, Πρόβλημα 2 Υπολογίστε τα ακόλουθα κάνοντας νοερούς υπολογισμούς: ,7 4,5 Πρόβλημα 3 Υπολογίστε τα ακόλουθα κάνοντας νοερούς υπολογισμούς: ,7 + 0,45 Πρόβλημα 4 Υπολογίστε τα ακόλουθα κάνοντας νοερούς υπολογισμούς: Πρόβλημα 5 Υπολογίστε τα ακόλουθα κάνοντας νοερούς υπολογισμούς: : ,6 : Πρόβλημα 6 Βρείτε το μισό του 9 Βρείτε το μισό του 44 Βρείτε το ένα τρίτο του 27 Βρείτε το ένα δέκατο του 40 Βρείτε το ένα πέμπτο του 35 Βρείτε το ½ του 46 Βρείτε το ½ του

53 Βρείτε το ½ των 11,40 Βρείτε το ½ του 730 Βρείτε το ½ των 83,30 Βρείτε το 25% των 100 Βρείτε το 80% των 100 cm Βρείτε το 25% των

54 Πρόβλημα 1 Λύση: Λύσεις και απαντήσεις 1. 39, 39, = = 77, = = 20, = = 40 1 = 39, = = = = 3, = = 20 2 = 18. Πρόβλημα 2 Λύση: = = ,7 4,5 = 5, Πρόβλημα 3 Λύση: = ,7 + 0,45 = 0,7 + 0,3 + 0,15 Πρόβλημα 4 Λύση: = = Πρόβλημα 5 Λύση: , = 43 : = 21,5 100 = 2150 Πρόβλημα 6 Απάντηση: 4,5, 22, 9, 4, 7, 23, 65, 5 + 0,70 = 5,70, = 365, ,50 + 0,15 = 41,65, 25, 80 cm, ½ 130 = 65 53

55 Προβλήματα 1-6 Μαθηματικό πεδίο Ποσότητα Μαθηματικό υπό-πεδίο Νοεροί Υπολογισμοί Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος 54

56 Μέρος 2 Μεταβολές και σχέσεις 55

57 Ευθεία και αντίστροφη αναλογία L7: Τύποι μεταβολών Θεωρία Δύο ποσότητες x, y είναι ανάλογες όταν μια μεταβολή στη μία συνοδεύεται πάντα από μεταβολή στην άλλη, και εφόσον οι μεταβολές σχετίζονται πάντα με έναν σταθερό πολλαπλασιαστή, ο οποίος ονομάζεται συντελεστής της αναλογίας ή σταθερά της αναλογίας. Εάν μια ποσότητα είναι πάντα γινόμενο της άλλης, αυτές οι δύο μεταβλητές καλούνται ευθέως ανάλογες. Με άλλα λόγια, οι x και y είναι ευθέως ανάλογες εφόσον η αναλογία y είναι σταθερή. x Αν το γινόμενο των δύο ποσοτήτων ισούται πάντα με μια σταθερά, οι δύο ποσότητες καλούνται αντιστρόφως ανάλογες. Με άλλα λόγια, οι x και y είναι αντιστρόφως ανάλογες αν το γινόμενο xy είναι σταθερό. Προκειμένου να δηλώσουμε ότι "η y είναι ανάλογη της x γράφουμε την εξίσωση y = cx, για μια πραγματική σταθερά, c. Για να δηλώσουμε μαθηματικά ότι "η y είναι αντιστρόφως ανάλογη της x", γράφουμε την εξίσωση y = c/x. Μπορούμε εξίσου να πούμε ότι "η y είναι ανάλογη του 1/x", το οποίο δηλώνεται ως y = c/x. Παραδείγματα: Η περιφέρεια ενός κύκλου είναι ευθέως ανάλογη προς τη διάμετρό του, με σταθερά αναλογίας ίση με π. Σε ένα χάρτη σχεδιασμένο υπό κλίμακα, η απόσταση ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο σημεία στο χάρτη είναι ευθέως ανάλογη με την απόσταση ανάμεσα στις δύο τοποθεσίες που τα σημεία αναπαριστούν, με τη σταθερά της αναλογίας να συνιστά την κλίμακα του χάρτη. Η ποσότητα των εργαλείων που μπορεί να αγοραστούν και το ποσό που αντιστοιχεί στην τιμή τους. Αν αγοράσεις τα διπλάσια εργαλεία από ό,τι ο φίλος σου θα πληρώσεις τα διπλάσια. Η σχέση ανάμεσα στο κόστος και στην ποσότητα μπορεί να εκφραστεί με την εξίσωση Κόστος εργαλείων = τιμή κάθε εργαλείου αριθμού των εργαλείων που αγοράστηκαν. Αυτό μπορεί επίσης να γραφτεί ως y = kx, όπου k είναι το κόστος (η τιμή κάθε εργαλείου). Αν ένα αντικείμενο κινείται με σταθερή ταχύτητα, τότε η απόσταση που διανύει είναι ευθέως ανάλογη με το χρόνο που χρειάζεται για να κινηθεί, όπου η ταχύτητα αποτελεί τη σταθερά αναλογίας. Ο χρόνος που απαιτείται για ένα ταξίδι είναι αντιστρόφως ανάλογος με την ταχύτητα της κίνησης. Ο χρόνος που απαιτείται για να χτιστεί ένας τοίχος είναι (κατά προσέγγιση) αντιστρόφως ανάλογος με τον αριθμό των εργατών που χρειάζονται. Ας εξετάσουμε ένα ορθογώνιο, το εμβαδόν του οποίου ισούται με 6. Αν οι πλευρές του ορθογωνίου είναι x και y, τότε x y =6, το οποίο σημαίνει ότι ισχύει = 6. Όταν μικραίνει το μήκος της μιας πλευράς, μεγαλώνει το μήκος της x 56

58 δεύτερης πλευράς. Τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου είναι αντιστρόφως ανάλογα. Αναλογία Αναλογία είναι η ισότητα δύο κλασμάτων, όπως εκφράζεται με τις ακόλουθες μορφές: a b = c d ή a b = c d Σύμφωνα με την κύρια ιδιότητα των αναλογιών: ad = bc, οπότε εάν δίνονται τρεις ποσότητες σε μια αναλογία μπορείτε να υπολογίσετε την τέταρτη χρησιμοποιώντας τους τύπους: a = bc d, b = ad c, c = ad b Παράδειγμα 25 = 3, 6 = 12 = , d = bc a. είναι παραδείγματα αναλογιών. Γραμμικές συναρτήσεις και εξισώσεις Μια γραμμική συνάρτηση έχει τη μορφή y = f(x) = ax + b Μια γραμμική συνάρτηση αποτελείται από μια ανεξάρτητη μεταβλητή και μια εξαρτημένη μεταβλητή. Η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η x και η εξαρτημένη μεταβλητή η y. a είναι ο συντελεστής της ανεξάρτητης μεταβλητής. Είναι επίσης γνωστός με τον όρο κλίση και δίνει το ρυθμό μεταβολής της εξαρτημένης μεταβλητής. b είναι ο σταθερός όρος ή το σημείο τομής με τον άξονα των y. Είναι η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής όταν x = 0. Συνδυασμοί γραμμικών συναρτήσεων Οι γραμμικές συναρτήσεις μπορούν να προστεθούν, να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν. Παραδείγματα: C(x) είναι μια συνάρτηση κόστους και ισούται με: σταθερό κόστος + μεταβλητό κόστος R(x) είναι μια συνάρτηση εσόδων και ισούται με: τιμή πώλησης αριθμός μονάδων που πωλήθηκαν P(x) είναι μια συνάρτηση κέρδους και ισούται με τα έσοδα μείον το κόστος: P(x) = R(x) - C(x), όπου x = ο αριθμός των μονάδων που παρήχθησαν και πωλήθηκαν Ευθεία αναλογία με δυνάμεις Μια αξία y μπορεί να είναι ευθέως ανάλογη με τα x 2, x 3 και άλλες δυνάμεις του x. Σε αυτές τις περιπτώσεις η εξίσωση περιλαμβάνει το k, έναν σταθερό πολλαπλασιαστή (μια σταθερά αναλογίας), στης αρχή: y = kx n. 57

59 Τετραγωνικές Συναρτήσεις Η τετραγωνική συνάρτηση έχει τη μορφή: f(x) = y = a x 2 + bx + c όπου a, b, και c είναι αριθμητικές σταθερές και δεν είναι ίσες με μηδέν. Εκθετική και λογαριθμική αναλογικότητα Μια μεταβλητή y είναι εκθετικά αναλογική με μια μεταβλητή x, εάν η y είναι ευθέως ανάλογη με την εκθετική συνάρτηση της x, το οποίο σημαίνει ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικές σταθερές k και a τέτοιες ώστε Μια μεταβλητή y είναι λογαριθμικά αναλογική με μια μεταβλητή x, εφόσον y είναι ευθέως ανάλογη με τον λογάριθμο της x, δηλαδή δεν υπάρχουν μη μηδενικές σταθερές k και a τέτοιες ώστε Εκθετική μεταβολή είναι μια μεταβολή η οποία δεν εξελίσσεται με σταθερό ρυθμό, όπως μια γραμμική μεταβολή, αλλά παρουσιάζεται με αυξανόμενο ρυθμό. Παράδειγμα: Ένα βακτηριακό κύτταρο μπορεί να διαιρεθεί σε δύο κύτταρα κάθε 20 λεπτά (τόσο γρήγορα πολλαπλασιάζεται ένα βακτήριο e coli). Αυτό είναι γνωστό ως ο ρυθμός αναδιπλασιασμού του. Έτσι, μετά από 20 λεπτά, έχουμε 2 e coli κύτταρα. Μετά από 40 λεπτά, κάθε ένα θα έχει διαιρεθεί σε δύο και θα έχουμε τέσσερα e coli κύτταρα. Μετά από μια ώρα, θα έχουν διαιρεθεί ξανά, και θα έχουμε οχτώ e coli κύτταρα. Σε μια ακόμη ώρα, θα έχουμε 64 κύτταρα. Και ούτω καθεξής. Δεν προσθέτουμε απλά e coli κύτταρα στο σύνολο, τα πολλαπλασιάζουμε, και έτσι ο αριθμός των κυττάρων αυξάνεται με αυξανόμενο ρυθμό. Παράδειγμα: Ονομάστε μερικές ακόμη περιπτώσεις εκθετικής αύξησης. Όταν επιλύουμε εκθετικά προβλήματα, δύο είναι οι περιπτώσεις που συχνά προκύπτουν: Δίνεται ο χρόνος: σας ζητείται να βρείτε την ποσότητα στον ζητούμενο χρόνο. Αυτό συνήθως περιλαμβάνει υπολογισμό της συνάρτησης της ποσότητας. Δίνεται η ποσότητα: αναμένεται από εσάς να προσδιορίσετε το χρόνο κατά τον οποίο εμφανίζεται η ποσότητα. Αυτό συνήθως περιλαμβάνει επίλυση μιας εκθετικής εξίσωσης, το οποίο σημαίνει ότι θα χρειαστούν λογάριθμοι. Ένας λογάριθμός είναι ένας εκθέτης που δείχνει σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί η βάση για να παραχθεί ένας ορισμένος αριθμός: y = a x εκθετική μορφή x = log a y λογαριθμική μορφή x είναι ο λογάριθμος του y στη βάση του a (a > 0, a 1, y > 0) 58

60 log a y είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψώσουμε το a για να βρούμε y Παραδείγματα: x = log Σημαίνει το λογάριθμο του στη βάση του 10 (επονομαζόμενος κοινός λογάριθμος). Είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψωθεί το 10 για να δώσει Γνωρίζουμε ότι 10 4 = Επομένως x = 4. x = log 16 4 Σημαίνει το λογάριθμο του 4 στη βάση του 16. Είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψωθεί το 16 για να δώσει 4. Γνωρίζουμε ότι 16 = = 4. Επομένως x = 1 2. x = log 2 8 x = log 5 25 Σημαίνει το λογάριθμο του 8 στη βάση του 2. Είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψωθεί το 2 για να δώσει 8. Γνωρίζουμε ότι 2 3 = 8. Επομένως x = 3. Σημαίνει το λογάριθμο του 25 στη βάση του 5. Είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψωθεί το 5 για να δώσει 25. Γνωρίζουμε ότι 5 2 = 25. Επομένως x = 2. Παράδειγμα: Ο πίνακας δείχνει τα επίπεδα ηχητικής έντασης (σε W/cm 2 ) διαφόρων πηγών. Το κατώτερο όριο ακοής για το ανθρώπινο αυτί είναι περίπου W/cm 2. Το επίπεδο ηχητικής έντασης που προκαλεί καταπόνηση είναι περίπου 10-4 W/cm 2. Πηγή ήχου Ηχητική Ένταση [W/cm 2 ] Υπερηχητικό αεροσκάφος 10-2 Επίπεδο καταπόνησης 10-4 Συναυλία ροκ 10-5 Κομπρεσέρ 10-6 Συζήτηση Ψίθυρος Κατώτερο όριο ακοής Μπορείτε να υπολογίσετε το επίπεδο ηχητικής έντασης μιας πηγής συγκρίνοντάς το με την ένταση του ήχου μιας άλλης πηγής. Στην πράξη χρησιμοποιούμε μια μέτρηση που ονομάζεται επίπεδο θορύβου. Η μέτρηση αυτή συγκρίνει την ένταση ενός ήχου με το κατώτερο όριο ακοής I 0 = W/cm 2 : L = 10 log I I 0 db (decibel) Για παράδειγμα στην περίπτωση του κομπρεσέρ έχουμε: L = 10 log = 10 log 1010 = = 100 db 59

61 Τριγωνομετρική μεταβολή Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις γωνιών, καθώς συσχετίζουν τις γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου με τα μήκη των πλευρών του. Οι πιο γνωστές τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι τα ημίτονο, συνημίτονο, και εφαπτομένη y = sinx, Πεδίο ορισμού: (, ), Εύρος τιμών: [ 1, 1] y = cosx, Πεδίο ορισμού: (, ), Εύρος τιμών: [ 1, 1] ytanx, Πεδίο: Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τα περιττά πολλαπλάσια του π 2 Εύρος τιμών: (, ) Σχεδίαση των συναρτήσεων ημίτονου, συνημίτονου και εφαπτομένης 60

62 Πρόβλημα 1 Προβλήματα Γνωρίζουμε ότι το y είναι ευθέως ανάλογο του x. Γνωρίζουμε επίσης ότι όταν x = 15 τότε y = 5. Βρείτε τη σταθερά της αναλογίας και την τιμή του x όταν y = 10. Πρόβλημα 2 Τα καθημερινά έξοδα μιας εταιρείας που παράγει γατοτροφή περιγράφονται από την εξίσωση y = 2x + 800, όπου 800 είναι το σταθερό ημερήσιο κόστος, x ο αριθμός των κονσερβών γατοτροφής που παράγεται σε 1 ημέρα και 2 ευρώ είναι το κόστος της παραγωγής μιας μόνο κονσέρβας. Τα έσοδα της εταιρείας μπορούν να περιγραφούν από την εξίσωση y = 4x, όπου x είναι ο αριθμός των κονσερβών που πωλούνται την ημέρα και 4 ευρώ είναι η τιμή μιας κονσέρβας. Υποθέτοντας ότι ο αριθμός των κονσερβών γατοτροφής που παράγονται και πωλούνται την ημέρα είναι ο ίδιος: a) Για ποια αναλογία παραγωγής την ημέρα τα έσοδα της εταιρείας ισούνται με 0 (τα κέρδη είναι ίσα με το κόστος παραγωγής); b) Για ποια αναλογία παραγωγής την ημέρα η εταιρεία μπορεί να πετύχει ημερήσιο κέρδος 400 ευρώ και για ποια αναλογία 1400 ευρώ? Βοηθητικό στοιχείο: Σχεδιάστε τα δύο διαγράμματα που δείχνονται στην παρακάτω εικόνα Πρόβλημα 3 Ας θεωρήσουμε ορθογώνια με πλευρές x και y, επιφάνεια ίση με 10 και περίμετρο όχι πάνω από 40. Γράψτε ένα τύπο που περιγράφει τη σχέση του y ως συνάρτηση του x. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης; Πρόβλημα 4 Πόσο περισσότερο χρόνο θα διαρκέσει μια διαδρομή απόστασης 150 km με ταχύτητα 45 km/h, σε σχέση με το ίδια διαδρομή με ταχύτητα 90 km/h; 61

63 Πρόβλημα 5 Η σχέση ανάμεσα στη μέση ταχύτητα v και το χρόνο t που απαιτείται για να καλυφθεί μια απόσταση 60 km περιγράφεται από τον τύπο: t = 60 v. Συμπληρώστε τον ακόλουθο πίνακα και σχεδιάστε το γράφημα. Πρόβλημα 6 v [km/h] t [h] Ένα χάρτινο μοντέλο αυτοκινήτου αποτελεί μέρος μιας παρουσίασης σε εξωτερικό χώρο. Το ύψος του είναι 0,5 m. Το πραγματικό αυτοκίνητο έχει μήκος 4,5 m, 1,5 m ύψος και 1,8 m πλάτος. Βρείτε το μήκος και το πλάτος του μοντέλου, αν οι διαστάσεις του είναι ανάλογες με τις διαστάσεις του αληθινού αυτοκινήτου. Πρόβλημα 7 Μια εταιρεία λαμβάνει 63 για κάθε τεμάχιο προϊόντος που πουλά. Έχει ένα μεταβλητό κόστος 32 για κάθε μονάδα και ένα σταθερό κόστος Ποιο είναι το κέρδος της αν πουλήσει: (a) 40 τεμάχια; (b) 120 τεμάχια; (c) 350 τεμάχια; Πρόβλημα 8 Υπολογίστε: a) log 3 81 b) log c) log d) log 9 3 e) log Πρόβλημα 9 Χρησιμοποιώντας τον λογαριθμικό πίνακα υπολογίστε: a. log 2 b. log 1,41 c. log 1,75 d. log 2,27 62

64 Πρόβλημα 10 Πηγή ήχου Ένταση ήχου I [W/cm 2 ] Υπερηχητικό σκάφος 10-2 Κατώτερο Επίπεδο Ανοχής 10-4 Ροκ συναυλία 10-5 Κομπρεσέρ 10-6 Συζήτηση Ψίθυρος Κατώτερο επίπεδο ακοής ) Χρησιμοποιώντας τον τύπο L = 10 log I I 0 db υπολογίστε το επίπεδο θορύβου ενός υπερηχητικού αεροσκάφους, μιας ροκ συναυλίας και μιας συζήτησης. 2) Πόσο αυξάνεται η ένταση του ήχου όταν το επίπεδο θορύβου αυξηθεί κατά: a) 10 db; b) 20 db; c) 40 db; Πρόβλημα 11 Για να διανοιχθεί η οπή 2 (Loch 2) που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ρυθμιζόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 (Loch 1) με γωνία 30 o. Το τρυπάνι πρέπει να προσεγγίσει την οπή 2 το αργότερο μετά από 0,8 s. Ποια είναι η ελάχιστη μέση ταχύτητα κίνησης σε m/min; 63

65 Πρόβλημα 12 Για να διανοιχθεί η οπή 2 που εικονίζεται στο Πρόβλημα 11, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ελεγχόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 με γωνία 45 o. Το τρυπάνι πρέπει να προσεγγίσει την οπή 2 το αργότερο μετά από 0,8 s. Ποια είναι η ελάχιστη μέση ταχύτητα κίνησης σε m/min; Πρόβλημα 13 Για να διανοιχθεί η οπή 2 όπως φαίνεται στο σχήμα στο Πρόβλημα 11, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ελεγχόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 με γωνία 30 o. Το τρυπάνι φτάνει στην οπή 2 σε 0,8 s και η διάτρηση της οπής διαρκεί 0,5 s. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για έναν αριθμό οπών. Πόσες οπές μπορούν να διανοιχθούν σε χρόνο 2 min; Πρόβλημα 14 Για να διανοιχθεί η οπή 2 όπως φαίνεται στο σχήμα στο Πρόβλημα 11, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ελεγχόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 με γωνία 30 o. Το τρυπάνι προσεγγίζει την οπή 2 σε 0,8 s. και η διάτρηση μιας οπής διαρκεί 0,5 s. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για έναν αριθμό οπών για 2 min. Δεδομένου ότι η απόσταση από το κέντρο της οπής 1 είναι 2 cm κι από τις δύο άκρες του υλικού, υπολογίστε τις ελάχιστες διαστάσεις του υλικού προκειμένου να ολοκληρωθεί η διαδικασία διάτρησης. 64

66 Πρόβλημα 15 Ένα ψηφιακά ελεγχόμενο μηχανικό εργαλείο κινείται με σταθερή ταχύτητα 6,5 m/min. Η διάτρηση μιας οπής διαρκεί 0,5 s. Βρείτε τις πιο σύντομες διαδρομές που πρέπει να ακολουθήσει το τρυπάνι για να ολοκληρώσει τις μορφές που δίνονται στα παρακάτω σχήματα. Πρόβλημα 16 Τα υλικά έχουν ποικίλες ιδιότητες, μια από αυτές είναι η σκληρότητα. Δύναμη kg F Διάμετρος σφαίρας D 2F HB = πd(d (D 2 d 2 ) Πλάτος εσοχής d Το τεστ σκληρότητας του Brinell πραγματοποιείται για να προσδιοριστεί η σκληρότητα ενός υλικού. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν εξετάζουμε χυτεύσεις για να ελέγξουμε εάν πληρούν τις απαιτούμενες προδιαγραφές. Ειδικότερα, το τεστ σκληρότητας του Brinel μετρά το μόνιμο πλάτος των εσοχών που δημιουργούνται κατά τη συμπίεση καρβιδίου. Ένα φορτίο εφαρμόζεται δοκιμαστικά σε ένα αντικείμενο, για ένα δεδομένο χρόνο. Το πάχος του υλικού και ο χρόνος που εφαρμόζεται το φορτίο πρέπει να είναι σταθερά για να παράγουν τις ιδανικές ή ικανές συνθήκες. Το σχέδιο δείχνει τη μέθοδο δοκιμασίας σκληρότητας του Brinell. Το HB είναι ο αριθμός που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της σκληρότητας. Υπολογίστε τη φαινομενική διάμετρο d, για ένα τεστ που έχει φορτίο F βάρους 3000kg, διάμετρο σφαίρας με μήκος 10mm και ένα αντικείμενο που έχει HB ίσο με

67 Πρόβλημα 17 Υπολογίστε το HB, όταν: F = 3000kg D 10 mmm d = 1 mmm Πρόβλημα 18 Για ένα συγκεκριμένο υλικό το HB είναι 150. Έστω F 1 = 1000kg, F 2 = 3000kg, F 3 = 5000kg. Υποθέστε ότι D = 10 mmm. Εξετάστε το d σε διαφορετικές συνθήκες πίεσης F. Πρόβλημα 19 2F HB = πd(d (D 2 d 2 ) a. Αν η δύναμη F διπλασιαστεί, πώς θα μεταβληθεί το HB? b. Είναι σωστή ή λάθος η ακόλουθη διατύπωση; Όταν διπλασιάζεται το D τότε μειώνεται στο μισό το HB. Πρόβλημα 20 Ερευνείστε πώς διαμορφώνεται το d, όταν αλλάζει το D, αλλά το HB και η δύναμη F είναι αμετάβλητα (HB = 100 και F = 3000kg). Κάντε τους υπολογισμούς σας χρησιμοποιώντας D 1 = 10 mm, D 2 = 15 mm, D 3 = 20 mm. Είναι αυτή η μεταβολή σταθερή; Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. Πρόβλημα 21 Αν υποθέσουμε ότι R 1 = 20 Ω, R 2 = 20 Ω, τα R 1 και R 2 είναι συνδεδεμένα παράλληλα και I = 2 A, πόσο είναι το V? 66

68 Πρόβλημα 22 Ένας μηχανικός μετράει την τρέχουσα ροή σε ένα κύκλωμα 24V DC με έναν πολυμετρητή και βρίσκει ότι είναι 1,2A. Η αντίσταση R1 είναι 100 Ω αλλά η αντίσταση R2 είναι άγνωστη, η τιμή της είναι απαραίτητη προκειμένου να επιβεβαιωθεί το κύκλωμα. Υπολογίστε την τιμή της R 2. Πρόβλημα 23 Το τρέχον κύκλωμα (βλ. Σχήμα) έπεσε στην ελάχιστη τιμή και είναι 200mA. Η αντίσταση R 1 είναι ακόμη 100 Ω. Εξετάστε τι αντίσταση πρέπει να τοποθετηθεί παράλληλα, προκειμένου να διατηρηθεί η τάση στα 24V. Πρόβλημα 24 Μια τρίτη αντίσταση είναι συνδεδεμένη στο σύστημα, όπως φαίνεται στο Σχήμα. 1, (βλ. Σχ.2). Η σύνδεση με το ρεύμα είναι σταθερή στα 24V. Ποια είναι η τάση (I)? R 2 R 1 R 3 Σχ. 1 Σχ.2 67

69 Πρόβλημα 25 a. Εξετάστε πώς παράλληλες συνδέσεις διαδοχικών αντιστάσεων με την ίδια αντοχή (που εκφράζεται σε Ω) επιδρούν στο R T. Λάβετε υπόψη ότι n = 5, n = 10. Εκφράστε κάποιο συμπέρασμα. b. Εξετάστε πώς παράλληλες συνδέσεις διαδοχικών αντιστάσεων με την ίδια αντοχή (που εκφράζεται σε Ω) επιδρούν στο I (τάση). Εκφράστε κάποιο συμπέρασμα. Πρόβλημα 26 Πώς εξαρτάται το V από το R, αν το I είναι σταθερό; Φτιάξτε έναν πίνακα που να δείχνει αυτή την εξάρτηση. Θεωρείστε ότι I = 2,4 A. Πρόβλημα 27 Εξετάστε τη σχέση ανάμεσα στο I και στο R όταν το V είναι συνεχές και ίσο με 24V. Δημιουργείτε έναν πίνακα που δείχνει αυτή την εξάρτηση. Θεωρείστε, ότι η ελάχιστη αντίσταση είναι R = 5 Ω. Σχεδιάστε ένα γράφημα για αυτή την εξάρτηση. Μορφοποιείστε ένα συμπέρασμα. Πρόβλημα 28 Πρέπει να κάνετε την αντίσταση R T να ισούται με 20 Ω, συνδυάζοντας παράλληλες συνδέσεις άλλων αντιστάσεων. Μπορείτε να επιλέξετε από τους ακόλουθους τύπους αντιστάσεων: R 1 = 100 Ω, R 2 = 25 Ω, R 3 = 50 Ω, R 4 = 35 Ω. Ποια θα επιλέξετε; Έχει μόνο μια Πρόβλημα 29 Πρέπει να κάνετε την αντίσταση R T να ισούται με 20 Ω, συνδυάζοντας παράλληλες συνδέσεις άλλων αντιστάσεων. Μπορείτε να επιλέξετε από τους ακόλουθους τύπους αντιστάσεων: R 1 = 100 Ω, R 2 = 25 Ω, R 3 = 50 Ω, R 4 = 35 Ω. Οι τιμές των αντιστάσεων είναι οι ακόλουθες: R1: 5 ευρώ (50 κομμάτια), R2: 6 ευρώ (50 κομμάτια), R3: 7 ευρώ (50 κομμάτια) and R 4 : 6,5 ευρώ (50 κομμάτια). Ποιος συνδυασμός συμφέρει περισσότερο οικονομικά; Πρόβλημα 30 Ένας ηλεκτρικός κινητήρας είναι μια συσκευή που μετατρέπει την ηλεκτρική ενέργεια σε μηχανική. Ένας κινητήρας επαγωγής αποτελείται από ένα σταθερό στάτορα και από ένα δρομέα που συνδέεται με αυτό με ηλεκτρομαγνήτες (βλέπε ακόλουθο διάγραμμα). 68

70 Όταν ένα ρεύμα AC διέρχεται διαμέσου των περιελίξεων στο στάτορα, παράγει ένα περιστροφικό μαγνητικό πεδίο και έτσι ο δρομέας στρέφεται εντός του στάτορα. Οι κινητήρες ποικίλλουν ευρέως και επιλέγονται με βάση την εφαρμογή τους - αυτό μπορεί να περιλαμβάνει τις απαιτούμενες σταθερές ταχύτητας και ροπής. Ένας κινητήρας επαγωγής επιλέγεται για την ταχύτητά του. Η ταχύτητα συγχρονισμού (ns) ενός κινητήρα επαγωγής βασίζεται στην συχνότητα τροφοδοσίας και τον αριθμό των πόλων στον κινητήρα και μπορεί να εκφραστεί ως: ns = 120 f/n όπου: ns = περιστροφές ανά λεπτό(rpm) f = συχνότητα [κύκλοι ανά δευτερόλεπτο] σε Hertz (Hz) n= αριθμός πόλων κινητήρα Η πραγματική ταχύτητα του κινητήρα είναι μικρότερη από την ταχύτητα συγχρονισμού. Αυτό συμβαίνει γιατί ο κινητήρας ποτέ δεν θα συντονιστεί με το περιστροφικό μαγνητικό πεδίο του στάτορα. Η διαφορά ανάμεσα στην πραγματική ταχύτητα και στην ταχύτητα συγχρονισμού ονομάζεται «ολίσθηση». Πραγματική ταχύτητα κινητήρα (na) = 1425 rpm. 1. Υπολογίστε την ταχύτητα συγχρονισμού ενός κινητήρα με συχνότητα 50Hz και 4 πόλους. 2. Αν η ολίσθηση είναι ο λόγος της πραγματικής ταχύτητας προς την ταχύτητα συγχρονισμού, υπολογίστε την επί της % ολίσθηση (s) όταν s = (ns na/ ns) και (na) = 1425 rpm Πρόβλημα 31 Ηλεκτρικός κινητήρας είναι μια συσκευή που μετατρέπει την ηλεκτρική ενέργεια σε μηχανική. Ένας κινητήρας επαγωγής αποτελείται από ένα σταθερό στάτορα και από ένα δρομέα που συνδέεται με αυτό με ηλεκτρομαγνήτες (βλέπε ακόλουθο διάγραμμα). Όταν ένα ρεύμα AC διέρχεται διαμέσου των περιελίξεων στο στάτορα, παράγει ένα περιστροφικό μαγνητικό πεδίο και έτσι ο δρομέας στρέφεται εντός του στάτορα. Οι κινητήρες ποικίλλουν ευρέως και επιλέγονται με βάση την εφαρμογή τους - αυτό μπορεί να περιλαμβάνει τις απαιτούμενες σταθερές ταχύτητας και ροπής. Ένας κινητήρας επαγωγής 69

71 επιλέγεται για την ταχύτητα του. Η ταχύτητα συγχρονισμού (ns) ενός κινητήρα επαγωγής βασίζεται στην συχνότητα τροφοδοσίας και τον αριθμό των πόλων στον κινητήρα και μπορεί να εκφραστεί ως: ns = 120 f/n όπου: ns = περιστροφές ανά λεπτό (rpm) f = συχνότητα [κύκλοι ανά δευτερόλεπτο] σε Hertz (Hz) n= αριθμός πόλων κινητήρα Η πραγματική ταχύτητα του κινητήρα είναι μικρότερη από την ταχύτητα συγχρονισμού. Αυτό συμβαίνει γιατί ο κινητήρας ποτέ δεν θα συντονιστεί με το περιστροφικό μαγνητικό πεδίο του στάτορα. Η διαφορά ανάμεσα στην πραγματική ταχύτητα και στην ταχύτητα συγχρονισμού ονομάζεται «ολίσθηση». Η ροπή στρέψης, η οποία είναι ευθέως ανάλογη προς την ολίσθηση δίνεται από τον τύπο: T = P 9550 na Η ροπή στρέψης μετριέται σε Nm, η Ισχύς μετριέται σε kw και η ταχύτητα μετριέται σε rpm. Ένας κινητήρας με απόδοση 95% θα απαιτεί ισχύ εισόδου (P) της τάξεως των 7,8kW για να αποδώσει ισχύ εξόδου 7,5W. Υπολογίστε τη ροπή στρέψης. Πρόβλημα 32 Ένας μηχανοτρονικός, σχεδιάζοντας ένα πνευματικό-υδραυλικό σύστημα πρέπει να χρησιμοποιήσει μια αντλία με μέγιστη πίεση 6 bars (P e1 ). Πρέπει να υπολογίσει την υδραυλική πίεση (P e2 ) και τον όγκο του ρευστού (V c ) λαμβάνοντας υπόψη τη διαδρομή που στο διακόπτη πίεσης του πνευματικού-υδραυλικού συστήματος που παρουσιάζεται στην εικόνα. 1) Ποια είναι η υδραυλική πίεση (P e2 ), αν κάποιος δεν υπολογίσει την απώλεια τριβής; 70

72 2) Ποια είναι η υδραυλική πίεση δεδομένου ότι ο συντελεστής απόδοσης είναι 85%; Πρόβλημα 33 3) Ποιος είναι ο όγκος ρευστού (V c ) που παράγεται από τον διακόπτη πίεσης δεδομένου ότι η διαδρομή είναι 50 mm? Ένας τροχός λείανσης με εξωτερική διάμετρο d = 240 χιλιοστά εργάζεται με την επιτρεπόμενη περιφερειακή ταχύτητα των 32 m/s. Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα περιστροφής με την οποία μπορεί να λειτουργήσει ο κινητήρας; Πρόβλημα 34 Ένας χειριστής πρέπει να φτιάξει έναν κωνικό στίφτη μήκους 220 mm ( Lw ), του οποίου το κωνικό τμήμα έχει μήκος L = 130 χιλιοστά και οι αντίστοιχες διάμετροι είναι D = 34 mm, d = 30mm. Ποια μετατόπιση V R απαιτείται για να φτιαχτεί το κωνικό τμήμα; Πρόβλημα 35 Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει κάποιους συγκεκριμένους δείκτες δύναμης κοπής. Ένας χειριστής/μηχανικός πρέπει να διαλέξει τον τύπο του μηχανήματος κοπής για να κάνει μια σειρά από λεπτομέρειες στη βάση αποδεκτών τεχνολογικών δεδομένων, όπως να υπολογίσει το πάχος της κομμένης επιφάνειας h και να διαβάσει από τον πίνακα την τιμή του kc. Μετά πρέπει να υπολογίσει την ισχύ κοπής Fc και τη δύναμη κοπής Pc. Ιδιαίτερα, μια ράβδος κατασκευασμένη (16 Mn Cr 5) κόπηκε σε βάθος κοπής a = 5 mm, γραμμική τροφοδοσία f = 0,32 mm, γωνία κοπής x = 75 και ταχύτητα κοπής vc = 160 m/ min. Υπολογίστε τα ακόλουθα: Πάχος της κομμένης επιφάνειας h (mm) Συγκεκριμένη δύναμη κοπής kc (N / mm) Ισχύς κοπής Fc (N) Δύναμη κοπής Pc (KW) 71

73 Τμήμα της κομμένης επιφάνειας A (mm²) Πρόβλημα 36 Σχεδιάζοντας μια λεπτομέρεια ένας σχεδιαστής έφτιαξε ένα κομμάτι που αναμένεται να τεθεί σε έλεγχο μέτρησης από έναν χειριστή με τη χρήση πλακιδίων ελέγχου (μπλοκ Gage). Το μήκος του μπλοκ Gage L1 = 100 mm και ο συντελεστής θερμικής διαστολής είναι α = 0, / C. Ποια είναι η διαστολή του μπλοκ Gage, δεδομένου ότι η θερμότητά του αυξάνεται λόγω της θερμότητας του χεριού από τους 20 C στους 25 C. Πρόβλημα 37 Η επιτρεπόμενη δυνατότητα φορτίου ενός ηλεκτρικού ανελκυστήρα είναι 4000 kg. Η μηχανή του συγκεκριμένου ηλεκτρικού ανελκυστήρα χρησιμοποιεί δύναμη 8,4 kw. Η μηχανή και ο μηχανισμός του έχουν ολική απόδοση 82%. Πόσο φορτίο μπορεί να αναληφθεί από τον ανελκυστήρα σε ύψος 4 m σε χρόνο 20 δευτερολέπτων; Πρόβλημα 38 Ένας κλειδαράς καλείται να ετοιμάσει τις λεπτομέρειες μιας κοπής. Πρέπει να κόψει το υλικό με μια λεπίδα κοπής. Η πίεση επαφής είναι F = 800 N. Ένας μηχανικός πρέπει να υπολογίσει τις δυνάμεις κοπής μιας λεπίδας κοπής μιας όψης προκειμένου να κόψει σωστά το υλικό. Ποιες είναι οι δυνάμεις κοπής F 1 και F 2 της λεπίδας κοπής; 72

74 Πρόβλημα 39 Ένας κλειδαράς καλείται να ετοιμάσει και ακονίσει ένα μηχανικό πριόνι, καθώς το πριόνι παρουσιάζει επιπλέον αντίσταση στην κίνηση όταν χρησιμοποιείται. Υπολογίστε την δύναμη κοπής F c και την τροφοδοσία δύναμης κοπής F f ενός δοντιού του πριονιού αν η πίεση επαφής είναι F = 3500 N. Πρόβλημα 40 Ένα στοκ του οποίου το φορτίο δημιουργεί μια δύναμη N είναι αποθηκευμένο σε μια χαλαρή ράμπα με μήκος 6 μέτρα και ύψος h = 1,2 m. Τι δύναμη F είναι αναγκαία για να μην επιτραπεί στο φορτίο F G που συνθέτει δύναμη 4000 N να κυλήσει κάτω; (Η τριβή δεν λαμβάνεται υπόψη) ; Στην εικόνα φαίνεται: Haltenkraft F: Δύναμη σταθεροποίησης F 73

75 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Λύση: Καθώς το y είναι ανάλογο του x θα είναι y = kx Επίσης όταν x = 15 τότε y = 5 Για να βρούμε την τιμή του k αντικαθιστούμε την τιμή των y = 5 και x = 15 με y = kx 5 = k 15, άρα k = 5 15 = 1 3 Για να βρούμε την τιμή του x όταν y = 10 αντικαθιστούμε τα y = 10 και k = 1/3 με y = kx 10 = (1/3) x Επομένως x = 30 όταν y = 10. Πρόβλημα 2 Λύση: a) 2x +800 = 4x x = 400 b) 4x - (2x+800) = 400 2x = 1200 x = 600 4x - (2x+800) = x = 2200 x = 1100 Πρόβλημα 3 Λύση: Έστω x, y τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου x y = 10, το οποίο σημαίνει ότι y = 10 x. Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης λύνουμε την ανισότητα: 2x + 2y 40 x + y 20 x + 10 x 20 x + 10 x 20 0 x 2 20x+10 x 0 74

76 x(x 2 20x + 10) 0 x = 0, x = , x = x (0, ]. Πρόβλημα 4 Λύση: Διπλάσιο επιπλέον χρόνο: Με ταχύτητα 45 km/h η διάρκεια του ταξιδιού είναι 200 min. Με ταχύτητα 90 km/h η διάρκεια του ταξιδιού είναι 100 min. Πρόβλημα 5 Λύση: v [km/h] t [h] ,4 2 1,71 1,5 Πρόβλημα 6 Λύση: x το μήκος του χάρτινου μοντέλου αυτοκινήτου 1,5 = 4,5 0,5 x 75

77 1,5x = 4.5 0,5 x = 2,25 : 1,5 x =1,50. y το πλάτος του χάρτινου μοντέλου y = 0,6. Το μήκος του χάρτινου μοντέλου είναι 1,5 m και το φάρδος 0,6 m. Πρόβλημα 7 Λύση: R(x) = 63x C(x) = x P(x) = 63x - ( x) = 31x (a) Όταν x = 40: P(40) = = -340 το οποίο είναι ζημία (b) Όταν x = 120: P(120) = = 2140 (c) Όταν x = 350: P(350) = = 9270 Πρόβλημα 8 Απάντηση: a) 4, b) - ½, c) 3/2, d) ½, e) 4. Πρόβλημα 9 Λύση: a. 0,3010 b. 0,1492 c. 0,2430 d. 0,3560 Πρόβλημα 10 Λύση: 1) Υπερηχητικό σκάφος: 10 log = = 140 Ροκ συναυλία: 10 log = = 110 Συζήτηση: 10 log 10 6 = 10 6 = 60 2) a) 10 φορές, b) 100 φορές, c) 1000 φορές. Πρόβλημα 11 Απάντηση: v = 6,3 m/min Πρόβλημα 12 Απάντηση: 4,455 m/min 76

78 Πρόβλημα 13 Απάντηση: 92 οπές Πρόβλημα 14 Απάντηση: Οι ελάχιστες διαστάσεις είναι: a = 3,85 m, b = 6,67 m Πρόβλημα 16 Λύση: Πρώτα, μετατρέψτε την εξίσωση ώστε να είναι το d στο πρώτο μέλος: d = D² - (D 2F/(HB x πd)² Αφού ολοκληρωθεί αυτό εισάγετε τους αριθμούς (να είστε προσεκτικοί με τις μονάδες μέτρησης!) D = 10mm, F = 3000kgF, HB = 130 d = 10² [10 (2x 3000/130 x π x 10)²] d = 100 [10 (8,53107)² d= ,779 d = 27,221 = 5,217mm Πρόβλημα 19 Απάντηση: a. Το HB θα μειωθεί στο μισό b. Λάθος Πρόβλημα 21 Λύση: 1/R T = 1/ R 1 + 1/ R 2, so 1/R T = 1/20 + 1/20 = 1/10, τότε R T = 10 Ω Καθώς V = I R, τότε V = 2A 10 Ω = 20 V Πρόβλημα 22 Λύση: V = I R R = V/I = 24V/1,2A =20 Ω, χρησιμοποιώντας το νόμο του Ohm: 1/R T = 1/ R 1 + 1/ R 2 R 2 = 25 Ω. Πρόβλημα 24 Λύση: 1/R T = 1/ R 1 + 1/ R 2 + 1/ R 3, το οποίο μας δίνει R T = 10. Καθώς V = I R, τότε I = 24V/10Ω = 2,4 A 77

79 Πρόβλημα 27 Λύση : Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση: V= IR, Τότε I = V/R R I 4, /3 1 1/2 24/100 Πρόβλημα 30 Λύση: 1. ns = 120 f/n = 120 x 50Hz/4 = 1500 rpm 2. s = (ns na/ ns) = ( )/1500 x 100 = 75/1500 x 100 = 5% ολίσθηση [Σημείωση: x100 για να οδηγηθώ στο %] Πρόβλημα 32 Λύση: Πρόβλημα 33 Απάντηση: nmax Πρόβλημα 34 Λύση: 1) p e1 A 1 = p e2 A 2 => p e2 = pe1 A1 A2 = 384 bars 2) p e = p e2 η = 384 bars 0.85 = 326,4 bars 3) V = s A 2 = 5 cm 4.9 cm 2 = 24,5 cm 3 = 2546 περιστροφές / λεπτό V R = 34 mm 30 mm mm 220 mm 3,38 mm Πρόβλημα 35 Λύση: A = a x f = 5x 0,32 = 1,6 mm 2 Fc = A x kc = 1,6 mm 2 x 1990n/mm 2 = 3184 N h = f x sinx = 0,31 mm P = Fc x vc = δύναμη κοπής = 3184N x 160 m/ 60 s 8491W = 8,49 kw Πρόβλημα 36 Λύση: ΔL = L x α x Δt Δt = 25 C - 20 C = 5 C ΔL = 100 mm x 0, / C x 5 C = 0,008 mm = 8 µm 78

80 ΔL = 100 mm x 0, / C x 5 C = 0,008 mm = 8 µm Πρόβλημα 37 P 1 = 8,4 kw = 8400 W = 8400 N x m / s P 2 = η x P 1 = 6888 W = 6888 N x m / s P 2 = W / t = FG x h / t FG = P2 x t / h = N FG = m x g Πρόβλημα 38 Λύση: tan β = F F1 sin β = F F2 Πρόβλημα 39 Λύση: sin α = Fc F m = FG / g = 3511 kg F 1 = F 2 = F tan 30 F sin 30 cos α = Ff F = 800 N 0,577 = 800 N 0,5 = 1386 N = 1600 N F c = F sin 80 = 3500 N 0,9848 = 3447 N F f = F cos 80 = 3500 N 0,17365 = 608 N Πρόβλημα 40 Λύση: F x s = F G x h F = F G x h / s =4000 N x 1,2 m / 6 m = 800 N 79

81 Πρόβλημα 1 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι μεταβολών Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 2 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι μεταβολών Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίλυση εξισώσεων Κοστολόγηση έργου Χρήση γραφημάτων και διαγραμμάτων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 3 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι μεταβολών Εξισώσεις/δεδομένα Εμβαδόν ορθογωνίου: E = x y Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίλυση ανισώσεων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 4 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι μεταβολών Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 5 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικά υποπεδία Τύποι μεταβολών Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση γραφημάτων και διαγραμμάτων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 6 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι μεταβολών Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων 80

82 Χρήση αναλογίας Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 7 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι μεταβολών Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση απλών συναρτήσεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 8 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι μεταβολών Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίλυση εξισώσεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 9 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι μεταβολών Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Χρήση πινάκων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 10 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι μεταβολών Εξισώσεις/δεδομένα Πίνακας Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση πινάκων Μετατροπή τύπων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικα πεδία μετρήσεων Μεταβολές και σχέσεις 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία Τριγωνομετρία Τύποι/δεδομένα Τριγωνομετρικός πίνακας, v=s/t Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπου Μετατροπή μεταξύ μονάδων Υπολογισμός απόστασης με χρήση τριγωνομετρικών 81

83 συναρτήσεων Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, μηχανουργός CNC Πρόβλημα 14 Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικά πεδία μετρήσεων Μεταβολές και σχέσεις 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία Τριγωνομετρία Τύποι/δεδομένα Τριγωνομετρικός πίνακας, v=s/t Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπου Μετατροπή μονάδων Υπολογισμός απόστασης χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, Μηχανουργός CNC Πρόβλημα 15 Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικά πεδία μετρήσεων Μεταβολές και σχέσεις 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία τριγωνομετρία Τύποι/δεδομένα Τριγωνομετρικοί πίνακες, v=s/t Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπων Μετατροπή μεταξύ μονάδων Δοκιμή και σφάλμα Πεδίο 3 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, μηχανουργός CNC Πρόβλημα 16 Μαθηματικό πεδίο ΜεταβολέςΜεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ δεδομένα 2F HB = όπου πd(d (D 2 d 2 ) D = Διάμετρος σφαίρας σε mm d = Διάμετρος εσοχής σε mm F = Φορτίο σε kgf HB = Σταθερά σκληρότητας Brinell. Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 2 Επάγγελμα/ειδικότητα Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός δοκιμών, Εκτιμητής ποιότητας Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ δεδομένα 2F HB = όπου πd(d (D 2 d 2 ) D = Διάμετρος σφαίραςσε mm d = Διάμετρος εσοχήςσε mm F = Φορτίο σε kgf HB = Σταθερά σκληρότητας Brinell 82

84 Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επάγγελμα/ειδικότητα Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Πρόβλημα 19 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ δεδομένα HB = Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός δοκιμών, Εκτιμητής ποιότητας 2F πd(d (D 2 d 2 ) όπου D = Διάμετρος σφαίραςσε mm d = Διάμετρος εσοχήςσε mm F = Φορτίο σε kgf HB = Σταθερά σκληρότητας Brinell Αριθμητικές δεξιότητες Χρήση τύπων Επίπεδο 2 Επάγγελμα/ειδικότητα Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός δοκιμών, Εκτιμητής ποιότητας Πρόβλημα 20 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ δεδομένα 2F HB = όπου πd(d (D 2 d 2 ) D = Διάμετρος σφαίραςσε mm d = Διάμετρος εσοχήςσε mm F = Φορτίο σε kgf HB = Σταθερά σκληρότητας Brinell Αριθμητικές δεξιότητες Χρήση τύπων Επίπεδο 3 Επάγγελμα/ειδικότητα Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός δοκιμών, Εκτιμητής ποιότητας Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ δεδομένα Νόμος του Ohm: Vs = I T x R T 1/R T = 1/ R 1 + 1/ R 2 Τύπος για παράλληλες αντιστάσεις Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επάγγελμα/ειδικότητα Τεχνικός Ηλεκτρονικών Σχεδιαστής PCB Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικά υπό-πεδία Τύποι μεταβολών Διαφορετικές αναπαραστάσεις σχέσεων Τύποι/ δεδομένα Ο νόμος του Ohm: Vs = I T x R T 1/R T = 1/ R 1 + 1/ R 2 Τύπος για παράλληλες αντιστάσεις Αριθμητικές δεξιότητες Χρήση τύπων Εντοπισμός κανονικοτήτων 83

85 Επίπεδο 3 Επάγγελμα/ειδικότητα Τεχνικός ηλεκτρονικών Σχεδιαστής PCB Πρόβλημα 30 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/δεδομένα ns = 120 f/n, όπου: ns = περιστροφές ανά λεπτό(rpm) f = συχνότητα [κύκλοι ανά δευτερόλεπτο] σε Hertz (Hz) n= αριθμών πόλων κινητήρα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Μετατροπή τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική Ηλεκτρολόγος, Συντήρηση ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 31 Μαθηματικό πεδίο Μετατροπή και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/δεδομένα ns = 120 f/n, όπου: ns = περιστροφές ανά λεπτό (rpm) f = συχνότητα [κύκλοι ανά δευτερόλεπτο] σε Hertz (Hz) n= αριθμός πόλων κινητήρα P 9550 T = ταχύτητα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Μετατροπή τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική Ηλεκτρολόγος, Συντήρηση ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 32 Μαθηματικό πεδίο Μετατροπές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ Μηχανοτρονικός ρόλος Πρόβλημα 33 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες v c = π d n Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ Χειριστής τόρνου CNC, Τεχνολόγος Μηχανικός ρόλος Πρόβλημα 34 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις 84

86 Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ Δεδομένα D d V R = W 2 L Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ Μηχανικός ρόλος Πρόβλημα 35 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ Δεδομένα A = a x f Fc = A x kc h = f x sinx Q = A x vc = a x f x vc απόδοση κοπής όγκου P = Fc x vc = Q x kc δύναμη κοπής Πίνακας με δείκτες kc Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Ανάγνωση πινάκων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ Χειριστής τόρνου CNC, Μηχανικός ρόλος Πρόβλημα 36 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ Δεδομένα ΔL = L x α x Δt ΔL αύξηση μήκους Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ Χειριστής τόρνου CNC, Σχεδιαστής ρόλος Πρόβλημα 37 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ Μηχανικός, Χειριστής ρόλος Πρόβλημα 38 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Τύποι μεταβολών Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ Μηχανικός, Κλειδαράς ρόλος 85

87 Πρόβλημα 39 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Μεταβολές και σχέσεις Τύποι μεταβολών Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ Κλειδαράς, Μηχανικός χειριστής πριονιού ρόλος Πρόβλημα 40 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Τύποι μεταβολών Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ Μηχανικός ρόλος Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων 86

88 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Είναι σωστό ή λάθος ότι δύο ποσά είναι ευθέως ανάλογα, αν το ένα ποσό είναι πάντα πολλαπλάσιο του άλλου με τον ίδιο αριθμό; a. Σωστό b. Λάθος 2. Έστω τα ορθογώνια με εμβαδόν 24. Αν το μήκος των πλευρών των ορθογωνίων είναι x και y, μπορούμε να πούμε ότι οι πλευρές x και y των δύο ορθογωνίων είναι αντιστρόφως ανάλογες; a. Ναι b. Όχι c. Όχι πάντα d. Με τις διαθέσιμες πληροφορίες δεν μπορούμε να απαντήσουμε. 3. Αν υποθέσουμε ότι το y είναι αντιστρόφως ανάλογο του x και ότι y = 8 όταν x = 3. Ποια θα είναι η τιμή του y όταν x = 4; a. 10 b. 8 c. 6 d. Κανένα από τα παραπάνω 4. Η απόσταση ακινητοποίησης ενός αυτοκινήτου (σε μέτρα) είναι ευθέως ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας που έχει (km/h) όταν πατιούνται τα φρένα. Αν υποθέσουμε ότι ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 50 km/h, απαιτεί ως απόσταση ακινητοποίησης 20 μέτρα, ποια ταχύτητα του αυτοκινήτου όταν πατήθηκε το φρένο, αν η απόσταση ακινητοποίησης είναι 51,2 μέτρα; a. 19,5 km/h b. 80 km/h c. 81,2 km/h d. Κανένα από τα παραπάνω 5. Υπολογίστε την τιμή του log a. 2 b. 10 c. 512 d Απαντήσεις: 1a, 2a, 3c, 4b, 5b 87

89 L8: Διαφορετικές αναπαραστάσεις σχέσεων Θεωρία Οι σχέσεις, και ειδικά οι συναρτήσεις μπορούν να παρουσιαστούν με πολλούς τρόπους και αυτό εξαρτάται από το πλαίσιο. Γραμμικές συναρτήσεις Οι γραμμικές συναρτήσεις αναπαρίστανται με γραφήματα τα οποία είναι ευθείες γραμμές, με τύπους της μορφής y = a + bx, και πίνακες τιμών (x, y) στους οποίους ο λόγος της μεταβολής του y σε σχέση με το x είναι σταθερός. Πώς σχεδιάζουμε μια γραμμική συνάρτηση: 1. Βρίσκουμε 2 σημεία τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση 2. Τα σχεδιάζουμε 3. Συνδέουμε τα σημεία με μια ευθεία γραμμή Παραδείγματα: 1. Σχεδιάζουμε ένα γράφημα για τη γραμμική συνάρτηση y = x + 2. Σε αυτήν την περίπτωση a = 1 και b = 2. Πρέπει να βρούμε 2 σημεία τα οποία να ικανοποιούν την εξίσωση: Αν x = 0, τότε y = 0 +2 = 2. Αν x = 1, τότε y = 1+ 2 = 3. Βρήκαμε 2 σημεία που ανήκουν στη γραμμή: (0,2) και (1,3). Η ευθεία γραμμή y = x + 2 είναι παράλληλη με την ευθεία γραμμή y = x καθώς οι συντελεστές κατευθυνσής τους είναι ίσοι. Ο συντελεστής b είναι υπεύθυνος για το σημείο τομής με τον άξονα των y. 1. Σχεδιάζουμε ένα γράφημα για τη γραμμική συνάρτηση y = 1 x 3. Καθώς b 2 = - 3 ένα σημείο που ανήκει στο γράφημα είναι το (0, -3). Το δεύτερο μπορεί να εντοπιστεί αντικαθιστώντας το x π.χ. με 2: y = = 1 3 = 2. Το δεύτερο σημείο είναι το (2,-2). 88

90 Τετραγωνικές συναρτήσεις Οι τετραγωνικές συναρτήσεις αναπαρίστανται με γραφήματα τα οποία είναι παραβολές, με τύπους της μορφής y = ax 2 + bx + c, και πίνακες τιμών (x, y) στους οποίους οι τιμές του y μεταβάλλονται με συμμετρικό τρόπο με κέντρο μια μέγιστη ή μια ελάχιστη τιμή. Το γράφημα είναι συμμετρικό σε σχέση με μια γραμμή που ονομάζεται άξονας συμμετρίας. Το σημείο όπου ο άξονας συμμετρίας τέμνεται με την παραβολή είναι γνωστό ως κορυφή. Πώς να σχεδιάσετε το γράφημα μιας παραβολής: 1. Βρείτε την κορυφή. 2. Βρείτε την τομή με τον άξονα των y (0, f(0)). 3. Επιλύστε την f(x) = 0 για να εντοπίσετε τις συντεταγμένες της τομής με τον άξονα των x, εφόσον υπάρχουν. Μπορούμε να έχουμε 0, 1, ή 2 τέτοια σημεία τομής. 4. Βεβαιωθείτε ότι έχετε τουλάχιστον ένα σημείο σε κάθε πλευρά της κορυφής. Αυτό χρειάζεται για να βεβαιωθείτε ότι έχετε ένα όσο το δυνατό πιο ακριβές γράφημα. Αν η παραβολή έχει δύο σημεία τομής με τον άξονα των x τότε ήδη θα έχετε αυτά τα σημεία. Αν έχει 0 ή 1 σημείο τομής μπορούμε είτε να προσθέσουμε μια ακόμη τιμή είτε να χρησιμοποιήσουμε την τομή με τον άξονα των y και τον άξονα συμμετρίας για να βρούμε το δεύτερο σημείο. 5. Σχεδιάστε το γράφημα. Παραδείγματα: 1) Σχεδιάζουμε το γράφημα της τετραγωνικής συνάρτησης f(x) = x 2 4x + 3. Οι συντελεστές είναι a = 1, b = -4, c = 3. Για να βρούμε την κορυφή (p,q) πρέπει να υπολογίσουμε p = b = 4 = 2. 2a 2 Μετά q = f(2) = 1. Μετά πρέπει να βρούμε την y-τομή : x = 0, y = 3 Τώρα πρέπει να επιλύσουμε την f(x) = 0 x 2 4x + 3 = 0 = b 2 4ac = = 4 = 2 x = b 2a = = 1 ή x = b 2a = = 3 89

91 2) Σχεδιάζουμε το γράφημα της τετραγωνικής συνάρτησης g(x) = 2x 2 2x + 4. Οι συντελεστές είναι a = -2, b = -2, c = 4. Για να βρούμε την κορυφή (p,q) πρέπει να υπολογίσουμε το p = b = 2 = 2a 4 1. Μετά q = f 2 (1) = 4,5. 2 Μετά πρέπει να βρούμε την y-τομή : x = 0, y = 4 Μετά πρέπει να επιλύσουμε την f(x) = 0 2x 2 2x + 4 = 0 = b 2 4ac = = 36 = 6 x = b 2a = b = 1 ή x = = a 4 = 2 Σημειώστε ότι το πρόσημο του a καθορίζει τον προσανατολισμό της παραβολής: αν a>0 τότε η παραβολή προσανατολίζεται προς τα επάνω και εάν a<0 τότε η παραβολή προσανατολίζεται προς τα κάτω. Εκθετικές συναρτήσεις Οι εκθετικές συναρτήσεις αναπαρίστανται γραφικά με τη μορφή καμπύλης για να δείξουν την εξαρτημένη μεταβλητή να αυξάνεται με εκθετικό ρυθμό (στην περίπτωση της εκθετικής αύξησης) και να μειώνεται με εκθετικό ρυθμό (στην περίπτωση της εκθετικής μείωσης) και ο τύπος τους μπορεί να γραφτεί στη μορφή y = a x, όπου a είναι η εκθετική σταθερά. Στους πίνακες τιμών (x, y) για τις εκθετικές 90

92 συναρτήσεις, εάν διαδοχικές τιμές των x διαφέρουν κατά 1, τότε ο λόγος των αντίστοιχων τιμών y είναι a. Πώς κάνουμε το γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης 1. Δημιουργούμε έναν πίνακα τιμών π.χ. για x = -2, -1, 0, 1, 2 2. Το γράφημα διέρχεται από το σημείο (0, 1). 3. Το γράφημα έχει μια οριζόντια ασύμπτωτη: y = 0. Παράδειγμα Σχεδιασμός γραφήματος για την εκθετική συνάρτηση f(x) = 2 x. x f(x) 1/4 1/

93 Πρόβλημα 1 Προβλήματα a. Εξετάστε πώς παράλληλες συνδέσεις διαδοχικών αντιστάσεων με την ίδια αντοχή (που εκφράζεται σε Ω) επιδρούν στο R T. Λάβετε υπόψη ότι n = 5, n = 10. Εκφράστε κάποιο συμπέρασμα. b. Εξετάστε πώς παράλληλες συνδέσεις διαδοχικών αντιστάσεων με την ίδια αντοχή (που εκφράζεται σε Ω) επιδρούν στο I (τάση). Εκφράστε κάποιοσυμπέρασμα. Πρόβλημα 2 Πώς εξαρτάται το V από το R, αν το I είναι σταθερό; Φτιάξτε έναν πίνακα που να δείχνει αυτή την εξάρτηση. Θεωρείστε ότι I = 2,4 A. Πρόβλημα 3 Εξετάστε τη σχέση ανάμεσα στο I και στο R όταν το V είναι συνεχές και ίσο με 24V. Δημιουργείτε έναν πίνακα που δείχνει αυτή την εξάρτηση. Θεωρείστε, ότι η ελάχιστη αντίσταση είναι R = 5 Ω. Σχεδιάστε ένα γράφημα για αυτή την εξάρτηση. Εκφράστε ένα συμπέρασμα. Πρόβλημα 4 Πρέπει να κάνετε την αντίσταση R T να ισούται με 20 Ω, συνδυάζοντας παράλληλες συνδέσεις άλλων αντιστάσεων. Μπορείτε να επιλέξετε από τους ακόλουθους τύπους αντιστάσεων: R 1 = 100 Ω, R 2 = 25 Ω, R 3 = 50 Ω, R 4 = 35 Ω. Ποια θα επιλέξετε; Έχει μόνο μια λύση το πρόβλημα; Μπορείτε να επιλέξετε ελεύθερα τον αριθμό των αντιστάσεων. Πρόβλημα 5 Πρέπει να κάνετε την αντίσταση R T να ισούται με 20 Ω, συνδυάζοντας παράλληλες συνδέσεις άλλων αντιστάσεων. Μπορείτε να επιλέξετε από τους ακόλουθους τύπους αντιστάσεων: R 1 = 100 Ω, R 2 = 25 Ω, R 3 = 50 Ω, R 4 = 35 Ω. Οι τιμές των αντιστάσεων είναι οι ακόλουθες: R 1 : 5 ευρώ (50 κομμάτια), R 2 : 6 ευρώ (50 κομμάτια), R 3 : 7 ευρώ (50 κομμάτια) και R 4 : 6,5 ευρώ (50 κομμάτια). Ποιος συνδυασμός συμφέρει περισσότερο οικονομικά; Πρόβλημα 6 Τα περισσότερα υλικά έχουν ένα σημείο ελαστικότητας όπου επανακτούν τη φόρμα τους όταν η δύναμη που τους ασκείται απελευθερωθεί. Μια δύναμη παράγει μια παραμόρφωση x. Στη μηχανική αυτή η δύναμη μετατρέπεται σε πίεση (N/m² or N/mm²) και η παραμόρφωση σε ένταση. Ο νόμος του Hooke υποστηρίζει ότι η παραμόρφωση είναι ευθέως ανάλογη με τη δύναμη κάτω από το όριο ελαστικότητας (βλ. γράφημα). 92

94 Ένας μηχανικός δοκιμών πραγματοποίησε μια δοκιμή εφελκυσμού επί ενός δείγματος χάλυβα χρησιμοποιώντας μια μηχανή και σχεδίασε ένα γράφημα της πίεσης και της έντασης που προέκυψαν. Μια δύναμη εφελκυσμού παράγει μια μέγιστη πίεση που ένα υλικό μπορεί να αντέξει ενώ πιέζεται ή τραβιέται πριν διαλυθεί ή σπάσει. Χρησιμοποιώντας το Νόμο του Hooke μπορεί να βρεθεί το Μέτρο Ελαστικότητας. Η κλίση του γραμμικού τμήματος του γραφήματος δίνει F/x και αυτό βρέθηκε να είναι 410x10³ N/mm Το κομμάτι που δοκιμάστηκε είχε επιφάνεια 100mm² και μήκος 50mm Υπολογίστε το Μέτρο Ελαστικότητας Young για το εικονιζόμενο δείγμα. 93

95 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 3 Λύση: Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση: V= IR, Τότε I = V/R R I 4, /3 1 1/2 24/100 Πρόβλημα 6 Λύση: Βρέθηκε από το τεστ ότι F/x = 410 x 10³ N/mm² Αν το s=f/a τότε F=sA και η πίεση e= x/l τότε x=el Επομένως, F/x = sa/el και E = FL/Ax = s/e Αντικαθιστώντας: E = s/e = F/x * L/A = 410 x 10³ x 50/100 = N/mm² Αυτό μπορεί να μετατραπεί σε Pascal Pa = MPa ή 205 GPa. 94

96 Προβλήματα 1-4 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικά υπό-πεδία Τύποι μεταβολών Διαφορετικές αναπαραστάσεις σχέσεων Τύποι/ δεδομένα Ο νόμος του Ohm: Vs = I T x R T 1/R T = 1/ R 1 + 1/ R 2 Τύπος για παράλληλες αντιστάσεις Αριθμητικές δεξιότητες Χρήση τύπων Εντοπισμός κανονικοτήτων Επίπεδο 3 Επάγγελμα/ειδικότητα Τεχνικός ηλεκτρονικών Σχεδιαστής PCB Πρόβλημα 5 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικά υπό-πεδία Τύποι μεταβολών Διαφορετικές αναπαραστάσεις σχέσεων Τύποι/ δεδομένα Νόμος του Ohm: Vs = I T x R T 1/R T = 1/ R 1 + 1/ R 2 Τύπος για αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση Αριθμητικές δεξιότητες Χρήση τύπων Εντοπισμός κανονικοτήτων Κοστολόγηση έργου Επίπεδο 3 Επάγγελμα/ειδικότητα Τεχνικός ηλεκτρονικών Σχεδιαστής PCB Πρόβλημα 6 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υπό-πεδίο Διαφορετικές αναπαραστάσεις σχέσεων Τύποι/δεδομένα Ο Νόμος του Hooke = F/x Στρες s=f/a Πίεση e= x/l Μέτρο Ελαστικότητας του Young: E = FL/Ax = s/e 1N/mm² = to 1,000,000 N/m², 1N/m² = 1Pascal Pa Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση γραφημάτων και διαγραμμάτων Μετατροπή τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική Μηχανικός Δοκιμών, Μεταλλουργός, Σχεδιαστής ειδικότητα/ρόλος 95

97 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Οι γραμμές που αναπαριστούν τις συναρτήσεις f(x) = x+2 και g(x) = 2x+2 είναι παράλληλες. Σωστό ή Λάθος; a. Σωστό b. Λάθος 2. Πόσα είναι τα σημεία που χρειάζεται να γνωρίζουμε για να σχεδιάσουμε μια γραμμική συνάρτηση; a. 1 b. 2 c. 3 d. Πάνω από 3 3. Ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό για τα γραφήματα των συναρτήσεων f(x) = x 2-2x+4 και g(x) = x 2 +4; a. Και τα δύο είναι παραβολές b. Μόνο το γράφημα της f(x) είναι παραβολή c. Μόνο το γράφημα της g(x) είναι παραβολή d. Κανένα από τα παραπάνω δεν είναι σωστό 4. Τι είδους συνάρτηση αναπαριστά το εικονιζόμενο γράφημα; a. Γραμμική b. Τετραγωνική c. Εκθετική d. Άλλο 5. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός σημείων τομής που χρειάζεται να γνωρίζουμε για να σχεδιάσουμε το γράφημα μίας γραμμικής και μίας τετραγωνικής συνάρτησης; a. Κανένα b. Ένα c. Δύο d. Άπειρα Απαντήσεις: 1b, 2b, 3a, 4c, 5c 96

98 L9: Προσεγγίσεις και εκτιμήσεις Θεωρία Εκτίμηση είναι η διαδικασία εξεύρεσης μιας εκτίμησης, ή μιας προσέγγισης, η οποία είναι μια τιμή που χρησιμοποιείται για κάποιο σκοπό ακόμη και εάν τα δεδομένα είναι ατελή, αβέβαια ή ασταθή. Παραδείγματα: Ο αριθμός 43 κατά προσέγγιση στην πλησιέστερη δεκάδα είναι 40. Ο αριθμός 173 κατά προσέγγιση στην πλησιέστερη εκατοντάδα είναι 200. Για να προσεγγίσουμε έναν αριθμό στο πλησιέστερο n δεκαδικό ψηφίο πρέπει να αναζητήσουμε το n+1 δεκαδικό ψηφίο. Αν αυτό το δεκαδικό ψηφίο είναι ίσο ή μεγαλύτερο του πέντε, το στρογγυλοποιούμε κατά προσέγγιση στο 1. Ειδεμή, διατηρούμε το ψηφίο ως έχει. Στη συνέχεια σβήνουμε τα δεκαδικά ψηφία που υπολείπονται. Απόλυτο και σχετικό σφάλμα στην κατά προσέγγιση εκτίμηση Εάν μια τιμή είναι v και κατά προσέγγιση v approx, το απόλυτο σφάλμα είναι ε = v v approx. Αν v 0 το σχετικό σφάλμα είναι η = ε = v v v approx v = 1 v approx. Το ποσοστό σφάλματος είναι δ = 100 η = 100 ε = 100 v v v approx. Παράδειγμα: Βρείτε μια προσέγγιση του αριθμού 2,32174 στο δεύτερο δεκαδικό (το πλησιέστερο εκατοστό) και κατόπιν στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο (το πλησιέστερο χιλιοστό). Ενώ προσεγγίζουμε τον αριθμό στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο πρέπει να κοιτάξουμε το ψηφίο στην τρίτη θέση. Το ψηφίο στη δεύτερη θέση είναι 2 και το ψηφίο στην τρίτη είναι 1. Σύμφωνα με τον γενικό κανόνα στρογγυλοποιούμε με βάση το πρώτο δεκαδικό ψηφίο που βρίσκεται δεξιά από το σημείο «στόχο». Αν το δεκαδικό ψηφίο είναι ίσο ή μεγαλύτερο του πέντε, στρογγυλοποιούμε το ψηφίο στόχο κατά 1. Διαφορετικά, αφήνουμε το ψηφίο στόχο ως έχει. Στη συνέχεια σβήνουμε τα άλλα δεκαδικά ψηφία. Στο παράδειγμά μας το τρίτο δεκαδικό ψηφίο είναι 1 το οποίο σημαίνει ότι ο αριθμός μετά τη στρογγυλοποίηση στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο είναι 2,32. Μπορούμε να γράψουμε λοιπόν 2, ,32 Ο αριθμός μετά τη στρογγυλοποίηση στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο είναι 2,322 (καθώς το τέταρτο δεκαδικό ψηφίο είναι 7). Μπορούμε να γράψουμε 2, ,322. Παράδειγμα: Αν η ακριβής τιμή είναι 50 και η κατά προσέγγιση 49,9, τότε το απόλυτο σφάλμα είναι 0,1 και το σχετικό σφάλμα είναι 0,1/50 = 0,002 = 0,2%. v v 97

99 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Γράψτε το νούμερο που γίνεται 50, όταν στρογγυλοποιείται στην εγγύτερη δεκάδα. Πρόβλημα 2 Ο αριθμός 490 όταν στρογγυλοποιείται στην εγγύτερη χιλιάδα είναι: a. 0 b. 500 c Πρόβλημα 3 Στρογγυλοποιείστε το π σε τέσσερα δεκαδικά ψηφία. Πρόβλημα 4 Δώστε ένα παράδειγμα του μικρότερου φυσικού αριθμού που είναι μεγαλύτερος του 950. Πρόβλημα 5 Στον ακόλουθο πίνακα δίνεται η έκταση των έξι μεγαλύτερων χωρών (σε εκατομμύρια km 2 ) Ρωσία Καναδάς Κίνα ΗΠΑ Βραζιλία Αυστραλία 17,1 9,98 9,6 9,53 8,52 7,68 Η Γη έχει έκταση 149,94 εκατομμύρια km 2. Είναι η έκταση αυτών των έξι χωρών μεγαλύτερη από το μισό της έκτασης της Γης; Εκτιμείστε χωρίς υπολογισμούς. Πρόβλημα 6 Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος: 0,13 ή 0,1(30); Πρόβλημα 7 Το μήκος ενός σιδερένιου σωλήνα είναι 14,764 m. Εκτιμείστε κατά προσέγγιση στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο. Υπολογίστε με προσέγγιση σφάλματος 0,1%. Πρόβλημα 8 Υπολογίστε το απόλυτο σφάλμα της προσέγγισης: 3 7 0,43. 98

100 Πρόβλημα 1 Απάντηση: 45, 46,, 54 Πρόβλημα 2 Απάντηση: a. Πρόβλημα 3 Λύση: π = 3, Λύσεις και απαντήσεις Μετράμε τέσσερις θέσεις δεκαδικών ψηφίων, και κοιτάμε τον αριθμό στην πέμπτη θέση: 9. Είναι μεγαλύτερο του 5, οπότε στρογγυλοποιούμε στην τέταρτη θέση περικόπτοντας την επέκταση των ψηφίων στην τέταρτη θέση. Αυτό σημαίνει ότι το 5 γίνεται 6, το κομμάτι που είναι κόβεται, και το π, στρογγυλοποιημένο στον τέταρτο δεκαδικό είναι: 3,1416. Πρόβλημα 4 Λύση: 30 2 = = 961 Επομένως 30 < 950 < 31. Ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι μικρότερος του 950 είναι το 31. Πρόβλημα 5 Λύση: Είναι λιγότερο από το μισό. 17,1+9,98+9,6+9,53+8,52+7,68< =65 < 148,94/2 Πρόβλημα 6 Λύση: 0,1(30) = 0, > 0,130 Πρόβλημα 7 Λύση: 14,764 14,8 Το απόλυτο σφάλμα είναι 14,764 14,8 = 0,036 Το σχετικό σφάλμα είναι 14,764 14,8 = 0,036 = 0, ,764 14,764 Το ποσοστό σφάλματος είναι 14,764 14,8 100% = 0, % = 0, % 0,2% 14,764 14,764 99

101 Πρόβλημα 8 Λύση: 3 7 0,43 = = = =

102 Προβλήματα 1-3 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Προσεγγίσεις και εκτιμήσεις Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτίμηση ποσοτήτων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα 4-5 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Προσεγγίσεις και εκτιμήσεις Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση ποσοτήτων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 6 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Προσεγγίσεις και εκτιμήσεις Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών αριθμητικών αρχών Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα 7-8 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Προσεγγίσεις και εκτιμήσεις Εξισώσεις/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση ποσοτήτων Χρήση τύπων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος 101

103 L10: Αποτελεσματική χρήση αριθμομηχανών Θεωρία Η αριθμομηχανή, υπό οποιαδήποτε χρήση, δεν εκτελεί τη στρατηγική σκέψη εκ μέρους του χρήστη. Είναι σημαντικό πριν προβούμε σε έναν υπολογισμό, να αποφασίσουμε ποια είναι η κατάλληλη πράξη. Εξίσου σημαντικό είναι να διερωτηθούμε εάν το αποτέλεσμα βγάζει νόημα και πώς πρέπει να ερμηνεύσουμε την ένδειξη της αριθμομηχανής. Σημαντικές ερωτήσεις: 1) Ποιους αριθμούς πρέπει να εισάγουμε; 2) Με μια σειρά πρέπει να εισάγουμε τους αριθμούς; 3) Πρέπει να προσθέσω, να αφαιρέσω, να πολλαπλασιάσω ή να διαιρέσω αυτούς τους αριθμούς; 4) Βγάζει νόημα το αποτέλεσμα; 5) Πώς πρέπει να ερμηνεύσω την ένδειξη; Παράδειγμα: Πόσα μικρά λεωφορεία 12 θέσεων χρειάζονται για ένα σχολείο που έχει 70 παιδιά και 7 καθηγητές; Συνολικά έχουμε να μεταφέρουμε 77 άτομα. Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή υπολογίζουμε: 77 : 12 = 6,4. Δεν μπορούμε να αγνοήσουμε το πλαίσιο του προβλήματος. Η απάντηση είναι ότι απαιτούνται 7 μικρά λεωφορεία. Υπολογίζοντας ποσοστά Σε κάποιες αριθμομηχανές, το ποσοστό μιας αξίας εμφανίζεται αφού πληκτρολογήσουμε το πλήκτρο [%] ενώ σε άλλες πρέπει να πατήσουμε το πλήκτρο [%] και μετά το πλήκτρο [=]. Παράδειγμα: Αυξήστε τον αριθμό 120 κατά 10%. Το 10% του 120 είναι 12. Το αποτέλεσμα είναι 132. a) Αριθμομηχανή A: Πληκτρολογούμε: %. Η αριθμομηχανή δείχνει το αποτέλεσμα 132. Σε κάποιες αριθμομηχανές πρέπει να πατήσουμε =. b) Αριθμομηχανή B: Πληκτρολογούμε: %. Αφού πατήσουμε = το 12 εμφανίζεται. Σημαίνει ότι υπολογίστηκε το 10% του 120. Σε αυτό τον τύπο αριθμομηχανών, αφού πατήσουμε % πρέπει να εμφανιστεί το αποτέλεσμα 133,333. Αυτό σημαίνει ότι υπολογίστηκε ο αριθμός ο οποίος μειωμένος κατά 10% μας έδωσε 120. Χρησιμοποιώντας τη μνήμη της αριθμομηχανής Οι αριθμομηχανές συνήθως διαθέτουν τρία ή τέσσερα πλήκτρα για τη μνήμη. M+ για την προσθήκη στη μνήμη ενός αριθμού που εμφανίζεται στην οθόνη 102

104 Παράδειγμα: M- για την αφαίρεση από τη μνήμη ενός αριθμού που εμφανίζεται στην οθόνη MR για την εμφάνιση στην οθόνη ενός αριθμού που έχει σωθεί στη μνήμη MC για τη διαγραφή της μνήμης MRC εκτελεί τους ρόλους των MR και MC Υπολογίζουμε χωρίς χαρτί και μολύβι: 70/(16-9). Πληκτρολογούμε: 16-9 = M+ CE 70 / MR Η αριθμομηχανή δείχνει το αποτέλεσμα 10. Υπολογίζουμε: Πληκτρολογούμε: 4 M- 8 M+ 2 M- 3 M- 5 M+ 10 M- MR. Η αριθμομηχανή δείχνει το αποτέλεσμα -6. Υπολογισμοί κατά προσέγγιση με τη συνδρομή αριθμομηχανής Παράδειγμα: Υπολογισμός της τιμής της έκφρασης: 10 3 ( ) 2. Μπορεί να γίνει με δύο διαφορετικούς τρόπους: ( ) ( ) 2 = 1000( ) 2 = 1000(0.2) 2 = = ( ) 2 = 1000 ((2 5) (3 2) 2 ) = 1000( ) 1000( ) = 1000( ) = = 1040 Ποιο αποτέλεσμα είναι το σωστό; Και στις δύο περιπτώσεις κάναμε την ίδια κατά προσέγγιση εκτίμηση των τετραγωνικών ριζών αλλά μόνο ενός δεκαδικού ψηφίου και αυτό οδήγησε σε μεγάλη απόκλιση στο τελικό αποτέλεσμα. Ο υπολογιστής κρατά στη μνήμη του όλα τα ψηφία των αριθμών και λειτουργεί με τον «ακέραιο» αριθμό. Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή παίρνουμε ως τελικό αποτέλεσμα: ανεξαρτήτως από τη στιγμή που υπολογίζουμε κατά προσέγγιση τις τετραγωνικές ρίζες. 103

105 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Πώς θα εμφανιστεί το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού στην αριθμομηχανή; Πρόβλημα 2 Δώστε ένα παράδειγμα του μικρότερου φυσικού αριθμού που είναι μεγαλύτερος του 950. Πρόβλημα 3 Το μήκος ενός σιδερένιου σωλήνα είναι 14,764 m. Εκτιμείστε κατά προσέγγιση στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο. Υπολογίστε με προσέγγιση σφάλματος 0,1%. 104

106 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Απάντηση: 5e+32 Πρόβλημα 2 Λύση: 30 2 = = 961 Επομένως 30 < 950 < 31. Ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι μικρότερος του 950 είναι το 31. Πρόβλημα 3 Λύση: 14,764 14,8 Το απόλυτο σφάλμα 14,764 14,8 = 0,036 Το σχετικό σφάλμα είναι 14,764 14,8 = 0,036 = 0, ,764 14,764 Το ποσοστό σφάλματος είναι 14,764 14,8 100% = 0, % = 0, % 0,2% 14,764 14,

107 Πρόβλημα 1 Μαθηματικά πεδία Ποσότητα Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικά υποπεδία Σχετικό μέγεθος των αριθμών Αποτελεσματική χρήση αριθμομηχανών Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών αριθμητικών αρχών Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 2 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Προσεγγίσεις και εκτιμήσεις Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση ποσοτήτων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 3 Μαθηματικό πεδίο Μεταβολές και σχέσεις Μαθηματικό υποπεδίο Προσεγγίσεις και εκτιμήσεις Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση ποσοτήτων Χρήση τύπων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος 106

108 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Η παρακάτω εικόνα δείχνει την απεικόνιση μιας αριθμομηχανής όταν πληκτρολογούμε την τετραγωνική ρίζα του 45. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λανθασμένη; a. Στρογγυλοποιείται στο 7 b. Στρογγυλοποιείται στο 6,7 c. Στρογγυλοποιείται στο 6,71 d. Στρογγυλοποιείται στο 6 2. Για τον υπολογισμό του υπολοίπου της διαίρεσης 357: 13, πρώτα χρησιμοποιήσαμε μια αριθμομηχανή και εμφανίστηκε το παρακάτω αποτέλεσμα. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λανθασμένη; a. Το υπόλοιπο της διαίρεσης πρέπει να είναι μικρότερο του 13 b. Το υπόλοιπο της διαίρεσης πρέπει να είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος του μηδενός, αλλά μικρότερος του

109 c. Η οθόνη δεν παρέχει καμία πληροφορία σχετικά με το υπόλοιπο της διαίρεσης 3. Χρησιμοποιείστε μια αριθμομηχανή για να κάνετε την πράξη 2435,32:21,9. Υπολογίστε μέχρι το τρίτο δεκαδικό ψηφίο. a. 111,201 b. 111,202 c. 111,2018 d. Κανένα από τα παραπάνω 4. Ποια είναι η σωστή σειρά πλήκτρων που πρέπει να πατήσουμε σε μια αριθμομηχανή για να προσθέσουμε το γινόμενο των πολλαπλασιασμών 2,3 0,6 και 1,4 0,9; a = b ( ) = c. ( ) + ( ) = d. ( ) = 5. Ποια είναι η σωστή σειρά πλήκτρων που πρέπει να πατήσουμε σε μια αριθμομηχανή για να υπολογίσουμε το ; a = b. ( ) 2 = c. ( ) 2 = d. ( ) = Απαντήσεις: 1d, 2c, 3b, 4c, 5a 108

110 Μέρος 3 Σχήματα και αποστάσεις 109

111 L11: Μονάδες μέτρησης και κλίμακα Θεωρία Το μήκος εκφράζεται με μονάδες μήκους. Τα μικρά μήκη μετρώνται π.χ. σε εκατοστά. Αν ένα εκατοστό χωριστεί σε 10 ίσα μέρη, κάθε ένα από αυτά τα μέρη θα αναπαριστά ένα χιλιοστό. Επομένως, ένα εκατοστό = 10 χιλιοστά 1 cm = 10 mm Παράδειγμα: Το παρακάτω παραλληλόγραμμο έχει μήκος 9 cm. 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm Μεγαλύτερα μήκη εκφράζονται με άλλες μονάδες. Η βασική μονάδα μήκους στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (ΜΣ) είναι το 1 μέτρο. 1 μέτρο = 100 εκατοστά Αν υποθέσουμε ότι 1 μέτρο είναι η βασική μονάδα μήκους, μπορούμε να κατονομάσουμε αναλόγως τις μικρότερες μονάδες μέτρησης, χρησιμοποιώντας μια σειρά δυνάμεων με αρνητικό εκθέτη. 1 = 100 ένα μέτρο m meter 0,1 = 10 1 ένα δέκατο dm decimeter 0,01 = 10 2 ένα εκατοστό cm centimeter 0,001 = 10 3 ένα χιλιοστό mm millimeter 0, = 10 6 ένα εκατομμυριοστό µm micrometer 0, = 10 9 ένα δισεκατομμυριοστό nf nanofarad 0, = ένα τρισεκατομμυριοστό pf picofard Παραδείγματα: 1m = 100 cm = 1000 mm = µm = nf = pf 1 mm = 1000 µm 1 cm = 10 mm = µm = µm 1 dm = 10 cm = µm = µm Σημείωση: Όταν αντικαθιστούμε μια μονάδα μήκους προσέχουμε τον αριθμό των μηδενικών! 110

112 Σε συστήματα άλλα από το ΜΣ, χρησιμοποιούνται άλλες μονάδες μήκους. Αντί θα ένα εκατοστό (cm), μια συχνή μονάδα μέτρησης είναι η ίντσα (in). 1 in = 2,54 cm 1 cm = 0, in Ένα μήκος που εκφράζεται σε ίντσες μπορεί να περιγραφεί επίσης σε εκατοστά με την μετατροπή: x in = x 2,54 cm. Δείτε τον πίνακα που ακολουθεί. in cm 2,54 5,08 7,62 10,16 12,07 15,24 17,78 20,32 22,86 Μετατροπή σε κοινά μήκη. Για να μετατρέψουμε τις ίντσες σε άλλες μονάδες χρησιμοποιούμε τον παρακάτω πίνακα. Μονάδα μήκους Ίντσες 1 1 ίντσα Εκατοστά 2,54 Μέτρα 0,0254 Χιλιόμετρα 0, Πόδια 0, Γιάρδες 0, Μίλια 0, Ναυτικά μίλια 0, Κλίμακες Όταν θέλουμε να μεγαλώσουμε ή να μειώσουμε τις πραγματικές διαστάσεις ενός σχήματος πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κλίμακα. Η κλίμακα μας δείχνει τις σχέσεις ανάμεσα στα μήκη στο σχέδιο και στις πραγματικές διαστάσεις. Χρησιμοποιείται στα σχέδια ή τους χάρτες. Παράδειγμα: A B C Długość: 4 cm 2 = 8 cm Szerokość: 2 cm 2 = 4 cm A Η πραγματική διάσταση Μήκος: 4 cm 111

113 Πλάτος: 2 cm B Διάσταση σε διπλή μεγέθυνση Μήκος: 4 cm 2 = 8 cm Πλάτος: 2 cm 2 = 4 cm C - Διάσταση σε σμίκρυνση στο μισό Μήκος: 4 cm ½ = 2 cm Πλάτος: 2 cm ½ = 1 cm Στο σχήμα A κάθε 1 cm στην εικόνα αναπαριστά 1 cm στην πραγματικότητα. Θα λέμε ότι το σχήμα Α αναπαρίσταται σε κλίμακα 1 προς 1, σημειώνοντάς την ως 1:1 Στο σχήμα B κάθε 2 cm στην εικόνα αναπαριστά 1 cm στην πραγματικότητα. Θα λέμε ότι το σχήμα B αναπαρίσταται σε κλίμακα 2 προς 1, σημειώνοντάς την ως 2:1 Στο σχήμα C κάθε 1 cm στην εικόνα αναπαριστά 1 cm στην πραγματικότητα. Θα λέμε ότι το σχήμα C αναπαρίσταται σε κλίμακα 1 προς 2, σημειώνοντάς την ως 2:1 Παράδειγμα: Το σχέδιο δείχνει τη διαρρύθμιση ενός διαμερίσματος. 1 cm στο σχέδιο αναπαριστά 2 m στο πραγματικό διαμέρισμα. Οι πραγματικές διαστάσεις του διαμερίσματος είναι: Μήκος κουζίνας: 1,5 cm 200 cm = 3,0 m Πλάτος κουζίνας: 1,1 cm 200 cm = 2,2 m Μήκος κρεβατοκάμαρας: 1 cm 200 cm = 2,0 m Πλάτος κρεβατοκάμαρας: 1 cm 200 cm = 2,0 m Μήκος δωματίου 1: 3 cm 200 cm = 8 m Πλάτος δωματίου 1: 1,9 cm 200 cm = 3,8 m Μήκος δωματίου 2: 2,9 cm 200 cm = 5,8 m Πλάτος δωματίου 2: 1,9 cm 200 cm = 3,8 m Η κλίμακα είναι 1cm στα 2 m, ή 1 cm στα 200 cm, οπότε γράφουμε 1 :

114 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Ποιο είναι το μήκος του τμήματος που είναι σχεδιασμένο πάνω από το χάρακα; Πρόβλημα 2 Μετατρέψτε σε χιλιοστά a) 55 µm =. b) 9 µm =. c) 1036 µm =.. Βοηθητικό στοιχείο: 1 µm = 0,001 mm Πρόβλημα 3 Υπολογίστε πόσο είναι: 28 in=. cm 28 cm =. in Πρόβλημα 4 Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα, κάντε τις μετατροπές: a) 1 feet = cm b) 2 yards = m Μονάδα μέτρησης μήκους 1 inch Feet 0, Yards 0, Πρόβλημα 5 Κάθε εκατοστό στην παρακάτω εικόνα αντιπροσωπεύει 1 χιλιόμετρο στην πραγματικότητα. Η απόσταση μεταξύ του σχολείου και του ταχυδρομείου είναι 4 km. Η ίδια απόσταση στην εικόνα είναι 4 cm. Βρείτε άλλα σημεία των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι περίπου 4 km. 113

115 Ταχυδρομείο Μαγαζί Σχολείο Πρόβλημα 6 Συμπληρώστε τον πίνακα με το σχέδιο ενός διαμερίσματος, σε κλίμακα 1 : 200 δωμάτιο Μήκος στο σχέδιο Πραγματικό μήκος Πλάτος στο σχέδιο Πραγματικό πλάτος Κρεβατοκάμαρα 3 cm cm = 6 m 2 cm cm = 4 m Κουζίνα 2,5 cm 1,5 cm 1,5 200 cm = 3 m Σαλόνι 6 m 4 cm Λουτρό 1 cm 2 cm Πρόβλημα 7 Ένας Μηχανολόγος/Τεχνικός Μηχανοτρονικής έλαβε δεδομένες διαστάσεις σε μικρά (microns). Ένα τεχνικό σχέδιο σύμφωνα με το πρότυπο (ISO) των διαστάσεων πρέπει να δίνεται σε χιλιοστά. Επομένως πρέπει να γίνει αλλαγή της μονάδας μέτρησης. Μετατρέψτε σε χιλιοστά: a) 12 µm = b) 3,5 µm = c) 3455 µm = d) 259 µm = e) 5,5 µm =,, Βοηθητικό στοιχείο: 1 µm = 0,001 mm 114

116 Πρόβλημα 8 Ένας Μηχανολόγος/Τεχνικός Μηχανοτρονικής έλαβε ένα τεχνικό σχέδιο για μια σιδερένια επιφάνεια τραπεζιού. Προκειμένου να προγραμματίσει ένα μηχάνημα πρέπει να μετατρέψει τις μονάδες μέτρησης σε μικρά (microns). Αλλάξτε τα χιλιοστά σε µm: Πρόβλημα 9 Αν ένα μηχάνημα κόβει σιδερένιες επιφάνειες τραπεζιών διαστάσεων µm x µm x µm, τότε πόσες επιφάνειες τραπεζιών με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm μπορεί να κόψει; Πρόβλημα 10 Αν ένα μηχάνημα κόβει σιδερένιες επιφάνειες τραπεζιών από μια σιδερένια επιφάνεια με διαστάσεις µm x µm x µm, τότε πόσες επιφάνειες τραπεζιών με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm θα κόψει; Πρόβλημα 11 a) Αν μια μηχανή κόβει σιδερένια τραπέζια από μια επιφάνεια με διαστάσεις µm x µm x µm, τότε πόσα τραπέζια με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm θα κόψει; b) Είναι 96 ο μέγιστος αριθμός τραπεζιών που μπορούν να κοπούν από την σιδερένια επιφάνεια; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Πρόβλημα 12 a) Αν ένα μηχάνημα κόβει σιδερένια τραπέζια από μια επιφάνεια διαστάσεων µm x µm x µm, τότε πόσα σιδερένια τραπέζια με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm θα κόψει; b) Ο κ. Παπαδόπουλος παρήγγειλε 180 σιδερένια τραπέζια. Πόσο θα πληρώσει αν 1m 2 σιδήρου (με μετρητή του 1cm) κοστίζει 4 ευρώ; Το κόστος παραγωγής μιας επιφάνειας τραπεζιού είναι 2 ευρώ. Η εταιρεία πουλάει τις επιφάνειες των τραπεζιών με κέρδος 15%. Πρόβλημα 13 Υπολογίστε το βάρος του σιδερένιου σωλήνα όταν σας δίνεται ότι το μήκος του είναι 3,5 m, η εξωτερική διάμετρός του 80 mm και το πάχος του περιβλήματός του 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Δεδομένα: D = 80 mm, s = 15 mm, 115

117 l = 350 cm, ρ = 7,2 g/cm 3 Πρόβλημα 14 Ποιο είναι το μέγιστο μήκος ενός σιδερένιου σωλήνα προκειμένου να ανυψωθεί από χειροκίνητο ανυψωτικό μηχάνημα με επιτρεπόμενο όριο αντοχής βάρους 500 kg; Η εξωτερική διάμετρος του σωλήνα είναι 80 mm και το πάχος του περιβλήματός του 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Πρόβλημα 15 Υπολογίστε το βάρος ενός σιδερένιου σωλήνα όταν σας δίνεται ότι το μήκος του είναι 3,5 m, η εξωτερική του διάμετρος είναι 80 mm και το πάχος του περιβλήματός του είναι 20 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Πρόβλημα 16 Σιδερένιοι σωλήνες πρέπει να μεταφερθούν από ένα σημείο σε ένα άλλο. Ο χρόνος μεταφοράς ενός σωλήνα είναι 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα. Πόσοι σωλήνες μπορούν να μεταφερθούν εντός 2 ωρών αν το φόρτωμα και ξεφόρτωμα των σωλήνων στο μηχάνημα απαιτεί 15 δευτερόλεπτα; Πρόβλημα 17 Σιδερένιοι σωλήνες πρέπει να μεταφερθούν από ένα σημείο σε ένα άλλο στην περιοχή εργασίας. Ο χρόνος μεταφοράς ενός σωλήνα είναι 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να μεταφερθούν 40 σωλήνες, εάν το φόρτωμα και το ξεφόρτωμα του σωλήνα στο μηχάνημα απαιτεί 15 δευτερόλεπτα; Πρόβλημα 18 Μια εταιρεία θέλει να παραγγείλει σιδερένιους σωλήνες μήκους 3,5 m, με εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Το συνολικό μήκος των σωλήνων πρέπει να είναι 9 km. Η τιμή των σωλήνων αυτών είναι 7,00 ευρώ το κιλό. Πόσο υπολογίζεται να πληρώσει η εταιρεία; 116

118 Πρόβλημα 19 Μια εταιρεία θέλει να παραγγείλει σιδερένιους σωλήνες δύο ειδών: Τύπου 1, με μήκος 3,5 m, εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 15 mm και τύπου 2, με μήκος 3,5 m, εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 20 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Η εταιρεία γνωρίζει ότι η τιμή του σωλήνα τύπου 1 είναι 540,00 ευρώ το κομμάτι. Τα 661,00 ευρώ θα ήταν μια καλή τιμή για τη σωλήνα τύπου 2; Πρόβλημα 20 Μια εταιρεία θέλει να παραγγείλει σιδερένιους σωλήνες μήκους 3,5 m, με εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Το συνολικό μήκος των σωλήνων πρέπει να είναι 9 km. έλαβαν δύο προσφορές: Προσφορά 1: 7,00 ευρώ ανά kg σωλήνων Προσφορά 2: 550,00 ευρώ ανά σωλήνα. Ποια είναι η καλύτερη προσφορά; Δικαιολογείστε τη γνώμη σας. Πρόβλημα 21 Στο σχέδιο ενός μηχανήματος με σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα c = 45 mm και μια κάθετη πλευρά a μήκους 27 mm, ο Τεχνικός Μηχανολογίας πρέπει να υπολογίσει τη δεύτερη κάθετη πλευρά και τις γωνίες του σχεδιασμένου τμήματος. Πρόβλημα 22 Στο σχέδιο ενός μηχανήματος που έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 45 mm και κάθετη πλευρά με μήκος 27 mm, ο τεχνικός Μηχανολόγος πρέπει να κάνει τρεις οπές στις τρεις γωνίες του τριγώνου σε απόσταση 3mm κι από τις δύο πλευρές. Ποιες είναι οι αποστάσεις ανάμεσα στις κορυφές και στις οπές; Πρόβλημα 23 Στο σχέδιο ενός μηχανήματος που έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 45 mm και μια κάθετη πλευρά 27 mm, ένας τεχνικός μηχανολογίας πρέπει να κάνει μια οπή στο κέντρο βάρους του. Υπολογίστε τις αποστάσεις της οπής κι από τις τρεις πλευρές του τριγώνου γνωρίζοντας ότι η οπή έχει διάμετρο 2 mm. 117

119 Πρόβλημα 1 Απάντηση: 7 cm Πρόβλημα 2 Απάντηση: Πρόβλημα 3 Λύση: a) 55 µm = 0,055 mm b) 9 µm = 0,009 mm c) 1036 µm = 1,036 mm. 28 in = 28 2,54 cm = 71,12 cm Λύσεις και απαντήσεις 28 cm = 28 0, in = 11,023622cm Πρόβλημα 4 Λύση: a) 1 in = 0, feet 1 feet = 1/0, in = 12, in = 12, ,54 cm = 30,480012cm b) 1 in = 0, yards 1 yard = 1/0, in = 36, in = 36, ,0254 m = 0, m 2 yards = 0, m 2 = 1, m Πρόβλημα 5 Απάντηση: Κινηματογράφος-Νηπιαγωγείο (Cinema Kindergarten), Κινηματογράφος-Αίθουσα Τέχνης (Cinema Art Gallery), Ζαχαροπλαστείο-Παιχνιδοπωλείο (Patisserie Toyshop). Πρόβλημα 6 Λύση: δωμάτιο Μήκος στο σχέδιο Πραγματικό μήκος Πλάτος στο σχέδιο Πραγματικό πλάτος Κρεβατοκάμαρα 3 cm cm = 6 m 2 cm cm = 4 m Κουζίνα 2,5 cm 2,5 200 cm = 5 m 1,5 cm 1,5 200 cm = 3 m Σαλόνι 600 cm : 200 = 6 m 4 cm cm = 8 m 3 cm Λουτρό 1 cm cm = 2 m 2 cm cm = 4 m Πρόβλημα 7 118

120 Λύση: Πρόβλημα 8 Λύση: a) 12 µm = 0,012 mm b) 3,5 µm = 0,0035 mm c) 3455 µm = 3,455 mm d) 259 µm = 0,259 mm e) 5,5 µm = 0,0055 mm 1840 mm = µm 92 mm = µm 10 mm = µm Πρόβλημα 9 Λύση: µm = 9200 mm = 9,20 m µm = 1250 mm = 1,25 m µm = 10 mm 1840 mm =1,84 m 92 mm = 0,092 m 9,20 : 1,84 = 5 1,25 : 0,092 13,59 5 x 13 = 65 σιδερένιες επιφάνειες τραπεζιών Η επιφάνεια που απομένει είναι πολύ μικρή για να κόψουμε περισσότερες επιφάνειες τραπεζιών. Πρόβλημα 10 Λύση: Διαστάσεις επιφανειών: µm = 8850 mm = 8,85 m µm = 1930 mm = 1,93 m µm = 10 mm Επιφάνεια τραπεζιού: 1840 mm =1,84 m 92 mm = 0,092 m 8,85 : 1,84 4,81 1,93 : 0,092 20,98 119

121 4 x 20 = 80 επιφάνειες τραπεζιών Η επιφάνεια που περισσεύει η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κοπή τραπεζιών: 1,49 m x 1,93 m 1,49 : 0,092 16,20 16 επιπλέον επιφάνειες τραπεζιών = 96 σε σύνολο Πρόβλημα 11 Λύση a) δείτε το Πρόβλημα 10. Πρόβλημα 12 Λύση: a) 65 επιφάνειες τραπεζιών (βλ. Πρόβλημα 9). b) 180/65 = 2,76 3 Ο κ. Παπαδόπουλος πρέπει να πληρώσει για 3 επιφάνειες τραπεζιών Πρόβλημα 13 Λύση: Συνολικό εμβαδόν των επιφανειών: 11,5 m 2. 11,5 x 3 = 34,5 m 2 εμβαδό των 3 επιφανειών 34,5 x 4 = 138 ευρώ κόστος του υλικού 2 x 180 = 360 ευρώ κόστος παραγωγής = 498 ευρώ ,15 x 498 = 572,70 ευρώ V D - Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο D V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d d = D 2 s = = 50 mm V D = π = 5600π cm 3 V d = π 2, = 2187,5 π cm 3 V p Όγκος σωλήνα V p = 5600π 2187,5π = 3412,5π 10715,25 cm 3 w βάρος σωλήνα w = ρ V w = 7, ,25 = 77149,8 g = 77,1498 kg 120

122 Πρόβλημα 14 Λύση: 500 kg = g : 7,2 = 69444, (4) μέγιστος όγκος V p = π 4 2 l π 2,5 2 l = 9,75 π l 9,75 π l = π l 7122,5 l max 2268,3 cm = 22,683 m Πρόβλημα 15 Λύση: V D - Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο D V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d d = D 2 s = = 40 mm V D = π = 5600π cm 3 V d = π = 1400 π cm 3 V p Όγκος σωλήνα V p = 5600π 1400π = 4200π cm 3 w βάρος σωλήνα w = ρ V w = 7, = 94953,6 g = 94,953 kg Πρόβλημα 16 Λύση: Ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για έναν σωλήνα είναι 15 δευτερόλεπτα + 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα + 15 δευτερόλεπτα = 5 λεπτά και 50 δευτερόλεπτα = 350 δευτερόλεπτα. 2 ώρες = 120 λεπτά = 7200 δευτερόλεπτα : ,57 Μέσα σε 2 ώρες είναι δυνατή η μεταφορά 20 σωλήνων. 121

123 Πρόβλημα 17 Λύση: Ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για έναν σωλήνα είναι 15 δευτερόλεπτα + 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα + 15 δευτερόλεπτα = 5 λεπτά και 50 δευτερόλεπτα = 350 δευτερόλεπτα = δευτερόλεπτα = 233,(3) λεπτά = 3 ώρες και 53 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα. Πρόβλημα 21 Λύση: a = 27 mm c = 45 mm b =;, α =;, β = ; 27 mm = 2,7 cm 45 mm = 4,5 cm a 2 + b 2 = c 2 (2,7) 2 + b 2 = (4,5) 2 \ (2,7) 2 b 2 = 20,25 7,29 b = 12,96 = 3,6 sin α = a c sin α = 2,7 = 0,6 τότε α = 36 4,5 τότε β= 180 ( ) = 54 Πρόβλημα 22 Λύση: a = 27 mm c = 45 mm 27 mm = 2,7 cm 45 mm = 4,5 cm Έστω α = a c Έστω α = 2,7 = 0,6 τότε α = 36 4,5 Τότε β= 180 ( ) =

124 A a β c A β 2 3 β 2 3 C b α B x η απόσταση από την κορυφή A sin β 2 = 3 x x = 3 3 = 6,61 mm sin 27 0,454 y η απόσταση από την κορυφή B sin α 2 = 3 y y = 3 3 = 9,71 mm sin 18 0,309 z η απόσταση από την κορυφή C z = 3 2 4,24 mm 123

125 Πρόβλημα 1 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών μετρήσεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 2 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 3 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Τύποι/δεδομένα 1 inch = 2,54 cm Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 4 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 5 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση αποστάσεων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 6 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα

126 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υποπεδίο Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Τύποι/δεδομένα 1 µm = 0,001 mm Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Πρόβλημα 9 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Τύποι/δεδομένα 1 µm = 0,001 mm Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Πρόβλημα 10 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υποπεδία Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Χώρος και σχήματα Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων 1 µm = 0,001 mm Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Πρόβλημα 11 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υποπεδία Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Πεδίο 3 Επάγγελμα/ρόλος Πρόβλημα 12 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικό υποπεδίο Χώρος και σχήματα Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων 1 µm = 0,001 mm Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδού Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Χώρος και σχήματα Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση 125

127 γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα 1 µm = 0,001 mm Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ισιότητες Χωρική απεικόνιση Τύποι/δεδομένα V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d: V d = π ( d 2 )2 l Βάρος σε σχέση με την πυκνότητα ρ και τον όγκο V: w = ρ V Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός μετρήσεων για βάρος και όγκο Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Διαχειριστής CNC Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d: V d = π ( d 2 )2 l Βάρος σε σχέση με την πυκνότητα ρ και τον όγκο V: w = ρ V Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός μετρήσεων βάρους, όγκου και χρόνου Σύγκριση ποσοτήτων Κοστολόγηση έργου Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Διευθυντής πωλήσεων Πρόβλημα 21 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υποπεδία Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Χώρος και σχήματα Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τριγωνομετρία και γεωμετρία Πυθαγόρειο Θεώρημα, Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ορισμοί και πίνακες) Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Υπολογισμός μήκους και γωνίας Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός/Μηχανολόγος Μηχανικός, Διαχειριστής CNC 126

128 Πρόβλημα 22 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τριγωνομετρία και γεωμετρία Τύποι/δεδομένα Πυθαγόρειο Θεώρημα Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ορισμοί και πίνακες) Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Υπολογισμός μήκους και γωνιών Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός/Μηχανολόγος Μηχανικός, Διαχειριστής CNC Πρόβλημα 23 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τριγωνομετρία και γεωμετρία Τύποι/δεδομένα Πυθαγόρειο θεώρημα Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ορισμοί και πίνακες)νόμος των συνημίτονων, το κέντρο βάρους διαιρεί τη διάμεσο σε δύο μέρη με λόγο 2:1. Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Υπολογισμός μήκους και γωνιών Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Τεχνικός Μηχανολογίας/Μηχανολόγος Μηχανικός, Διαχειριστής CNC 127

129 L12: 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι γεωμετρικών σχημάτων Θεωρία Μπορούμε να ταξινομήσουμε τα γεωμετρικά σχήματα ανάλογα με τις ιδιότητές τους. Μια από τις ιδιότητές τους αφορά τη διάσταση. Έχουμε σχήματα με: Μηδενικές διαστάσεις: σημεία: A Μονοδιάστατα: ευθείες και ευθύγραμμα τμήματα. Οι ευθείες είναι απεριόριστες, τα ευθύγραμμα τμήματα αποτελούν περιορισμένα μέρη των ευθειών (μπορεί να μετρηθεί το μήκος τους). B C Σχήματα με δύο διαστάσεις: πολύγωνα, κύκλοι, καμπύλες, Σχήματα με τρεις διαστάσεις: στερεά Σχήματα με δύο διαστάσεις Τα πολύγωνα έχουν ευθείες πλευρές. Μπορούν να έχουν τρεις, τέσσερις, πέντε,.πλευρές. Τρίγωνα Τετράπλευρα Πεντάγωνα Εξάγωνα Επτάγωνα Τρίγωνα Τα τρίγωνα έχουν τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. 128

130 a b c Αν όλες οι πλευρές έχουν το ίδιο μήκος, το τρίγωνο ονομάζεται ισόπλευρο - σχήμα a Αν οι δύο πλευρές έχουν το ίδιο μήκος, το τρίγωνο ονομάζεται ισοσκελές - σχήμα b Αν κάθε πλευρά έχει διαφορετικό μήκος, το τρίγωνο ονομάζεται σκαληνό - σχήμα c Τα τρίγωνα μπορεί να έχουν διαφόρων ειδών γωνίες. Αν 0 0 < α < 90 0, 0 0 < β < 90 0, 0 0 < γ < 90 0, Το τρίγωνο ονομάζεται οξυγώνιο (σχ.a) Αν γ = 90 0 Το τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο (σχ.b) Αν 90 0 < γ < 180 0, Το τρίγωνο ονομάζεται αμβλυγώνιο (σχ.c) Το άθροισμα των μέτρων των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη. Αυτά είναι γραμμές κάθετες προς τη βάση, όπου το ένα άκρο της είναι η κορυφή του τριγώνου απέναντι από την βάση. Τα ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) τέμνονται σε ένα κοινό σημείο. Τετράπλευρα Μεταξύ των πολυγώνων που έχουν 4 πλευρές περιλαμβάνονται τα: 129

131 Τετράγωνο: - 4 ίσες πλευρές - 4 ορθές γωνίες - 2 ζεύγη παράλληλων πλευρών Ρόμβος: - 4 ίσες πλευρές - 2 ζεύγη ίσες γωνίες - 2 ζεύγη παράλληλων πλευρών Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο: -2 ίσες πλευρές -2 διαφορετικές ίσες πλευρές - 4 ορθές γωνίες - 2 ζεύγη παράλληλων πλευρών Τραπέζιο: -4 πλευρές - μόνο1 ζεύγος παράλληλων πλευρών Παραλληλόγραμμο: -2 ίσες πλευρές -2 άλλες ίσες πλευρές -2 ζεύγη ίσες γωνίες - 2 ζεύγη παράλληλων πλευρών Δελτοειδές: - 2 ζεύγη διαδοχικών ίσων πλευρών - 1 ζεύγος ίσων γωνιών Παράδειγμα: Συμπληρώστε τον πίνακα με τις ιδιότητες των βασικών πολυγώνων Σχήμα Ίσες πλευρές Ένα ζεύγος παράλληλων πλευρών Ορθή γωνία Τετράγωνο Ορθογώνιο Μια γωνία μεγαλύτερη από ορθή γωνία Μια γωνία μικρότερη από ορθή γωνία Παραλληλόγραμμο? Ρόμβος? Τραπέζιο?? Κανονικό εξάγωνο Μπορούμε να φτιάξουμε ένα τραπέζιο με δύο ίσες πλευρές: Μπορούμε να φτιάξουμε ένα τραπέζιο με μια ορθή γωνία: Ένα παραλληλόγραμμο μπορεί να έχει μια ορθή γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση όλες οι γωνίες του είναι ορθές και είναι ορθογώνιο. Ένας ρόμβος μπορεί να έχει μια ορθή γωνία. Σε αυτή την περίπτωση όλες οι γωνίες του είναι ορθές και είναι ένα τετράγωνο. 130

132 Άξονας συμμετρίας Κάποια πολύγωνα είναι συμμετρικά, καθώς διαθέτουν έναν άξονα συμμετρίας, σαν να έχει κοπεί το σχήμα όπως μια σελίδα χαρτί διπλωμένη στη μέση. Γραμμή αναδίπλωσης Άξονας συμμετρίας σχήματος Σχέσεις από σχήμα σε σχήμα Τα σχήματα μπορούν να διαταχθούν με διάφορους τρόπους. Ακολουθούν ορισμένες από τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς: Η παράλληλη μετατόπιση: όλα τα στοιχεία ενός σχήματος μετακινούνται με τον ίδιο τρόπο όπως το διάνυσμα Αξονική συμμετρία: τα δύο σχήματα είναι τοποθετημένα στην κάθε μια από τις πλευρές του άξονα συμμετρίας, και οι γραμμές που συνδέουν τα αντίστοιχα σημεία είναι κάθετες στον άξονα. Ο άξονας διχοτομεί αυτές τις γραμμές. Περιστροφή Το σημείο O παραμένει σταθερό. Τα σημεία του σχήματος κινούνται σε ημικύκλιο. Αυτές οι διατάξεις μπορούν να εντοπιστούν σε διάφορα μωσαϊκά όπως τα ακόλουθα. 131

133 Περίμετρος Η περίμετρος ενός σχήματος είναι η απόσταση από σημείο σε σημείο της περιφέρειάς του. Παράδειγμα: Σε ένα τρίγωνο το μήκος των πλευρών είναι 4,5 cm, 4,5cm and 4cm, οπότε η περίμετρός του ισούται με 4,5 cm + 4,5 cm + 4 cm = 13 cm. Η περίμετρος του παραλληλογράμμου ισούται με 5 cm + 5,5 cm + 5 cm+ 5,5 cm = 21 cm. Παράδειγμα: Σε ένα ορθογώνιο το μήκος είναι 20 cm, και το πλάτος 6,2 cm. Πόση είναι η περίμετρος; Απάντηση: Η περίμετρος είναι 20 cm + 6,2 cm + 20 cm + 6,2 cm = 52,4 cm. Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να προσεγγιστεί με τους ακόλουθους υπολογισμούς: 2 20 cm + 2 6,2 cm = 40 cm + 12,4 cm = 52,4 cm. Αλλιώς με τον ακόλουθο τρόπο: (20 cm + 6,2 cm) 2 = 26,2 cm 2 = 52,4 cm. Για συγκεκριμένα σχήματα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε συγκεκριμένους τύπους : 132

134 P = a + b + c P = a +2 b P = 3a P = 2a + 2b P = 4a P = 2a + 2b P = 4a P = a + 2b + c P = 2a + 2b Περίμετρος κύκλου Η περίμετρος ενός κύκλου ονομάζεται περιφέρεια. Ισούται με λίγο περισσότερο από 3 φορές τη διάμετρό του (δείτε την πράσινη γραμμή στο σχήμα). Κάνοντας τους ακριβείς υπολογισμούς μπορούμε να βρούμε ότι περιφέρεια: διάμετρος = 3, = π. Επομένως, περιφέρεια = διάμετρος π = π 2r = 2 πr Εμβαδό Εμβαδό είναι η ποσότητα της επιφάνειας που καλύπτεται από ένα επίπεδο σχήμα. Τυπικά χρησιμοποιούμε τετραγωνικές μονάδες μέτρησης. Όταν η πλευρά του τετραγώνου είναι 1 cm, η μονάδα μέτρησης είναι το τετραγωνικό εκατοστό(cm 2 ) Αυτό είναι 1 cm 2 Παράδειγμα: Η επιφάνεια καθενός από αυτά τα σχήματα είναι is 4 cm 2 Μερικές φορές είναι απαραίτητο να κόψουμε τη μονάδα μέτρησης, για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το εμβαδό πιο σύνθετων σχημάτων. 133

135 Εμβαδό τυπικών σχημάτων Η επιφάνεια κάθε τετραγώνου εξαρτάται από το μήκος των πλευρών του. Εδώ το εμβαδό είναι 4 4 cm 2 = 16 cm 2. Όταν το μήκος είναι a, το εμβαδό του τετραγώνου είναι a a = a 2. Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι a b Εμβαδό τριγώνου. Δείτε τα σχήματα: h h h a a a S = ½ a h S = ½ a h S = ½ a h Το εμβαδό του τριγώνου είναι ½ a h Εμβαδό του παραλληλογράμμου. Δείτε τα σχήματα: Το εμβαδό του παραλληλογράμμου είναι: S = a h 1 or S = b h 2 Εμβαδό τραπεζίου. Δείτε τα σχήματα: b a = S + S = 2S = (a + b) h S = ½ (a + b) h Το εμβαδό του τραπεζίου είναι: S = ½ (a + b) h 134

136 Τρισδιάστατα σχήματα (3-D) Περιγράφουμε τα 3D σχήματα ονομάζοντας πόσες έδρες, ακμές και κορυφές έχουν. Για τον κύβο: έδρα ακμή κορυφή 6 έδρες (τετράγωνα) 12 ακμές (γραμμές με ίδιο μήκος) 8 κορυφές (σημεία) Άλλα 3-D σχήματα είναι: Τετραγωνική πυραμίδα Τριγωνικό πρίσμα Κύλινδρος Πρίσμα Όγκος Όγκος είναι ο χώρος που καταλαμβάνει μια κυβική μονάδα μέτρησης, η οποία έχει μήκος πλευρών 1 cm. Αυτή είναι μια κυβική μονάδα μέτρησης: = 1 cm 3 Κάθε μια από αυτές τις 3-D μορφές έχει όγκο 4 cm 3 Όγκος ενός κυβοειδούς = μήκος πλάτος ύψος Αναπτύγματα Για να κατασκευάσουμε ένα στερεό (3-D σχήμα) από χαρτί, σχεδιάζουμε το ανάπτυγμά του. Το ανάπτυγμα είναι το σύστημα των όψεών του, οι οποίες μπορούν να διπλωθούν για να κατασκευαστεί το στερεό. Ακολουθούν κάποια στερεά και τα αναπτύγματά τους. 135

137 136

138 Πρόβλημα 1 Προβλήματα Βρείτε τη γωνία γ, αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η μία γωνία βάσης είναι Πρόβλημα 2 Είναι ένα τετράγωνο ένας ρόμβος; Πρόβλημα 3 Πόσες γραμμές συμμετρίας έχει ένα τετράγωνο; Πρόβλημα 4 Σχεδιάστε τα στοιχεία που λείπουν στο δάπεδο που φαίνεται. Τι τύπους μετασχηματισμών μπορείτε να εντοπίσετε; Πρόβλημα 5 Πώς θα υπολογίσετε τη συνολική περίμετρο για το σύνθετο σχήμα που δείχνει η εικόνα; Πρόβλημα 6 Ποιο είναι το εμβαδόν των σχημάτων 1,2,3,4; 137

139 Πρόβλημα 7 Περιγράψτε ένα τριγωνικό πρίσμα. Πρόβλημα 8 Βρείτε τον όγκο κάθε πρίσματος. Συμπληρώστε τον πίνακα. μήκος πλάτος ύψος όγκος 6m 3m 5m 15 cm 4 cm 46 mm 2,4 cm 58 mm 6 cm Πρόβλημα 9 Είναι αυτό ένα ανάπτυγμα κύβου; Πρόβλημα 10 Υπολογίστε το βάρος του σιδερένιου σωλήνα όταν σας δίνεται ότι το μήκος του είναι 3,5 m, η εξωτερική διάμετρός του 80 mm και το πάχος του περιβλήματός του 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Δεδομένα: D = 80 mm, s = 15 mm, l = 350 cm, ρ = 7,2 g/cm 3 Πρόβλημα 11 Ποιο είναι το μέγιστο μήκος ενός σιδερένιου σωλήνα προκειμένου να ανυψωθεί από χειροκίνητο ανυψωτικό μηχάνημα με επιτρεπόμενο όριο αντοχής βάρους

140 kg; Η εξωτερική διάμετρος του σωλήνα είναι 80 mm και το πάχος του περιβλήματός του 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Πρόβλημα 12 Υπολογίστε το βάρος ενός σιδερένιου σωλήνα όταν σας δίνεται ότι το μήκος του είναι 3,5 m, η εξωτερική του διάμετρος είναι 80 mm και το πάχος του περιβλήματός του είναι 20 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Πρόβλημα 13 Σιδερένιοι σωλήνες πρέπει να μεταφερθούν από ένα σημείο σε ένα άλλο. Ο χρόνος μεταφοράς ενός σωλήνα είναι 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα. Πόσοι σωλήνες μπορούν να μεταφερθούν εντός 2 ωρών αν το φόρτωμα και ξεφόρτωμα των σωλήνων στο μηχάνημα απαιτεί 15 δευτερόλεπτα; Πρόβλημα 14 Σιδερένιοι σωλήνες πρέπει να μεταφερθούν από ένα σημείο σε ένα άλλο στην περιοχή εργασίας. Ο χρόνος μεταφοράς ενός σωλήνα είναι 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να μεταφερθούν 40 σωλήνες, εάν το φόρτωμα και το ξεφόρτωμα του σωλήνα στο μηχάνημα απαιτεί 15 δευτερόλεπτα; Πρόβλημα 15 Μια εταιρεία θέλει να παραγγείλει σιδερένιους σωλήνες μήκους 3,5 m, με εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Το συνολικό μήκος των σωλήνων πρέπει να είναι 9 km. Η τιμή των σωλήνων αυτών είναι 7,00 ευρώ το κιλό. Πόσο υπολογίζεται να πληρώσει η εταιρεία; Πρόβλημα 16 Μια εταιρεία θέλει να παραγγείλει σιδερένιους σωλήνες δύο ειδών: Τύπου 1, με μήκος 3,5 m, εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 15 mm και τύπου 2, με μήκος 3,5 m, εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 20 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Η εταιρεία γνωρίζει ότι η τιμή του σωλήνα τύπου 1 είναι 540,00 ευρώ το κομμάτι. Τα 661,00 ευρώ θα ήταν μια καλή τιμή για τη σωλήνα τύπου 2; 139

141 Πρόβλημα 17 Μια εταιρεία θέλει να παραγγείλει σιδερένιους σωλήνες μήκους 3,5 m, με εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Το συνολικό μήκος των σωλήνων πρέπει να είναι 9 km. έλαβαν δύο προσφορές: Προσφορά 1: 7,00 ευρώ ανά kg σωλήνων Προσφορά 2: 550,00 ευρώ ανά σωλήνα. Ποια είναι η καλύτερη προσφορά; Δικαιολογείστε τη γνώμη σας. Πρόβλημα 18 Στο σχέδιο ενός μηχανήματος με σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα c = 45 mm και μια κάθετη πλευρά a μήκους 27 mm, ο Τεχνικός Μηχανολογίας πρέπει να υπολογίσει τη δεύτερη κάθετη πλευρά και τις γωνίες του σχεδιασμένου τμήματος. Πρόβλημα 19 Στο σχέδιο ενός μηχανήματος που έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 45 mm και κάθετη πλευρά με μήκος 27 mm, ο τεχνικός Μηχανολόγος πρέπει να κάνει τρεις οπές στις τρεις γωνίες του τριγώνου σε απόσταση 3mm και από τις δύο πλευρές. Ποιες είναι οι αποστάσεις ανάμεσα στις κορυφές και στις οπές; Πρόβλημα 20 Στο σχέδιο ενός μηχανήματος που έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 45 mm και μια κάθετη πλευρά 27 mm, ένας τεχνικός μηχανολογίας πρέπει να κάνει μια οπή στο κέντρο βάρους του. Υπολογίστε τις αποστάσεις της οπής κι από τις τρεις πλευρές του τριγώνου γνωρίζοντας ότι η οπή έχει διάμετρο 2 mm. Πρόβλημα 21 Η εικόνα δείχνει ένα κομμάτι υλικού με διαστάσεις 60mm x 80mm x 20mm. Ένα τρυπάνι χρησιμοποιήθηκε για να γίνει μια οπή με διάμετρο 10mm στο υλικό. Υπολογίστε τον όγκο του υλικού που θα απομείνει. 140

142 Πρόβλημα 22 Το σχήμα δείχνει ένα κομμάτι υλικού με διαστάσεις 60mm x 80mm x 20mm. Ένα τρυπάνι χρησιμοποιήθηκε για να κάνει μια οπή στο υλικό. Αν ο όγκος του υλικού που απομένει είναι 94429mm³, ποια ήταν η διάμετρος της οπής που έγινε; Πρόβλημα 23 Το σχήμα του Προβλήματος 21 δείχνει ένα τούβλο με 60mm φάρδος x 80mm μήκος x 20mm ύψος. Ένα τρυπάνι χρησιμοποιήθηκε για να κάνει μια οπή στο υλικό με διάμετρο 10mm. Η διαδικασία επαναλήφθηκε για έναν αριθμό κομματιών, έτσι ώστε ο συνολικός όγκος του υλικού που απέμεινε να είναι περίπου 25505mm³. Πόσα κομμάτια τρυπήθηκαν; Πρόβλημα 24 Το σχήμα στο Πρόβλημα 21 δείχνει ένα κομμάτι υλικού με διαστάσεις 60mm x 80mm x 20mm. Ένα τρυπάνι χρησιμοποιήθηκε για να ανοίξει μια οπή στο υλικό. Ποια είναι η μέγιστη διάμετρος της οπής ώστε ο όγκος του εναπομείναντος υλικού να είναι περίπου 94,5mm³; Πρόβλημα 25 Το σχήμα στο Πρόβλημα 21 δείχνει ένα κομμάτι υλικού με διαστάσεις 60mm x 80mm x 20mm. Ένα τρυπάνι χρησιμοποιήθηκε για να ανοίξει μια οπή με διάμετρο 10mm. Η διαδικασία επαναλήφθηκε για έναν αριθμό κομματιών και το υλικό που αφαιρέθηκε από τις οπές τοποθετήθηκε σε ένα δοχείο με όγκο 10m 3. Η διαδικασία διάτρησης σταμάτησε αυτόματα όταν το δοχείο προσέγγισε το 90% της χωρητικότητάς του. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός κομματιών που μπορεί να διατρηθεί πριν σταματήσει η διαδικασία; 141

143 Πρόβλημα 26 Για να διανοιχθεί η οπή 2 (Loch 2) που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ρυθμιζόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 (Loch 1) με γωνία 30 o. Το τρυπάνι πρέπει να προσεγγίσει την οπή 2 το αργότερο μετά από 0,8 s. Ποια είναι η ελάχιστη μέση ταχύτητα κίνησης σε m/min; Πρόβλημα 27 Για να διανοιχθεί η οπή 2 που εικονίζεται στο Πρόβλημα 26, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ελεγχόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 με γωνία 45 o. Το τρυπάνι πρέπει να προσεγγίσει την οπή 2 το αργότερο μετά από 0,8 s. Ποια είναι η ελάχιστη μέση ταχύτητα κίνησης σε m/min; Πρόβλημα 28 Για να διανοιχθεί η οπή 2 όπως φαίνεται στο σχήμα στο Πρόβλημα 26, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ελεγχόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 με γωνία 30 o. Το τρυπάνι φτάνει στην οπή 2 σε 0,8 s και η διάτρηση της οπής διαρκεί 0,5 s. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για έναν αριθμό οπών. Πόσες οπές μπορούν να διανοιχθούν σε χρόνο 2 min; Πρόβλημα 29 Για να διανοιχθεί η οπή 2 όπως φαίνεται στο σχήμα στο Πρόβλημα 26, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ελεγχόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 με γωνία 30 o. Το τρυπάνι προσεγγίζει την οπή 2 σε 0,8 s και η διάτρηση μιας οπής διαρκεί 0,5 s. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για έναν αριθμό οπών για 2 min. Δεδομένου ότι η απόσταση από το κέντρο της οπής 1 είναι 2 cm κι από τις 142

144 δύο άκρες του υλικού, υπολογίστε τις ελάχιστες διαστάσεις του υλικού προκειμένου να ολοκληρωθεί η διαδικασία διάτρησης. Πρόβλημα 30 Ένα ψηφιακά ελεγχόμενο μηχανικό εργαλείο κινείται με σταθερή ταχύτητα 6,5 m/min. Η διάτρηση μιας οπής διαρκεί 0,5 s. Βρείτε τις πιο σύντομες διαδρομές που πρέπει να ακολουθήσει το τρυπάνι για να ολοκληρώσει τις μορφές που δίνονται στα παρακάτω σχήματα. Πρόβλημα 31 Ένα μηχάνημα παράγει ατσάλινους κυλίνδρους. Το μήκος της μεταλλικής επιφάνειας, από την οποία κόπηκαν οι κύλινδροι είναι 2000 mm, και το πάχος είναι 100 mm. Ποιο είναι το βάρος του κυλίνδρου εάν το μήκος του είναι 240 mm και η διάμετρός του είναι ίση με το πάχος της μεταλλικής επιφάνειας (ρ = 7,85 kg/dm 3 ); Πρόβλημα 32 Ένας πελάτης παρήγγειλε ατσάλινους κυλίνδρους από μια εταιρεία. Το μήκος της μεταλλικής επιφάνειας από την οποία κόπηκαν οι κύλινδροι είναι 2000 mm, και το πάχος τους είναι 100 mm. Το μήκος ενός κυλίνδρου είναι 240 mm και η διάμετρός του είναι ίση με το πάχος της μεταλλικής επιφάνειας (ρ = 7,85 kg/dm 3 ). Πόσα φορτηγά χρειάζονται προκειμένου να μεταφερθούν τα υλικά που παρήγγειλε ο πελάτης; Ο συνολικός όγκος του μεταφορικού οχήματος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από 40 t, το βάρος ενός άδειου φορτηγού είναι περίπου 20 t. 10 κύλινδροι είναι συσκευασμένοι σε ένα κιβώτιο το οποίο ζυγίζει 20 kg. Πρόβλημα 33 Μια εταιρεία που παράγει ατσάλινους κυλίνδρους μεταφέρει τα υλικά με χρέωση. Πόσο θα πληρώσει ένας πελάτης για κυλίνδρους και πόσο θα κερδίσει η εταιρεία από τον πελάτη; Η εταιρεία του πελάτη βρίσκεται σε απόσταση 200 km από την εταιρεία. Το κόστος μεταφοράς με ένα φορτηγό είναι 80 ευρώ την ώρα. Το κόστος παραγωγής ενός κυλίνδρου είναι 53 ευρώ. Το περιθώριο κέρδους ανέρχεται στο 10% για έναν κύλινδρο. 143

145 Πρόβλημα 34 Υπολογίστε το εμβαδόν στα ακόλουθα πολύγωνα που είναι περιγεγραμμένα σε έναν κύκλο με διάμετρο d: a) ένα ισόπλευρο τρίγωνο b) ένα τετράγωνο c) ένα εξάγωνο Βοηθητικό στοιχείο: Στα σχέδια, σκεφτείτε ποια είναι η σχέση ανάμεσα στη διάμετρο d και στο μήκος των αντίστοιχων πλευρών κάθε πολυγώνου. a r Πρόβλημα 35 Μπάλες με διάμετρο 20 cm πρέπει να συσκευαστούν κάθε μια ξεχωριστά στο κατάλληλο κουτί. Σχεδιάστε το κουτί για αυτό το σκοπό. Υπολογίστε πόσο υλικό απαιτείται για την παραγωγή του. Λάβετε υπόψη τα ακόλουθα σχήματα για τα κουτιά: 1. Ένα κουτί στο σχήμα εξαγωνικού πρίσματος. 2. Κουτί σε σχήμα κύβου. 3. Κουτί σε σχήμα κυλίνδρου. 4. Προτείνετε το δικό σας κουτί. Πρόβλημα 36 Μπάλες με διάμετρο 20 cm πρέπει να συσκευαστούν κάθε μια ξεχωριστά στο κατάλληλο κουτί. Σχεδιάστε ένα κουτί για το σκοπό αυτό. Υπολογίστε για ποιο κουτί είναι απαραίτητο το λιγότερο δυνατό υλικό (ποια επιφάνεια θα είναι η μικρότερη). Πρόβλημα 37 Μπάλες με διάμετρο 20 cm θα συσκευαστούν η κάθε μια ξεχωριστά σε κυλινδρικά κουτιά. Τα τμήματα των βάσεων των κουτιών κόβονται από μια επιφάνεια με εμβαδό 130 cm x 75 cm. Εξετάστε τις ακόλουθες διατάξεις για την κοπή των βάσεων. A. Πόσες βάσεις μπορούν να κοπούν από ένα μόνο φύλλο βάσης για κάθε μια από τις πιο πάνω διατάξεις; 144

146 B. Ποια από αυτές τις διατάξεις είναι η βέλτιστη, αν λάβουμε υπόψη την ποσότητα του υλικού που χρησιμοποιήθηκε; Λάβετε υπόψη ότι στη διάταξη των στοιχείων είναι απαραίτητο να συμπεριληφθούν 0.5 mm για την γραμμή κοπής. Πρόβλημα 38 Μπάλες με διάμετρο 20 cm θα πακεταριστούν το καθένα ξεχωριστά σε πρισματικά κουτιά. Τα συστατικά των βάσεων των κουτιών είναι κομμένα από ένα φύλλο επιφάνειας με διαστάσεις 130 cm x 75 cm. Εξετάστε τις ακόλουθες διατάξεις για τις κομμένες βάσεις: βάση τετραγώνου ή εξαγωνική βάση. A. Πόσες βάσεις μπορούν να κοπούν από ένα μόνο φύλλο για κάθε μια από αυτές τις διατάξεις; B. Ποια από αυτές τις διατάξεις είναι η βέλτιστη, αν λάβουμε υπόψη την ποσότητα του υλικού που χρησιμοποιήθηκε; Λάβετε υπόψη ότι στη διάταξη στοιχείων είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε 0.5 mm για την γραμμή κοπής. Πρόβλημα 39 Μπάλες με διάμετρο 20 cm θα πακεταριστούν κάθε μια ξεχωριστά σε κυλινδρικά κουτιά. Τα συστατικά των βάσεων των κουτιών κόβονται από ένα φύλλο υλικού. Πρέπει να κόψετε 24 κύκλους. Στην Εικόνα μπορείτε να δείτε δύο δυνατές διατάξεις. Η απόσταση από την άκρη του φύλλου υλικού πρέπει να είναι τουλάχιστον 2 mm και είναι απαραίτητο να υπολογίσετε 0.5 mm για την γραμμή κοπής. A. Πώς θα σχεδιάσετε την βέλτιστη διάταξη; B. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της σελίδας για να έχετε τη μικρότερη σπατάλη υλικού; C. Τι ποσοστό της επιφάνειας ενός ορθογώνιου φύλλου θα πεταχτεί; Πρόβλημα 40 Ένας χειριστής CNC καλείται να κόψει μια ράβδο έτσι ώστε η διάμετρός της να μειωθεί ελαφρώς από την τιμή της μέγιστης διαμέτρου D = 400 mm σε απόσταση L 145

147 = 200 mm από την τιμή της ελάχιστης διαμέτρου d = 300 mm. Ένας χειριστής καλείται στη συνέχεια να υπολογίσει την κωνική παραμόρφωση του κώνου C και τη γωνία ενός εργαλείου διαμόρφωσης διαφάνειας. Ποια είναι η κωνική παραμόρφωση του κώνου C, αν το D είναι 400 mm, το d είναι 300 mm, και το μήκος L είναι 200 mm; Πρόβλημα 41 Ένας χειριστής CNC καλείται να φτιάξει ένα στοιχείο κωνικού σχήματος και διαστάσεων L = 120 mm και d= 20 mm σε μια ράβδο με διάμετρο D = 24 mm και συνολικό μήκος L w = 300 mm. Ένας χειριστής πρέπει να επαναφέρει τον άξονα του κεντροφορέα ενός τόρνου από μια δεδομένη τιμή, την οποία πρέπει να υπολογίσει. Επομένως το πρόβλημα είναι το ακόλουθο: ένας κώνος διαστάσεων L = 120 mm και d = 20 mm πρόκειται να μηχανουργηθεί σε μια ράβδο με διαστάσεις D =24 mm και L w = 300 mm μέσω μιας μετατόπισης κεντροφορέα. 1. Ποια είναι η κορυφή του κώνου; 2. Ποια είναι η σύμπτυξη του κεντροφορέα; 3. Ποια είναι η μέγιστη μετατόπιση τους κεντροφορέα; Równolegle do osi Πρόβλημα 42 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους, όπως δείχνουν τα διαγράμματα A και B. Ένας πελάτης ήρθε με ένα μεταλλικό φύλλο διαστάσεων 950x1200 mm. Θέλει να λάβει 27 ζεύγη τμημάτων. Είναι αυτό δυνατό; 146

148 Διάγραμμα A Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm 147

149 Πρόβλημα 1 Λύση: Λύσεις και απαντήσεις Στο ισοσκελές τρίγωνο οι δύο γωνίες βάσης έχουν το ίδιο μέτρο. Γι αυτό, υπολογίζουμε τη γωνία γ: = Αυτή η γωνία είναι μεγαλύτερη από την ορθή γωνία, γι αυτό το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. Πρόβλημα 2 Λύση: Ναι, επειδή έχει 4 ίσες πλευρές, 2 ζεύγη ίσες γωνίες (περισσότερες, αλλά δεν έχει σημασία), 2 ζεύγη παράλληλες πλευρές (περισσότερες, αλλά δεν έχει σημασία). Πρόβλημα 3 Λύση: Τέσσερις Πρόβλημα 4 Απάντηση: Μετατοπίσεις Πρόβλημα 5 Λύση: Ξεκινώντας από την αριστερή επάνω γωνία, προχωρώντας προς τα κάτω: 2 cm + 3 cm + 3 cm + 6 cm + 2 cm + 5 cm + (2 cm + 3 cm + 2 cm) + x cm = 21 cm + 7 cm + x cm = 28 cm + x cm. x οριζόντια τμήματα + κάθετα τμήματα. Οριζόντια τμήματα είναι: 3 cm + 6 cm + 5 cm = 14 cm. Κάθετα τμήματα είναι: 2 cm + 2 cm = 4 cm. So, x = 14 cm + 4 cm = 18 cm. Η συνολική περίμετρος είναι: 28 cm + 18 cm = 46 cm. Πρόβλημα 6 Απάντηση: Στο σχήμα 1 η επιφάνεια είναι 6 ¾ cm 2. Στο σχήμα 2 η επιφάνεια είναι 6 cm 2. Στο σχήμα 3 η επιφάνεια είναι 6 ¼ cm 2. Στο σχήμα 3 η επιφάνεια είναι 12 ½ cm 2. Πρόβλημα 7 Λύση: Το τριγωνικό πρίσμα έχει 5 έδρες 2 έδρες είναι τρίγωνα, 3 έδρες είναι παραλληλόγραμμα. Έχει 6 κορυφές και 9 ακμές. 148

150 Πρόβλημα 8 Απάντηση: Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις ίδες μονάδες μέτρησης σε όλες τις πλευρές. μήκος πλάτος ύψος όγκος 6m 3m 5m 90 m 3 15 cm 4 cm 4,6 cm 276 cm 3 2,4 cm 5,8 cm 6 cm 69,6 cm 3 Πρόβλημα 9 Απάντηση: Ναι. Πρόβλημα 10 Λύση: V D - Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο D V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d d = D 2 s = = 50 mm V D = π = 5600π cm 3 V d = π 2, = 2187,5 π cm 3 V p Όγκος σωλήνα V p = 5600π 2187,5π = 3412,5π 10715,25 cm 3 w βάρος σωλήνα w = ρ V w = 7, ,25 = 77149,8 g = 77,1498 kg Πρόβλημα 11 Λύση: 500 kg = g : 7,2 = 69444, (4) μέγιστος όγκος V p = π 4 2 l π 2,5 2 l = 9,75 π l 9,75 π l = π l 7122,5 l max 2268,3 cm = 22,683 m Πρόβλημα 12 Λύση: V D - Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο D V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d d = D 2 s = = 40 mm 149

151 V D = π = 5600π cm 3 V d = π = 1400 π cm 3 V p Όγκος σωλήνα V p = 5600π 1400π = 4200π cm 3 w βάρος σωλήνα w = ρ V w = 7, = 94953,6 g = 94,953 kg Πρόβλημα 13 Λύση: Ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για έναν σωλήνα είναι 15 δευτερόλεπτα + 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα + 15 δευτερόλεπτα = 5 λεπτά και 50 δευτερόλεπτα = 350 δευτερόλεπτα. 2 ώρες = 120 λεπτά = 7200 δευτερόλεπτα : ,57 Μέσα σε 2 ώρες είναι δυνατή η μεταφορά 20 σωλήνων. Πρόβλημα 14 Λύση: Ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για έναν σωλήνα είναι 15 δευτερόλεπτα + 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα + 15 δευτερόλεπτα = 5 λεπτά και 50 δευτερόλεπτα = 350 δευτερόλεπτα = δευτερόλεπτα. = 233,(3) λεπτά. = 3 ώρες και 53 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα. Πρόβλημα 15 Λύση: Η εταιρεία θα χρειαστεί 2572 σωλήνες (9000:3,5 = 2571,42). Ο ένας σωλήνας ζυγίζει 77,1498 kg (Πρόβλημα 10). Το συνολικό κόστος θα είναι: ευρώ. Πρόβλημα 18 Λύση: 27 mm = 2,7 cm 45 mm = 4,5 cm a 2 + b 2 = c 2 (2,7) 2 + b 2 = (4,5) 2 \ (2,7) 2 b 2 = 20,25 7,29 b = 12,96 = 3,6 sin α = a c 150

152 sin α = 2,7 = 0,6 to α = 36 4,5 sin α = 2,7 = 0,6 τότε α = 36 4,5 Τότε β= 180 ( ) = 54 Πρόβλημα 19 Λύση: a = 27 mm c = 45 mm 27 mm = 2,7 cm 45 mm = 4,5 cm Έστω α = a c Έστω α = 2,7 = 0,6 τότε α = 36 4,5 Τότε β= 180 ( ) = 54 A a β c A β 2 3 β 2 3 C b α B x η απόσταση από την κορυφή A sin β 2 = 3 x x = 3 3 = 6,61 mm sin 27 0,454 y η απόσταση από την κορυφή B sin α 2 = 3 y y = 3 3 = 9,71 mm sin 18 0,309 z η απόσταση από την κορυφή C z = 3 2 4,24 mm 151

153 Πρόβλημα 21 Λύση: Όγκος του υλικού αρχικά V1: V1 = l x w x h V1 = 80 x 60 x 20 = mm³ Όγκος της κυλινδρικής οπής: V2: V2 = πr 2 h π = 3,142 h=20mm r= 5mm V2 = 3,142 x 5²x20 V2 = 1.571mm³ Όγκος του υλικού που απομένει: V1 V2 = = mm³ Πρόβλημα 22 Απάντηση: 10 mm Πρόβλημα 23 Απάντηση: 270 Πρόβλημα 26 Απάντηση: v = 6,3 m/min Πρόβλημα 27 Απάντηση: 4,455 m/min Πρόβλημα 28 Απάντηση: 92 οπές Πρόβλημα 29 Απάντηση: Οι ελάχιστες διαστάσεις είναι: a = 3,85 m, b = 6,67 m. Πρόβλημα 31 Λύση: h = 240 mm = 0,24 m r = 50 mm = 0,05 m V όγκος κυλίνδρου V = πr 2 h = π(0,05) 2 0,24 0,0019 [m 3 ] // π 3,

154 Αν 7,85 kg 1 dm 3 Τότε x kg 1000 dm 3 (1 m 3 ) x = 7850 kg Η μέση πυκνότητα 1 m 3 ατσαλιού είναι 7850 kg. y μέσο βάρος κυλίνδρου 7850 kg 1 m 3 y kg 0,0019 m 3 y = 14,91 kg Πρόβλημα 32 Λύση: Το βάρος φορτίου είναι = 20 t. 1 κύλινδρος ζυγίζει 14,91 kg (βλ. λύση στο Πρόβλημα 68). Θα χρειαστούμε 1000 κιβώτια ( : 10). Το συνολικό βάρος ενός κιβωτίου 10 κυλίνδρων είναι 149,10 kg +20 kg = 169,10 kg : 169,10 118,27 Ένα φορτηγό μπορεί να φορτωθεί με 118 κιβώτια : 118 8,47 Χρειαζόμαστε 9 φορτηγά. Πρόβλημα 33 Λύση: Ο πελάτης θα πληρώσει ,3 = 58,3 ευρώ για κάθε κύλινδρο ,3 = ευρώ για κυλίνδρους. Ο πελάτης θα πληρώσει ευρώ Ο μέσος χρόνος για μια απόσταση 200 km (αν η μέση ταχύτητα είναι 60 km/h) υπολογίζεται σε 3h 20 min. Το κόστος μεταφοράς για 1 φορτηγό είναι ,67 8 = ευρώ για 8 φορτηγά. 80 = = ,67 ευρώ Η εταιρεία κερδίζει 5,3 ευρώ για κάθε κύλινδρο, ευρώ για κυλίνδρους ,36 = ,64 ευρώ Η εταιρεία θα κερδίσει ,64 ευρώ. Πρόβλημα 35 Λύση: a r 153

155 1. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της βάσης, υπολογίζουμε το εμβαδόν Ρ 6 τριγώνων με ύψος r =10cm (βλ. εικόνα). Επειδή r = (a 3)/2, το a = 2/3 r 3, τότε 6P = 6 a 2 3/4 = 2 r 2 3, το εμβαδόν της βάσης. Τότε, οι δύο βάσεις έχουν εμβαδόν: 4 r 2 3, και το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας: 6a2r = 8r 2 3. Συνολικό εμβαδόν: 12 r Κουτί σε σχήμα κύβου: Συνολικό εμβαδόν: 6 4 r 2 = 24 r 2 3. Κουτί σε σχήμα κυλίνδρου: Συνολικό εμβαδόν: 2 Π r Πr 2r = 6 Π r 2 Πρόβλημα 40 Λύση: C = D d L C = Πρόβλημα 41 Απάντηση: 400 mm 300 mm 200 mm 1. 1 : mm 3. 6 mm = 100 mm 200 mm = 1 2 = 1 2 Πρόβλημα 42 Λύση: Προσπαθούμε να τοποθετήσουμε τα τμήματα όπως στο διάγραμμα B. Το πλάτος: = τμήματα στη σειρά Το ύψος: = γραμμές 8 3 = 24 τμήματα Απέμεινε ένα φύλλο σε ορθογώνιο σχήμα. Οι διαστάσεις του είναι 205x1200 mm (205 = ). Ελέγχουμε εάν είναι δυνατό να τοποθετήσουμε εκεί το κομμάτι σε σχήμα L. 154

156 Σημειώστε ότι τα τρίγωνα ADE και GFC είναι ισοσκελή. Επομένως AD = DE = FG = CF = 20 mm. AB = BC = =255 mm. Τότε AC = mm Ώστε, h = 0, = 127, ,3 mm 180, = 200,3 mm < 205 mm Επομένως, αν στρέψουμε το κομμάτι με τον κατάλληλο τρόπο θα ταιριάξει στο τμήμα του φύλλου που περίσσεψε. Χρειαζόμαστε 3 επιπλέον κομμάτια = = 1123 mm < 1200 mm Είναι δυνατό να τοποθετήσουμε 3 κομμάτια στο τμήμα που περίσσεψε. Στην επιφάνεια «εντός» των σχημάτων L, είναι δυνατό να τοποθετήσουμε μικρά τμήματα. Επομένως, είναι δυνατό να κόψουμε 27 ζεύγη τμημάτων. 155

157 Πρόβλημα 1 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα 2-3 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών ιδιοτήτων σχημάτων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 4 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών ιδιοτήτων σχημάτων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα 5-6 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Εργασία με σύνθετα σχήματα Επίπεδο 2 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 7 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών ιδιοτήτων σχημάτων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 8 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/δεδομένα Ο όγκος του πρίσματος είναι = μήκος πλάτος ύψος Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 9 156

158 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών ιδιοτήτων σχημάτων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ισότητες Χωρική απεικόνιση Τύποι/δεδομένα V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d: V d = π ( d 2 )2 l Βάρος w σε σχέση με την πυκνότητα ρ και τον όγκο V: w = ρ V Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός μετρήσεων για βάρος και όγκο Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Διαχειριστής CNC Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d: V d = π ( d 2 )2 l Βάρος σε σχέση με την πυκνότητα ρ και τον όγκο V: w = ρ V Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός μετρήσεων βάρους, όγκου και χρόνου Σύγκριση ποσοτήτων Κοστολόγηση έργου Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Διευθυντής πωλήσεων Πρόβλημα 18 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τριγωνομετρία και γεωμετρία Τύποι/δεδομένα Πυθαγόρειο Θεώρημα, Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ορισμοί και πίνακες) Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Υπολογισμός μήκους και γωνίας Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός/Μηχανολόγος Μηχανικός, Διαχειριστής CNC Πρόβλημα 19 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα 157

159 Μαθηματικά υποπεδία Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τριγωνομετρία και γεωμετρία Πυθαγόρειο Θεώρημα Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ορισμοί και πίνακες) Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Υπολογισμός μήκους και γωνιών Μηχανολόγος Τεχνικός/Μηχανολόγος Μηχανικός, Διαχειριστής CNC Πρόβλημα 20 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τριγωνομετρία και γεωμετρία Τύποι/δεδομένα Πυθαγόρειο θεώρημα Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ορισμοί και πίνακες)νόμος των συνημίτονων, το κέντρο βάρους διαιρεί τη διάμεσο σε δύο μέρη με λόγο 2:1. Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Υπολογισμός μήκους και γωνιών Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Τεχνικός Μηχανολογίας/Μηχανολόγος Μηχανικός, Διαχειριστής CNC Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των μετρήσεων Μαθηματικό υποπεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/δεδομένα Όγκος ορθογώνιου πρίσματος = l x w x h or V = lwh Όγκος κυλίνδρου = πr2h Αριθμητικές δεξιότητες Υπολογισμός Όγκων Χρήση τύπων Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, Αγοραστής, Σχεδιαστής Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των μετρήσεων Μαθηματικό υποπεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/δεδομένα Όγκος ορθογώνιου πρίσματος = l x w x h or V = lwh Όγκος κυλίνδρου = πr 2 h Αριθμητικές δεξιότητες Υπολογισμός όγκων Χρήση τύπων Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, Αγοραστής, Σχεδιαστής Προβλήματα Μαθηματικά πεδία Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των μετρήσεων Μετατροπή και σχέσεις 158

160 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία Τριγωνομετρία Τύποι/δεδομένα Τριγωνομετρικός πίνακας, v=s/t Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπου Μετατροπή μεταξύ μονάδων Υπολογισμός απόστασης με χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, μηχανουργός CNC Πρόβλημα 29 Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικά πεδία μετρήσεων Μεταβολές και σχέσεις 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία Τριγωνομετρία Τύποι/δεδομένα Τριγωνομετρικός πίνακας, v=s/t Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπου Μετατροπή μονάδων Υπολογισμός απόστασης χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, Μηχανουργός CNC Πρόβλημα 30 Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικά πεδία μετρήσεων Μεταβολές και σχέσεις 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία τριγωνομετρία Τύποι/δεδομένα Τριγωνομετρικοί πίνακες, v=s/t Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπων Μετατροπή μεταξύ μονάδων Δοκιμές και σφάλματα Πεδίο 3 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, μηχανουργός CNC Πρόβλημα 31 Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικό πεδίο μετρήσεων 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι/δεδομένα Πυκνότητα ατσαλιού ρ = 7,85 kg/dm 3 όγκος κυλίνδρου: V = πr 2 h Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπων Μετατροπές μονάδων Υπολογισμός αποστάσεων χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός Πρόβλημα 32 Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικά πεδία μετρήσεων 159

161 Ποσότητα 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία Βασικές λειτουργίες Τύποι/δεδομένα Πυκνότητα ατσαλιού ρ = 7,85 kg/dm 3 όγκος κυλίνδρου: V = πr 2 h Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπου Μετατροπή μονάδων Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, αγοραστής Πρόβλημα 33 Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικά πεδία μετρήσεων Ποσότητα 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία Βασικές πράξεις Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Κοστολόγηση έργου Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, Αγοραστής Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος ΟΛΑ Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 3 Επάγγελμα/ρόλος Όλοι Πρόβλημα 40 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και Σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/ Δεδομένα Τύποι για τον υπολογισμό της κωνικής παραμόρφωσης και των γωνιών μιας εγκατάστασης C = D d L Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 160

162 Επαγγελματική ειδικότητα/ Μηχανικός, Χειριστής τόρνου CNC ρόλος Πρόβλημα 41 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τύποι/ Δεδομένα Τύπος κωνικής παραμόρφωσης Μετατόπιση κεντροφορέα (κουκουβάγιας) Μέγιστη μετατόπιση κεντροφορέα Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ Μηχανικός, Χειριστής τόρνου CNC ρόλος Πρόβλημα 42 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υπό-πεδία 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 3 Επαγγελματική ειδικότητα/ ρόλος Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση εμβαδών Κοστολόγηση έργου Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική Υποστήριξη, Σχεδιαστής, CAD Χειριστής, Laser Χειριστής, Συγκολλητής 161

163 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Είναι σωστό ή λάθος ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών οποιουδήποτε τετράπλευρου είναι 360 μοίρες; a. Σωστό b. Λάθος 2. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι 44,72 cm 2 και το μήκος του 8,6 cm. Ποια είναι η περίμετρος του ορθογωνίου σε εκατοστά; Απάντηση: 27,6 3. Πόσους άξονες συμμετρίας περιλαμβάνει ένας κύκλος; a. Καμία b. 1 c. 2 d. Άπειρες 4. Ένα τραπέζιο μπορεί να διαθέτει 2 ορθές γωνίες; a. Ναι b. Όχι 5. Είναι σωστό ή λάθος ότι ο όγκος ενός κυλίνδρου είναι ευθέως ανάλογος του ύψους του; a. Ναι b. Όχι Απαντήσεις: 1a, 2b, 3d, 4a, 5a 162

164 L13: Τριγωνομετρία και γεωμετρία Θεωρία Όταν σχεδιάζουμε τρίγωνα κάθε κλίμακας, όλα έχουν το ίδιο σχήμα ανεξαρτήτως αν είναι μεγαλύτερα ή μικρότερα. Αυτά τα σχήματα, τα οποία διαφέρουν μόνο στο μέγεθος ονομάζονται όμοια σχήματα. Φανταστείτε μερικά ορθογώνια τρίγωνα όμοια μεταξύ τους. Αν τα επικαλύψουμε το ένα με το άλλο έτσι ώστε οι κορυφές τους να εφάπτονται, μπορείτε να δείτε ότι οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες. Λέμε ότι στα όμοια τρίγωνα το μέγεθος των γωνιών δεν εξαρτάται από το μήκος των πλευρών τους. Αλλά μπορεί η γωνία να καθοριστεί από το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου; Προκύπτει ότι ναι. Αυτό μελετά η τριγωνομετρία. Αυτά είναι δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα με κλίμακα 1: 2 B A= A C C Β Η πλευρά B AC είναι 5 cm, η πλευρά BC είναι 2,4 cm, η πλευρά AB 5,54 cm. Τότε, η πλευρά A C είναι 2,5 cm, η πλευρά B C είναι 1,2 cm, η πλευρά A B είναι 2,77 cm. Αυτά τα μεγέθη ανταποκρίνονται στην κλίμακα 1: 2. A B AB = 2,77 5,54 = 1 2, A C AC = 2,5 5 = 1 2, B C BC = 1,2 2,4 = 1 2 Τι συμβαίνει όταν υπολογίζουμε τους άλλους λόγους των πλευρών αυτών των τριγώνων; B C = 1.2 = 0,48 BC = 2,4 = 0,48 αυτοί οι λόγοι είναι ίσοι A C 2.5 AC 5 B C BC = 0, A B 2.77 AB 5.54 αυτοί οι λόγοι είναι ίσοι A C AC 5 = 0, A B 2.77 AB 5.54 αυτοί οι λόγοι είναι ίσοι 163

165 Ανεξαρτήτως εάν υπολογίσουμε τους λόγους ενός μεγάλου ή μικρού τριγώνου, η τιμή τους είναι η ίδια. Αυτοί οι λόγοι κατά κάποιο τρόπο περιγράφουν το μέτρο μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Παράδειγμα: Αυτό το σχέδιο μπορεί να ερμηνευθεί ως σύνολο όμοιων ορθογώνιων τριγώνων: ABC, AB 1 C 1, AB 2 C 2, AB 3 C 3 τα οποία έχουν μια κοινή γωνία α. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα και συγκρίνετε τους λόγους. AB = AB 1 = AB 2 = AB 3 = AC = AC 1 = AC 2, = AC 3 = BC = B 1 C 1 = B 2 C 2 = B 3 C 3 = AB/AC = AB 1 / AC 1 = AB 2 / AC 2 = AB 3 / AC 3 = BC/ AB = B 1 C 1 / AB 1 = B 2 C 2 / AB 2 = B 3 C 3/ AB 3 = Απάντηση: AB = 3,4 cm AB 1 = 4,2 cm AB 2 = 4,8 cm AB 3 = 5,4 AC = 4 cm AC 1 = 5 cm AC 2, = 5,7 cm AC 3 = 6, 4 BC = 2,2 cm B 1 C 1 = 2,7 cm B 2 C 2 = 3 cm B 3 C 3 = 3,4 AB/AC =0.85 AB 1 / AC 1 = 0,84 AB 2 / AC 2 = AB 3 / AC 3 =0, BC/ AB = 0, B 1 C 1 / AB 1 = , B 2 C 2 / AB 2 = B 3 C 3/ AB 3 = Οι λόγοι στις γραμμές είναι σχεδόν ίσοι η διαφορά προκαλείται από τη μη ακρίβεια της μέτρησης. Κάθε αλλαγή στη γωνία επιφέρει αλλαγή στο λόγο. Εδώ, ο αριθμητής παραμένει ο ίδιος, ενώ ο παρανομαστής διαφοροποιείται. 164

166 Επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο λόγος των μηκών όλων των πιθανών πλευρών ενός τριγώνου εξαρτάται από το μέγεθος της γωνίας. Επομένως ο λόγος είναι συνάρτηση της γωνίας. Οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου ονομάζονται σε σχέση με μια οξεία γωνία υποτείνουσα Απέναντι κάθετη πλευρά α Ορίζουμε : Προσκείμενη κάθετη πλευρά Η ημίτονο της γωνίας α σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του μήκους της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. sinα = απέναντι κάθετη/ υποτείνουσα α Το συνημίτονο της γωνίας α σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του μήκους της προσκείμενης κάθετης πλευράς του τριγώνου προς την υποτείνουσα cosα = προσκείμενη κάθετη/ υποτείνουσα Η εφαπτομένη μιας γωνίας α σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του μήκους της απέναντι κάθετης πλευράς προς το μήκος της προσκείμενης πλευράς. tanα = απέναντι κάθετη πλευρά/ προσκείμενη α α Η συνεφαπτομένη μιας γωνίας α σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του μήκους της προσκείμενης πλευράς προς την απέναντι κάθετη. cotα = προσκείμενη/ απέναντι κάθετη 165

167 Όλες οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων έχουν υπολογιστεί και συγκεντρωθεί σε πίνακες. Τέτοιες συστοιχίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν με δύο τρόπους: γνωρίζοντας τη γωνία μπορείτε να βρείτε την τιμή της αντίστοιχης τριγωνομετρικής συνάρτησης, ή γνωρίζοντας την κατάλληλη συνάρτηση μπορεί κανείς να βρει το μέτρο της γωνίας. Το σχήμα δείχνει πώς να διαβάσουμε ότι η εφαπτομένη 15 0 είναι 0,2679. Οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων συγκεκριμένων γωνιών μπορούν να απομνημονευτούν. Συνοψίζονται στον πίνακα που ακολουθεί: α sinα cosα tanα cotα /2 3/2 3/ /2 2/ /2 1/2 3 3/3 Παράδειγμα: Κατασκευή των γωνιών α, β, γνωρίζοντας ότι tan α = 2, cot β = 0,6. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι 2 = 2b/b, για κάθε b. Τότε το t είναι αρκετό για να κατασκευάσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου η μία κάθετη πλευρά είναι b, και η δεύτερη κάθετη πλευρά είναι 2b. Cot β = 0,6 = 3/5 = 3b/5b. Και οι δύο κατασκευές φαίνονται στο σχήμα. Παράδειγμα: Κατασκευή των γωνιών α, β, γνωρίζοντας ότι tan α = 2, cot β = 0,6. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι 2 = 2b/b, για κάθε b. Τότε το t είναι αρκετό για να κατασκευάσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου η μία κάθετη πλευρά είναι b, και η δεύτερη κάθετη πλευρά είναι 2b. 166

168 Cot β = 0,6 = 3/5 = 3b/5b. Και οι δύο κατασκευές φαίνονται στο σχήμα. Παράδειγμα: Χρησιμοποιώντας κάποια εργαλεία μέτρησης ο παρατηρητής μπορεί να ισχυριστεί ότι από ένα παράθυρο ύψους 20 m πάνω από την επιφάνεια ενός ποταμού μπορεί να δει τις όχθες του ποταμού υπό γωνίες 18 0 και Ποιο είναι το πλάτος του ποταμού; Ας φανταστούμε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Η οξεία γωνία στο πρώτο τρίγωνο είναι 420, στο δεύτερο 180. Εστιάζουμε στο μήκος των πλευρών, οπότε χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση της εφαπτομένης. Στο πρώτο βασικό τρίγωνο συμβολίζεται με a. Στο δεύτερο με b. Το πλάτος του ποταμού είναι b-a 20m/a = tan 42 ο a = 20/tan 42 ο a = 20/0, ,21m 20m/b = tan 18 ο b = 20/tan 18 ο b = 20/0, ,56m Το πλάτος του ποταμού είναι: 61,56 m 22,21 m = 39,29 m 167

169 Πρόβλημα 1 Προβλήματα Πώς θα περιγράψουμε το ημίτονο sinγ, το συνημίτονο cosγ, την εφαπτομένη tanγ και τη συνεφαπτομένη cotγ στο τρίγωνο που εικονίζεται; Πρόβλημα 2 Δίνεται ότι sin α = 0,1564. Πόσο είναι το α; Πόσο είναι το tan 13 0 ; Χρησιμοποιείστε τον παρακάτω πίνακα. Πρόβλημα 3 Το σχήμα δείχνει μια λαβή σφυριού που πρόκειται να τεθεί υπό κατεργασία σε έναν τόρνο. Ο χειριστής της μηχανής πρέπει να γνωρίζει τη γωνία μεταξύ των δύο διαμέτρων προκειμένου να χειριστεί με ακρίβεια τη μηχανή. Χρησιμοποιείστε την τριγωνομετρία για να βρείτε τη γωνία. 168

170 Πρόβλημα 4 Στο σχέδιο ενός μηχανήματος με σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα c = 45 mm και μια κάθετη πλευρά a μήκους 27 mm, ο Τεχνικός Μηχανολογίας πρέπει να υπολογίσει τη δεύτερη κάθετη πλευρά και τις γωνίες του σχεδιασμένου τμήματος. Πρόβλημα 5 Στο σχέδιο ενός μηχανήματος που έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 45 mm και κάθετη πλευρά με μήκος 27 mm, ο τεχνικός Μηχανολόγος πρέπει να κάνει τρεις οπές στις τρεις γωνίες του τριγώνου σε απόσταση 3mm και από τις δύο πλευρές. Ποιες είναι οι αποστάσεις ανάμεσα στις κορυφές και στις οπές; Πρόβλημα 6 Στο σχέδιο ενός μηχανήματος που έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 45 mm και μια κάθετη πλευρά 27 mm, ένας τεχνικός μηχανολογίας πρέπει να κάνει μια οπή στο κέντρο βάρους του. Υπολογίστε τις αποστάσεις της οπής κι από τις τρεις πλευρές του τριγώνου γνωρίζοντας ότι η οπή έχει διάμετρο 2 mm. 169

171 Πρόβλημα 7 Για να διανοιχθεί η οπή 2 (Loch 2) που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ρυθμιζόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 (Loch 1) με γωνία 30 o. Το τρυπάνι πρέπει να προσεγγίσει την οπή 2 το αργότερο μετά από 0,8 s. Ποια είναι η ελάχιστη μέση ταχύτητα κίνησης σε m/min; Πρόβλημα 8 Για να διανοιχθεί η οπή 2 που εικονίζεται στο Πρόβλημα 7, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ελεγχόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 με γωνία 45 o. Το τρυπάνι πρέπει να προσεγγίσει την οπή 2 το αργότερο μετά από 0,8 s. Ποια είναι η ελάχιστη μέση ταχύτητα κίνησης σε m/min; Πρόβλημα 9 Για να διανοιχθεί η οπή 2 όπως φαίνεται στο σχήμα στο Πρόβλημα 7, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ελεγχόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 με γωνία 30 o. Το τρυπάνι φτάνει στην οπή 2 σε 0,8 s και η διάτρηση της οπής διαρκεί 0,5 s. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για έναν αριθμό οπών. Πόσες οπές μπορούν να διανοιχθούν σε χρόνο 2 min; Πρόβλημα 10 Για να διανοιχθεί η οπή 2 όπως φαίνεται στο σχήμα στο Πρόβλημα 7, το τρυπάνι ενός ψηφιακά ελεγχόμενου μηχανικού εργαλείου πρέπει να αρχίσει να κινείται από την οπή 1 με γωνία 30 o. Το τρυπάνι προσεγγίζει την οπή 2 σε 0,8 s και η διάτρηση μιας οπής διαρκεί 0,5 s. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για έναν αριθμό οπών για 2 min. Δεδομένου ότι η απόσταση από το κέντρο της οπής 1 είναι 2 cm κι από τις δύο άκρες του υλικού, υπολογίστε τις ελάχιστες διαστάσεις του υλικού προκειμένου να ολοκληρωθεί η διαδικασία διάτρησης. 170

172 Πρόβλημα 11 Ένα ψηφιακά ελεγχόμενο μηχανικό εργαλείο κινείται με σταθερή ταχύτητα 6,5 m/min. Η διάτρηση μιας οπής διαρκεί 0,5 s. Βρείτε τις πιο σύντομες διαδρομές που πρέπει να ακολουθήσει το τρυπάνι για να ολοκληρώσει τις μορφές που δίνονται στα παρακάτω σχήματα. 171

173 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Απάντηση: sin γ = t/s cos γ = r/s tan γ = t/r cot γ = r/t Πρόβλημα 2 Απάντηση: α = 9 0. tan 13 0 = 0,2309. Πρόβλημα 3 Λύση: Πρώτα, βρίσκουμε το H = (Dia. 22/2) (Dia.15.8 / 2) [για να δώσουμε τη διαφορά μεταξύ των ακτίνων] = 3,1mm ή γραμμένο ως H = Dia.22mm Dia.15,8mm 2 = 3,1 mm 2 Εφαπτομένη Γωνίας X = απέναντι/γειτονική = H/X Εφαπτομένη Γωνίας X = 3,1 / 7 Εφαπτομένη Γωνίας X = 0,4429 Επομένως, Γωνία X = 20,77 Καθώς η Γωνία X δεν είναι μια κρίσιμη διάσταση και η ανοχή είναι +/- 1, η πλησιέστερη σε ακέραιο μέτρο = 21 Πρόβλημα 4 Λύση: a = 27 mm c = 45 mm b =;, α =;, β = ; 27 mm = 2,7 cm 45 mm = 4,5 cm a 2 + b 2 = c 2 (2,7) 2 + b 2 = (4,5) 2 \ (2,7) 2 172

174 b 2 = 20,25 7,29 b = 12,96 = 3,6 sin α = a c sin α = 2,7 = 0,6 τότε α = 36 4,5 Τότε β= 180 ( ) = 54 Πρόβλημα 5 Λύση: a = 27 mm c = 45 mm 27 mm = 2,7 cm 45 mm = 4,5 cm Έστω α = a c Έστω α = 2,7 = 0,6 τότε α = 36 4,5 Τότε β= 180 ( ) = 54 A A a a C C β β b b c c α α B B A A β β β β x η απόσταση από την κορυφή A sin β 2 = 3 x x = 3 3 = 6,61 mm sin 27 0,454 y η απόσταση από την κορυφή B sin α 2 = 3 y y = 3 3 = 9,71 mm sin 18 0,

175 z η απόσταση από την κορυφή C z = 3 2 4,24 mm Πρόβλημα 7 Απάντηση: v = 6,3 m/min Πρόβλημα 8 Απάντηση: 4,455 m/min Πρόβλημα 9 Απάντηση: 92 οπές Πρόβλημα 10 Απάντηση: Οι ελάχιστες διαστάσεις είναι: a = 3,85 m, b = 6,67 m 174

176 Πρόβλημα 1 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο Τριγωνομετρία και γεωμετρία Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Κατανόηση βασικών ιδιοτήτων σχημάτων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 2 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο Τριγωνομετρία και γεωμετρία Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Ανάγνωση πινάκων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ΟΛΕΣ ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 3 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υπό-πεδίο Τριγωνομετρία και γεωμετρία Τύποι/δεδομένα Εφαπτομένη θ = απέναντι πλευρά/γειτονική πλευρά Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική Μηχανικός, Σχεδιαστής ειδικότητα/ρόλος Πρόβλημα 4 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τριγωνομετρία και γεωμετρία Τύποι/δεδομένα Πυθαγόρειο Θεώρημα, Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ορισμοί και πίνακες) Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Υπολογισμός μήκους και γωνίας Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός/Μηχανολόγος Μηχανικός, Διαχειριστής CNC Πρόβλημα 5 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τριγωνομετρία και γεωμετρία Τύποι/δεδομένα Πυθαγόρειο Θεώρημα, Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ορισμοί και πίνακες) Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Υπολογισμός μήκους και γωνιών Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός/Μηχανολόγος Μηχανικός, 175

177 Διαχειριστής CNC Πρόβλημα 6 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Τριγωνομετρία και γεωμετρία Τύποι/δεδομένα Πυθαγόρειο θεώρημα, Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ορισμοί και πίνακες), Νόμος των συνημίτονων, το κέντρο διαιρεί τη διάμεσο δε δύο ίσα μέρη σε αναλογία 2:1. Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Χρήση τύπων Υπολογισμός μήκους και γωνιών Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Τεχνικός Μηχανολογίας/Μηχανολόγος Μηχανικός, Διαχειριστής CNC Προβλήματα 7-9 Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικά πεδία μετρήσεων Μεταβολές και σχέσεις 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία Τριγωνομετρία Τύποι/δεδομένα Τριγωνομετρικός πίνακας, v=s/t Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπου Μετατροπή μεταξύ μονάδων Υπολογισμός απόστασης με χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, μηχανουργός CNC Πρόβλημα 10 Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικά πεδία μετρήσεων Μεταβολές και σχέσεις 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία Τριγωνομετρία Τύποι/δεδομένα Τριγωνομετρικός πίνακας, v=s/t Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπου Μετατροπή μονάδων Υπολογισμός απόστασης χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, Μηχανουργός CNC Πρόβλημα 11 Χώρος και σχήματα, συμπεριλαμβανομένων των Μαθηματικά πεδία μετρήσεων Μεταβολές και σχέσεις 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Μαθηματικά υποπεδία τριγωνομετρία Τύποι/δεδομένα Τριγωνομετρικοί πίνακες, v=s/t Αριθμητικές δεξιότητες Μετατροπή τύπων 176

178 Μετατροπή μεταξύ μονάδων Δοκιμές και σφάλματα Πεδίο 3 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανουργός, μηχανουργός CNC 177

179 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Δύο τρίγωνα ABC και A B C είναι όμοια με κλίμακα 1: 3. Η πλευρά AC είναι 3 εκ., η πλευρά BC είναι 6 εκ. και η πλευρά CA είναι 4. Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου A B C. a. 38 b. 41 c. 39 d Υπολογίστε το ημα αν τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ABC είναι: AB =5, BC =10 και AC = 5 5. Η γωνία α βρίσκεται στην κορυφή Α. 1 a. b c. 5 d Υπολογίστε την εφα αν τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ABC είναι: AB =5, BC =10 και AC = 5 5. Η γωνία α βρίσκεται στην κορυφή Α. a. b c. 5 d Αν ημα = 3 τότε α= 45. Σωστό ή Λάθος; 2 a. Σωστό b. Λάθος 5. Εάν α = 30 και β = 45, τότε ημα + συνα+ εφα + σφβ = Σωστό ή Λάθος; a. Σωστό b. Λάθος 6 Απαντήσεις: 1c, 2b, 3d, 4b, 5a 178

180 L14: Χωρική Απεικόνιση Θεωρία Συχνά ένας εργάτης πρέπει να είναι σε θέση να φανταστεί πώς θα μοιάζει ένα αντικείμενο αν τοποθετηθεί με διαφορετικό τρόπο στο χώρο, ή αν το κοιτάξει από άλλη πλευρά. Αυτή η δυνατότητα συνδέεται με τη δυνατότητα νοερών μετασχηματισμών πρέπει να είμαστε σε θέση να φανταστούμε πώς μετακινείται ή περιστρέφεται ένα στερεό σώμα ή τμήμα του. Συχνά αυτή η ικανότητα απαιτεί τέτοιους χειρισμούς, οι οποίοι στα μαθηματικά περιγράφονται ως μετασχηματισμοί: αξονική συμμετρία, περιστροφή, παράλληλη μετατόπιση. Διαισθητικά, τα αποτελέσματα αυτών των μετασχηματισμών αποδίδουν την εικόνα πριν και μετά το μετασχηματισμό της. Στον παράλληλο μετασχηματισμό: Στην κατοπτρική συμμετρία (άξονας συμμετρίας) Περιστροφή Περιστροφή κατά κατά οποιαδήποτε γωνία Η εξάσκηση για την απόκτηση τέτοιων δεξιοτήτων μπορεί να ξεκινήσει με το χειρισμό δυσδιάστατων αντικειμένων. Η εισαγωγή στην χωρική απεικόνιση των τρισδιάστατων αντικειμένων μπορεί να γίνει μέσω του πειραματισμού με έναν κύβο. Χειρισμός 2-D απεικονίσεων Παράδειγμα: Αυτό είναι ένα υπόδειγμα ενός σχήματος (με μαύρο χρώμα). Διαγράψτε όλα τα άλλα σχήματα, τα οποία είναι η συμμετρική του αντανάκλαση (και μετά την αντανάκλαση η θέση τους στο επίπεδο μπορεί επίσης να αλλάξει). Απάντηση: 179

181 Παράδειγμα: Βρείτε τα τετράγωνα που είναι χρωματισμένα με τον ίδιο τρόπο: Απάντηση: 2 και 4 Παράδειγμα: Αντιστοιχείστε το κομμάτι με την κάρτα, από την οποία έχει κοπεί. Συμπληρώστε τον πίνακα a b c d e Απάντηση : 1 b 2 d 3 e 4 a 5 c Χειρισμός 3-D απεικονίσεων Παράδειγμα: Ποιο ανάπτυγμα χρησιμοποιήθηκε για να φτιαχτεί; a) b) c) Απάντηση: c) Μόνο αυτό το ανάπτυγμα έχει τρεις έδρες χρωματισμένες με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι ορατές σε έναν κύβο ο οποίος, συναρμολογημένος, θα μας οδηγήσει στον δεδομένο. 180

182 Παράδειγμα: Από το ανάπτυγμα που δίνεται κατασκευάστηκε ο κύβος και τοποθετήθηκε με την έδρα με την τελεία στον τοίχο. Σχεδιάστε πώς δείχνει από τις τέσσερις πλευρές. Απάντηση: Παράδειγμα: Πώς θα μοιάζει ένας κύβος που είναι τοποθετημένος σε κάθε μια από τις έξι έδρες του; Σημειώστε τη βάση του, μετά ζωγραφίστε την όψη του κύβου που βρίσκεται στο έδαφος. Υπάρχει μόνο μια λύση σε αυτό το πρόβλημα; Απάντηση: Τοποθετώντας τον κύβο στην μία πλευρά μπορείτε να έχετε τέσσερις οπτικές. Ένα δείγμα των λύσεων φαίνεται παρακάτω. Παράδειγμα: Η κατασκευή που παρουσιάζεται αποτελείται από 4 κύβους. Ζωγραφίστε πώς θα δείχνει αν ο κόκκινος κύβος τοποθετηθεί σε 4 διαφορετικές θέσεις. 181

183 Απάντηση: Παραδείγματα λύσεων: Παράδειγμα: Ποια διάταξη δείχνει το μοντέλο που παρουσιάζεται παρακάτω; 1) 2) 3) Απάντηση: 2). 182

184 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Αν ένα μηχάνημα κόβει σιδερένιες επιφάνειες τραπεζιών διαστάσεων µm x µm x µm, τότε πόσες επιφάνειες τραπεζιών (με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm) μπορεί να κόψει; Πρόβλημα 2 Αν ένα μηχάνημα κόβει σιδερένιες επιφάνειες τραπεζιών από μια σιδερένια επιφάνεια με διαστάσεις µm x µm x µm, τότε πόσες επιφάνειες τραπεζιών με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm) θα κόψει; Πρόβλημα 3 a) Αν μια μηχανή κόβει σιδερένια τραπέζια από μια επιφάνεια με διαστάσεις µm x µm x µm, τότε πόσα τραπέζια με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm θα κόψει; b) Είναι 96 ο μέγιστος αριθμός τραπεζιών που μπορούν να κοπούν από την σιδερένια επιφάνεια; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Πρόβλημα 4 a) Αν ένα μηχάνημα κόβει σιδερένια τραπέζια από μια επιφάνεια διαστάσεων µm x µm x µm, τότε πόσα σιδερένια τραπέζια με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm θα κόψει; b) Ο κ. Παπαδόπουλος παρήγγειλε 180 σιδερένια τραπέζια. Πόσο θα πληρώσει αν 1m 2 σιδήρου (με μετρητή του 1cm) κοστίζει 4 ευρώ; Το κόστος παραγωγής μιας επιφάνειας τραπεζιού είναι 2 ευρώ. Η εταιρεία πουλάει τις επιφάνειες των τραπεζιών με κέρδος 15%. Πρόβλημα 5 Υπολογίστε το βάρος του σιδερένιου σωλήνα όταν σας δίνεται ότι το μήκος του είναι 3,5 m, η εξωτερική διάμετρός του 80 mm και το πάχος του περιβλήματός του 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Δεδομένα: D = 80 mm, s = 15 mm, l = 350 cm, ρ = 7,2 g/cm 3 183

185 Πρόβλημα 6 Ποιο είναι το μέγιστο μήκος ενός σιδερένιου σωλήνα προκειμένου να ανυψωθεί από χειροκίνητο ανυψωτικό μηχάνημα με επιτρεπόμενο όριο αντοχής βάρους 500 kg; Η εξωτερική διάμετρος του σωλήνα είναι 80 mm και το πάχος του περιβλήματός του 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Πρόβλημα 7 Υπολογίστε το βάρος ενός σιδερένιου σωλήνα όταν σας δίνεται ότι το μήκος του είναι 3,5 m, η εξωτερική του διάμετρος είναι 80 mm και το πάχος του περιβλήματός του είναι 20 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Πρόβλημα 8 Υπολογίστε το βάρος ενός σιδερένιου σωλήνα όταν σας δίνεται ότι το μήκος του είναι 3,5 m, η εξωτερική του διάμετρος είναι 80 mm και το πάχος του περιβλήματός του είναι 20 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Βοηθητικό στοιχείο: Στα σχέδια, σκεφτείτε ποια είναι η σχέση ανάμεσα στη διάμετρο d και στο μήκος των αντίστοιχων πλευρών κάθε πολυγώνου. a r Πρόβλημα 9 Μπάλες με διάμετρο 20 cm πρέπει να συσκευαστούν κάθε μια ξεχωριστά στο κατάλληλο κουτί. Σχεδιάστε το κουτί για αυτό το σκοπό. Υπολογίστε πόσο υλικό απαιτείται για την παραγωγή του. Λάβετε υπόψη τα ακόλουθα σχήματα για τα κουτιά: 1. Ένα κουτί στο σχήμα εξαγωνικού πρίσματος. 184

186 2. Κουτί σε σχήμα κύβου. 3. Κουτί σε σχήμα κυλίνδρου. 4. Προτείνετε το δικό σας κουτί. Πρόβλημα 10 Μπάλες με διάμετρο 20 cm πρέπει να συσκευαστούν κάθε μια ξεχωριστά στο κατάλληλο κουτί. Σχεδιάστε ένα κουτί για το σκοπό αυτό. Υπολογίστε για ποιο κουτί είναι απαραίτητο το λιγότερο δυνατό υλικό (ποια επιφάνεια θα είναι η μικρότερη). Πρόβλημα 11 Μπάλες με διάμετρο 20 cm θα συσκευαστούν η κάθε μια ξεχωριστά σε κυλινδρικά κουτιά. Τα τμήματα των βάσεων των κουτιών κόβονται από μια επιφάνεια με εμβαδό 130 cm x 75 cm. Εξετάστε τις ακόλουθες διατάξεις για την κοπή των βάσεων. A. Πόσες βάσεις μπορούν να κοπούν από ένα μόνο φύλλο βάσης για κάθε μια από τις πιο πάνω διατάξεις; B. Ποια από αυτές τις διατάξεις είναι η βέλτιστη, αν λάβουμε υπόψη την ποσότητα του υλικού που χρησιμοποιήθηκε; Λάβετε υπόψη ότι στη διάταξη των εξαρτημάτων είναι απαραίτητο να συμπεριληφθούν 0.5 mm για την γραμμή κοπής. Πρόβλημα 12 Μπάλες με διάμετρο 20 cm θα πακεταριστούν το καθένα ξεχωριστά σε πρισματικά κουτιά. Τα συστατικά των βάσεων των κουτιών είναι κομμένα από ένα φύλλο επιφάνειας με διαστάσεις 130 cm x 75 cm. Εξετάστε τις ακόλουθες διατάξεις για τις κομμένες βάσεις: βάση τετραγώνου ή εξαγωνική βάση. A. Πόσες βάσεις μπορούν να κοπούν από ένα μόνο φύλλο για κάθε μια από αυτές τις διατάξεις; B. Ποια από αυτές τις διατάξεις είναι η βέλτιστη, αν λάβουμε υπόψη την ποσότητα του υλικού που χρησιμοποιήθηκε; Λάβετε υπόψη ότι στη διάταξη εξαρτημάτων είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε 0.5 mm για την γραμμή κοπής. Πρόβλημα 13 Μπάλες με διάμετρο 20 cm θα πακεταριστούν κάθε μια ξεχωριστά σε κυλινδρικά κουτιά. Τα συστατικά των βάσεων των κουτιών κόβονται από ένα φύλλο υλικού. 185

187 Πρέπει να κόψετε 24 κύκλους. Στην Εικόνα μπορείτε να δείτε δύο πιθανές διατάξεις. Η απόσταση από την άκρη του φύλλου υλικού πρέπει να είναι τουλάχιστον 2 mm και είναι απαραίτητο να υπολογίσετε 0.5 mm για την γραμμή κοπής. A. Πώς θα σχεδιάσετε την βέλτιστη διάταξη; B. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της σελίδας για να έχετε τη μικρότερη σπατάλη υλικού; C. Τι ποσοστό της επιφάνειας ενός ορθογώνιου φύλλου θα πεταχτεί; Πρόβλημα 14 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Το υλικό είναι συνήθως ακριβό και ο χειριστής πρέπει να κάνει βέλτιστη χρήση του διαθέσιμου υλικού, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα περισσευούμενου υλικού. Τα δύο διαμορφωμένα εξαρτήματα που πρέπει να κοπούν είναι τα Τμήμα 1 και Τμήμα 2. Ο σχεδιαστής CAD εισάγει τα σχήματα επάνω σε ένα φύλλο διαστάσεων 500x855mm (βλέπε διάγραμμα Β) και χρησιμοποιεί ένθεση για τη μεγιστοποίηση του χώρου, λαμβάνοντας υπόψη την απόσταση που απαιτείται από το λέιζερ για την κοπή. Διάγραμμα A 186

188 Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm a) Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο αντί για τοποθέτηση στο φύλλο αλουμινίου των τμημάτων ξεχωριστά (Διάγραμμα A), πόσο υλικό σε mm² εξοικονομείται; b) Αν το κόστος του υλικού είναι 0,03 ανά 100mm² πόσο εξοικονομήθηκε ελαττώνοντας την ποσότητα του περισσευούμενου υλικού; Πρόβλημα 15 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Εκτιμείστε τι μέρος της λαμαρίνας αποτελούν τα εξαρτήματα από τη λαμαρίνα που δείχνεται στα διαγράμματα A και B. Δώστε τις απαντήσεις σας σε ποσοστά. Διάγραμμα A Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm 187

189 Πρόβλημα 16 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση (δείτε τις παρακάτω εικόνες). Στο τέλος της ημέρας ένα φύλλο μετάλλου 500 x 580 mm περίσσεψε στο μηχάνημα. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός από ζεύγη εξαρτημάτων που μπορεί να κοπεί; 235 mm Εξάρτημα mm Εξάρτημα 1 20 mm 20 mm 235mm 235mm Όλα τα διαστήματα ανάμεσα στα σχήματα και στις άκρες της επιφάνειας είναι 10mm. Πρόβλημα 17 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Το υλικό είναι συνήθως ακριβό και ο χειριστής πρέπει να κάνει βέλτιστη χρήση του διαθέσιμου υλικού, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα περισσευούμενου υλικού. Σε ένα φύλλο με διαστάσεις 500 x 835 mm τοποθετούμε 12 εξαρτήματα σχήματος L, με τον τρόπο που δείχνει το διάγραμμα B. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός τμημάτων του δεύτερου είδους που μπορούμε να κόψουμε από το φύλλο; Διάγραμμα Α 188

190 Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm Πρόβλημα 18 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Το υλικό είναι συνήθως ακριβό και ο χειριστής πρέπει να κάνει βέλτιστη χρήση του διαθέσιμου υλικού, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα περισσευούμενου άχρηστου υλικού. Ο κ. Παπαδόπουλος θέλει να παραγγείλει 12 μεγάλα και 12 μικρά εξαρτήματα. Η εταιρεία X προσφέρει την τιμή των 0,08 για 1 mm 2 και χρησιμοποιεί τη μέθοδο κοπής που δείχνεται στο διάγραμμα B και η εταιρεία Y προσφέρει την τιμή των 0,04 για 1 mm 2 και χρησιμοποιεί τη μέθοδο που δείχνεται στο διάγραμμα A. Ποια προσφορά είναι καλύτερη για τον κ. Παπαδόπουλο; Και οι δύο εταιρείες πληρώνονται για το σύνολο του υλικού που θα χρησιμοποιήσουν. Διάγραμμα A 189

191 Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm Πρόβλημα 19 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Το υλικό είναι συνήθως ακριβό και ο χειριστής πρέπει να κάνει βέλτιστη χρήση του διαθέσιμου υλικού, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα περισσευούμενου άχρηστου υλικού. Ποιες θα είναι οι διαστάσεις των φύλλων στις περιπτώσεις A και B που δείχνονται στα διαγράμματα αν επιμηκύνουμε κατά 1 mm κάθε διάσταση των δύο εξαρτημάτων; Διάγραμμα A Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm 190

192 Πρόβλημα 20 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους, όπως δείχνουν τα διαγράμματα A και B. Ένας πελάτης ήρθε με ένα μεταλλικό φύλλο διαστάσεων 950x1200 mm. Θέλει να λάβει 27 ζεύγη τμημάτων. Είναι αυτό δυνατό; Διάγραμμα A Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm 191

193 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Λύση: µm = 9200 mm = 9,20 m µm = 1250 mm = 1,25 m µm = 10 mm 1840 mm =1,84 m 92 mm = 0,092 m 9,20 : 1,84 = 5 1,25 : 0,092 13,59 5 x 13 = 65 σιδερένιες επιφάνειες τραπεζιών Η επιφάνεια που απομένει είναι πολύ μικρή για να κόψουμε περισσότερες επιφάνειες τραπεζιών. Πρόβλημα 2 Λύση: Διαστάσεις επιφανειών: µm = 8850 mm = 8,85 m µm = 1930 mm = 1,93 m µm = 10 mm Επιφάνεια τραπεζιού: 1840 mm =1,84 m 92 mm = 0,092 m 8,85 : 1,84 4,81 1,93 : 0,092 20,98 4 x 20 = 80 επιφάνειες τραπεζιών Η επιφάνεια που περισσεύει η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κοπή τραπεζιών: 1,49 m x 1,93 m 1,49 : 0,092 16,20 192

194 16 επιπλέον επιφάνειες τραπεζιών = 96 σε σύνολο Πρόβλημα 3 Λύση a) δείτε το Πρόβλημα 2. Πρόβλημα 4 Λύση: a) 65 επιφάνειες τραπεζιών. b) 180/65 = 2,76 3 Ο κ. Παπαδόπουλος πρέπει να πληρώσει για 3 επιφάνειες τραπεζιών Πρόβλημα 5 Λύση: Συνολικό εμβαδόν των επιφανειών: 11,5 m 2. 11,5 x 3 = 34,5 m 2 εμβαδό των 3 επιφανειών 34,5 x 4 = 138 ευρώ κόστος του υλικού 2 x 180 = 360 ευρώ κόστος παραγωγής = 498 ευρώ ,15 x 498 = 572,70 ευρώ V D - Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο D V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d d = D 2 s = = 50 mm V D = π = 5600π cm 3 V d = π 2, = 2187,5 π cm 3 V p Όγκος σωλήνα V p = 5600π 2187,5π = 3412,5π 10715,25 cm 3 w βάρος σωλήνα w = ρ V w = 7, ,25 = 77149,8 g = 77,1498 kg Πρόβλημα 6 Λύση: 500 kg = g : 7,2 = 69444, (4) μέγιστος όγκος V p = π 4 2 l π 2,5 2 l = 9,75 π l 193

195 9,75 π l = π l 7122,5 l max 2268,3 cm = 22,683 m Πρόβλημα 7 Λύση: V D - Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο D V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d d = D 2 s = = 40 mm V D = π = 5600π cm 3 V d = π = 1400 π cm 3 V p Όγκος σωλήνα V p = 5600π 1400π = 4200π cm 3 w βάρος σωλήνα w = ρ V w = 7, = 94953,6 g = 94,953 kg Πρόβλημα 9 Λύση: a r 1. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της βάσης, υπολογίζουμε το εμβαδόν Ρ 6 τριγώνων με ύψος r =10cm (βλ. εικόνα). Επειδή r = (a 3)/2, το a = 2/3 r 3, τότε 6P = 6 a 2 3/4 = 2 r 2 3, το εμβαδόν της βάσης. Τότε, οι δύο βάσεις έχουν εμβαδόν: 4 r 2 3, και το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας: 6a2r = 8r 2 3. Συνολικό εμβαδόν: 12 r Κουτί σε σχήμα κύβου: Συνολικό εμβαδόν: 6 4 r 2 = 24 r 2 3. Κουτί σε σχήμα κυλίνδρου: Συνολικό εμβαδόν: 2 Π r Πr 2r = 6 Π r 2 Πρόβλημα 14 Λύση: a) Πρώτα, υπολογίζουμε την επιφάνεια που απαιτείται για την τοποθέτηση των τμημάτων ξεχωριστά, όπως στο διάγραμμα A W = (235 x 6) + (7 x 10 διαστήματα) = 1480mm φάρδος H = (235 x 2) + (1x50) + (4x10 διαστήματα) = 560mm ύψος 194

196 Επομένως, Εμβαδόν A = W x H = 1,480 x 560 = mm² Ένθετη περιοχή B = 500 x 855 = mm² Διαφορά στην επιφάνεια = A-B = = mm² b) Εξοικονόμηση κόστους mm²/100mm² x 0,03 = 120, mm Εξάρτημα 1 50 mm Εξάρτημα Τμήμα 2 20 mm 20mm 235mm Όλα τα κενά ανάμεσα στα σχήματα και τις άκρες της επιφάνειας είναι 10mm. Πρόβλημα 15 Λύση: Το εμβαδό ενός τμήματος σε σχήμα L: (235 20) 20 = = 9000 mm 2 Κατά προσέγγιση εμβαδό του μικρότερου τμήματος: = mm 2 Εμβαδό όλων των εξαρτημάτων: ( ) 12 = mm 2 Το εμβαδό του φύλλου A είναι mm 2 Το εμβαδό του φύλλου B είναι mm 2 Επομένως, / % 14,48 % / % 28,74 % Πρόβλημα 16 Λύση: Πρώτα, ελέγχουμε πόσα μεγάλα τμήματα μπορούμε να τοποθετήσουμε κάθετα (πόσες σειρές εξαρτημάτων): = 500 Μπορούμε να βάλουμε 2 τμήματα. Μετά, ελέγχουμε πόσα μεγάλα τμήματα μπορούμε να τοποθετήσουμε (πόσες στήλες εξαρτημάτων) =

197 Σε μια σειρά μπορούμε να βάλουμε 4 εξαρτήματα 2 4 = 8 Μπορούμε να βάλουμε 8 ζεύγη εξαρτημάτων. Πρόβλημα 17 Λύση: Υπολογίζουμε τις διαστάσεις της επιφάνειας W: Το ύψος της επιφάνειας W: 235 (2 20) = = 195 mm Το πλάτος της επιφάνειας W: ( ) 2 20 = = 225 mm Αφαιρούμε το διάστημα που απαιτείται για την κοπή από το λέιζερ: Το ύψος: = 175 mm Το φάρδος: = 205 mm Οι διαστάσεις της επιφάνειας W είναι 175 x 205. Περίπτωση 1 (Εξαρτήματα τοποθετημένα οριζόντια) Το ύψος: = 170 < εξαρτήματα Το φάρδος: = 200 < εξαρτήματα 3 7 = 21 εξαρτήματα 21 6 = 126 Περίπτωση 2 (Εξαρτήματα τοποθετημένα κατακόρυφα) Το ύψος: = = 170 < εξαρτήματα Το φάρδος: = 170 < εξαρτήματα 6 3 = 18 εξαρτήματα = 35 > 30 = μπορούμε να τοποθετήσουμε μια ακόμη οριζόντια γραμμή = 21 εξαρτήματα 21 6 = 126 Ο μέγιστος αριθμός εξαρτημάτων που μπορούμε να τοποθετήσουμε είναι

198 Πρόβλημα 18 Λύση: Η επιφάνεια του φύλλου A είναι mm 2 Η επιφάνεια του φύλλου B είναι mm 2 Κόστος της παραγγελίας στην εταιρείαx: ,08 = Κόστος παραγγελίας στην εταιρεία Y: ,03 = Είναι προτιμότερο να γίνει η παραγγελία στην εταιρεία Y. Πρόβλημα 19 Λύση: Περίπτωση A Πλάτος: 10 x x (235+10) = 1540 mm Ύψος: 10 x 4 + ( ) + 2 x ( ) = 590 mm Περίπτωση B Πλάτος: 10 x x ( ) + 3 x ( ) = 895 mm Ύψος: 10 x x ( ) = 520 mm Στην περίπτωση A είναι 590x1540mm και στην περίπτωση B 520x895mm. Πρόβλημα 20 Λύση: Προσπαθούμε να τοποθετήσουμε τα τμήματα όπως στο διάγραμμα B. Το πλάτος: = τμήματα στη σειρά Το ύψος: = γραμμές 8 3 = 24 τμήματα Απέμεινε ένα φύλλο σε ορθογώνιο σχήμα. Οι διαστάσεις του είναι 205x1200 mm (205 = ). Ελέγχουμε εάν είναι δυνατό να τοποθετήσουμε εκεί το κομμάτι σε σχήμα L. 197

199 Σημειώστε ότι τα τρίγωνα ADE και GFC είναι ισοσκελή. Επομένως AD = DE = FG = CF = 20 mm. AB = BC = =255 mm. Τότε AC = mm Ώστε, h = 0, = 127, ,3 mm 180, = 200,3 mm < 205 mm Επομένως, αν στρέψουμε το κομμάτι με τον κατάλληλο τρόπο θα ταιριάξει στο τμήμα του φύλλου που περίσσεψε. Χρειαζόμαστε 3 επιπλέον κομμάτια = = 1123 mm < 1200 mm Είναι δυνατό να τοποθετήσουμε 3 κομμάτια στο τμήμα που περίσσεψε. Στην επιφάνεια «εντός» των σχημάτων L, είναι δυνατό να τοποθετήσουμε μικρά τμήματα. Επομένως, είναι δυνατό να κόψουμε 27 ζεύγη τμημάτων. 198

200 Πρόβλημα 1 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Τύποι/δεδομένα 1 µm = 0,001 mm Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Πρόβλημα 2 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα 1 µm = 0,001 mm Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Πρόβλημα 3 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα 1 µm = 0,001 mm Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 3 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Πρόβλημα 4 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικό υποπεδίο Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα 1 µm = 0,001 mm Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής 199

201 Προβλήματα 5-6 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υποπεδία Τύποι/δεδομένα Χώρος και σχήματα Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 2D-3D σχήματα και ισιότητες Χωρική απεικόνιση V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d: V d = π ( d 2 )2 l Βάρος σε σχέση με την πυκνότητα ρ και τον όγκο V: w = ρ V Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός μετρήσεων για βάρος και όγκο Πεδίο 1 Επάγγελμα/ρόλος Διαχειριστής CNC Προβλήματα 8-9 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος ΟΛΑ Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 3 Επάγγελμα/ρόλος Όλοι Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υπό-πεδία Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ ρόλος Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υπό-πεδία Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση εμβαδών Κοστολόγηση έργου Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική Υποστήριξη, Σχεδιαστής, Χειριστής CAD, Χειριστής Laser, Συγκολλητής Χώρος και σχήματα Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων 200

202 Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 2 Επαγγελματική ειδικότητα/ ρόλος Πρόβλημα 20 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υπό-πεδία Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 3 Επαγγελματική ειδικότητα/ ρόλος Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση εμβαδών Κοστολόγηση έργου Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική Υποστήριξη, Σχεδιαστής, Χειριστής CAD, Χειριστής Laser, Συγκολλητής Χώρος και σχήματα 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση εμβαδών Κοστολόγηση έργου Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική Υποστήριξη, Σχεδιαστής, Χειριστής CAD, Χειριστής Laser, Συγκολλητής 201

203 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη σχημάτων είναι συμμετρικά; a. b b. e c. c d. a 2. Ένα τετράγωνο διαθέτει 6 άξονες συμμετρίας. Σωστό ή Λάθος; a. Σωστό b. Λάθος 3. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα αναπαριστά την περιστροφή κατά 180 του πρώτου σχήματος; a. 1 b. 2 c. 3 d

204 6. Ποια εικόνα δεν απεικονίζει το ανάπτυγμα ενός κύβου? a. A b. B c. C d. D 7. Αν κόψετε όλες τις γωνίες ενός κύβου, το νέο στερεό ονομάζεται οκτάεδρος κύβος. Πόσες έδρες έχει; a. 8 b. 12 c. 14 d. Κανένα από τα παραπάνω Απαντήσεις: 1c, 2b, 3a, 4a, 5c 203

205 Κλίμακα L15: Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Θεωρία Η κλίμακα καθορίζει πώς αλλάζουν οι πραγματικές διαστάσεις. Η σχέση 1: 1000 μεταφράζεται: 1cm στο σχήμα είναι 1000 cm (10 m) στην πραγματικότητα. Η κλίμακα 2: 5000 δείχνει ότι 2 cm στην εικόνα είναι 5000 cm (50 m) στην πραγματικότητα. Μερικές φορές η κλίμακα πρέπει να μετατραπεί σε πιο απλή μορφή. Αυτό το κάνουμε περιορίζοντας την κλίμακα σε κατώτερους όρους: 1/2500 ή 2/5000 = 2: 5000 είναι το ίδιο όπως 1: 2500 Παράδειγμα: Γράψτε αυτή την κλίμακα στον απλούστερο λόγο. 4 : 400, 28 : 7000, 500 : Απάντηση: 4 : 400 = 4/400 = (διαιρώντας με το 4) 1/100. Ο λόγος είναι 1: : 700 = 28/700 = (διαιρώντας με το7) = 4/100 (διαιρώντας με το 4) = 1/25. Ο λόγος είναι 1 : : = 500/20000 = (διαιρώντας με το 100) = 5/200 = (διαιρώντας με το 5) = 1/400. Ο λόγος είναι 1: 400 Η έννοια της κλίμακας μπορεί να χρησιμοποιηθεί με διάφορους τρόπους. Μπορείτε να υπολογίσετε την κλίμακα ενώ έχετε τα πραγματικά μήκη και τα μήκη του σχεδίου, αλλά συνήθως αυτό που συμβαίνει είναι να υπολογίζετε τις πραγματικές διαστάσεις, ενώ σας έχουν δοθεί η κλίμακα και οι διαστάσεις του σχεδίου. Παράδειγμα: Σε ένα κατάλογο δίνονται η φωτογραφία ενός ντουλαπιού και οι διαστάσεις του. Σε τι κλίμακα παρουσιάζεται το ντουλάπι; 9 cm Βάθος: 43,5 cm Πλάτος: 135 cm Ύψος: 79,5 cm 204

206 5,3 cm Πρέπει να υπολογίσουμε την κλίμακα. Η εικόνα παρέχει πληροφορίες μόνο για το βάθος και το ύψος. Πραγματικό πλάτος: 135 cm Πλάτος στη φωτογραφία: 9 cm Υπολογίζουμε την κλίμακα: 9/135 = 1/15 κλίμακα 1:15 Οι άλλες διαστάσεις: Πραγματικό ύψος: 79,5 cm Ύψος στη φωτογραφία: 5,3 cm Υπολογίζουμε την κλίμακα: 5,3 / 79,5 = 1/15 Παράδειγμα: Αυτές οι βίδες και τα καρφιά είναι σχεδιασμένα σε κλίμακα 2:1. Ποιο είναι το πραγματικό τους μήκος; Απάντηση: Η κλίμακα μας πληροφορεί ότι το αληθινό μήκος έχει μεγεθυνθεί δύο φορές. Για να υπολογίσουμε το πραγματικό μήκος πρέπει να διαιρέσουμε δια 2 το μήκος που δίνεται στο σχέδιο. Το καρφί στο σκίτσο c) είναι 2 cm, αυτό σημαίνει ότι το πραγματικό του μήκος είναι 1 cm. Το καρφί στο σχήμα h) είναι 2,8 cm, επομένως το πραγματικό του μήκος είναι 1,4 cm. 205

207 Περίμετροι, επιφάνειες, όγκοι στερεών Πολλά τεχνικά σχέδια απαιτούν περαιτέρω ερμηνεία για να αντλήσουμε την απαραίτητη πληροφορία. Υπάρχουν παρόμοιες καταστάσεις και σε άλλες πρακτικές περιπτώσεις. Παράδειγμα: Γράψτε πώς θα υπολογίσετε τα χρωματισμένα μέρη των σχημάτων, χρησιμοποιώντας τα σύμβολα της εικόνας. a) b) c) d) Απάντηση: a) Αυτό είναι ένα παραλληλόγραμμο. Η βάση είναι a 2x, το ύψος είναι h 2y. Η επιφάνεια είναι: (a 2x)( h 2y). b) Από το ορθογώνιο πεδίο αφαιρούμε 4 ίδιες τριγωνικές επιφάνειες. Είναι: 4a 3a 4 ½ 2a 1 ½ a = 12 a 2 6a 2 = 6a 2 c) Από την επιφάνεια του μεγάλου τριγώνου αποσπούμε την επιφάνεια του τραπεζίου. Είναι: ½ a h [ ½ (a + ½ a) ½ h] = ½ah ¼ 3/2 ah = ½ah 3/8 ah = 1/8 ah d) Η βάση του τριγώνου είναι r + s + t. Το ύψος του είναι k- p. Η επιφάνεια: ½ (r + s + t) (k p) Χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος Το Πυθαγόρειο Θεώρημα μας επιτρέπει να υπολογίσουμε ο μήκος της τρίτης πλευράς ενός ορθογώνιου τριγώνου εφόσον γνωρίζουμε το μήκος των δύο άλλων πλευρών του. Αυτό εκφράζεται στην ακόλουθη μορφή: Όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας. a c b Όπως σημειώνεται στο σχήμα, μπορείτε να γράψετε: a 2 + b 2 = c 2 Παράδειγμα: Ποια είναι η τρίτη πλευρά ενός ορθογώνιου τριγώνου, αν γνωρίζουμε ότι οι κάθετες πλευρές ισούνται με 5 cm και 12 cm; Αν συμβολίζουμε με xτο μήκος της υποτείνουσας, τότε 206

208 Παράδειγμα: x 2 = x 2 = x 2 = 169 x = 13 Πώς θα υπολογίσουμε το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου; DAB είναι ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο. Οι πλευρές του τριγώνου έχουν μήκος a. Η διαγώνιος d του τετραγώνου είναι η υποτείνουσα του τριγώνου. Παράδειγμα: d 2 = a 2 + a 2 d 2 = 2a 2 d = a 2 Πώς υπολογίζουμε το μήκος του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου; Τριγωνομετρία Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπου a, b είναι οι κάθετες πλευρές, και c είναι η υποτείνουσα (βλ. σχήμα), ισχύουν οι ακόλουθες τριγωνομετρικές σχέσεις: sin α = a/c cos α = b/c tan α = a/b cot α = b/a Το ADC είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μια κάθετη πλευρά ισούται με το μισό του μήκους ½ a, και η υποτείνουσα έχει μήκος a. Το ύψος h του τριγώνου είναι μια κάθετη πλευρά του τριγώνου. a 2 = h 2 + (½ a) 2 h 2 = a 2 ¼ a 2 h = a 3/2 Κάνοντας απλούς υπολογισμούς μπορούμε να βρούμε ενδιαφέρουσες σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. a b c α Παράδειγμα: sin α : cos α = a/c : b/c = a/c c/b = a/b = tan α cos α : sin α = b/c : a/c = b/c c / a = b/ a = cot α Χρησιμοποιώντας την Πυθαγόρεια εξίσωση: a 2 + b 2 = c 2 και διαιρώντας με το c 2 a 2 / c 2 + b 2 / c 2 = 1 207

209 (a/c) 2 +(b/c) 2 = 1 (sin α) 2 +(cos α) 2 = 1 Οι τριγωνομετρικές σχέσεις είναι χρήσιμες για τον υπολογισμό όγκων. Παράδειγμα: Υπολογίστε τον όγκο του κύβου γνωρίζοντας ότι η διαγώνιος του είναι 10 cm και η γωνία ανάμεσα στη βάση και στη διαγώνιό του είναι 60 o, και η μία ακμή της βάσης έχει μήκος 4 cm. Οι παραπάνω σχέσεις παρουσιάζονται στην εικόνα που ακολουθεί: Το τρίγωνο AC C είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Έστω CC = h. h/10 = sin 60 0 = 3/2, τότε h = 5 3. AC/10 = cos 60 0 = ½, τότε AC = 5. Το τρίγωνο ABC είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Χρησιμοποιώντας την Πυθαγόρεια εξίσωση AB = 5 2. AB 2 = = 9 AB = 3. V = =

210 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Από μια ορθογώνια επιφάνεια αποκόπτουμε ένα τμήμα, με τον τρόπο που φαίνεται. a. Ποιο είναι το μήκος του φράχτη που περιβάλλει τώρα την επιφάνεια; b. Ποιο είναι το μήκος των μικρότερων τμημάτων του φράχτη, τα οποία σχηματίστηκαν με την αποκοπή; Γνωρίζουμε ότι έχουν ίσα μήκη. 4,7 m 1,9 m 0,8 m 2,9 m Πρόβλημα 2 Ένα παραλληλεπίπεδο κιβώτιο διαστάσεων 20cm, 12cm, 5cm πρέπει να δεθεί με ταινία. Ποιο είναι το ελάχιστο μήκος ταινίας αν για τον κόμπο χρειάζονται 20 cm; Πρόβλημα 3 Αν ένα μηχάνημα κόβει σιδερένιες επιφάνειες τραπεζιών από μια σιδερένια επιφάνεια με διαστάσεις µm x µm x µm, τότε πόσες επιφάνειες τραπεζιών με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm θα κόψει; Πρόβλημα 4 a) Αν μια μηχανή κόβει σιδερένια τραπέζια από μια επιφάνεια με διαστάσεις µm x µm x µm, τότε πόσα τραπέζια με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm θα κόψει; b) Είναι 96 ο μέγιστος αριθμός τραπεζιών που μπορούν να κοπούν από την σιδερένια επιφάνεια; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Πρόβλημα 5 a) Αν ένα μηχάνημα κόβει σιδερένια τραπέζια από μια επιφάνεια διαστάσεων µm x µm x µm, τότε πόσα σιδερένια τραπέζια με διαστάσεις 1840 mm x 92 mm x 10 mm θα κόψει; 209

211 b) Ο κ. Παπαδόπουλος παρήγγειλε 180 σιδερένια τραπέζια. Πόσο θα πληρώσει αν 1m 2 σιδήρου (με μετρητή του 1cm) κοστίζει 4 ευρώ; Το κόστος παραγωγής μιας επιφάνειας τραπεζιού είναι 2 ευρώ. Η εταιρεία πουλάει τις επιφάνειες των τραπεζιών με κέρδος 15%. Πρόβλημα 6 Σιδερένιοι σωλήνες πρέπει να μεταφερθούν από ένα σημείο σε ένα άλλο. Ο χρόνος μεταφοράς ενός σωλήνα είναι 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα. Πόσοι σωλήνες μπορούν να μεταφερθούν εντός 2 ωρών αν το φόρτωμα και ξεφόρτωμα των σωλήνων στο μηχάνημα απαιτεί 15 δευτερόλεπτα; Πρόβλημα 7 Σιδερένιοι σωλήνες πρέπει να μεταφερθούν από ένα σημείο σε ένα άλλο στην περιοχή εργασίας. Ο χρόνος μεταφοράς ενός σωλήνα είναι 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να μεταφερθούν 40 σωλήνες, εάν το φόρτωμα και το ξεφόρτωμα του σωλήνα στο μηχάνημα απαιτεί 15 δευτερόλεπτα; Πρόβλημα 8 Μια εταιρεία θέλει να παραγγείλει σιδερένιους σωλήνες μήκους 3,5 m, με εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Το συνολικό μήκος των σωλήνων πρέπει να είναι 9 km. Η τιμή των σωλήνων αυτών είναι 7,00 ευρώ το κιλό. Πόσο υπολογίζεται να πληρώσει η εταιρεία; Πρόβλημα 9 Μια εταιρεία θέλει να παραγγείλει σιδερένιους σωλήνες δύο ειδών: Τύπου 1, με μήκος 3,5 m, εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 15 mm και τύπου 2, με μήκος 3,5 m, εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 20 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Η εταιρεία γνωρίζει ότι η τιμή του σωλήνα τύπου 1 είναι 540,00 ευρώ το κομμάτι. Τα 661,00 ευρώ θα ήταν μια καλή τιμή για τη σωλήνα τύπου 2; Πρόβλημα 10 Μια εταιρεία θέλει να παραγγείλει σιδερένιους σωλήνες μήκους 3,5 m, με εξωτερική διάμετρο 80 mm και πάχος περιβλήματος 15 mm (ρ = 7,2 g/cm 3 ). Το συνολικό μήκος των σωλήνων πρέπει να είναι 9 km. έλαβαν δύο προσφορές: Προσφορά 1: 7,00 ευρώ ανά kg σωλήνων Προσφορά 2: 550,00 ευρώ ανά σωλήνα. Ποια είναι η καλύτερη προσφορά; Δικαιολογήστε τη γνώμη σας. Πρόβλημα 11 Υπολογίστε το εμβαδόν στα ακόλουθα πολύγωνα που είναι περιγεγραμμένα σε έναν κύκλο με διάμετρο d: a) ένα ισόπλευρο τρίγωνο b) ένα τετράγωνο c) ένα εξάγωνο 210

212 Βοηθητικό στοιχείο: Στα σχέδια, σκεφτείτε ποια είναι η σχέση ανάμεσα στη διάμετρο d και στο μήκος των αντίστοιχων πλευρών κάθε πολυγώνου. a r Πρόβλημα 12 Μπάλες με διάμετρο 20 cm πρέπει να συσκευαστούν κάθε μια ξεχωριστά στο κατάλληλο κουτί. Σχεδιάστε το κουτί για αυτό το σκοπό. Υπολογίστε πόσο υλικό απαιτείται για την παραγωγή του. Λάβετε υπόψη τα ακόλουθα σχήματα για τα κουτιά: 1. Ένα κουτί στο σχήμα εξαγωνικού πρίσματος. 2. Κουτί σε σχήμα κύβου. 3. Κουτί σε σχήμα κυλίνδρου. 4. Προτείνετε το δικό σας κουτί. Πρόβλημα 13 Μπάλες με διάμετρο 20 cm πρέπει να συσκευαστούν κάθε μια ξεχωριστά στο κατάλληλο κουτί. Σχεδιάστε ένα κουτί για το σκοπό αυτό. Υπολογίστε για ποιο κουτί είναι απαραίτητο το λιγότερο δυνατό υλικό (ποια επιφάνεια θα είναι η μικρότερη). Πρόβλημα 14 Μπάλες με διάμετρο 20 cm θα συσκευαστούν η κάθε μια ξεχωριστά σε κυλινδρικά κουτιά. Τα τμήματα των βάσεων των κουτιών κόβονται από μια επιφάνεια με εμβαδό 130 cm x 75 cm. Εξετάστε τις ακόλουθες διατάξεις για την κοπή των βάσεων. A. Πόσες βάσεις μπορούν να κοπούν από ένα μόνο φύλλο βάσης για κάθε μια από τις πιο πάνω διατάξεις; B. Ποια από αυτές τις διατάξεις είναι η βέλτιστη, αν λάβουμε υπόψη την ποσότητα του υλικού που χρησιμοποιήθηκε; Λάβετε υπόψη ότι στη διάταξη των στοιχείων είναι απαραίτητο να συμπεριληφθούν 0.5 mm για την γραμμή κοπής. 211

213 Πρόβλημα 15 Μπάλες με διάμετρο 20 cm θα πακεταριστούν το καθένα ξεχωριστά σε πρισματικά κουτιά. Τα συστατικά των βάσεων των κουτιών είναι κομμένα από ένα φύλλο επιφάνειας με διαστάσεις 130 cm x 75 cm. Εξετάστε τις ακόλουθες διατάξεις για τις κομμένες βάσεις: βάση τετραγώνου ή εξαγωνική βάση. A. Πόσες βάσεις μπορούν να κοπούν από ένα μόνο φύλλο για κάθε μια από αυτές τις διατάξεις; B. Ποια από αυτές τις διατάξεις είναι η βέλτιστη, αν λάβουμε υπόψη την ποσότητα του υλικού που χρησιμοποιήθηκε; Λάβετε υπόψη ότι στη διάταξη στοιχείων είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε 0,5 mm για την γραμμή κοπής. Πρόβλημα 16 Μπάλες με διάμετρο 20 cm θα πακεταριστούν κάθε μια ξεχωριστά σε κυλινδρικά κουτιά. Τα συστατικά των βάσεων των κουτιών κόβονται από ένα φύλλο υλικού. Πρέπει να κόψετε 24 κύκλους. Στην Εικόνα μπορείτε να δείτε δύο δυνατές διατάξεις Η απόσταση από την άκρη του φύλλου υλικού πρέπει να είναι τουλάχιστον 2 mm και είναι απαραίτητο να υπολογίσετε 0,5 mm για την γραμμή κοπής. A. Πώς θα σχεδιάσετε την βέλτιστη διάταξη; B. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της σελίδας για να έχετε τη μικρότερη σπατάλη υλικού; C. Τι ποσοστό της επιφάνειας ενός ορθογώνιου φύλλου θα πεταχτεί; Πρόβλημα 17 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Το υλικό είναι συνήθως ακριβό και ο χειριστής πρέπει να κάνει βέλτιστη χρήση του διαθέσιμου υλικού, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα περισσευούμενου υλικού. Τα δύο διαμορφωμένα εξαρτήματα που πρέπει να κοπούν είναι τα Τμήμα 1 και Τμήμα 2. Ο σχεδιαστής CAD εισάγει τα σχήματα επάνω σε ένα φύλλο διαστάσεων 500x855mm (βλέπε 212

214 διάγραμμα Β) και χρησιμοποιεί ένθεση για τη μεγιστοποίηση του χώρου, λαμβάνοντας υπόψη την απόσταση που απαιτείται από το λέιζερ για την κοπή. Διάγραμμα A Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm a) Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο αντί για τοποθέτηση στο φύλλο αλουμινίου των τμημάτων ξεχωριστά (Διάγραμμα A), πόσο υλικό σε mm² εξοικονομείται; b) Αν το κόστος του υλικού είναι 0,03 ανά 100mm² πόσο εξοικονομήθηκε ελαττώνοντας την ποσότητα του περισσευούμενου υλικού; Πρόβλημα 18 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Εκτιμείστε τι μέρος της λαμαρίνας αποτελούν τα εξαρτήματα από τη λαμαρίνα που δείχνεται στα διαγράμματα A και B. Δώστε τις απαντήσεις σας σε ποσοστά. 213

215 50mm Διάγραμμα A Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm Πρόβλημα 19 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση (δείτε τις παρακάτω εικόνες). Στο τέλος της ημέρας ένα φύλλο μετάλλου 500 x 580 mm περίσσεψε στο μηχάνημα. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός από ζεύγη εξαρτημάτων που μπορεί να κοπεί; 235 mm Εξάρτημα 1 Εξάρτημα 2 20 mm 20mm 235mm Όλα τα διαστήματα ανάμεσα στα σχήματα και στις άκρες της επιφάνειας είναι 10mm. Πρόβλημα 20 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να 214

216 ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Το υλικό είναι συνήθως ακριβό και ο χειριστής πρέπει να κάνει βέλτιστη χρήση του διαθέσιμου υλικού, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα περισσευούμενου υλικού. Σε ένα φύλλο με διαστάσεις 500 x 835 mm τοποθετούμε 12 εξαρτήματα σχήματος L, με τον τρόπο που δείχνει το διάγραμμα B. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός τμημάτων του δεύτερου είδους που μπορούμε να κόψουμε από το φύλλο; Διάγραμμα Α Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm Πρόβλημα 21 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Το υλικό είναι συνήθως ακριβό και ο χειριστής πρέπει να κάνει βέλτιστη χρήση του διαθέσιμου υλικού, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα περισσευούμενου άχρηστου υλικού. Ο κ. Παπαδόπουλος θέλει να παραγγείλει 12 μεγάλα και 12 μικρά εξαρτήματα. Η εταιρεία X προσφέρει την τιμή των 0,08 για 1 mm 2 και χρησιμοποιεί τη μέθοδο κοπής που δείχνεται στο διάγραμμα B και η εταιρεία Y προσφέρει την τιμή των 0,04 για 1 mm 2 και χρησιμοποιεί τη μέθοδο που δείχνεται στο διάγραμμα A. Ποια προσφορά είναι καλύτερη για τον κ. Παπαδόπουλο; Και οι δύο εταιρείες πληρώνονται για το σύνολο του υλικού που θα χρησιμοποιήσουν. 215

217 Διάγραμμα A Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm Πρόβλημα 22 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Το υλικό είναι συνήθως ακριβό και ο χειριστής πρέπει να κάνει βέλτιστη χρήση του διαθέσιμου υλικού, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα περισσευούμενου άχρηστου υλικού. Ποιες θα είναι οι διαστάσεις των φύλλων στις περιπτώσεις A και B που δείχνονται στα διαγράμματα αν επιμηκύνουμε κατά 1 mm κάθε διάσταση των δύο εξαρτημάτων; Διάγραμμα A 216

218 Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm Πρόβλημα 23 Ένας διαχειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει μια σειρά εξαρτημάτων δύο διαφορετικών σχημάτων από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους, όπως δείχνουν τα διαγράμματα A και B. Ένας πελάτης ήρθε με ένα μεταλλικό φύλλο διαστάσεων 950x1200 mm. Θέλει να λάβει 27 ζεύγη τμημάτων. Είναι αυτό δυνατό; Διάγραμμα A Διάγραμμα B Σημείωση: Σχέδιο όχι σε κλίμακα Όλες οι διαστάσεις σε mm 217

219 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Λύση: a. Μήκος του φράχτη του ορθογωνίου: 2 4,7 m + 2 2,9 m = 9,4 m + 5,8 m = 15,2 m. Στη συνέχεια ο φράχτης προεκτάθηκε κατά 2 1,9 m = 3,8 m, άρα το συνολικό του μήκος είναι: 15,2 m + 3,8 m = 19 m. b. (2,9 m 0,8 m) : 2 = 1,05 m Πρόβλημα 2 Λύση: Το μήκος της ταινίας ισούται με την περίμετρο ορθογωνίου διαστάσεων 20 cm x 5 cm + περίμετρο ορθογωνίου διαστάσεων 12 cm x 5 cm + 20 cm του κόμπου ( ) + ( ) + 20 = = 104 Χρειαζόμαστε τουλάχιστον 104 cm ταινίας. Πρόβλημα 3 Λύση: Διαστάσεις επιφανειών: µm = 8850 mm = 8,85 m µm = 1930 mm = 1,93 m µm = 10 mm Επιφάνεια τραπεζιού: 1840 mm =1,84 m 92 mm = 0,092 m 8,85 : 1,84 4,81 Πρόβλημα 4 Λύση a) δείτε το Πρόβλημα 3 Πρόβλημα 5 Λύση: a) 65 επιφάνειες τραπεζιών. b) 180/65 = 2,76 3 Ο κ. Παπαδόπουλος πρέπει να πληρώσει για 3 επιφάνειες τραπεζιών Συνολικό εμβαδόν των επιφανειών: 11,5 m 2. 11,5 x 3 = 34,5 m 2 εμβαδό των 3 επιφανειών 34,5 x 4 = 138 ευρώ κόστος του υλικού 218

220 Πρόβλημα 6 Λύση: 2 x 180 = 360 ευρώ κόστος παραγωγής = 498 ευρώ ,15 x 498 = 572,70 ευρώ Ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για έναν σωλήνα είναι 15 δευτερόλεπτα + 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα + 15 δευτερόλεπτα = 5 λεπτά και 50 δευτερόλεπτα = 350 δευτερόλεπτα. 2 ώρες = 120 λεπτά = 7200 δευτερόλεπτα : ,57 Μέσα σε 2 ώρες είναι δυνατή η μεταφορά 20 σωλήνων. Πρόβλημα 7 Λύση: Ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για έναν σωλήνα είναι 15 δευτερόλεπτα + 5 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα + 15 δευτερόλεπτα = 5 λεπτά και 50 δευτερόλεπτα = 350 δευτερόλεπτα = δευτερόλεπτα. = 233,(3) λεπτά. = 3 ώρες και 53 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα. Πρόβλημα 8 Λύση: Η εταιρεία θα χρειαστεί 2572 σωλήνες (9000:3,5 = 2571,42). Ο ένας σωλήνας ζυγίζει 77,1498 kg. Το συνολικό κόστος θα είναι: ευρώ. Πρόβλημα 12 Λύση: a r 1. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της βάσης, υπολογίζουμε το εμβαδόν Ρ 6 τριγώνων με ύψος r =10cm (βλ. εικόνα). Επειδή r = (a 3)/2, το a = 2/3 r 3, τότε 6P = 6 a 2 3/4 = 2 r 2 3, το εμβαδόν της βάσης. Τότε, οι δύο βάσεις έχουν εμβαδόν: 4 r 2 3, και το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας: 6a2r = 8r 2 3. Συνολικό εμβαδόν: 12 r Κουτί σε σχήμα κύβου: Συνολικό εμβαδόν: 6 4 r 2 = 24 r 2 3. Κουτί σε σχήμα κυλίνδρου: Συνολικό εμβαδόν: 2 Π r Πr 2r = 6 Π r 2 Πρόβλημα

221 a) Πρώτα, υπολογίζουμε την επιφάνεια που απαιτείται για την τοποθέτηση των τμημάτων ξεχωριστά, όπως στο διάγραμμα A W = (235 x 6) + (7 x 10 διαστήματα) = 1480mm φάρδος H = (235 x 2) + (1x50) + (4x10 διαστήματα) = 560mm ύψος Επομένως, Εμβαδόν A = W x H = 1,480 x 560 = mm² Ένθετη περιοχή B = 500 x 855 = mm² Διαφορά στην επιφάνεια = A-B = = mm² b) Εξοικονόμηση κόστους mm²/100mm² x 0,03 = 120, mm m Εξάρτημα 1 20m m 50m m 20mm Εξάρτημα 2 235mm Όλα τα κενά ανάμεσα στα σχήματα και τις άκρες της επιφάνειας είναι 10mm. Πρόβλημα 18 Λύση: Το εμβαδό ενός τμήματος σε σχήμα L: (235 20) 20 = = 9000 mm 2 Κατά προσέγγιση εμβαδό του μικρότερου τμήματος: = mm 2 Εμβαδό όλων των εξαρτημάτων: ( ) 12 = mm 2 Το εμβαδό του φύλλου A είναι mm 2 Το εμβαδό του φύλλου B είναι mm 2 Επομένως, / % 14,48 % / % 28,74 % Πρόβλημα 19 Λύση: Πρώτα, ελέγχουμε πόσα μεγάλα τμήματα μπορούμε να τοποθετήσουμε κάθετα (πόσες σειρές εξαρτημάτων): =

222 Μπορούμε να βάλουμε 2 τμήματα. Μετά, ελέγχουμε πόσα μεγάλα τμήματα μπορούμε να τοποθετήσουμε (πόσες στήλες εξαρτημάτων) = 560 Σε μια σειρά μπορούμε να βάλουμε 4 εξαρτήματα 2 4 = 8 Μπορούμε να βάλουμε 8 ζεύγη εξαρτημάτων. Πρόβλημα 20 Λύση: Υπολογίζουμε τις διαστάσεις της επιφάνειας W: Το ύψος της επιφάνειας W: 235 (2 20) = = 195 mm Το πλάτος της επιφάνειας W: ( ) 2 20 = = 225 mm Αφαιρούμε το διάστημα που απαιτείται για την κοπή από το λέιζερ: Το ύψος: = 175 mm Το φάρδος: = 205 mm Οι διαστάσεις της επιφάνειας W είναι 175 x 205. Περίπτωση 1 (Εξαρτήματα τοποθετημένα οριζόντια) Το ύψος: = 170 < εξαρτήματα Το φάρδος: = 200 < εξαρτήματα 3 7 = 21 εξαρτήματα 21 6 = 126 Περίπτωση 2 (Εξαρτήματα τοποθετημένα κατακόρυφα) Το ύψος: = = 170 < εξαρτήματα Το φάρδος: = 170 < εξαρτήματα 6 3 = 18 εξαρτήματα = 35 > 30 = μπορούμε να τοποθετήσουμε μια ακόμη οριζόντια γραμμή = 21 εξαρτήματα 221

223 21 6 = 126 Ο μέγιστος αριθμός εξαρτημάτων που μπορούμε να τοποθετήσουμε είναι 126. Πρόβλημα 21 Λύση: Η επιφάνεια του φύλλου A είναι mm 2 Η επιφάνεια του φύλλου B είναι mm 2 Κόστος της παραγγελίας στην εταιρείαx: ,08 = Κόστος παραγγελίας στην εταιρεία Y: ,03 = Είναι προτιμότερο να γίνει η παραγγελία στην εταιρεία Y. Πρόβλημα 22 Λύση: Περίπτωση A Πλάτος: 10 x x (235+10) = 1540 mm Ύψος: 10 x 4 + ( ) + 2 x ( ) = 590 mm Περίπτωση B Πλάτος: 10 x x ( ) + 3 x ( ) = 895 mm Ύψος: 10 x x ( ) = 520 mm Στην περίπτωση A είναι 590x1540mm και στην περίπτωση B 520x895mm. Πρόβλημα 23 Λύση: Προσπαθούμε να τοποθετήσουμε τα τμήματα όπως στο διάγραμμα B. Το πλάτος: = τμήματα στη σειρά Το ύψος: = γραμμές 8 3 = 24 τμήματα Απέμεινε ένα φύλλο σε ορθογώνιο σχήμα. Οι διαστάσεις του είναι 205x1200 mm (205 = ). Ελέγχουμε εάν είναι δυνατό να τοποθετήσουμε εκεί το κομμάτι σε σχήμα L. 222

224 Σημειώστε ότι τα τρίγωνα ADE και GFC είναι ισοσκελή. Επομένως AD = DE = FG = CF = 20 mm. AB = BC = =255 mm. Τότε AC = mm Ώστε, h = 0, = 127, ,3 mm 180, = 200,3 mm < 205 mm Επομένως, αν στρέψουμε το κομμάτι με τον κατάλληλο τρόπο θα ταιριάξει στο τμήμα του φύλλου που περίσσεψε. Χρειαζόμαστε 3 επιπλέον κομμάτια = = 1123 mm < 1200 mm Είναι δυνατό να τοποθετήσουμε 3 κομμάτια στο τμήμα που περίσσεψε. Στην επιφάνεια «εντός» των σχημάτων L, είναι δυνατό να τοποθετήσουμε μικρά τμήματα. Επομένως, είναι δυνατό να κόψουμε 27 ζεύγη τμημάτων. 223

225 Προβλήματα 1-2 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικό υποπεδίο Τύποι / δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Χώρος και σχήματα Τριγωνομετρία και γεωμετρία Επίπεδο 2 Επάγγελμα/ρόλος ΟΛΑ Πρόβλημα 3 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 2 Επάγγελμα/ρόλος Εκτέλεση απλών πράξεων Κατανόηση βασικών ιδιοτήτων σχημάτων Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων 1 µm = 0,001 mm Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδόν Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Πρόβλημα 4 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα 1 µm = 0,001 mm Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδού Επίπεδο 3 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Πρόβλημα 5 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα 1 µm = 0,001 mm Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός εμβαδού Πεδίο 2 Επάγγελμα/ρόλος Μηχανολόγος Τεχνικός, Μηχανολόγος Μηχανικός, Τεχνικός Μηχανοτρονικής, Μηχανολόγος Μηχανοτρονικής Προβλήματα 6-10 Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία Μονάδες μέτρησης και κλίμακες 224

226 Τύποι/δεδομένα 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων V d Όγκος κυλίνδρου με διάμετρο d: V d = π ( d 2 )2 l Βάρος w σε σχέση με την πυκνότητα ρ και τον όγκο V: w = ρ V Αριθμητικές δεξιότητες Εκτέλεση απλών πράξεων Υπολογισμός μετρήσεων βάρους, όγκου και χρόνου Σύγκριση ποσοτήτων Κοστολόγηση έργου Επίπεδο 2 Επάγγελμα/ρόλος Διευθυντής πωλήσεων Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Υπολογισμός εμβαδού Επίπεδο 2 Επάγγελμα/ρόλος ΟΛΑ Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υποπεδία 2D-3D σχήματα και ιδιότητες Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Υπολογισμός εμβαδού Επίπεδο 3 Επάγγελμα/ρόλος ΟΛΑ Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Χώρος και σχήματα Μαθηματικά υπό-πεδία Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επαγγελματική ειδικότητα/ ρόλος Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υπό-πεδία Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση εμβαδών Κοστολόγηση έργου Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική Υποστήριξη, Σχεδιαστής, Χειριστής CAD, Χειριστής Laser, Μεταλλοκολλητής Χώρος και σχήματα Χωρική απεικόνιση Εφαρμογή αριθμητικών δεξιοτήτων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων 225

227 Τύποι/ Δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 2 Επαγγελματική ειδικότητα/ ρόλος Εκτέλεση απλών πράξεων Εκτίμηση εμβαδών Κοστολόγηση έργου Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική Υποστήριξη, Σχεδιαστής, Χειριστής CAD, Χειριστής Laser, Μεταλλοκολλητής 226

228 Μέρος 4 Ανάλυση δεδομένων και αβεβαιότητα 227

229 L16: Πιθανότητες Θεωρία Εμπειρική πιθανότητα Στο μαθηματικό πεδίο των πιθανοτήτων, η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός αποδίδεται από μια αριθμητική τιμή η οποία προβλέπει πόσο πιθανό είναι αυτό το γεγονός να συμβεί. Παράδειγμα: Όταν παίζουμε «κορώνα ή γράμματα», δεν γνωρίζουμε αν το νόμισμα θα πέσει στη μια ή στην άλλη πλευρά. Ωστόσο, τόσο η κορώνα, όσο και τα γράμματα έχουν ίσες πιθανότητες να εμφανιστούν κάθε φορά που ρίχνουμε ένα δίκαιο νόμισμα. Μπορούμε να περιγράψουμε την κατάσταση λέγοντας ότι η πιθανότητα να τύχει κορώνα είναι P(κορώνα) = P(H) = 1 και η πιθανότητα να τύχει γράμματα είναι 2 P(γράμματα) = P(T) = 1 2. Η εμπειρική πιθανότητα μπορεί να οριστεί ως η πιο ακριβής επιστημονική εκτίμηση, βασισμένη σε μεγάλο αριθμό δοκιμών, που μπορεί να εξαχθεί από την αθροιστική σχετική συχνότητα ενός γεγονότος που συμβαίνει. Η αθροιστική σχετική συχνότητα μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το συνολικό αριθμό εμφανίσεων ενός γεγονότος με το συνολικό αριθμό δοκιμών. Σημείωση: Η πιθανότητα ενός γεγονότος γράφεται συνήθως ως κλάσμα. Η συνήθης εμφάνισή του σε μια αριθμομηχανή, ωστόσο, είναι σε δεκαδική μορφή. Επομένως, αν χρησιμοποιείτε αριθμομηχανή όταν εργάζεστε με πιθανότητες, είναι χρήσιμο να γνωρίζετε τα ισοδύναμα κλασμάτων-δεκαδικών. Παράδειγμα: Η πιθανότητα να φέρουμε 4 όταν ρίχνουμε ένα ζάρι: P(4) = 1 6. Θεωρητική πιθανότητα Ένα ενδεχόμενο είναι αποτέλεσμα μιας δραστηριότητας ή ενός πειράματος. Δειγματικός χώρος είναι το σύνολο όλων των πιθανών ενδεχομένων δραστηριότητας. μιας Ένα γεγονός είναι υποσύνολο του δειγματικού χώρου. Η θεωρητική πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ο αριθμός των τρόπων που μπορεί να εμφανιστεί ένα ενδεχόμενο, διαιρεμένο από το συνολικό αριθμό ενδεχομένων στο δειγματικό χώρο. Αυτό αναπαριστάται ως P(E) = n(e) n(s) όπου: 228

230 P(E) αναπαριστά την πιθανότητα ενός ενδεχομένου E; n(e) αναπαριστά τον αριθμό των ενδεχομένων ενός γεγονότος E; n(s) αναπαριστά τον αριθμό των ενδεχομένων σε ένα δειγματικό χώρο S. Παράδειγμα: Η πιθανότητα να φέρουμε αριθμό μεγαλύτερο του 4 όταν ρίχνουμε ένα ζάρι είναι P(x > 4) = 2 6 = 1 3. Τυχαία επιλογή Τυχαία επιλογή κάνουμε όταν επιλέγουμε ένα αντικείμενο από μια συλλογή αντικειμένων χωρίς να γνωρίζουμε κανένα από τα ειδικά χαρακτηριστικά του αντικειμένου. Αδύνατα ενδεχόμενα, βέβαια ενδεχόμενα και πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Η πιθανότητα ενός αδύνατου ενδεχομένου είναι 0. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου που είναι βέβαιο ότι θα συμβεί είναι 1. Η πιθανότητα κάθε γεγονότος E πρέπει να είναι ίση ή μεγαλύτερη του 0, και μικρότερη ή ίση του 1: 0 P(E) 1. Πιθανότητα A και B Το γεγονός (A και B) αποτελείται από τα ενδεχόμενα του γεγονότος Α και του γεγονότος Β. Το γεγονός (A και B) μπορεί να θεωρηθεί ως τομή των συνόλων, εκφραζόμενο ως A B. Παράδειγμα: Η πιθανότητα να φέρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο του 3 και μικρότερο του 6 όταν ρίχνουμε ένα δίκαιο ζάρι μια φορά είναι P(3 < x < 6) = P(A B) = n(a B) = 2 = Πιθανότητα του A ή B Το γεγονός (A ή B) αποτελείται από τα ενδεχόμενα που αφορούν το γεγονός Α ή το γεγονός Β. Το γεγονός (A ή B) μπορεί να θεωρηθεί ως η ένωση των συνόλων, εκφραζόμενο ως A B και ισούται με: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Παράδειγμα: Μια τράπουλα με 52 κάρτες ανακατεύεται, και διαλέγουμε μια κάρτα στην τύχη. Η πιθανότητα ότι αυτή η κάρτα είναι ντάμα ή άσσος μπορεί να υπολογιστεί με την ακόλουθη διαδικασία: Η τράπουλα έχει τέσσερις ντάμες, άρα P(ντάμα) = n(s) 229

231 Η τράπουλα έχει τέσσερις άσσους, άρα P(άσσος) = Αυτά είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα γεγονότα. Το σύνολο των καρτών ντάμα και το σύνολο των άσσων είναι ξένα μεταξύ τους σύνολα, χωρίς κοινά σημεία. Οπότε P(ντάμμα ή άσσος) = P(ντάμα) + P(άσσος) = = 8 52 =

232 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Η αγγλική αλφάβητος περιλαμβάνει 26 γράμματα. Υπάρχουν 5 φωνήεντα (A, E, I, O, U). Τα υπόλοιπα 21 γράμματα είναι σύμφωνα. Αν κάποιος γυρίσει ανάποδα 26 κάρτες σε ένα παιχνίδι λέξεων και κάθε κάρτα αντιπροσωπεύει ένα διαφορετικό γράμμα της αλφαβήτου, ποια είναι η πιθανότητα να αναποδογυρίσει: a. το γράμμα D; b. ένα φωνήεν; c. ένα σύμφωνο; Πρόβλημα 2 Μια τυπική τράπουλα περιέχει 52 τραπουλόχαρτα. Υπάρχουν τέσσερα σύμβολα: κούπα, καρώ, σπαθί, και μπαστούνι. Κάθε σύμβολο περιέχει 13 κάρτες: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, βαλές, ντάμα, ρήγας και άσσος. Τα καρώ και οι κούπες είναι κόκκινα. Τα σπαθιά και το μπαστούνια είναι μαύρα. Επιλέγοντας ένα χαρτί από την τράπουλα τυχαία, βρείτε την πιθανότητα να φέρουμε: a. το 9 κούπα b. ένα 9 c. μια κούπα Πρόβλημα 3 Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε έναν αριθμό μικρότερο του 4 όταν ρίχνουμε ένα ζάρι; Απάντηση: P(x < 4) = 3 6 = 1 2. Πρόβλημα 4 Ένας χειριστής κόπτη τεχνολογίας λέιζερ πρέπει να κόψει έναν αριθμό από δύο διαφορετικά διαμορφωμένα εξαρτήματα από ένα κομμάτι λαμαρίνα, έτοιμα να ενωθούν μεταξύ τους με οξυγονοκόλληση. Σε μια εταιρεία η οποία παράγει σειρές στοιχείων δούλευαν 3 οξυγονοκολλητές. Υπολογίστηκε ότι ο Γιάννης έκανε το 34% των στοιχείων, ο Πέτρος το 40% των στοιχείων και ο Διονύσης το 26% (ήταν αρχάριος). Από τα παραγόμενα στοιχεία από τους εργάτες, 5%, 2% και 10% δεν πέρασαν τον έλεγχο ποιότητας. Ένα ελαττωματικό στοιχείο επιλέχθηκε. Ποια είναι η πιθανότητα το στοιχείο να ήταν κομμένο από τον Πέτρο και ποια η πιθανότητα να ήταν κομμένο από τον Διονύση; 231

233 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Απάντηση: a. P(D) = 1 26 b. P(φωνήεν) = 5 26 c. P(σύμφωνο) = Πρόβλημα 2 Απάντηση: a. P(9 κούπα) = 1 52 b. P(9) = 4 52 c. P(κούπα) = = 1 4 Πρόβλημα 3 Απάντηση: P(x < 4) = 3 6 = 1 2. Πρόβλημα 4 Λύση: B J η πιθανότητα το στοιχείο να κόπηκε από τον Γιάννη B P η πιθανότητα το στοιχείο να κόπηκε από τον Πέτρο B D η πιθανότητα το στοιχείο να κόπηκε από τον Διονύση 1) B J B P B D = Ω 2) B J, B P, B D είναι ανά ζεύγη ξένα μεταξύ τους 3) P(B J ), P(B P ), P(B D ) > 0 Οι συνθήκες ολικής πιθανότητας πληρούνται. A η πιθανότητα να επιλέχθηκε το ελαττωματικό στοιχείο. P(B J ) = 0,34 P(B P ) = 0,4 P(B D ) = 0,26 P(A B J ) = 0,05 P(A B P ) = 0,02 P(A B D ) = 0,1 P(A) = 0,34 0,05 + 0,4 0,02 + 0,26 0,1 = 0, , ,026 = 0,

234 P(B P A) = (0,02 0,4) /0,051 = 0,008/0,051 = 8/51 P(B D A) = (0,1 0,26)/0,051 = 0,026/0,051 = 26/

235 Προβλήματα 1-3 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικό υπο-πεδίο Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Αβεβαιότητα και δεδομένα Πιθανότητες Βασικές πράξεις Χρήση εξισώσεων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα ΟΛΕΣ Πρόβλημα 4 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικά υπο-πεδία Τύποι/δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 3 Επαγγελματική ιδιότητα Πιθανότητες Σύγκριση διαφορετικών σειρών δεδομένων Βασικές πράξεις Υπολογισμός εμβαδού Κοστολόγηση έργου Αγοραστής, Εκτιμητής, Μηχανικός Πωλήσεων, Τεχνική Υποστήριξη 234

236 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Ποια είναι η πιθανότητα όταν ρίχνουμε το ζάρι να φέρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο του 4; a. 1/2 b. 1/3 c. 1/4 d. Κανένα από τα παραπάνω 2. Μια τυπική τράπουλα περιλαμβάνει 52 κάρτες. Τραβώντας μια τυχαία κάρτα, ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε ένα 10άρι; a. 10/52 b. 1/52 c. 1/13 d. Κανένα από τα παραπάνω 3. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λανθασμένη; a. Υπάρχουν συμβάντα με πιθανότητα 100%. b. Υπάρχουν συμβάντα με 0% πιθανότητα c. Υπάρχουν συμβάντα με πιθανότητα παραπάνω από 100%. 4. Μια τυπική τράπουλα περιέχει 52 κάρτες. Επιλέγοντας μια τυχαία κάρτα, ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε ντάμα; a. 10/52 b. 1/52 c. 1/13 d. Κανένα από τα παραπάνω 5. Ποια είναι η πιθανότητα όταν ρίχνουμε το ζάρι να φέρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο του 2 και μικρότερο του 6; a. 5/6 b. 2/3 c. 1/2 d. Κανένα από τα παραπάνω Απαντήσεις: 1d, 2c, 3c, 4c, 5c 235

237 L17: Εισαγωγή σε τύπους δεδομένων Θεωρία Η στατιστική είναι η μελέτη των αριθμητικών δεδομένων. Υπάρχουν τρία βασικά βήματα στη στατιστική μελέτη: Συλλογή δεδομένων, Οργάνωση δεδομένων σε πίνακες, διαγράμματα, και γραφήματα, Εξαγωγή συμπερασμάτων από την ανάλυση των δεδομένων. Τα δεδομένα μπορούν να είναι είτε ποιοτικά είτε ποσοτικά. Τα ποσοτικά δεδομένα μπορούν να είτε διακριτά, είτε συνεχή. Τα διακριτά δεδομένα μπορούν να λάβουν μόνο συγκεκριμένες τιμές, ενώ τα συνεχή δεδομένα μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή, εντός ενός συγκεκριμένου εύρους. Παραδείγματα Ένας ιδιοκτήτης ξενοδοχείου μπορεί να ρωτήσει τους πελάτες τη γνώμη τους αναφορικά με την διαμονή; Η αξιολόγηση μπορεί να κυμαίνεται από «πολύ κακή» έως «εξαιρετική». Αυτός ο τύπος δεδομένων είναι ποιοτικός. Η ιδιοκτήτρια ενός καταστήματος μπορεί να μετρήσει τον αριθμό των πελατών που εισήλθαν στο κατάστημά της: τα δεδομένα που συλλέχθηκαν σε αυτή την περίπτωση είναι ποσοτικά και διακριτά. Η αστυνομία μπορεί να μετρήσει την ταχύτητα των αυτοκινήτων σε ένα συγκεκριμένο σημείο του αυτοκινητοδρόμου: τα δεδομένα που συλλέχθηκαν σε αυτή την περίπτωση είναι ποσοτικά και συνεχή. 236

238 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Για το καθένα από τα ακόλουθα δεδομένα, γράψτε αν είναι ποιοτικά ή ποσοτικά και, στην περίπτωση που είναι ποσοτικά, αν είναι διακριτά ή συνεχή. a. Ένας μαθητής κάνει έρευνα σχετικά με τα αγαπημένα μουσικά συγκροτήματα των συμμαθητών του. b. Τα βάρη των νεογέννητων μωρών κατά το τελευταίο έτος σε ένα συγκεκριμένο νοσοκομείο. c. Ο αριθμός των ψηφοφόρων που ψήφισαν ένα συγκεκριμένο κόμμα. 237

239 Λύσεις και απαντήσεις Πρόβλημα 1 Απάντηση: a. Ποιοτικά b. Ποσοτικά και συνεχή c. Ποσοτικά και διακριτά 238

240 Πρόβλημα 1 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικό υπο-πεδίο Εισαγωγή στους τύπους δεδομένων Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Κατηγοριοποίηση δεδομένων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα ΟΛΕΣ 239

241 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Από τα παρακάτω δεδομένα, ποιο δεν είναι ποσοτικό; a. Ο αριθμός των ψηφοφόρων ενός κόμματος b. Ο χρόνος που απαιτείται για να διανύσουμε μια απόσταση με διαφορετικά μέσα μεταφοράς c. Το ύψος των μαθητών σ ένα εκπαιδευτικό πρόγραμμα d. Το χρώμα των ματιών των μαθητών σ ένα εκπαιδευτικό πρόγραμμα 2. Ποια από τα παρακάτω ποσοτικά δεδομένα είναι συνεχή; a. Ο αριθμός των ψηφοφόρων ενός κόμματος b. Το βάρος των νεογνών σε ένα μαιευτήριο c. Ο αριθμός των διαλέξεων σ ένα εκπαιδευτικό πρόγραμμα d. Ο πληθυσμός μιας πόλης τα τελευταία 10 χρόνια μαθητές ρωτήθηκαν ποιο είναι το αγαπημένο τους μάθημα. Είναι σωστό ή λάθος πως οι απαντήσεις τους αποτελούν ποιοτικά δεδομένα; a. Σωστό b. Λάθος 4. Είναι σωστό ή λάθος ότι οι συνεχείς μεταβλητές μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή εντός ενός συγκεκριμένου διαστήματος; a. Σωστό b. λάθος 5. Είναι σωστό ή λάθος ότι από ένα συγκεκριμένο πληθυσμό μπορούμε να αποκτήσουμε ένα μόνο τύπο δεδομένων - είτε ποιοτικά είτε ποσοτικά; a. Σωστό b. Λάθος Απαντήσεις: 1d, 2b, 3a, 4a, 5b 240

242 L18: Ομαδοποίηση δεδομένων Θεωρία Όταν έχουμε έναν μεγάλο αριθμό δεδομένων, συνήθως εξυπηρετεί η οργάνωσή τους σε ομάδες ή διαστήματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να ακολουθούμε ορισμένους κανόνες: 1. Τα διαστήματα πρέπει να καλύπτουν ολόκληρο το εύρος των τιμών. 2. Τα διαστήματα πρέπει να είναι ίσα σε μέγεθος. 3. Ο αριθμός των διαστημάτων θα πρέπει γενικά να είναι μεταξύ 5 και 15. Συνήθως χρησιμοποιούμε ένα μεγάλο αριθμό διαστημάτων μόνο όταν έχουμε ένα μεγάλο αριθμό δεδομένων. 4. Κάθε τιμή πρέπει να τοποθετείται σε ένα και μόνο διάστημα. Όταν ένα διάστημα τελειώνει σε ένα αριθμό, το επόμενο διάστημα ξεκινά από τον επόμενο αριθμό στη σειρά μέτρησης. 5. Τα διαστήματα πρέπει να τοποθετούνται σε σειρά, ανάλογα με τις τιμές τους. Παράδειγμα: Ένας εκπαιδευτής ενηλίκων βαθμολόγησε ένα σύνολο 32 γραπτών. Οι βαθμολογίες που πέτυχαν οι εκπαιδευόμενοι ήταν οι ακόλουθες: 90, 85, 74, 86, 65, 62, 100, 95, 77, 82, 50, 83, 77, 93, 73, 72, 98, 66, 45, 100, 50, 89, 78, 70, 75, 95, 80, 78, 83, 81, 72, 75 Τα παραπάνω δεδομένα μπορούν να ομαδοποιηθούν σε διαστήματα όπως φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: Διάστημα Συχνότητα Τα δεδομένα που περιλαμβάνονται στον παραπάνω πίνακα μπορούν επίσης να παρουσιαστούν οπτικά σε ένα ιστόγραμμα. 241

243 Προβλήματα Πρόβλημα 1 Συνδέστε τους δεδομένους αριθμούς σκληρότητας Brinell με τα υλικά. Υλικό Σκληρότητα Μαλακό ξύλο (π.χ. πεύκο) 4600 HB Χαλκός 5,0 HB Καθαρός Μόλυβδος 15 HB Μαλακό ατσάλι 2,6 7,0 HB Σκληρό ξύλο 1550 HB Καθαρό Αλουμίνιο 35 HB Γυαλί 1,6 HB Ρήνιο Διβοριδίου 120 HB Διασταυρώστε τις απαντήσεις σας σε διάφορες πηγές (διαδίκτυο, εγχειρίδια) Πρόβλημα 2 Έγιναν δέκα μετρήσεις με το τεστ σκληρότητας Brinell. Τα αποτελέσματα που επιτεύχθηκαν είναι συγκεντρωμένα στον πίνακα που ακολουθεί. Υπολογίστε το μέσο όρο και τη διάμεσο. No αποτέλεσμα 5,217 5,218 5,211 5,215 5,199 5,220 5,217 5,212 5,218 5,217 Πρόβλημα 3 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται στα υλικά για να αλλάξουν τις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, το Χρώμιο προστέθηκε στο χάλυβα για να γίνει πιο ανθεκτικό στη διάβρωση. Υπολογίστε το ποσοστό Σιδηρούχων σε χάλυβα 316, αν η σύνθεση των υλικών δίνεται στον ακόλουθο πίνακα. Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγγάνιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 17,00% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος ; Πρόβλημα 4 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η αντίστασή του στη διάβρωση. Σχεδιάστε ένα διάγραμμα πίτας για χάλυβα 316, αν η σύνθεση των υλικών δίνεται στον ακόλουθο πίνακα. 242

244 Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγγάνιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 17,00% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος 60,87% Πρόβλημα 5 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η αντοχή του στη διάβρωση. Στο διάγραμμα πίτας του χάλυβα 316 που απεικονίζεται, συμπληρώστε το ποσοστό που λείπει. Σύνθεση Ανοξείδωτου Χάλυβα 316 0,08% 2,00% 1,00% 0,05% 3,00%??? 13,00% 60,87% 3,00% C - Carbon Mn - Manganese Si - Silicon P - Phosphorus S - Sulphur Cr - Chromiun Ni - Nickel Mo - Molybdenum Fe - Ferrous - Iron Πρόβλημα 6 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η αντοχή του στη διάβρωση. Ποιες από τις ακόλουθες εκφράσεις, οι οποίες βασίζονται στο εικονιζόμενο διάγραμμα πίτας, είναι σωστές; 243

245 Σύνθεση Ανοξείδωτου Χάλυβα 316 0,08% 2,00% 1,00% 0,05% 3,00% 17,00% 13,00% 60,87% 3,00% C - Carbon Mn - Manganese Si - Silicon P - Phosphorus S - Sulphur Cr - Chromiun Ni - Nickel Mo - Molybdenum Fe - Ferrous - Iron A. Το βάρος του Θείου είναι ίδιο με το βάρος του Μολυβδαίνιου. B. Το βάρος του Μολυβδαίνιου είναι μισό από το βάρος του Μαγγανίου. C. Το Χρώμιο είναι το δεύτερο στοιχείο αναφορικά με το βάρος του σε ανοξείδωτο χάλυβα 316. D. Αν διπλασιάσω το βάρος του Μολυβδαίνιου, θα πρέπει να τριπλασιάσω το βάρος της Σιλικόνης για να διατηρήσω τις ιδιότητες του ανοξείδωτου χάλυβα 316. Πρόβλημα 7 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η ανθεκτικότητά του στη διάβρωση. Υπολογίστε το ποσό Σιδηρούχων, Άνθρακα και Φωσφόρου σε Ανοξείδωτο Χάλυβα 316 βάρους 100 kg, αν η σύνθεση των υλικών δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγνήσιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 17,00% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος 60,87% Πρόβλημα 8 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν τις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξήσει την ανθεκτικότητά του στη διάβρωση. Ένα κομμάτι χάλυβα 316 περιέχει 4,5 g Θείου. Πόσα γραμμάρια (g) Χρωμίου περιέχει; Η σύνθεση των υλικών δίνεται στον ακόλουθο πίνακα. 244

246 Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγγάνιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 17,00% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος 60,87% Πρόβλημα 9 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η αντοχή του στη διάβρωση. Σε 100 kg χάλυβα 316 προσθέσαμε 20 kg Σιδηρούχων. Ποια είναι το βάρος των άλλων συστατικών που πρέπει να προστεθούν προκειμένου να μη χάσει το υλικό τις αυθεντικές του ιδιότητες; Η σύνθεση των υλικών δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγγάνιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 17,00% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος 60,87% Πρόβλημα 10 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η αντίστασή του στη διάβρωση. Ο ακόλουθος πίνακας δείχνει τα βάρη της χημικής σύνθεσης ενός κομματιού μετάλλου που ζυγίζει 145 kg: Χημική σύνθεση Βάρος (kg) Άνθρακας 0,12 Μαγγάνιο 2,90 Σιλικόνη 1,45 Φώσφορος 0,07 Θείο 4,35 Χρώμιο 24,65 245

247 Νικέλιο 18,85 Μολυβδαίνιο 4,35 Σιδηρούχα - Σίδηρος 88,26 Ανταποκρίνεται η ως άνω σύνθεση σε εκείνη του χάλυβα 316, η οποία δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί; Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγγάνιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 1700% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος 60,87% Πρόβλημα 11 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η ανθεκτικότητά του στη διάβρωση. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το βάρος των χημικών συνθέσεων πέντε κομματιών μετάλλου με διαφορετικά βάρη. Ποια από αυτά έχουν την ίδια σύνθεση με τον χάλυβα 316; Χημική σύνθεση Βάρος (kg) Μέταλλο 1 Μέταλλο 2 Μέταλλο 3 Μέταλλο 4 Άνθρακας 0,12 0,24 0,4 0,64 Μαγγάνιο 3, Σιλικόνη 1, Φώσφορος 0,08 0,15 0,25 0,4 Θείο 4, Χρώμιο 25, Νικέλιο 19, Μολυβδαίνιο 4, Σιδηρούχα - Σίδηρος 91,31 182,61 304,35 235,7 Πρόβλημα 12 Τα γρανάζια / ρουλεμάν των αξόνων μπορεί συχνά να τριφτούν ή να υποστούν φθορά. Αυτό μπορεί να δημιουργήσει κραδασμούς σε κινητήρες, κιβώτια ταχυτήτων κτλ. οι οποίοι μπορεί συνεπώς να μειώσουν την αποδοτικότητα και τελικά να προκαλέσουν δαπανηρή ζημιά στο σύστημα. Για να αποφευχθεί αυτό, πρέπει να ελέγχουμε ότι ο χρόνος λειτουργίας του γραναζιού / άξονα είναι εντός των επιτρεπόμενων ορίων, όπως δηλώνεται από τον κατασκευαστή. Η φωτογραφία δείχνει ένα DTI τεστ το οποίο ελέγχει το χρόνο λειτουργίας ή την ομοκεντρότητα του τοποθετημένου συστήματος ρουλεμάν / οδοντωτών τροχών. 246

248 DTI Τεστ Τυπικό γρανάζι, ρουλεμάν, σύστημα οδοντωτών τροχών Αυτό που πρέπει να κάνετε είναι να μετρήσετε 12 μαρκαρισμένα σημεία επάνω στο γρανάζι χρησιμοποιώντας τη συσκευή δοκιμής (DTI). Αυτό θα μετρήσει την ομοκεντρότητα της περιστροφής του άξονα. Κατόπιν συμπληρώστε τον πίνακα αποτελεσμάτων και σχεδιάστε το γράφημα. Είναι τα αποτελέσματα εντός του επιτρεπόμενου από τον κατασκευαστή ορίου ανώτερης και κατώτερης ανοχής της τάξεως των +/-0,2mm (δείξτε τον συμβολισμό της ανοχής BS); Θέση Ανάγνωση DTI 247

249 Πρόβλημα 2 Απάντηση: Μέσος όρος: 5,214 Διάμεσος: 5,217 Πρόβλημα 3 Λύση: Λύσεις και απαντήσεις Για να υπολογίσουμε το ποσοστό επί της % των σιδηρούχων, προσθέτουμε όλες τις άλλες τιμές μαζί = 39,13% τότε 100% 39,13% = 60,87% Πρόβλημα 4 Λύση: Για να σχεδιάσουμε ένα διάγραμμα πίτας με το χέρι υπολογίζουμε τη γωνία χρησιμοποιώντας 360 x τον αριθμό/100 Δηλαδή 360 x 60,87/ 100 = 219, 360 x 17/ 100 = 61 και ούτω καθεξής Σημείωση: 0,08 x 360/100 = 0,29 αυτό μπορεί να αναπαραστεθεί από μια ευθεία λόγω του πολύ μικρού μεγέθους του Χρησιμοποιώντας το Microsoft Excel έχετε το ακόλουθο διάγραμμα πίτα: Σύνθεση Ανοξείδωτου Χάλυβα 316 0,08% 2,00% 1,00% 0,05% 3,00% 17,00% 13,00% 60,87% 3,00% C - Carbon Mn - Manganese Si - Silicon P - Phosphorus S - Sulphur Cr - Chromiun Ni - Nickel Mo - Molybdenum Fe - Ferrous - Iron Πρόβλημα 5 Απάντηση: 17% Πρόβλημα 6 Απάντηση: Τα A και C είναι σωστά. Πρόβλημα 7 248

250 Απάντηση: Σιδηρούχα: 60,87 kg Άνθρακας: 8 kg Φώσφορος: 5 kg Πρόβλημα 8 Απάντηση: 25,5 g Χρωμίου Πρόβλημα 9 Απάντηση: Χημική σύνθεση Προστιθέμενο βάρος (kg) Άνθρακας 0,03 Μαγγάνιο 0,66 Σιλικόνη 0,33 Φώσφορος 0,02 Θείο 0,99 Χρώμιο 5,59 Νικέλιο 4,27 Μολυβδαίνιο 0,99 Σιδηρούχα - Σίδηρος 20,00 Πρόβλημα 10 Απάντηση: Ναι Πρόβλημα 11 Απάντηση: Τα μέταλλα 1 και 3 έχουν την ίδια σύνθεση με τον ανοξείδωτο χάλυβα 316. Στο μέταλλο 2 το βάρος του Θείου είναι 6 kg αντί των 9 kg και στο μέταλλο 4 το βάρος του Μαγγανίου είναι 6 kg αντί των 16 kg, και το βάρος των Σιδηρούχων είναι 235,7 kg αντί των 486,96 kg. Πρόβλημα 12 Λύση: Παρακάτω βλέπετε κάποια πιθανά αποτελέσματα και το αντίστοιχο γράφημα τους. Και τα δύο δείχνουν ότι τα αποτελέσματα είναι εντός του επιτρεπόμενου από τον κατασκευαστή ορίου ανώτερης και κατώτερης αντοχής της τάξεως του +/-0,2mm. Θέση Ανάγνωση DTI 1 0,00 2 0,12 3 0,14 4 0,15 249

251 5 0,16 6 0,17 7 0,16 8 0,15 9 0, , , ,00 DTI μέτρηση 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,

252 Πρόβλημα 1 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικό υπο-πεδίο Λίστες και πίνακες Τύποι/δεδομένα 2F HB = όπου πd(d (D 2 d 2 ) D = Διάμετρος σφαίρας σε mm d = Διάμετρος εσοχής σε mm F = Φορτίο σε kgf HB =Σταθερά Σκληρότητας Brinell Αριθμητικές δεξιότητες Κατηγοριοποίηση δεδομένων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας Πρόβλημα 2 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικά υπο-πεδία Λίστες και πίνακες Μετρήσεις μέσου όρου Τύποι/δεδομένα 2F HB = όπου πd(d (D 2 d 2 ) D = Διάμετρος σφαίρας σε mm d = Διάμετρος εσοχής σε mm F = Φορτίο σε kgf HB = Σταθερά σκληρότητας Brinell Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα Βασικές πράξεις Χρήση τύπων Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας Πρόβλημα 3 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικό υπο-πεδίο Λίστες και πίνακες Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Βασικές πράξεις Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας Προβλήματα 4-5 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικά υπο-πεδία Λίστες και πίνακες Γραφήματα και Διαγράμματα Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα Προβλήματα 6 και 8-9 Μαθηματικό πεδίο Βασικές πράξεις Ανάγνωση πινάκων Δημιουργία και ερμηνεία γραφημάτων Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας Αβεβαιότητα και δεδομένα 251

253 Μαθηματικά υπο-πεδία Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 2 Επαγγελματική ιδιότητα Πρόβλημα 7 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υπο-πεδία Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα Προβλήματα Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υπο-πεδία Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 2 Επαγγελματική ιδιότητα Λίστες και πίνακες Γραφήματα και διαγράμματα Βασικές πράξεις Ανάγνωση πινάκων Δημιουργία και ερμηνεία γραφημάτων Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας Αβεβαιότητα και δεδομένα Λίστες και πίνακες Γραφήματα και διαγράμματα Βασικές πράξεις Ανάγνωση πινάκων Δημιουργία και ερμηνεία γραφημάτων Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας Αβεβαιότητα και δεδομένα Λίστες και πίνακες Σύγκριση διαφόρων βάσεων δεδομένων Βασικές πράξεις Ανάγνωση πινάκων Δημιουργία και ερμηνεία γραφημάτων Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας Πρόβλημα 12 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικά υπό-πεδία Λίστες και πίνακες Γραφήματα και διαγράμματα Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Χρήση γραφημάτων και διαγραμμάτων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα Τεχνικός Συντήρησης, Μηχανικός Δοκιμών, Διευθυντής Ποιότητας 252

254 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Όταν υπάρχει μεγάλος όγκος δεδομένων, είναι προτιμότερο να τα οργανώνουμε σε πίνακα και όχι σε λίστα. a. Σωστό b. Λάθος 2. Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη διάρκεια ζωής, σε ώρες, 50 διαφορετικών μπαταριών: 73, 81, 92, 80, 108, 76, 84, 102, 58, 72, 82, 100, 70, 72, 95, 105, 75, 84, 101, 62, 63, 104, 97, 85, 106, 72, 57, 85, 82, 90, 54, 75, 80, 52, 87, 91, 85, 103, 78, 79, 91, 70, 88, 73, 67, 101, 96, 84, 53, 86. Για να ομαδοποιηθούν, πρέπει να δημιουργήσετε ένα πίνακα με διαστήματα. Αν το πρώτο διάστημα είναι 50-59, πόσα διαστήματα με το ίδιο εύρος θα χρειαστούν συνολικά; a. 5 b. 6 c. 7 d Τα παρακάτω δεδομένα απαρτίζονται από το βάρος, σε κιλά, 30 μαθητών: 70, 43, 48, 72, 53, 81, 76, 54, 58, 64, 51, 53, 75, 62, 84, 67, 72, 80, 88, 65, 60, 43, 53, 42, 57, 61, 55, 75, 82, 71. Για να ομαδοποιηθούν, πρέπει να δημιουργήσετε ένα πίνακα με διαστήματα. Αν το πρώτο διάστημα είναι 40-49, πόσα διαστήματα με το ίδιο εύρος θα χρειαστούν συνολικά; a. 5 b. 6 c. 7 d Με βάση τον πίνακα της προηγούμενης ερώτησης, ποια είναι η υψηλότερη συχνότητα που έχει ένα διάστημα; a. 6 b. 7 c. 8 d. Κανένα από τα παραπάνω 5. Με βάση τον πίνακα της ερώτησης 3, πόσοι μαθητές ζυγίζουν λιγότερο από 70 κιλά; a. λιγότεροι από 16 b. 16 c. 17 d. 18 Απαντήσεις: 1a, 2b, 3a, 4c, 5d 253

255 L19: Γραφική απεικόνιση δεδομένων Θεωρία Το ιστόγραμμα είναι ένα κατακόρυφο ραβδόγραμμα στο οποίο κάθε διάστημα αναπαριστάται από το πλάτος της ράβδου και η συχνότητα του διαστήματος αναπαριστάται από το ύψος της ράβδου. Παράδειγμα Ο επόμενος πίνακας δείχνει τις ηλικίες των εκπαιδευόμενων σε ένα κέντρο εκπαίδευσης ενηλίκων. Αριθμός Ηλικία εκπαιδευόμενων Το ακόλουθο ιστόγραμμα αναπαριστά τα παραπάνω δεδομένα: 35 Ηλικία εκπαιδευόμενων

256 Παράδειγμα Ένας εκπαιδευτής ενηλίκων διόρθωσε ένα σύνολο 32 γραπτών. Οι βαθμοί που πήραν οι εκπαιδευόμενοι παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα: Διάστημα Συχνότητα Το ακόλουθο ιστόγραμμα αναπαριστά τα παραπάνω δεδομένα: 12 Βαθμοί

257 Πρόβλημα 1 Προβλήματα Το ακόλουθο γράφημα δείχνει τις ηλικίες των εκπαιδευόμενων σε ένα κέντρο εκπαίδευσης ενηλίκων. Ποια από τις ακόλουθες εκφράσεις είναι αληθής; A. Οι περισσότεροι εκπαιδευόμενοι είναι νεότεροι από 27 ετών. B. Οι περισσότεροι εκπαιδευόμενοι είναι νεότεροι από 25. C. Οι περισσότεροι εκπαιδευόμενοι είναι 26 ετών ή μεγαλύτεροι. D. Τίποτα από τα ανωτέρω δεν είναι αλήθεια. Πρόβλημα 2 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται στα υλικά για να αλλάξουν τις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, το Χρώμιο προστέθηκε στο χάλυβα για να γίνει πιο ανθεκτικό στη διάβρωση. Υπολογίστε το ποσοστό Σιδηρούχων σε χάλυβα 316, αν η σύνθεση των υλικών δίνεται στον ακόλουθο πίνακα. Πρόβλημα 3 Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγγάνιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 17,00% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος ; Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η αντίστασή του στη διάβρωση. Σχεδιάστε ένα διάγραμμα πίτας για χάλυβα 316, αν η σύνθεση των υλικών δίνεται στον ακόλουθο πίνακα. 256

258 Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγγάνιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 17,00% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος 60,87% Πρόβλημα 4 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η αντοχή του στη διάβρωση. Στο διάγραμμα πίτας του χάλυβα 316 που απεικονίζεται, συμπληρώστε το ποσοστό που λείπει. Σύνθεση Ανοξείδωτου Χάλυβα 316 0,08% 2,00% 1,00% 0,05% 3,00%??? 13,00% 60,87% 3,00% C - Carbon Mn - Manganese Si - Silicon P - Phosphorus S - Sulphur Cr - Chromiun Ni - Nickel Mo - Molybdenum Fe - Ferrous - Iron Πρόβλημα 5 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η αντοχή του στη διάβρωση. Ποιες από τις ακόλουθες εκφράσεις, οι οποίες βασίζονται στο εικονιζόμενο διάγραμμα πίτας, είναι σωστές; 257

259 Σύνθεση Ανοξείδωτου Χάλυβα 316 0,08% 2,00% 1,00% 0,05% 3,00% 17,00% 13,00% 60,87% 3,00% C - Carbon Mn - Manganese Si - Silicon P - Phosphorus S - Sulphur Cr - Chromiun Ni - Nickel Mo - Molybdenum Fe - Ferrous - Iron A. Το βάρος του Θείου είναι ίδιο με το βάρος του Μολυβδαίνιου. B. Το βάρος του Μολυβδαίνιου είναι μισό από το βάρος του Μαγγανίου. C. Το Χρώμιο είναι το δεύτερο στοιχείο αναφορικά με το βάρος του σε ανοξείδωτο χάλυβα 316. D. Αν διπλασιάσω το βάρος του Μολυβδαίνιου, θα πρέπει να τριπλασιάσω το βάρος της Σιλικόνης για να διατηρήσω τις ιδιότητες του ανοξείδωτου χάλυβα 316. Πρόβλημα 6 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η ανθεκτικότητά του στη διάβρωση. Υπολογίστε το ποσό Σιδηρούχων, Άνθρακα και Φωσφόρου σε Ανοξείδωτο Χάλυβα 316 βάρους 100 kg, αν η σύνθεση των υλικών δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγνήσιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 17,00% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος 60,87% 258

260 Πρόβλημα 7 Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν τις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξήσει την ανθεκτικότητά του στη διάβρωση. Ένα κομμάτι χάλυβα 316 περιέχει 4,5 g Θείου. Πόσα γραμμάρια (g) Χρωμίου περιέχει; Η σύνθεση των υλικών δίνεται στον ακόλουθο πίνακα. Πρόβλημα 8 Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγγάνιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 17,00% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος 60,87% Διαφορετικές ενώσεις προστίθενται σε υλικά για να αλλάξουν οι ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, Χρώμιο προστέθηκε σε χάλυβα για να αυξηθεί η αντοχή του στη διάβρωση. Σε 100 kg χάλυβα 316 προσθέσαμε 20 kg Σιδηρούχων. Ποια είναι το βάρος των άλλων συστατικών που πρέπει να προστεθούν προκειμένου να μη χάσει το υλικό τις αυθεντικές του ιδιότητες; Η σύνθεση των υλικών δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. Χημική σύνθεση Μέγιστο βάρος % Άνθρακας 0,08% Μαγγάνιο 2,00% Σιλικόνη 1,00% Φώσφορος 0,05% Θείο 3,00% Χρώμιο 17,00% Νικέλιο 13,00% Μολυβδαίνιο 3,00% Σιδηρούχα - Σίδηρος 60,87% Πρόβλημα 9 Ένας μηχανικός κάνει μια επιθεώρηση και χρησιμοποιεί ένα παχύμετρο Vernier για να μετρήσει μια παρτίδα μεταποιημένων ράβδων που έχουν κοπεί κατά μήκος από μια ράβδο σε μία πριονοκορδέλα. 259

261 Το ελάχιστο απαιτούμενο μήκος είναι 100mm. Τα αποτελέσματα ποικίλουν και ο εργάτης/εργάτρια πρέπει να τσεκάρει ότι το επιτρεπόμενο όριο αντοχής των +/- 2mm δεν υπερβαίνεται. Ο μηχανικός επιθεωρεί και μετρά 10 ράβδους όπως παράγονται κάθε 1 λεπτό, και βρίσκει ότι: ,50 100,00 100,00 100,00 100, ,60 100,60 100,76 101,00 101,50 Σχεδιάστε ένα γράφημα SPC (Διαδικασία Στατιστικού Ελέγχου) για να δείξετε τη διακύμανση των μηκών. Μετά απαντήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις: Πρόβλημα 10 Ποια είναι η διάμεσος του μήκους; Ποια είναι η επικρατούσα τιμή; Ποιο είναι το εύρος; Ποιο είναι το μέσο μήκος; Ένας μηχανικός κάνει μια επιθεώρηση και χρησιμοποιεί ένα παχύμετρο Vernier για να μετρήσει μια παρτίδα μεταποιημένων ράβδων που έχουν κοπεί κατά μήκος από μια ράβδο σε μία πριονοκορδέλα. Το ελάχιστο μήκος που απαιτείται είναι 100mm. Τα αποτελέσματα ποικίλουν και ο εργάτης/εργάτρια πρέπει να ελέγξει ότι το επιτρεπόμενο όριο αντοχής των +/- 2mm δεν υπερβαίνεται. Ο μηχανικός επιθεωρεί και μετρά 10 ράβδους όπως παράγονται κάθε 1 λεπτό, και βρίσκει ότι τα μήκη είναι: ,50 100,00 100,00 100,00 100, ,60 100,60 100,76 101,00 101,50 260

262 ΜΗΚΟΣ (MM) Απαντήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις: Πρόβλημα 11 Είναι η παρτίδα των προϊόντων μέσα στο επιτρεπόμενο όριο αντοχής των +/-2mm; Ποια είναι η τάση; Αναφερθείτε στην τυπική απόκλιση. Τι σημαίνει αυτό για την παραγωγή; Ένας μηχανικός κάνει μια επιθεώρηση και χρησιμοποιεί ένα παχύμετρο Vernier για να μετρήσει μια παρτίδα μεταποιημένων ράβδων που έχουν κοπεί κατά μήκος από μια ράβδο σε πριονοκορδέλα. 102,00 101,50 101,00 100,50 Γράφημα Διαδικασίας Στατιστικού Ελέγχου 100,00 99,50 99,00 98,50 98, ΡΑΒΔΟΣ Το ελάχιστο μήκος που απαιτείται είναι 100mm. Τα αποτελέσματα ποικίλουν και ο εργάτης/εργάτρια πρέπει να τσεκάρει ότι το επιτρεπόμενο όριο αντοχής των +/- 2mm δεν υπερβαίνεται. Τα αποτελέσματα μέτρησης 30 ράβδων δείχνονται στο παραπάνω διάγραμμα: A) Υπολογίστε τα ακόλουθα: Τη διάμεσο μήκους Την επικρατούσα τιμή Το εύρος Το μέσο μήκος. 261

263 B) Απαντήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις: Πρόβλημα 12 Είναι η παρτίδα των προϊόντων μέσα στο επιτρεπτό όριο αντοχής των +/-2mm? Βελτιώθηκε η ακρίβεια παραγωγής σε σύγκριση με τα προηγούμενα αποτελέσματα; Ποια είναι η τάση; Ετοιμάστε μια σύντομη αναφορά για να δώσει ο μηχανικός στον επόπτη του, συμπεριλαμβάνοντας τα σχετικά αριθμητικά δεδομένα και τις μετρήσεις. Ένας μηχανικός κάνει μια επιθεώρηση και χρησιμοποιεί ένα παχύμετρο Vernier για να μετρήσει μια παρτίδα μεταποιημένων ράβδων που έχουν κοπεί κατά μήκος από μια ράβδο σε πριονοκορδέλα. Το ελάχιστο μήκος που απαιτείται είναι 100mm. Τα αποτελέσματα ποικίλουν και ο εργάτης/εργάτρια πρέπει να τσεκάρει ότι το επιτρεπόμενο όριο αντοχής των +/- 2mm δεν υπερβαίνεται. Μετά τη μέτρηση 30 ράβδων ο μηχανικός πρότεινε κάποιες βελτιώσεις στη γραμμή παραγωγής, προκειμένου να αυξηθεί η ακρίβεια του μήκους των ράβδων. Ο πίνακας που ακολουθεί περιλαμβάνει μετρήσεις που έγιναν πριν την εφαρμογή των βελτιώσεων (κελιά 1 έως 30) και μετά την εφαρμογή (κελιά 31-60). Βλέπετε κάποια βελτίωση στην ακρίβεια; Δικαιολογείστε την απάντησή σας χρησιμοποιώντας μαθηματικές έννοιες. 1 99, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,10 262

264 17 99, , , , , , , , , ,70 Βοηθητικό στοιχείο: Μπορείτε να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα και επίσης να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση για τις δύο ομάδες δεδομένων. Μπορείτε επίσης να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα. Πρόβλημα 13 Τα γρανάζια / ρουλεμάν των αξόνων μπορεί συχνά να τριφτούν ή να υποστούν φθορά. Αυτό μπορεί να δημιουργήσει κραδασμούς σε κινητήρες, κιβώτια ταχυτήτων κτλ. οι οποίοι μπορεί συνεπώς να μειώσουν την αποδοτικότητα και τελικά να προκαλέσουν δαπανηρή ζημιά στο σύστημα. Για να αποφευχθεί αυτό, πρέπει να ελέγχουμε ότι ο χρόνος λειτουργίας του γραναζιού / άξονα είναι εντός των επιτρεπόμενων ορίων, όπως δηλώνεται από τον κατασκευαστή. Η φωτογραφία δείχνει ένα DTI τεστ το οποίο ελέγχει το χρόνο λειτουργίας ή την ομοκεντρότητα του τοποθετημένου συστήματος ρουλεμάν / οδοντωτών τροχών. DTI Τεστ Τυπικό γρανάζι, ρουλεμάν, σύστημα οδοντωτών τροχών 263

265 Αυτό που πρέπει να κάνετε είναι να μετρήσετε 12 μαρκαρισμένα σημεία επάνω στο γρανάζι χρησιμοποιώντας τη συσκευή δοκιμής (DTI). Αυτό θα μετρήσει την ομοκεντρότητα της περιστροφής του άξονα. Κατόπιν συμπληρώστε τον πίνακα αποτελεσμάτων και σχεδιάστε το γράφημα. Είναι τα αποτελέσματα εντός του επιτρεπόμενου από τον κατασκευαστή ορίου ανώτερης και κατώτερης ανοχής της τάξεως των +/-0,2mm (δείξτε τον συμβολισμό της ανοχής BS); Θέση Ένδειξη DTI 264

266 Πρόβλημα 1 Απάντηση: Το A είναι αληθές Πρόβλημα 2 Λύση: Λύσεις και απαντήσεις Για να υπολογίσουμε το ποσοστό επί της % των σιδηρούχων, προσθέτουμε όλες τις άλλες τιμές μαζί = 39,13% τότε 100% 39,13% = 60,87% Πρόβλημα 3 Λύση: Για να σχεδιάσουμε ένα διάγραμμα πίτας με το χέρι υπολογίζουμε τη γωνία χρησιμοποιώντας 360 x τον αριθμό/100 Δηλαδή 360 x 60,87/ 100 = 219, 360 x 17/ 100 = 61 και ούτω καθεξής Σημείωση: 0,08 x 360/100 = 0,29 αυτό μπορεί να αναπαραστεθεί από μια ευθεία λόγω του πολύ μικρού μεγέθους του Χρησιμοποιώντας το Microsoft Excel έχετε το ακόλουθο διάγραμμα πίτα: Σύνθεση Ανοξείδωτου Χάλυβα 316 0,08% 2,00% 1,00% 0,05% 3,00% 17,00% 13,00% 60,87% 3,00% C - Carbon Mn - Manganese Si - Silicon P - Phosphorus S - Sulphur Cr - Chromiun Ni - Nickel Mo - Molybdenum Fe - Ferrous - Iron Πρόβλημα 4 Απάντηση: 17% Πρόβλημα 5 Τα A και C είναι σωστά. Πρόβλημα 6 Απάντηση: Σιδηρούχα: 60,87 kg Άνθρακας: 8 kg 265

267 ΜΗΚΟΣ (MM) Φώσφορος: 5 kg Πρόβλημα 7 Απάντηση: 25,5 g Χρωμίου Πρόβλημα 8 Απάντηση: Χημική σύνθεση Προστιθέμενο βάρος (kg) Άνθρακας 0,03 Μαγγάνιο 0,66 Σιλικόνη 0,33 Φώσφορος 0,02 Θείο 0,99 Χρώμιο 5,59 Νικέλιο 4,27 Μολυβδαίνιο 0,99 Σιδηρούχα - Σίδηρος 20,00 Πρόβλημα 9 Λύση: Γράφημα Διαδικασίας Στατιστικού Ελέγχου 102,00 101,50 101,00 100,50 100,00 99,50 99, ΡΑΒΔΟΣ 98,50 98,00 Διάμεσος (μεσαίος αριθμός): 99,5, 100,00, 100,00, 100,00, 100,50, 100,60, 100,60, 100,76, 101,00, 101,50 = 100, ,6/2 =100,55mm Επικρατούσα τιμή = 100,00mm Εύρος= 101,50 99,5 = 2mm Μέση τιμή= 1004,46/10 = 100,45mm 266

268 Πρόβλημα 10 Λύση: Η παρτίδα των προϊόντων είναι μέσα στα επιτρεπτά όρια αντοχής. Πρόβλημα 11 Λύση: A) Η τάση είναι ανοδική. Τυπική απόκλιση: σ = 0,583 Διάμεσος: 100,20mm Επικρατούσα τιμή = 100,00mm Εύρος = 101,50 99,5 = 2mm Μέση τιμή = 100,32 B) Σημείωση: Εφόσον απαιτείται ο ακόλουθος πίνακας δεδομένων μπορεί να διατεθεί 99, ,5 100,6 100,6 100, ,5 100, ,2 100,4 100, , , ,9 99,5 100,2 100, ,1 100,2 100,2 267

269 Πρόβλημα 13 Λύση: Παρακάτω βλέπετε κάποια πιθανά αποτελέσματα και το αντίστοιχο γράφημα. Και τα δύο δείχνουν ότι τα αποτελέσματα είναι εντός του επιτρεπόμενου από τον κατασκευαστή ορίου ανώτερης και κατώτερης αντοχής της τάξεως του +/-0,2mm. Θέση Ένδειξη DTI 1 0,00 2 0,12 3 0,14 4 0,15 5 0,16 6 0,17 7 0,16 8 0,15 9 0, , , ,00 DTI μέτρηση 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,

270 Πρόβλημα 1 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικό υπο-πεδίο Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Αβεβαιότητα και δεδομένα Γραφήματα και διαγράμματα Ταξινόμηση δεδομένων Δημιουργία και ερμηνεία γραφημάτων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα ΟΛΕΣ Πρόβλημα 2 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικό υπο-πεδίο Λίστες και πίνακες Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Βασικές πράξεις Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα Προβλήματα 3-4 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υπο-πεδία Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα Προβλήματα 5 και 7-8 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υπο-πεδία Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 2 Επαγγελματική ιδιότητα Πρόβλημα 6 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υπο-πεδία Τύποι/ δεδομένα Αριθμητικές δεξιότητες Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα Πρόβλημα 9 Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας Αβεβαιότητα και δεδομένα Λίστες και πίνακες Γραφήματα και Διαγράμματα Βασικές πράξεις Ανάγνωση πινάκων Δημιουργία και ερμηνεία γραφημάτων Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας Αβεβαιότητα και δεδομένα Λίστες και πίνακες Γραφήματα και διαγράμματα Βασικές πράξεις Ανάγνωση πινάκων Δημιουργία και ερμηνεία γραφημάτων Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας Αβεβαιότητα και δεδομένα Λίστες και πίνακες Γραφήματα και διαγράμματα Βασικές πράξεις Ανάγνωση πινάκων Δημιουργία και ερμηνεία γραφημάτων Μεταλλουργός, Σχεδιαστής, Μηχανικός Δοκιμών, Εκτιμητής Ποιότητας 269

271 Μαθηματικό πεδίο Μαθηματικά υπο-πεδία Τύποι/δεδομένα Αβεβαιότητα και δεδομένα Γραφήματα και διαγράμματα Μετρήσεις του μέσου όρου Διάμεσος: βάλτε τους αριθμούς στη σειρά και βρείτε το μεσαίο αριθμό, Επικρατούσα = ο αριθμός που εμφανίζεται πιο συχνά, Εύρος= Μεγαλύτερος Μικρότερος, Μέσος = το σύνολο των αριθμών προστιθέμενα όλα μαζί/το πλήθος των αριθμών, Τυπική απόκλιση: N σ = 1 N (x i μ) 2 Αριθμητικές δεξιότητες Ανάγνωση πινάκων Ομαδοποίηση δεδομένων Υπολογισμός στατιστικών μέτρων Χρήση τύπων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα Έλεγχος πινάκων, Επιθεώρηση, Χειριστής Μηχανήματος Πρόβλημα 10 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικά υπο-πεδία Γραφήματα και διαγράμματα Μετρήσεις του μέσου όρου Τύποι/ δεδομένα Διάμεσος: βάλτε τους αριθμούς στη σειρά και βρείτε το μεσαίο αριθμό, Επικρατούσα τιμή = ο αριθμός που εμφανίζεται πιο συχνά, Εύρος = Μεγαλύτερος Μικρότερος, Αριθμητικός μέσος = το σύνολο των αριθμών που προστίθενται μαζί/ο αριθμός των αριθμών, Τυπική απόκλιση: i=1 N σ = 1 N (x i μ) 2 Αριθμητικές δεξιότητες Ανάγνωση πινάκων Ομαδοποίηση δεδομένων Υπολογισμός στατιστικών μετρήσεων Χρήση τύπων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ειδικότητα Έλεγχος ποιότητας, Επιθεώρηση, Χειριστής Μηχανής Πρόβλημα 11 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικά υπο-πεδία Γραφήματα και διαγράμματα Μετρήσεις μέσου όρου Τύποι/ δεδομένα Διάμεσος: βάλτε τους αριθμούς στη σειρά και βρείτε τον μεσαίο αριθμό, Επικρατούσα τιμή = ο αριθμός που εμφανίζεται πιο συχνά, Εύρος = Μεγαλύτερος Μικρότερος, Αριθμητικός μέσος = το σύνολο των αριθμών που προστίθενται μαζί/το πλήθος των αριθμών, Τυπική απόκλιση: i=1 270

272 N σ = 1 N (x i μ) 2 Αριθμητικές δεξιότητες Ανάγνωση και ερμηνεία διαγραμμάτων Ομαδοποίηση δεδομένων Υπολογισμός στατιστικών μετρήσεων Χρήση τύπων Επίπεδο 2 Επαγγελματική ιδιότητα Έλεγχος ποιότητας, Επιθεώρηση, Χειριστής Μηχανής Πρόβλημα 12 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικά υπο-πεδία Γραφήματα και διαγράμματα Μετρήσεις μέσου όρου Τύποι/ δεδομένα Διάμεσος: βάλτε τους αριθμούς στη σειρά και βρείτε τον μεσαίο αριθμό, Επικρατούσα τιμή = ο αριθμός που εμφανίζεται πιο συχνά, Εύρος = Μεγαλύτερος Μικρότερος, Αριθμητικός μέσος = το σύνολο των αριθμών που προστίθενται μαζί/ο πλήθος των αριθμών, Τυπική απόκλιση: i=1 N σ = 1 N (x i μ) 2 Αριθμητικές δεξιότητες Ανάγνωση και ερμηνεία πινάκων Ομαδοποίηση δεδομένων Υπολογισμός στατιστικών μετρήσεων Χρήση τύπων Επίπεδο 3 Επαγγελματική ιδιότητα Έλεγχος ποιότητας, Επιθεώρηση, Χειριστής Μηχανής Πρόβλημα 13 Μαθηματικό πεδίο Αβεβαιότητα και δεδομένα Μαθηματικά υπό-πεδία Λίστες και πίνακες Γραφήματα και διαγράμματα Τύποι/δεδομένα - Αριθμητικές δεξιότητες Χρήση γραφημάτων και διαγραμμάτων Επίπεδο 1 Επαγγελματική ιδιότητα i=1 Τεχνικός Συντήρησης, Μηχανικός Δοκιμών, Διευθυντής Ποιότητας 271

273 Γρήγορη αξιολόγηση 1. Το παρακάτω ιστόγραμμα απεικονίζει τους βαθμούς του τεστ ορισμένων μαθητών: 12 Βαθμολογία Πόσοι μαθητές πήραν άριστα (σκορ ); a. 8 b. 10 c. Περισσότεροι από Δεν μπορούμε να πούμε κοιτάζοντας μόνο το ιστόγραμμα Με βάση το ιστόγραμμα της ερώτησης 1, πόσοι μαθητές έλαβαν λιγότερο από 61; a. Λιγότεροι από 5 b. 5 c Κανένα από τα παραπάνω Με βάση το ιστόγραμμα της ερώτησης 1, πόσοι μαθητές συνολικά έκαναν το τεστ; a. Λιγότεροι από 30 b. 30 c. 36 d Με βάση το ιστόγραμμα της ερώτησης 1, είναι σωστό να πούμε ότι η πλειοψηφία των μαθητών πήγε καλά στο τεστ δεδομένου ότι το σκορ τους ήταν πάνω από 70; a. Σωστό b. Λάθος 5. Με βάση το ιστόγραμμα της ερώτησης 1, είναι σωστό να πούμε ότι οι μαθητές που πήραν πάνω από 80 είναι διπλάσιοι από εκείνους που πήραν 80 και κάτω; a. Σωστό b. Λάθος Απαντήσεις: 1a, 2b, 3d, 4a, 5b 272

274 Μέση τιμή (αριθμητικός μέσος) L20: Μετρήσεις του μέσου όρου Θεωρία Ο αριθμητικός μέσος είναι ένα μέτρο κεντρικής τάσης και αποκαλείται επίσης δειγματική μέση τιμή ή αριθμητικός μέσος. Υπολογίζεται προσθέτοντας τις τιμές και διαιρώντας τις με το πλήθος τους n. Το σύμβολο που χρησιμοποιείται για τον μέσο είναι x. Παράδειγμα: Τα αποτελέσματα ενός τεστ που έγραψαν πέντε φοιτητές είναι τα ακόλουθα: 93, 80, 86, 72, και 94. Προκειμένου να βρούμε τον μέσο πρώτα προσθέτουμε τα δεδομένα των πέντε τιμών: = 425. Μετά διαιρούμε το άθροισμα με το πέντε: 425 : 5 = 85. Διάμεσος Η διάμεσος είναι ένα ακόμη μέτρο κεντρικής τάσης και είναι η κεντρική τιμή σε ένα σύνολο δεδομένων ταξινομημένων σε αριθμητική σειρά. Προκειμένου να βρούμε τη διάμεσο σε ένα σύνολο n αριθμών πρέπει να κάνουμε τα ακόλουθα: 1. Ταξινομούμε τους αριθμούς σε σειρά. 2. Αν το n είναι περιττός αριθμός, βρίσκουμε το μεσαίο αριθμό. Αυτός είναι η διάμεσος. 3. Αν το n άρτιος, βρίσκουμε τον μέσο (αριθμητικός μέσος όρος) των δύο μεσαίων αριθμών. Αυτός ο μέσος όρος είναι η διάμεσος. Παράδειγμα: Οι ηλικίες επτά υπαλλήλων σε μια εταιρεία είναι οι ακόλουθες: 17, 19, 20, 17, 46, 17, και 18. Προκειμένου να βρούμε τη διάμεσο πρώτα βάζουμε τις ηλικίες σε σειρά: 17, 17, 17, 18, 19, 20, 46. Μετά πρέπει να βρούμε τον μεσαίο αριθμό: 17, 17, 17, 18, 19, 20, 46, ο οποίος είναι το 18. Επικρατούσα τιμή Η επικρατούσα τιμή είναι ένα άλλο μέτρο κεντρικής τάσης και είναι η τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά σε ένα σύνολο δεδομένων. Για να βρούμε την επικρατούσα τιμή για ένα σύνολο δεδομένων χρειαζόμαστε να κάνουμε τα ακόλουθα: 1. Αν ένας αριθμός εμφανίζεται πιο συχνά στα δεδομένα, αυτός ο αριθμός είναι η επικρατούσα τιμή. 2. Αν δύο ή περισσότεροι αριθμοί εμφανίζονται πιο συχνά από όλες τις άλλες τιμές δεδομένων, και αυτοί οι αριθμοί εμφανίζονται με την ίδια συχνότητα, τότε κάθε ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι μια επικρατούσα τιμή. 273

275 3. Αν κάθε αριθμός σε ένα σύνολο δεδομένων που εμφανίζεται με την ίδια συχνότητα, τότε δεν υπάρχει επικρατούσα τιμή. Παράδειγμα: Η επικρατούσα τιμή για τα ακόλουθα δεδομένα: 2, 9, 3, 7, 3 είναι η πιο συχνή τιμή, η οποία είναι το 3. Τυπική απόκλιση Τυπική απόκλιση είναι ένα μέτρο διασποράς που λέει πόσο κοντά συγκεντρώνονται τα δεδομένα γύρω από το μέσο όρο. Είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, η οποία είναι ο μέσος όρος των τετραγώνων των διαφορών από τη μέση τιμή. Υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο: 1. Για έναν πληθυσμό με μέγεθος N, με μέσο όρο μ: N σ = 1 N (x i μ) 2 i=1 2. Για ένα δείγμα με μέγεθος n, που έχει μέσο όρο x Παράδειγμα: s = 1 n n 1 (x i x ) 2 Ο αριθμός των αιτήσεων για μια θέση εργασίας που λάμβανε μηνιαίως μια εταιρεία σε ένα διάστημα έξι εβδομάδων ήταν ο ακόλουθος: 17, 15, 23, 7, 9, 13.Για να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε το μέσο όρο: x = 6 i=1 x i 6 = 84 6 υψηλή τυπική απόκλιση. i=1 = 14. Τότε s = (x i 14) 2 6 i=1 = 33,2 5,76, το οποίο είναι μια 274

276 Πρόβλημα 1 Προβλήματα Ένας μαθητής έχει τους ακόλουθους βαθμούς 75, 82, και 90 σε τρία διαγωνίσματα. Τι βαθμό πρέπει να πάρει στο επόμενο διαγώνισμα ώστε να βγάλει μέσο όρο ακριβώς 85 για τα τέσσερα διαγωνίσματα; Πρόβλημα 2 Ένας μαθητής έχει τους ακόλουθους βαθμούς 75, 74, και 73 σε τρία διαγωνίσματα. Του απομένει ένα μόνο διαγώνισμα να γράψει, και ο καλύτερος βαθμός που μπορεί να πάρει είναι 100. Είναι δυνατό να πάρει τέτοιο βαθμό στο τέταρτο διαγώνισμα, ώστε ο μέσος όρος της βαθμολογίας στα τέσσερα διαγωνίσματα να είναι 85; Πρόβλημα 3 Βρείτε την επικρατούσα τιμή στα ακόλουθα δεδομένα: 3, 4, 5, 4, 3, 7, 2. Πρόβλημα 4 Υπολογίστε την τυπική απόκλιση στο ακόλουθο σύνολο δεδομένων, τα οποία αποτελούν ένα δείγμα των αποτελεσμάτων κάποιων εκπαιδευόμενων σε ένα διαγώνισμα: 76, 68, 89, 94, 90, 77. Πρόβλημα 5 Έγιναν δέκα μετρήσεις με τη σταθερά σκληρότητας Brinell. Τα αποτελέσματα που συγκεντρώθηκαν παρουσιάζονται στο πίνακα που ακολουθεί. Υπολογίστε τον μέσο όρο και τη διάμεσο. No αποτέλεσμα 5,217 5,218 5,211 5,215 5,199 5,220 5,217 5,212 5,218 5,217 Πρόβλημα 6 Ένας μηχανικός κάνει μια επιθεώρηση και χρησιμοποιεί ένα παχύμετρο Vernier για να μετρήσει μια παρτίδα μεταποιημένων ράβδων που έχουν κοπεί κατά μήκος από μια ράβδο σε μία πριονοκορδέλα. Το ελάχιστο απαιτούμενο μήκος είναι 100mm. Τα αποτελέσματα ποικίλουν και ο εργάτης/εργάτρια πρέπει να τσεκάρει ότι το επιτρεπόμενο όριο αντοχής των +/- 2mm δεν υπερβαίνεται. Ο μηχανικός επιθεωρεί και μετρά 10 ράβδους όπως παράγονται κάθε 1 λεπτό, και βρίσκει ότι: 275

277 ,50 100,00 100,00 100,00 100, ,60 100,60 100,76 101,00 101,50 Σχεδιάστε ένα γράφημα SPC (Διαδικασία Στατιστικού Ελέγχου) για να δείξετε τη διακύμανση των μηκών. Μετά απαντήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις: Πρόβλημα 7 Ποια είναι η διάμεσος του μήκους; Ποια είναι η επικρατούσα τιμή; Ποιο είναι το εύρος; Ποιο είναι το μέσο μήκος; Ένας μηχανικός κάνει μια επιθεώρηση και χρησιμοποιεί ένα παχύμετρο Vernier για να μετρήσει μια παρτίδα μεταποιημένων ράβδων που έχουν κοπεί κατά μήκος από μια ράβδο σε μία πριονοκορδέλα. Το ελάχιστο μήκος που απαιτείται είναι 100mm. Τα αποτελέσματα ποικίλουν και ο εργάτης/εργάτρια πρέπει να ελέγξει ότι το επιτρεπόμενο όριο αντοχής των +/- 2mm δεν υπερβαίνεται. Ο μηχανικός επιθεωρεί και μετρά 10 ράβδους όπως παράγονται κάθε 1 λεπτό, και βρίσκει ότι τα μήκη είναι: ,50 100,00 100,00 100,00 100, ,60 100,60 100,76 101,00 101,50 Απαντήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις: Πρόβλημα 8 Είναι η παρτίδα των προϊόντων μέσα στο επιτρεπόμενο όριο αντοχής των +/- 2mm? Ποια είναι η τάση; Αναφερθείτε στην τυπική απόκλιση. Τι σημαίνει αυτό για την παραγωγή; Ένας μηχανικός κάνει μια επιθεώρηση και χρησιμοποιεί ένα παχύμετρο Vernier για να μετρήσει μια παρτίδα μεταποιημένων ράβδων που έχουν κοπεί κατά μήκος από μια ράβδο σε πριονοκορδέλα. 276

278 ΜΗΚΟΣ (MM) Γράφημα Διαδικασίας Στατιστικού Ελέγχου 102,00 101,50 101,00 100,50 100,00 99,50 99,00 98,50 98, ΡΑΒΔΟΣ Το ελάχιστο μήκος που απαιτείται είναι 100mm. Τα αποτελέσματα ποικίλουν και ο εργάτης/εργάτρια πρέπει να τσεκάρει ότι το επιτρεπόμενο όριο αντοχής των +/- 2mm δεν υπερβαίνεται. Τα αποτελέσματα μέτρησης 30 ράβδων δείχνονται στο παραπάνω διάγραμμα: A) Υπολογίστε τα ακόλουθα: Τη διάμεσο μήκους Την επικρατούσα τιμή Το εύρος Το μέσο μήκος. B) Απαντήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις: Είναι η παρτίδα των προϊόντων μέσα στο επιτρεπτό όριο αντοχής των +/- 2mm? Βελτιώθηκε η ακρίβεια παραγωγής σε σύγκριση με τα προηγούμενα αποτελέσματα; Ποια είναι η τάση; Ετοιμάστε μια σύντομη αναφορά για να δώσει ο μηχανικός στον επόπτη του, συμπεριλαμβάνοντας τα σχετικά αριθμητικά δεδομένα και τις μετρήσεις. Πρόβλημα 9 277

279 Ένας μηχανικός κάνει μια επιθεώρηση και χρησιμοποιεί ένα παχύμετρο Vernier για να μετρήσει μια παρτίδα μεταποιημένων ράβδων που έχουν κοπεί κατά μήκος από μια ράβδο σε πριονοκορδέλα. Το ελάχιστο μήκος που απαιτείται είναι 100mm. Τα αποτελέσματα ποικίλουν και ο εργάτης/εργάτρια πρέπει να τσεκάρει ότι το επιτρεπόμενο όριο αντοχής των +/- 2mm δεν υπερβαίνεται. Μετά τη μέτρηση 30 ράβδων ο μηχανικός πρότεινε κάποιες βελτιώσεις στη γραμμή παραγωγής, προκειμένου να αυξηθεί η ακρίβεια του μήκους των ράβδων. Ο πίνακας που ακολουθεί περιλαμβάνει μετρήσεις που έγιναν πριν την εφαρμογή των βελτιώσεων (κελιά 1 έως 30) και μετά την εφαρμογή (κελιά 31-60). Βλέπετε κάποια βελτίωση στην ακρίβεια; Δικαιολογείστε την απάντησή σας χρησιμοποιώντας μαθηματικές έννοιες. 1 99, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,70 Βοηθητικό στοιχείο: Μπορείτε να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα και επίσης να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση για τις δύο ομάδες δεδομένων. Μπορείτε επίσης να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα. 278