Εξισώσεις Β βαθμού. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εξισώσεις Β βαθμού. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»"

Σωφρόνιος Αλεξάνδρου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 Εξισώσεις Β βαθμού Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1

2 2 Λύση της εξίσωσης αχ 2 +βχ+γ=0, α 0 Εξίσωση δευτέρου βαθμού με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που έχει έναν άγνωστο και η μεγαλύτερη δύναμη του αγνώστου είναι το 2, δηλαδή αx²+βx+γ = 0 με α, β, γ R και α 0. Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : x 2 2x 3 = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ. x 2 2x = 3 Κανόνας: Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το τετράγωνο του μισού του συντελεστή της x. 2. Προσθέτουμε στο αριστερό μέλος έναν τέτοιο αριθμό που να δημιουργηθεί τέλειο τετράγωνο. Ποιός όμως, θα είναι αυτός ο αριθμός; Είναι το 1 αφού 2 : 2 = 1 έτσι η παραπάνω εξίσωση γίνεται: x 2 2x = οπότε βλέπουμε ότι έχουμε την εξίσωση, τετράγωνο διαφοράς δηλ. (x + 1) 2 = 4 Σ αυτή τη μορφή ανάγονται όλες οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις και στόχος μας είναι πάντα να φτάσουμε σ αυτή τη μορφή. 2

3 3 3. Eξάγοντας τις τετραγωνικές ρίζες των δύο μελών έχουμε: (x + 1) 2 = 4 x + 1 = ±2 x + 1 = 2 <=> x = 2 1 = 1 x + 1 = 2 <=> x = 2 1 Παράδειγμα: Επίλυση της 2x 2 + 5x 3 = 0 Έχουμε 2x 2 + 5x = 3 Διαιρέσαμε όλους τους παράγοντες με το 2 Και x x = 3 2 Το μισό του 5/2, είναι το 5/4 οπότε προσθέτοντας το έχουμε: x x = x = x = Eξάγοντας τις τετραγωνικές ρίζες των δύο μελών έχουμε: x = ± 7 4 Οπότε x = 5 4 ± = 2 4 = = 12 4 = 3 3

4 4 2) Mέθοδος επίλυσης εξισώσεων Β Βαθμού με τροπή σε γινόμενο παραγόντων. Στη μέθοδο αυτή αναλύουμε σε παράγοντες. Δεν είναι, βέβαια πάντοτε εφικτό αυτό. Έστω x 2 4x + 3 = 0 Bρίσκουμε τους παράγοντες : (x-1)(x-3) = 0 Και έχουμε x-1= 0 ή x=1 και x-3 = 0 ή x = 3 Αν n ένας πεπερασμένος αριθμός τότε n 0 = 0, δηλ. το γινόμενο οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού και του μηδέν, είναι μηδέν. Γενικός τύπος για τη λύση της εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω αx²+βx+γ = 0 με α, β, γ R και α 0. Ακολουθώντας τη 1 η μέθοδο που περιγράψαμε έχουμε: αx²+βx = - γ αx² α + βx α = γ α Προσθέτουμε το τετράγωνο του μισού του συντελεστή της x, λαμβάνοντας : αx² α Επομένως x + β 2 = β2 4αγ 4α 2 + βx α + ( β )2 = γ α + ( β )2 4

5 5 x + β = ± β2 4αγ 4α 2 x = β ± β2 4αγ 4α 2 x = β± β2 4αγ x 1 = β+ β2 4αγ x 2 = β β2 4αγ Προσοχή: Το α είναι ο συντελεστής του x², το β ο συντελεστής του x και το γ ο σταθερός όρος. Τα α, β, γ δεν έχουν σχέση με την σειρά των παραγόντων. Tην παραπάνω σχέση θα πρέπει να την θυμόμαστε! Από τα παραπάνω προκύπτει: Διακρίνουσα της εξίσωσης Β βαθμού, λέγεται η αλγεβρική παράσταση: Δ = β 2-4αγ. Λύση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού: Αν Δ > 0 τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες στο R τις ρ 1 ρ 2 = β ± Δ Αν Δ = 0 τότε η εξίσωση έχει διπλή ρίζα ρ = β Αν Δ < 0 τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο R. 5

6 Παρατήρηση 1. Η εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν: Δ 0. 2.

H εξίσωση της μορφής: αx 4 +βx 2 +γ = 0 με α, β,γ R και α 0, λέγεται διτετράγωνη και για τη λύση της θεωρούμε : x 2 = y, οπότε αx 4 +βx 2 +γ = 0 4.

6 6 Παρατήρηση 1. Η εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν: Δ Η εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει δυο πραγματικές και άνισες ρίζες αν οι α και γ είναι ετερόσημοι. 3. H εξίσωση της μορφής: αx 4 +βx 2 +γ = 0 με α, β,γ R και α 0, λέγεται διτετράγωνη και για τη λύση της θεωρούμε : x 2 = y, οπότε αx 4 +βx 2 +γ = 0 4. Αποδεικνύεται ότι: Μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρητούς συντελεστές έχει ρητές ρίζες αν και μόνο αν η διακρίνουσα της είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού. Παραδείγματα Να λύσετε την εξίσωση: χ 2 = 4χ Λύση Έχουμε χ 2 = 4χ χ 2-4χ = 0 χ(χ-4) = 0 χ=0 ή χ-4 = 0 χ=0 ή χ=4 6

7 7 Να λύσετε την εξίσωση:χ 2 = -8χ Λύση Έχουμε χ 2 = -8χ χ 2 + 8χ = 0 χ(χ+8) = 0 χ=0 ή χ+8 = 0 χ=0 ή χ=-8 Να λύσετε την εξίσωση:χ 2 9 = 0 Λύση Έχουμε χ 2 9 = 0 χ = 0 (χ-3)(χ+3)=0 χ-3=0 ή χ+3=0 χ=3 ή χ=-3 ή χ 2 9 = 0 χ 2 = 9 χ=3 ή χ=-3 Να λύσετε την εξίσωση χ 2 2χ 3 = 0. Λύση Α τρόπος (μετατρέποντας το πρώτο μέλος σε τέλειο τετράγωνο) χ 2 2χ 3 = 0 χ 2 2χ = 2 2 χ 2 2χ+1 = 4 (χ-1) 2 = 4 χ-1 = ±2 χ = 1±2 Επομένως οι ρίζες της εξίσωσης είναι: χ 1 =3, χ 2 =-1. Β τρόπος (με παραγοντοποίηση) χ 2 2χ 3 = 0 χ 2 2χ 2 1 = 0 χ 2 1 2(χ+1) = 0 (χ-1)(χ+1) 2(χ+1) = 0 (χ+1)(χ-1-2) = 0 (χ+1)(χ-3)=0 χ+1 = 0 ή χ 3 = 0 χ=-1 ή χ=3 7

8 8 Γ τρόπος (χρησιμοποιώντας τον τύπο Είναι χ 2 2χ 3 = 0. Τότε: χ 1,2 β ± = ) Δ = β 2 4αγ = (-2) (-3) = 4+12 = 16 > 0. Επειδή Δ>0, η εξίσωση χ 2 2χ 3 = 0 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. β ± ( 2) ± 16 2 ± 4 χ 1,2 = = = = 1± 2 Επομένως: χ 1 =3, χ 2 =

Σχετικά έγγραφα

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =