1Η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ AΣΚΗΣΗ

Transcript

1 1Η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ AΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα εργαλεία εφαρμογών του σχεδιασμού και της ανάλυσης πολλών κλασικών και μοντέρνων συστημάτων ελέγχου βασίζονται σε μαθηματικά μοντέλα. Το λογισμικό MATLAB [1] μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση συστημάτων που περιγράφονται είτε μέσω καταστατικών εξισώσεων ή συναρτήσεων μεταφοράς. Αρχικά, θα δωθεί θεωρητική βάση στις μορφές αναπαράστασης και περιγραφής των φυσικών συστημάτων. Στη συνέχεια, θα ασχοληθούμε με την μαθηματική ανάλυση ενός τυπικού μάζας-ελατηρίου με απόσβεση συστήματος κάνοντας χρήση κώδικα που θα συνταχθεί στο MATLAB. Βασιζόμενοι στην υπάρχουσες μορφές περιγραφής του συγκεκριμένου συστήματος, θα ενδιαφερθούμε για το πώς το MATLAB μπορεί γενικά να μας βοηθήσει στην ανάλυση συστημάτων σε μορφή (α) συναρτήσεων μεταφοράς και (β) καταστατικών εξισώσεων, καθώς και στη μετάβαση από τη μία μορφή αναπαράστασης στην άλλη. Θα πρέπει να τονιστεί πως ενώ θα ασχοληθούμε με ένα συγκεκριμένο γραμμικό σύστημα, η λογική ανάπαράστασης και ανάλυσης μέσω του MATLAB παραμένει η ίδια όλα τα γραμμικά συστήματα. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Ένα φυσικό σύστημα περιγράφεται μαθηματικά κάνοντας χρήση διαφορικών εξισώσεων. Όπως είναι γνωστό έχουν δημιουργηθεί διάφοροι μαθηματικοί μετασχηματισμοί για την αναπαράσταση και περαιτέρω μελέτη των φυσικών συστημάτων: α) οι καταστατικές εξισώσεις [] και β) οι συναρτήσεις μεταφοράς [3]. A) Οι καταστατικές εξισώσεις έχουν την εξής γενική μορφή: x f x, u, t y g( x, u, t) (1.1) Ειδικότερα εάν το σύστημα ανήκει στην κατηγορία των Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων (ΓΧΑ) συστημάτων [4], τότε οι καταστατικές εξισώσεις απλοποιούνται και λαμβάνουν την παρακάτω μορφή: x Ax Bu y Cx Du (1.) όπου: y (διάνυσμα) περιέχει τις εξόδους του συστήματος u (διάνυσμα) περιέχει τις εισόδους του συστήματος x (διάνυσμα) περιέχει την κατάσταση του συστήματος Α (πίνακας) που εκφράζει τη δυναμική του συστήματος (και πιο συγκεκριμένα τις ιδιοτιμές του). 1

2 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων Β (πίνακας) που εκφράζει το πως το σύστημα επηρεάζεται από την είσοδο. οι πίνακες C και D μας δείχνουν ποιο στοιχείο του διανύσματος κατάστασης x και διανύσματος εισόδου u παρατηρούμε στην έξοδο. Αξίζει να σημειωθεί ότι: o oι καταστατικές εξισώσεις δεν ορίζονται μονοσήμαντα, δηλαδή μπορούν να βρεθούν διάφορες μορφές της εξίσωσης (1.) που περιγράφουν το ίδιο σύστημα o οι διαστάσεις των πινάκων και των διανυσμάτων της (1.) εξαρτώνται από τη μορφή των καταστατικών εξισώσεων που περιγράφουν το σύστημα B) Η δέυτερη μορφή απεικόνισης και ανάλυσης συστημάτων είναι η συνάρτηση μεταφοράς. Όπως γνωρίζουμε, η απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος y(t) δίνεται από τη συνέλιξη της εισόδου u(t) με την κρουστική απόκριση h(t): y t u( ) h( t ) d (1.3) Η συνάρτηση μεταφοράς αφορά αποκλειστικά και μόνο ΓΧΑ συστήματα και προκύπτει αν εφαρμόσουμε μετασχηματισμό Laplace [5] στη (1.3), δίνοντας τελικά την παρακάτω σχέση: Y( s) p( s) Hs () U( s) q( s) (1.4) όπου: Y(s) ο μετασχηματισμός Laplace της εξόδου y(t) U(s) ο μετασχηματισμός Laplace της εισόδου u(t). Στην ουσία, η συνάρτηση μεταφοράς αποτελεί μια ρητή μιγαδική συνάρτηση, η οποία περιγράφει το σύστημα στο μιγαδικό επίπεδο (εν γένει στο πεδίο της συχνότητας), σε σχέση με τις καταστατικές εξισώσεις που περιγράφουν το σύστημα στο πεδίο του χρόνου. Οι ρίζες του πολυωνύμου του παρανομαστή μας δίνουν τη δυναμική του συστήματος (πόλοι του συστήματος). Η μετάβαση από τις καταστατικές εξισώσεις (1.) στη συνάρτηση μεταφοράς (1.4) μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω του ακόλουθου τύπου: 1 ( s ) H s C I A B D (1.5) Από την παραπάνω σχέση γίνεται εμφανές ότι οι ιδιοτιμές (eigenvalues) του πίνακα Α ταυτίζονται στην ουσία με τους πόλους του συστήματος (ρίζες του πολυωνύμου q(s)), δηλαδή: eig( A ) poles ( H( s)) roots( q( s)) (1.6) Αντίθετα, δεν υπάρχει κάποια συγκεκριμένη μέθοδος για την μετάβαση από τη συνάρτηση μεταφοράς σε καταστατικές εξισώσεις.

3 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ Θεωρούμε το φυσικό σύστημα μάζας-ελατηρίου με απόσβεση [6], η γραφική αναπαράσταση του οποίου παρουσιάζεται στο Σχήμα 1.1. Σχήμα 1.1. Σύστημα μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα. Η κίνηση της μάζας ενός μηχανικού συστήματος, όπως είναι αυτό του συστήματος μάζαςελατηρίου-αποσβεστήρα, η οποία συμβολίζεται με x(t), περιγράφεται από την παρακάτω διαφορική εξίσωση: mxt bxt kxt f () t (1.7) όπου: k η σταθερά του ελατηρίου [kg s - ] b η σταθερά απόσβεσης [kg s -1 ] m η μάζα του κουτιού [kg] f η εξωτερική δύναμη (ή διαταραχή) που ασκείται στο σύστημα [kg m s - ] x η μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας [m] Μέσα από τη γραμμική διαφορική εξίσωση (1.7) μπορούμε να εξάγουμε (α) τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος, καθώς και (β) τις καταστατικές εξισώσεις του. (α) Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στην (1.7) με χρήση μηδενικών αρχικών συνθηκών (x(0)=0 και x (0)=0), καταλήγουμε στην παρακάτω συνάρτηση μεταφοράς: ms X msx mx bsx s bx kx L mx t bx t kx t F( s) L mx t L bx t L kx t F( s) s (0) (0) ( ) 0 s Fs () X( s) 1 F() s ms bs k (1.8) (β) Για να βρούμε τις καταστατικές εξισώσεις που περιγράφουν το σύστημα, επιλέγουμε ως καταστάσεις του τις x1 xκαι x x, επομένως το διάνυσμα κατάστασης x ορίζεται ως: x x x x 1 x x (1.9) 3

4 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων Ως είσοδο του συστήματος u επιλέγουμε την εξωτερική δύναμη f που ασκείται στη μάζα m, δηλαδή u=f. Τέλος, ώς έξοδο του συστήματος y επιλέγουμε τη μετατόπιση x της μάζας m, δηλαδή y=x. Για να προκύψει η αναπαράσταση στο χώρο κατάστασης, καταστρώνουμε τη σχέση που περιγράφει την παράγωγο του διανύσματος κατάστασης (1.9): x x x (1.10) Λύνοντας την (1.7) ως προς x και αντικαθιστώντας τη στην (1.10) προκύπτει: x x f b k (1.11) x x m m m Κάνοντας χρήση βασικών γνώσεων γραμμικής άλγεβρας [7] και υπενθυμίζοντας πως u=f μετατρέπουμε την (1.10) στην καταστατική μορφή x Ax B u : x x x x u b k x k b u x k b 1 u x x x x x m m m m m m m m m x k b x 1 u (1.1) m m m Το δεύτερο κομμάτι της καταστατικής αναπαράστασης y Cx D u προκύπτει εύκολα αν λάβουμε υπόψη πως: y x y 1 0 x y 1 0 x 0 u (1.13) Οι εξισώσεις (1.1) και (1.13) συνθέτουν την αναπαράσταση του συστήματος μάζαςελατηρίου-αποσβεστήρα στο χώρο κατάστασης: x Ax Bu ycx Du (1.14) με A k b, 1 m m m C, D 0. B, 1 0 Παρατήρηση: Στις παραπάνω εξισώσεις ο συμβολισμός των y, y, x, x κ.λ.π. δεν είναι τυχαίος. Με έντονη γραφή συμβολίζουμε τα διανύσματα και τους πίνακες, ενώ με πλάγια γραφή τους μαθηματικούς συμβολισμούς ενός στοιχείου. Στην περίπτωση του συστήματος μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα, η έξοδος επιλέγεται ως στοιχείο και όχι διάνυσμα (εφόσον 4

5 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων y=x) και γι αυτό στην απεικόνιση (1.14) τελικά σημειώνεται ως y (στοιχείο) ενώ στη γενική απεικόνιση (1.) σημειώνεται ως y (διάνυσμα). Το ίδιο παρατηρούμε να ισχύει και για την είσοδο u. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ A. Ανάλυση συστημάτων περιγραφόμενων από συναρτήσεις μεταφοράς Για τον ορισμό των συναρτήσεων μεταφοράς, στο MATLAB υπάρχει ξεχωριστή δομή που ονομάζεται tf object. Μιάς και η συνάρτηση μεταφοράς είναι ο λόγος δύο πολυωνύμων, είναι προτιμότερο να παρουσιάσουμε πρώτα τον τρόπο δήλωσης και χειρισμού πολυωνύμων στο MATLAB. To λογισμικό MATLAB διαχειρίζεται κάθε πολυώνυμο ως διάνυσμα γραμμής, το οποίο περιέχει ως στοιχεία τους συντελεστές του πολυωνύμου σε φθίνουσα σειρά. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο 4 3 τεσσάρων στοιχείων: >> p = [ ] p s 5s s s 4 εισάγεται στο MATLAB ως διάνυσμα γραμμής Παρακάτω δίνονται κάποιες χρήσιμες εντολές για την επεξεργασία πολυωνύμων: polyval(p,k): υπολογίζει την τιμή ενός πολυωνύμου για s=k r=roots(p): υπολογίζει τις ρίζες ενός πολυωνύμου p=poly(r): υπολογίζει το πολυώνυμο αν δώσουμε ως όρισμα τις ρίζες του p3=conv(p1,p): πολλαπλασιάζει δύο πολυώνυμα Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την χρησιμοποίηση των εντολών αυτών μπορούμε να ανατρέξουμε στο help του MATLAB (γράφοντας στο command window help και το όνομα της εντολής που θέλουμε να δούμε). Έχοντας δει τον τρόπο με τον οποίο ορίζουμε πολυώνυμα, προχωράμε στον ορισμό μιάς συνάρτησης μεταφοράς. Η εντολή που ορίζει τη συνάρτηση μεταφοράς είναι η tf (transfer function) και συντάσσεται ως εξής: G=tf(num,den) όπου num είναι ο αριθμητής και den ο παρανομαστής της συνάρτησης μεταφοράς. Στην περίπτωση του συστήματος μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς (1.8) επιλέγοντας πρώτα κατάλληλες τιμές για τα m, b και k: >> m=10; b=1; k=1; >> G=tf(1,[m b k]); που μας δίνει ως αποτέλεσμα: Transfer function: s^ + s + 1 5

6 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων Κάποιες χρήσιμες εντολές για να εξάγουμε πληροφορίες από τη συνάρτηση μεταφοράς είναι: p=pole(g): υπολογίζει τους πόλους του συστήματος z=zero(g): υπολογίζει τα μηδενικά του συστήματος k=dcgain(g): υπολογίζει το κέρδος μόνιμης κατάστασης (DC-gain) του συστήματος Έτσι αν πχ, στο προηγούμενο παράδειγμα θέλουμε να βρούμε τους πόλους του συστήματος θα γράψουμε: >> p=pole(g); και θα πάρουμε ως αποτέλεσμα: p = i i Αν θέλουμε να απεικονίσουμε τους πόλους και τα μηδενικά στο μιγαδικό επίπεδο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εντολή pzmap. Μια σημαντική εντολή είναι η tfdata. Με αυτήν την εντολή μπορούμε να εξάγουμε από μια συνάρτηση μεταφοράς (δηλαδή αντικείμενο τύπου tf) τον αριθμητή και παρανομαστή της. Η σύνταξη της εντολής αυτής είναι: [num,den]=tfdata(g, v ) Το v μπαίνει για να ορίσει στο MATLAB ότι θέλουμε να μας δώσει τον αριθμητή και παρανομαστή σε μορφή διανυσμάτων (v vector). Έτσι στην προηγούμενη περίπτωση έχουμε: num = den = Σημείωση: Το σύστημα μάζα-ελατήριο-αποσβεστήρας που μελετήθηκε παραπάνω αποτελεί ένα SISO (Single Input Single Output) σύστημα καθώς αφορά μία είσοδο (f(t)) και μία έξοδο (x(t)) [8]. Στην περίπτωση που θέλουμε να ορίσουμε συναρτήσεις μεταφοράς ενός MIMO (Multiple Input Multiple Output) συστήματος [9], η εντολή tf θα πρέπει να δεχθεί ως ορίσματα πίνακες κελιών (cell arrays) αντί για διανύσματα, στους οποίους κάθε στοιχείο αντιστοιχεί σε έναν αριθμητή/παρανομαστή μιας συνάρτησης μεταφοράς. Πίνακας κελιού (Cell Array) είναι μια ειδική δομή πίνακα κάθε στοιχείο του οποίου μπορεί να αποτελεί έναν υποπίνακα. Ο ορισμός του θυμίζει τον ορισμό πινάκων μόνο όπου αντί αγκυλών [ ], χρησιμοποιούμε τα άγκιστρα { }. Π.χ. ο παρακάτω πίνακας: >> M={1;[1 ;5 3]} 6

7 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων ορίζει έναν cell array στοιχείων, όπου το πρώτο στοιχείο είναι ένας αριθμός (το 1 ), ενώ το δεύτερο στοιχείο είναι ένας x πίνακας (ο [1 ;5 3] ). Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός SIMO (Single Input Multiple Output) συστήματος μιάς εισόδου και δύο εξόδων, οδηγούμαστε σε δύο συναρτήσεις μεταφοράς: μία που περιγράφει την πληροφορία ανάμεσα στην είσοδο και την πρώτη έξοδο G s s s και μία που περιγράφει την πληροφορία ανάμεσα στην είσοδο και 1 (13 5) ( 1) τη δεύτερη έξοδο G s s s. Σε αυτή τη περίπτωση, για να συμπεριληφθούν (4 1) ( 1) και οι δύο συναρτήσεις μεταφοράς στο αντικείμενο τύπου tf, η εντολή tf πρέπει να συνταχθεί ως εξής: >> G=tf({[13 5];[4 1]},{[1 1];[1 1]}) και οδηγεί στο παρακάτω αποτέλεσμα: Transfer function from input to output... 13s+5 #1: s^ + s s + 1 #: s^ + s + 1 Διασύνδεση συστημάτων περιγραφόμενων από συναρτήσεις μεταφοράς: Έστω δύο συστήματα G 1 και G συνδεδεμένα σε σειρά, όπως απεικονίζονται στο Σχήμα 1.. Σχήμα 1.. Δύο συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά Για να βρούμε τη συνολική συνάρτηση μεταφοράς, G G1 G, στο MATLAB χρησιμοποιούμε την εντολή series: G=series(G1,G); Αν δύο συστήματα συνδέονται παράλληλα, όπως αυτά του Σχήματος 1.3: Σχήμα 1.3. Δύο συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα για να βρούμε τη συνολική συνάρτηση μεταφοράς, G G1 G, στο MATLAB χρησιμοποιούμε την εντολή parallel: 7

8 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων G=parallel(G1,G); Τέλος, αν έχουμε βρόχο ανάδρασης όπως στο Σχήμα 1.4: Σχήμα 1.4. Διασύνδεση συστημάτων σε ανάδραση G1 H συνολική συνάρτηση μεταφοράς σε αυτή την περίπτωση είναι G 1 GG MATLAB χρησιμοποιούμε την εντολή feedback: G=feedback(G1,G,sign); 1. Στο όπου το sign είναι το πρόσημο για το είδος της ανατροφοδότησης (+1 για θετική και -1 για αρνητική ανατροφοδότηση). Αν παραλείψουμε το sign, η εντολή λαμβάνει το -1 ως την προεπιλεγμένη τιμή και επομένως κάνει χρήση αρνητικής ανατροφοδότησης. Παρατήρηση: Η επιλογή των προσήμων στο σημείο ανάδρασης του Σχήματος 4 και στην εξίσωση του συστήματος F που παρουσιάζεται παραπάνω δεν είναι τυχαία. Θετικό πρόσημο στην ανάδραση οδηγεί σε (-) στον παρανομαστή της F, ενώ αρνητική ανάδραση οδηγεί σε (+). B. Ανάλυση συστημάτων περιγραφόμενων από καταστατικές εξισώσεις Όπως και στην περίπτωση της συνάρτησης μεταφοράς, το MATLAB έχει ξεχωριστή δομή για τις καταστατικές εξισώσεις που το ονομάζει ss object. Η εντολή για να δημiουργήσουμε την αναπαράσταση ενός συστήματος στο χώρο κατάστασης παρουσιάζεται παρακάτω: G=ss(A,B,C,D) Έτσι στην περίπτωση του συστήματος μάζα ελατήριο θα έχουμε: >> m=10;b=1;k=1; >> A=[0 1;-k/m -b/m];b=[0;1/m]; >> C=[1 0];D=0; >> G=ss(A,B,C,D) Εκτέλεση των παραπάνω εντολών δημιουργούν το αντικείμενο G τύπου ss στο workspace και τυπώνουν στο Command Window τους πίνακες που απαρτίζουν το σύστημα G: a = x1 x x1 0 1 x

9 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων b = u1 x1 0 x 0.1 c = x1 x y1 1 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model. Για να εξάγουμε πληροφορίες από το σύστημα, μπορούμε να κάνουμε χρήση των pole(g), zero(g) και pzmap(g), που επιστρέφουν τους πόλους, τα μηδενικά και το χάρτη πόλωνμηδενικών της συνάρτησης G, αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή όμως υπάρχει και η εντολή eig που μπορεί να χρησιμοποιηθεί η οποία δίνει τις ιδιοτιμές ενός πίνακα. Παρόλο που το G είναι ένα αντικείμενο ss, δίνοντας την εντολή: p=eig(g) το MATLAB είναι σε θέση να αναγνωρίσει τον πίνακα Α στο αντικείμενο G τύπου ss και να επιστρέψει τις ιδιοτιμές του. p = i i εναλλακτικά, αν γνωρίζουμε τον πίνακα A, μπορούμε να βρούμε απευθείας τις ιδιοτιμές του κάνοντας χρήση της ίδιας εντολής (p=eig(a)). Αντίστοιχη εντολή της tfdata που περιγράφηκε παραπάνω είναι η ssdata. Με αυτήν την εντολή μπορούμε να εξάγουμε από ένα αντικείμενο τύπου ss ή tf τους πίνακες A, B, C, D. Η σύνταξη της εντολής αυτής είναι: [A,B,C,D]=ssdata(G) Έτσι για το προηγούμενο παράδειγμα θα πάρουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: A = B = C =

10 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων D = Παρατήρηση: Οι εντολές tfdata και ssdata μπορούν να δεχθούν ως όρισμα συστήματα τύπου tf ή ss. Αν στην tfdata δώσω ως όρισμα ένα σύστημα καταστατικών εξισώσεων τότε κάνει αυτόματα τη μετατροπή σε συνάρτηση μεταφοράς και μας επιστρέφει τον αριθμητή και παρανομαστή του. Αντίστοιχα, αν στην ssdata δώσω ως όρισμα ένα σύστημα συναρτήσεων μεταφοράς τότε το μετατρέπει αυτόματα σε μορφή καταστατικών εξισώσεων και επιστρέφει τους πίνακες που το απαρτίζουν. Γ. Μετάβαση μεταξύ καταστατικών εξισώσεων και συναρτήσεων μεταφοράς Το MATLAB μας επιτρέπει να μεταβαίνουμε αυτόματα από μια την μορφή των καταστατικών εξισώσεων σε συνάρτηση μεταφοράς και αντίστροφα. Η εντολή που πραγματοποιεί τη μετάβαση από καταστατικές εξισώσεις σε συνάρτηση μεταφοράς είναι η εξής: [num,den] = sstf(a,b,c,d) Για την αντίθετη διαδικασία, δηλαδή μετάβαση από συνάρτηση μεταφοράς σε καταστατικές εξισώσεις χρησιμοποιούμε την εντολή: [A,B,C,D] = tfss(num,den) Παρατηρούμε ότι και οι δύο εντολές δεν δέχονται κατευθείαν ως ορίσματα τα ss και tf objects αντίστοιχα (δηλαδή τις G μεταβλητές που είχαμε ορίσει στα προηγούμενα παραδείγματα). Γι αυτό το λόγο αυτές οι εντολές χρησιμοποιούνται πάντοτε σε κατάλληλο συνδιασμό με τις ssdata και tfdata αντίστοιχα. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1.1. α) Ορίστε το SISO σύστημα G(s) που περιγράφεται από την παρακάτω συνάρτηση μεταφοράς: 4 G s 3 s s1 s s s Βρείτε τους πόλους και τα μηδενικά του συστήματος κάνοντας χρήση των κατάλληλων συναρτήσεων. β) Ορίστε το SIMO (μιάς εισόδου πολλαπλών εξόδων) σύστημα G(s) που περιγράφεται από τις παρακάτω συναρτήσεις μεταφοράς: Συνάρτηση μεταφοράς της εισόδου με την 1 η έξοδο 10

11 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων 4s 1 1() G s 10s 3s Συνάρτηση μεταφοράς της εισόδου με την η έξοδο G s s 1 5s s 1 3 Βρείτε τους πόλους και τα μηδενικά της G 1(s). Στη συνέχεια, κάνοντας κατάλληλη χρήση της εντολής ssdata, εξάγεται τους πίνακες A, B, C και D που περιγράφουν το συνολικό σύστημα G στο χώρο κατάστασης. Τέλος, βρείτε τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. 1.. Έστω ο ακόλουθος βρόχος ελέγχου: 13s με: G1 () s 5s 1 G s και 3 10s 1 s 3s 4s α) Υπολογίστε τη συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος. Βρείτε τους πόλους και τα μηδενικά του. β) Μετατρέψτε τη συνάρτηση μεταφοράς του G 1(s) στο αντίστοιχο μοντέλο καταστατικών εξισώσεων, και βρείτε τις ιδιοτιμές του πίνακα Α Έστω το σύστημα G που περιγράφεται στο χώρο κατάστασης από τους παρακάτω πίνακες: Α 0 0 1, B, C 1 0 1, D α) Ορίστε το σύστημα G και βρείτε τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. β) Μετατρέψτε το σύστημα σε μορφή συνάρτησης μεταφοράς και υπολογίστε το DC-Gain του συστήματος. γ) Βρείτε τους πόλους και τα μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Θεωρείστε ότι το σύστημα μάζας ελατηρίου που περιγράφεται από την εξής διαφορική εξίσωση: my( t) by ( t) ky( t) f ( t) α) Για τιμές των παραμέτρων, m=1 kg, b=3, k=4 ορίστε το σύστημα σε μορφή καταστατικών εξισώσεων και βρείτε τους πόλους του. 11

12 1η Εργαστηριακή Άσκηση Προσομοίωση συστημάτων β) Έστω παράμετρος C που τοποθετείται στην αρνητική ανάδραση με τρόπο που παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα και σκοπό τον έλεγχο της συμπεριφοράς του συστήματος ελατηρίου-μάζας-αποσβεστήρα, το οποίο συμβολίζεται στο παρακάτω σχήμα ως G(s). Εμφανίστε τον χάρτη πόλων μηδενικών του συστήματος καθώς μεταβάλλονται οι τιμές της παραμέτρου C στο διάστημα από 1 έως 1 με βήμα (δηλαδή [1::1]). Χρησιμοποιείστε τις ίδιες τιμές των παραμέτρων m, b και k με το ερώτημα (α). 1

13 Η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ AΣΚΗΣΗ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι η εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων. Αρχικά, στα πλαίσια αναγνώρισης συστήματος στο πεδίο του χρόνου, θα δούμε ποιές πληροφορίες μπορούμε να αντλήσουμε από την κρουστική και βηματική απόκριση ενός συστήματος, ώστε να καταλήξουμε σε μία πρώτη αναγνώριση αυτού. Στη συνέχεια, στα πλαίσια αναγνώρισης συστήματος στο πεδίο της συχνότητας, θα μελετηθεί το bode διάγραμμα συστήματος και θα αναλυθούν τα δεδομένα που χρησιμοποιούμε για την αναγνώριση του. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Έστω ένα σύστημα για το οποίο δε διαθέτουμε ένα μαθηματικό μοντέλο [10]. Για να προχωρήσουμε σε έλεγχο του συστήματος αυτού θα πρέπει πρώτα να εξάγουμε ένα αρχικό μοντέλο, δηλαδή, να κάνουμε αυτό που ονομάζουμε αναγνώριση συστήματος. Με την υπόθεση ότι το σύστημα που μελετάμε είναι γραμμικό, ή μπορεί να προσεγγιστεί με ένα γραμμικό μοντέλο, μπορούμε να διεγείρουμε το σύστημα με κάποια τυποποιημένα σήματα, που ονομάζονται και σήματα δοκιμής, και να μελετήσουμε τις αντίστοιχες αποκρίσεις του συστήματος. Τα βασικότερα σήματα δοκιμής είναι η βηματική συνάρτηση [11], η κρουστική [1], η ημιτονοειδής [13], το ημιτονοειδές σήμα μεταβαλλόμενης συχνότητας [14] και ο λευκός θόρυβος [15]. Ανάλογα σε ποιο πεδίο εξάγουμε τις πληροφορίες που θα μας οδηγήσουν στην αναγνώριση ενός συστήματος, εκτελούμε αναγνώριση στο πεδίο του χρόνου ή στο πεδίο της συχνότητας. Παρακάτω θα αναλυθεί κάθε περίπτωση ξεχωριστά. Α. Αναγνώριση στο πεδίο του χρόνου Συνήθως, η αναγνώριση στο πεδίο του χρόνου αποτελεί ένα πρώτο βήμα στην αναγνώριση ενός συστήματος. Στην περίπτωση αυτή, λαμβάνουμε τη βηματική απόκριση του συστήματος προς αναγνώριση και από την απόκριση αυτή εξάγουμε ορισμένες βασικές πληροφορίες. Οι ποιοτικές πληροφορίες που μπορούμε, αρχικά, να μελετήσουμε είναι: Αν το σύστημα είναι ευσταθές ή ασταθές [16]: Αν η απόκριση του συστήματος πάει ασυμπτωτικά στο άπειρο, τότε το σύστημα είναι ασταθές. Αν έχει μηδενικό ή πόλο στο μηδέν [17]: Αν έχει έναν πόλο στο μηδέν, δηλαδή έναν ολοκληρωτή, τότε η έξοδος του συστήματος θα τείνει γραμμικά στο άπειρο. Αν πάλι έχει ένα μηδενικό στο μηδέν, η έξοδος θα τείνει στο μηδέν. Δεν μπορούμε, όμως, να αποφανθούμε για τον αριθμό αυτών τον μηδενικών ή πόλων. Αν έχει μιγαδικούς πόλους: Η απόκριση του συστήματος στην περίπτωση αυτή θα παρουσιάζει ταλαντώσεις. Στη συνέχεια, μπορούμε να λάβουμε ορισμένες ποσοτικές πληροφορίες: Το DC-Gain του συστήματος: Το DC-Gain ορίζεται ως το κέρδος της μόνιμης τιμής της εξόδου προς την μόνιμη τιμή της εισόδου. Πρακτικά αν εφαρμόσουμε μια μοναδιαία βηματική στο σύστημα τότε ως DC-Gain είναι η μόνιμη τιμή της εξόδου. 13

14 η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση συστημάτων Προσέγγιση του συστήματος με πρωτοβάθμιο: Αν η βηματική απόκριση του συστήματος έχει παρόμοια μορφή με απόκριση ενός πρωτοβάθμιου (Σχήμα.1) ή υποαποσβεννύμενου δευτεροβάθμιου συστήματος [18], τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σύστημά μας ότι είναι ένα πρωτοβάθμιο, δηλαδή της μορφής p G s K s p, όπου το Κ είναι το DC-Gain και 1 p η σταθερά χρόνου του συστήματος. Να υπενθυμίσουμε πως σταθερά χρόνου [19] ονομάζεται ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος του συστήματος ώστε να φθάσει το 63.% της μόνιμης τιμής της. Σχήμα.1: Τυπική βηματική απόκριση ενός συστήματος πρώτης τάξης Θα πρέπει να σημειωθεί πως η αναγνώριση ενός συστήματος στο πεδίο του χρόνου μας παρέχει περιορισμένες πληροφορίες. Για παράδειγμα, από τη διαδικασία αυτή δε μπορούμε να αποφανθούμε για το πλήθος των πόλων ή μηδενικών του συστήματος, αλλά ούτε και για τις τιμές τους. Για βελτιωμένη αναγνώριση συστημάτων καταφεύγουμε στο πεδίο της συχνότητας. Β. Αναγνώριση στο πεδίο της συχνότητας Η αναγνώριση στo πεδίο της συχνότητας βασίζεται στη διέγερση του συστήματος προς αναγνώριση κάνοντας χρήση συγκεκριμένων σημάτων και, ακολούθως, στην εύρεση της απόκρισης συχνότητας του συστήματος, δηλαδή την κατασκευή του λεγόμενου διάγραμματος bode [0]. Όπως γνωρίζουμε, η συνάρτηση μεταφοράς H(s) αποτελεί μια μιγαδική συνάρτηση, αφού το s ανήκει στους μιγαδικούς αριθμούς. Αν το s είναι ένας καθαρά φανταστικός αριθμός s=jω, τότε η H(jω) αποτελεί τον μετασχηματισμό Fourier της κρουστικής απόκρισης h(t) και 14

15 η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση συστημάτων σε αυτή τη περίπτωση μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο και τη φάση συναρτήσει της συχνότητας ω. Αν ως είσοδο ενός LTI συστήματος [1] θεωρήσουμε ένα συνημιτονοειδές σήμα της μορφής: j t ( ) u t Acos t Re Ae τότε στην έξοδο του συστήματος θα λάβουμε: y t Re u t H j Bcos t όπου B H( j) A και H( j). Το διάγραμμα bode αποτελεί την απεικόνιση του μέτρου (εκφρασμένο σε κλίμακα db ως K 0log H( j) ) και της φάσης της γωνίας εκφρασμένη σε λογαριθμική κλίμακα της συχνότητας. Οι λόγοι για τους οποίους επιλέγεται η λογαριθμική κλίμακα για την απεικόνιση του μέτρου και της φάσης είναι α) η δυνατότητα παρουσίασης και μελέτης ενός μεγάλου εύρους συχνοτήτων και β) το γεγονός ότι οι πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης μετατρέπονται σε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν έχουμε στη διάθεση μας το διάγραμμα bode ενός συστήματος, μπορούμε να προχωρήσουμε στην αναγνώριση του συστήματος εξάγοντας χαρακτηριστικά όπως: Το κέρδος μόνιμης κατάστασης (DC-Gain), το οποίο αποτελεί το κέρδος κοντά στην μηδενική συχνότητα Την παρουσία πόλου, η οποία οδηγεί σε μείωση της κλίσης του διαγράμματος μέτρου κατά 0db/δεκάδα Την παρουσία μηδενικού, η οποία οδηγεί σε αύξηση της κλίσης του διαγράμματος μέτρου κατά 0db/δεκάδα Τα περιθώρια κέρδους και φάσης του συστήματος Το εύρος ζώνης κ.λ.π. Ιδανικά, για να λάβουμε το διάγραμμα bode, αρκεί να υπολογίσουμε την κρουστική απόκριση του συστήματος. Στην πράξη, όμως, δεν μπορούμε να παράγουμε μια ιδανική κρουστική για τη διέγερση του συστήματος και γι αυτό το λόγο έχουμε καταφύγει σε εναλλακτικές μεθόδους για την κατασκευή του διαγράμματος: Διέγερση του συστήματος με συνημίτονο της μορφής Acos( t). Με βάση το συνημίτονο της εξόδου Bcos( t ), υπολογίζουμε το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς μέσω της H(jω) =B/A και τη φάση από τη διαφορά φάσης των δύο ημιτόνων H( j). Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για διάφορες συχνότητες ω, κατασκευάζουμε ένα αρχικό bode διάγραμμα. Διέγερση του συστήματος με σήμα το οποίο περιέχει ένα μεγάλο εύρος συχνοτήτων, όπως, για παράδειγμα, το σήμα chirp. Έπειτα υπολογίζουμε τους μετασχηματισμούς Fourier της εισόδου και της εξόδου και με αυτό το τρόπο κατασκευάζουμε το bode για το συγκεκριμένο εύρος συχνοτήτων. Διέγερση του συστήματος με σήμα το οποίο περιέχει ιδανικά άπειρο φάσμα, όπως ο λευκός θόρυβος. Η διαδικασία που ακολουθείται είναι η ίδια με αυτή του σήματος chirp. 15

16 η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση συστημάτων ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ Το λογισμικό MATLAB περιέχει κατάλληλες συναρτήσεις για το σχεδιασμό της βηματικής και κρουστικής απόκρισης ενός συστήματος. Συγκεκριμένα, για την βηματική απόκριση χρησιμοποιείται η παρακάτω εντολή: step(g,t) όπου t μπορεί να είναι είτε ο χρόνος μέχρι τον οποίο θέλουμε να βρούμε την βηματική απόκριση, δηλαδή t=t f, είτε ένα διάστημα χρόνου, δηλαδή t t : t : t. Αν παραλείψουμε 0 f να δώσουμε τον χρόνο t, το MATLAB υπολογίζει αυτόματα τον χρόνο που χρειάζεται το σύστημα για να φτάσει στη μόνιμη του κατάσταση και παράγει την απόκριση μέχρι εκείνο το χρονικό σημείο. Έτσι, για την περίπτωση του συστήματος μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα, το οποίο αναλύθηκε στην προηγούμενη εργαστηριακή άσκηση, έχουμε: >> m=10; b=1; k=1; >> G=tf(1,[m b k]); >> t=0:0.01:40; >> step(g,t); Εκτέλεση του παραπάνω κώδικα παράγει το Σχήμα.. Σχήμα.. Βηματική απόκριση συστήματος μάζας-ελατηρίου-απόσβεσης με προσδιορισμό χρόνου 16

17 η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση συστημάτων Παρατηρούμε ότι ο τελικός χρόνος που επιλέχθηκε (40sec) δεν αρκεί ώστε το σύστημα να φτάσει στη μόνιμη κατάσταση, η οποία σημειώνεται στο παραπάνω σχήμα με οριζόντια διακεκομμένη γραμμή. Αντίθετα αν εκτελέσουμε την εντολή step χωρίς να ορίσουμε χρόνο: >> step(g); παράγεται το Σχήμα.3. Σχήμα.3. Βηματική απόκριση συστήματος μάζας-ελατηρίου-απόσβεσης χωρίς προσδιορισμό χρόνου Βλέπουμε, λοιπόν, πως για να σχεδιαστεί η βηματική απόκριση του συστήματος στο σύνολο της θα πρέπει να επιλέξουμε χρόνο μεγαλύτερο ή ίσο με 140sec. Αν θέλουμε το MATLAB να μην προχωρίσει σε απεικόνιση της βηματικής απόκρισης, αλλά να μας επιστρέψει τα δεδομένα υπολογισμού της βηματικής σε δύο διανύσματα της μορφής [έξοδος, χρόνος], για περαιτέρω επεξεργασία, τότε θα πρέπει να επιλέξουμε τον παρακάτω τρόπο σύνταξης: >>[y,t]= step(g,t); Σημείωση: Μέχρι τώρα, υποθέσαμε πως το σύστημα G έχει τη μορφή συνάρτησης μεταφοράς (tf). Η εντολή step λειτουργεί με όμοιο τρόπο και στην περίπτωση όπου το σύστημα βρίσκεται σε μορφή καταστατικών εξισώσεων (ss). Στην τελευταία περίπτωση, η εκτέλεση της εντολής, κάνοντας χρήση της παρακάτω σύνταξης, μπορεί να μας επιστρέψει και το διάνυσμα της κατάστασης x. >>[y,t,x]= step(g,t); 17

18 η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση συστημάτων Για την κρουστική απόκριση του συστήματος η αντίστοιχη εντολή είναι η: impulse(g,t) Η εντολή impulse έχει ακριβώς την ίδια σύνταξη και προγραμματιστική λογική με την εντολή step, οπότε δε θα προχωρήσουμε σε περαιτέρω ανάλυση της λειτουργίας της. Το bode διάγραμμα ενός συστήματος λαμβάνεται κάνοντας χρήση της εντολής: bode(g,w) όπου το w αποτελεί διάνυσμα που περιέχει το διάστημα συχνοτήτων, σε λογαριθμική κλίμακα, στο οποίο θέλουμε να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας του συστήματος. Για να δημιουργήσουμε το διάνυσμα αυτό χρησιμοποιούμε την εντολη: w=logspace(x1,x,n) Η εντολή logspace δημιουργεί ένα διάνυσμα n στοιχείων από τη συχνότητα 10 x1 μέχρι τη συχνότητα 10 x. Έτσι, στο προηγούμενο παράδειγμα η εκτέλεση των εντολών: >> w=logspace(-1,,100); >> bode(g,w); παράγει το Σχήμα.4. Σχήμα.4. Διάγραμμα Bode συστήματος μάζας-ελατηρίου-απόσβεσης 18

19 η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση συστημάτων Αν παραλείψουμε να δώσουμε όρισμα για το διάνυσμα συχνοτήτων, το MATLAB επιλέγει αυτόματα το εύρος συχνοτήτων σύμφωνα με τα χαρακτηριστικά του συστήματος. Όπως και στην περίπτωση των προηγούμενων εντολών step και impulse, αν θέλουμε να αποθηκεύσουμε τα αποτελέσματα εκτέλεσης της εντολής bode, τότε κάνουμε χρήση των παρακάτω τρόπων σύνταξης: [mag,phase]=bode(g,w) ή [mag,phase,w]=bode(g,w) Η mag και phase μεταβλητές αποτελούν πίνακες τριών διαστάσεων όπου το (i,j,k) στοιχείο τους αναφέρεται στο πλάτος και στην φάση, αντίστοιχα, για τη συχνότητα w(k) και για τη συνάρτηση μεταφοράς από την i-th είσοδο στην j-th έξοδο (για τη γενική περίπτωση MIMO συστημάτων). Αν το σύστημα είναι SISO τότε i=1, j=1 και οι πίνακες mag, phase έχουν διάσταση 1x1xk. Για να υπολογίσουμε τα περιθώρια κέρδους και φάσης κάνουμε χρήση της εντολής margin: [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G) ή οποία επιστρέφει τα περιθώρια κέρδους Gm και φάσης Pm, καθώς και τις συχνότητες Wcg και Wcp στις οποίες εμφανίζονται τα περιθώρια, αντίστοιχα. Αν παραλείψουμε τα ορίσματα εξόδου [Gm,Pm,Wcg,Wcp] τότε η εντολή παράγει το bode διάγραμμα στο οποίο και σημειώνονται τα αντίστοιχα περιθώρια. Τέλος για τον υπολογισμό του εύρους συχνοτήτων ενός SISO συστήματος κάνουμε χρήση της εντολής bandwidth: B=bandwidth(G) ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ.1. Θεωρείστε το σύστημα μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα που περιγράφεται από την εξής διαφορική εξίσωση: my( t) by ( t) ky( t) f ( t) α) Για τιμές των παραμέτρων m= kg, b=-10, k=1 εφαρμόζουμε στην είσοδο του συστήματος μία μοναδιαία βηματική συνάρτηση, δηλαδή f(t)=u(t). Υπολογίστε τη θεωρητική λύση y(t) της προκύπτουσας δευτεροβάθμιας διαφορικής εξίσωσης και εμφανίστε στο MATLAB την μορφή της (που, στην ουσία, αποτελεί την βηματική απόκριση του συστήματος) για χρόνο t=0:0.1:0. Για τον θεωρητικό υπολογισμό να γίνει χρήση μηδενικών αρχικών συνθηκών y (0) y(0) 0. β) Συγκρίνετε το αποτέλεσμα του ερωτήματος (α) με τη βηματική απόκριση του ίδιου συστήματος κάνοντας χρήση της συνάρτησης μεταφοράς του, της εντολής step και τον ίδιο χρόνο εξομοίωσης t=0:0.1:0. Το σύστημα είναι ευσταθές ή ασταθές; Γιατί; γ) Έχει φυσικό νόημα ένα τέτοιο σύστημα;.. Έστω το σύστημα G που περιγράφεται από την παρακάτω συνάρτηση μεταφοράς: 19

20 η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση συστημάτων G s s s 3s 4s3 α) Να γίνει σχεδιάση της βηματικής απόκρισης του συστήματος για χρόνο t=0:0.01:8. Κάνοντας χρήση της απόκρισης, βρείτε το DC-Gain του συστήματος και υπολογίστε τη θεωρητική του τιμή []. β) Μπορούμε να αποφανθούμε μόνο από τη βηματική απόκριση αν το σύστημα έχει θετικά μηδενικά; Γιατί; Επιβεβαιώστε την απάντηση σας υπολογίζοντας τα μηδενικά του συστήματος..3. Έστω το σύστημα G που περιγράφεται από τις παρακάτω καταστατικές εξισώσεις: A 0 0 1, B 0, C 1 0 0, D α) Να γίνει απεικόνιση της βηματικής απόκρισης του συστήματος. Προσεγγίστε το σύστημα με πρωτοβάθμιο και απεικονίστε τη βηματική των δύο συστημάτων (του αρχικού και της προσέγγισης αυτού) στο ίδιο διάγραμμα. β) Έστω ένας αναλογικός ελεγκτή [3] κέρδους Κ. Ο συγκεκριμένος ελεγκτής αποτελεί έναν αντισταθμιστή σειράς και η δομή του προκυπτόμενου κλειστού συστήματος είναι η παρακάτω: Για Κ=185, υπολογίστε και για τις δύο περιπτώσεις το κλειστό σύστημα και απεικονίστε στο ίδιο διάγραμμα τις κρουστικές αποκρίσεις τους για χρόνο 0:0.01:1sec., Τι παρατηρείτε;.4. Θεωρούμε την ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς G: Gs () s 0. s30 α) Να σχεδιάστει στο MATLAB το διάγραμμα Bode της παραπάνω συνάρτησης και να βρεθεί η συχνότητα συντονισμού (rad/sec και το μέγιστο πλάτος M (db). β) Κάνοντας χρήση κατάλληλης εντολής του MATLAB, να βρεθεί το εύρος ζώνης της G..5. Έστω ένα σύστημα G που περιγράφεται από τη παρακάτω συνάρτηση μεταφοράς: G s s 13s13 s 5s3 p 0

21 η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση συστημάτων Κατασκευάστε το bode διάγραμμα του συγκεκριμένου συστήματος στο διάστημα [0.1,1000] rad/sec με Ν=1000 σημεία απεικόνισης. Από τη μορφή του διαγράμματος φάσης τι συμπέρασμα βγάζουμε ως προς τα μηδενικά του συστήματος;.6. Έστω το σύστημα G που περιγράφεται από τις παρακάτω καταστατικές εξισώσεις: A 1 0 0, B 0, C , D α) Με βάση το bode διάγραμμα, αναγνωρίστε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος αυτού. β) Μετατρέψτε το μοντέλο καταστατικών εξισώσεων σε συνάρτηση μεταφοράς κάνοντας χρήση κατάλληλης εντολής του MATLAB. Προκύπτει αριθμητικά κοντά η συνάρτηση μεταφοράς με αυτή που αναγνωρίσατε στο ερώτημα (α);.7. Θεωρούμε το ακόλουθο σύστημα με καταστατικές εξισώσεις A, B, C 1 4, D α) Υπολογίστε το DC-Gain και το κέρδος του συστήματος στις υψηλές συχνότητες από το bode διάγραμμα. β) Σχεδιάστε την βηματική απόκριση του συστήματος αυτού μέχρι τα 1sec. Υπολογίστε το DC-Gain και το κέρδος του συστήματος στις υψηλές συχνότητες με βάση τη βηματική απόκριση και συγκρίνετε τα αποτελέσματα με αυτά που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα. Δικαιολογήστε τις όποιες διαφορές προκύψουν. Υπόδειξη: Για την εύρεση του κέρδους στις υψηλές συχνότητες μέσω της βηματικής απόκρισης θα πρέπει να ανατρέξετε στο [4]. Προαιρετική Άσκηση: Lead-Lag Compensators.8. Έστω σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς τη G(s). Σχεδιάζουμε ελεγκτή με συνάρτηση μεταφοράς C(s) όπως φαίνεται στο σχήμα: G s s 50 15s11 α) Βρείτε το εύρος ζώνης του συστήματος G και σχεδιάστε τη βηματική του απόκριση στο διάστημα χρόνου [0:0.:10]. 1

22 η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση συστημάτων s 5 β) Για C s βρείτε το εύρος ζώνης του συστήματος κλειστού βρόχου και s 30 σχεδιάστε τη βηματική του απόκριση. Να συγκριθούν με τα αντίστοιχα αποτελέσματα του ερωτήματος (α). Τι επίδραση είχε ο ελεγκτής στη συμπεριφορά του συστήματος; s 51 γ) Για C s βρείτε το εύρος ζώνης του συστήματος κλειστού βρόχου και s 48 σχεδιάστε τη βηματική του απόκριση. Να συγκριθούν με τα αντίστοιχα αποτελέσματα του ερωτήματος (α). Τι επίδραση είχε ο ελεγκτής στη συμπεριφορά του συστήματος. δ) Σχεδιάστε τις τρείς βηματικές αποκρίσεις των ερωτημάτων (α)-(γ) στο ίδιο διάγραμμα. Βελτιώστε το διάγραμμα κάνοντας κατάλληλη χρήση των εντολών title, xlabel, ylabel, legend, grid και box. Σημείωση 1: Ο ελεγκτής του ερωτήματος (β) ανήκει στην κατηγορία των πρωτοβάθμιων αντισταθμιστών προήγησης φάσης (first-order phase-lead compensator), ενώ ο ελεγκτής του ερωτήματος (γ) ανήκει στην κατηγορία των πρωτοβάθμιων αντισταθμιστών καθυστέρησης φάσης (first-order phase-lag compensator). Για περισσότερες πληροφορίες ανατρέξτε στο [5]. Σημείωση : Η εκτέλεση της προαιρετικής άσκησης 1.8. μετράει θετικά στο βαθμό της αναφοράς. Η μή εκτέλεση της δε θα έχει αρνητική επίδραση.

23 3Η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ AΣΚΗΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 3.1. Γραφική αναπαράσταση του φυγόκεντρου ρυθμιστή και απλοποιημένη γεωμετρική ανάλυση Σκοπός της παρούσας άσκησης είναι η εισαγωγή στις μεθόδους ανάλυσης και μοντελοποίησης μη-γραμμικών συστημάτων κάνοντας χρήση του λογισμικού MATLAB. Το σύστημα προς μελέτη είναι αυτό του φυγόκεντρου ρυθμιστή, το οποίο επιλέχθηκε χάριν της απλότητας της ανάλυσης του και με απώτερο σκοπό να αποτελέσει τη βάση της λογικής που χρησιμοποιείται για την ανάλυση και μοντελοποίηση των περισσότερων μη-γραμμικών συστημάτων. Η γραφική αναπαράσταση, καθώς και η απλοποιημένη γεωμετρική ανάλυση των δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα του φυγόκεντρου ρυθμιστή [6] παρουσιάζονται στο Σχήμα 3.1. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Παρακάτω θα περιγραφούν τα βασικά βήματα ανάλυσης και μοντελοποίησης του συγκεκριμένου μη-γραμμικού συστήματος κάνοντας χρήση του λογισμικού MATLAB. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Εάν η κεντρική ράβδος (άξονας) του ρυθμιστή περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, τότε οι ράβδοι στις οποίες συνδέονται οι σφαίρες σχηματίζουν γωνία φ με τον κατακόρυφο άξονα. Με uw συμβολίζεται η γραμμική ταχύτητα των σφαιρών, ενώ με r συμβολίζεται η ακτίνα του κύκλου κατά μήκος του οποίου περιστρέφονται οι σφαίρες. Επομένως, uw=ωr με r=lsinφ. Σε κάθε σφαίρα ασκούνται οι παρακάτω δυνάμεις: 3

24 3η Εργαστηριακή Άσκηση Ανάλυση και μοντελοποίηση μη-γραμμικού συστήματος η φυγόκεντρος δύναμη που προκύπτει ως: u w m m r m L r sin, (3.1) η βαρυτική δύναμη mg, και η δύναμη της τριβής, η οποία αναπτύσσεται στο σημείο σύνδεσης της σφαίρας με τη ράβδο. Η τελευταία υποθέτουμε πως είναι ανάλογη του ρυθμού μεταβολής της γωνίας κατά ενός συντελεστή τριβής b. Το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται κατά μήκος του κάθετου στη ράβδο άξονα οδηγεί στην εξίσωση κίνησης της σφαίρας: m L m Lsin cos mg sin b 1 (3.) m L m L sin mg sin b ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Ως μεταβλητές κατάστασης επιλέγονται οι: x, x (3.3) 1 και ορίζουν το διάνυσμα κατάστασης x=[x 1, x ] T. Οι παραπάνω μεταβλητές χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουμε το μοντέλο (3.) στο χώρο κατάστασης, δηλαδή ως σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτου βαθμού: (3.),(3.3) x1 x x1 1 g b (3.4) x x sin x1 sin x1 x L ml Η ύπαρξη των sin x1cos x1 και καθιστούν μη-γραμμικό [7]. sin x 1 στις παραπάνω εξισώσεις του συστήματος το ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Η μέθοδος της γραμμικοποίησης [8] εφαρμόζεται στην περιοχή λειτουργίας του συστήματος γύρω από ένα σημείο ισορροπίας (x,ω)=(x e,ω e)=([x 1e, x e] T,ω e). Αρχικά, προσδιορίζουμε τις συνθήκες που θα πρέπει να ικανοποιεί ένα σημείο ισορροπίας: x 0 x1 0 1 g b (3.5) x 0 sin x1 sin x1 x 0 L ml 4

25 3η Εργαστηριακή Άσκηση Ανάλυση και μοντελοποίηση μη-γραμμικού συστήματος Η λύση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων (3.5) δίνει το σημείο ισορροπίας: g cos x1 e L x e 0 e (3.6) Θεωρούμε μικρές διαταραχές γύρω από το σημείο ισορροπίας: T e e 1e 1 e e ( x, ) ( x x, ) ( x, ) [ x x, x x ], (3.7) α) Για το x 1 ισχύει: x x x x 1 e Λαμβάνοντας υπόψη πως x1 x1, η προηγούμενη σχέση γίνεται: x x 1 (3.8) β) Λαμβάνοντας υπόψη την ανάλυση του πρώτης παραγώγου) προκύπτει: x σε σειρά Taylor (μέχρι και τους συντελεστές x x x x x x x xx e 1 e e x xx 1 e x xx e xx e e e (3.9) Αντικαθιστώντας όπου N g b sin 1 cos 1 sin 1 x x x x x στην (3.9), προκύπτει: L L ml sin x1 sin x1 x 1 g b L ml sin 1 sin 1 1 L ml xxe x1 e xxe e x x x x x 1 g b 1 g b sin x1 sin x1 x sin x1 sin x1 x L ml L ml x x 1 xxe xxe e e g b 1 g b g x e sin x1 e sin x1 e xe e cos x1 e cos x1 e x1 L ml L (3.10) b x esin x1 e ml Αντικαθιστώντας τις (3.6) στην (3.10) και γνωρίζοντας πως x x, και sin a sin a cos a, προκύπτει: cos cos sin a a a g sin x1 e b g sin x1 e 1 Lcos x1 e ml Le x x x (3.11) 5

26 3η Εργαστηριακή Άσκηση Ανάλυση και μοντελοποίηση μη-γραμμικού συστήματος ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Το γραμμικοποιημένο στο σημείο ισορροπίας (x,ω)=(x e,ω e) σύστημα εξισώσεων, το οποίο απαρτίζεται από τις (3.8) και (3.11), μπορεί να γραφτεί σε μορφή πινάκων: x x (3.1) x x x 1 g sin x1 e b g sin x1 e 1 Lcos x1 e ml Le x 1 x gsin x 1 sin 1 e b g x 1e x x Lcos x L 1e ml e (3.13) Το σύστημα (3.13) αποτελεί τη μορφή αναπαράστασης του συστήματος στο χώρο κατάστασης και κατά σύμβαση αναπαρίσταται με τον ακόλουθο τρόπο: x A x Β y C x D (3.14) x1 x1 όπου x x, xy x, 0 και D A gsin x1 e b, Β gsin x 1 e, Lcos x1 e ml Le 1 0 C 0 1 ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ Οι εντολές για την υλοποίηση του συστήματος του φυγόκεντρου ρυθμιστή στο MATLAB, κάνοντας χρήση της περιγραφής του στο χώρο κατάστασης από τις εξισώσεις (3.14), αναλύθηκαν στην πρώτη εργαστηριακή άσκηση. Παρακάτω θα αναλυθούν οι νέες εξισώσεις που καλείστε να χρησιμοποιήσετε στα εργαστηριακά προβλήματα. Α. Απόκρισης συστήματος κάνοντας χρήση σήματος εισόδου της επιλογής μας Στα πλαίσια των εντολών υπολογισμού και σχεδιασμού της βηματικής και κρουστικής απόκρισης (step και impulse αντίστοιχα), οι οποίες αναλύθηκαν στη δεύτερη εργαστηριακή άσκηση, θα αναλυθεί μία εξίσου σημαντική εντολή που μας δίνει τη δυνατότητα ορισμού του σήματος διέγερσης του συστήματος και του σχεδιασμού της απόκρισης του. Ένας τρόπος σύνταξης της εντολής lsim παρουσιάζεται παρακάτω: lsim(g,u,t,x0) όπου G είναι το σύστημα προς μελέτη, u το σήμα εισόδου ορισμένο σε διανυσματική μορφή και συναρτήσει του διανύσματος χρόνου t, ενώ x0 είναι οι αρχικές συνθήκες της απόκρισης. Τονίζουμε πως τα διανύσματα u και t θα πρέπει να έχουν τις ίδιες διαστάσεις. 6

27 3η Εργαστηριακή Άσκηση Ανάλυση και μοντελοποίηση μη-γραμμικού συστήματος Σημείωση: Το MATLAB διαθέτει συναρτήσεις που μας επιστρέφουν τις διαστάσεις πινάκων ή το μήκος διανύσματος, τις size και length αντίστοιχα. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί η μοναδιαία βηματική απόκριση του συστήματος μάζα-ελατηρίου-αποσβεστήρα, το οποίο αναλύθηκε στην πρώτη άσκηση, για χρόνο από 1 έως 100sec (με βήμα 0.1sec) και αρχικές συνθήκες x= m και x =3 m/s θα πρέπει να συντάξουμε και να εκτελέσουμε το παρακάτω πρόγραμμα: >> m=10;b=1;k=1; >> A=[0 1;-k/m -b/m];b=[0;1/m]; >> C=[1 0];D=0; >> G=ss(A,B,C,D) >> t=0:0.1:100; >> u=ones(1,length(t)); >> x0=[;3]; >> lsim(g,u,t,x0) το οποίο μας επιστρέφει το Σχήμα 3.. Σχήμα 3.. Βηματική απόκριση συστήματος μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα με χρήση της εντολής lsim Παρατηρούμε πως για την κατασκευή της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης έγινε χρήση της εντολής ones(a,b) που κατασκευάζει πίνακες διαστάσεων a b όπου κάθε στοιχείο τους είναι η μονάδα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση το u ορίστηκε ως διάνυσμα γραμμής με πλήθος στοιχείων το μήκος του διανύσματος t, κάνοντας κατάλληλη χρήση της εντολής length, ώστε τα u και t να έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. 7

28 3η Εργαστηριακή Άσκηση Ανάλυση και μοντελοποίηση μη-γραμμικού συστήματος Αν αντί για μοναδιαία βηματική απόκριση του συστήματος θέλαμε, για παράδειγμα, την απόκριση μηδενικής εισόδου θα έπρεπε να ορίσουμε κατάλληλα το διάνυσμα εισόδου u και μία καλή επιλογή συνάρτησης για τον ορισμό του θα ήταν η zeros. Η απόκριση που θα λαμβάναμε για τον ίδιο χρόνο και για αρχικές συνθήκες x=4m και παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.3. x =1m/s θα ήταν αυτή που Σχήμα 3.3. Βηματική απόκριση συστήματος μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα με χρήση της εντολής lsim και διαφορετικές αρχικές συνθήκες Β. Επίλυση μη-γραμμικών εξισώσεων κάνοντας χρήση του MATLAB To λογισμικό MATLAB διαθέτει ειδική οικογένεια εντολών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, τις γνωστές και ως ode (ordinary differential equations) [9]. Κάνοντας χρήση των εντολών αυτών μας δίνεται η δυνατότητα μελέτης και ανάλυσης συστημάτων κάνοντας απευθεία χρήση των μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που τα περιγράφουν. Οι εντολές ode που περιλαμβάνονται στο λογισμικό MATLAB είναι δομημένες έτσι ώστε να επιλύουν διαφορικές εξισώσεις κάνοντας εφαρμογή συγκεκριμένων μεθόδων. Για παράδειγμα, επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μέθοδο: χαμηλής τάξης επιτυγχάνεται με χρήση της εντολής ode3, μεσαίας τάξης επιτυγχάνεται με χρήση της εντολής ode45, μεταβλητής τάξης επιτυγχάνεται με χρήση της εντολής ode11. Η σύνταξη της εντολής ode3, την οποία θα χρησιμοποιήσετε στο εργαστηριακό πρόβλημα 3.7, παρουσιάζεται παρακάτω: [t,y] = ode3(@myfunction,[tmin tmax],x0,[],[u]); 8

29 3η Εργαστηριακή Άσκηση Ανάλυση και μοντελοποίηση μη-γραμμικού συστήματος όπου: myfunction: Το όνομα αρχείου τύπου συνάρτησης το οποίο περιέχει τις διαφορικές εξισώσεις που ορίζουν το σύστημα προς μελέτη. Για τη δημιουργία νέου αρχείου τύπου συνάρτησης επιλέγουμε File New Function M-File. Ως ορίσματα εισόδου θα πρέπει να οριστούν: o o χρόνος t o το διάνυσμα της κατάστασης x o το διάνυσμα εισόδου u ενώ ως έξοδος του συστήματος θα πρέπει να οριστεί: o το διάνυσμα της παραγώγου της κατάστασης x Επομένως η πρώτη γραμμή κώδικα στο αρχείο myfunction θα πρέπει να έχει μορφή ανάλογη της: function xdot = myfunction(t,x,u) Στο εσωτερικό της θα πρέπει να συνταχθεί το διάνυσμα παραγώγου της κατάστασης που περιγράφει το μη-γραμμικό σύστημα προς ανάλυση. Στην περίπτωση SIMO συστήματος το u θα αποτελεί στοιχείο ενώ το x θα αποτελεί διάνυσμα, τα στοιχεία του οποίου (x(1) και x()) θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν κατάλληλα στη σύνταξη του διανύσματος x. Προσοχή! Το όνομα ενός αρχείου τύπου συνάρτησης θα πρέπει να είναι ίδιο με αυτό της συνάρτησης που περιέχει. x tmin, tmax: ο ελάχιστος και μέγιστος χρόνος εξομοίωσης (σε δευτερόλεπτα) αντίστοιχα x0: το διάνυσμα που ορίζει τις αρχικές συνθήκες της κατάστασης x. u: το σήμα εισόδου t: το διάνυσμα που περιέχει το χρόνο εξομοίωσης y: το διάνυσμα που περιέχει το αποτέλεσμα της επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων, δηλαδή την έξοδο του συστήματος Παρόμοιο τρόπο σύνταξης συναντάμε και στις υπόλοιπες εντολές ode. Για περισσότερες πληροφορίες πάνω στη δομή και τη χρήση των εντολών αυτών μπορείτε να ανατρέξετε στον function browser (shift+f1) του λογισμικού MATLAB. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Για τα ερωτήματα { } θεωρήστε τον φυγόκεντρο ρυθμιστή που παρουσιάζεται στο Σχήμα 1 με m= kg, L=1 m, και b=1 (g=9.81 m/s ). Οδηγίες για τη σωστή παρουσίαση των αποτελεσμάτων: Ο χρόνος εξομοίωσης που επιλέγετε θα πρέπει να είναι αρκετός ώστε οι αποκρίσεις να εμφανίζονται στο σύνολο τους. Στην περίπτωση του φυγόκεντρου ρυθμιστή θα επεξεργαστείτε αρχικές συνθήκες του διανύσματος κατάστασης σε μοίρες και μοίρες/δευτερόλεπτο. Θα πρέπει να τονιστεί πως οι βασικές συναρτήσεις sin, cos, tan κ.λπ. του MATLAB δέχονται ως όρισμα γωνία σε μονάδες rad. Επομένως, πριν από τη χρήση οποιασδήποτε τριγωνομετρικής συνάρτησης απαιτείται μετατροπή των μοιρών και μοιρών/δευτερόλεπτο σε rad και rad/sec. 9

30 3η Εργαστηριακή Άσκηση Ανάλυση και μοντελοποίηση μη-γραμμικού συστήματος Επισημαίνεται ότι η εξίσωση κίνησης (3.) καθώς και όλες οι δυναμικές εξισώσεις που προκύπτουν από αυτήν εμπλέκουν γωνίες και ρυθμούς μεταβολής γωνιών σε rad και rad/sec αντίστοιχα. Συνεπώς, δεν επιτρέπεται σε καμία περίπτωση να εφαρμοστούν οι εξισώσεις της θεωρίας για τιμές του διανύσματος κατάστασης σε μοίρες και μοίρες/δευτερόλεπτο. Προτείνεται να αποφευχθεί η χρήση των εντολών sind, cosd, tand κ.λπ. οι οποίες δέχονται ως ορίσματα γωνίες σε μοίρες. Προσοχή! Οι γραφικές που θα προκύψουν στα πλαίσια των παρακάτω εργαστηριακών προβλημάτων, καλείστε να εμφανίζουν τα αποτελέσματα σε μοίρες και μοίρες/δευτερόλεπτο Με χρήση λογισμικού Matlab να υλοποιηθεί το γραμμικοποιημένο σύστημα που περιγράφεται από τις εξισώσεις (3.14) γύρω από το σημείο ισορροπίας (x,ω)=(x e,ω e)=([x 1e,x e] T,ω e) με x 1e=φ=35 ο και x e= =0 o /sec. 3.. α) Παρουσιάστε την απόκριση του συστήματος που υλοποιήσατε στο ερώτημα {3.1} σε μοναδιαία βηματική είσοδο. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείστε τη συνάρτηση step κάνοντας χρήση μικρού βήματος χρόνου (π.χ. 0.1sec) και δίνοντας αρκετό χρόνο εξομοίωσης ώστε να φαίνεται η απόκριση στο σύνολο της. Σχολιάστε την απόκριση του συστήματος και επαληθεύστε την τελική τιμή της συγκεκριμένης απόκρισης. β) Επαναλάβετε την παρουσίαση της απόκρισης του ερωτήματος {3..α}, αυτή τη φορά επιλέγοντας ως βήμα χρόνου τα i) 0.5 sec, ii) 0.8 sec, iii) 1.5 sec, iv) 3 sec. Αλλάζει η μορφή της απόκρισης; Αν παρατηρείτε διαφορές, που οφείλονται κατά τη γνώμη σας; 3.3. Κάνοντας χρήση της συνάρτησης lsim, παρουσιάστε τη μοναδιαία βηματική απόκριση του γραμμικοποιημένου συστήματος του φυγόκεντρου ρυθμιστή γύρω από το σημείο ισορροπίας (x,ω)=(x e,ω e)=([x 1e,x e] T,ω e) με x 1e=φ=30 ο και x e= =0 o /sec, για αρχικές καταστάσεις δx 0=[δφ 0,δ 0 ]=[40 ο, 0 ο /sec] και με τελικό χρόνο εξομοίωσης τα 80 sec. Ποιά τα πλεονεκτήματα της εντολής αυτής έναντι εντολών υπολογισμού και σχεδιασμού απόκρισης που είχατε μάθει μέχρι τώρα; 3.4. Κάνοντας χρήση της συνάρτησης lsim υλοποιήστε βηματική απόκριση γύρω από το σημείο ισορροπίας (x,ω)=(x e,ω e)=([x 1e,x e] T,ω e) με i) x 1e=φ=70 ο και x e= =0 o /sec, ii) x 1e=φ=89.9 ο και x e= =0 o /sec, iii) x 1e=φ=90 ο και x e= =0 o /sec, iv) x 1e=φ=90.1 ο και x e= =0 o /sec. Σε όλες τις αποκρίσεις κάντε χρήση μηδενικών αρχικών καταστάσεων δx 0=[δφ 0,δ 0 ]=[0 ο, 0 ο /sec] και τελικό χρόνο εξομοίωσης τα 60 sec. Τι παρατηρείτε στην απόκριση του συστήματος και σε ποιον παράγοντα κατά τη γνώμη σας οφείλεται αυτό; 30

31 3η Εργαστηριακή Άσκηση Ανάλυση και μοντελοποίηση μη-γραμμικού συστήματος 3.5. Κάνοντας χρήση της συνάρτησης lsim και μηδενικού σήματος εισόδου, παρουσιάστε την απόκριση του γραμμικοποιημένου συστήματος του φυγόκεντρου ρυθμιστή γύρω από το σημείο ισορροπίας (x,ω)=(x e,ω e)=([x 1e,x e] T,ω e) με x 1e=φ=70 ο και x e= =0 o /sec, με αρχικές καταστάσεις τις δx 0=[δφ 0,δ 0 ]=[60 ο, 10 ο /sec] και δίνοντας αρκετό χρόνο εξομοίωσης ώστε να φαίνεται η απόκριση στο σύνολο της. Είναι αναμενόμενη η απόκριση του συστήματος; 3.6. Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση impulse απεικονίστε την κρουστική απόκριση του γραμμικοποιημένου συστήματος του φυγόκεντρου ρυθμιστή γύρω από το σημείο ισορροπίας (x,ω)=(x e,ω e)=([x 1e,x e] T,ω e) με: i) x 1e=φ=15 ο και x e= =0 o /sec, ii) x 1e=φ=40 ο και x e= =0 o /sec. iiι) x 1e=φ=87 ο και x e= =0 o /sec. Ορίστε αρκετό χρόνο εξομοίωσης ώστε να φαίνεται η απόκριση στο σύνολο της. Τι παρατηρείτε; 3.7. Κατασκευάστε αρχείο τύπου συνάρτησης (Function M-File) στο οποίο θα ορίσετε τις παραμέτρους (b, m, L) του συστήματος του φυγόκεντρου ρυθμιστή καθώς και το μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων (3.4) που το περιγράφει. Κάνοντας χρήση της εντολής επίλυσης μη-γραμμικών εξισώσεων ode3 (η οποία θα καλεί τη συνάρτηση που δημιουργήσατε) να παρουσιάστε τη μηδενική απόκριση του συστήματος με αρχικές καταστάσεις τις x 0=[φ 0, 0 ]=[60 ο, 10 ο /sec]. Συγκρινετε την απόκριση αυτή με την αντίστοιχη του γραμμικοποιημένου συστήματος του ερωτήματος {3.5} Έστω το γραμμικοποιημένο σύστημα φυγόκεντρου ρυθμιστή γύρω από το σημείο ισορροπίας (x,ω)=(x e,ω e)=([x 1e,x e] T,ω e) με x 1e=φ=70 ο και x e= =0 o /sec. Να γίνει αναγνώριση του συστήματος με βάση τα παρακάτω bode (το αντίστοιχο figure υπάρχει διαθέσιμο στην ενότητα του μαθήματος στο e-class με τίτλο Exercise_3_Bode.fig) και να βρεθούν οι τιμές των b, m και L παραμέτρων του συστήματος. 31

32 3η Εργαστηριακή Άσκηση Ανάλυση και μοντελοποίηση μη-γραμμικού συστήματος Υπενθυμίζουμε πως το σύστημα του φυγόκεντρου ρυθμιστή ανήκει στην οικογένεια των SIMO συστημάτων καθώς περιγράφεται από μία είσοδο και δύο εξόδους. Επομένως το πρώτο bode αφορά τη σχέση μεταξύ της εισόδου δω με την πρώτη έξοδο δφ, ενώ το δεύτερο αφορά τη σχέση μεταξύ της εισόδου δω με τη δεύτερη έξοδο δ. Σημείωση: Αφού αναγνωρίσετε τα υποσυστήματα αυτά, θα πρέπει να ανατρέξετε στην πρώτη άσκηση όπου αναλύεται ο τρόπος ορισμού ενός SIMO συστήματος σε μορφή ενός tf object. Προαιρετική Άσκηση: 3.9. Αναγνωρίστε το σύστημα η μοναδιαία βηματική απόκριση του οποίου σας δίνεται στο αρχείο Exercise_3_Step_Response.txt. Το αρχείο, το οποίο υπάρχει διαθέσιμο στην ενότητα του μαθήματος στο e-class, περιέχει δύο στήλες δεδομένων: η πρώτη στήλη αφορά το χρόνο και η δεύτερη την έξοδο του συστήματος. Για τη φόρτωση του αρχείου στο workspace του MATLAB να γίνει κατάλληλη χρήση της εντολής load ενώ για τη σωστή αναγνώριση του συστήματος θα πρέπει να λάβετε υπόψη σας τη θεωρία φίλτρων [30] Σημείωση: Η εκτέλεση της προαιρετικής άσκησης μετράει θετικά στο βαθμό της αναφοράς. Η μή εκτέλεση τους δεν έχει αρνητική επίδραση. 3

33 4Η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 4.1. Γραφική αναπαράσταση του φυγόκεντρου ρυθμιστή. και απλοποιημένη γεωμετρική ανάλυση Σκοπός της παρούσας άσκησης είναι η εισαγωγή στις μεθόδους μοντελοποίησης και ελέγχου μη-γραμμικών συστημάτων κάνοντας χρήση του λογισμικού MATLAB. Όπως και στην 3η εργαστηριακή άσκηση, το σύστημα προς μελέτη παραμένει ο φυγόκεντρος ρυθμιστής, ο οποίος επιλέχθηκε χάριν της απλότητας της ανάλυσης του και με απώτερο σκοπό να αποτελέσει τη βάση της λογικής που χρησιμοποιείται για τη μοντελοποίηση και τον έλεγχο των περισσότερων μη-γραμμικών συστημάτων. Η γραφική αναπαράσταση, καθώς και η απλοποιημένη γεωμετρική ανάλυση των δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα του φυγόκεντρου ρυθμιστή [6] παρουσιάζονται στο Σχήμα 4.1. Παρακάτω ακολουθεί υπενθύμιση μέσω περιληπτικής παρουσίασης των βασικών βημάτων ανάλυσης και μοντελοποίησης του συγκεκριμένου μη-γραμμικού συστήματος. Για περαιτέρω πληροφορίες ανατρέξτε στην 3η εργαστηριακή άσκηση. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Εάν η κεντρική ράβδος (άξονας) του ρυθμιστή περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, τότε οι ράβδοι στις οποίες συνδέονται οι σφαίρες σχηματίζουν γωνία φ με τον κατακόρυφο άξονα. Με uw συμβολίζεται η γραμμική ταχύτητα των σφαιρών, ενώ με r συμβολίζεται η ακτίνα του κύκλου κατά μήκος του οποίου περιστρέφονται οι σφαίρες. Επομένως, uw=ωr με r=lsinφ. Η εξίσωση κίνησης της σφαίρας παρουσιάζεται παρακάτω: 33