ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Transcript

1 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν + c + c 7. d εφ +c συν ln + c 8. d σφ + c ηµ + + c + ηµ + c, 9. d. d + c + c ln ν οι συνρτήσεις f κι g έχουν πράγουσ σ έν διάστηµ, τότε λ f ( ) d λ f ( ) d, ( ( ) g( )) d f ( ) d+ f + g( ) d 87

2 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης + 4 d d d 88

3 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Ρ εττρέπουµε την συνάρτηση: Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: ( 5+ ) d ( ) d ( ηµ συν ) d + d ( ) λf ( ) d λ f ( ) d. + + d + d [ f ( ) ± g( )] d f ( ) d± g( ) d 89

4 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Ρ εττρέπουµε την συνάρτηση: Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: d d + εφ d εφ ln ( ) +. d εφ+ 8 f '( ) d f c f ( ) d 9

5 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Ρ 4 (Πργοντική) εττρέπουµε την συνάρτηση: Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: d ( + ) d + d ηµ d ( + + ) ln d συν 4d (ln ) d ηµ f ( ) g'( ) d f ( ) g( ) f '( ) g( ) d d + d συν + συν d ηµ ηµ ( ) d. 9

6 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Ρ 5 (ε ντικτάστση) εττρέπουµε την συνάρτηση: Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: ( )( ) + d + ( + + 5) 6 ( + ) συν. f ( g( )) g'( ) d f ( u) du, u g( ), du g '( ) d d d d d 9

7 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ηµ d συν ln + d ln + d + 9

8 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Ρ 6 P( ) d ν P( ), λύνετι µε διάσπση. d, λύνετι θέτοντς u p du d ν ( p) P( ) d ( ). Q i. ν ο θµός του P() είνι µικρότερος του θµού του Q() τότε µεττρέπουµε το Q( ) a( p )( p )...( p k ) κι θ έχουµε P( ) A A Ak Q( ) ( p ) ( p ) ( p ) k. έλος υπολογίζουµε τ ii. A, A,..., k A κι η εύρεση του ολοκληρώµτος εύρεση της νές µορφής A A k d+ d d ( p ) ( p ). ( pk ) A P( ) d Q( ) νάγετι στην ν ο θµός του P() είνι µεγλύτερος ή ίσος του θµού του Q() τότε εκτελούµε τη διίρεση P( ) d Q( ) P( ) Q( ) νάγετι στην εύρεση της νές µορφής κι η εύρεση του ολοκληρώµτος u( ) π ( ) d+ d. Q( ) Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: d ( ) + d + 4+ d + ( ) d 94

9 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ( ) d d d ( 5) + d 95

10 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Ρ 7 ( οι εκθέτες ηµιτόνου κι συνηµιτόνου είνι άρτιοι) Χρησιµοποιούµε τους τύπους ποτετργωνισµού: συν + συν συν ηµ, συν, εφ + συν, + συν σφ συν κι επίσης Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ d ηµ d συν 4 d 96

11 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Ρ 8 ( οι εκθέτες ηµιτόνου κι συνηµιτόνου είνι περιττοί) Χρησιµοποιούµε τους τύπους: ηµ συν Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: συν d 5 ηµ d συν d +, κι γράφουµε το : k + k ( ) k ( ) k κι θέτουµε u ηµ κι συν συν συν συν συν ηµ συν συνεχίζουµε χρησιµοποιώντς µέθοδο ντικτάστσης ή ντίστοιχ k + k ( ) k ( ) k κι θέτουµε u συν. ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ συν συν 97

12 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Ρ 9 (γι γινόµεν τριγωνοµετρικών) Χρησιµοποιούµε τους τύπους: ηµσυν ηµ συνσυν συν ( ) + συν ( + ) ηµηµ συν ( ) συν ( + ) ηµσυν ηµ ( + ) + ηµ ( ) συνηµ ηµ ( + ) ηµ ( ) κι έτσι συνεχίζουµε µεττρέποντς το ολοκλήρωµ γινοµένου σε άθροισµ ολοκληρωµάτων. Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: συνσυνd ηµ 4ηµ d ηµ συνd ηµ συν 4 d 98

13 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Ρ (χρησιµοποιώντς νγωγικό τύπο γι συνρτήσεις που περιέχουν εκθέτη v N * ) κφράζουµε το ολοκλήρωµ I ν συνρτήσει του I ν. υτό γίνετι σε περιπτώσεις που δεν µπορούµε ν υπολογίσουµε κτευθείν το ολοκλήρωµ. Πρδείγµτ:. υπολογίσετε το πρκάτω ολοκλήρωµ: ν ηµ, N ν I d v κι έπειτ ηµ d ν I ln d, ν v N ν κι έπειτ ln d * * 99

14 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Ρ ΡΩ ο όριο του θροίσµτος S ν, δηλδή το ν lim f ( ξκ ) () υπάρχει στο R ν κ κι είνι νεξάρτητο πό την επιλογή των ενδιάµεσων σηµείων ξ κ. ο πρπάνω όριο () ονοµάζετι ορισµένο ολοκλήρωµ της συνεχούς συνάρτησης f πό το στο, συµολίζετι µε ολοκλήρωµ της f πό το στο. ηλδή, f ( ) d lim f ( ξκ ) ν πεκτείνοντς τον ορισµό γι τις περιπτώσεις που είνι ΩΡ ο Έστω κι γενικά ΩΡ ο ν κ f ( ) d f ( ) d f ( ) d f, g σ υ ν ε χ ε ί ς συνρτήσεις στο [, ] f ( ) d λ λ f ( ) d [ ( ) + g( )] d f ( ) d+ f g( ) d [ f ( ) + µg( )] d λ f ( ) d+ µ λ g( ) d κι f ) d ( κι διάζετι > ή, ως εξής: λ, µ R. ότε ισχύουν ν η f είνι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστηµ κι, γ,, τότε ισχύει ( ) d f ( ) d+ γ f f ( ) d γ

15 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΩΡ ν f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ κι είνι έν σηµείο του, τότε η συνάρτηση F ( ) f ( t) dt,, είνι µι πράγουσ της f στο. ηλδή ισχύει: Πρτηρήσεις: f ( t) dt f ( ), γι κάθε a.. πό το πρπάνω θεώρηµ κι το θεώρηµ πργώγισης σύνθετης συνάρτησης προκύπτει ότι:. ντίστοιχ προκύπτει ότι: g() h() f(t) dt- f(t) dt f ( t) dt f ( g( )) g ( ) g(), g() a h() a f(t) dt f(g())g' () f(h())h' () ΩΡ (εµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού) Έστω f µι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστηµ [, ]. ν G είνι µι πράγουσ της f στο [, ], τότε ι πράδειγµ, 9 d 4 f ( t) dt G ( ) G ( ) π π ηµ d [ συν] συνπ+ συν d [ln ] ln ln.

16 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης έθοδοι ολοκλήρωσης I. Πργοντική τύπος της ολοκλήρωσης κτά πράγοντες γι το ορισµένο ολοκλήρωµ πίρνει τη µορφή όπου ) g ( ) d [ f ( ) g( )] f f g ( ( ) g( d, f ), είνι συνεχείς συνρτήσεις στο, ] ι πράδειγµ, ς υπολογίσουµε το ολοκλήρωµ II. ντικτάστσης όπου f g κι g( ) I π / π / ( ηµ ) d [ ηµ ] π / ( ) [ ηµ ] π / π / π / [ ηµ ] + [ συν π π. ηµ d ] π / f ( g( )) g ( ) d f ( u) du, u u π / ηµ d, είνι συνεχείς συνρτήσεις, g() u, u g( ). ι πράδειγµ, ς υπολογίσουµε το ολοκλήρωµ [. συνd. Έχουµε: u, du g ( ) d I ln d Έχουµε: I ln (ln ) d. Aν θέσουµε u ln, τότε du (ln ) d., ln u κι u ln. ποµένως, u I udu.

17 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης. Έστω η συνάρτηση g( t) t. ρεθεί το πεδίο ορισµού των: f ( ) g( t) dt f ( ) g( t) dt ln f ( ) g( t) dt. ρεθεί η πράγωγος των συνρτήσεων: i. ii. iii. f ( ) ηµ (ln t) dt + ( ) ( ) f t t dt t f ( ) dt iv. v. vi. vii. f ( ) εφ tdt ln f ( ) συν tdt f ( ) ln ( t ) dt f ( ) ηµ tdt viii. f ( ) ( ln udu) tdt

18 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης. ρεθεί η πράγωγος των συνρτήσεων: b i. F( ) f ( + t) dt ii. iii. iv. a F( ) tf ( t) dt F( ) f ( t) dt, F( ) f ( ) dt, t 4. ποδειχθεί ότι: ( ) ( + ) b a b f d f a b d 5. υπολογίσετε την τιµή των ολοκληρωµάτων που κολουθούν: i. ii. π I ηµ d I ln d a iii. iv. v. 4 ln( ) I d I I π 4 4 συν π 5 d 4+ d π ηµ vi. I 6 + d + + 4

19 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης vii I7 ( + 4) d viii. i.. i. I8 + d I 9 (ln ) 4 d 6 I ( ) ( + ) d I d Έστω η συνάρτηση g( ) f ( ), όπου f συνάρτηση πργωγίσιµη στο R. ν f ( ), ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ. I( a) g( ) d, a R a (Πνελλήνιες εξετάσεις 7/5/4) 7. Έστω f συνάρτηση πργωγίσιµη στο [, ]κι γνησίως ύξουσ. ν f ( ) [, ] κι θεωρήσετε γνωστό ότι η f συνεχής στο [, ] ν δείξετε ότι : a f ( ) d+ f ( ) d. 8. µελετηθεί ως προς τ κρόττ κι τ σηµεί κµπής η f ( ) ( t t) dt. 9. µελετηθεί ως προς την µονοτονί η. υπολογίσετε το όριο : 4. υπολογίσετε το όριο : f ( ) t lim t t( ) dt lim + ηµ. t t+ 5 dt dt. t+ dt t κι ν ρεθεί το lim f ( ). +. ποδείξετε ότι το όριο : lim + + t + 4 dt t

20 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης. δείξετε ότι η ηµ π tdt είνι στθερή. F( ) + 4. Έστω η συνάρτηση f µε συνεχή πράγωγο γι την οποί ισχύει f '( ) + f ( ) > γι κάθε >. ν ( ) διάστηµ (, ). ( ) f, ν δειχθεί ότι η εξίσωση + f t dt, έχει µονδική ρίζ στο 5. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[, ] R κι ισχύει υπάρχει ξ (, ) : f ( ξ) + lnξ. f ( ) d. ποδείξετε ότι 6. Έστω οι συνεχείς συνρτήσεις f, g : (, + ) R γι τις οποίες ισχύει g ( t ) f ( t ) γι κάθε >. f ( ) dt, g( ) dt i. ποδείξετε ότι οι συνρτήσεις f, gείνι ίσες. ( ) ii. ποδείξετε ότι η συνάρτηση h µε ( ) f h, > είνι στθερή κι iii. ν ρείτε τον τύπο της f. ρείτε το όριο: lim + f ( ) ηµ 7. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[, + ) R γι την οποί ισχύει i. ποδείξετε ότι η συνάρτηση g :[, + ) Rµε τύπο ελάχιστο το. ii. ποδείξετε ότι f ( ) > γι κάθε. 8. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[, + ) R γι την οποί ισχύει γι κάθε. f ( ) i. ποδείξετε ότι γι κάθε > ισχύει f ( ) ln g f f f ( ) f ( ) f ( γ) f ( ) > γ f ( t) f ( ) > dt. t g( ) f ( ) + + κι ν.δ.ο. f ( ) ln ii. ρείτε το µέγιστο της συνάρτησης g µε ( ) ( ) ( ) γι κάθε >. iii. ν < < < γ ν ποδείξετε ότι ισχύει. f ( t) dt t έχει t+ dt f ( t ) t( + ) 6

21 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης EΒ ΠΠ ΧΩΡ I. µδόν χωρίου που ορίζετι πό µι συνάρτηση: E Ω ( ) f ( ) d Πρκάτω λέπουµε πως υπολογίζουµε το εµδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της συνεχούς f, τις ευθείες στις περιπτώσεις που:. ν f ( ) γι κάθε [, ] τότε: E ( Ω) f ( ) d. ν f ( ) γι κάθε [, ] τότε: E ( Ω ) f ( ) d, κι τον άξον. ν η f έχει στθερό πρόσηµο στο [,] τότε λύνουµε την εξίσωση f ( ) στο διάστηµ [,] κι έστω ρ, ρ, ρ οι ρίζες της. το κάθε υποδιάστηµ που χωρίζετι το [,] η f είνι µόνο θετική ή µόνο ρνητική. κεί που η f είνι θετική το ολοκλήρωµ θ έχει θετικό πρόσηµο, ενώ εκεί που η f είνι ρνητική το ολοκλήρωµ θ έχει ρνητικό πρόσηµο. Έτσι το εµδόν του πρκάτω χωρίου θ είνι: ρ ρ ρ E( Ω) f ( ) d+ f ( ) d f ( ) d+ f ( ) d ρ ρ ρ 7

22 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ι πράδειγµ, το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της g ( ) κι τον άξον E ( Ω) ( ) d ( ) d 4. (χ. ) είνι ίσο µε ι πράδειγµ, ς υπολογίσουµε το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f ) ( κι τις ευθείες,. (χ. 4). ρχικά ρίσκουµε τις ρίζες κι το πρόσηµο της f () στο διάστηµ,] πειδή έχουµε τον κόλουθο πίνκ: f ( ) ( ) ( )( + ), µάνοντς, τώρ, υπόψη τον πρπάνω πίνκ, έχουµε f ( ) f ( ) d+ f ( ) d+ [. E ( Ω) f ( ) d ) d+ ( ) d+ ( ( ) d f () y O Ω - (χ. ) y + 8

23 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ι πράδειγµ, ς υπολογίσουµε το εµδόν του κυκλικού δίσκου y ρ +. ο ηµικύκλιο C είνι γρφική πράστση της συνάρτησης φού γι y > είνι f ( ) ρ, [ ρ, ρ], + y ρ y ρ. ν E είνι το εµδόν του ηµικυκλίου, τότε E πειδή f ( ) γι κάθε [ ρ, ρ], έχουµε E. ρ E y ρ ρ y ρ (c ) ρ (c ) πειδή Έτσι, έχουµε είνι ρ ρ ρ ρ ρ, έχουµε ρ π π ρηµ θ,, π θ. ποµένως, Άρ πρ. π / d. () π π. ποµένως, υπάρχει θ, τέτοιο, ώστε ηµ θ. () ρ θ, οπότε d ρσυνθdθ. πιπλέον, γι ρ είνι π / ρ ρ ηµ θ ρσυνθdθ ρ ηµ θ συνθdθ π / συν θ συνθdθ ρ συν π / π / π / π / π / ρ θdθ (πειδή συν > π / π / συν ηµ + θ θ θ πρ ρ dθ ρ π / + 4 π /. θ ) π θ κι γι ρ ε τον ίδιο τρόπο ποδεικνύουµε ότι το εµδόν της έλλειψης + y είνι ίσο µε π. 9

24 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ εµδά του χωρίου που ρίσκετι µετξύ της γρφικής πράστσης της f, του άξον ' κι των ευθειών ή της ευθείς που δίνετι κάθε φορά: π f ( ) συν,, i. ii. iii. iv. v. vi. f ( ) +,, f ( ), f ( ) +,, > 4 f ( ),, f ( ) κι τον άξον ' vii. f ( ),, 9 π viii. f ( ) συν,,, 8κι τον άξον y' y.

25 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης II. µδόν χωρίου που ορίζετι πό δυο συνρτήσεις: E( Ω) f ( ) g( ) d Πρκάτω λέπουµε πως υπολογίζουµε το εµδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις της συνεχούς f,g κι τις ευθείες στις περιπτώσεις που:, κι τον άξον. ν f ( ) g( ) γι κάθε [, ] τότε: E ( Ω) [ f ( ) g( )] d. ν f ( ) g( ) γι κάθε [, ] τότε: E ( Ω ) [ f ( ) g ( )] d. ν η f-g έχει στθερό πρόσηµο στο [,] τότε λύνουµε την εξίσωση f ( ) g( ) στο διάστηµ [,] κι έστω γ η ρίζ της. το κάθε υποδιάστηµ που χωρίζετι το [,] η f-g είνι µόνο θετική ή µόνο ρνητική. κεί που η f-g είνι θετική το ολοκλήρωµ θ έχει θετικό πρόσηµο, ενώ εκεί που η f-g είνι ρνητική το ολοκλήρωµ θ έχει ρνητικό πρόσηµο. Έτσι το εµδόν του πρκάτω χωρίου θ είνι: γ E( Ω) [ f ( ) g( )] d+ [ f ( ) g( )] d γ

26 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ι πράδειγµ, το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f ( ) + κι g ( ) είνι ίσο µε: E ( Ω) [ f ( ) g( )] d ( + ) d + 9. ι πράδειγµ, ς υπολογίσουµε το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων ( ) f, g ) ( κι τις ευθείες,. (χ. ). ρχικά ρίσκουµε τις ρίζες κι το πρόσηµο της διφοράς f ( ) g( ) στο διάστηµ,] πειδή έχουµε τον κόλουθο πίνκ: f ( ) g( ) ( ) ( )( + ), f ( ) g( ) + µάνοντς, τώρ, υπόψη τον πρπάνω πίνκ, έχουµε f ( ) g( ) ( g( ) f ( )) d+ ( f ( ) g( )) d+ E ( Ω) ( g( ) f ( )) d Ω O y y y y y y [. ) d+ ( ) d+ ( ( ) d

27 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ι πράδειγµ, ς υπολογίσουµε το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f ( ) ηµ, g ) συν ( κι τις ευθείες κι π. ρχικά ρίσκουµε τις ρίζες κι το πρόσηµο της διφοράς f ( ) g( ) στο διάστηµ [, π ]. το διάστηµ υτό έχουµε f ( ) g( ) ηµ συν εφ π ή 4 5π 4 ποµένως, γι το πρόσηµο της διφοράς f ( ) g( ) ηµ συν π 4 f ( ) g( ) µάνοντς, τώρ, υπόψη τον πίνκ υτόν, έχουµε π ( Ω) f ( ) g( ) d π / 4 ( ηµ + συν) d+ (ηµ συν) d+ ( ηµ + 5π / 4 π / 4 π 5π / 4 π / 4 5π / 4 [ συν + ηµ ] + [ συν ηµ ] π / 4 + [ συν+ ηµ έχουµε τον κόλουθο πίνκ: 5π 4 + ] π 5π / 4 συν) d y π/4 yηµ π π yσυν 5π/4 π ι πράδειγµ, θ ρούµε το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f ( ) ln, τον άξον των κι την εφπτοµένη της f C στο σηµείο (, ) A.

28 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης εξίσωση της εφπτοµένης της πειδή ε : y f ( )( ) f ( ) (ln ). (), έχουµε ποµένως, η () γράφετι: C στο σηµείο A (,) είνι f f ( ). y ( ) y. ο ζητούµενο εµδόν είνι ίσο µε το εµδόν του τριγώνου µείον το εµδόν του χωρίου που ορίζετι πό τη Πρδείγµτ: C f τον άξον E κι τις ευθείες d κι, δηλδή [ ln ] d ln d [ ln ] + [ ]. υπολογίσετε τ εµδά του χωρίου που ρίσκετι µετξύ της γρφικής πράστσης της f,g κι των ευθειών ή της ευθείς που δίνετι κάθε φορά:. y ε yln i. ii. iii. iv. f ( ), g( ),, f ( ) + +, g( ),, f ( ), g( ),, 5 7 f ( ) ( )ln, g( ),, + + 4

29 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης. υπολογίσετε τ εµδά του χωρίου που περικλείοντι πό τις γρφικές πρστάσεις της f,g. i. ii. f ( ), g( ) f ( ), g( ) 5

30 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΠΠ. εωρούµε τη συνάρτηση i. δείξετε ότι f είνι -. f ( ) + ( ), ii. δείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση f της f κι ν ρείτε τον τύπο της. iii. ρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f κι f µε την ευθεί y. iv. υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f.. εωρούµε τη συνάρτηση + + f ( ), (Πνελλήνιες εξετάσεις 6) i. ρείτε τ, ώστε η γρφική πράστση της f ν έχει πλάγι σύµπτωτη στο + την ευθεί ε : y. ii. ι, -: ρείτε τ διστήµτ µονοτονίς της f, τ κρόττ κι τ διστήµτ που η f είνι κυρτή ή κοίλη. υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, την ευθεί ε, τον άξον. εωρούµε τη συνάρτηση f ( ) ln i. µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονί ii. ρείτε το σύνολο τιµών της f. y' yκι την ευθεί. iii. δείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση f της f κι ν ρείτε τον τύπο της iv. υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τους άξονες ', y ' y κι την ευθεί. 6

31 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ( ) f ( ) + tf t dt, > 4. Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο (, + ) γι την οποί ισχύει i. δείξετε ότι f είνι πργωγίσιµη στο (, + ). ii. δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είνι: iii. ρείτε το σύνολο τιµών της f. + ln f ( ), > iv. ρείτε τις σύµπτωτες της γρφικής πράστσης της f. v. υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον ' κι τις ευθείες,. 5. Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο R γι την οποί ισχύει i. δείξετε ότι f είνι πργωγίσιµη στο R. t ii. δείξετε ότι η συνάρτηση g( t) ( f ( t)) + t είνι στθερή στο R. iii. δείξετε ότι ο τύπος της f είνι: f ( ) + ( ), R ( ) ( ), R f f t dt iv. ρείτε το σύνολο τιµών της f. v. υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον ' κι τις ευθείες,. 6. Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο R γι την οποί ισχύουν: i. ii. f ( ), R f ( ) tf ( t) dt, R g( ), R f ( ) iii. Έστω επίσης η συνάρτηση που ορίζετι πό τον τύπο δείξετε ότι: i. f '( ) f ( ), R ii. δείξετε ότι η συνάρτηση g είνι στθερή. ( ), R + iii. δείξετε ότι ο τύπος της είνι f iv. ρείτε το όριο f ηµ lim ( ( ) ). + (Πνελλήνιες εξετάσεις ) 7

32 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης 7. Έστω η πργωγίσιµη συνάρτηση f στο R γι την οποί ισχύει η σχέση: f ( ) f '( ), R κι f ( ). i. δείξετε ότι ii. ρεθεί το + f ( ) ln( ). f ( t) dt lim. ηµ iii. ίνοντι οι συνρτήσεις είξτε ότι h( ) g( ) R. 7 5 h( ) t f ( t) dt, g( ) 7. 5 iv. δείξετε ότι η εξίσωση ( ) έχει κριώς µι λύση στο t f t dt 8 (, ). (Πνελλήνιες εξετάσεις 5) 8. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύουν οι σχέσεις: ( ) b κάθε Rκι f ( ) d, a, b R. δείξετε ότι a b a. f γι 9. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, + ) R µε f ( ) > γι την οποί ισχύει f ( ) + f ( ) dt t t i. δείξετε ότι f ( ), (, + ) ii. µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί κι κρόττ iii. ρείτε σύνολο τιµών της f. iv. ρείτε το lim f ( ) ηµ + 8

33 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R µε f ( ). ν z C γι κάθε Rγι την οποί ισχύει t z 5i f t dt z 5i dt + ( ) + + ( ) i. ρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z στο µιγδικό επίπεδο. ii. iii. ρείτε το τύπο της συνάρτησης h που έχει γρφική πράστση την κµπύλη του προηγούµενου γεωµετρικού τόπου. ρείτε το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό την γρφική πράστση της συνάρτησης H( ) h( t) dt, τους άξονες ', y ' y κι την ευθεί.. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, + ) R γι την οποί ισχύει 4 t + t f ( ) dt ln + 4 i. δείξετε ότι ii. f ( ) ln + µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, κρόττ κι τέλος ν ρείτε τις ρίζες κι το πρόσηµό της. iii. ρείτε την εφπτόµενη ε της C f στο σηµείο κµπής της. iv. ρεθεί το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό την γρφική πράστση της f την ευθεί ε κι την ευθεί.. Έστω η πργωγίσιµη συνάρτηση f :[, + ) R γι την οποί ισχύει ln f ( ) γι κάθε. i. ρείτε την εφπτόµενη ε της C f στο σηµείο ii. ρείτε το όριο ( ) ln lim f t dt iii. ν το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό την γρφική πράστση της f, τον ' κι την ευθεί είνι E, ν δείξετε ότι E. 9

34 εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R R µε f ( ) i. δείξετε ότι η f ντιστρέφετι +. ii. ρεθεί το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό την γρφική πράστση της f, τον ' κι τις ευθείες,. 4. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) i. µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, κρόττ. + R µε f ( ) ln +. ii. ρεθεί το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό την γρφική πράστση της f, την y, τη κτκόρυφη σύµπτωτη της C fκι την ευθεί iii. δείξετε ότι η f ντιστρέφετι γι > κι ν ρείτε τη τιµή της πράστσης f ( ) ( ) ( ) A f d+ f d f ( ) 5. Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο R γι την οποί ισχύει f t f ( ) ( )( dt), R ( ) t i. δείξετε ότι f είνι πργωγίσιµη στο R. ii. δείξετε ότι ο τύπος της f είνι: f ( ) ( + ), R iii. ρείτε τ σηµεί κµπής της f. (Έστω κι Β της C f ) iv.. υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον ' κι τις ευθείες,. 6. Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο R µε f ( ) > κι έστω ποδείξετε ότι: g( ) tf ( t) dt, i. ii. g( ) < f ( t) dt, > iii. ν tf t dt A B g( ) tf ( t) dt, t, R ( ) tf ( t) dt τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) : g( ξ) f ( ξ).. (Προσοµοίωση φροντιστηρίων 6)