Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:"

Transcript

1 Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων ολοκλήρωσης.. Ν επιλύει προλήμτ στ οποί δίνετι ο ρυθμός μετολής ενός μεγέθους ως προς έν άλλο κι ζητείτι η συνάρτηση που εκφράζει τη σχέση των δύο μεγεθών. 3. Ν γνωρίζει τις στοιχειώδεις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος κι ν μπορεί ν τις εφρμόζει. 4. Ν γνωρίζει το θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού κι ν μπορεί ν το εφρμόζει στον υπολογισμό πλών ολοκληρωμάτων. 5. Ν υπολογίζει τ εμδά επιπέδων χωρίων που ορίζοντι πό τις γρφικές πρστάσεις συνρτήσεων.

2 . Ολοκληρωτικός λογισμός Τύποι - Βσικές έννοιες ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ : Τύποι - Βσικές έννοιες Πίνκς Αόριστων Ολοκληρωμάτων d = c, c R cd = c + c d = n + c, c R v+ v+ v d = + c, c R Θεώρημ: Αν f συνεχής στο Δ κι, Δ τότε η συνάρτηση F( ) = f() t dt είνι μι πράγουσ της f στο Δ, δηλδή ( ) ( ) () F' = f f t dt f ( ) =. Η συνάρτηση F( ) είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. Θεμελιώδες Θεώρημ Ολοκληρωτικού Λογισμού (Θ.Θ.Ο.Λ.) Αν ( ) F μι πράγουσ της f στο Δ κι f συνεχής στο Δ κι, νήκουν στο Δ τότε: f ( ) d = F ( ) F ( ) = [ F ( )].. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι f( ) τότε το εμδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό την C f (γρφική πράστση της f) τον άξον κι τις ευθείες =, = είνι Ε( Ω) = f( ) d Πρτήρηση Το χωρίο Ω ορίζετι κι ως το σύνολο των σημείων Μ(,y) γι τ οποί ισχύουν κι y f( ).. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι f( ) γι τ [,] τότε το εμδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό την C f τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις =, = είνι Ε( Ω) = [ f( ) ] d. d = + c, c R συνd = ημ+ c, c R ημd = συν + c, c R d = σφ + c, c R ημ d = + c, c R ed e c,c R = + d = εφ + c, c R συν n d = + c,c R

3 Τύποι - Βσικές έννοιες Ολοκληρωτικός λογισμός 3. Ισοδύνμη έκφρση του Ε( Ω ): Το σύνολο των σημείων Μ(,y ) γι τ οποί ισχύουν κι f( ) y. γ. Αν μι συνεχής συνάρτηση f στο [, ] δεν διτηρεί στθερό πρόσημο τότε το εμδόν του χωρίου που ορίζετι πό την C f τις ευθείες =, = κι τον άξον είνι Ε( Ω) = f( ) d. Στο πράδειγμ του σχήμτος είνι: Ε Ω = Ε Ω + Ε Ω + Ε Ω = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ρ ρ = f ( ) d + ( f ( ) ) d + f ( ) d ρ ρ. Το εμδόν του χωρίου που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις δύο συνεχών συνρτήσεων f, g στο [, ] κι πό τις ευθείες =, = είνι Ε( Ω) = f( ) g( ) d. Ειδικότερ:. Αν f( ) g( ), [,] τότε [ ] Ε( Ω) = f( ) g( ) d. Αν f( ) g( ), [,] τότε [ ] Ε( Ω) = g( ) f( ) d γ. Αν η διφορά f( ) g( ) δεν διτηρεί στθερό πρόσημο τότε Ε( Ω) = f( ) g( ) d. Στο πράδειγμ του σχήμτος είνι: Ε( Ω) = Ε( Ω) + Ε( Ω) + Ε( Ω) = 3 ρ ρ ( f( ) g( ) ) d+ ( g( ) f( ) ) d+ ( f( ) g( ) ) d ρ ρ

4 4. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ ο f µ µ µ. F µ f, : µ G( ) F( ) c, c R, f G f µ G( ) F( ) c, c R. µ G( ) F( ) c, µ c R, µ f, : G ( ) ( F( ) c) F ( ) f ( ),. G µ f. F ( ) f ( ) G ( ) f ( ), G ( ) F ( ),., µ µ µ, c, G( ) F( ) c,. f ( ) f - µ,,, : f ( ) d f ( ) d f ( ) d. µ µ ;

5 Βήμ ο Ολοκληρωτικός λογισμός 5. : ( ) ( ) ( ) ( ) f ( d, ( ) ) f ( ) d ( ) f ( ) d. 3 f µ µ µ, F ( ) f ( t) dt,, µ f. : f ( t) dt f ( ),. a µ µ - µ. µµ µ (. µ) : h F ( h) F( ) f ( t) dt µ. f ( ) h, µ h., µ h F( h) F( ) f ( ), h F( h) F( ) F ( ) lim f ( ) h h

6 6. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ ο g() 4 f ( t) dt f ( g( )) g( ), µ - µµ µ µ µ F() f (t)dt F() f F g F g g f g g : g() Fg f ( t) dt f ( g( )) g( ). 5 f µ µ [, ]. G µ f [, ], f ( t) dt G( ) G( ) F ( ) f ( t) dt µ f [, ]. - G µ f [, ], c R -, : G( ) F( ) c () (),, µ : G ( ) F( ) c f ( t) dt c c, c G(). µ, G( ) F( ) G( ) () (),, µ : G ( ) F( ) G( ) f ( t) dt G( ) f ( t) dt G( ) G( ).

7 Βήμ ο Ολοκληρωτικός λογισμός 7. 6,, f g, - µ [, ] µ f ( ) g( ) [, ] f, g. E ( ) ( f ( ) g( )) d. y y=f() y y=g() O () O () µ ( f ( ) d g( ) d ( f ( ). ) ( ) ( ) g( )) d µ, E ( ) ( f ( ) g( )) d. 7,, f g, - µ [, ] µ f ( ) g( ) [, ] f, g. E ( ) ( f ( ) g( )) d. µ, * µ c R : f, g [, ], - f ( ) c g( ) c, [, ].

8 8. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ ο

9 Βήμ ο Ολοκληρωτικός λογισμός 9.

10 3. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ ο Α. Από το σχολικό ιλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αόριστο ολοκλήρωμ -Ασκήσεις υπολογισμού -Προλήμτ σελ. 36, σκήσεις:iv,vi,vii,iv,v3 (Α ομάδ) σελ. 37 σκήσεις: 3,4,7 σελ. 38, σκήσεις:6 (Α ομάδ) σελ , σκήσεις:,3 (Β ομάδ) Ορισμένο ολοκλήρωμ -Ασκήσεις υπολογισμού σελ. 339, σκήσεις: 8,9 σελ. 34, σκήσεις:, σελ. 35, σκήσεις:,4 -Η συνάρτηση f () t dt σελ. 339, σκήσεις:3,5,6 a 3.6 Εμδόν επιπέδου χωρίου σελ. 349, σκήσεις: 3,4 (Α ομάδ) σελ , σκήσεις:,,5,9, (Β ομάδ) σελ. 35, σκήσεις: 5,6 σελ. 353 σκήσεις: 8,9 -Γενικές σκήσεις σελ. 353 άσκηση -Ερωτήσεις κτνόησης σελ

11 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 3.. Ν ρεθεί η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημ (, + ) γι την οποί ισχύει: () f() = () f ( ) =, γι κάθε > Από την () έπετι ότι: γι κάθε >, ( ) (*) όμως f () = n+ c= c= Άρ η ζητούμενη συνάρτηση είνι ( ) f = d = n + c (*) f = n+, >. Δίνετι η συνάρτηση ( ) ώστε η συνάρτηση ( ) f στο (, + ). n f =, >. Ν ρείτε τις τιμές των, n + g =, > ν είνι ρχική (πράγουσ) της Γι ν είνι η g ρχική της f στο (, + ) πρέπει κι ρκεί γι κάθε >, n n g ( ) = f( ) = n = n n n = ( ) n + = γι κάθε >. Άρ πρέπει = = κι κι = =. Δηλδή (,) = (, )

12 3. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο 3.. Ν ρείτε τους A,B γι τους οποίους ισχύει η σχέση A B + 3 = +, γι κάθε {,}. Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ: d. 3+ A B. 3+ = +, γι κάθε {,} δηλ. = A( ) + B( ), γι κάθε {,} ή = ( A + B) A B, γι κάθε {,}. οπότε A+ B= A = A B = B = 4. d = + d = d + 4 d = + ) 4 3 = n + 4n + c 4. Έστω συνάρτηση f :(,+ ) γι την οποί ισχύουν: () f() = () f ( ) f ( ). Bρείτε την f.. Yπολογίστε το: f ( ) d + =, γι κάθε >. Γι κάθε >, f ( ) + f ( ) = ( f ( ) ) = οπότε ( ) γι κάθε > ή ( ) Άρ ( ). ( ) + f =, > f = d = + c, f + c =, > (*) όμως f() = + c= c=. + f d = d = + d = + n + c

13 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός Έστω f :(,+ ) συνάρτηση πργωγίσιμη στο (, + ) κι τέτοι ώστε: ( ) f e d = + c, c. Ν ρεθεί το: = ( ). Ν προσδιορισθεί η f. I e f d υποθ ef( ) ( c). = ( ) = ( ) ( ) I e f d e f e f d ( ) = ef c. Αφού ( ) = + = f e d = + c, έπετι ότι f( ) e = ( + c ), γι κάθε >, δηλ. ( ) = ( + ) γι κάθε > ή ( ) f e ( n) f e n, = +, γι κάθε >. 6. Έστω f συνάρτηση ορισμένη κι συνεχής στο R. Αν η F είνι μί ρχική f + d = F + + c, της f στο R, δείξτε ότι: ( ) ( ) Αφού F μί ρχική της f στο R έπετι ότι ( ) ( ) + = t f d = F + c () οπότε: f ( + ) d = f () t dt = () = () + = ( ) d= dt () f t dt Ft c F + + c 7. Ν ρεθούν οι συνεχείς συνρτήσεις f: που ικνοποιούν τη συνθήκη : ( ] ( ),, f ( n) =,, +, t Θέτοντς n = t έχουμε: f () t = t e, t> t + c, t κι επομένως, ολοκληρώνοντς πίρνουμε: f() t = t e+c, t>

14 34. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο Η πίτηση όμως της συνέχεις της f δίνει: lim f () t = lim f () t δηλ. + c = c Άρ οι ζητούμενες συνρτήσεις είνι: f ( ) + + c, =, που προφνώς επ- e +c, > ληθεύουν την ρχική συνθήκη. 8.. Υπολογίστε το ολοκλήρωμ: ( ). Βρείτε τη συνάρτηση f: + t t e d γι την οποί ισχύει: f ( ) =, γι κάθε e κι της οποίς η γρφική πράστση έχει οριζόντι σύμπτωτη στο + την ευθεί y=. ( ) e d ( ) ( e = ) d ( ) ( ) = e + e + c = e + c, c e γι κάθε (*) Όμως η = e e d =. f ( ) = = ( ) e, γι κάθε οπότε f( ) ( ) e = d= e +c, c f έχει οριζόντι σύμπτωτη στο + την ευθεί y =. Επομένως θ (*) ισχύει: ( ) ( ) lim f = lim e + c = + + lim + c = + e lim + c= + c= c= + e, L Hospital f = e +, Άρ η ζητούμενη συνάρτηση είνι η ( ) 9. Ν ποδείξετε ότι: π6συν π6 ημ π d d = συν συν 6 Είνι: π6 π συν π6 ημ 6 συν ημ d d = d = συν συν συν

15 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 35. π π6 6 συν π = d = d συν = 6.. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] (>) δείξτε ότι: ( ) = ( ) f d f d. Υπολογίστε το ολοκλήρωμ: I= = t. Είνι: f ( ) d = f ( t)( dt) = () π ημ d ημ + συν f t dt = f () t dt o π ηµ π ) ηµ π. Είνι: I= d = d ηµ + συν π π ηµ + συν = π συν d Ι () συν + ημ = Έχουμε: I = I + I () π ημ π συν = d + d ημ+ συν ημ+ συν π π ημ + συν π = d = d = ημ + συν I = π 4. Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη με συνεχή πράγωγο στο [,]. Αν η C f διέρχετι πό τ σημεί Α(,) κι Β(,) ν υπολογίσετε την τιμή του ολοκληρώμτος: ( ( ) + ( )) f f d Επειδή A, ( ) c f ( ) =, κι ( ) ( ) f B, c f = ( ) οπότε ( ( ) ( )) + = ( ) + ( ) f f d f f d ( ( )) ( ) f d f = = = f

16 36. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 4 = f f 4f f κι έστω F μί πρά-. Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση f: γουσ της f στο R. Αν ισχύει: ( t) f( t) dt = F( ) γι κάθε, ν ρεθεί ο τύπος της f. Η δοθείσ σχέση ισοδύνμ γράφετι: () () ( ), γι κάθε f t dt t f t dt = F Με πργώγιση πίρνουμε: ( ) + ( ) ( ) = ( ) f t dt f f f δηλ. () = ( ) (), γι κάθε f t dt f Με νέ πργωγιση έχουμε: Γι κάθε, ( ) ( ) ( ) ( ) f = f f + f = ( ) e ( f ( ) + f ( ) ) = ( ) ef = c ef( ) = c f( ) = () e Η σχέση () γι = δίνει: f( ) = c= ( ), γι κάθε f = = e, e Δηλ. τελικά λόγω της () ο ζητούμενος τύπος της f είνι: ( ) 3. Έστω f πργωγίσιμη συνάρτηση στο R κι τέτοι ώστε: () f ( ), () ( ) Δείξτε ότι η εξίσωση f( ) udu+ e = Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) f = f( ) g u du e, = + έχει μονδική πργμτική ρίζ.

17 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 37. Με πλή επλήθευση διπιστώνουμε ότι: ( ) δηλ. ότι η g έχει ρίζ τον ριθμό. Όμως γι κάθε, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g = u du = u du = g = f f + e > > Άρ η g είνι γν. ύξουσ κι επομένως ο ριθμός θ είνι η μονδική πργμτική ρίζ της g κι κτ επέκτση της δοσμένης εξίσωσης. 4. Έστω < κι f: [, ] συνάρτηση συνεχής με την ιδιότητ ξ ( ). Δείξτε ότι: υπάρχει ( ) ( ) * {} I = f d v N Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) = f ( t) dt I, [, ] γι την οποί π- v ρτηρούμε ότι: g συνεχής στο[, ] g( ) = I v ( ) ( ) I ξ, = f d = I όπου v υποθ. g = f t dt I = I I v v g g = I I I v v Oπότε ( ) ( ) = I + I v v = < v v < I ξ, :g ξ = f t dt = I v ξ Άρ σύμφων με το θ. Bοlzano υπάρχει ( ) ( ) ( ) 5. Έστω f :[, ] πργωγίσιμη κι ντιστρέψιμη συνάρτηση με συνεχή πράγωγο στο [,]. Ν δείξετε ότι: f ( ) d = f ( ) f ( ) tdt ( ()) f f t

18 38. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο Εκτελώντς το μετ/μό f () t u Έτσι = έπετι ότι t = f( u) κι άρ ( ) f ( ) tdt f ( u) = f ( u) du f ( ) f ( f () t ) = ( ) f ( u) f u du dt = f u du. 6. Βρείτε την πργωγίσιμη συνάρτηση f:, ( ) = + t ( ) γι την οποί: γι κάθε f e f t dt. Με την ντ/ση t = u έχουμε du = dt οπότε η δοθείσ σχέση ισοδύνμ γράφετι γι κάθε, ( ) u = ( ) f e f u du ή γι κάθε, ( ) = + u ( ) f e e f u du δηλ. γι κάθε, ( ) = + u ( ) ef e e f udu Πργωγίζοντς τώρ την τελευτί σχέση, έχουμε: γι κάθε, e f ( ) e f ( ) e e e f ( ) + = + + ( ) ( ef = e + ) f ( ) = ( + ) 3 f( ) = + + c (Ι) 3 Όμως πό τη σχέση της υπόθεσης προκυπτει ότι f( ) = κι έτσι πό την (Ι) κτ νάγκη θ είνι c f = +, 3 =. Επομένως ( ) Αν η συνάρτηση f :[, ] είνι ντιστρέψιμη κι πργωγίσιμη με την f συνεχή, δείξτε ότι: f ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) f d f d f f f ( ). Έστω η συνάρτηση: ( ) f, =ηµ + π i. Δείξτε ότι η f είνι ντιστρέψιμη.

19 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 39. π ii. Υπολογίστε το ολοκλήρωμ: f ( ). Θέτοντς ( ) f ( ) d f = t έχουμε = f() t άρ d = f () t dt οπότε: f ( ) d = tf ( t) dt = () () ( ) ( ) ( ) f ( ) κι άρ ( ) ( ) f ( ) f ( ) tf t f t dt ( ) ( ) f d+ f d =f f.i. Γι κάθε [, π ], ( ) [, π ] κι άρ ντιστρέψιμη σ υτό. =f f f t dt f =συν + > δηλ. η f είνι γνησίως ύξουσ στο ii. Λόγω του () ερωτήμτος κι επειδή η f ( ) = ημ+ ντιστρέψιμη, έχουμε: π π f( ) d+ f ( ) d = π ή ( ) ( ) π π δηλδή συν + + f ( ) d = π, π π π ηµ + d+ f d = π επομένως συνπ + π + + f ( ) d = π κι άρ ( ) π f d =π 8. Έστω f: n συνεχής συνάρτηση γι την οποί ισχύει: n * f () t dt, γι κάθε όπου η n N {} Ν ποδείξετε ότι: f( ) = n n Εξ υποθέσεως έπετι ότι: γι κάθε, () n Θεωρούμε τη συνάρτηση: ( ) ( ) n g f t dt, n () f t dt = Η g είνι πργωγίσιμη στο R κι μάλιστ γι κάθε,

20 4. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο n g ( ) = f( ) + n f( n) n Όμως η σχέση () δίνει ότι: γι κάθε, g ( ) = g( ) δηλδή ο ριθμός είνι (εσωτερική) θέση τοπικού μεγίστου της g, κι επομένως (θ. Fermat) g ( ) = f( ) + nf( ) = f( ) ( n ) = f( ) =, (φού n ). 9. Έστω συνάρτηση f: [,c] ( c> ) γι κάθε [,c], f ( ) = f ( c) με την f συνεχή κι τέτοι ώστε: Δείξτε ότι υπάρχει: ξ (,c ): f ( ξ ) = c Από τη δοθείσ σχέση με ολοκλήρωση πίρνουμε: f ( ) d = c f ( c ) c c δηλ. f ( ) f ( d ) = cf ( c) ή cf () c f () c = c f () c οπότε f() c = f() Γι την f λοιπόν πρτηρούμε ότι: f συνεχής στο [ o,c] f πργωγίσιμη στο ( o,c) f( ) = f( c) Άρ σύμφων με το θ. Rolle υπάρχει: ( ) ( ). Έστω f :, [ ],( > ) ξ,c : f ξ = κυρτή συνάρτηση με ( ) ( ) f = f =. Βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της C f στο σημείο της με τετμημένη.. Αποδείξτε ότι: f( ) +, γι κάθε [,]. γ. Δείξτε ότι: f ( ) d >. Η εξίσωση της ζητούμενης εφπτομένης είνι: y f( ) = f ( )( ) δηλ. λόγω των υποθέσων y= +.. Λόγω της κυρτότητς της f στο [,] κι του ερωτήμτος. έπετι ότι: γι κάθε [, ], ( ) f + γ. Από το ) έπετι ότι: ( ) ( + ) f d d = + = + >

21 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 4. *. Έστω συνεχής συνάρτηση f : τέτοι ώστε: t f( ) = + dt, γι κάθε f t () i. Ν ποδείξετε ότι f( ) >, γι κάθε. ii. Ν ρείτε τον τύπο της f. i. Από την υπόθεση διπιστώνουμε ότι: f συνεχής στο κι f( ), γι κάθε t Άρ η f διτηρεί πρόσημο στο R κι επειδή f() = + dt = + = >, f() t έπετι ότι: f( ) >, γι κάθε ii. Από την υπόθεση με πργώγιση προκύπτει: Γι κάθε, f f f f = ( ) = ( ) ( ) = ( ) f( ) ( ) f = + c (Ι) i) 3 Όμως πό την (Ι) γι = έχουμε: f () = + c = + c c= 3 = + = + f f 3 άρ πό την (Ι) έπετι ότι: γι κάθε, ( ) ( ) κι επειδή f( ) >, γι κάθε συμπερίνουμε ότι ( ) f 3 = +... Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [,]κι τέτοι ώστε: f( ), γι κάθε [, ] Αν f( ) d = ν ποδείξετε ότι: f( ) =, γι κάθε [, ]. Αν γι τη συνεχή στο R συνάρτηση f ισχύει: f ( ) d + = f( ) d 3 ν ποδείξετε ότι: f( ) =, γι κάθε [,]

22 4. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο. Υποθέτουμε ότι η f δεν είνι πντού μηδέν στο [,]. Τότε επειδή ( ) κάθε [, ] θ ισχύει: ( ) f( ) =, γι κάθε [, ].. ( ) ( ) ( ( ) ) f, γι f d > άτοπο λόγω της υπόθεσης. Άρ f d + = f d f d = 3. Όμως ( f( ) ), γι κάθε [,] f( ) =, γι κάθε [,] δηλ. f( ) 3. Δίνετι η συνάρτηση ( ) f 3 6 διότι = 3 οπότε λόγω του ) θ είνι: =, γι κάθε [,]. d = + κι η ευθεί () ε :y=( 6 3 ), (, ). Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που ορίζουν η C f κι ο άξονς των.. Ν ρείτε την τιμή του γι την οποί η ευθεί (ε) χωρίζει το Ω σε δύο ισεμδικά χωρί.. ( ) ( ) f = = 3 = = ή = Δηλδή οι ριθμοί κι είνι οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξον των. Το πρόσημο της f φίνετι στον πρκάτω πίνκ: Επομένως το ζητούμενο εμδό είνι: 3 Ε( Ω) = f ( ) d = f ( ) d = ( 3 + 6) d = + 3 = 4τ.μ.. f( ) = ( 6 3) = = ή = Δηλδή οι ριθμοί κι είνι οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με την ευθεί (ε). Το πρόσημο της διφοράς f( ) ( 6 3 ) = φίνετι στον πρκάτω πίνκ.

23 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός Ε Ω = f 6 3 d = d = + = Επομένως το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό την C f κι την () ε είνι: ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως η ( ε) χωρίζει το Ω σε δύο ισεμδικά χωρί ν κι μόνο ν ισχύει : ( ) ( ) 4. Έστω η συνάρτηση ( ) Ε Ω = Ε Ω = = =. f e. Ν υπολογίσετε το εμδό Ε(λ), του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τις ευθείες =,=λ,( λ> ) κι τον άξον των.. Ν ρείτε το lim Ε ( λ. ) λ. Πρτηρούμε οτι η f είνι συνεχής στο [,λ] κι ισχύει: f( ) >, γι κάθε [, λ ]. Επομένως : λ λ λ λ Ελ ( ) = f ( ) d = e d = e e e = + = e e lim Ελ = lim lim lim λ + λ + λ λ e = = = λ + e e λ + e e e. ( ) λ 5. Έστω η συνάρτηση f ( ) = 9 n. Ν ρεθεί το εμδό Ε(λ) του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τον άξον των κι τις ευθείες = κι =λ, ( λ>) E λ = 7. Ν δείξετε ότι υπάρχει μονδικός λ (, e) τέτοιος ώστε: ( ). Πρτηρούμε ότι η f είνι συνεχής στο [,λ] κι επίσης ( ) [, λ ]. λ λ λ f d 9 nd (3 ) nd = 3 Επομένως: Ελ ( ) = ( ) = = f, γι κάθε

24 44. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο λ λ 3 λ 3 3 = 3 n 3 d = 3λ nλ 3 d = λ = 3λ nλ = 3λ nλ λ +. Θεωρούμε τη συνάρτηση: g( λ ) = E( λ) 7 = 3λ 3 nλ λ 3 6, λ [, e] Γι τη g πρτηρούμε ότι : g συνεχής στο [, e ], g() g() e = ( 6)( 3e e 6) = 7( e 6) < Άρ σύμφων με το θεώρημ Bolzano η g έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο (, e )() g λ = 9λ nλ+ 3λ 3λ = 9λ nλ> λ 3 Όμως γι κάθε λ (, e), ( ) Άρ g (,e) (). Από τις () κι ()συμπερίνουμε ότι: υπάρχει μονδικό λ (, e ): g ( λ ) = Ε( λ) 7 = Ε( λ ) = 7 6. Δίνετι η συνάρτηση: f :,π [ ] με f( ) =ηµ +, [, π]. Δείξτε ότι η f είνι ντιστρέψιμη.. Βρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι μετξύ των C f κι Cf -.. Γι κάθε (, π) είνι ( ) f =συν + >, άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο [,π] ( φού είνι συνεχής στο [,π]) κι συνεπώς είνι - δηλδή ντιστρέψιμη.. Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ, έπετι ότι τ σημεί τομής των γρφικών πρστάσεων των f κι f ( ν έι υπάρχουν ) θ ρίσκοντι επί της ευθείς με εξίσωση y =, ουσιστικά δηλδή θ προέρχοντι πό τη λύση της εξίσωσης f( ) = στο [,π]. f = f f = ηµ = = ή =π Έτσι λοιπόν: ( ) ( ) ( ) (φού [, ] π ) κι επομένως, λόγω συμμετρίς των διγρμμάτων των f κι f, ως προς την ευθεί y =, το ζητούμενο εμδό θ είνι: π Ε= f d ( ) π = ηµ d π = ηµ d ( φού γι κάθε [, ] π, ηµ )

25 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 45. = ( συνπ + συν) = 4 7. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο R κι η συνάρτηση: F ( ) = f( tdt, ) R. Ν δείξετε ότι υπάρχει ξ (,) ώστε ( ) ξ. f() t dt = ξf () ξ. Είνι ( ) ( ) F ξ =. F = f t dt, R. Η F είνι πργωγίσιμη στο R ως γινόμενο των πργωγίσιμων στο R συνρτήσεων f ( ) = κι ( ) ( ) f = f t dt. Άρ είνι πργωγίσιμη στο [, ] κι επειδή ( ) ( ) ( ) ισχύει το θεώρημ Rolle στο [, ]. Άρ υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε :. Γι κάθε R F ( ξ) =. είνι : F ( ) = f ( t) dt + f ( ) F =, F = f t dt = κι με = ξ, πίρνουμε: ξ ξ ( ) = ( ) + ( ) = ( ) = ( ) F ξ f t dt ξf ξ f t dt ξf ξ 8. Έστω f συνεχής στο (, + ) κι ( ) Ν ρείτε τον τύπο της f. () tf t f = + dt, > = tf t dt + Είνι: f( ) () ( ) ( ) f tf tdt = ' tf () t dt = ( n) () tf t dt = n + c

26 46. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο Γι = := c,άρ tf () t dt = n. Από () ( ) f = + n = + n 9. Αν ισχύει () f t dt, γι κάθε R στο R. Ν δείξετε ότι υπάρχει: ξ (, ):f ( ξ) =. κι η f είνι πργωγίσιμη Αρκεί ν ποδείξουμε ότι ισχύει γι την f το θεώρημ Rolle στο [, ] κι συγκεκριμέν ρκεί ν ποδείξουμε ότι f() = f() (φού η f είνι πργωγίσιμη στο R). Έχουμε: () () () f t dt + f t dt+ f t dt + f() t dt () f t dt g ( ) + +, R Θέτουμε: g( ) = f() t dt+ f() t dt +, R() Πρτηρούμε ότι g () = κι g () =.Τότε η σχέση () γράφετι: g( ) g() κι g( ) g( ), γι κάθε R Άρ η g προυσιάζει στις θέσεις = κι = τοπικά ελάχιστ κι σύμφων με το θ. Fermat είνι g ( ) Όμως ( ) ( ) ( ) = κι g () =. g = f + f +,γι κάθε R. Οπότε έχουμε : ( ) ( ) ( ) g = f + = f = κι κι g () = f() + f() = f() = Δηλδή f() = f(),οπότε ισχύει το θεώρημ Rolle γι την f στο [,] κι συνεπώς υπάρχει ξ (, ):f ( ξ) =.

27 Βήμ 4 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 47.. Έστω η συνάρτηση f με ( ) nt f = dt, >. Ν δείξετε ότι: t+ ( ) f + f = ( n ), >. Αν f συνεχής στο R με f( ) > κι ( ) ( ) f + tf t dt = () : i. N δείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο R. ii. Ν ρείτε την f. iii. Ν δείξετε ότι: + t / lim te dt =

28 48. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 4 ο 3. Έστω f συνεχής [,3 ], f( [,3] ) [,3] = κι η εξίσωση f() t dt = 4 3 () Ν ποδείξετε πως η () έχει μί ρίζ στο διάστημ (,3) Έστω συνάρτηση g( ) ( ) = f t dt όπου f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (,+ ). Ν δείξετε ότι η g είνι γνησίως ύξουσ στο (,+ ). 5. Δίνετι η συνάρτηση: f( ) = e Ν δειχθεί ότι ο άξονς είνι η μονδική σύμπτωτη της C f. Στη συνέχει ν υπολογιστεί το εμδόν που περικλείετι πό την C f, την

29 Βήμ 4 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 49. σύμπτωτη, τον άξον y y κι την ευθεί = λ, λ >. Ν ρείτε το όριο του πρπάνω εμδού κθώς λ Δίνετι συνάρτηση f:r R ( ( )), της οποίς η κλίση στο τυχίο σημείο,f είνι 4 κι η C f τέμνει τον y y στο σημείο 3. Ν ρεθούν:. Οι εξισώσεις των εφπτομένων της C f στ σημεί που η C f τέμνει τον.. Το εμδόν που περικλείετι πό την C f κι της προηγούμενες εφπτόμενες. 7. Έστω f, g συνρτήσεις ορισμένες κι συνεχείς στο [,]. Αν f( ) g( ) κάθε (,) κι f ( ) = g( ), f ( ) g( ) = με (,) < γι =, ν δειχθεί ότι υπάρχει μον-, η οποί ν χωρίζει το χωρίο που περι- δική ευθεί κλείετι πό την C f κι τη C g σε δύο ισοδύνμ μέρη (σε δύο εμδικά χωρί).

30 5. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 4 ο 8. Το διπλνό διάγρμμ είνι μις συνάρτησης f. Ν ρεθεί ο τύπος της συνάρτησης F( ) = f() t dt κι ν εξετστεί ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ. 9. Αν f συνεχής στο [,], ν δειχθεί ότι:. ( f ) d= f( ) d. Υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε: ξf ( ξ ) = f () ξ. Αν f συνεχής στο [,] κι ( ) f d=. Ν δειχθεί ότι η εξίσωση

31 Βήμ 4 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 5. ( ) f = + έχει λύση στο [,].. Έστω f συνεχής στο R κι () e + f t dt λ γι κάθε R. Ν ρεθεί ο λ ν η C f διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. f = +. Ν μελετηθεί ως προς την μονοτονί κι τ κρόττ.. Δίνετι η συνάρτηση: ( ) + κ+. Ν υπολογιστεί το: im f () t dt, κ > + + κ

32 5. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 5 ο Θέμ ο Α. Αν G είνι μι πράγουσ της συνεχούς συνάρτησης f στο διάστημ [,], ποδείξτε ότι: () t dt = G( ) G( ) f (Μονάδες 6) Β. Ν ντιστοιχίσετε σε κθέν πό τ γράμμτ Α, Β, Γ, Δ ένν ριθμό πό το έως το 6 ώστε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης ν τιριάζει με την πράγωγό της στη δεύτερη στήλη. Στήλη Α Α. f () t dt Β. ημ( t + ) dt Γ. t dt Δ. dt t Στήλη Β. f ( ) f. () t dt + f ( ) 3. ημ( + ) 4. ημ( + ) A B Γ Δ (Μονάδες )

33 Βήμ 5 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 53. Β. Ν χρκτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος).. Αν f () g(), γι κάθε [,], τότε f ( ) d g( ) d (Μονάδες 4). Αν f () >, γι κάθε [,] f κι ( ) d =, τότε = (Μονάδες 5) Θέμ Α. Στο διπλνό σχήμ φίνετι η πράγουσ μις συνάρτησης f, ποι πό τις επόμενες γρφικές πρστάσεις μπορεί ν πριστάνει την f ;

34 54. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 5 ο (Μονάδες ) 4 εφ Β.Υπολογίστε το ολοκλήρωμ: d συν (Μονάδες 3) + Θέμ 3 Α. Ν ρεθεί το όριο: im dt + t (Μονάδες ) Β. Το εμδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του διπλνού σχήμτος είνι ίσο με: 7 7 Α. f ( ) d Β. f ( ) d

35 Βήμ 5 ο Ολοκληρωτικός λογισμός Γ. ( f ( ) )d Δ. ( f ( ) ) d + ( f ( ) ) d Ε. ( f ( ) )d (Μονάδες 5) Θέμ 4 Αντλί της πυροσεστικής ντλεί ποσότητ νερού πό πλημμυρισμένο υπόγειο με ( t + ) ρυθμό μετολής N' () t = + σε λίτρ νά λεπτό, όπου t τ λεπτά t + t + λειτουργίς της ντλίς.. Ν ρεθεί η ποσότητ του νερού που ντλήθηκε πό το υπόγειο τ 6 τελευτί λεπτά της λειτουργίς της, ν είνι γνωστό ότι η ντλί λειτουργεί επί λεπτά. (Μονάδες ). Ν προσδιοριστεί η ποσότητ του νερού που μπορεί ν ντλήσει η ντλί ν λειτουργήσει επί 3 ώρες. (Μονάδες 5)

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α} 1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία.

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4. Α) νι Β) όχι 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4.4 δες ντίστοιχη θεωρί 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ 4. 6 f d f ()g()d f()g() f()g ()d f()d f () f()d f () () () f(g())d f(g( ())

Διαβάστε περισσότερα

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες.

Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες. I Βσικά συμπεράσμτ Στις σκσεις που κολουθούν θ χρησιμοποισουμε τ επόμεν βσικά συμπεράσμτ Α, Β κι Γ: Α Έστω R κι :[,+)R συνάρτηση τέτοι, ώστε συνεχς στο [,+), πργωγίσιμη στο (,+) κι () = Ν ποδειχθεί ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Α.4 α β γ δ ε Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος. Άρα υπάρχουν δύο εφαπτόμενες που διέρχονται από το σημείο A(1,4). M 0, 5 με εξίσωση y 9x 5

Α.4 α β γ δ ε Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος. Άρα υπάρχουν δύο εφαπτόμενες που διέρχονται από το σημείο A(1,4). M 0, 5 με εξίσωση y 9x 5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Απόδειξη, σχοικό ιίο σε 7 Α Ορισμός, σχοικό ιίο σε Α3 Διτύπωση θεωρήμτος, σχοικό ιίο σε 6 Α γ δ ε Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Είνι g = + 9 Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3 - 6 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ:. - ( -ηµ+συν)d, β. - +συνd, γ. d, δ. - 5 - d, ε. - d, στ. d.. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ -συν +5. Α= d, β. Β= ( + )

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αόριστο ολοκλήρωμ Ερωτήσεις θεωρίς Ποι ρολήμτ οδήγησν στην νάγκη ορισμού της ρχικής συνάρτησης ; Δώστε τον ορισμό της ρχικής συνάρτησης ή ράγουσς f στο Δ κι έν ράδειγμ Πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας σε () ΒΙΒΛΙΟμαθήματα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR Σερίφης Κωννος Α. Βσικές γνώσεις Τυτότητες ± ) ± + ± ) 3 3 ± 3 +3 ± 3 + ± ) ++γ) + +γ ++γ+γ - -)+) 3-3 -) ++ ) ν - ν -) ν- + ν- + + ν- + ν- ) 3 + 3 +) -+ ) ν + ν +) ν- - ν- + - ν- + ν- ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ν ΠΕΡΙΤΤΟ.

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ ΟΜΑ Α Β 9 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Έστω µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν η είνι συνεχής στο ι γι άθε εσωτεριό σηµείο του ισχύει, ν ποδείετε ότι η είνι στθερή σε όο το διάστηµ Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα