ΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. (α) Πότε ένας γεωµετρικός µετασχηµατισµός ονοµάζεται γραµµικός; (,5 µονάδες) r (β) Αν Μ(x, y) σηµείο του ειέδου, u (α,β) δεδοµένο διάνυσµα και Μ (x,y ) η εικόνα του Μ στην αράλληλη µεταφορά κατά το διάνυσµα u r, να βρείτε τα x,y συναρτήσει των συντεταγµένων του σηµείου Μ και του διανύσµατος u r. (γ) Είναι η αράλληλη µεταφορά γραµµικός µετασχηµατισµός; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το µετασχηµατισµό της στήλης Ι και δίλα τον αριθµό της στήλης ΙΙ ου αντιστοιχεί στον ίνακα του µετασχηµατισµού. ΣΤΗΛΗ Ι Τ : «συµµετρία ως ρος τον άξονα x x». Τ : «στροφή κατά γωνία» ΣΤΗΛΗ ΙΙ (3 µονάδες)

2 Β. Θεωρούµε το γραµµικό µετασχηµατισµό Τ µε ίνακα Α Α Α Α Α, όου Α, Α είναι οι ίνακες των µετασχηµατισµών Τ, Τ αντιστοίχως του ε- ρωτήµατος Β. (α) Να δείξετε ότι ο Τ είναι κανονικός µετασχηµατισµός. (,5 µονάδες) (β) Να βρείτε την εικόνα της ευθείας ε : x y µέσω του µετασχηµατισµού Τ. Α. (α) Θεωρία σελ. 6 (σχολικό βιβλίο) (β) Θεωρία σελ. 67 (σχολικό βιβλίο) (γ) Θεωρία σελ. 68 (σχολικό βιβλίο) Β. Τ : «Συµµετρία ως ρος άξονα x x» Σχηµατική αράσταση µε x x x x + 0 y 0, άρα y y y 0 x + ( ) y δηλαδή T (3). Τ : «Στροφή κατά γωνία» Ο ίνακας είναι συνθ ηµθ ηµθ συνθ και για θ γίνεται: συν ηµ 0 ηµ συν δηλαδή Τ () 0

3 0 0 Β. Είναι Α και Α. Εοµένως είναι: Α ΑΑ Α Α (α) Είναι Α 0, άρα ο Τ είναι κανονικός. 0 (β) Για τον Τ είναι: y x () x 0 x + ( )y x y y x + 0 y y x x y () Αν Μ(x, y) είναι σηµείο της (ε) µε ( ε) : x y (3), και M (x, y ) η εικόνα του Μ µέσω του µετασχηµατισµού Τ τότε: () (3) ( y ) ( x ) y + x () y + x άρα είναι y + x η εξίσωση της εικόνας της (ε) ως ρος τον µετασχηµατισµό Τ. ΘΕΜΑ ΕΥΤΕΡΟ 5 + i Α. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z. + 3i (α) Να γράψετε τον z στη µορφή α + βi, α,β R. (β) Να γράψετε τον z στην τριγωνοµετρική του µορφή. ( µονάδες) Στις ερωτήσεις (γ), (δ) να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό του θέµατος και της κάθε ερώτησης και δίλα να σηµειώσετε το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή αάντηση. (γ) Αν θ Argz, τότε ο µιγαδικός αριθµός iz έχει όρισµα: Α. θ Β. + θ Γ. θ. + θ (3 µονάδες)

4 (δ) Το z είναι ίσο µε: Α. Β. ι Γ. i. (3 µονάδες) Β. Να βρεθούν τα σηµεία του ειέδου ου είναι εικόνες των µιγαδικών z για z τους οοίους ισχύει. z i (0 µονάδες) Α. (α) Είναι: 5 + i (5 + i)( 3i) 0 5i + i + 3 z + 3i i 3 3i 3 συνφ (β) Εϊναι z + ( ) και ηµφ Άρα φ. Εοµένως z [συν( ) + iηµ( )].. (γ) Θεωρία, σελ. 0 (σχολικό βιβλίο) (Β) (δ) Εειδή z [συν( ) + iηµ( )] είναι: z ( ) [συν( ) + iηµ( )] [συν( ) + iηµ( )] άρα ( ). z z Β. Είναι z z i z ( + 0i) z (0 + i) (). z i z i Εοµένως, οι εικόνες των µιγαδικών z είναι σηµεία της µεσοκαθέτου του ευθύγραµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία Α(, 0) και Β(0, ). Αό την (), για z x + yi, x, y R είναι: (x ) + y x x + (y ) x + + y (x ) x + y + y y x δηλαδή η µεσοκάθετος του ΑΒ έχει εξίσωση yx. x y + + (y )

5 ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ ίνεται η συνάρτηση f µε τύο x 8x + 6, 0 < x < 5 f(x) 5 x (α + β )ln(x 5 + e) + (α + )e, x 5 Α. Να βρεθούν τα lim f(x), lim f(x). + (6 µονάδες) Β. Να βρεθούν τα α,β R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x 0 5. (0 µονάδες) Γ. Για τις τιµές των α, β του ερωτήµατος Β να βρείτε το lim f(x). x + (9 µονάδες) Α. Είναι: lim f(x) 5 και lim f(x) (α x 5 + (α α β )ln(5 5 + e) + (α + )e + β ) + (α + ) + β + α Β. Για να είναι η f συνεχής στο x 0 5 ρέει: lim f(x) lim f(x) f(5) α + β + α + β + α + 0 (α + ) + α + + β 0 α και β 0 Γ. Για α και β0 είναι x 8x + 6, 0 < x < 5 f(x) ln(x 5 + e), x 5 και εειδή lim (x 5 + e) +, είναι lim ln(x 5 + e) +. x + x +

6 ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ Φάρµακο χορηγείται σε ασθενή για ρώτη φορά. Έστω f(t) η συνάρτηση ου εριγράφει τη συγκέντρωση του φαρµάκου στον οργανισµό του ασθενούς µετά αό χρόνο t αό τη χορήγηση του, όου t 0. Αν ο ρυθµός µεταβολής 8 της f(t) είναι : t + (α) Να βρείτε τη συνάρτηση f(t). (6 µονάδες) (β) Σε οια χρονική στιγµή t, µετά τη χορήγηση του φαρµάκου, η συγκέντρωση του στον οργανισµό γίνεται µέγιστη; (6 µονάδες) (γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγµή t8 υάρχει ακόµα είδραση του φαρµάκου στον οργανισµό, ενώ ριν τη χρονική στιγµή t0 η είδραση στον οργανισµό του έχει µηδενιστεί. ( ίνεται ln, ) (3 µονάδες) 8 Είναι f (t), t 0. t + (t + ) (α) Εειδή µε t + > 0, είναι f (t) 8ln(t + ) t + c, t + t + µε f (0) 0 (το φάρµακο χορηγείται ρώτη φορά), άρα 8 ln(0 + ) 0 + c 0 c 0 και f(t) 8ln(t + ) t, t (t + ) 6 t (β) Είναι f (t), οµόσηµη του 6 t. t + t + t + Είναι: t t + f (t) + f(t) Για t3 η συγκέντρωση είναι µέγιστη. (γ) Έχουµε: Για t8 είναι f(8) 8ln9 6 8ln3 6 6 ln3 6 6(ln 3 ) Εειδή 3>e είναι ln 3 > ln e, άρα f(8)>0. ηλαδή υάρχει φάρµακο, άρα και είδραση στον οργανισµό Για t0 είναι f (0) 8ln 0 8, 0 0,8 < 0. ηλαδή δεν υάρχει φάρµακο, άρα και είδραση στον οργανισµό.

7 ΣΧΟΛΙΑ Τα ζητούµενα καλύτουν ικανοοιητικά την ύλη Για ορισµένες ερωτήσεις ααιτείτο ιδιαίτερα καλή ροετοιµασία. Η αντιµετώιση των θεµάτων 3Β, 3Γ, γ ααιτούσε αυξηµένη συνθετική ικανότητα, καθώς και υοδοµή σε ζητήµατα µελέτης σύνθετων συναρτήσεων και της λογαριθµικής. Οι αραάνω λύσεις είναι ενδεικτικές.