ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 181 ΕΠΙΠΕ Ο ΙΟΠΤΡΟ. ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΙΑΘΛΩΣΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ: Ο τύπος των επιπέδων διόπτρων

Transcript

1 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 8 ΕΠΙΠΕ Ο ΙΟΠΤΡΟ ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΙΑΘΛΩΣΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ: Ο τύπος των επιπέδων διόπτρων προκύπτει από τον τύπο των σφαιρικών διόπτρων όταν R=. = Από τ σχέσ αυτή φαίνεται ότι το πρόσµο του είναι αντίθετο από το πρόσµο του γεγονός, που συνεπάγεται ότι το είδωλο σχµατίζεται στν ίδια περιοχή µε το αντικείµενο. = = = ' Σχήµα 6 Σχήµα 7 Στ συνέχεια θα εξετάσουµε τν περίπτωσ κατά τν οποία έχουµε το σύστµα αέρας-γυαλί. ιακρίνουµε τις εξής εκδοχές: Α. Η ακτίνα φωτός ταξιδεύει από τον αέρα προς το γυαλί ( =, =) (Σχήµα 6). Ισχύει ότι: > ενώ παράλλλα: = = = = ( ) Β. Η φωτεινή ακτίνα κατευθύνεται από το γυαλί προς τον αέρα ( =, =) (Σχήµα 7). ( ) Ισχύει ότι < ενώ παράλλλα: + = 0 = = = ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΜΕΣΩ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΙΟΠΤΡΟΥ Η µεγέθυνσ σε µια τέτοια περίπτωσ υπολογίζεται αν συνδυάσουµε τον τύπο τς µεγέθυνσς των σφαιρικών διόπτρων, που είδαµε στν προγούµεν ενόττα, µε τον τύπο των επιπέδων διόπτρων, λαµβάνοντας πάντα υπ όψ µας ότι ακτίνα καµπυλόττας είναι άπειρ. Η µεγέθυνσ που υπολογίζεται µε αυτόν τον τρόπο είναι ίσ µε τ µονάδα, γεγονός που µας οδγεί στο συµπέρασµα ότι το είδωλο που σχµατίζεται από επίπεδ διαθλώσα επιφάνεια έχει πάντα το ίδιο µέγεθος µε το αντικείµενο και είναι πάντοτε ορθό. Η καθµερινή µας εµπειρία µας επιτρέπει να έχουµε άµεσ εποπτεία τς διάθλασς από επίπεδο δίοπτρο, όταν για παράδειγµα βλέπουµε το καλαµάκι µέσα σε ένα ποτήρι µε αναψυκτικό ή το εν µέρει βυθισµένο κουπί µιας βάρκας. Ένα τέτοιο αντικείµενο, όταν παρατρείται υπό ορισµένες γωνίες, φαίνεται ότι κάµπτεται απότοµα στν επιφάνεια του υγρού,γιατί το βυθισµένο τµήµα δίνει τν εντύπωσ ότι απέχει από τν επιφάνεια µόνο κατά τα τρία τέταρτα περίπου τς πραγµατικής του απόστασς. =

2 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 8 ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΜΕΣΩ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΠΛΑΚΑΣ = I i ' O i' δ B I' Γ i d Απόδειξ Σχήµα 8 Χαρακτριστικό του Σχήµατος 8 είναι ότι ακτίνα ειδώλου εξέρχεται παράλλλα προς τ διεύθυνσ τς αρχικής ακτίνας, όπως φαίνεται από τν ανάλυσ. Από το νόµο τς διάθλασς έχουµε τα εξής: Στο σµείο Ι : si i = si δ και στο σµείο Ι : si δ = si i ' και επειδή δ=δ ' προκύπτει : i = i' Ο νόµος τς διάθλασς για το σµείο Ι ' γράφεται: I Γ ΙΓ d = ΒΓ = ΙΓ = IΓ ΒΓ d όµως: ΑΑ = ΙΒ = ΙΓ ΒΓ = d = d( ) άρα ΑΑ = ( ) d Απόδειξ Από τ διάθλασ τς φωτεινής ακτίνας (Σχήµα 8) στο µπροστινό τµήµα τς πλάκας (το είδωλο του Α σχµατίζεται στ θέσ Α ) έχουµε: + = 0 = Από τ διάθλασ τς φωτεινής ακτίνας στν πίσω πλευρά τς πλάκας (τελικός σχµατισµός του ειδώλου στ θέσ Α ) έχουµε : d + = 0 + = 0 + = 0 = + + d + d Όµως από το σχήµα έχουµε: d d+ d = O O = ( d) = + d = = ( ) d Εποµένως µετατόπισ θα είναι: = d

3 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 83 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ευτεροετής φοιττής του φυσικού τµήµατος παρακολουθεί από προκυµαία και σε ύψος από αυτή, τν επιφάνεια τς θάλασσας. Ψάρι κολυµπάει σε βάθος από τν επιφάνεια τς θάλασσας και παρακολουθεί το φοιττή. Με δεδοµένο ότι ο δείκτς διάθλασς τς θάλασσας είναι ίσος µε.33 να υπολογιστεί απόστασ που βλέπει ο άνθρωπος το ψάρι καθώς και απόστασ που βλέπει το ψάρι τον άνθρωπο. α. Πού βλέπει ο άνθρωπος το ψάρι; Όπως φαίνεται και από το Σχήµα 9, χρσιµοποιώντας τ γραφική µέθοδο ο άνθρωπος αντιλαµβάνεται ότι το ψάρι είναι πιο κοντά σ αυτόν από ότι αυτό βρίσκεται στν πραγµατικόττα. δ Ο δ α δ Ι α α O I β Σχήµα 9 Σχήµα0 Από το νόµο τς διάθλασς στ διαχωριστική επιφάνεια των δύο µέσων έχουµε: si α = si δ εφ α = εφ δ OI OI O O = = = =, = = = O O = ( ) Αυτός ο τύπος παρουσιάζει τν φαινόµεν ανύψωσ που παρατρεί ο άνθρωπος. Το ψάρι τελικά φαίνεται σαν να βρίσκεται σε απόστασ : =, γεγονός που αποδεικνύει ότι είναι φανταστικό είδωλο. β.πού βλέπει το ψάρι τον άνθρωπο; Από το νόµο τς διάθλασς στ διαχωριστική επιφάνεια στο σµείο Ι έχουµε: si a = siδ εφa = εφδ OI OI, = = = = = = = O O O O = ( ) Αυτός είναι και ο τύπος τς φαινόµενς αποµάκρυνσς. (Το ψάρι βλέπει τον άνθρωπο πιο µακριά απ ότι βρίσκεται στν πραγµατικόττα).

4 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 84 ΦΑΚΟΙ ΛΕΠΤΟΙ ΦΑΚΟΙ : Ω ς φακό ορίζουµε κάθε διαφανές σώµα, που περιορίζεται από δύο σφαιρικές επιφάνειες ή από µία σφαιρική και µία επίπεδ επιφάνεια. R R E O α αµφίκυρτος αποκλόνων µνίσκος επιπεδόκυρτος σύµβολο K K E σύµβολο επιπεδόκυρτος αµφίκοιλος συγκλίνοντες φακοί αποκλίνοντες φακοί Σχήµα 35 Σχήµα 36 Σχήµα 37α Σχήµα Σχήµα Σχήµα 3 Σχήµα Σχήµα 4 37β αποκλίνων µνίσκος Οι φακοί διακρίνονται ως προς το πάχος τους σε λεπτούς και παχείς. Λέµε ότι ένας φακός είναι λεπτός, όταν το πάχος του, µετρούµενο πάνω στον κύριο άξονα, είναι µικρό συγκρινόµενο µε τν ακτίνα καµπυλόττας του, κατά τρόπο τέτοιο, ώστε να θεωρείται αµελτέο. ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΑΚΩΝ Στο Σχήµα σµειώνονται οι δύο ακτίνες καµπυλόττας R και R ενός φακού. Ως κύριο άξονα ορίζουµε τν ευθεία που ενώνει τα δύο κέντρα καµπυλόττας Κ και Κ. Στο ίδιο σχήµα σµειώνεται το σµείο Ο, που ονοµάζεται οπτικό κέντρο του φακού. Κάθε ευθεία που περνάει υπό κλίσ ως προς τον κύριο άξονα από το οπτικό κέντρο, ονοµάζεται δευτερεύων άξονας. Αν πάνω στο συγκλίνοντα φακό προσπέσει δέσµ ακτίνων φωτός παράλλλ προς τον κύριο άξονα, τότε όταν αυτή αναδυθεί από το φακό θα συγκλίνει σε ένα σµείο Ε, το οποίο καλείται κύρια εστία του φακού. εδοµένου ότι στο σµείο Ε συγκλίνουν πραγµατικές ακτίνες και όχι οι προεκτάσεις αυτών, λέµε ότι το σµείο Ε αποτελεί πραγµατική εστία.ένας συγκλίνων φακός, για παράδειγµα, έχει δύο κύριες πραγµατικές εστίες, συµµετρικές ως προς το οπτικό κέντρο(σχήµα ). Εάν δέσµ φωτεινών ακτίνων προσπέσει παράλλλα προς δευτερεύοντα άξονα, τότε όταν αυτή αναδυθεί συγκεντρώνεται σε ένα σµείο Ε, που καλείται δευτερεύουσα εστία(σχήµα 3). Με µεταβολή τς διευθύνσεως τς δέσµς - υπό τν προϋπόθεσ ότι γωνία α είναι µικρή- επιτυγχάνουµε άπειρες δευτερεύουσες εστίες, οι οποίες κείνται σε µία µικρή επιφάνεια κάθετ στον κύριο άξονα και οποία τέµνει τον κύριο άξονα στν κύρια εστία.. Το επίπεδο αυτό καλείται εστιακό επίπεδο του φακού. Κάθε ακτίνα που προσπίπτει πάνω στο φακό και διέρχεται από τ δευτερεύουσα εστία, αναδύεται παράλλλα προς τον δευτερεύοντα άξονα. Ορίζουµε ως εστιακή απόστασ ενός φακού, τν απόστασ τς κύριας εστίας αυτού από το οπτικό κέντρο.

5 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 85 ΤΥΠΟΣ ΤΩΝ ΦΑΚΩΝ Στ συνέχεια θα παραθέσουµε τν απόδειξ του τύπου του φακού που καλείται και τύπος των κατασκευαστών των φακών. I I K = O B B K = O O O R R = I d = Σχήµα 5 Σχήµα 6 Απόδειξ Θεωρούµε ότι αριστερή σφαιρική επιφάνεια έχει ακτίνα καµπυλόττας R και δεξιά R. Το είδωλο του Α(Σχήµα 5) αν δεν υπήρχε σφαιρική επιφάνεια ακτίνας R θα σχµατιζόταν, µέσω τς σφαιρικής επιφάνειας R >0, σε απόστασ, οπότε από τον τύπο των σφαιρικών διόπτρων έχουµε: + =, αφού αριστερά και R δεξιά από το φακό υπάρχει αέρας µε δείκτ διάθλασς ίσο µε ένα, ενώ ο απόλυτος δείκτς διάθλασς του υλικού του φακού είναι ίσος µε. Το είδωλο στ θέσ συνιστά ωστόσο, φανταστικό αντικείµενο για το δεύτερο κοίλο δίοπτρο (R <0). Συνεπώς θα προκύψει ένα τελικό είδωλο, του οποίου απόστασ από το οπτικό κέντρο του φακού θα ικανοποιεί τ σχέσ: + =. R Προσθέτοντας τις δύο σχέσεις καταλήγουµε στον τύπο των κατασκευαστών των φακών: + = ( )( + ) R R B Απόδειξ Η απόδειξ αυτή θα στριχτεί στν αρχή του Fermat. `Εστω c ταχύττα του φωτός στον αέρα και u ταχύττα του φωτός στο υλικό του φακού.θεωρούµε τις διαδροµές ΑΙΒ και ΑΟΒ (σχήµα 6). Ο επιπλέον χρόνος τ διαδροµή ΑΙΒ σε σχέσ µε τ διαδροµή ΑΟΒ θα είναι : t = ( + ). c Πράγµατι από το τρίγωνο ΑΙΟ έχουµε : I O I O I O I O I = O= = = ( )( + ) = + t I = to + c Αντίστοιχα από το τρίγωνο ΑΟΒ προκύπτει: IB OB IB OB IB OB IB OB IB= OB= = = ( )( + ) = + tib = tob + c Αν d το πάχος του φακού, τότε καθυστέρσ χρόνου µέσα στο υλικό µε δείκτ διάθλασς θα είναι: d d d d t = = = d t = ( + ), u c c c c c R R

6 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 86 όπου καθυστέρσ στ διαδροµή ΟΟ είναι: R, ενώ καθυστέρσ στ διαδροµή ΟΟ είναι:. R Από τν αρχή του Fermat, όµως γνωρίζουµε ότι όλοι οι οπτικοί δρόµοι πρέπει να είναι ισοδύναµοι και συνεπώς οι καθυστερήσεις πρέπει να είναι ίσες, εποµένως: ( ) t = t + = ( + ) + = ( )( + ). c c c R R R R Ολοκλρώστε τν απόδειξ και πραγµατοποιήστε τν απόδειξ 3 αντίστοιχα, κατά τα τς σελίδας 70 των σφαιρικών διόπτρων. ΑΚΤΙΝΑ ΙΕΡΧΟΜΕΝΗ ΑΠΟ ΤΟ ΟΠΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Όπως φαίνεται και στο Σχήµα 7 κάθε ακτίνα, που διέρχεται από το οπτικό κέντρο δεν εκτρέπεται από τν αρχική τς διεύθυνσ, δλαδή διαδίδεται ευθύγραµµα. Α T K O R K R T Σή 43 Σή 4 Σχήµα 7 Φέρνω τις παραλλήλους Κ Α και Κ Α. Τα εφαπτόµενα επίπεδα στο Α και Α θα είναι επίσς παράλλλα,ως κάθετα στα Κ Α και Κ Α. Θεωρούµε τν οπτική ακτίνα ΑΑ µε διαθλώµεν τν Α Α. Τότε εξερχόµεν ακτίνα Α Α,που τέµνει τν Κ Κ στο Ο είναι παράλλλ τς ΑΑ ( παραλλλία των Τ και Τ και ο νόµος τς διάθλασς στα Α, Α το εξασφαλίζει). Η οµοιόττα των τριγώνων Κ ΟΑ και Κ ΟΑ δίνει: OK K R = =, δλαδή OK K R θέσ του Ο είναι ανεξάρττ τς ακτίνας που έχουµε επιλέξει. Κατά συνέπεια οποιαδήποτε ακτίνα από το Ο δεν παρουσιάζει εκτροπή κατά τν έξοδό τς από το φακό και όταν έχουµε µάλιστα λεπτό φακό δεν παρουσιάζεται ούτε παράλλλ µετατόπισ. ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙ ΩΛΟΥ ΜΕΣΩ ΦΑΚΟΥ

7 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 87 Β' B Ε ' Β Ε' Α' Α Σχήµα 8α Σχήµα 8 β Το Σχήµα 8 αναφέρεται στ δµιουργία ειδώλου µέσω συγκλίνοντος φακού. Ακτίνα διερχόµεν από το οπτικό κέντρο δεν εκτρέπεται µετά τ διέλευσή τς από το φακό. Ακτίνα παράλλλ προς τον κύριο άξονα διέρχεται από τν κύρια εστία του φακού. Σχήµα 9 Το Σχήµα 9 αναφέρεται σε αποκλίνοντα φακό. Ακτίνα παράλλλ προς τον κύριο άξονα αποκλίνει και προέκτασή τς τέµνει µία από τις δύο κύριες εστίες. Στν περίπτωσ του συγκλίνοντος φακού, όταν το αντικείµενο είναι πραγµατικό και βρίσκεται µακριά από τν κύρια εστία, το είδωλο είναι πραγµατικό αλλά ανεστραµµένο. Όταν το αντικείµενο βρίσκεται ανάµεσα στν κύρια εστία και το φακό και είναι πραγµατικό,τότε το είδωλο είναι φανταστικό, όρθιο και µεγεθυσµένο. Όταν έχουµε αποκλίνοντα φακό και διαθέτουµε πραγµατικό αντικείµενο τότε το είδωλο είναι πάντοτε φανταστικό και όρθιο. B Γ O E E K x B α 4 Σχήµα 43 Σχήµα 9 Σχήµα 30 Γ x ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ

8 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 88 Στο Σχήµα 30 παρατρούµε ότι τα τρίγωνα ΑΒΟ και Α Β Ο είναι όµοια και εποµένως: m = B B O O = = Από το ίδιο σχήµα παρατρούµε ότι τα τρίγωνα ΟΙΕ και Α Β Ο είναι όµοια, OI OE OI B E B εποµένως: B = E =, = B = οπότε από τον τύπο τς µεγέθυνσς µπορούµε να εξαγάγουµε πάλι τον τύπο των φακών. Αν επιθυµούµε να αναφέρουµε για τν επιφανειακή µεγέθυνσ για αντικείµενα κάθετα στον κύριο άξονα θα έχουµε: m =. Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Στο σµείο αυτό θα αναφέρουµε τον τύπο του Νεύτωνα, ο οποίος έχει τ µορφή χχ =, όπου χ και χ είναι οι αποστάσεις του αντικειµένου και του ειδώλου από τν πλσιέστερ κύρια εστία και εστιακή απόστασ(σχήµα 30). Θεωρούµε το αντικείµενο ΑΒ και έστω το σχµατιζόµενο είδωλο Α Β. Από το σχήµα παρατρούµε ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΕΟΓ και τα τρίγωνα Ε ΟΓ και Ε Α Β είναι όµοια,οπότε: B x B ψ = & =.Πολλαπλασιάζοντας αυτές τις δύο OΓ OΓ σχέσεις προκύπτει: xx =